Formas Funcionais

Econometria

Alexandre Gori Maia

Bibliografia Básica:

-Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 4.

Ementa:

• Definição: modelos lineares e não lineares;

• Modelo Linear;

• Modelo Log-Linear;

• Modelo Linear-Log;

• Modelo Log-Log.

Modelos Não Lineares

X

Y

Modelo é linear nas variáveis pois todos

os expoentes de Y e X são iguais a 1.

iii eβXαY

Modelo é linear nos parâmetros pois os

expoentes de e são iguais a 1.

X

Yiii eβXαY 2

Modelo não é linear nas variáveis pois o

expoente de X não é igual a 1.

Modelo é linear nos parâmetros pois os

expoentes de e são iguais a 1.

Linearidade nos parâmetros

e nas variáveis

Linearidade nos parâmetros

Modelos Lineares nos Parâmetros

X

Yiii eβXαY 2

Z=X2

Y iii eβZαY

Modelos não lineares nas variáveis podem tornar-se lineares por anamorfose:

é a mesma coisa que...

Relações não lineares nas variáveis podem ser transformadas em relações lineares por

anamorfose, ou seja, por transformações de suas variáveis originais.

A escolha da forma funcional (tipo de transformação das variáveis) depender á da análise

dos valores e, principalmente, do conhecimento prévio das relações por parte do

pesquisador.

Constatada a linearidade nas variáveis, os coeficiente (’s) de modelos lineares por

anamorfose são estimados de maneira análoga pelo método de mínimos quadrados.

Formas FuncionaisAs formas funcionais mais utilizadas em análises econômicas sâo:

1) Modelo linear: iii eXββY 10

2) Modelo log-log: ii10i e)ln(Xββ)ln(Y

3) Modelo log-lin: ii10i eXββ)ln(Y

4) Modelo lin-log: ii10i eln(XββY )

Y

X0β

01 β

Y

X

0β 01 β

Y

X

01 1 β

Y

X

10 1 β

11 β

Y

X

01 β

Y

X

01 β

Y

X

01 β

Y

X

01 β

ou

ou

ou

ou

5) Modelo inverso: ii

10i eX

1ββY

Y

X0β

01 β

Y

X

0β

01 βou

Modelo LinearForma Funcional:

é o valor esperado de Y para valores

nulos de X

iii eXY

Y

Xi

X=1

Y=

0

XXi+1

+Xi

+Xi+1

)0(]0/[YE

dX

Xd

dX

dY

X

Y )(

é a variação marginal absoluta no

valor esperado de Y (Y) dada uma

variação unitária em X (X=1).

A variação marginal no valor esperado de Y é a mesma para qualquer valor de X.

Pressupõe que Y apresente aumentos (ou reduções) absolutos constantes dadas

variações absolutas em X.

Modelo Linear

Pressupondo que a relação entre total de

vendas de uma sorveteria (Y, em 1.000

R$) e a temperatura média (X, em oC) seja

linear:

Qual o efeito da temperatura média diária (°C) sobre as vendas de sorvete?

iii eβXY

De onde obtemos:

iii eTemp,,Vendas 120041

A estimativa do coeficiente angular sugere que, para cada aumento unitário na

temperatura média (X=1 oC), haja um incremento médio e constante de 120 reais nas

vendas de sorvete (Y=0,125 1.000 R$).

O intercepto negativo não possui interpretação econômica, mas sugeririam que o valor

esperado das vendas seria negativo caso a temperatura média fosse igual a 0 oC.

Modelo Log-LinearForma Funcional: iii eXln(Y )

ln(Y)

Xi

X=1

ln(Y)=

0

XXi+1

+Xi

+Xi+1

dX

Xd

dX

Yd

X

Y )()ln()ln(

Temos que:

Pressupõe que Y apresente crescimento (ou decaimento) exponencial em relação a

variações absolutas de X.

X

Y

e+Xi

Xi

X=1

Y/Yi=

0

e

e+Xi+1

Xi+1

)0(]0/)[ln(YE eYE ]0/[

X

YY i/pois

ii Y

YY

YY

Y

)ln(

1)ln(

Modelo Log-Linear

Pressupondo que a renda do trabalho (Y,

em R$ mensais) cresça exponencialmente

com os anos de escolaridade (X):

Qual o impacto da escolaridade sobre a renda do trabalho?

iii eβXY )ln(

De onde obtemos:

Espera-se, para cada ano adicional de escolaridade (X=1), um incremento relativo

de 12,1% no rendimento do trabalho (Y=0,121 Yi).

iii eXY ˆ121,0006,6)ln(

Modelo Linear-LogForma Funcional: iii eXY )ln(

Y

ln(Xi)

ln(X)=1

Y=

ln(X)ln(Xi+1)

+ln(Xi)

+ln(Xi+1)

)ln(

)]ln([

)ln( X

X

X

Y

Temos que:

Pressupõe que Y apresente variações absolutas constantes dadas variações relativas

em X.

X

Y

+ln(Xi)

Xi

X=Xi

Y=+ln(Xi+1)

Xi+1

iXX

Y

/

Então:ii X

XX

XX

X

)ln(

1)ln(Como variações absolutas em ln(X), ou

seja, ln(X), representam variações

relativas em X (X/Xi), o coeficiente

angular representará as variações

absolutas em Y (Y) dada uma variação

relativa de 100% em X (X/Xi=1=100%).

Modelo Linear-Log

Pressupõe-se que o aumento da renda (X, em

R$/h) tenha um efeito positivo sobre a jornada de

trabalho (h semanais). Entretanto, à medida que a

renda cresça indefinidamente, espera-se

variações cada vez mais tênues sobre a jornada

de trabalho:

Como a renda do trabalho afeta a disposição a trabalhar?

iii eXβY )ln(

De onde obtemos:

Espera-se que, para cada variação relativa de 1% no rendimento hora do trabalho,

haja um incremento absoluto de 0,0479 horas (2,87 minutos) na jornada de trabalho

do ocupado.

iii eXY ˆ)ln(790,4799,30

Modelo Log-LogForma Funcional: iii eXln(Y )ln()

ln(Y)

ln(Xi)

ln(X)=1

ln(Y)=

ln(X)ln(Xi+1)

+ln(Xi)

+ln(Xi+1)

i

i

XX

YY

X

Y

/

/

)ln(

)ln(

Sabemos que:

Pressupõe que Y apresente variações relativas constantes dadas variações relativas em

X.

X

Y

e+ln(Xi)

Xi

X=Xi

Y=Yi

e+ln(Xi+1)

Xi+1

Então:iX

XX

)ln(

O coeficiente é uma medida constante da

elasticidade de Y em relação a X, ou seja,

considera que as variações relativas em Y dadas

variações relativas em X sejam as mesmas para

quaisquer valores de Xi e Yi.

eiY

YY

)ln(

Modelo Log-Log

Espera-se que haja uma elasticidade constante

entre taxa de visitação (Y, em visitas/100.000

habitantes) e custo de viagem do município de

origem ao parque (X, em R$), ou seja,

incrementos percentuais no custo de viagem

gerariam reduções percentuais na taxa de

visitação:

Como o custo de viagem afeta a taxa de visitação a um parque nacional?

iii eXβY )ln()ln(

De onde obtemos:

O coeficiente angular sugere um demanda relativamente elástica às variações no

custo de viagem. Para cada aumento de percentual no custo de viagem, espera-se

uma redução 2,05% na taxa de visitação.

iii eXY ˆ)ln(049,2492,13)ln(