Matemática - Suplemento de Apoio do Professor - Manual

1

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

SUPLEMENTO

COM ORIENTAÇÕES

PARA O PROFESSOR

MP-Paiva-001a020 Page 1 Saturday, June 25, 2005 10:41 AM

3

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

SUMÁRIO

1.

Apresentação da obra ......................................................................................... 5

2.

Objetivos gerais da obra .................................................................................... 5

3.

O trabalho com o livro ....................................................................................... 5

4.

Avaliação ........................................................................................................... 5

5.

Sugestões de leitura para o professor ................................................................. 6

6.

Material de apoio ............................................................................................... 7

7.

Considerações sobre a organização da obra ...................................................... 12

8.

Conteúdos e objetivos específicos dos capítulos ............................................... 14

9.

Sugestões para o desenvolvimento dos capítulos .............................................. 25

10.

Resolução de exercícios ..................................................................................... 58


4

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.


5

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1. Apresentação da obra

Sempre em busca de uma linguagem clara, objetivae fundada no rigor conceitual, esta obra traz uma sele-ção de tópicos programáticos essenciais da disciplina.

A apresentação da teoria, a escolha de introduções,atividades e aplicações no desenvolvimento dos exer-cícios resolvidos, o estabelecimento gradual da termino-logia matemática e outros procedimentos visam semprefacilitar a compreensão por parte do aluno. Isso não sig-nifica, porém, uma opção pela exclusão sumária de situ-ações mais complexas, mas sim a sua inclusão criteriosa.

Todos os capítulos trazem baterias de

Atividades

distribuídas ao longo do texto explicativo e, ao final,uma seção de

Exercícios complementares

, para fixaçãoe revisão dos conteúdos.

Os

Exercícios complementares

podem ser desen-volvidos conforme as necessidades didáticas: como ta-refa extraclasse, revisão do conteúdo trabalhado, fontede exercícios para uma recuperação paralela ou reforçodo conteúdo desenvolvido. Seu objetivo primordial, noentanto, é a verificação do aprendizado, pois permitemavaliar se os alunos compreenderam os conteúdos con-ceituais e assimilaram os procedimentos envolvidos.

Cada capítulo apresenta, ainda, um quadro

Leitura

,com texto complementar sobre o conteúdo estudado.

2. Objetivos gerais da obra

• Estabelecer ligações entre este estágio do aprendi-zado e os conhecimentos adquiridos no Ensino Funda-mental.

• Apresentar os rudimentos do pensamento científico.• Propiciar a compreensão da evolução do pensa-

mento científico, através da ampliação de conceitos e/ouda construção de objetos abstratos.

• Ampliar as possibilidades de representações pormeio da linguagem matemática, exercitando: a constru-ção de esquemas, tabelas e gráficos; as argumentaçõeslógicas; o uso de expressões algébricas etc.

• Estabelecer conexões entre o conhecimento matemá-tico e as experiências da vida pessoal, social e produtiva.

• Fornecer embasamento científico para a tomadade decisões, através de análises de dados.

• Exercitar a visão tridimensional.

3. O trabalho com o livro

Contar, calcular, comparar, medir, localizar, repre-sentar, resolver problemas, interpretar, conhecer formasgeométricas, reconhecer fórmulas e aplicá-las, analisare argumentar são alguns procedimentos e atitudes mate-máticos que objetivam o estudo dessa disciplina comociência.

No Ensino Fundamental, os alunos tiveram contatocom vários campos do conhecimento matemático. Ago-ra, no Ensino Médio, estão em condições de utilizar eenriquecer esses conhecimentos, desenvolvendo demodo mais amplo capacidades como abstração, raciocí-nio em todas as suas vertentes, investigação, análise ecompreensão de fatos matemáticos e interpretação daprópria realidade.

É importante a percepção de que as verdades mate-máticas (não sendo definição ou postulado) podem serdemonstradas. Não defendemos que todos os teoremasdevam ser demonstrados em sala de aula, mas que al-guns o sejam, para que o aluno compreenda o significa-do de uma demonstração e o método da ciência Mate-mática.

As atividades podem ser desenvolvidas em grupo,em duplas ou individualmente. O trabalho em grupo fa-vorece a comunicação oral e a troca de experiências.

Outro aspecto importante refere-se à comunicaçãomatemática, que pode ser apresentada na forma de relatoescrito ou oral, registro ou expressão. Podem-se exploraras leituras que aparecem nos capítulos, trabalhando-ascomo tema para pesquisa ou como problematização dotexto. Também é importante estimular sempre os alunosa falar, ler e escrever sobre assuntos matemáticos.

4. Avaliação

A avaliação é um instrumento fundamental para seobter informações sobre o andamento do processo ensi-no-aprendizagem. Sugerimos que ela seja feita de formacontinuada, e não apenas ao término de cada bimestre.Somente a avaliação praticada como um diagnósticocontínuo possibilita a reformulação de procedimentos eestratégias, visando ao sucesso efetivo do estudante.

Ao longo do curso, surgem inúmeras oportunidadesde observação e avaliação. Pontuar, registrar e relatarprocedimentos comuns, relevantes e diferentes contribuipara melhor avaliar o aluno. Tendo em mãos as anota-ções sobre as atividades e as produções da turma, é pos-sível traçar perfis, perceber que aspectos devem ser re-forçados no ensino, que conteúdos e habilidades convémprivilegiar e quais assuntos podem ser avançados.

Para obter informações sobre a apreensão de con-teúdos por parte do estudante, podem-se observar: acompreensão conceitual, a leitura e a interpretação dotexto matemático, o comportamento (hesitante, confian-te, interessado) na resolução das atividades.

Também pode ser útil analisar as atitudes do aluno,por exemplo, se costuma fazer perguntas, se participa


6

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

dos trabalhos em grupo, se é cooperativo com os cole-gas, se argumenta em defesa de suas opiniões etc.

Além de lançar mão desses recursos ao trabalharcom atividades, exercícios complementares ou com aproblematização das leituras, podem-se criar outrasoportunidades de avaliação, por exemplo, solicitandoque o aluno explique, no quadro-de-giz, exercícios ouresoluções de problemas.

Sugerimos também que cada estudante organizeuma pasta ou caderno com suas produções. Isso eviden-cia sua organização, seu esforço nos trabalhos e, confor-me as anotações feitas, os conteúdos aos quais dedicoumaior ou menor atenção.

A avaliação deve ser um processo, não uma série deobstáculos. As provas escritas, quando atendem aosobjetivos dos conteúdos, são meios adequados para exa-minar o domínio dos procedimentos, a interpretação dotexto, a compreensão conceitual e o entendimento de con-textos. E mesmo esse tipo de avaliação pode ser utilizadocomo um momento de aprendizagem, pois permite a per-cepção dos avanços e das dificuldades dos alunos em re-lação ao conteúdo avaliado. Há ainda a possibilidade deaplicação de provas elaboradas pelos próprios alunos oude propor sua realização em grupos ou duplas.

Outro recurso interessante é a auto-avaliação —uma maneira de o estudante exercitar a reflexão sobre opróprio processo de aprendizagem. A auto-avaliaçãopode incluir questões como:

• Como você se sente em relação a seus estudos deMatemática? Por quê?

• Qual foi o assunto mais importante para você, e o queaprendeu?

• Em que você gostaria de ser ajudado?• Como você acha que podemos melhorar nossas aulas

de Matemática?Tão fundamental quanto avaliar é decidir o que fazer

com os resultados obtidos, ou seja, decidir sobre a neces-sidade de acompanhamento individualizado, de consti-tuição de grupos de apoio, de atividades extras etc.

5. Sugestões de leitura para o professor

Bibliografia geral

ARAÚJO, F. Ulisses.

Temas transversais e a estratégiade projetos

. São Paulo: Moderna, 2003.

BUSSAB, Wilton; MORETTIN, Pedro.

Estatística bá-sica.

5. ed. São Paulo: Saraiva, 2003.

CARAÇA, Bento de Jesus.

Conceitos fundamentais daMatemática.

Lisboa: Sá da Costa, 1975.

CARRAHER, David.

Senso crítico.

São Paulo: Pionei-ra, 1983.

CARRAHER, Terezinha Nunes (Org.).

Aprender pen-sando

. 16. ed. Petrópolis: Vozes, 2002.

CARVALHO, Maria Cecilia Costa e Silva.

Padrões nu-méricos e seqüências.

São Paulo: Moderna, 1997.

CASTRUCCI, Benedito.

Lições de geometria plana.

São Paulo: Nobel, 1976.

CHERVEL, A.

História das disciplinas escolares

: re-flexões sobre um campo de pesquisa. Teoria & Educa-ção, n. 2. Porto Alegre: Pannonica, 1990.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert.

O que é Ma-temática?

Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.

GAMOW, George.

Um, dois, três… infinito.

Rio deJaneiro: Zahar, 1962.

GRAMSCI, A.

Os intelectuais e a organização da cul-tura.

Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 1979.

KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.).

A resolu-ção de problemas na Matemática escolar.

São Paulo:Atual, 1997.

KUENZER, A. (Org.).

Ensino Médio

: construindo umaproposta para quem vive do trabalho. São Paulo: Cortez,2001.

LIMA, Elon Lages et al.

A Matemática no Ensino Mé-dio.

Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemáti-ca. 3 v. (Coleção do Professor de Matemática)

LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.).

Apren-dendo e ensinando geometria.

São Paulo: Atual, 1994.

LUCKESI, Cipriano Carlos.

Avaliação da aprendiza-gem escolar.

São Paulo: Cortez, 1997.

MONTEIRO, Alexandrina; POMPEU JR., Geraldo.

AMatemática e os temas transversais.

São Paulo: Moder-na, 2003.

MORAN, José Manuel; MASSETO, Marcos T.;BEHRENS, Marilda Aparecida.

Novas tecnologias emediação pedagógica.

Campinas: Papirus, 2000.

PARENTE, Eduardo; CARIBÉ, Roberto.

Introdução àcomputação.

São Paulo: FTD, 1999.

.

Matemática comercial e financeira.

SãoPaulo: FTD, 1996.

PERRENOUD, Phillipe.

Dez novas competências paraensinar

(capítulos 1 a 5). Porto Alegre: Artmed, 2000.


7

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

.

Pedagogia diferenciada

:

das intenções àação (capítulos 1, 3 e 4). Porto Alegre: Artmed, 2000.

RIOS, Terezinha Azeredo.

Compreender e ensinar

: poruma docência da melhor qualidade. São Paulo: Cortez,2001.

ROPÉ, F.; TANGUY, L. (Org.).

Saberes e competên-cias

: o uso de tais noções na escola e na empresa. Cam-pinas: Papirus, 1997.

ROSA NETO, Ernesto.

Didática da Matemática.

11.ed. São Paulo: Ática, 2001.

RUÉ, Joan.

O que ensinar e por quê?

Elaboração e de-senvolvimento de projetos. São Paulo: Moderna, 2003.

TAILLE, Yves de L. A indisciplina e o sentimento devergonha. In: AQUINO, Júlio Groppa (Org.).

Indisci-plina na escola

: alternativas teóricas e práticas. SãoPaulo: Summus, 1996.

História da Matemática

BAUMGART, John K.

Álgebra.

São Paulo: Atual,1992. (Tópicos de história da Matemática para uso emsala de aula; v. 4)

BOYER, Carl B.

Cálculo

. São Paulo: Atual, 1992. (Tó-picos de história da Matemática para uso em sala de au-la; v. 6)

.

História da Matemática.

2. ed. São Pau-lo: Edgard Blücher, 1999.

DAVIS, Harold T.

Computação.

São Paulo: Atual,1992. (Tópicos de história da Matemática para uso emsala de aula; v. 2)

EVES, Howard.

Geometria.

São Paulo: Atual, 1992.(Tópicos de história da Matemática para uso em sala deaula; v. 3)

GUNDLACH, Bernard H.

Números e numerais.

SãoPaulo: Atual, 1992. (Tópicos de história da Matemáticapara uso em sala de aula; v. 1)

IFRAH, Georges.

Os números

: a história de uma grandeinvenção. São Paulo: Globo, 1989.

KENNEDY, Edward S.

Trigonometria.

São Paulo: Atu-al, 1992. (Tópicos de história da Matemática para usoem sala de aula; v. 5)

Documentos oficiais

BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional deEstudos e Pesquisas Educacionais.

Matrizes curricula-res de referência para o Saeb.

2. ed. Brasília: MEC/Inep, 1999.

. Ministério da Educação. Secretaria de

Educação Média e Tecnológica.

Parâmetros curricula-

res nacionais

: Ensino Médio. Brasília: MEC/Semtec,

2002.

. Ministério da Educação. Secretaria de

Educação Média e Tecnológica.

PCN

+

Ensino Médio:

orientações educacionais complementares aos parâme-

tros curriculares nacionais.

Ciências da Natureza, Ma-

temática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Semtec,

2002.

Revistas

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. SãoPaulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática(SBEM).

NOVA ESCOLA. São Paulo: Fundação Victor Civita.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. SãoPaulo: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM).

TEMAS E DEBATES. São Paulo: SBEM.

6. Material de apoio

Desenvolvimento do pensamento científico

O estudante do Ensino Médio pode entender os três

estágios do pensamento científico: concreto, concreto-

abstrato e abstrato, considerando-se a abstração como o

pensamento sobre um objeto ausente, que pode existir

concretamente ou não. Para exemplificar esses estágios,

pode-se realizar a experiência a seguir.

Estágio concreto

Apresentando uma caixa sob a forma de um parale-

lepípedo reto-retângulo e 18 cubinhos “iguais”, em que

cada um é considerado uma unidade de volume

u

, pede-

se o volume da caixa na unidade

u

, explicando que esse

volume é igual à quantidade de cubinhos, dispostos face

a face, necessários para encher completamente a caixa.

u


8

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Estágio concreto-abstrato

Para calcular o volume da caixa, dispõe-se uma ca-mada de 15 cubinhos no fundo da caixa, conforme figu-ra, sobrando apenas 3 cubinhos fora da caixa.

Observa-se que, embora não haja cubinhos sufi-cientes para encher a caixa, é possível calcular o númerode cubinhos necessários para isso. Inicia-se, então, umraciocínio concreto-abstrato: em cada camada podemser dispostos 15 cubinhos; como são possíveis 4 cama-das, conclui-se que o volume da caixa é 60

u

.

Estágio abstrato

Propõe-se como atividade o cálculo do volume deuma caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulode dimensões 10 m por 6 m por 5 m, considerando comounidade

u

de volume um cubo de 1 m de aresta.A resolução desse problema exige a abstração dos

objetos concretos disponíveis anteriormente. Para amaioria dos alunos surge aí a necessidade de uma repre-sentação esquemática do objeto. É o momento oportunopara falar da importância das representações.

Pode-se exemplificar mostrando representações es-quemáticas na geometria e na álgebra.

• Na geometria representamos o ponto, a reta e oplano, respectivamente, por uma pequena marca feitacom a ponta do lápis; por um traço feito com o auxíliode uma régua; e por um paralelogramo.

• Na álgebra, também são utilizadas representaçõesesquemáticas como as equações, por exemplo.

“Equacionar significa traduzir um determinado pro-blema para a linguagem algébrica, ou seja, para a lin-guagem das fórmulas matemáticas.” (Isaac Newton)

Esse tipo de representação esquemática é trabalha-do, por exemplo, no capítulo 2.

Apresentamos a seguir algumas sugestões de proce-dimentos e atividades que podem auxiliar o desenvolvi-mento do pensamento científico.

I.

Propor o uso do paralelepípedo reto-retângulo narepresentação de retas e planos no espaço tridimen-sional, como facilitador da visualização desses ob-jetos e da compreensão das propriedades relaciona-das a eles.

• Para representar na folha do caderno as retas e osplanos do espaço tridimensional, é conveniente esquema-tizar, inicialmente, um paralelepípedo e, a partir dele, des-tacar os objetos que queremos representar; por exemplo:

Os paralelepípedos auxiliares não devem ser apaga-dos do desenho. Sua presença contribui para um estudoposterior.

• A utilização do paralelepípedo na representaçãode retas e planos no espaço vai além da simples repre-sentação; ela auxilia no entendimento de propriedades ena resolução de problemas que envolvem retas e planosno espaço tridimensional.

Por exemplo, considere a figura a seguir represen-tando: uma reta

r

perpendicular ao plano

em

A

; umareta

s

contida em

e passando por

A

; uma reta

t

contidaem

e perpendicular a

s

em

B

, com

B

A

; e uma reta

Planos perpendiculares

r

s

Planos paralelos

Retas reversas


9

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

u

passando por

B

e concorrente com

r

. Prove que

u

éperpendicular a

t

.

Vamos utilizar um paralelepípedo auxiliar para nosajudar nessa prova:

A reta

t

é perpendicular ao plano

(pois contémuma aresta do paralelepípedo perpendicular a

); logo,qualquer reta de

que concorra com

t

é perpendicular a

t

. Como

u

e

u concorre com t , concluímos que u éperpendicular a t .

II. Propor a construção ou a interpretação de desenhosque esquematizem situações descritas em enuncia-dos de problemas, teoremas ou propriedades.

Vejamos dois exemplos.1) No projeto de uma estrada, um engenheiro prevê

que uma curva terá o formato de um arco de circunfe-rência )AB, de raio 500 m. Com essa curva, a estradamuda de direção em 30°.

a) Faça um desenho que esquematize essa situação.b) Calcule o comprimento da curva.No item a, espera-se que o aluno construa o esquema:

2) O triângulo ABC a seguir é isósceles de base tBCu

e M é ponto médio da base. Determine a medida x, des-crevendo o seu raciocínio.

Espera-se que o aluno redija um texto como:A mediana tAMu coincide com a bissetriz interna relativaao vértice A e coincide com a altura relativa a esse vér-tice; logo, m(B BAM) 35° e m(A BMB) 90°. Assim, te-mos que:

x 90° 35° 180° ⇒ x 55°

III. Transitar pelos campos numérico, algébrico e geo-métrico, apresentando pelo menos dois registros narepresentação de um objeto.

Vejamos um exemplo da aplicação de mais de umregistro para o entendimento de um objeto.

• Para resolver a equação do 2º grau x2 4x 12 0,que é equivalente a x2 4x 12, podemos considerar aexpressão x2 4x como a soma da área de um quadrado delado medindo x com as áreas de quatro retângulos dedimensões x e 1:

Completando um quadrado de lado medindo x 2,temos:

A área dessa nova figura, que é expressa por (x 2)2,é igual à área da figura anterior (12) mais 4 unidades,isto é:

(x 2)2 16, ou seja,x 2 4 e, portanto,x 2 ou x 6

A

B s

t

ru

AB s

t

ru

AB

O

30°

500 m

B CM

A

x

35°

1

1

1

1

x

x

1

1

1

1

x

x


10

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Embora apenas a raiz positiva possa ser consideradacomo a medida do lado do quadrado, o processo ofere-ceu também a raiz negativa da equação. (Aqui cabe a fa-mosa frase de D’Alembert: “A álgebra é generosa; fre-qüentemente ela dá mais do que se lhe pediu.”).

Por outro lado, nem sempre uma equação do 2º grauadmite uma raiz positiva e, portanto, não se pode inter-pretá-la como no caso anterior. Por exemplo, na equa-ção x2 6x 8 0 não podemos interpretar a expres-são x2 6x como uma soma de áreas, pois temos umasoma negativa: x2 6x 8; por isso recorremos aoregistro algébrico, abstraindo da figura que nos auxiliouanteriormente. Completamos um trinômio quadradoperfeito no primeiro membro, adicionando 9 a ambos osmembros:

x2 6x 9 8 9, ou seja,(x 3)2 1, ou, ainda,x 3 1 e, portanto,x 2 ou x 4

IV. Ao estudar um objeto em um determinado registro(numérico, algébrico ou geométrico), apresentar di-ferentes pontos de vista.

Por exemplo, a inequação x2 5x 6 0 pode serresolvida, em R, dos dois modos a seguir.

1) Fatorando o polinômio x2 5x 6 e resolvendoa inequação-produto (x 2)(x 3) 0:

S x R x 2 ou x 3

2) Estudando a variação de sinal da funçãof (x) x2 5x 6 por meio do seu gráfico:

S x R x 2 ou x 3

V. Apresentar os assuntos de modo que os alunos fa-çam suas próprias descobertas.

Veja o exemplo.• Escrevendo no quadro a expressão x2 6x, o

professor propõe um jogo: Cada um de nós vai atribuirum valor a x. O vencedor será aquele que conseguir omaior valor numérico para essa expressão. Espera-seque algum aluno perceba que basta atribuir a x a abscis-

sa do vértice da parábola. Se nenhum aluno perceber,então o professor atribui o valor e vence o jogo.

A seguir, o professor desafia a classe, dizendo quevai dar uma nova chance. Escreve no quadro a expres-são x2 8x e recomeça o jogo, só que dessa vez de-senha o gráfico e, a cada valor atribuído a x pelos alu-nos, marca a abscissa x sugerida e a ordenada corres-pondente y x2 8x, por exemplo (2, 12).

Com essa discussão, espera-se que o aluno descubrasozinho que o valor máximo da função é obtido ao seatribuir a x a abscissa do vértice da parábola.

VI. Trabalhar atividades lúdicas com o propósito de es-tudar um conceito matemático.

As atividades lúdicas sempre fazem sucesso em salade aula, por isso deve-se aproveitá-las. É necessário, po-rém, selecionar aquelas que tenham conseqüências rele-vantes no pensamento matemático. A seguir, apresenta-mos um exemplo.

• Para que o aluno compreenda o que é uma demons-tração matemática, o professor pode propor o seguinteproblema: Um tabuleiro de xadrez é composto de 64 ca-sas quadradas, 32 pretas e 32 brancas. Cada dominó co-bre exatamente duas casas adjacentes, podendo ser colo-cado com um lado paralelo a qualquer lado do tabuleiro.

Nessas condições, 32 dominós cobrem totalmente otabuleiro. Retirando-se duas casas diagonalmente opos-tas desse tabuleiro, conforme figura a seguir, pode-se

f (x) = x – 2g(x) = x – 3f (x) g(x) = (x – 2)(x – 3)

2– + +– – ++ – +

3x

32 x

+ +

–

0

12

2 8

y

x


11

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.afirmar que 31 dominós cobrem totalmente essa parteremanescente?

Provavelmente algum aluno vai tentar resolver esseproblema desenhando 31 dominós sobre a figura e,constatando a impossibilidade, vai afirmar que 31 domi-nós não cobrem essa parte do tabuleiro. Nesse momen-to, o professor pergunta ao aluno: Você tentou todas asdisposições possíveis? Não é porque a disposição esco-lhida não cobriu a figura que se pode garantir que nãoexista uma que a cubra.

Há duas maneiras de se resolver esse problema: aprimeira é testar, uma a uma, todas as disposições pos-síveis dos 31 dominós sobre essa parte do tabuleiro, atéencontrar uma disposição que cubra a figura ou até es-gotar todas as disposições possíveis sem encontrar umaque cubra a figura; a segunda maneira é por meio deuma demonstração (uma argumentação lógica) que,apesar de não testar todas as disposições, garanta a pos-sibilidade ou a impossibilidade da cobertura.

Para resolver esse problema por meio de uma de-monstração, podemos raciocinar do seguinte modo:cada dominó cobre exatamente uma casa branca e umapreta; portanto, 31 dominós cobririam 31 casas brancase 31 casas pretas. Como foram retiradas do tabuleiro2 casas pretas, a parte remanescente ficou com 30 casaspretas e 32 brancas, conclui-se então que 31 dominósnão cobrem essa parte remanescente do tabuleiro.

VII. Provocar questionamentos.

Quando o professor provoca uma dúvida, está utili-zando um dos recursos mais eficientes no processo deensino e aprendizagem. Por exemplo, ao iniciar o estudodas inequações-produto (antes do estudo da função po-linomial do 2º grau), o professor escreve no quadro-de-giz a expressão (2x 10)(x 3) e pergunta à classe:

a) Para x 5 esse produto é positivo, negativo ounulo?

b) Para x 2 esse produto é positivo, negativo ounulo?

c) Para x 4 esse produto é positivo, negativo ou nulo?

Até esse momento, o aluno substitui a variável xpelo valor numérico e efetua a multiplicação, respon-

dendo sem dificuldade. Então, o professor começa aprovocar os primeiros questionamentos, com as seguin-tes perguntas:

d) Para x 53 esse produto é positivo ou negativo?

e) Para x esse produto é positivo ou negativo?

As questões que surgirão nesse momento fazemparte do processo. O professor deve orientar a discussãopara que os alunos percebam que não é necessário efe-tuar o produto; basta verificar o sinal de cada fator eaplicar a regra de sinais.

f) A discussão deverá ficar ainda mais acaloradaquando o professor pedir aos alunos que determinemtodos os valores reais de x para os quais esse produto épositivo.

Podem surgir questões como: Os valores devem sertestados um por um?

Depois de discutir as dificuldades levantadas, o pro-fessor apresenta uma maneira de resolver o problemapor meio dos gráficos das funções f (x) 2x 10 eg(x) x 3.

Veja essa resolução no item 5 do capítulo 7.Em seguida o professor apresenta o algoritmo (qua-

dro de sinais) para a resolução desse tipo de inequação.

VIII. Estimular o uso da intuição e ao mesmo tempoquestioná-la.

Grande parte das descobertas matemáticas necessi-tou de uma boa dose de intuição, porém a intuição devevir acompanhada de uma argumentação lógica que asustente. Pierre de Fermat, matemático dotado de umaintuição invejável, tropeçou ao confiar apenas na intui-ção e conjecturar, por volta de 1630, que todo númeroda forma 22n

1 é primo para qualquer número naturaln. Um século mais tarde, o matemático Leonhard Eulerprovou que para n 5 esse número é composto, ou seja,não é primo.

É importante apresentar alguns exercícios que con-trariem a intuição. Por exemplo:

Uma fita de 1 m de comprimento é cortada em trêspedaços iguais.

a) Dê o número na forma decimal que represente amedida, em m, de cada pedaço.

b) Qual é a soma desses números que representamas medidas, em m, dos três pedaços?

O item b contraria a intuição e, por isso, mereceuma argumentação capaz de convencer o aluno de que0,9999... é igual a 1. Um argumento possível é: cada

5 71 ---------


12

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

pedaço representa da fita; logo, a soma dos três pe-

daços é 1.

IX. Propor seminários.

O seminário oferece a oportunidade do trabalho emgrupo, o que favorece a discussão e a reflexão sobre di-ferentes idéias a respeito do mesmo objeto. O discursosocial é essencial para mudar ou reforçar conceitos.

Os resultados são realmente significativos, emtermos de aprendizagem, quando o seminário estimu-la a criatividade dos estudantes no sentido da repre-sentação de objetos matemáticos por meio de constru-ções de objetos concretos. Vamos citar uma experiên-cia para exemplificar.

Para representar as cônicas como intersecções de umplano com a superfície de um cone, pode-se usar um fa-rolete. O facho de luz que provém do farolete é cônico.

a) Iluminando a parede, com o eixo do cone perpen-dicular a ela, observamos que a intersecção do plano daparede com a superfície do cone é uma circunferência.

b) Iluminando a parede, com o eixo do cone oblíquoa ela, de modo que todas as geratrizes do cone sejam inter-ceptadas pelo plano da parede, observamos que a intersec-ção desse plano com a superfície do cone é uma elipse.

c) Iluminando a parede, com uma geratriz do coneparalela a ela, observamos que a intersecção desse planocom a superfície do cone é uma parábola.

d) Iluminando a parede, com o eixo do cone parale-lo a ela, observamos que a intersecção desse plano coma superfície do cone é o ramo de uma hipérbole. (Não énecessário que o eixo do cone seja paralelo ao plano

para se obter um ramo de hipérbole; basta que o planonão intercepte todas as geratrizes e que nenhuma delasseja paralela ao plano.)

Poderíamos citar ainda muitos outros tipos de ativi-dade e de procedimento, como: estimular o entendimen-to de textos matemáticos, com o objetivo de despertarno aluno a autoconfiança em relação à sua capacidadede aprender sozinho; estimular respostas orais; proporexercícios que envolvam trabalhos manuais (construçãodos poliedros regulares, por exemplo) etc. Além deexercitar o pensamento científico e desenvolver compe-tências, essas atividades diversificam as aulas

7. Considerações sobre a organização da obra

Com o objetivo de oferecer uma visão sistêmica daMatemática, os capítulos desta obra foram organizadosconforme descrito a seguir.

Capítulos 1 a 14Com a finalidade de oferecer ao estudante uma transi-

ção do Ensino Fundamental para o Médio sem contrastesmuito acentuados, procuramos oferecer os rudimentos dopensamento científico, refinando a linguagem e apresen-tando o método matemático por meio de conceitos primi-tivos, definições, postulados e teoremas. Sob essa orienta-ção, organizamos os capítulos 1 a 14 da seguinte forma:

Os quatro primeiros capítulos têm por objetivoapresentar a ciência Matemática embasada nas habilida-des adquiridas no Ensino Fundamental, sistematizando:

• A linguagem dos conjuntos e a classificação dosnúmeros. A primeira oferecendo o ferramental mínimopara a aquisição da escrita matemática e da percepçãodesta como linguagem, e a segunda aprofundando o es-tudo dos números reais.

• Os temas básicos da álgebra em interface com amatemática financeira. Na parte inicial, resgatando o es-tudo das equações do 1º e do 2º graus e das inequaçõesdo 1º grau, no campo dos números reais, e na segundaestudando os conceitos fundamentais utilizados emtransações financeiras.

• A geometria plana, na retomada de conceitos como propósito de aprofundar essas idéias e apresentar algu-mas demonstrações para que o aluno comece a compre-

1 3 ------

1 3 ------ 1

3 ------ 1

3 ------

Circunferência

Elipse

Parábola

Ramo de umahipérbole


13

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.ender a necessidade e o significado de uma demonstra-ção, entendendo como a Matemática apresenta e validasuas proposições.

Os capítulos 5 a 11 tratam das funções, um dos te-mas centrais do Ensino Médio.

Introduz-se o estudo do assunto enfatizando a neces-sidade de tabelas, gráficos ou fórmulas matemáticas paradescrever as relações funcionais presentes no dia-a-dia.

O estudo das funções permite ao aluno iniciar-se nalinguagem das ciências, expressando relações entregrandezas dentro e fora da Matemática.

No capítulo 12 são apresentadas as seqüências.Com base em uma situação do cotidiano do aluno, for-malizamos o conceito de seqüência como uma função.Situações práticas procuram motivar o estudo das pro-gressões aritmética e geométrica.

O tema noções de estatística, apresentado no capítu-lo 13, além de oferecer ao aluno um conjunto de idéiase procedimentos que o capacitem a interpretar dadosapresentados em diferentes linguagens e representaçõesna mídia ou em outros meios de comunicação, tem a fi-nalidade de fornecer uma fundamentação científica paraa tomada de decisões que exijam a comparação de dis-tribuições de freqüência.

O capítulo 14, que traz a trigonometria no triânguloretângulo, tem por objetivo relacionar as medidas doslados com as medidas dos ângulos agudos desse tipo detriângulo. Explora problemas que envolvem mediçõese, em especial, o cálculo de distâncias inacessíveis.

Capítulos 15 a 26Os capítulos 15 a 26 têm a intenção de mostrar a

evolução do pensamento científico mediante a amplia-ção de conceitos como: do triângulo retângulo para acircunferência trigonométrica; dos sistemas lineares deduas equações e duas incógnitas para os sistemas linea-res de n equações e m incógnitas; da geometria planapara a geometria espacial. Nessa seção damos uma ên-fase maior às demonstrações.

A trigonometria na circunferência trigonométrica éapresentada nos capítulos 15 a 18: nos dois primeirosmostramos como estender o conceito de razão trigono-métrica do triângulo retângulo para a circunferência tri-gonométrica; no terceiro apresentamos as fórmulas deadição de arcos e de arco duplo; finalmente, no quartocapítulo, estudamos as funções trigonométricas, a leidos co-senos e a lei dos senos.

Os capítulos 19, 20 e 21 tratam de matrizes, siste-mas lineares e determinantes: no capítulo 19 estabelece-mos uma estrutura algébrica no estudo das matrizes; nocapítulo 20 ampliamos os conhecimentos que os alunosjá adquiriram sobre os sistemas lineares, apresentando aresolução de sistemas lineares pelo método do escalo-

namento; e no capítulo 21 apresentamos o conceito dedeterminantes e sua aplicação na discussão de um siste-ma linear. Optamos por apresentar a noção de determi-nante após o estudo dos sistemas lineares para que essanoção adquirisse um significado, surgindo assim comoum instrumento para a discussão de sistema linear.

A análise combinatória, estudada nos capítulos22 e 23, prioriza o princípio fundamental de conta-gem, desenvolvendo o raciocínio combinatório e mi-nimizando a mera aplicação de fórmulas, que tam-bém são estudadas.

A apresentação do princípio fundamental de conta-gem com base na matriz das possibilidades de resulta-dos de dois experimentos simultâneos, e não na árvorede possibilidades, tem como objetivo usar um conheci-mento já adquirido pelo aluno; no cálculo da área de umretângulo, por exemplo, o aluno já efetuou a “multipli-cação do número de linhas pelo número de colunas”.

Os capítulos 24 a 26 abordam a geometria espacial,priorizando a geometria métrica: no capítulo 24 sãoapresentados os conceitos fundamentais da geometriade posição, necessários para o entendimento da geome-tria métrica; no capítulo 25 são estudados o prisma e apirâmide, com ênfase nas figuras regulares; finalmente,no capítulo 26 são apresentados os corpos redondos: ci-lindro circular, cone circular e esfera.

Capítulos 27 a 34Nesses capítulos enfatizamos uma das mais eficien-

tes formas do raciocínio matemático: a utilização de maisde um registro de representação no estudo de um objetomatemático. Por exemplo, nos casos em que apenas o usode régua e compasso — registro geométrico — não foisuficiente para a resolução de problemas, a geometriaanalítica — registro algébrico — surgiu, contribuindopara que problemas milenares fossem resolvidos, como otraçado da reta tangente por um ponto de uma curva.

O capítulo 27 apresenta a teoria das probabilidades,cujo objetivo é mostrar a possibilidade de se ter algumcontrole sobre a previsão de acontecimentos aleatórios.

Os capítulos 28 a 31, sobre geometria analítica, têmpor finalidade tratar algebricamente as propriedades eos elementos geométricos, proporcionando ao aluno aoportunidade de conhecer novos registros de represen-tação para o estudo da geometria clássica.

O capítulo 32, referente aos números complexos,tem por finalidade ampliar o campo numérico, apresen-tar as operações em C como extensões das operações emR e representar geometricamente os elementos do con-junto C.

O capítulo 33, que trata dos polinômios, visa à apre-sentação de uma “nova” estrutura algébrica que será apli-cada no capítulo 34, sobre equações algébricas, que obje-tiva a ampliação do estudo das equações polinomiais.


14

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

8. Conteúdos e objetivos específicos dos capítulos

Capítulo 1 Uma introdução à linguagem dos conjuntos

Conteúdo Objetivos

1. A origem da teoria dos conjuntos

2. Conceitos primitivos

3. Formas de representar um conjunto

4. Tipos de conjunto

5. Subconjunto

6. Igualdade de conjuntos

7. Conjunto universo

8. União e intersecção de conjuntos

9. Conjunto diferença

10. Conjunto complementar

11. Problemas sobre quantidades de ele-mentos de conjuntos finitos

12. Classificação dos números

13. O eixo real

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:

• representar um conjunto na forma tabular (tabela), ou por diagramas, ou por meio deuma propriedade que determine os seus elementos;

• classificar um conjunto como finito ou infinito;

• relacionar elemento e conjunto, e relacionar subconjunto e conjunto;

• reconhecer conjuntos iguais;

• conceituar conjunto universo;

• operar com conjuntos (união, intersecção, diferença e complementar);

• aplicar os conceitos da teoria dos conjuntos na resolução de problemas sobrequantidade de elementos de conjuntos finitos;

• classificar um número como natural, inteiro, racional, irracional ou real;

• relacionar os conjuntos numéricos por meio da relação de inclusão;

• representar os conjuntos numéricos por meio de diagramas;

• representar genericamente um número par e um número ímpar;

• representar genericamente dois números inteiros consecutivos;

• demonstrar teoremas simples envolvendo números pares, ímpares ou consecutivos;

• obter a geratriz de uma dízima periódica;

• demonstrar teoremas simples envolvendo números racionais ou irracionais;

• representar no eixo real todos os tipos de intervalos;

• justificar a necessidade da representação “bolinha vazia” no extremo aberto de umintervalo real;

• operar com intervalos (união e intersecção);

• representar gráfica e algebricamente os intervalos reais.

Capítulo 2 Temas básicos de álgebra e de matemática financeira

Conteúdo Objetivos

1. Equações do 1º grau

2. Inequações do 1º grau

3. Sistemas de equações do 1º grau

4. Equações do 2º grau

5. Matemática financeira


• resolver equações e inequações do 1º grau;

• resolver, pelos métodos da substituição e da adição, sistemas do 1º grau com duasequações e duas incógnitas;

• equacionar problemas do 1º grau com duas incógnitas;

• resolver equações do 2º grau;

• discutir uma equação do 2º grau;

• resolver equações do 2º grau de raízes racionais, através das relações de soma eproduto das raízes;

• fatorar um trinômio do 2º grau;

• representar uma taxa porcentual sob a forma decimal ou fracionária;

• resolver problemas que relacionem porcentual/parte/todo;

• calcular o lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda, em uma transaçãocomercial;

• resolver problemas que envolvem juro simples, taxa de juros, unidades de tempo,prazo e montante;

• resolver problemas envolvendo juro composto.


15

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.Capítulo 3 Geometria plana: triângulos e proporcionalidade

Conteúdo Objetivos

1. Ângulos em um triângulo

2. Triângulo isósceles

3. Triângulo eqüilátero

4. Triângulo retângulo

5. Teorema de Tales

6. Semelhança de figuras planas

7. Semelhança de triângulos

8. Relações métricas no triângulo retân-gulo


• resolver problemas que envolvam a soma das medidas dos ângulos internos e amedida de um ângulo externo de um triângulo, que explorem as propriedades dostriângulos isósceles, eqüilátero, retângulo;

• conceituar razão de segmentos e aplicar o teorema de Tales na resolução de proble-mas;

• identificar figuras planas semelhantes;

• reconhecer triângulos semelhantes através dos casos A.A., L.A.L. e L.L.L.;

• resolver problemas por meio da semelhança de triângulos;

• calcular a razão de semelhança entre triângulos, usando dois segmentos de retacorrespondentes quaisquer (lados, alturas, medianas etc.);

• deduzir as relações métricas no triângulo retângulo e aplicá-las na resolução deproblemas variados;

• calcular a medida da diagonal de um quadrado e a da altura de um triângulo eqüiláteroem função da medida de um lado.

Capítulo 4 Geometria plana: circunferência, círculo e cálculo de áreas

Conteúdo Objetivos

1. Circunferência e círculo

2. Ângulos na circunferência

3. Perímetro da circunferência

4. Unidades de medida de área

5. Cálculo da área de algumasfiguras planas


• conceituar circunferência e círculo;

• nomear elementos de uma circunferência;

• reconhecer a posição relativa entre um ponto e uma circunferência;

• reconhecer a posição relativa entre uma reta e uma circunferência e entre duascircunferências;

• aplicar na resolução de problemas a propriedade que garante o alinhamento entre oscentros de duas circunferências e o ponto de tangência entre elas;

• aplicar na resolução de problemas as relações entre ângulo inscrito, central e desegmento;

• calcular o perímetro c de uma circunferência por meio da fórmula c = 2πr;

• transformar unidades de área;

• calcular a área dos polígonos: triângulo, retângulo, quadrado, paralelogramo, hexá-gono regular, trapézio e losango;

• calcular a área do círculo, do setor circular, do segmento circular e da coroa circular.

