Física 1A - Vetores (novo) · PDF fileDe forma similar, quando os vetores, em determinado ponto, estiverem aplicados apenas ... Considere os vetores a r, b r, c r e d r no diagrama

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VETORES GRANDEZAS VETORIAIS

Grandezas físicas que não ficam totalmente determinadas com um valor e uma unidade são denominadas grandezas vetoriais. As grandezas que ficam totalmente expressas por um valor e uma unidade são denominadas grandezas escalares. Como exemplos de grandezas escalares temos a massa, o tempo, a pressão, etc. Já as grandezas vetoriais, para que fiquem totalmente definidas, necessitam de (no mínimo):

• Um valor numérico (módulo); • Uma unidade; • Uma direção; • Um sentido.

Como exemplos de grandezas vetoriais temos: deslocamento, velocidade, força, aceleração, campo elétrico, campo magnético, torque, etc.

Um vetor, por sua vez, tem três características: módulo, direção e sentido. Para representar graficamente um vetor usamos um segmento de reta orientado. Exemplo:

No ponto A temos a origem do vetor e no ponto B temos a extremidade do vetor, na qual se localiza sua seta. Nota: u significa unidade de comprimento, que pode ser, por exemplo, medida em centímetros (cm), metros (m), quilômetros (km), etc.

O módulo do vetor representa, numericamente, o comprimento de sua flecha ou, em outras palavras, a sua intensidade. No caso anterior, o módulo do vetor é igual a distância entre os pontos A e B que, por sua vez, vale 3u.

Para indicar os vetores usamos algumas notações. Por exemplo, o vetor V pode ser caracterizado de duas formas, conforme abaixo:

V = Vr

(Lê-se: vetor V) Ou seja, pode ser uma letra (de preferência escrita em maiúsculo) em negrito ou, então (como é mais usual), uma letra indicada por uma seta sob a mesma.

O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais com a letra em negrito (ou com seta) entre as mesmas ou, ainda, pela mesma letra sem negrito e sem barras. Exemplo:

V = |V| = Vr

(Lê-se: módulo do vetor V)

OPERAÇÕES COM VETORES

Vamos estudar agora algumas das maneiras de operar com as grandezas físicas vetoriais (ou com vetores). Já estamos bastante familiarizados em somar ou subtrair grandezas escalares de uma mesma espécie:

a) A adição de um comprimento de 20 m de tecido com 40 m de outro nos fornece cerca de 20 m + 40 m = 60 m;

b) Um volume de 5 L somado com um outro de 10 L nos fornece um volume resultante de 15 L; c) Se subtrairmos 4 h, de um intervalo de tempo de 15 h, obteremos 15 h – 4 h = 11 h; d) Já a operação 10 L + 2 h não é possível ser efetuada visto tratar-se de grandezas de espécies

diferentes.

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ADIÇÃO (GRÁFICA) DE VETORES

Podemos somar dois ou mais vetores graficamente para obter um vetor soma (vetor resultante). Ligam-se os vetores um ao outro, de maneira que a origem de um fique com a extremidade do outro. As direções/orientações espaciais dos mesmos devem ser mantidas. Assim, o vetor soma é aquele que tem sua origem na origem do 1º vetor usado na soma e sua extremidade na extremidade do último vetor somado. Exemplo: Sejam os vetores A, B e C dados abaixo O vetor soma S será graficamente dado, abaixo e ao lado (direito), por:

Analiticamente, o vetor soma S é dado por: S = A + B + C (ou CBAS

rrrr++= ).

SUBTRAÇÃO (GRÁFICA) DE VETORES

Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro. Exemplo: Usando os vetores A e B do exemplo anterior, determinamos o vetor diferença D = A − B invertendo o “sentido” de B (embora sua direção permaneça a “mesma”) conforme abaixo.

Analiticamente, o vetor diferença D é dado por: D = A – B. Ainda, conforme mencionado, esta relação pode ser entendida como uma “soma (adição)” do vetor A com o “oposto” de B, ou seja, −B. Assim, temos que:

D = A + (−B) = A – B VETOR versus NÚMERO REAL

O produto de um número real n por um vetor A resulta em um vetor (vetor resultante) com sentido igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O módulo do vetor resultante é igual a n|A|. Exemplo: Seja o vetor V multiplicado pelo fator 2 (isto é, n = 2). Obteremos um novo vetor com o dobro do comprimento de V, ou seja, 2V. Se multiplicarmos 2V por −1 obteremos um vetor de mesmo comprimento, mesma direção, porém com sentido contrário, como é o caso de −2V. Se dividirmos o vetor V por 2 obteremos um vetor com metade do comprimento do vetor original (V), ou seja, 0,5V.

