Matemática, 3º ano, Equações polinomiais MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Equações Polinomiais

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Médio, 3º ano

Equações Polinomiais


“A diferença entre o cubo de um número real e o seu quadrado é igual à soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número?”,

http:

//2.

bp.b

logs

pot.c

om/-

Yr2w

Uq1

eG0E

/T9

lFT4

WDs

PI/A

AAAA

AAAk

eY/

QpO

cWTV

bcO

8/s1

600/

prof

esso

ra+3

d.gi

f


EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação.

Exemplos: x4 + 9x2–10x + 3 = 0 x10 + 6x2 + 9 = 0

Para resolver estas equações é preciso encontrar as raízes do polinômio. As raízes de um polinômio podem ser reais e/ou complexas.


TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)

Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa (real ou imaginária).

A equação 2x – 6 = 0 admite a raiz real 3.

a equação x2 + 4 = 0 admite as raízes imaginárias 2i e –2i.

A equação x4 – 81 = 0 admite a raiz real 3 e a raiz imaginária –3i, entre outras.


FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO

Uma consequência imediata do T.F.A. é o teorema a seguir.

Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite exatamente n raízes complexas (reais ou imaginárias).

Portanto, uma equação tem sempre tantas raízes quanto for o seu grau.


DEMONSTRAÇÃO

Suponhamos a equação p(x) = 0, em que o polinômio p(x), de variável complexa e grau n ≥ 1, é dado pela seguinte expressão, com a0 ≠ 0.

Vamos provar que p(x) admite n raízes complexas.

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an


DEMONSTRAÇÃO

Pelo T.F.A., p(x) admite uma raiz complexa k1.

p(k1) = 0 e que p(x) é divisível por (x – k1).

⇒ p(x) = (x – k1).q1(x) (1)

q1(k2) = 0 e que q1(x) é divisível por (x – k2).

⇒ q1(x) = (x – k2).q2(x) (2)

Pelo T.F.A., q1(x) admite uma raiz complexa k2.

Substituindo (2) em (1), concluímos que

⇒ p(x) = (x – k1).(x – k2).q2(x)


DEMONSTRAÇÃO

Aplicando esse raciocínio n vezes, o último quociente, de grau zero, é justamente o coeficiente dominante a0. Concluímos que:

p(x) = a0.(x – k1).(x – k2).(x – k3). ... (x – kn)

O polinômio tem exatamente n raízes complexas k1, k2, k3, ... kn reais ou imaginárias;

Pode ser decomposto no produto de seu coeficiente dominante por n fatores de 1º grau do tipo (x – ki), em que ki, representa cada uma das raízes do polinômio.


EXEMPLO 1

Mostrar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que 1, –1 e –2 são as raízes de p(x) = 2x3 + 4x2 – 2x – 4 e escrever p(x) na forma fatorada.

4

– 2

06 21

– 44 2

04 2–1

–2 2 0

p(x) = (x – 1).(2x2 + 6x + 4) = (x – 1).(x + 1).(2x + 4)

p(x) = 2.(x – 1).(x + 1).(x + 2)


EXEMPLO 2

Quais são os graus das equações (x – 1)2 = 0, (x – 1)5 = 0. A partir do grau, quantas raízes complexas tem cada uma delas? Quais são as raízes, em cada caso?

(x – 1)2 = 0 é de 2º grau.

(x – 1)2 = (x – 1).(x – 1) = 0

⇒ a equação admite duas raízes iguais a 1.

(x – 1)5 = 0 é de 5º grau.

(x – 1)5 = (x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1).(x – 1) = 0

⇒ a equação admite cinco raízes iguais a 1.


EXEMPLO 3

Escrever o polinômio p(x) = (x2 – 3x)(x2 – 9) como produto de fatores de 1º grau e identificar seu grau e suas raízes.

Fatorando as expressões entre parênteses,

p(x) =(x2 – 3x)(x2 – 9) = x(x – 3)(x + 3)(x – 3)

O polinômio é de 4º grau e suas raízes são os valores que anulam cada um dos seus quatro fatores:

x = 0 ou x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 ou x – 3 = 0

⇒ x = 0 ou x = 3 ou x = –3 ou x = 3

⇒ raízes são 0, 3 , –3 e 3.


EXEMPLO 4

Construir o polinômio p(x) de 3o grau, coeficiente dominante –1 e raízes 2, –1 e 3.

Coeficiente dominante a0 = –1 e raízes k1 = 2, k2 = –1 e k3 = 3

p(x) = a0.(x – k1).(x – k2).(x – k3)

⇒ p(x) = –1(x – 2)(x + 1)(x – 3)

⇒ p(x) = –1(x – 2)(x2 – 3x + x – 3)

⇒ p(x) = –1(x – 2)(x2 – 2x – 3) = –1(x3 – 2x2 – 3x – 2x2 + 4x + 6)

⇒ p(x) = –x3 + 4x2 – x – 6


EXEMPLO 5

Fatorar o polinômio p(x) = x2 – 5x + 6.

