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Universidade Federal da Bahia -UFBAInstituto de Matemática e Estatística - IMEPrograma de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT
Dissertação de Mestrado
Identidades Polinomiais para as Álgebras deLeibniz de Dimensão Menor ou Igual a 3
Alberoni Ferreira de Melo Junior
Salvador-BahiaOutubro de 2017
Identidades Polinomiais para as Álgebras deLeibniz de Dimensão Menor ou Igual a 3
Alberoni Ferreira de Melo Junior
Dissertação de Mestrado apresentada aoColegiado da Pós-Graduação em Matemática daUniversidade Federal da Bahia como requisitoparcial para obtenção do título de Mestre emMatemática.
Orientadora: Profa. Dra. Manuela da SilvaSouza.
Salvador-BahiaOutubro de 2017
Melo Junior, Alberoni Ferreira de, 1985Identidades Polinomiais para as Álgebras de Leibniz de Dimensão Me-
nor ou Igual a 3 / Alberoni Ferreira de Melo Junior. – Salvador: UFBA,2017.
77 f.
Orientadora: Profa. Dra. Manuela da Silva Souza.Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de
Matemática e Estatística, Programa de Pós-graduação em Matemática,2017.
1. PI-Álgebras. 2. Leibniz, Álgebra de. I. Souza, Manuela da Silva.II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática e Estatís-tica. III. Título.
CDU : 512.62
A DEUS, mãe, namorada,parentes e amigos.
Agradecimentos
Deus sabe como foi difícil para mim! Nos últimos meses eu estava “já cansado,mas ainda perseguindo” (Juízes 8:4). Sinto, porém, gratidão e paz pela consciência dodever cumprido, segundo a Sua vontade. Por isso a Ele toda honra e glória!
Agradeço à minha mãe pela dedicação e pela paciência. À minha namorada peloapoio e pela companhia nas horas difíceis. Agradeço também aos parentes, amigos ecolegas pelo incentivo e pela ajuda.
Agradeço à professora Manuela, que me aceitou já na metade do curso e pacien-temente me orientou. Aos demais professores e equipe de funcionários da Pós-Graduaçãotambém dedico meu “muito obrigado”.
Agradeço à banca examinadora pela disponibilidade, presença e contribuição.E finalmente agradeço à FAPESB e à CAPES pelo apoio financeiro concedido a
mim durante todo o meu mestrado.
“Mas esforçai-vos, e não desfaleçam as vos-sas mãos; porque a vossa obra tem uma re-compensa.”
II Crônicas 15:7
Resumo
Seja L uma álgebra sobre um corpo qualquer. Suponha que tal álgebra satisfaz,para todo x, y, z em L, a identidade de Leibniz
(xy)z = (xz)y + x(yz).
Esta álgebra, chamada de álgebra de Leibniz, é uma generalização das álgebras de Lie.Neste trabalho classificamos, a menos de isomorfismo, as álgebras de Leibniz de dimensãomenor ou igual a 3 sobre o corpo dos Números Complexos. Mostramos as bases dasidentidades de algumas destas álgebras. Isto é novo na literatura.
Palavras-chave: Identidades Polinomiais, Álgebras de Leibniz, T-ideais.
Abstract
Let L be an algebra over a field. Suppose that such algebra satisfies, for all x, y, zin L, the Leibniz identity
(xy)z = (xz)y + x(yz).
This algebra, called Leibniz algebra, is a generalization of Lie algebras. In this work, isgiven the classification, up to isomorphism, of Leibniz algebras of dimension less than orequal to 3 over the field of Complex Numbers. We show the bases of the identities ofsome of these algebras. This is new in the literature.
Keywords: Polynomial Identities, Leibniz Algebras, T-ideals.
Sumário
Introdução 1
1 Preliminares 31.1 Propriedades Básicas de Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Álgebras Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Álgebras com Identidades Polinomiais, Variedades e T-Ideais . . . . . . . . 111.4 Polinômios Multihomogêneos e Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Classificação das Álgebras de Leibniz de Dimensão Menor ou Igual a 3 222.1 Determinação das Álgebras de Lie de Dimensão Menor ou Igual a 3 . . . . 242.2 Determinação das Álgebras de Leibniz de Dimensão Menor ou Igual a 3 . . 36
3 T-Ideais de Algumas Álgebras de Leibniz 563.1 T-Ideais das Álgebras de Leibniz Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 T-Ideais de Algumas Álgebras de Leibniz Tridimensionais . . . . . . . . . . 67
Conclusão 75
Referências 76
Introdução
Um interesse geral por PI-teoria (teoria das identidades polinomais) iniciou-se naprimeira metade do século XX, ganhando ascensão no final dos anos 40 depois de umtrabalho de Kaplansky que sugeriu que a existência de uma identidade polinomial parauma álgebra pode dar informações a respeito da sua estrutura. Nos primeiros trabalhosaparecem algumas identidades polinomiais para a álgebra das matrizes de ordem 2. Massó depois de uma década que esse estudo se intensificou, a partir do artigo de Amitsur eLevitzki, que deu notoriedade ao tema.
Uma identidade polinomial de uma álgebra sobre um corpo F é um polinômio quese anula quando avaliado em quaisquer elementos da álgebra. Álgebras com pelo menosuma identidade não trivial são chamadas PI-álgebras. Aqui entende-se por polinômioum elemento da álgebra livre F{X} gerada livremente por um conjunto enumerável devariáveis X = {x1, x2, . . . }.
A análise das identidades polinomais satisfeitas por uma álgebra é relevante emambientes não associativos, apesar de existirem poucos resultados a respeito. A maiorparte deles tem como ambiente as álgebras de Lie ou de Jordan. As álgebras de Lie desem-penham um papel importante em diferentes áreas da matemática e da física. Seu estudoe suas aplicações têm se elevado a diferentes generalizações. Uma delas foi redescobertapor Jean-Louis Loday [11] na década de 90: a álgebra de Leibniz.
A álgebra de Leibniz foi assim nomeada por Loday por causa de uma identidadeque esta álgebra satisfaz, a identidade de Leibniz: uma álgebra L sobre um corpo F échamada de álgebra de Leibniz se satisfaz
(xy)z = (xz)y + x(yz), ∀x, y, z ∈ L.
O operador multiplicação à direita Rx(y) = yx, quando satisfaz a identidade anterior, éuma derivação, comumente conhecida como “regra de Leibniz”.
Loday publicou seu trabalho “Une Version Non Commutative des Algèbres deLie: Les Algèbres de Leibniz” em 1993 quando estudava fenômenos de periodicidade emK-Teoria Algébrica. Anteriormente, em 1965, tais álgebras foram consideradas por A.Bloh [4], que as chamou de D-álgebras. Elas são uma versão não anticomutativa dasálgebras de Lie. De fato, havendo anticomutatividade na álgebra, a identidade acima
1
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facilmente se reduz à identidade de Jacobi.Desde então, pesquisadores buscaram estender conhecidos resultados em álgebras
de Lie para o caso das álgebras de Leibniz, como o Teorema de Lie e o Teorema de Levi.Este último estabelece que toda álgebra de Leibniz é a soma direta de um ideal solúvel euma álgebra de Lie semissimples.
A principal motivação para o estudo dessas álgebras é a existência de uma teoriade (co)homologia que, restritas às álgebras de Lie, fornece novos invariantes. Além disso,elas pareciam estar relacionadas de forma natural a vários tópicos tais como GeometriaDiferencial, Topologia Algébrica Clássica, Geometria não comutativa, dentre outros.
Uma das vertentes fundamentais a que devemos dedicar atenção a fim de obtermosmaior entendimento de um membro desta classe de álgebras é a sua classificação, a menosde isomorfismo. Este problema torna-se, no entanto, muito difícil à medida que a dimensãoda álgebra aumenta. Alguns resultados foram publicados para dimensões baixas e nestepresente trabalho, no Capítulo 2, analisamos o artigo de Rikhsiboev e Rakhimov [13],que trata da classificação das álgebras de Leibniz tridimensionais no corpo dos NúmerosComplexos.
Outro problema difícil na busca pelo entendimento da estrutura de uma álgebraé o de descrever as identidades polinomiais desta. Como o conjunto T (L) de todas asidentidades, chamado de T -ideal da álgebra L, é um ideal invariante por endomorfismosda álgebra livre F{X}, devemos encontrar um conjunto gerador, como T -ideal para T (L).Tal conjunto é chamado base das identidades de L. A investigação do T -ideal dependeda característica do corpo.
No Capítulo 1, veremos alguns conceitos preliminares, tais como a construção daálgebra livre F{X} na classe mais ampla possível: a classe de todas as álgebras. Maisadiante, construímos a álgebra livre de Leibniz D(X), onde moram os polinômios cujasidentidades formam os T -ideais das álgebras de Leibniz bidimensionais e de dimensão 3,objetos da investigação que faremos no terceiro capítulo. Veremos também a importânciado processo de multilinearização dos polinômios para esta investigação, que no nosso caso(char(C) = 0) pode ser reduzida à investigação das identidades polinomiais multilineares.A vantagem disto é verificar apenas se os polinômios se anulam nos elementos de umabase da álgebra.
No Capítulo 2, classificamos as álgebras de Leibniz Complexas de dimensão menorou igual a 3. Separamos entre as álgebras de Lie e as álgebras não Lie, uma vez que aclassificação das álgebras de Lie é mais conhecida. A classificação das álgebras de Leibniznão Lie tridimensionais se baseia, como já dito, no artigo de Rikhsiboev e Rakhimov.
No Capítulo 3, encontramos todas as bases das identidades das álgebras de Leibnizbidimensionais. Encontramos ainda alguns T -ideais das álgebras de Leibniz não Lie dedimensão 3. Destacamos que tais identidades polinomiais moram na álgebra livre deLeibniz D(X) e que este resultado é novo na literatura.
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo são apresentados os conceitos e resultados básicos para o nossoestudo. Apresentamos o nosso ambiente: as álgebras. Mais precisamente, as PI-álgebras.
1.1 Propriedades Básicas de Álgebras
Considere F um corpo qualquer.
Definição 1.1. Um espaço vetorial A é chamado álgebra (ou F-álgebra) se A é munidocom uma operação ∗, isto é, uma aplicação ∗ : (A,A)→ A, chamada multiplicação (ouproduto), tal que para todo a, b, c ∈ A e todo α ∈ F:
(a+ b) ∗ c = a ∗ c+ b ∗ c,
a ∗ (b+ c) = a ∗ b+ a ∗ c,
α(a ∗ b) = (αa) ∗ b = a ∗ (αb).
Escreveremos ao longo deste trabalho ab em vez de a∗b. Note que as propriedadesacima equivalem a dizer que a multiplicação é uma operação bilinear. Veja também quea noção de álgebra é uma classe mais ampla que a noção de espaço vetorial e de anel.Um subconjunto {ei : i ∈ I} é dito uma base da álgebra A se for base de A comoespaço vetorial. Definimos então a dimensão da álgebra A como sendo a dimensão doespaço vetorial A. É importante observar que, fixada uma álgebra A, um produto emA é unicamente determinado pelos produtos entre os elementos de uma base de A viaextensão linear.
Uma álgebra A é dita:
(i) associativa, se (ab)c = a(bc) para todo a, b, c ∈ A;
(ii) comutativa, se ab = ba para todo a, b ∈ A;
(iii) com unidade, se existe 1 ∈ A tal que 1a = a1 = a para todo a ∈ A.3
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Exemplo 1.2. O conjunto Mn(F) das matrizes n × n com entradas em um corpo F éuma álgebra associativa com unidade que não é comutativa para n ≥ 2. A sua unidade éa matriz identidade In.
Exemplo 1.3. O espaço vetorial F[x] dos polinômios na variável x com coeficientes em F,munido do produto usual de polinômios, é uma álgebra associativa, comutativa com uni-dade. De modo geral, a álgebra dos polinômios comutativos em n variáveis, F[x1, . . . , xn],é uma álgebra associativa, comutativa com unidade.
Para determinar uma álgebra, definimos a multiplicação entre os elementos deuma base {ei : i ∈ I}:
eiej =∑k∈I
αkijek, αkij ∈ F,
onde, para i e j fixos, somente um número finito de αkij é diferente de 0. Reciprocamente,para uma dada base {ei : i ∈ I} do espaço vetorial L e dado um sistema de elementosαkij ∈ F com a propriedade que para i, j fixos somente um número finito de αkij é diferentede 0, podemos definir a multiplicação em L por(∑
i∈I
ξiei
)(∑j∈I
ηjej
)=∑i,j∈I
ξiηjeiej, com eiej =∑k∈I
αkijek.
As constantes αkij são denominadas constantes de estrutura da álgebra L na base{ei : i ∈ I}. O conhecimento delas fornece, em princípio, informações completas sobre asálgebras. As constantes de estrutura mudam de acordo com a base escolhida e repetidasvezes no Capítulo 2 faremos mudança de base para facilitar a classificação das álgebrasde Leibniz, a ser definida mais adiante.
Definição 1.4. Um subespaço S da álgebra A é dita uma subálgebra se é fechado comrelação à multiplicação. Uma subálgebra I de A é dita um ideal à esquerda de A seAI ⊆ I. Analogamente, define-se um ideal à direita de A. Dizemos que a subálgebra éum ideal bilateral (ou simplesmente, ideal) se for, simultaneamente, ideal à esquerda eà direita.
Exemplo 1.5. O subconjunto Z(A) = {a ∈ A : ax = xa,∀x ∈ A} é uma subálgebra daálgebra A, denominado centro de A.
Definição 1.6. Um homomorfismo de espaços vetoriais φ : A1 → A2 das álgebras A1, A2
é um homomorfismo de álgebras se
φ(ab) = φ(a)φ(b), ∀a, b ∈ A1.
Se o homomorfismo for bijetor, chamamos de isomorfismo e dizemos que A1 éisomorfa a A2. Este fato é indicado por A1 ' A2. Se tivermos φ : A→ A, o homomorfismo
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é denominado endomorfismo. Segue como exemplo de ideal o núcleo do homomorfismode álgebra, o mesmo núcleo como homomorfismo de anéis.
Definição 1.7. Seja A uma álgebra e I um ideal de A. Consideremos o espaço vetorialquociente A/I = {a + I : a ∈ A}, sendo a + I = {a + x : x ∈ I}. Para cada a ∈ A,denotemos o elemento a + I por a. As operações de soma e produto por escalar sãodefinidas por
a+ b = a+ b e λa = λa
para a, b ∈ A e λ ∈ F. O produto é dado por a · b = ab, que está bem definido e é bilinear.Portanto A/I, munido deste produto, é uma álgebra chamada de álgebra quociente deA por I.
Ressaltamos que os teoremas de isomorfismo de grupos e anéis também são válidospara álgebras.
Definição 1.8. Dizemos que R é a subálgebra gerada por um de seus subconjuntos, diga-mos S = {si}i∈I , se todo elemento r ∈ R pode ser escrito como combinação linear sobreF de produtos da forma si1 · · · sit, onde sij ∈ S. Neste caso denotaremos R = 〈S〉.
Exemplo 1.9. Seja V um espaço vetorial de dimensão infinita enumerável, com basedenotada por {e1, e2, e3, . . . }. Definimos álgebra de Grassmann E(V ) de V (ou ál-gebra exterior) como sendo a álgebra associativa com unidade gerada por {ei : i ∈ N∗},satisfazendo a seguinte relação para todo i, j ∈ N∗ :
e2i = 0 e eiej = −ejei.
Sua base como espaço vetorial é
{ei1ei2 · · · eik : i1 < i2 < · · · < ik, k ≥ 1} ∪ {1}
e além disso, se char(F) = 2, então a álgebra de Grassmann é comutativa. Decorre deeiej = −ejei que
(ei1 · · · eim)(ej1 · · · ejk) = (−1)mk(ej1 · · · ejk)(ei1 · · · eim) (1.1)
para quaisquer m, k ∈ N.
Podemos escrever E(V ) como soma direta dos subespaços vetoriais E(V )(0) eE(V )(1), gerados pelos conjuntos
{1, ei1ei2 · · · eim : m par} e {ei1ei2 · · · eim : m ímpar},
respectivamente. Portanto, da igualdade (1.1), podemos concluir que ax = xa paraquaisquer a ∈ E(V )(0) e x ∈ E(V ), isto é, Z(E(V )) = E(V )(0).
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A teoria na classe das álgebras associativas é largamente conhecida. Mas nossopresente estudo se dá na classe das álgebras não associativas. Como exemplo desta últimaclasse temos:
Exemplo 1.10. Considere um espaço vetorial A sobre F, com char(F) 6= 2, e uma base{v1, . . . , vn}. Considere ainda a multiplicação em A definida por vivj = 1
2(vi+vj). Temos
que A munido desta multiplicação é uma álgebra mas não é associativa, pois (v1v2)v3 6=v1(v2v3), por exemplo.
Outro exemplo de uma classe de álgebras (em geral) não associativas é o seguinte:
Definição 1.11. Dizemos que uma álgebra A é uma álgebra de Lie se, para cada a, b, c ∈A, vale:
(i) aa = 0, (propriedade anticomutativa);
(ii) (ab)c+ (bc)a+ (ca)b = 0, (identidade de Jacobi).
De fato, as álgebras de Lie não são em geral associativas, pois apesar de (xx)y = 0,o produto x(xy) não precisa ser nulo. Observe que (i) implica em ab = −ba para todosa, b em A, visto que
0 = (a+ b)(a+ b) = aa+ ab+ ba+ bb = ab+ ba.
Se char(F) 6= 2, então (i) é equivalente a ab = −ba, para quaisquer a, b ∈ A.
Exemplo 1.12. O espaço vetorial R3 com o produto vetorial usual × é uma álgebra deLie.
Exemplo 1.13. O espaço vetorial das matrizesMn(F) é uma álgebra de Lie com o produtodado pelo comutador [x, y] = xy − yx, em que xy denota o produto usual de x por y. Emsentido mais amplo, se A é uma álgebra associativa, então A como espaço vetorial é umaálgebra de Lie com o produto dado pelo comutador [·, ·], denotada por A(−).
Exemplo 1.14. O conjunto sln(F) das matrizes n × n com traço zero e com o produtodado pelo comutador é uma subálgebra de Lie de Mn(F)(−).
Uma das generalizações da álgebra de Lie foi redescoberta por Loday [11] nadécada de 1990, e nela está fundamentada o presente trabalho. Ela é definida da seguinteforma:
Definição 1.15. Uma álgebra L sobre um corpo F é chamada de álgebra de Leibniz sesatisfaz a seguinte identidade, chamada de identidade de Leibniz:
(xy)z = (xz)y + x(yz), ∀x, y, z ∈ L. (1.2)
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Na verdade, esta definição é da álgebra de Leibniz à direita. Tal escolha seguea do artigo [13], no qual baseamos a classificação, a menos de isomorfismo, das álgebrasde dimensão menor ou igual a 3. Existe, no entanto, a definição da álgebra de Leibniz àesquerda L, que é a que satisfaz a identidade de Leibniz
x(yz) = (xy)z + y(xz), ∀x, y, z ∈ L. (1.3)
Dizemos que uma álgebra L é uma álgebra de Leibniz à direita porque o operador mul-tiplicação à direita Rx(y) := yx, pela identidade (1.2), é uma derivação de L conforme aseguinte definição:
Definição 1.16. Uma aplicação F-linear D : L → L é uma F-derivação da álgebra Lse satisfaz
D(xy) = D(x)y + xD(y),
para quaisquer que sejam x, y ∈ L.
De fato, dados x, y, z ∈ L,
Rz(xy) = (xy)z = (xz)y + x(yz) = Rz(x)y + xRz(y).
Este é o motivo pelo qual Loday [11] chamou esta álgebra de álgebra de Leibniz, já quea regra da derivação do produto também é conhecida como “regra de Leibniz”. Note queRx(y) não é uma derivação de L pela identidade (1.3), mas sim o operador multiplicaçãoà esquerda Lx(y) := xy.