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REGRA DO PARALELOGRAMO

Podemos usar a “Regra do Paralelogramo” para determinar o módulo do vetor soma (resultante) R entre dois vetores qualquer, A e B, que formem um ângulo θ entre eles.

Regra:

• Escolhe-se um ponto P qualquer. • Coloca-se a origem dos dois vetores nesse ponto. • Completa-se o paralelogramo usando linhas imaginárias. • O vetor resultante tem origem no ponto P e tem a mesma direção da diagonal que parte de P.

Utilizando-se a Lei dos Co-senos pode-se deduzir que a magnitude do vetor resultante R é dada por:

)cos(222

θ⋅⋅⋅++= BABARrrrrr

,

onde θ é o ângulo entre as direções dos dois vetores A e B. No caso em que θ for igual a 90º ou 270º (ou seja, os vetores A e B são perpendiculares entre si), a regra do paralelogramo recai no Teorema de Pitágoras. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES

A decomposição de vetores permite determinar dois novos vetores (denominados componentes do vetor original) os quais representam vetor original quando os mesmos são somados vetorialmente, segundo o teorema de Pitágoras. Assim sendo, a decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo algébrico do vetor resultante em um sistema de vetores.

Na figura ao lado, o vetor Fr

, aplicado na origem do sistema de coordenadas xy, forma um ângulo α (alfa) com a “horizontal” (frequentemente o eixo x) e, em outras palavras, um

ângulo β com a vertical (frequentemente o eixo y). O vetor xFr

representa o vetor componente horizontal do vetor Fr

(ou componente do vetor F

rao longo do eixo x ou projeção do vetor

Fr

ao longo do eixo x), enquanto que o vetor yFr

representa o

vetor componente vertical do vetor Fr

(ou componente do vetor Fr

ao longo do eixo y ou projeção do vetor Fr

ao longo do eixo y).

A magnitude (módulo ou intensidade) das componentes horizontal ( xFr

) e vertical ( yFr

) do vetor original

Fr

podem ser determinadas usando as relações triginométricas seno e cosseno, onde:

F

Fxr

r

=)cos(α e F

Fsen

yr

r

=)(α ou, então, F

Fsen

xr

r

=)(β e F

Fyr

r

=)cos(β

Pelo triângulo retângulo do gráfico acima, se percebe que )()cos( βα sen= e )cos()( βα =sen . Assim:

)cos(α⋅= FFx

rr ↔ )(βsenFFx ⋅=

rr e )(αsenFFy ⋅=

rr ↔ )cos(β⋅= FFy

rr

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Seja Fr

o resultado da seguinte operação vetorial: yx FFFrrr

+= . Então, o módulo do vetor (resultante) Fr

obedece ao teorema de Pitágoras, de forma que:

222

yx FFFrrr

+= → 22

yx FFFrrr

+= = módulo do vetor resultante Fr

.

Dicas (passos) para trabalhar com vetores no plano xy:

1) Colocar, em um plano xy, o sistema de eixos coordenados com a origem sobre o ponto no qual se deseja calcular a grandeza vetorial em questão (seja esta uma força, velocidade, torque, campo magnético, etc).

2) Decompor os vetores aplicados no determinado ponto, os quais formam ângulos de inclinação

com a horizontal (ou com a vertical) de modo a identificar suas componentes horizontais (ao longo do eixo x) e suas componentes verticais (ao longo do eixo y).

3) Fazer um novo diagrama (plano xy) com a origem sobre o ponto no qual se deseja calcular a

grandeza vetorial em questão. Porém, agora substituindo os vetores que formam ângulos de inclinação com a horizontal (ou com a vertical) pelas suas componentes horizontais e verticais.