Primeiro vamos resolver a equação x2 – 5x + 6 = 0 a partir da fórmula de Baskhara.

As raízes são x’ = 2 e x” = 3 e o coeficiente dominante de p(x) é 1.

p(x) = a0.(x – k1).(x – k2)

⇒ p(x) = 1.(x – 2)(x – 3)

⇒ p(x) = (x – 2)(x – 3)


EXEMPLO 6

Mostrar que p(x) = x3 – x2 – 5x – 3 é divisível por x – 3. Em seguida, escrever p(x) como produto de fatores de 1º grau e identificar suas raízes.

Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, vamos dividir p(x) por x – 3.

⇒ p(x) = (x – 3)(x2 + 2x + 1)

⇒ p(x) = (x – 3)(x + 1)(x + 1)

1

– 5

02 13

– 3– 1 1

= (x – 3)(x + 1)2

⇒ raízes de p(x) são 3 , –1 e –1.


MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ

Observe o seguinte polinômio

–4 é raiz tripla ou de multiplicidade três;

p(x) = 8(x + 4)(x – 7)(x – 5)(x + 4)(x – 7)(x + 4)

p(x) é o produto de uma constante (8) por 6 fatores de 1º grau. Ele é de 6º grau. Suas raízes são –4, 7, 5, –4, 7 e –4.

7 é raiz dupla ou de multiplicidade dois;

5 é raiz simples ou de multiplicidade um.

p(x) = 8(x + 4)3(x – 7)2(x – 5)


EXEMPLO 1

Em p(x) = –3(x + 1)6(x – 3)2(3x + 2), indicar as raízes e a multiplicidade de cada uma delas.

(x + 1)6 = 0 ⇒ raiz –1 (multiplicidade 6)

(x – 3)2 = 0 ⇒ raiz 3 (multiplicidade 2)

3x + 2 = 0 ⇒ raiz –2/3 (multiplicidade 1)


RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

No ensino fundamental, aprendemos métodos algébricos simples para resolução de equações de 1º e 2º graus.

A resolução de equações de 3º grau ou grau superior, no entanto, é mais complicada. Em geral, são necessárias informações adicionais que permitem a obtenção de suas raízes.

Existem algumas regras especiais que ajudam a identificar raízes inteiras ou racionais de uma equação.


EXEMPLO 2

O polinômio p(x) = –x3 + x2 + ax + b admite –1 como raiz dupla. Obter os valores das constantes a e b, bem como a outra raiz real de p(x).

p(x) = –1(x + 1)2(x – k)

Escrever p(x) na forma fatorada, temos

= –1(x2 + 2x + 1)(x – k)

= (–x2 – 2x – 1)(x – k) = –x3 + kx2 – 2x2 +2kx – x + k

= –x3 + (k – 2)x2 + (2k – 1)x + k

k – 2 = 1 ⇒ k = 32k – 1 = ak = b

⇒ 6 – 1 = a ⇒ a = 5 ⇒ b = 3


EXEMPLO 3

Dado o polinômio p(x) = x5 – 6x4 + 13x3 – 14x2 + 12x – 8. Identificar a multiplicidade da raiz 2.Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para isso.

5212

0

–2

–4

–14

1

1

5

13

012

0–212

04–412

–812–6 1

Obtivemos resto zero nas três primeiras divisões ⇒ 2 é raiz tripla.


REGRA 1

Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz inteira e não-nula, essa raiz é um divisor (positivo ou negativo) do termo independente.


EXEMPLO

Identificar as raízes inteiras da equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0.

As possíveis raízes inteiras da equação são 1, –1, 3 e –3, divisores do termo independente.

p(1) = 2 – 5 – 4 + 3 = –4 (soma dos coeficientes)

p(–1) = 2(–1)3 – 5(–1)2 – 4(–1) + 3 = –2 – 5 + 4 + 3 = 0 p(3) = 2(3)3 – 5(3)2 – 4(3) + 3 = 54 – 45 – 12 + 3 = 0

p(–3) = 2(–3)3 – 5(–3)2 – 4(–3) + 3 = 54 – 45 + 12 + 3 = –84

As únicas raízes inteiras da equação são –1 e 3.


REGRA 2

Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz racional não-nula p/q, com p e q inteiros e primos entre si, então p é divisor do termo independente e q é divisor do coeficiente dominante da equação.


