Fórmula de Caractere para Álgebras de Lie Semissimples ... · vi Introdução O objetivo deste trabalho é estudar as álgebras de Lie semissimples de dimensão nita sobre C, bem

Universidade Federal de Minas Gerais

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Fórmula de Caractere paraÁlgebras de Lie Semissimples de

Dimensão Finita

Gustavo Pereira Gomes

Belo Horizonte2014

Universidade Federal de Minas Gerais

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Fórmula de Caractere paraÁlgebras de Lie Semissimples de

Dimensão Finita

Discente: Gustavo Pereira GomesOrientador: Prof. Dr. André Gimenez Bueno

Dissertação orientada pelo Prof. Dr. André Gimenez Bueno e apre-sentada à Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dosrequisitos necessários para a conclusão do mestrado em Matemá-tica.

Belo Horizonte2014

iii

Agradecimentos

A Deus pelas oportunidades.

Aos meus pais Cleamárcia e Fabiano, meus irmãos Camila e Victor e famili-ares pelo carinho e apoio.

A minha namorada Gabrielle pela paciência, companheirismo e amor.

Aos colegas, amigos e professores da UFMG, em especial ao professor André,que zeram parte desta caminhada.

Aos meus antigos professores, em especial aos professores Rosivaldo e Sebas-tião, que acreditaram no meu potencial.

A CAPES pelo suporte nanceiro.

iv

Resumo

O objetivo principal deste trabalho é descrever as representações deálgebras de Lie semissimples g sobre C de dimensão nita, onde g tambémtem dimensão nita. Inicialmente, é necessário o estudo das subálgebras deCartan, juntamente da teoria de raízes, que nos leva à seguinte decomposição:

g = h⊕⊕α∈R

gα,

onde h ⊂ g é uma subálgebra de Cartan. Ao mesmo tempo, as fórmu-las de Freudenthal e Weyl nos mostra as dimensões destas representaçõescitadas acima. Além disso, apresentamos a teoria de caractere e anel de re-presentações com o objetivo de obter ferramentas que auxiliam no estudo dasrepresentações de álgebras de Lie.

Palavras-chave: álgebra de Lie semissimples; representações; fórmula deWeyl; caractere; anel de representações.

v

Abstract

The goal of this work is describe the nite dimensional representationsof semisimple Lie algebras g over C, where g also has nite dimension. Initi-ally, is necessary the study of Cartan subalgebras, together of root systems,which leads to decomposition:

g = h⊕⊕α∈R

gα,

where h ⊂ g is a Cartan subalgebra. At the same time, Freudenthal's andWeyl's formulas give us the dimensions of these representations mentionedabove. Moreover, we present the theory of characters and representation ringas tools that help us understand of representations of Lie algebras.

Key-words: semisimple Lie algebra; representations; Weyl's formula; cha-racter; representation ring.

vi

Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar as álgebras de Lie semissimples dedimensão nita sobre C, bem como suas representações de dimensão nita.Deste modo, o principal resultado mencionado nesta dissertação é a obtençãoda Fórmula de Weyl para o cálculo da dimensão destas representações citadasacima.

O único pré-requisito para o entendimento deste trabalho é a ÁlgebraLinear e Multilinear. Por exemplo, usamos constantemente os conceitos deproduto tensorial, autovalor, autovetos e autoespaços. Todavia, os principaisresultados usados da Álgebra Linear e Multilinear serão citados ao longo dotexto.

Este trabalho foi dividido em nove seções. Os conceitos básicos dasálgebras de Lie estão presentes na Seção 1, bem como os Teoremas de Engele Lie sobre álgebras de Lie nilpotentes e solúveis, respectivamente, que sãoteoremas indispensáveis na teoria das álgebras de Lie. Vale ressaltar que estaseção foi baseada no livro Introduction to Lie algebras and representationtheory do autor James E. Humphreys (referência [2]).

Já na Seção 2, mencionamos um critério de semissimplicidade paraálgebras de Lie e ao mesmo tempo, abordamos o Teorema de Weyl, fazemosuma breve discussão do Teorema de Ado e o caso particular deste teoremaquando a álgebra de Lie é semissimples.

Começamos a Seção 3 denindo as subálgebras de Cartan e demons-tramos que toda álgebra de Lie de dimensão nita sobre C possui subálgebrade Cartan usando a Topologia de Zariski como ferramenta demonstrativa.Também, abordamos resultados importantes a respeito das subálgebras deCartan quando a álgebra de Lie é semissimples.

O objetivo da Seção 4 é caracterizar as representações (módulos) desl2(C) e sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin estãopresentes na Seção 5.

Na Seção 6, zemos um estudo detalhado as álgebras de Lie semissim-ples de dimensão nita sobre C e um dos principais resultados presentes nestaseção é que toda álgebra de Lie nestas condições possui a decomposição

g = h⊕⊕α∈R

gα

em autoespaços gα = X ∈ g | ad(H)X = [H,X] = α(H)X, ∀H ∈ h, ondeh = g0 é subálgebra de Cartan de g e α ∈ h∗.

vii

As representações das álgebras de Lie semissimples e a teoria de pesossão descritas na Seção 7. Destacamos que as Seções 2 até 7 foram baseadosno livro Complex Semisimple Lie Algebras do autor J.P. Serre (referência [4]).

A Seção 8 contém os resultados mais importantes desta dissertação. Porexemplo, nela encontramos as câmaras de Weyl, o estudo dos caracteres dasrepreentações de dimensão nita e o anel de representações. Vale destacarque o anel de representações é um anel de polinômios, onde as variáveis são asclasses das representações irredutíveis de peso mais alto ω1, . . . , ωn, chamadospesos fundamentais. Também, obtemos as fórmulas de Freudenthal e deWeyl, sendo que a última, calcula a dimensão das representações de dimensãonita Γλ e está descrita abaixo:

dim Γλ =∏α∈R+

(λ+ ρ, α)

(ρ, α)·

Finalizando, a Seção 9, caracteria a álgebra de Lie excepcional g2 dedimensão 14. Usamos o livro Representation theory dos autores WilliamFulton e Joe Harris para a elaboração desta seção e da anterior.

Além disso, salientamos que o conceito de anel de representações tam-bém é válido para os grupos nitos (veja [7], capítulo 9) e, até mesmo, paraos grupo de Lie compactos como mostra [8].

SUMÁRIO viii

Sumário

1 Conceitos Básicos 1

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e módulos . . . . . 4

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Teoremas de Engel e Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Álgebras de Lie Semissimples 13

2.1 Critério de semissimplicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpotentes . . . . 15

3 Subálgebras de Cartan 18

3.1 Denição das subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Existência das subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 g semissimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Representações de sl(2,C) 24

4.1 sl2-módulos, pesos e elementos primitivos . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Representações irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Sistema de raízes 30

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Formas quadráticas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Posição relativa entre duas raízes . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5 Matriz de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6 Sistemas de raízes irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.7 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Estrutura das Álgebras de Lie semissimples 40

6.1 Decomposição de g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

SUMÁRIO ix

6.2 Subálgebras de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Representações de álgebras de Lie semissimples 49

7.1 Envolvente universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2 Pesos e elementos primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3 Módulos irredutíveis com peso mais alto . . . . . . . . . . . . 53

7.4 Módulos de dimensão nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 Fórmulas de Freudenthal e Weyl 61

8.1 Câmaras de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2 Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.3 O anel de representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4 Fórmula de Freudenthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.5 Fórmulas de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 A álgebra excepcional g2 85

9.1 Grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2 Construção de g2 pelo seu diagrama de Dynkin . . . . . . . . 86

9.3 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1

1 Conceitos Básicos

Esta seção tem como objetivo denir os conceitos básicos das álgebrasde Lie que serão constantemente usados neste trabalho.

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais

Denição 1.1.1. Se A é um espaço vetorial sobreK juntamente com uma leide composição bilinear A×A→ A (não necessariamente associativa), entãodizemos que A é uma K-álgebra. Ou seja, existe uma aplicação K-linearA⊗K A→ A.

Denição 1.1.2. Uma K-álgebra g com a operação [ , ] : g × g → g échamada álgebra de Lie se:

(L1) [X,X] = 0, ∀X ∈ g, isto é, [ , ] é alternada.

(L2) a identidade de Jacobi é satisfeita:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.

A dimensão da álgebra de Lie g é a dimensão do espaço vetorial subjacentee, geralmente, chamamos [ , ] de comutador ou colchete.

Observação 1.1.1. Pela propriedade universal da álgebra exterior, uma ál-gebra de Lie g possui a propriedade de que o mapa g ⊗K g → g se fatoraem

g⊗K g→∧2

g→ g.

Note que aplicando o item (L1) ao elemento X + Y , obtemos [X, Y ] =−[Y,X] para todo X, Y ∈ g (anti-simetria) e caso char K 6= 2, a recíproca éválida, isto é, [X, Y ] = −[Y,X]⇒ [X,X] = 0 para X, Y ∈ g.

Exemplo 1.1.1. QuandoA é umaK-álgebra associativa, podemos considerá-la uma álgebra de Lie denindo o comutador [X, Y ] = X ∗ Y − Y ∗X paraX, Y ∈ A, onde ∗ é a multiplicação em A. Assim, a associação A 7→ AL(AL é a álgebra de Lie induzida por A) dene um funtor da categoria dasK-álgebras associativas para a categoria das álgebras de Lie sobre K, pois

(i) se f : A→ B um K-homomorsmo de álgebras associativas, tem-se

f([a, b]) = f(ab− ba) = f(ab)− f(ba) = f(a)f(b)− f(b)f(a) = [f(a), f(b)].

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais 2

Isto mostra que f induz um homomorsmo de álgebras de LiefL : AL → BL.

(ii) considere os K-homomorsmos de álgebras associativas Af−→ B

g−→ C e

os induzidos ALfL−→ BL

gL−→ CL. Pode-se vericar que (g f)L = gL fL.(iii) a identidade em A induz a identidade em AL.

A funtorialidade citada acima é importante pelo fato de que se A ∼= B(entre álgebras associativas), então AL ∼= BL (entre álgebras de Lie).

Exemplo 1.1.2. Seja V é um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpoK. Denotemos o conjunto dos endomorsmos de V por

End(V ) = ϕ : V → V | ϕ é uma transformação linear.

Assim, End(V ) é uma K-álgebra associativa e se xarmos uma base para V ,End(V ) ∼= Mn×n(K), onde Mn×n(K) é a álgebra (associativa) das matrizesn× n com entradas em K. Pelo exemplo anterior, End(V ) é uma álgebra deLie e tem dimensão n2. Usaremos a notação gl(V ) ou gl(n,K) quando nosreferirmos a End(V ) como álgebra de Lie, chamada álgebra geral linear.

Exemplo 1.1.3. Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão nsobre um corpo K, podemos ver V como uma álgebra de Lie denindo[X, Y ] = 0 para todoX, Y ∈ V . As álgebras de Lie desta forma são chamadasabelianas.

Denição 1.1.3. Um subespaço h de uma álgebra de Lie g é dito subálge-bra de Lie (ou apenas subálgebra) se [X, Y ] ∈ h para todo X, Y ∈ h.

Exemplo 1.1.4. Considere B um subconjunto de g, então o centralizadorde B em g é uma subálgebra de g (pela identidade de Jacobi) denida porCg(B) = X ∈ g | [X, Y ] = 0,∀Y ∈ B.

Denição 1.1.4. Uma subálgebra a de uma álgebra de Lie g é chamadaideal se ∀X ∈ a e ∀Y ∈ g tem-se [X, Y ] ∈ a. Como [X, Y ] = −[Y,X]para todo X, Y ∈ g, as noções de ideais à esquerda e direita coincidem,diferentemente da teoria de anéis.

Exemplo 1.1.5. Quando a e b são ideais de g, é de fácil vericação quea + b = X + Y | X ∈ a e Y ∈ b e a ∩ b também o são.

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais 3

Exemplo 1.1.6. Denote sl(V ) = φ ∈ gl(V ) | tr(φ) = 0. Armamos que,sl(V ) é ideal de gl(V ). De fato, usando a identicação End(V ) ∼= Mn×n(K),sabemos que a aplicação traço é linear e que tr(MN) = tr(NM) para todoM,N ∈Mn×n(K). Logo, se M,N ∈ sl(V ) e λ ∈ K obtemos:

(i) tr(M +N) = tr(M) + tr(N) = 0 e tr(λM) = λ tr(M) = 0, isto é, sl(V ) ésubespaço de gl(V ).

(ii) tr([M,N ]) = tr(MN −NM) = tr(MN)− tr(NM) = 0.

Assim, (i) e (ii) mostram que sl(V ) é ideal de gl(V ). Chamamos sl(V )de álgebra especial linear.

Observação 1.1.2. As subálgebras de gl(V ) são chamadas álgebras de Lielineares.

Denição 1.1.5. Dizemos que g é simples se dim g > 1 e g não possuiideias diferentes de 0 e g.

Exemplo 1.1.7. Quando char K 6= 2, o ideal sl(2, K) de gl(2, K) das ma-trizes 2 × 2 de traço nulo com entradas em K é simples. Em particular, sechar K = 0, então sl(n,K) é simples.

Exemplo 1.1.8. O centro de g, denido por

z(g) = X ∈ g | [X, Y ] = 0,∀Y ∈ g,

é um ideal de g. Note que g é abeliano se, e só se, z(g) = g.

Exemplo 1.1.9. Seja h subálgebra de g. O normalizador de h em g édenido por ng(h) = X ∈ g | [X, Y ] ∈ h,∀Y ∈ h. Deste modo, ng(h) é amaior subálgebra de g onde h é ideal.

Exemplo 1.1.10. A álgebra derivada de g, denotada [g, g], é a álgebragerada por todos os comutadores [X, Y ] com X, Y ∈ g. Portanto, [g, g] =∑

[Xi, Yj] | Xi, Yj ∈ g. É fácil vericar que [g, g] é ideal de g e quando g ésimples, z(g) = 0 e [g, g] = g.

Se a é um ideal de g, denimos a álgebra quociente como o espaçog/a = X + a | X ∈ g. Assim, g/a torna-se uma álgebra de Lie via

[X + a, Y + a] = [X, Y ] + a.

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e módulos 4

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e mó-dulos

Denição 1.2.1. Seja A uma K-álgebra. Uma derivação de A é umaaplicação K-linear δ : A→ A satisfazendo δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b, ∀a, b ∈ A.

Iremos denotar o conjunto das derivações de A por Der(A), que é su-bespaço vetorial de End(A). Destacamos também que o comutador de duasderivações é uma derivação, mas a composição pode não ser. Diante disso,concluímos que se g é uma álgebra de Lie, então Der(g) é uma álgebra de Lie(subálgebra de gl(g)) via

[D1, D2] = D1 D2 −D2 D1 para todo D1, D2 ∈ Der(g).

Exemplo 1.2.1. O principal exemplo de derivação de uma álgebra de Lie éa aplicação adjunta ad(X) : g→ g dada por ad(X)Y = [X, Y ], onde X ∈ gé xo. Para vericar este fato, basta usar a bilinearidade do comutador e aidentidade de Jacobi (considere X, Y, Z ∈ g e α ∈ K):

(i) ad(X)(αY +Z) = [X,αY +Z] = α[X, Y ]+ [X,Z] = αad(X)Y +ad(X)Z.

(ii) ad(X)([Y, Z]) = [X, [Y, Z]] = −[Y, [Z,X]] − [Z, [X, Y ]] = [Y, [X,Z]] +[[X, Y ], Z]] = [Y, ad(X)Z] + [ad(X)Y, Z].

As derivações desta forma são chamadas derivações internas e asdemais externas.

Denição 1.2.2. Sejam g1 e g2 duas álgebras de Lie. Uma transformaçãolinear ϕ : g1 → g2 é dita homomorsmo se ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )]. Casoϕ for bijetiva, dizemos que ϕ é um isomorsmo e que g1 e g2 são isomorfas.Um automorsmo de g, denotamos por Aut(g), é um isomorsmo de g emg.

Observação 1.2.1. O Ker(ϕ) é ideal de g1 e Im(ϕ) é subálgebra de g2.

Neste contexto, são válidos os três Teoremas do Isomorsmo:

Teorema 1.2.1 (Teoremas do Isomorsmo). (a) Se ϕ : g1 → g2 é um ho-momorsmo de álgebras de Lie, então g1/Ker(ϕ) ∼= Im(ϕ).

(b) Se a e b são ideais de g, então (a + b)/b ∼= a/(a ∩ b).

(c) Se a e b são ideais de g tais que a ⊆ b, então b/a é ideal de g/a e(g/a)/(b/a) ∼= g/b.


Demonstração. É análoga à versão para grupos com as alterações óbvias.

Considere g uma álgebra de Lie com base X1, ..., Xn. Como [Xi, Xj]

é um elemento de g, podemos escrever [Xi, Xj] =n∑k=1

akijXk, onde akij são

chamadas constantes de estrutura. O próximo resultado mostra queas álgebras de Lie são completamente determinadas pelas constantes deestruturas (a menos de isomorsmo).

Lema 1.2.1. Sejam g1 e g2 duas álgebras de Lie de dimensão nita. g1 éisomorfa g2 se, e só se, existem bases B1 e B2 de g1 e g2, respectivamente,que possuem as mesmas constantes de estrutura.

Demonstração. (⇒) Como g1 e g2 são isomorfas, possuem o mesmo númerode elementos na base e existe um isomorsmo ϕ : g1 → g2 que leva uma basede g1 em uma base de g2. Tome X1, ..., Xn e Y1, ..., Yn bases de g1 e g2,respectivamente, tais que ϕ(Xi) = Yi. Assim,

[Xi, Xj] =n∑k=1

akijXk e [Yi, Yj] =n∑k=1

bkijYk.

Deste modo,

[Yi, Yj] = [ϕ(Xi), ϕ(Xj)] = ϕ([Xi, Xj]) =

= ϕ

(n∑k=1

akijXk

)=

n∑k=1

akijϕ(Xk) =n∑k=1

akijYk.

Logo,∑n

k=1 bkijYk =

∑nk=1 a

kijYk. Sabemos que Y1, ..., Yn é base, portanto,

bkij = akij para todo k = 1, ..., n.

(⇐) Como g1 e g2 possuem as mesmas constantes de estrutura, as dimensõesde g1 e g2 são iguais. Sendo assim, considere X1, ..., Xn base de g1 eY1, ..., Yn base de g2. Dena ϕ : g1 → g2 tal que ϕ(Xi) = Yi e estenda porlinearidade para obtermos ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g1.

Denição 1.2.3. Uma representação de uma álgebra de Lie g sobre Ké um homomorsmo ρ : g → gl(V ), onde V é um espaço vetorial (sobre omesmo corpo) e dizemos que a dimensão da representação é a dimensão deV .

Exemplo 1.2.2. Vimos que ad(X) ∈ Der(g) ⊂ gl(g). Deste modo, a apli-cação ad: g→ Der(g) que leva X em ad(X) é uma representação de g (pela


identidade de Jacobi), chamada representação adjunta. Verica-se deforma imediata que Ker(ad)= z(g).

Denição 1.2.4. Seja g uma álgebra de Lie sobre K. Um espaço vetorial V ,sobre o mesmo corpo K, juntamente com uma operação g×V → V dada por(X, v) 7→ Xv, é chamado g-módulo se as condições abaixo são satisfeitaspara todo X, Y ∈ g; u, v ∈ V ; λ, µ ∈ K:

(M1) (λX + µY )v = λ(Xv) + µ(Y v).

(M2) X(λu+ µv) = λ(Xu) + µ(Xv).

(M3) [X, Y ]v = X(Y v)− Y (Xv).

Observação 1.2.2. Se ρ : g → gl(V ) é uma representação, a operação(X, v) 7→ Xv = ρ(X)(v) faz com que V seja um g-módulo. Reciprocamente,se V é um g-módulo, a aplicação ρ : g → gl(V ) denida por ρ(X)(v) = Xvé uma representação. Ou seja, as denições de representações e módulos sãoequivalentes.

Denição 1.2.5. Uma representação (ou módulo) ρ : g → gl(V ) é ditairredutível se V é não-nulo e não possui subespaços g-invariantes (submó-dulos) próprios não-triviais, ou seja, seW é subespaço de V tal que ρ(X)W ⊂W para todo X ∈ g, entãoW = V ouW = 0. Dizemos que a representação ρ(ou módulo V ) é completamente redutível se ρ é soma direta de represen-taçõesirredutíveis, ou seja, V se decompõe como soma direta V = V1⊕· · ·⊕Vn ondecada Vi é invariante pela representação e a restrição de ρ a Vi é irredutível.

Exemplo 1.2.3. Seja V um g-módulo. O espaço dual de V ∗ possui umaestrutura de g-módulo denida por

g× V ∗ → V ∗

(X, f) 7→ Xf

tal que (Xf)v = −f(Xv) para v ∈ V . De fato, as duas primeiras condiçõesda denição de módulo são vericadas facilmente. Para (M3),

([X, Y ]f)v = −f([X, Y ].v)

= −f(X(Y v)) + f(Y (Xv))

= (Xf)(Y v)− (Y f)(Xv)

= −(Y Xf)v + (XY f)v

= ((XY − Y X)f)v.

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes 7

Exemplo 1.2.4. Sejam V,W dois g-módulos. Então, o produto tensorialV ⊗W também possui uma estrutura de g-módulo via

g× V ⊗W → V ⊗W(X, v ⊗ w) 7→ X(v ⊗ w),

onde X(v ⊗ w) = (Xv)⊗ w + v ⊗ (Xw).

Sendo assim, considere V um espaço vetorial de dimensão nita e aaplicação

ϕ : V ∗ ⊗ V → End(V )f ⊗ v 7→ g

denida por g(w) = f(w)v para w ∈ V . Usando a base dual, concluimosque ϕ é sobrejetiva e como o domínio e contradomínio possuem a mesmadimensão, temos um isomorsmo. Vimos que V ∗ ⊗ V pode ser consideradoum g-módulo, logo End(V ) também o é.

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes

Denição 1.3.1. Seja g uma álgebra de Lie. A série derivada de g é umasérie descendente de ideias de g denida por:

g(0) = g e g(n) = [g(n−1), g(n−1)] para n > 1.

Observe que g(1) ⊇ · · · ⊇ g(i) ⊇ g(i+1) ⊇ · · · . Dizemos que g é solúvel seexiste um inteiro k tal que g(k) = 0.

Proposição 1.3.1. Seja g uma álgebra de Lie.

(a) Se g é solúvel, então todas as suas subálgebras e imagens homomorfasde g também o são.

(b) Se a é um ideal solúvel de g tal que g/a é solúvel, então g também ésolúvel.

(c) Se a e b são ideais solúveis de g, então a + b também o é.


Demonstração. (a): Se a é subálgebra de g, então a(i) ⊂ g(i) para todo i ese φ : g→ b é um homomorsmo sobrejetivo, podemos mostrar por induçãoem i que φ(g(i)) = b(i).

(b): Por hipótese, (g/a)(n) = 0 para algum inteiro n. Tome π : g → g/a aaplicação canônica denida por π(X) = X + a. Por (a), π(g(i)) = (g/a)(i) ⇒π(g(n)) = 0⇒ g(n) ⊂ a. Por outro lado, a(m) = 0 e

g(n+m) = (g(n))(m) =⊂ a(m) = 0.

(c): Pelo item (a), a/(a ∩ b) é solúvel e por (b), a + b também o é.

Lema 1.3.1. Toda álgebra de Lie g de dimensão nita possui um único idealmaximal solúvel.

Demonstração. Sabemos que a soma de todos os ideais solúveis de g ainda éideal solúvel e é maximal. Suponha que s1 e s2 são ideais solúveis maximais,então s1 + s2 ⊇ s1 e s1 + s2 ⊇ s2. Considerando a maximalidade de s1 e s2 e ofato de que soma de ideais solúveis ainda é solúvel temos s1 = s1+s2 = s2.

Denição 1.3.2. O ideal solúvel maximal de uma álgebra de Lie g é chamadoradical e é denotado por r(g).

Denição 1.3.3. Se r(g) = 0, dizemos que a álgebra de Lie g é semissim-ples.

Observação 1.3.1. Na Denição 1.1.5, exigimos que dim g > 1. Por isso,existe uma compatibilidade nas denições de álgebras de Lie simples e semis-simples no sentido de que toda álgebra de Lie simples é semissimples, pois,por denição, álgebras de Lie unidimensionais não são semissimples.

Note que gss = g/r(g) é semissimples. De fato, tome I = I + r(g) um

ideal solúvel de gss. Logo, I(n)

= 0 para algum inteiro n, isto é, I(n) ⊂ r(g) ecomo r(g) é solúvel (I(n))(k) = I(n+k) = 0. Daí, I ⊂ r(g) e consequentementeI = 0.

Denição 1.3.4. Seja g uma álgebra de Lie. A série central descendentede g é uma série descendente de ideias de g denida da forma:

g1 = g e gn = [g, gn−1] para n > 2.

Dizemos que g é nilpotente se existe um inteiro k tal que gk = 0. Tambémtemos que g1 ⊇ · · · ⊇ gi ⊇ gi+1 ⊇ · · · .


Equivalentemente, g é nilpotente se para algum número inteiro n e paratodo X0, . . . , Xn ∈ g, temos

[X0, [X1, [. . . , Xn] . . .]] = (ad(X0) ad(X1) · · · ad(Xn−1))(Xn) = 0.

Em particular, ad(X)n−1 = 0 para todo X ∈ g. Ou seja, se g é nilpo-tente, então ad(X)n = 0 para todo X ∈ g. Veremos adiante que a recíprocadeste fato é verdadeira (resultado conhecido como Teorema de Engel). Poroutro lado, observe que toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel, pois g(i) ⊆ gi

para todo i inteiro.

Proposição 1.3.2. Seja g uma álgebra de Lie.

(a) Se g é nilpotente, então todas as suas subálgebras e imagens homomor-fas de g são nilpotentes.

(b) Se g/z(g) é nilpotente, então g também o é.

(c) Se g é nilpotente e não-nulo, então z(g) 6= 0.

