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7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
1/38
Universidade do Estado de Santa Catarina UDESCCentro de Cincias Tecnolgicas - CCTDisciplina:Tpicos Especiais Anlise de Sistemas LinearesProfessor: Jos de Oliveira
Problemas Captulo 3 e 4
Acadmica: Francili Lima de S
Joinville, junho de 2009.
1
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
2/38
- ObjetivosNeste trabalho sero apresentados as resolues dos problemas propostos do
terceiro e quarto captulos do livro Control System Design, com o intuito de fixar o
contedo referente a dinmica de sistemas lineares e a anlise no domnio da freqnciarespectivamente. No decorrer das resolues, os resultados sero analisados e discutidos.
Problema 3.1 Exerccios para a resoluo de matriz de transio de estados
Encontre as matrizes de transio de estados para cada uma das matrizes seguintes:
a) 1
1 0 0
1 2 0
1 2 3
A
=
;
b) 21 0 0
1 1 0
0 1 1
A =
;
c) 3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
=
.
Resoluo:a) A1:
At 1 1e ( ) [( ) ]t L sI A = = (1)
0 0 1 0 0 1 0 0
( ) 0 0 1 2 0 1 2 0
0 0 1 2 3 1 2 3
s s
sI A s s
s s
+ = = + +
(2)
1
1/( 1) 0 0
( 1)( ) 1/ 1/( 2) 0
( 2)
( 4) /( 1) 2 /( 2)1/( 3)
( 2) /( 3) ( 3)
s
ssI A s
S
s s ss
s s s
+
+ = + +
+ + ++
+ + +
(3)
2
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3/38
2 2
2 3 2 3 3
0 0
( ) 0
3 12 2 2
2 2
t
t t t
t t t t t t
e
t e e e
e e e e e e
=
+
(4)
b) A2:
At 1 1e ( ) [( ) ]t L sI A = = (5)
s+1 0 0
( ) -1 s 1 0
0 -1 s 1
sI A
= + +
(6)
-1
2
3 2
10 0
(s 1)
1 1(sI-A) 0
( 1) ( 1)
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
s s
s s s
+
= + +
+ + +
(7)
2* ( )
0 0
( ) * 0
1*
2*
t
t t
t t
e t
e
t t e e
t e et
=
(8)
c) A3:
At 1 1e ( ) [( ) ]L t sI A = = = (9)
2 1 1
( ) 1 2 1
1 1 2
s
sI A s
s
+ = + +
(10)
3
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4/38
-1
( 1) 1 1
( 3) ( 3) ( 3)
1 ( 1) 1
(sI-A) ( 3) ( 3) ( 3)
1 1 ( 1)
( 3) ( 3) ( 3)
s
s s s
s s s
s
s s s
s s s
s
s s s
s s s
+ + + + +
= + + + +
+ + +
(11)
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 1 1( )
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 1
3 3 3 3 3 3
t t t
t t t
t t t
e e e
t e e e
e e e
+ + +
= + + +
+ + +
(12)
3.2 Exerccios sobre formas cannicas:Determine a forma cannica de Jordan para cada uma das seguintes funes de
transferncias:
a)
Por Companion temos:
15239
86
)5)(3)(1(
)4)(2()(
23
2
+++
++=
+++
++=
sss
ss
sss
sssH
(13)
4
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5/38
Por Jordan temos:
( 2)( 4) 3 1 1 1 3 1( )( 1)( 3)( 5) 8 ( 1) 4 ( 3) 8 ( 5)
s sH ss s s s s s
+ += = + ++ + + + + +
1 1 0
0 3 1
0 0 5
=
(14)
5
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b)
Por Companion temos:
sss
s
ss
ssH
52
2
]4)1[(
2)(
232 ++
+=
++
+=
(15)
c)
Por Companion temos:
254)3(
)2()1()3()(
232 ++++=
+++=
ssss
ssssH
(16)
6
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Por Jordan temos:
2 2
( 3) 1 1 1( ) 2
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
sH s
s s s s s
+= = +
+ + + + +
1 1 0
0 1 1
0 0 2
=
(17)
7
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8/38
Problema 3.3 Outra forma cannica (Forma Cannica de Tandem)
a)Pela figura P3.3(pg.108) podemos tirar as relaes a seguir.