Capítulo 5 A linguagem das funções

Conteúdo Objetivos

1. Sistemas de coordenadas2. Conceito de função

3. Formas de representação de umafunção

4. Estudo do sinal de uma função

5. Análise gráfica


• representar pontos no plano cartesiano;

• reconhecer uma função em situações do cotidiano;

• formalizar o conceito de função;

• reconhecer o domínio, o conjunto-imagem e o contradomínio de uma função;

• determinar a imagem de um elemento através do diagrama, através da lei y = f(x) eatravés do gráfico de uma função;

• usar indistintamente as notações y ou f(x) para indicar a imagem de um elemento dodomínio de uma função;

• estudar o sinal de uma função a partir do seu gráfico, conhecidas as abscissas dospontos de intersecção com o eixo Ox;

• determinar o domínio e o conjunto-imagem de uma função através do gráfico.


16

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 6 Função real de variável real — Inversão de funções

Conteúdo Objetivos

1. Função real de variável real

2. Raiz de uma função

3. Variação de uma função

4. Funções inversas

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• determinar o domínio de uma função quando esta é apresentada simplesmente pela

lei y = f(x);• determinar as raízes de funções (raízes obtidas a partir de equações já estudadas);• determinar os intervalos em que uma função é crescente, decrescente ou constante;• definir e exemplificar a inversão de funções;• obter a inversa de uma função, a partir da lei de associação.

Capítulo 7 Função polinomial do 1‚‚‚‚ grau ou função afim

Conteúdo Objetivos

1. Conceituação

2. Gráfico de uma função polinomial do1º grau

3. Função definida por mais de umasentença

4. Variação de sinal da função afim

5. Inequação-produto

6. Inequação-quociente


• construir o gráfico de uma função polinomial do 1º grau a partir da lei de associação;

• determinar a lei de associação a partir do gráfico da função polinomial do 1º grau;

• dar exemplos de funções polinomiais do 1º grau no cotidiano;

• construir o gráfico de uma função dada por mais de uma sentença;

• discutir a variação de sinal de uma função polinomial do 1º grau, algébrica e grafi-camente;

• resolver inequações-produto e inequações-quociente que envolvam função poli-nomial do 1º grau.

Capítulo 8 Função polinomial do 2‚‚‚‚ grau ou função quadrática

Conteúdo Objetivos

1. Conceituação

2. Gráfico de uma função polinomial do2º grau

3. Pontos notáveis da parábola

4. Máximo e mínimo de uma funçãopolinomial do 2º grau

5. Variação de sinal de uma funçãopolinomial do 2º grau

6. Inequação do 2º grau


• esboçar o gráfico de uma função quadrática a partir da lei de associação;

• determinar a lei de associação a partir do gráfico da função quadrática;

• determinar os pontos notáveis da parábola (intersecções com os eixos coordenados evértice);

• determinar o domínio e o conjunto-imagem de uma função quadrática ou de umarestrição desse tipo de função;

• determinar o máximo ou o mínimo de uma função quadrática;

• aplicar os conceitos de máximo ou mínimo de uma função quadrática na resolução deproblemas;

• discutir a variação de sinal de uma função quadrática e aplicar na resolução deproblemas;

• resolver inequações do 2º grau;

• resolver inequações-produto ou inequações-quociente envolvendo funções poli-nomiais do 1º ou do 2º grau.

Capítulo 9 Função modular

Conteúdo Objetivos

1. Distância entre dois pontos do eixoreal

2. Módulo de um número real

3. Função modular

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• calcular a distância entre dois pontos do eixo real, conhecendo suas abscissas;

• definir módulo de um número real, geométrica e algebricamente;

• calcular o módulo de um número real;

• aplicar as propriedades de módulo na resolução de equações e inequações modulares;

• conceituar função modular e determinar seu domínio e conjunto-imagem;

• construir gráficos de funções modulares.


17

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.Capítulo 10 Função exponencial

Conteúdo Objetivos

1. Potenciação e radiciação em R

2. Função exponencial

3. Equação exponencial

4. Inequação exponencial

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• definir e calcular potência de expoente inteiro e de expoente racional;

• aplicar as propriedades de potências;

• representar um número sob a notação científica;

• calcular raízes exatas, através da definição e das propriedades de radicais;

• operar com radicais, simplificando-os quando possível;

• aproximar potências de expoente irracional;

• definir função exponencial, construir seu gráfico e classificá-la como crescente oudecrescente;

• aplicar o conceito da função exponencial na resolução de problemas;

• aplicar as propriedades da função exponencial na resolução de equações e inequaçõesexponenciais;

• resolver problemas através de equações e inequações exponenciais.

Capítulo 11 Função logarítmica

Conteúdo Objetivos

1. Os fundamentos dos logaritmos

2. Conceito de logaritmo

3. Propriedades dos logaritmos

4. Função logarítmica

5. Equações logarítmicas

6. Inequações logarítmicas

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• calcular logaritmos através da definição;

• calcular logaritmos aplicando propriedades;

• aplicar o conceito de logaritmo na resolução de problemas;

• construir o gráfico de uma função logarítmica e classificá-la como crescente oudecrescente;

• determinar o domínio de uma função logarítmica;

• aplicar as propriedades de logaritmos na resolução de equações e inequações loga-rítmicas;

• resolver problemas através de equações e inequações logarítmicas.

Capítulo 12 Seqüências

Conteúdo Objetivos

1. Conceito de seqüência

2. Lei de formação de uma seqüência

3. Progressão aritmética (P.A.)

4. Progressão geométrica (P.G.)

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• diferenciar os conceitos de seqüência e conjunto;

• interpretar os significados dos símbolos an, n e Sn;

• determinar os termos de uma seqüência a partir da lei de formação;

• reconhecer uma progressão aritmética;

• classificar uma progressão aritmética como crescente, decrescente ou constante;

• determinar um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeirotermo e da razão;

• interpolar meios aritméticos entre dois números dados;

• representar genericamente uma P.A.

• calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A.;

• reconhecer uma progressão geométrica;

• classificar uma progressão geométrica como crescente, decrescente, constante,oscilante ou quase nula;

• determinar um termo qualquer de uma progressão geométrica, a partir do primeirotermo e da razão;

• interpolar meios geométricos entre dois números dados;

• representar genericamente uma P.G.;

• calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.G.;

• calcular a soma dos infinitos termos de uma P.G. de razão q, com –1 q 1.


18

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 13 Noções de estatística

Conteúdo Objetivos

1. O que é estatística

2. Conceitos preliminares

3. Tabelas e gráficos

4. Medidas estatísticas

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• conceituar população, amostra, freqüência e freqüência relativa;• separar uma amostra de números em classes;• construir tabelas de distribuição de freqüência;• representar uma distribuição de freqüência em gráfico de linha, gráfico de barras

horizontais e verticais;

• representar uma distribuição de freqüência em gráfico de setores;• construir, ler e interpretar histogramas de uma distribuição de freqüência de classes

não-unitárias;• conceituar média aritmética, mediana e moda, e aplicar esses conceitos na resolução

de problemas;• conceituar desvio médio absoluto, variância e desvio padrão, e aplicar esses conceitos

na resolução de problemas.

Capítulo 14 Trigonometria no triângulo retânguloConteúdo Objetivos

1. A origem da trigonometria

2. Seno, co-seno e tangente de um ân-gulo agudo

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• calcular os valores aproximados do seno, do co-seno e da tangente de um ângulo

agudo;• calcular a medida de um lado de um triângulo retângulo, conhecendo as medidas de

um lado e de um ângulo agudo desse triângulo;• aplicar os conceitos de seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo

retângulo;• relacionar a tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo com o seno e o

co-seno desse ângulo;• relacionar ângulos complementares através do seno e do co-seno.

Capítulo 15 A circunferência trigonométrica e as extensões dos conceitos de seno e de co-seno

Conteúdo Objetivos

1. O radiano, unidade de medida dearco e de ângulo

2. Circunferência trigonométrica3. Simetrias4. Seno e co-seno de um arco trigono-

métrico5. Tabela dos arcos notáveis6. Redução ao 1º quadrante7. Relação fundamental da trigonome-

tria8. Equações trigonométricas imediatas9. Inequações trigonométricas

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• calcular a medida de um arco, em radianos ou em graus, conhecendo o comprimento

desse arco e o raio da circunferência que o contém;• transformar a medida de um arco, de graus para radianos e vice-versa;• determinar as medidas dos arcos côngruos a um dado arco, em graus ou radianos;• relacionar as medidas, em graus ou radianos, associadas a pontos da circunferência

trigonométrica, simétricos em relação ao eixo das ordenadas, ao eixo das abscissas ouà origem do sistema cartesiano;

• associar números reais aos pontos da circunferência trigonométrica, identificandocada medida em radianos com o número real que a representa;

• estender os conceitos de seno e co-seno para arcos trigonométricos e ângulos não-agudos;• calcular o seno e o co-seno de 0°, 90°, 180°, 270°, 30°, 45°, 60° e de seus arcos

côngruos (analogamente para medidas em radianos);• determinar o sinal do seno e do co-seno em cada quadrante;• relacionar os senos e os co-senos de arcos trigonométricos com extremidades

simétricas em relação ao eixo das ordenadas, ao eixo das abscissas ou à origem dosistema cartesiano;

• resolver, em um intervalo limitado, equações trigonométricas imediatas em seno eco-seno;

• aplicar a propriedade do produto nulo na resolução de equações trigonométricas;• resolver equações trigonométricas através de equações polinomiais auxiliares;• resolver, em um intervalo limitado, inequações trigonométricas imediatas em seno e

co-seno;• utilizar o método gráfico na resolução de equações e inequações trigonométricas

imediatas.


19

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.Capítulo 16 Tangente de um arco trigonométrico e as razões recíprocas do seno,

do co-seno e da tangente

Conteúdo Objetivos

1. Tangente de um arco trigonométrico2. Tabela dos arcos notáveis3. Redução ao 1º quadrante4. Equações trigonométricas em tan-

gente5. Inequações trigonométricas em tan-

gente6. As razões recíprocas do seno, do co-

seno e da tangente

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• estender o conceito de tangente para arcos trigonométricos e ângulos não-agudos;• determinar o sinal da tangente em cada quadrante;• calcular a tangente de 0°, 180°, 30°, 45°, 60° e de seus arcos côngruos (analogamente

para medidas em radianos);• aplicar, na resolução de problemas, o conceito de tangente de um arco trigonomé-

trico;• relacionar as tangentes de arcos trigonométricos com extremidades simétricas em

relação ao eixo das ordenadas, ao eixo das abscissas ou à origem do sistemacartesiano;

• resolver, em um intervalo limitado, equações trigonométricas imediatas em tangenteusando recursos como o método gráfico, a propriedade do produto nulo e equaçõespolinomiais auxiliares;

• resolver, em um intervalo limitado, inequações trigonométricas imediatas em tangente;• calcular, quando existirem, a co-tangente, a secante e a co-secante dos arcos de 0°,

90°, 180°, 30°, 45°, 60° e de seus arcos côngruos (analogamente para medidas emradianos);

• resolver equações trigonométricas envolvendo as razões cotg x, sec x e cossec x.

Capítulo 17 Adição de arcos e arco duplo

Conteúdo Objetivos

1. Seno, co-seno e tangente dos arcosde medidas (a b) e (a b)

2. Seno, co-seno e tangente do arcoduplo

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• calcular o seno, o co-seno e a tangente da soma ou da diferença de dois arcos;• calcular o seno, o co-seno e a tangente de um arco duplo;• aplicar as fórmulas de arco duplo para relacionar o seno, o co-seno ou a tangente de

um arco de medida com o seno, o co-seno ou a tangente do arco de medida

Capítulo 18 Funções trigonométricas e resolução de triângulosConteúdo Objetivos

1. Conceituação2. Gráfico da função y sen x3. Gráfico da função y cos x4. Gráfico da função y = tg x5. Resolução de triângulos6. Cálculo da área de um triângulo

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• identificar as funções seno, co-seno e tangente e suas representações gráficas, bem

como analisar cada função segundo sua periodicidade, sinal, raízes e conjunto-imagem;• aplicar, na resolução de problemas, as funções seno, co-seno e tangente;• relacionar as medidas dos lados de um triângulo qualquer com o co-seno de um

ângulo interno (lei dos co-senos);• relacionar a razão entre a medida de um lado de um triângulo qualquer e o seno do

ângulo oposto com o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo (lei dos senos);• aplicar, na resolução de problemas, a lei dos senos e a lei dos co-senos;• calcular a área de um triângulo em função das medidas de dois lados e do ângulo

compreendido entre eles.

Capítulo 19 Matrizes

Conteúdo Objetivos

1. Um pouco de história2. Matriz3. Matrizes especiais4. Matrizes transpostas5. Elementos correspondentes em ma-

trizes do mesmo tipo6. Igualdade de matrizes


• representar genericamente uma matriz;

• construir uma matriz a partir da lei de formação;

• reconhecer uma matriz quadrada e identificar as diagonais principal e secundária;

• reconhecer as matrizes identidade e nula;

• transpor uma matriz;

2 ------- .


20

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Conteúdo Objetivos

7. Adição de matrizes8. Multiplicação de um número por

uma matriz9. Subtração de matrizes

10. Multiplicação de matrizes

• reconhecer elementos correspondentes em matrizes de mesmo tipo;• reconhecer matrizes iguais;• reconhecer matrizes opostas;• adicionar, subtrair e multiplicar matrizes;• multiplicar um número real por uma matriz.

Capítulo 20 Sistemas lineares

Conteúdo Objetivos

1. Os sistemas de equações no dia-a-dia

2. Equação linear

3. Sistema linear

4. Classificação de um sistema linear

5. Resolução de um sistema linear

6. Sistema linear escalonado

7. Sistemas lineares equivalentes

8. Escalonamento de um sistema linear


• reconhecer uma equação linear;

• determinar soluções de uma equação linear possível;

• classificar uma equação linear como possível ou impossível;

• resolver um sistema linear pelo método do escalonamento;

• classificar um sistema linear como possível e determinado, possível e indeterminadoou impossível;

• resolver problemas que envolvam sistemas de equações lineares.

Capítulo 21 O conceito de determinante e aplicações

Conteúdo Objetivos

1. Conceito de determinante

2. Discussão de um sistema linear

3. Sistema linear homogêneo


• calcular determinantes de ordens 2 e 3;

• discutir um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas,usando o conceito de determinante e a técnica do escalonamento;

• discutir um sistema linear com número de equações diferente do número deincógnitas, usando a técnica do escalonamento;

• reconhecer um sistema linear homogêneo;

• resolver um sistema linear homogêneo, usando a técnica do escalonamento;

• classificar um sistema linear homogêneo com número de equações igual ao númerode incógnitas, usando o conceito de determinante;

• classificar um sistema linear homogêneo com número de equações diferente donúmero de incógnitas, usando a técnica do escalonamento;

• discutir um sistema linear homogêneo com número de equações igual ao número deincógnitas, usando o conceito de determinante;

• discutir um sistema linear homogêneo com número de equações diferente do númerode incógnitas, usando a técnica do escalonamento.

Capítulo 22 Os princípios da análise combinatória

Conteúdo Objetivos

1. A arte de contar

2. Princípio fundamental de contagem

3. Princípio aditivo de contagem

4. Fatorial

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• aplicar o princípio fundamental de contagem;

• construir a matriz das possibilidades de dois ou mais experimentos simultâneos;

• aplicar o princípio fundamental de contagem para um número finito de experimentos simultâneos;

• aplicar o princípio aditivo de contagem na resolução de problemas;

• calcular o fatorial de um número natural;

• resolver equações envolvendo fatoriais.

continuação do capítulo 19


21

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 23 Agrupamentos e métodos de contagem

Conteúdo Objetivos

1. Tipos de agrupamento2. Arranjo simples3. Permutação simples4. Permutação com elementos repetidos5. Combinação simples6. Critério para diferenciar arranjo de

combinação7. O binômio de Newton

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• reconhecer um arranjo simples;• construir os arranjos simples formados por

p

elementos escolhidos dentre

n

elemen-tos distintos;

• calcular o número de arranjos simples de

n

elementos tomados

p

a

p

;• reconhecer uma permutação simples;• construir permutações de

n

elementos distintos;• calcular o número de permutações simples;• calcular o número de permutações com elementos repetidos;• reconhecer uma combinação simples;• construir as combinações simples formadas por

p

elementos escolhidos dentre

n

elementos distintos;• relacionar os números

C

n

,

p

e

A

n

,

p

;• calcular o número de combinações de

n

elementos tomados

p

a

p

;• aplicar a fórmula de Newton no desenvolvimento de (

x

a

)

n

, com

n

N

.

Capítulo 24 Geometria de posição e poliedros

Conteúdo Objetivos

1. As secções planas dos objetos2. O espaço e seus elementos3. Uma figura fundamental4. Posições relativas5. Perpendicularidade6. Projeção ortogonal7. Ângulos no espaço8. Poliedros9. Poliedros regulares

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• reconhecer figuras planas e figuras não-planas;• reconhecer retas paralelas, concorrentes e reversas;• reconhecer reta paralela a um plano, reta secante a um plano e reta contida em um

plano;• reconhecer planos paralelos e planos secantes;• reconhecer retas perpendiculares, reta perpendicular a um plano e planos perpen-

diculares;• achar a medida de ângulos determinados por duas retas reversas, por uma reta e um

plano e por dois planos;• identificar um poliedro e seus elementos (faces, vértices, arestas e diagonais);• classificar e nomear poliedros;• reconhecer poliedros convexos, poliedros não-convexos e poliedros regulares;• calcular o número de arestas de um poliedro a partir do número de faces e do número

de arestas por face;• calcular o número de arestas de um poliedro a partir do número de vértices e do

número de arestas por vértice;• aplicar a relação de Euler.

Capítulo 25 Prisma e pirâmide

Conteúdo Objetivos

1. Prisma2. Prisma reto e prisma oblíquo3. Prisma regular4. Paralelepípedo reto-retângulo5. Cubo6. O princípio de Cavalieri e o cálculo

do volume de um prisma7. Pirâmide8. Pirâmide regular9. Volume da pirâmide

10. Tronco de pirâmide de bases paralelas

Ao final deste capítulo, o aluno deve estar preparado para:• identificar um prisma reto e um prisma oblíquo;• reconhecer um prisma regular;• calcular a área lateral e a área total de um prisma;• reconhecer um paralelepípedo reto-retângulo e, em particular, um cubo;• calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo;• calcular a área total e o volume de um paralelepípedo reto-retângulo;• calcular o volume de um prisma;• identificar uma pirâmide;• reconhecer uma pirâmide regular;• relacionar a medida do apótema de uma pirâmide regular às medidas da altura e do

apótema da base;• calcular a área lateral e a área total de uma pirâmide;• calcular o volume de uma pirâmide;• calcular o volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas.


22

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 26 Corpos redondos

Conteúdo Objetivos

1. Introdução2. Cilindro circular3. Cilindro circular reto e cilindro cir-

cular oblíquo4. Cone circular5. Cone circular reto e cone circular

oblíquo6. Tronco de cone circular de bases pa-

ralelas7. Esfera

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• reconhecer um cilindro circular e seus elementos;• reconhecer um cilindro de revolução ou cilindro circular reto;• reconhecer um cilindro eqüilátero;• calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto;• calcular a área de uma secção meridiana de um cilindro circular reto;• calcular o volume de um cilindro circular;• reconhecer um cone circular e seus elementos;• reconhecer um cone de revolução ou cone circular reto;• reconhecer um cone eqüilátero;• relacionar as medidas do raio da base, da geratriz e da altura de um cone circular reto;• calcular a área lateral e a área total de um cone circular reto;• calcular a medida do ângulo do setor circular equivalente à superfície lateral de um

cone circular reto;• calcular a área de uma secção meridiana de um cone circular reto;• calcular o volume de um cone circular;• calcular o volume de um tronco de cone circular reto de bases paralelas;• reconhecer esfera e superfície esférica;• reconhecer plano secante, plano tangente e plano exterior a uma esfera;• relacionar as medidas do raio de uma esfera, do raio de uma secção plana e da

distância da secção ao centro da esfera;• calcular o volume de uma esfera;• calcular a área de uma superfície esférica;• reconhecer um fuso esférico e calcular sua área;• reconhecer uma cunha esférica e calcular o seu volume;• reconhecer esferas tangentes.

Capítulo 27 Probabilidade

Conteúdo Objetivos

1. A origem da teoria das probabilidades2. O conceito de probabilidade3. Definição de probabilidade4. Adição de probabilidades5. Probabilidade condicional6. Multiplicação de probabilidades

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• reconhecer um experimento aleatório;• determinar o espaço amostral de um experimento aleatório;• formar eventos de um espaço amostral;• determinar o número de elementos de um espaço amostral ou de um evento;• calcular a probabilidade de ocorrer um elemento de um evento de um espaço amostral;• reconhecer eventos complementares;• aplicar as propriedades das probabilidades;• identificar o conectivo

ou

com a união de eventos, e o conectivo

e

com a intersecçãode eventos;

• calcular a probabilidade da união de dois eventos;• aplicar o teorema da adição de probabilidades;• calcular probabilidades condicionais;• reconhecer eventos independentes;• calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos;• identificar o tipo de problema em que se pode aplicar o teorema da multiplicação de

probabilidades.

Capítulo 28 Geometria analítica: ponto e reta

Conteúdo Objetivos

1. A origem da geometria analítica2. Distância entre dois pontos3. Ponto médio de um segmento de reta4. Determinação de uma reta5. Condição de alinhamento de três

pontos6. Equação fundamental da reta7. As bissetrizes dos quadrantes e as

retas horizontais e verticais

Ao final do capítulo, o aluno deve estar preparado para:• calcular a distância entre dois pontos;• obter o ponto médio de um segmento;• identificar, graficamente, a inclinação de uma reta no plano cartesiano;• calcular o coeficiente angular de uma reta não-vertical, conhecendo sua inclinação ou

as coordenadas de dois de seus pontos;• verificar se três pontos do plano cartesiano são ou não colineares;• obter a equação de uma reta, conhecendo seu coeficiente angular e as coordenadas de

um de seus pontos;• obter as equações das retas bissetrizes dos quadrantes;• obter equações de retas horizontais e de retas verticais.


23

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 29 Formas da equação da reta, paralelismo e perpendicularidade

Conteúdo Objetivos

1. Generalidades sobre as equações da

reta

2. Equação geral da reta

3. Equação reduzida da reta

4. Retas perpendiculares

5. Equações paramétricas da reta


• representar qualquer reta do plano cartesiano por meio de uma equação geral;

• determinar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas concorrentes;

• representar qualquer reta não-vertical do plano cartesiano através da equação

reduzida, interpretando, geometricamente, o coeficiente de

x

(coeficiente angular) e

o termo independente (coeficiente linear);

• expressar a equação geral de uma reta não-vertical na forma reduzida;

• reconhecer a posição relativa de duas retas não-verticais a partir de seus coeficientes

angulares;

• determinar uma equação de uma reta paralela a uma reta dada;

• reconhecer a perpendicularidade entre duas retas não-verticais a partir de seus

coeficientes angulares;

• reconhecer a perpendicularidade entre duas retas, sendo uma delas vertical;

• determinar uma equação de uma reta perpendicular a uma reta dada;

• expressar as equações paramétricas de uma reta na forma geral ou na reduzida.

Capítulo 30 Complementos sobre o estudo da reta

Conteúdo Objetivos

1. Distância entre ponto e reta

2. Aplicações de determinantes na geo-

metria analítica

3. Representação gráfica de uma ine-

quação do 1

º

grau


• calcular a distância de um ponto a uma reta;

• calcular, por meio de um determinante de terceira ordem, a área de um triângulo,

conhecidas as coordenadas de seus vértices;

• verificar, por meio de um determinante de terceira ordem, se três pontos estão

alinhados ou não;

• obter, por meio de um determinante de terceira ordem, a equação de uma reta a partir

de dois de seus pontos;

• representar graficamente uma inequação do 1

º

grau;

• representar graficamente as soluções de um sistema de inequações do 1

º

grau.

Capítulo 31 Equações da circunferência

Conteúdo Objetivos

1. Equação reduzida de uma circunfe-

rência

2. Equação normal de uma circunfe-

rência

3. Reconhecimento de uma circunfe-

rência

4. Posições relativas entre um ponto e

uma circunferência

5. Posições relativas entre uma reta e

uma circunferência


• obter a equação reduzida de uma circunferência, conhecendo o raio e as coordenadas

do centro dessa circunferência;

• determinar o raio e as coordenadas do centro de uma circunferência a partir da

equação reduzida dessa circunferência;

• obter a equação normal de uma circunferência, conhecendo o raio e as coordenadas

do centro dessa circunferência;

• determinar o raio e as coordenadas do centro de uma circunferência, a partir da

equação normal dessa circunferência;

• reconhecer se uma equação do tipo

Ax

2

By

2

Cxy

Dx

Ey

F

0, nas

variáveis

x

e

y

, representa ou não uma circunferência;

• reconhecer a posição relativa entre um ponto e uma circunferência;

• reconhecer a posição relativa entre uma reta e uma circunferência;

• determinar as coordenadas do(s) ponto(s) de intersecção de uma reta com uma

circunferência.


24

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 32 Conjunto dos números complexos

Conteúdo Objetivos

1. Número complexo

2. Operações elementares com números

complexos

3. Potências de números complexos com

expoente inteiro

4. Representação geométrica do conjunto

dos números complexos

5. Módulo de um número complexo


• conceituar número complexo e representá-lo na forma algébrica;

• operar com números complexos na forma algébrica;

• calcular potências de expoente inteiro de i e de números complexos na forma

a

b

i,

com

a

,

b

R

;

• interpretar geometricamente um número complexo;

• calcular o módulo de um número complexo;

• aplicar as propriedades dos módulos de um número complexo;

• determinar o lugar geométrico dos afixos dos números complexos que satisfazem

uma determinada propriedade.

Capítulo 33 Polinômios

Conteúdo Objetivos

1. Expansão polinomial de um número

2. Polinômio em uma variável

3. Identidade de polinômios

4. Operações com polinômios

5. Fração polinomial

6. Divisão de um polinômio por um bi-

nômio do 1

º

grau


• reconhecer um polinômio;

• determinar o grau de um polinômio não identicamente nulo;

• calcular o valor numérico de um polinômio;

• aplicar o conceito de identidade de polinômios;

• efetuar adições, subtrações e multiplicações com polinômios;

• dividir polinômios pelo método da chave;

• aplicar o teorema do resto e o de D’Alembert;

• aplicar o conceito de identidade de frações polinomiais;

• verificar se um polinômio

P

(

x

) é divisível por

kx

a

, com

k

0;

• aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini na divisão de um polinômio

P

(

x

) por

kx

a

, com

k

0.

Capítulo 34 Equações polinomiais

Conteúdo Objetivos

1. Um pouco de história

2. Equação polinomial ou algébrica

3. Teorema fundamental da álgebra

4. Teorema da decomposição

5. Número de raízes de uma equação

polinomial

6. Raízes imaginárias

7. Raízes racionais

8. Relações de Girard


• reconhecer uma equação polinomial;

• determinar o grau de uma equação polinomial;

• obter as raízes de uma equação do 3

º

grau, conhecendo uma delas;

• aplicar o teorema fundamental da álgebra e o teorema da decomposição;

• determinar a multiplicidade de uma raiz de uma equação polinomial;

• aplicar o teorema das raízes imaginárias e o teorema das raízes racionais;

• aplicar as relações de Girard em equações polinomiais.


25

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

9. Sugestões para o desenvolvimento dos capítulos

Capítulo 1

Conjuntos

Discutir com os alunos o texto do item 1, concluindoque, além da definição de infinito e de muitas outrascontribuições, a teoria dos conjuntos uniformizou alinguagem em todos os ramos da Matemática. EmGeometria, por exemplo, dizemos que um ponto

per-tence

a uma reta, que uma reta

está contida

em umplano, que a

intersecção

de dois planos secantes éuma reta. Explicar a necessidade dos conceitos pri-mitivos.

Conjuntos numéricos:

NNNN

,

ZZZZ

,

QQQQ

,

QQQQ

e

RRRR

I. A introdução aos conjuntos numéricos pode serfeita a partir do texto do item 12, discutindo-se aidéia de número e as necessidades de ampliaçãodos conjuntos numéricos.

II. Apresentar uma particularidade capaz de deter-minar a classificação de um número. Não é ne-cessária uma definição formal. Por exemplo:• número

natural

é aquele que resulta de conta-gem de unidades;

• número

inteiro

é qualquer número natural ou ooposto desse número;

• número

racional

é todo aquele que pode ser re-presentado sob a forma decimal finita ou infi-nita periódica;

• número

irracional

é todo aquele que pode serrepresentado sob a forma decimal infinita não-periódica;

• número

real

é todo aquele que pode ser repre-sentado sob a forma decimal, finita ou infinita.

III. Alguns alunos têm dificuldade em visualizar odiagrama abaixo, em especial o conjunto

Q

(dosnúmeros irracionais).

Um recurso que pode ajudar é pedir que essesalunos coloquem os seguintes números nos luga-

res adequados: 0; 4;

3;

3,22222...;

IV. Uma dúvida muito comum diz respeito à igualda-de 0,999999...

1. Pode-se questionar:• Se 0,999999... fosse menor que 1, então existi-

riam infinitos números reais entre 0,999999...e 1. Determinem um número r eal entre0,999999... e 1.

Resposta

: Não existe.

• Considerem uma fita de 1 m de comprimento.Cortando essa fita em três partes de mesmocomprimento, qual é o número na forma deci-mal que representa a medida, em metros, decada pedaço?

Resposta

: 0,333333...• Qual é a soma dos três números na forma deci-

mal que representam as medidas desses peda-ços?

Respostas

: 0,999999...Portanto 0,999999

1.

V. Vale a pena enfatizar o método a seguir para seobter uma aproximação de Seja

d

o número positivo cuja segunda potênciaé 2, isto é,

d

O número

d

está entre 1,4 e 1,5, pois (1,4)

2

1,96e (1,5)

2

2,25.A média aritmética de 1,4 e 1,5 é 1,45. Como1,4

d

1,5 e (1,45)

2

2,1025, podemos di-minuir um pouco o intervalo no qual certamenteestá o número

d

, ou seja, 1,4

d

1,45.A média aritmética de 1,4 e 1,45 é 1,425. Como1,4

d 1,45 e (1,425)2 2,030625, podemosdiminuir um pouco mais o intervalo no qual certa-mente está o número d, ou seja, 1,4 d 1,425.A média aritmética de 1,4 e 1,425 é 1,4125. Como1,4 d 1,425 e (1,4125)2 1,99515625, po-demos diminuir ainda mais o intervalo no qualcertamente está o número d, ou seja:

1,4125 d 1,425

Esse processo pode ser continuado indefinida-mente, pois d é um número irracional.

Pode-se propor como exercício o cálculo, portentativa e erro, da melhor aproximação por falta,com uma casa decimal, dos números: ,

e

ResoluçãoTemos que (1,7)2 2,89 e (1,8)2 3,24; logo, amelhor aproximação é 1,7. Analogamente, temos

2,2; 2,4 e 3,1.

Capítulo 2

Equações do 1ºººº grau

I. Iniciar o assunto a partir do problema propostono item 1 do capítulo. Perguntar aos alunos se épossível descobrir o valor de cada prestação. Es-pera-se que algum aluno subtraia do valor do car-ro o valor da entrada, e divida o restante pelo nú-mero de prestações.

NZ Q

Q

R

3 8 ------; 5

2 .

2 .

3 , 5 6 10 .

5 6 10


26

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Após a discussão, enfatizar que essa resoluçãoequivale a determinar o valor desconhecido nasentença:

1.500 12x 15.570

II. Pedir aos alunos outros exemplos do cotidianoque exijam a determinação de um valor desco-nhecido (resolução de equações).

Inequações do 1ºººº grau

I. Conceituar inequação a partir do exemplo apresen-tado no item 2 (a solução deve ser discutida com osalunos). Sugerimos que se formem grupos de doisou três alunos para formular outras questões nesseproblema, por exemplo: e para ser classificadacomo normal? Apresentar mais exemplos.Exemplo 1Em uma escola, a média mínima para aprovaçãoautomática é 6,0. Essa média, em cada matéria, écalculada pela expressão:

em que as letras a, b , c e d representam as notas(de zero a dez) do 1º, 2º, 3º e 4º bimestre, respec-tivamente. Se as notas de um aluno, em História,foram 6,8; 6,0 e 7,0 nos três primeiros bimestres,respectivamente, qual deve ser sua nota no 4º bi-mestre para que seja aprovado automaticamente?

Pedir aos alunos que resolvam o problema, mos-trando a seguir que a resolução equivale a deter-minar os possíveis valores de d que tornam ver-dadeira a sentença:

6

Exemplo 2No dia 1º de julho, João aplicou R$ 3.000,00 emum fundo de investimento A e R$ 3.012,00 emum fundo B. Em cada dia de julho o fundo A ren-deu R$ 1,80 ao dia, e o fundo B rendeu R$ 1,20ao dia. Em que dias de julho o montante no fundoA foi superior ao do fundo B?

ResoluçãoSendo x o número dos dias em que o dinheiro es-teve aplicado, vamos determinar os valores de xque satisfaçam a condição:

3.000 1,80x 3.012 1,20x

Resolvendo essa inequação, obtém-se x 20; lo-go, o montante no fundo A foi maior que o dofundo B, de 21 a 31 de julho.

II. Pedir aos alunos outros exemplos do cotidianoque exijam a resolução de uma inequação.

Sistemas de equações do 1ºººº grau

Pode-se conceituar sistema de equações a partir dosexemplos:Exemplo 1Um retângulo com perímetro de 28 cm tem na base2 cm a mais do que na altura. Qual é a medida da basee a da altura desse retângulo?Exemplo 2Em um treino para uma corrida de Fórmula 1, um pi-loto deu duas voltas em um circuito: a primeira voltaem 5,04 minutos e a segunda em 4,5 minutos. Na se-gunda volta, sua velocidade média aumentou de30 km/h em relação à primeira volta. Qual a extensãodesse circuito, em km?ResoluçãoSabendo que 30 km/h equivalem a 0,5 km/min, e in-dicando por d a extensão do circuito e por v a veloci-dade média na primeira volta, temos:

Resolvendo o sistema, obtém-se d 21; logo, o cir-cuito tem 21 km de extensão.

Equação do 2ºººº grau

Iniciar o assunto com a situação que introduz o item 4.Apresentar outros problemas cuja solução exija a reso-lução de uma equação do 2º grau, como, por exemplo:Uma classe de 30 alunos decidiu comprar uniformespara a equipe de basquetebol que representará a classeno campeonato interno do colégio. O custo dos unifor-mes, que foi de R$ 480,00, seria dividido em partesiguais entre os 30 alunos da classe. Porém, alguns alu-nos não puderam pagar e, por isso, a quantia que cor-responderia a esses alunos foi dividida em partesiguais entre os demais. Sabendo que cada aluno pagan-te contribuiu com R$ 0,80 por aluno não-pagante, cal-cule o número de alunos que não puderam pagar.

ResoluçãoIndicando por x o número de alunos não-pagantes, onúmero de alunos pagantes será 30 x. Como cadaaluno pagante desembolsou 16 0,80x, temos:

(30 x)(16 0,80x) 480 ⇒ 0,80x2 8x 0 x 10 ou x 0 (não convém)Logo, 10 alunos não puderam pagar.

Porcentagem

Mostrar alguns problemas de porcentagem, destacan-do os cuidados necessários na sua resolução. Porexemplo:

• Aumentando-se em 10% cada lado de um quadra-do, em quanto por cento aumenta o seu perímetro?

a b 2 c 2 d 6

-------------------------------------------------------

6,8 6,0 2 7,0 2 d 6

---------------------------------------------------------------------

5,04v d

4,5(v 0,5) d


27

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.ResoluçãoComo a porcentagem é um valor relativo, podemosresolver o problema com um quadrado particular.Por exemplo:

O perímetro do quadrado A é 40 e o perímetro doquadrado B é 44; logo, de A para B, o perímetro au-menta em 10%.Um erro comum na resolução desse problema é so-mar as porcentagens, concluindo que o perímetroaumenta de 40%.

• Um piso de 36 m2 será revestido com lajotas. Sa-bendo-se que há 10% de perda na sua colocação,devido a cortes e quebras, quantos metros quadra-dos de lajotas devem ser comprados?ResoluçãoSendo x a quantidade de m2 de lajotas que deve sercomprada, temos:

x 0,1x 36 ⇒ x 40

Logo, devem ser comprados 40 m2 de lajotas.Um erro comum na resolução desse problema écalcular a quantidade de m2 de lajotas por36 0,1 36.

Capítulo 3

Ângulos em um triânguloAntes de demonstrar que a soma das medidas dos ân-gulos internos de um triângulo é 180°, pode-se reali-zar a seguinte experiência:Pede-se a um aluno que recorte um triângulo qual-quer em uma folha de papel, desenhando, nesse triân-gulo, arcos de mesmo raio centrados nos vértices. Aseguir, ele deve recortar os “bicos” do triângulo e co-locá-los lado a lado, mostrando que os três arcos for-mam meia circunferência e, portanto, 180°.

Uma experiência análoga à anterior pode ser feita an-tes da demonstração do teorema do ângulo externo,como mostra a figura a seguir:

Semelhança de triângulos

Apresentar os casos de semelhança a partir da se-guinte experiência:Mostram-se dois triângulos de tamanhos diferentes,recortados em cartolina, e, sobrepondo ângulos, mos-tram-se que dois ângulos BA e BB de um triângulo sãocongruentes a dois ângulos BD e BE do outro, respecti-vamente. A seguir, pergunta-se:a) Que relação existe entre as medidas dos outros

dois ângulos BC e BF desses triângulos?Resposta: São iguais.Justificativa

⇒ x y

b) Se o lado tABu cabe duas vezes no lado tDEu, quan-tas vezes o lado tACu cabe no lado tDFu?Resposta: 2 vezesE quantas vezes o lado tBCu cabe no lado tEFu?Resposta: 2 vezesJustificativa

Os ângulos correspondentes BBEF e ABBC são con-gruentes; logo, ,BC- / ,EF-. Assim, pelo teorema de

Tales, temos , mas como

concluímos que ou se-

ja, o lado tACu cabe 2 vezes no lado tDFu.Mudando as posições dos triângulos, conforme afigura a seguir, e repetindo o raciocínio, temos,

pelo teorema de Tales, mas como

concluímos que ou se-

10

10

A 11

11

B

a a cc

bb

a c ac eb b

B

Cx

A

E

Fy

D

x 180

y 180

E

F

CB

A D

AB DE ------------ AC

DF ------------

AB DE ------------ 1

2 ------, AC

DF ------------ 1

2 ------,

BC EF ----------- AC

DF ------------,

AC DF ------------ 1

2 ------, BC

EF ----------- 1

2 ------,


28

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ja, tBCu cabe 2 vezes em tEFu.

Ressaltando que essa experiência mostra que ascondições A.A. são suficientes para garantir a se-melhança dos triângulos, conclui-se que qualquerconjunto formado por uma quantidade mínima decondições capazes de garantir a semelhança de doistriângulos é chamado de caso de semelhança.

Capítulo 4

Circunferência e círculo

I. Apresentar os conceitos de circunferência e cír-culo, pedindo aos alunos exemplos de objetos docotidiano que têm a forma de uma circunferênciae de objetos que têm a forma de um círculo (o arode uma cesta de basquetebol lembra uma circun-ferência; uma pizza tem a forma de um círculo).

II. Definir as posições relativas entre duas circunfe-rências, enfatizando que, em duas circunferên-cias tangentes, os centros e o ponto de tangênciasão colineares.

III. Definir a medida de um arco em graus como amedida do ângulo central correspondente. Co-mentar aplicações do conceito de ângulo centralna determinação da latitude e da longitude de umponto sobre a superfície da Terra.Pode-se pedir aos alunos que determinem, com oauxílio de um globo terrestre, a latitude e a longi-tude de sua cidade.

Perímetro da circunferência

Para a apresentação do número π, pode-se pedir aosalunos que recortem em papelão um círculo de qual-quer tamanho, medindo o seu contorno e o seu diâ-metro, com o auxílio de uma fita métrica. A seguir,pede-se que dividam a medida do contorno pela me-dida do diâmetro, anotando no quadro-de-giz os re-sultados obtidos (com apenas uma casa decimal), ecomentando que a razão entre perímetros e diâmen-tros é a mesma constante para qualquer círculo. Fi-nalmente, depois de apresentar o método de Arqui-medes para o cálculo de π, comenta-se a irracionali-dade de π e conclui-se que o perímetro c de uma cir-cunferência de raio r é dado por c 2πr.