Demonstração. (a): Análago ao item (a) da Proposição 1.3.1.

(b): Por hipótese, (g/z(g))n = 0 para algum inteiro n, logo gn ⊂ z(g) egn+1 = [g, gn] ⊂ [g, z(g)] = 0.

(c): Como g é nilpotente, existe um inteiro n tal que gn = 0 e gn−1 6= 0. Daí,gn = [g, gn−1] = 0 o que implica gn−1 ⊂ z(g).

Exemplo 1.3.1. Se char K = 2, então g = sl(2, K) é nilpotente. Comefeito, considere a base de g:

X =

(0 10 0

), Y =

(0 01 0

), H =

(1 00 −1

)que satisfazem as relações [X, Y ] = H, [H,X] = 2X = 0 e [H,Y ] = −2Y = 0.Logo,

g2 = [g, g] = KH e g3 = [g, g2] = 0.

Exemplo 1.3.2. A álgebra de Lie 2-dimensional g com base X, Y tal que[X, Y ] = X é solúvel, mas não nilpotente. De fato, como gn = KX paratodo n ≥ 2, temos que g não é nilpotente. Por outro lado,

g(2) = g2 e g(3) = [g(2), g(2)] = 0⇒ g é solúvel.

1.4 Teoremas de Engel e Lie 10

1.4 Teoremas de Engel e Lie

Vimos na Subseção 1.3 que se g é nilpotente, então existe um inteiron tal que ad(X)n = 0 para todo X ∈ g. Agora, vamos mostrar a recíprocadesta armação, mas para isso, vamos utilizar o seguinte resultado:

Lema 1.4.1. Se X ∈ gl(V ) é nilpotente, então ad(X) é nilpotente.

Demonstração. Sabemos que ad(X)Y = XY − Y X. Dena os endomors-mos LX(Y ) = XY e RX(Y ) = Y X tais que ad(X)Y = LX(Y ) − RX(Y ) =(LX −RX)(Y ). Note que LX e RX comutam, pois em End(End(V )),

LX(RX(Y )) = X(Y X) = (XY )X = RX(LX(Y ))⇒ LX RX = RX LX .

Por hipótese, existe um inteiro n tal que Xn = 0 e daí, LnX(Y ) = XnY = 0e Rn

X(Y ) = Y Xn = 0. Como LX e RX comutam, vale:

(LX −RX)2n =2n∑i=0

(2n

i

)L2n−iX (−RX)i = 0.

Portanto, ad(X) é nilpotente.

Teorema 1.4.1 (Engel). Seja g uma subálgebra de gl(V ), onde V é umK-espaço vetorial de dimensão nita (não-nulo). Se g consiste de endomor-smos nilpotentes, então existe um vetor não-nulo v ∈ V tal que gv = 0, istoé, Xv = 0 para todo X ∈ g.

Demonstração. Veja [2] (página 12).

Antes de apresentarmos algumas consequências do Teorema de Engel,precisamos da seguinte denição: seja V um espaço vetorial de dimensãonita n. Dizemos que uma bandeira em V é uma cadeia de subespaços0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn = V , onde dim Vi = i e que X ∈ End(V ) estabilizaa bandeira se XVi ⊂ Vi para todo i.

Corolário 1.4.1. Sob as hipóteses do Teorema de Engel, existe uma bandeiraVi em V invariante sob g: XVi ⊂ Vi−1, ∀i = 1, . . . , n e ∀X ∈ g. Em outraspalavras, existe uma base de V tal que todo X ∈ g é representado por umamatriz estritamente triangular.


Corolário 1.4.2. Se ad(X) é nilpotente ∀X ∈ g, então g é nilpotente.



Lema 1.4.2. Seja a um ideal de uma álgebra de Lie g ⊂ gl(V ) e λ ∈ a∗ umfuncional linear. Se

W = v ∈ V | Xv = λ(X)v,∀X ∈ a,

então gW ⊂ W .


Teorema 1.4.2 (Lie). Seja K um corpo algebricamente fechado de carac-terística zero e g uma subálgebra solúvel de gl(V ), onde V é um K-espaçovetorial de dimensão nita (não-nulo). Então, existe um vetor não-nulov ∈ V tal que Xv = λ(X)v,∀X ∈ g com λ ∈ g∗, ou seja, existe um vetornão-nulo em V que é autovetor comum a todos os X ∈ g.

Ideia da demonstração. A demostração é feita por indução na dimensão deg, sendo que o caso dim g = 1 segue das hipóteses impostas a K. Usandoque g é solúvel, podemos encontrar um ideal h ⊂ g de codimensão 1. Porhipótese de indução, o conjunto W = v ∈ V | Xv = λ(X)v,∀X ∈ h énão-nulo e pelo Lema 1.4.2, gW ⊂ W . Como g = h + αZ (Z ∈ g\h) e Zpossui um autovetor v0 com autovalor µ0, podemos estender λ ao funcionalλ(Y + αZ) = λ(Y ) + αµ0 em g∗.

Corolário 1.4.3. Nas mesmas hipóteses do Teorema de Lie, g estabilizaalguma bandeira em V , ou seja, existe uma base de V tal que todo X ∈ g érepresentado por uma matriz triangular superior.


Proposição 1.4.1. Seja g ⊂ gl(V ) uma álgebra de Lie sobre C, onde g e Vsão ambos de dimensão nita não-nula. Assim, toda representação irredutívelde g é da forma V = V0 ⊗L, onde V0 é uma representação irredutível de gss(isto é, uma representação de g que é trivial em r(g)) e L é uma representação1-dimensional de g.

Demonstração. Como r(g) é solúvel, o Teorema de Lie garante que existeλ ∈ r(g)∗ tal que W = v ∈ V | Xv = λ(X)v, ∀X ∈ r(g) 6= 0. Pelo Lema1.4.2, gW ⊂ W o que implica V = W . Armamos que se X ∈ r(g) ∩ [g, g],então λ(X) = 0. Com efeito,


• Se X ∈ r(g), tr(X) = λ(X)(dim V ), pois o Teorema de Lie mostraque existe uma base de V tal que X é representado por uma matriztriangular superior e Xv = λ(X)v para todo X ∈ r(g).

• Se X ∈ [g, g], X possui traço nulo (pois o traço é linear e o traço docomutador de duas matrizes é sempre zero).

Portanto, caso X ∈ r(g) ∩ [g, g], obtemos que λ(X)(dim V = 0) econsequentemente λ(X) = 0. Agora, estenda λ a um funcional linear λ ∈ g∗

tal que λ([g, g]) = 0. Assim, λ induz um homomorsmo de álgebras de Lie

g/[g, g] → C = gl(1,C)

X + [g, g] 7→ λ(X)

que é uma representação 1-dimensional de g e está bem denida, pois λ([g, g]) =0. Se considerarmos C = L, a representação de g em L é

g× L → L

(X, v) 7→ λ(X)v.

Por outro lado, considere outra representação de g

g× (V ⊗C L∗) → V ⊗C L

∗

(X, v ⊗ ψ) 7→ Xv ⊗ ψ + v ⊗Xψ.

Armamos que esta representação é trivial em r(g). De fato, se v ∈ V ,X ∈ r(g) e w ∈ L, temos

(i): Xv ⊗ ψ(w) = λ(X)v ⊗ ψ(w) e

(ii): (Xψ)(w) = −ψ(Xw) = −ψ(λ(X)w) = −λ(X)ψ(w) ⇒ v ⊗ (Xψ)(w) =

−λ(X)v ⊗ ψ(w).

De (i) e (ii), segue a armação. Portanto, g × (V0 ⊗ L) → (V0 ⊗ L),onde V0 = V ⊗ L∗, é a representação de g procurada.

A partir desta proposição, percebemos a importância do estudo dasrepresentações irredutíveis das álgebras de Lie semissimples, pois toda repre-sentção de uma álgebra de Lie qualquer se decompõe em uma parte solúvel(L) e outra irredutível (V0). Note ainda que o Teorema de Lie nos diz umainformação importante a respeito das representações de g ⊂ gl(V ) quandog é solúvel e V tem dimensão nita: neste caso, V possui um subespaçog-invariante W = 〈v〉, ou de forma equivalente, toda representação irredutí-vel de g é 1-dimensional.

13

2 Álgebras de Lie Semissimples

Nesta seção, considere o corpo base K com característica zero, asálgebras de Lie e os espaços vetoriais de dimensão nita. Vimos que umaálgebra de Lie g é semisimples se seu radical r(g) é zero. Agora, nossoobjetivo é apresentar critérios para sabermos se uma determinada álgebra deLie é semissimples.

2.1 Critério de semissimplicidade

Denição 2.1.1. Seja g uma álgebra de Lie. A forma bilinear simétricaB : g× g→ K dada por B(X, Y ) = tr(ad(X) ad(Y )) é chamada forma deKilling.

Exemplo 2.1.1. Sabemos que se e1, . . . , en é uma base para g, então todaforma bilinear pode ser escrita como B(X, Y ) = X tBY , onde B é a matrizB(ei, ej)ij e X t é a transposta de X. Considere a álgebra de Lie sl(2,C).É fácil vericar que se tomarmos a base ordenada X,H, Y de sl(2,C)mencionada anteriormente, obtemos

ad(X) =

0 −2 00 0 10 0 0

, ad(H) =

2 0 00 0 00 0 −2

e ad(Y ) =

0 0 0−1 0 00 2 0

.

Logo, se e1 = X, e2 = H e e3 = Y , então B =

0 0 40 8 04 0 0

.

Proposição 2.1.1. A forma de Killing B possui as seguintes propriedades:

(a) B é associativa: B([X, Y ], Z) = B(X, [Y, Z]).

(b) B é invariante: B(D(X), Y ) +B(X,D(Y )) = 0 para toda derivação Dem g.

(c) Se θ ∈ Aut(g), então B(θ(X), θ(Y )) = B(X, Y ) para todo X, Y ∈ g.

Demonstração. Para (a), basta usar que o traço é cíclico, ou seja, tr(XY Z) =tr(ZXY ) = tr(Y ZX) para quaisquer endomorsmos X, Y, Z. Em (b),observe que para todo X ∈ g tem-se ad(D(X)) = D ad(X) − ad(X) D.Finalmente, em (c) note que ad(θ(X)) = θ ad(X) θ−1.

2.1 Critério de semissimplicidade 14

Proposição 2.1.2. Considere B a forma de Killing de g. Se a é um idealde g, então Ba = B|a×a, onde Ba é a forma de Killing de a.

Demonstração. Vamos precisar do seguinte resultado da Álgebra Linear: SeW ⊂ V é um subespaço, onde V tem dimensão nita e f : V → V umendomorsmo tal que f(V ) ⊂ W , então tr(f) = tr(f |W ) (para ver isto,estenda uma base de W a uma base de V e considere a matriz de f nestabase). Sendo assim, tome X, Y ∈ a. Logo, ad(X) ad(Y ) : g → g é umendomorsmo tal que (ad(X) ad(Y ))(g) ⊂ a e pelo resultado mencionadoacima,

tr(ad(X) ad(Y )) = tr((ad(X) ad(Y ))|a) = tr(ad(X)|a ad(Y )|a).

Denição 2.1.2. Denimos o radical de uma forma bilinear simétricaarbitrária f em g por Rad(f) = X ∈ g | f(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g e dizemosque a forma f é não-degenerada se Rad(f) = 0, ou de forma equivalente,det f 6= 0.

Note que Rad(B) é ideal de g, pois se X ∈ Rad(B) e Y ∈ g, en-tão B([X, Y ], Z) = B(X, [Y, Z]) = 0 pelo fato de que B é associativa eX ∈ Rad(B).

Observação 2.1.1. Uma álgebra de Lie g é semissimples se, e só se, g sópossui o ideal abeliano trivial 0. Tome g semissimples e a um ideal abelianode g (em particular, a é solúvel), logo a ⊆ r(g) = 0. Reciprocamente, suponhaque g não é semissimples (r = r(g) 6= 0). Como r é solúvel, existe um inteiron tal que r(n) = 0 e r(n−1) 6= 0. Logo, r(n−1) é um ideal abeliano não-nulo deg.

Teorema 2.1.1 (Critério de Cartan). Seja g subálgebra de gl(V ), onde Vtem dimensão nita. Então g é solúvel se, e só se, tr(XY ) = 0 para todoX ∈ [g, g] e Y ∈ g.

Demonstração. (⇒) Se g é solúvel, existe uma base para V tal que para todoelemento de g é representado por uma matriz triangular superior. Logo, seX ∈ [g, g], entãoX é uma matriz estritamente triangular e consequentementeXY também o é.(⇐) Veja [2] (página 20).

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpotentes 15

Corolário 2.1.1. Seja g uma álgebra de Lie tal que tr(ad(X) ad(Y )) = 0para todo X ∈ [g, g] e Y ∈ g. Então, g é solúvel.

Demonstração. Por hipótese, tr(ad(X) ad(Y )) = 0 para todo X ∈ [g, g]e Y ∈ g, ou seja, para todo ad(X) ∈ [ad(g),ad(g)] e ad(Y ) ∈ ad(g). PeloCritério de Cartan, ad(g) é solúvel. Por outro lado, g/z(g) ∼= ad(g) (Teo-rema do Isomorsmo) sendo ad(g) e z(g) solúveis. Portanto g é solúvel pelaProposição 1.3.1.

Teorema 2.1.2. Uma álgebra de Lie é semissimples se, e só se, sua formade Killing é não-degenerada.

Demonstração. (⇒) Suponha B degenerada, ou seja, existe X ∈ g não-nulotal que X ∈ R = Rad(B). Daí, R é um ideal não-nulo de g. Pela denição deR e pela Proposição 2.1.2, BR = B|R×R = 0. Assim, tr(ad(X) ad(Y )) = 0para todo X, Y ∈ R, em particular, para todo X ∈ [R,R] ⊂ R e Y ∈ R.Por outro lado, considere a representação adjunta ad|R : R → ad(R) ⊂gl(R) e pelo Teorema do Isomorsmo, R/z(R) ∼= ad(R). Ao mesmo tempo,ad(R) é solúvel (Critério de Cartan). Assim, pelo isomorsmo anterior e pelaProposição 1.3.1, R é solúvel (z(R) é solúvel) com R ⊂ r(g). Portanto, g nãoé semissimples.(⇐) Se g não é semissimples, g possui um ideal abeliano não-nulo a. TomeX ∈ a não-nulo e Y ∈ g, logo (ad(X) ad(Y ))2 = 0, isto é, ad(X) ad(Y )é um operador nilpotente e, consequentemente, possui uma representaçãomatricial de traço zero. Isto implica que B(X, Y ) = 0 para todo X ∈ a eY ∈ g (o traço independe da base). Portanto, a ⊂ R e B é degenerada.

Pelo teorema anterior, Rad(B) ⊂ r(g) e ca fácil vericar que sl(2,C)é semissimples, pois det B = −128.

Teorema 2.1.3. Se g é semissimples, então todas as derivações de g sãointernas.


2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpo-tentes

O Teorema de Weyl é uma ferramenta essencial para o estudo dasrepresentações das álgebras de Lie semissimples, como veremos adiante.


Teorema 2.2.1 (Weyl). Toda representação de uma álgebra de Lie semis-simples é completamente redutível.


Relembre que o Teorema da Decomposição de Jordan nos diz que todoendomorsmo X de um espaço vetorial complexo pode ser escrito de formaúnica como X = Xs + Xn, onde Xs é diagonalizável, Xn é nilpotente eXs, Xn comutam. Assim, para g ∈ gl(V ) (V espaço vetorial complexo) todoelemento X ∈ g pode ser escrito de forma única X = Xs + Xn. Em geral,Xs e Xn são elementos em gl(V ), mas não necessariamente em g.

Proposição 2.2.1. Se g ⊂ gl(V ) é semissimples, então Xs, Xn ∈ g.


Agora, se considerarmos g uma álgebra de Lie, X ∈ g e ρ : g→ gl(C, n)uma representação, queremos saber o comportamento de ρ(X) com respeitoa decomposição de Jordan. Por exemplo, se g = C, considere os casos

(i) na representação ρ1 : t 7→ (t)1×1 todo elemento é diagonalizável, isto é,ρ1(X)s = ρ1(X).

(ii) se ρ2 : t 7→(

0 t0 0

), então todo elemento é nilpotente (ρ2(X)s = 0).

(iii) e se ρ3 : t 7→(t t0 0

)=

(t 00 0

)+

(0 t0 0

), ρ3(X) não é diagonalizável

nem nilpotente; a parte diagonalizável e nilpotente de ρ3(X) não pertencema imagem ρ(g).

Mas, quando g é semissimples, a situação é bastante diferente comomostra o próximo teorema:

Teorema 2.2.2 (Preservação da decomposição de Jordan). Seja g uma álge-bra de Lie semissimples. Para todo X ∈ g, existem Xs, Xn ∈ g tais que paratoda representação ρ : g→ gl(V ) tem-se ρ(X)s = ρ(Xs) e ρ(X)n = ρ(Xn).


Considere a representação adjunta ad: g → gl(g) de uma álgebra deLie semissimples. Como Ker(ad)= z(g) é um ideal solúvel de g, obtemos queKer(ad) = z(g) ⊂ r(g) = 0, ou seja, ad é injetiva (este é um caso particular doTeorema de Ado que arma que toda álgebra de Lie é linear, ou seja, é uma


subálgebra de gl(V ) para algum espaço vetorial V , ou de modo equivalente,toda álgebra de Lie possui uma representação injetiva). Tal teorema podeser encontrado em [1] (página 499). Pelo teorema anterior, existem Xs e Xn

em g tais quead(X)s = ad(Xs) e ad(X)n = ad(Xn).

Usando que ad(X) = ad(Xn) + ad(Xs), ad([Xn, Xs]) = [ad(Xn), ad(Xs)] = 0e ad é injetiva, concluímos que X = Xn +Xs e [Xs, Xn] = 0.

Denição 2.2.1. Seja g uma álgebra de Lie semissimples e X ∈ g.

(a) X é chamado nilpotente se o endomorsmo ad(X) de g é nilpotente;

(b) X é chamado semissimples se o endomorsmo ad(X) de g é semissim-ples (diagonalizável).

Lema 2.2.1 (Schur). Seja ρ : g → gl(V ) uma representação irredutível deg. Então, os únicos endomorsmos de V que comutam com ρ(X) (X ∈ g)são os escalares.


18

3 Subálgebras de Cartan

Nesta seção, considere as álgebras de Lie de dimensão nita sobre C.

3.1 Denição das subálgebras de Cartan

Denição 3.1.1. Uma subálgebra h de g é dita subálgebra de Cartan seh é nilpotente e ng(h) = h.

Veremos adiante que toda álgebra de Lie possui subálgebra de Cartan.

Exemplo 3.1.1. Se g = sl(2,C) e h =

(a 00 −a

)| a ∈ C

, então h é

subálgebra de Cartan gerada por H = diag(1,−1). De fato, como [h, h] = 0,h é abeliana e nilpotente. Agora, tome A ∈ ng(h) e assim,

A ∈ ng(h)⇔ [H,A] = [H, aX + bH + cY ] = 2aX − 2cY ∈ h⇔ a = c = 0.

Portanto, ng(h) = h.

Exemplo 3.1.2. Se g é nilpotente e h é subálgebra de Cartan, então h = g.Com efeito, tome h & g uma subálgebra e considere os endomorsmos

ad(h) : g → g, ρ(h) : g/h → g/hX + h 7→ ad(h)X + h

nilpotentes, pois h é nilpotente. Note que o segundo endomorsmo está bemdenido pelo fato de que h é subálgebra. Pelo Teorema de Engel, existev ∈ g/h não-nulo (v /∈ h) tal que ρ(h)v = 0, isto é, [h, v] ⊂ h (v ∈ ng(h)).Portanto, ng(h) 6= h.

3.2 Existência das subálgebras de Cartan

Seja g uma álgebra de Lie e X ∈ g. O polinômio característico dead(X) é denotado

PX(T ) = det (T− ad(X)) =n∑i=0

ai(X)T i

onde n = dim g e cada ai(·) é um polinômio de grau n− i.

3.2 Existência das subálgebras de Cartan 19

Denição 3.2.1. O posto de g, denotado rk(g), é o menor inteiro l tal queal não é identicamente nulo. Um elemento Y ∈ g é dito regular se al(Y ) 6= 0.

Sendo assim, observe que ad(X)X = 0, isto é, 0 é autovalor de ad(X)o que implica PX(0) = 0 e a0(X) = 0. Daí, rk(g) ≥ 1. Por outro lado, comoan(X) = 1, devemos ter rk(g) ≤ n. Portanto, 1 ≤ rk(g) ≤ n. Quando gé nilpotente PX(T ) = (−1)nT n e seu posto é n. Reciprocamente, se g temposto n = dim g, então g é nilpotente.

Exemplo 3.2.1. Seja g = sl(2,C), X, Y,H a base ordenada usual e Z =aX + bH + cY em g. Logo,

ad(Z) =

2b −2a 0−c 0 a0 2c −2b

e PZ(T ) = T 3 − 4(b2 + ac)T . Portanto, rk(g) = 1 e Z é regular se, e só se,b2 + ac 6= 0. Em particular, H é regular e X, Y não são.

Exemplo 3.2.2. Se g é nilpotente, todos os seus elementos são regulares.

Exemplo 3.2.3. Seja g a álgebra de Lie 2-dimensional com base ordenadaX, Y tal que [X, Y ] = X. Se Z = aX + bY , então

ad(Z) =

(−b a0 0

),

PZ(T ) = T 2+bT e rk(g) = 1. O conjunto dos elementos que não são regularescoincide com a álgebra derivada.

Proposição 3.2.1. Utilizando a Topologia de Zariski temos que o conjuntodos elementos regulares de uma álgebra de Lie g é conexo, denso e aberto.


Agora, seja g uma álgebra de Lie, X ∈ g e λ ∈ C. Denote o nilespaçode ad(X)− λIg por

gλX = Y ∈ g | (ad(X)− λIg)nY = 0 para algum inteiro n > 0,

onde Ig é a identidade em g. Em particular, g0X é o nilespaço de ad(X) e sua

dimensão é a multiplicidade do 0 como autovalor de ad(X).


Lema 3.2.1. Seja n ≥ 0; X, Y, Z ∈ g e λ, µ ∈ C. A fórmula é válida:

(ad(X)− (λ+ µ)Ig)n[Y, Z] =

n∑i=1

(n

i

)[(ad(X)− λIg)iY, (ad((X)− µIg)n−iZ]

Demonstração. Basta usar indução sobre o número n.

Proposição 3.2.2. Seja X ∈ g, então:

(a) g é soma direta dos nilespaços gλX .

(b) [gλX , gµX ] ⊂ gλ+µ

X para λ, µ ∈ C.

(c) g0X é subálgebra de g.

Demonstração. Para (a), basta aplicar o seguinte resultado ao endomorsmoad(X):

Sejam V um espaço vetorial n-dimensional complexo e A : V → V umoperador linear. Considere P (t) um polinômio tal que P (A) = 0 e P (t) =(t−α1)m1 · · · (t−αr)mr sua fatoração, onde α1, . . . , αr são suas raízes distintas.Então, V é soma direta dos subespaços Wi = Ker(A−αiI)mi com 1 ≤ i ≤ r.

A armação (b) segue do lema anterior e se tomarmos λ = µ = 0 em(b) obtemos (c).

Lema 3.2.2. Se X ∈ g, então dim g0X ≥ rk(g). Mas, se X é regular obtemos

que dim g0X = rk(g).

Demonstração. Suponha X ∈ g qualquer. Sabemos que o polinômio carac-terístico PX de ad(X) : g→ g é o produto dos polinômios característicos gλXdas restrições de ad(X) em gλX denotados P λ

X . Temos que P 0X = T dim g0X , pois

ad(X) |g0X é nilpotente e P λX(0) 6= 0 para λ 6= 0. Portanto, PX(T ) = P 0

X =

T dim g0XQ(T ) com Q(0) 6= 0. Em particular, adim g0X(X) 6= 0 e ak(X) = 0

para k < dim g0X . Por denição, dim g0

X ≥ rk(g). Caso X seja regular,ark(g)(X) 6= 0 e ak(X) = 0 para k < rk(g) o que implica dim g0

X = rk(g).

Teorema 3.2.1. Se X é regular, g0X é subálgebra de Cartan.

Demonstração. (i) g0X é nilpotente: é suciente mostrar que se Y ∈ g0

X ,então ad(Y )|g0X é nilpotente, pois o Teorema de Engel nos garante que g0

X é

nilpotente. Sendo assim, considere as aplicações adI(Y ) = ad(Y )|g0X e


adII(Y ) : g/g0X → g/g0

X

Z + g0X 7→ ad(Y )Z + g0

X

sendo Y ∈ g0X (note que a segunda aplicação está bem denida). Agora,

dena os conjuntos:

U = G ∈ g0X | adI(G) não é nilpotente e

V = G ∈ g0X | adII(G) é invertível.

Note que g0X = Cm para algum m, pois g0

X é subespaço de g que éum espaço vetorial de dimensão nita sobre C. Assim, U e V são abertosde g0

X na topologia de Zariski, visto que os elementos de g0X\U satisfazem

(adI)k(G) = 0 para algum k e os de g0X\V det(adII(G)) = 0. Armamos

que V 6= ∅ (X ∈ V ). Com efeito, para mostrar que X é um elementode V , precisamos mostrar que adII(X) é invertível, ou de forma equivalente,adII(X) não admite autovalor zero. Caso contrário, adII(X)Z = 0 para Z 6= 0(Z /∈ g0

X) e

adII(X)Z = ad(X)Z + g0X = g0

X ⇒ ad(X)Z ∈ g0X ⇒ ad(X)n ad(X)Z = 0

para algum inteiro n > 0. Deste modo, ad(X)n+1Z = 0, isto é, Z ∈ g0X que é

absurdo. O próximo passo é mostrar que U = ∅. Inicialmente, temos que g0X

é irredutível, pois o ideal I(g0X) = 〈0〉 é primo e consequentemente, quaisquer

dois abertos não-vazios de g0X se intersectam. Suponha que U 6= ∅. Logo,

U ∩ V 6= ∅ e tome B ∈ U ∩ V . Diante disso,

• B ∈ U ⇒ ad(B)|g0X possui 0 como autovalor com multiplicidade estri-tamente menor que dim g0

X = rk(g).