2111
111
)(
.:
)(
)(
xsxx
xsxx
usxx
kkkk
kkk
+=
+=
+=
(18)
Das equaes acima podemos montar as matrizes A,B e C, que seguem abaixo.
[ ]
=
+
=
k
k
kkk
x
x
x
x
CCCCy
u
x
x
x
x
s
s
s
s
x
x
x
x
.
:
...
1
.:
0
0
0
.:
...000
.:
.:
.:
.:
.:
0...00
0...10
0...01
.:
3
2
1
321
3
2
1
3
2
1
3
2
1
(19)
Problema 3.6 Motor-driven cart pendulum
a)Do problema 2.1 temos as equaes a seguir
eMrRl
Kx
RlMr
Kg
Ml
mM
e
MrR
K
M
mgx
RMr
Kx
=
+
=++
(20)
],[
],,,[
xy
eu
xxx
=
=
=
(21)
8
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Considerando que:
=
==
=
==
=
=
=
=
4
43
2
21
4
3
2
1
x
xx
xx
xxx
x
x
xx
xx
(22)
Podemos montar as matrizes abaixo:
[ ]
=
+
+
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
0101
0
0
0
0
1000
0
0
0010
xx
x
x
y
u
MrRl
K
MrR
K
x
x
x
x
gMl
mM
RlMr
K
M
mg
RMr
K
x
x
x
x
(23)
Sendo que:
mrR
Vsk
msg
ml
KgM
Kgm
02,0100
1
8,9
1
1
1,0
2
==
=
=
=
=
=
9
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10/38
Podemos reescrever a matriz A como:
=
078,10250
1000
098,0250
0010
A
(24)
Problema 3.7
Equivalente Eltrico:
Onde:
v1= T1Temperatura do Ponto 1
v2= T2Temperatura do Ponto 2v3= T3Temperatura do Ponto 3 (Sada)u = e0 Entrada do Controle de Temperaturav0= eRTemperatura Ambiente
2
2
03323
32212
2110
1
Rvv
Rvvi
R
vv
R
vvi
R
vv
R
vei
=
=
=
(25)
E:
10
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dt
dv
Ci
dt
dvCi
dt
dvCi
3
3
22
11
=
=
=
(26)
Logo:
0323
3212
0211
21211
11111
21121
vRC
vRRC
vRC
v
vRC
vRRC
vRC
v
eRC
vRC
vRRC
v
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(27)
Representao por Variveis de Estado:
xCy
vEeBxAx
=
++=
00
(28)
Onde:
1
2
3
vx v
v
=
3 10
1 2 1
1 30
C R C R
AC R C R C R
C R C R
=
2
0
0
C R
B
=
11
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0
0
2
E
C R
=
[ ]0 0 1C=
[ ]
=
+
+
=
3
2
1
00
3
2
1
3
2
1
100
20
0
0
0
2
310
121
013
v
v
v
y
v
RC
eRC
v
v
v
RCRC
RCRCRC
RCRC
v
v
v
(29)
Representao por funo de Transferncia:
Entrada:
( ) BAIsCsH
sU
sYsH
=
=
1
1
1
)(
)(
)()(
(30)
Onde:
Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)U(s) = u = e0 Entrada do Controle de Temperatura (Entrada)H1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada
Perturbao:
( ) EAIsCsH
sP
sYsH
=
=
1
2
2
)(
)(
)()(
(31)
12
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Onde:
Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)P(s) = v0= eRTemperatura Ambiente (Perturbao)H2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao
Para:
R=1 e C=2
Temos:
[ ]
=
+
+
=
3
2
1
00
3
2
1
3
2
1
100
1
0
0
0
0
1
5,15,00
5,015,0
05,05,1
v
v
v
y
ve
v
v
v
v
v
v
(32)
E usando o MatLab para calcular as funes de transferncia H1(s) e H2(s), temos
[H1n,H1d]=ss2tf(A,B,C,0)[H2n,H2d]=ss2tf(A,E,C,0)
5,1.75,4.4
25,0.10.55,310.77,1)(
23
15215
1+++
++=
sss
sssH
(33)
5,1.75,4.4
25,1.5,2)(
23
2
2+++
++=
sss
sssH
(34)
Problema 4.2
Sistema em Malha aberta:
Equivalente Eltrico:
Onde:
v1= T1Temperatura do Ponto 1v2= T2Temperatura do Ponto 2
C C C
RR/2 R/2R
v0= eRu = e0
v1 v2 v3
13
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v3= T3Temperatura do Ponto 3 (Sada)u = e0 Entrada do Controle de Temperaturav0= eRTemperatura Ambiente
2
2
0332
3
32212
21101
R
vv
R
vvi
R
vv
R
vvi
R
vv
R
vei
=
=
=
(35)
E:
dt
dvCi
dt
dvCi
dt
dv
Ci
33
22
1
1
=
=
=
(36)
Logo:
0323
3212
0211
21211
11111
21121
vRC
vRRC
vRC
v
vRC
vRRC
vRC
v
eRC
vRC
vRRC
v
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(37)
Representao por Variveis de Estado:
xCy
vEeBxAx
=
++= 00
(38)
Onde:
14
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15/38
[ ]100
20
0
0
0
2
310
121
013
3
2
1
=
=
=
