Formulação corrotacional para análise de vigas com ... · Miguel Filipe Magalhães Soares de Carvalho Formulação corrotacional para análise de vigas com elementos finitos Lisboa

Miguel Filipe Magalhes Soares de Carvalho

Formulao corrotacional para anlise de vigas com elementos finitos

Lisboa

2010

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

Departamento de Engenharia Mecnica e Industrial

Mestrado Integrado em Engenharia Mecnica

Formulao corrotacional para

anlise de vigas com elementos finitos

Por:

Miguel Filipe Magalhes Soares de Carvalho

Lisboa

2010

Dissertao apresentada na faculdade de Cincias e

Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obteno

do grau de Mestre em Engenharia Mecnica.

Orientador: Professor Doutor Joo Cardoso

i

Resumo:

A presente dissertao aborda a aplicao do mtodo dos elementos finitos em

estruturas constitudas por vigas. considerado que as vigas que constituem a estrutura

sofrem grandes deslocamentos (afastando-se da configurao inicial) mas deformaes

de pequena amplitude devido elevada esbelteza das mesmas. O pressuposto descrito

onde se baseia a formulao corrotacional. Nestas situaes, uma vez que no existe

uma proporcionalidade directa entre foras e deslocamentos, est-se na presena de

anlises no lineares. Este tipo de anlise necessita de um processo iterativo para a sua

resoluo, uma vez que as equaes que regem o comportamento da estrutura dependem

da configurao deformada, ou seja, as equaes de equilbrio da estrutura necessitam

de ser actualizadas durante o processo. Nesta dissertao utiliza-se o mtodo de

Newton-Raphson, o qual, adaptado, passa a um processo incremental-iterativo.

Dos conceitos tericos passa-se construo do algoritmo PEFNL-2D capaz

de estudar as situaes descritas. Foram criadas quatro verses distintas do referido

programa, que so testadas em diversos exemplos. Uma das quatro verses testadas

mostrou ser a mais adequada, uma vez que demonstra versatilidade para todos os

exemplos efectuados e apresenta uma boa preciso nos resultados.

Mtodo dos elementos finitos, anlise no linear, formulao

corrotacional, mtodo de Newton-Raphson, mtodos computacionais.

Palavras-chave:

ii

Abstract:

This thesis deals with finite element application in beam structures. It is

considered that the beams forming the structure suffer large displacements (getting far

from the original configuration) but small amplitude deformations due to their high

slenderness. The corotacional formulation is based on the previous assumption. In these

situations, since there are no direct relationship between forces and displacements, a

nonlinear analysis is considered. This kind of analysis requires an iterative process for

its resolution, since the equations that characterize the structure behavior depend on the

deformed configuration, i.e., the structure equilibrium equations need to be updated

during the process. In order to solve it, the Newton-Raphsons method is used, which is

transformed into an incremental-iterative process.

Based on the theoretical concepts, the PEFNL-2D was developed; this

algorithm is able to study the described situations. Four different versions were created

for this program, which are tested in several examples. One of the tested versions was

found to be the most appropriate, since it demonstrates versatility for all examples and

produces results with good precision.

Finite element method, nonlinear analysis, corotacional formulation,

Newton-Raphson method, computational methods.

Keywords:

iii

Agradecimentos

Embora a Tese de Mestrado seja um projecto individual, sem dvida algo que

no depende s de mim mas de todos os que me rodeiam.

Como tal, as minhas palavras de agradecimento e reconhecimento relacionadas

com a realizao desta dissertao so especialmente dirigidas ao Professor Doutor Joo

Cardoso, no s pela partilha dos seus enormes conhecimentos, mas pela sua enorme

dedicao docncia e inesgotvel disponibilidade.

Aos meus colegas e amigos Andr Cunha, Bruno Rodrigues, Gonalo Pimpo,

Gonalo Peixoto, Lus Ensinas, Pedro Barros, Pedro Carvalho, Pedro Varela e Pedro

Santana que de um modo ou de outro me ajudaram e incentivaram a chegar at aqui,

fazendo da FCT um stio melhor.

Aos meus colegas e amigos Daniel Rolo e Nuno Boavida que, por tambm

estarem a realizar a sua dissertao, me acompanharam no dia-a-dia de trabalho,

partilhando conhecimentos, opinies e incentivos.

Ao meu amigo Joo Faria, companheiro de estudo durante todo o curso at

dissertao, uma palavra de agradecimento por no deixar ningum cair em desnimo e

uma palavra de incentivo para que finalize da melhor forma a sua tese.

Vera Abecasis, no s pela reviso ortogrfica desta dissertao mas acima de

tudo pelo seu apoio, compreenso e incentivo.

Como no poderia deixar de ser, agradeo tambm minha famlia que fez de

mim parte do que sou hoje. Aos meus Pais, Carlos e Manuela Carvalho, por se

preocuparem, me incentivarem e sempre me apoiarem incondicionalmente, bem como

por investirem na minha educao. Ao meu irmo, minha cunhada e minha madrinha

pelo seu interesse e incentivo na concluso da dissertao.

A todos um sincero obrigado.

v

Simbologia

, Matriz geomtrica no sistema de coordenadas locais , Matriz de rigidez no sistema de coordenadas locais Matriz de transformao do referencial local inicial para o referencial

local actual, que corresponde a uma rotao de corpo rgido de ngulo

Matriz de transformao do referencial global para o referencial local actual

Vector com as coordenadas dos ns do elemento, no referencial global, para a configurao inicial

Vector com as coordenadas dos ns do elemento, no referencial local para

a configurao inicial

Vector que guarda as coordenadas dos ns do elemento no referencial global, para a iterao

Vector que guarda as coordenadas dos ns do elemento no referencial global, rodado do ngulo

Vector de deslocamentos que produz deformao no elemento, no

referencial global

Vector de deslocamentos que produz deformao no elemento, no

referencial local

Deslocamentos dos ns medidos no sistema de coordenadas globais, na

iterao

Deslocamentos associados rotao de corpo rgido no referencial global

, Vector com a componente de translao do deslocamento devido deformao, no referencial local

Vector com a componente de translao do deslocamento devido

deformao, no referencial global

Vector com as rotaes que produzem deformao no elemento

Vector das foras residuais na iterao

vi

, Vector de foras aplicadas no elemento em coordenadas locais Matriz de rigidez numa anlise linear de estruturas no sistema de

coordenadas globais

, , , Funes de forma Nmero de incrementos

Energia de deformao associada ao esforo axial

Energia de deformao associada ao momento flector

Vector de foras aplicadas no sistema de coordenadas globais

Deslocamentos dos ns medidos no sistema de coordenadas globais

, Deslocamentos segundo o eixo nos ns do elemento , Deslocamentos dos ns medidos no sistema de coordenadas locais , Deslocamentos segundo o eixo nos ns do elemento Vector que guarda as rotaes totais dos ns, medidas no referencial local

Vector com a rotao de corpo rgido de cada elemento

Tensor das deformaes

, Rotaes em torno do eixo do elemento Tensor das tenses

Matriz de rigidez numa anlise no linear de estruturas, iterao

Incremento dos deslocamentos na iterao rea de seco

Mdulo de Young

Momento de inrcia

Momento Flector

, Carga Aplicada Energia de deformao

vii

Energia potencial das foras aplicadas

Excentricidade

, Comprimento Equao da linha elstica

, Deslocamento Energia potencial total

ix

ndice

1 INTRODUO ................................................................................................................................................ 1

1.1 CONTEXTO ................................................................................................................................... 1

1.2 OBJECTIVOS ................................................................................................................................. 2

1.3 ORGANIZAO DA DISSERTAO ................................................................................................ 3

2 ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS ............................................................................................. 5

2.1 COMPORTAMENTO DE UMA ESTRUTURA ...................................................................................... 5

2.2 ANLISES LINEARES E NO LINEARES .......................................................................................... 5

2.3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM VIGAS .............................................................................. 7

2.3.1 Energia de deformao (U) ............................................................................................... 82.3.1.1 Energia de deformao associada ao esforo axial ...................................................................... 92.3.1.2 Energia de deformao associada ao momento flector ............................................................... 11

2.3.2 Energia potencial das foras aplicadas (V) .................................................................... 172.3.2.1 Energia potencial para foras e momentos aplicados nos ns .................................................... 172.3.2.2 Energia potencial para cargas axiais .......................................................................................... 17

2.3.3 Energia potencial total () .............................................................................................. 21

2.3.4 Transformao de coordenadas ...................................................................................... 22

2.3.5 Anlise no linear ........................................................................................................... 24

2.4 MTODO DE NEWTON-RAPHSON ............................................................................................... 24

2.5 ANLISE INCREMENTAL ITERATIVA ........................................................................................... 26

3 FORMULAO CORROTACIONAL EM VIGAS 2D ............................................................................ 29

3.1 FORMULAO CORROTACIONAL ............................................................................................... 29

3.1.1 Translaes na formulao corrotacional ...................................................................... 29

3.1.2 ngulos de rotao na formulao corrotacional ........................................................... 34

3.1.3 Determinao do ngulo .............................................................................................. 35

3.2 ESFOROS INTERNOS ................................................................................................................. 37

3.3 ESQUEMA DO ALGORITMO DESENVOLVIDO ................................................................................ 39

4 EXEMPLOS DE ESTUDO ........................................................................................................................... 42

4.1 EXEMPLO VIGA COM MOMENTO ................................................................................................. 43

4.1.1 Consideraes ................................................................................................................. 43

4.1.2 Resultados Obtidos .......................................................................................................... 45

4.2 EXEMPLO VIGA COM FORA AXIAL ............................................................................................ 49

4.2.1 Consideraes ................................................................................................................. 49

