Física-Matemática I - Aula 2 de Apoio Convergência da

Fatos gerais sobre a convergência das séries parciaisConvergência pontual das séries parciais

Física-Matemática I - Aula 2 de ApoioConvergência da Série de Fourier

Domingos H U Marchetti

Instituto de Física da USP

2019

Aula 2 de Apoio: Convergência da Série de Fourier 1 / 14


Assuntos da aula1 Fatos gerais sobre a convergência das séries parciais

Consequências da convergência uniforme

Teste M de Weierstrass

2 Convergência pontual das séries parciais

Uma função descontínua

Teorema de Fourier

Aproximates da indentidade



Consequências da convergência uniformeTeste M de Weierstrass

Pretendemos tornar as propriedades observadas nos exemplos dados em fatos geraissobre a convergência das séries parciais SN(x , f ) de f .

Para facilitar a discussão, seja (gn(x))n≥0 a sequência de termos que compõe as sériesparciais de Fourier de f :

g0def.= a0/2 , gn(x) def.= an cos nπL x + bn sin nπ

L x , n ≥ 1 .

SN(x , f ) =∑N

n=0gn(x), N = 1, 2, . . ., depende de f através de

an = 1L

∫ L

−Lf (x) cos nπL x dx ; bn = 1

L

∫ L

−Lf (x) sin nπ

L x dx . (1)

S∞(x ; f ) =∑

n≥0gn(x) contém uma infinidade de termos.







L x , n ≥ 1 .

SN(x , f ) =∑N


an = 1L

∫ L


L

∫ L

−Lf (x) sin nπ

L x dx . (1)

S∞(x ; f ) =∑








L x , n ≥ 1 .

SN(x , f ) =∑N


an = 1L

∫ L


L

∫ L

−Lf (x) sin nπ

L x dx . (1)

S∞(x ; f ) =∑








L x , n ≥ 1 .

SN(x , f ) =∑N


an = 1L

∫ L


L

∫ L

−Lf (x) sin nπ

L x dx . (1)

S∞(x ; f ) =∑








L x , n ≥ 1 .

SN(x , f ) =∑N


an = 1L

∫ L


L

∫ L

−Lf (x) sin nπ

L x dx . (1)

S∞(x ; f ) =∑





Os dois primeiros exemplos de séries de Fourier apresentados na Aula 11 sugerem quehá, pelo menos, duas maneiras da sequência Sn(x ; f ), n = 0, 1, . . ., de série parciais def se aproximar da função f (x): pontualmente e uniformemente.

Para a convergência pontual introduzida na aula anterior, o número N de termosnecessários para que a série parcial se aproxime da função com precisão ε, depende dex .

Para o segundo modo, a aproximação se dá de maneira uniforme: o mesmo N servepara SN(x ; f ) se aproximar de f (x) com precisão ε, para todo x .

Sn(x ; f ), n = 0, 1, . . ., converge pontualmente para f (x), para cada x ∈ [−L, L], sedado ε > 0 existir um N = N(ε, x), dependente de ε e x , tal que

|Sn(x ; f )− f (x)| < ε , ∀n ≥ N .








|Sn(x ; f )− f (x)| < ε , ∀n ≥ N .








|Sn(x ; f )− f (x)| < ε , ∀n ≥ N .








|Sn(x ; f )− f (x)| < ε , ∀n ≥ N .







Sn(x ; f ), n = 0, 1, . . ., converge uniformemente para a função f (x) se dado ε > 0,existir um N = N(ε), dependente apenas de ε, tal que

|Sn(x ; f )− f (x)| < ε , ∀n ≥ N ,∀x ∈ [−L, L]




-3 -2 -1 1 2 3x

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

f(x)n = 1, 2, 5, 10, 15, 30, 50




-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

f(x)n = 1, 2, 5, 10, 15, 30




Podemos destacar algumas consequências da convergência uniforme. Dentre outrosmodos que ainda veremos a seguir, é o único que permite passar operações limites, taiscom diferenciação e integração, dentro da série limite S∞(x , f ).

Ao deduzir os am’s e bm’s, assumimos que a série S∞(x , f ), quando multiplicada porcosmπx/L ou sinmπx/L, podia ser integrada termo a termo sobre o intervalo [−L, L].Trocar a ordem da integral com a soma é claramente permitida se a série for finita.Esta troca é permitida também se a série for uniformemente convergente em [−L, L].