=
=
C
RC
E
RCB
RCRC
RCRCRC
RCRC
A
v
v
v
x
Logo:
1 1
2 2 0 0
3 3
3 10 2
01 2 1
0 0
0 21 3
0
C R C Rv v C R
v v e vC R C R C R
v v
C RC R C R
= + +
[ ]1
2
3
0 0 1
v
y v
v
=
(39)
15
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16/38
Diagrama de Blocos:
Representao por funo de Transferncia:
Entrada:
( ) BAIsCsH
sU
sYsH
=
=
1
1
1
)(
)(
)()(
(40)
Onde:
Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)U(s) = u = e0 Entrada do Controle de Temperatura (Entrada)H1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada
Perturbao:
( ) EAIsCsH
sP
sYsH
=
=
1
2
2
)(
)(
)()(
(42)
Onde:
Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)P(s) = v0= eRTemperatura Ambiente (Perturbao)H2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao
B
E
C
A
v0
e0 y
16
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Para:
R=1 e C=2
Temos:
[ ]
=
+
+
=
3
2
1
00
3
2
1
3
2
1
100
1
00
0
01
5,15,00
5,015,005,05,1
v
v
v
y
ve
v
vv
v
vv
(43)
E usando o Matlab para calcular as funes de transferncia H1(s) e H2(s), temos
[H1n,H1d]=ss2tf(A,B,C,0)[H2n,H2d]=ss2tf(A,E,C,0)
5,1.75,4.4
25,0.10.55,310.77,1)(
23
15215
1+++
++=
sss
sssH
(44)
5,1.75,4.4
25,1.5,2)(
23
2
2+++
++=
sss
sssH
(45)
Sistema em malha fechada:
3
3
0
vy
ved
dgeu
d
=
=
==
(46)
Onde:
u = e0 Entrada de Temperatura do sistema em malha abertaedEntrada de referncia de Temperatura do sistema em malha fechadag Ganho do controley = v3= T3Temperatura do Ponto 3 (Sada)v0= eRTemperatura Ambiente
Substituindo e0no 1aequao do sistema temos:
17
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( )
0323
3212
3211
3211
0211
21211
11211
221121
21121
21121
vRC
vRRC
vRC
v
vRC
vRRC
vRC
v
eRC
gv
RC
gv
RCv
RRCv
vegRC
vRC
vRRC
v
eRC
vRC
vRRC
v
d
d
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(47)
Representao por Variveis de Estado:
xCy
vEeBxAx
=
++= 00
(48)
Onde:
[ ]100
20
0
3
2
1
=
=
=
C
RC
E
v
v
v
x
e:
3 1 2
1 2 1
1 30
g
C R C R C R
AC R C R C R
C R C R
=
18
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19/38
2
0
0
g
C R
B
=
1 1
2 2 0
3 3
3 1 22
01 2 1
0 0
0 21 3
0
d
gg
C R C R C Rv v C R
v v e vC R C R C R
v v
C RC R C R
= + +
[ ]
1
2
3
0 0 1
v
y vv
=
(49)
Diagrama de blocos com as novas matrizes A e B:
Diagrama de blocos Original (A e B), mais a realimentao (g):
B
E
C
A
v0
ed y
19
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ou:
Desconsiderando a perturbao v0e substituindo as matrizes A,B e C pela funo de
transferncia H1(s), temos:
B
E
C
A
v0
e0
yg
ed
y = v3
+ ++
+-
B
E
C
A
v0
e0 y
g
ed
y = v3
+ ++
+-
g
H1(s)
U(s) = e0Y(s) = y
g
V(s) = ed
y = v3
+
-
g
20
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
21/38
a)
Representao por funo de Transferncia:
Entrada:
( ) BAIsCsHf
sVsYsHf
=
=
1
1
1
)(
)()()(
(50)
Onde:
Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)V(s) = ed Entrada de referncia de Temperatura do sistema em malha fechada
(Entrada)
U(s) = u = e0 Entrada do Controle de Temperatura no sistema em malha aberta(Entrada)
Hf1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada no sistema em malhafechada
H1(s) Funo de transferncia da sada pela entrada no sistema em malha aberta
ou:
( )1( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Y s H s U s
U s g V s Y s
=
=
( )( )
( )
1
1 1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 ( )
Y s H s g V s Y sY s H s g H s g V s
Y s H s g
V s H s g
= + =
=
+
(51)
( )1
1
1
15 2 15
1 3 2
( )( )
1 ( )
1, 77.10 3, 55.10 . 0, 25( )
4. 4, 75. 1,5
H s gHf s
H s g
s sH s
s s s
=
+
+ +=
+ + +
15 2 15
3 2
1 15 2 15
3 2
1, 77.10 3, 55.10 . 0, 25.