4.2.2 Resultados obtidos ........................................................................................................... 51

4.3 EXEMPLO VIGA COM FORA TRANSVERSAL ............................................................................... 56

4.3.1 Consideraes ................................................................................................................. 56

x


4.4 EXEMPLO PRTICO .................................................................................................................... 62

4.4.1 Consideraes ................................................................................................................. 62


5 CONCLUSES .............................................................................................................................................. 68

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .............................................................................................................. 70

ANEXOS .............................................................................................................................................................. 71

xi

ndice de figuras

Fig. 2-1-Exemplo de um comportamento no linear (cana de pesca) [Ans07]. ............... 6

Fig. 2-2-Comportamento de um pilar comprimido excentricamente. a) Configurao

indeformada. b) Configurao deformada. c)Trajectrias de equilbrio. [Rei01]. ... 7

Fig. 2-3-Elemento Finito com referencial de eixos (x y z). .............................................. 8

Fig. 2-4-Elemento Finito de uma viga com carregamento axial ...................................... 9

Fig. 2-5-Funes de forma.............................................................................................. 10

Fig. 2-6- Elemento Finito com dois ns ......................................................................... 12

Fig. 2-7-Viga com cargas axiais aplicadas ..................................................................... 17

Fig. 2-8-Comportamento linear e no linear .................................................................. 18

Fig. 2-9 - Origem da matriz transformao [T] .............................................................. 24

Fig. 2-10-Representao do processo iterativo de Newton-Raphson ............................. 25

Fig. 2-11 - Mtodo incremental iterativo........................................................................ 27

Fig. 3-1 a) Representao da configurao inicial do elemento de viga b) Representao

do elemento de viga na iterao n. ......................................................................... 31

Fig. 3-2- Representao do elemento de viga aps a rotao . ..................................... 33

Fig. 3-3- Problemtica do clculo do ngulo . .............................................................. 35

Fig. 3-4 - Clculo do MDIO ........................................................................................... 36

Fig. 3-5- Deformaes e esforos resultantes. ................................................................ 38

Fig. 4-1-Esquema ilustrativo das diferentes configuraes do algoritmo PEFNL-2D.

................................................................................................................................ 42

Fig. 4-2- Exemplo viga com momento a) Esquema do exemplo b) Modelo de elementos

finitos ...................................................................................................................... 43

Fig. 4-3-Configurao original e deformada da viga (Ansys) ........................................ 47

Fig. 4-4 - Deslocamentos para diferentes valores de M*=ML/2E (adaptado [Urt05]) . 48

xii

Fig. 4-5 - Exemplo viga com carga axial a) Comportamento esperado b)Modelo de

elementos finitos ..................................................................................................... 49

Fig. 4-6 Aplicao dos diferentes valores de F e comportamento esperado da viga. .. 50

Fig. 4-7 - Configurao inicial e final da viga para cada um dos incrementos de fora

efectuados. .............................................................................................................. 53

Fig. 4-8 - Configurao inicial e deformada da viga (adaptado [Tim61]) ..................... 54

Fig. 4-9 - Exemplo viga com fora transversal a) Esquema do exemplo b)Modelo de

elementos finitos ..................................................................................................... 56

Fig. 4-10 - Configurao inicial e deformada da viga (para FL2/EI=10). ...................... 59

Fig. 4-11 - Deslocamentos adimensionais em funo de diferentes valores de .......... 60

Fig. 4-12 - Exemplo Prtico a) Esquema do exemplo b)Modelo de elementos finitos .. 62

Fig. 4-13 - Perfil de viga HEB300 .................................................................................. 62

Fig. 4-14 - Configurao inicial e deformada da estrutura ............................................. 65

xiii

ndice de tabelas

Tabela 4-1- Propriedades geomtricas e materiais da viga. ........................................... 44

Tabela 4-2-Parmetros de anlise do programa Ansys .................................................. 45

Tabela 4-3-Resultados para as configuraes 1.1 e 1.2 do algoritmo ............................ 45

Tabela 4-4- Resultados para as configuraes 2.1 e 2.2 do algoritmo ........................... 46

Tabela 4-5-Resultados do programa Ansys .................................................................... 46

Tabela 4-6-Comparao de resultados Ansys - algoritmo (n 11) ................................. 47

Tabela 4-7-Comparao de resultados [Urt05] - algoritmo (n 21) ............................... 48

Tabela 4-8 - N de iteraes e n de incrementos nas diferentes configuraes do

programa PEFNL-2D (exemplo viga com momento) ......................................... 49

Tabela 4-9-Propriedades geomtricas e materiais da viga. ............................................ 50

Tabela 4-10 - Parmetros de anlise do programa Ansys .............................................. 51

Tabela 4-11 - Resultados para a configurao 1.1 e 1.2 do algoritmo ........................... 52

Tabela 4-12 - Resultados para a configurao 2.1 e 2.2 do algoritmo ........................... 52

Tabela 4-13 - Resultados da simulao no Ansys .......................................................... 53

Tabela 4-14 - Comparao de resultados Ansys - algoritmo.......................................... 54

Tabela 4-15 - Comparao de resultados [Tim61] - algoritmo ...................................... 55


programa PEFNL-2D (viga com fora axial) ..................................................... 55

Tabela 4-17-Propriedades geomtricas e materiais da viga ........................................... 56

Tabela 4-18-Parmetros de anlise (programa Ansys) ................................................... 57

Tabela 4-19- Resultados obtidos para a configurao 1.1 e 1.2 do algoritmo ............... 58

Tabela 4-20 - Resultados obtidos para a configurao 2.1 e 2.2 do algoritmo .............. 58

Tabela 4-21 - Resultados da simulao no programa Ansys .......................................... 59

Tabela 4-22 - Comparao de resultados Ansys - algoritmo.......................................... 60

Tabela 4-23- Comparao de resultados [Urt05] - algoritmo......................................... 61

xiv


programa PEFNL-2D (viga com fora transversal) ............................................ 61

Tabela 4-25-Caractersticas do perfil HEB300 e caractersticas materiais da viga ........ 63

Tabela 4-26 - Parmetros da anlise efectuada no programa Ansys .............................. 63

Tabela 4-27 - Resultados do algoritmo PEFNL-2D verso 1.1 e 1.2 ......................... 64

Tabela 4-28 Resultados do algoritmo PEFNL-2D verso 2.1 e 2.2 ......................... 64

Tabela 4-29 - Resultados da simulao efectuada no Ansys utilizando o elemento de

viga BEAM3 e BEAM4. ........................................................................................ 65

Tabela 4-30 - Comparao de resultados no n 11 Ansys - algoritmo........................... 66

Tabela 4-31 - Comparao de resultados no n 21 Ansys - algoritmo........................... 66


programa PEFNL-2D (Prtico) ........................................................................... 67


1

1 INTRODUO

1.1 Contexto

A noo de estabilidade muito importante na anlise de estruturas e encontra-se

associada ao conceito de equilbrio. A estabilidade de qualquer configurao avaliada

atravs do comportamento da estrutura. Uma estrutura em equilbrio diz-se estvel ou

instvel consoante regresse ou no configurao inicial aps a perturbao (aco das

foras exteriores) cessar.

O tipo de anlise estrutural efectuada condiciona o tipo de problema que se pode

resolver. Uma anlise linear caracteriza-se pela formulao das equaes de equilbrio na

configurao inicial, o que impossibilita o uso deste tipo de anlises para problemas de

estabilidade. Este fenmeno est intrinsecamente associado a alteraes na geometria que

produzem um comportamento no linear. O que indica que para o estudar necessrio

realizar sempre anlises no lineares.

Para processar os clculos de uma anlise no linear, necessrio recorrer a

processos iterativos, uma vez que as equaes que regem o comportamento da estrutura

dependem da configurao deformada, o que faz com que as posies de equilbrio da

estrutura tenham que ser actualizadas durante o processo. neste contexto que surge a

formulao corrotacional que ser utilizada no presente estudo.

Interessa portanto compreender de onde surge a formulao corrotacional, esta tem

as suas razes num conceito da mecnica dos meios contnuos: separao dos movimentos

de corpo rgido dos movimentos que esto associados deformao. Os avanos

tecnolgicos que envolveram esta decomposio de movimentos surgiram na indstria

aeronutica e aeroespacial. O conceito da separao destes dois tipos de movimentos, para

uma estrutura completa, foi utilizada por projectistas de estruturas aeroespaciais nas

dcadas de 50 e 60, tendo como grande objectivo a monitorizao do movimento principal

das estruturas, neste sentido, procurou-se definir um sistema de eixos cartesianos e

ortogonais nico, que acompanhasse o movimento do corpo e, em relao ao qual, os

deslocamentos, velocidades e aceleraes de um ponto material fossem unicamente

devidos deformao [Men06].


2

A extenso deste conceito, utilizado pela indstria aeronutica para a anlise no

linear utilizando o mtodo dos elementos finitos, baseia-se numa modificao simples: em

vez de utilizar um sistema de eixos nico para a estrutura como um todo, utiliza-se um

sistema de eixos por elemento. Esta modificao essencial para o sucesso da formulao

corrotacional, uma vez que ela ajuda a satisfazer uma hiptese inicial bsica: que os

deslocamentos e rotaes devidos deformao do elemento sejam pequenos em relao

ao sistema de eixos corrotacional [Men06].

Alguns trabalhos sobressaem na evoluo da formulao corrotacional, um dos

quais o de Rankin e Brogan [Ran86] que introduziu o procedimento EICR (Element

Independent Corotacional Formulation). O importante contributo deste trabalho consiste

na criao de filtros que possibilitem usar os programas j existentes de anlise linear de

estruturas, estendendo a sua capacidade anlise no linear. Estes filtros actuam no

clculo do vector de foras internas e da matriz de rigidez e so puramente geomtricos,

podendo ser usados para todos os elementos finitos da mesma famlia. A soluo

apresentada pelos referidos autores serve de base metodologia de anlise corrotacional

que ser desenvolvida nesta dissertao.