4) Efetuar o somatório (∑) das componentes horizontais e verticais dos vetores determinadas

anteriormente. Normalmente, as componentes horizontais com sentido para a direita são consideradas positivas (sentido “crescente” do eixo x), enquanto aquelas para a esquerda são consideradas negativas (sentido “decrescente” do eixo x). As componentes verticais com sentido para cima são consideradas positivas (sentido “crescente” do eixo y), enquanto aquelas para baixo são consideradas negativas (sentido “decrescente” do eixo y). As componentes horizontais somam-se algebricamente, em separado das verticais. Faz-se o mesmo com relação às componentes verticais. Assim, são obtidas duas resultantes: uma horizontal, que simboliza a soma vetorial líquida (ou resultante) das componentes horizontais em questão, e outra vertical, que simboliza a soma vetorial líquida (ou resultante) das componentes verticais em questão. Essas resultantes, horizontal e vertical, podem assumir valores positivos, negativos ou nulos, dependendo do caso.

5) Fazer um novo diagrama (plano xy) com a origem sobre o ponto no qual se deseja calcular a

grandeza vetorial em questão. Porém, agora substituindo suas “componentes horizontais e verticais” usadas anteriormente (no passo 3) pelas resultantes horizontal e vertical devidamente aplicadas no ponto em consideração.

6) Determinar o vetor resultante (módulo, direção e sentido) no ponto considerado. Neste caso,

aplicam-se o teorema de Pitágoras, as relações trigonométricas e o conceito dos quadrantes. O teorema de Pitágoras fornece o módulo (intensidade ou magnitude) do vetor resultante. As relações trigonométricas (seno, cosseno e/ou tangente) são usadas para determinar o ângulo de inclinação que o vetor resultante forma com a horizontal (ou a vertical). Os “quadrantes” indicam o sentido do vetor resultante (região do plano xy na qual a extremidade do vetor resultante se encontra).

Quando os vetores, em determinado ponto, estiverem aplicados apenas “horizontalmente”, a direção

do vetor resultante será então horizontal e o sentido do mesmo poderá ser para a direita ou para a esquerda. Neste caso, o módulo do somatório (Σ ) dos vetores aplicados ao longo da horizontal (eixo x) será a própria

resultante dos vetores aplicados no ponto em questão (de modo que não há componente vertical). O sinal do somatório realizado (positivo ou negativo) indica o sentido do vetor resultante.

De forma similar, quando os vetores, em determinado ponto, estiverem aplicados apenas “verticalmente”, a direção do vetor resultante será então vertical e o sentido do mesmo poderá ser para cima ou para baixo. Neste caso, o módulo do somatório (Σ ) dos vetores aplicados ao longo da vertical (eixo y)

será a própria resultante dos vetores aplicados no ponto em questão (de modo que não há componente horizontal). O sinal do somatório realizado (positivo ou negativo) indica o sentido do vetor resultante.

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NOTA: Nem todas as grandezas físicas que apresentam intensidade (módulo) e direção são necessariamente vetoriais (como é o caso, por exemplo, da corrente elétrica). Exemplos:

1. Considere os vetores ar

, br

, cr

e dr

no diagrama abaixo. Determine, graficamente, a resultante

vetorial Rr

para cada uma das operações indicadas abaixo.

a) dcbaRrrrrr

+++=

b) dcbaRrrrrr

−+−=

c) cbdRrrrr

−−=

d) dcbRrrrr

+−−=

e) cbdaRrrrrr

−−+= 2/2

2. O diagrama abaixo mostra cinco forças aplicadas em um bloco, o qual se supõe ser maciço e que se

move horizontalmente sobre uma superfície plana. O módulo de cada força é: =1Fr

60 N,

=2Fr

10 N, 3Fr

= 30 N, =4Fr

70 N e 5Fr

= 40 N. Com base nestas informações, pede-se para

determinar:

a) O módulo da componente horizontal da força resultante ( RXFr

) que atua no bloco.

b) O módulo da componente vertical da força resultante ( RYFr


c) O módulo da força resultante (RFr


d) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante RFr

forma com a direção horizontal.

e) O vetor força resultante RFr

(módulo, direção e sentido) que atua no bloco.

3. O diagrama vetorial ao lado mostra cinco forças aplicadas em um bloco, o qual se supõe ser maciço e que se move verticalmente. A

intensidade de cada força é: =1Fr

60 N, =2Fr

10 N, 3Fr

= 30 N,

=4Fr

70 N e 5Fr

= 40 N. Com base nestas informações, pede-se

para determinar:

a) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( RXFr


b) A intensidade da componente vertical da força resultante

( RYFr


c) A intensidade da força resultante (RFr


d) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante RFr

forma com a direção vertical.

e) O vetor força resultante RFr

(módulo, direção e sentido) que atua no bloco.