Exemplo 1.17. Seja L uma álgebra bidimensional com uma base {x, y} e o produto dadoda seguinte forma:
yy = xy = 0, yx = y e xx = y.
Então L é uma álgebra de Leibniz à direita, mas não é uma álgebra de Leibniz à esquerda,visto que x(xx) 6= (xx)x+ x(xx).
Os conceitos de álgebras de Leibniz à esquerda e à direita, porém, são paralelos.Por exemplo, podemos passar da álgebra de Leibniz à direita para à esquerda considerandouma nova multiplicação x ◦ y = yx.
A álgebra de Leibniz generaliza a álgebra de Lie, haja vista a existência da anti-comutatividade numa álgebra L, isto é, ab = −ba, para todo a, b ∈ L, reduzir facilmentea identidade de Leibniz à identidade de Jabobi. Com efeito,
(xy)z = (xz)y + x(yz)
(xy)z − x(yz)− (xz)y = 0
(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.
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Exemplo 1.18. Seja A uma F-álgebra associativa e T um operador F-linear T : A→ A
tal que T 2 = T . Defina a multiplicação por:
a ∗ b := (Tb)a− a(Tb), ∀a, b ∈ A.
Então A é uma álgebra de Leibniz.Precisamos ver que A satisfaz a identidade de Leibniz. Com efeito, dados a, b, c ∈
A, segue que
(a ∗ b) ∗ c = ((Tb)a− a(Tb)) ∗ c
= (Tc)((Tb)a)− (Tc)(a(Tb))− ((Tb)a)(Tc) + (a(Tb))(Tc).
Por outro lado, temos
(a ∗ c) ∗ b+ a ∗ (b ∗ c) = ((Tc)a− a(Tc)) ∗ b+ a ∗ ((Tc)b− b(Tc))
= (Tb)((Tc)a− a(Tc))− ((Tc)a− a(Tc))(Tb)
+(T ((Tc)b− b(Tc)))a− a(T ((Tc)b− b(Tc)))
= (Tb)((Tc)a)− (Tb)(a(Tc))− ((Tc)a)(Tb) + (a(Tc))(Tb)
+((Tc)(Tb))a− ((Tb)(Tc))a− a((Tc)(Tb)) + a((Tb)(Tc)).
Como A é associativa, ficamos com
(a ∗ c) ∗ b+ a ∗ (b ∗ c) = −(Tb)(a(Tc))− ((Tc)a)(Tb) + ((Tc)(Tb))a+ a((Tb)(Tc)).
e a igualdade (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ c) ∗ b+ a ∗ (b ∗ c) segue.
Observe no exemplo acima que A é uma álgebra de Lie se, e somente se, T é ooperador identidade.
Definição 1.19. Define-se, por indução, os seguintes subespaços da álgebra de Leibniz L:
L(0) = L
L′ = LL...
L(k) = L(k−1)L(k−1).
Esses subespaços são ideais de L. Para ver isso basta notar que se I e J são ideaisde L, então IJ também é ideal. Assim, L′ = LL é um ideal, bem como L′′ = L′L′, etc.Essa sequência de ideais é conhecida por série derivada de L.
Definição 1.20. Uma álgebra de Leibniz é solúvel se alguma de suas álgebras derivadas
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se anula, isto é, L(k0) = {0} para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, L(k) = {0} para todo k ≥ k0)e L(k0−1) 6= {0}. Este k0 é chamado de índice de solubilidade de L.
Exemplo 1.21. As álgebras de Lie abelianas, isto é, álgebras cujo produto de dois quais-quer elementos é sempre nulo, são solúveis, pois essa classe de álgebras é definida porA′ = 0.
1.2 Álgebras Livres
Nesta seção iremos construir uma álgebra livre na classe de álgebras mais amplapossível: a classe de todas as álgebras. Veremos que, a menos de isomorfismo, esta álgebralivre é única, fixada a cardinalidade do conjunto X que a gera. Vale ressaltar que estaálgebra livre não é associativa.
Seja X = {x1, x2, x3, . . . } um conjunto infinito enumerável, onde xi é chamadode variável. A este conjunto acrescentemos mais dois símbolos, parênteses à esquerda eà direita, para obtermos X∗ = X ∪ {(, )}. Duas sequências a1a2 . . . am e b1b2 . . . bn, ondeai, bj ∈ X∗, são iguais se m = n e ai = bi para i = 1, . . . ,m. Definimos indutivamente umconjunto V [X] de sequências de elementos do conjunto X∗ que chamaremos de palavrasnão associativas de elementos do conjunto X. Todos os elementos de X pertencem aV [X]. Se x1, x2 ∈ X e u, v ∈ V [X] \X, então as únicas sequências pertencentes a V [X]
são x1x2, x1(u), (v)x2 e (u)(v). O número de elementos do conjunto X que aparecem numapalavra v é chamada comprimento da palavra não associativa v, e denotaremos por δ(v).
Proposição 1.22. Seja v uma palavra não associativa de elementos de X. Então:(i) o número de símbolos “(” em v é igual ao número de símbolos “)”;(ii) em qualquer subsequência inicial da palavra v, o número de símbolos “(” não é menorque o número de símbolos “)”.
Demonstração: (i) Observando as únicas sequências possíveis, se δ(v) = 1 ou δ(v) = 2,não há símbolos “(” nem “)”. Se δ(v) = 3, então temos v = x1(u) ou v = (u)x2, em que ué uma sequência com duas letras, sem parênteses. Caso δ(v) = 4, vemos que v = x1(u)
ou v = (u)x2, onde δ(u) = 3. Neste caso, u = x3(w) ou u = (w)x4, e w é uma sequênciacom duas letras, sem parênteses. Portanto,
v = x1(x3(w)) ou v = x1((w)x4) ou v = (x3(w))x2 ou v = ((w)x4)x2.
Podemos ter também v = (u)(w), onde δ(u) = δ(w) = 2. O resultado segue por induçãosobre o comprimento da palavra v.
(ii) Note que palavras de comprimento 1 e 2 não têm parênteses. No caso dapalavra w tal que δ(w) = 3 temos, como possíveis sequências, w = x1(u) ou (u)x2,cujas subsequências iniciais começam com “(” (ou não têm parênteses). Como δ(u) = 2,
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facilmente vemos que em qualquer subsequência inicial o número de símbolos “(” é maiorou igual a “)”. Suponha então que a proposição é válida para toda palavra de comprimenton− 1. Logo, para w tal que δ(w) = n, obtemos
w = x1(u) ou w = (u)x2 ou w = (u)(v),
com δ(u) < n e δ(v) < n. O resultado segue.Definimos no conjunto V [X] uma operação binária, denotada por ·, sendo x1, x2 ∈
X e u, v ∈ V [X] \X, pondo:x1 · x2 = x1x2,
x1 · u = x1(u),
v · x2 = (v)x2,
u · v = (u)(v).
Proposição 1.23. Toda palavra não associativa v, com δ(v) ≥ 2 tem uma única re-presentação na forma de um produto de duas palavras não associativas de comprimentomenor.
Demonstração: A existência segue diretamente da definição. Suponha que a palavra v temduas representações, v = u · w = u′ · w′. Considere o caso em que as palavras u,w, u′, w′
têm todas comprimento maior que 1. Então,
v = (u)(w) = (u′)(w′),
e também δ(u)+δ(w) = δ(u′)+δ(w′). Se δ(u) = δ(u′), então é óbvio que u = u′ e w = w′.Se δ(u) > δ(u′), então a subsequência u′) é uma subsequência inicial da palavra u, quepela primeira parte da Proposição 1.22 tem mais parênteses à direita do que à esquerda.Mas isso contradiz a segunda parte da mesma proposição. A análise dos casos restantesé ainda mais simples. Isto prova a proposição.
Considere agora o espaço vetorial F{X}, cuja base são os elementos de V [X], eestenda a operação de multiplicação definida em V [X] para F{X} pela regra(∑
i
αiui
)·
(∑j
βjvj
)=∑i,j
αiβj(ui · vj),
onde αi, βj ∈ F e ui, vj ∈ V [X]. Temos que F{X} é uma álgebra chamada álgebra livre,livremente gerada por X, na classe das álgebras não associativas, conforme a definição aseguir:
Definição 1.24. Seja B uma classe de álgebras à qual pertence A gerada, como álgebra,por um conjunto X (não necessariamente infinito enumerável). Dizemos que A é livre na
11
classe B, livremente gerada por X se, para qualquer álgebra B ∈ B e qualquer aplicaçãof : X → B existir um homomorfismo ϕ : A→ B que estende f . Significa que o diagramaabaixo, no qual i denota a inclusão de X em A, comuta. A cardinalidade do conjunto Xé chamada de posto da álgebra A.
Para ver que F{X} é livre na classe de todas as álgebras, seja B uma álgebraqualquer e considere a única transformação linear ϕ : F{X} → B definida na base V [X]
de F{X} da seguinte forma:
ϕ(xi) := f(xi) e ϕ(xixj) := f(xi)f(xj).
Agora, para palavras de comprimento n ≥ 3, suponha ϕ já definida para toda palavra decomprimento menor que n. Seja w ∈ V [X] tal que δ(w) = n. Então, como
w = x1(u) ou w = (u)x1 ou w = (u)(v),
com δ(u) < n e δ(v) < n, pomos
ϕ(w) = ϕ(x1)ϕ(u) ou ϕ(w) = ϕ(u)ϕ(x2) ou ϕ(w) = ϕ(u)ϕ(v),
respectivamente, e vemos claramente que ϕ é um homomorfismo completamente determi-nado pelos elementos de V [X].
Os elementos de F{X} são chamados polinômios não associativos. Um elementoda forma αv, α ∈ F, v ∈ V [X], é chamado monômio não associativo. O comprimento δ(v)
de v é chamado grau do monômio. Dado f ∈ F{X}, o maior grau dos monômios cujasoma destes constitui um polinômio é chamado grau do polinômio, e denotaremos porδ(f).
1.3 Álgebras com Identidades Polinomiais, Variedades
e T-Ideais
O objetivo desta seção é introduzir a noção de identidades polinomiais, que nor-teia o desenvolvimento do Capítulo 3 e é base para o estudo da PI-teoria. Apresentaremostambém os conceitos de T -ideais e Variedades, mostrando a correlação biunívoca entreambos e construindo a álgebra livre de Leibniz.
12
Seja X = {x1, x2, . . . } conjunto enumerável infinito.
Definição 1.25. Um polinômio f = f(x1, . . . , xn) ∈ F{X} é dito uma identidade poli-nomial de uma álgebra A se
f(a1, . . . , an) = 0 para quaisquer a1, . . . , an ∈ A.
Dizemos que A é uma álgebra com identidade polinomial, ou simplesmente uma PI-álgebra (“PI”= Polynomial Identity), se existe uma identidade polinomial não nula paraA.
Equivalentemente, A é uma PI-álgebra se existe um polinômio não nulo f ∈ F{X}de modo que, para qualquer homomorfismo de álgebras ϕ : F{X} → A, temos quef(x1, . . . , xn) ∈ ker(ϕ). Dizemos então que A satisfaz o polinômio f ou que f se anulaem A e denotamos a identidade f ∈ F{X} por f ≡ 0.
Exemplo 1.26. Toda álgebra associativa satisfaz o polinômio f(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 −x1(x2x3), com f na álgebra livre F{X}, onde X é um conjunto infinito enumerável.
Exemplo 1.27. O polinômio f(x1, x2) = x1x2 − x2x1 é uma identidade polinomial paratoda álgebra comutativa.
Já vimos que x1x2−x2x1 é o comutador, denotado por [x1, x2]. Dizemos que ele éde comprimento 2. Para todo n > 2, definimos o comutador [x1, . . . , xn] de comprimenton por recursão:
[x1, . . . , xn] = [[x1, . . . , xn−1], xn].
Exemplo 1.28. A álgebra de Grassmann E(V ) satisfaz os polinômios f(x1, x2, x3) =
(x1x2)x3 − x1(x2x3) e g(x1, x2, x3) = [x1, x2, x3].De fato, já sabemos que E(V ) é uma álgebra associativa. Agora, visto que
[x1, x2, x3] é linear nas variáveis x1, x2, x3, é suficiente mostrar que [r1, r2, r3] = 0 paraquaisquer elementos da base de E(V ). Assim,
[r1, r2] = [ei1 · · · eim , ej1 · · · ejk ]
= (ei1 · · · eim)(ej1 · · · ejk)− (ej1 · · · ejk)(ei1 · · · eim)
= ei1 · · · eimej1 · · · ejk − (−1)mkei1 · · · eimej1 · · · ejk= (1− (−1)mk)ei1 · · · eimej1 · · · ejk .
Note que [r1, r2] 6= 0 apenas se m e k forem ambos ímpares. Se assim o for, como m+ k
é par, segue que [r1, r2] ∈ E(V )(0) = Z(E(V )). Logo, [r1, r2, r3] = 0.
Definição 1.29. Seja k ∈ N∗. O polinômio
Stk(x1, . . . , xk) =∑σ∈Sk
(sign(σ))xσ(1) · · ·xσ(k),
13
na classe das álgebras associativas e onde Sk é o grupo das permutações do conjunto{1, . . . , k}, sendo sign(σ) o sinal de σ, é denominado polinômio standard de grau k.
O famoso Teorema de Amitsur-Levitski prova que St2n é uma identidade polino-mial para Mn(F). (Ver [5], pág. 79).
Exemplo 1.30. Dada uma álgebra associativa A com dim(A) < n, temos que A satisfazo polinômio standard Stn.
Justificativa: Novamente, visto que o polinômio standard é linear em cada umadas variáveis, é suficiente verificar se ele se anula nos elementos de uma base da álgebra.Seja então {e1, . . . , er} uma base para A com r elementos e tal que r < n.
Escolhidos n vetores, é fato que ao menos um deles será escolhido pelo menos duasvezes (suponhamos eki = ekj). Para cada σ ∈ Sn existe outra permutação associada τ demodo que as parcelas a elas correspondentes são iguais (por exemplo, a composição de σcom a transposição que troca i por j). Assim, as duas permutações têm sinais contráriose então no somatório elas se cancelam, resultando em Stn(. . . , eki , . . . , ekj , . . . ) = 0.
Exemplo 1.31. Seja A uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo finito. Então Aé uma álgebra finita. Logo, para cada a ∈ A existem k, l ∈ N, com k > l tais que ak = al.Assim, definindo fa(x) = xk − xl, temos que fa(a) = 0. Como A é um conjunto finito, opolinômio
g(x) =∏a∈A
fa(x)
está bem definido e é uma identidade polinomial não nula em uma variável para A.
Definição 1.32. Um ideal I de F{X} é chamado T -ideal se ϕ(I) ⊆ I para todos osendomorfismos de F{X}. Neste caso, dizemos que I é invariante por endomorfismos deF{X}.
Proposição 1.33. O conjunto T (A) das identidades polinomiais de uma álgebra é umT -ideal.
Demonstração: Temos que T (A) é um subespaço vetorial de F{X}. Visto que, dado f ∈T (A), temos gf ≡ 0 e fg ≡ 0 para todo g ∈ F{X}, então T (A) é um ideal de F{X}. Paraver que T (A) é invariante por endomorfismos de F{X}, sejam f = f(x1, . . . , xn) ∈ T (A)
e g1, . . . , gn ∈ F{X}. Tome ϕ ∈ End(F{X}) tal que
ϕ : F{X} → F{X}
xi 7→ gi = gi(x1, . . . , xm).
Daí,ϕ(f(x1, . . . , xn)) = f(ϕ(x1), . . . , ϕ(xn)) = f(g1, . . . , gn) = 0,
14
pois gi(a1, . . . , am) ∈ A para quaisquer a1, . . . , am ∈ A, i = 1, . . . , n. Portanto, f(g1, . . . , gn) ∈T (A) e concluímos que ϕ(T (A)) ⊆ T (A).
O fato de T (A) ser invariante por endomorfismos de F{X} significa que paratodo f(x1, . . . , xn) ∈ T (A), podemos trocar qualquer indeterminada xi, i ∈ {1, . . . , n}, porqualquer polinômio de F{X} e f depois desta alteração continuará sendo uma identidadepolinomial de A, visto que esta troca define um endomorfismo em F{X}.
Lema 1.34. Se J é um T -ideal de uma álgebra A, então T(
F{X}J
)= J .
Demonstração: Mostremos que J ⊆ T(
F{X}J
). Dados gi = gi + J ∈ F{X}
J, i = 1, . . . , n,
temos que, para f(x1, . . . , xn) ∈ J ,
f(g1, . . . , gn) = f(g1, . . . , gn) + J = J = 0,
já que f é invariante por endomorfismos.Para ver a inclusão contrária, tome f ∈ T
(F{X}J
). Assim, para xi = xi + J, i =
1, . . . , n,0 = f(x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn) + J = f(x1, . . . , xn).
Portanto, f ∈ J . Logo, T(
F{X}J
)⊆ J .
Este Lema mostra que qualquer T -ideal em F{X} pode ser visto como o T -ideal de uma álgebra. Esta relação, porém, não é biunívoca, pois duas álgebras nãoisomorfas podem determinar o mesmo T -ideal, isto é, podem ser PI-equivalentes, conformea definição abaixo.
Definição 1.35. Dizemos que duas álgebras A e B são PI-equivalentes se T (A) = T (B).
Por exemplo, na classe das álgebras de Lie, as álgebras abelianas não são isomorfas(basta ver que não têm necessariamente mesma dimensão), mas possuem o mesmo T -ideal,como veremos mais adiante. Na busca, então, por uma correlação biunívoca, precisamosda noção de variedades de álgebras.
Definição 1.36. Seja {fi(x1, . . . , xni) ∈ F{X} : i ∈ I} um conjunto de polinômios na
álgebra F{X}. A classe B de todas as álgebras que satisfazem as identidades fi, paratodo i ∈ I, é chamada variedade determinada pelo sistema de identidades polinomiais{fi : i ∈ I}. O conjunto
T (B) =⋂A∈B
T (A)
de todas as identidades satisfeitas pela variedade B é chamado de T -ideal de B.
O T -ideal T (B) é gerado como um T -ideal pelo conjunto {fi : i ∈ I}, o conjuntodas identidades que definem a variedade B. Usamos a notação T (B) = 〈fi : i ∈ I〉T edizemos que o conjunto {fi : i ∈ I} é uma base das identidades polinomiais para B. Oselementos de T (B) são chamados consequências das identidades polinomiais da base.
15
Exemplo 1.37. A variedade das álgebras de Leibniz é definida por {f(x1, x2, x3) =
(x1x2)x3 − (x1x3)x2 − x1(x2x3)}.
Exemplo 1.38. Todas as álgebras associativas formam uma variedade que satisfaz aidentidade que a define f(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 − x1(x2x3). A classe de todas as álgebrasde Lie é também uma variedade, cujo conjunto das identidades que a definem é {f(x) =
x2, g(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 + (x2x3)x1 + (x3x1)x2}. A variedade das álgebras de Jordan édefinida por {f(x1, x2) = x1x2 − x2x1, g(x1, x2) = (x21x2)x1 − x21(x2x1)}. E a identidadeque define a variedade das álgebras comutativas é f(x1, x2) = x1x2 − x2x1.
Exemplo 1.39. O T -ideal das álgebras de Lie abelianas sobre um corpo infinito é 〈x1x2〉T .
Observação 1.40. A variedade que consiste somente da álgebra nula é chamada trivial.Se a variedade for não-trivial, ela é dita própria.
Seja agora B uma variedade e seja AY (B) uma álgebra na variedade B que contémum subconjunto Y , isto é, Y ⊂ AY (B). Por conveniência, iremos supor Y um conjuntoinfinito e enumerável.
Definição 1.41. A álgebra AY (B) na variedade B é chamada de álgebra relativamentelivre em B (ou uma B-álgebra livre), se AY (B) é livre na classe B livremente gerada porY .
Quando B é a variedade de todas as álgebras, esta definição coincide com adefinição da álgebra livre F{X}. A proposição a seguir mostra que álgebras relativamentelivres existem e são facilmente descritas em termos de álgebras livres. Ainda, cada duasálgebras de mesmo posto são isomorfas.