4. 4, 75. 1,5( )
1, 77.10 3, 55.10 . 0, 251 .
4. 4, 75. 1,5
s sg
s s sHf s
s sg
s s s
+ +
+ + + = + +
+ + + +
21
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
22/38
( )( ) ( )
15 2 15
1 3 15 2 15
1, 77.10 3, 55.10 . 0, 25 .( )
4 1, 77.10 . . 4, 75 3, 55.10 . . 1, 5 0, 25.
s s gHf s
s g s g s g
+ +=
+ + + + + +
1 3 2
0,25.( )
4. 4, 75. 1, 5 0, 25.
gHf s
s s s g
+ + + +
(52)
Perturbao:
( ) EAIsCsHf
sP
sYsHf
=
=
1
2
2
)(
)(
)()(
(53)
Onde:
Y(s) = y = v3Temperatura do Ponto 3 (Sada)P(s) = v0= eRTemperatura Ambiente (Perturbao)Hf2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao no sistema em malha
fechada
H2(s) Funo de transferncia da sada pela Perturbao no sistema em malhaaberta
Para:
R = 1 e C = 2
Temos:
[ ]
1 1
2 2 0 0
3 3
1
2
3
1,5 0,5 0
0,5 1 0,5 0 0
0 0,5 1,5 0 1
0 0 1
v g v g
v v e v
v v
v
y v
v
= + +
=
(54)
[ ]
1
2
1,5 0,5 0
( ) 0 0 1 0,5 1 0,5 0
0 0,5 1,5 1
g
Hf s s I
=
22
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23/38
[ ]
1
2
1,5 0,5 0
( ) 0 0 1 0,5 1 0,5 0
0 0,5 1,5 1
s g
Hf s s
s
+
= + +
(55)
Sabemos que:
( ) ( )
( ) ( ) EAIs
AIsAdjCEAIsCsHf
BAIs
AIsAdjCBAIsCsHf
==
==
1
2
1
1
)(
)(
Logo o denominador de Hf1(s) e Hf2(s), so iguais a AIs .