Área de alguns polígonos

O cálculo da área do retângulo é fundamental, pois, apartir dele, serão deduzidos os cálculos das demaisáreas.Enfatizar que a área do losango também pode ser cal-culada como o produto das medidas da base pelaaltura, pois o losango é, também, um paralelogramo.

Área do círculo e de suas partes

I. Apresentar o cálculo da área do círculo. É impor-tante que o aluno pense no porquê da fórmulaA πr2, para que ela tenha um significado.

II. Ressaltando que a área de um setor circular é di-retamente proporcional à medida do ângulo cen-tral, mostrar o cálculo dessa área através de umaregra de três. Um exercício interessante que podeser proposto nesse momento é o seguinte:Calcule a área de um setor circular de raio 6 cmcujo arco mede 8 cm.ResoluçãoO comprimento do arco de um setor circular é di-retamente proporcional à área do setor; logo:

III. Ao calcular a área da coroa circular, pedir aosalunos exemplos de objetos que têm a forma des-sa figura geométrica (arruela, compact disc, anelviário circular etc.).

Capítulos 5 e 6

Sistema cartesiano

Nem sempre a posição de um ponto é determinadaapenas por um número, às vezes é necessária mais deuma informação. Por exemplo, a localização de umacadeira em um teatro é determinada por uma letra eum número (fila G, cadeira 12); a localização de umponto sobre a superfície terrestre é determinada porduas medidas: a latitude e a longitude. Pedir outrosexemplos aos alunos e, depois, mostrar como locali-zar um ponto no plano através do sistema ortogonalde coordenadas cartesianas. Como curiosidade pode-se contar que a palavra ortogonal vem do gregoorthógonos, cujo significado é “que tem ângulos re-tos”. Assim, sistema ortogonal de coordenadas éaquele formado por eixos perpendiculares.

E

A

B

D

F C

Comprimento do arco (cm)

Área (cm2)

2π 6

8

π 62

x

x 24 cm2


29

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.O conceito de função

Antes da formalização do conceito de função, é im-portante que o aluno observe algumas situações en-volvendo funções no cotidiano. Após o exemplo in-trodutório apresentado no livro (item 2), podem-secitar outros exemplos:• o comprimento de um fio de cabelo em função do

tempo;• o consumo de combustível de um automóvel em

função da distância percorrida;• o faturamento de uma empresa em função do nú-

mero de unidades vendidas etc.Pedir outros exemplos aos alunos.

Análise gráfica

Um modo sugestivo de apresentar esse assunto é dese-nhar no quadro-de-giz os gráficos a seguir (circunfe-rência e semicircunferência) de duas correspondências

f : [3, 7] → R g: [3, 7] → R

Depois, perguntar:a) O elemento 6 possui quantas imagens através de f?

b) O elemento 6 possui quantas imagens através de g?

c) Cada elemento do intervalo [3, 7] possui quantasimagens através de g?

d) A correspondência f é função? Por quê?

e) A correspondência g é função? Por quê?

Após essa discussão, pode-se mostrar que:• Se uma reta paralela ao eixo Oy intercepta o gráfico

de uma correspondência R em mais de um ponto,então R não é função.

• Um gráfico representa uma função de A em B se, esomente se, qualquer reta paralela ao eixo Oy, pas-sando por um ponto qualquer de abscissa x, x A,intercepta o gráfico em um único ponto.

Este é o momento oportuno para apresentar a deter-minação do domínio e do conjunto-imagem de umafunção através do gráfico.

Função constante, função crescente e função decrescente

Antes de formalizar os conceitos de função constan-te, função crescente e função decrescente, mostrarexemplos concretos, tais como:

a) De janeiro a junho do ano de 2003, o preço de umdeterminado automóvel era de R$ 16.780,00, nãosofrendo alteração nesse período; por isso, dize-mos que a função f que expressa o preço desseautomóvel em função do tempo t é constante noperíodo de janeiro a junho de 2003.

b) Uma torneira fornece água para uma piscina. Afunção que expressa o volume de água contida napiscina em função do tempo, desde a abertura datorneira até o final do trabalho, é crescente, pois,quanto maior o tempo decorrido, maior será o vo-lume de água na piscina.

c) Um ralo escoa a água de uma piscina. A funçãoque expressa o volume de água contida na pisci-na em função do tempo, desde a abertura do raloaté o esvaziamento total, é decrescente, pois,quanto maior o tempo decorrido, menor será ovolume de água na piscina.

Funções inversas

Explorar o exemplo introdutório, enfatizando que:• o gráfico 1 representa uma função de domínio

A 0, 1, 2, 3, 4, 5 e imagem B 1.000, 1.200,1.400, 1.600, 1.800, 2.000;

• o gráfico 2 representa uma função de domínioB 1.000, 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000 eimagem A 0, 1, 2, 3, 4, 5;

• se um número b é imagem de um número a em umdos gráficos, então a é imagem de b no outro; porexemplo, no gráfico 1, o número 1.800 é imagemde 4 e, no gráfico 2, o número 4 é imagem de 1.800.Essas condições garantem que as funções represen-tadas por esses gráficos sejam inversas uma daoutra.Ressaltar a condição necessária e suficiente paraque uma função admita inv ersa: Uma função f : A → B é invertível se, e somente se, f é umacorrespondência biunívoca entre A e B.Pedir aos alunos que justifiquem o procedimento aseguir para a obtenção da função inversa:Se a função real de variável real y f(x) é invertí-vel, sua inversa é obtida do seguinte modo:

I. Trocamos x por y e y por x, escrevendo x f(y).II. Isolamos a variável y após a mudança de variáveis,

obtendo y f1(x).

x

f

y

9

5

3 70 x

g

y

7

5

3 70


30

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Capítulo 7

Função polinomial do 1‚‚‚‚ grau

Observar que:• quando o gráfico da função polinomial do 1º grau

passa pela origem do sistema (função linear), osvalores de y são diretamente proporcionais aos cor-respondentes valores de x; como na função y 2x.Por exemplo:

• quando o gráfico da função polinomial do 1º graunão passa pela origem do sistema, os valores de ynão são diretamente proporcionais aos valores de x,porém, as diferenças y (variações) dos valores dey são proporcionais às diferenças x (variações)entre os valores correspondentes de x; como nafunção y 1.000 2x. Por exemplo:

Atentar para o fato de que é exatamente o co-

eficiente de x na função y 1.000 2x.

Função definida por mais de uma sentença

Após a apresentação da função definida por mais deuma sentença, através do exemplo que introduz oitem 3, apresentar outros.

Exemplo

A distribuidora de energia elétrica de um Estado co-bra uma taxa mínima de R$ 10,00 de cada consumi-dor. Além dessa taxa, cada cliente paga R$ 0,07 porkWh, pelos 30 primeiros kWh consumidos; eR$ 0,10 por kWh pelo que ultrapassar 30 kWh deconsumo. O valor f (x), em reais, pago em função doconsumo x, em kWh, de cada cliente é descrito pelafunção:

f(x)

cujo gráfico é:

Inequações

Antes de apresentar o texto do livro, discutir com osalunos a questão: sendo a e b números reais:a) sob que condições tem-se a b 0?

Resposta: a 0 e b 0 ou a 0 e b 0b) sob que condições tem-se a b 0?

Resposta: a 0 e b 0 ou a 0 e b 0

c) sob que condições tem-se 0?


d) sob que condições tem-se 0?


Em seguida, discutir com os alunos a resolução dainequação:(x 2)(2x 8) 0, de acordo com a resposta obtidana pergunta a.Como o produto é positivo, temos duas possibilidades:

ou

de onde se obtém o conjunto solução:

S x R x 2 ou x 4.

Comentar que o estudo do sinal do produto das funções

f(x) x 2 e g(x) 2x 8

também pode ser feito a partir dos gráficos dessasfunções:

• À esquerda de 2, as duas funções assumem valoresnegativos e, portanto, o produto delas é positivo.

• Entre 2 e 4, f assume valores positivos e g assume va-lores negativos e, portanto, o produto f g é negativo.

• À direita de 4, as duas funções assumem valorespositivos e, portanto, o produto delas é positivo.

Concluímos, assim, que f g 0 se, e somente se,x 2 ou x 4.Mostrar também que esse estudo pode ser feito atra-vés de um quadro confeccionado da seguinte maneira:1º) Marcam-se no eixo real as raízes das funções f e

g , indicando a variação de sinal de cada uma:

2 1 ------ 4

2 ------ 6

3 ------

1.004 1.000 2 0

-------------------------------------- 1.006 1.004 3 2

-------------------------------------- 2 1 ------

y x ----------

10 0,07x, se x 30

12,10 0,10x, se x 30

x (kWh)

y (R$)

30

10

0

12,10

16,10

40

a b ------

a b ------

x 2 0

2x 8 0

x 2 0

2x 8 0

x

yf

g

2 4

2x – 8 – – +x – 2 – + +

2 4

x


31

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.2º) A seguir, indica-se a variação de sinal do produto

das duas funções:

Como queremos f g 0, devemos ter x 2 oux 4.

Capítulo 8

Função quadrática

Apresentar a função polinomial do 2º grau a partir doproblema do item 1 do capítulo.Discutir com os alunos como se obtém a igualdade:

f(x) x ou ainda,

f(x) 50x

Inequação-produto e inequação-quociente

O aluno já trabalhou com inequações-produto e ine-quações-quociente envolvendo funções polinomiaisdo 1º grau. O objetivo, agora, é ampliar um poucoessa idéia.Apresentar os gráficos das funções:

f(x) 4 x e g(x) 1

A seguir, montar a expressão:

(4 x)

Propor as perguntas a seguir.• Se atribuirmos o valor 5 para x, essa expressão será

positiva ou negativa?• Se atribuirmos o valor 6 para x, essa expressão

será positiva ou negativa?

• Se atribuirmos o valor para x, essa expressão

será positiva ou negativa?• Se atribuirmos o valor 17.953 para x, essa expres-

são será positiva ou negativa?

Verificar se algum aluno percebeu a técnica para des-cobrir o sinal da expressão somente observando os grá-ficos. Se ninguém descobriu, insistir com novas per-guntas. Isso faz com que toda a classe pense no assunto.O desfecho é a resolução da inequação-produto:

(4 x) 0

Observando os gráficos, temos que:a) para todo x à esquerda de 3, as duas funções f e

g assumem valores positivos, portanto f g 0;

b) para todo x entre 3 e 3, a função f assume valo-res positivos, e a função g assume valores nega-tivos, portanto f g 0;

c) para todo x entre 3 e 4, as duas funções f e g as-sumem valores positivos, portanto f g 0;

d) para todo x à direita de 4, a função f assume va-lores negativos, e a função g assume valores po-sitivos, portanto f g 0.

Concluímos, então, que o conjunto solução da ine-quação é:

S x R x 3 ou 3 x 4

Capítulo 9

Módulo de um número real

Utilizando o exemplo do livro (item 1), continuar for-mulando questões:a) Se essa pessoa se deslocar do ponto C até o ponto

O, que distância percorrerá? Como você calculaessa distância, usando as abscissas de C e O?Resposta: 0 (4) 4

b) Se essa pessoa se deslocar do ponto C até o pontoD de abscissa 1, que distância percorrerá?Como você calcula essa distância, usando as abs-cissas de C e D?Resposta: 1 (4) 3

Após essa discussão, formalizar os conceitos de distân-cia entre dois pontos e de módulo de um número real.

Capítulo 10

Função exponencial

I. Apresentar a função exponencial a partir de umproblema, como, por exemplo, o cálculo do mon-tante acumulado em uma aplicação financeira ajuro composto.• Um capital de 1 milhão de reais foi aplicado à taxa

de juro composto de 30% ao ano. O crescimento

2x – 8 – – +

(x – 2)(2x – 8) + – +

x – 2 – + +2 4

x

[50 x

1.000 ----------------]

x2

1.000 ----------------

x2 9

--------

x

y

4

–1

3–3 40

[ x2 9

-------- 1]

1 129 ------------

[ x2 9

-------- 1]


32

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

do montante acumulado (capital juro) é des-crito pela tabela:

Note, portanto, que o montante M é função do tem-po t , pois M (1,3)t . Funções como essa, em quea variável está no expoente de uma constante posi-tiva e diferente de 1, são chamadas de funções ex-ponenciais.

II. Comentar que as medidas de grandezas que cres-cem ou decrescem através do produto por umataxa constante (juro composto, crescimento po-pulacional, decaimento radioativo, valorizaçãoou depreciação de um bem etc.) podem ser estu-dadas por meio das progressões geométricas oupor meio da função exponencial. Por exemplo, aidade dos fósseis é determinada por fórmulas ma-temáticas que envolvem a função exponencial,relacionando o tempo de desintegração dos isóto-pos radioativos com a quantidade de tais isótopospresente num certo resíduo de matéria orgânica.

III. Após essa introdução, construir, com a participa-

ção dos alunos, os gráficos das funções f (x) 2x

e f(x) enfatizando que a primeira é

crescente, porque a base é maior do que 1, e quea segunda é decrescente, porque a base está entre0 e 1. Observando que os gráficos dessas funçõesse aproximam indefinidamente do eixo Ox, res-saltar que nenhuma delas se anula.

Capítulo 11

Logaritmos

Pode-se introduzir o conceito de logaritmo a partir doseguinte problema:• Um capital de 1 milhão de reais foi aplicado à taxa

de juro composto de 30% ao ano. Qual o tempo ne-cessário para que o montante acumulado atinja1,6 milhão de reais?Vimos que o montante M acumulado em t anos édado por M (1,3)t e, portanto, a resposta a essapergunta é a raiz da equação 1,6 (1,3)t.Para determinar o valor de t , vamos desenvolver

uma teoria criada por John Napier, por volta de1610. O valor de t será chamado de logaritmo de1,6 na base 1,3, ou abreviadamente t log1,3 1,6.

Equação logarítmica

Exemplificar a utilização de uma equação logarít-mica:A medida N do nível sonoro, em decibéis, em funçãoda potência I de som, em watts por centímetro qua-drado, é dada por:

N log

Em um show de rock, constatou-se que a medida donível sonoro, em decibéis, era o dobro da medidado nível sonoro obtida no centro da cidade de SãoPaulo na hora de trânsito intenso, em que a potênciaera de 108 watts por cm2. Determine a potência dosom no momento da medição do nível sonoro noshow de rock.ResoluçãoSendo I a intensidade de som, em watts por cm2, nomomento da medição do nível sonoro no show derock, temos:

log 2 log

log log

10160

1016

I 100 1

Concluímos, então, que a intensidade de som era de1 watt por cm2.

Equações como log 2 log ,

que apresentam a incógnita no logaritmando (ou nabase de um logaritmo), são chamadas de equações lo-garítmicas.

Capítulo 12

Seqüências

Conceituar intuitivamente seqüência, mostrando al-gumas aplicações no cotidiano: lista de chamada, có-digo de barras, ordem alfabética das palavras em umdicionário, ordem crescente na numeração das pági-nas de um livro etc.

AnoCapital (milhões de reais)

Juro(milhões de reais)

Montante(milhões de reais)

1 1 0,3 1 0,3 1,3

2 1,3 0,3 1,3 1 0,3 1,3 1,3 (1 0,3) (1,3)2

3 (1,3)2 0,3 (1,3)2 (1,3)2 0,3 (1,3)2 (1,3)2 (1 0,3) (1,3)3

4 (1,3)3 0,3 (1,3)3 (1,3)3 0,3 (1,3)3 (1,3)3 (1 0,3) (1,3)4

... ... ... ...

t ... ... (1,3)t

1 2 ------

x

,

I 10 16 ----------------

10

I 10 16 ----------------

10 10 8

10 16 ----------------

10

I 10 16 ----------------

10 10 8

10 16 ----------------

20

I 10 16 ----------------

10

I 10 16 ----------------

I 10 16 ----------------

10 10 8

10 16 ----------------

10


33

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.A comunicação por meio de seqüências é utilizadapelo homem desde que ele pronunciou suas primeiraspalavras ou, quem sabe, até antes disso. Na fala doshumanos, ocorrem seqüências de palavras, e na for-mação de palavras há seqüências de fonemas. A mú-sica é um modo de comunicação que também apre-senta seqüências: seqüências de notas musicais. Demodo geral, qualquer sistema de códigos é formadopor seqüências: de símbolos, sons, cores etc.

Progressão aritmética

I. Iniciar o estudo das progressões aritméticas a partirda seqüência apresentada no item 3 do capítulo.Ressaltar que cada termo dessa seqüência, a partirdo segundo, é a soma do termo anterior com aconstante 2.000 e, por isso, a seqüência de númerosé chamada de progressão aritmética (P.A.) derazão 2.000. Pedir outros exemplos aos alunos.

II. Para motivar o estudo da soma dos n primeirostermos de uma P.A., também pode-se propor, an-tes da apresentação da fórmula, o problema:No mês de junho de 2002, a seleção brasileira defutebol sagrou-se pentacampeã mundial. Nesseperíodo, foi registrada a maior venda de todos ostempos de camisas da seleção. Para se ter umaidéia, durante uma entrevista, o dono de uma lojaespecializada em artigos esportivos afirmou quevendeu 80 camisas da seleção no primeiro dia dejunho e, em cada um dos demais dias desse mês,vendeu 20 camisas a mais que no dia anterior.Quantas camisas foram vendidas por essa lojanos 30 dias do mês de junho?Resposta: 11.100

Progressão geométrica

I. Iniciar o estudo das progressões geométricas a par-tir da seqüência apresentada no item 4 do capítulo.Ressaltar que cada termo dessa seqüência, a partirdo segundo, é o produto do termo anterior pelaconstante 1,2 e, por isso, a seqüência de números échamada de progressão geométrica (P.G.) de ra-zão 1,2. Pedir outros exemplos aos alunos.

Veja outros exemplos:a) Uma população de bactérias, que hoje é de

1.000 indivíduos, dobra a cada dia. A seqüên-cia que apresenta essa população, dia a dia, é aP.G. (1.000, 2.000, 4.000, 8.000, 16.000, ...)de razão 2.

b) Uma porção de substância radioativa de10.000 g desintegra-se à taxa constante de 2%ao século. As medidas, em gramas, das massasremanescentes desse pedaço, século a século, éa P.G. (10.000, 9.800, 9.604, ...) de razão 0,98.

II. Para motivar o estudo da soma dos n primeirostermos de uma P.G., também pode-se propor, an-tes da apresentação da fórmula, o problema:Carlos fez um regime alimentar durante 9 sema-nas. Na primeira semana, emagreceu 4 kg e, emcada uma das demais semanas, emagreceu me-tade do que emagrecera na semana anterior.Quantos kg Carlos perdeu nessas 9 semanas?ResoluçãoPara responder a essa pergunta, vamos construira seqüência formada pelos quilogramas perdidosnesse período:

Note que essa seqüência é uma P.G. de razão

Indiquemos por S9 a soma de seus 9 termos:

S9 4 2 1

(I)

Para calcular essa soma, poderíamos reduzir asfrações ao mesmo denominador, porém vamosaplicar outra técnica. Inicialmente, multiplica-

mos por ambos os membros da igualdade (I):

2 1

(II)

Subtraindo as igualdades (I) e (II), membro amembro, obtemos:

S9 [4 2 1

[2 1

4

[4, 2, 1, 1 2 ------, 1

4 ------, 1

8 ------, 1

16 ---------, 1

32 ---------, 1

64------]

1 2 ------.

1 2 ------ 1

4 ------ 1

8 ------ 1

16 ---------

1 32 --------- 1

64 ---------

1 2 ------

S9 2

-------- 1 2 ------ 1

4 ------ 1

8 ------ 1

16 ---------

1 32 --------- 1

64 --------- 1

128 ------------

S9 2

-------- 1 2 ------ 1

4 ------ 1

8 ------

1 16 --------- 1

32 --------- 1

64 ---------]

1 2 ------ 1

4 ------

1 8 ------ 1

16 --------- 1

32 --------- 1

64 --------- 1

128 ------------]

S9 2

-------- 1 128 ------------


34

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

S9

Logo, Carlos emagreceu kg, ou seja, apro-

ximadamente 8 kg.

A técnica de cálculo mostrada nesse exemplopode ser generalizada para qualquer P.G. não-constante.

Capítulo 13

Noções de estatística

I. Escolhendo cinco alunos da classe, pede-se o nú-mero de pessoas que moram na casa de cada um(ou a nota de cada um na última prova). Anotan-do esses números no quadro-de-giz, ordenada-mente, pode-se definir rol.

II. Escolhendo 10, 20 ou 25 alunos, pede-se a esta-tura de cada um, em cm (essa escolha do númerode alunos tem o objetivo de facilitar o cálculo dafreqüência relativa). Anotando no quadro-de-gizas estaturas dos alunos, em cm, pode-se definirclasse unitária, construindo a tabela de distri-buição de freqüência e de freqüência relativa.

Representar a tabela construída por meio dos grá-ficos: de linha, de barras horizontais, de barrasverticais e de setores.

III. A partir da tabela de distribuição de freqüência daestatura dos alunos, conceituar classe não-unitá-ria, amplitude de classe e histograma.

Ressaltar que:• os extremos de uma classe não precisam neces-

sariamente pertencer à amostra;

• podemos construir histogramas com classes deamplitudes diferentes, porém, nesse caso, a al-tura de cada retângulo não será a freqüência da

classe [a altura de cada retângulo será em

que F e x são, respectivamente, a freqüênciae a amplitude da classe; por isso, é mais sim-ples adotar a mesma amplitude para todas as

classes] .

Medidas de posição

I. Apresentar mais exemplos na introdução do as-sunto:Três engenheiros de uma grande indústria testa-ram o tempo de duração de um novo tipo de lâm-pada. Para o teste, deixaram acesas, ininterrupta-mente, nove lâmpadas. A vida útil, em horas, decada lâmpada foi:890, 890, 890, 930, 950, 960, 970, 990 e 990No rótulo das lâmpadas que serão vendidas aosconsumidores, deve constar o tempo aproximadode vida útil de cada lâmpada. Para decidir sobreo número que melhor representasse esse tempo,um dos engenheiros escolheu o número 890, ooutro, 950, e o terceiro, 940, sob os seguintes ar-gumentos:

• o valor de maior freqüência é 890, logo o tem-po de vida mais provável é 890 horas;

• o valor 950 é o melhor por estar exatamente noponto médio do rol;

• o valor 940 é o melhor, pois, somando-se ostempos de duração das nove lâmpadas testadas,obtemos exatamente 9 940.

Observe que cada escolha está fundamentada emuma argumentação lógica e convincente. Em es-tatística, esses três números escolhidos são cha-mados, respectivamente, de moda, mediana emédia aritmética da amostra de números. Notipo de escolha desse exemplo, é usual adotar-sea média aritmética, 940, como o valor represen-tativo da amostra. Porém, dependendo da situa-ção, a moda ou a mediana podem ser a melhor es-colha. Por exemplo:

• Cada um de cinco remédios indicados contrainsônia foi testado em 20 pacientes e os resul-tados são descritos pela tabela:

Se você fosse um médico e tivesse que prescre-ver um desses remédios, qual indicaria?Resposta: O remédio E que corresponde àmoda.

S9 2

-------- 511 128 ------------

511 64

------------

511 64

------------

F x ----------

Remédio Número de resultados positivos

A 12

B 14

C 11

D 12

E 16


35

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.II. Pode-se fazer um aprofundamento no estudo das

médias.• Média geométrica de n números positivos x1,

x2, x3, ..., xn é o número g , tal que:

g

Aplicação

Dados os segmentos tABu de medida m e o seg-mento tCDu de medida n, construa, com régua ecompasso, um segmento tQT u cuja medida sejaa média geométrica entre m e n, isto é,

QT

Resolução

a) Constroem-se dois segmentos consecutivose colineares, tPQu, tQSu, de medidas m e n, res-pectivamente.

b) Constrói-se uma semicircunferência de diâ-metro tPSu.

c) Pelo ponto Q, traça-se a perpendicular a tPSu

que encontra a semicircunferência em T.O segmento tQTu tem medida

• Média harmônica de n números x1, x2, x3, ..., xn,todos diferentes de zero, é o número H, tal que:

H

Aplicação

Um homem viaja da cidade A para a cidade B,à velocidade média de 60 km/h. Na viagem devolta, de B para A, pelo mesmo caminho, o ho-mem viaja à velocidade média de 100 km/h.Determine a velocidade média de toda a via-gem, de ida e volta.Resolução

Sendo d a distância, em quilômetros, entre ascidades A e B, temos que:a) O tempo t1, em horas, gasto na ida foi

t1

b) O tempo t2, em horas, gasto na volta foi

t2

A velocidade média vm é definida como

vm Logo, temos:

vm

vm 75 km/h

Note que vm é a média harmônica entre as velo-

cidades 60 km/h e 100 km/h.

Medidas de dispersão

É importante que o aluno compreenda que as medi-das de dispersão mostram o quanto dos dados numé-ricos de uma amostra se distanciam entre si ou oquanto eles se distanciam de um valor prefixado co-mo, por exemplo, da média aritmética. A aplicaçãomais importante dessas medidas é a comparação dadispersão de duas amostras, geralmente com o obje-tivo de se determinar a mais regular (com menor dis-persão). Enfatizar que a comparação da dispersão deduas amostras pode ser feita com o desvio absolutomédio, com a variância ou com o desvio padrão.

Capítulo 14

Trigonometria no triângulo retângulo

I. Quando um observador vê um prédio sob um ân-gulo de medida , é possível estabelecer relaçõesentre , a altura do prédio e a distância entre oobservador e o prédio. O estudo dessas relaçõesé o objeto da trigonometria (tri gono me-

tria medida dos triângulos). Embora o termotrigonometria só tenha sido criado em 1595 pelomatemático Bartholomeus Pitiscus, há evidên-cias de que esse estudo tenha surgido há mais de3.500 anos.Para que o aluno entenda a idéia central da trigo-nometria, propor atividades deste tipo:Imagine que você queira medir a altura de umprédio e, para isso, se posicione a 50 m de suabase e meça o ângulo sob o qual vê seu topo e suabase, conforme figura a seguir.

x1 x2 x3 ... xn n

mn .

mn .

nmP Q S

T

1

1 x1

------- 1 x2

------- 1 x3

------- ... 1 xn

-------

n------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------

d 60 ---------.

d 100 ------------.

s t

----------.

2dd

60 --------- d

100 ------------

------------------------------- 21

60 --------- 1

100 ------------

-------------------------------

B A

C

50 m


36

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Suponhamos que a medida encontrada para seja aproximadamente 38,66°.

Desenhando em uma folha de caderno um triângulo ABC semelhante ao triângulo ABC e medindo dois la-

dos de ABC, obtém-se a medida tACu.

⇒ AC 40

Logo, a altura do prédio é de 40 m.

II. Antes de apresentar, genericamente, a relação entre o seno e o co-seno de ângulos complementares, propor o

exercício a seguir.

Considere o triângulo abaixo.

a) Calcule a medida do ângulo B BCA.

b) Calcule sen 30° e cos 60°.

Capítulo 15

O radiano

Um problema interessante pode ser proposto após o estudo da equivalência entre π rad e 180°.

Qual é a medida, em rad, do ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às 10 h 12 min?

Resolução

Logo, 6° e, portanto, a medida do ângulo formado pelos ponteiros é 132° – 6°, ou seja, 126°.

Transformando 126° em radianos, obtemos rad.

B5 cm

4 cm

A

C

4 5 ------ AC

50------------

B A

C

10 5

30°

132° –

111

56

12

7

210

48

39

132°

60 30

12

Tempo(min)

Deslocamento doponteiro das horas

(graus)

7π 10

----------


37

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.Circunferência trigonométrica

I. Ao apresentar a circunferência trigonométrica, ressaltar a conveniência de adotar o raio unitário: o seno do

arco trigonométrico é a própria ordenada da extremidade do arco e o co-seno é a própria abscissa (se o raio

não fosse unitário, o seno seria a razão entre a ordenada da extremidade do arco e a medida do raio, nessa

ordem, e o co-seno seria a razão entre a abscissa da extremidade do arco e a medida do raio, nessa ordem).

II. Pedir exemplos aos alunos de situações práticas em que sejam necessárias medidas maiores que 360° ou meno-

res que 0°, como a que apresentamos a seguir. Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, giram em sentidos

contrários. No estudo dessa engrenagem, adotam-se um sentido como positivo e outro como negativo.

Pode-se propor o seguinte problema:

Duas rodas dentadas, a maior com 60 dentes e a menor com 20 dentes, estão engrenadas entre si. Enquanto a

maior gira 32π rad, quantas voltas dá a roda menor?

Resolução

Então:

x 96π rad

Logo, a roda menor dará 48 voltas.

Associando números reais a pontos da circunferência trigonométrica

I. Uma maneira de apresentar a identificação do conjunto R com o conjunto das medidas em radianos é utilizar

o seguinte recurso didático:

Vamos “desenrolar” as infinitas voltas da circunferência trigonométrica, transformando-as num eixo em que

cada ponto está associado a uma medida em radianos.

A cada ponto de abscissa x rad desse eixo vamos associar o número real x:

Dessa maneira, identificamos cada número real x com a medida x rad.

–

+

Roda maior Roda menor

2π rad

32π rad

6π rad

x

Ar

(infinitas voltas)

–2π rad–6 rad

–5 rad

–4 rad–π rad–3 rad

–2 rad

–1 rad

0 rad

1 rad

2 rad

3 radπ rad4 rad

5 rad

6 rad2π rad7 rad

3π2rad

rad

–

π2–

radπ2

rad3π2

–2π rad

–2π –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 2π 7π–π

–6 rad

–5 rad

–4 rad–π rad–3 rad

–2 rad

–1 rad

0 rad

1 rad

2 rad

3 radπ rad4 rad

5 rad

6 rad2π rad7 rad

3π2rad

rad

–

3π2

– 3π2

π2

– π2

π2–

radπ2

rad3π2


38

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Seno e co-seno de um arco trigonométrico

I. É importante que o aluno perceba que as defini-ções de seno e co-seno de um arco trigonométri-co são extensões das definições de seno e co-seno de um ângulo agudo no triângulo retângulo.Para isso, podem ser adotados os procedimentosa seguir.• Mostrar, na circunferência trigonométrica, um

arco

)

AM

de medida 30°.

• Traçar por

M

a perpendicular ao eixo das abs-cissas, determinando o triângulo

OMP

.

Levantar as seguintes questões:a) Qual é a medida do segmento

t

OM

u

?b) Qual é o valor do sen 30°?c) Qual é o valor do cos 30°?

Observando que:

sen 30°

PM

⇒

PM

e que:

cos 30°

OP

⇒

OP

concluir que o co-seno do arco

)

AM

, de medida30°, é a abscissa do ponto

M

e que o seno é a or-denada do ponto

M

.Perguntar ainda: Como definir o seno e o co-senode 150°?

Após a discussão, estender o conceito de seno e deco-seno para qualquer quadrante, mostrando que:

sen 150°

e cos 150°

Tabela dos arcos notáveis

I. Neste item mostramos que o seno, o co-seno e atangente dos arcos trigonométricos de 30°, 45° e60° são, respectivamente, iguais ao seno, co-senoe tangente dos ângulos agudos de 30°, 45° e 60°.

II. Antes dos cálculos, podem-se revisar as medidasda altura de um triângulo eqüilátero e da diagonalde um quadrado.

Redução ao 1

‚‚‚‚

quadrante

• Pode-se iniciar o assunto a partir do exercício aseguir, enfatizando que as reduções ao primei-ro quadrante recaem em problemas deste tipo:Na circunferência trigonométrica a seguir, de-termine as coordenadas dos pontos

N

,

P

e

Q

.

Resposta

:

N

P

e

Q

Ressaltar que: pontos simétricos em relação aoeixo das ordenadas têm abscissas opostas e or-denadas iguais; pontos simétricos em relação àorigem do sistema têm abscissas opostas e or-denadas opostas; pontos simétricos em relaçãoao eixo das abscissas têm abscissas iguais e or-denadas opostas.Propor, como trabalho em duplas, o estudo dosexercícios resolvidos, que podem ser refeitosno quadro-de-giz e explicados pelos própriosalunos.

O A

M (30°)

30°

O AP

M

30°

O AP

M

30°

√32

12

1

PM OM

------------ PM 1

------------ 1 2

------

OPOM--------- OP

1------------ 3

2------------

1 2

------ 3

2------------

O A

M (150°)

– √32

12

O

P Q

N M 45

,[ ]35

[4

5 ------,

3 5 ------] , [

4 5 ------, 3

5 ------]

[4

5 ------, 3

5 ------]


39

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Concluir, enfatizando que o seno (ou co-seno)de um arco de medida

do 2

º

, 3

º

ou 4

º

qua-drante tem o mesmo valor absoluto do seno (ouco-seno) de um arco correspondente no 1

º

qua-drante; logo, para calcular o sen

(ou cos

)tomamos o valor do seno (ou co-seno) do arcocorrespondente no 1

º

quadrante e atribuímos aesse valor um sinal,

ou

, de acordo com oquadrante em que está o arco de medida

.

Relação fundamental da trigonometria

I. Antes de apresentar a relação fundamental da tri-

gonometria, enfatizar que a notação sen

2

signi-

fica (sen

)

2

sen

sen

; por exemplo,

sen

2

30° significa (sen 30°)

2

, que é igual a .

Analogamente para cos

2

.• Demonstrar, apenas no primeiro quadrante, a

relação fundamental da trigonometria.• Mostrar que da relação fundamental conclui-se

que:sen

2

1 – cos

2

e cos

2

1 – sen

2

II. Propor, como trabalho em duplas, o estudo dosexercícios resolvidos, que podem ser refeitos noquadro-de-giz e explicados pelos próprios alunos.

Equações trigonométricas

I. Iniciar o assunto propondo o problema apresen-tado no item 8 do capítulo.

• Observar quantos alunos conseguem represen-tar os dados do problema.

• Caso algum aluno tenha feito a representação,convide-o a apresentá-la aos colegas.

• Discutir com os alunos essa representação.

• Observar se algum aluno resolveu o problemasem usar equação. Discutir com a classe essaresolução.

• Se nenhum aluno esquematizou a situação poruma equação, mostrar à classe como montar aequação e deixar que os alunos a resolvam.

• Finalmente, definir equação trigonométrica.

II. Rever: a tabela dos arcos notáveis; as simetriasde pontos na circunferência trigonométrica (

,

π

–

,

π

, 2

π

–

); e as coordenadas dos pon-tos

A

(1, 0),

B

(0, 1),

A

(

1, 0) e

B

(0,

1), lem-brando que a abscissa de cada ponto é o co-seno,e a ordenada é o seno do arco trigonométrico quetem esse ponto como extremo.

III. Antes das atividades, discutir com os alunos osexercícios resolvidos.

Inequações trigonométricas

I. Iniciar o assunto propondo o problema apresen-tado no item 9.• Observar quantos alunos conseguem represen-

tar os dados do problema.• Discutir com os alunos as representações e re-

soluções que surgiram na classe.• Se nenhum aluno esquematizou a situação por

uma inequação, mostrar à classe como montara inequação e deixar que os alunos a resolvam.

• Finalmente, definir inequação trigonométrica.

II. Antes das atividades, discutir com os alunos osexercícios resolvidos.

III. Apresentar mais exemplos.Resolva, para 0

x

2

π

, o sistema de inequa-

ções:

Resolução

1

ºººº

modo

Resolvendo cada uma das inequações do siste-ma, temos:• sen

x

• cos

x

O conjunto solução S do sistema é a intersecçãodas soluções S1 e S2.

[ 1 2

------]2

sen x 1

2 ------

cos x 2 2

------------

1 2

------

12

0

π6

5π6

S1 , π 6

-------4 5π

6----------3

2 2

------------

0

π4

7π4

√22

S2 , π 4

-------3 7π

4----------4


40

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Retificando as circunferências, temos:

Logo: S x R x

2ºººº modoRepresentam-se, na mesma circunferência trigo-nométrica, os intervalos S1 e S2 obtidos no 1º mo-do e destaca-se a intersecção entre eles, isto é:

Capítulo 16Tangente de um arco trigonométricoÉ importante que o aluno perceba que a definição datangente de um arco trigonométrico é uma extensãoda definição da tangente de um ângulo agudo no tri-ângulo retângulo.

Redução ao 1‚‚‚‚ quadranteDepois de rever as tangentes dos arcos notáveis e assimetrias de pontos na circunferência trigonométrica,calcular as tangentes de 120°, 210° e 300°.Enfatizar que arcos com extremidades simétricas emrelação à origem do sistema têm a mesma tangente earcos com extremidades simétricas em relação a umdos eixos têm tangentes opostas.Concluir, enfatizando que a tangente de um arco demedida do 2º, 3º ou 4º quadrante tem o mesmo va-lor absoluto da tangente do arco correspondente no1º quadrante; logo, para calcular a tg tomamos o va-lor da tangente do arco correspondente no 1º quadran-te e atribuímos a esse valor um sinal, ou , de acor-do com o quadrante em que está o arco de medida .

Equações e inequações trigonométricasPode-se iniciar o assunto, propondo o seguinte pro-blema:Descendo em linha reta, um avião deve passar a200 m acima da cabeceira da pista.a) Se a aeronave deve pousar a 200 m dessa cabe-

ceira, qual será a medida do ângulo de pouso?b) Se a aeronave deve pousar a mais de 200 m de

distância dessa cabeceira, quais serão as possí-veis medidas do ângulo de pouso?

Resolução

a) Para d 200, a medida deve satisfazer a equa-ção tg 1.

b) Para d 200, a medida deve satisfazer a ine-quação tg 1.

• Observar quantos alunos conseguem representar osdados do problema.

• Discutir com os alunos as representações e formasde resolver.

As razões recíprocas do seno, do co-senoe da tangenteSe houver possibilidade, mostrar as interpretaçõesgeométricas da co-tangente, da secante e da co-se-cante. Isso pode ser feito a partir dos exercícios se-guintes.• O eixo real t, de origem B, tangencia a circunferên-

cia trigonométrica abaixo. Desenhe nessa figura oarco )AM, de medida 30°, e trace a reta ,OM- que in-tercepta t em C.a) Qual é a medida do ângulo O BCB?b) Mostre que BC cotg 30°.

O eixo t é chamado de eixo das co-tangentes. Aco-tangente de um arco )AM, com M A e M A,é a abscissa do ponto C, intersecção do eixo t coma reta ,OMu -.Resolução

a) m(O BCB) 30°b) No triângulo BOC, temos:

tg 30° BC e, portanto,

BC cotg 30°

0S1

S2

S1 S2

π6

5π6

2π

5π6

0 π4

π4

7π4

2π

0 2π

π 4 ------ 5π

6----------

0

π4

5π6

S1 S2

d

200 m

B

B

A A

t

O

B

B

A A

C

M

t

O

30°

30°

1

1 BC ----------- ⇒ 1

tg 30 -----------------


41

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.• Numa circunferência trigonométrica desenhe o arco )AM, de medida 60°, e trace por M a reta r tangente à cir-

cunferência, indicando por P a intersecção de r com o eixo s das abscissas.Mostre que OP sec 60°.O eixo s é chamado de eixo das secantes. A secante de um arco )AM, com M B e M B, é a abscissa doponto P, intersecção do eixo s com a reta que tangencia a circunferência trigonométrica no ponto M.Resolução

No triângulo OMP, temos:

cos 60° OP e, portanto, OP sec 60°

• Numa circunferência trigonométrica desenhe o arco )AM, de medida 40°, e trace por M a reta r tangente à cir-cunferência, indicando por Q a intersecção de r com o eixo c das ordenadas.Mostre que OP cossec 40°.O eixo c é chamado de eixo das co-secantes. A co-secante de um arco )AM, com M A e M A, é a ordenadado ponto Q, intersecção do eixo c com a reta que tangencia a circunferência trigonométrica no ponto M.Resolução

No triângulo OMQ, temos:

sen 40° OQ e, portanto, OQ cossec 40°

Capítulo 17Fórmulas de adição de arcosMostrar que a sentença sen (a b) sen a sen b não é uma identidade.Por exemplo:

Pedir aos alunos outros valores de a e b para os quais essa sentença é falsa.