• B ∈ V ⇒ ad(B)|g/g0X não admite autovalor zero.

Isto nos diz que a multiplicidade de 0 em ad(B) é estritamente menor quedim g0

X , daí, dim g0B < dim g0

X , absurdo pelo lema anterior.

(ii) ng(g0X) = g0

X : seja Z ∈ ng(g0X), logo ad(Z)g0

X ⊂ g0X , em particular,

[Z,X] ∈ g0X . Pela denição de g0

X , existe n > 0 tal que

0 = ad(X)n[Z,X] = −ad(X)n[X,Z] = −ad(X)n+1Z

o que implica Z ∈ g0X .

Teorema 3.2.2. Toda subálgebra de Cartan de g é da forma g0X para algum

elemento regular X ∈ g.


3.3 g semissimples 22

3.3 g semissimples

Nesta subseção, considere g uma álgebra de Lie semissimples. Nestecaso, as suas subálgebras de Cartan possuem uma forma mais simples compropriedades especícas como mostra o próximo teorema.

Teorema 3.3.1. Seja h uma subálgebra de Cartan de g. Então:

(a) A restrição da forma de Killing de g em h é não-degenerada.

(b) h é abeliana.

(c) h é seu próprio centralizador.

(d) Todo elemento de h é semissimples.

Demonstração. (a): Sabemos que existe um elemento regular X ∈ g tal queh = g0

X . Considere a decomposição com respeito a X ∈ g:

g = g0X

⊕∑λ 6=0

gλX .

Tome B a forma de Killing de g, Y ∈ gλX e Z ∈ gµX . Logo, (ad(X)−λIg)nY =0 e (ad(X)− µIg)mZ = 0 para n,m inteiros. Podemos mostrar por induçãoem n+m que

λB(Y, Z) = B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X,Z]) = −µB(Y, Z),

ou seja, gλX e gµX são ortogonais em relação a forma de Killing de g (que énão-degenerada) quando λ + µ 6= 0. Daí, g0

X é ortogonal a gλX para todoλ 6= 0. Portanto, temos a decomposição de g em subespaços mutuamenteortogonais:

g = g0X

⊕∑λ 6=0

(gλX ⊕ g−λX ).

Neste caso, a restrição de B a cada um desses subespaços é não-degeberada.

(b): Sabemos que h é nilpotente, em particular, solúvel. Considere a re-presentação ad: h → gl(g) e pelo Teorema do Isomorsmo, ad(h) é solúvel(o quociente de uma álgebra solúvel é solúvel). Usando o Critério de Car-tan, obtemos que tr(XY ) = 0 para todo X ∈ [ad(h),ad(h)] = ad([h, h]) eY ∈ ad(h). Em outras palavras, h é ortogonal a [h, h], pois B([h, h], h) = 0.Mas, pelo item (a), B|h é não-degenerada o que implica [h, h] = 0.

3.3 g semissimples 23

(c): Temos Cg(h) ⊆ ng(h) ⊆ h. Por outro lado, como h é abeliana h ⊆ Cg(h).

(d): Tome X ∈ h e X = N + S sua decomposição de Jordan. ConsidereY ∈ h, logo Y comuta com X (h é abeliano) e também com N e S. Istosignica que N,S ∈ Cg(h) = h. Como ad(N) é nilpotente e Y comuta com N ,ad(Y ) ad(N) também é nilpotente, ou seja, B(Y,N) = 0 e N é ortogonala todo elemento de h. Pela não-degenerescência de B|h e pelo fato de queN ∈ h, temos que N = 0.

Corolário 3.3.1. A subálgebra de Cartan h é a subálgebra maximal abelianade g.

Demonstração. Segue de (c).

Corolário 3.3.2. Todo elemento regular em g é semissimples.

Demonstração. Se X ∈ g é regular, g0X = h é subálgebra de Cartan com

X ∈ h. Logo, o resultado segue de (d).

24

4 Representações de sl(2,C)

Nesta seção, usaremos a notação sl2 para a álgebra de Lie sl(2,C)composta pelas matrizes quadradas de ordem 2 e traço nulo. Assim,

X =

(0 10 0

), Y =

(0 01 0

), H =

(1 00 −1

)formam uma base para sl2 de modo que [X, Y ] = H, [H,X] = 2X e[H,Y ] = −2Y . Por outro lado, o endomorsmo ad(H) possui 3 autovalores:2, 0,−2 e, portanto, é diagonalizável. Vericamos na Seção 3 que h = CH éum subálgebra de Cartan de sl2 e nota-se facilmente que os elementos X, Ysão nilpotentes. A subálgebra b gerada por H e X é solúvel e chamadasubálgebra de Borel de sl2.

4.1 sl2-módulos, pesos e elementos primitivos

Seja V um sl2-módulo (não necessariamente de dimensão nita) eλ ∈ C. Denimos V λ = v ∈ V | Hv = λv e dizemos que um elemento emV λ tem peso λ.

Proposição 4.1.1. A soma∑

λ∈C Vλ é direta e se v tem peso λ, então Xv

tem peso λ+ 2 e Y v tem peso λ− 2.

Demonstração. Para a primeira armação, basta observar que autovetorescorrespondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Poroutro lado, tome v ∈ V λ. Logo,

H(Xv) = [H,X]v +X(Hv) = 2Xv + λXv = (λ+ 2)Xv.

De modo análogo, mostramos que H(Y v) = (λ− 2)Y v.

Observe que de forma indutiva, obtemos

H(Xkv) = (λ+ 2k)Xkv e H(Y kv) = (λ− 2k)Y kv.

Caso V possua dimensão nita, V =∑

λ∈C Vλ, pois H é semissimples

e todo endomorsmo ρ(H) ∈ gl(V ) também o é.

Denição 4.1.1. Seja V um sl2-módulo e λ ∈ C. Um elemento e ∈ V échamado primitivo de peso λ se é não-nulo, Xe = 0 e He = λe.

4.1 sl2-módulos, pesos e elementos primitivos 25

Proposição 4.1.2. Para que um elemento não-nulo e seja primitivo, é ne-cessário e suciente que E = Ce é estável sob a subálgebra de Borel b.

Demonstração. (⇒) Trivial.(⇐) Como E é estável sob a subálgebra de Borel b, temos que Xe = ae eHe = be com a, b ∈ C. Logo,

2ae = 2Xe = [H,X]e = H(Xe)−X(He) = aHe− bXe = 0⇒ a = 0.

Proposição 4.1.3. Todo sl2-módulo V de dimensão nita contém um ele-mento primitivo.

Demonstração. Como b é solúvel, o Teorema de Lie garante que b possuium autovetor não-nulo v comum para todos os seus elementos. Portanto,E = Ce é estável sob b e o resultado segue da proposição anterior.

Teorema 4.1.1. Seja V um sl2-módulo e e ∈ V um elemento primitivo depeso λ. Tome en = Y ne/n! para n ≥ 0 e e−1 = 0. Então, para todo n ≥ 0temos

(i) Hen = (λ− 2n)en.

(ii) Y en = (n+ 1)en+1.

(iii) Xen = (λ− n+ 1)en−1.

Demonstração. Para (i), basta usar a observação feita logo após a Proposição4.1.1. Para (ii), faça:

Y en = Y

(Y ne

n!

)=

1

n!

(Y n+1e

)=

1

n!(n+ 1)!en+1 = (n+ 1)en+1.

Agora, vamos mostrar (iii) usando indução sobre n: se n = 0, então Xe0 =(λ + 1)e−1 = 0 (usando a fórmula) e como e é elemento primitivo, Xe0 =Xe = 0. Suponha que o resultado seja válido para n−1 e tome n > 0. Logo,

nXen = XY en−1 = [X, Y ]en−1 + Y Xen−1

= Hen−1 + (λ− n+ 2)Y en−2

= (λ− 2n+ 2 + (λ− n+ 2)(n− 1))en−1

= n(λ− n+ 1)en−1.

Dividindo os dois lados por n, obtemos o resultado.

4.2 Representações irredutíveis 26

Corolário 4.1.1. Considere V um sl2-módulo qualquer. Somente um dosdois casos acontece:

(a) os elementos en são linearmente independentes para n > 0; ou

(b) o peso λ de e é um número inteiro m > 0, os elementos e0, . . . , em sãolinearmente independentes e ei = 0 para i > m.

Demonstração. Uma vez que os elementos ei possuem pesos distintos, aquelesque são não-nulos são linearmente independentes. Se todos são não-nulos,temos o caso (a). Caso contrário, existe um inteiro m > 0 tal que e0, . . . , emsão linearmente independentes e ei = 0 para i > m. Aplicando a fórmula (iii)para n = m + 1, obtemos 0 = Xem+1 = (λ −m)em. Como em 6= 0, λ = me isto mostra que o peso λ é um número inteiro não-negativo, resultando(b).

Corolário 4.1.2. Se V possui dimensão nita, estamos no caso (b) do co-rolário anterior. Assim, o subespaço vetorial W de V com base e0, . . . , em éum sl2-submódulo irredutível.

Demonstração. Claramente o caso (a) não acontece. Por outro lado, as fór-mulas (i), (ii) e (iii) mostram que W é um g-submódulo de V gerado por e.De (i), os autovalores deH emW sãom,m−2,m−4 . . . ,−m+4,−m+2,−me possuem multiplicidade um. TomeW ′ um subespaço não-nulo deW estávelsob sl2 (em particular, estável sob X,H e Y ), logo W ′ contém um elementonão-nulo que é combinação linear dos ei. Aplicando Y (ouX) a este elemento,obtemos que ej ∈ W ′ para algum 1 ≤ j ≤ m; a fórmula (iii) nos diz que W ′

contém ej−1, . . . , e0 = e e a fórmula (ii) mostra que ej+1, ej+2, . . . pertencema W ′. Portanto, W ′ = W e W é um sl2-submódulo irredutível.

4.2 Representações irredutíveis

Seja m > 0 inteiro e Wm um espaço vetorial de dimensão m + 1 combase e0, . . . , em. Dena os endomorsmos X, Y,H de Wm pelas fórmulas(convencionamos e−1 = em+1 = 0):

(i) Hen = (m− 2n)en.

(ii) Y en = (n+ 1)en+1.

(iii) Xen = (λ− n+ 1)en−1.


Assim, os endomorsmosX, Y,H fazem deWm um sl2-módulo. De fato,os itens (M1) e (M2) da denição de módulo são triviais. Resta mostrar oitem (M3):

[X, Y ]en = Hen

= (m− 2n)en

= X(Y en)− Y (Xen).

De modo análogo, [H,X]en = H(Xen)−X(Hen) = 2Xen e [H,Y ]en =H(Y en)− Y (Hen) = −2Y en.

Teorema 4.2.1. Wm é um sl2-módulo irredutível e todo sl2-módulo irredu-tível de dimensão m+ 1 é isomorfo a Wm.

Demonstração. Observe que e0 é elemento primitivo de pesom eWm é geradopelas imagens de e0. Pelo Corolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1, Wm é um sl2-módulo irredutível. Por outro lado, considere V um sl2-módulo irredutívelde dimensão m + 1. Vimos que V possui um elemento primitivo e de pesom′ e que o sl2-submódulo W de V gerado por e tem dimensão m′+ 1. Logo,V = W , m = m′ e pelas fórmulas do Teorema 4.1.1, V ∼= Wm.

Teorema 4.2.2. Todo sl2-módulo de dimensão nita é isomorfo a uma somadireta dos módulos Wm.

Demonstração. Pelo Teorema de Weyl, todo módulo é soma direta de sub-módulos irredutíveis, mas vimos que estes são isomorfos a Wm para algumm.

Teorema 4.2.3. Seja V um sl2-módulo de dimensão nita. Então:

(a) O endomorsmo de V induzido por H é diagonalizável e seus auto-valores são inteiros. Se ±n (com n ≥ 0) é autovalor de H, entãon− 2, n− 4, . . . ,−n+ 2,−n também são;

(b) Se n ≥ 0 é um inteiro, os mapas lineares

Y n : V n → V −n e Xn : V −n → V n

são isomorsmos. Em particular, V n e V −n têm a mesma dimensão.

Demonstração. O resultado é válido se V = Wm para algum m. Assim, asarmações também serão válidas para V =

⊕Wm.


Assim, temos as ferramentas necessárias para identicar algumas re-presentações (módulos) de sl2. Seja V = C o sl2-módulo de dimensão 1, logoV = W0, onde H age trivialmente. Se V = C2 e x, y é a base usual deC2 temos Hx = x, Hy = −y e V = Cx ⊕ Cy = V 1 ⊕ V −1 = W1 (chamadomódulo fundamental). Agora, considere V o sl2-módulo fundamental com amesma base descrita anteriormente e

A = Sym2(V ) =V ⊗ V

〈x⊗ y − y ⊗ x〉·

Então, A é um sl2-módulo com base x ⊗ x, x ⊗ y, y ⊗ y, chamadasegunda potência simétrica. Considerando xy a imagem de x⊗y em Sym2(V )temos que

Hx2 = (Hx)x+ x(Hx) = x2 + x2 = 2x2,

H(xy) = (Hx)y + x(Hy) = xy − xy = 0,

Hy2 = (Hy)y + y(Hy) = −y2 − y2 = −2y2,

ou seja, A = C(x⊗x)⊕C(x⊗y)⊕C(y⊗y) = V 2⊕V 0⊕V −2 = W2 (adjunta).

Observação 4.2.1. Podemos generalizar este argumento do seguinte modo:tome Symr(V ), onde V o sl2-módulo fundamental com a base usual. Assim,xr, xr−1y, . . . , xyr−1, yr é um base para Symr(V ) e se k = 0, . . . , r:

H(xr−kyk) = H(xr−k)yk + xr−kH(yk)

= (r − k)xr−k−1H(x)yk + xr−kkyk−1H(y)

= (r − k)xr−kyk − kxr−kyk

= (r − 2k)xr−kyk.

Isto nos mostra que Symr(V ) possui os autovalores r, r−2, . . . ,−r+2,−r demultiplicidade 1, ou seja, Symr(V ) é a representação irredutível de dimensãor + 1.

Observação 4.2.2. Se v tem autovalor α e w tem autovalor β, então v⊗wtem autovalor α + β. De fato,

H(v ⊗ w) = Hv ⊗ w + v ⊗Hw = αv ⊗ w + v ⊗ βw = (α + β)v ⊗ w.

Exemplo 4.2.1. Seja V o sl2-módulo fundamental com a base usual. Então,V ⊗ V é um sl2-módulo com base x⊗ x, x⊗ y, y ⊗ x, y ⊗ y. Como x temautovalor 1 e y tem autovalor −1, os autovalores de V ⊗ V são: 2, 0, 0,−2.Portanto, V ⊗ V = Sym2(V ) ⊕ Sym0(V ). Neste caso,

∧2(V ) = Sym0(V ) eassim V ⊗ V = Sym2(V ) ⊕

∧2(V ). De modo geral, se V é um K-espaçovetorial de dimensão nita e K é um corpo de característica zero, então


V ⊗K V = Sym2(V )⊕∧2(V ).

Exemplo 4.2.2. Sym2(V ) ⊗ Sym3(V ) = Sym5(V ) ⊕ Sym3(V ) ⊕ Sym1(V ),onde V o sl2-módulo fundamental. De fato, Sym2(V ) tem autovalores 2, 0,−2e Sym3(V ) tem os autovalores 3, 1,−1,−3, logo as possibilidades dos auto-valores do produto tensorial das potências simétricas são: 5, 3 (com multi-plicidade 2), 1 (com multiplicidade 3),−1 (com multiplicidade 3),−3 (commultiplicidade 2),−5. Portanto, temos a decomposição acima.

30

5 Sistema de raízes

Nesta seção, o corpo base é o corpo dos números reais R e os espaçosvetoriais considerados são todos de dimensão nita.

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes

Denição 5.1.1. Seja V um espaço vetorial e α ∈ V um vetor não-nulo.Uma simetria com o vetor α é um automorsmo s de V tal que

(i) s(α) = −α.

(ii) O conjunto H = β ∈ V | s(β) = β é um hiperplano de V .

No que segue, usaremos a notação 〈f, v〉 = f(v) para f ∈ V ∗ e v ∈ V .

Lema 5.1.1. Seja s uma simetria com o vetor α. Então:

(a) O espaço H é complemento para Rα em V .

(b) s tem ordem 2.

(c) Existe um único α∗ ∈ V ∗ tal que 〈α∗, H〉 = 0 e 〈α∗, α〉 = 2. Tem-ses(v) = v − 〈α∗, v〉α.

(d) Se α ∈ V e α∗ ∈ V ∗ são tais que 〈α∗, α〉 = 2, então a aplicação denidapor r(v) = v − 〈α∗, v〉α é uma simetria no vetor α.

Demonstração. (a): Segue do fato de que H tem codimensão 1 e não contémα. Assim, V = H ⊕ Rα.

(b): Basta observar que a ordem de s em H é 1 e em Rα é 2. Usando adecomposição acima de V , o resultado é válido.

(c): A existência é clara e a unicidade segue do fato de que H e Rα estãoem soma direta. Tome v ∈ V , logo v = h + aα com h ∈ H e a ∈ R. Daí,s(v) = h− aα e

v − 〈α∗, v〉α = h+ aα− 〈α∗, h+ aα〉α= h+ aα− 〈α∗, h〉α− a〈α∗, α〉α= h+ aα− 2aα

= h− aα.

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes 31

(d): r(α) = α − 〈α∗, α〉α = α − 2α = −α. Por outro lado, se H = Ker(α∗),então H é um hiperplano e r(h) = h, ∀h ∈ H.

Assim, se s é uma simetria, podemos escrever s = 1− α∗ ⊗ α usando aidenticação de End(V ) com V ∗ ⊗ V .

Denição 5.1.2. Um subconjunto R do espaço vetorial V é chamado sis-tema de raízes em V se as condições são satisfeitas:

(S1) R é nito, gera V e não contém 0.

(S2) Para cada α ∈ R, existe uma única simetria sα com o vetor α que deixaR invariante.

(S3) Para cada α, β ∈ R, sα(β)− β é um inteiro múltiplo de α.

Observação 5.1.1. Se α ∈ R, então −α = sα(α) ∈ R por (S2).

Observação 5.1.2. A condição (S3) é equivalente a: para todo α, β ∈ R,temos que 〈α∗, β〉 ∈ Z.

Denição 5.1.3. A dimensão de V é dita o posto do sistema de raízes R,os elementos α ∈ R são chamados raízes de V e os elementos α∗ ∈ V ∗ sãochamados raízes inversas de α.

Denição 5.1.4. Um sistema de raízes R é chamado reduzido se para cadaα ∈ R, α e −α são as únicas raízes proporcionais a α em R.

Considere R um sistema de raízes não reduzido e α ∈ R, então tα ∈ Rpara 0 < t < 1 (podemos fazer esta escolha pelo fato de que t ≥ 1 ou0 < t < 1, caso tα = β ∈ R com t ≥ 1 obtemos que α = 1

tβ ∈ R e portanto

tome β). Aplicando (S3) em β = tα:

〈α∗, β〉 ∈ Z⇒ 〈α∗, tα〉 = t〈α∗, α〉 = 2t ∈ Z⇒ t = 12.

Ou seja, as raízes proporcionais a α em R são: −α, −α/2, α/2, α (ou−2α, −α, α, 2α).

Denição 5.1.5. Seja R um sistema de raízes em um espaço vetorial V . Ogrupo de Weyl de R é o subgrupo de

GL(V ) = g : V → V | g é linear e bijetiva

gerado pelas simetrias sα com α ∈ R e o denotamos por W ou W(R) paraespecicarmos o sistema de raízes caso necessário. Segue que W é nito.

5.2 Formas quadráticas invariantes 32

Exemplo 5.1.1. Veremos adiante que todo sistemas de raízes reduzidos deposto 2 é isomorfo a um dos listados abaixo (nesta ordem, são chamados dotipo A1 × A1, A2, B2 e G2):

5.2 Formas quadráticas invariantes

Denição 5.2.1. Um espaço euclidiano E sobre F (onde F é R ou C) é umespaço vetorial sobre F juntamente com um produto interno em E, ou seja,uma aplicação

E × E → F(x, y) 7→ 〈x, y〉

que fatisfaz as propriedades para x, y, z ∈ E e λ ∈ F:

(a) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ou 〈x, y〉 = 〈y, x〉 quando F = C (a barra denota aconjugação complexa).

(b) 〈λx, y〉 = λ〈y, x〉.

(c) 〈x+ z, y〉 = 〈x, y〉+ 〈z, y〉.

(d) 〈x, x〉 > 0 se x 6= 0.

Denição 5.2.2. Dizemos que uma forma bilinear simétrica g de V épositiva denida se para todo α ∈ V não-nulo, tem-se g(α, α) > 0.

Proposição 5.2.1. Seja R um sistema de raízes de V . Então, existe umaforma bilinear, simétrica e positiva denida ( , ) em V que é invariante sobo grupo de Weyl W de R, isto é, (w(x), w(y)) = (x, y) para todo w ∈W.

Demonstração. Se B(x, y) é uma forma bilinear, simétrica, positiva denidaem V , então a forma

5.3 Posição relativa entre duas raízes 33

(x, y) =∑w∈W

B(w(x), w(y))

é positiva denida e invariante sob o grupo de Weyl (segue do fato de queW é nito). Fixando esta forma ( , ), V possui uma estrutura de espaçoeuclidiano sobre R.

Observação 5.2.1. Seja α ∈ R não-nulo e v ∈ V . Então,

sα(v) = v − 2(α, v)

(α, α)α

ou equivalentemente, usando a identicação de V com V ∗ via ( , ), temosa igualdade α′ = 2α

(α,α)(α∗ ∈ V ∗ 7→ α′ ∈ V ). De fato, note que podemos

escrever V = Rα ⊕ (Rα)⊥, onde (Rα)⊥ é o complemento ortogonal de Rαcom respeito a forma ( , ). Sendo assim, considere v = aα + v0 em V comv0 ∈ 〈α〉⊥. Inicialmente, observe que

0 = (v0, α) = (sα(v0), sα(α)) = (v0 − 〈α∗, v0〉α,−α) = 〈α∗, v0〉(α, α)

com α 6= 0, o que implica 〈α∗, v0〉 = 0 (pois a forma é positiva denida) econsequentemente, sα(v0) = v0. Daí, sα(v) = −aα + v0 e

v − 2(α, v)

(α, α)α = v − 2

(α, aα + v0)

(α, α)α

= v − 2a(α, α)

(α, α)α− 2

(α, v0)

(α, α)α

= v − 2aα

= sα(v).

Isto signica que para v ∈ V ,

(α′, v) = 〈α∗, v〉 = 2(α, v)

(α, α)=

(2α

(α, α), v

)⇒ α′ =

2α

(α, α)·

5.3 Posição relativa entre duas raízes

Se α, β são duas raízes, denotaremos n(β, α) = 〈α∗, β〉 = 2 (α,β)(α,α)

∈ Z,|α| =

√(α, α) e φ o ângulo entre α e β com respeito a estrutura de espaço

euclidiano de V . Então, (α, β) = |α||β| cosφ e n(β, α) = 2 |β||α| cosφ. Daí,

n(β, α)n(α, β) = 4 cos2 φ. (1)

5.4 Bases 34

Como n(β, α) e n(α, β) são inteiros e 0 ≤ cos2 φ ≤ 1, a equação (1)mostra que n(β, α)n(α, β) = 0, 1, 2, 3, 4 sendo que o último caso acontecequando α e β são proporcionais (ou seja, α = ±β). Agora, se α e β são duasraízes não proporcionais de forma que |α| ≤ |β|, então

|n(β, α)| = 2|(α, β)|(α, α)

≥ 2|(β, α)|(β, β)

= |n(α, β)|

e temos as 7 possibilidades listadas na tabela abaixo:

Tabela 1:

n(α, β) n(β, α) θ |β|/|α|0 0 π/2 indeterminado1 1 π/3 1−1 −1 2π/3 1

1 2 π/4 2−1 −2 3π/4 2

1 3 π/6 3−1 −3 5π/6 3

Agora, dados α e β em R, queremos saber se α + β, α − β, β − α sãoelementos em R. A proposição seguinte responde esta pergunta.

Proposição 5.3.1. Sejam α e β duas raízes não proporcionais. Se o ânguloentre as duas raízes é agudo (n(β, α) > 0), então α − β ∈ R e quando oângulo é obtuso (n(β, α) < 0) α + β é raiz.

Demonstração. Considere n(β, α) > 0. Pela tabela acima, n(β, α) = 1 oun(α, β) = 1. No primeiro caso, α − β = −(β − n(β, α)α) = sα(β) ∈ R. Jáno segundo temos que α − β = sβ(α) ∈ R. Por outro lado, se n(β, α) < 0,pela Tabela 1 concluímos que n(α, β) = −1, o que implica

α + β = α− n(α, β)β = sβ(α) ∈ R.

5.4 Bases

Seja R um sistema de raízes de V .

Denição 5.4.1. S ⊂ R é base de R se:

5.4 Bases 35

(a) S é base de V .

(b) Cada β ∈ R pode ser escrito como β =∑

α∈Smαα, onde os coecientesmα são inteiros e possuem o mesmo sinal (todos ≥ 0 ou ≤ 0).

Os elementos de S são chamados raízes simples.

Tome t ∈ V ∗ tal que 〈t, α〉 6= 0 para todo α ∈ R e dena

R+t = α ∈ R | 〈t, α〉 > 0.

Logo, R = R+t ∪(−R+

t ). Dizemos que um elemento α ∈ R+t é decomponível

se existem β, γ ∈ R+t tal que α = β + γ; caso contrário, α é chamado

indecomponível. Considere St é o conjunto dos elementos indecomponíveisde R+

t .

Teorema 5.4.1. St é base de R. Reciprocamente, se S é base de R e t ∈ V ∗é tal que 〈t, α〉 > 0,∀α ∈ S, tem-se S = St. Em particular, todo sistema deraízes possui base.