1.2 Objectivos

O objectivo da presente dissertao consiste na aplicao do mtodo dos elementos

finitos para a anlise de estruturas planas, constitudas por vigas, quando ocorrem

deslocamentos e rotaes finitas e em simultneo deformaes infinitesimais. Estas

condies verificam-se, por exemplo, na fase de ps-encurvadura em estruturas

constitudas por vigas.

A formulao corrotacional tem sido usada com grande sucesso para resolver este

tipo de problemas e ser usada tambm nesta anlise. Ser elaborado um algoritmo em

linguagem Matlab1 e feita a aplicao do mesmo em problemas de demonstrao.

A preparao da presente dissertao incluiu trs fases distintas:

(i) Estudo da teoria sobre o mtodo dos elementos finitos e a sua aplicao na

anlise de estruturas com grandes deslocamentos e rotaes. A formulao

corrotacional foi analisada com detalhe nesta fase devido sua importncia

no contexto geral da tese. Foi tambm nesta fase que se estudaram os

1 The MathWorks Corporate


3

programas a utilizar, o programa de elementos finitos, Ansys2 e o programa

para anlise numrica Matlab.

(ii) Estando consolidado o estudo das teorias necessrias, passou-se

implementao das mesmas. Recorreu-se ento elaborao de um

programa de computador em Matlab que permitiu analisar estruturas planas

de vigas nas referidas condies atravs do mtodo dos elementos finitos.

(iii) Aps a elaborao do referido programa computacional, aplicou-se o

mesmo na resoluo de problemas, aferindo a qualidade das solues

obtidas atravs da comparao dos resultados encontrados com os

apresentados na literatura e com os calculados no programa Ansys.

1.3 Organizao da dissertao

Contextualizados os objectivos desta dissertao, interessa especificar a

organizao da mesma. No captulo 1, onde se insere este subcaptulo, esto descritos os

objectivos deste trabalho e o contexto em que ele se insere para que fique explicita a

motivao que levou sua elaborao.

O captulo 2 compreende os conceitos tericos fundamentais usados em anlise no

linear de estruturas. So brevemente descritos os diferentes comportamentos de uma

estrutura, explicadas as diferenas entre uma anlise linear e uma anlise no linear e

estudada a aplicao do mtodo dos elementos finitos em vigas. descrito ainda o mtodo

iterativo associado anlise no linear a efectuar.

No captulo 3 descrita a formulao corrotacional desenvolvida para a elaborao

do algoritmo.

Para testar e validar o programa desenvolvido apresentam-se diferentes problemas

de aplicao no captulo 4, os resultados obtidos so comparados com o Ansys e/ou

exemplos presentes na bibliografia.

No ltimo captulo, apresentam-se as concluses desta dissertao, analisando

criticamente os resultados obtidos nos problemas aplicados ao programa desenvolvido e

verificando as limitaes e evolues que o mesmo poder apresentar.

2 ANSYS, INC. Corporate


4


5

2 ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS

2.1 Comportamento de uma estrutura

Para caracterizar o comportamento de uma estrutura submetida a um conjunto de

aces, analisa-se a relao existente entre os valores dessas aces e os efeitos por elas

provocados na estrutura, como por exemplo, tenses, deformaes ou deslocamentos. O

objectivo do estudo terico de estruturas determinar este comportamento, o que leva a

considerao simultnea de vrios tipos de equaes, tais como [Rei01]:

(i) Equaes de equilbrio, envolvendo foras aplicadas, esforos e tenses.

(ii) Relaes constitutivas (relaes tenses-deformaes), envolvendo esforos

ou tenses e deformaes descrevem o comportamento do material que

constitui a estrutura.

(iii) Relaes cinemticas (relaes deformaes-deslocamentos), envolvendo

deformaes e deslocamentos.

(iv) Equaes de compatibilidade, envolvendo deslocamentos e destinadas a

garantir que a estrutura respeita as suas ligaes (dos vrios elementos entre

si e com o exterior).

2.2 Anlises lineares e no lineares

Consoante os diferentes problemas em estudo, o comportamento de uma estrutura

pode ser modelado de vrias formas, atravs da adopo de diferentes hipteses que

incidem sobre as caractersticas das equaes referidas [Rei01]. A cada modelo de

comportamento estrutural corresponde um tipo de anlise estrutural diferente.

O tipo de anlise estrutural mais simples designa-se por anlise linear de

estruturas, esta baseia-se na hiptese de todas as equaes serem lineares, deste modo

teremos [Rei01]:

(i) A linearidade fsica relaes constitutivas lineares, i.e., materiais elsticos

lineares.


6

(ii) A linearidade geomtrica equaes de equilbrio escritas na configurao

indeformada da estrutura e relaes cinemticas lineares, i.e., a hiptese

dos pequenos deslocamentos

Este tipo de anlise no permite, no entanto, identificar e analisar problemas de

instabilidade, o que advm do facto de a origem destes fenmenos ser geometricamente

no linear.

Uma anlise no linear de estruturas necessria em diferentes casos, que podem

ser agrupados nas seguintes categorias principais [Ans07]:

(i) No linearidades fsicas relaes tenso-extenso no lineares de materiais

no domnio plstico e no domnio elstico, estas podem ser provocadas por

diferentes factores, como o historial da carga (resposta elasto-plstica), as

condies ambientais (temperatura), ou a quantidade de tempo em que a

carga aplicada.

(ii) No Linearidades Geomtricas estruturas sujeitas a grandes deformaes,

sofrem grandes alteraes geomtricas, o que pode causar a resposta no

linear da estrutura (exemplo ilustrativo presente na Fig. 2-1). A no

linearidade geomtrica caracterizada por grandes deslocamentos e/ou

rotaes [Rei01]. Neste caso so necessrias equaes de equilbrio na sua

configurao deformada e/ou a considerao de relaes cinemticas no

lineares.

Fig. 2-1-Exemplo de um comportamento no linear (cana de pesca) [Ans07].

Para compreender o comportamento caracterstico de uma viga sujeita aos tipos de

anlise explicados, considere-se o exemplo [Rei01] ilustrado na Fig. 2-2. A Fig. 2-2 a)

ilustra um pilar submetido a uma fora vertical de compresso e de valor P, que actua com

uma excentricidade em relao ao seu eixo. Na Fig. 2-2 b) possvel observar a

configurao deformada do pilar e na Fig. 2-2 c) as trajectrias de equilbrio (no plano P


7

, onde o deslocamento horizontal do topo do pilar), obtidas, respectivamente por meio

da anlise linear e de uma anlise geometricamente no linear (equilbrio de momentos

estabelecido na configurao deformada da Fig. 2-2 b)). A no linearidade da segunda

trajectria resulta da interaco que existe entre os valores do deslocamento e os

momentos flectores que actuam no pilar, onde em contraste com

o da primeira trajectria onde . Na Fig. 2-2 c) possvel constatar que, para

valores de P elevados, a influncia da no linearidade geomtrica extremamente

significativa. Os erros associados aos valores de fornecidos pela anlise linear aumentam

com o valor de P e so sempre contra a segurana, ou seja, sempre inferiores aos valores

exactos.

Fig. 2-2-Comportamento de um pilar comprimido excentricamente. a) Configurao indeformada. b)

Configurao deformada. c)Trajectrias de equilbrio. [Rei01].

2.3 Mtodo dos elementos finitos em vigas

O mtodo dos elementos finitos utilizado em diversos campos de aplicao, para

resolver problemas onde a modelao matemtica origina um conjunto de equaes

diferenciais parciais (equaes lineares, equaes no lineares, entre outros) [Bab89]. Este

mtodo pode ser considerado como uma aplicao (ao nvel dos elementos) de um mtodo

variacional, ou seja, que se baseia em princpios variacionais, tais como o princpio dos

trabalhos virtuais, o princpio da energia potencial total estacionria ou o princpio de

Hamilton. Cada um destes princpios pode originar diferentes solues aproximadas de

problemas [Par98].

A formulao do mtodo dos elementos finitos em vigas pode por isso obter-se de

vrios modos. Tal como se observou, um deles consiste em utilizar o princpio da energia

potencial total estacionria, o qual se aplica a problemas de equilbrio esttico.

anlisegeomtricanolinear

(a) (b) (c)

anliselinear


8

(2.1)

Onde a energia potencial total, U a energia de deformao e V a energia

potencial das foras aplicadas. Este princpio determina que uma posio de equilbrio

caracterizada pelo facto de corresponder a um ponto de estacionaridade da energia

potencial total.

2.3.1 Energia de deformao (U)

A energia de deformao U contida num corpo de volume [Men06]:

(2.2)

Na equao anterior e so respectivamente os tensores das tenses e das

deformaes em cada ponto do corpo. Numa viga de uma estrutura plana, o clculo da

energia de deformao pode dividir-se em duas componentes, uma associada ao esforo

axial e outra associada ao momento flector, ou seja, [Men03]. Isto acontece

porque os estados de tenso e extenso associados a cada uma delas podem considerar-se

independentes. As parcelas da energia de deformao associadas s tenses tangenciais e

s deformaes provocadas pelo esforo transverso na viga podem ser desprezadas quando

estas se consideram com esbelteza elevada.

Fig. 2-3-Elemento Finito com referencial de eixos (x y z).