O modo de convergência uniforme preserva a continuidade da sucessão. Como ostermos gn(x) das séries parciais SN(x ; f ), N = 0, 1, . . ., de f são funções contínuas dex , o limite uniforme S∞(x ; f ) é necessariamente uma função contínua.
















Estas observações estabelecem alguns fatos gerais: 1. a série de Fourier de uma funçãof (x) contendo descontinuidades no intervalo [−L, L] não pode convergiruniformemente.

2. não podendo deduzir os coeficientes de Fourier nestes casos, a teoria das séries deFourier define os coeficientes am’s e bm’s como projeções ortogonal de f nas direçõescosmπx/L e sinmπx/L.

Afinal, quando as somas parciais convergem uniformemente?

Suponha que existam números positivos mn, n = 0, 1, . . ., tais que

|gn(x)| < mn , ∀n e∑∞

n=0mn <∞ .

Então as séries parciais Sn(x ; f ), n = 0, 1, . . ., de f convergem uniformemente parafunção contínua S∞(x ; f ).








|gn(x)| < mn , ∀n e∑∞

n=0mn <∞ .









|gn(x)| < mn , ∀n e∑∞

n=0mn <∞ .









|gn(x)| < mn , ∀n e∑∞

n=0mn <∞ .









|gn(x)| < mn , ∀n e∑∞

n=0mn <∞ .




Uma função descontínuaTeorema de FourierAproximates da indentidade

O teste M de Weierstrass, apesar de estabelecer a convergência uniforme das sériesparciais Sn(x ; f ) de f (mn = 1/n2, Exemplo 2) não implica a igualdadeS∞(x ; f ) = f (x), que deve ser estabelecida por outro critério.

Examinaremos a convergência pontual das séries parciais SN(x ; f ), n = 0, 1, . . . de fpara f (x) do Exemplo 1. Mostraremos que a função erro

εN(x) = SN(x ; f )− f (x)

= 1π

N∑n=1

1n sin nx − 1

2

(1− x

π

), x ∈ (0, π]

satisfaz as seguintes desigualdades

−min(12 ,

1Nπx

)≤ εN(x) ≤ min

(12 ,

1Nπx

).






εN(x) = SN(x ; f )− f (x)

= 1π

N∑n=1

1n sin nx − 1

2

(1− x

π

), x ∈ (0, π]


−min(12 ,

1Nπx

)≤ εN(x) ≤ min

(12 ,

1Nπx

).






εN(x) = SN(x ; f )− f (x)

= 1π

N∑n=1

1n sin nx − 1

2

(1− x

π

), x ∈ (0, π]


−min(12 ,

1Nπx

)≤ εN(x) ≤ min

(12 ,

1Nπx

).






εN(x) = SN(x ; f )− f (x)

= 1π

N∑n=1

1n sin nx − 1

2

(1− x

π

), x ∈ (0, π]


−min(12 ,

1Nπx

)≤ εN(x) ≤ min

(12 ,

1Nπx

).




O erro dos aproximantes SN(x ; f ) de f (x) tende a zero quando N →∞

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

ϵN(x)N 15




e depende explicitamente de x .

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

ϵN(x)N 30




O gráfico das estimativas tangenciam o gráfico da função erro,

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

ϵN(x)N 50




sendo, por isso, muito precisa.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

ϵN(x)N 70




Derivando εN(x) com respeito a x (com q = eix )

ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12πq

−N(1 + q + · · ·+ q2N

)

é o núcleo integral de Dirichlet.





ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12π

qN+1/2 − q−N−1/2

q1/2 − q−1/2






ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12π

sin (N + 1/2) xsin x/2






ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12π


Como εN(π) = 0, pelo teorema fundamental do cálculo





ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12π



εN(x) = −∫ π

xε′N(y) dy





ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12π



εN(x) = −12π

∫ π

x

sin (N + 1/2) ysin y/2 dy





ε′N(x) = 12π + 1

π

N∑n=1

cos nx

= 12π

N∑n=−N

einx = DN(x) .

DN(x) = 12π



εN(x) = −12π

(cos (N + 1/2) x

(N + 1/2) sin x/2 +∫ π

x

cos (N + 1/2) y cos y/2(2N + 1) sin2 y/2

).