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4. O diagrama vetorial ao lado mostra duas forças aplicadas em um mesmo ponto P comum. Essas forças apresentam as seguintes

magnitudes: =1Fr

40 N e =2Fr

30 N. Com base nestas informações,

pede-se para determinar:

a) A magnitude da força resultante (RFr

) que atua no ponto P.

b) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante RFr


c) O vetor força resultante RFr

(módulo, direção e sentido) que atua no ponto P.

5. Uma determinada força F com magnitude de 50 N forma um ângulo de 30° com relação à direção horizontal. Assim sendo, determine:

a) A magnitude da componente horizontal do vetor força F. b) A magnitude da componente vertical do vetor força F.

6. O diagrama vetorial ao lado mostra cinco forças aplicadas em um mesmo ponto P comum. Essas forças apresentam as seguintes

magnitudes: == 41 FFrr

40 N, =2Fr

30 N, 3Fr

= 10 N e

5Fr

= 20 N. O ângulo de inclinação que algumas das forças

formam com relação a direção horizontal ou vertical está indicado no diagrama. Assim, pede-se para determinar:

a) O ângulo de inclinação entre o vetor força 1Fr

e a direção horizontal.

b) O ângulo de inclinação entre o vetor força 2Fr


c) O ângulo de inclinação entre o vetor força 3Fr


d) O ângulo de inclinação entre o vetor força 4Fr


e) O ângulo de inclinação entre o vetor força 5Fr


f) A magnitude da componente horizontal do vetor força 1Fr

que atua no ponto P.

g) A magnitude da componente vertical do vetor força 1Fr


h) A magnitude da componente horizontal do vetor força 2Fr


i) A magnitude da componente vertical do vetor força 2Fr


j) A magnitude da componente horizontal do vetor força 3Fr


k) A magnitude da componente vertical do vetor força 3Fr


l) A magnitude da componente horizontal do vetor força 4Fr


m) A magnitude da componente vertical do vetor força 4Fr


n) A magnitude da componente horizontal do vetor força 5Fr


o) A magnitude da componente vertical do vetor força 5Fr


p) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( RXFr


q) A intensidade da componente vertical da força resultante ( RYFr


r) A intensidade da força resultante (RFr


s) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante RFr


t) O vetor força resultante RFr


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Exercícios Propostos:

1. Dados os vetores abaixo, determine graficamente o vetor resultante (rr

) indicado nos itens à seguir:

a) dcbarrrrrr +++=

b) dcbarrrrrr −+−=

c) 2/323/2/ dcbarrrrrr +−+=

2. Duas forças de intensidades =1Fr

40 N e =2Fr

30 N atuam

em um ponto P, conforme a ilustra a figura ao lado. Assim sendo, determine:





c) A magnitude da componente horizontal do vetor força 1Fr


d) A magnitude da componente vertical do vetor força 1Fr


e) A magnitude da componente horizontal do vetor força 2Fr


f) A magnitude da componente vertical do vetor força 2Fr


g) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( RXFr


h) A intensidade da componente vertical da força resultante ( RYFr


i) A intensidade da força resultante (RFr


j) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força resultante ( RFr

) forma com a direção horizontal.

k) O vetor força resultante RFr



40 N e =2Fr

30 N atuam
























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4. Uma força Fr

com magnitude de 100 N atua sobre um determinado ponto P, o qual está localizado sobre a origem de um sistema cartesiano de coordenadas (xy). A força F

rse encontra no primeiro

quadrante desse sistema de coordenadas, sendo que a mesma forma um ângulo de 40° com relação à direção vertical. Assim sendo, determine:

a) A magnitude da componente horizontal do vetor força F

r que atua no ponto P.

b) A magnitude da componente vertical do vetor força Fr

que atua no ponto P. c) A intensidade da força F


d) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força Fr


5. Uma força Fr

atua sobre um determinado ponto P, o qual está localizado sobre a origem de um sistema cartesiano de coordenadas (xy). A força F

rse encontra no primeiro quadrante desse sistema

de coordenadas, sendo que a mesma forma um ângulo de 17,46° com relação à direção horizontal. Além disso, a componente (projeção) vertical da mesma apresenta uma intensidade de 18 N. Assim sendo, determine:

a) A magnitude da componente horizontal do vetor força F


b) A magnitude da componente vertical do vetor força Fr

que atua no ponto P. c) A intensidade da força F


d) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força Fr


6. Uma força Fr

atua sobre um determinado ponto P, o qual está localizado sobre a origem de um sistema cartesiano de coordenadas (xy). A força F

rse encontra no primeiro quadrante desse sistema

de coordenadas, sendo que as componentes (projeções) horizontal e vertical da mesma apresentam intensidades de 38 N e 60 N, respectivamente. Assim sendo, determine:

a) A magnitude da componente horizontal do vetor força Fr

que atua no ponto P. b) A magnitude da componente vertical do vetor força F


c) A intensidade da força Fr

que atua no ponto P. d) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força F

rforma com a direção horizontal.