Na Fig. 2-3, pode observar-se o referencial utilizado e os tensores das

tenses e extenses que caracterizam o estado de tenso e de extenso em cada ponto da

12

0 00 0 00 0 0

0 00 00 0


9

viga. Designam-se os deslocamentos de um ponto segundo , por , respectivamente e

a rotao do eixo da viga em torno de por .

2.3.1.1 Energia de deformao associada ao esforo axial

Numa viga apenas com carregamento axial pode considerar-se o estado de tenso e

de extenso uniforme para todos os pontos da mesma seco transversal, sendo onde igual ao esforo axial e a rea da seco. Considerando comportamento

elstico linear, , onde o mdulo de Young. O nico produto diferente de

zero em , logo a equao (2.2) d origem a:

(2.3)

Assim, em qualquer ponto da seco igual derivada , do deslocamento segundo .

Fig. 2-4-Elemento Finito de uma viga com carregamento axial

Na Fig. 2-4 est representado um elemento finito com dois ns, onde e so os

deslocamentos segundo desses ns. Devido ao carregamento axial existir deslocamento

axial dos pontos situados sobre o eixo da viga. Assumindo que esse deslocamento varia

linearmente entre as extremidades tem-se:

(2.4)

Utilizando duas funes de forma, e , o deslocamento em qualquer ponto

da viga ser dado por:

(2.5)

12

12

12 ,


10

A expresso analtica para estas funes pode ser facilmente obtida a partir do

polinmio (2.4) e das condies fronteira da viga da seguinte forma:

Tem-se que: e . Substituindo no polinmio (2.4) obtm-se:

(2.6)

As duas funes de forma e esto representadas na Fig. 2-5.

Fig. 2-5-Funes de forma

As derivadas das duas funes representadas so respectivamente:

Utilizando as funes de forma, e sabendo que , , , pode escrever-se a

energia de deformao (2.3) no elemento:

(2.7)

Esta expresso fica mais clara se for utilizada uma representao matricial das

vrias quantidades envolvidas, deste modo, possvel definir a extenso segundo da

seguinte forma:

0

1

,1

,1

12 ,

12 , ,

1

1

1


11

(2.8)

A expresso (2.7) pode ser escrita do seguinte modo na forma matricial:

(2.9)

Ou, de outra forma:

(2.10)

Onde:

(2.11)

A equao (2.11) representa a matriz rigidez que contabiliza a parcela da energia de

deformao elstica devida ao carregamento axial. Esta matriz pode ser obtida escrevendo

a referida equao sob a forma matricial, para uma viga de seco transversal uniforme:

(2.12)

2.3.1.2 Energia de deformao associada ao momento flector

A flexo nos planos e pode ser estudada independentemente. Considera-se

apenas o plano , que a seco da viga uniforme e ainda que valida a lei de Hooke.

A deformao que ocorre numa seco funo apenas do deslocamento

transversal, . Da teoria de vigas sabe-se que . Ento:

11

1 1

,

12

12

12

, ,


12

(2.13)

Para esta simplificao tem-se em conta que e que , .

Fig. 2-6- Elemento Finito com dois ns

Considere-se o elemento finito com dois ns, como o apresentado na Fig. 2-6, e

so os deslocamentos segundo desses ns e e as rotaes em torno de do eixo

da viga nesses ns. Assumindo que a elstica da viga ser representada por um polinmio

de terceiro grau, tem-se:

(2.14)

Pode exprimir-se utilizando funes de forma, . Contudo, uma vez que o

polinmio tem quatro parmetros, so necessrias quatro funes de forma e os

deslocamentos em quatro ns.

(2.15)

12

12

12

12

12

12 ,

II I


13

Na expresso anterior, representa o vector que contm os deslocamentos

generalizados nos ns do elemento de viga, ou seja:

(2.16)

Como vimos para o caso da viga com carregamento axial possvel obter estas

funes de forma explcita. Considerando as condies fronteira:

possvel ento obter os coeficientes , , e :

Substituindo os coeficientes no polinmio inicial (2.15) possvel obter como

funo de .

(2.17)

0 0 ,

, 2 3

3 2 3 1

2 1 2 1

2 1 2 1 3 2

3 1


14

Agrupando os termos referentes a , , e obtm-se os

:

(2.18)

A energia de deformao elstica da viga, expressa em (2.13) como funo das

segundas derivadas do deslocamento transversal . Derivando a equao (2.15) obtm-se:

(2.19)

necessrio ento obter as derivadas das funes de forma. O clculo analtico

destas derivadas permite obter:

3 2

1 1

, , , , , ,

1 3 2 2 1

,6 12

,4 6

,6 12

,2 6


15

Substituindo na equao (2.13) , por , obtm-se:

(2.20)

Que tambm pode ser escrito da seguinte forma:

Nesta formulao surge que representa a matriz de rigidez que contabiliza a

parcela da energia de deformao elstica devida flexo.

Deste modo:

(2.21)

Os elementos desta matriz podem ser calculados escrevendo primeiramente a

equao (2.19) sob a forma matricial:

(2.22)

Realizando os produtos e a integrao que surgem na expresso da matriz de

rigidez (2.21), obtm-se:

(2.23)

12 ,

12 , ,

12

, ,

,

6 124 66 122 6

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4


16

As duas matrizes de rigidez que se encontram em (2.12) e (2.23), associadas

traco/compresso e flexo, podem ser combinadas numa s.

O elemento de viga da Fig. 2-4 contabiliza unicamente a energia de deformao

associada traco/compresso. O clculo dessa energia depende apenas do deslocamento

segundo o eixo de cada n do elemento. Diz-se que cada n tem um grau de liberdade,

uma vez que o elemento tem dois ns, tem um total de dois graus de liberdade. Por este

facto o vector de deslocamentos do elemento um vector 2 1 e a sua matriz de rigidez tem a dimenso 2 2.

De um modo anlogo, diz-se que cada n do elemento de viga da Fig. 2-6 tem dois

graus de liberdade e que esse elemento tem um total de quatro graus de liberdade.

Verifica-se que os graus de liberdade associados traco/compresso so

independentes dos graus de liberdade associados flexo. Agrupando num vector de

deslocamentos generalizados todos os seis graus de liberdade obtm-se:

(2.24)

A energia de deformao continua a ser obtida pela expresso:

(2.25)

A matriz de rigidez do elemento de viga com seis graus de liberdade, obtida atravs

da combinao das suas matrizes de rigidez enunciadas anteriormente ser:

(2.26)

12

0 0 0 0

0 12362 0

123

62

0 6 24 0 6 2

2

0 0 0 0

0 12362 0

123

62

0 6 22 0 6 2

4


17

2.3.2 Energia potencial das foras aplicadas (V)

A energia potencial de uma fora aplicada sobre um corpo igual ao produto da

fora pelo deslocamento do seu ponto de aplicao, afectado do sinal negativo (quando o

ponto de aplicao da fora se desloca no sentido da fora, diminui a energia potencial).

2.3.2.1 Energia potencial para foras e momentos aplicados nos ns

Considerando foras aplicadas sobre os ns de um elemento finito com trs graus

de liberdade por n e dois ns, a energia potencial associada a essas foras ser:

(2.27)

Nesta equao, tem-se , que representa o vector contendo as foras generalizadas

aplicadas nos ns do elemento, sendo e as foras aplicadas no n segundo e

respectivamente e o momento no n em torno de . Para a situao enunciada temos:

(2.28)

2.3.2.2 Energia potencial para cargas axiais

Um caso particular ocorre quando o ponto de aplicao de uma fora actuando

segundo o eixo da viga sofre deslocamento devido flexo existente na viga. Este facto vai

implicar um comportamento no linear da viga.

Fig. 2-7-Viga com cargas axiais aplicadas


18

Este tipo de comportamento, que j teve uma primeira abordagem na seco 2.2,

descrito na Fig. 2-7 e na Fig. 2-8.

Neste caso, o comportamento est associado ao facto dos deslocamentos serem

suficientemente grandes para que no possa ser desprezada a modificao da posio do

ponto de aplicao das foras axiais, que ocorre durante a deformao.

Fig. 2-8-Comportamento linear e no linear

Este comportamento no linear tambm se diz comportamento geometricamente

no linear, ou seja, identifica-se com as no linearidades geomtricas referidas na seco

2.2. Esta designao importante para o diferenciar do comportamento no linear com

origem na deformao plstica do material, designado por comportamento materialmente

no linear, que se insere nas no linearidades fsicas identificadas na seco 2.2. Este

ltimo comportamento no abordado na presente dissertao.

Para pequenos deslocamentos e rotaes, usual considerar que as foras so

aplicadas na configurao inicial da viga. Assume-se tambm que o deslocamento dos

pontos de aplicao dessas foras durante a deformao no afecta os esforos internos.

Obtm-se assim uma relao linear entre foras e deslocamentos. O mesmo equivalente a

considerar que os integrais realizados anteriormente no clculo da energia de deformao

so sempre realizados na configurao inicial.

Se os deslocamentos e rotaes forem grandes, ento o efeito da alterao do ponto

de aplicao das foras externas deve ser considerado. Para vigas com cargas axiais, tal

Comportamento Linear:

Comportamento no linear:


19

pode ser conseguido contabilizando a variao da energia potencial devida modificao

de comprimento da viga por flexo.