Proposição 5.4.1. Tem-se (α, β) ≤ 0 para todo α, β ∈ St, isto é, o ânguloentre duas raízes simples não pode ser agudo.

Demonstração. Suponha (α, β) > 0. Pela Proposição 5.3.1, γ = α − β éraiz. Se γ ∈ R+

t , então α = β + γ é decomponível, absurdo. Caso contrário,−γ ∈ R+

t e assim β = α + (−γ) é decomponível.

Para o que segue, S é uma base para o sistema de raízes R e denote R+

o conjunto das raízes que são combinações lineares de elementos de S comcoecientes inteiros não-negativos. Um elemento em R+ é chamado raizpositiva.

Proposição 5.4.2. Toda raiz positiva β pode ser escrita da forma

β = α1 + · · ·+ αk com αi ∈ S

tal que cada soma parcial α1 + · · ·+ αh com 1 ≤ h ≤ k é raiz.


5.4 Bases 36

Proposição 5.4.3. Suponha que R é reduzido e α ∈ R. A simetria sαassociada a α deixa R+ − α invariante.

Demonstração. Tome β ∈ R+ − α ⇒ β =∑

γ∈Smγγ com mγ ≥ 0. ComoR é reduzido e β 6= α, β não é proporcional a α e existe γ0 6= α tal quemγ0 > 0. Assim,

sα(β) =∑γ∈S

mγsα(γ) =∑γ∈S

mγγ −

(∑γ∈S

mγ〈α∗, γ〉

)α.

Portanto, o coeciente de γ0 continua mγ0 > 0 para a raiz o que implicasα(β) 6= α e sα(β) ∈ R+ (pois se um determinado coeciente é positivo,todos os outros devem ser).

Corolário 5.4.1. Seja ρ =1

2

∑β∈R+

β. Então, sα(ρ) = ρ−α para todo α ∈ S.

Demonstração. Considere ρα = 12

∑β∈R+−α β, logo ρ = ρα + 1

2α. Pela

proposição anterior, sα(ρα) = ρα e consequentemente,

sα(ρ) = sα(ρα) +1

2sα(α) = ρα −

1

2α = ρ− α.

Teorema 5.4.2. Sejam R um sistema de raízes reduzido, S uma base paraR e W o grupo de Weyl. Então

(a) Para cada t ∈ V ∗, existe w ∈W tal que 〈w(t), α〉 ≥ 0 para todo α ∈ S.

(b) Se S ′ é outra base de R, existe w ∈W tal que w(S ′) = S.

(c) Para cada β ∈ R, existe w ∈W tal que w(β) ∈ S.

(d) W é gerado pelas simetrias sα com α ∈ S.


5.5 Matriz de Cartan 37

5.5 Matriz de Cartan

Denição 5.5.1. A matriz de Cartan de R (com respeito a uma base S)é a matriz (n(α, β))α,β∈S.

Exemplo 5.5.1. Abaixo, estão listadas algumas das matrizes de Cartan de

posto 2: tipo A1 × A1:

(2 00 2

), tipo A2:

(2 11 2

), tipo B2:

(2 −2−1 2

)e

tipo G2:

(2 −1−3 2

).

Proposição 5.5.1. Seja R e R′ dois sistemas de raízes reduzidos sobre osespaços vetoriais V e V ′, respectivamente. Considere S e S ′ bases para R eR′ (respectivamente) e φ : S → S ′ uma bijeção tal que

n(φ(α), φ(β)) = n(α, β) para α, β ∈ S.

Então, existe um único isomorsmo f : V → V ′ que estende φ e mapeia Rem R′.

Demonstração. Estendendo φ à V (por linearidade), encontramos f . Agora,vamos mostrar que f mapeia R em R′ e para isto, temos de vericar quesφ(α)f = f sα, sendo que é suciente mostrar a igualdade para os elementosda base. Se α, β ∈ S, então

sφ(α) f(β) = sφ(α)(φ(β)) = φ(β)− n(φ(β), φ(α))φ(α) = φ(β)− n(β, α)φ(α)

e

f sα(β) = f(β − n(β, α)α) = φ(β)− n(β, α)φ(α).

Isto mostra que W′ = fWf−1, onde W é o grupo de Weyl de R e W′ éo grupo de Weyl de R′. Como W(S) = R e W′(S ′) = R′, concluímos quef(R) = R′.

Corolário 5.5.1. Um sistema de raízes reduzido é determinado por sua ma-triz de Cartan.

Demonstração. Segue da proposição anterior.

5.6 Sistemas de raízes irredutíveis 38

5.6 Sistemas de raízes irredutíveis

Proposição 5.6.1. Suponha V = V1 ⊕ V2, R esteja contido em V1 ∪ V2 econsidere Ri = R ∩ Vi, i = 1, 2. Então

(a) V1 e V2 são ortogonais.

(b) Ri é um sistema de raízes para Vi.

Demonstração. Tome α ∈ R1 e β ∈ R2. Note que α− β /∈ V1 ∪ V2, pois casocontrário, α ∈ R2 e β ∈ R1 que é um absurdo. Logo, α − β não é raiz (Restá contido em V1 ∪ V2) e pela Proposição 5.4.1, n(β, α) ≤ 0 o que implica(α, β) ≤ 0. De modo análogo, α − (−β) /∈ V1 ∪ V2 e (α,−β) ≤ 0. Destemodo, (α, β) = 0 e como Ri gera Vi, (a) é válido. Para (b), as condições(S1) e (S3) seguem simplesmente do fato de que R é um sistema de raízes deV . Agora para (S2), considere α ∈ R1. Logo, existe sα tal que sα(R) ⊂ R,em particular, sα(R1) ⊂ R. Queremos mostrar que sα(R1) ⊂ R1. Suponhaque sα(R1) ⊂ R2. Se β ∈ R1 é tal que sα(β) = λ, por (a) obtemos (β, λ) =(α, λ) = 0 e daí, (β, λ) = (sα(β), sα(λ)) = (λ, λ) = 0 ⇒ λ = 0 que é umabsurso (λ ∈ R). Portanto, sα(R1) ⊂ R1 e de modo análogo, sγ(R2) ⊂ R2

com γ ∈ R2.

Neste caso, dizemos que o sistema de raízes R é soma dos subsistemasde raízes Ri.

Denição 5.6.1. Um sistema de raízes R é chamado irredutível se nãoexiste uma soma direta não-trivial V = V1 ⊕ V2 com Ri = R ∩ Vi (i = 1, 2),onde Ri é um sistema de raízes de Vi.

5.7 Diagramas de Dynkin

Nesta subseção, considere os sistemas de raízes reduzidos e irredutíveis.

Denição 5.7.1. O diagrama de Dynkin é um grafo que contém todas asinformações da matriz de Cartan de uma determinada álgebra de Lie, masde uma forma mais sucinta. Fixada uma base S de R, os vértices destesdiagramas representam as raízes simples que são ligados por uma, duas outrês arestas dependendo do valor de n(α, β)n(β, α) e orientamos a aresta daraiz de maior comprimento para a de menor.

Exemplo 5.7.1. Abaixo, estão listados alguns exemplos de diagramas deDynkin (φ representa o ângulo entre as duas raízes simples):

5.7 Diagramas de Dynkin 39

tipo A1

tipo A1 × A1 se φ = π/2tipo A2 se φ = 2π/3

tipo B2 se φ = 3π/4

tipo G2 se φ = 5π/6

Observe que se não orientarmos as arestas que ligam as raízes simples,não conseguimos determinar a matriz de Cartan da álgebra de Lie. Perce-bemos este fato tomando como exemplo a álgebra de Lie do tipo G2. Mas,especicando o diagrama de Dynkin é equivalente especicar a matriz deCartan e eles determinam o sistema de raízes.

Um resultado importante que pode ser encontrado em [5] (página 89),no diz que uma álgebra de Lie é simples, se e só se, seu diagrama de Dynkiné conexo.

Teorema 5.7.1. Todo diagrama de Dynkin conexo (não-vazio) é isomorfo aum dos listados abaixo:

· · ·An (n ≥ 1)

· · ·Bn (n ≥ 2)

· · ·Cn (n ≥ 3)

· · ·Dn (n ≥ 4)

E6

E7

E8

F4

G2


40

6 Estrutura das Álgebras de Lie semissimples

Nesta seção, g denota uma álgebra de Lie complexa semissimples (dedimensão nita) e h uma subálgebra de Cartan de g.

6.1 Decomposição de g

Considere α ∈ h∗ e o autoespaço gα = X ∈ g | [H,X] = α(H)X, ∀H ∈h. Note que [H,X] = ad(H)X.

Denição 6.1.1. Se X ∈ gα, dizemos que X possui peso α.

Observação 6.1.1. Em particular, g0 é o conjunto dos elementos de g quecomutam com h e pelo Teorema 3.3.1, temos g0 = h.

Denição 6.1.2. Um elemento α ∈ h∗ tal que α 6= 0 e gα 6= 0 é chamadoraiz de g relativo a h. Denotaremos o conjunto das raízes de g por R.

Teorema 6.1.1. Tem-se g = h⊕⊕α∈R

gα.

Demonstração. Sabemos que o conjunto dos endomorsmos ad(H) de g comH ∈ h são diagonalizáveis (item (d) do Teorema 3.3.1) e armamos que estesendomodrsmos comutam entre si. De fato, tome ad(H1) e ad(H2) nesteconjunto, logo para todo Z ∈ g:

(ad(H1) ad(H2))Z = [H1, [H2, Z]]

= −[H2, [Z,H1]]− [Z, [H1, H2]]

= [H2, [H1, Z]]

= (ad(H2) ad(H1))Z.

Portanto, eles são simultaneamente diagonalizáveis e o resultado segue, vistoque: seja S = T1, . . . , Tk um conjunto de operadores lineares diagonalizá-veis em um espaço vetorial V que comutam entre si, isto é, Ti Tj = Tj Tipara todo 1 ≤ i, j ≤ k. Então existe uma base β de V tal que [Ti]β sãodiagonalizáveis para todo i. A recíproca também é verdadeira.

Para o que segue, ( , ) denota uma forma bilinear, não-degenerada,simétrica e invariante de g (por exemplo a forma de Killing).

Teorema 6.1.2. (a) Os subespaços gα e gβ são ortogonais se α + β 6= 0.

6.1 Decomposição de g 41

(b) Os subespaços gα e g−α são duais com respeito a ( , ), ou seja, se(X, Y ) = 0 para todo X ∈ gα (respectivamente, para todo Y ∈ g−α)tem-se Y = 0 (respectivamente, X = 0).

(c) A restrição de ( , ) à h é não-degenerada.

(d) Se X ∈ gα, Y ∈ g−α e H ∈ h, então (H, [X, Y ]) = α(H)(X, Y ).

Demonstração. (a), (b), e (c): Tome X ∈ gα, Y ∈ gβ e H ∈ h. Pela inva-riância da forma, temos

(H, [X, Y ]) + (X, [H,Y ]) = 0⇒ α(H)(X, Y ) + β(H)(X, Y ) = 0.

Se α + β 6= 0, existe um H ∈ h tal que α(H) + β(H) 6= 0, o que implica(X, Y ) = 0. Por outro lado, considere a decomposição de g em subespaçosmutuamente ortogonais

g = h⊕∑

(gα ⊕ g−α)

Como ( , ) é não-degenerada, a restrição a cada um desses subespaços tam-bém o é. Portanto, gα e g−α são duais com respeito a ( , ) e a restrição de( , ) à h é não-degenerada.

(d): Pela invariância de ( , ), temos que (H, [X, Y ]) = ([H,X], Y ) =α(H)(X, Y ).

O teorema anterior nos permite identicar (via isomorsmo) h à h∗

tomando os homomorsmos:

θ : h → h∗

H 7→ θH : h → CY 7→ (H, Y )

e

γ : h∗ → hf 7→ fz

tal que f(Y ) = (fz, Y ).

De fato,

(i): (θ γ)(f) = θ(fz) = (fz, ·)⇒ (fz, Y ) = f(Y ),∀Y ∈ h⇒ (θ γ)(f) = f .

(ii): (γ θ)(X) = γ((X, ·)) = (X, ·)z ⇒ (X, ·)(Y ) = ((X, ·)z, Y ),∀Y ∈ h ⇒X = (X, ·)z (pois ( , ) restrita a h é não-degenerada)⇒ (γ θ)(X) = X.

Portanto,


h∗ ∼= hα 7→ hα

onde α(Y ) = (hα, Y ) para todo Y ∈ h.

Lema 6.1.1. Sejam α ∈ R e hα o único elemento de h correspondente aα via o isomorsmo h∗ ∼= h associado a forma bilinear (não-degenerada).Então, [X, Y ] = (X, Y )hα, quando X ∈ gα e Y ∈ g−α.

Demonstração. Se H ∈ h, então α(H) = (hα, H). Usando a igualdade (d)da proposição anterior, obtemos que

(H, [X, Y ]) = α(H)(X, Y )

= (hα, H)(X, Y )

= (H, hα)(X, Y )

= (H, hα(X, Y ))

e o resultado segue pela não-degenerescência de ( , ).

Teorema 6.1.3. (a) R é um sistema de raízes reduzido em h.

(b) Se α ∈ R, então gα é 1-dimensional e o mesmo ocorre com o subes-paço hα = [gα, g−α] de h. Existe um único elemento Hα ∈ hα tal queα(Hα) = 2.

(c) Seja α ∈ R. Para cada Xα em gα, existe um único Yα em g−α talque [Xα, Yα] = Hα. Também, [Hα, Xα] = 2Xα e [Hα, Yα] = −2Yα. Asubálgebra sα = hα ⊕ gα ⊕ g−α é isomorfa a sl2.

(d) Se α, β ∈ R e α + β 6= 0, então [gα, gβ] = gα+β.

Demonstração. Fato 1: Se α, β ∈ h∗, então [gα, gβ] ⊂ gα+β.Se X ∈ gα, Y ∈ gβ e H ∈ h, temos pela identidade de Jacobi que

[H, [X, Y ]] = [[H,X], Y ] + [X, [H,Y ]] = (α + β)(H)[X, Y ].

Isto mostra que [X, Y ] ∈ gα+β e o resultado segue.

Fato 2: R gera h∗.Suponha que R não gere h∗, isto é, existe H ∈ h não-nulo tal que α(H) = 0para todo α ∈ R. Daí, [H, gα] = 0 para todo α ∈ R. Como h é abeli-ana, [H, h] = 0 o que implica [H, g] = 0. Portanto, H ∈ z(g) = 0 (g ésemissimples), absurdo.


Fato 3: Se α ∈ R, então hα é 1-dimensional.De fato, pelo lema anterior, hα = [gα, g−α] é gerado por hα.

Fato 4: Se α ∈ R, existe um único elemento Hα em hα tal que α(Hα) = 2.Pelo Fato 3, é suciente mostrar que a restrição de α à hα é não-trivial(α|hα 6= 0). Suponha que seja trivial e escolha Z = [X, Y ] não-nulo tal queα(Z) = 0, onde X ∈ gα e Y ∈ g−α. Logo,

[Z,X] = ad(Z)X = α(Z)X = 0, [Z, Y ] = ad(Z)Y = −α(Z)Y = 0 e[X, Y ] = Z.

Dena a a subálgebra de g gerada porX, Y, Z com as relações descritas acima.Logo, a é nilpotente (a3 = 0), em particular, solúvel. Agora, considerea representação ad: a → gl(g) e pelo Teorema do Isomorsmo, a/z(a) ∼=ad(a). Daí, ad(a) é nilpotente, em particular, ad(Z) é nilpotente. Por outrolado, ad(Z) é semissimples (pois pelo Teorema 3.3.1, todo elemento de h ésemissimples e Z ∈ hα ⊂ h), portanto, ad(Z) = 0⇒ Z ∈ z(g) = 0 que é umabsurdo.

Fato 5: dim gα = 1 se α ∈ R.Suponha dim gα > 1. Como gα e g−α são duais com respeito a ( , ), existeum elemento Y ∈ g−α ortogonal a todo Xα em gα. Assim, [Xα, Y ] ∈ h e peloLema 6.1.1, [Hα, Y ] = −α(Hα)Y = −2Y . Isto mostra que Y é um elementoprimitivo de peso −2 em g que contradiz o Corolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1.

Fato 6: Se α ∈ R, então −α ∈ R.Suponha que −α /∈ R, logo g−α = 0 ⇒ (gα, gβ) = 0 para β = −α. Quandoβ 6= −α, o Teorema 6.1.2 nos diz que (gα, gβ) = 0. Portanto, (gα, g) = 0, ouseja, ( , ) é degenerada que é um absurdo.

Fato 7: A subálgebra sα = hα ⊕ gα ⊕ g−α é isomorfa a sl2.Seja α ∈ R e tome Xα ∈ gα não-nulo. Então, existe Y ∈ g−α tal que[Xα, Yα] = Hα. De fato, como gα e g−α são duais com respeito a ( , ),existe Y ∈ g−α tal que (Xα, Y ) 6= 0, logo [Xα, Y ] = (Xα, Y )hα 6= 0 (Te-orema 6.1.2). Multiplicando Y por um escalar adequado, obtemos o ele-mento Yα ∈ g−α (único pelo Fato 5) tal que [Hα, Xα] = α(Hα)Xα = 2Xα,[Hα, Yα] = −α(Hα)Yα = −2Yα e [Xα, Yα] = Hα. Portanto, a subálgebra sαde g gerada por Xα, Yα, Hα é isomorfa a sl2 via (X, Y,H) 7→ (Xα, Yα, Hα).Assim, podemos considerar g um sl2-módulo via adjunta ad: sα → gl(g).

Fato 8: Considere α, β ∈ R raízes não proporcionais. Seja q o maior inteiroj tal que β + jα é raiz e p o menor inteiro k tal que β + kα é raiz. Então,(a) Para cada i entre p e q, β + iα é raiz; (b) β(Hα) ∈ Z; (c) β − β(Hα)α éraiz; (d) [gα, gβ] = gα+β se α + β ∈ R.


Inicialmente, observe que

se j = 0, β + jα = β ∈ R⇒ q ≥ 0se k = 0, β + kα = β ∈ R⇒ p ≤ 0.

Dena a =

q⊕i=p

gβ+iα, onde gβ+iα = 0 se β + iα /∈ R. Assim, V é um

sα-submódulo de g via

sα × a → a(Z,X) 7→ ad(Z)X

pois,

ad(Xα)gβ+iα = [Xα, gβ+iα] ∈ gβ+(i+1)α ⊂ a

ad(Yα)gβ+iα = [Yα, gβ+iα] ∈ gβ+(i−1)α ⊂ a

ad(Hα)gβ+iα = [Xα, gβ+iα] ∈ gβ+iα ⊂ a.

Pelo Teorema de Weyl, a se decompõe em soma direta de subespaçosirredutíveis ad(sα)-invariantes. Vimos que estes subespaços decompõe-se emsoma direta de autoespaços de ad(Hα) (cada um 1-dimensional) com autova-lores inteiros. Logo, a possui uma base constituída de autovalores de ad(Hα).Mas, os autovalores de ad(Hα) em a são da forma

(β + (i+ 1)α)(Hα) = β(Hα) + iα(Hα) = β(Hα) + 2i,

sendo que o maior autovalor de ad(Hα) em a é (β + iα)(Hα) = β(Hα) + 2qe o menor (β + iα)(Hα) = β(Hα) + 2p, um o negativo do outro. Portanto,

−(β(Hα) + 2q) = β(Hα) + 2p⇒ β(Hα) = −(p+ q) ∈ Z.

Isto mostra (b). Por outro lado, os números β(Hα) + 2i com p ≤ i ≤ q(i ∈ Z) são autovalores de ad(Hα), logo gβ+iα 6= 0 para todo i com p ≤ i ≤ q,ou seja, β + iα ∈ R e (a) é válido. Como q ≥ 0 e p ≤ 0, p ≤ p + q ≤ q oque implica, β − β(Hα)α = β + (p+ q)α ∈ R e obtemos (c). Finalmente, seα+ β ∈ R a aplicação ad(Xα) : gβ → gβ+α é um isomorsmo, pois gβ e gβ+α

são espaços 1-dimensionais não-nulos. Logo, (d) é válido.

Fato 9: R é um sistema de raízes e Hα é a raiz inversa de α.Como g tem dimensão nita, R é nito. Vimos que R gera h pelo Fato 2 enão contem 0 por denição. Agora, se α ∈ R, dena o endomorsmo sα porβ 7→ β − β(Hα)α. Como α(Hα) = 2, sα é uma simetria com o vetor α pelo


Lema 5.1.1. Vimos no Fato 8 que β(Hα) ∈ Z, portanto as armações sãoválidas.

Fato 10: R é um sistema de raízes reduzido.Já vimos que R é um sistema de raízes, agora suponha que 2α ∈ R e tomeY ∈ g2α não-nulo. Então, [Hα, Y ] = 2α(Hα)Y = 4Y . Por outro lado, vimosque 3α nunca é raiz, logo ad(Xα)Y ∈ g3α = 0. A igualdade Hα = [Xα, Yα] ea identidade de Jacobi nos mostra que

ad(Hα)Y = [Hα, Y ]

= −[Y, [Xα, Yα]]

= [Xα, [Yα, Y ]] + [Yα, [Y,Xα]]

= ad(Xα)ad(Yα)Y.

Mas, ad(Yα)Y ∈ gα ⇒ ad(Yα)Y é múltiplo de Xα que é aniquilado porad(Xα). Assim, obtemos 4Y = ad(Hα)Y = 0, absurdo.

Portanto, a prova do teorema agora está completa.

Observação 6.1.2. Note que se tomarmos X = 2hα(hα,hα)

∈ hα, encontramos

α(X) = α

(2hα

(hα, hα)

)=

2

(hα, hα)α(hα) =

2

(hα, hα)(hα, hα) = 2.

Assim, o teorema anterior nos diz que Hα = 2hα(hα,hα)

.

Observação 6.1.3. Sabemos que g = h ⊕⊕

α∈R gα e que cada gα é1-dimensional. Portanto, B(X, Y ) =

∑α∈R α(X)α(Y ) para todo X, Y em h.

De fato, considere Zα o elemento gerador de gα eX, Y ∈ h, logo ad(X)ad(Y )Zα =α(X)α(Y )Zα o que implica

B(X, Y ) =∑α∈R

α(X)α(Y )dim gα =∑α∈R

α(X)α(Y ).

Diante destes fatos, podemos transferir a forma de Killing B|h×h (não-degenerada) para h∗, tomando (α, β) = B(hα, hβ) onde hα e hβ são os ele-mentos correspondentes a α e β, respectivamente, via o isomorsmo h ∼= h∗.Vimos que R gera h∗, então tome α1, . . . , αk ∈ R uma base para h∗. Seβ ∈ R, escrevemos β =

∑ki=1 ciαi (de forma única), onde ci ∈ C. Armamos

que ci ∈ Q. De fato, considere 1 ≤ j ≤ k, logo

(β, αj) =

(k∑i=1

ciαi, αj

)=

k∑i=1

(αi, αj)ci ⇒


⇒

(β, α1)...

(β, αk)

︸︷︷︸

A

=

(α1, α1) · · · (α1, αk)...

. . ....

(αk, α1) · · · (αk, αk)

︸︷︷︸

C

c1...ck

︸︷︷︸

D

,

onde C é a matriz da forma ( , ) que é não-degenerada, ou seja, tem deter-minante não-nulo. Das observações acima, obtemos

(i) B(Hα, Hβ) =∑α∈R

α(Hα)α(Hβ) ∈ Z, ∀α, β ∈ R.

(ii) B(hα, hα)B(Hα, Hα) = 4. Com efeito,

B(Hα, Hα) = B

(2hα

B(hα, hα),

2hαB(hα, hα)

)=

4

B(hα, hα)·

(iii) (α, β) ∈ Q. Basta observar que

(α, β) = B(hα, hβ) = B

(HαB(hα, hα)

2,HβB(hβ, hβ)

2

)=

B(hα, hα)B(hβ, hβ)

4B(Hα, Hβ).

Daí, as entradas das matrizes C−1 e A são números racionais, logoci ∈ Q para todo i. Isto mostra que o Q-subespaço EQ de h∗ gerado pelasraízes tem dimensão ` = dimCh

∗, ou seja, se S = α1, . . . , αn é base de R,então R ⊆ Qα1 + . . .+ Qαn.

Proposição 6.1.1. A forma ( , ) : EQ × EQ → Q é positiva denida.

Demonstração. Para todo θ ∈ R, vimos que θ = a1α1 + . . . + anαn comai ∈ Q. Daí,

(θ, θ) = B(hθ, hθ) =∑

α∈R α(hθ)2 ≥ 0.

Além disso, (θ, θ) = 0 se, e só se, α(hθ)2 = 0 para todo α ∈ R se, e só se,

hθ = 0 (pois R gera h∗) se, e só se, θ = 0.

Assim, tome E o espaço vetorial real obtido estendendo EQ para ocorpo real: E = R ⊗Q EQ. A forma ( , ) se estende naturalmente a E e épositiva denida, ou seja, E é um espaço euclidiano; R contém uma base deE e dimRE = `.

6.2 Subálgebras de Borel 47

6.2 Subálgebras de Borel

Seja R um sistema de raízes associado a (g, h) e escolha uma base S deR. Considere R+ o conjunto das raízes positivas com respeito a S e dena

n =∑α>0

gα, n− =∑α>0

g−α e b = h⊕ n.

Denição 6.2.1. A subálgebra b é chamada subálgebra de Borel corres-pondente a h e S.

Teorema 6.2.1. (a) Temos g = n− ⊕ h⊕ n = n− ⊕ b.

(b) n e n− são subálgebras nilpotentes de g, assim, estas subálgebras con-sistem de elementos nilpotentes.

(c) b é a subálgebra solúvel maximal (no sentido de que toda subálgebra deg solúvel que contém h está contida em b) de g.

Demonstração. (a): Trivial.