Proposição 1.42. Seja B uma variedade definida por {fi : i ∈ I}, seja Y conjunto devariáveis livres sobre F e seja J o ideal de F{Y } gerado por
{fi(g1, . . . , gni) : gj ∈ F{Y }, i ∈ I}.
Então a álgebra A = F{Y }/J é uma álgebra relativamente livre em B com conjunto degeradores Y = {y + J : y ∈ I}. Além disso, cada duas álgebras relativamente livres demesmo posto em B são isomorfas.
Demonstração: Primeiro devemos ver que A ∈ B. Seja fi(x1, . . . , xni) uma das identidades
que definem a variedade B e sejam g1, . . . , gnielementos arbitrários de A, gj = gj+J , gj ∈
F{Y }. Como fi(g1, . . . , gni) ∈ J , consequentemente fi(g1, . . . , gni
) = fi(g1, . . . , gni) + J =
0 e isto significa que fi(x1, . . . , xni) = 0 é uma identidade polinomial para A. Portanto,
A ∈ B.Agora devemos provar a propriedade universal de A. Seja R uma álgebra em B e
seja ϕ : Y → R uma aplicação qualquer. Defina θ(y) := ϕ(y) e estenda θ ao homomorfismo
16
ψ : F{Y } → R, via propriedade universal. Para provar que ϕ pode ser estendida a umhomomorfismo A→ R, é suficiente mostrar que J ⊆ ker(ψ). Seja então f ∈ J , ou seja,
f =∑i∈I
uifi(gi1 , . . . , gini)vi, gij , ui, vi ∈ F{Y }.
Para r1, . . . , rni∈ R arbitrários, o elemento fi(r1, . . . , rni
) é igual a zero em R e istoimplica que ψ(f) = 0, isto é, J ⊆ ker(ψ) e A ' AY (B) é a álgebra relativamente livre emB, livremente gerada por Y .
Por fim, seja |Y | = |Z|, Y = {yi : i ∈ I}, Z = {zi : i ∈ I} e sejam AY (B) eAZ(B) as álgebras relativamente livres correspondentes. Visto que ambas as álgebras sãorelativamente livres, podemos definir homomorfismos ϕ : AY (B)→ AZ(B) e ψ : AZ(B)→AY (B), pondo ϕ(yi) = zi e ψ(zi) = yi. Como
ψ ◦ ϕ(yi) = yi e ϕ ◦ ψ(zi) = zi,
resulta que ϕ e ψ são isomorfismos.
Observação 1.43. Segue da prova da Proposição 1.42 que o T -ideal de F{X} gerado por{fi : i ∈ I} consiste de todas as combinações lineares de
uifi(gi1 , . . . , gini)vi, gij , ui, vi ∈ F{X}.
É nesse contexto que construímos a álgebra livre de Leibniz livremente geradapor X = {x1, x2, . . . } sobre um corpo F. Denotaremos por D(X) sua álgebra livre, quepela Proposição 1.42 é, a menos de isomorfismo, o quociente de F{Y } pelo T -ideal geradopela identidade de Leibniz (identidade que define a variedade), ou seja,
D(X) ' F{Y }〈(y1y2)y3 − (y1y3)y2 − y1(y2y3)〉T
.
Analogamente, construímos a álgebra de Lie livre livremente gerada por X =
{x1, x2, . . . } sobre um corpo F. Denotaremos por L(X) o quociente de F{Y } pelo T -idealgerado pelas identidades que definem a variedade, ou seja,
L(X) ' F{Y }〈y21, (y1y2)y3 + (y2y3)y1 + (y3y1)y2〉T
.
No Capítulo 3 daremos, para algumas classes de isomorfismo encontradas noCapítulo 2, uma base das identidades na álgebra livre de Leibniz D(X) dos polinômioscom coeficientes em C, atentando para o fato de que
L(X) ' D(X)
〈x2〉T.
17
Exemplo 1.44. Seja L uma álgebra de Leibniz tridimensional e {e1, e2, e3} uma baseordenada. Seja o produto nos elementos da base dado por
e2e2 = e1 e e3e3 = e1,
em que todos os outros produtos que não aparecem são nulos. Então L satisfaz os polinô-mios g(x1, x2) = x1x2 − x2x1 e h(x1, x2, x3) = (x1x2)x3, onde g, h ∈ D(X).
Como os polinômios são lineares em cada variável, podemos avaliá-los apenas noselementos da base. Esta álgebra certamente satisfaz a identidade de Leibniz
f(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 − (x1x3)x2 − x1(x2x3).
Mas visto que estamos olhando os polinômios em D(X), f é o polinômio nulo. Não é difícilver que esta álgebra é comutativa, ou seja, L satisfaz g. Além disso, como os produtos nãonulos são iguais a e1 que, multiplicado por qualquer outro elemento, é nulo, vemos que h seanula em L. É interessante notar que, pelo mesmo motivo, k(x1, x2, x3) = x1(x2x3) é umaidentidade polinomial de L. Porém, o polinômio k é uma consequência das identidadesgeradas por h, já que em D(X), pela identidade de Leibniz,
x1(x2x3) = (x1x2)x3 − (x1x3)x2.
Veremos mais tarde que g e h formam uma base das identidades desta álgebra.Concluímos esta seção com o teorema que relaciona os T -ideais de uma álgebra
livre e as variedades de álgebras.
Teorema 1.45. Existe uma correspondência biunívoca π entre os T -ideais de F{X} e asvariedades de álgebras.
Demonstração: Para cada T -ideal I definimos B = π(I) como a variedade determinadapelas identidades polinomiais pertencentes a I. Como, por definição, cada variedade temum T -ideal, esta correspondência é sobrejetiva.
Sejam agora I1 6= I2 e π(Ii) = Bi, i = 1, 2. Então existe um polinômio f ∈ I1− I2(ou em I2 − I1). Obviamente, f ≡ 0 é uma identidade para B1, mas não é para a álgebralivre F{X}
I2∈ B2. Portanto, B1 6= B2 e provamos que a relação é injetiva.
1.4 Polinômios Multihomogêneos e Multilineares
O estudo das identidades polinomiais de uma álgebra dada pode ser reduzido aoestudo de polinômios multihomogêneos (ou multilineares), no caso em que o corpo F éinfinito (em particular, de característica zero). É disto que trata esta seção.
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Aqui enunciaremos os resultados na álgebra livre F{X}, mas ressaltamos que elestambém são válidos, por exemplo, na álgebra livre de Leibniz D(X) e na álgebra de Lielivre L(X). Aliás, nossa investigação no Capítulo 3 é feita sobre os polinômios em D(X),usando os resultados desta seção.
Seja Fn = F{x1, . . . , xn} a álgebra livre de posto n ≥ 1 sobre F. Podemosdecompor esta álgebra em
Fn = F(1)n ⊕ F(2)
n ⊕ · · · ,
onde, para cada k ≥ 1, F(k)n é o subespaço gerado por todos os monômios de grau k.
Estes F(i)n ’s são chamados componentes homogêneas de Fn. Podemos ainda refinar esta
decomposição, escrevendo, para cada k ≥ 1,
F(k)n =
⊕i1+···+in=k
F(i1,...,in)n ,
onde F(i1,...,in)n é o subespaço gerado por todos os monômios de grau ir em xr. Como todo
polinômio f de F{X} tem um número finito de variáveis, então f está em Fn, para algumn.
Definição 1.46. Um polinômio f(x1, . . . , xn) pertencente a F(k)n para algum k ≥ 1 será
chamado homogêneo de grau k. Se f pertence a algum F(i1,...,in)n , será chamado multiho-
mogêneo de multigrau (i1, . . . , in). Também dizemos que um polinômio f é homogêneo navariável xi, se xi aparece com o mesmo grau em cada monômio de f .
Dado f(x1, . . . , xn) ∈ F{X}, podemos escrever
f =∑
i1≥0,...,in≥0
f (i1,...,in),
onde f (i1,...,in) ∈ F(i1,...,in)n é a soma de todos os monômios em f onde x1, . . . , xn aparecem
com grau i1, . . . , in, respectivamente. Os polinômios f (i1,...,in) não nulos são chamadoscomponentes multihomogêneas de f . Usaremos δxi(f) para denotar o grau da variável xino polinômio f .
Proposição 1.47. Seja f(x1, . . . , xn) =n∑i=0
fi ∈ F{X}, onde fi é a componente homo-
gênea de f de grau i em x1. Se F contém mais do que n elementos, então as identidadespolinomiais fi ≡ 0, i = 0, 1, . . . , n, seguem de f .
Demonstração: Seja V = 〈f〉T o T -ideal de F{X} gerado por f . Escolhemos n + 1
elementos diferentes α0, . . . , αn de F. Visto que V é invariante por endomorfismos,
f(αjx1, x2, . . . , xm) =n∑i=0
αijfi(x1, x2, . . . , xm) ∈ V, j = 0, 1, . . . , n.
19
Consideramos estas equações como um sistema linear com indeterminadas fi.Como seu determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 α0 α20 · · · αn0
1 α1 α21 · · · αn1
......
......
1 αn α2n · · · αnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣é o determinante de Vandermonde, cujo valor é dado por
∏i<j
(αj−αi) e, portanto, diferente
de zero, temos que cada fi também pertence a V . Ou seja, as identidades polinomiais fisão consequências de f .
Definição 1.48. Um polinômio f é linear na variável xi se xi ocorre com grau 1 em cadamonômio de f . E um polinômio é dito multilinear se for multihomogêneo de multigrau(1, . . . , 1).
Denotaremos por Pn o espaço vetorial dos polinômios multilineares nas variáveisx1, . . . , xn em F{X}. Note que se f(x1, . . . , xn) é um polinômio linear em uma variável,x1 por exemplo, então
f(∑
αiyi, x2, . . . , xn) =∑
αif(yi, x2, . . . , xn)
para cada αi ∈ F, yi ∈ F{X}.
Observação 1.49. Seja A uma F-álgebra gerada por um conjunto B sobre F. Se umpolinômio multilinear f se anula em B, então f é uma identidade polinomial de A.
De fato, dados a1 =∑β1iui, . . . , an =
∑βni
ui elementos de A, onde os ui’s sãoelementos de B, podemos escrever
f(a1, . . . , an) =∑i1,...,in
β1i · · · βnif(ui1 , . . . , uin) = 0,
já que f é linear em cada uma das variáveis. Isto significa que para verificar se umpolinômio multilinear é identidade para determinada álgebra, é suficiente provar que elese anula numa base dessa álgebra.
Definição 1.50. Dois conjuntos de identidades polinomiais são equivalentes se geram omesmo T -ideal.
Teorema 1.51. Se a álgebra A satisfaz uma identidade de grau k, então satisfaz umaidentidade multilinear de grau ≤ k.
Demonstração: Seja f(x1, . . . , xn) ∈ F{X} uma identidade polinomial para a álgebraA. Se cada variável xi aparece com grau ≤ 1, em cada monômio de f , basta tomar as
20
componentes multilineares. Portanto, podemos assumir que existe uma variável, x1 porexemplo, tal que δx1(f) = d > 1.
Defina o polinômio
h(y1, y2, x2, . . . , xn) := f(y1 + y2, x2, . . . , xn)− f(y1, x2, . . . , xn)− f(y2, x2, . . . , xn).
Note que h ainda é uma identidade polinomial para A. Vejamos que h é não nulo. Suponhaque h = 0. Como qualquer aplicação X → X pode ser estendida para um endomorfismode F{X}, substituindo y1 e y2 por x1 em h também obtemos polinômio nulo, ou seja,
h(x1, x1, x2, . . . , xn) := f(2x1, x2, . . . , xn)− 2f(x1, x2, . . . , xn) = 0. (1.4)
Decompondo f numa soma f = f0 + f1 + · · · + fd, onde fk é a soma de grau k em x1,então (1.4) implica
−f0 + (22 − 2)f2 + · · ·+ (2d − 2)fd = 0,
o que contradiz a desigualdade d > 1.Como δy1(h) = d − 1 e δy2(h) = d − 1 < δx1(f) obtemos indutivamente um
polinômio multilinear que é uma identidade em A.Este teorema é conhecido como método de multilinearização. Um exemplo fácil de
ser calculado é a multilinearização de f(x1, x2) = x1x22, em que x1x22 = x1(x2x2). Observe
que δx1(f) = 1 e δx2(f) = 2. Assim, aplicando o algoritmo de linearização na variável x2,
h(x1, y1, y2) = f(x1, y1 + y2)− f(x1, y1)− f(x1, y2)
= x1(y1 + y2)2 − x1y21 − x1y22
= x1y21 + x1(y1y2) + x1(y2y1) + x1y
22 − x1y21 − x1y22
= x1(y1y2) + x1(y2y1),
obtemos o polinômio multilinear h, como consequência de f .Deste método segue que:
Teorema 1.52. Se char(F) = 0, cada identidade polinomial f ∈ F{X} é equivalente aum conjunto finito de polinômios multilineares.
Demonstração: Pela Proposição 1.47, f é equivalente ao conjunto de suas componentesmultihomogêneas. Portanto, podemos assumir que f = f(x1, . . . , xn) é multihomogêneo.Aplicamos o processo de multilinearização para f : se δx1(f) = d > 1, então escrevemos
f(y1 + y2, x2, . . . , xn) =d∑i=0
gi(y1, y2, x2, . . . , xn),
onde δy1(gi) = i, δy2(gi) = d− i e δxt(gi) = δxt(f), para todo t = 2, . . . , n.
21
Assim todos os polinômios gi = gi(y1, y2, x2, . . . , xn), i = 1, . . . , d − 1, são con-sequências de f . Note que para todo i,
gi(y1, y1, x2, . . . , xn) =
(d
i
)f(y1, x2, . . . , xn).
Como char(F) = 0, segue que
(d
i
)6= 0. Logo, qualquer gi, i = 1, . . . , d − 1, é uma
consequência de f . Aplicamos indução para completar a prova.
Capítulo 2
Classificação das Álgebras de Leibnizde Dimensão Menor ou Igual a 3
A classificação, a menos de isomorfismo, é um dos primeiros problemas com oqual nos deparamos ao tentarmos entender a estrutura de um membro de uma classede álgebras. Este problema fundamental torna-se, no entanto, muito difícil à medidaque aumentamos a dimensão. Alguns resultados foram publicados sobre a classificaçãodas álgebras de Leibniz para dimensões baixas, desde que seu estudo foi impulsionadopelos trabalhos de Loday. Detalhamos neste capítulo a classificação dada no artigo deRikhsiboev e Rakhimov [13] para as álgebras tridimensionais. Antes, porém, classificamosas álgebras de Lie de dimensão menor ou igual a 3 e descrevemos as álgebras de Leibnizunidimensionais e de dimensão 2.
Lembramos que a dimensão de uma álgebra A foi definida como a dimensão doespaço vetorial A.
Definição 2.1. Seja L uma álgebra de Leibniz. O subconjunto AnnD(L) definido por
AnnD(L) = {x ∈ L : yx = 0,∀y ∈ L}
é dito ser o anulador à direita da álgebra de Leibniz L. Analogamente, definimos osubconjunto
AnnE(L) = {x ∈ L : xy = 0,∀y ∈ L}
como o anulador à esquerda de L. A interseção entre os anuladores à esquerda e àdireita é denominada anulador de L e denotaremos por Ann(L).
Note que tais subconjuntos são ideais bilaterais de L. Para as álgebras de Lietemos AnnD(L) = AnnE(L) = Ann(L).
Todas as álgebras neste capítulo são assumidas sobre o corpo C dosNúmeros Complexos.
22
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Vale relembrar que para determinar as álgebras de Leibniz definimos a multipli-cação entre os elementos de uma base {ei : i ∈ I}:
eiej =∑k∈I
αkijek, αkij ∈ C,
onde, para i e j fixos, somente um número finito de αkij é diferente de 0. Estes αkij’s sãoas constantes de estrutura.
Proposição 2.2. Duas álgebras de mesma dimensão são isomorfas se, e somente se,possuem as mesmas constantes de estrutura.
Demonstração: Sejam L1 e L2 duas álgebras de dimensão finita com bases {x1, . . . , xn} e{y1, . . . , yn}, respectivamente, e com as mesmas constantes de estrutura ckij. Consideremosa transformação linear bijetiva ψ : L1 → L2 que satisfaz ψ(xi) = yi. Então, se x =
∑aixi
e y =∑bjxj, temos que
ψ(xy) = ψ(∑i
aixi∑j
bjxj)
= ψ(∑ij
aibj(xixj))
= ψ(∑ij
aibj∑k
ckijxk)
=∑ijk
aibjckijψ(xk)
=∑ijk
aibjckijyk
=∑ij
aibj(yiyj)
= ψ(x)ψ(y).
Assim, ψ é um isomorfismo.Reciprocamente, seja ψ um isomorfismo de L1 em L2. Temos, então, que a base
de L1, {x1, . . . , xn}, tem o mesmo número de elementos que a base de L2, {y1, . . . , yn}.Ordenando novamente a base de L2, podemos considerar ψ(xi) = yi. Assim, ψ(xixj) =
ψ(xi)ψ(xj) = yiyj. Para xi, xj ∈ L1, temos que xixj = c1ijx1+c2ijx2+· · ·+cnijxn =∑
k ckijxk.
Para yi, yj ∈ L2, também tem-se que yiyj = b1ijy1 + b2ijy2 + · · · + bnijyn =∑
k bkijyk. Como
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ψ é um isomorfismo, concluímos que
yiyj = ψ(xixj)
= ψ(c1ijx1 + c2ijx2 + · · ·+ cnijxn)
= c1ijψ(x1) + c2ijψ(x2) + · · ·+ cnijψ(xn)
= c1ijy1 + c2ijy2 + · · ·+ cnijyn
=∑k
ckijyk.
Logo,∑
k bkijyk =
∑k c
kijyk o que implica em
∑k(c
kij − bkij)yk = 0. Como {y1, . . . , yn} é
uma base, temos que ckij − bkij = 0 para cada k e, portanto, ckij = bkij.Vale ressaltar que esta proposição também é válida para álgebras de dimensão
infinita.
2.1 Determinação das Álgebras de Lie de Dimensão
Menor ou Igual a 3
A classificação das álgebras de Lie já é bastante conhecida na literatura, vistoque seu estudo é mais antigo. Por este motivo, separamos neste trabalho a classificaçãodas álgebras de Leibniz em álgebras de Lie e não Lie.
Seja A uma álgebra de Lie sobre o corpo C.Caso 1: dim(A) = 1.Neste caso, seja {e1} uma base. Então todo elemento de A se escreve como
x = αe1. Como e1e1 = 0, temos que a álgebra de Lie é abeliana:
A = {αe1 : α ∈ C} e e1e1 = 0.
Caso 2: dim(A) = 2.Seja {e1, e2} uma base para A. Considere a álgebra gerada por todas as multi-
plicaçõesA′ = 〈{xy : x, y ∈ A}〉,
a álgebra derivada de A. A classificação das álgebras de Lie se baseia nas dimensões daálgebra derivada. Seja agora o conjunto Z(A) de elementos c ∈ A tais que ac = ca paratodo a ∈ A, isto é, o centro de A. Pela antissimetria, temos neste caso ac = 0 e assimZ(A) é um ideal de A. No caso em que Z(A) = A, segue que A é uma álgebra de Lieabeliana. Equivalentemente, A′ = 0, pois o produto de dois quaisquer elementos é nulo.
Como a álgebra derivada é determinada por todas as multiplicações entre doiselementos, facilmente percebemos que suas possíveis dimensões são menores ou iguais que
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o valor
(dim(A)
2
).