O deslocamento que se apresenta na Fig. 2-7 pode ser aproximado por:

(2.29)

A energia potencial associada fora axial ser:

(2.30)

Esta expresso pode ser discretizada recorrendo s funes de forma da viga sujeita

flexo:

(2.31)

A energia potencial pode tambm ser representada da seguinte forma:

(2.32)

Nesta expresso surge a matriz de rigidez geomtrica ou matriz geomtrica da viga,

. Quando provoca compresso na viga, os coeficientes de , multiplicados por

devem ser subtrados matriz de rigidez deduzida anteriormente, provocando uma

diminuio da rigidez. No caso de a fora provocar traco, ocorre um aumento de

rigidez. A matriz geomtrica dada por:

(2.33)

12 ,

2 ,

2 , ,

2

, ,


20

(2.34)

importante realar que os deslocamentos e rotaes contidos no vector so os

indicados em (2.16) e a matriz ter, por isso, a dimenso 4 4. Contudo, pode sempre obter-se uma matriz com 6 6 elementos, compatvel com (2.24) acrescentando duas linhas e duas colunas, com zeros, para os deslocamentos segundo , (2.35).

(2.35)

A equao (2.14) utilizada para representar a deformada da viga (equao da linha

elstica) representa a soluo de uma viga sujeita a cargas concentradas que apresente uma

variao linear do momento flector, na ausncia da fora axial . Como tal, utilizando a

matriz de rigidez e a matriz geomtrica apenas se podero obter solues

aproximadas para problemas com cargas axiais.

65

110

65

110

110

215

110 30

65

110

65

110

110 30

110

215

0 0 0 0 0 0

0 65110 0

65

110

0 110215 0

110 30

0 0 0 0 0 0

0 65110 0

65

110

0 110 30 0110

215


21

2.3.3 Energia potencial total ()

Obtidos todos os termos de e , a energia potencial total agora uma funo de

vrias incgnitas. Essas incgnitas so os deslocamentos e rotaes nos ns da viga e esto

arrumadas num vector de deslocamentos generalizados. A expresso geral para :

(2.36)

Como enunciado anteriormente, uma posio de equilbrio caracterizada por

corresponder a um ponto de estacionaridade da energia potencial total. Um ponto de

estacionaridade existe quando:

(2.37)

Derivando a equao (2.36) em ordem aos elementos do vector obtm-se a

seguinte equao de equilbrio:

(2.38)

A notao indicial usada at aqui vantajosa para explicar a formulao por

elementos finitos. Contudo conveniente escrever a equao (2.38) em notao matricial e

passar a utilizar esta notao para desenvolver a formulao corrotacional estudada nesta

dissertao. A equao (2.38) pode ento ser escrita:

(2.39)

Onde , , e como definido na simbologia.

Nesta equao considera-se que a fora positiva quando tem o sentido indicado

na Fig. 2-7.

12 2

0


22

2.3.4 Transformao de coordenadas

A equao de equilbrio (2.38) e (2.39) enunciada vlida para um nico elemento,

contm as matrizes de rigidez, , e de rigidez geomtrica, , escritas no referencial

local do elemento. Neste mesmo referencial esto tambm definidos o vector e

que so respectivamente o vector de deslocamentos e o vector de foras.

Para que as matrizes tenham a forma indicada em (2.26) e (2.35), e de acordo com a

Fig. 2-4 e Fig. 2-6, o referencial local de cada elemento definido de modo que o eixo

tenha origem no primeiro n e esteja alinhado deste para o segundo n. O eixo ser

perpendicular a e estar contido no plano da estrutura, enquanto o eixo perpendicular

a esse plano.

A necessidade de juntar ou assemblar as matrizes dos vrios elementos viga

numa nica matriz de rigidez global obriga a definir, para alm dos vrios referenciais

locais (um por cada elemento), um nico referencial, vlido para toda a estrutura. Este

referencial designado por referencial global , . Os vectores de foras e de deslocamentos indicados nas equaes (2.28) e (2.39)

podem ser transformados para o referencial global usando a matriz de transformao:

(2.40)

Obtendo-se assim:

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1


23

A equao (2.39) pode reescrever-se, em relao ao referencial global:

(2.41)

Percebe-se ento que a matriz de rigidez adicionada ou subtrada do produto da

matriz de rigidez geomtrica pela fora axial no elemento, deve ser multiplicada esquerda

por e direita por para passar a dizer respeito ao referencial global. A equao

(2.39) pode ento escrever-se com todos os vectores e matrizes expressas no referencial

global:

(2.42)

Onde a matriz de rigidez em coordenadas globais.

A transformao de coordenadas deve ser feita para cada elemento da estrutura. A

assemblagem da matriz de rigidez global feita juntando as matrizes de rigidez de cada

elemento referidas ao referencial global.

Em relao matriz de transformao, esta pode ser calculada de forma eficiente

uma vez conhecidas as diferenas entre as coordenadas dos dois ns do elemento, ,

entre as coordenadas dos dois ns, , e o comprimento do elemento, atravs da

equao (2.43). A Fig. 2-9 ilustra o que foi referido anteriormente.

(2.43)

0 0 0 0

0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 1


24

Fig. 2-9 - Origem da matriz transformao [T]

2.3.5 Anlise no linear

O facto de se considerar que a equao de equilbrio (2.42) escrita na

configurao indeformada da estrutura resulta na utilizao da matriz de transformao,

, definida com base na posio inicial dos ns do elemento, para transformar o

referencial global no referencial local. Se para alm disto se desprezar a influncia da fora

axial em cada elemento, , na rigidez da estrutura, ento obtm-se que a matriz de rigidez

em coordenadas globais, constante para todos os valores das foras aplicadas e

que o vector de deslocamentos pode ser obtido da equao (2.42) resolvendo um sistema

de equaes lineares.

Na presente dissertao considera-se que o sistema de equaes definido em (2.42)

no linear. Isto , no s considerado o efeito da fora axial , como o clculo da

matriz de transformao, , efectuado em relao posio dos ns do elemento

quando este est deformado. Ou seja, e dependem de .

Para resolver este tipo de anlises recorre-se ao mtodo de Newton-Raphson, que

largamente utilizado na mecnica computacional [Bel00] e analisado na seco seguinte.

2.4 Mtodo de Newton-Raphson

A existncia de no linearidades resulta de no se verificar uma proporcionalidade

directa entre foras e deslocamentos , [Dia10]. Ento para efectuar uma anlise no

linear, necessrio recorrer a um processo iterativo, uma vez que as equaes que regem o

comportamento da estrutura dependem da configurao deformada, logo as posies de

equilbrio da estrutura so actualizadas durante o processo. No algoritmo desenvolvido


25

utilizado o mtodo de Newton-Raphson [Ans07] para resolver a equao (2.42), mtodo

este que tambm utilizado pelo programa Ansys para anlises no lineares.

A Fig. 2-10 ilustra o mtodo de Newton-Raphson. A varivel que se encontra na figura denomina-se por resduo e o objectivo minimiz-lo:

(2.44)

Como se pode observar na figura, com as consecutivas iteraes o resduo vai

diminuindo, . Na primeira iterao, considera-se 0 e avalia-se a matriz rigidez [K] na configurao indeformada. Resolvendo o sistema de equaes lineares,

obtm-se o primeiro incremento nos deslocamentos, , com o qual se actualizam os deslocamentos. Tem-se portanto:

(2.45)

Fig. 2-10-Representao do processo iterativo de Newton-Raphson

Na posse deste dado e calculando a matriz rigidez para a configurao , isto ,

considerando as foras axiais nos elementos e as matrizes de transformao de

coordenadas correspondentes configurao possvel determinar o conjunto de


26

foras internas que equilibram a estrutura para essa configurao. Surge ento para a

primeira iterao:

(2.46)

Uma vez que diferente do vector de foras que actuam na estrutura, , o

sistema no se encontra em equilbrio. O resduo ser ento:

(2.47)

Para a segunda iterao resolve-se o sistema de equaes lineares:

(2.48)

Com este sistema possvel obter o novo incremento , atravs do qual se actualizam os deslocamentos. O processo iterativo apresentado pode ser ento brevemente

descrito da seguinte forma:

i) Em cada iterao, utilizando os ltimos deslocamentos conhecidos, ,

calcula-se a matriz rigidez, e o vector de foras residuais, . ii) Resolve-se o sistema de equaes lineares, calcula-se o incremento nos

deslocamentos, e actualizam-se os deslocamentos:

(2.49)

iii) Repetio sucessiva das etapas anteriores at o resduo ser suficientemente

pequeno.

2.5 Anlise incremental iterativa

A aplicao do mtodo de Newton-Raphson no algoritmo em estudo sofreu

adaptaes que o transformam num processo iterativo-incremental. Ou seja, para permitir a


27

convergncia para resultados correctos e conseguir traar diagramas carga-deslocamento

que mostrem o comportamento da estrutura, considera-se que as cargas so

progressivamente aumentadas. Com isto procura-se obter a posio de equilbrio para cada

nvel de carga, realizando diversas iteraes de Newton-Raphson.

No algoritmo desenvolvido optou-se por dividir a carga total aplicada, , por um

nmero inteiro, designado de nmero de incrementos, . utilizado o mtodo de

Newton-Raphson para um valor da carga aplicada, :

com:

Aps a convergncia para uma posio de equilbrio, o valor de incrementado

de . Isto repete-se at ocorrer convergncia para o nvel de carregamento total aplicado,

.

Fig. 2-11 - Mtodo incremental iterativo.

1

Pormenor

2 /3

/3


28

A Fig. 2-11 ilustra o que foi apresentado. Nesta podemos observar que a carga total

a aplicar, , est dividida em trs partes iguais e que passa por um processo iterativo at

atingirmos cada um dos valores da fora, /3, 2 /3 e . Fazendo um paralelo com a Fig. 2-10, podemos observar que esta se repete trs vezes no exemplo ilustrado na Fig.

2-11.