(b): A nilpotência das subálgebras n e n− segue do fato de que g possui nitasraízes e que [gα, gβ] = gα+β se α + β é raiz ou 0 caso contrário.

(c): como b/n = h e n, h são solúveis, pela Proposição 1.3.1, concluímos queb é solúvel. Por outro lado, considere uma subálgebra a % b ⊇ h. Logo,h age diagonalmente em a e portanto g−α ⊂ a para algum α > 0 em R.Deste modo, a contém uma subálgebra simples slα ∼= sl2 que não é solúvel e,conseguentemente, a não pode ser solúvel.

Para o que segue, denote S = α1, . . . , αn uma base para R en = dim h o posto de g. Para cada i = 1, . . . , n dena Hi = Hαi e es-colha os elementos Xi ∈ gαi , Yi ∈ g−αi tais que [Xi, Yi] = Hi. Também,considere n(i, j) = αi(Hi). Relembre que a matriz formada pelos númerosn(i, j) é a matriz de Cartan do sistema de raízes e n(i, j) é um inteiro ≤ 0 sei 6= j (veja Proposição 5.4.1).

Teorema 6.2.2. (a) n é gerado pelos elementos Xi, n− pelos elementos Yi

e g por Xi, Yi, Hi.

(b) Estes elementos satisfazem as relações (chamadas relações de Weyl):[Hi, Hj] = 0, [Xi, Yi] = Hi, [Hi, Xj] = n(i, j)Xj, [Xi, Yj] = 0 se i 6= j,[Hi, Yj] = −n(i, j)Yj.

6.2 Subálgebras de Borel 48

(c) As relações são satisfeitas: ad(Xi)−n(i,j)+1(Xj) = 0 (i 6= j) e

ad(Yi)−n(i,j)+1(Yj) = 0 (i 6= j).


49

7 Representações de álgebras de Lie semissim-ples

A partir da Subseção 7.2, g denota uma álgebra de Lie semissimplescomplexa de dimensão nita, h uma subálgebra de Cartan de g, R o sistemade raízes correspondente, S = α1, . . . , αn uma base para R e R+ o conjuntodas raízes positivas com respeito a S. Para cada α ∈ R+, escolha Xα ∈ gα,Yα ∈ g−α e Hα = [Xα, Yα]. Caso α seja uma raiz simples, iremos escreversimplesmente Xi, Yi, Hi em vez de Xαi , Yαi , Hαi . Considere também n =∑

α>0 gα, n− =

∑α<0 g

α e b = h⊕ n.

7.1 Envolvente universal

Já vimos que dada uma K-álgebra associativa, obtemos a álgebra deLie AL sobre K (Exemplo 1.1.1). Agora, faremos o procedimento inverso,sendo que a álgebra associatica obtida a partir da álgebra de Lie subjacenteé chamada envolvente universal.

Denição 7.1.1. A envolvente universal de g é um par (Φ,U(g)), ondeU(g) é uma K-álgebra associativa com unidade e Φ é um homomorsmode álgebras de Lie, Φ : g → U(g)L, de modo que a seguinte propriedade ésatisfeita: se A é uma K-álgebra associativa com unidade e fL : g → AL éum homomorsmo de álgebras de Lie, então existe um único homomorsmode K-álgebras associativas θ : U(g) → A tal que fL = θL Φ, ou seja, oseguinte diagrama comuta:

gΦ //

fL

U(g)L

θL

AL

Observação 7.1.1. A envolvente universal é única a menos de isomorsmo(para mais detalhes, veja [2] página 89).

Observação 7.1.2. Verica-se que a aplicação g 7→ U(g) é funtorial.

Considere g uma álgebra de Lie e (Φ,U(g)) sua envolvente universal.Assim, temos o isomorsmo:

7.2 Pesos e elementos primitivos 50

HomLie(g, AL) ∼= HomAss(U(g), A),

onde HomLie signica homomorsmos de álgebras de Lie e HomAss de álge-bras associativas. Em particular, se A = End(V ), então AL = gl(V ) e

HomLie(g, gl(V )) ∼= HomAss(U(g),End(V )), (1)

ou seja, uma representação de g em V é equivalente a uma representação deU(g) em V . Iremos usar este fato constantemente no que segue.

Teorema 7.1.1 (Poincaré-Birkho-Witt). Seja g uma álgebra de Lie (dedimensão nita ou não) e Xii∈J uma base de g ordenada por um conjuntode índices J . Então, os monômios do tipo Φ(Xi1) · · ·Φ(Xik) para i1 ≤ · · · ≤ik, formam uma base de U(g). Em particular, se g tem dimensão nita eX1, . . . , Xn é uma base ordenada, então os monômios Φ(X1)m1 · · ·Φ(Xk)

mk

com mi ≥ 0 formam uma base para U(g).


Assim, listamos algumas das consequências do teorema anterior (paramais informações consulte [2] página 89):

(a) O mapa canônico Φ : g→ U(g) é injetivo.

(b) Se a é subálgebra de g, estenda uma base Y1, Y2, . . . de a a uma deg: X1, . . . , Y1, . . .. Então, o homomorsmo U(a) → U(g) também éinjetivo e U(g) é um U(a)-módulo livre com base Xi(1) · · ·Xi(m), ondei(1) ≤ · · · ≤ i(m), juntamente com o elemento 1.

Exemplo 7.1.1. Se g = g1 ⊕ g2, então U(g) ∼= U(g1)⊗ U(g2).

7.2 Pesos e elementos primitivos

Seja V um g-módulo (não necessariamente de dimensão nita) e ω ∈ h∗

um funcional linear. Dena

V ω = v ∈ V | Hv = ω(H)v, ∀H ∈ h

que é um subespaço de V . Dizemos que um elemento em V ω tem peso ω,a dimensão de V ω é chamada multiplicidade de ω em V e se V ω 6= 0, ω édito peso de V .


Proposição 7.2.1. (a) Se ω ∈ h∗ e α ∈ R, temos gαV ω ⊂ V ω+α.

(b) A soma V ′ =∑

ω Vω é direta e V ′ é um g-submódulo de V .

Demonstração. Considere X ∈ gα e v ∈ V ω. Se H ∈ h, então

H(Xv) = X(Hv) + [H,X]v = X(ω(H)v) + α(H)Xv = (ω(H) + α(H))Xv

isto signica queXv tem peso ω+α e assim (a) é válido. Por outro lado, comoautovetores de autoespaços diferentes são linearmente independentes, a somaV ′ =

∑ω V

ω é direta. Observe que em (a), mostramos que V ′ é invariantepara cada gα, ou seja, V ′ é invariante para g = h⊕

⊕gα. Portanto, V ′ é um

g-submódulo de V .

Observação 7.2.1. Se considerarmos C = n(α, β)α,β∈S a matriz de Cartande g, então

P (V ) ⊆ 1

det(C)(Zα1 + · · ·+ Zαn) ⊆ E,

onde P (V ) é o conjunto dos pesos de V e E é o espaço euclidiano citadona Subseção 6.1. De fato, como S é base h∗, para todo µ ∈ P (V ) existemescalares a1, . . . , an ∈ Q tais que µ = a1α1 + · · ·+ anαn. Assim, obtemos umsistema linear com coecientes inteiros

µ(Hj) =n∑i=1

αi(Hj)ai, j = 1, . . . , n

cuja matriz é C. Encontrando a solução do sistema acima usando a regra deCramer, concluímos que ai ∈ 1

det(C)Z. Em particular, caso g for do tipo G2,

det(C) = 1 e portanto P (V ) ⊆ Zα1 + · · ·+ Zαn.

Denição 7.2.1. Seja V um g-módulo, v ∈ V e ω ∈ h∗ um funcional linear.Dizemos que v é um elemento primitivo de peso ω se as condições sãosatisfeitas:

(i) v é não-nulo e tem peso ω.

(ii) Xαv = 0 para todo α ∈ R+ (ou de forma equivalente, para todo α ∈ S).

Os elementos primitivos também são caracterizados como autovetoresda subálgebra de Borel b (a vericação deste fato é análoga à prova da Pro-posição 4.1.2).

Proposição 7.2.2. Seja V um g-módulo e v ∈ V um elemento primitivo depeso ω. Considere E o g-submódulo de V gerado por v. Então


(1) Se β1, . . . , βk denota as diferentes raízes positivas, então E é gerado(como espaço vetorial) por elementos da forma

Y m1β1· · ·Y mk

βkv com mi ∈ N.

(2) Os pesos de E são da forma

ω −n∑i=1

piαi com pi ∈ N.

Eles possuem multiplicidade nita.

(3) ω é um peso de E de multiplicidade 1.

(4) E é um g-módulo idecomponível, ou seja, E é não-trivial e para cadasoma direta E = E1⊕E2 temos E1 = 0 ou E2 = 0 (note que irredutívelimplica indecomponível, mas a recíproca é falsa).

Demonstração. (1): Sejam A = U(g), B = U(b) e C = U(n−). Pelas de-nições de E e de elemento primitivo, juntamente com o homomorsmo (1),temos E = Av = CBv = Cv. Mas, sabemos que Yβi é uma base orde-nada de n−, logo os monômios Y m1

β1· · ·Y mk

βkv formam uma base para C pelo

Teorema 7.1.1, onde mi ∈ N.

(2): Sejam Eϕ = e ∈ E | He = ϕ(H)e, ∀H ∈ h e x ∈ Eϕ. Pelo item (a) epela Proposição 7.2.1, temos que

x = Y m1β1· · ·Y mk

βkv ∈ V ω−

∑βimi ,

pois Y miβi∈ g−miβi para todo i = 1, . . . , k e v ∈ V ω. Isto signica que x

tem peso ω −∑βimi, mas como S é base do sistema de raízes, x tem peso

ω−n∑i=1

piαi. Falta mostrar que cada Eϕ tem multiplicidade nita. Para isto,

tome µ um peso de E, logo µ = ω −∑k

i=1 piβi com pi ∈ N. Por outro lado,E é gerado pelos monômios Y m1

β1· · ·Y mk

βkv (mi ∈ N), em particular, o mesmo

acontece com Eµ e assim todo elemento de Eµ tem peso ω−∑k

i=1miβi. Daí,

ω −k∑i=1

miβi = ω −k∑i=1

piβi ⇒k∑i=1

miβi =k∑i=1

piβi.

A igualdade acima dene um sistema linear onde as variáveis são os mi's comcoecientes inteiros positivos, logo, o número de soluções inteiras positivasde um sistema desse tipo é nita.

7.3 Módulos irredutíveis com peso mais alto 53

(3): Note que se todos os mi's forem zero, ω é um peso de E e pelo mesmoraciocínio anterior, concluímos que Eω tem multiplicidade 1.

(4): Armamos que Eω = Eω1 ⊕ Eω

2 se E = E1 ⊕ E2. De fato,

• A soma Eω1 + Eω

2 é direta.

• Eω1 ⊕ Eω

2 ⊆ Eω.

• Tome v ∈ Eω com v = v1 + v2 (vi ∈ Ei). Se H ∈ h, então:

ω(H)(v1 + v2) = ω(H)v = Hv = Hv1︸︷︷︸∈Eω1

+Hv2︸︷︷︸∈Eω2

⇒ v ∈ Eω1 ⊕ Eω

2 .

Sendo assim, suponha E = E1 ⊕ E2 ⇒ Eω = Eω1 ⊕ Eω

2 . Como dim Eω = 1,temos duas possibilidades: Eω

1 = Eω ou Eω2 = Eω. No primeiro caso, v ∈ E1

e como v gera E, E = E1 e E2 = 0. No segundo caso, obtemos E = E2 eE1 = 0. Portanto, E é idecomponível.

7.3 Módulos irredutíveis com peso mais alto

Teorema 7.3.1. Seja V um g-módulo irredutível contendo um elemento pri-mitivo v de peso ω. Então:

(a) v é o único elemento primitivo de V (a menos de multiplicação porescalar); o peso ω é chamado peso mais alto de V .

(b) Os pesos π de V são sa forma

π = ω −∑miαi com mi ∈ N.

Eles possuem multiplicidade nita e ω tem multiplicidade 1. Também,V =

∑V π.

(c) Sejam V1 e V2 dois g-módulos irredutíveis com pesos mais altos ω1 eω2, respectivamente. Então, V1

∼= V2 se, e só se, ω1 = ω2.

Demonstração. (b): O g-submódulo E de V gerado por v é não-trivial e pelairredutibilidade de V , temos a igualdade E = V . Pela Proposição 7.2.2 oresultado é válido.

(a): Suponha v′ outro elemento primitivo de V com peso ω′. Por (b),

7.3 Módulos irredutíveis com peso mais alto 54

ω′ = ω −∑miαi (mi ≥ 0) e ω = ω′ −

∑m′iαi (m

′i ≥ 0).

Daí,

ω′ = ω −∑miαi = ω′ −

∑m′iαi −

∑miαi ⇒

∑(mi +m′i)αi = 0

e como S é base, mi + m′i = 0 o que implica mi = m′i = 0 para todo i (poismi,m

′i ≥ 0). Assim, ω = ω′ e V ω = V ω′ , mas dim V ω = 1, portanto v e v′

são proporcionais.

(c): (⇒) Se V1∼= V2, então ω1 = ω2 por (a).

(⇐) Considere V1 e V2 como mencionado. Dena V = V1 ⊕ V2, logo v =v1 + v2 é elemento primitivo de V de peso ω = ω1 = ω2. Considere og-submódulo E ⊂ V gerado por v. A segunda projeção p2 : V → V2 induzo homomorsmo de g-módulos f2 : E → V2 denido por f2(v) = v2. ComoV2 é irredutível e é gerado por v2, f2 é sobrejetiva. Denote Ker(f2) por N2,assim, N2 = V1 ∩ E é um g-submódulo próprio de V1, pois não contém v1

(pela Proposição 7.2.2, os únicos elementos de E de peso ω são os múltiplosde v e v1 não satisfaz essa propriedade). Daí, N2 = 0 e f2 é um isomorsmo(E ∼= V2). De modo análogo, verica-se que E ∼= V1. Portando, V1

∼= V2.

Teorema 7.3.2. Para cada ω ∈ h∗, existe um g-módulo irredutível de pesomais alto ω.

Demonstração. Observe que o teorema anterior mostra que este módulo éúnico a menos de isomorsmo. Faremos a demosntração deste resultado emdois passos:1o Passo: Vamos construir um g-módulo Vω gerado por v, onde v é umelemento primitivo de peso ω.Considere Lω um b-módulo 1-dimensional (a existência de Lω é garantidapelo Teorema de Lie) tendo como base o elemento v tal que

Hv = ω(H)v se H ∈ h e Xv = 0 se X ∈ n.

Pelo homomorsmo (1) da Subseção 7.1, Lω pode ser visto como um U(b)-módulo. Por outro lado, sabemos que b é subálgebra de g, logo U(b) → U(g)e podemos considerar U(g) um U(b)-módulo livre contendo uma base com oelemento 1 (consequência do Teorema 7.1.1). Assim, dena o U(b)-móduloVω = U(g)⊗U(b) Lω. Na verdade, podemos considerar Vω um U(g)-módulo demodo que se a ∈ U(g), então a(x⊗y) = ax⊗y para x ∈ U(g) e y ∈ Lω. Noteque u = 1⊗ v ∈ Vω é não-nulo, pois ambos 1 e v são elementos básicos, istoé, 1 pertence a base de U(g) e v a base de Lω. É evidente que u gera Vω etambém, é elemento primitivo de peso ω:

7.4 Módulos de dimensão nita 55

Xu = 1⊗Xv = 0 e Hu = 1⊗Hv = 1⊗ ω(H)v = ω(H)u.

2o Passo: Vamos construir um g-módulo irredutível a partir de Vω.Considere Vω como acima e dena V −ω =

∑π 6=ω(Vω)π. Lembre que um

g-módulo é equivalente a um U(g)-módulo. Sendo assim, vamos mostrarque todo g-submódulo próprio de Vω está contido em V −ω . Tome V ′ umg-submódulo próprio de Vω. Por denição, V ′ é estável por g, em particular,é estável por h o que implica V ′ =

∑π∈h∗(V

′)π. De fato, existe a representa-ção ρ : g→ gl(V ′) e sabemos que V ′ é estável por h, logo ρ|h é diagonalizável(Teorema 2.2.2). Se ρ1(Y1) = ρ|h(Y1) e ρ2(Y2) = ρ|h(Y2) temos que para todoZ ∈ V :

(ρ1(Y1) ρ2(Y2))(Z) = ρ1(Y1)(ρ2(Y2)Z)

= ρ1(Y1)Y2Z

= Y1(Y2Z)

= [Y1, Y2]Z + Y2(Y1Z)

= ρ2(Y2)Y1Z (h é abeliana)

= (ρ2(Y2) ρ1(Y1))(Z).

Isto mostra que os endomorsmos ρ|h são simultaneamente diagonalizáveise obtemos a decomposição desejada. Se (V ′)ω 6= 0, então existe x ∈ V ′

não-nulo tal que Hx = ω(H)x para todo H ∈ h. Pelo Teorema 7.3.1, x =λu e consequentemente, u ∈ (V ′)ω. Deste modo, obtemos V ′ = Vω que éum absurso. Daí, V ′ =

∑π 6=ω(V ′)π e V ′ ⊂ V −ω . Isto mostra que todo g-

submódulo próprio de Vω está contido em V −ω . Para nalizar a demostração,tome o g-submódulo Nω de Vω gerado por todos os g-submódulos de Vωdistintos de Vω (pode acontecer de Nω = 0). Pelo que vimos acima, Nω ⊂ V −ωe assim, Nω 6= Vω. Portanto, basta tomar Eω = Vω/Nω que é um g-móduloirredutível com peso mais alto ω.

Observação 7.3.1. Os Teoremas 7.3.1 e 7.3.2 mostram que existe uma bije-ção entre os elementos ω ∈ h∗ e as classes dos g-módulos irredutíveis de pesomais alto.

7.4 Módulos de dimensão nita

Proposição 7.4.1. Seja V um g-módulo de dimensão nita. Então:

(a) V =∑V π (soma direta).


(b) Se π é um peso de V , então π(Hα) é um número inteiro para todoα ∈ R.

(c) Se V 6= 0, V contém um elemento primitivo.

(d) Se V é gerado por um elemento primitivo, então V é irredutível.

Demonstração. (a): Por hipótese temos a representação ρ : g → gl(V ) e setomarmos a restrição ρ|h, obtemos endomorsmos comutativos e diagonali-záveis. Logo, são simultaneamente diagonalizáveis e o resultado segue.

(b): Tome π um peso de V , logo V π 6= 0. Como V é um g-módulo, V tambémé um sα-módulo, onde α ∈ R+ e sα = 〈Xα, Yα, Hα〉 ∼= sl2(C). Aplicando oTeorema 4.2.3 a este sα-módulo, concluímos que os autovalores de Hα em Vsão inteiros.

(c): Como b é solúvel, pelo Teorema de Lie, b possui um autovetor não-nuloque é primitivo.

(d): Tome V1 um g-submódulo próprio de V . Pelo Teorema de Weyl, V sedecompõe da forma V = V1 ⊕ V2, mas como V é gerado por um elementoprimitivo, V é idecomponível pelo item (4) da Proposição 7.2.2, logo V1 =0. Portanto, V é irredutível.

Corolário 7.4.1. Todo g-módulo irredutível de dimensão nita possui pesomais alto.

Demonstração. Segue de (c).

Teorema 7.4.1. Sejam ω ∈ h∗ e Eω um g-módulo irredutível de peso maisalto ω. Então, Eω tem dimensão nita se, e só se, para todo α ∈ R+ tem-seque ω(Hα) é um inteiro ≥ 0.

Demonstração. (⇒) Considere Eω um g-módulo irredutível de dimensão -nita. Se v é elemento primitivo de peso ω de Eω para g, temos também quev é elemento primitivo para a subálgebra sα gerada por Xα, Yα, Hα. PeloCorolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1, ω(Hα) é um inteiro ≥ 0.(⇐) Seja v um elemento primitivo de Eω e i um inteiro entre 1 e n. Tome

mi = ω(Hi) ∈ Z≥0 e vi = Y mi+1i v/(mi + 1)! (2)

Pelo Teorema 6.2.2, Xj e Yi comutam para i 6= j. Logo,

Xjvi = XjYmi+1i

v

(mi + 1)!=

1

(mi + 1)!Y mi+1i Xjv = 0,


pois

XjYiv = [Xj, Yi]v + YiXjv ⇒ XjYiv = YiXjv ⇒ XjYki v = Y k

i Xjv.

Por outro lado,

Xiv = (ω(Hi)− (mi + 1) + 1)vi−1 = 0vi−1 = 0,

visto que ω(Hi) = mi e Xen = (λ−n+ 1)en−1 para en = Y n en!. Deste modo,

se vi 6= 0 temos:

• vi tem peso ω− (mi+1)αi, pois vi ∈ g−(mi+1)αi(Eω)ω ⊂ (Eω)ω−(mi+1)αi .

• Xαvi = 0,∀α ∈ S.

Ou seja, vi é elemento primitivo de Eω que é um absurdo pelo Teorema7.3.1. Portanto vi = 0. Agora, considere Fi o subespaço de Eω gerado peloselementos Y p

i v, onde 0 ≤ p ≤ mi. Assim, Fi tem dimensão nita e é umsα-submódulo de Eω. De fato, o procedimento anterior mostra que Fi temdimensão nita e observe que:

(i) Hi(Yiv) = [Hi, Yi]v + Yi(Hiv) = −2Yiv + ω(Hi)Yiv = (−2 + ω(Hi))Yiv,logo Hi(Yiv) ∈ Fi.(ii) Xi(Yiv) = [Xi, Yi]v + Yi(Hiv) = Hiv = ω(Hi)v = ω(Hi)Y

0i v ∈ Fi.

(iii) Yi(Yiv) = Y 2i v ∈ Fi.

Tome Ti o conjunto dos sα-submódulo de Eω de dimensão nita(Ti 6= ∅, pois Fi ∈ Ti) e E ′i =

∑F∈Ti F .

Fato 1: Se F ∈ Ti, então gF ∈ Ti.Sabemos que g e F tem dimensão nita, logo o mesmo acontece com gF .Por outro lado,

sα(gF ) ⊂ gF ⇒ gF ∈ Ti.

Fato 2: E ′i é um g-submódulo de Eω.Se x ∈ F ∈ Ti, então gx ∈ gF ∈ Ti (ou seja, gx ∈ E ′i). Visto que qualquerelemento em E ′i é uma soma de elementos em F ∈ Ti, o resultado segue.

Deste modo, como Eω é irredutível e E ′i é não-nulo (contém Fi), con-cluímos que Eω = E ′i, isto é, Eω é uma soma de sα-submódulos de dimensãonita. Considere Pω o conjunto dos pesos de Eω. Vamos mostrar que Pω éinvariante sob a simetria si associada a raiz αi e é nito.


(1) Pω é invariante sob a simetria si associada a raiz αi: Seja π ∈ Pω ey ∈ (Eω)π com y 6= 0. Assim, y está contido em algum subespaço de Eωestável sob sα de dimensão nita. Pelo Teorema 7.3.1, π = ω −

∑kiαi onde

ki ∈ N e

pi = π(Hi) = ω(Hi)︸︷︷︸∈Z≥0 (hipótese)

−∑kiαi(Hi)︸︷︷︸∈Z

∈ Z⇒ pi ∈ Z.

Dena x = Y pii y se pi ≥ 0 e x = X−pii y se pi ≤ 0. Como y ∈ (Eω)π,

obtemos Hy = π(H)y para todo H ∈ h, em particular, Hiy = π(Hi)y. Casopi ≥ 0:

Hix = Hi(Ypii y) = (π(Hi)− 2pi)Y

pii y = −π(Hi)x

e assim, devemos ter obrigatoriamente x 6= 0. De fato, sabemos que y ∈ F(F um sα-submódulo de Eω de dimensão nita) e y tem autovalor π(Hi), daí,o autovalor −π(Hi) também deve ocorrer, isto é, x 6= 0.

De modo análogo, verica-se que se pi ≤ 0, então x 6= 0. Note que opeso de x é π − piαi = π − π(Hi)αi = π − 〈π,Hi〉αi = si(π), concluímos quesi(π) ∈ Pω. Portanto, Pω é invariante sob a simetria si.

(2) Pω é nito: Seja π ∈ Pω, logo π = ω −∑piαi com pi ∈ N. Sabemos que

−S também é uma base para R. Pelo Teorema 5.4.2, existe w ∈ W(R) talque w(S) = −S, onde w é um produto de simetrias da forma si e vimos quew(π) ∈ Pω. Daí, w(π) = ω −

∑qiαi com qi ∈ N e

π = w−1(ω)−∑

qiw−1(αi) = w−1(ω) +

∑riαi com ri ∈ Z≥0.

Deste modo,

ω −∑piαi = w−1(ω) +

∑riαi ⇒ ω − w−1(ω) =

∑ciαi

para ci = ri + pi. Isto mostra que para todo peso π ∈ Pω tem-se π =ω −

∑piαi com pi ≤ ci para todo i (pi, ci ∈ N), isto é, os coecientes pi são

limitados. Assim, existem nitos pesos em Eω.

Finalizando, vimos que existem nitos pesos em Eω com cada um delesde multiplicidade nita, onde Eω =

∑(Eω)π. Portanto, segue que Eω tem

dimensão nita.

Observação 7.4.1. Se π ∈ Pω e w ∈ W(R), então os pesos π e w(π)possuem as mesmas multiplicidades. Com efeito, considere ρ : g→ gl(Eω) arepresentação irredutível de dimensão nita, Xα ∈ gα (α ∈ R+), Yα ∈ g−α eos endomorsmos: ad(ρ(Xα)) ∈ End(ρ(g)) e ρ(Xα) ∈ End(Eω).


Armação 1: ad(ρ(Xα)) e ρ(Xα) são endomorsmos nilpotentes. De fato,Xα age de forma nilpotente em Eω, pois se v ∈ (Eω)µ, Xk

αv tem peso µ+ kαe como o conjunto de pesos é nito, existe um k tal que µ+kα = 0 (o mesmoargumento se aplica a Yα).