Fórmulas de arco duploI. Antes de apresentar as fórmulas de arco duplo, pode-se questionar: A sentença sen 2x 2 sen x é uma iden-

tidade? Por quê? Após a discussão, explicar por que essa sentença não é uma identidade em R. Por exemplo:

sen 60° sen (2 30°) 2 sen 30° 2 1

II. Comentar que a sentença cos 2x 2 cos x também não é uma identidade em R. Pedir aos alunos um valorde x que torne falsa essa sentença. Fazer um comentário análogo para a tangente.

B

B

A A P

60°sO

M

1

1 OP ------------ ⇒ 1

cos 60 ---------------------

B

B

c

Qr

A A

40°

40°50° 1

O

M

1 OQ ------------ ⇒ 1

sen 40 ---------------------

sen[π π 2 ------]

1

sen π sen π 2 ------

1

3 2

------------ 1 2 ------


42

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

III. Enfatizar que o seno (ou o co-seno ou a tangente) de um arco não é proporcional à medida desse arco.

IV. Depois da discussão, revisar as fórmulas de adição de arcos e demonstrar que:sen 2x 2 sen x cos x ;

cos 2x cos2 x sen2 x e tg 2x

Capítulo 18

A função seno

Pedir aos alunos que construam a circunferência trigonométrica e, ao lado, um sistema cartesiano de eixos ortogo-nais, de tal modo que o eixo das abscissas desse sistema esteja contido no prolongamento do eixo dos co-senos e quea unidade nos eixos desse sistema seja igual ao raio da circunferência trigonométrica.Em seguida, marcar no plano cartesiano pontos (x, y) tais que y sen x. Esses pontos podem ser obtidos geome-

tricamente. Por exemplo, tomando-se como “valor” de x o ponto M tem-se MP sen x. Transportando-se

o segmento tMPu para a posição tNQu, conforme figura, obtém-se N, que é um ponto do gráfico da função y sen x.

Repetir esse processo, obtendo vários pontos do gráfico:

Desse modo, o aluno entende a curvatura do gráfico da função seno. Insistir que a figura obtida é apenas umperíodo do gráfico; na verdade, essa função tem como domínio o conjunto R.

A função co-seno

Trabalho análogo ao feito com a função seno. Pedir agora aos alunos que o façam em dupla e expliquem no qua-dro-de-giz.

2tg x 1 tg2 x ---------------------------

π 4 ------

,

π2

π0

M [ ]

PQ

N

y

xπ4

π4

3π2

2π

π2

π0

y

x3π2

2π

π2

π0

1

–1

y

x–π––2π 3π2

3π2

5π2

2π 3ππ2

–


43

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

A função tangente

Pedir aos alunos que construam a circunferência trigonométrica e, ao lado, um sistema cartesiano de eixos orto-gonais, de tal modo que o eixo das abscissas desse sistema esteja contido no prolongamento do eixo dos co-senose que a unidade nos eixos desse sistema seja igual ao raio da circunferência trigonométrica.Marcar no plano cartesiano pontos (

x

,

y

) tais que

y

tg

x

. Esses pontos podem ser obtidos geometricamente. Por

exemplo, tomando-se como “valor” de

x

o ponto

M

e prolongando o raio

t

OM

u

até se obter o ponto

P

, inter-

secção com o eixo das tangentes, tem-se

AP

tg

x

. Transportando o segmento

t

AP

u

para a posição

t

NQ

u

, conformefigura, obtém-se

N

, que é um ponto do gráfico da função

y

tg

x

.

Repetir esse processo, obtendo vários pontos do gráfico:

Discutir com os alunos a ficha de leitura

Movimentos periódicos

. Insistir que a idéia apresentada pode ser extra-polada para todo movimento periódico. Resolver com a classe o exercício complementar 23.

Lei dos co-senos e lei dos senos

I. Motivar o estudo da lei dos co-senos com a apresentação de situações práticas. Por exemplo, propor os pro-blemas a seguir.

a) Para calcular o comprimento de um túnel que será construído ligando dois pontos,

A

e

B

, da base de umamontanha, um engenheiro posicionou-se em um ponto

C

tal que o ângulo

A

B

CB

é reto,

AC

30 m e

BC

40 m, conforme figura. Qual será o comprimento

AB

do túnel?

π 4 ------

,

π2

π0

P

O AQ

N

y

xπ4

3π2

2π

M [ ]π4

π2

π0

y

xπ2

– 3π2

2π

30 m

A

C

B

40 m

MP-Paiva-038a057 Page 43 Thursday, July 7, 2005 8:27 AM

44

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

ResoluçãoPelo teorema de Pitágoras, temos:(AB)2 402 302 ⇒ AB 50Logo, o túnel terá 50 m de comprimento.

b) Para calcular o comprimento de um túnel queserá construído ligando dois pontos, A e B, dabase de uma montanha, um engenheiro posicio-nou-se em um ponto C tal que m(A BCB) 120°,AC 30 m e BC 50 m, conforme figura.Qual será o comprimento AB do túnel?

ComentárioO estudo que faremos a seguir permite relacio-nar as medidas dos lados de um triângulo qual-quer com o co-seno de um ângulo interno e,desse modo, resolver esse problema (apresen-tar a resolução após a apresentação da lei dosco-senos).Resolução(AB)2 302 502 2 30 50 cos 120° ⇒⇒ AB 70Logo, o túnel terá 70 metros de comprimento.

II. Motivar o estudo da lei dos senos com a apresen-tação de uma situação prática. Por exemplo, pro-por o problema a seguir.Um navio N avista dois faróis A e B, sob um ângu-lo de 60°, enquanto do farol A avistam-se o navioe o farol B sob um ângulo de 75°, conforme figura.Sabendo que a distância entre os dois faróis é de400 m, calcule a distância do navio ao farol A.

ComentárioO estudo que faremos a seguir vai mostrar que asmedidas dos lados de um triângulo qualquer sãodiretamente proporcionais aos senos dos respec-tivos ângulos opostos, com o que resolveremosesse problema (apresentar a resolução após aapresentação da lei dos senos).

Resolução

⇒ x

Logo, a distância entre o navio e o farol A é de

m.

Capítulo 19Matriz

O assunto pode ser introduzido com a apresentaçãoda situação a seguir.A tabela descreve as taxas mensais de inflação nas cin-co regiões brasileiras, numeradas de 1 a 5, no primeirotrimestre do ano. Cada elemento da linha i e coluna jrepresenta a inflação medida no mês i na região j.

Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos saber,por exemplo, qual foi a taxa de inflação medida nomês 2 na região 4, basta olharmos para a intersecção dalinha 2 com a coluna 4 e encontraremos 1,4%.Tabelas como essa são denominadas matrizes.A introdução do assunto pode ser feita também com autilização de uma planilha eletrônica.Essa planilha eletrônica pode ser imaginada como umagrande folha de papel dividida em colunas e linhas nasquais podem ser armazenados textos e números. Umaplanilha é simplesmente um conjunto de linhas e colu-nas e a intersecção de uma linha com uma coluna é de-nominada célula, que é a unidade básica da planilha,onde ficam armazenados os dados. Cada célula possuium endereço próprio, formado pela letra da coluna epelo número da linha que a originou. Por exemplo, acélula que se forma com o cruzamento da coluna Acom a linha 10 é reconhecida pelo endereço A10.

Multiplicação de matrizes

I. A multiplicação de matrizes pode ser apresenta-da a partir de uma situação como aquela que in-troduz o item 10 do capítulo. Após essa apresen-tação, definir multiplicação de matrizes, enfati-zando o esquema:

II. Comentar as propriedades da multiplicação dematrizes.

III. Nos itens a e b da atividade 10, enfatizar que amultiplicação de matrizes não é comutativa.

30 m

A B

C

50 m120°

A

x

B

N

60°

45°75°400 m

j

i

1(Sul)

2(Sudeste)

3(Centro-Oeste)

4(Nordeste)

5(Norte)

1 2,0% 1,0% 1,8% 1,5% 1,7%

2 1,7% 1,2% 1,7% 1,4% 1,8%

3 1,6% 1,3% 1,7% 1,2% 2,0%

x sen 45 --------------------- 400

sen 60 --------------------- 400 6

3---------------------

400 6 3

---------------------

Am k Bk n Cm n


45

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.As matrizes e as transformações em duas dimensões

Discutir com os alunos a ficha de leitura As matrizese as transformações em duas dimensões. Enfatizar aaplicação dessas transformações na computação grá-fica. O texto mostra um endereço eletrônico para umestudo mais detalhado desse assunto.

Capítulo 20

Sistemas lineares

I. Um problema que também pode ser trabalhadocomo introdução do assunto é:Uma companhia de navegação utiliza três tiposde recipientes, A, B e C, que carregam cargas emcontainers de três tipos, I, II e III. As capacidadesdos recipientes são dadas pela seguinte tabela:

Quais são os números de recipientes x, y e z dascategorias A, B e C, respectivamente, se a com-panhia deve transportar 42 containers do tipo I,27 do tipo II e 33 do tipo III?Solicitar aos alunos que escrevam, em função de x,y e z, quantos containers do tipo I serão transporta-dos. Eles devem chegar à expressão 4x 5y 2z.Igualando isso a 42, eles obtêm a primeira equa-ção. Procedendo similarmente, chegam ao sistema:

cuja solução é (3, 4, 5).

II. Definir sistema linear e solução de um sistemalinear.

III. No trabalho com o escalonamento podemos ter aseguinte seqüência:

• Definir sistema linear escalonado, mostrandocomo se resolve cada um dos dois tipos.

• Definir sistemas lineares equivalentes.

• A partir de sistemas lineares com duas equaçõese duas incógnitas, apresentar as propriedadesque transformam um sistema linear (possível)em um sistema linear equivalente na forma es-

calonada, conforme mostra o item 8. Enfatizarque, se o sistema for impossível, a tentativa doescalonamento mostrará essa impossibilidade.

O método do escalonamento na resolução de umsistema linear é geral. Até mesmo a incompatibi-lidade das equações de um sistema linear é detec-tada na tentativa do escalonamento. Por isso, fez-se a opção por esse método, em vez do teoremade Cramer, cuja aplicação é limitada a condiçõesespeciais.

Capítulo 21

Discussão de um sistema linear

I. Pedir aos alunos que representem no plano carte-siano os gráficos das equações de cada um dossistemas:

(I) (III)

(II)

A seguir, propor as seguintes questões:a) Se duas retas do plano cartesiano têm um único

ponto em comum, como podemos classificar osistema formado pelas equações dessas retas?Resposta: S.P.D.

Container

RecipienteI II III

A 4 3 2

B 5 2 3

C 2 2 3

4x 5y 2z 42

3x 2y 2z 27

2x 3y 3z 33

y x 5

y 2

y x 5

y x 8

y 2x 5

y 2x 5

52

5

c d

y

x

5e

8

8

5

y

f x

5

5

2

3

y

bx

a

(I)

(II)

(III)


46

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

b) Se duas retas do plano cartesiano têm todos osseus pontos em comum (retas coincidentes),como podemos classificar o sistema formadopelas equações dessas retas?

Resposta: S.P.I.

c) Se duas retas do plano cartesiano não têm pon-to em comum (retas paralelas distintas), comopodemos classificar o sistema formado pelasequações dessas retas?

Resposta: S.I.

O objetivo dessa introdução é dar um significadoà discussão de um sistema linear.

II. Mostrar que a discussão de um sistema linearcom número de equações diferente do número deincógnitas não pode ser feita com base no deter-minante dos coeficientes, pois não existe tal de-terminante. Ressaltar que uma boa alternativapara a discussão é o escalonamento.

Capítulo 22

Princípio fundamental de contagem

Uma dúvida comum do aluno é: Por que o enunciadodo princípio fundamental de contagem explicita a or-dem dos elementos?Um exemplo que ajuda a esclarecer essa dúvida é:Considere os conjuntos E 1, 2, 3 e F a, b.a) Quantos pares ordenados (x, y) podem ser forma-

dos de modo que x pertença a E e y pertença a F?

ResoluçãoNote que estabelecemos uma ordem: x deve per-tencer a E e y a F.Assim, a matriz das possibilidades é:

Temos, então, 3 2 pares ordenados possíveis,ou seja, 6 pares possíveis.

b) Quantos pares ordenados (x, y) podem ser forma-dos de modo que x pertença a um dos conjuntose y pertença ao outro?

ResoluçãoComo não foi estabelecida uma ordem, temosduas possibilidades: x pertence a E, e y pertence

a F; ou x pertence a F, e y pertence a E. Temos,então, duas matrizes de possibilidades:

ou

Logo, o número de pares ordenados que podemser formados é 3 2 2 3, ou seja, 12.

Princípio aditivo de contagem

Podem-se apresentar mais exemplos para introduziro princípio aditivo de contagem como o que segue.Em uma classe, o professor de literatura pediu quelevantasse a mão quem já havia lido algum livro deMachado de Assis; 15 estudantes levantaram a mão.A seguir, o professor pediu que levantasse a mãoquem já havia lido algum livro de Mário de Andrade;17 alunos levantaram a mão. Pode-se concluir quehavia (15 17) alunos na sala? Por quê?Resposta:Espera-se que os alunos respondam negativamente,porque algum deles pode ter lido Machado de Assise Mário de Andrade, ou, ainda, não ter lido nenhumdos dois autores.

Capítulos 23

Permutação simples

Pedir aos alunos que construam todos os númerosnaturais de três algarismos distintos formados com 4, 5e 8. Observando que esses números são arranjos sim-ples de 3 elementos tomados 3 a 3, definir permutaçãosimples como um caso particular de arranjo simples.

Permutação com elementos repetidos

Trabalhar mais exemplos.Qual é o número de anagramas da palavra ALA?Escrever no quadro-de-giz os três anagramas:ALA, AAL, LAASe indexarmos as letras iguais, imaginando que elassejam elementos diferentes entre si, isto é, A1LA2,A1A2L, LA1A2, quantas permutações serão possíveis

F

Ea b

1 (1, a) (1, b)

2 (2, a) (2, b)

3 (3, a) (3, b)

F

Ea b

1 (1, a) (1, b)

2 (2, a) (2, b)

3 (3, a) (3, b)

E

F 1 2 3

a (a, 1) (a, 2) (a, 3)

b (b, 1) (b, 2) (b, 3)


47

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

com cada um desses anagramas ao permutarmos ape-nas as letras indexadas?

Cada anagrama gera 2! permutações. Assim, mul-tiplicando-se o número de anagramas pelo númerode permutações que cada um dos anagramas gera,obtém-se o número de permutações de três elementosdistintos: 3

2!

3!Essa discussão pode facilitar o entendimento doexemplo que introduz o item 4 do capítulo.

Combinação simples

Podem-se sugerir outros exemplos de combinaçãosimples.Em óptica, o vermelho, o azul e o verde são chama-dos de cores primárias. Misturando-se essas cores,duas a duas, obtêm-se novas cores, chamadas de co-res secundárias. Considerando cada uma das coressecundárias como um agrupamento de cores primá-rias, temos que os agrupamentos possíveis são com-binações de cores primárias, pois a ordem em que sãomisturadas não altera a cor secundária resultante.

Binômio de Newton

Se achar necessário, antes do desenvolvimento de(

x

a

)

5

, apresentado no item 7, o professor podepropor o seguinte problema:Sobre uma mesa há 5 bandejas e em cada uma há umcartão com a letra X e outro com a letra A. Um rapazdeve escolher uma letra de cada bandeja.

a) De quantas maneiras diferentes ele pode escolhertrês letras X e duas letras A, não importando a or-dem de escolha?

b) De quantas maneiras diferentes ele pode escolherquatro letras X e uma letra A, não importando aordem de escolha?

Resolução

a) Escolhidas três letras X, as letras A estarão, auto-maticamente, escolhidas. Assim, o número deescolhas é

C

5, 3

.

b)

C

5, 4

Após a discussão desse(s) problema(s), justificara fórmula de Newton a partir do desenvolvimentode (

x

a

)

5

, conforme está feito no item 7 do capí-tulo.

Capítulo 24

Posições relativas de duas retas

Duas varetas retas ajudam na apresentação das posi-ções relativas de duas retas. Mostre retas paralelas,retas concorrentes e retas reversas no bloco retangu-lar, enfatizando sempre que a reta é infinita nos doissentidos. Esses modelos podem ser observados tam-bém nas arestas determinadas pelas paredes, teto episo de uma sala de aula.

Posições relativas entre reta e plano

I. Colocando uma vareta reta paralelamente ao tetoda sala, pode-se visualizar uma reta paralela a umplano (enfatizar que, se fosse possível prolongara vareta indefinidamente, nos dois sentidos, elajamais interceptaria o plano do teto, que tambémé infinito em todas as suas direções).

II. Colocando uma vareta obliquamente ao plano doteto, sem tocá-lo, perguntar à classe: Prolongan-do-se esta vareta indefinidamente, nos dois senti-dos, ela interceptará o plano do teto?

Resposta

: Sim

Definir, a seguir, reta secante a um plano.

III. Desenhar uma reta no quadro-de-giz e perguntarà classe: Existe algum ponto dessa reta que nãopertença ao plano desse quadro?

Resposta

: NãoDefinir, a seguir, reta contida em um plano.

Poliedros

I. Este assunto pode ser introduzido a partir da se-guinte atividade:Separa-se a classe em quatro grupos, distribuindoa eles peças poligonais, recortadas em cartolina,que devem ser coladas, lado a lado, formandocaixas fechadas: um grupo recebe seis peças re-tangulares (para formar um paralelepípedo); ou-tro recebe seis peças quadradas (para formar umcubo); outro recebe duas peças hexagonais e seisretangulares (para formar um prisma hexagonal);e o último grupo recebe oito peças triangulareseqüiláteras (para formar um octaedro regular).Usando os modelos que os alunos construíram,exploram-se os conceitos de região poligonal

A1LA2

A1LA2

A2LA1

A1A2L

A1A2L

A2A1L

LA1A2

LA1A2

LA2A1

AX AX AX AX AX


48

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

convexa, superfície poliédrica convexa e polie-dro convexo, destacando seus elementos: faces,vértices, diagonais etc. Apresentam-se um mode-lo de um poliedro não-convexo e os nomes dosprincipais poliedros.

II. Mostrando o cubo que os próprios alunos cons-truíram, pergunta-se:a) Quantas faces tem este poliedro?

Resposta: 6b) Quantas arestas tem cada uma dessas faces?

Resposta: 4c) Se cada face tem 4 arestas e o poliedro tem

6 faces, então o número de arestas do poliedroé 6 4? Por quê?Resposta: Não, porque no produto 6 4 cadaaresta está sendo contada duas vezes, já quecada uma delas é aresta de duas faces simulta-neamente; logo, o número de arestas do polie-

dro é ou seja, 12.

Nesse momento apresenta-se o seguinte resul-tado: Se um poliedro possui F faces com narestas por face, então o número A de arestasdo poliedro é dado por:

A

III. Mostrando o prisma hexagonal que os própriosalunos construíram, pergunta-se:a) Quantos vértices tem este poliedro?

Resposta: 12b) Quantas arestas concorrem em cada um destes

vértices?Resposta: 3

c) Se de cada vértice “partem” 3 arestas e o po-liedro tem 12 vértices, então o número de ares-tas do poliedro é 12 3? Por quê?Resposta: Não, porque no produto 12 3 cadaaresta está sendo contada duas vezes, já quecada uma delas “parte” de dois vértices simul-taneamente; logo, o número de arestas do po-

liedro é ou seja, 18.

Nesse momento apresenta-se o resultado: Seum poliedro possui V vértices com m arestaspor vértice, então o número A de arestas do po-liedro é dado por:

A

Relação de EulerUma possível justificativa da relação de Euler(V A F 2), sugerida pelo prof. George Gamowem seu livro Um, dois, três... infinito (Rio de Janeiro:

Zahar, 1962), é apresentada a seguir.Considerando apenas a superfície de um poliedroconvexo, vamos imaginá-la como se fosse uma pelí-cula de borracha (Figura 1). Se eliminarmos uma dasfaces dessa superfície, poderemos deformar a parterestante, tornando-a plana (Figura 2). Essa parte res-tante terá um polígono a menos do que a superfícieoriginal, pois uma face foi removida da original.

Mostramos agora que, ao planificar a parte restante,a rede plana obedece à relação V A F 1 e, por-tanto, ao colocarmos de volta a face retirada, a super-fície fechada obedece à relação V A F 2.De fato:Primeiramente, triangulamos a rede plana da seguintemaneira: num dos polígonos da rede, que não seja tri-ângulo, traçamos uma diagonal, com o que aumenta-mos uma face e uma aresta e não alteramos o númerode vértices. Continuamos traçando diagonais até que afigura consista inteiramente de triângulos (Figura 3).Nessa rede triangulada, a expressão V A F tem omesmo valor que antes da triangulação, já que cada di-agonal traçada aumenta uma face e uma aresta e, por-tanto, A F não se altera.Alguns triângulos têm aresta(s) no limite da rede. Al-guns deles, como MNP, têm apenas uma aresta nesselimite. Tomamos qualquer triângulo do limite e re-movemos a parte dele que não seja parte de um outrotriângulo (Figura 4). Dessa forma, de MNP remove-mos a aresta tMNu e a face, deixando os vértices M, Ne P e as duas arestas tMPu e tNPu; de DEF retiramos aface, as duas arestas tDFu e tFEu e o vértice F.A remoção de um triângulo do tipo MNP reduz A e Fem 1, ao passo que V continua inalterado, de formaque V A F continua o mesmo. A remoção de umtriângulo do tipo DEF reduz V em 1, A em 2 e F em1, de forma que V A F continua inalterado. Pormeio de uma seqüência convenientemente escolhidadessas operações, podemos retirar triângulos comaresta(s) no limite até que finalmente reste apenas umtriângulo, com suas três arestas, três vértices e umaface e, portanto, V A F 3 3 1 1. Masjá vimos que, pela eliminação constante de triângulos,

6 4 2

--------------,

F n 2

---------------

12 3 2

-----------------,

V m 2

-----------------

M

Figura 3Figura 2Figura 1

N

P

Figura 4 Figura 5 Figura 6

D

F

E


49

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.a expressão V A F não sofreu alteração. Portanto,na rede plana original V A F também é igual a 1e, dessa forma, V A F 1 para a superfície po-liédrica cuja face foi removida. Acrescentando a faceque está faltando, concluímos que V A F 2.

Nota: Ilustramos o teorema com as figuras de 1 a 6,porém essa demonstração é geral, isto é, vale paraqualquer poliedro convexo.• Pedir aos alunos que apresentem um exemplo de

poliedro em que não valha a relação de Euler(que deve ser um poliedro não-convexo). Casonão encontrem, pode-se mostrar o poliedro re-presentado a seguir.

Capítulo 25

Prisma

Ressaltar que um prisma tem duas bases congruentes eparalelas, assim como arestas laterais também con-gruentes e paralelas (essa caracterização é importantepara que o estudante identifique um prisma em qual-quer posição). Pedir exemplos de prisma no cotidiano:prédios, caixas de leite longa-vida, caixas de vidros deperfume (há quadrangulares, hexagonais, octogonaisetc.). Pode-se comentar que Newton usou prismastriangulares de cristal em suas experiências sobre adecomposição da luz branca, por volta de 1666.

Volume de um prisma

Apresentar a demonstração da fórmula que determi-na o volume de um prisma qualquer, a partir do prin-cípio de Cavalieri.Explorar a intuição do aluno na apresentação desseprincípio, realizando a seguinte experiência:Os alunos devem imaginar dois vasos de mesma al-tura e formatos diferentes dispostos sobre a mesa.Colocando água até uma mesma altura h nos dois va-sos, verifica-se que as superfícies da água em ambostêm a mesma área (para qualquer valor possível de h).Que relação existe entre os volumes dos dois vasos?Resposta: São iguais.

Pirâmide

I. Este assunto pode ser introduzido com a seguinteatividade:Separar a classe em quatro grupos, dando a cadaum deles a planificação de um poliedro, recorta-do em cartolina (figuras abaixo), com as seguin-tes instruções: dobre sobre as linhas tracejadas e,usando fita adesiva, construa a superfície polié-drica cujas faces sejam as regiões poligonais queformam essa planificação.

II. Usando esses modelos, definir pirâmide e seuselementos.

Pirâmide regular

I. Definir pirâmide regular, mostrando os três pri-meiros modelos. Ressaltar que o terceiro modelocorresponde a uma pirâmide chamada de tetrae-dro regular (todas as faces são triangulares eqüi-láteras). Comentar que o quarto modelo corres-ponde a uma pirâmide não-regular que tem trêsarestas perpendiculares entre si.

II. Tendo à mão um dos três primeiros modelos, defi-nir: apótema da pirâmide regular, apótema da basee altura da pirâmide regular. Destacar a relação dePitágoras entre as medidas desses três elementos.

Volume de uma pirâmide

I. Por meio da decomposição de um prisma trian-gular, demonstrar a fórmula que determina o vo-lume de uma pirâmide triangular. Enfatizar oprincípio de Cavalieri.

II. Tendo à mão o modelo de uma pirâmide não-tri-angular, perguntar aos alunos como é possível cal-cular o volume dessa pirâmide, com base no volu-me de uma pirâmide triangular (espera-se que al-guns alunos tenham a idéia de “cortar” essa pirâ-

V 16, A 24 e F 11

V A F

↓ ↓ ↓16 24 11 3


50

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

mide, obtendo pirâmides triangulares). Após essadiscussão, apresentar o resultado: o volume deuma pirâmide qualquer é a terça parte do produtoda área da base pela altura (convém desenhar umapirâmide qualquer no quadro-de-giz, dividindo-aem pirâmides triangulares).

III. Enfatizar que, por meio da fórmula deduzida, cal-cula-se o volume de uma pirâmide qualquer, retaou oblíqua.

Capítulo 26

Cilindro circular

I. Para o estudo do cilindro, éimportante que se use omodelo de um cilindro cir-cular reto, que se decom-ponha em dois semicilin-dros por uma secção meri-diana, e uma “capa” decartolina representando asuperfície lateral do cilin-dro. Com o auxílio dessaspeças, o estudante entende mais facilmente osconceitos de secção meridiana, superfície late-ral e superfície total.

II. Utilizando objetos do cotidiano — lata de óleo,vela, salame, lápis etc. —, definir cilindro cir-cular e seus elementos.

III. Tendo à mão o modelo, conceituar secçãomeridiana e, nesse momento, definir cilindroeqüilátero.

Volume de um cilindro circular

Aplicando o princípio de Cavalieri, demonstrar a fór-mula que determina o volume de um cilindro circular.Enfatizar que por meio dessa fórmula calcula-se o vo-lume de qualquer cilindro circular, reto ou oblíquo.

Cone

Para o estudo do cone, é im-portante que se use o modelode um cone circular reto, quese decomponha em dois semi-cones por uma secção meridi-ana, e uma “capa” de cartoli-na representando a superfícielateral do cone. Com o auxíliodessas peças, o estudante en-tende mais facilmente os con-ceitos de secção meridiana,superfície lateral e superfície total.

Volume de um cone circular

Aplicando o princípio de Cavalieri, demonstrar a fór-mula que determina o volume de um cone circular.Enfatizar que por meio dessa fórmula calcula-se ovolume de qualquer cone circular, reto ou oblíquo.

Esfera

Para o estudo da esfera, é importante que se usemdois modelos, conforme descrito a seguir.

Modelo 1Uma bola de isopor cortada por uma secção plana emduas partes de tamanhos diferentes (normalmente es-sas bolas são ocas, por isso é conveniente colar umcírculo de cartolina na secção).

Modelo 2Uma bola de isopor apresentando uma cunha esférica(colar semicírculos de cartolina nas secções).

I. A partir de objetos do cotidiano, conceituar esfe-ra e superfície esférica: uma bola de bilhar ouuma bola de gude são bons modelos de esfera,uma bola de pingue-pongue ou uma bolha de sa-bão são bons modelos de superfície esférica.

II. Colocando uma bola sobre a mesa, comentar queo plano do tampo da mesa é tangente à esfera. Le-vantando um pouco a bola, comentar que o planodo tampo da mesa é exterior à esfera. Pedindopara os alunos imaginarem a bola parcialmentesubmersa na água, comentar que o plano da su-perfície da água é secante à esfera.

III. Enfatizar a propriedade: o raio de uma esfera é per-pendicular ao plano tangente no ponto de tangência.

IV. Ressaltar que: um plano que passa pelo centro deuma esfera é chamado de plano equatorial; umplano equatorial divide a esfera em duas parteschamadas de hemisférios ou semi-esferas; a in-tersecção de um plano equatorial com uma esferaé chamada de círculo máximo da esfera.

Rd

r


51

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.V. Tendo à mão o modelo 1, definir secção plana da

esfera e ressaltar o teorema de Pitágoras, relacio-nando as medidas do raio da esfera, do raio dasecção plana e da distância da secção ao centroda esfera.

Volume da esfera

Propor como exercício o cálculo do volume da anti-clepsidra (raio R e altura 2R).Aplicando o princípio de Cavalieri, demonstrar que ovolume da esfera de raio R é igual ao volume daanticlepsidra.

Área da superfície esférica

Uma possível justificativa da fórmula que determinaa área da superfície esférica é apresentada a seguir.Suponha que sobre uma superfície esférica sejamconstruídos n pequenos prismas de mesma altura h,tais que cada aresta das bases apoiadas sobre a super-fície esférica seja aresta de duas, e somente duas, ba-ses desses prismas.

Sendo B1, B2, B3, ..., Bn as áreas das bases desses pris-mas, a soma V de seus volumes é:

A soma B1 B2 B3 ... Bn das áreas das bases éaproximadamente a área B da superfície esférica.Assim, o volume V é aproximadamente igual aV Bh, ou seja, o volume V é o produto da área Bda superfície esférica pela altura h desses prismas.Raciocinando de maneira análoga, consideremosduas superfícies esféricas de mesmo centro e raiosR e R h, com h 0.

Sendo B a área da superfície esférica de raio R, o vo-lume V limitado pelas duas superfícies esféricas éaproximadamente igual a

V Bh (I)

Podemos calcular precisamente o volume V do se-guinte modo:

V

V

V 3Rh h2) (II)

Para h “tendendo” a zero, as expressões I e II “ten-dem” a se igualar, ou seja:

Como h “tende” a zero, a soma 3Rh h2 também“tende” a zero e, portanto, a área B “tende” a:

Desse modo, provamos que:

Capítulo 27

Adição de probabilidades

I. Antes de apresentar o teorema da adição deprobabilidades, sugerimos resolver um problemaparticular usando a definição de probabilidade:Uma etiqueta é sorteada de uma urna quecontém, exatamente, 50 etiquetas numeradas de1 a 50. Qual é a probabilidade de que o númeroda etiqueta sorteada seja par ou menor que 21?ResoluçãoO espaço amostral E desse experimento é oconjunto E 1, 2, 3, 4, 5, …, 50, portanto,n(E) 50.Indicando por A o evento formado pelos númerospares de E e por B o evento formado pelos núme-ros de E menores que 21, temosA 2, 4, 6, 8, …, 50, n(A) 25 eB 1, 2, 3, 4, …, 20, n(B) 20.Note que A e B têm elementos comuns:A B 2, 4, 6, 8, …, 20, n(A B) 10

V B1h B2h B3h ... Bnh

(B1 B2 B3 ... Bn)h

h

RR h

V V

3Rh h2) Bh

3Rh h2) B

B 3R2, ou seja: B 4πR2

A área A de uma superfície esférica de raio R é

A 4πR2.

4π(R h)3

3----------------------------------------

4πR3

3-------------------

4π(R3 3R2h 3Rh2 h3) 3

------------------------------------------------------------------------- 4πR3 3

---------------

4πh 3

-------------(3R2

4πh 3

-------------(3R2

4π 3

----------(3R2

4π 3

----------


52

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

A probabilidade de ocorrer um elemento de A oude B, indicada por P(A B), é:

P(A B) em que

n(A B) 25 20 10. Logo:

P(A B)

II. Demonstrar o teoremaP(A B) P(A) P(B) P(A B). Enfatizarque esse teorema pode ser aplicado na resoluçãode problemas cuja pergunta é: Qual é a probabi-lidade de ocorrer o evento A ou o evento B?Comentar, ainda, que, se os eventos A e B sãomutuamente exclusivos, então o conectivo ouindica simplesmente a soma das probabilidadesde A e B, isto é: P(A B) P(A) P(B)

Probabilidade condicional

Neste assunto, a maior dificuldade dos alunos é a re-dução do espaço amostral. Uma experiência quepode auxiliá-los a entender essa redução é a seguinte:Lança-se um dado sobre uma mesa e afirma-se que aface obtida contém um número ímpar. A seguir per-gunta-se: Qual é a probabilidade de que esse númeroseja o 5?Espera-se que os alunos raciocinem da seguintemaneira:O espaço amostral no lançamento do dado éE 1, 2, 3, 4, 5, 6, porém a afirmação “a faceobtida contém um número ímpar” reduz o espaçoamostral para E 1, 3, 5; logo, a probabilidade de

ocorrer o evento A 5 é P(A)

Eventos independentes

I. Comentar que dois eventos são dependentesquando a probabilidade de um deles depende deo outro evento ter ocorrido ou não. Por exemplo,enunciar o seguinte experimento:Retirar sucessivamente e sem reposição duas bolasde uma urna que contém, exatamente, três bolasvermelhas e quatro bolas azuis. A probabilidade deque a segunda bola retirada seja azul depende de aprimeira bola retirada ter sido vermelha ou não.Observar que:• Se a primeira bola retirada tiver sido vermelha,

então a probabilidade de que a segunda bola

seja azul é de

• Se a primeira bola retirada tiver sido azul, en-tão a probabilidade de que a segunda bola seja

azul é de

Por isso dizemos que os eventos A “sair bolavermelha na primeira retirada” e B “sair bola azulna segunda retirada” são eventos dependentes.Após essa discussão, definir eventos indepen-dentes.

II. Apresentar a propriedade das retiradas simultâ-neas, sugerindo que o cálculo da probabilidadede retiradas simultâneas seja feito por meio doproblema equivalente com retiradas sucessivas esem reposição. Alertar para o fato de que, nas re-tiradas sucessivas, deve-se levar em considera-ção a ordem dos elementos retirados.

Capítulo 28

Determinação de uma reta — Coeficiente angular de uma reta

Ao desenvolver o item 4, enfatizar que, em geometriaanalítica, uma reta pode ser determinada por um de seuspontos e por um ângulo que ela forma com o eixo Ox.Destacar a simplicidade de se calcular o coeficienteangular de uma reta não-vertical quando se conhe-cem dois de seus pontos. A facilidade desse cálculo éque levou os matemáticos a definir o coeficiente an-gular como a tg , e não como o sen ou o cos .Ressaltar que o inconveniente de se definir o coefi-ciente angular como o sen ou o cos é que tería-mos de calcular a distância AB.

Condição de alinhamento de três pontos

Na introdução do item 5, podem-se fazer os ques-tionamentos a seguir.a) O que significa dizer que três pontos são colinea-

res?Resposta : Significa que os três pontos pertencema uma mesma reta.

b) Dados três pontos A, B e C tais que as retas ,AB - e,BC - são paralelas, esses pontos são ou não coline-ares? Por quê?Resposta : As retas ,AB - e ,BC - são paralelas e têmem comum o ponto B, logo, ,AB - e ,BC - são retascoincidentes, portanto, os pontos A, B e C sãocolineares.

c) Dados três pontos distintos, A, B e C, tais que asretas ,AB - e ,BC - são concorrentes, esses pontos sãoou não colineares? Por quê?Resposta : Os pontos não são colineares, pois, sefossem, as retas ,AB - e ,BC - seriam coincidentes enão concorrentes.

Após essa discussão, apresentar a condição de ali-nhamento de três pontos.

n(A B) n(E)

----------------------------,

35 50

--------- 7 10 ---------

n(A) n(E) ----------------- 1

3 ------.

4 6 ------ 2

3 ------.

3 6 ------ 1

2 ------.


53

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.Equação fundamental da reta

É interessante mostrar que os conceitos de reta e pro-porção estão intimamente relacionados em geometriaanalítica. Os exemplos a seguir ressaltam essa relação:a) As seqüências (1, 2, 3, 4, 5) e (2, 4, 6, 8, 10) são

tais que a razão entre termos correspondentes éconstante, isto é:

Representando no plano cartesiano os pontos(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) e (5, 10), observa-se queeles pertencem a uma reta que passa pela origem:

b) As seqüências (1, 2, 3, 4, 5) e (3, 5, 7, 9, 11) sãotais que:

Representando no plano cartesiano os pontos (1, 3),(2, 5), (3, 7), (4, 9) e (5, 11), observa-se que elespertencem a uma reta que não passa pela origem:

Generalizando, verificamos que, se uma reta passapela origem, então as ordenadas de seus pontos sãoproporcionais às respectivas abscissas e que, seuma reta não passa pela origem, então as variaçõesdas ordenadas de seus pontos são proporcionais àsvariações das respectivas abscissas.

Capítulo 29

Equação geral da reta

I. Apresentar a equação geral da reta, ressaltandoque existem infinitas equações gerais para umamesma reta (dada a equação geral de uma reta,ax by c 0, também é equação geral dessa

reta toda equação da forma kax kby kc 0,com k R*).

II. Pedir aos alunos que resolvam os sistemas:

a) c)

b)

Espera-se que eles concluam que o sistema doitem a é possível e determinado, o do item b éimpossível e o do item c é possível e indetermi-nado. Observando que cada equação desses siste-mas representa uma reta no plano cartesiano, per-guntar à classe:a) Qual a posição relativa das duas retas do siste-

ma do item a?Resposta : Concorrentes, pois têm um únicoponto em comum. (Enfatizar que o ponto co-mum às retas é representado pela solução dosistema.)

b) Qual a posição relativa das duas retas do siste-ma do item b?Resposta : Paralelas distintas, pois não têmponto em comum.

c) Qual a posição relativa das duas retas do siste-ma do item c?Resposta : Paralelas coincidentes, pois têmmais de um ponto em comum.

Equação reduzida da reta

A partir da equação fundamental da reta, definir aequação reduzida, enfatizando a interpretação geo-métrica dos coeficientes angular e linear.Destacar que, dada uma equação da reta na forma ge-ral, podemos obter os coeficientes angular e linear dareta, representando a equação na forma reduzida.

Posições relativas de duas retas

Desenhar no quadro-de-giz a figura:

Afirmando que r / s e que a inclinação de r é , per-guntar à classe qual é a inclinação de s.Estimular a discussão até que os alunos consigamconcluir que:a) duas retas no plano cartesiano são paralelas se, e

somente se, têm a mesma inclinação;

2 1 ------ 4

2 ------ 6

3 ------ 8

4 ------ 10

5---------

x

y

2

4

6

8

10

543210

5 3 2 1 ----------------- 7 5

3 2 ----------------- 9 7

4 3 ----------------- 11 9

5 4--------------------

x

y

3

5

7

9

11

543210

x 2y 5

3x 4y 9

x 6y 2

2x 12y 4

x 5y 1

2x 10y 3

x

y

r s

0


54

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

b) duas retas no plano cartesiano são paralelas se, esomente se, têm o mesmo coeficiente angular ounão existe o coeficiente angular de ambas;

c) duas retas são concorrentes se têm coeficientes an-gulares diferentes ou se existe o coeficiente angu-lar de uma delas e não existe o da outra.

Retas perpendiculares

Desenhar no quadro-de-giz a figura:

Pedir aos alunos que determinem os valores de tg e

tg .

Resposta : tg e tg

Concluir com a classe que duas retas não-verticais

são perpendiculares se, e somente se, o coeficiente

angular de uma delas é igual ao oposto do inverso do

coeficiente angular da outra.

Equações paramétricas da reta

O exemplo a seguir pode ser apresentado sob a forma

de exercício.

Construir o gráfico cartesiano determinado pelas

equações paramétricas:

com R

Resolução

O sistema pode ser representado sob a forma:

Substituindo (I) em (II), obtém-se y 1 x.

Como x cos2 e y sen2 , temos que 0 x 1

e 0 y 1. Assim, os pontos (x, y) que satisfazem

o sistema são tais que:

Logo, o gráfico formado pelos pontos (x, y) é:

Capítulo 30

Aplicações de determinantes na geometria analítica

I. Desenhar no quadro-de-giz as figuras e pedir aos

alunos que determinem a área de cada um dos

triângulos.