29

3 FORMULAO CORROTACIONAL EM VIGAS 2D

3.1 Formulao Corrotacional

A formulao corrotacional baseada no pressuposto de que as vigas que

constituem a estrutura sofrem grandes deslocamentos, afastando-se por isso

significativamente da configurao inicial. A sua esbelteza porm suficientemente

elevada para que as deformaes produzidas sejam de pequena amplitude, de forma a no

ultrapassar o limite elstico do material e permitindo usar relaes cinemticas envolvendo

deformaes e deslocamentos lineares. Esta metodologia foi apresentada por Rankin e

Brogan [Ran86] salientando a vantagem de permitir usar programas desenvolvidos para

anlise linear de estruturas em anlises no lineares, atravs de transformaes de

coordenadas apropriadas. [Bat02] A metodologia referida usada pelo programa Ansys

para realizar anlises de estruturas constitudas por vigas e cascas com grandes rotaes.

3.1.1 Translaes na formulao corrotacional

Os referidos autores ([Ran86]), explicam que qualquer campo de deslocamentos

num corpo deformado pode ser decomposto numa translao de corpo rgido, numa

rotao de corpo rgido e numa deformao. Na metodologia de elementos finitos utilizada,

se apenas existir translao de corpo rgido, as tenses e deformaes no so afectadas.

No entanto, se existir rotao de corpo rgido, existem deformaes associadas. Posto isto,

na equao (3.1) surgem as grandezas envolvidas no deslocamento total para esta

formulao. Este deslocamento, , igual soma do deslocamento devido deformao

com o deslocamento devido rotao de corpo rgido [Men03].

(3.1)

Para efectuar o clculo dos deslocamentos dos ns associados s deformaes,

utilizamos as equaes presentes em (3.2) [Ans07] ou (3.3) [Ran86]. No presente estudo

utiliza-se a equao (3.2), que utilizada pelo software onde vo sero efectuados os

clculos paralelos para posterior comparao.


30

O clculo efectuado separadamente para os graus de liberdade associados s

translaes e para os associados s rotaes. Para uma correcta compreenso da equao

(3.2) conveniente analisar as diferentes quantidades envolvidas.

(3.2)

Nesta equao o vector contm a componente de translao do deslocamento

devido deformao e a matriz de transformao correspondente rotao de corpo

rgido do referencial local inicial para o referencial local rodado do ngulo . O vector

, por sua vez, contm as coordenadas dos ns do elemento no referencial global para a

configurao inicial e o vector os deslocamentos dos ns no sistema de coordenadas

globais. O ndice em indica que esta calculada a cada iterao . De um modo anlogo, na equao (3.3), surge referente ao vector dos

deslocamentos que produzem deformao no elemento no referencial local e que

representa a matriz de transformao do referencial global para o referencial local. O

vector contm os deslocamentos no referencial global, , as coordenadas para o

sistema indeformado (configurao inicial) neste mesmo referencial e as mesmas

coordenadas que mas no referencial local.

(3.3)

importante referir a grande diferena em relao a estas equaes (presentes na

bibliografia enunciada). A equao (3.2) calcula os deslocamentos associados s

deformaes no referencial global, por outro lado, a equao (3.3) calcula as mesmas

quantidades no referencial local, ou seja, no referencial do elemento.

Para obter os deslocamentos no referencial do elemento, utilizando a equao (3.2)

tem de ser utilizada a matriz de transformao , ou seja, , . Como tal,

se definirmos a equao (3.2) em relao ao referencial local tem-se que:

(3.4)

,

,


31

A matriz definida pela equao (2.40) e o ndice indica que calculada

para a iterao .

As figuras seguintes explicam de forma explcita o que foi descrito anteriormente,

ilustrando as diferentes coordenadas e deslocamentos. Na Fig. 3-1 a) est ilustrada a

situao inicial de um elemento de viga com dois ns, onde possvel observar as

coordenadas iniciais dos ns, . Este vector, onde esto guardadas as coordenadas dos

ns do elemento no referencial global para a configurao inicial representa-se da seguinte

forma:

(3.5)

Na Fig. 3-1 b) ilustra-se uma configurao correspondente iterao do mtodo

de Newton-Raphson. Podemos visualizar na figura os deslocamentos totais dos ns,

medidos no referencial global, .

Fig. 3-1 a) Representao da configurao inicial do elemento de viga b) Representao do elemento de

viga na iterao n.

a) b)

1

2

1

2

1

2

1

2


32

Existem ainda na Fig. 3-1 dois vectores que importa referir, o vector que guarda

os deslocamentos totais dos ns, medidos no referencial global e o vector que guarda

as coordenadas dos ns do elemento no referencial global, para a iterao .

Os vectores referidos encontram-se em (3.6) e (3.7) respectivamente:

(3.6)

(3.7)

Sabemos ento que as coordenadas ilustradas na Fig. 3-1 a) e b) se relacionam da

seguinte forma:

(3.8)

Na Fig. 3-2 ilustra-se a metodologia seguida para extrair do vector de

deslocamentos a parte associada rotao de corpo rgido. Pode observar-se que o

movimento do elemento da configurao inicial para a configurao na iterao pode ser

decomposto numa translao de corpo rgido (o n 1 desloca-se para a posio , embora o elemento se mantenha paralelo posio inicial e sem deformaes), numa

rotao de corpo rgido (o elemento roda em torno do n 1 um ngulo de forma que os

dois ns fiquem sobre o eixo que vai de , a , ) e finalmente numa deformao (o elemento deforma-se devido ao esforo axial e ao momento flector).

Considerando que a formulao utilizada torna as deformaes independentes das

translaes de corpo rgido, pelo facto das deformaes serem proporcionais diferena

entre deslocamentos dos ns e no aos deslocamentos, basta eliminar a componente dos

deslocamentos associada rotao do elemento do ngulo . Tal realizado medindo as

coordenadas dos ns na iterao num referencial que rodou tambm um ngulo , como

indica a Fig. 3-2. Um procedimento semelhante sugerido por [Fel05].

.


33

Fig. 3-2- Representao do elemento de viga aps a rotao .

O vector guarda as coordenadas dos ns do elemento no referencial global,

rodado do ngulo . agora possvel relacionar todas as coordenadas ilustradas na Fig.

3-1 a), na Fig. 3-1 b) e na Fig. 3-2:

(3.9)

Na equao anterior tem-se:

(3.10)

Para os deslocamentos anteriormente referidos, em (3.5) e (3.6) formula-se a

equao (3.9) da seguinte forma matricial:

cos sin 0 0sin cos 0 000

00

cos sinsin cos

1

1

2

2

2

2


34

(3.11)

O vector dos deslocamentos que produzem deformao no elemento, , obtido

subtraindo o vector ao vector . Ou seja:

(3.12)

Este vector guarda os deslocamentos que produzem deformao no elemento,

embora apenas os associados s translaes dos ns e em relao ao referencial global.

3.1.2 ngulos de rotao na formulao corrotacional

Para os graus de liberdade associados s rotaes tem-se o vector que guardar

as rotaes totais dos ns, medidos no referencial local. Subtraindo este vector, rotao

de corpo rgido do elemento, , obtem-se o vector das rotaes que produzem deformao

no elemento . Ou seja:

(3.13)

Tem-se ento o vector dos deslocamentos generalizados que produzem deformao

no elemento, onde se encontram os deslocamentos associados s translaes e os

associados s rotaes:

(3.14)

cos sin 0 0sin cos 0 000

00

cos sinsin cos


35

Este vector pode ser calculado no referencial local atravs de:

(3.15)

3.1.3 Determinao do ngulo

O clculo do ngulo , que corresponde rotao de corpo rgido do elemento

levanta um problema que pode ser resolvido de dois modos distintos. O seu clculo pode

ser feito a partir das coordenadas actuais dos ns ou das suas rotaes.

Utilizando a primeira opo referida, verifica-se que ocorre uma indeterminao

pois impossvel distinguir rotaes de corpo rgido positivas de negativas e ainda a

verdadeira grandeza da rotao, uma vez que esta pode ser um mltiplo de , na forma

2 , com . Na Fig. 3-3 possvel perceber que o clculo pelas coordenadas actuais retorna o

mesmo valor para situaes distintas, sendo impossvel determinar qual a correcta.

Fig. 3-3- Problemtica do clculo do ngulo .

Ao desenvolver o algoritmo que realiza a anlise de vigas por esta metodologia,

optou-se por eliminar esta ambiguidade analisando a rotao mdia dos ns do elemento na

iterao anterior actual, desta forma:

a) b)

2

2

c)


36

(3.16)

Utilizando a rotao mdia dos ns possvel determinar qual o valor correcto de

de entre todos os possveis.

Para isso considerou-se que o ngulo pertence a uma famlia de valores 2 , onde 3, 2, 1,0, 1, 2, 3. Isto , arbitrou-se que a rotao dever estar compreendida entre 6 e 6 .

O problema de obter o valor correcto de pode ser resolvido comparando dois

valores, o do ngulo 2 , onde se desconhece o valor de e o do ngulo de rotao mdio dos ns do elemento, , e procurando o valor de que minimiza d:

(3.17)

Desta forma possvel encontrar a melhor aproximao possvel para o valor da

rotao e resolvem-se os problemas detectados e ilustrados na Fig. 3-3.

A segunda opo considerada para a construo do algoritmo consiste em utilizar

directamente o , fazendo . Este valor, que a mdia dos ngulos e

apresentados na Fig. 3-4, vai sendo incrementado ao longo das diferentes iteraes e

para os diferentes elementos.