Temos então, neste caso, duas situações para analisar:(a) A′ = 0: A álgebra de Lie é abeliana e, para fins de estudo no Capítulo 3, nós adenotaremos por A1.(b) dim(A′) = 1: Neste caso, dado x ∈ A, podemos escrever
x = a1e1 + a2e2, a1, a2 ∈ C e A′ = {α(e1e2) : α ∈ C},
pois A′ é unidimensional. Deste modo, podemos escolher x = e1e2 de maneira que A′ =
Cx. Daí, completando a base {x} de A′ a uma base {x, y} de A, obtemos xy = αx 6= 0,pois A não é abeliana. A substituição de y por α−1y na base nos dá
xα−1y = α−1αx = x.
Portanto, temos a álgebra A com a relação
xy = x = −yx,
e todos os outros produtos da base são zero, isto é, xx = 0 = yy. Observe que isto satisfaza identidade de Jacobi:
(xy)x+ (yx)x+ (xx)y = xx− xx+ 0y = 0
e(xy)y + (yy)x+ (yx)y = xy + 0x− xy = 0.
Esta é a álgebra de Lie não abeliana bidimensional, que será denotada por A2.Caso 3: dim(A) = 3.
As possíveis dimensões de A′ são dim(A′) ≤
(3
2
)= 3. Logo, temos quatro
casos:(a) A′ = 0. Como no Caso 2(a), significa que para todos a, b ∈ A tem-se ab = 0. Assim,A = Z(A). Portanto, A é abeliana.(b) dim(A′) = 1:Neste caso, separaremos em duas etapas: uma em que A′ ⊂ Z(A) e a outra em que istonão ocorre.
Teorema 2.3. Seja A uma álgebra de Lie tridimensional cuja álgebra derivada A′ éunidimensional e A′ ⊂ Z(A). Então existe uma base {x, y, z} de A tal que yz = x, xy = 0
e xz = 0.
Demonstração: Sejam {x} e {x, y1, z} bases de A′ e A, respectivamente. Como A′ ⊂ Z(A),
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temos que para qualquer u ∈ A′ tem-se que uw = 0,∀w ∈ A. Como {x} é base de A′
temos xw = 0,∀w ∈ A e, em particular, xy1 = 0 e xz = 0, pois y1, z ∈ A. Já que y1z ∈ A′,segue que y1z = αx, α 6= 0. Se fosse α = 0, então y1z = 0. E visto que xy1 = 0 = xz,temos que ∀u, v ∈ A vale
uv = (a1x+ a2y1 + a3z)(b1x+ b2y1 + b3z) = 0,
e assim teríamos dim(A′) = 0, contradizendo a hipótese. Definamos y = 1αy1. Então
{x, y, z} também é uma base de A (pois é conjunto linearmente independente). Logo,
xy = 0 = xz e yz =1
αy1z =
1
ααx = x.
Para o caso em que A′ 6⊆ Z(A), precisamos dos seguintes resultados.
Lema 2.4. Dada uma álgebra de Lie A, a representação adjunta D = ad(v) : A →A, definida por ad(v)(w) = vw, é uma derivação de A. Esta derivação é chamada dederivação interna.
Demonstração: Tomando u ∈ A, temos, usando a identidade de Jacobi:
ad(v)(uw) = v(uw)
= −w(vu)− u(wv)
= (vu)w + u(vw)
= (ad(v)(u))w + u(ad(v)(w)).
Teorema 2.5. Todas as derivações de uma álgebra de Lie bidimensional não abelianasão derivações internas, ou seja, toda derivação D : A→ A é ad(l) : A→ A para alguml ∈ A.
Demonstração: Seja A uma álgebra de Lie bidimensional não abeliana. Então existe base{x, y} de A tal que xy = y. Considere D : A→ A uma derivação. Note que
D(y) = D(xy) = D(x)y + xD(y) = δy
para algum δ ∈ C. Mais ainda,
ad(δx)(y) = (δx)y = δxy = δy.
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Defina a derivação E := D − ad(δx). Assim,
E(y) = (D − ad(δx))(y) = D(y)− ad(δx)(y) = δy − δy = 0.
Como xy = y, tem-se que
0 = E(y) = E(xy) = E(x)y + xE(y).
Mas E(y) = 0. Então fica E(x)y = 0 e resulta que E(x) é múltiplo de y, ou seja,E(x) = γy para algum γ ∈ C. Observe que
ad(−γy)(x) = (−γy)x = −γyx = γxy = γy
ead(−γy)(y) = (−γy)y = −γyy = γyy = 0.
Como E(x) = ad(−γy)(x) = γy e E(y) = ad(−γy)(y) = 0, então
E = ad(−γy) = D − ad(δx).
Isto implica que D = ad(−γy + δx) e, portanto, D = ad(l), onde l = −γy + δx ∈ A.Este teorema é aplicado na seguinte proposição:
Proposição 2.6. Se B é um ideal bidimensional não abeliano de uma álgebra de LieA, então A = B ⊕ Ann(B), uma soma direta entre espaços vetoriais, onde Ann(B) é oanulador de B.
Demonstração: Seja v ∈ A. Como B é um ideal de A, então vw ∈ B para todo w ∈ B.Pelo Lema 2.4, a aplicação ad(v)(w) = vw é uma derivação. E, pelo Teorema 2.5, temosque existe l ∈ B tal que ad(v)(w) = ad(l)(w) para todo w ∈ B. Logo, vw = lw e então(v − l)w = 0. Como w ∈ B, e observando que na álgebra de Lie o anulador à direita eà esquerda coincidem, segue que v − l ∈ Ann(B). Seja então p = v − l ∈ Ann(B). Daí,v = l + p. Visto que v ∈ A, p ∈ Ann(B) e l ∈ B, tem-se que A = B + Ann(B).Seja agora r ∈ B ∩ Ann(B). Suponhamos que r = ax + by, onde {x, y} é base de B talque xy = y. Note que
rx = (ax+ by)x = byx = −bxy = −by.
Como r ∈ Ann(B) e x ∈ B, então rx = 0. Isso implica que b = 0, pois y 6= 0. Tambémry = ay = 0 e então a = 0. Logo, r = ax+ by = 0 e, portanto, Ann(B) ∩B = {0}.
Lema 2.7. Seja A uma álgebra de Lie tridimensional tal que A′ é unidimensional. Su-ponha que A possua uma subálgebra bidimensional B que não é abeliana. Então B é um
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ideal de A.
Demonstração: Seja {y} uma base de A′. Como B não é abeliana, existem u,w ∈ B taisque uw = αy, donde α 6= 0 e αy ∈ B, pois B é subálgebra. Logo, y ∈ B. Seja então {x, y}uma base de B. Completemos essa base de B de modo a obtermos a base {x, y, z} de A.Tomemos w ∈ B e v ∈ A. Temos que w = ax+ by e v = cx+dy+ ez, com a, b, c, d, e ∈ C.Logo,
vw = (cx+ dy + ez)(ax+ by)
= ca(xx) + (cb− da)xy + db(yy) + ea(zx) + eb(zy)
= (cb− da)xy + ea(zx) + eb(zy).
Como zx, zy ∈ A′, existem α, β ∈ C tais que zx = αy e zy = βy. Então
vw = (cb− da)y + ea(αy) + eb(βy) ∈ B.
Portanto, B é um ideal de A.
Lema 2.8. Seja A uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada A′ éunidimensional. Se A′ 6⊆ Z(A), então existe uma subálgebra bidimensional de A que nãoé abeliana.
Demonstração: Sejam {x} e {x, y1, z} bases de A′ e A, respectivamente. Se A′ não estácontido em Z(A), então ou xz 6= 0 ou xy1 6= 0, pois caso contrário xw = 0 para qualquerw = ax+ by1 + cz ∈ A e então A′ ⊂ Z(A), contradizendo a hipótese. Suponha, sem perdade generalidade, que xy1 6= 0. Como A′ é um ideal, implica que xy1 ∈ A′ e então existea ∈ C tal que xy1 = ax. Definindo y = 1
ay1, temos que
xy = x1
ay1 =
1
axy1 =
1
aax = x.
Ou seja, xy = x. Assim, a subálgebra gerada por {x, y} é a subálgebra bidimensional nãoabeliana procurada.
Estamos agora em condições de determinar, a menos de isomorfismo, a álgebrade Lie tridimensional cuja álgebra derivada unidimensional não está contida no centro deA.
Teorema 2.9. Seja A uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada A′
é unidimensional. Se A′ não está contido em Z(A), então existe uma base {x, y, z} de Atal que xy = x, xz = 0 e yz = 0.
Demonstração: Pelo Lema anterior, A possui uma álgebra bidimensional não abeliana B.Seja {x, y} a base canônica de B, com xy = x. Pelo Lema 2.7, temos que B é um ideal
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de A. Assim, da Proposição 2.6, segue que A = B⊕Ann(B). Completemos a base {x, y}de modo a obtermos uma base {x, y, z} para A. Como A = B ⊕ Ann(B) e {x, y} geramB, então temos que z ∈ Ann(B). Portanto, zx = 0 e zy = 0.
Vamos determinar agora a álgebra de Lie tridimensional no caso em que a álgebraderivada é bidimensional.(c) dim(A′) = 2.Neste caso temos que A′ não pode ser uma álgebra de Lie não abeliana bidimensional. Defato, seja B uma álgebra de Lie não abeliana bidimensional tal que A′ = B. Tomemosuma base {x, y} de B tal que xy = x. Pelo Lema 2.7, B é um ideal de A e, assim,A = B ⊕ Ann(B). Logo,
A′ = A2
= (B ⊕ Ann(B))(B ⊕ Ann(B))
= B2 +B(Ann(B)) + (Ann(B))B + (Ann(B))2
= B2 + (Ann(B))2.
Observe que dim(A) = 3 e dim(B) = 2. Portanto, dim(Ann(B)) = 1 e, consequente-mente, Ann(B) é abeliano. Isto implica que (Ann(B))2 = 0. Assim, A′ = B2 = B′. Mas,por hipótese, xy = x, o que significa que B′ é unidimensional. Logo, A′ também o será.Isto é um absurdo!
Segue disso que A′ é abeliana, pois se A não possui uma subálgebra não abelianabidimensional e A′ é bidimensional, então A′ só pode ser abeliana. E caso A possua umasubálgebra bidimensional não abeliana B, temos que B 6= A′. Daí, A′ é abeliana.
Lema 2.10. Se A é uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada A′ ébidimensional, então ad(z) : A′ → A′ é isomorfismo para todo z ∈ A, com z /∈ A′.
Demonstração: Dados x, y ∈ A′, sabemos que xy = 0, pois A′ é abeliana. Assim,
ad(z)(xy) = z(xy) = z0 = 0
= (zx)(zy)
= (ad(z)(x))(ad(z)(y)).
Para ver que ad(z) é bijetora, suponhamos que {x, y} é uma base de A′ e estendamos auma base {x, y, z} de A. Como xy = 0, temos que A′ = A2 é gerada por yz e xz. Comefeito, dados u = ax+ by + cz e v = ex+ fy + gz, segue que
uv = (ax+ by + cz)(ex+ fy + gz)
= (ag − ce)xz + (bg − cf)yz.
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Portanto, como A′ é bidimensional, {xz, yz} é uma base de A′. Tome d ∈ ker(ad(z)).Daí, existem α, β ∈ C tais que d = αx+ βy. Logo,
ad(z)(d) = zd = z(αx+ βy) = α(zx) + β(zy) = 0.
Como zx e zy são linearmente independentes, então α = β = 0. Segue que d = 0. PeloTeorema do Núcleo e da Imagem, dim(A′) = dim(Im(ad(z))).
Teorema 2.11. Se A é uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivadaA′ é bidimensional, então existe uma base {x, y, z} de A e escalares α, β, γ e δ tais quexy = 0, zx = αx+ βy, zy = γx+ δy e
M =
(α β
γ δ
)
é uma matriz invertível.
Demonstração: Tomemos uma base {x, y} de A′ e a estendamos a uma base {x, y, z} deA. Sabemos que A′ é abeliana. Daí xy = 0 e, pelo Lema anterior, temos que {xz, yz}também é base de A′. Assim, xz = αx+ βy e yz = γx+ δy, onde α 6= 0 ou β 6= 0 e γ 6= 0
ou δ 6= 0. Como ad(z) é um isomorfismo, segue que a matriz desta transformação,
L =
(α γ
β δ
)
é invertível. E a transposta de uma matriz invertível é invertível. Logo,
M = Lt =
(α β
γ δ
)
é invertível.Agora, como
(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0z + (γx+ δy)x+ (−αx− βy)y = 0,
a identidade de Jacobi não impõe condições adicionais sobre α, β, γ ou δ. Portanto, nãoé imediatamente óbvio determinar se duas álgebras de Lie desse tipo são isomorfas.
Daí, para examinar classes de isomorfismo deste tipo, o problema é abordadodiretamente tentando construir um isomorfismo e observar o que acontece. Assim, sejamB e B duas álgebras de Lie tais que dim(B) = dim(B) = 3 e suponha que elas sãoisomorfas. Seja {x, y, z} uma base de B tal como foi definida para A e seja {x, y, z} umabase de B tal que {x, y} é base de B′. Seja φ : B → B um isomorfismo entre estas duasálgebras. Visto que φ restringirá a um isomorfismo entre B′ e B′, segue que φ(z) = bz+w
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para algum b ∈ C∗ e w ∈ B′. Assim, para todo v ∈ B′,
φ(z)φ(v) = φ(zv) = φ ◦ ad(z)(v).
Mas também
φ(z)φ(v) = (bz + w)φ(v) = bzφ(v) + wφ(v) = b · ad(z) ◦ φ(v).
Assim, φ ◦ ad(z) = b · ad(z) ◦ φ = ad(bz) ◦ φ. Ou seja,
ad(z) = φ−1 ◦ ad(bz) ◦ φ.
Segue que as matrizes de ad(z) e ad(bz) são semelhantes. Essencialmente os re-sultados acima implicam que a classificação de álgebras de Lie neste caso resume-se àclassificação de matrizes semelhantes, não singulares, de ordem 2 sobre C e é esta classi-ficação que agora faremos. Como C é um corpo algebricamente fechado, tal classificaçãoserá feita com base na existência da forma canônica de Jordan.
O polinômio característico de M é (x − λ1)(x − λ2), onde λ1 e λ2 são númerosdistintos e, portanto, é diagonalizável, sendo sua representação em alguma base ordenadaa matriz (
λ1 0
0 λ2
).
Ou o polinômio característico é (x− λ)2 e, neste caso, o polinômio minimal para M podeser (x− λ), caso em que M = λI, onde I é a matriz identidade de ordem 2, ou pode ser(x− λ)2, onde M é representado em alguma base ordenada por(
λ 1
0 λ
).
Fazendo as devidas modificações para simplificação (dividir por λ1, por exemplo), encon-tramos (
1 0
0 α
)α 6= 0,
(1 β
0 1
)β 6= 0.
Isto dá a tabela de multiplicação
xy = 0, xz = x, yz = αy
ouxy = 0, xz = x+ βy, yz = y.
Pela Proposição 2.2, diferentes escolhas de α e β resultam em diferentes álgebras. Por-
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tanto, obtemos um número infinito de álgebras não isomorfas.Resta-nos analisar o caso em que as álgebras tridimensionais possuem álgebras
derivadas também tridimensionais.(d) dim(A′) = 3.
Definição 2.12. Duas matrizes A e B são chamadas cogradientes (ou cogradientes multi-plicativas) se existe uma matriz invertível N e um número real ρ 6= 0 tal que B = ρN tAN .
Para denotar que A é cogradiente a B, usaremos a notação A ∼ B.
Proposição 2.13. A relação de cogradiente é uma relação de equivalência.
Demonstração: (i) Reflexividade: é óbvio que A ∼ A, pois A = ρN tAN para ρ = 1 eN = I, em que I é a matriz identidade.(ii) Simetria: Suponha que A ∼ B. Então existe uma matriz N e ρ 6= 0 tal que B =
ρN tAN . Assim:
B = ρN tAN ⇔ BN−1 = ρN tA⇔ 1
ρ(N t)−1BN−1 = A
que equivale a
A =1
ρ(N−1)tBN−1.
Logo, B ∼ A.(iii) Transitividade: Suponha que A ∼ B e B ∼ C. Então exitem matrizes invertíveis N1
e N2 e ρ1, ρ2 ∈ C∗ tais que B = ρ1Nt1AN1 e C = ρ2N
t2BN2. Daí,
C = ρ2Nt2BN2 = ρ2N
t2ρ1N
t1AN1N2
= ρ2ρ1(N1N2)tA(N1N2).
Portanto, A ∼ C.
Proposição 2.14. Se A é uma matriz 3× 3 simétrica e invertível, então A é cogradienteda matriz identidade I de ordem 3.
Demonstração: Seja A uma matriz simétrica e invertível. Então A é matriz de umoperador autoadjunto e, pelo Teorema Espectral, temos que existe uma matriz ortogonalN tal que N tAN é uma matriz diagonal, ou seja,
N tAN =
α 0 0
0 β 0
0 0 γ
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com α, β, γ ∈ R∗. Multiplicando N tAN por γ−1, obtemos
αγ
0 0
0 βγ
0
0 0 1
. Tomando
αγ
= α′ e βγ
= β′, temos que A é cogradiente a
α′ 0 0
0 β′ 0
0 0 1
isto é, B = 1
γN tAN . Mostraremos que B ∼ I.
Seja J =
x 0 0
0 y 0
0 0 z
. Para simplificar a notação, troquemos α′ por α e β′ por
β. Daí,
J tBJ =
x2α 0 0
0 y2β 0
0 0 z2
.
Para concluir a demonstração, basta tomar a matriz J tal que x = 1√α, y = 1√
βe z = 1.
Logo,
J tBJ =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I
e, portanto, B ∼ I. Por transitividade, A ∼ I.Com este resultado, podemos demonstrar o teorema que encerra a classificação
das álgebras de Lie de dimensão menor ou igual a 3.
Teorema 2.15. Seja A uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivadaA′ também é tridimensional, ou seja, A′ = A. Então, existe uma classe de álgebras de Lietridimensional com produto entre os elementos da base dado por yz = x, zx = y e xy = z.
Demonstração: Seja {x1, x2, x3} uma base de A. Obviamente, x2x3 = y1, x3x1 = y2 ex1x2 = y3 geram A′ e, portanto, constituem uma base de A′. Como A′ = A, temos que{y1, y2, y3} também é uma base de A. Denotaremos por
M =
α11 α21 α31
α12 α22 α32
α13 α23 α33
a matriz mudança de base de {x1, x2, x3} para {y1, y2, y3}. Sabemos que M é invertível,pois toda matriz mudança de base é invertível. Vejamos, utilizando a identidade de Jacobi,
34
que M é simétrica. Com efeito,
x1(x2x3) + x3(x1x2) + x2(x3x1) = 0.
Mas,x1(x2x3) + x3(x1x2) + x2(x3x1)
= x1y1 + x3y3 + x2y2
= x1(α11x1 + α12x2 + α13x3) + x3(α31x1 + α32x2 + α33x3) + x2(α21x1 + α22x2 + α23x3)
= α12x1x2 + α13x1x3 + α31x3x1 + α32x3x2 + α21x2x1 + α23x2x3
= (α12 − α21)x1x2 + (α31 − α13)x3x1 + (α23 − α32)x2x3
= (α12 − α21)y3 + (α31 − α13)y2 + (α23 − α32)y1.
Como {y1, y2, y3} é linearmente independente, a identidade de Jacobi nos diz queα12 = α21, α31 = α13 e α23 = α32. Isto mostra que M é simétrica. Consideremos umaoutra base de A que denotaremos por {x1, x2, x3}. Temos que
x1 = β11x1 + β12x2 + β13x3
x2 = β21x1 + β22x2 + β23x3
x3 = β31x1 + β32x2 + β33x3
e a matriz
N =
β11 β12 β13
β21 β22 β23
β31 β32 β33
é invertível, porque é a transposta da matriz mudança de base de {x1, x2, x3} para{x1, x2, x3}. Definamos y1 = x2x3, y2 = x3x1 e y3 = x1x2. Para qualquer permutaçãocíclica (i, j, k) de (1, 2, 3) temos que
yi = xjxk
= (βj1x1 + βj2x2 + βj3x3)(βk1x1 + βk2x2 + βk3x3)
= (βj1βk2 − βj2βk1)x1x2 + (βj3βk1 − βj1βk3)x3x1 + (βj2βk3 − βj3βk2)x2x3= (βj2βk3 − βj3βk2)y1 + (βj3βk1 − βj1βk3)y2 + (βj1βk2 − βj2βk1)y3= γi1y1 + γi2y2 + γi3y3.