40 N e =2Fr

30 N atuam
























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8. Cinco forças cujas intensidades são =1Fr

19 N,

=2Fr

15 N, =3Fr

16 N, =4Fr

11 N e =5Fr

12 N atuam

em um determinado ponto P, conforme mostra o diagrama ao lado. Assim sendo, determine:





c) O ângulo de inclinação entre o vetor força 3Fr


d) O ângulo de inclinação entre o vetor força 4Fr


e) O ângulo de inclinação entre o vetor força 5Fr






h) A magnitude da componente horizontal do vetor força 2Fr


i) A magnitude da componente vertical do vetor força 2Fr


j) A magnitude da componente horizontal do vetor força 3Fr


k) A magnitude da componente vertical do vetor força 3Fr


l) A magnitude da componente horizontal do vetor força 4Fr


m) A magnitude da componente vertical do vetor força 4Fr


n) A magnitude da componente horizontal do vetor força 5Fr


o) A magnitude da componente vertical do vetor força 5Fr


p) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( RXFr


q) A intensidade da componente vertical da força resultante ( RYFr


r) A intensidade da força resultante (RFr


s) O ângulo de direção (inclinação) que o vetor força resultante ( RFr


t) O vetor força resultante RFr


9. Na figura abaixo, o diagrama vetorial,

em escala, mostra duas forças, 1Fr

e 2Fr

, atuando em um objeto, o qual é representado, pontualmente, por sua massa m. Considere que essa massa m esteja localizada sobre a origem de um sistema cartesiano de coordenadas (xy). Assim sendo, pede-se para determinar:

a) O ângulo de inclinação entre o vetor força 1F

r e a direção horizontal.




que atua sobre a massa m.



e) A magnitude do vetor força 1Fr




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h) A magnitude do vetor força 2Fr


i) A intensidade da componente horizontal da força resultante ( RXFr

) que atua sobre a massa

m.

j) A intensidade da componente vertical da força resultante ( RYFr

) que atua sobre a massa m.

k) A intensidade da força resultante (RFr

) que atua sobre a massa m.

l) O ângulo de inclinação que o vetor força resultante ( RFr


m) O vetor força resultante RFr

(módulo, direção e sentido) que atua sobre a massa m.

10. A figura ao lado ilustra o deslocamento de um escoteiro que realizou uma caminhada em uma floresta com o auxílio de uma bússola. Essa caminhada foi realizada em duas etapas, sendo estas denominadas A e B. Inicialmente, na etapa A, o escoteiro caminhou 17 km entre as direções sul (S) e leste (L), de modo que nessa etapa seu deslocamento formou um ângulo de 45° com a direção sul (S). Depois de um descanso, o escoteiro retomou seu percurso, na etapa B, e caminhou 32 km para o norte (N), em uma direção que fez um ângulo de 50° com o leste (L). Assim sendo, considere que o ponto de início de toda a trajetória realizada pelo escoteiro coincida com a origem de um sistema de coordenadas cartesiano (xy). Considere que o sistema de coordenadas esteja com o eixo y na direção norte-sul e o eixo x na direção leste-oeste. O sentido norte deve coincidir com o sentido crescente do eixo y, ao passo que o sentido leste deve coincidir com o sentido crescente do eixo x. Sendo o deslocamento realizado pelo escoteiro uma grandeza vetorial, determine:

a) A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A. b) A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A. c) A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B. d) A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B. e) A magnitude da componente horizontal do deslocamento total (resultante) efetuado pelo

escoteiro. f) A magnitude da componente vertical do deslocamento total (resultante) efetuado pelo

escoteiro. g) A magnitude do deslocamento total (resultante) efetuado pelo escoteiro. h) O ângulo de direção formado entre o deslocamento total (resultante) efetuado pelo escoteiro

e a direção leste.