Como as matrizes C e E so respectivamente [ ]100 e
1
0
0
, o resultado de
( ) EAIsAdjC ser o elemento (3,3) da matriz ( )AIsAdj , este elemento igual a
2221
1211
asa
aas
, conforme apndice A4 (pg. 474) do livro Friedland - Control System
Design, assim o numerador de Hf2(s) :
( )( )
( )( ) 25,1.5,225,01.5,115,0
5,05,12 ++=++=
+
+ssss
s
s
Logo nosso resultado :
gsss
sssHf
.25,05,1.75,4.4
25,1.5,2)(
23
2
2++++
++
(56)
b) Usando o Algortimo de Routh-Hurwitz:
( )( )( )ga
ga
ga
a
+=
+=
+=
=
25,05,1
10.55,375,4
10.77,14
1
3
15
2
15
1
0
23
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
24/38
E:
( ) ( ) ( )
( )( )
( )gc
ab
ab
b
baabc
gb
g
gggb
a
aaaab
+=
=
=
=
+
+++=
=
25,05,1
4
25,05,17
10.77,14
25,05,1110.55,375,410.77,14
1
3
1
31
1
21311
1
15
1515
1
1
30211
a1>0
15
15
10.26,2
010.77,14
>
>+
g
g
b1>0
( )
70
5,1725,0
04
25,05,17
>
g
g
g
c1>0
6025,05,1
>
>+
gg
-6 < g < 70 (57)
24
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
25/38
c)
Root Locus
Real Axis
Im
aginaryAxis
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
7
System: H1
Gain: 68.8
Pole: -1.08e-008 - 2.16i
Damping: 4.99e-009
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 2.16
System: H1
Gain: 3.99e+028
Pole: -0.00797 + 1.19e+007i
Damping: 6.72e-010
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 1.19e+007
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 106
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
7
System: H1
Gain: 68.8
Pole: -1.08e-008 - 2.16i
Damping: 4.99e-009
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 2.16
System: H1
Gain: 3.99e+028
Pole: -0.00797 + 1.19e+007i
Damping: 6.72e-010
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 1.19e+007
25
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
26/38
d)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magnitude(dB)
26
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
27/38
e)
g
gy
g
gy
sHfs
sLimy s
+=
+=
=
6)(
.25,05,1
.25,0)(
)(1
)( 10
gd
g
gd
yed
e
d
d
+=
+=
=
=
6
6)(
61)(
)()()(
1)(
(58)
27
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
28/38
Problema 4.3
Calculo da Funo de Transferncia em Malha Fechada:
( )
( ))()(.
)()(
)()(.)(
)()()(
211
21
1
sYsVs
gsgsHsY
sYsVs
gsgsU
sUsHsY
+=
+=
=
1 21 1
.( ) ( )
g s gH s H s
s
+ =
(59)
( )
( )1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )
Y s H s V s Y s
Y s H s H s V s
=
+ =
( )1
1
( ) ( )
( ) 1 ( )
Y s H s
V s H s=
+
( )1
1
1
( )( )
1 ( )
H sHf s
H s=
+ (60)
Funo de Transferncia em Malha Fechada:
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2122
2
1221
3
11
4
2122
2
1221
3
111
.25,0..25,0.5,1...75,4..4
.25,0..25,0......)(
gsggnsgngnsgns
gsggnsgngnsgnsHf
+++++++++
+++++=
(61)
Onde:
n1= 1,77.10-15
n2= 3,55.10-15
Diagrama de Blocos:
H1(s)Y(s) = yG(s)V(s) = ed +
-
28
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
29/38
a) Usando o Algortimo de Routh-Hurwitz:
( )( )( )
24
1223
12212
111
0
.25,0
.25,0.5,1
..75,4
.4
1
ga
ggna
gngna
gna
a
=
++=
++=
+=
=
Como n1 e n2so nmeros muito pequenos, podemos fazer a seguinte aproximao:
( )
24
13
2
1
0
.25,0
.25,05,1
75,4
4
1
ga
ga
a
a
a
=
+
=
E:
( )
( )4
25,05,17
4
25,05,1175,44
11
11
1
3021
1
gb
gb
a
aaaab
+
=
22
4
1
41
1
50412
.25,0 gb
aa
aaa
aaaab
=
===
( )( )
( )
1
2
2
111
1
211
1
1
2131
1
25,05,17
.4.0625,0.425,26
4
25,05,17
.25,0425,05,1.4
25,05,17
g
gggc
g
ggg
c
b
baabc
+=
+
=
=
21
2
1
21
1
21211
.25,0 gd
bc
bc
c
cbbcd
=
=
=
=
29
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
30/38
b1>0
( )
70
5,1725,0
04
25,05,17
1
1
1
>
g
g
g
(63)
c1>0
2
2
11
2
2
11
1
2
2
11
.4.0625,0.425,26
0.4.0625,0.425,26
025,05,17
.4.0625,0.425,26
ggg