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Agora observe que a adjunta de N t é
adj(N t) =
∣∣∣∣∣ β22 β32
β23 β33
∣∣∣∣∣ −
∣∣∣∣∣ β12 β32
β13 β33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ β12 β22
β13 β23
∣∣∣∣∣−
∣∣∣∣∣ β21 β31
β23 β33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ β11 β31
β13 β33
∣∣∣∣∣ −
∣∣∣∣∣ β11 β21
β13 β23
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ β21 β31
β22 β32
∣∣∣∣∣ −
∣∣∣∣∣ β11 β31
β12 β32
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ β11 β21
β12 β22
∣∣∣∣∣
t
=
β22β33 − β23β32 β23β31 − β21β33 β21β32 − β22β31β13β32 − β12β33 β11β33 − β13β31 β12β31 − β11β32β12β23 − β13β22 β13β21 − β11β23 β11β22 − β12β21
=
γ11 γ12 γ13
γ21 γ22 γ23
γ31 γ32 γ33
= det(N t) · (N t)−1.
Como a matriz mudança de base de {x1, x2, x3} para {y1, y2, y3} é M e a matriz mudançade base de {x1, x2, x3} para {x1, x2, x3} é (N t)−1, então se M é a matriz (αij) tal queyi = αi1x1 + αi2x2 + αi3x3 tem-se que
M = det(N t) · (N t)−1MN−1 = det(N t) · (N−1)tMN−1.
Portanto, M e M são matrizes simétricas e cogradientes. Pela Proposição 2.14, temosque M (ou M) é cogradiente a I, onde
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Vamos agora destacar uma álgebra particular na família de álgebras satisfazendodim(A) = 3 = dim(A′). Impomos a condição em que A contém um elemento h tal quead(h) tem um autovalor α 6= 0 pertencente a C. Então temos um autovetor e 6= 0 tal queeh = ad(h)(e) = αe 6= 0 (definindo agora por conveniência ad(x)(y) = yx, ∀x, y ∈ A)e como hh = 0, e e h são linearmente independentes, fazendo parte da base ordenada{x, y, z} = {e, h, f}. Se {y1, y2, y3} for definida como sendo y1 = hf, y2 = fe e y3 = eh,segue que a matriz simétrica agora é α11 α12 α
α12 α22 0
α 0 0
36
pois y3 = α31e+α32h+α33f = αe. Daí, temos eh = αe, hh = 0, fh = −αf −α11e−α12h,visto que fh = −y1 = −(α11e+ α12h+ αf). Isto implica que os autovalores de ad(h) são0, α e−α. Podemos substituir f por um autovetor cujo autovalor é−α. Este é linearmenteindependente de e e h e, portanto, pode ser usado para f . Por isso podemos supor queeh = αe, fh = −αf . Se substituirmos h por 2α−1h obtemos eh = 2e, fh = −2f . Por serα12 = 0, a matriz simétrica agora nos dá ef = βh 6= 0. Substituindo f por β−1f , obtemosa base {e, f, h} tal que
eh = 2e, fh = −2f, ef = h.
Um conhecido exemplo concreto desta álgebra é sl2(F) das matrizes de ordem 2 com traçozero sobre um corpo de característica 0. Falaremos mais dela no próximo capítulo.
2.2 Determinação das Álgebras de Leibniz de Dimen-
são Menor ou Igual a 3
Não é difícil descrever o isomorfismo de classes de álgebras de Leibniz não Liede dimensão menor ou igual a 2. Para dim(L) = 1, seja a ∈ L um elemento não nulo.Como L não é álgebra de Lie, aa 6= 0, isto é, aa = γa para algum γ ∈ C∗. Mas então aidentidade de Leibniz
(aa)a = (aa)a+ a(aa)
(aa)a− (aa)a = a(γa)
0 = γ(aa)
implica que aa = 0, o que é uma contradição. Logo, a álgebra de Leibniz de dimensão 1é a própria álgebra de Lie de igual dimensão.
No caso da álgebra de Leibniz não Lie de dim(L) = 2, observe que existe umelemento não nulo x ∈ L tal que xx 6= 0 e, para todo α 6= 0, temos xx 6= αx. De fato, sefosse xx = αx, então, pela identidade de Leibniz,
(xx)x = (xx)x+ x(xx)
0 = x(αx)
0 = α2x,
e como α 6= 0, teríamos x = 0, um absurdo! Logo, xx = y para algum y ∈ L e {x, y} éuma base de L. Também, usando novamente a identidade de Leibniz,
(yx)x = (yx)x+ y(xx)
0 = yy.
37
Precisamos encontrar o resultado dos produtos xy e yx. Novamente da igualdade
(xx)x = (xx)x+ x(xx)
segue que xy = 0. E por fim, sendo yx = ax+ by, obtemos
(xy)x = (xx)y + x(yx)
0 = yy + x(ax+ by)
0 = a(xx) + b(xy)
0 = ay,
donde concluímos que a = 0. Ficamos com yx = by. Logo, existem duas classes de álgebra(a menos de isomorfismo):(i) Se b = 0, então L é isomorfa à álgebra definida por
yy = xy = yx = 0 e xx = y.
Denotaremos esta álgebra por A3.(ii) Se b 6= 0, efetuamos uma mudança de base que mantém x e troca y por b−1y para verque L é isomorfa à álgebra definida por
yy = xy = 0, yx = y e xx = y,
Esta álgebra será denotada por A4.Vale destacar o porquê de as álgebras A3 e A4 não serem isomorfas. De fato,
se o fossem, então dadas as bases {x, y} e {x, y} de A3 e A4, respectivamente, haveriaisomorfismo de álgebras
T : A3 → A4
x 7→ T (x) = α1x+ α2y
y 7→ T (y) = β1x+ β2y,
tal que {T (x), T (y)} é uma base de A4 e T (x)T (x) = T (y) e T (y)T (x) = T (y). Porém,
T (x)T (x) = T (y)
(α1x+ α2y)(α1x+ α2y) = β1x+ β2y
(α21 + α1α2)y = β1x+ β2y.
38
Logo, β1 = 0. Também,
T (y)T (x) = T (y)
T (yx) = T (y)
T (0) = T (y)
0 = β2y.
Portanto, β2 = 0 e concluiríamos que T (y) = 0, o que seria absurdo!Raciocínio análogo se faz para provar que A1, A2, A3 e A4 são duas a duas não
isomorfas. Estes resultados, unidos aos da classificação da álgebra de Lie bidimensional,demonstram o seguinte teorema (suprimindo os produtos nulos):
Teorema 2.16. A menos de isomorfismo, existem quatro classes de álgebras de Leibnizbidimensionais:A1 : abeliana;A2 : xy = x = −yx;A3 : xx = y;A4 : xx = y, yx = y,em que {x, y} é uma base da álgebra.
Descreveremos a partir de agora as Álgebras de Leibniz não Lie Tridimen-sionais:
Considere uma álgebra de Leibniz não Lie tridimensional L. Seja Rx(y) = yx ooperador multiplicação à direita em L. Especificamos vários casos.
Caso 1: dim(AnnD(L)) = 1.Seja {e1} uma base de AnnD(L), o anulador à direita de L. Considere uma base de
L incluindo e1 : {e1, e2, e3}. Note que ei(ejej) = (eiej)ej−(eiej)ej = 0, i, j ∈ {1, 2, 3}, pelaidentidade de Leibniz. Ou seja, os produtos de mesmos vetores da base são anuladoresà direita. E visto que AnnD(L) é um ideal da álgebra de Leibniz L, encontramos osprodutos dos vetores da base como segue:
e1e1 = 0,
e1e2 = α1e1,
e2e2 = α2e1,
e1e3 = α3e1,
e3e3 = α4e1,
e2e1 = 0,
e3e1 = 0,
e3e2 = β1e1 + β2e2 + β3e3,
e2e3 = γ1e1 + γ2e2 + γ3e3.
39
Pela identidade de Leibniz,
e1(e3e2) = (e1e3)e2 − (e1e2)e3
e1(β1e1 + β2e2 + β3e3) = α3(e1e2)− α1(e1e3)
β2(e1e2) + β3(e1e3) = α3(e1e2)− α1(e1e3)
Por outro lado,
e1(e2e3) = (e1e2)e3 − (e1e3)e2
e1(γ1e1 + γ2e2 + γ3e3) = α1(e1e3)− α3(e1e2)
γ2(e1e2) + γ3(e1e3) = −α3(e1e2) + α1(e1e3)
Segue das igualdades acima que podemos considerar
γ2 = −β2 e γ3 = −β3.
Portanto, suprimindo os produtos nulos, ficamos com:e1e2 = α1e1,
e2e2 = α2e1,
e1e3 = α3e1,
e3e3 = α4e1,
e3e2 = β1e1 + β2e2 + β3e3,
e2e3 = γ1e1 − β2e2 − β3e3.Caso 1.1: Seja dim(L2) = 2.Então temos (β1, β2) 6= (0, 0). Vamos assumir que β2 6= 0, caso contrário, apli-
cando a mudança de base e′1 = e1, e′2 = e3 e e′3 = −e2 podemos obter β2 6= 0. De fato,
supondo β2 = 0 e sabendo que existe única matriz invertível (chamaremos essa matriz deP ) que nos permite escrever um vetor noutra base dada, temos neste caso que
P−1 =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
e e′3e′2 = −e2e3 = −γ1e1 + β2e2 + β3e3.
Portanto, e′3e′2 = P−1(−e2e3) = −γ1e′1 + β3e′2. Analogamente, e′2e′3 = P−1(−e3e2) =
−β1e′1 − β3e′2. Chamando {e′1, e′2, e′3} de {e1, e2, e3} (faremos isso sempre que mudarmosde base) e β3 de β2, temos que β2 6= 0, pois senão e2e3 ∈ AnnD(L) e e3e2 ∈ AnnD(L), oque é absurdo.
40
Se β2 6= 0, então a mudança de base e′1 = e1, e′2 = β2e2 + β3e3 e e′3 = 1
β2e3 leva a
β2 = 1 e β3 = 0. Com efeito, fazendo
e′1 = 1e1 + 0e2 + 0e3,
e′2 = 0e1 + β2e2 + β3e3,
e′3 = 0e1 + 0e2 +1
β2e3,
implica que P =
1 0 0
0 β2 0
0 β31β2
e consequentemente P−1 =
1 0 0
0 1β2
0
0 −β3 β2
. Assim,
e′3e′2 = e3e2 + β3
β2e3e3, e e′3e′2 na base {e′1, e′2, e′3} é obtida da seguinte forma:
e′3e′2 = P−1(e′3e
′2) =
1 0 0
0 1β2
0
0 −β3 β2
β1 + β3
β2α4
β2
β3
= (β1 +β3β2α4)e
′1 + e′2.
Significa que na nova base o coeficiente de e2 é 1 e o coeficiente de e3 é nulo. Daí, temosβ2 = 1 e β3 = 0. Chamando a soma de constantes β1 + β3
β2α4 simplesmente de β1 e
calculando de forma análoga,
e′2e′3 = P−1(e2e3) = γ1e
′1 − e′2 + (β2β3 − β2β3)e′3 = γ1e
′1 − e′2,
a tabela de multiplicação de L tem a formae1e2 = α1e1,
e2e2 = α2e1,
e1e3 = α3e1,
e3e3 = α4e1,
e3e2 = β1e1 + e2,
e2e3 = γ1e1 − e2.
Aplicando a identidade de Leibniz em L,
(e1e2)e3 = (e1e3)e2 + e1(e2e3)
α1(e1e3) = α3(e1e2) + e1(γ1e1 − e2)
α1α3e1 = α3α1e1 + γ1(e1e1)− e1e20 = −α1e1.
41
Logo, α1 = 0. Ainda,
(e2e2)e3 = (e2e3)e2 + e2(e2e3)
α2(e1e3) = (γ1e1 − e2)e2 + e2(γ1e1 − e2)
α2α3e1 = γ1(e1e2)− e2e2 + γ1(e2e1)− e2e2α2α3e1 = γ1α1e1 − 2α2e1
α2α3e1 = −2α2e1, pois α1 = 0.
Portanto, α2(α3 + 2)e1 = 0. Por fim,
(e3e3)e2 = (e3e2)e3 + e3(e3e2)
α4(e1e2) = (β1e1 + e2)e3 + e3(β1e1 + e2)
α4α1e1 = β1(e1e3) + e2e3 + β1(e3e1) + e3e2
0 = β1α3e1 + γ1e1 − e2 + β1e1 + e2
0 = (β1α3 + γ1 + β1)e1.
Assim, β1 + α3β1 + γ1 = 0. Encontramos as seguintes restrições para as constantes:
α1 = 0, α2(2 + α3) = 0, β1 + α3β1 + γ1 = 0. (2.1)
Agora considere alguns casos novamente.Caso 1.1.1: α2 6= 0.Então de (2.1) obtemos α3 = −2 e γ1 = β1. Como resultado obtemos a tabela de
multiplicação para L como segue:e2e2 = α2e1,
e1e3 = −2e1,
e3e3 = α4e1,
e3e2 = β1e1 + e2,
e2e3 = β1e1 − e2.
Fazendo a mudança de base,
e′1 = α2e1 + 0e2 + 0e3
e′2 = 0e1 + 1e2 + 0e3
e′3 =α2α4 − β2
1
2α2
e1 −β1α2
e2 + 1e3,
42
encontramos P−1 =
1α2
0β21−α2α4
2α2
0 1 β1α2
0 0 1
. Logo,
e′2e′2 = e2e2 e P−1(e2e2) =
1α2
0β21−α2α4
2α2
0 1 β1α2
0 0 1
α2
0
0
= e′1.
Ainda,
e′1e′3 = α2e1
(α2α4 − β2
1
2α2
e1 −β1α2
e2 + e3
)= −β1(e1e2) + α2(e1e3)
= −2α2e1
= −2e′1.
Além disso,
e′3e′3 =
(α2α4 − β2
1
2α2
e1 −β1α2
e2 + e3
)(α2α4 − β2
1
2α2
e1 −β1α2
e2 + e3
)=
α2α4 − β21
2α2
(e1e3) +β21
α22
(e2e2)−β1α2
(e2e3)−β1α2
(e3e2) + e3e3
=β21 − α2α4
α2
e1 +β21
α2
e1 −β1α2
(β1e1 − e2)−β1α2
(β1e1 + e2) + α4e1
=β21 − α2α4
α2
e1 −β21
α2
e1 + α4e1
=
(−α2α4
α2
+ α4
)e1
= 0.
Também,
e′3e′2 =
(α2α4 − β2
1
2α2
e1 −β1α2
e2 + e3
)e2
= −β1α2
(e2e2) + e3e2
= −β1α2
α2e1 + β1e1 + e2
= −β1e1 + β1e1 + e2
= e2
= e′2.
43
Por fim,
e′2e′3 = e2
(α2α4 − β2
1
2α2
e1 −β1α2
e2 + e3
)= −β1
α2
(e2e2) + (e2e3)
= −β1e1 + β1e1 − e2= −e2= −e′2.
Renomeando os vetores da base (omitindo as linhas), obtemos então a seguinte álgebra:e1e3 = −2e1,
e2e2 = e1,
e2e3 = −e2,
e3e2 = e2,
que denotaremos por RR1.Caso 1.1.2: Seja α2 = 0. Então, temos:
e1e3 = α3e1,
e3e3 = α4e1, (2.2)
e3e2 = β1e1 + e2,
e2e3 = −β1(1 + α3)e1 − e2.
Caso 1.1.2.1: Se assumirmos que α4 = 0 (neste caso α3 6= 0, caso contrário L éuma álgebra de Lie), então:
e1e3 = α3e1,
e3e2 = β1e1 + e2, (2.3)
e2e3 = −β1(1 + α3)e1 − e2.
Caso 1.1.2.1.1: Seja β1 = 0. Então temos a seguinte tabela de multiplicação:e1e3 = α3e1,
e3e2 = e2,
e2e3 = −e2.Denotaremos esta álgebra por RR2. Pela Proposição 2.2, para diferentes valores de α3 asálgebras de RR2 não são isomorfas entre si.
Caso 1.1.2.1.2: Seja β1 6= 0. Pomos, então, e′1 = e1, e′2 = e2, e
′3 = 1
α3e1 + e3 para
obter
44
e′1e′3 = α3e
′1,
e′3e′2 = β1e
′1 + e′2,
e′2e′3 = −β1(1 + α3)e
′1 − e′2
e
e′3e′3 = (
1
α3
e1 + e3)(1
α3
e1 + e3)
=1
α3
(e1e3) + (e3e3)
= e1 + α4e1
= e1
= e′1.
Daí, omitindo as linhas,e1e3 = α3e1,
e3e3 = e1, (2.4)
e3e2 = β1e1 + e2,
e2e3 = −β1(1 + α3)e1 − e2.
A mudança de base
e′1 = 1e1 + 0e2 + 0e3
e′2 = β1e1 + 1e2 + 0e3
e′3 = 0e1 + 0e2 + 1e3
em (2.4) nos dá a matriz P−1 =
1 −β1 0
0 1 0
0 0 1
a fim calcularmos
e′1e′3 = e1e3 e P−1(e1e3) =
1 −β1 0
0 1 0
0 0 1
α3
0
0
= α3e′1.
Ainda,e′2e′3 = (β1e1 + e2)e3 = β1(e1e3) + e2e3
= β1α3e1 − β1(1 + α3)e1 − e2 = −β1e1 − e2
45
e P−1(e′2e′3) =
1 −β1 0
0 1 0
0 0 1
−β1−1
0
= −e′2.
Também,e′3e′2 = e3(β1e1 + e2) = e3e2 = β1e1 + e2
e P−1(e′3e′2) =
1 −β1 0
0 1 0
0 0 1
β1
1
0
= e′2, resultando na tabela
e1e3 = α3e1,
e2e3 = −e2,
e3e2 = e2,
e3e3 = e1.
Neste caso, se α3 6= 0, então, usando a mudança de base e′1 = e1, e′2 = e2, e
′3 = (− 1
α3)e1 +
e2 + e3, teremos a álgebra RR2. De fato, e′1e′3 = α3e′1, e′3e′2 = e′2, e′2e′3 = −e′2 e
e′3e′3 = (− 1
α3
e1 + e2 + e3)(−1
α3
e1 + e2 + e3)
= − 1
α3
(e1e3) + e2e3 + e3e2 + e3e3
= − 1
α3
α3e1 − e2 + e2 + e1 = −e1 − e2 + e2 + e1
= 0.
Se α3 = 0 então obtemos a seguinte álgebra:e2e3 = −e2,
e3e2 = e2,
e3e3 = e1.
Denote esta álgebra por RR3.Caso 1.1.2.2: Se assumirmos que α4 6= 0 então podemos obter α4 = 1. Usando
a mudança de base e′1 = α4e1, e′2 = e2, e
′3 = e3, a tabela de multiplicação terá a forma
(2.4) considerada no Caso 1.1.2.1.2.Caso 1.2: Seja agora dim(L2) = 1. Então a tabela de multiplicações de L tem
a forma:
46
e1e2 = α1e1,
e2e2 = α2e1,
e1e3 = α3e1,
e3e3 = α4e1,
e3e2 = β1e1,
e2e3 = γ1e1.
A identidade de Leibniz dá restrições para as constantes α1, α2, α3, α4, β1, γ1. Ob-serve que
(e2e2)e3 = (e2e3)e2 + e2(e2e3)
α2(e1e3) = γ1(e1e2) + γ1(e2e1)
α2α3e1 = γ1α1e1,
e, além disso,(e3e3)e2 = (e3e2)e3 + e3(e3e2)
α4(e1e2) = β1(e1e3) + β1(e3e1)
α4α1e1 = β1α3e1.
