Fluxo de Ricci, Energia e Entropia dos Buracos Negros: Um Estudo Computacional

Claudia M. G. G. Franchi, Renato G. dos Reis Departamento de Ciências da Computação e Estatística, IBILCE, UNESP,

15054-000, São José do Rio Preto, SP E-mail: claudiafranchi@oi.com.br, renato-galois@hotmail.com.

Prof. Dr. Manoel F. Borges Neto Departamento de Ciências da Computação e Estatística, IBILCE, UNESP,

15054-000, São José do Rio Preto, SP E-mail: borges@ibilce.unesp.br.

Palavras-chave: Fluxo de Ricci, Entropia, Buracos Negros.

Resumo: Em geometria diferencial, o tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do pleno tensor de curvatura. Pode-se pensar na curvatura de Ricci aplicada a uma variedade de Riemann, como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicação por uma constante, então temos uma variedade de Einstein e a curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico. A curvatura de Ricci desempenha um papel importante em relatividade geral, onde é o termo dominante nas equações de campo de Einstein. No presente trabalho pretende-se desenvolver e aplicar técnicas de fluxo de Ricci à Relatividade Geral, no caso, uma métrica Riemanniana tridimensional assintoticamente plana como um conjunto de dados iniciais para equações de Einstein, para que, por meio de pesquisa e revisão de literatura, seja possível encontrar um método quantitativo e assim, contribuir para a expansão do conhecimento sobre as aplicações do fluxo de Ricci à Relatividade geral através de simulações computacionais em assuntos pertinentes à teoria da Relatividade Geral, particularmente ao estudo dos Buracos Negros e sua evolução. Para tal, utilizar-se-á a plataforma Maple para simulações numéricas do fluxo de Ricci, pois esta consiste numa importante ferramenta, já que é uma plataforma integrada, que pode realizar computação simbólica, numérica e visualizações no mesmo ambiente. Pode-se assim realizar todos os passos necessários para as simulações numéricas no fluxo de Ricci utilizando Maple. Esta aplicação pode se tornar uma opção importante a ser adotada, constituindo assim numa base confiável para outros futuros trabalhos.

1 Introdução

O Fluxo de Ricci, desenvolvido por Richard Hamilton, que investigava a natureza intrínseca de variedades em três dimensões, é utilizado pelos matemáticos para entender a topologia de variedades em dimensão três (HAMILTON, 1982), (MORGAN, 2005), sendo estes desenvolvimentos matemáticos aplicados no estudo de teorias geométricas, como a Teoria da Relatividade Geral.

Desenvolvido por Richard Hamilton (op. cit.), que ao investigar a natureza intrínseca de variedades em três dimensões, faz-se uso dos trabalhos de Eells e Sampson (EELLS; SAMPSON, 1964) sob os quais se edifica um estudo sobre problemas pertinentes às Conjecturas de Poincaré e Smith, culminando posteriormente na completa elaboração do programa de Geometrização de Thurston (THURSTON, 1982), utilizada para descrever os modelos cosmológicos.

Sabendo-se que na Relatividade Geral, a área de horizontes aparente é relacionada à entropia do buraco negro e a massa de Hawking uma 2-esfera assintótica, é a energia ADM, este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um método quantitativo, a partir de simulações numéricas

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realizadas com adjutório do software Maple, que relacione o fluxo de Ricci à teoria da Relatividade Geral, particularmente ao estudo dos Buracos Negros e sua evolução.

Definida uma variedade Riemanniana com tensor métrico gij, ��, ����, pode-se calcular o tensor

de Ricci Rij, que contém informações sobre as médias das curvaturas seccionais em uma espécie de “t raço” do tensor de curvatura de Riemann. Considerando-se o tensor métrico e o tensor de Ricci associados, funções da variável tempo, o fluxo de Ricci pode ser definido pela equação de evolução geométrica

��� = −2���. (1)

O fluxo de Ricci normalizado faz sentido para variedades compactas e é dado pela equação:

��� = −2��� + �� ������� (2)

Sendo Ravg, a média da curvatura escalar e � a dimensão da variedade M. Esta equação normalizada preserva o volume da métrica, sendo que o sinal negativo do fluxo de Ricci é definido para tempos positivos suficientemente pequenos. Se o sinal for alterado, o fluxo de Ricci normalmente será definido para os pequenos momentos negativos, o que evidencia a analogia entre a equação do calor que se apresenta positiva quando considerada a favor do tempo.

Visando evidenciar a aplicabilidade ao estudo dos buracos negros, considera-se a variedade Riemanniana sendo assintoticamente plana e tridimensional. Definem-se os buracos negros como as regiões do espaço-tempo a partir da qual escapar para o infinito é impossível e, portanto, referem-se a

uma estrutura assintótica. Exige-se que a métrica tenda a uma métrica plana fixa���no infinito:

��� → ��� + ��1 �⁄ �. (3)

Dada a métrica inicial gij, o fluxo de Ricci evolui a métrica consoante ao seu tensor de Ricci. A

evolução do parâmetro t e da família de métricas em ��, ���� �!satisfazem a equação de fluxo de

Ricci, Equação ( 1 ).

O problema de simulações numéricas e visualizações com o fluxo de Ricci em variedades de dimensões dois ou três decorrem naturalmente da natureza geométrica deste fluxo, que atua diretamente sobre a métrica da superfície, tendendo a não preservar o mergulho. Joachim Hyam Rubinstein e Robert Sinclair obtiveram uma série de resultados através da restrição às classes das métricas de revolução, pois tais simetrias são preservadas sob a ação do fluxo de Ricci e a métrica depende consideravelmente de um número menor de parâmetros em tais casos. Estas superfícies

tendem a permanecer mergulhadas em ℛ# tornando a visualização direta possível.

Objetiva-se a partir de simulações numéricas realizadas com adjutório de softwares (no caso deste trabalho, o Maple) verter mecanismos já dantes utilizados na Relatividade Numérica, uma vez que as simulações numéricas para o Fluxo de Ricci são análogas.

Justifica-se o estudo e abordagem das simulações numéricas com Fluxo de Ricci, como sendo a exibição da formação de singularidades e o fenômeno do neck pinching1, que ocorre naturalmente para as métricas de revolução.

1 Grosso modo, poder-se-á entender um neck pinching como uma fração do cilindro $� × ℝ que está a colapsar.

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2 Bibliografia

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