Ressaltar que, quando o triângulo tem um dos la-

dos paralelo a um dos eixos, o cálculo da área é

muito simples; é o caso dos triângulos ABC e

DEF, cujas áreas são dadas por

e respectivamente. Para cal-

cular a área do triângulo GHI, podemos circuns-

crever em GHI um retângulo que possua lados

paralelos aos eixos coordenados:

A área A do triângulo GHI é igual à diferença

entre a área desse retângulo e a soma das áreas

dos triângulos I, II e III, isto é:

A 8 4 13

Para o cálculo da área do triângulo GHI, pode-

mos também construir um triângulo GHI com a

x

y

0

4 3

3 4 ------

4 3 ------

x cos2

y sen2 ,

x cos2 (I)

y 1 cos2 (II)

y 1 x

0 x 1

0 y 1

x

y

0 1

1

x

y

A

BC2

6

310 6

x

y

H

G

I

2

6

30 5 11

5

x

y

D

E

F

1

3

6

0 2 7

(6 1) (6 2) 2

---------------------------------------

(7 2) (6 1) 2

-----------------------------------------,

x

y

H

G

III

III

I

2

6

30 5 11

5

6 1 2

-------------- 2 4 2

-------------- 8 3 2

--------------


55

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

mesma altura relativa à base

t

HI

do triângulo

GHI

, e com o lado

t

G

I

u

paralelo ao eixo

Oy

:

r

:

Assim, a equação da reta

r

é

y

6

(

x

5).

Fazendo

x

11 na equação da reta

r

, obtém-se

y

portanto,

Logo, a área do triângulo

GHI

é igual à área do

triângulo

G

HI

, que é dada por:

13

Ressaltar que, generalizando o raciocínio, de-

monstra-se que a área pode ser calculada através

do determinante.

II. Para apresentar a condição de alinhamento,

pode-se propor o problema a seguir.

Calcular a área do triângulo de vértices

A

(0, 1),

B

(

1,

1) e

C

(1, 3).

Ao tentar calcular a área do triângulo, os alunos

vão constatar que:

0

Nesse momento, perguntar à classe o que se pode

concluir desse resultado.

Resposta

: Não existe o triângulo

ABC

, ou seja, os

três pontos são colineares.

Apresentar a condição de alinhamento por deter-

minante. Completar essa discussão mostrando

como se pode obter a equação de uma reta por

meio de determinante.

Capítulo 31

Reconhecimento de uma circunferência a partir da equação reduzida

Para o reconhecimento de uma circunferência, atra-vés de uma equação, apresentar as equações a seguire perguntar se cada uma representa ou não uma cir-cunferência.(

x

3)

2

y

2

4

→

representa uma circunferênciade centro

C

(3, 0) e raio

R

2(

x

2)

2

(

y

5)

2

0

→

representa o ponto

C

(

2, 5)(

x

1)

2

(

y

4)

2

4

→

representa o conjuntovazio

Reconhecimento de uma circunferência a partir da equação normal

Enfatizar que, multiplicando ambos os membros daequação

x

2

y

2

2

ax

2

by

a

2

b

2

R

2

0por um número real não-nulo

q

, obtém-se a equação:

qx

2

qy

2

2

aqx

2

bqy

qa

2

qb

2

qR

2

0,com

R

0, que continua representando a circunfe-rência de centro

C

(

a

,

b

) e raio

R

. Assim, comparandoas equações

Ax

2

By

2

Cxy

Dx

Ey

F

0 e

qx

2

qy2 2aqx 2bqy qa2 qb2 qR2 0,concluímos que a primeira representa uma circunfe-rência se, e somente se, A B 0, C 0 e a formareduzida dessa equação é (x a)2 (y b)2 k,com k 0.

Capítulo 32

Número complexo

Embora, historicamente, tenha-se usado o símbolo para representar a unidade imaginária i, é pre-

ferível não usá-lo, porque ao escrever i cometem-se dois erros: afirmar que existem dois va-lores diferentes para i, pois existem duas raízes qua-dradas de 1; contrariar a propriedade transitiva daigualdade (ver comentário a seguir); por isso, a opçãopara definir a unidade i como sendo um número talque i2 1.

ComentárioA radiciação em C não é uma operação (por exemplo,há três raízes cúbicas complexas distintas de 8 e, por-tanto, como o resultado não é único, a radiciação nãoé operação em C); por isso não se deve usar o símbolo

para indicar as raízes complexas n-ésimas de a.Por exemplo, se escrevermos

2, 1 1 poderemos concluir, equivocadamente, que2 1 1 (pela propriedade

x

y

H

G

G r

I

2

6

334

30 5 11

5

G(5, 6)

mr mHI5 2

11 3 -------------------- 3

8 ------

3 8 ------

33 4

---------; G[11, 33 4

---------].

[ 33 4

--------- 5 ] (11 3)

2---------------------------------------------------

0 1 1

1 1 1

1 3 1

1

1

a n

8 3 8 3 i 3 , 8 3 i 3 ,

i 3 i 3


56

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

transitiva da igualdade); assim, o símbolo sódeve ser usado para indicar a raiz cúbica real de 8. Sequisermos indicar todas as raízes, deveremos escre-ver por extenso “as raízes cúbicas de 8”.

Plano de Argand-Gauss

Esse assunto pode ser introduzido a partir do texto aseguir.Quando estudamos o conjunto dos números reais, vi-mos que é possível estabelecer uma relação biunívo-ca entre o conjunto R e o conjunto de pontos de umareta. Assim, podemos representar, geometricamente,o conjunto R pelo conjunto dos pontos de uma reta.Como representar, geometricamente, o conjunto dosnúmeros complexos?No final do século XVIII, em 1799, o topógrafo norue-guês Caspar Wessel (1745-1818) publicou um trabalhoem que mostrava uma representação geométrica para osnúmeros complexos. Wessel raciocinou da seguintemaneira: o conjunto dos números do tipo x yi, sendox e y reais, pode ser relacionado, biunivocamente, aoconjunto dos pares ordenados de números reais (x, y), eo conjunto desses pares, por sua vez, pode ser relaciona-do, biunivocamente, ao conjunto dos pontos de um pla-no, através de um sistema cartesiano de eixos. Dessemodo, cada ponto (x, y) do plano cartesiano passa a re-presentar o número complexo x yi, e, portanto, a re-presentação geométrica do conjunto C é um plano.Em 1806, o matemático Jean Robert Argand (1768-1822), sem conhecer o trabalho de Wessel, criou amesma representação para os números complexos. Aglória dessa criação ficou ligada ao nome de Argand.Partindo das idéias de Wessel e Argand, o matemáti-co alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)complementou o estudo do plano complexo, tambémconhecido como plano de Argand-Gauss.

Capítulo 33

Operações com polinômios

I. Este assunto pode ser tratado como uma revisão,pois já foi estudado no Ensino Fundamental.

II. Propor, como trabalho em dupla, os exercíciosresolvidos de R6 a R10.

Divisão de polinômiospor binômios de 1‚‚‚‚ grau

Sempre que possível, fazer uma analogia entre as pro-priedades dos polinômios e as propriedades dos nú-meros. Por exemplo, para dividir 48 por 6, podemosdividir, sucessivamente, 48 pelos fatores primos de 6:

Um raciocínio análogo pode ser usado na divisão depolinômios; por exemplo, para dividir o polinômio

P(x) x3 2x3 x 2 por D(x) x2 1. Podemosdividir sucessivamente P(x) pelos fatores do 1º graude D(x):

Concluir que a importância do estudo da divisão de umpolinômio P(x) por binômios do 1º grau se deve aofato de que todo polinômio D(x) pode ser decompostoem fatores do primeiro grau e, portanto, a divisão deP(x) por D(x) pode ser efetuada por meio de divisõessucessivas pelos fatores do primeiro grau de D(x).

Capítulo 34

Equação polinomial ou algébrica

Ressaltar que, dados quaisquer números complexos,podemos formar uma equação polinomial que possuaesses números como raízes. Por exemplo, dados osnúmeros 2, 6 e 4, temos a equação(x 2)(x 6)(x 4) 0, que é equivalente ax3 4x2 20x 48 0, que é uma equação poli-nomial que possui esses números como raízes.

Multiplicidade de uma raiz

Na introdução deste tópico, pode-se apresentar aequação(x 7)(x 7)(x 7)(x 5)(x 5)(x 9) 0e perguntar à classe:a) Quantas vezes o número 7 aparece como raiz da

equação?Resposta: Três vezes

b) Quantas vezes o número 5 aparece como raiz daequação?Resposta: Duas vezes

c) Quantas vezes o número 9 aparece como raiz daequação?Resposta: Uma única vez

Enfatizar que o número de vezes que cada raiz apare-ce nos fatores do primeiro membro é a multiplicidadedessa raiz: a raiz 7 tem multiplicidade 3 (raiz tripla);a raiz 5 tem multiplicidade 2 (raiz dupla) e a raiz 9tem multiplicidade 1 (raiz simples).

8 3

48 2

0

24

0

3

8

Fatores de 6

Fatoresde x2 1

x3 2x2 x 2

x3 x2

x 1

x2 3x 2 x 1

3x2 x 2 x2 x x 2

3x2 3x 2x 2

2x 2 2x 2

2x 2 0

0


57

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.Raízes imagináriasSe for possível, apresentar a demonstração do teore-ma das raízes imaginárias para equações polinomiaisde coeficientes reais.DemonstraçãoSeja P (x) anxn an 1xn 1 an 2xn 2 ... a0

um polinômio com coeficientes reais tal que o núme-ro imaginário z a bi, com a R e b R*, sejaraiz da equação P(x) 0.Temos que P(z) 0, ou seja:anzn an 1zn 1 an 2zn 2 ... a0 0 (I)Se dois complexos são iguais, então seus conjugadossão iguais. Por isso, podemos concluir da sentença (I)que:

Pelas propriedades do conjugado de um complexo,podemos escrever:

Assim, 0; e, portanto, é raiz da equaçãoP(x) 0.

Raízes racionais

Se for possível, demonstrar o teorema das raízes ra-cionais; é conveniente partir de uma equação do2º grau.

Se , com p e q inteiros primos entre si e q 0, é

raiz da equação do 2º grau com coeficientes inteirosax2 bx c 0, então p é divisor de c, e q, divisorde a.Justificativa

Temos que: c 0

Essa igualdade é equivalente a:

p(ap bq) cq2 (I)

De (I) temos que p é divisor de cq2. Como p e q sãoprimos entre si, concluímos que p é divisor de c.De (I) temos, ainda, que q é divisor de p(ap bq).• Como p e q são primos entre si, podemos garantir

que q é divisor de ap bq.

• Como q é divisor de bq e q é divisor de ap bq,temos que q é divisor de ap.

• Como p e q são primos entre si e q é divisor de ap,temos que q é divisor de a.

Essa demonstração, para o caso particular de equa-ções do 2º grau, auxilia a demonstração para umaequação de grau n, feita a seguir.

Sendo uma raiz da equação, devemos ter:

an 1 an 2 ... a0 0

an

Multiplicando ambos os membros por qn, obtemos:

anpn an 1pn 1q an 2pn 2q2 ... a1pqn 1

a0qn 0 (I)

anpn an 1pn 1q an 2pn 2q2 ... a1pqn 1

a0qn

p(anpn 1 an 1pn 2q an 2pn 3q2 ...

a1qn 1) a0qn

Como o produto de inteiros é inteiro e a soma de in-teiros também é inteiro, concluímos que o primeiromembro da igualdade anterior é um número inteiro.Portanto, o segundo membro, a0qn, é inteiro e múl-tiplo de p, pois é igual ao produto de p por um inteirok1, ou seja, pk1 a0qn, com k1 Z. Como p e q sãoprimos entre si, temos que p e qn também o são. Lo-go, p é divisor de a0 .Temos, ainda, que a igualdade (I) é equivalente a:an 1 pn 1q an 2 pn 2q2 ... a0qn an pn, ouq(an 1 pn 1 an 2 pn 2q ... a0qn 1) an pn

Como a expressão entre parênteses é um número in-teiro k2, podemos escrever:qk2 an pn, com k2 ZComo q e p são primos entre si, temos que q e pn tam-bém o são.Logo, q é divisor de an .

anzn an 1 zn 1 an 2 zn 2 ... a0 0

anzn an 1 zn 1 an 2 zn 2 ... a0 0

anzn an 1 zn 1 an 2 zn 2 ... a0 0

anzn an 1 zn 1 an 2 zn 2 ... a0 0

an z( )n an 1 z( )n 1 an 2 z( )n 2 ... a0 0

P z( ) z

p q ------

ap

q ------

2

bp

q ------

p q ------

an[p

q ------]

n

[p

q ------]

n 1

[p

q ------ ]

n 2

pn

qn -------- an 1

pn 1

qn 1 --------------- an 2

pn 2

qn 2 ---------------

... a0 0


58

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

10. Resolução de exercícios

1.

a)

A

3,

2,

1, 0, 1, 2, 3b)

B

3, 3c)

C

3d)

D

9, 10, 11, 12, ..., 98, 99e)

E

55, 56, 57, 58, ...

2.

a)

A

...,

4,

3,

2,

1 (infinito)b)

B

(finito)c)

C

0, 1, 2, 3, ...

N

(infinito)d)

D

0 (finito)

3.

b) Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos ele-mentos. Assim: 1, 2, 3

1,

x

,

y

⇔

x

2 e

y

3 ou

x

3 e

y

2.

4.

V – F – V – V – V – V – F – V – V – V – V

6. •

A condição I garante que 0

E

.

•

Como 0

E

, a condição II garante que 1

E

.

•

Como 1

E


E

.

•

Como 2

E


E

. E assim pordiante...Concluímos, então, que todos os números naturais pertencem a

E

, isto é,

N

E

; mas, por hipótese, temos que

E

N

e, portanto,

E

N

0, 1, 2, 3, 4, ....

7.

A

3,

2,

1, 0, 1, 2

B

0, 1, 2, 3

C

1, 0, 1, 2, 3, 4

D

3, 4, 5, 6, 7, 8a)

A

B

3,

2,

1, 0, 1, 2, 3b)

A

B

0, 1, 2c)

A

D

3,

2,

1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8d)

A

D

e)

A

B

D

3,

2,

1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8f)

A

B

C

0, 1, 2g)

A

B

C

D

h) (

A

D

)

(

B

C

)

1, 0, 1, 2, 3, 4i) (

A

D

)

(

B

C

)

0, 1, 2, 3)

8.

9.

10.

dPara calcular

n

(

A

B

) não basta adicionar

n

(

A

) a

n

(

B

), pois, nestasoma, cada elemento da intersecção está sendo contado duas vezes:

Para corrigir esse “erro”, devemos subtrair dessa soma o número deelementos da intersecção, isto é,

n

(

A B) n(A) n(B) n(A B).

11. Usando o raciocínio do exercício anterior, temos que:a b x cLogo: x a b c

12. a) 1, 2, 9 f) 1, 2, 3, 9b) 5, 7 g) Não existe, pois G Fc) 5, 7 h) d) 1, 2, 3, 5, 7, 9 i) 1, 2, 3, 8, 6, 4, 9e) 1, 2, 9

13. a) Temos que: A B pp é estado da região sul do Brasil PR, SC, RS

b) Temos que: B A qq é estado da região sudeste do Bra-sil SP, RJ, MG, ES

c) Não existem esses conjuntos, pois A B e B A

14. a) A. x U x é mulher.b) B. y U y tem menos de 16 anos de idade.c) C. z U z tem mais de 20 anos de idade.d) tB u t C u p U p tem menos de 16 anos ou mais de 20 anos

de idade.e) B. C. q U q tem menos de 16 anos ou mais de 20 anos

de idade.

15. Sendo:• U o conjunto das 29 pessoas que discutiam sobre os filmes A e B;• A o conjunto das pessoas que assistiram ao filme A;• B o conjunto das pessoas que assistiram ao filme B.

Temos:

8 5 x 6 29 ⇒ x 10.Logo, 15 pessoas (10 5) assistiram ao filme B.

16. Sendo:• U o conjunto das 2.200 pessoas entrevistadas;• A o conjunto das pessoas que já estiveram na região nordeste do

Brasil;• B o conjunto das pessoas que já estiveram na região norte do

Brasil.

Temos:

x 610 206 396 2.200 ⇒ x 988Logo, 988 pessoas entrevistadas nunca estiveram em nenhuma dasduas regiões.

5. Corretor

Infor-mação

A B C

1 X

2 X X

3 X X X

4 X X

5 X

Capítulo 1

• 3

• 8

• 2

• 5• 9

A B

• 12 • 11• 1

• 2• 8

• 7

• 4 • 9

• 5

• 3

A B

C

A B

8 5

6

x

A B U

610 206 396

x

A B U


59

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

17. Sendo:• U o conjunto dos alunos que opinaram;• J o conjunto dos alunos que lêem jornal;• R o conjunto dos alunos que lêem revista.Temos:

24 x x 30 x 5 41 ⇒ x 18Logo, 18 alunos lêem jornal e revista.

18. b.

300 120 100 700 100 80 200 x 1.800 ⇒⇒ x 200Logo, duzentas pessoas da comunidade não assistem a nenhumdesses programas.

19. V – V – F – V – V – V – F – V – F – V

20. a) 2,5 b) 3,81

c) 0,03

d) Indicando por g a geratriz da dízima, temos que:

Subtraindo, membro a membro, essas igualdades, obtemos:

10g g 38 ⇒ g

e) Indicando por g a geratriz da dízima, temos que:

Subtraindo, membro a membro, essas igualdades, obtemos:

100g – 10g 311 ⇒ g

22. a 0, b 9, c d

23. Seja um retângulo em que um dos lados é o segmento tABu e o ladotBCu tem comprimento 2u :

Pelo teorema de Pitágoras, temos que a diagonal tACu mede ;utilizando um compasso, com a ponta-seca em A e raio tACu, dese-

nhamos o arco que intercepta a semi-reta tAB- no ponto E :

assim, temos que o comprimento de tAEu é

24. a) A B :

b) A B :

c) A D :

d) D A :

e) :

25. a

A:

B :

A B :

A B :

(A B) (A B):

26. Sendo:U o universo dos professores da escola;A o conjunto dos professores que lecionam no prédio A;B o conjunto dos professores que lecionam no prédio B;C o conjunto dos professores que lecionam no prédio C;temos:

x 3 x x 2 x 17 x 18 x 13 x 51 ⇒ x 8Logo, oito professores lecionam nos três prédios.

27. Temos:• A N• 4 é o menor número que pertence a A• 4 A ⇒ 5 A;

5 A ⇒ 6 A;6 A ⇒ 7 A;7 A ⇒ 8 A

e assim por diante. Todos os números naturais maiores que 3pertencem a A. Logo, A 4, 5, 6, 7, 8 ....

29. cSendo n o número de notas de R$ 5,00 e k o número de notas deR$ 10,00, temos: 5n 10k 100Dividindo por 5, ambos os membros, chegamos a n 2k 20, ou,ainda, a n 20 2k.Como 20 e 2k são números pares, temos que 20 2k é par.Logo, o número de notas (n) de R$ 5,00 é par.

21. a) Irracional e) Irracional i) Irracionalb) Racional f) Irracional j) Irracionalc) Racional g) Racionald) Irracional h) Irracional

24 – x

5

x 30 – x

J R U

300 120 100

100

200

700 80

N E

Hx

U

25 10 --------- 5

2 ------ 381

100 ------------

3 100 ------------

g 4,222...

10g 42,222...

38 9

---------

10g 34 555...,

100g 345,555...

311 90

------------

5 6 ------ , 7

A u

2u

B

D C

5u

28. a) par; c) ímpar; e) ímpar; g) ímpar.b) ímpar; d) par; f) par;

A B E

D C

√5u

5u.

1 15

86

87

1

cCD

0 4 7

0 2

–3 1

–3 2

0 1

–3 0 1 2

x – 3 x

x

17 – x

13 – x18 – x

x – 2

A B

C

U


60

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

30. Um número par e um número ímpar, genéricos, são, respectiva-mente, 2n e 2k 1, com n, k Z.

Assim, temos: 2n (2k 1)

Como n(2k 1) é inteiro, conclui-se que 2[n(2k 1)] é par.

31. a) O menor número natural x tal que x 5 é o próprio número 5;logo, o menor elemento do conjunto A é 5.

b) O menor número inteiro x tal que x 5 é o número 6; logo, omenor elemento do conjunto B é 6.

c) O menor número racional x tal que x 5 é o próprio número 5;logo, o menor elemento do conjunto C é 5.

d) Para qualquer número racional x, com x 5, existem infinitosoutros racionais entre 5 e x; logo, não existe o menor elementodo cojunto D.

32. cIndicando por g a dízima periódica 3,2222..., temos:

Subtraímos, membro a membro, essas igualdades, obtendo:

10g g 29 e, portanto, g

Logo, a soma pedida é:

33. a) Um valor possível é 5, pois 5 1,8 9.b) Um valor possível é 2,5, pois 2,5 3 7,5.c) Sim, porque o produto de dois números racionais quaisquer é

um número racional.

34. Uma resposta possível é 1,5 e 1,6, pois:

2 1,52 3 e 2 1,62 3

35. eTodo número decimal com infinitas casas decimais é racional sefor dízima periódica ou é irracional se for dízima não-periódica.

36. e

Como 12,11, temos que os números pares compreendi-

dos entre 7 e são 8, 10 e 12, ou seja, são aqueles da forma

2n, com n Z e 4 n 6.

37. cTemos A B ]5, 9]. Logo, o único intervalo apresentado nasalternativas ao qual x não pode pertencer é [10, 15].

38. aI) Como x ]1, 2[, temos que x é elemento do conjunto

A ]∞, 1] [2, ∞[.II) Como x 0 ou x 3, temos que x é elemento do conjunto

B ]∞, 0[ ]3, ∞[.Por I e II, concluímos que x é elemento do conjuntoA B ]∞, 1] ]3, ∞[, ou seja, x 1 ou x 3.

1. a) 10x 8 3x 6 ⇒ 7x 14 e, portanto, x 2.

b) 5 2(3y 1) 7y 6 ⇒ 5 6y 2 7y 6 e, portanto,y 3

c) 4t (2t 5) 3 4(2t 3) ⇒

⇒ 4t 2t 5 3 8t 12 ⇒ 10t 14 ⇒ t

2. a) Multiplicando por 24 ambos os membros, obtemos:3x 48 12x 24x 96 ou, ainda, 33x 48 e, portanto,

x

Logo, S

b) Mutiplicando por 12 ambos os membros, obtemos:4n 3n 6 48 e, portanto, n 6Logo, S 6

c) Multiplicando por 6 ambos os membros, obtemos:3(2k 1) (k 3) 2 ou, ainda, 6k 3 k 3 2 e,

portanto, k

Logo, S

3. cIndicando por d a distância procurada, em quilômetros, temos:4,18 0,83 d 14,14 ⇒ d 12

4. eIndicando por x a quantia, em reais, recebida por João, temos quea quantia recebida por Paulo é x 30. Assim, temos:x x 30 630 ⇒ x 300Logo, João recebeu R$ 300,00 e Paulo recebeu R$ 330,00

5. Temos:total de sacas de feijão x;total de sacas de café 4x;total de sacas de milho x 2.400Logo, x 4x x 2.400 14.400 ⇒ x 2.000.Assim, concluímos que o fazendeiro colheu 8.000 sacas de café.

6. Temos:distância, em km, percorrida na segunda hora d ;distância, em km, percorrida na primeira hora d 5;

distância, em km, percorrida na terceira hora

Logo, d d 5 135 ⇒ d 55

Assim, concluímos que o ciclista percorreu 20 km na terceira hora.

7. a) 9x 5(3 2x) 7x 9 ⇒ 9x 15 10x 7x 9, ou seja,9x 10x 7x 9 15, ou ainda, 12x 24 e, portanto, x 2Logo, S 3, 4, 5, 6, 7, ...)

b) 4y 5 2(y 3) 5y ⇒ 4y 5 2y 6 5y, ou seja,4y 2y 5y 6 5, ou ainda, 3y 11 e, portanto,

y

Logo, S 3, 2, 1, 0, 1, 2, ....

c) 6t (5t 8) 1 2(5 t) ⇒ 6t 5t 8 1 10 2te, portanto, t 1Logo, S 1, 2, 3, 4, ...

8. a) Multiplicando por 40 ambos os membros, obtemos:

16x 40 4x 15x e, portanto, x

Logo, S x R \ x

b) Multiplicando por 4 ambos os membros, obtemos:16k 3(k 2) 2 8(1 3k) ou ainda,

16k 3k 6 2 8 24k e, portanto, k

Logo, S k R \ k

c) Multiplicando por 10 ambos os membros, obtemos:10y (1 3y) 5y 2(4 y) ou, ainda,

10y 1 3y 5y 8 2y e, portanto, y

Logo, S y R \ y

2[n(2k 1)]

inteiro

g 3,2222...

10g 32,222...

29 9

--------- .

8 9 ------ 29

9--------- 37

9---------

7 3

7 3

Capítulo 2

7

5 ------

16 11

---------

16

11 ---------

4

5 ------

4

5 ------

d 5 3

------------------ .

d 5 3

------------------

11

3---------

40

3---------

40

3---------

16 37 ---------

16 37

---------

7

10 ---------

7

10 ---------


61

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

d) Multiplicando por 2 ambos os membros, obtemos:4a (a 4) 2 ou, ainda, 4a a 4 2 e, portanto,

a

Logo, S a R \ a

9. Indicando por x o número de páginas, temos:

1,20 0,54 x 10 ⇒ x

Como 16 17, concluímos que o menor número de

páginas nas condições enunciadas é 17.

10. a)

Substitui-se (I) em (II):2(3 5y) 3y 13 ⇒ 6 10y 3y 13 e, portanto, y 1

Substitui-se y por 1 em qualquer uma das equações(I) ou (II); por exemplo, em (I): x 3 5 (1) ⇒ x 8Logo, S (8, 1)

b)

Substitui-se (II) em (I): 5x 3(6x 4) 11 ⇒ x 1

Substitui-se x por 1 em qualquer uma das equações (I) ou (II);por exemplo, em (II): y 6 1 4 ⇒ y 2Logo, S (1, 2)

c)

Substitui-se (I) em (II): 5 3y 4 ⇒ y

Substitui-se y por em qualquer uma das equações (I) ou

(II); por exemplo, em (I): x ⇒ x

Logo, S

d)

Substitui-se (II) em (I): 4y 1 ⇒ y 13

Substitui-se y por 13 em qualquer uma das equações (I) ou

(II); por exemplo, em (II): x ⇒ x 17

Logo, S (17, 13)

11. a)

Adicionam-se, membro a membro, as equações:5x 10 ⇒ x 2

Substitui-se x por 2 em (I) ou (II); por exemplo em (I):

2 3y 4 ⇒ y

Logo, S

b) ⇒

Adicionam-se, membro a membro, as equações:16y 16 ⇒ y 1

Substitui-se y por 1 em (I) ou (II); por exemplo, em (I):

9x 5 (1) 7 ⇒ x

Logo, S

c) ⇒

Adicionam-se, membro a membro, as equações:

23y 2 ⇒ y

Substitui-se y por em (I) ou (II); por exemplo, em (I):

12x 8 4 ⇒ x

Logo, S ,

d) O sistema é equivalente a

Multiplicando por 3 a primeira equação, e por 8 a segunda, ob-temos:

Adicionam-se membro a membro, as equações:25y 25 ⇒ y 1Substitui-se y por 1 em (I) ou (II); por exemplo, em (I):24x 9 (1) 9 ⇒ x 0Logo, S (0, 1)

12. cIndicando por x e y as quantidades de moedas de 25 e 50 centavos,respectivamente, temos:

⇒ x 18 e y 13

Logo, as moedas totalizam, em centavos, a quantia de:18 25 13 50 1.100 ou seja, R$ 11,00

13. a) x2 25 0 ⇒ x2 25 e, portanto, x 5.Logo: S 5, 5

b) 3t2 48 0 ⇒ t2 16 e, portanto, t 4.Logo: S 4, 4

c) 9y2 1 0 ⇒ y2 e, portanto, y

Logo: S

d) 2x2 1 0 ⇒ x2 e, portanto, x

Logo: S

e) 4y2 16 ⇒ y2 4Como não existe número real cujo quadrado é 4, concluímosque S .

f) x(x 7) 0 ⇒ x 0 ou x 7 0 e, portanto, x 0 ou x 7Logo: S 0, 7

g) y(3y 2) 0 ⇒ y 0 ou 3y 2 0 e, portanto, y 0

ou y

Logo, S 0,

h) t(5t 2) 0 ⇒ t 0 ou 5t 2 0 e, portanto, t 0 ou

t

Logo, S 0,

2

3 ------

2

3 ------

8,8 0,54 --------------

8,8 0,54 --------------

x 3 5y (I)

2x 3y 13 (II)

5x 3y 11 (I)

y 6x 4 (II)

x 5y 2

---------- (I)

5x 3y 4 (II)

5y 2

---------- 8 31 ---------

8 31 ---------

5 2 ------ 8

31 --------- 20

31---------

[20

31 --------- , 8

31 ---------]

3x 4y 1 (I)

x 5 3y 2

--------------------- (II)

3(5 3y) 2

-----------------------------

5 3 (13) 2

---------------------------------------

x 3y 4 (I)

4x 3y 6 (II)

2

3 ------

[2, 2 3 ------]

9x 5y 7

3x 7y 3 3

9x 5y 7 (I)

9x 21y 9 (II)

4

3 ------

[4

3 ------ , 1]

3x 2y 1

4x 5y 2 3

4

12x 8y 4 (I)

12x 15y 6 (II)

2 23 ---------

2 23 ---------

2 23 --------- 9

23 ---------

[9

23 --------- 2

23 ---------]

8x 3y 3

3x 2y 2

24x 9y 9 (I)

24x 16y 16 (II)

x y 31

x y 5

1 9 ------ 1

3 ------ .

1

3 ------ , 1

3 ------

1 2 ------ 2

2------------- .

2

2------------- , 2

2-------------

2 3 ------

2 3 ------

2

5 ------ .

2

5 ------


62

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

14. a) a 3, b 5 e c 2 52 4 3 (2) 25 24 49

x ⇒ x ou x 2

Logo: S 2

b) a 1, b 6 e c 9 (6)2 4 1 9 36 36 0

t ⇒ t 3

Logo: S 3

c) a 2, b 3 e c 2 (3)2 4 2 2 7

y

Como R, concluímos que a equação não possui raizreal.Logo: S

d) Multiplicando por 10 ambos os membros da equação, temos:

5x2 6x 30 x

5x2 5x 30 0

Dividindo por 5 ambos os membros, temos:x2 x 6 0a 1, b 1 e c 6 12 4 1 (6) 25

x ⇒ x 2 ou x 3

Logo: S 2, 3

15. A equação não admite raízes reais se, e somente se, 0, isto é:

9 4m 0 ⇒ m

16. A equação admite raízes reais e iguais se, e somente se, 0, ouseja:k2 4 0 ⇒ k 2

17. A equação admite raízes reais e distintas se, e somente se, 0,isto é:4 4m 0 ⇒ m 1

18. A equação admite raízes reais se, e somente se 0, isto é:

25 32k 0 ⇒ k

19. a) S 5 e P 6 ⇒ x 2 ou x 3b) S 9 e P 20 ⇒ y 4 ou y 5c) S 5 e P 6 ⇒ x 2 ou x 3d) S 2 e P 8 ⇒ t 4 ou t 2

20. a)

Substituindo (I) em (II), temos: (2 y)2 y2 y 11

ou seja, 2y2 5y 7 0 ⇒ y 1 ou y

Substituindo y por 1 em (I), obtemos x 3.

Substituindo y por em (I), obtemos x

Logo, S (3, 1),

b)

Substituindo (I) em (II), temos: x2 x (4 2x) 6ou seja, x2 3x 10 0 ⇒ x 2 ou x 5

Substituindo x por 2 em (I), obtemos y 0.

Substituindo x por 5 em (I), obtemos y 14.Logo S (2, 0), (5, 14)

c)

Substituindo (I) em (II), temos:x2 2(3x 2) x 2ou seja, x2 7x 6 0 ⇒ x 1 ou x 6



Logo, S (1, 1), (6, 16)

21. a) As raízes do trinômio são e 1; logo,

3x2 5x 2 3[x

b) As raízes do trinômio são e 2; logo,

4y2 6y 4 4[y

c) As raízes do trinômio são 1 e 3; logo,

p2 4p 3 (p 1)(p 3)

d) As raízes do trinômio são 1 e 2; logo,

x2 x 2 (x 1)(x 2)e) A raiz do trinômio é 1 (raiz dupla); logo,

k2 2k 1 (k 1)2

f) As raízes do trinômio são iguais a logo,

9z2 6z 1 9[z

22. b

23. a) 34%

b) 3%

c) 315%

d) 0,8%

26. a) 0,75 75% c) 2,4 240%

b) 0,34 34% d) 0,6666 ... 66,666...%

5 49 2 3

------------------------------ 5 7 6

-------------------- 1 3 ------

1

3 ------ ,

(6) 0 2 1

--------------------------------------- 6 0

2---------------

(3) 7 4

---------------------------------------------

7

105 x2 2

-------- 3x 5

----------6 105 30 x

10--------------------6

1 25 2 1

------------------------------- 1 5

2--------------------

9 4 ------

25

32 ---------

x 2 y (I)

x2 y2 y 11 (II)

7

2 ------

7

2 ------

3 2 ------

[3

2 ------ , 7

2 ------].

y 4 2x (I)

x2 x y 6 (II)

24. a) 46% 0,46 c) 0,23% 0,0023

b) 149% 1,49 d) 56,83% 0,5683

25. a) 0,65 65% d) 0,09 9%

b) 1,32 132% e) 0,003 0,3%

c) 0,4 40%

y 3x 2 (I)

x2 2y x 2 (II)

2 3 ------

2 3 ------](x 1)

1 2 ------

1 2 ------](y 2)

1

3 ------;

1 3 ------]

2

2x2 14x 24

x2 9------------------------------------------- 2(x 3)(x 4)

(x 3)(x 3)--------------------------------------------- 2x 8

x 3---------------------

34 100 ------------ 17

50 ---------

3 100 ------------

315 100

------------ 63 20

---------

0,8 100 ------------ 8

1.000 ----------------- 1

125 ------------

46 100 ------------ 0,23

100--------------

149 100 ------------ 56,83

100-----------------

65 100 ------------ 9

100 ------------

132 100 ------------ 0,3

100 ------------

40 100 ------------

3 4 ------ 12

5---------

17 50 --------- 2

3 ------


63

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

27. d

0,375 37,5%

28. O total de aprovados é:0,32 3.800 1.216

29. O percentual de aumento é:

0,05 5%

30. d

0,8 3.000 0,6 5.000 2.000 7.000 ⇒ x 80

31. a0,6x 0,25x 2.400 x ⇒ x 16.000

32. Indicando por x o número de apartamentos do prédio, temos:0,6 0,8 x 24 ⇒ x 50

33. a) J 5.000 0,02 3 300Logo, José terá retirado R$ 300,00

b) Capital inicial: 5.000Capital ao final do 1º mês: 5.000 5.000 0,02 5.100Capital ao final do 2º mês: 5.100 5.100 0,02 5.202Capital ao final do 3º mês: 5.202 5.202 0,02 5.306,04Logo, o juro, em reais, produzido nesses três meses é5.306,04 5.000, ou seja, R$ 306,04.

34. a) J 340 0,03 20 204Logo, o juro simples produzido foi de R$ 204,00

b) M 340 204 544Logo, o montante acumulado foi de R$ 544,00

35. J 1.200 0,04 18 864Logo, o juro simples produzido foi de R$ 864,00

36. 378 1.260 0,025t ⇒ t 12Logo, o capital esteve aplicado durante 12 meses.

37. A multa é o juro simples J produzido pelo capital R$ 50,00 aplica-do durante 8 dias à taxa de 0,22% ao dia, ou seja,J 50 0,0022 8 0,88Logo, o contribuinte pagou R$ 50,88

38. C R$ 25.000,00t 9 mesesi 5% ao mêsM ?M C(1 i) t ⇒ M 25.000(1 0,05)9 38.750Logo, o montante será de R$ 38.750,00

39. C R$ 10.000,00t 10 mesesi 3% ao mêsJ ?M C (1 i) t ⇒ M 10.000 (1 0,03)10 13.400J M C ⇒ J 13.400 10.000 3.400Logo, o juro composto é de R$ 3.400,00

40. C R$ 1.000,00t 3 anosM R$ 1.728,00i ? (taxa anual)M C(1 i) t ⇒ 1.728 1.000(1 i)3

i 0,2Logo, a taxa é de 20% ao ano.

41. t ? (meses)Capital Ci 5% ao mêsM 2CM C(1 i) t ⇒ 2C C(1 0,05) t

2 (1,05) t ⇒ t 14,2Logo, o tempo necessário é 14,2 meses, ou seja, 14 meses e 6 dias.

42. C ?i 9% ao anot 7 anosM R$ 36.400,00M C(1 i) t ⇒ 36.400 C(1 0,09)7 C 20.000Logo, o capital aplicado foi de R$ 20.000,00

43. C R$ 20.000,00i 6% ao mêst 2 anos 24 mesesM ?M C(1 i) t ⇒ M 20.000(1 0,06)24 M 80.800Logo, o montante será de R$ 80.800,00

44. C R$ 10.000,00t 3 anosi1 10% no primeiro anoi2 12% no segundo anoi3 8% no terceiro anoM ?M C(1 i1)(1 i2)(1 i3) ⇒⇒ M 10.000(1 0,1)(1 0,12)(1 0,08) M 13.305,6Logo, o montante foi de R$ 13.305,60

45. C R$ 100.000,00i1 10% no primeiro mêsi2 8% no segundo mêsi3 9% no terceiro mêsi4 6% no quarto mês

a) M C(1 i1)(1 i2)(1 i3)(1 i4) ⇒⇒ M 100.000(1 0,1)(1 0,08)(1 0,09)(1 0,06) M 137.261,52Logo, o preço do terreno deve ser R$ 137.261,52

b) O percentual p de valorização é dado por:

p 37,26%

46. C R$ 50.000,00i1 5% no primeiro mêsi2 3% no segundo mês

a) M C(1 i1)(1 i2) ⇒ M 50.000(1 0,05)(1 0,03) M 46.075Logo, o preço do imóvel foi de R$ 46.075,00

b) O percentual p de prejuízo é dado por:

p 7,85%

47. C pi1 12%i2 5%i3 3%

a) M C(1 i1)(1 i2)(1 i3) ⇒⇒ M p(1 0,12)(1 0,05)(1 0,03) M 0,81092 pLogo, o preço final foi 0,81092 p

b) O percentual d de desconto é dado por:

d 18,908%

48. 5.000 x 11.040 ⇒

⇒ x 6.040

Multiplicando por 4 ambos os membros, temos:2x 10 x 95 4x 24.160 5x 24.075 x 4.815Logo, o número de bicicletas fabricadas em fevereiro foi

5.000 isto é, 3.820.

3 8 ------

1,04 20,8 --------------

x 100 ------------

137.261,52 100.000 100.000

----------------------------------------------------------

50.000 46.075 50.000

--------------------------------------------

p 0,81092 p p

-------------------------------------------

x 5 2

----------------- x 95 4

--------------------

x 5 2

----------------- x 95 4

--------------------

4.815 95 4

------------------------------- ,


64

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

49. a

⇒ x 70 e y 30

Logo, a mistura contém 70 g do produto P.

50. n(n 1) 420 ⇒ n2 n 420 0 n 21 (não convém)

oun 20

51. a) Para x 100, temos que o preço unitário u e o preço total p,em reais, são dados por:

u 40 20 e p 100 20 2.000

b) Para x 30, temos que o preço unitário u e o preço total p, emreais, são dados por:

u 40 34 e p 30 34 1.020

c) x[40 1.500 ⇒ x 50 ou x 150 (não convém)

Logo, o preço unitário u, em reais, é dado por:

u 40 30

52. O preço p, em reais, do automóvel, após o aumento, será:p 18.600 0,035 18.600 19.251

53. eSendo p a taxa de reajuste, temos:

p 0,16 16%

54. Sendo p o percentual de aumento temos:

p 0,4 40%

55. e0,4 0,3 0,12 12%

56. eO número de fumantes é dado por:0,9 1.500 0,8 500 1.750

57. b

Logo, o preço final da mercadoria foi 1,32p e, portanto, o aumentopercentual, em relação ao preço inicial foi de 32%.