Portanto,α1γ1 = α2α3 e α1α4 = α3β1. (2.5)
Caso 1.2.1: Seja (α1, α3) = (0, 0). Isto leva às seguintes regras de multiplicaçãoem L:
e2e2 = α2e1,
e3e3 = α4e1, (2.6)
e3e2 = β1e1,
e2e3 = γ1e1.
Certamente, (α2, α4, β1 + γ1) 6= (0, 0, 0), caso contrário L seria uma álgebra deLie, pela propriedade antissimétrica. Consideremos uma mudança de base da forma
e′1 = 1e1 + 0e2 + 0e3
e′2 = 0e1 + Ae2 +Be3
e′3 = 0e1 + 0e2 + 1e3.
Ora,e′2e′2 = (Ae2 +Be3)(Ae2 +Be3)
= A2(e2e2) + AB(e2e3) +BA(e3e2) +B2(e3e3)
= A2α2e1 + ABγ1e1 +BAβ1e1 +B2α4e1
= (A2α2 +B2α4 + AB(β1 + γ1))e1.
47
A condição (α2, α4, β1 + γ1) 6= (0, 0, 0) implica que existem A e B tais que
A2α2 +B2α4 + AB(β1 + γ1) 6= 0.
De fato, se fosse A2α2 +B2α4 +AB(β1 + γ1) = 0 para todo A,B ∈ C, teríamos, fazendoA = 1, um polinômio não constante de grau ≤ 2 na variável B
α2 +B2α4 +B(β1 + γ1) = 0
com infinitas raízes. Como estamos num corpo infinito, isto é uma contradição. Aindaneste caso (A = 1), se tivéssemos α4 = β1 + γ1 = 0, a contradição seria ter o polinômioconstante α2 = 0, com α2 6= 0. Assim, em (2.6) vamos assumir que α2 6= 0. Agoraconsidere a mudança de base e′1 = α2e1, e
′2 = e2, e
′3 = e3 − β1
α2e2 em (2.6). Temos:
e′2e′2 = e2e2
= α2e1
= e′1.
Também,
e′3e′2 = (−β1
α2
e2 + e3)e2 = −β1α2
(e2e2) + e3e2
= −β1e1 + β1e1
= 0.
Ou seja, β1 = 0. Assim,
e′2e′3 = e2e3 −
β1α2
(e2e2)
= γ1e1
=γ1α2
e′1 = γ′1e′1
e
e′3e′3 = (−β1
α2
e2 + e3)(−β1α2
e2 + e3)
=β21
α22
(e2e2)−β1α2
(e2e3)−β1α2
(e3e2) + e3e3
=β21
α2
e1 −β1γ1α2
e1 −β21
α2
e1 + α4e1
= α4e1
=α4
α2
e′1 = α′4e′1
48
nos dão a tabela
e2e2 = e1, e3e3 = α4e1, e2e3 = γ1e1, (2.7)
onde (α4, γ1) 6= (0, 0), pois senão AnnD(L) seria bidimensional (já que produtos com e3
sempre se anulariam).Se α4 = 0 em (2.7) então e2 − 1
γ1e3 ∈ AnnD(L), pois além de e1(e2 − 1
γ1e3) ser
nulo, temos:
e2(e2 −1
γ1e3) = e2e2 −
1
γ1(e2e3) = e1 − e1 = 0
e tambéme3(e2 −
1
γ1e3) = e3e2 −
1
γ1(e3e3) = 0,
o que contradiz o fato de AnnD(L) ser unidimensional. Portanto, α4 6= 0. Daí, consideredois casos: γ1 6= 0 e γ1 = 0. No primeiro caso, tomando e′1 = e1, e
′2 = e2, e
′3 = 1
γ1e3
obtemos γ1 = 1. Ficamos come2e2 = e1,
e3e3 = α5e1, com α5 6= 0, (2.8)
e2e3 = e1.
Vamos denotar esta álgebra por RR4. Se γ1 = 0 temose2e2 = e1, (2.9)
e3e3 = α5e1, com α5 6= 0.
Mas a mudança de basee′1 = α5e1 + 0e2 + 0e3
e′2 = 1e1 + 0e2 + 1e3
e′3 = 1e1 +√α5e2 + 0e3
nos dá
e′2e′2 = (e1 + e3)(e1 + e3) = e1e1 + e1e3 + e3e1 + e3e3 = α5e1 = e′1
e ainda
e′3e′3 = (e1 +
√α5e2)(e1 +
√α5e2) =
√α5(e1e2) + α5e1 = α5e1 = e′1,
vemos facilmente que (2.9) nos dáe2e2 = e1,
e3e3 = e1,
e denotaremos esta álgebra por RR5.Caso 1.2.2: Seja (α1, α3) 6= (0, 0). Podemos supor que α1 6= 0, caso contrário
49
teríamos α2 = β1 = 0 e a tabela de multiplicação em L,
e1e3 = α3e1, e3e3 = α4e1, e2e3 = γ1e1,
mostra que e2 ∈ AnnD(L), o que é absurdo! Agora, visto que α1 6= 0, de (2.5) obtemosγ1 = α2α3
α1e α4 = α3β1
α1. Isto resulta em
e1e2 = α1e1,
e2e2 = α2e1,
e1e3 = α3e1,
e3e3 =α3β1α1
e1,
e3e2 = β1e1,
e2e3 =α2α3
α1
e1.
Note quee1(e3 −
α3
α1
e2) = e1e3 −α3
α1
(e1e2) = (α3 − α3)e1,
e2(e3 −α3
α1
e2) = e2e3 −α3
α1
(e2e2) = (α2α3
α1
− α2α3
α1
)e1,
e3(e3 −α3
α1
e2) = e3e3 −α3
α1
(e3e2) = (α3β1α1
− α3β1α1
)e1.
Vemos então que e3 − α3
α1e2 ∈ AnnD(L), o que é novamente uma contradição.
Caso 2: Seja dim(AnnD(L)) = 2 e {e1, e2} uma base de AnnD(L). Como
eiej = 0, para i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2}
e ainda, pela identidade de Leibniz,
ek(eie3) = (ekei)e3 − (eke3)ei = 0 para i, k ∈ {1, 2, 3},
verificamos que eie3 ∈ AnnD(L), i ∈ {1, 2, 3}. Então a tabela de multiplicação de L nabase {e1, e2, e3} é dada do seguinte modo:
e3e3 = α1e1 + α2e2,
e1e3 = β1e1 + β2e2,
e2e3 = γ1e1 + γ2e2.
Especificamos dois casos.Caso 2.1: dim(L2) = 1.Neste caso os vetores α1e1 + α2e2, β1e1 + β2e2 e γ1e1 + γ2e2 são linearmente
dependentes. Podemos supor, fazendo uma mudança de base em AnnD(L), que α2 =
50
β2 = γ2 = 0. Então obtemos
e3e3 = α1e1, e1e3 = β1e1, e2e3 = γ1e1.
Suponha γ1 6= 0. Caso contrário, teremos L = 〈e1, e3〉⊕〈e2〉 e não pretendemos classificareste caso por ser soma direta de uma álgebra unidimensional com uma álgebra de dimensão2, casos já vistos anteriormente. Fazendo a mudança de base
e′1 = γ1e1, e′2 = e2, e′3 = e3 −α1
γ1e2,
chegamos a
e′3e′3 = (e3 −
α1
γ1e2)(e3 −
α1
γ1e2) = e3e3 −
α1
γ1(e2e3)
= α1e1 − α1e1 = 0,
e′1e′3 = γ1e1(e3 −
α1
γ1e2) = γ1(e1e3)− α1(e1e2)
= γ1β1e1
= βe′1.
Ainda,
e′2e′3 = e2(e3 −
α1
γ1e2)
= e2e3
= γ1e1 = e′1.
Portanto, ficamos com a álgebrae1e3 = β1e1
e2e3 = e1.
Se β1 = 0,e2e3 = e1.
Mas esta álgebra é subálgebra de RR4, em que RR4 é definida pore2e2 = e1,
e3e3 = αe1,
e2e3 = e1.
51
Agora, se β1 6= 0 então a mudança de base e′1 = e1, e′2 = β1e2, e
′3 = 1
β1e3 produz
e′1e′3 =
1
β1(e1e3) =
1
β1β1e1 = e1 = e′1 e
e′2e′3 = β1
1
β1(e2e3) = e1 = e′1.
dando-nose1e3 = e1,
e2e3 = e1.
Não nomearemos tal álgebra por ser isomorfa a álgebra do tipo RR7 definida pore1e3 = e2,
e2e3 = αe1 + e2
quando o parâmetro desta for nulo. Encontraremos a álgebra do tipo RR7 mais tarde.Caso 2.2: Seja dim(L2) = 2.Então temos
e3e3 = α1e1 + α2e2,
e1e3 = β1e1 + β2e2,
e2e3 = γ1e1 + γ2e2,
onde o posto de
(α1 β1 γ1
α2 β2 γ2
)= 2, pois é a dimensão da imagem da transformação
L→ L2 dada pela álgebra acima, isto é, a transformação é sobrejetora.
Caso 2.2.1: Seja det
(β1 γ1
β2 γ2
)6= 0. Ou seja,
β1γ2 − γ1β2 6= 0. (2.10)Caso 2.2.1.1: Seja β1 = 0 e β2 6= 0. Pomos então e′1 = 1
β2e1, e
′2 = e2, e
′3 = e3
para ficarmos come3e3 = α1e1 + α2e2,
e1e3 = e2,
e2e3 = γ1e1 + γ2e2.
A condição (2.10) implica que γ1 6= 0, e somando-se a isto a mudança de base e′1 = e1, e′2 =
e2, e′3 = (α1γ2
γ1− α2)e1 − α1
γ1e2 + e3, ficamos com
P−1 =
1 0 α2 − α1γ2γ1
0 1 α1
γ1
0 0 1
52
e
e′3e′3 =
((α1γ2γ1− α2)e1 −
α1
γ1e2 + e3
)((α1γ2γ1− α2)e1 −
α1
γ1e2 + e3
)= (
α1γ2γ1− α2)(e1e3)−
α1
γ1(e2e3) + e3e3
=α1γ2γ1
e2 − α2e2 − α1e1 −α1γ2γ1
e2 + α1e1 + α2e2
= 0,
chegando ae′1e′3 = e′2,
e′2e′3 = γ1e
′1 + γ2e
′2, com γ1 6= 0.
Obviamente, se γ2 = 0, então, omitindo as linhas,e1e3 = e2,
e2e3 = γ1e1, com γ1 6= 0.
Mas a mudança de base e′1 =√γ1e1, e
′2 = e2, e
′3 = 1√
γ1e3 nos dá
e′1e′3 = (
√γ1e1)(
1√γ1e3) =
√γ1
1√γ1
(e1e3) = e2 = e′2,
e′2e′3 = e2(
1√γ1e3) =
1√γ1γ1e1 = e′1,
fazendo-nos ficar come1e3 = e2,
e2e3 = e1.
Chamaremos de álgebra RR6. E se γ2 6= 0 obtemose1e3 = e2,
e2e3 = γ1e1 + e2, com γ1 6= 0,
por meio da mudança de base e′1 = e1, e′2 = 1
γ2e2, e
′3 = e3. Denotaremos esta álgebra por
RR7.Caso 2.2.1.2: Seja agora β1 6= 0 e β2 = 0. Pondo e′1 = 1
β1e1, e
′2 = e2, e
′3 = e3,
chegamos ae3e3 = α1e1 + α2e2,
e1e3 = e1,
e2e3 = γ1e1 + γ2e2.
A condição (2.10) implica que γ2 6= 0. Aplicando a mudança de base
e′1 = e1, e′2 = e2, e′3 = (α2γ1γ2− α1)e1 −
α2
γ2e2 + e3
encontramos α1 = α2 = 0 e voltamos à tabela de multiplicação
53
e1e3 = e1,
e2e3 = γ1e1 + γ2e2, com γ2 6= 0.
Se (γ1, γ2) 6= (0, 1) então existem números A e B tais que
AB(γ2 − 1)−B2γ1 6= 0.
Assim sendo, primeiro aplicamos a mudança de base e′1 = Ae1 + Be2, e′2 = e2, e
′3 = e3,
com A 6= 0. Com isso obtemos P−1 =
1A
0 0
−BA
1 0
0 0 1
. Além disso,
e′1e′3 = (Ae1 +Be2)e3 = A(e1e3) +B(e2e3)
= Ae1 +B(γ1e1 + γ2e2)
= (A+Bγ1)e1 +Bγ2e2.
Daí,
P−1(e′1e′3) =
1A
0 0
−BA
1 0
0 0 1
A+Bγ1
Bγ2
0
= (1 +B
Aγ1)e
′1 + (Bγ2 − (B +
B2
Aγ1))e
′2.
E então a mudança de basee′′1 = e′1,
e′′2 = (1 +B
Aγ1)e
′1 + (Bγ2 − (B +
B2
Aγ1))e
′2,
e′′3 = e′3,
reduz a álgebra ao Caso 2.2.1.1 já considerado, pois voltaríamos a ficar com e1e3 = e2.Se (γ1, γ2) = (0, 1), isto dá origem à algebra
e1e3 = e1,
e2e3 = e2.
Fazendo uma mudança de base adequada, verificamos que esta álgebra é isomorfa a RR6.Caso 2.2.2: Seja β1γ2 − γ1β2 = 0. Neste caso temos a seguinte tabela geral de
multiplicação:e3e3 = α1e1 + α2e2,
e1e3 = k1(β1e1 + β2e2), (2.11)
e2e3 = k2(β1e1 + β2e2),
pois como
∣∣∣∣∣ β1 γ1
β2 γ2
∣∣∣∣∣ = 0, temos que suas colunas compõem as coordenadas de vetores
linearmente dependentes. E visto que em (2.11) os vetores e1 e e2 são “simétricos”, pode-
54
mos supor que k1 6= 0 e tomar a mudança de base e′1 = e1, e′2 = k2
k1e1 − e2, e′3 = e3 para
reduzir (2.11) ae3e3 = α1e1 + α2e2,
e1e3 = β1e1 + β2e2. (2.12)Então a mudança de base e′1 = α1e1 + α2e2, e
′2 = e2, e
′3 = e3 em (2.12) dá
e3e3 = e1,
e1e3 = β1e1 + β2e2.
Daí, fazendo a mudança e′1 = e1, e′2 = β2e2, e
′3 = e3, obtemos
e′3e′3 = e3e3 = e1 = e′1,
e′1e′3 = e1e3 = βe1 + βe2 = βe′1 + e′2
e chegamos à seguinte tabela de multiplicação:e3e3 = e1,
e1e3 = β1e1 + e2. (2.13)Considere dois casos em (2.13):Caso 2.2.2.1: Seja β1 = 0. Obtemos a álgebra
e3e3 = e1,
e1e3 = e2.
Vamos denotá-la por RR8.Caso 2.2.2.2: Seja agora β1 6= 0. Então fazendo a mudança de base e′1 =
1β21e1, e
′2 = 1
β31e2, e
′3 = 1
β1e3 encontramos
e′3e′3 =
1
β21
(e3e3) = e′1,
e′1e′3 =
1
β31
(e1e3) =1
β31
(β1e1 + e2) =1
β21
e1 +1
β31
e2 = e′1 + e′2
e obtemos a seguinte álgebra:e3e3 = e1,
e1e3 = e1 + e2.
que denotaremos por RR9.Todos estes casos se reúnem para demonstrar o seguinte teorema:
Teorema 2.17. A menos de isomorfismo, existem três famílias paramétricas e seis re-presentações explícitas de álgebras de Leibniz não Lie de dimensão três:RR1 : e1e3 = −2e1, e2e2 = e1, e3e2 = e2, e2e3 = −e2;RR2 : e1e3 = αe1, e3e2 = e2, e2e3 = −e2, α ∈ C;
RR3 : e3e3 = e1, e3e2 = e2, e2e3 = −e2;RR4 : e2e2 = e1, e3e3 = αe1, e2e3 = e1, α ∈ C;
55
RR5 : e2e2 = e1, e3e3 = e1;
RR6 : e1e3 = e2, e2e3 = e1;
RR7 : e1e3 = e2, e2e3 = αe1 + e2, α ∈ C;
RR8 : e3e3 = e1, e1e3 = e2;
RR9 : e3e3 = e1, e1e3 = e1 + e2.
Como já dissemos, não levamos em consideração os casos em que a álgebra dedimensão 3 é soma direta (de álgebras) de uma álgebra unidimensional com uma álgebrabidimensional.
Capítulo 3
T-Ideais de Algumas Álgebras deLeibniz
A descrição dos geradores de um T -ideal de uma álgebra é de grande interessena PI-teoria. Vimos no Capítulo 1 que o processo de multilinearização, em caracterís-tica 0, reduz o estudo das identidades polinomiais de uma dada álgebra ao estudo dasidentidades polinomiais multilineares. Pela Observação 1.49, a vantagem disto é verificarapenas se os polinômios se anulam nos elementos de uma base da álgebra. Neste capítulo,descreveremos todos os T -ideais das álgebras de Leibniz bidimensionais e de algumas dedimensão 3. Este resultado é novo na literatura.
É importante ressaltar que neste capítulo os polinômios moram na álgebra livrede Leibniz D(X). Portanto, a identidade de Leibniz corresponde ao polinômio nulo. Eé necessário também enunciarmos preliminarmente alguns conceitos e resultados que nosauxiliam nesta investigação.
Proposição 3.1. Sejam V espaço vetorial sobre um corpo F e A,B subespaços de V
tais que A ⊆ B. Se vi ∈ V , i ∈ I, são tais que {vi = vi + A : i ∈ I} geraV
Ae
{vi = vi +B : i ∈ I} é linearmente independente emV
B, então A = B.
Demonstração: Basta mostrar que B ⊆ A. Seja x ∈ B. Então existem αi ∈ F, i ∈ I, taisque
x+ A =∑i∈I
αi(vi + A) =∑i∈I
(αivi + A) = (∑i∈I
αivi) + A.
Portanto, x −∑αivi ∈ A. Como A ⊆ B, segue que x −
∑αivi ∈ B. E visto que B é
subespaço vetorial e x ∈ B, então∑αivi ∈ B. Logo,
(∑i∈I
αivi) +B = 0 +B ⇒∑i∈I
αi(vi +B) = 0 +B.
Por hipótese, {vi = vi+B : i ∈ I} é linearmente independente emV
B. Assim, αi = 0 para
56
57
todo i ∈ I, donde concluímos que
x−∑i∈I
0 · vi = x ∈ A.
Definimos agora um monômio não associativo µl(x1, . . . , x2l) pondo µ0(x) = x e,usando indução sobre l,
µl+1(x1, . . . , x2l+1) = (µl(x1, . . . , x2l))(µl(x2l+1, . . . , x2l+1)).
O próximo resultado pode ser visto em [2], Teorema 10 - págs. 26 e 27.
Teorema 3.2. Seja A uma álgebra de Lie sobre um corpo F. As seguintes condições sãoequivalentes:(i) Para algum inteiro l ≥ 1 temos A(l−1) 6= 0, mas A(l) = {0}.(ii) O monômio µl(x1, . . . , x2l) é uma identidade para A.
Os resultados a seguir afirmam que qualquer polinômio multilinear pode ser es-crito como uma combinação linear de monômios de Leibniz multilineares normados àesquerda. Em particular, devido à antissimetria, podemos normar os monômios de Lie àesquerda e fixar a primeira variável.
Proposição 3.3. Todo polinômio multilinear em n variáveis x1, . . . , xn na álgebra livrede Leibniz pode ser escrito como combinação linear dos monômios normados à esquerda
(· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin ,
em que i1, . . . , in ∈ {1, . . . , n}, dois a dois distintos.
Demonstração: Olhemos para os monômios. Para n = 3, temos, pela identidade deLeibniz:
xi1(xi2xi3) = (xi1xi2)xi3 − (xi1xi3)xi2 .