Armação 2: ead(ρ(Xα)) ∈ Aut(ρ(g)) e eρ(Xα) ∈ GL(Eω). Usando a regrade Leibniz para derivações podemos mostrar que ead(ρ(Xα)) ∈ Aut(ρ(g)) (veja[2], página 8). O segundo fato é trivial, pois o endomorsmo inverso de eρ(Xα)

é e−ρ(Xα).

Armação 3: ead(ρ(Xα))ρ(Z) = eρ(Xα)ρ(Z)e−ρ(Xα). Basta lembrar que ad(ρ(Xα))Z =ρ(Xα)Z −Zρ(Xα) = (Lρ(Xα)−Rρ(Xα))Z (Lρ(Xα) e Rρ(Xα) são endomorsmosque comutam). Daí,

ead(ρ(Xα)) = eLρ(Xα)e−Rρ(Xα) = Leρ(Xα)Re−ρ(Xα) ,

e a armação é válida.

Armação 4: Considere as aplicações

τα = ead(ρ(Xα))ead(−ρ(Yα))ead(ρ(Xα)) ∈ Aut(ρ(g)),

ηα = eρ(Xα)e−ρ(Yα)eρ(Xα) ∈ GL(Eω).

Então, τα(ρ(Z)) = ηαρ(Z)η−1α . A vericação é imediata usando a armação

3.

Armação 5: τα(ρ(H)) = ρ(H − α(H)Hα) para H ∈ h. Com efeito,

ead(ρ(Xα))ρ(H) = ρ(H) + [ρ(Xα), ρ(H)] = ρ(H) + ρ([Xα, H])

= ρ(H) + ρ(−α(H)Xα) = ρ(H − α(H)Xα),

ead(−ρ(Yα))ead(ρ(Xα))ρ(H)

= ρ(H − α(H)Xα) + ρ([H − α(H)Xα, Yα]) +1

2ρ([[H − α(H)Xα, Yα], Yα])

= ρ(H − α(H)Xα − α(H)Yα − α(H)Hα +1

22α(H)Yα)

= ρ(H − α(H)Hα − α(H)Xα)

e nalmente

τα(ρ(H)) = ead(ρ(Xα))ρ(H − α(H)Hα − α(H)Xα)

= ρ(H − α(H)Hα − α(H)Xα − α(H)Xα + 2α(H)Xα)

= ρ(H − α(H)Hα).


Armação 6: dim Eµω = dim E

w(µ)ω para todo w ∈W e µ ∈ Pω. É suciente

mostrar este fato para w = sα com α ∈ R+. Tome v ∈ (Eω)µ não-nulo eH ∈ h, logo

sαµ(H)v = (µ−µ(Hα)α)(H)v = µ(H−α(H)Hα)v = τα(ρ(H))v = ηαρ(H)η−1α v.

Assim, ρ(H)(η−1α v) = sαµ(H)η−1

α v para todo H ∈ h. Isto signica que,η−1α v ∈ (Eω)w(µ), ou seja, η−1

α ((Eω)µ) ⊆ (Eω)w(µ). Por outro lado,

η−1α ((Eω)w(µ)) ⊆ Ew2(µ)

ω = Eµω .

Portanto, ηα((Eω)µ) = (Eω)w(µ) e o resultado é válido.

Denição 7.4.1. (i) Λ = ΛW = λ ∈ h∗ | λ(Hi) ∈ Z, ∀i = 1, . . . , n échamado reticulado dos pesos.

(ii) λ ∈ Λ é dito peso dominante se λ(Hi) ∈ Z≥0, ∀i = 1, . . . , n. Oconjunto dos pesos dominantes é denotado Λ+.

(iii) Seja Hi base de h e ωi base dual de h∗, ou seja, ωi(Hj) = δij. Ospesos ωi são chamados pesos fundamentais do sistema de raízes R(com respeito a S).

Observação 7.4.2. Note que por denição: ωi ∈ Λ+, Λ = Zω1 + · · ·+ Zωne Λ+ = Z≥0ω1 + · · ·+ Z≥0ωn.

61

8 Fórmulas de Freudenthal e Weyl

Esta seção contém o objetivo principal deste trabalho. Iremos desen-volver alguns métodos para descrever as representações das álgebras de Liesemissimples, como por exemplo, podemos calcular a dimensão destas usandoa teoria de pesos e raízes via fórmulas de Freudenthal e Weyl. Algumas des-tas aplicações serão feitas para a álgebra de Lie excepcional g2 na próximaseção. Caso menção ao contrário, vamos adotar as seguintes notações:

• g é uma álgebra de Lie semissimples sobre K de dimensão n, onde Ké um corpo algebricamente fechado de característica zero.

• h é subálgebra de Cartan de g, logo temos a decomposição

g = h⊕⊕α∈R

gα,

onde R é o sistema de raízes associado a h e W seu grupo de Weyl.

• B é a forma de Killing de g e ( , ) : h∗ × h∗ → K e a forma bilinearnão-degenerada induzida por B via o isomorsmo h ∼= h∗.

• Para cada α ∈ R, considere hα ∈ h de forma que α = B(hα, ).

• Hα =2hα

(α, α)∈ h.

• S = α1, . . . , αn é uma base para R. Assim, temos a decomposiçãoR = R+∪R− (união disjunta) e denominamos os elementos de R+ porraízes positivas. Note que R− = −R+.

• ρ =1

2

∑α∈R+

α.

• n =∑α>0

gα, n− =∑α>0

g−α e b = h⊕ n. Deste modo, g = n− ⊕ h⊕ n =

n− ⊕ b.

• Γλ o g-módulo irredutível de peso mais alto λ e mµ a dimensão doespaço de peso (Γλ)

µ.

8.1 Câmaras de Weyl 62

Sejam π, µ ∈ E (E como na Subseção 6.1) e dena a relação de ordemparcial em E: dizemos que π é maior ou igual que µ, escrevemos π ≥ µ, seπ − µ =

∑kiαi, onde ki ∈ N para todo i. Sabemos que os pesos de Γλ são

da forma π = λ−∑niαi com ni ∈ N para todo i, logo λ ≥ π para todo peso

π de Γλ.

8.1 Câmaras de Weyl

Nesta subseção, g é uma álgebra de Lie qualquer de dimenção nita.Para cada α ∈ R, dena Pα = λ ∈ h∗ | (λ, α) = 0, ou seja, o hiperplanoortogonal a α que particionam E em duas regiões.

Denição 8.1.1. O fecho das componentes conexas de E −⋃α∈R Pα são

chamadas câmaras de Weyl (fechadas) de E.

Por denição, cada γ ∈ E −⋃α∈R Pα pertence a uma câmara de Weyl

e a denotemos por C(γ). Dizer que C(γ) = C(γ′) signica que γ e γ′ vivemno mesmo lado de cada hiperplano Pα com α ∈ R, ou seja, R+

γ = R+γ′ ou

Sγ = Sγ′ (notação utilizada em 5.4). Isto mostra que as câmaras de Weylestão em correspondência 1-1 com as bases.

Lema 8.1.1. Seja C = x ∈ E | (x, β) ≥ 0,∀β ∈ R+. Então, C é umacâmara de Weyl.

Demonstração. Inicialmente, considere Pλ1 , . . . , Pλk os hiperplanos possíveis.Sabemos que C está contida em alguma câmara de Weyl C0, pois caso con-trário, existiria x ∈ C tal que (x, α) < 0 para algum α ∈ S. Considere queC ⊆ C0, mas C0 * C. Logo, existe x ∈ C0 tal que x /∈ C e isto signicaque (x, β) < 0 para algum β ∈ S. Dena a função fβ : C0 → R dada porfβ(γ) = (γ, β). Assim, fβ é contínua e como C0 é compacto, podemos usaro Teorema do Valor Intermediário. Daí, existe c ∈ C0 tal que fβ(c) = 0, emoutras palavras, existe um hiperplano diferente dos mencionados que passana região interior de C0, absurdo. Portanto, C é uma câmara de Weyl.

Denição 8.1.2. A câmara de Weyl considerada no lema anterior é chamadacâmara fundamental de Weyl.

Proposição 8.1.1. Um peso λ é dominante se, e só se, está na câmarafundamental de Weyl.

Demonstração. Segue das denições.

8.2 Caracteres 63

Lema 8.1.2. Se β ∈ E, então existe w ∈W tal que (w(β), α) ≥ 0 para todoα ∈ S. Em particular, todo elemento x ∈ E está na W-órbita de um pesodominante.

Demonstração. Fixe β ∈ E e considere w ∈W tal que (w(β), ρ) é máximo.Então, para todo α ∈ S:

(sαw(β), ρ) = (w(β), sα(ρ)) = (w(β), ρ−α) = (w(β), ρ)−(w(β), α) ≤ (w(β), ρ).

Portanto, o resultado é válido.

Exemplo 8.1.1. A primeira gura ilusta o sistema de raízes do tipo A2

juntamente com os hiperplanos Pγ para γ ∈ R. Já a segunda, exemplicaa câmara fundamental de Weyl. Note que neste caso, existem 6 câmaras deWeyl.

8.2 Caracteres

Considere Λ o reticulado dos pesos que é subgrupo de h∗ relativo asoma.

Denição 8.2.1. Seja G um grupo abeliano e eii∈I uma família de ele-mento de G. Dizemos que esta família é uma base para G se é não-vazia etodo elemento x ∈ G pode ser escrito de forma única como

x =∑

xiei,

onde xi ∈ Z e xi = 0 para quase todo i, ou seja, a soma é nita. Assim, umgrupo abeliano é livre se possui base e neste caso, é imediato que se Zi = Zpara todo i, temos o isomorsmo G ∼=

⊕i∈I Zi.

8.2 Caracteres 64

Assim, Λ é um grupo abeliano livre com base formada pelos pesosfundamentais ω1, . . . , ωn.

Observação 8.2.1. Se λ é um peso tal que λ(Hα) ∈ Z≥0 para todo α ∈ R+,então Γλ tem dimensão nita e o conjunto dos seus pesos é subconjunto deΛ.

Observação 8.2.2. Note que ρ =∑ωi, em particular, ρ ∈ Λ+. De fato, já

sabemos que si(ρ) = ρ− αi, mas também

si(ρ) = ρ− 〈α∗i , ρ〉αi = ρ− ρ(Hi)αi.

Comparando as duas igualdades acima, concluímos que ρ(Hi) = 1 para todoi, logo ρ =

∑ωi.

Denição 8.2.2. Sejam A um anel comutativo, G um grupo e o conjunto

A[G] =

∑x∈G

axx | ax ∈ A e ax = 0 para quase todo x ∈ G

.

Denimos a adição em A[G] da forma∑

x∈G axx +∑

y∈G byy =∑

x∈G(ax +

bx)x e a multiplicação por(∑

x∈G axx) (∑

y∈G byy)

=∑

z=xy czz, onde cz =∑z=xy axby. Com estas operações, A[G] é um anel com unidade 1 · e (e é o

elemento neutro de G) e todo elemento neste anel é escrito de forma únicaem termos dos elementos de G. Chamamos A[G] de álgebra de grupo.

Considere a álgebra de grupo Z[Λ]. Aditivamente, Z[Λ] é um grupoabeliano livre gerado pelos elementos de Λ. Agora, vamos dar uma estruturamultiplicativa para Λ fazendo corresponder cada λ ∈ Λ por eλ de modo queum elemento f ∈ Z[Λ] é da forma

f =∑λ∈Λ

aλeλ, onde aλ é nulo para quase todo λ ∈ Λ

e nesta notação, eλeπ = eλ+π. Por denição, Z[Λ] possui base eππ∈Λ etemos o isomorsmo

Z[Λ] ∼= Z[T±11 , . . . , T±1

n ]eωi 7→ T ωi .

Observação 8.2.3. O grupo de Weyl W age naturalmente em Z[Λ] via

w ·∑λ

aλeλ =

∑λ

aλew(λ), ∀w ∈W.

8.2 Caracteres 65

Denição 8.2.3. Considere V um g-módulo de dimensão nita. Para cadaπ peso de V , tome mπ = dim V π a multiplicidade de π em V . O elemento

ch(V ) =∑π∈Λ

mπeπ ∈ Z[Λ]

é chamado caractere de V . Note que este elemento está bem denido,pois os mπ's são quase todos nulos e pela Proposição 7.4.1, cada peso de Vpertence a Λ. Caso V é a representação de peso mais alto λ ∈ Λ+, escrevemossimplesmente ch(V ) = chλ.

Proposição 8.2.1. (a) ch(V ) é invariante sob o grupo de Weyl W.

(b) Temos que

ch(U ⊕ V ) = ch(U) + ch(V ) e ch(U ⊗ V ) = ch(U) · ch(V ).

(c) Dois g-módulos de dimensão nita U e V são isomorfos se, e só se,ch(U) = ch(V ).

Demonstração. (a): Sabemos que w · eµ = ew(µ) e dim V µ = dim V w(µ) paratodo w ∈W. Logo,

w · ch(V ) = w ·

(∑π∈Λ

mπeπ

)=∑π∈Λ

mπew·π

=∑µ∈Λ

mw−1·µeµ =

∑µ∈Λ

mµeµ.

Note que quando fazemos a substituição µ = w · π, π e µ são tomados nomesmo conjunto de elementos. Portanto, w · ch(V ) = ch(V ).

(b): Para a primeira armação, basta observar que (U ⊕ V )π = Uπ ⊕ V π. Jána segunda, se P (V ) representa o conjunto dos pesos de V , então P (U⊗V ) =π + µ | π ∈ P (U) e µ ∈ P (V ) e consequentemente,

(U ⊗ V )π =⊕π=α+β

(Uα ⊗ V β).

Isto é,

dim (U ⊗ V )π =∑

π=α+β

dim Uα · dim V β ⇒ ch(U ⊗ V ) = ch(U) · ch(V ).

8.3 O anel de representações 66

(c): (⇒) Trivial.(⇐) A prova será feita por indução em dim U . Se dim U = 0 (U = 0), entãoch(V ) = ch(U) = 0, ou seja, dim V = 0 (V = 0) e consequentemente, U ∼= V .Denote PU o conjunto dos pesos de U , logo PU = PV (pois ch(U) = ch(V )).Temos que PU 6= ∅ e é nito, assim, existe ω ∈ PU tal que ω + αi /∈ PU paratodo i. Se u ∈ Uω é não-nulo, u é elemento primitivo, pois Xαiu ∈ Uω+αi = 0.Pela Proposição 7.4.1, o submódulo U1 de U gerado por u é irredutível e tempeso mais alto ω; pelo Teorema deWeyl, temos que U = U1⊕U2, onde U2 é umsubmódulo de U . De modo análogo, obtemos V = V1⊕V2 com V1 irredutívelde peso mais alto ω. Como U1 e V1 possuem o mesmo peso mais alto, elessão isomorfos (Teorema 7.3.1) o que implica ch(U1) = ch(V1). Usando o item(b), concluímos que ch(U2) = ch(V2) e pela hipótese de indução, U2

∼= V2.Portanto, U ∼= V .

8.3 O anel de representações

Seja Z[Λ]W a subálgebra de Z[Λ] formada pelos elementos invariantessob a ação de W.

Denição 8.3.1. O anel de representações de g, denotado por R(g), éum grupo abeliano livre das classes de isomorsmo [V ] de representações Vcom dimensão nita módulo a relação

[V ] + [W ] = [V ⊕W ].

Pelo Teorema de Weyl, segue que R(g) é gerado pelas classes [V ] de repre-sentações irredutíveis. A multiplicação em R(g) é denida por

[V ] · [W ] = [V ⊗W ].

Observação 8.3.1. O conceito de anel de representações também é válidopara os grupos nitos (veja [7], capítulo 9) e, até mesmo, para os grupo de Liecompactos como mostra [8]. Neste contexto, considere G um grupo de Liecom álgebra de Lie g e subgrupo de Cartan H. Para qualquer g-módulo V , aimagem de [V ] ∈ R(g) em Z[Λ] nos fornece o caracter formal de V . O porquêda terminologia caracter vem do seguinte: se X ∈ h, então exp(X) ∈ Hage no espaço de peso V µ como multiplicação dada por exp(µ(X)). Temosportanto o seguinte resultado (note que uma representação ρ : G → GL(V )é sempre determinada pelo caracter de sua restrição ao subgrupo de CartanH):


Proposição 8.3.1. Se χ(V ) =∑mαe

α é o caracter formal, então o traçode exp(X) em V é dado por∑

mα exp(α(X)).

Pela Proposição 8.2.1, a aplicação

ch : R(g) → Z[Λ][V ] 7→

∑dim(V λ)eλ

é um homomorsmo de anéis, onde V λ é o espaço de peso; ch manda aunidade C de R(g) na unidade 1 = e0 em Z[Λ]; a invariância de ch(V ) sob aação do grupo de Weyl implica que ch(R(g)) ⊆ Z[Λ]W.

Como os elementos de Z[Λ] são escritos de forma única como combina-ção linear dos eµ e toda representação é determinada pelos seus espaços depeso juntamente com suas multiplicidades, a aplicação ch é injetiva. Nossopróximo passo é mostrar que R(g) ∼= Z[Λ]W. Para isto, considere os pesosfundamentais ω1, . . . , ωn e Γ1, . . . ,Γn as classes em R(g) das representaçõesirredutíveis de peso mais alto ω1, . . . , ωn, respectivamente.

Proposição 8.3.2. Todo elemento f ∈ Z[Λ] que é xado pela ação do grupode Weyl W pode ser expresso de forma única como uma combinação Z-lineardos chλ tais que λ ∈ Λ+.

Demonstração. Considere f = cλ1eλ1 + · · · + cλme

λm ∈ Z[Λ]W, onde cλi 6= 0para todo i = 1, . . . ,m e dena o conjunto Mf dos elementos µ ∈ Λ+ taisque µ ≤ λi para todo λi ∈ Λ+ com cλi 6= 0.

Armação 1: Mf é nito. Fixe λ ∈ Λ+. Vamos mostrar que o número depesos dominantes µ ≤ λ é nito. Por hipótese, λ+µ ∈ Λ+ e λ−µ é soma deraízes simples com coecientes naturais. Logo, 0 ≤ (λ+ µ, λ− µ) = (λ, λ)−(µ, µ). Deste modo, µ pertence ao conjunto A = x ∈ E | (x, x) ≤ (λ, λ).Como A é limitado e fechado (f : E → R≥0 dada por f(x) = (x, x) é contínuae f−1([0, (λ, λ)]) = A), segue que A é compacto. Agora, considere o conjuntodiscreto Λ+ (um conjunto Y ⊂ X é dito discreto se não possui pontos deacumulação) que é fechado por vacuidade. Assim, A∩Λ+ é compacto, pois élimitado e fechado. Nosso próximo passo é mostrar que A∩Λ+ é nito. Paraisto, se z ∈ Λ+, então existe uma vizinhança Yz de z tal que Yz ∩ Λ+ = z.Deste modo, Y = Yz | z ∈ Λ+ é uma cobertura aberta de Λ+, em particular,de A ∩ Λ+. Visto que A ∩ Λ+ é compacto, Y possui uma subcoberturanita X = X1, . . . , Xn. Pela construção de Y , cada Xk ∈ X ⊆ Y tem a


propriedade de que Xk∩Λ+ contém exatamente um ponto, logo A∩Λ+∩Xk

contém no máximo um ponto. Daí,

(A ∩ Λ+) ∩n⋃k=1

Xk =n⋃k=1

(A ∩ Λ+ ∩Xk) contém no máximo n pontos.

Como A∩Λ+ ⊆n⋃k=1

Xk, obtemos que A∩Λ+ = (A∩Λ+)∩n⋃k=1

Xk contém no

máximo n pontos e, portanto, é nito.

A prova desta proposição é feita por indução no número de elementosdo conjunto Mf .

Armação 2: Se Mf = ∅, então f = 0. De fato, suponha f 6= 0. Logo,existe λk ∈ Λ tal que cλk 6= 0 e pela Lema 8.1.2, existe w ∈ W tal quew · λk = πk ∈ Λ+. Como f é invariante sob a ação de W (w · f = f , paratodo w ∈ W) e a expressão de f é única, concluímos que se f 6= 0, entãoalgum dos λi é dominante com cλi 6= 0. Assim, se λs é o menor destes, temosque λs ∈Mf , ou seja, Mf 6= ∅.

Agora, tome γ ∈ Λ+ o maximal dos elementos λ ∈ Λ+ tais que cλ 6= 0e dena g = f − cγchγ (note que g satisfaz as hipóteses da proposição).

Armação 3: Mg &Mf . Com efeito, seja

g = cλ1eλ1 + · · ·+ cλne

λn + cγeγ + Θ︸︷︷︸

f

−cγ (mβ1eβ1 + · · ·+mβke

βk + eγ + Ω)︸︷︷︸chγ

,

onde Θ e Ω são as partes não-nulas de f e chγ, respectivamente, em quenão aparecem os pesos dominantes. Na expressão anterior de g, estamosconsiderando todos os cλi e mβ1 não-nulos. Tome x ∈Mg, logo, x ∈ Λ+ e x ≤λ1, . . . , λn, β1, . . . , βk onde cλi 6= 0 (∀i = 1, . . . , n) e mβj 6= 0 (∀j = 1, . . . , k).Isto implica que x ≤ γ (os pesos dominantes que aparecem na expressãode chγ são todos menores que γ) e portanto, x ∈ Mf . Mas, γ /∈ Mg, poisγ > λ1, . . . , λn, β1, . . . , βk.

Por indução, a proposição é válida para g e, consequentemente, para f .Agora, suponha que f possua duas expressões

a1chλ1 + · · ·+ anchλn = b1chβ1 + · · ·+ bmchβm , (1)

onde m ≥ n, λ1 > · · · > λn e β1 > · · · > βm. Inicialmente, note que os pesosque ocorrem do lado esquerdo de (1) também devem ocorrer do lado direito,pois os elementos chλ são escritos de forma única como combinação dos eπ's.


Diante disso, o peso mais alto que ocorre do lado esquerdo de (1) tambémdeve ocorrer do lado direito. Assim, λ1 = β1 e consequentemente, a1 = b1,pois o coeciente de eλ1 é a1 e o de eβ1 é b1. Subtraindo a1e

λ1 de ambosos lado, encontramos uma nova igualdade de modo que o peso mais alto àesquerda é λ2 e à direita, eβ2 . Pelo mesmo procedimento acima, concluímosque λ2 = β2 e a2 = b2. Repetindo este processo n vezes, encontramos queλi = βi e ai = bi para todo i = 1, . . . , n. Além disso, bk = 0 para todon < k ≤ m. Portanto, f é escrito de forma única.

Teorema 8.3.1. (a) R(g) é o anel de polinômios nas variáveis Γ1, . . . ,Γn.

(b) O homomorsmo R(g) → Z[Λ]W é um isomorsmo. Em particular,Z[Λ]W é o anel de polinômios nas variáveis ch(Γ1), . . . , ch(Γn).

Demonstração. Considere as variáveis U1, . . . , Un e as aplicações

Z[U1, . . . , Un] → R(g) → Z[Λ]W

Ui 7→ Γi.

Se esta composição é um isomorsmo, visto que a segunda aplicação é inje-tiva, temos que as duas aplicações são isomorsmo. A proposição anteriornos diz que todo elemento f ∈ Z[Λ]W é da forma f = a1chλ1 + · · · + akchλkpara ai ∈ Z e λi ∈ Λ+. Tome λj com j = 1, . . . , k e considere os casos:

Caso 1: Se Vλj = V1 ⊗ · · · ⊗ Vk, então ch(V1 ⊗ · · · ⊗ Vk) = ch(V1) · · · ch(Vk)pela Proposição 8.2.1. Agora, usamos o Teorema de Weyl para decomporos Vi's na soma das representações irredutíveis Γ1, . . . ,Γn e aplicamos nova-mente a Proposição 8.2.1 para obter chλj como soma de monônimos do tipo∏

ch(Γi)mi .

Caso 2: Se Vλj não é igual ao produto tensorial de representações, bastaaplicar o Teorema de Weyl e a Proposição 8.2.1 à Vλj para encontrar a ex-pressão:

chλj = ch(Vλj) = ch(rj1(Γ1)⊕ · · · ⊕ rjnΓn) = rj1ch(Γ1) + · · ·+ rjnch(Γn),

(aqui usamos o abuso de notação rjs(Γs) para representar rjs vezes a somade Γs) para todo j = 1, . . . , k. Assim, concluímos que Z[Λ]W é o anel depolinômios nas variáveis ch(Γ1), . . . , ch(Γn) e o resultado segue.

Exemplo 8.3.1. Vimos que quando g = sl(2,C), as representações irredu-tíveis são da forma

Wn = V n ⊕ V n−2 ⊕ · · · ⊕ V −(n−2) ⊕ V −n, onde n ∈ Z. (2)


A álgebra de grupo Z[Λ] é isomorfa a Z[t, t−1] com em = tm. Como g possuisomente uma raiz, o grupo de Weyl é formado por dois elementos, sendo queo elemento não-trivial age em Z[Λ] por t ↔ t−1. Pelo teorema anterior, oanel de representações de g é Z[Γ1] = Z[W1], pois ω1 = 1

2α e ω1(H) = 1 (ou

seja, Γ1 é a representação irredutível de peso mais alto 1). Pela equação (1),

ch(Wm) = tm + tm−2 + · · ·+ t−(m−2) + t−m =tm+1 − t−(m+1)

t− t−1·

Assim, Z[Λ]W = Z[ch(Γ1)] = Z[t+ t−1]. Note ainda que

ch(Wn ⊗Wm) = ch(Wn) · ch(Wm) =(tn+1 − t−n−1)(tm+1 − t−m−1)

(t− t−1)2

=tm+n+2 − tm−n + t−m−n−2 − tn−m

(t− t−1)2·

Exemplo 8.3.2 (Generalização do exemplo anterior). Se g = sln+1 é a ál-gebra de Lie das matrizes quadradas de ordem n + 1 sobre C e traço nulo,então a subálgebra h ⊂ g das matrizes diagonais H = diag(a1, . . . , an+1) com∑ai = 0 é uma subálgebra de Cartan. Além disso,

h∗ =CL1, . . . , Ln+1

(L1 + · · ·+ Ln+1 = 0), sendo que Li

a1 0 · · · 00 a2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · an+1

= ai.