58. c

105 81,90 ⇒ p 22

59. Sendo x a quantidade de álcool, em litros, temos:

0,25 ⇒ x 420

60. bSendo x o aumento, em reais, temos:600 x 0,2(600 x) 600 ⇒ x 150

Logo, o aumento percentual p é: p 0,25 25%

61. C R$ 26.000,00i ? (anual)t 3 anosJ R$ 14.040,00J C i t ⇒ 14.040 26.000 i 3 i 0,18 18%

62. Capital Ct ? (dias)i 0,1% ao diaJ CJ C i t ⇒ C C 0,001 t ⇒ t 1.000

63. eC R$ 1.000,00i 15% ao anot n anosM ?M C(1 i) t ⇒ M 1.000(1 0,15)n 1.000 (1,15)n

64. dC 25.000i 10% ao anot 20 anosM ?M C(1 i) t ⇒ M 25.000(1 0,1)20 25.000 (1,1)20

65. O juro JM, em reais, pago por Marcos foi:JM 10.000 0,114 4 4.560O juro JL, em reais, pago por Luiz foi JL M 10.000, em queM 10.000(1 0,1)4 14.641; logo, JL 4.641

66. cAplicando a fórmula do montante para juro composto e taxa constan-te, M C(1 i)t, para M 2C, temos: 2C C(1,5)t ⇒ (1,5)t 2.Pela tabela oferecida, concluímos que t 1,72 ano e, portanto, t éigual a 1 ano, 8 meses e 19 dias, aproximadamente.

67. cAplicando a fórmula do montante para juro composto e taxa variável,M C(1 i1)(1 i2)(1 i3) ... (1 it),temos: M p(1 0,05)(1 0,03)(1 0,04) p 1,05 1,03 0,96

68. Aplicando a fórmula do montante para juro composto e taxa variável,M C(1 i1)(1 i2)(1 i3) ... (1 it),temos: M 18.000(1 0,2)(1 0,1)(1 0,05) 12.312. Logo, após os três anos, o valor do automóvel era R$ 12.312,00.

1. x 2x 3x 180°6x 180°x 30°

Concluímos, então, que os ângulos internos do triângulo medem30°, 60° e 90°. Portanto o menor ângulo mede 30°.

Massa (em g) contidana mistura

Preço (em reais)de 1 g

Produto P x 0,03

Produto Q y 0,05

Preço

inicial p

após o 1‚‚‚‚ aumento 1,1p

após o 2‚‚‚‚ aumento 1,2 1,1p

Preço

inicial 125

após o 1‚‚‚‚ abatimento 0,84 125 105

após o 2‚‚‚‚ abatimento 105

x y 100

0,03x 0,05y 3,60

100 5

------------

30 5

---------

x 5 ------]

50 5

---------

14,50 12,50 12,50

--------------------------------------

2.100 1.500 1.500

--------------------------------------

105p 100

----------------

105 p 100

----------------

x 1.260 x ----------------------------

150 600

------------

Capítulo 3

2xx

3x


65

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

2.

2x 70° x 100°x 30°Logo, o ângulo externo relativo ao vértice C mede 2 30° 70°,ou seja, 130°.

3. Como o triângulo ABC é isósce-les de base tBC u, temos que:m(A BBC) m(A BCB)Logo:x 70° 70° 180° ⇒ x 40°

4. a

x x 30° x 30° 360° ⇒ x 100°No triângulo isósceles OAB, temos:

Logo, m(O BBA) 40°

5. O triângulo ABC é isósceles, pois m(B BCA) m(C BBA) 45°Logo: AB AC 1.260 m

6.

A mediana tAMu coincide com a bissetriz interna relativa ao vérticeA e coincide com a altura relativa a esse vértice; logo,m(B BAM) 35° e m(A BMB) 90°Assim, temos que: x 90° 35° 180° ⇒ x 55°

7. e

I. Verdadeira, pois o CDE tem dois ângulos internos congruen-tes.

II. Verdadeira, pois o ABE tem os três ângulos internos con-gruentes.

III. Verdadeira, pois B BAE E BAD.

8.

x 4x 90° 180° ⇒ x 18°Concluímos, então, que os ângulos internos do triângulo medem18°, 72° e 90°. Portanto o menor deles mede 18°.

9.

• 30° m(M BAB) 90° ⇒ m(M BAB) 60° (I)• AM BM CM ⇒ ABM é isósceles de base tABu e, portanto,

m(M BBA) m(M BAB); logo, por (I): m(M BBA) 60° (II)

• Do triângulo ABM, temos:m(M BAB) m(M BBA) m(A BMB) 180° e, por (I) e (II):m(A BMB) 60° (III)

• Por (I), (II) e (III) concluímos que o triângulo ABM é eqüilátero.Como AB 3 cm, temos que o perímetro do triângulo eqüiláteroABM é 9 cm.

10. a) ⇒ 12x 72

x 6

b) ⇒ 8x 72

x 9

c) ⇒ 10x 10 8x 16 ⇒

⇒ 2x 6 ⇒ x 3

d)

⇒ x2 36

x 6 ou x 6 (não convém)

e)

⇒ 4x 8 6x 6

14 2x x 7

11. ⇒ FC 4 km

A

100°

2x + 70°x

B C

A

B

x

70°110°

C

70°

B

O

x

r

A

x + 30°x + 30°

m(O BBA) m(O BAB)

100 m(O BAB) m(OBB A) 180

B M C

A

x

35°35°

B CE

A D

60° 60°75°

45°

60°

60°45°

45°

x

4x

30°

3 cm

60°

60°

60°

A C

B

M

9 12 --------- x

8 ------

12 x

--------- 8 6 ------

x 2 x 1

----------------- 10 8

---------

x

x 4

9

r

s

t

x 4 ------ 9

x ------

x + 2 x – 1

r

t6 4

s

6 x 2 ----------------- 4

x 1 -----------------

9 3 ------ 12

FC ------------


66

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

12.

⇒ H 128 m

13.

I. BA é ângulo comum aos triângulos ABC e AEDII. A BBC A BED (correspondentes)

As condições I e II caracterizam o caso AA; logo,ABC AED.Assim, temos:

⇒ 3x 36 e 3y 24

x 12 e y 8

14.

I. A BBC C BDE (alternos)II. B BAC C BED (alternos)

As condições I e II caracterizam o caso AA; logo,ABC EDC. Assim, temos:

⇒ 3x 42 e 2y 48

x 14 e y 24

15. d

ABC BDC ⇒ e, portanto: x 15

16.

ABC DEF ⇒ e, portanto, d 3.

Logo, a distância entre o projetor e a tela deve ser de 3 m.

17. a

ABC QPC ⇒ logo, 4y 16 4x e, por-

tanto, 4x 4y 16Observando que o perímetro do retângulo MNPQ é 2x 2y e di-vidindo por 2 ambos os membros da equação anterior, temos que2x 2y 8.

18. • a2 32 42 25 ⇒ a 5• 5h 3 4 ⇒ h 2,4• 32 5m ⇒ m 1,8• 1,8 n 5 ⇒ n 3,2

19.

A altura tAM u coincide com a mediana relativa à base tBC u.Indicando por h a medida dessa altura, temos:h2 42 52

h2 9h 3Logo, a altura mede 3 cm.

20.

A distância entre M e o lado tAC u é a medida y da altura tMM u’ dotriângulo retângulo AMC.Em todo triângulo retângulo, o produto das medidas da hipotenusae de sua altura relativa é igual ao produto das medidas dos catetos.Assim, no triângulo AMC, temos: 5y 3 4 ⇒ y 2,4.Concluímos então, que o ponto M dista 2,4 cm do lado tAC u.

160 2

1,6H

H 1,6 ----------- 160

2------------

A

B

E

yx

D

C

6

9

1812

x 18 --------- y

12 --------- 6

9 ------ 2

3 ------

A B16

y

x8

21 12

D E

C

x 21 --------- 16

y--------- 8

12 --------- 2

3 ------

x + 5

C B

A

10

BC

D

10

5

x 5 10

----------------- 10 5

---------

9 mA

C

B

6 m

D

E

F

d 2 m

6 2 ------ 9

d -------

4 cm

4 – x 4 cm

C

Q P

BNM

x x

yA

y•

4 y ------ 4

4 x ----------------- ;

B M

h

C

A

5 cm 5 cm

4 cm 4 cm

B M

3 y

C

AM

5 cm 5 cm

8 cm

44


67

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

21.

Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a medida da hipotenusa:(BC)2 62 82 ⇒ BC 10Indicando por h e x as medidas de tAH u e tHM u, respectivamente, elembrando que a medida da mediana relativa à hipotenusa é a me-tade da hipotenusa, temos:

⇒

Substituindo (I) em (II):

(4,8)2 x2 25

x2 1,96x 1,4

22. Sendo HC n, temos: 122 5n ⇒ n 28,8

23. c Sendo x o comprimento do túnel, temos:

x2 602 802 ⇒ x 100 m

24. A diagonal do quadrado, cuja medida é é um dos lados

do triângulo eqüilátero; logo, a medida h da altura desse triângulo

é: h

25.

Concluímos, então, que o avião está à altura de ou

aproximadamente 4,9 km.

26.

O triângulo ABC é eqüilátero cujo lado mede 10 m; logo, h 5 m

27. Traçando as diagonais a partir do vértice M, divide-se o hexágonoem quatro triângulos; logo, a soma dos ângulos internos do hexá-gono é 4 180°, ou seja, 720°.

28.

2x 10° x 5° 180° ⇒ x 55°Logo, o ângulo BA mede 60°.

29. a

E BDC é ângulo externo do triângulo ACD ⇒ y x 2x y 3x

30. Sendo x a medida do ângulo pedido, temos:

x 75° 90° 180° ⇒ x 15°

31. a

A mediana tAM u mede metade da hipotenusa, isto é,AM BM CM; logo, o triângulo ABM é isósceles de base tABue, portanto, m(B BAM) m(A BBM) 40°.No triângulo ABH, temos:40° 90° 40° x 180° ⇒ x 10°

32.

⇒ x 80

⇒ y 60

10

56 8

B C

A

h

xH M

10h 6 8

h2 x2 52

h 4,8 (I)

h2 x2 25 (II)

60 m

80 m B

A

x

C

5 2 cm,

5 2 3 2

------------------------------ cm 5 6 2

---------------- cm

B

C

A

B

45°7 kmh

ABCB é um quadrado.Indicando por h a altura em que seencontra o avião, temos:

7

h

h 2

7

2 ------------- 7 2

2---------------- 3,5 2

3,5 2 km

30°

30°

10 m

B

C

h

A

A

B

x + 5°

x + 5°2x + 10°

C

A

x 2x 2x

yx

B

D

E

C

75°

30° 45°

x

B

AC

x

40° 40°B

MH

C

A

40 m 30 m

180 m

20 m

x

yz

40 30 20 40

------------------------------------- 180 x

------------

40 30 20 30

------------------------------------- 180 y

------------


68

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

⇒ z 40

Logo, as frentes dos terrenos com 40 m, 30 m e 20 m de fundossão 80 m, 60 m e 40 m, respectivamente.

33.

34. Sendo x a distância AB, temos:

ABC DBA ⇒

x2 3.600 ⇒ x 60 km

35.

ABC ADE ⇒ e, portanto: h 62,5

Logo, a altura do prédio é 62,5 m.

36.

⇒ H 5,1

Logo, a altura do salão é 5,1 m.

37.

h2 42 52 ⇒ h 35x 4 3 ⇒ x 2,4Logo, o total de metros de viga usados nessa peça foi5 5 4 4 2,4 2,4 3, ou seja, 25,8 m.

38.

x2 62 82 ⇒ x 10A mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa, ouseja, AM 5 cm.

39.

(AB)2 6002 8002

(AB)2 1.000.000AB 1.000Logo, a distância AB é 1.000 m.

40.

ABC é eqüilátero ⇒ h

Logo, o navio se encontra a do cais.

1. Sendo x a medida do segmento tMBu, temos:

2. Sendo d a distância do centro C à corda tABu, temos:

40 30 20 20

------------------------------------- 180 z

------------

0,5 m

2 m

1,6 m

x

⇒ x 0,4 m2 0,5 ----------- 1,6

x-----------

90 km 40 kmD

x

B

A

x

B C

A

x 40 --------- 90

x---------

hA

E

D

B

C

50 m

0,16 m

0,2 m

0,2 h

----------- 0,16 50

--------------

3,4

1,5

H1

H 1,5 ----------- 3,4

1-----------

4 m

x x

h

A

B CM

5 m 5 m

4 m

BA

Mx

C

6 cm

8 cm

A

B

800 m

300 m

600

900 m

Nível do mar

800

60°60°

50 m 50 m

A

D B C

30° 30°

100 3 2

----------------------m 50 3 m

50 3 m

Capítulo 4

12 cm13 cm

C

A BMx x

x2 122 132

x 5 cmLogo, AB 10 cm

10 cm

8 cm8 cm

C

d

A BM

d2 82 102

d 6 cm


69

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

3.

x2 (0,5)2 (2,5)2

x2 6,25 0,25x Logo, a distância entre os pontos A e B é ou aproximada-mente 2,4 m.

4.

5. a)

b)

6. a)

• NBLQ é um ângulo inscrito que determina um arco de 60°; logo:

m(NBLQ) 30°

• M BQL é um ângulo inscrito que determina um arco de 100°; logo:

m(M BQL) 50°

• N BPQ é ângulo externo do triângulo LPQ; logo:x 50° 30° 80°

b)

• L BNQ é um ângulo inscrito que determina um arco de 40°; logo:

m(L BNQ) 20°

• M BLN é um ângulo inscrito que determina um arco de 120°; logo:

m(M BLN) 60°

• M BLN é ângulo externo do triângulo PLN; logo:60° x 20° ⇒ x 40°

7. O perímetro c da toalha é: c 2 π 2 m 4π mLogo, o comprimento da fita deve ser 4π m, ou 12,56 m aproxima-damente.

8. A cada volta um pneu percorre uma distância d igual ao perímetrode sua circunferência.d 2 π 0,5 md π m 3,14 mO número n de voltas que cada pneu deu é:n 3.140 : 3,14n 1.000

9. Tomando 5 cm como uma unidade u, temos que o comprimento datela é 40u e a largura é 30u. O produto 40 30 é o número de qua-dradinhos de lado u que formarão o quadriculado. Logo, o quadri-culado terá 1.200 quadradinhos.

10. A área A de papel é dada por:A 10.200 (14 6,5 cm2) 928.200 cm2, ou seja, A 92,82 m2.

11. (3 x)(4 x) 30 ⇒ x2 7x 18 0 x 2 ou x 9 (não convém)Logo, o lado do quadrado mede 2 cm.

12.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo CBM, temos:(MB)2 32 52 ⇒ MB 4Logo, a área do paralelogramo, em cm2, é 6 4, ou seja, 24 cm2.

13.

Indicando por h a medida dessa altura, temos: 6 3 4 h ⇒ h 4,5Logo, a altura relativa ao lado tBCu mede 4,5 dm.

D

T

A B

2,5 m

0,9 m0,5

x

x

0,4 m

6 6 m,

46°

92°

B

x

A

V

P

B

C

280°

x AV

x ⇒ x 50° 100 2

---------------

O arco menor )VA mede 80°.

Logo: x ⇒ x 40° 80 2

------------

m( )AB) 2 m(A BVB) 92°

x ⇒ x 46° 92 2

------------

B

x

100°

AV

a)

b)

c)

M

P QC

x

180°

(C é o centroda circunferência)

x

x 90°

180 2

---------------

…………………… .retângulo

M L

QN

P

x

C

60°

100°

30°

50°

(C é o centro da circunferência)

60 2

------------

100 2

---------------

M

L

40°

60°

20°

120°

Q

N

P x

40 2

------------

120 2

---------------

A

Mx x

B2x

x + 2 x + 2

D C

2x 2x x 2 x 2 22 ⇒ x 3

3 dm

D C

BA

h

H

6 dm

4 dm


70

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

14. a) A 12 m2

b) Por Pitágoras, obtém-se que a altura relativa à base do triângu-lo isósceles mede 6 cm; logo,

A 48 cm2

c) A medida da altura do triângulo eqüilátero é logo,

A

d) Por Pitágoras, obtém-se que CD 3 dm; logo,

A 9 dm2

15.

16. dA área A da região sombreada é igual à área do triângulo eqüiláte-ro, isto é,

A

17. Sendo a medida do lado desse triângulo eqüilátero, temos:

4 ⇒

Logo, a área A do triângulo é:

A

18. c A área do quadrado é 64 cm2 e a área de cada um dos triângulosretângulos isósceles é 2 cm2; logo, a área A do octógono é dada por:A (64 4 2) cm2 56 cm2

19.

A área AH do hexágono é igual ao sêxtuplo da área do triângulo

OAB, ou seja,

AH 6

20. A medida de qualquer diagonal que passa pelo centro do hexágono re-gular é o dobro da medida do lado desse polígono; logo, 6 cm.Assim, a área A do hexágono é dada por:

A

21.

A área AH do hexágono é igual ao sêxtuplo da área do triânguloOAB, ou seja,

AH 6

A área AQ de cada quadrado é dada por AQ 102 cm2 100 cm2.

Temos, portanto, que a área A da figura é dada por:

A 600) cm2 150

22. A área A de cada face trapezoidal é dada por:

A ou seja, A 418 cm2.

As áreas T e F da tampa e do fundo são, respectivamente,

T 324 cm2 e F 400 cm2.Logo, a área da caixa é dada por:

4A T F (4 418 324 400) cm2

4A T F 2.396 cm2

23. cSendo h a medida da altura relativa do lado tDCu do triângulo BCD,temos:

⇒ h 3 cm

Observando que h também é altura do trapézio, concluímos que aárea A pedida é dada por:

A 13,5 cm2

24. As diagonais de um losango interceptam-se perpendicularmente noponto médio de cada uma. Assim, por Pitágoras, concluímos que aoutra diagonal, mede 6 cm. Logo, a área A do losango é dada por:

A 24 cm2

25. aTraçando a diagonal menor, observa-se que o losango é formadopor dois triângulos eqüiláteros de lado 4 cm. Logo, a área A do lo-sango é dada por:

A 2

26. A medida r do raio do círculo inscrito no quadrado é igual à meta-de da medida do lado desse quadrado; logo, r 3 cm. Assim, áreaA do círculo é dada por:A π 32 cm2 9π cm2

4 6 2

---------------- m2

16 6 2

------------------- cm2

3 3 cm;

6 3 3 2

-------------------------- cm2 9 3 cm2

6 3 2

---------------- dm2

5 m

4 m

h

h2 42 52 ⇒ h 3 mO total de metros quadrados de náilon é a área A da asa-delta:

A 12 m2 8 3 2

---------------- m2

4 2 3 2

-------------------------- cm2 4 3 cm2

3 2

---------------- 8 3 3

---------------- cm

8 3 3

---------------- 4

2------------------------------ cm2 16 3

3------------------- cm2

4 cm 2√3 cm4 cm

O

A B4 cm

4 2 3 2

-------------------------- cm2 24 3 cm2

3 62 3 2

---------------------------------- cm2 54 3 cm2

10 10

10

O

A B

5√3 cm

10 5 3 2

----------------------------- cm2 150 3 cm2

(150 3 ( 3 4) cm2

(20 18)22 2

------------------------------------- cm2,

4h 2

---------- 6

(5 4) 3 2

---------------------------------- cm2

8 6 2

---------------- cm2

4 2 3 2

-------------------------- cm2 8 3 cm2


71

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

27. A medida da diagonal do quadrado é logo, a medida do

raio do círculo é Assim a área A do círculo é:

A π

A 18π cm2

28. Sendo r e R as medidas dos raios das circunferências inscrita e cir-cunscrita ao quadrado, respectivamente, temos:

r 2 cm e R

Logo, a área A da coroa circular é dada por:

A π 4π cm2

29. π(52 42) πr2 ⇒ r 3 cm

30. Indicando por AS a área do setor, temos:

⇒ AS 8π cm2

31. Sendo A a área do segmento, temos:

A 9(π 2) cm2

32. a A área AS do setor circular de raio 2 cm e ângulo central de 60° édada pela regra de três:

⇒ AS

A área At do triângulo eqüilátero de lado 2 cm é dada por:

At

Logo, a área A do segmento circular destacado é dada por:

A AS At

33. Sendo x a distância da corda ao centro da Terra e y a distância dacorda à superfície terrestre, temos:

a) x2 10.0002 30.0002 ⇒ x2 108 9 108

x2 8 108

x 2 104 20.000 km

b) y (20.000 6.370) km 21.630 km

34.

35. e m(B BCD) ⇒ m((BAD) 116° e, portanto,m( (BCD) 244°.

Assim, temos: m(B BAD) 122°

36.

O triângulo ABC está inscrito em uma semicircunferência de diâ-metro tABu; logo, B BCA é reto. Pelo teorema de Pitágoras, temos:(BC)2 1502 2502 e, portanto, BC 200.Logo, a distância BC será de 200 m.

37. cA distância percorrida é, aproximadamente, o comprimento C deuma semicircunferência de raio 6.370 km, isto é,C 3,14 6.370 km 20.001,8 km

Logo, o tempo t necessário para percorrer essa distância a 800 km/h é:

t 25 h

38.

⇒ x 1.111,2 km

39. eSendo x a área da cidade, em m2, temos:

⇒ x 5.000.000 m2

40.

Os ângulos A BBC e B BAD são suplementares; logo, m(B BAD) 45°.Considerando a altura tBEu, de medida h, temos que o triângulo re-tângulo BEA é isósceles, pois tem dois ângulos de mesma medida;logo, BE AE h.Temos então:h2 h2 82 ⇒ h Concluímos, assim, que a área A do paralelogramo é dada por:

A (12

6 2 cm;

3 2 cm.

(3 2 )2 cm2

2 2 cm.

(2 2 )2 22 cm243

ângulo central área

360

80

π 62

ΑS

(graus) (cm2)

π 62 4

------------------- 6 6 2

---------------- cm2

ângulo área

360

60

π 22

ΑS

(graus) (cm2)

2π 3

---------- cm2

2 2 3 2

----------------

2------------------------------ cm2 3 cm2

2π 3

---------- 3 cm2

6.370 km

Terra

10.000 km 10.000 km

30.00

0 km

y

x

A BM

C

2 km 2

2

8 cm6 cm

CC

A

D

B

(CC)2 62 82 ⇒ CC’ 10Logo, a distância entre C e C’ é 10 cm.

m( (BAD) 2

--------------------------

m( (BCD) 2

---------------------------

150

m

250 mA

C

B

20.001,8 800

------------------------ h

graus distância (km)

360

10

2 π 6.370

x 3.185π

9--------------------- km

x 40 --------- 1002

0,08--------------

A Eh D

B

45°

8 cm

12 cm

45°

C

4 2 .

4 2 ) cm2 48 2 cm2


72

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

41. d

Área(EMC) Área(ABCD) ⇒ x2 e, portanto,

x ou x 0 (não convém).

42. Sendo a medida do lado do quadrado, temos:

⇒ 3 m. Assim, a medida a do lado do hexá-

gono é a 2 m e, portanto, a área A desse hexágono é dada por:

A

43. a) A área A do trapézio é dada por

A

Logo, o valor do terreno, em reais, é 50 480, ou seja,R$ 24.000,00.

b) Considerando a altura tDHu, temos que a área do triângulo ADH

é ou seja, 120 m2, que é a quarta parte da área

do trapézio; logo, tDHu é um dos segmentos procurados. Assim,para determinar os outros segmentos, basta dividir o retânguloCDHB em três partes de mesma área, por meio de segmentode reta paralelos a tBC.u

44. bSendo r a medida do raio de cada pneu, sob a especificação do ma-nual do proprietário, a medida do raio de cada pneu, fora da espe-cificação, de acordo com o enunciado, será 1,01r. Logo, a distân-cia percorrida em cada volta dos pneus, fora da especificação, se-rá: 2π 1,01r, ou seja, 2πr 0,01 2πr.Note, portanto, que a distância percorrida em uma hora será 1%maior que aquela registrada no velocímetro. Assim, concluímosque, quando o velocímetro registrar 120 km/h, a velocidade realdo veículo será (120 0,01 120) km/h, ou seja, 121,2 km/h.

46.

47. A área A de cada arruela é dada por:A π[(1,5)2 (0,5)2] cm2 2π cm2

O número máximo de arruelas que podem ser retiradas da placa é200; logo, a área que será utilizada é 200 2π cm2, ou seja, 400 π cm2.

1.

2. A Oy ⇔ p 7 0 e, portanto, p 7

3. B Ox ⇔ 4k2 36 0 e, portanto, k 3 ou k 3

4. C IQ ⇔ r 2 0 e, portanto, r 2

5. C IIQ ⇔ e, portanto, 2 m

6. ⇒ a e b

7. a)

Não é função de A em B.

45. a)

Logo, x cm2 10π cm2

b)

Logo, graus 80°

x2--- (x 4)

2----------------------------------

4 3 ------

2 3 2

3 22 3 2

---------------------------------- m2 6 3 m2

(25 15) 24 2

------------------------------------------- m2 480 m2

10 24 2

---------------------- m2,

D C

BFGHA10 m 5 m 5 m 5 m

24 m

360

100

36πx

Medida do ângulo central (em graus)

Área(em cm2)

3.600π 360

---------------------

360

36π8π


Área(em cm2)

360 8π 36π

------------------------

c)

Logo, graus 130°

12π 13π

3-------------

360

Comprimento doarco (em cm)


13π 3

------------- 360

12π -----------------------------------

3R

RO

π[(3R)2 R2] 16π ⇒ R 2

Logo, o raio externo mede 3 2 cm.

Capítulo 5

y

x21 540O

2

–2

–1

–3

–4

–6

3–3–6 –1–2

5

4

3

1I

A

D

E

G

H

BF

C

6

–4–5

–5

6

5m 8 0

m 2 0

8 5 ------

3a 2b 10

a b 11

32 5

--------- 23 5

---------

–1

1

A B0

2

–1

58

012

3


73

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b)

É

função de

A

em

B

.

c)

Não é função de

A

em

B

.

d)

É função de

A

em

B

.

8.

D(f)

4,

2, 0, 2, 4Im(f)

1, 0, 1, 2, 3

9.

a)

b)

y

(0,9)

x

20.000

c) Sim, porque para cada tempo de uso está associado um únicovalor de mercado.

10.

a)

b)

⇒

y

40

12.

4

⇒

x

2

4

x

12

0; logo,

x

6 ou

x

2.

Portanto, os elementos do domínio de

f

que têm imagem 4 são osnúmeros 6 e

2.

13.

a)

V

(3)

2

3

2

8

3

120

78Logo, a quantidade de gasolina restante no reservatório é 78 kL.

b)

V

(0)

2

0

2

8

0

120

120Logo, a capacidade do reservatório é de 120 kL

c)

2

t

2

8

t

120

0

⇒

t

6 ou

t

10 (não convém)Logo, o tempo necessário para esvaziar o reservatório é de6 horas.

d)

2

t

2

8

t

120

96

⇒

t

2 ou

t

6 (não convém)Logo, os técnicos devem consertar a avaria em 2 horas.

14.

a) (

1, 1)

f

⇒

f

(

1)

1

b) (0, 0)

f

⇒

f

(0)

0

c) (1,

3)

f

⇒

f

(1)

3

d) (2, 0)

f

⇒

f

(2)

0

e)

9

15.

a) (0,32) é um ponto do gráfico; logo, no instante zero havia32 bactérias.

b) 275

190

85Logo, da 5

ª

para a 6

ª

hora, a população aumentou de 85 bacté-rias.

c) 190

92

98Logo, da 3

ª

para a 5

ª

hora, a população aumentou de 98 bac-térias.

16.

A leitura do gráfico nos permite concluir que:I) V; II) V; III) V; IV) F; V) F; VI) V; VII) V; VIII) F.

17.

A leitura do gráfico nos permite concluir que:I) V; II) F; III) V; IV) F; V) V; VI) F; VII) V; VIII) V;IX) F; X) V; XI) F.

18.

É função de

A

em

B

porque qualquer reta paralela ao eixo

Oy

, pas-sando por um ponto de abscissa

x

, com

x

A

, intercepta o gráficonum único ponto.

19.

Não é função de

A

em

B

, porque a reta paralela ao eixo

Oy

, pas-sando pelo ponto de abscissa 6, com 6

A

, intercepta o gráficoem mais de um ponto.

20.

Representam funções os gráficos (a) e (d), pois, em cada um deles,toda reta paralela ao eixo

Oy

, passando por um ponto da abscissa

x

, com

x

[

3, 6], intercepta o gráfico em um único ponto.

–1

1

A B0

2

–1

58

012

3

–1

1

A B0

2

–1

58

012

3

–1

1

A B0

2

–1

58

012

3

y

x2 40

2

3

–2

–1–2

1

–4

x

4 1

2 0

0 1

2 2

4 3

x 2

2---------------------

Tempo do uso doautomóvel (anos) Valor de mercado (R$)

0 20.000,00

1 0,9 20.000

2 0,9 0,9 20.000 (0,9)2 20.000

3 0,9 (0,9)2 20.000 (0,9)3 20.000

x (0,9)x 20.000

11. a) f(0) 5 0 5 c) f(2) 5 (2) 7

b) f(3) 5 3 2 d) 5

Temperatura emgraus Celsius

Comprimento da colunaem milímetros

0 40

5 48

10 56

15 64

x 0 y 40 -------------------- 5

8 ------ 8x

5----------

f [1

2 ------]

1 2 ------ 9

2 ------

x2 12 x

----------------------

3 f (1) f (2) f (1) ----------------------------------------- 3 (3)

0 1---------------------------


74

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

21. a) (x, y) f ⇔ 6 x 3 e 7 y 4; logo, D( f ) x R 6 x 3 eIm( f ) y R 7 y 4

b) (x, y) g ⇔ (6 x 1 e 5 y 2) ou (5 x 8 e6 y 7);logo, D(g) x R 6 x 1 ou 5 x 8 eIm(g) y R 5 y 2 ou 6 y 7

c) (x, y) h ⇔ 7 x 5 e 7 y 7; logo,D(h) x R 7 x 5 e Im(h) y R 7 y 7

22. Desenhando o triângulo retângulo PQR, representado abaixo, te-mos que PR 3 e QR 4.

Aplicando o teorema de Pitágoras, calculamos PQ, que é a distân-

cia pedida: (PQ)2 32 42 ⇒ PQ 5Logo, a distância percorrida pelo trem é 5 km.

23. Consideremos um ponto P, entre D e B:

Observando que OPP’ OBB’ e que xB yB, concluímos quexP yP, isto é, qualquer ponto do segmento tDBu possui a abscissaigual à ordenada. Logo, os seis pontos pedidos são:(3, 3), (2, 2), (1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 2).

24. a) y 26xb) Sim, porque para cada medida t de tempo (em minutos) está

associado um único volume y de água despejada.

25. a) S(8) 4 0,44

Logo, uma pessoa de 8 kg tem 0,44 m2 de superfície corporal.

b) S(p) 0,88 ⇒ 0,88, ou seja,

8 ⇒ p 22,4

Logo, quando a superfície corporal da criança for 0,88 m2, suamassa será 22,4 kg.

26. a) Para x 100, temos:

P 50 52

Logo, o comprador deve pagar 52 dólares por saca.

b) Para x 200, temos:

P 50 51

Logo, o comprador deve pagar 51 dólares por saca.

c) Para P 54, temos:

54 50 ⇒ x 50

Logo, o comprador deve adquirir 50 sacas.

27. a) Como ficarão vagos 15 lugares, cada passageiro vai pagar(50 2 15) reais e, portanto, a empresa rceberá25(50 2 15) reais, isto é, R$ 2.000,00.

b) f(x) x[50 2(40 x)], ou seja, f(x) 2x2 130x

28. bA reta horizontal que intercepta o gráfico no ponto da abscissa1975, também o intercepta no ponto de abscissa 1963 (aproxima-damente).

29. Indicando por h(t) a altura da planta, em cm, ao final de t semanas,temos:

a) A altura da planta ao final da terceira semana era h(3), ou seja,30 cm.

b) O crescimento da planta durante a terceira semana foih(3) h(2), ou seja, 5 cm.

c) Observando que h(1) h(0) h(2) h(1) h(3) h(2),concluímos que o maior desenvolvimento da planta ocorreu naprimeira semana.

30. a) Os pontos (0, 1) e (2, 0) pertencem a f; logo,

⇒

a 2 e b 2

b) Como f(x) temos:

f(3) f(1)

31. I) F, pois o ponto (1, y) f é tal que y 0.II) V, pois o ponto (6, y) g é tal que y 0.III) V, pois o ponto (2, y) g é tal que y 0.IV) V, pois f(0) 1 e g(0) 2.V) F, pois f(4) 0 e g(4) 0.VI) V, pois f(2) 0 e g(2) 0VII) V, pois f(1) 0 e g(1) 0.

32. e.Indicando por k a abscissa do ponto extremo do gráfico no primei-ro quadrante, temos:

Da semelhança dos triângulos ABC e EDC obtemos:

⇒ k 4

Logo, D( f ) [6, 4]

11

7

1 4

Q

H

x

RP

P

O

A B

D C

P

3

3 x

y

B

11 100 ------------ 8

2 3 ------ 11

100 ------------ 11

25 ---------

11 100 ------------ p

2 3 ------

p2

3 ------

83

2 ------

83 16 2

200 100

------------

200 200 ------------

200 x

------------

f (0) 1

f (2) 0

0 a 0 b ----------------- 1

2 a 2 b ----------------- 0

x 2 x 2 ----------------- ,

3 2 3 2 ----------------- [

1 2 1 2 -----------------------]

16 5

---------

y

xK0–6

5

3

D E

C

BA

6 k ------ 3

2 ------


75

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

1. a) Condição de existência: x 0. Logo, D( f ) x R x 0.

b) Condição de existência: x 0. Logo, D( f ) x R x 0.

c) Existe f(x) para qualquer x real; logo, D( f ) R.

d) Existe f(x) para qualquer x real; logo, D( f ) R.

e) Condição de existência: x 3 e x 3. Logo,D( f ) x R x 3 e x 3.

f) Condição de existência: x 2. Logo, D( f ) x R x 2

g) Condição de existência: x 6 e x 6 e x 2.Essa condição pode ser expressa, simplesmente, por x 2 ex 6; logo, D( f ) x R x 2 e x 6

h) Condição de existência: x 0 e x 1 e x 1 e x 2.Logo, D( f ) x R x 2 e x 1 e x 0 e x 1.

i) Condição de existência: x 0. Logo, D( f ) x R x 0.

2. a) x2 4x 3 0

⇒ x 1 ou x 3

Logo, as raízes de f são 1 e 3.

b) 5x 3 0 ⇒ x

Logo, a única raiz da função é

c) 0 ⇒ x2 9 0 x 3 ou x 3

Logo, as raízes de f são 3 e 3

d) x4 4x2 0 ⇒ x2(x2 4) 0 x 0 ou x 2 ou x 2Logo, as raízes de f são 0, 2 e 2.

e) x4 3x2 2 0(x2)2 3x2 2 0Fazendo t x2, temos: t2 3t 2 0

⇒ t 1 ou t 2

Retornando à variável original:

• para t 1, temos x2 1

• para t 2, temos x2 2

Então:

x 1 ou x

Logo, as raízes da função são 1, 1, e

f) x2 1 0 ⇒ x2 1Logo, a função não tem raiz real, pois nenhum número real aoquadrado é igual a um número negativo.

g) x3 6x2 8x 0 ⇒ x(x2 6x 8) 0; logo, as raízes de fsão 0, 2 e 4.

h) 0 ⇒ 2x 2 5x 3 0; logo, a

única raiz da função é

i) 2x 0 (com x 0) ⇒ x 6 2x2 0; logo, as

raízes da função são 2 e

3. a) As abscissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo Oxsão as raízes da função f , que são as raízes da equaçãox2 6x 5 0, ou seja, x 1 ou x 5.

b) A ordenada do ponto onde o gráfico intercepta o eixo Oy éf(0), ou seja, f(0) 02 6 0 5 5

4. a)

b)

c)

5. a) Para qualquer x real, tem-se que f(x) 5; logo. D( f ) R eIm( f ) 5.

b) Para qualquer x real, tem-se que f(x) logo,

D( f ) R e Im( f )

6. a) A função f é crescente no intervalo [3, 2].b) A função f é decrescente no intervalo [2, 5].c) A função f é constante nos intervalos [7, 3] e [5, 8].

7. eSe o número de nascimentos é igual ao número de mortes, então apopulação permanece constante. Isso aconteceu no intervalo de 10a 12 anos.

8. a)

b)

c) A correspondência f 1 não é função porque há elemento doconjunto B que possui mais de uma imagem em A.

9. Temos:

Concluímos que f é invertível porque ela é uma correspondênciabiunívoca entre os conjuntos A e B.

10. a) x 3y 5 ⇒ x 5 3y

y

Logo, a inversa da função y 3x 5 é a função y

b) x 8y 4 ⇒ x 4 8y

y

Logo, a inversa da função f é a função f 1(x)

Capítulo 6

S 4

P 3

3

5 ------

3

5 ------ .

x2 9

S 3

P 2

2

2 2 .

x 1 2

----------------- 5x 3 4

---------------------

1

3 ------ .

x 6 x

-----------------

3

2 ------ .

5

0

y

x

–1

0

y

x

0

y

x

√2

1 2 ------ ;

1

2 ------

1–12

–23

A f B2

5

10

1–1

2–2

3

Af –1B2

5

10

1

3

4

7

AB

f–4

2

6

72

x 5 3

-----------------

x 5 3

----------------- .

x 4 8

-----------------

x 4 8

-----------------


76

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c) x ⇒ xy 2x y 3

xy y 2x 3 y(x 1) 2x 3

y

Logo, a inversa da função y é a função

y

d) x ⇒ xy 8x 5y 2

xy 5y 2 8x y(x 5) 2 8x

y

Logo, a inversa da função g é a função g1(x)

11. A reta r que contém as bissetrizes dos quadrantes I e III é o gráficoda função y x. Consideremos o quadrado de vértices (3, 3), (3, 5),(5, 5) e (5, 3):

Como as diagonais do quadrado são perpendiculares entre si, e oponto comum a elas é ponto médio de cada uma, concluímos queo ponto P(5, 3) é o simétrico do ponto P em relação à reta r. Ge-neralizando, o simétrico de um ponto P(x, y), em relação à reta quecontém as bissetrizes dos quadrantes ímpares, é o ponto P(y, x).

12. cTemos que (x, y) é ponto do gráfico de f se, e somente se, (y, x) éponto do gráfico de f1. Pelo exercício anterior, temos que cadaponto (x, y) é o simétrico do ponto (y, x) em relação à reta r quecontém as bissetrizes dos quadrantes ímpares; logo, os gráficos def e f1 são simétricos em relação a r.

13. O gráfico de f1 é simétrico ao gráfico de f em relação à reta su-porte das bissetrizes dos quadrantes ímpares.Logo, o gráfico de f1 é:

Observe que D(f1) Im(f) [4, 5]e Im(f1) D(f) [0, 3].

14. d

1 x 5

Logo, D( f ) x R 1 x 5

15. aA expressão x2 9, com x R, assume todos os valores do inter-valo [9, ∞[, e somente eles. Logo, a função f(x) as-sume todos os valores do intervalo [3, ∞[, e somente eles. As-sim, temos que Im( f ) [3, ∞[

16. bTemos que f(1) 0, ou seja, 13 a 12 b 1 3 0 e, por-tanto, a b 4.

17. a) A função f é constante, pois para qualquer valor t do tempo,no período considerado, tem-se f(t) 16.780.

b) A função g é crescente, pois para dois valores quaisquer t1 e t2

do tempo, no período considerado, tem-se que: se t2 t1, entãog(t2) g(t1).

c) A função h é decrescente, pois para dois valores quaisquer t1 et2 do tempo, no período considerado, tem-se que: se t2 t1, en-tão h(t2) h(t1).