Fig. 3-4 - Clculo do MDIO

2

2

2

1


37

3.2 Esforos internos

Em relao aos esforos internos foram analisadas duas maneiras distintas de

efectuar o clculo pretendido. A primeira das quais, executa o clculo dos mesmos a partir

do vector de deslocamentos nodais e da matriz de rigidez do elemento no referencial local,

pela equao:

(3.18)

Neste caso, para o clculo dos esforos internos, que se designam por no

algoritmo em estudo, utilizam-se os deslocamentos nodais associados s deformaes

(3.15), referidos anteriormente como . Estes deslocamentos esto associados ao

referencial local. Tem-se ento que:

(3.19)

Uma outra metodologia foi utilizada para o clculo dos esforos internos,

directamente a partir do alongamento e das rotaes. De facto, ao considerar que o

referencial local na iterao passa nos dois ns do elemento obtm-se sempre que o

vector de deslocamentos (3.15) tem e iguais a zero, e como a origem est sempre

no primeiro n, tambm igual a zero.

A deformao consiste por isso num alongamento ou encurtamento do elemento,

definido por e nas deformaes devidas flexo, definidas por e .

Em [Har73], citado por [Men06] considera-se que os esforos resultantes em cada

um dos elementos de viga na configurao actual so: , , e , sendo o esforo

normal, o esforo transverso e e os momentos flectores nas extremidades inicial e

final do elemento. As equaes que os definem so:

(3.20)

F

6

2 2 2 2


38

Nas equaes anteriores importante definir os diferentes valores envolvidos. o

mdulo da elasticidade longitudinal do material; a rea de seco transversal; o

momento de inrcia da seco transversal; e os comprimentos dos elementos de viga

nas configuraes inicial e actual, respectivamente; e a deformao nominal, ou seja,

. Na Fig. 3-5 possvel identificar cada um dos componentes que compem as equaes dos esforos resultantes.

Fig. 3-5- Deformaes e esforos resultantes.

Para esta metodologia, o vector de esforos internos (que se designa por no

algoritmo) fica na seguinte forma:

(3.21)

Em qualquer uma destas metodologias, necessrio transformar os esforos

encontrados para o referencial global, sendo que a matriz faz a transformao do

referencial global para o referencial local actual, necessrio multiplicar os esforos

encontrados pela sua transposta, ou seja:

(3.22)

Nestas condies j possvel adicionar as foras internas calculadas ao vector de

foras globais.

ou

2

1

2


39

3.3 Esquema do algoritmo desenvolvido

Para auxiliar a compreenso do algoritmo desenvolvido utilizam-se dois diagramas

de blocos que ilustram todos os procedimentos que so efectuados no mesmo. O primeiro

diagrama apresentado encontra-se muito simplificado para ser possvel compreender a

ideia geral do algoritmo. De seguida encontra-se um outro diagrama que explica

pormenorizadamente o algoritmo PEFNL-2D.

Leitura de Dados

Clculo das foras

internas e subtraco

s foras globais.

Clculo da matriz de

rigidez, , e adio

s foras externas.

Resolve:

.

Actualiza e as

coordenadas.

No executado na 1 iterao.


40

41

Leitura de Dados

Clculos Iniciais: - Cria uma matriz, _ , onde vo ser guardadas as coordenadas actuais dos ns;

- Cria a matriz e o vector para guardar os deslocamentos totais e a rotao total nos ns respectivamente; - Cria um vector para guardar a fora axial em cada elemento; - Calcula e guarda o ngulo de rotao, , e o comprimento de cada elemento, .

Define a matriz de Rigidez Global, , o vector de deslocamentos globais, e o vector de foras global .

Primeira Iterao

Adiciona as foras aplicadas que foram definidas nos dados do problema ao vector de foras global,

;

Aplica as condies fronteira devido existncia de apoios nos ns.

Resolve o sistema de equaes: .

Adiciona os deslocamentos e rotaes contidos em matriz e a respectivamente.

Actualiza as coordenadas dos ns na matriz _ e imprime os deslocamentos e

rotaes totais.

Calcula o erro e incrementa o contador de iteraes.

Fim da 1 iterao, inicio da 2 iterao e iteraes seguintes.

Assemblagem da Matriz de Rigidez For i=1:NELEMENTOS END

Inicializa a zeros a matriz rigidez, e a matriz de transformao ;

Calcula a Matriz de Rigidez, , em coordenadas locais;

Calcula a Matriz de Transformao, , e faz a transformao de para o referencial global, obtendo ;

Adiciona matriz de rigidez global : .

Define a matriz de Rigidez Global, , o vector de deslocamentos globais, e o vector de foras global . Estes vectores vo guardar os incrementos e respectivamente nos deslocamentos e nas foras que so necessrias no mtodo de Newton-Raphson.

Assemblagem da Matriz de Rigidez For i=1:NELEMENTOS END

Inicializa a zeros a matriz rigidez, , a matriz geomtrica, e a matriz de transformao ;

Calcula a Matriz de Rigidez, , em coordenadas locais;

Calcula a Matriz de Transformao, , e faz a transformao de para o referencial global, obtendo ;

Adiciona matriz de rigidez global : .

Adiciona as foras aplicadas (definidas nos dados) ao vector de foras global, .

Aplica as condies fronteira devido existncia de apoios nos ns.

Resolve o sistema de equaes: , onde e .

Adiciona os deslocamentos (que correspondem a incrementos ) e rotaes contidos em matriz e a respectivamente. Actualiza as coordenadas dos ns na matriz

_ e imprime os deslocamentos e rotaes totais.

Calcula o erro e incrementa o contador de iteraes.

NO SIM

SAI

Clculo das Foras Internas nos Elementos e assemblagem no vector de foras global, . For i=1:NELEMENTOS END

Calcula a matriz de Transformao considerando as coordenadas actualizadas dos ns;

Extrai a parte dos deslocamentos que diz respeito s deformaes;

Calcula a matriz de Rigidez elemento, ;

Clculo dos esforos internos no elemento i no referencial actualizado do elemento:

;

Transforma as Foras Internas no Elemento, , para o referencial global, obtendo ;

Subtrai as Foras Internas, , ao vector de foras global .

Clculo da rotao de corpo rgido a partir das coordenadas dos ns;

Clculo da rotao de corpo rgido a partir das rotaes dos ns;

Clculo directo dos esforos internos no elemento i:

Extrai a parte dos deslocamentos que diz respeito s deformaes:

Erro


42

4 EXEMPLOS DE ESTUDO Os exemplos de estudo que se apresentam, so aqueles que se consideram

importantes para a anlise do correcto funcionamento do algoritmo. Esta anlise baseia-se

na comparao de resultados de diferentes fontes, sejam elas bibliogrficas ou simulaes

no programa Ansys. Em relao ao algoritmo, so testadas todas as diferentes formulaes,

que foram explicadas anteriormente, estas apresentam-se no esquema da Fig. 4-1.

Fig. 4-1-Esquema ilustrativo das diferentes configuraes do algoritmo PEFNL-2D.

Clculo das rotaes de

corpo rgido a partir das

coordenadas dos ns.

Clculo das rotaes de

corpo rgido a partir da

mdia das rotaes dos

ns.

Clculo directo dos

esforos internos a partir

do alongamento mais

rotaes.

Clculo dos esforos

internos a partir do vector

de deslocamentos nodais e

da matriz de rigidez do

elemento.

Clculo directo dos

esforos internos a partir

do alongamento mais

rotaes.

Clculo dos esforos

internos a partir do vector

de deslocamentos nodais e

da matriz de rigidez do

elemento.

2

1

1.1

1.2

2.1

2.2


43

Como se pode observar no esquema testam-se quatro configuraes diferentes que

sero identificadas por 1.1; 1.2; 2.1 e 2.2. O nmero de incrementos em que a carga total

dividida, bem como o nmero de iteraes que as verses do algoritmo executam at

convergir para uma soluo so objecto de comparao. Para todos os exemplos e verses

comea-se por assumir que 1, nmero que aumentado quando no se obtm convergncia com um nico incremento.

Em anexo apresenta-se o algoritmo desenvolvido e tambm todos os ficheiros de

input, os utilizados para o programa Ansys e os utilizados para o algoritmo.

4.1 Exemplo viga com momento

4.1.1 Consideraes

Tendo em conta o objectivo de comparao das diferentes solues encontradas

para o algoritmo em causa, considerou-se um exemplo que surge em [Urt05], onde

analisada uma viga encastrada de seco quadrangular (altura e rea ) com um

momento na extremidade e por isso num estado de flexo pura como se representa na

Fig. 4-2.

Na mesma figura possvel observar ainda que o modelo de viga considerado tem

21 ns, distribudos de modo uniforme ao longo da viga e criando 20 elementos.

Fig. 4-2- Exemplo viga com momento a) Esquema do exemplo b) Modelo de elementos finitos

No artigo referido, utiliza-se para este exemplo o sistema de unidades imperiais. No

entanto, na elaborao da presente dissertao utilizado o sistema de unidades

internacionais. Para poder comparar foi efectuada a conveniente converso de unidades.

Deste modo, na Tabela 4-1 podem observar-se as propriedades geomtricas e materiais da

viga.

a) b)

21 1 2 20 1 3


44

O momento de inrcia da seco de viga (quadrangular) em anlise dado pela

expresso 12 , logo, 2,16787 9 .

Tabela 4-1- Propriedades geomtricas e materiais da viga.

Geomtricas Materiais L=100 in L=2,54 m

E=30E+6 Psi E=2,06844E+11 Pa A=0,25 in2 A=1,6129E-4 m2

h=0,5 in h=0,0127 m

Em relao ao momento aplicado, [Urt05] baseia-se na teoria de vigas de Euler-

Bernoulli. A relao entre o momento e o raio de curvatura da viga :

(4.1)

Quando a viga flecte at completar um crculo exacto o raio de curvatura :

(4.2)

Substituindo este valor na equao (4.1), conclui-se que a viga consegue a

configurao circular se se respeitar um parmetro adimensional:

(4.3)

Desta forma, o momento a aplicar na estrutura :

(4.4)

Os resultados obtidos pelas diferentes configuraes do algoritmo so comparados

com os do programa Ansys, na Tabela 4-2 esto os parmetros utilizados para esta anlise

pelo programa Ansys.