Uma fórmula geral análoga para a função erro pode ser deduzida substituindo asfórmulas dos an’s e bn’s nas séries parciais SN(x ; f ), N = 0, 1, . . ., de uma função fcontínua qualquer em [−L, L]. Usandocos nπx/L cos nπy/L + sin nπx/L sin nπy/L = cos nπ(x − y)/L,

SN(x ; f ) =∫ L

−LDN(x − y) f (y) dy def.= DN ∗ f (x) (2)

DN(t) = 12L + 1

L

N∑n=1

cos nπL t

é a função de Dirichlet de período 2L. Observe que DN(t) é uma função par enormalizada, devido às relações de ortogonalidade:∫ L

−LDN(t) dt = 1 . (3)





SN(x ; f ) =∫ L


DN(t) = 12L + 1

L

N∑n=1

cos nπL t


−LDN(t) dt = 1 . (3)





SN(x ; f ) =∫ L


DN(t) = 12L

sin (N + 1/2)πx/Lsinπx/(2L)


−LDN(t) dt = 1 . (3)





SN(x ; f ) =∫ L


DN(t) = 12L

sin (N + 1/2)πx/Lsinπx/(2L)


−LDN(t) dt = 1 . (3)




Obtemos de (2) e (3) uma expressão para a função erro útil para estimar aconvergência de SN(x , f ) para f (x)

εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)

o núcleo de Dirichlet DN(t) se concentra quando N tende a ∞ em uma vizinhança[−δ, δ] da origem e oscila rapidamente no complemento [−L, L] \ [−δ, δ].

i. A integral (4) para x − y = t na região complementar tende a 0 devido às oscilações(Lema de Riemann-Lebesgue). ii. Para |x − y | = |t| < δ, |t DN(t)| é limitada por 1/2e, iii. se f é uma função diferenciável ou Hölder contínua de grau α > 0:|f (y)− f (x)| < C |x − y |α, então iv. a integral de (f (x + t)− f (x))/t sobre [−δ, δ] éproporcional a δα. v. Como δ tende a 0 quando N tende a ∞, o erro εN(x) tende a 0.





εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)







εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)







εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)







εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)







εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)







εN(x) =∫ L

−LDN(x − y) (f (y)− f (x)) dy (4)






A função DN(t) de Dirichlet para N = 5, 15, 30, 50;

-3 -2 -1 1 2 3x

-0.5

0.5

1.0

1.5

DN(x)N = 5




DN(t) se concentra em uma vizinhança [−δ, δ];

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

1

2

3

4

5

DN(x)N = 15




DN(t) oscila rapidamente na região complementar de [−δ, δ];

-3 -2 -1 1 2 3x

-2

2

4

6

8

10

DN(x)N = 30




A envoltória min(2N + 1, sin−1 t/(2L)) de DN(t) (tangente à função) independe de N ;

-3 -2 -1 1 2 3x

5

10

15

DN(x)N = 50




DN(t) não tende a 0 quando N tende a ∞;

-3 -2 -1 1 2 3x

5

10

15

DN(x)N = 5, 10, 15, 30, 50




A função |t DN(t)| é limitada por 1/2 .

-3 -2 -1 1 2 3x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x DN(x)N = 5





-3 -2 -1 1 2 3x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x DN(x)N = 15





-3 -2 -1 1 2 3x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x DN(x)N = 30





-3 -2 -1 1 2 3x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x DN(x)N = 50




Um aproximante da identidade (AI) é uma sequência KN(t), N = 0, 1, . . ., de núcleoscom boas propriedades:

1.∫ L−L KN(t) dt = 1;

2.∫ L−L |KN(t)| dt é limitado;

3. limN→∞∫δ≤|t|≤L |KN(t)| dt = 0, ∀δ > 0.

Se KN(t) é um AI, então limN→∞ KN ∗ f (x) = f (x) uniformemente em [−L, L] paratoda função contínua f .

O núcleo de Dirichlet não satisfaz 2.:∫ L−L |DN(t)| dt cresce como logN, nem 3.

tampouco. Por isso deve-se exigir de f mais que simples continuidade para SN(x , f )convergir para f (x).





1.∫ L−L KN(t) dt = 1;


3. limN→∞∫δ≤|t|≤L |KN(t)| dt = 0, ∀δ > 0.








1.∫ L−L KN(t) dt = 1;


3. limN→∞∫δ≤|t|≤L |KN(t)| dt = 0, ∀δ > 0.








1.∫ L−L KN(t) dt = 1;


3. limN→∞∫δ≤|t|≤L |KN(t)| dt = 0, ∀δ > 0.








1.∫ L−L KN(t) dt = 1;


3. limN→∞∫δ≤|t|≤L |KN(t)| dt = 0, ∀δ > 0.





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