18. D( f ) R* e para qualquer x, x D( f ), temos que f (x) 1; logo,o gráfico de f é:

19. a) A velocidade é crescente no intervalo [0, 2], pois para quais-quer valores t1 e t2 desse intervalo, tem-se:t1 t2 ⇒ v(t1) v(t2).

b) A velocidade é decrescente no intervalo [7, 10], pois paraquaisquer valores t1 e t2 desse intervalo, tem-se:t1 t2 ⇒ v(t1) v(t2).

c) A velocidade é constante no intervalo [2, 7], pois para qualquervalor t desse intervalo, tem se: v(t) 8.

20.

A leitura do gráfico nos permite concluir que:a) Do mês 1 ao mês 3 a taxa de inflação foi crescente.b) Do mês 6 ao mês 8 a taxa de inflação foi constante.c) Do mês 9 ao mês 11 a taxa de inflação foi decrescente.d) Do mês 7 ao mês 8 a taxa de inflação foi constante e, portanto,

a variação foi de 0%.

21. eDe 1979 a 1980 o PIB cresceu 10 unidades, e de 1993 a 1994 ocrescimento foi menor que 10 unidades.

22. a) n 5 ⇒ q 200 5 1.000

q 1.000 ⇒ p 3 3,5

Logo, o custo de produção será de R$ 3,50

y 3 y 2 -----------------

2x 3 x 1

---------------------

x 3 x 2

----------------- 2x 3

x 1--------------------- .

5y 2 y 8

---------------------

2 8x x 5

--------------------------

2 8x x 5

--------------------------

8x 2 5 x

--------------------

5

45°

3

3 5

y r : y = x

x

P

P’

5

45°

32

0

–4

–4 32 5

y

x

f

f –1

5 x 0

x 1 0

x2 9

x

1

y

0O

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10 11 12 x

y

500 1.000 -----------------


77

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b)

Substituindo (I) em (II), temos:

p 3 ⇒ p

c) p 3 ⇒ n

23. cComo os pontos (0, 2) e (3, 4) pertencem a f , os pontos (2, 0) e(4, 3) pertencem a f 1, cuja lei de associação é da formaf 1(x) ax b , com a, b R e a 0. Assim, temos:

⇒ e, portanto, a e b 3.

Logo, f 1(x) 3.

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. e

⇒ e, portanto, k 4

e t 1.Logo, f(x) 4x 1

Analisando as alternativas, concluímos que a afirmação verdadei-

ra é a última, pois f(x) 0 ⇔ 4x 1 0 e, portanto, x

3. a) Os pontos (1, 3) e (0, 1) pertencem ao gráfico, logo, temos:

⇒

Logo: b 1 e a 2

b) Fazendo 2x 1 0, temos x que é a raiz da função

y 2x 1.

4. a) A lei que associa a abscissa x à ordenada y é do tipo y ax b.Como (0, 32) e (100, 212) pertencem ao gráfico temos:

⇒ a e b 32

Logo: y 32

q 200 n (I)

p 3 500

q------------ (II)

5 2n ---------- 6n 5

2n---------------------

5 2n ---------- 5

2 p 6 ---------------------

f 1(2) 0

f 1(4) 3

2a b 0

4a b 3

3 2 ------

3x 2

----------

Capítulo 7

2

–4

y

x

x

0

2

y

4

0

–2

–4

y

x

x

0

2

y

4

0

5

1

y

x

x

0

1

y

0

5

–5

1

y

x

x

0

1

y

0

5

–3

32

y

x

x

0

3 2 ------

y

3

0

–3

1

y

x

x

0

3

y

1

0

2

3

y

x

x

0

2

y

0

3

x0

3

y

–1–1

f (1) 3

f (0) 1

k t 3

t 1

1

4 ------ .

3 a 1 b

1 a 0 b

3 a b

1 b

1

2 ------ ,

32 a 0 b

212 a 100 b

9 5 ------

9x 5

----------


78

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) Para y 4, temos 4 32 ⇒ x 20.

Logo, a temperatura 4 °F corresponde a 20 °C.

5. aTemos:

60 ⇒ k 16

A equação da reta r é do tipo y ax b . Como os pontos (0, 4)e (6, 16) pertencem à reta, temos:

⇒ a 2 e b 4

Logo, y 2x 4.

6. a)

Abril: 160 0,02 8.350 327Maio: 160 0,02 10.200 364Junho: 160 0,02k

b)

y 160 0,02xNote que o gráfico é uma semi-reta.

c) 0,02

Logo, a taxa média de variação é de R$ 0,02 para cada R$ 1,00de vendas.

8. a)

b)

9. a) f(x)

b)

10. a)

b)

7. a)

D( f ) R;Im( f ) y R y 3.

c)

D( f ) R;Im( f ) R.

b)

D( f ) R:Im( f ) y R y 4.

d)

D( f ) R;Im( f ) R.

9x 5

----------

(k 4) 6 2

------------------------------

4 a 0 b

16 a 6 b

Venda (R$) Rendimento (R$)

Abril 8.350 327

Maio 10.200 364

Junho k 160 0,02k

360

160

10.000 x

y

y x ----------- 160 0,02 1.000 (160 0,02 500)

1.000 500--------------------------------------------------------------------------------------------------------

x5

53

7

y

•

••

x4

9

7

–1 6

y

•

•

•

4

–3 1 x

y

•

•

x4

5

3

–1 6

y

2

•

•

•

•

x5

47

2

y

x42 3

53

–1–3

16

y

•

•

••

•

•

c)

x4

65

2

–1 3

y

•

•

•

20, se 0 x 1.000

x 50 --------- , se x 1.000

2420

1.2001.000

(diâmetro,em mm)

x (massa em kg)

y

0

2

–10

y

x

f(x) = 5x –10 x– +

2

–2

–10

y

x

f(x) = –5x –10 x+ –

–2


79

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c)

d)

e)

f)

11. a) Para f(x) 0, temos: 2x 5 0 ⇒ x

Para f(x) 0, temos: 2x 5 0 ⇒ x


b) Para f(x) 0, temos: 2x 5 0 ⇒ x



c) Para y 0, temos: 6x 0 ⇒ x 0Para y 0, temos: 6x 0 ⇒ x 0Para y 0, temos: 6x 0 ⇒ x 0

d) Para y 0, temos: 6x 0 ⇒ x 0Para y 0, temos: 6x 0 ⇒ x 0Para y 0, temos: 6x 0 ⇒ x 0

12. Os pontos (1, 1) e (2, 2) pertencem ao gráfico; logo, temos:

⇒ a 3 e b 4

Assim, temos a lei y 3x 4.

A raiz da função é e, observando o gráfico, temos:

13. O gráfico é parte da reta de equação y ax b, que passa pelos

pontos (2, 3) e (8, 6); logo, ⇒ a e

b 6

Assim, a temperatura y em função do tempo x é dada por:

y 6

a) Para y 0, temos: 6 0 ⇒ x 4

Logo, às 4 horas a temperatura atingiu 0 °C.

b) Para y 0, temos:

6 0 ⇒ x 4

Logo, no período considerado, a temperatura esteve positivadurante 2 horas, no intervalo 2 x 4.

c) Para y 0, temos:

6 0 ⇒ x 4

Logo, no período considerado, a temperatura esteve negativadurante 4 horas, no intervalo 4 x 8.

14. a)

S x R \ 2 x ou ainda S 62,

1

13

y

x

f(x) = 3x +1 x– +

–

13

–

1

13

y

x

y = –3x +1 x+ –

13

5

1

0

y

x

y = 5x x– +

–5

1

0

y

x

y = –5x x+ –

5 2 ------

5 2 ------

5 2 ------

f(x) = 2x –5 x– +

52

5

2 ------

5

2 ------

5

2 ------

f(x) = –2x –5 x+ –

52

–

y = 6x x– +

0

y = –6x x+ –

0

1 a 1 b

2 a 2 b

4 3 ------

y = 3x –4 x– +

43

3 a 2 b

6 a 8 b

3 2 ------

3x

2----------

3x

2----------

3x

2----------

3x

2----------

f(x) . g(x)

g(x) = 2x – 1

–2

f(x) = 3x + 6 x

–

–

+

–

+

12

–

+

+

+

1 2 ------

1 2 ------5


80

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b)

S x R x 1 ou x 5 ou ainda

S

c)

S x R 0 x 1 ou x 2 ou aindaS [0, 1] [2, ∞[

15. Fatorando o primeiro membro, temos:(x 2)(x 3) 0

S x R x 2 ou x 3 ou ainda S ]∞, 2[ ]3, ∞[

16. (2x 1) (x 5) x 5 ⇒ (2x 1) (x 5) (x 5) 0,ou seja, (x 5) (2x 2) 0

S x R x 5 ou x 1 ou ainda S ]∞, 5[]1, ∞[

17. a) Condição de existência: x

Como o numerador é positivo, a fração será negativa se, e so-mente se, o denominador for negativo.

3x 5 0 ⇒ x

S x R x

b) Condição de existência: x

Como o numerador é positivo, a fração será positiva se, e so-mente se, o denominador também for positivo.

1 2x 0 ⇒ x

S x R \ x

c) Condição de existência: x

Como o numerador é negativo, a fração será positiva se, e so-mente se, o denominador for negativo.

0 ⇒ 2x 5 0, ou seja, x

S x R \ x

18. a) Condição de existência: x 5

S x R \ x ou x 5

b) Condição de existência: x

S x R \ x ou x

c) Condição de existência: x 1

S x R \ 1 x 5

d) Condição de existência: x

S x R \ x ou 1 x

e) Condição de existência: x 6

S x R 1 x 4 ou x 6

f) Condição de existência: x

1 ⇒ 1 0, ou seja,

0

h(x) = 2x –1

f(x) . g(x) . h(x)

g(x) = –x + 5

–1 5

f(x) = x + 1 x

+

–

–

+

+

12

–

+

+

+

–

+

+

+ – + –

1 2 ------

6 , 1 31

2 ------4 , 55

h(x) = –x + 2

f(x) . g(x) . h(x)

g(x) = x – 1

0 1 2

f(x) = x x

–

–

+

+

–

+

+

–

+

+

+

+

+

+

–

–

f(x) . g(x) = (x – 2)(x – 3)

g(x) = x – 3

2

f(x) = x – 2 x

–

–

+

–

+

–

+

+

+

3

f(x) . g(x) = (x + 5) . (2x – 2)

g(x) = 2x – 2

–5

f(x) = x + 5 x

–

–

+

–

+

–

+

+

+

1

5

3 ------

5

3 ------

5

3 ------

1 2 ------

1 2 ------

1 2 ------

5

2 ------

3 2x 5 ---------------------

5 2 ------ .

5

2 ------

f(x)g(x)

2x – 3x – 5

g(x) = x – 5

32

f(x) = 2x – 3 x

–

–

+

–

+

–

+

+

+

5

=

3 2 ------

7 2 ------

f(x)g(x)

5x + 17 – 2x

g(x) = 7 – 2x

15

f(x) = 5x + 1 x

+

–

–

+

+

+

–

+

–=

– 72

1

5 ------ 7

2 ------

f(x)g(x)

–x + 5x – 1

g(x) = x – 1

1 5

f(x) = –x + 5 x

–

+

–

+

+

+

+

–

–=

5 2 ------

h(x) = 2x – 5

13 1

g(x) = 1 –3x

f(x) = x – 1

–

+

+

–

–

–

–

–

+

+

–

– – + +

–

x

f(x) . g(x)h(x)

52

1 3 ------ 5

2 ------

h(x) = x – 6

4 61

g(x) = x – 4

f(x) = x – 1

–

–

–

–

–

+

–

+

–

+

+

– + + +

+

x

f(x) . g(x)h(x)

1 2 ------

x 2x 1 --------------------- x

2x 1 ---------------------

3x 1 2x 1 ---------------------


81

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

S x R \ x

19. a) Para x 100, temos:

D 20 30

Logo, a despesa será de 30 mil reais.

b) Para D 50, temos:

50 20 ⇒ x 300

Logo, a empresa terá 300 funcionários.

c)

20. a) 50 0,8 m2 40 m2

Logo, o cliente adquiriu 40 m2 de papel.

b) y 0,8x

c) y 5 50 0,8 3 x 0,8 ⇒ y 200 2,4x

21. Temos que D( f ) x R x 3. Para que x D( f ) a expres-

são é equivalente a x 3.

Assim, o gráfico de f é:

22. aA lei que associa x e y é do tipo y ax b , com a, b R ea 0. Assim, temos que:

⇒ a 2 e b 140

Logo, y 2x 140.Atribuindo-se o valor 40 à variável x, obtém-se o preço unitário,em reais:y 2 40 140 60

23. cUm gráfico cartesiano que descreve essa situação é:

A lei que determina esse gráfico é da forma y ax b com a e breais e a 0. Como os pontos (0, 9.000) e (4, 4.000) pertencemao gráfico, temos:

⇒ b 9.000 e a 1.250

Assim, temos a lei y 1.250x 9.000.Atribuindo o valor 1 para x, obtemos y 7.750, ou seja, o valordo carro com 1 ano de uso é de R$ 7.750,00.

24. • O trecho que liga os pontos (0, 10) e (2, 20) é parte da reta de

equação v at b ; logo, ⇒ a 5 e b 10

Assim para 0 t 2, tem-se: v 5t 10.

• O trecho que liga os pontos (2, 20) e (6, 20) é parte da reta deequação v 20.Assim, para 2 t 6, tem-se: v 20

• O trecho que liga os pontos (6, 20) e (8, 40) é parte da reta de

equação v pt q; logo, ⇒ p 10 e

q 40Assim, para 6 t 8, tem-se: v 10t 40Resumindo, podemos expressar v em função de t do seguintemodo:

v(t)

Nota: Há outras formas, também corretas, de se distribuírem asrelações e nas duplas desigualdades acima.

25. Indicando por x a massa da carga, em kg, temos que:• para x 45 o preço do transporte é P 110 2,60x;• para x 45, calcula-se o preço do transporte de 45 kg de carga,

isto é, 110 2,60 45, e adiciona-se o valor do transporte sobreo que exceder 45 kg, isto é, 2,30(x 45)Resumindo, temos:

P(x)

26. Indicando por x os valores em minutos, e por f(x) os valores em°C, a lei que associa x a f(x) é da forma f(x) ax b , pois o grá-fico é parte de uma reta. Como os pontos (0, 30) e (6, 6) perten-

cem ao gráfico, temos os sistema: e, portanto,

b 30 e a 6. Logo, f(x) 6x 30.

13

12

f(x)g(x)

3x – 12x – 1

g(x) = 2x – 1

f(x) = 3x – 1 x

–

–

+

–

+

–

+

+

+=

1 3 ------ 1

2 ------

100 10

------------

x 10 ---------

x10

20,5

y

21

5

x1

0,8

y

x100

200

440

y

x2 9 x 3

-------------------

x–3 3

6

3

y

•

•

100 20a b

40 50a b

4.000

9.000

4Tempo de uso (anos)

Preço (R$)

9.000 a 0 b

4.000 a 4 b

10 a 0 b

20 a 2 b

20 p 6 q

40 p 8 q

5t 10, se 0 t 2

20, se 2 < t < 6

10t 40 , se 6 t 8

110 2,60x , se x 45

227 2,30(x 45), se x 45

30 0a b

6 6a b


82

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

a) Basta fazer f(x) 06x 30 0 ⇒ x 5Assim, a temperatura da barra atingiu 0 °C após 5 minutos doinício do resfriamento.

b) Estudando o sinal da função, temos:

Logo, a temperatura esteve positiva no intervalo0 min x 5 min.

c) Observando o gráfico anterior, a temperatura esteve negativano intervalo 5 min x 6 min.

27. (x 3)(3x 1) x 3 ⇔ (x 3)(3x 1) x 3 0Fatorando o 1º membro, temos: (x 3)(3x 2) 0

S x R \ x 3

Note que o menor número inteiro positivo que pertence a S é onúmero 1.

28. x ⇔ 0

Fatorando o numerador, temos:

0

S x R 1 x 0 ou x 1

29. a) 4

b) 4

30. a) d 90t

b) 90

Logo, a taxa média de variação foi de 90 km/h.

1. a)

b)

c)

30

0 5

6

–6

x

f(x)

–

+

f(x) . g(x)

g(x) = 3x + 2

323

f(x) = x – 3 x

–

–

+

+

–

–

+

+

+

–

2

3 ------

1 x ------ x2 1

x-------------------

(x 1) (x 1) x

-----------------------------------------

h(x) = x

f(x) . g(x) h(x)

g(x) = x – 1

0–1 1

f(x) = x + 1 x

–

–

–

–

–

+

–

+

–

+

+

–

+

+

+

+

y x ----------- 4 9 5 (4 3 5)

9 3------------------------------------------------------------

y x ----------- 4 10 5 (4 7 5)

10 7---------------------------------------------------------------

dt

---------- 90 4 90 1 4 1

---------------------------------------

Capítulo 8

–1 1 3

–3

x

y

–4

D R e Im [4, ∞[

1 20 x

y

4

D R e Im ]∞, 4]

1

x

y

12

12

D R e Im 5 1 2 ------ , ∞3


83

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

d)

e)

2. a) Os pontos (1, 0), (3, 0) e (0, 3) pertencem ao gráfico;

logo: ⇒ c 3

Substituindo (III) em (I) e (II), temos:

⇒ a 1 e b 2

b) Como y x2 2x 3, temos que

(2)2 4 1 (3) 16 e, portanto,

yV 4. Assim, o conjunto-imagem

da função é Im( f ) y R y 4.

3. a)

b)

4.

5. a)

x

y

1

1

D R e Im [0, ∞[

x

y

–9

D R e Im ]∞, 9]

0 a b c (I)

0 9a 3b c (II)

3 0a 0b c (III)

0 a b 3

0 9a 3b 3

4a ----------

16 4 1 ----------------

x

y

4

321

3

5

–5

D( f ) R e Im( f ) y R y 3

0 43

32

65

4

6

7

x

y

94

–

D R;

Im y R y 9

4 ------ .

– 2

1

2

– 3

x

y

– 4

Logo, o conjunto-imagem é Im( f ) y R y 3.

0 1 4 7

7

–9

x

y

O mínimo da função é 9;o ponto de mínimo é 4;


84

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b)

c)

d)

6. A altura máxima H atingida pela bala é dada pelo valor máximo

da função h; então H ou seja, H 500 m. A bala atinge

a altura máxima de 500 m no ponto de máximo T da função h:

T ou seja, T 5 s.

7. a) Para x 20, temos:y 202 80 20 2.000 800Logo o custo unitário será de R$ 800,00

b) Para x 50, temos:y 502 80 50 2.000 500Logo, o custo unitário será de R$ 500,00

c) O ponto de mínimo da função é dado por:

xV 40

Logo, para que o custo unitário seja mínimo, devem ser fabri-cados 40 refrigeradores por dia.

d) Para x 40 (ponto de mínimo), temos:

yV 402 80 40 2.000 400Logo, o custo unitário mínimo é de R$ 400,00

8. a) Raízes da função f(x) x2 5x 4x2 5x 4 0

⇒ x 1 ou x 4

b) Raízes da função y x2 x 2

x2 x 2 0

⇒ x 1 ou x 2

c) Raízes da função y x

x2 2x 1 0

⇒ x 1

0

–3

x

y

5– — 2

1—2

O máximo da função é

o ponto de máximo é

5

2 ------ ;

1 2 ------ ;

0 1 4

9

8

–2 x

y

O máximo da função é 9; o ponto de máximo é 1.

0

1

x

y

2—3

1—3

O mínimo da função é

o ponto de mínimo é

2 3 ------ ;

1 3 ------ .

4a ---------- ,

b

2a ---------- ,

b

2a ---------- [

80 2 1 ----------------]

S 5

P 4

x

y

41

4

f(x) = x2 – 5x + 4 x+ – +

1 4

S 1

P 2

x

y

2

2

–1

y = –x2 + x + 2 x– + –

–1 2

x2 2

-------- 1 2 ------

x2 2

-------- x 1 2 ------ 0

S 2

P 1

x

y

1

12

y = – x + x+ +

1x2

212


85

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

d) Raízes da função f(x) x2 6x 9

x2 6x 9 0

⇒ x 3

e) A função f(x) 3x2 x 1 não tem raízes.

f) A função f(x) x não tem raízes.

9. a) • Raízes de f(x) x2 3x 4x2 3x 4 0 ⇒ x 1 ou x 4

• Gráfico de f

Logo, S x R x 1 ou x 4

b) • Raízes de f(x) 3x2 2x

3x 2x 0 ⇒ x 0 ou x

• Gráfico de f

Logo, S x R 0 x

c) • Raízes de f(x) x2 x 12

x2 x 12 0 ⇒ x 3 ou x 4• Gráfico de f

Logo: S x R 3 x 4

d) • Raízes de f(x) x2 2x 1

x2 2x 1 0 ⇒ x 1• Gráfico de f

Logo: S

e) • Raízes de f(x) x2 6x 9

x2 6x 9 0 ⇒ x 3• Gráfico de f

Logo: S 3

f) • Raízes de f(x) x2 x 6

x2 x 6 0

(1)2 4 1 6 23Logo, f não tem raiz real.

• Gráfico de f

Logo: S R

g) • Raízes de f(x) x

x 0 ⇔ 3x2 2x 1 0

22 4 (3) (1) 8 Logo, f não tem raiz real.

S 6

P 9

x

y

3

–9

f(x) = –x2 + 6x – 9 x– –

3

x

y

1

f(x) = 3x2 – x + 1 x+

2x2 3

------------ 4 3

------

x

y

43

–

x–f(x) = – + x –2x2

343

x–1 4

+ +

2 3 ------

x0 23

–

2

3 ------

–3 4+

x

x

1

x3

x

+

3x2

2------------ 1

2 ------

3x2

2------------ 1

2 ------


86

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

• Gráfico de f

Logo: S

10. Devemos impor que 0, ou seja:(3)2 4 4(m 1) 09 16m 16 0

m

Logo, a função f é positiva para todo x real se, e somente se, m

11. a) S 2.000 100t 10t2, com t N e 0 t 30b) Daqui a x dias o saldo desse cliente atingirá o maior valor. Esse

x pode ser calculado fazendo-se x logo, x 5 dias.

c) Raízes de S: 2.000 100t 10t2 0 ⇒ t 10 ou t 20O gráfico é formado por pontos isolados da curva abaixo, poist N.

O saldo S é positivo para 0 t 20.d) t 21

12. a) Estudando a variação de sinal de cada uma das funçõesf (x) x2 7x 6 e g(x) 2x 4, temos:

S x R x 2 ou 1 x 6 ou aindaS ]∞, 2[ ]1, 6[

b) Estudando o sinal de cada uma das funçõesf(x) x2 6x 8 e g(x) x2 8x 15, temos:

S x R 2 x 3 ou 4 x 5 ou aindaS [2, 3] [4, 5]

c) Condição de existência: x 2.Estudando o sinal de cada uma das funçõesf(x) x2 6x 5 e g(x) 2x 4, temos:

S x R x 1 ou 2 x 5 ou aindaS ]∞, 1[ ]2, 5[

d) Condição de existência: x 5 e x 5Estudando o sinal de cada uma das funçõesf(x) x2 5x 6 e g(x) x2 25, temos:

S x R 5 x 2 ou 3 x 5 ou aindaS ]5, 2] [3, 5[

13. aTemos que f(1) 3 e f(1) 3; logo, A(1, 3) e B(1, 3).Assim, a base do retângulo no eixo Ox mede 2 unidades e a alturamede 3 unidades e, portanto, a área desse retângulo, em unidadesde área, é 6.

14.

15. Os pontos (0, 0), (2, 1) e (4, 0) pertencem ao gráfico, logo:

⇒ a b 1 e c 0

x–

25 16 ---------

25 16 --------- .

b

2a ---------- ;

x

2.000

3020

–4.000

y

f(x) . g(x)

g(x) = 2x + 4

–2

f(x) = x2 – 7x + 6 x

–

+

–

+

+

+

+

–

–

+

+

+

1 6

f(x) . g(x)

g(x) = –x2 + 8x – 15

2

f(x) = x2 – 6x + 8 x

–

+

–

–

–

+

+

–

–

+

+

+

–

+

–

3 4 5

g(x) = 2x – 4

–

2 51

f(x) = x2 – 6x + 5 x+

–

+

–

– –

+

–

+

+

+f(x)

g(x)

g(x) = –x2 + 25

–

2 3 5–5

f(x) = x2 – 5x + 6 x+

–

+

+

+ –

+

–

+

+

+

+

–

–f(x)

g(x)

f

–1

–5

–8

3 5 x

y

Im( f ) [8, ∞[

0 a 02 b 0 c

1 a 22 b 2 c

0 a 42 b 4 c

1

4 ------ ,


87

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

16. A função procurada é da forma y ax2 bx c, coma, b , c R e a 0. Como os pontos (0, 1), (1, 2) e(2, 7) pertencem ao gráfico, temos:

⇒ a 1, b 2 e c 1

Logo, a função quadrática é y x2 2x 1

17. eA lei que associa x e y é:y (10 x)(6 x), ou seja, y x2 4x 60.A área máxima, em hm2, que a nova chácara pode ter é a ordenada yv

do vértice da parábola, que contém o gráfico da função y x2 4x 60 (observe que o gráfico dessa função não é toda a parábo-la, pois x 0 e y 0, ou seja,

yv 64

18. 1 ⇒ 1 m 5

19. c f(x) (70 x)(x 10) ⇒ f(x) x2 80x 700

O valor máximo de f é dado por ou seja:

900

20.

Indicando por S(x) a área do retângulo ADEF, temos:

S(x) xy ⇒ S(x) x ou seja, S(x) 4x.

O máximo valor possível de S(x) é 8.

21. cx2 10x 16 0• Raízes de f(x) x2 10x 16

x2 10x 16 0 ⇒ x 2 ou x 8• Gráfico de f

Logo, o conjunto solução da inequação é:S x R 2 x 8Note que há exatamente cinco números inteiros pertencentes a S:3, 4, 5, 6 e 7.

22. a) x2 62x 600 0 ⇒ x 12 ou x 50Para x 0 ⇒ L 600; logo k 600.Portanto: x1 12; x2 50 e k 600.

b) Para que o lucro passe a ser positivo, o número de apartamen-tos vendidos deve ser maior do que 12; logo, o menor númeropossível é 13.

c) Para x 31, temos L 312 62 31 600, então,L 361 mil dólares.A porcentagem de lucro sobre o custo da obra é:

60,17%

23. A medida, em metros, do raio R do círculo cresce em função dotempo t , em segundos, de acordo com a função R 3t . Portanto,a área A do círculo é dada por A π(3t)2 9πt2.

Assim, temos: m2/s 63π m2/s

Logo, a taxa média de variação da área em relação ao tempo, no

intervalo de 2 a 5 s é de 63π m2/s. Isso quer dizer que, em cada se-

gundo desse intervalo, a área cresce, em média, 63π m2.

24. cx2 2x p 10 0 será verdadeira para qualquer x R, se esomente se, a função f(x) x2 2x p 10 não possuir raiz real.Logo o discriminante deve ser negativo: 4p 44 0 ⇒ p 11.

25. 204 202

Condição de existência: x 0

2 0 ⇒

⇒ 0

0

Logo, deve ser produzida qualquer quantidade x, em toneladas,com 10 x 20.

26. R ⇔ 0

Para isso devemos ter x2 6x 0, pois x2 9 é positivo paraqualquer x real. Estudando o sinal de f(x) x2 6x, temos:

Logo, D( f ) x R x 0 ou x 6.

1. I) V, pois o módulo de um número positivo é igual ao próprio nú-mero.

II) V, pois o módulo de zero é igual ao próprio zero.III) V, pois o módulo de um número negativo é igual ao oposto

desse número.

IV) F, pois é um número negativo e, portanto, seu mó-

dulo é

V) V, pois é um número positivo e, portanto, seu mó-

dulo é

VI) V, pois é um número negativo e, portanto, seu

módulo é 2,3

VII) V, pois 0 e, portanto, seu módulo é zero.

VIII) V, pois π 3 é um número positivo e, portanto, seu módulo éπ 3.

IX) F, pois π 3,14 0 e, portanto, π 3,14 0.X) V, pois π 3,15 é um número negativo e, portanto, seu mó-

dulo é 3,15 π.

1 a 02 b 0 c

2 a (1)2 b (1) c

7 a (2)2 b (2) c

4a ----------

42 4 (1) 60 4 (1)

-------------------------------------------------

4a ----------

16 4m 4

---------------------------

4a ---------- ,

802 4 (1) (700)

4(1 )-------------------------------------------------------------------

A

F

B

x

x 8 – x

8 cm

4 cm

y

E

D C

ABC DEC

y

4 y ------ 8

8 x -----------------

8 x 2

-----------------

[ 8 x

2-----------------] ,

x2 2

--------

4a ----------

16 (2) -----------------

82 x–

361.000 600.000 -----------------------

A t

------------ 9π 52 9π 22 5 2

--------------------------------------------

40 x

--------- 120 x 10 --------------------

40 x

--------- 120 x 10 --------------------

2x(x 10) 40(x 10) 120x x(x 10)

-----------------------------------------------------------------------------------------

2x2 60x 400

x2 10x----------------------------------------------

––

g(x) = x2 + 10x +++

–10 0 10 20f(x) = 2x2 – 60x + 400 +

+

+

+

+

–

–

+

+

+

f(x)g(x)

x

x2 6x

x2 9----------------------- x2 6x

x2 9------------------------

0 6 x

+ +

Capítulo 9

2 2

2 2 .

5 2

5 2.

10 3 2,3

10 3 .

9 4 3


88

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

2. a) x 8 3 ⇒ x 8 3 ou x 8 3 e, portanto, x 11ou x 5. Logo, S 11, 5

b) 2x 1 0 ⇒ 2x 1 0 e, portanto, x

Logo, S

c) Não existe x, pois o módulo de qualquer número é maior ouigual a zero; logo, S .

d) x x 2 1 ⇒ x2 2x 1 e, portanto, x2 2x 1 ou

x2 2x 1, ou seja, x2 2x 1 0 ou x2 2x 1 0.Resolvendo estas equações do 2º grau, obtemos:

x 1 ou x 1 ou x 1. Logo,

S 1 1 1

e) Como x2 x2, temos:

x2 3x 0Fazendo a mudança de variável x y, podemos escrever:

y2 3y 0 e, portanto, y 0 ou y 3.Retornando à variável original, temos:x 0 ou x 3, ou seja,x 0 ou x 3 ou x 3.Logo, S 0, 3, 3

3. a) 3x 5 11 ⇒ 11 3x 5 11

Assim, temos: ou ainda

Logo, S x R

b) 6 ⇒ 2x 6 ou 2x 6.

Logo, x ou x

Portanto, S x R x ou x

4. x 0,008 ⇔ 0,008 x 0,008.Assim, o diâmetro pode variar de (5 0,008) cm a (5 0,008) cm.Logo, a maior e a menor medida com que pode ficar esse diâmetrosão 5,008 cm e 4,992 cm, respectivamente.

5. a)

b)

c)

d)

e) 1º passo: g(x) 3x 1

2º passo: h(x) 3x 1

3º passo: f(x) 3x 1

f) 1º passo: g(x) x2 5x 6

1 2 ------ .

1

2 ------

2 2

2 , 2 ,

3x 5 11

3x 5 11

x 2

x 16 3

--------- .

16

3--------- x 2 .

2x 3 2 ------ 3

2 ------ 3

2 ------

15

4--------- 9

4------ .

15

4--------- 9

4------ .

0–1

fg

1

1

x

y

1—2

x

y

1—2

⇒

D( f ) R; Im ( f ) [0, ∞[

g(x) 2x 1 f(x) 2x 1

2 2 3g

6 6

3

f

x

y

x

y

⇒

D( f ) R; Im ( f ) [0, ∞[

g(x) 3x 6 f(x) 3x 6

0 2

2f

1 x

y

0 2

g

1 x

y

–2

⇒

D( f ) R; Im ( f ) [0, ∞[

g(x) 2x2 4x f(x) 2x2 4x

g

f

–1

–2

x

y y

⇒12

1

1 x

D( f ) R; Im ( f ) [1, ∞[

g(x) x2 2x 2 f(x) x2 2x 2

1

g

x

y

13

–

1

2

–1

h

x

y

13

–

–1

–1

–2 f

x

y13

–

D( f ) R; Im ( f ) ]∞, 0]

g

6

2 3x

y

1– — 4

5—2


89

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

2º passo: h(x) x2 5x 6

3º passo: f(x) x2 5x 6

6. a) 1º passo: g(x) 2x 6

2º passo: h(x) 2x 6

3º passo: f(x) 2x 6 3

b) 2x 6 3 5 ⇒ 2x 6 2 e, portanto, 2x 6 2ou 2x 6 2, ou seja, x 4 ou x 2.Logo, os pontos do gráfico de f que têm ordenada 5 são: (4, 5)e (2, 5)

c) 2x 6 3 5 ⇒ 2x 6 2 e, portanto,2 2x 6 2, ou seja, 2 x 4.

7. 1º passo: g(x) x2 4

2º passo: h(x) x2 4

3º passo: f(x) x2 4 1

8. a) 1,6 1,6 1,6

b) 2,4 2,4 2, 4 2, 4

c) 1 2 1 1

d) π 3,14 π 3,15 π 3,14 3, 15 π 0,01 0,01

9. aCondição de existência: x 1.

1 ⇒ 3x 3 x 1 e, portanto,

3x 3 x 1 ou 3x 3 x 1, ou seja,

x 2 ou x

Como esses dois valores satisfazem a condição de existência, con-cluímos que ambos são raízes da equação.

Logo, a soma das raízes é 2

10. a) 5x 7 1 ⇒ 5x 7 1 ou 5x 7 1; logo,

x ou x

Portanto, S

6

h

2 3 x

y

1 — 4

5—2

0

f

–6

2 3 x

y

1– — 4

5—2

D( f ) R; Im ( f ) ]∞, 0]

3

g

0

–6

y

x

0

6h

6 x

y

3

0

9

f

x

y

3

3

6

D( f ) R; Im ( f ) [3, ∞[

x

y

–4

–2 2

g

x

y

4

–2 2

h

x

y

3

–1

f

D( f ) R; Im ( f ) [1, ∞[

3 1,6 3 3 3

5 5 5 5

2 2 2 1 2 2

3 x 1 x 1

--------------------------

1

2 ------

1 2 ------

5 2 ------

8 5 ------ 6

5 ------ .

6

5 ------ , 8

5 ------


90

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) x2 5x 6 ⇒ x2 5x 6 ou x2 5x 6, logo,x 6 ou x 1 ou x 3 ou x 2.Portanto, S 1, 2, 3, 6

c) t t 2 1 ⇒ t (t 2) 1, ou ainda, t2 2t 1.t2 2t 1 ou t2 2t 1, de onde concluímos:

t 1 ou t 1 ou t 1.

Portanto, S 1, 1 1

d) n2 2 n 8 0 ⇒ n 2 2n 8 0Fazendo n t, temos: t2 2t 8 0, ou seja, t 4 ou t 2.Retornando a variável original, chegamos a: n 4 oun 2 (não convém); logo, n 4.Portanto, S 4, 4.

e) k2 5k 4 0 ⇒ k2 5 k 4 0Fazendo k t, temos: t2 5t 4 0, ou seja, t 4 ou t 1.Retornando à variável original, chegamos a: k 4 ou k 1.Logo, k 4 ou k 1. Portanto, S 4, 1, 1, 4.

11. a2x 1 3 ⇒ 2x 1 3 ou 2x 1 3 e, portanto,x 1 ou x 2Logo, S x R x 1 ou x 2

12. t 6 4 ⇒ 4 t 6 4 e, portanto, 2 t 10.Logo, a temperatura máxima foi 10 °C e a mínima foi 2 °C

13. A inequação é equivalente a x2 5x 6.Pela propriedade M.11, temos que:

x2 5x 6 ⇔ ou

O conjunto solução S da inequação é (I) (II), ou seja:

Assim, S x R x 1 ou 2 x 3 ou x 6.

14. a1 x 3 4 ⇒ x 3 4 e x 3 1,

ou seja,

Resolução da inequação I:4 x 3 4 ⇒ x 3 4 e x 3 4; logo, 1 x 7.Assim, SI x R 1 x 7.Resolução da inequação II:x 3 1 ou x 3 1; logo, x 2 ou x 4.Assim, SII x R x 2 ou x 4.O conjunto solução S do sistema é dado por SI SII, ou seja:S x R 1 x 2 ou 4 x 7

15. a) f(x) 3 2x 4 ⇒ f(x) 6x 12Logo, o gráfico de f é:

b) f(x) 2 3x 1 ⇒ f(x) 6x 2Logo, o gráfico de f é:

c) f(x) x 3x 6 ⇒ f(x) 3x2 6x

Logo, o gráfico de f é:

d) f(x) 3 2x 1 2 ⇒ f(x) 6x 3 2Logo, o gráfico de f é:

e) f(x) x 1 x 1 4 ⇒ f(x) x2 1 4Logo, o gráfico de f é:

2 2

2 , 2 .

x2 5x 6

(I)

x2 5x 6

(II)

2 3

2

–1

–1 3

6

6

x

x

x

(I)

(II)

(I) (II)

(I) x2 5x 6 0 (II) x2 5x 6 0

⇒

x 3 4 (I)

x 3 1 (II)

0 2 4

12

x

y

D( f ) R e Im( f ) [0, ∞[

0

–2

–x

y

1– — 3

2 — 3

D( f ) R e Im( f ) ]∞, 0]

y

0 1 2

3

x

D( f ) R e Im( f ) [0, ∞[

y

5

2

112

x

D( f ) R; Im( f ) [2, ∞[

0

1–1

– 4

–3

x

y

D( f ) R e Im( f ) [4, ∞[


91

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

f) f(x) 4 3 x 1 ⇒ f(x) 4 3x 3Logo, o gráfico de f é:

16. Para x 0, temos y 1, para x 0, temos y 1 e para x 0não está definida a função.

17. eA função f assume o seu valor mínimo quando o denominador de

é máximo. Isso ocorre para x 8:

f(8)

A função f assume o seu valor máximo quando o denominador de

é mínimo. Isso ocorre para

x 3: f(3)

18. cRepresentando no plano cartesiano os gráficos de f(x) e g(x),obtemos a figura.

Observando que o gráfico de f(x) está “abaixo” do gráfico deg(x) para x 0 ou x 2, temos:S x R x 0 ou x 2

1. a) 62 6 6 36b) (6)2 (6) (6) 36c) 62 (6 6) 36d) (2)3 (2) (2) (2) 8e) 23 (2 2 2) 8f) 50 1g) (8)0 1

h)

i)

j)

k) 028 0

l) 132 1

m) (1)20 1

n) (1)17 1

o) 42

p)

q)

r)

s)

t) (5)3

2. a) (3x)4 34 x4 81x4

b) (x3)5 x3 5 x15

c) (2x2)3 23 x6 8x6

d) (5a2b3)3 53 a6b9 125a6b9

e)

f)

g) (3a2)4 81a8

3. a) a6 a4 a6 4 a10

b) a8 : a3 a8 3 a5

c)

d) : :

4. a) 27.000.000.000.000.000.000 2,7 1019

b) Como 1 dm3 1.000 cm3, basta multiplicar por 103 o resultadodo item a, obtendo-se 2,7 1022.

5. a) 0,98 4,5 103 kg 4,41 103 kgLogo, após duzentos anos a massa remanescente será de4,41 103 kg.

4

1– 13

1 x

y

73

D( f ) R; Im( f ) ]∞, 4]

1

–1

x

y

D( f ) R*; Im( f ) 1, 1

1 |x | 5 ---------------------

1 |8| 5 -------------------------- 1

13 --------- .

1 |8| 5 ---------------------

1 |8| 5 --------------------- 1

8 ------ .