Logo, as raízes de g são dadas por αi,j = Li − Lj (i 6= j) e o conjunto dosαi = αi,i+1 (1 ≤ i ≤ n) formam uma base para o sistema de raízes R deg. Os elementos Hi que correspondem a αi via o isomorsmo h∗ ∼= h sãomatrizes com entradas ai = 1, ai+1 = −1 e aj = 0 se j 6= i, i + 1 e os pesosfundamentais são ωi = L1 + · · ·+Li. Deste modo, gαi,j = 〈eij〉 (eij é a matrizcom entrada 1 na posição (i, j) e 0 nas remanescentes) e

Λ =ZL1, . . . , Ln+1

(L1 + · · ·+ Ln+1 = 0)·

Considere Γi a representação irredutível de peso mais alto ωi e dena xi =eLi ∈ Z[Λ]. Verica-se que Γ1 = V = Cn+1,Γ2 =

∧2 V, . . . ,Γn =∧n V , com

V a representação fundamental de g. O caractere de Γk é∑eα, sendo que

α é soma de k diferentes Li para 1 ≤ i ≤ n+ 1. Logo, ch(Γk) = Ak, onde Aké a k-ésima função elementar nas variáveis x1, . . . , xn+1. Também, o grupode Weyl é o grupo simétrico Sn+1 que age em Z[Λ] permutando os índices epelo Teorema 8.3.1,

R(sln+1) = Z[Λ]Sn+1 = Z[A1, . . . , An].

8.4 Fórmula de Freudenthal 71

Teorema 8.3.2 (Clebsch-Gordon). Se Wi é o sl2(C)-módulo irredutível dedimensão i+ 1 e m > n, então

Wn ⊗Wm∼= Wn+m ⊕Wn+m−2 ⊕Wn+m−4 ⊕ · · · ⊕Wm−n.

Demonstração. Basta calcular o caractere da parte à direita da igualdade ecomparar ao que encontramos no Exemplo 8.3.1.

8.4 Fórmula de Freudenthal

Considere uma representação injetiva ϕ : g → gl(V ) de g e dena aforma bilinear simétrica associativa β(X, Y ) = tr(ϕ(X)ϕ(Y )). Denote S =Rad(β). Armamos que β é não-degenerada. De fato, temos o isomorsmog ∼= ϕ(g) e fazendo ϕ|S obtemos S ∼= ϕ(S). Também,

β(X, Y ) = tr(ϕ(X)ϕ(Y )) = 0, ∀ϕ(X), ϕ(Y ) ∈ ϕ(S)

pela denição de S. Em particular, β(X, Y ) = 0 para todo ϕ(X) ∈ [ϕ(S), ϕ(S)] ⊂ϕ(S) e ϕ(Y ) ∈ ϕ(S). Pelo Critério de Cartan, ϕ(S) é solúvel, logo S é solúvel.Portanto, S = 0 pois g é semissimples.

Assim, se Xini=1 é uma base de g, existe Yini=1 outra base de g queé dual a anterior com respeito a β, ou seja, β(Xi, Yj) = δij.

Denição 8.4.1. Deste modo, o elemento de Casimir (em relação a ϕ) édado por

cϕ =∑ϕ(Xi)ϕ(Yi) ∈ End(V ),

onde Xini=1 e Yini=1 são bases de g duais em relação a forma de Killing.

Proposição 8.4.1. (a) O elemento de Casimir cϕ independe da base Xini=1.

(b) Se ϕ é uma representação irredutível de g, pelo Lema de Schur,cϕ(v) = λv com λ ∈ K.

(c) c é um endomorsmo de V que comuta com qualquer outro endomor-smo de V , isto é, [γ, c] = 0 para todo γ ∈ End(V ).



Se considerarmos a forma de Killing B (bilinear, simétrica, alternada enão-degenerada), já vimos que B|h×h é não-degenerada, assim, tome Hiri=1

e H ′iri=1 bases de h duais em relação a B. Pela decomposição de g emespaços de raízes, para obtermos uma base de g basta tomar Xα ∈ gα

(1-dimensional), logo Hiri=1∪Xαα∈R é base de g. Agora, se Yα ∈ g−α, con-sidere a subálgebra de g isomorfa ao sl2 gerada pelos elemtentos Xα, Hα, Yαe dena X ′α = (α,α)

2Yα. Daí, H ′iri=1 ∪ X ′αα∈R é base de g dual a anterior

(com respeito a B). De fato,

B(Xα, X′α) = B

(Xα,

(α, α)

2Yα

)=

(α, α)

2B(Xα, Yα) =

(α, α)

2

2

(α, α)= 1

e o resultado segue pelo Teorema 6.1.2. Deste modo, o elemento de Casimirem relação à ad é:

cad =r∑i=1

ad(Hi)ad(H ′i) +∑α∈R

ad(Xα)ad(X ′α)

e esta construção nos sugere considerar o elemento

cg =r∑i=1

HiH′i +∑α∈R

XαX′α ∈ U(g).

Se estendermos ad a um homomorsmo de álgebras associativasad: U(g)→ End(g), então ad(cg) = cad. Assim, chamamos cad de elementouniversal de Casimir de g e o denotamos simplesmente por c.

Na demonstração da Fórmula de Freudenthal, vamos precisar dos se-guintes lemas:

Lema 8.4.1. Sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensão nita. SeA : V → W e B : W → V são operadores lineares, então

trV (BA) = trW (AB).

Demonstração. Considere dim V = n e dim W = m. Fixando uma basepara V e W , as matrizes dos operadores BA : V → V e AB : W → W sãorespectivamente

(BA)ki =m∑j=1

BkjAji e (AB)pq =n∑r=1

AprBrq


para k, i = 1, . . . , n e p, q = 1, . . . ,m. Deste modo,

trV (BA) =n∑k=1

(BA)kk =n∑k=1

m∑j=1

BkjAjk

=m∑j=1

n∑k=1

AjkBkj =m∑j=1

(AB)jj = trW (AB).

Lema 8.4.2. Seja Γλ o g-módulo irredutível de peso mais alto λ ∈ Λ+ e µum peso de Γλ tal que λ 6= µ. Então,

(µ+ ρ, µ+ ρ) < (λ+ ρ, λ+ ρ).

A igualdade é válida se, e só se, µ = λ.

Demonstração. A ideia da prova é: dado um peso µ com λ 6= µ, podemosencontrar um peso µ′ tal que µ < µ′ e a inequação

(µ+ ρ, µ+ ρ) < (µ′ + ρ, µ′ + ρ)

é válida. Sendo assim, considere µ com λ 6= µ. Um possível candidato paraµ′ é a simetria com αi que é um peso de Γλ pelo argumento abordado noTeorema 7.4.1. Relembre que

µ′ = si(µ) = µ− 〈α∗i , µ〉αi = µ− 2(αi, µ)

(αi, αi)αi.

Daí,

(µ′ + ρ, µ′ + ρ) = (µ− 〈α∗i , µ〉αi, µ− 〈α∗i , µ〉αi)= (µ+ ρ, µ+ ρ)− 2(µ+ ρ, 〈α∗i , µ〉αi) + 〈α∗i , µ〉2(αi, αi).

Usando que 2(αi, µ) = 〈α∗i , µ〉(αi, αi), obtemos

(µ′ + ρ, µ′ + ρ)− (µ+ ρ, µ+ ρ)

= −2(µ+ ρ, 〈α∗i , µ〉αi) + 〈α∗i , µ〉2(αi, αi)

= −2〈α∗i , µ〉(αi, µ)− 2〈α∗i , µ〉(αi, ρ) + 〈α∗i , µ〉2(αi, αi)

= −〈α∗i , µ〉2(αi, αi)− 2〈α∗i , µ〉(αi, ρ) + 〈α∗i , µ〉2(αi, αi)

= −2〈α∗i , µ〉(αi, ρ).

De 1 = 〈α∗i , ρ〉 = 2 (αi,ρ)(αi,αi)

, segue que (αi, ρ) > 0. Além disso, 〈α∗i , µ〉 = µ(Hi)

é um número real. Deste modo, se existe um i tal que 〈α∗i , µ〉 < 0, o resultado


é válido. Agora, considere o caso em que 〈α∗i , µ〉 ≥ 0 para todo i e vamosmostrar que a inequação continua válida. Observe que se não existe αi talque µ+αi é peso, então µ é peso mais alto de V , absurdo pelo Teorema 7.3.1.Logo, existe k tal que µ+ αk é peso e tome µ′ = µ+ αk. Assim,

(µ′ + ρ, µ′ + ρ)− (µ+ ρ, µ+ ρ) = 2(µ+ ρ, αk) + (αk, αk)

= 2(µ, αk) + 2(ρ, αk) + (αk, αk).

Como (µ, αk) = 〈α∗k, µ〉(αk,αk)

2≥ 0 (usamos que 〈α∗i , µ〉 ≥ 0 para todo i),

(αk, ρ) > 0 e (αk, αk) > 0 (a forma é positiva denida), a inequação restanteé válida.

Teorema 8.4.1 (Fórmula de Freudenthal). Seja Γλ o g-módulo irredutívelde peso mais alto λ ∈ Λ+. Se µ ∈ Λ, então

((λ+ ρ, λ+ ρ)− (µ+ ρ, µ+ ρ))mµ = 2∑α∈R+

∞∑j=1

(µ+ jα, α)mµ+jα.

Demonstração. Denote V = Γλ. Considere φ : g → gl(V ) a representaçãoassociada e também φ : U(g) → End(V ) a representação correspondente deU(g). Já vimos que

c =r∑i=1

HiH′i +

∑α∈R+

XαX′α +X ′αXα =

r∑i=1

HiH′i +

∑α∈R+

hα + 2∑α∈R+

X ′αXα.

Aqui, usamos que XαX′α = X ′αXα + [Xα, X

′α] = X ′αXα + hα em U(g).

Por outro lado, para todo H ∈ h tem-se H =r∑i=1

B(Hi, H′i)Hi, pois dado

H ∈ h, obtemos H =∑aiHi e

r∑i=1

B

(r∑j=1

ajHj, H′i

)Hi =

∑i,j

ajB(Hj, H′i)Hi =

r∑i=1

aiHi = H.

Deste modo,

r∑i=1

λ(Hi)λ(H ′i) =r∑i=1

B(hλ, Hi)λ(H ′i) = B

(hλ,

r∑i=1

λ(H ′i)Hi

)= (λ, λ).

Considere vλ o elemtento primitivo de peso mais alto λ, logo Xαvλ = 0 paratodo α ∈ R+, Hvλ = λ(H)vλ para todo H ∈ h e


φ(c)vλ =

(r∑i=1

HiH′i

)vλ +

(∑α∈R+

hα

)vλ +

(2∑α∈R+

X ′αXα

)vλ

=

(r∑i=1

λ(Hi)λ(H ′i) +∑α∈R+

λ(hα)

)vλ

= ((λ, λ) + (λ, 2ρ))vλ = (λ, λ+ 2ρ)vλ.

Pelo Lema de Schur, φ(c) = (λ, λ + 2ρ)IV , onde IV é a identidade emV e assim, trV µ φ(c) = (λ, λ+2ρ)mµ. Também, para todo v ∈ V µ temos que

φ(c)v =

(r∑i=1

µ(Hi)µ(H ′i)

)v +

(∑α∈R+

µ(hα)

)v + 2

(∑α∈R+

φ(X ′α)φ(Xα)

)v

= (µ, µ+ 2ρ)v + 2

(∑α∈R+

φ(X ′α)φ(Xα)

)(v).

Pelo Lema 8.3.1,

trVµ φ(X ′α)φ(Xα) = trVµ+α φ(Xα)φ(X ′α)

= trVµ+α (φ(hα) + φ(X ′α)φ(Xα))

= (α, µ+ α)mµ+α + trVµ+α (φ(X ′α)φ(Xα))

=∞∑j=1

(µ+ jα, α)mµ+jα

(o argumento é repetido até encontrarmos V µ+jα = 0 para j sucientementegrande). Portanto,

(λ, λ+ 2ρ)mµ = (µ, µ+ 2ρ)mµ + 2∑α∈R+

∞∑j=1

(µ+ jα, α)mµ+jα

que é equivalente a equação procurada.

Observação 8.4.1. Sabemos que para todo peso µ de V , tem-se µ ≤ λ.Assim, para r sucientemente grande, µ + rα ∈ h∗ não é peso, ou seja,mµ+rα = 0. Isto mostra que a somatória em j na equação acima é nitamesmo com j variando até ∞.


Observação 8.4.2. Vamos vericar que

(λ, λ+ 2ρ)− (µ, µ+ 2ρ) = (λ+ ρ, λ+ ρ)− (µ+ ρ, µ+ ρ).

De fato,

(λ+ ρ, λ+ ρ)− (µ+ ρ, µ+ ρ) = (λ, λ) + 2(λ, ρ)− (µ, µ)− 2(µ, ρ)

= (λ, λ) + (λ, 2ρ)− (µ, µ)− (µ, 2ρ)

= (λ, λ+ 2ρ)− (µ, µ+ 2ρ).

Exemplo 8.4.1. Considere g = sl(3,C) e W o grupo de Weyl. Sabemos queR = ±α,±β,±(α + β), S = α, β e sua matriz de Cartan é(

2 −1−1 2

),

ou seja,

n(α, β) = n(β, α) = −1⇒ −2(α, β) = (α, α) = (β, β).

Fazendo a normalização (α, α) = 1, obtemos (β, β) = 1 e (α, β) = −12e é

fácil vericar que os pesos fundamentais são dados por ω1 = 13(2α + β) e

ω2 = 13(α + 2β). Como W é gerado por sα e sβ, temos a seguinte tabela de

multiplicação:

Tabela 2:

1 sα sαsβsα sβ sαsβ sβsα1 1 sα sαsβsα sβ sαsβ sβsαsα sα 1 sβsα sαsβ sβ sαsβsα

sαsβsα sαsβsα sαsβ 1 sβsα sα sβsβ sβ sβsα sαsβ 1 sαsβsα sαsβsα sβsα sβ sα sαsβ 1 sαsβsαsβ sαsβ sαsβsα sβ sα sβsα 1

Deste modo, W ∼= S3 (S3 é o grupo simétrico de grau 3); note quesα ↔ (12), sβ ↔ (23) e sαsβsα = sβsαsβ ↔ (13). Agora, vamos encontraras multiplicidades da representação irredutível Γλ de peso mais alto λ =ω1 + 3ω2. Lembre que o conjunto dos pesos de Γλ é invariante sob o grupode Weyl e que dim Γµλ = dim Γ

w(µ)λ para todo peso µ de Γλ e w ∈W. Assim,

obtemos a nova tabela


Tabela 3:

µ (pesos de Γλ) mµ (µ+ ρ, µ+ ρ) µ = m1ω1 +m2ω2

λ 1 28/3 ω1 + 3ω2

λ− α 1 25/3 −ω1 + 4ω2

λ− β 1 19/3 2ω1 + ω2

λ− α− β 2 13/3 2ω2

λ− 2α 1 16/3 3ω1 − ω2

λ− α− β 2 7/3 ω1

λ− 2α− β 1 13/3 −2ω1 + 3ω2

λ− 3β 1 19/3 4ω1 − 3ω2

λ− 2α− 2β 2 4/3 −ω1 + ω2

λ− α− 3β 2 7/3 2ω1 − 2ω2

λ− α− 4β 1 13/3 3ω1 − 4ω2

λ− 2α− 3β 2 1/3 −ω2

λ− 3α− 2β 1 7/3 −3ω1 + 2ω2

λ− 2α− 4β 1 4/3 ω1 − 3ω2

λ− 3α− 3β 2 1/3 −2ω2

λ− 3α− 4β 1 1/3 −ω1 − 2ω2

λ− 4α− 3β 1 7/3 −4ω1 + ω2

λ− 4α− 4β 1 4/3 −3ω1 − ω2

Por exemplo, λ− α− 4β é peso de Γλ com multiplicidade 1, pois sβsα(λ) =λ−α−4β; pela fórmula de Freudenthal mλ−α−β = 2, em particular, λ−α−βtambém é peso de Γλ. De fato,(

283− 13

3

)mλ−α−β = 2((λ− β, α)mλ−β + (λ− α, β)mλ−α + (λ, α + β)mλ) =2(1 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1)⇒ 5mλ−α−β = 2 · 5⇒ mλ−α−β = 2.

Lema 8.4.3. Sejam Γλ, µ um peso de Γλ e α ∈ R como no enunciado doTeorema 8.3.1. Então, ∑

j∈Z

(µ+ jα, α)mµ+jα = 0.

Demonstração. Considere o slα-módulo⊕

j∈Z(Γλ)µ+jα. Como slα é simples,

temos que slα = [slα, slα]. Logo, o traço desta ação em qualquer elemento deslα é zero. Em particular,

0 = tr⊕j∈Z(Γλ)µ+jαφ(hα) =∑j∈Z

(µ+ jα, α)mµ+jα.

8.5 Fórmulas de Weyl 78

Corolário 8.4.1. A Fórmula de Freudenthal por ser escrita como:

(λ, λ+ 2ρ)mµ =∑α∈R

∞∑j=1

(µ+ jα, α)mµ+jα + (µ, µ)mµ.

Demonstração. Do lema anterior,

∞∑j=1

−(µ− jα, α)mµ−jα =∞∑j=1

(µ+ jα, α)mµ+jα + (µ, α)mµ

e o resultado segue.

Observação 8.4.3. Podemos trocar a variação do j na fórmula anterior de0 à ∞, pois caso j = 0, temos que (µ, α)mµ + (µ,−α)mµ = 0.

8.5 Fórmulas de Weyl

Nesta subseção, considere a álgebra de grupo R[Λ]. Assim, R[Λ] ∼=R[T±1

1 , . . . , T±1n ], em particular, R[Λ] é um domínio de integridade. Por outro

lado, temos a ação natural do grupo de Weyl W em R[Λ]:

W × R[Λ] → R[Λ](w, p =

∑aλe

λ) 7→ w · p =∑aλe

w(λ).

Denição 8.5.1. Um elemento p ∈ R[Λ] é dito simétrico se w · p = p paratodo w ∈W; p é dito alternado se w · p = det(w)p.

Observação 8.5.1. Lembre que os únicos autovalores das simetrias comαi ∈ S são ±1. Isto mostra que det(w) = ±1 para todo w ∈W.

Dena a aplicação

A : R[Λ] → R[Λ]

p 7→∑w∈W

det(w)w · p.

que possui as seguintes propriedades:

Proposição 8.5.1. (a) Para todo p ∈ R[Λ], A(p) é alternado.

(b) Se p ∈ R[Λ] é alternado, então A(p) = |W|p.


(c) Todo elemento alternado pode ser escrito como combinação linear doselementos A(eµ), onde µ é estritamente dominante, ou seja, µ(Hi) > 0para todo i = 1, . . . , n.

Demonstração. (a): Note que se s ∈W, então

s · A(p) = s ·

(∑w∈W

det(w)w · p

)=∑w∈W

det(w)s · (w · p)

= det(s)∑w∈W

det(ws)(ws) · p = det(s)A(p).

(b): Tome p ∈ R[Λ] alternado. Logo,

A(p) =∑w∈W

det(w)w · p =∑w∈W

det(w)2p = |W|p.

(c): Considere p =∑

λ aλeλ ∈ R[Λ] alternado. Pelo item (b),

p =A(p)

|W|=∑λ

∑w∈W

det(w)

|W|aλe

w(λ) =∑λ

aλ|W|

A(eλ), (3)

ou seja, todo elemento alternado é combinação linear dos elementos A(eλ),onde λ ∈ Λ. Pelo item (a), A(eλ) = ±A(ew(λ)) para todo w ∈ W. Vimosno Lema 8.1.2 que para todo λ ∈ Λ, existe s ∈W tal que s(µ) é dominante.Destes dois fatos, podemos substituir A(eλ) por ±A(eβ) caso necessário, ondeβ = w(λ), em (3) para obter uma combinação linear de elementos A(eµ) talque µ é dominante. Agora, se existe uma raiz simples αi tal que µ(Hi) = 0(ou de forma equivalente, sαi(µ) = µ), então

A(eµ) = det(sαi)A(esαi (µ)

)= −A(eµ)⇒ A(eµ) = 0

e o resultado é válido.

Proposição 8.5.2. Seja λ ∈ Λ. Então, w(λ) ≤ λ para todo w ∈ W. Alémdisso, seu estabilizador Stabλ é gerado por si | λ(Hi) = 0. Em particular,se λ é estritamente dominante Stabλ = 1.

Demonstração. Considere w = si1 · · · sit (w 6= Id) uma expressão reduzidapara w ∈W e dena

λr = sir · · · sit(λ), onde 1 ≤ r ≤ t.


Então,

(λr, αir−1) = (sir · · · sit(λ), αir−1) = (λ, sit · · · sir(αir−1)) ≥ 0,

pois pela Proposição 5.4.3, sit · · · sir(αir−1) ∈ R+\αir−1. Daí,

λr−1 = sir−1(λr) = λr − λr(αir−1)αir−1 ≤ λr.

Portanto, w(λ) ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λt ≤ λ e w(λ) = λ se, e só se, λk = λ para todok se, e só se, (λ, αi1) = · · · = (λ, αit) = 0.

Lema 8.5.1. Seja

q = e−ρ∏α∈R+

(eα − 1) = eρ∏α∈R+

(1− e−α) ∈ R[Λ].

Então, q = A(eρ).

Demonstração. Lembre que se γ ∈ S, então(i) sγ(R

+\γ) = R+ − γ.(ii) sγ(ρ) = ρ− γ.(iii) sγ(γ) = −γ.

Armamos que q é alternado. De fato,

sγ · q = eρ−γ(1− eγ)∏

α∈R+\γ

(1− e−α)

= eρ(e−γ − 1)∏

α∈R+\γ

(1− e−α) = −q

e a armação é válida. Por denição, q é combinação linear dos elementoseµ, onde

µ = ρ−∑α∈R+

εαα com εα = 1 ou 0⇒ µ ≤ ρ.

Por outro lado, como q é alternado, q =∑

β cβA(eβ) para β estritamentedominante (ou seja, β(Hi) ≥ 1 para todo i) e escalares cβ não-nulos. Sei = 1, . . . , n, então

(ρ− β)(Hi) = ρ(Hi)− β(Hi) ≤ 0⇒ (ρ− β, α) ≤ 0, ∀α ∈ R+

e consequentemente,

0 ≤ (ρ− β, ρ− β) =

(ρ− β,

∑α∈R+

εαα

)=∑α∈R+

εα(ρ− β, α) ≤ 0⇒ ρ = β.


Deste modo, concluímos que q = cA(eρ) para algum escalar c. Mas, usandoa denição de q:

q = eρ + combinação linear de termos eλ, onde λ < ρ⇒ c = 1.

Portanto, q = A(eρ).

Agora, considere o espaço Euclidiano E = R ⊗Q E (apresentado naSubseção 6.1) e estenda o produto interno ( , ) a R[Λ]⊗R E fazendo

(eβ1 ⊗ λ1, eβ2 ⊗ λ2) = (λ1, λ2)eβ1+β2 .

Ao mesmo tempo, dena as aplicações R-lineares

∇ : R[Λ] → R[Λ]⊗R E, ∆ : R[Λ] → R[Λ]eµ 7→ eµ ⊗ µ eµ 7→ (µ, µ)eµ

que satisfazem

(i) ∇(fg) = f∇(g) + g∇(f).

(ii) ∆(fg) = f∆(g) + g∆(f) + 2(∇(f),∇(g)).

Teorema 8.5.1 (Fórmula de Weyl para caractere). Para todo λ ∈ Λ+,

ch(Γλ) = chλ =A(eλ+ρ)

A(eρ)·

Demonstração. Pelo Corolário 8.4.1, temos que

(λ, λ+ 2ρ)mµ =∑α∈R

∞∑j=0

(µ+ jα, α)mµ+jα,α + (µ, µ)mµ

para todo µ ∈ Λ. Multiplicando a igualdade acima por eµ e somando em µobtemos

(λ, λ+ 2ρ)chλ =∑µ∈P

∑α∈R

∞∑j=0

(µ+ jα, α)mµ+jαeµ + ∆(chλ). (4)

Por outro lado,∏α∈R

(eα − 1) =∏α∈R+

(eα − 1)(e−α − 1) = εq2 com ε = ±1.


Multiplicando (4) por εq2 temos

ε(λ, λ+ 2ρ)chλq2 − ε∆(chλ)q

2

=∑µ∈Λ

∑α∈R

∞∑j=0

(µ+ jα, α)mµ+jαeµ∏α∈R

(eα − 1)

=∑µ∈Λ

∑α∈R

∞∑j=0

(µ+ jα, α)mµ+jα(eµ+α − eµ)∏

β∈R\α

(eβ − 1)

=∑α∈R

∏β∈R\α

(eβ − 1)eα∑µ∈Λ

(∞∑j=0

(µ+ jα, α)mµ+jα −∞∑j=0

(µ+ α + jα, α)mµ+α+jα

)eµ

=∑α∈R

∏β∈R\α

(eβ − 1)eα∑µ∈Λ

mµ(µ, α)eµn

=

∑α∈R

eα ∏β∈R\α

(eβ − 1)⊗ α

,∑µ∈Λ

mµeµ ⊗ µ

= (∇(εq2),∇(chλ)) = 2εq(∇(q),∇(chλ))

= εq(∆(chλq)− chλ∆(q)− q∆(chλ)).

Observe que na terceira igualdade zemos uma substituição do tipo µ =ν − α. Isto mostra que (λ, λ + 2ρ)chλq = ∆(chλq) − chλ∆(q), mas, comoq =

∑w∈W

det(w)ew(ρ), obtemos

∆(q) =∑w∈W

det(w)(w(ρ), w(ρ))ew(ρ) =∑w∈W

det(w)(ρ, ρ)ew(ρ) = (ρ, ρ)q.