ggg
g
ggg
>+
>+
>
+
(64)
d1>0
0
0.25,0
2
2
>
>
g
g
(65)
30
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
31/38
b) Para g1= g2, temos:
( )
( ))()(1
)()(
)()(1)(
)()()(
11
1
1
sYsVs
ssHgsY
sYsVs
sgsU
sUsHsY
+=
+=
=
( )
( )
( )
( ))(1)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)()()(1)(
)()()()(
1)()(
11
111
11
11
1111
11
11
sHg
sHgsHf
sHg
sHg
sV
sY
sVsHgsHgsY
sYsVsHgsY
s
ssHsH
+
=
+
=
=+
=
+=
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) 1122
121
3
11
4
12
2
21
3
11
.25,0..25,05,1..75,4..4
25,0.25,0..)(
gsgnsgnnsgns
gsnsnnsnsHf
+++++++++
+++++=
(66)
31
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
32/38
b)
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3
-2
-1
0
1
2
3
System: H1b
Gain: 18.7
Pole: -0.021 - 1.23i
Damping: 0.017
Overshoot (%): 94.8
Frequency (rad/sec): 1.24
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
32
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
33/38
c)
-150
-100
-50
0
50
Magnitud
e(dB)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
33
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
34/38
Problema 4.6
Do exemplo 4.H obtemos a equao caracterstica do sistema:
( ) ( ) ( ) 0..9,613..2,206.5,554..4,1104,182..04,362,36 21212
1
3
1
4 =+++++ KKsKKsKsKs
Aplicando a matriz de Hurwitz temos:
( )( )( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
( )
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
+=
=
+==
=
=
+=
+=
=
11
211
211
211
42
31
42
31
211
211
211
31
42
31
3
1
211
2
31
2
111
214
213
12
11
0
..9,613.4,1104,18210
0.2,206.5,554.04,362,360
0..9,613.4,1104,1821
00.2,206.5,554.04,362,36
10
00
01
00
.2,206.5,554.04,362,360
..9,613.4,1104,1821
0.2,206.5,554.04,362,36
0
1
0
.4,1104,1821
.2,206.5,554.04,362,36
1
.04,362,36
..9,613
.2,206.5,554
.4,1104,182
.04,362,36
1
KKK
KKK
KKK
KKK
aa
aa
aa
aa
H
KKK
KKK
KKK
aa
aa
aa
D
K
KKK
a
aaD
KaD
KKa
KKa
Ka
Ka
a
( )1 136, 62 3, 04. 0D K= + > (67)
( ) ( )( )
1 1 2
2
1
36, 62 3, 04. 554, 5. 206, 2.0
1 182, 4 110, 4.
K K KD
K
+ = >
+ (68)
( ) ( )2
3 1 2 2 1 2 1554,5. 206, 2. . 613,9. . . 36, 62 3, 04. 0D K K D K K K= + + > (69)
4 1 2 3613,9. . . 0D K K D= > (70)
34
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
35/38
Problema 4.9
Do exemplo 4E, obtemos a equao caracterstica do sistema:
0.100980.100980.10449.2,140 234 =++++ Kssss
Usando o Algortimo de Routh-Hurwitz:
Ka
a
a
a
a
.100980
100980
10449
2,140
1
4
3
2
1
0
=
=
=
=
=
E:
9729
2,140
100980110449140
1
1
1
30211
=
=
b
b
a
aaaab
Kb
aa
aa
a
aaaab
.1009802
4
1
41
1
5041
2
=
=
=
=
Kc
Kc
b
baabc
.1455100980
9729
.1009802,140100980.9729
1
1
1
2131
1
=
Kd
bc
bc
c
cbbcd
.1009801
2
1
21
1
21211
=
=
=
=
c1 > 0
4,69
0.1455100980
K
K
(71)
35
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
36/38
d1 > 0
0
0.100980
>
>
K
K
(72)
Problema 4.10
36
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
37/38
Problema 4.10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Magnitude(dB)
100
101
102
103
104
90
135
180
225
270
315
360
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-150 -100 -50 0 50 100 150-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
System: M1
Gain: 0.000139
Pole: 0.488 + 25.8i
Damping: -0.0189
Overshoot (%): 106
Frequency (rad/sec): 25.8
Root Locus
Real Axis
Imagina
ryAxis
37
7/24/2019 Francieli Prob Cap3e4
38/38
Concluso
Os problemas foram resolvidos e demonstrados conforme proposto.
Bibliografia
[1] Friedland, Bernard. Control System Design.
[2] Ogata K. Engenharia de Controle Moderno, terceira edio.
[3] Anotaes realizadas aula da disciplina de ASL- Anlise de Sistemas Lineares, do
Mestrado em Engenharia eltrica- UDESC.