EXEMPLO

Encontrar todas as raízes racionais da equação 2x4 + 5x3 + 3x2 + x – 2 = 0.As possíveis raízes racionais são do tipo p/q, p e q inteiros, sendo que p é divisor do termo independente –2

⇒ p = –1 ou p = 1 ou p = –2 ou p = 2

q é divisor do coeficiente dominante 2

⇒ q = –1 ou q = 1 ou q = –2 ou q = 2

Fazendo todas as combinações possíveis desses valores,

p/q {1, –1, 2, –2, 1/2, –1/2}.∊


EXEMPLO Encontrar todas as raízes racionais da equação 2x4 + 5x3 + 3x2 + x – 2 =

0.

p(1) = 2 + 5 + 3 + 1 – 2 = 9 (soma dos coeficientes)

p(–1) = 2(–1)4 + 5(–1)3 + 3(–1)2 + (–1) – 2 = –3

p(2) = 2(2)4 + 5(2)3 + 3(2)2 + 2 – 2 = 84

p(–2) = 2(–2)4 + 5(–2)3 + 3(–2)2 + (–2) – 2 = 0

p(1/2) = 2(1/2)4 + 5(1/2)3 + 3(1/2)2 + (1/2) – 2 = 0

p(–½) = 2(–½)4 + 5(–½)3 + 3(–½)2 + (–½) – 2 = –9/4

As únicas raízes racionais da equação são –2 e 1/2.


REGRA 3

Se uma equação algébrica de coeficientes reais admite como raiz o número z = a + bi, então ela admite também, como raiz, o número imaginário z = a – bi, conjugado de z, com a mesma multiplicidade.

Isso significa que as raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficientes reais aparecem aos pares.

No caso, o total de raízes imaginárias da equação só pode ser par: 0, 2, 4, 6, ...


EXEMPLO 1

Construir o polinômio de 2º grau, de coeficientes reais e coeficiente dominante –1, sabendo que uma de suas raízes é 2 – 3i.

O polinômio tem coef. reais. Se 2 – 3i é raiz, o seu conjugado, 2 + 3i também é.

p(x) = a0.(x – k1).(x – k2)

p(x) = –1.[x – (2 – 3i)].[x – (2 + 3i)]

p(x) = –1.(x – 2 + 3i).(x – 2 – 3i)

p(x) = –1.(x – 2)2 – 9i2) = –1.(x2 – 4x + 4 + 9)

p(x) = –x2 +4x + 9


EXEMPLO 2

Um polinômio de coeficientes reais admite a raiz simples 5, a raiz dupla 2 – i e a raiz tripla –3. Qual é o menor grau possível do polinômio?

Se 2 – i é raiz dupla, seu conjugado 2 + i também é raiz dupla. 5 (raiz simples) 1 raiz;⇒ 2 – i (raiz dupla) 2 raízes;⇒ 2 + i (raiz dupla) 2 raízes;⇒ –3 (raiz simples) 3 raízes;⇒

Se o polinômio tem pelo menos essas 8 raízes, ele é de 8º grau, no mínimo.


RELAÇÕES DE GIRARD

Em 1629, o matemático Albert Girard publicava em obra intitulada Invention nouvelle em l’algébre. Nela, mostrava relações importante envolvendo raízes e coeficientes de uma equação algébrica.

Elas são conhecidas, por isso, como relações de Girar.


EXEMPLO

Em 3x2 – 5x – 2 = 0, a0 = 3, a1 = –5 e a2 = –2

Soma das raízes: x1 + x2 = –a1

a0

53

=

produto das raízes: x1 + x2 =a2

a0

–23

=


RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU

A forma geral de uma equação de 2º grau é a0x2 + a1x + a2 = 0, com a0 ≠ 0. Se x1 e x2 são suas raízes complexas, podemos escrever:

a0x2 + a1x + a2 = a0.(x – x1).(x – x2) (: a0)

x2 +a1a0

a2

a0= (x – x1).(x – x2) = x2 – x2x – x1x + x1x2

x2 +a1

a0

a2

a0x + = x2 – (x1 + x2)x + x1x2

x +

= – (x1 + x2)a1

a0

a2

a0= x1x2



Chegamos às relações que fornecem a soma e o produto das raízes da equação de 2º grau, em função de seus coeficientes.

x1 + x2 = – a1

a0

a2

a0e x1x2 =



A forma geral da equação de 3º grau, é a0x3 +a1x2 + a2x + a3 = 0, com a0 ≠ 0. Suponhamos que x1, x2 e x3 sejam as suas raízes. As relações de Girard, nesse caso, fica assim:

x1 + x2 + x3 = – a1

a0

a2

a0x1x2 + x1x3 + x2x3 =

x1x2x3 = –a3

a0


1º) Obter a soma, o produto e a soma dos inversos das raízes da equação 2x3 + 4x2 + 9x – 6 = 0.

2º) Achar as raízes da equação x3 – 3x2 + 4 = 0, sabendo que uma é dupla.

3º) Resolver a equação 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0, sabendo que uma é o inverso da outra.

QUESTÕES http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif


EXTRAS

GEOGEBRA

Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de equações polinomiais ou algébricas.

Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm


REFERÊNCIAS

Sites: http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-polinomial.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomial

Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3:

ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.

Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-polinomial.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomial

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