11. A figura ao lado ilustra o deslocamento de um escoteiro que realizou uma caminhada em uma floresta com o auxílio de uma bússola. Essa caminhada foi realizada em quatro etapas, sendo estas as etapas A, B, C e D. Inicialmente, na etapa A, o escoteiro caminhou 80 m no sentido leste (L). Depois, ele caminhou 115 m no sentido sul (S). Em seguida, o escoteiro redirecionou sua caminhada novamente para o sentido leste (L) percorrendo, nesta ocasião, 40 m. Por fim, ele caminhou 110 m para o sul (S), de modo que nessa etapa seu deslocamento formou um ângulo de 30° com o oeste (O). Assim sendo, considere que o ponto de início de toda a trajetória realizada pelo escoteiro coincida com a origem de um sistema de coordenadas cartesiano (xy).

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Considere que o sistema de coordenadas esteja com o eixo y na direção norte-sul e o eixo x na direção leste-oeste. O sentido norte deve coincidir com o sentido crescente do eixo y, ao passo que o sentido leste deve coincidir com o sentido crescente do eixo x. Sendo o deslocamento uma grandeza de natureza vetorial, determine:

a) A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A. b) A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa A. c) A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B. d) A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa B. e) A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa C. f) A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa C. g) A magnitude da componente horizontal do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa D. h) A magnitude da componente vertical do deslocamento efetuado pelo escoteiro na etapa D. i) A magnitude da componente horizontal do deslocamento total (ou resultante R) efetuado

pelo escoteiro. j) A magnitude da componente vertical do deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo

escoteiro. k) A magnitude do deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo escoteiro. l) O ângulo de direção formado entre o deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo

escoteiro e a direção leste. m) O vetor deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo escoteiro (módulo, direção e

sentido). n) O vetor deslocamento total (ou resultante R) efetuado pelo escoteiro graficamente no

diagrama apresentado no problema. Respostas dos Exercícios:

1. (a) (b) (c)

2. a) 0°; b) 0°; c) 40 N; d) 0 N; e) 30 N; f) 0 N; g) 10 N; h) 0 N; i) 10 N; j) 0°;

k) RFr

= {módulo: 10 N; direção: horizontal (ou 180°); sentido: para a esquerda}

3. a) 90°; b) 0°; c) 0 N; d) 40 N; e) 30 N; f) 0 N; g) 30 N; h) 40 N; i) 50 N; j) 53,13°; k) RF

r= {módulo: 50 N; direção: 53,13°; sentido: 1o Quadrante}

4. a) 64,28 N; b) 76,6 N; c) 100 N; d) 50° 5. a) 57,24 N; b) 18 N; c) 60 N; d) 17,46° 6. a) 38 N; b) 60 N; c) 71,02 N; d) 57,65° 7. a) 0°; b) 60°; c) 40 N; d) 0 N; e) 15 N; f) 25,98 N; g) 55 N; h) 25,98 N; i) 60,83 N; j) 25,28°;

k) RFr

= {módulo: 60,83 N; direção: 25,28°; sentido: 1o Quadrante}

8. a) 0°; b) 60°; c) 45°; d) 30°; e) 90°; f) 19 N; g) 0 N; h) 7,5 N; i) 13 N; j) 11,31 N; k) 11,31 N; l) 9,53 N; m) 5,5 N; n) 0 N; o) 12 N; p) 5,66 N; q) 6,81 N; r) 8,86 N; s) 50,27°; t) RF

r= {módulo: 8,86 N; direção: 50,27°; sentido: 1o Quadrante}

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9. a) 26,57°; b) 90°; c) 6 N; d) 3 N; e) 6,71 N; f) 0 N; g) 4 N; h) 4 N; i) 6 N; j) 1 N; k) 6,16 N; l) 9,46°; m) RF

r= {módulo: 6,16 N; direção: 350,54° (= −9,46°; ou 9,46° abaixo da horizontal);

sentido: 4o Quadrante } 10. a) 12,02 km; b) 12,02 km; c) 20,57 km; d) 24,51 km; e) 32,59 km; f) 12,49 km; g) 34,9 km;

h) 20,97° 11. a) 80 m; b) 0 m; c) 0 m; d) 115 m; e) 40 m; f) 0 m; g) 95,26 m; h) 55 m; i) 24,74 m; j) 170 m;

k) 171,79 m; l) 81,72°; m) R = Rr

= {módulo: 171,79 m; direção: 81,72° com o leste (ou 8,28° com o sul); sentido: sudeste}; n)

R

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