Para n = 4, temos quatro casos:a) (xi1(xi2xi3))xi4 : segue do caso n = 3.b) (xi1xi2)(xi3xi4): olhando para (xi1xi2) como uma única variável, segue pela identidadede Leibniz que
(xi1xi2)(xi3xi4) = ((xi1xi2)xi3)xi4 − ((xi1xi2)xi4)xi3 .
c) xi1((xi2xi3)xi4): olhando para (xi2xi3) como uma única variável, reduzimos ao casoanterior e ao caso n = 3.
58
d) xi1(xi2(xi3xi4)): Neste caso, ficamos com
xi1((xi2xi3)xi4 − (xi2xi4)xi3) = xi1((xi2xi3)xi4)− xi1((xi2xi4)xi3)
e com isto reduzimos ao caso anterior. Suponha agora que o resultado é válido para todomonômio multilinear de comprimento menor que n. Seja w monômio tal que δ(w) = n.Então w se escreve como
w = (u)xin , ou w = xi0(u), ou w = (u)(v)
onde nos dois primeiros casos δ(u) = n− 1 e no último caso δ(u) + δ(v) = n, para u e vmonômios. Se w = (u)xin , o resultado segue imediatamente por hipótese indutiva.
Se w = xi0(u), então por hipótese de indução,
w = xi0(((· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin−2)xin−1).
Olhando para (· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin−2 como uma só variável (denotada por y), segue daidentidade de Leibniz que
xi0(yxin−1) = (xi0y)xin−1 − (xi0xin−1)y,
em que a primeira parcela do lado direito da igualdade segue por hipótese indutiva e nasegunda parcela olhamos para xi0xin−1 como uma única variável, ficando com
(xi0xin−1)(y) = ((xi0xin−1)(z))xin−2 − ((xi0xin−1)xin−2)(z),
em que z = (· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin−3 . Note que δ(z) = δ(y) − 1 = δ(u) − 2. Aplicandohipótese indutiva à primeira parcela do lado direito da igualdade e usando raciocíniorecursivo na segunda parcela, obtemos o resultado.
Se w = (u)(v), então
w = ((· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xik)((· · · ((xj1xj2)xj3) · · · )xjr),
onde k+r = n. Basta olhar para u como uma única variável, bem como (· · · ((xj1xj2)xj3) · · · )xjr−1
(esta última denotaremos por a). Ficamos com
w = ((u)(a))xjr − ((u)xjr)(a).
Novamente, a primeira parcela do lado direito da igualdade segue por hipótese indutiva eusamos raciocínio recursivo na segunda parcela. Isto conclui a prova da proposição.
Para ver o caso particular dos polinômios de Lie, precisamos da seguinte obser-
59
vação:
Observação 3.4. Na álgebra livre dos polinômios de Lie, para n ≥ 3,
((· · · (x1x2) · · · )xn−1)xn = ((· · · (x1x2) · · · )xn−2)(xn−1xn) + ((· · · (x1x2) · · · )xn)xn−1.
De fato, para n = 3 temos, pela identidade de Jacobi, que
(x1x2)x3 + (x2x3)x1 + (x3x1)x2 = 0.
Isso implica, pela antissimetria, que
(x1x2)x3 − x1(x2x3)− (x1x3)x2 = 0
e, portanto,(x1x2)x3 = x1(x2x3) + (x1x3)x2.
Para n > 3, usamos novamente a identidade de Jacobi e a antissimetria, olhando para(· · · (x1x2) · · · )xn−2 como uma única variável. O resultado segue.
Usando a observação e procedendo por indução, podemos concluir que qualquerproduto (x1x2)((· · · (x3x4) · · · )xn) na álgebra de Lie pode ser escrito como combinaçãolinear dos produtos do tipo
(· · · (((x1x2)xσ(3))xσ(4)) · · · )xσ(n),
com σ permutação de {3, . . . , n}. O exemplo a seguir ilustra o processo usado para obteressa combinação linear.
Exemplo 3.5. Considere o produto (x1x2)((x3x4)x5). Olhando para (x3x4) como umaúnica variável, pela observação anterior temos que
((x1x2)(x3x4))x5 = (x1x2)((x3x4)x5) + ((x1x2)x5)(x3x4),
ou seja,(x1x2)((x3x4)x5) = ((x1x2)(x3x4))x5 − ((x1x2)x5)(x3x4).
Usando novamente a Observação 3.4, obtemos
(x1x2)((x3x4)x5) = (((x1x2)x3)x4)x5 − (((x1x2)x4)x3)x5 − (((x1x2)x5)x3)x4
+(((x1x2)x5)x4)x3.
Proposição 3.6. Dada a álgebra de Lie sobre o corpo C, se f = f(x1, . . . , xn) ∈ L(X)
é um polinômio multilinear na álgebra livre de Lie, então f é combinação linear dos
60
monômios normados à esquerda
(· · · (((x1xσ(2))xσ(3))xσ(4)) · · · )xσ(n),
onde σ é uma permutação de {2, 3, . . . , n}.
Demonstração: Seja f = (· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin ∈ L(X), onde il ∈ {1, 2, . . . , n}. Va-mos mostrar que independente da posição da variável x1, podemos escrever f como umacombinação de monômios multilineares com primeira variável igual a x1. Se i1 = 1, entãotemos o resultado. Vamos supor i1 ≥ 2. Se n = 2, então pela antissimetria, temos oresultado. Agora, para n ≥ 3, faremos por indução em n.
Vejamos o caso em que n = 3. Se i2 = 1, pela antissimetria, temos
f = −(x1xi1)xi3 ,
com il ∈ {2, 3}. Logo, temos o resultado. Agora, caso i3 = 1, temos pela identidade deJacobi que
(xi1xi2)x1 = −(xi2x1)xi1 − (x1xi1)xi2 .
Assim, novamente pela antissimetria, temos
(xi1xi2)x1 = (x1xi2)xi1 − (x1xi1)xi2 ,
com il ∈ {2, 3}. Obtemos assim o resultado.Agora, se n = 4 então f = ((xi1xi2)xi3)xi4 , onde il ∈ {1, 2, 3, 4}. Se i2 = 1 ou
i3 = 1, então pelo caso n = 3 já temos o resultado. Suponha que i4 = 1. Pela Observação3.4 e usando a antissimetria temos que
f = (xi1xi2)(xi3x1) + ((xi1xi2)x1)xi3
= (x1xi3)(xi1xi2) + ((xi1xi2)x1)xi3
= ((x1xi3)xi1)xi2 − ((x1xi3)xi2)xi1 + ((xi1xi2)x1)xi3 .
Pelo caso n = 3, temos que
((xi1xi2)x1)xi3 = ((x1xi2)xi1)xi3 − ((x1xi1)xi2)xi3 .
Assim,
f = ((x1xi3)xi1)xi2 − ((x1xi3)xi2)xi1 + ((x1xi2)xi1)xi3 − ((x1xi1)xi2)xi3 .
Suponhamos a proposição válida para todo f de comprimento menor ou igual a n − 1.
61
Basta analisarmos o caso em que in = 1. Pela Observação 3.4 e a antissimetria, temos
f = (· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )(xin−1x1) + (((· · · (xi1xi2) · · · )xin−2)x1)xin−1
= (x1xin−1)(· · · (xi3xi4) · · · )xin−2 + (((· · · (xi1xi2) · · · )xin−2)x1)xin−1 .
Como vimos no Exemplo 3.5, podemos reescrever o monômio (x1xin−1)(· · · (xi3xi4) · · · )xin−2
na forma requerida. E, por hipótese de indução, temos que ((· · · (xi1xi2) · · · )xin−2)x1
é escrito como combinação linear de (· · · (x1xσ(i1)) · · · )xσ(in−2), com σ permutação de{i1, . . . , in−2}. Logo, temos o resultado. Concluímos então a prova da proposição.
Observação 3.7. Os monômios (· · · (((x1xσ(2))xσ(3))xσ(4)) · · · )xσ(n) da álgebra livre deLie são linearmente independentes em Pn, onde Pn representa o conjunto de todos ospolinômios multilineares de grau n.
Nosso objetivo neste capítulo é encontrar, para cada classe de isomorfismo, umabase das identidades na álgebra livre de Leibniz D(X) dos polinômios com coeficientesem C. Assim, passaremos agora a descrever os T -ideais das álgebras de Leibniz bidimen-sionais.
3.1 T-Ideais das Álgebras de Leibniz Bidimensionais
Denote por {e1, e2} uma base ordenada da álgebra de Leibniz bidimensional.Recordamos que os produtos na base que não aparecem são nulos. Já sabemos que a basedas identidades das álgebras de Lie abelianas é {x1x2}. Portanto,
T (A1) = 〈x1x2〉T .
Seja A2 a álgebra de Leibniz cujo produto na base é dado por
e1e2 = e1 = −e2e1.
Estamos falando da álgebra de Lie bidimensional não abeliana. Vamos procurar uma baseexplícita para T (A2). Temos que f(x) = x2 é uma identidade, ou seja, T (A2) ⊇ 〈x2〉T .Equivalentemente, g(x1, x2) = x1x2 + x2x1 ∈ T (A2). E como
P2 = {ax1x2 + bx2x1 : a, b ∈ C},
significa que P2 ∩ T (A2) = P2 ∩ 〈x1x2 + x2x1〉T . Com efeito, tomando
h(x1, x2) = ax1x2 + bx2x1 ∈ P2 ∩ T (A2),
62
segue que
h(e1, e2) = 0
a(e1e2) + b(e2e1) = 0
ae1 − be1 = 0
(a− b)e1 = 0
implica em a = b. Resultado idêntico encontramos para h(e2, e1) = 0.O próximo passo natural na procura de uma base explícita para T (A2) é procurar
identidades multilineares de grau 3 que não sejam consequências de g(x1, x2) = x1x2 +
x2x1. Por exemplo,x3(x1x2) + x3(x2x1)
pertence a P3∩T (A2), mas é uma consequência de g(x1, x2). Queremos, portanto, encon-trar geradores para
P3 ∩ T (A2)
〈x1x2 + x2x1〉T⊆ L(X) =
D(X)
〈x2〉T.
Pela Proposição 3.6, como
P3 =
{∑σ∈S3
ασ(xσ(1)xσ(2))xσ(3) +∑τ∈S3
βτ · xτ(1)(xτ(2)xτ(3)) : ασ, βτ ∈ C
},
ficamos então com
P3 ∩ T (A2)
P3 ∩ 〈x1x2 + x2x1〉T= {h ≡ α1(x1x2)x3 + α2(x1x3)x2, h ≡ 0 para A2, α1, α2 ∈ C}.
Uma vez que h(x1, x2, x3) = α1(x1x2)x3 + α2(x1x3)x2 ≡ 0, ao atribuirmos os valoresx1 = e2 = x3 e x2 = e1, observamos que
α1(e2e1)e2 + α2(e2e2)e1 = 0 ⇒ −α1e1 = 0 ⇒ α1 = 0,
e ao atribuirmos os valores x1 = e2 = x2 e x3 = e1, obtemos
α2(e2e1)e2 = 0 ⇒ −α2e1 = 0 ⇒ α2 = 0.
Logo,P3 ∩ T (A2)
P3 ∩ 〈x1x2 + x2x1〉T= {0},
e consequentemente P3∩T (A2) = P3∩〈x1x2 +x2x1〉T , isto é, as identidades multilinearesde grau 3 em T (A2) são consequências das identidades multilineares de grau 2.
Observação 3.8. Se uma álgebra de Lie A é tal que dim(A) ≤ 2, então A é solúvel inde-
63
pendentemente de ser abeliana ou não. Isto porque a álgebra unidimensional é abeliana eno caso bidimensional existem apenas duas classes de álgebras. As abelianas são solúveise as não abelianas têm álgebra derivada de dimensão 1 e, portanto, A′′ = 0.
Conforme a observação acima, a álgebra A2 é solúvel, com índice de solubilidadel = 2. Assim, pelo Teorema 3.2, p(x1, x2, x3, x4) = (x1x2)(x3x4) é uma identidade paraA2. A proposição a seguir mostra que todas as identidades de A2 seguem de
f(x1, x2) = x1x2 + x2x1 e p(x1, x2, x3, x4) = (x1x2)(x3x4).
Como char(C) = 0, mostraremos que Pn ∩ T (A2) = Pn ∩ I, para todo n ≥ 2, em queI = 〈x2, (x1x2)(x3x4)〉T .
Proposição 3.9. Seja A2 a álgebra de Leibniz definida por e1e2 = e1 = −e2e1. Entãoseu T -ideal é:
T (A2) = 〈x2, (x1x2)(x3x4)〉T .
Demonstração: Seja I = 〈x2, (x1x2)(x3x4)〉T . Já vimos que Pn ∩ I = Pn ∩ T (A2) paran = 2, 3. Resta mostrar que Pn ∩ I = Pn ∩ T (A2), para todo n ≥ 4. Pela Proposição 3.1,visto que Pn ∩ I ⊆ Pn ∩ T (A2) para todo n, é suficiente encontrar um conjunto gerador
dePn
Pn ∩ Ilinearmente independente em
PnPn ∩ T (A2)
.
Seja f ∈ Pn tal que δ(f) ≥ 4. Temos que f se escreve como combinação linearde monômios de três tipos:
(i) (u)xj, onde δ(u) = δ(f)− 1;
(ii) xi(v), onde δ(v) = δ(f)− 1;
(iii) (w1)(w2), onde δ(w1) + δ(w2) = δ(f) ≥ 4.
É fato que os monômios do tipo (iii) estão em Pn ∩ I e os monômios do tipo(ii), pela Proposição 3.3, são escritos como combinação linear dos monômios do tipo (i).
Denotando por f a classe de f emPn
Pn ∩ I, temos
f =∑σ∈Sn
ασ(· · · ((xσ(1)xσ(2))xσ(3)) · · · )xσ(n)
=∑
τ∈Sn−1{2,...,n}
βτ (· · · ((x1xτ(2))xτ(3)) · · · )xτ(n)
=∑
2≤j1≤n, 2≤j2<···<jn−1≤n
γJ(· · · ((x1xj1)xj2) · · · )xjn−1 ,
em que as últimas igualdades decorrem da Proposição 3.6 e do fato que
0 = (x1x2)(x3x4) = ((x1x2)x3)x4 − ((x1x2)x4)x3,
64
o que significa que podemos ordenar as variáveis (em ordem crescente, por exemplo) apartir da terceira posição. Consequentemente,
PnPn ∩ I
= span{(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn, (· · · ((x1x3)x2) · · · )xn, . . . , (· · · ((x1xn)x2) · · · )xn−1}.
Devemos agora provar a independência linear deste conjunto emPn
Pn ∩ T (A2), isto é,
α1(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn + · · ·+ αn−1(· · · ((x1xn)x2) · · · )xn−1 = 0
se, e somente se, α1 = · · · = αn−1 = 0, em que g é a classe de g emPn
Pn ∩ T (A2), a fim de
concluir que Pn ∩ I = Pn ∩ T (A2). Mas isto equivale a dizer que o polinômio
g(x1, . . . , xn) = α1(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn + · · ·+ αn−1(· · · ((x1xn)x2) · · · )xn−1
pertence a Pn ∩ T (A2). Assim,
α1(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn + · · ·+ αn−1(· · · ((x1xn)x2) · · · )xn−1 ≡ 0 para A2.
Fazendo x2 = e1 e xj = e2 para j 6= 2, ficamos com
α1(· · · ((e2e1)e2) · · · )e2 + · · ·+ αn−1(· · · ((e2e2)e1) · · · )e2 = 0
−α1e1 = 0.
Isto implica que α1 = 0. Para ver que αj−1 é nulo para j ∈ {3, . . . , n}, repetimos oprocesso, atribuindo os valores xj = e1 e xk = e2, para k 6= j. Portanto,
Pn ∩ I = Pn ∩ T (A2),
o que implica em I = T (A2).Seja A3 a álgebra de Leibniz bidimensional cujo produto na base é dado por
e1e1 = e2. Como esta álgebra é não Lie, f(x) = x2 não é uma identidade. Porém, buscandoidentidades multilineares de grau 2, vemos que se f(x1, x2) = ax1x2 + bx2x1 ∈ P2 ∩T (A3)
então
f(e1, e1) = 0
a(e1e1) + b(e1e1) = 0
ae2 + be2 = 0
(a+ b)e2 = 0
65
implica em a = −b. Visto que f(ei, ej) = 0 se i 6= 1 ou j 6= 1, segue que
P2 ∩ T (A3) = P2 ∩ 〈x1x2 − x2x1〉T .
Além disso, como o único produto não nulo resulta em e2 e este elemento da basepertence ao anulador da álgebra, Ann(A3), segue que α(x1x2)x3 e βx1(x2x3) são tambémidentidades polinomiais de A3, com α, β ∈ C. Todavia, pela Proposição 3.3, os monômiosnormados à direita são combinações de monômios normados à esquerda. Mostraremosentão que x1x2 − x2x1 e (x1x2)x3 formam uma base das identidades desta álgebra.
Proposição 3.10. Seja A3 a álgebra de Leibniz definida por e1e1 = e2. Então:
T (A3) = 〈x1x2 − x2x1, (x1x2)x3〉T .
Demonstração: Seja I = 〈x1x2 − x2x1, (x1x2)x3〉T . Claramente, {x1x2} geraP2
P2 ∩ Ie
{x1x2} é linearmente independente emP2
P2 ∩ T (A3). Logo, P2 ∩ I = P2 ∩ T (A3). Para o
caso P3, note que P3 ∩ I = P3 = P3 ∩ T (A3), pela Proposição 3.3.Resta mostrar que para todo f ∈ Pn ∩ T (A3), n ≥ 4, f é consequência dos
polinômios de I. Isto novamente se verifica pelo simples fato de que todo monômio f degrau n ≥ 4 se escreve de uma das três maneiras distintas:
f = xi(v), f = (v)xj ou f = (u)(w),
onde v é um monômio de grau n ≥ 3 e u,w são monômios de grau n ≥ 2. Novamente daProposição 3.3, concluímos que todo polinômio f é consequência de (x1x2)x3 e, portanto,Pn ∩ I = Pn = Pn ∩ T (A3), para todo n ≥ 4. Logo, I = T (A3).
Por fim, analisaremos a álgebra de Leibniz bidimensional A4, em que os produtosnão nulos na base são
e1e1 = e2 e e2e1 = e2.
Nesta álgebra não há identidades multilineares de grau 2. Ou seja,
α1(x1x2) + α2(x2x1) ≡ 0 ⇒ α1 = α2 = 0.
Para ver isto, atribuímos os valores x1 = e2 e x2 = e1 a fim de obter
α1e2 = 0 ⇒ α1 = 0
e x1 = e1 e x2 = e2 para concluir que
α2e2 = 0 ⇒ α2 = 0.
66
Logo, P2 ∩ T (A4) = {0}. Olhando para as identidades multilineares de grau 3, observeque o produto não nulo sempre resulta em e2, que é um anulador à direita, isto é, e2 ∈AnnD(A4). Então αx1(x2x3) é identidade, ∀α ∈ C, mas isto é falso para β(x1x2)x3,β ∈ C, pois por exemplo
f(x1, x2, x3) = (x1x2)x3
não se anula quando todas as variáveis assumem o valor e1. Porém, β1(x1x2)x3+β2(x1x3)x2é uma identidade quando β1 = −β2, para β1, β2 ∈ C. No entanto a identidade de Leibniznos diz que
(x1x2)x3 − (x1x3)x2 = x1(x2x3),
em particular, (x1x2)x3−(x1x3)x2 é consequência de x1(x2x3). Mostraremos que x1(x2x3)é uma base das identidades desta álgebra.
Proposição 3.11. Dada a álgebra de Leibniz definida por e1e1 = e2 e e2e1 = e2, temosque o T -ideal desta álgebra é:
T (A4) = 〈x1(x2x3)〉T .