Usando os resultados encontrados e que R[Λ] é um domínio de integridade,conclui-se (q 6= 0):

∆(chλq) = (λ, λ+ 2ρ)chλq + chλ(ρ, ρ)q

= ((λ, λ+ 2ρ) + (ρ, ρ))chλq

= (λ+ ρ, λ+ ρ)chλq. (5)

Por denição, chλq =∑

w∈W, µ∈P (Γλ)

aw,µeµ+w(ρ), onde P (Γλ) é o conjunto dos

pesos de Γλ e aw,µ ∈ R, mas

∆(eµ+w(ρ)) = (µ+ w(ρ), µ+ w(ρ))eµ+w(ρ)

= (w−1(µ) + ρ, w−1(µ) + ρ)eµ+w(ρ),


isto é, eµ+w(ρ) é autovetor de ∆ com autovalor (w−1(µ) + ρ, w−1(µ) + ρ). Di-ante disso e como chλq =

∑aw,µe

µ+w(ρ), concluímos por (5) que (w−1(µ) +ρ, w−1(µ) + ρ) = (λ + ρ, λ + ρ). Pelo Lema 8.4.2, w−1(µ) = λ e con-sequentemente, µ = w(λ). Logo, chλq é combinação linear de elemen-tos da forma ew(λ+ρ). Sabemos que chλ é simétrico e q é alternado, logochλq =

∑w∈W awe

w(λ+ρ) alternado e podemos usar a Proposição 8.5.1, item(c). Deste modo, devemos ter w = Id, pois w(λ+ρ) é estritamente dominante,se e só se, w = Id. Daí, chλq = nA(eλ+ρ), para alguma constante n, ondeo coeciente de eλ+ρ é n. Ao mesmo tempo, o coeciente de eλ+ρ em chλqtambém é 1 (pelas denições de chλ e q). Portanto, n = 1 e chλq = A(eλ+ρ)como queríamos demonstrar.

Observação 8.5.2. Seja w ∈W. Então, w(λ+ρ) é estritamente dominante,se e só se, w = Id. De fato, considere w = Id. Logo, (λ+ρ)(Hi) = λ(Hi)+1 ≥1 para todo w ∈W. Por outro lado, tome w(λ+ ρ) estritamente dominantee suponha que w 6= Id. Vimos na Proposição 8.5.2 que sw(λ+ ρ) < w(λ+ ρ)para todo Id 6= s ∈W. Em particular, para w−1 obtemos λ+ ρ < w(λ+ ρ),absurdo.

Corolário 8.5.1 (Fórmula de Weyl). A dimensão da representação irredu-tível Γλ de dimensão nita é


(λ+ ρ, α)

(ρ, α)·

Demonstração. Fixe ν ∈ Λ e considere o homomorsmo de R-álgebras

ζν : R[Λ] → R[[t]]

eµ 7→ exp((µ, ν)t) =∞∑s=0

1

s!((µ, ν)t)s,

onde R[[t]] é o anel das séries formais na variável t. Deste modo, para todoµ, ν ∈ Λ:

ζν(A(eµ)) =∑w∈W

det(w) exp((w(µ), ν)t)

=∑w∈W

det(w) exp((µ,w−1(ν))t)

= ζµ(A(eν)).


Em particular,

ζρ(A(eµ)) = ζµ(A(eρ)) = ζµ(q)

= ζµ(e−ρ)∏α∈R+

(ζµ(eα − 1))

= exp((−ρ, µ)t)∏α∈R+

(exp((α, µ)t)− 1)

=∏α∈R+

(exp

(1

2(α, µ)t

)− exp

(−1

2(α, µ)t

)).

Por outro lado,

ζρ(chλq) = ζρ(chλ)∏α∈R+

(exp

(1

2(α, ρ)t

)− exp

(−1

2(α, ρ)t

)).

Também,

ζρ(A(eλ+ρ)) =∏α∈R+

(exp

(1

2(α, λ+ ρ)t

)− exp

(−1

2(α, λ+ ρ)t

)).

Se N = |R+|, então∏α∈R+

(exp

(1

2(α, µ)t

)− exp

(−1

2(α, µ)t

))

=

( ∏α∈R+

(α, µ)

)tN + termos de graus maiores que N.

Assim, analisando o coeciente de tN em ζρ(chλq) = ζρ(A(eλ+ρ)) (note que ocoeciente de t0 em ζρ(chλ) é dim Γλ), obtemos

dim Γλ∏α∈R+

(α, ρ) =∏α∈R+

(α, λ+ ρ)

e o resultado é válido.

Observação 8.5.3. A Fórmula de Weyl ca extremamente fácil quando λ éum múltiplo de ρ, pois se λ = aρ temos


(a+ 1)(ρ, α)

(ρ, α)= (a+ 1)N ·

85

9 A álgebra excepcional g2

Na Seção 5, armamos que existe uma álgebra de Lie simples de formaque seu diagrama de Dynkin é do tipo G2. Agora, vamos descrever esta álge-bra que a denotamos de álgebra excepcional g2 a partir do seu diagramade Dynkin bem como algumas das suas representações.

9.1 Grupo de Weyl

Vimos que o diagrama de Dynkin de g2 é da forma

e sua matriz de Cartan é

C =

(2 −1−3 2

).

Denote R o conjunto das raízes de g2, S = α, β uma base de R e Wo grupo de Weyl. De C, concluímos que n(α, β) = −1 e n(β, α) = −3. Daí,

n(α, β) = −1⇒ 2(β, α)

(β, β)= −1⇒ (β, β) = −2(β, α)

e de modo similar, (α, α) = −23(α, β). Assim, fazendo a normalização

(α, α) = 2, resulta que (α, β) = −3 e (β, β) = 6. Por outro lado, sabe-mos que o ângulo entre as duas raízes simples α e β é 5π/6. Desta forma,

• α + β ∈ R, pois o ângulo entre elas é obtuso.

• sα(β) = β − n(α, β)α = 3α + β ∈ R.

• sα(α + β) = α + β − n(α, α + β)α = 2α + β ∈ R.

• sβ(3α + β) = 3α + β − n(α, 3α + β)α = 3α + 2β ∈ R.

Portanto, R = ±α,±β,±(α+ β),±(2α+ β),±(3α+ β),±(3α+ 2β).Além disso, se sα e sβ são as simetrias com α e β, respectivamente, então

sαsβ(α) = 2α + β sαsβ(β) = −(3α + β)sαsβ(2α + β) = α + β sαsβ(−3α− β) = −(3α + 2β)sαsβ(α + β) = −α sαsβ(−3α− 2β) = −βsαsβ(−α) = −(2α + β) sαsβ(−β) = 3α + βsαsβ(−2α− β) = −(α + β) sαsβ(3α + β) = 3α + 2βsαsβ(−α− β) = α sαsβ(3α + 2β) = β,

9.2 Construção de g2 pelo seu diagrama de Dynkin 86

ou seja, (sαsβ)6 = 1. Note que como sα, sβ, sαsβ ∈W, estas simetrias permu-tam as raízes. Também, já vimos que qualquer simetria tem ordem 2, logo,se sαsβ = a e sα = b, temos

〈a, b〉 = 1, a, a2, . . . , a5, b, ab, a2b, . . . , a5b ⊆W,

onde s2α = (sαsβ)6 = 1 e sα(sαsβ)sα = (sαsβ)−1 = sβsα. Isto signica que

〈a, b〉 ∼= D6

(D6 é o grupo diedral de ordem 12). Mas, é imediato que W ⊆ 〈a, b〉 pelofato de que sα e sβ estão contidos em 〈a, b〉. Portanto, W ∼= D6.

9.2 Construção de g2 pelo seu diagrama de Dynkin

No que segue, denote αi para as raízes positivas com α1 = α, α2 = β,α3 = α + β, α4 = 2α + β, α5 = 3α + β, α6 = 3α + 2β e as raízes negati-vas por βi = −αi, onde i = 1, . . . , 6. Sabemos que cada gα2 com α ∈ R é1-dimensional e que h é 2-dimensional (na notação de g2, o subíndice 2 sig-nica o posto da álgebra de Lie); tome X1 ∈ gα1

2 , X2 ∈ gα22 , Y1 ∈ gβ12 e

Y2 ∈ gβ22 . Denote H1 = [X1, Y1] e H2 = [X2, Y2] os únicos elementos de h taisque αi(Hi) = 2 para i = 1, 2 e observe que H1 e H2 geram h. Daí,

[H1, X1] = 2X1, [H2, X2] = 2X2, [H1, Y1] = −2Y1 e [H2, Y2] = −2Y2.

Isto signica que Hi, Xi, Yi formam uma base para a subálgebra sαi deg2 isomorfa a sl2(C). De acordo com o Teorema 6.1.3, denimos os elementosnão-nulos

X3 = [X1, X2], X4 = [X1, X3], X5 = [X1, X4], X6 = [X2, X5] (1)

e de modo análogo, dena Y3, . . . , Y6 de tal modo que H1, H2, X1, . . . , X6,Y1, . . . , Y6 formam uma base para g2 (14-dimensional). Nossa próxima tarefaé mostrar uma tabela apresentando as relações de comutação entre esteselementos básicos. Algumas relações já encontramos acima e outras seguemde: [Xα, Xβ] ∈ gα+β

2 e [Xα, Xβ] = 0 se α + β não é raiz. Assim, deduzimosque

[X1, X5] = [X1, X6] = [X2, X3] = [X2, X4] = [X2, X6] = [X3, X5]

= [X3, X6] = [X4, X5] = [X4, X6] = [X5, X6] = 0


e também

[Y1, Y5] = [Y1, Y6] = [Y2, Y3] = [Y2, Y4] = [Y2, Y6] = [Y3, Y5]

= [Y3, Y6] = [Y4, Y5] = [Y4, Y6] = [Y5, Y6] = 0.

Similarmente, [Xi, Yj] = 0 quando αi + βj não é raiz. Isto nos diz que

[X1, Y2] = [X1, Y6] = [X2, Y1] = [X2, Y4] = [X2, Y5] = [X3, Y5]

= [X4, Y2] = [X5, Y2] = [X5, Y3] = [X6, Y1] = 0.

Note que −3 = n(α2, α1) = 〈α∗1, α2〉 = α2(H1) = −3 e de modo aná-logo, −1 = α1(H2) (utilizando as relações de Weyl, Teorema 6.2.2). Podemosconsiderar g2 um sl2(C)-módulo (via adjunta) de duas formas distintas: to-mando a subálgebra gerada por H1, X1, Y1 e a gerada por H2, X2, Y2. Noprimeiro caso, temos

(a) Três representações triviais, geradas por X6, Y6 e H2:

[H1, X6] = α6(H1)X6 = (3α1 + 2α2)(H1)X6 = (3 · 2 + 2 · (−3))X6 = 0,[H1, Y6] = β6(H1)Y6 = −α6(H1)Y6 = 0,[H1, H2] = 0 (h é abeliana).

(b) Uma representações adjunta, gerada porX1, Y1, H1: já vimos que [H1, X1] =2X1 e [H1, Y1] = −2Y1.

(c) Duas representações 4-dimensionais, uma gerada por X2, X3, X4, X5 eoutra por Y2, Y3, Y4, Y5:

[H1, X2] = α2(H1)X2 = −3X2,[H1, X3] = α3(H1)X3 = (α1 + α2)(H1)Y6 = (2− 3)X3 = −X3,[H1, X4] = α4(H1)X4 = (2α1 + α2)(H1)Y6 = (2 · 2− 3)X3 = X4,[H1, X5] = α5(H1)X5 = (3α1 + α2)(H1)Y6 = (3 · 2− 3)X3 = 3X5

e de modo análogo

[H1, Y2] = 3Y2,[H1, Y3] = Y3,[H1, Y4] = −Y4,[H1, Y5] = −3Y5.

Já no segundo caso,


(a) Três representações triviais, uma gerada por X4, Y4 e H1.

(b) Uma representações adjunta, gerada por X2, Y2, H2.

(c) Quatro representações 2-dimensionais, geradas por X6 e X5, X3 e X1,Y1 e Y3, Y5 e Y6.

Deste modo, usando as ações de sα1 e sα2 em g2, obtemos algumas dasrelações de comutação. Por exemplo, vimos que g2 possui uma representaçãogerada por X5 e X6 (sob a ação de sα2) e que ad(X2) leva X5 em X6, logodevemos ter ad(Y2)X6 = X5:

ad(Y2)X6 = ad(Y2)ad(X2)X5

= ad(X2)ad(Y2)(X5)− ad([X2, Y2])X5

= 0− ad(H2)X5 = X5.

Similarmente, ad(X2) leva X1 em −X3 que juntos geram um repre-sentação de sα2 (ad(Y2)(−X3) = X1); como ad(Y2)Y1 = −Y3, segue quead(Y2)Y3 = −Y1 e de modo análogo, ad(Y2)Y5 = Y6 implica que ad(X2)Y6 =Y5.

Agora, considerando a ação de sα1 e vamos determinar os valores dead(X1) e ad(Y1) em vários vetores da base. Primeiramente, tome a represen-tação gerada pelos elementos X2, . . . , X5 e já sabemos que ad(X1)X2 = X3 ead(H1)X2 = −3X2. Também, temos

ad(Y1)X3 = ad(Y1)ad(X1)X2

= ad(X1)ad(Y1)(X2)− ad([X1, Y1])X2

= 0− ad(H1)X2 = 3X2.

Usando isto, podemos encontrar que ad(Y1)X4 = 4X3 e ad(Y1)X5 =3X4. Analogamente, sabemos que ad(Y1) : Y2 7→ Y3, Y3 7→ Y4 e Y4 7→ Y5, logoad(X1) : Y3 7→ 3Y2, Y4 7→ 4Y3 e Y5 7→ 3Y4.

Ainda não sabemos as relações de comutação dos elementos da base Xi

e Yj para i, j ≥ 0, mas utilizando (1) podemos encontrar estas relações. Porexemplo, para descobrir o comutador [X3, Y3], substituímos X3 por [X1, X2]:

[X3, Y3] = [[X1, X2], Y3]

= [X1, [X2, Y3]]− [X2, [X1, Y3]]

= −H1 − 3H2.


De modo análogo, verica-se que [X3, X4] = −X6. Deste modo, encon-tramos todos os comutadores com o elemento X3; sabendo isto e utilizandoa relação X4 = [X1, X3], calculamos todos os comutadores que envolvem X4.Repetindo este processo, encontramos todas as relações de comutação queestão descritas na Tabela 4.

Note que com a base escolhida, encontramos relações do tipo [X6, Y6] =36H1 + 72H2. Mas, podemos fazer uma normalização da base para obterrelações mais sucintas como segue (podemos realizar este procedimento de-vido ao fato de que cada gα2 é 1-dimensional): divida X4 e Y4 por 2; dividaX5, X6, Y5, Y6 por 6; mude o sinal de X5 e Y3. Assim, obtemos a Tabela 5.

9.2 Construção de g2 pelo seu diagrama de Dynkin 90Tabela

4:

H2

X1

Y1

X2

Y2

X3

Y3

X4

Y4

X5

Y5

X6

Y6

H1

02X

1−2Y

1−3X

23Y2−X

3Y3

X4

−Y4

3X5

−3Y5

00

H2

−X

1Y1

2X2−2Y2

X3

−Y3

00

−X

5Y5

X6

−Y6

X1

H1

X3

0X

43Y

2X

54Y3

03Y

40

0Y1

0Y3

3X2

Y4

4X3

Y5

3X4

00

0X

2H

20

−Y1

00

X6

00

Y5

Y2

−X

10

00

0Y6

X5

0X

3−H

1−3H

2−X

64Y1

00

03Y

4

Y3

4X1

−Y6

00

3X4

0X

48H

1+12H

20

−12Y1

012Y

3

Y4

−12X

10

12X

30

X5

−36H

1−

36H

20

36Y

2

Y5

36X

20

X6

36H

1+72H

2

9.2 Construção de g2 pelo seu diagrama de Dynkin 91Tab

ela5:

H2

X1

Y1

X2

Y2

X3

Y3

X4

Y4

X5

Y5

X6

Y6

H1

02X

1−

2Y1−

3X2

3Y2−X

3Y

3X

4−Y

43X

5−

3Y5

00

H2

−X

1Y

12X

2−

2Y2

X3

−Y

30

0−X

5Y

5X

6−Y

6

X1

H1

X3

02X

4−

3Y2−

3X5

−2Y

30

Y4

00

Y1

0−Y

33X

2−

2Y4

2X3

3Y5−X

40

00

X2

H2

0Y

10

0−X

60

0Y

5

Y2

−X

10

00

0Y

6−X

50

X3

H1

+3H

2−

3X6

2Y1

00

0Y

4

Y3

−2X

13Y

60

0−X

40

X4

2H1

+3H

20

−Y

10

−Y

3

Y4

X1

0X

30

X5

H1

+H

20

−Y

2

Y5

X2

0X

6H

1+

2H2

9.3 Representações 92

Existe um outro bom motivo para multiplicarmos os vetores da basepor estes escalares, pois se denotarmosH3 = H1+3H2, H4 = 2H1+3H2, H5 =H1 +H2 e H6 = H1 + 2H2 encontramos

Hi = [Xi, Yi], [Hi, Xi] = 2Xi e [Hi, Yi] = −2Yi, para i = 1, . . . , 6.

O procedimento realizado anteriormente nos dá uma completa descriçãoda álgebra de Lie g2, mas ainda temos de vericar se a identidade de Jacobié válida para os 14 elementos da base (e consequentemente, para quaisquerelementos em g2), assim, devemos calcular

(143

)= 364 igualdades. Felizmente,

podemos vericar este fato de uma forma mais eciente observando que g2

possui uma subálgebra g0 isomorfa a sl3 e que g2 = g0⊕W ⊕W ∗, ondeW é arepresentação fundamental de sl3 eW ∗ sua representação dual. A subálgebrag0 de g é descrita abaixo

g0 = 〈H5, H2, X5, Y5, X2, Y2, X6, Y6〉,

com as identicações H5 7→ e11 − e22, H2 7→ e22 − e33, X5 7→ e12, Y5 7→e21, X2 7→ e23, Y2 7→ e32, X6 7→ e13, Y6 7→ e31 (eij é a matriz 3×3 com 1 na en-trada ij e 0 nas restantes), sendo que e11− e22, e22− e33, e12, e21, e23, e32, e13,e31 é uma base para sl3. Este isomorsmo pode ser vericado a partir dastabelas de multiplicação destas duas álgebras de Lie e todo o procedimentocitado acima pode ser visto em [1], página 346.

Uma outra construção de g2 é realizada a partir dos octônios (O), maisprecisamente, a complexicação do conjunto das derivações de O formamuma álgebra de Lie (sobre C) simples de dimensão 14. Portanto, podemosescrever

Der(O)⊗R C ∼= g2.

A prova desta armação é feita da seguinte forma: mostramos queDer(O) forma uma álgebra de Lie (sobre R) e que possui dimensão 14;verica-se que Der(O) é semissimples pela Observação 2.1.1; usando o fatode que Der(O) é semissimples, concluímos que a complexicação de Der(O)é simples; pelo Teorema 5.8.2, Der(O)⊗R C ∼= g2 (veja [1], página 363).

9.3 Representações

Usando as fórmulas de Freudenthal e Weyl, podemos caracterizar asrepresentações de g2. Já sabemos que

R+ = α, β, α + β, 2α + β, 3α + β, 3α + 2β


e é fácil encontrar os pesos fundamentais de g2 (basta usar a matriz deCartan) que são dados por ω1 = 2α + β e ω2 = 3α + 2β.

Agora, considere o g2-módulo irredutível Γa,b de peso mais altoλ = aω1 + bω2. Então,

• ρ =1

2(α+β+α+β+ 2α+β+ 3α+β+ 3α+ 2β) = 5α+ 3β = ω1 +ω2.

• (α, λ+ ρ)

(α, ρ)=

(a+ 1)(α, 2α + β) + (b+ 1)(α, 3α + 2β)

(α, 2α + β) + (α, 3α + 2β)= a+ 1.

• (β, λ+ ρ)

(β, ρ)=

(a+ 1)(β, 2α + β) + (b+ 1)(β, 3α + 2β)

(β, 2α + β) + (β, 3α + 2β)= b+ 1.

• (α + β, λ+ ρ)

(α + β, ρ)=

(α, λ+ ρ) + (β, λ+ ρ)

(α, ρ) + (β, ρ)=a+ 1 + 3(b+ 1)

1 + 3·

• (2α + β, λ+ ρ)

(2α + β, ρ)=

2(α, λ+ ρ) + (β, λ+ ρ)

2(α, ρ) + (β, ρ)=

2(a+ 1) + 3(b+ 1)

2 + 3·

• (3α + β, λ+ ρ)

(3α + β, ρ)=

3(α, λ+ ρ) + (β, λ+ ρ)

3(α, ρ) + (β, ρ)=

3(a+ 1) + 3(b+ 1)

3 + 3·

• (3α + 2β, λ+ ρ)

(3α + 2β, ρ)=

3(α, λ+ ρ) + 2(β, λ+ ρ)

3(α, ρ) + 2(β, ρ)=

3(a+ 1) + 6(b+ 1)

3 + 6·

Pela fórmula de Weyl,

dim Γa,b

=(a+ 1)3(b+ 1)(a+ 3b+ 4)(2a+ 3b+ 5)(3a+ 3b+ 6)(3a+ 6b+ 9)

1 · 3 · 4 · 5 · 6 · 9

=(a+ 1)(a+ b+ 2)(2a+ 3b+ 5)(a+ 2b+ 3)(a+ 2b+ 3)(a+ 3b+ 4)(b+ 1)

120·

Podemos vericar que quando a = 1, b = 0 e a = 0, b = 1, obtemos asdimensões 7 e 14 para as representações fundamental e adjunta, respectiva-mente. Por outro lado, note que quando a = b = 1, a Observação 8.5.3 nosdiz que dim Γ1,1 = 26 = 64.

Diante deste resultado, iremos descrever a representação fundamentalde g2. Sejam V = Γ1,0 e 0 6= v4 ∈ V α4 . Já vimos que o grupo de WeylW é gerado por sα e sαβ e que o conjunto de pesos é invariante sob a açãode W. Logo, obtemos os seguintes pesos de V : α + β = sα(α + β),−α =


sαβ(α + β), sαβ(−α) = −2α − β,−α − β = sαβ(−2α − β), α = sα(−α),sendo que todos possuem multiplicidade 1 (Observação 7.4.1). Finalmente,falta encontrar o último peso que deve ter multiplicidade 1, pois dim V = 7.Sendo assim, a única possibilidade é o peso 0. De fato, se µ 6= 0 é um pesode V diferente dos já obtidos, então sα(µ) 6= µ também será um peso, logo adimensão de V seria maior que 7. Isto nos mostra que os elementos:

v4 ∈ V α4 , v3 = Y1v4 ∈ V α3 , v1 = Y2v3 ∈ V α1 , u = Y1v1 ∈ V 0,w1 = Y1u ∈ V β1 , w3 = Y2w1 ∈ V β3 e w4 = Y1w3 ∈ V β4

formam uma base para V .

Por outro lado, a representação adjunta Γ0,1 possui as raízes juntamentedo 0 como pesos, em que a multiplicidade de 0 é dois. Assim, temos oisomorsmo

∧2 V ∼= Γ0,1 ⊕ V (basta encontrar os pesos juntamente com asmultiplicidades de

∧2 V e compará-los com os de Γ0,1 ⊕ V ).Do mesmo modo que zemos ao sl2, podemos descrever completamente

as representações SymaV :

SymaV =

[a/2]⊕k=0

Γa−2k,0,

onde [a/2] é o maior inteiro menor ou igual a a/2.

REFERÊNCIAS 95

Referências

[1] William Fulton and Joe Harris. Representation theory, volume 129 ofGraduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 1991.

[2] James E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representationtheory, volume 9 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York,1978.

[3] Serge Lang, Algebra. Addison-Wesley Reading, Massachusetts, 1972.

[4] J.P. Serre, Complex Semisimple Lie Algebras. Springer, New York, 2001.

[5] N. Bourbaki, Groupes et Algèbres de Lie, Chapters 7-9. Paris: Hermann,1968.

[6] N. Jacobson, Lie algebras. Dover, New York, 1962.

[7] J.P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, volume 42 of Gra-duate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1977.

[8] Grame Segal, Representation ring of a compact Lie group, Publicationsmathematiques de l`.H.E.S, 34 (1968), p. 113-128.

Índice Remissivo

Álgebra de Lie, 1nilpotente, 8semissimples, 8simples, 3solúvel, 7

Álgebra de grupo, 64

Anel de representações, 66

Bandeira, 10Base (do sistema de raízes), 34

Câmara Fundamental de Weyl, 62Câmaras de Weyl, 62Caractere, 65Centralizador, 2Colchete, 1Comutador, 1Critério de Cartan, 14

Derivação, 4Diagrama de Dynkin, 38

Elemento de Casimir, 71Elemento primitivo, 25Elemento universal de Casimir, 72Envolvente universal, 49

Fórmula de Freudenthal, 74Fórmula de Weyl, 83

para caractere, 81Forma de Killing, 13

Grupo abeliano livre, 63Grupo de Weyl, 32

Identidade de Jacobi, 1

Lema de Schur, 17

Matriz de Cartan, 37

Multiplicidade, 50

Normalizador, 3

Peso, 24, 40, 50dominante, 60estritamente dominante, 79fundamental, 60mais alto, 53

Posto, 19

Radical, 8Raiz, 31, 40

inversa, 31positiva, 35simples, 35

Regra de Leibniz, 59Relações de Weyl, 47Representação, 5

completamente redutível, 6irredutível, 6

Reticulado depesos, 60

Simetria, 30Sistema de raízes, 31

irredutível, 38reduzido, 31

Subálgebra deBorel, 24, 47Cartan, 18

Teorema deClebsch-Gordon, 71Engel, 10Lie, 11Weyl, 16

96

Documents

Fórmula de Caractere para Álgebras de Lie Semissimples ... · vi Introdução O objetivo deste trabalho é estudar as álgebras de Lie semissimples de dimensão nita sobre C, bem