1

2

2 1.0

2 1109.23284


45

Tabela 4-2-Parmetros de anlise do programa Ansys

Anlise Elemento de Viga ANTYPE=0

BEAM3

(elemento de viga 2D) NLGEOM=ON

NEQIT=150

4.1.2 Resultados Obtidos

Como explicado anteriormente, analisaram-se os resultados das quatro

configuraes diferentes para o programa PEFNL-2D. Apresentam-se tambm os

resultados do programa Ansys, de [Urt05] e a respectiva comparao. Na Tabela 4-3 e

Tabela 4-4 apresentam-se os resultados das quatro configuraes do algoritmo para o

problema apresentado.

N Algoritmo desenvolvido verso 1.1 Algoritmo desenvolvido verso 1.2

u [] ux [m] uy [m] u [] ux [m] uy [m]

3 -36,00011 -1,54059E-02 -7,75244E-02 -36,00009 -1,54059E-02 -7,75243E-02

5 -72,00014 -1,21947E-01 -2,80485E-01 -72,00012 -1,21947E-01 -2,80485E-01

7 -108,00018 -3,75948E-01 -5,31358E-01 -108,00015 -3,75948E-01 -5,31358E-01

9 -144,00021 -7,77408E-01 -7,34318E-01 -144,00019 -7,77407E-01 -7,34318E-01

11 -180,00024 -1,27000 -8,11841E-01 -180,00022 -1,27000 -8,11841E-01

13 -216,00028 -1,76260 -7,34316E-01 -216,00025 -1,76260 -7,34316E-01

15 -252,00031 -2,16405 -5,31355E-01 -252,00029 -2,16405 -5,31355E-01

17 -288,00034 -2,41805 -2,80482E-01 -288,00032 -2,41805 -2,80482E-01

19 -324,00038 -2,52459 -7,75223E-02 -324,00035 -2,52459 -7,75224E-02

21 -360,00041 -2,54000 -1,01462E-11 -360,00039 -2,54000 -2,80845E-10

Tabela 4-3-Resultados para as configuraes 1.1 e 1.2 do algoritmo


46

Em relao simulao no programa Ansys, encontra-se na Tabela 4-5 os

resultados obtidos e na Fig. 4-3 a ilustrao da configurao original e deformada da viga.

N Algoritmo desenvolvido verso 2.1 Algoritmo desenvolvido verso 2.2

u [] ux [m] uy [m] u [] ux [m] uy [m]

3 -36,00024 -1,54038E-02 -7,75203E-02 -36,00027 -1,54061E-02 -7,75250E-02

5 -72,00028 -1,21874E-01 -2,80437E-01 -72,0003 -1,21948E-01 -2,80486E-01

7 -108,00031 -3,75505E-01 -5,31327E-01 -108,00033 -3,75949E-01 -5,31359E-01

9 -144,00034 -7,76174E-01 -7,34899E-01 -144,00037 -7,77410E-01 -7,34318E-01

11 -180,00038 -1,26816 -8,14441E-01 -180,0004 -1,27001 -8,11841E-01

13 -216,00041 -1,76199 -7,40541E-01 -216,00044 -1,76260 -7,34315E-01

15 -252,00044 -2,16855 -5,41249E-01 -252,00047 -2,16406 -5,31354E-01

17 -288,00048 -2,43217 -2,90412E-01 -288,0005 -2,41805 -2,80481E-01

19 -324,00051 -2,55009 -7,94253E-02 -324,00054 -2,52459 -7,75217E-02

21 -360,00054 -2,57196 1,63325E-02 -360,00057 -2,54000 -1,92581E-11

N Ansys

u [] ux [m] uy [m]

3 -36,0001 -0,15406E-01 -0,77524E-01

5 -71,9979 -0,12195 -0,28048

7 -108,003 -0,37595 -0,53136

9 -144,001 -0,77741 -0,73432

11 -180.0042 -1,2700 -0,81184

13 -215,999 -1,7626 -0,73432

15 -251,998 -2,1641 -0,53136

17 -287,997 -2,4181 -0,28048

19 -324,002 -2,5246 -0,77524E-01

21 -360,001 -2,5400 0,26680E-09

Tabela 4-5-Resultados do programa Ansys

Tabela 4-4- Resultados para as configuraes 2.1 e 2.2 do algoritmo


47

Fig. 4-3-Configurao original e deformada da viga (Ansys)

Para o momento aplicado, comparam-se ento os valores encontrados com as

diferentes verses do algoritmo PEFNL-2D e os calculados pelo programa Ansys. A

comparao feita para um dos ns e escolheu-se o n 11, assinalado na Fig. 4-3, para o

efeito. No n 21, essa comparao no deve ser feita, uma vez que os deslocamentos so

muito prximos de zero, o que inviabiliza o clculo do erro relativo.

Tabela 4-6-Comparao de resultados Ansys - algoritmo (n 11)

Desde j se verifica pelos erros relativas calculados, que as verses 1.1, 1.2 e 2.2 do

algoritmo PEFNL-2D retornam resultados praticamente iguais aos calculados pelo

Desl. Ansys Algoritmo Erro relativo [%]

V. 1.1 V. 1.2 V. 2.1 V. 2.2 V. 1.1 V. 1.2 V. 2.1 V. 2.2 u [] -180,00042 -180,00024 -180,00022 -180,00038 -180,0004 1,00E-04 1,11E-04 2,22E-05 1,11E-05

ux [m] -1,27000 -1,27000 -1,27000 -1,26816 -1,27001 0,00 0,00 1,45E-01 7,87E-04

uy [m] -0,81184 -8,11841E-01 -8,11841E-01 -8,14441E-01 -8,11841E-01 1,23E-04 1,23E-04 3,20E-01 1,23E-04


48

programa Ansys, a verso 2.1 a que apresenta um desvio maior, no que diz respeito aos

deslocamentos e . Verifica-se ento a conformidade de resultados entre o algoritmo

desenvolvido e o programa Ansys, para as verses 1.1, 1.2 e 2.2.

Fig. 4-4 - Deslocamentos para diferentes valores de M*=ML/2E (adaptado [Urt05])

possvel ainda comparar os resultados obtidos com [Urt05]. Na Fig. 4-4

ilustrado um grfico que relaciona o valor de 2 com e com , que so respectivamente, na nomenclatura utilizada na dissertao e . O ponto azul assinalado na Fig. 4-4 refere-se ao valor do deslocamento n 21 para 1. Do grfico retira-se o deslocamento que se apresenta na Tabela 4-7.

Tabela 4-7-Comparao de resultados [Urt05] - algoritmo (n 21)

Mais uma vez comparando os resultados, verifica-se para todos os casos a

concordncia de resultados excepto para a verso 2.1 que apresenta um desvio de 1,26%.

Desl. N 21

[Urt05] com

L=2,54 m

Algoritmo Erro relativo [%]

V. 1.1 V. 1.2 V. 2.1 V. 2.2 V. 1.1 V. 1.2 V. 2.1 V. 2.2

ux [m] -2,54000 -2,54000 -2,54000 -2,57196 -2,54000 0 0 1,26 0


49

possvel ainda comparar (Tabela 4-8) dois factores importantes em relao s

diferentes verses do algoritmo, o nmero de iteraes e o nmero de incrementos em que

se dividem as cargas a aplicar. Todas as verses foram testadas com 1, procedendo-se ao aumento dos mesmos apenas se necessrio (no convergncia para o resultado).

Tabela 4-8 - N de iteraes e n de incrementos nas diferentes configuraes do programa PEFNL-2D

(exemplo viga com momento)

4.2 Exemplo viga com fora axial

4.2.1 Consideraes

Para continuar a validao do algoritmo desenvolvido tem-se em conta um exemplo

de demonstrao includo no manual de verificao do Ansys, denominado de VM136

[Ans07] que consiste numa viga com uma seco transversal de altura e rea

encastrada na base. Sobre a viga est aplicada uma carga vertical tal como se encontra

representado na Fig. 4-5.

Fig. 4-5 - Exemplo viga com carga axial a) Comportamento esperado b)Modelo de elementos finitos

Exemplo viga com momento

V1.1 V1.2 V2.1 V2.2

N de iteraes 24 12 90 87

N de incrementos 2 1 30 3

a) b)

10 9 10

1

11

5

4


50

Em [Tim61] encontra-se tambm este exemplo, que ser mais um ponto de

comparao com o algoritmo desenvolvido. Em ambos os casos, ([Tim61] e manual de

verificao do Ansys) utilizado o sistema de unidades imperial, pelo que necessrio

proceder s devidas converses para o sistema de unidades internacional adoptado nesta

dissertao. Na Tabela 4-9 especificam-se as propriedades geomtricas e materiais da viga.

O momento de inrcia da seco da viga (quadrangular) em anlise dado pela

expresso 12 , ou seja, 2,16787 9 .

Tabela 4-9-Propriedades geomtricas e materiais da viga.

Geomtricas Materiais L=100 in L=2,54 m

E=30E+6 Psi E=2,06844E+11 Pa A=0,25 in2 A=1,6129E-4 m2

h=0,5 in h=0,0127 m

A carga critica da viga, , de acordo com [Tim61] pode ser calculada a partir da

equao:

O modelo de viga em estudo decomposto em dez elementos finitos, ligados entre

si por onze ns. O estudo efectuado considera o incremento do valor de numa gama de

valores superior carga crtica calculada anteriormente, para estudar o comportamento de

ps-encurvadura da viga. A fora toma assim os valores descritos em seguida, com o

comportamento espera

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