Demonstração: Seja I = 〈x1(x2x3)〉T . Já que (x1x2)x3 ≡ (x1x3)x2 módulo I, isto é,podemos fixar a primeira variável e ordenar as outras, então ficamos com
P3
P3 ∩ I= span{(x1x2)x3, (x2x1)x3, (x3x1)x2}.
Mostrando que o conjunto de geradores {(x1x2)x3, (x2x1)x3, (x3x1)x2} é linearmente in-
dependente emP3
P3 ∩ T (A4), provamos que
P3 ∩ T (A4) = P3 ∩ I.
Para tanto, dada a igualdade
α1(x1x2)x3 + α2(x2x1)x3 + α3(x3x1)x2 ≡ 0 em A4,
atribuímos, em ordem crescente para i ∈ {1, 2, 3}, os valores xi = e2 e xj = e1 paraj 6= i, obtendo α1 = α2 = α3 = 0. Por exemplo, verificamos que α1 = 0 pondo x1 = e2 ex2 = x3 = e1. Assim,
α1(e2e1)e1 + α2(e1e2)e1 + α3(e1e2)e1 = 0
α1(e2e1) = 0
α1e2 = 0.
67
Disso resulta que P3 ∩ T (A4) = P3 ∩ I.Provamos o caso geral para o grau do monômio n ≥ 4 ao notar que dos três
tipos de monômios xi(v), (u)(w) e (v)xj, os dois primeiros são consequências imediatasde x1(x2x3). Já o monômio (v)xj, em virtude da identidade (x1x2)x3− (x1x3)x2, pode serordenado da forma
(· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin
módulo Pn ∩ I, onde ij ∈ {1, . . . , n}, de modo que i2 < i3 < · · · < in. Segue que
PnPn ∩ I
= span{(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn, . . . , (· · · ((xnx1)x2) · · · )xn−1}.
Com raciocínio análogo ao caso n = 3, verificamos que Pn ∩ I = Pn ∩ T (A4), para todon ≥ 2, donde concluímos que I = T (A4).
Resumindo:
Álgebra T -idealA1 〈x1x2〉T
A2 〈x2, (x1x2)(x3x4)〉T
A3 〈x1x2 − x2x1, (x1x2)x3〉T
A4 〈x1(x2x3)〉T
3.2 T-Ideais de Algumas Álgebras de Leibniz Tridimen-
sionais
Nesta seção encontraremos os T -ideais de algumas álgebras de Leibniz não Lietridimensionais, seguindo a classificação dada no capítulo anterior. Mas deixamos regis-trado o T -ideal de uma conhecida álgebra de Lie de dimensão 3, a álgebra sl2(F) dasmatrizes de ordem 2 com traço zero sobre um corpo de característica 0.
Teorema 3.12. As identidades polinomiais da álgebra de Lie sl2(F) sobre um corpo F decaracterística zero admitem como base das suas identidades em L(X)
(((x1x2)x3)x4)x5 ≡ 0
e(ad(x1))
3(x2x3) ≡ (ad(x1))3(x2)x3 + x2(ad(x1))
3(x3),
em que as barras sobre x2, x3, x4, x5 em (((x1, x2)x3)x4)x5 significam a soma alternadados produtos, isto é,
(((x1x2)x3)x4)x5 =∑σ∈S4
(((x1xσ(1))xσ(2))xσ(3))xσ(4).
68
Demonstração: Ver [2], Teorema 15 - pág. 169.Em 1973, Razmyslov, em seu artigo [12], usou a descrição das identidades na
álgebra associativa livre F〈X〉 satisfeitas por essa álgebra para obter uma base das identi-dades satisfeitas por M2(F), quando char(F) = 0, ou seja, um conjunto de geradores parao T -ideal das identidades desta álgebra.
Para a nossa investigação dos T -ideais das álgebras de Leibniz não Lie tridimensi-onais, devemos ressaltar que elas são solúveis. De fato, visto que e1 ∈ AnnD(L) para todaálgebra do Teorema 2.17, dados dois elementos v = ae1 + be2 + ce3 e w = ge1 + he2 + ie3,o produto resulta em
vw = ah(e1e2) + ai(e1e3) + bh(e2e2) + bi(e2e3) + ch(e3e2) + ci(e3e3).
Este é um elemento da álgebra derivada L′ = LL. Como todos os produtos nas álgebrasRR1 a RR9 resultam em combinações de e1 com e2 e ainda e2e2 = e1 ou e2e2 = 0, nocaso RR1, temos que L′′ = L′L′ = {0} ou L′′′ = L′′L′′ = {0}, no caso RR1. Assim, peloTeorema 3.2, cuja demonstração não depende da antissimetria, segue que (x1x2)(x3x4)
é identidade destas álgebras. A única exceção é a álgebra RR1, pois seu índice de so-lubilidade é l = 3. Logo, conforme o Teorema 3.2, um polinômio satisfeito por RR1
éf(x1, . . . , x8) = ((x1x2)(x3x4))((x5x6)(x7x8)).
Observação 3.13. Uma identidade polinomial comum a todas as álgebras de Leibniz éf(x1, x2) = x1x
22. Isto porque sua linearização é x1(x2x3) + x1(x3x2) que, normada à
esquerda, equivale a
x1(x2x3) + x1(x3x2) = (x1x2)x3 − (x1x3)x2 + (x1x3)x2 − (x1x2)x3
= 0.
Daremos a seguir os T -ideais das álgebras RR3 a RR9.Álgebra RR3: e3e3 = e1, e3e2 = e2, e2e3 = −e2.Nesta álgebra não há identidades multilineares de grau 2 em RR3, visto que
f(x1, x2) = a(x1x2) + b(x2x1)
é igual a (a + b)e1, se x1 = x2 = e3, e igual a (b − a)e2, se x1 = e2 e x2 = e3. Daí, paraque f seja identidade, devemos ter a = b = 0 e assim P2 ∩ T (RR3) = {0}.
Agora, se atentarmos para os elementos da base e2 e e3, veremos que o produtoentre eles é semelhante à álgebra de Lie bidimensional A2. Logo, A2 é uma subálgebrade RR3, e com isto T (RR3) ⊆ T (A2) = 〈x2, (x1x2)(x3x4)〉T . Na procura por identidadesmultilineares de grau 3, observe que temos a identidade f(x1, x2) = x21x2 (recordamos que
69
x21x2 = (x1x1)x2). Com efeito, dado v = ae1 + be2 + ce3, obtemos
v2 = (ae1 + be2 + ce3)(ae1 + be2 + ce3)
= −bce2 + bce2 + c2e1
= c2e1.
Como e1 ∈ Ann(RR3), então f = x21x2 é uma identidade. Linearizando f(x1, x2), ficamoscom
0 ≡ g(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 + (x2x1)x3. (3.1)
Denote por I o T -ideal 〈x21x2, (x1x2)(x3x4)〉T . Lembremos que, pela identidadede Leibniz e olhando para (x1x2) como uma única variável, temos
0 ≡ (x1x2)(x3x4) = ((x1x2)x3)x4 − ((x1x2)x4)x3. (3.2)
Pela Proposição 3.3, podemos normar todos os monômios de Leibniz à esquerda. Pela
identidade (3.1) podemos ordenar as duas primeiras variáveis emPn
Pn ∩ I, para n ≥ 3. E
por (3.2), podemos ordenar as duas últimas variáveis emPn
Pn ∩ I, para n ≥ 4. Então,
todo monômio ((xi1xi2)xi3)xi4 emP4
P4 ∩ Ié congruente a uma combinação de monômios
de mesmo tipo com a variável x1 fixada na primeira posição e as variáveis da terceira equarta posições ordenadas em ordem crescente. Vejamos um exemplo em que a variávelx1 aparece, na pior das hipóteses, na terceira posição:
Exemplo 3.14. Considere o monômio ((x3x4)x1)x2. Olhando para (x3x4) como umaúnica variável, ordenamos
((x3x4)x1)x2 ≡ −(x1(x3x4))x2.
Normando x1(x3x4) à esquerda, ficamos com (x1x3)x4 − (x1x4)x3. Assim,
((x3x4)x1)x2 ≡ −((x1x3)x4)x2 + ((x1x4)x3)x2
≡ −((x1x3)x2)x4 + ((x1x4)x2)x3,
módulo P4 ∩ I.
Com isso,
P4
P4 ∩ I= span{((x1x2)x3)x4, ((x1x3)x2)x4, ((x1x4)x2)x3}.
70
Para ver que este conjunto é linearmente independente emP4
P4 ∩ T (RR3), devemos ter
α1((x1x2)x3)x4 + α2((x1x3)x2)x4 + α3((x1x4)x2)x3 = 0
implicando em α1 = α2 = α3 = 0. Equivalentemente, o polinômio
f(x1, x2, x3, x4) = α1((x1x2)x3)x4 + α2((x1x3)x2)x4 + α3((x1x4)x2)x3
pertence a P4 ∩T (RR3). Atribuímos então, em ordem crescente do índice i ∈ {2, 3, 4}, osvalores xi = e2 e xj = e3, j ∈ {1, 2, 3, 4}, j 6= i, para obter
αi−1e2 = 0 ⇒ αi−1 = 0.
Isto significa que P4 ∩ T (RR3) = P4 ∩ I, em que I = 〈x21x2, (x1x2)(x3x4)〉T . Para o casogeral n ≥ 5, seguimos raciocínio análogo, observando que todos os monômios f ∈ Pn,módulo Pn ∩ I, se escrevem como combinação de monômios do tipo
(· · · ((x1xi1)xi2) · · · )xin−1 ,
onde 2 ≤ i1 ≤ n e i2 < i3 < · · · < in−1, ou seja,
PnPn ∩ I
= span{(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn, . . . , (· · · ((x1xn)x2) · · · )xn−1}
e assim, Pn ∩ I = Pn ∩ T (RR3), isto é, I = T (RR3). Isto prova a
Proposição 3.15. Dada a álgebra de Leibniz tridimensional RR3 definida por e3e3 = e1,e3e2 = e2 e e2e3 = −e2, temos que:
T (RR3) = 〈x21x2, (x1x2)(x3x4)〉T .
Álgebra RR4: e2e2 = e1, e3e3 = αe1, e2e3 = e1.Nesta álgebra também não há identidades multilineares de grau 2. Pondo x1 =
x2 = e2 emf(x1, x2) = a(x1x2) + b(x2x1)
ficamos com f(e2, e2) = (a+ b)e1, e pondo x1 = e2 e x2 = e3, ficamos com f(e2, e3) = ae1.Logo, para que f seja identidade, devemos ter a = b = 0. Disso resulta que P2∩T (RR4) =
{0}.No caso das identidades de grau 3, como todos os produtos não nulos dos ele-
mentos da base resultam em e1 ∈ Ann(RR4), é fácil ver que f = α(x1x2)x3, para todoα ∈ C. Logo,
71
Proposição 3.16. Dada a álgebra RR4 definida por e2e2 = e1, e3e3 = αe1 e e2e3 = e1, oseu T -ideal é:
T (RR4) = 〈(x1x2)x3〉T .
Demonstração: Seja I = 〈(x1x2)x3〉T . Para os polinômios multilineares de grau maiorou igual a 3, usamos raciocínio análogo ao da álgebra A3: como todo monômio u comδ(u) ≥ 3 pode ser normado à esquerda, conforme a Proposição 3.3, concluímos que todopolinômio f de grau n ≥ 3 é consequência de (x1x2)x3 e, portanto,
Pn ∩ I = Pn = Pn ∩ T (RR4),
para todo n ≥ 3. Logo, I = T (RR4).Álgebra RR5: e2e2 = e1, e3e3 = e1.Esta álgebra é comutativa, ou seja, RR5 satisfaz f(x1, x2) = x1x2 − x2x1. Além
disso, por motivo igual ao da álgebra RR4, o monômio α(x1x2)x3 é identidade de RR5,com α ∈ C. Desta forma,
Proposição 3.17. Dada a álgebra RR5 cujos produtos nos elementos da base são e2e2 =
e1 e e3e3 = e1, o seu T -ideal é
T (RR5) = 〈x1x2 − x2x1, (x1x2)x3〉T .
Demonstração: Denotando por I o T -ideal 〈x1x2−x2x1, (x1x2)x3〉T , obviamente P2∩ I =
P2 ∩ T (RR5), poisP2
P2 ∩ I= span{x1x2}
e o conjunto {x1x2} é linearmente independente emP2
P2 ∩ T (RR5). Isto se verifica atri-
buindo, por exemplo, o valor e2 às variáveis x1 e x2 na igualdade
αx1x2 ≡ 0
para ver que αe1 ≡ 0 implica em α = 0.Além disso, como no caso das álgebras A3 e RR4, visto que todo monômio u com
δ(u) ≥ 3 pode ser normado à esquerda, concluímos que todo polinômio f tal que δ(f) ≥ 3
é consequência de (x1x2)x3. Logo,
Pn ∩ I = Pn = Pn ∩ T (RR5),
para todo n ≥ 3. Segue que I = T (RR5).As Álgebras:
RR6: e1e3 = e2, e2e3 = e1,
72
RR7: e1e3 = e2, e2e3 = αe1 + e2,RR8: e1e3 = e2, e3e3 = e1 eRR9: e1e3 = e1 + e2, e3e3 = e1
podem ser agrupadas numa mesma investigação, porque possuem características muitosemelhantes na multiplicação dos elementos da base. Como e1e3 = e2 (ou e1e3 = e1 + e2,no caso da álgebra RR9) e e3e1 = 0, ficamos com
f(x1, x2) = a(x1x2) + b(x2x1)
resultando em f(e1, e3) = ae2 (ou a(e1 + e2)) e f(e3, e1) = be2 (ou b(e1 + e2)), o que nosindica que a = b = 0 para que f seja nulo. Portanto,
P2 ∩ T (RRi) = {0}, i ∈ {6, 7, 8, 9}.
Os produtos não nulos dos elementos da base resultam em combinações de e1e e2, que pertencem ao anulador à direita. Portanto, buscando indentidades de grau 3,temos que f = βx1(x2x3), β ∈ C, vale em RRi, i ∈ {6, 7, 8, 9}.
Porém f(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 não é identidade destas álgebras, pois f(e1, e3, e3) 6=0 em RR6, RR7 e RR9, assim como f(e3, e3, e3) 6= 0 em RR8. Lembremos, no entanto,que (x1x2)x3 − (x1x3)x2 é consequência de x1(x2x3).
Observação 3.18. O polinômio g(x1, x2, x3) = (x1x2)x3− (x3x2)x1 também é uma iden-tidade da álgebra RR8, que não é consequência de x1(x2x3). Para ver que é identi-dade, basta calcular g(e3, e3, e3), visto que f(x1, x2, x3) = (x1x2)x3 não se anula apenaspara f(e3, e3, e3). Mas é óbvio que g(e3, e3, e3) = 0. Ainda, temos h(x1, x2, x3, x4) =
((x1x2)x3)x4 como identidade polinomial de RR8. Por estes motivos, demonstraremos oT -ideal de RR8 à parte.
Portanto,
Proposição 3.19. O T -ideal das álgebras RRi, para i ∈ {6, 7, 9}, é
T (RRi) = 〈x1(x2x3)〉T .
Demonstração: Novamente, seja I = 〈x1(x2x3)〉T . Temos que
P3
P3 ∩ I= span{(x1x2)x3, (x2x1)x3, (x3x1)x2}.
Dada a igualdade
α1(x1x2)x3 + α2(x2x1)x3 + α3(x3x1)x2 ≡ 0 em RRi,
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atribuímos os valores xj = e1 e xk = e3, para k 6= j, ficando com
αje1 = 0, no caso RR6,
αj(e1 + e2) = 0, no caso RR7,
αj(αe1 + e2) = 0, no caso RR9.
Nos três casos temos α1 = α2 = α3 = 0. Logo, P3 ∩ T (RRi) = P3 ∩ I, para i ∈ {6, 7, 9}.Lembrando que dos três tipos de monômios, xi(v), (u)(w) e (v)xj, os dois pri-
meiros são consequências imediatas de x1(x2x3), provamos o caso geral para o grau domonômio n ≥ 4 verificando que, em virtude da identidade (x1x2)x3−(x1x3)x2, o monômio(v)xj pode ser ordenado da forma
(· · · ((xi1xi2)xi3) · · · )xin
módulo Pn ∩ I, onde ij ∈ {1, . . . , n}, de modo que i2 < i3 < · · · < in. Segue que
PnPn ∩ I
= span{(· · · ((x1x2)x3) · · · )xn, . . . , (· · · ((xnx1)x2) · · · )xn−1}.
Com raciocínio análogo ao caso n = 3, verificamos que Pn ∩ I = Pn ∩ T (RRi), para todon ≥ 2, com i ∈ {6, 7, 9}. Concluímos que I = T (RRi), i ∈ {6, 7, 9}.
O T -ideal da álgebra RR8 é ainda mais fácil de demonstrar. Dado
I = 〈(x1x2)x3 − (x3x2)x1, x1(x2x3), ((x1x2)x3)x4〉T ,
podemos, uma vez que esta álgebra satisfaz a identidade f(x1, x2, x3) = x1(x2x3), ordenar
as duas últimas variáveis emP3
P3 ∩ I. E visto que RR8 satisfaz o polinômio g(x1, x2, x3) =
(x1x2)x3−(x3x2)x1, podemos ordenar a primeira e a última variável no referido quociente.Significa que
P3
P3 ∩ I= span{(x1x2)x3},
e obviamente o conjunto {(x1x2)x3} é linearmente emP3
P3 ∩ T (RR8). Isto se vê atribuindo
o valor e3 às variáveis x1, x2, x3 na igualdade
α(x1x2)x3 ≡ 0
a fim de obter αe2 ≡ 0 e concluir que α = 0.Para o caso geral n ≥ 4, dissemos na Observação 3.18 que RR8 satisfaz
h(x1, x2, x3, x4) = ((x1x2)x3)x4.
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Com efeito, caso o primeiro produto resulte em e1, a próxima multiplicação, se não seanular, resultará em e2 ∈ Ann(RR8). Portanto, da Proposição 3.3 resulta que
Pn ∩ I = Pn = Pn ∩ T (RR8),
para todo n ≥ 4. Isto prova a
Proposição 3.20. O T -ideal da álgebra RR8 definida por e1e3 = e2 e e3e3 = e1 é
T (RR8) = 〈(x1x2)x3 − (x3x2)x1, x1(x2x3), ((x1x2)x3)x4〉T .
Resumindo:
Álgebra T -idealRR3 〈x21x2, (x1x2)(x3x4)〉T
RR4 〈(x1x2)x3〉T
RR5 〈x1x2 − x2x1, (x1x2)x3〉T
RR6
RR7 〈x1(x2x3)〉T
RR9
RR8 〈(x1x2)x3 − (x3x2)x1, x1(x2x3), ((x1x2)x3)x4〉T
Vale destacar que as seguintes álgebras não são isomorfas, mas são PI-equivalentes:
• as álgebras A3 e RR5;
• as álgebras A4, RR6, RR7 e RR9.
Conclusão
Este trabalho se propôs a classificar as álgebras de Leibniz de dimensão menorou igual a 3 e encontrar bases das identidades para as álgebras bidimensionais e tridimen-sionais.
Inicialmente, vimos os conceitos básicos que norteiam toda a PI-teoria. No capí-tulo 2 classificamos, a menos de isomorfismo, todas as álgebras, inclusive as de Lie, umcaso particular das álgebras de Leibniz. A classificação das álgebras de Leibniz Complexasnão Lie tridimensionais se baseou no artigo de Rikhsiboev e Rakhimov [13], publicado em2012, com a proposta de melhorar, por meio de um método mais elegante, a classificaçãodada por Ayupov e Omirov [1] em 1999.
Por fim, uma investigação para encontrar bases das identidades de algumas destasálgebras trouxe resultados satisfatórios. Encontramos os T -ideais de todas as álgebras deLeibniz bidimensionais e de sete (RR3 a RR9) das nove álgebras de Leibniz não Lie tridi-mensionais sobre o corpo dos Números Complexos. Isto é novo na literatura. Portanto,esperamos com este trabalho contribuir para pesquisas futuras.
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