1 2

|g(x)|

|f (x)|

1

x

y

Capítulo 10

[ 3 2

------]4 3

2------ 3

2------ 3

2------ 3

2------ 81

16---------

[ 3 2

------]4

[ 3 2

------] [ 3 2

------] [ 3 2

------] [ 3 2

------] 81 16

---------

[ 3 2

------]3

[ 3 2

------] [ 3 2

------] [ 3 2

------] 27

8---------

0 0 0 ... 0

28 fatores

1 1 1 ... 1

32 fatores

( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1)

20 fatores

( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1)

17 fatores

1 42 -------- 1

16 ---------

[3

5 ------]

2

[5

3 ------]

2 25 9

---------

[3

5 ------]

2

[5

3 ------ ]

2 25 9

---------

[2

3 ------]

3

[3

2 ------]

3 27 8

---------

[2

3 ------]

3

[3

2 ------]

3 27 8

---------

[1

5 ------]

3 1 125 ------------

[ 3a b2

----------]4 34 a4

b8------------------ 81a4

b8-------------

[ 2ab3

5x4---------------]

2

[5x4

2ab3 ---------------]

2 52 x8

22 a2b6 ------------------------ 25x8

4a2b6 ------------------

[1

3a2 ------------ ]

4

[ 2ab2

c3---------------]

2

[ a2c

b------------]

3 4a2b4 c6

------------------ a6 c3

b3------------------ 4a8b

c3---------------

[ 3x2 y a3b3

---------------]2

[ 3xy2 2a2b2---------------]

3 9x4 y2 a6b6

----------------- 27x3 y6 8a6b6

--------------------

9x4 y2 a6b6

----------------- 8a6b6

27x3 y6 -------------------- 8x

3y4 ------------


92

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) 0,98 5 4,5 103 kg 22,05 103 kg 22,05 103 103 g 22,05 106 g 2,205 105 gLogo, após duzentos anos a massa remanescente será de2,205 105 g.

6. a) 5

b) 3

c) 6

d) 1

e) 0

f) 7

g) 5

h) 2

i) 1

7. a)

b) 22

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

8. a)

b)

3 5 2 3

c)

2 3

d) (4 3)

e) 3

f) (4 2) 8 3 24

g) :

h) :

9. a)

b)

c)

d)

e) 40,5

f) 80,3

10. a)

b)

c)

d)

e) x2

f)

125 3 53 3

243 5 35 5

36 62

1 5

0 6

7 1

125 3 125 3 53 3

32 5 32 5 25 5

1 7 1 7

40 3 23 5 3 23 3 5 3 2 5 3

40

20

10

5

1

2

2

2

5

80 24 5 24 5 5 4 5

80

40

20

10

5

1

2

2

2

2

5

24 23 3 22 2 3 22 2 3 2 6

24

12

6

3

1

2

2

2

3

128 5 27 5 25 22 5 25 5 22 5 2 22 5

2 4 5

128

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

2

40 23 5 22 2 5 22 2 5 2 10

40

20

10

5

1

2

2

2

5

12 22 3 22 3 2 3

12

6

3

1

2

2

3

20 9

--------- 20

9 ---------------- 22 5

32 ----------------------- 22 5

32 ----------------------------- 2 5

3----------------

81 8

--------- 3 81 3

8 3---------------- 34 3

23 3 --------------- 33 3 3 3

23 3----------------------------- 3 3 3

2----------------

18 25

--------- 18

25 ---------------- 32 2

52 ----------------------- 32 2

52 ----------------------------- 3 2

5----------------

6 7 5 7 3 7 7 (6 5 3) 8 7

5 2 3 50 2 18

5 2 3 52 2 2 32 2

5 2 3 52 2 2 32 2

5 2 2 2

5 2 15 2 6 2 2 (5 15 6) 14 2

2 81 3 24 3 5 3 3 2 34 3 23 3 3 5 3 3

2 33 3 3 23 3 3 5 3 3

2 33 3 3 3 23 3 3 3 5 3 3

3 3 2 3 3 5 3 3 6 3 3 2 3 3 5 3 3

3 3 (6 2 5) 13 3 3

4 5 3 2 5 2 12 10

3 2 5 2 5 ( 2 5 2 5 ) 3 4 5

4 3 2 3 ( 3 3 ) 8 9

8 10 2 5 8 10

2 5 ------------------- 8

2 ------ 10

5--------- 4 2

20 6 3 4 2 3 20 6 3

4 2 3------------------- 20

2--------- 6

2------ 3 5 3 3

52

3 ------

52 3

73

5 ------

73 5

91

2 ------

9

81

3 ------

8 3

41

2 ------

4

83

10 ---------

83 10

3 4 31

4 ------

a3 8 a3

8 ------

7 3 71

3 ------

5 51

2 ------

x8 4 x8

4 ------

x5 10 x5

10 ---------

x1

2 ------


93

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

11.

A

2

2

Outro modo:

A

2

2

12.

A

0,5

3

0,5

3

0,25

3,75

Outro modo:

A

[

(0,5)

2

]

0,5

(3

4

)

0,25

(2

4

)

0,5

0,5

2

0,5

3

4

0,25

2

4

(

0,5)

0,5

3

2

2

0,5

3

0,5

3

0,25

3,75

13.

e

E

2

14.

a

E

5

15.

c

x

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

3

16.

b

E

1

π

1

0

1

17.

a)

b) Os preços mínimos e máximo, em reais, de cada ação são da-dos, respectivamente, para os valores 0 e 4 de

x

, isto é:

y

mínimo

1 e

y

máximo

5,06

c) O preço de cada ação cresceu durante todo o tempo de duraçãodo pregão, porque a função que o representa a cada instante,

y

é crescente.

18.

a) 64

x

256

⇒

(2

6

)

x

2

8

, ou seja, 2

6

x

2

8

⇒

6

x

8 e, portanto,

x

Logo, S

b) 25

x

2

125

x

5

⇒

(5

2

)

x

2

(5

3

)

x

5

, ou seja,

5

2

x

4

5

3

x

15

⇒

2

x

4

3

x

15 e, portanto,

x

11Logo, S

11

c) 9

2

x

1

27

5

x

1

⇒

(3

2

)

2

x

1

(33)5x 1, ou seja,

34x 2 315x 3 ⇒ 4x 2 15x 3 e, portanto, x

Logo, S

d) 52x 1 1 ⇒ 52x 1 50 e, portanto, 2x 1 0, ou seja, x

Logo, S

e) 7x 8x ⇒ ou seja, 1 ⇒

⇒ e, portanto, x 0.

Logo, S 0

19. a) ⇒ e, portanto, x 3.

Logo, S 3

b) ⇒

ou seja, ⇒ 9x 3 2x e, portanto,

x

Logo, S

c) ⇒

ou seja, ⇒ 6x 3 4x e,

portanto, x

Logo, S

d) ⇒ ou seja,

ou ainda, ⇒

⇒ e, portanto, x

Logo, S

20. e(0,9)h 0,729 ⇒ (0,9)h (0,9)3

h 3Concluímos, assim, que o topo da montanha está a 3 km de altitude.

21. e

f(2) 8 ⇒ a2 8 e, portanto, a ou

a (não convém, pois devemos ter a 0 e a 1).

Logo, f(x)

Assim, temos:

f(1)

81

3 ------

[1

9 ------]

1 2 ------

161

4 ------

8 3 1 9 ------ 16 4

1 3 ------ 13

2---------

s23d

1 3 ------

[1

3 ------]

21

2 ------

s24d

1 4 ------

23 1

3 ------

[1

3 ------]

2 1 2 ------

24 1

4 ------

1 3 ------ 13

2---------

(0 25),1

2 ------

811

4 ------

161

2 ------

0,25 81 4 16 1

1 4 ------

1 4 ------

fs 2 d2 g

2

s 2 d2 2

s 2 d2

s5 3 d

1 3 ------

53 1

3 ------

53 1

3 ------

s 3 d2

fs 3 d2 g

2

x 2 s 3 d

2 2 x 2

s 3 d2

x 2 x 2

0 5

32

1

1

y

x

[3

2 ------]

0

[3

2 ------]

4

[3

2 ------]

x

,

4 3 ------ .

4

3 ------

5

11 --------- .

5

11 ---------

1 2 ------ .

1

2 ------ .

7x

8x --------- 8x

8x --------- , [

7 8 ------]

x

[7

8 ------]

x

[7

8 ------]

0

[3

2 ------]

x 27

8--------- [

3 2 ------]

x

[3

2 ------]

3

[8

27 ---------]

3x 1

[4

9 ------]

x

[2

3 ------]

33x 1

[2

3 ------]

2 x

,

[2

3 ------]

9x 3[

2 3 ------]

2x

3

7 ------

3

7 ------

[8

125 ------------]

2x 1

[ 25

4---------]

2x

[2

5 ------]

32x 1

[5

2 ------]

2 2x

,

[2

5 ------]

6x 3

[ 2 5

------]4x

3 10 ---------

3

10 ---------

25x 3 5 25x

3 ------

51

2 ------

,

[52]

x 3 ------

51

2 ------

, 5 2x

3----------

51

2 ------

2x 3

---------- 1 2 ------ 3

4 ------ .

3

4 ------

2 4

-------------

2

4-------------

[ 2

4-------------]

x

.

[ 2

4-------------]

14

2 ------------- 4 2

2---------------- 2 2


94

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

22. a) 2x 2 20 ⇒ 2x 20, ou seja, 2x 8;

logo, x 3. Portanto, S 3b) 3x 31 3x 32 54 ⇒ 3x (3 9) 54, ou seja,

3x 9; logo, x 2. Portanto, S 2.

c) 2 4 30 ⇒ 3x 30, ou seja,

3x 27; logo, x 3. Portanto, S 3.

23. a) f( t ) g(t)2t 2 75 2t 1 1392t 22 75 2t 2 139Fazendo 2t k, podemos escrever:4k 75 2k 139k 32Retornando à variável original, temos:2t 32 2t 25 t 5Para t 5, concluímos que f(5) g(5) 203.Assim: a 5 e b 203

b) Daqui a 5 anos.c) f(7) 27 2 75 587

Logo, a reserva A terá 587 indivíduos daqui a 7 anos.

d) 24 e

12

24. a) 163x 1 82x 5 ⇒ (24)3x 1 (23)2x 5, ou seja,212x 4 26x 15 ⇒ 12x 4 6x 15 e, portanto, x

Logo, S x R x

b) ⇒ e, portanto,

6x 2 2x, ou seja,

x

Logo, S x R x

c) (0, 3)4x 5 (0, 3)2x 1 ⇒ 4x 5 2x 1 e, portanto, x 3.Logo, S x R x 3

d) ⇒ e, portanto,

ou seja, x

Logo, S x R x

e) 0,6 ⇒ 1; logo, x

Portanto, S x R x

f) 32x 1 3 x 2 ⇒ 2x 1 x 2; logo, x

Portanto: S x R x

25. 3x 3 2 11

Fazendo 3x t , podemos escrever:

3t 11, ou seja,

9t 2t 33 e, portanto,t 3Retornando à variável original, temos:3x 3 ⇒ x 1Logo, S x R x 1

26. a) f(0) 300 20 1 900 1.050g(0) 70 20 + 2 140 140As populações A e B tinham, respectivamente, 1.050 e 140 in-divíduos.

b) 300 2t 1 900 70 2t 2 140 ⇒ 2t 23; logo, t 3.Concluímos, então, que o número de indivíduos da populaçãoA permaneceu maior ou igual ao número de indivíduos de B,durante 3 minutos.

27.

x

Logo: x 1,5 1024

28. d416 525 10n ⇒ (22)16 525 10n

232 525 10n

27 225 525 10n

128 1025 10n

1,28 1027 10n

Logo: n 27

29. Por tentativa, obtém-se 100,301 2.

30. Basta transformar cada uma das expressões em potência de expo-ente racional.

a) 20,5 1,4142

b) 50,25 1,4953

c) 80,2 1,5157

31. a) 2π 23,14 8,8152

b) 51,73 16,1889

c) 21,70 3,2490

32. a

⇒ e, portanto, k e a

Logo, f(x)

Assim, temos que:

f(2)

33. a) Observando a tabela:

temos f(x)

2x 2

--------- [2 1 2 ------]

3x 3

--------- 3x

32 -------- [

2 3 ------ 4

9 ------]

f t

---------- 24 2 75 (22 2 75) 4 2

--------------------------------------------------------------------

g t

----------- 24 1 139 (22 1 139) 4 2

--------------------------------------------------------------------------

19 6

--------- 19

6---------

[1

3 ------]

2 3x 1

[1

3 ------]

2x

[1

3 ------]

6x 2

[1

3 ------]

2x

1 2 ------

1 2 ------

(21

2 ------)

3x 1

81

4 ------

2 3x 1

2-----------------------

23

4 ------

3x 1 2

----------------------- 3 4 ------ , 5

6 ------ .

5 6 ------

(0, 6)1

2 ------ (3x 2) (3x 2)

2--------------------------- 4

3 ------ .

4 3 ------

1

3 ------ .

1

3 ------

3x 3

---------

2t 3

---------

Temperatura(em °C)

População remanescente(em milhares)

1 4

0 1

1

2

3

x

massa (g) número de átomos

27 6 1023

67,5 x

67 5, 6 1023 27

--------------------------------------

2 21

2 ------

5 4 51

4 ------

8 5 81

5 ------

5 3

2 5 3

f (3) 12

f (0) 3 2 ------

ka3 12

ka0 3 2 ------

3 2 ------ 1

2 ------ .

3 2 ------ [

1 2 ------]

x

3 2 ------ [

1 2 ------]

23

8 ------ .

1 4 ------

1 16 ---------

1 64 ---------

[1

4 ------]

x

[1

4 ------]

x


95

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

b)

34. a400 25 2t ⇒ 24 2t; logo, t 4.

35. 3 3(0,8)t 1,08 ⇒ 3(0,8)t 1,92, ou seja,3(0,8)t 1,92, ou, ainda,(0,8)t 0,64 ⇒ (0,8)t (0,8)2 e, portanto, t 2.

36. aPara x 3, temos: a3 32 1 ⇒ a3 8 e, portanto, a 2.

37. a)

b) O número de ratos que haverá por habitante após 5 anos é dado

pela razão ou seja, ratos/habi-

tante 40 ratos/habitante.

38. 2.880 2.000(1 0,2)t ⇒ 1,44 (1,2)t

(1,2)2 (1,2)t

t 2Logo, o capital deve permanecer aplicado durante 2 anos.

39. d

Para t 66 e mt temos:

m0 266k ⇒ 23 266k e, portanto, 3 66k, ou seja,

k

40. a) ⇒ e, portanto,

a 1.024 e b

b) f(t) ⇒ 1.024 ou, ainda,

23 e, portanto, 3, ou seja, t 30.

Concluímos, então, que o tempo mínimo para que a população

se reduza a da população inicial é de 30 anos.

c)

41. a) A capacidade máxima é obtida no tempo t 0 e, portanto:0 28 q 16 ⇒ 28 q 24

q 4Logo, a capacidade máxima de água do mar na salina é 4 dam3.

b) Para t 48, temos:48 28 q 16 ⇒ 28 q 26

q 2Logo, após 48 horas do represamento da água, a quantidade dasolução de água e sal restante na salina é de 2 dam3.

c) Quando a salina está com a sua capacidade máxima de água domar, que é de 4 dam3, a quantidade de água é 95% dessa capa-cidade, pois 5% é de sal. Assim, devemos calcular o tempopara q 0,05 4 dam3 0,2 dam3, isto é,t 28 0,2 16 27,8 16 222 16 206Logo, o tempo necessário para a evaporação total da água é de206 horas.

42. 32x 4 3x 3 0 ⇒ (3x)2 4 3x 3 0Fazendo a mudança de variável 3x y, temos:

y2 4y 3 0 ⇒ y 3 ou y 1Retornando à variável original, temos:3x 3 ou 3x 1 e, portanto, x 1 ou x 0.Logo, S 1, 0

43. a) f(1) 9 13 22g(1) 2 32 40 58Logo, a população de cupins era de 22 mil indivíduos e a deformigas era de 58 mil.

b) f(t) g(t) ⇒ 9t 13 2 3t 1 40, ou seja, (32)t 13 2 3t 3 40 0 ou, ainda,(3t)2 6 3t 27 0.Fazendo a mudança da variável 3t y, temos:y2 6y 27 0 ⇒ y 9 ou y 3 (não convém).Retornando à variável original, temos:y 9 ⇒ 3t 9 e, portanto, t 2.Concluímos, então, que as duas populações tiveram o mesmonúmero de indivíduos dois meses após o início do estudo.

44. a) Aplicando a fórmula do montante para juro composto, M C(1 i)t, para M m, C 1.000 e i 0,6, temos:m 1.000 (1 0,6)t ⇒ m 1.000 (0,4)t

b) 1.000(0,4)t 64 ⇒ (0,4)t 0,064 (0,4)t (0,4)3

t 3Logo, a massa será menor que 64 g para t 3.

1

4

–1

y

x

t

0

1

2

3

4

5

f (t)

100.000

100.000 21

100.000 22

100.000 23

100.000 24

100.000 25

f(t) 100.000 2t

Generalizando:

t

0

1

2

3

4

5

g(t)

70.000

70.000 2.000 1

70.000 2.000 2

70.000 2.000 3

70.000 2.000 4

70.000 2.000 5

g(t) 70.000 2.000t

Generalizando:

f (5) g(5)

--------------- , 100.000 25 70.000 2.000 5 -------------------------------------------------

m0 8

---------- ,

m0 8

----------

1 22 --------- .

f (0) 1.024

f (10) 512

a 1.024

a 210b 512

1 10 --------- .

1.024 8

----------------- 2

t 10 --------- 1.024

8-----------------

2

t 10 ---------

t

10 ---------

1 8 ------

512

256

12864

0 10 20 4030

1.024

f(t)

t

t

0

10

20

30

40

f (t)

1.024

512

256

128

64


96

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1. a) log7 49 x ⇔ 7x 49 e, portanto, x 2. Logo, log7 49 2.b) log6 216 x ⇔ 6x 216 e, portanto, x 3. Logo, log6 216 3.

c) log128 1.024 x ⇔ 128x 1.024 e, portanto, x Logo,

log128 1.024

d) x ⇔ e, portanto, x 2. Logo,

2.

e) ⇔ 2x e, portanto, x Logo,

f) log 10.000 x ⇔ 10x 10.000 e, portanto, x 4. Logo,log 10.000 4.

g) log4 4 x ⇔ 4x 4 e, portanto, x 1. Logo, log4 4 1.h) log5 1 x ⇔ 5x 1 e, portanto, x 0. Logo, log5 1 0.i) log3 243 x ⇔ 3x 243 e, portanto, x 5. Logo, log3 243 5.

j) x ⇔ 10x e, portanto, x Lo-

go,

k) x ⇔ e, portanto, x

Logo,

l) log243 3 x ⇔ 243x 3 e, portanto, x Logo,

log243 3

m) log32 128 x ⇔ 32x 128 e, portanto, x Logo,

log32 128

n) x ⇔ e, portanto, x 2.

Logo, 2

o) log 0,001 x ⇔ 10x 0,001 e, portanto, x 3. Logo,log 0,001 3.

p) log0,3 0,09 x ⇔ (0,3)x 0,09 e, portanto, x 2. Logo,log0,3 0,09 2.

q) log0,0016 0,008 x ⇔ (0,0016)x 0,009 e, portanto, x

Logo, log0,0016 0,008

r) x ⇔ (0,6)x e, portanto, x 4. Logo,

4.

2. a) log2 k 8 ⇔ k 28 256b) log3 m 8 ⇔ m 38 6.561c) log2 y 2,3214 ⇒ y 22,3214 4,9981d) log3 t 2,3214 ⇔ t 32,3214 12,8111e) log u 2,3214 ⇔ u 102,3214 209,6042f) log2 2 v ⇔ 2v 2 e, portanto, v 1g) log3 3 p ⇔ 3p 3 e, portanto, p 1h) log 10 q ⇔ 10q 10 e, portanto, q 1i) log3 59.049 r ⇔ 3r 59.049 e, portanto, r 10

j) log 39,8107 s ⇔ 10s 39,8107 e, portanto, s 1,6

3. a) log3 25 log3 52 2 log3 5 2 1,464 2,928

b) log3 125 log3 53 3 log3 5 3 1,464 4,392

c) log3 51 1 log3 5 1,464

4. a) 3

b) 32 9

c) 5 5 3 15

5. Temos:log5 1 x ⇔ 5x 1 e, portanto, x 0;

y ⇔ 27y 910 e, portanto, y

3;

52 25

Logo, log5 1 log27 910 0 3 25

6. logb a6 6logb a 6 9 54

7. Temos que: logb a2 8 ⇒ 2logb a 8 e, portanto, logb a 4Logo, logb a3 3 logb a 3 4 12

8. logb a 9 3

9. a) Para t 4, temos:

n 100.000 24 e, portanto, S 280 440

Logo, o salário mínimo será de R$ 440,00.b) Para S 600, temos:

600 280 ⇒ n 3.200.000

e, portanto, 3.200.000 100.000 2t ⇒ 2t 32, ou seja, t 5Logo, o salário mínimo atingirá R$ 600,00 daqui a 5 décadas.

c) Para S 880, temos:

880 280 ⇒ n 6.000.000 e, portanto,

6.000.000 100.000 2t ⇒ 2t 60, ou seja, t log2 60Logo, o tempo t , em décadas, é t log2 60

10. a) log5 6 log5 (2 3) log5 2 log5 3 0,43 0,68 1,11

b) log5 2 log5 3 0,43 0,68 0,25

c) log5 1,5 log5 3 log5 2 0,68 0,43 0,25

d) log3 2 0,63

e) log2 3 1,58

f) log5 8 3log5 2 3 0,43 1,29

g) log5 24 log5 (23 3) log5 2

3 log5 3 3 log5 2 log5 3 3 0,43 0,68 1,97

h) log5 9 log5 8 log5 32 log5 2

3

2 log5 3 3log5 2 2 0,68 3 0,43 0,07

i) log5 3 0,68 0,34

j) log5 4 log5 22

2 log5 2 log5 3 2 0,43 0,68 1,03

Capítulo 11

10 7

--------- .

10 7

---------

log 3 2 ------

4 9 ------ [

3 2 ------]

x4

9 ------

log 3 2 ------

4 9 ------

log2 16 5 16 5 4 5 ------ .

log2 16 5 4 5 ------ .

log 1.000 6 1.000 6 1 2 ------ .

log 1.000 6 1 2 ------

log 5 625 3 ( 5 )x

625 3 8 3 ------ .

log 5 625 3 8

3 ------

1 5 ------ .

1 5 ------

7 5 ------ .

7 5 ------

log 4 25 ---------

625 16

------------ [4

25 ---------]

x 625

16------------

log 4 25 ---------

625 16

------------

3 4 ------ .

3 4 ------ .

log0,6 81 625 ------------ 81

625 ------------

log0,6 81 625 ------------

log3 1 5 ------

5log5 3

25log5 3

(52)log5 3

5log5 3

2

51 log5 3

5log5 3

log27 910 20 3

--------- ;

4log4 3

9log3 5

(32)log3 5

3log3 5

2

4log4 3

9log3 5 20

3---------

104 3

------------

logb a 3 1 3 ------ 1

3 ------

100.000 24 10.000

---------------------------------

n 10.000 --------------------

n 10.000 --------------------

log5 2 3 ------

log5 3 2 ------

log5 2 log5 3 ------------------ 0,43

0,68 --------------

log5 3 log5 2 ---------------------- 0,68

0,43 --------------

log5 23

log5 9 8 ------

log5 3 log5 31

2 ------ 1

2 ------ 1

2 ------

log5 4 3 4 log5 3 4 log5 31

4 ------

1 4 ------ 1

4 ------


97

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

k)

3,08

11. a) log4 3 0,79

b) log12 3

0,44

12. x log2 3 log2 4 2

13. Temos que 3k 2 ⇒ k log3 2

Logo, log2 18

14. log 35 log 70 log 2 log (7 10) log 2

log 7 log 10 log 2 0,84 1 0,30 1,54

15. b.

8.000 2.000(1,25)t ⇒ (1,25)t 4 e, portanto,

t log1,25 4 6,2

16. a)

z log1,2 2

4,28

b) Em 4,28 anos, aproximadamente.

c)

Pelo teorema de Tales, temos:

K 1,2C 0,12CK 1,32C

17. a)

b) y log2 x

c)

18. a) f(x) log5 x é crescente, pois a base é maior que 1.

b) g(x) log0,3 x é decrescente, pois a base está entre 0 e 1.

19. I. (V) log3 x log3 5 ⇔ x 5

II. (V) log3 a log3 b ⇔ a b

III. (F) a b ⇔ a b

IV. (V) log0,7 a log0,7 b ⇔ a b

V. (V) a b ⇔ a b

20. a) Condição de existência:5x 15 0 ⇔ x 3; logo,D(f) x R x 3

b) Condição de existência:x2 3x 0

Logo, D(g) x R x 0 ou x 3

• 1,2C C(1,2)x

1,2 (1,2)x

x 1

• 1,44C C(1,2)y

1,44 (1,2)y

y 2• 2C C(1,2)z

2 (1,2)z

log 5 12log5 12

log5 5 -------------------------

log5 (22 3)

log5 51

2 ------

----------------------------------

log5 22 log5 3

log5 51

2 ------

-------------------------------------------- 2 log5 2 log5 3

1 2 ------ log5 5

----------------------------------------------

2 0,43 0,68 1

2 ------ 1

----------------------------------------

log3 3 log3 4 ------------------- 1

1,26 --------------

log3 3 log3 12 ---------------------- 1

log3 (4 3) -------------------------------- 1

log3 4 log3 3 ------------------------------------------

1 1,26 1 -------------------------

log2 4 log2 3 -------------------

log3 18 log3 2

---------------------- log3 (9 2)

log3 2--------------------------------

log3 9 log3 2

log3 2------------------------------------------ 2 k

k-----------------

log 70 2

---------

log 4 log 1,25 ------------------------ 0,602

0,097 -----------------

2C

1,44C1,2C

C

0 1 2....... ....... .........4,28

Valor aproximado

EF

G

n

M

log 2 log 1,2 --------------------- log 2

log 12 10 ---------

------------------------

log 2 log 12 log 10 -------------------------------------------- log 2

log (22 3) log 10 --------------------------------------------------------

log 2 log 22 log 3 log 10 ----------------------------------------------------------------

log 2 2 log 2 log 3 log 10 ----------------------------------------------------------------------

0,30 2 0,30 0,47 1 ---------------------------------------------------

1,2CK

1,44C

n

M

F

E

1,5 21

2 1 1,5 1 ---------------------- 1,44C 1,2C

K 1,2C---------------------------------------

1 0,5 ----------- 0,24C

K 1,2 C ------------------------------

Tempo (anos) Preço (D$)

0 1

1 2

2 4

3 8

y 2y

1

1

2

3

2 4 8 x

y

log 1 3 ------

log 1 3 ------

log 1,5 log 1,5

x30

++


98

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

c) Condição de existência:

D(h) x R x e x 1

21. f(x) log2 5(x 3) ou, ainda, y log2 5(x 3).Trocando x por y e y por x, temos: x log2 5(y 3).Isolando a variável y, temos a função inversa de f:x log2 5(y 3) ⇒ 5(y 3) 2x

y 3

ou, ainda, f1(x)

22. a) C.E.: 6x 9 0, ou seja, x 3.Assim, temos:

log3 (6x 9) log3 34 ⇒ 6x 9 81 e, portanto, x 15

Logo, S 15

b) C.E.: ou seja, x 1

Assim, temos:log2 (2x 10) log2 (x 1) log2 2

6 ⇒⇒ log2 (2x 10)(x 1) log2 64 e, portanto,(2x 10)(x 1) 64, ou seja, x 3 ou x 9 (não convém)Logo, S 3

c) C.E.: ou seja, x 1

Assim, temos:

log5 5 ⇒ 5 e, portanto, x 6

Logo, S 6

d) C.E.: ou seja, x 3

Assim, temos:

log2 23 ⇒ 8 e, portanto,

x 4 ou x 6.Logo, S 4, 6

e) C.E.: ou seja, x 0

Assim, temos:

⇒ 4 e, por-

tanto, x 2 ou x 0 (não convém).Logo, S 2

f) C.E.: ou seja, x 4.

Assim, temos:

log3 (x 2) log3 3 ⇒

⇒ 2 log3 (x 2) log3 (x 4) 2 log3 3, ou seja,

log3 (x 2)2 log3 (x 4) log3 32 ou, ainda,

log3 9 ⇒ 9 e, portanto,

x 5 ou x 8.Logo, S 5, 8

g) C.E.: ou seja, x 2

Assim, temos:

log6 (x2 1) ⇒

⇒ log6 (x2 1) log6 (x 2) ou seja,

⇒ 8 e, portanto, x 3

ou x 5.Logo, S 3, 5

h) C.E. x 0 e x 1Assim, temos:

logx 32 5 ⇒ x5 32 e, portanto, x

Logo, S

23. bO ponto comum aos dois gráficos é (2, 3). Assim, temos que:log2 (2 a) 3 ⇒ 2 a 23 e, portanto, a 6.

24. b

C.E.: ou seja, t 0.

3,5 1,5 log3 (t 1) ⇒ log3 (t 1) 2 e, portanto, t 1 32,

ou seja, t 8.Como 8 satisfaz a condição de existência, concluímos que o tempotranscorrido foi de 8 anos.

25. a) C.E.: 2x 8 0, ou seja, x 4 (I).Assim, temos:

log5 (2x 8) log5 52 ⇒ 2x 8 25 e, portanto,

x (II).

O conjunto solução S é a intersecção dos conjuntos de valoresreais (I) e (II):

S x R \ x

b) C.E.: x 2 0, ou seja, x 2 (I).Assim, temos:

⇒ x 2 3 e, portanto,

x 5 (II).O conjunto solução S é intersecção dos conjuntos de valoresreais (I) e (II):S x R x 5

c) C.E.: ou seja, 2 x 6 (I).

6x 1 0 (I)

x 0 (II)

x 1 (III)

1

1

x

x

x(I)

(II)

(III)

x(I) (II) (III)

0

16

16

1 6 ------

2x 5

--------

2x 15 5

----------------------

2x 10 0

x 1 0,

3x 7 0

x 1 0,

log5 3x 7 x 1

--------------------- 3x 7 x 1

---------------------

x 0

x 2 0

x 3 0

,

log2 x(x 2) x 3

-------------------------- x(x 2) x 3

--------------------------

x2 2x 0

x 0,

log 1 2 ------

x2 2x

x----------------------- log 1

2 ------

[ 1 2 ------]

2 x2 2x x

-----------------------

x 2 0

x 4 0,

log3 (x 4)

log3 9----------------------------------

log3 (x 2) 2 x 4

------------------------ (x 2) 2 x 4

------------------------

x2 1 0

x 2 0,

log6 (x 2)

log6 1 6 ------

----------------------------------log6 64

log6 36 ----------------------

1 2 ------ log6 64,

log6 x2 1

x 2------------------- log6 64

1 2 ------ x2 1

x 2-------------------

1 2 ------ .

1

2 ------

t 1 0

t 0 (pois t representa o tempo),

33 2

---------

33 2

---------

log 1 3 ------

(x 2) log 1 3 ------

[ 1 3 ------]

1

3x 6 0

6 x 0,


99

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

Assim, temos:log2 (3x 6) log2 (6 x) ⇒ 3x 6 6 x e, portanto,x 3 (II).O conjunto solução S é a intersecção dos conjuntos de valoresreais (I) e (II):S x R 3 x 6

d) C.E.: ou seja, x (I).

Assim, temos:log0,5 (5x 1) log0,5 (5 2x) ⇒ 5x 1 5 2x e, portanto,

x (II).

O conjunto solução S é a intersecção dos conjuntos de valoresreais (I) e (II).

S x R \ x

e) C.E.: 2x 1 0, ou seja, x (I).

Assim, temos:log2 5(2x 1) log2 2

3 ⇒ 5(2x 1) 8 e, portanto,

x (II).


S x R \ x

f) C.E.: 6x 1 0, ou seja, x (I).

Assim, temos:

⇒ e, por-

tanto, x (II)


S x R \ x

26. a) 1,83337 2,06196 100,26325 100,31428 100,26325 0,31428 100,57753 3,78033

b) 3,78033 : 2,06196 100,57753 : 100,31428 100,57753 0,31428 100,26325 1,83337

c) (2,06196)4 (100,31428)4 101,25712 18,07674

d)

100,15714 1,43595

27. b1.430 1.000(1,1)n ⇒ 1,43 (1,1)n e, portanto, n log1,1 1,43

28. d5.000 2.000 (1 0,2)n ⇒ 1,2n 2,5 e, portanto,

n log1,22,5

5

29. aPara i 10, temos:h log (100,7 100,5) log 101,2 1,2Assim, uma criança de 10 anos terá 1,2 m ou, ainda, 120 cm.

30. a) log 8 log 23 3log 2 3 0,3 0,9

b) M0 ⇒ e, portanto,

ou seja, t 70 log 23

70 (3) log 2 210 0,3 63

Logo, a massa será da massa original após 63 anos.

31. a) Q(0) 1 ⇒ 1 e, portanto, 10k 10, ou seja,

k 1.

b) Q(t) 0 ⇒ 0 e, portanto, 100, ou se-

ja, t 9.Logo, a experiência chegará ao fim após 9 horas.

32. 0,8 2 (0,5)t ⇒ t log0,50,4

t 1 hora hora 1 h 20 min

33. e

início →

2t x 10 x ⇒ 2t 10 e, portanto, t log2 10

3

Logo, o tempo necessário será de 3 anos e de um ano, ou seja,3 anos e 4 meses.

34. a

Logo, a área A da região hachurada é dada por:A (3 2) (log 3 log 2) (4 3) (log 4 log 3)

log 2

35. a) Para x 0,12, temos:

f(0,12) log0,99 0,99 1

Logo, a substância A perde 0,12 g de sua massa em 1 século.

5x 1 0

5 2x 0, 1

5 ------ 5

2 ------

6 7 ------

1 5 ------ 6

7 ------

1

2 ------

3 10 ---------

1

2 ------ 3

10 ---------

1 6 ------

log 1 3 ------

6x 1 4

--------------------- log 1 3 ------

[ 1 3 ------]

2 6x 1 4

--------------------- 1 9 ------

13 54 ---------

13 54 ---------

2,06196 (2,06196)1

2 ------

(100,31428)1

2 ------

log2,5 log1,2 -------------------

log 10 4

---------

log 12 10 ---------

----------------------

log10 log4 log12 log10 --------------------------------------- log10 log22

log(22 3) log10 ---------------------------------------------------

log10 2 log2

log22 log3 log10 --------------------------------------------------------- log10 2 log2

2 log2 log3 log10 ---------------------------------------------------------------

1 2 0,30 2 0,30 0,48 1 ---------------------------------------------------

M0 8

----------- 10

t 70 --------- 1

8 ------ 10

t

70 ---------

t

70 --------- log 1

8 ------ ,

1 8 ------

log 10k

0 1 -----------------

log 10 t 1 ---------------- 10

t 1 ----------------

log 4 10 ---------

log 1 2 ------

---------------------- log4 log10 log1 log2

------------------------------------

log22 1 log2

--------------------------- 2log2 1 log2

---------------------------- 2 0,3 1 0,3

------------------------------ 4 3 ------

1 3 ------

Ano

0

1

2

3

t

Quantidade

x

2 x

22 x

23 3

2 t x

log1010 log102

--------------------- 1 0,30 -------------- 1

3 10 ---------

-------------- 10 3

--------- 1 3 ------

1 3 ------

0

log 4log 3

log 2

1 2 3 4 t

y

log 3 2 ------ log 4

3 ------ log[

3 2 ------ 4

3 ------]

log0,99 12 0,12 12

----------------------------


100

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

b) Para g(x) 4, temos:

4 ⇒ 8 e, portanto,

(0,99)8 ⇒ 0,92 ou seja, x 0,64.

Logo, em 4 séculos, a substância B terá perdido 0,64 g.

c) C.E.: ou seja, x 8.

⇒

⇒ ou seja,

⇒

⇒ e, portanto, x 0 ou x 6

Logo, para 0 g ou 6 g de massa perdida, tem-se f(x) g(x).

36. a) D(1) D0 2(2a 1) ⇒ 15 16 22a

2a log2 15 log216

log2 5 log2 3 log2 16 2,3 1,6 4 2a 0,1 0,05

b) D(t) 20 ⇒ 20 16 2(2 0,05t)

20,1t

0,1t log2 5 log2 4 2,3 2 0,3

0,1t 0,3 ⇒ t 3Concluímos, então, que a pessoa morreu às 19 h 30 min, ou se-ja, três horas antes do instante da primeira tomada de tempera-tura do corpo.

37. a) log 8 0,903b) A maioria das calculadoras científicas não apresenta tecla para

o cálculo de logaritmo que não seja decimal ou natural. Assim,para o cálculo do log5 8, adota-se a mudança de base:

log5 8 1,292

1. a1 4, a2 7, a3 0, a4 8, a5 5, a6 5 e a7 5.

2. a) a1 6n 1 ⇒ a2 9 a1 9 6 15n 2 ⇒ a3 9 a2 9 15 24n 3 ⇒ a4 9 a3 9 24 33

Logo, a seqüência é (6, 15, 24, 33, …).

b) n 1 ⇒ a1 5 1 3 8n 2 ⇒ a2 5 2 3 13n 3 ⇒ a3 5 3 3 18n 4 ⇒ a4 5 4 3 23


c) n 1 ⇒ a1 12 2 1 3n 2 ⇒ a2 22 2 2 8n 3 ⇒ a3 32 2 3 15n 4 ⇒ a4 42 2 4 24


3. a1 1a2 1a3 a1 a2 1 1 2a4 a2 a3 1 2 3a5 a3 a4 2 3 5a6 a4 a5 3 5 8a7 a5 a6 5 8 13a8 a6 a7 8 13 21a9 a7 a8 13 21 34a10 a8 a9 21 34 55a11 a9 a10 34 55 89a12 a10 a11 55 89 144

Logo:

4. a) (6, 11, 16, 21, 26, 31) é P.A. de razão 5.b) (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) não é P.A.

c) é P.A. de razão

5. a) (5, 2, 1, 4, …) P.A. decrescenteb) (3, 3, 3, 3, …) P.A. constantec) (10, 18, 26, 34, …) P.A. crescente

6. x 2 ⇒ x 4

7.

8. a51 a1 50r ⇒ a51 8 50 6 308

9. r a2 a1 1 4 3a18 a1 17r ⇒ a18 4 17 (3) 47

10. a16 a1 15r ⇒ 45 14 15r e, portanto, r

11. Sendo n o número de termos da P.A., temos:an a1 (n 1)r ⇒ 222 12 (n 1) 6 e, portanto, n 36.

12. Os múltiplos de 7 compreendidos entre 10 e 200 formam a P.A.:(14, 21, 28, ..., 196). Sendo n o número de termos dessa P.A., temos:an a1 (n 1) r ⇒ 196 14 (n 1) 7 e, portanto, n 27.

13. ⇒ ou seja,

Subtraindo, membro a membro, essas equações, obtemos: r 3.

14. a8 a1 7r67 4 7r63 7r9 r

Assim, temos a P.A.:

15. 8 a1 (12 1) 5 ⇒ a1 63Logo, a46 63 (46 1) 5 162

1 2 ------ log0,99 8 x

8----------------- log0,99 8 x

8-----------------

8 x 8

----------------- 8 x 8

----------------- ,

12 x 12

-------------------- 0

8 x 8

----------------- 0,

log0,99 12 x 12

-------------------- 1 2 ------ log0,99 8 x

8-----------------

2log0,99 12 x 12

-------------------- log0,99 8 x 8

----------------- ,

log0,99 [ 12 x 12

--------------------]2

log0,99 8 x 8

-----------------

[ 12 x

12--------------------]

2 8 x 8

-----------------

log215

16 ---------

5 4 ------

log25

4 ------

log 8 log 5 ---------------- 0,903

0,699 -----------------

Capítulo 12

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12[

[

[4

3 ------ , 5

3 ------ , 2, 7

3 ------ , 8

3 ------ , 3, 10

3--------- , 11

3---------]

1 3 ------ .

1 x 2x 1 2

------------------------------------------------

Números de dias em atraso Multa em R$

1 38

2 38 5

3 38 2 5

4 38 3 5

18 38 17 5

n 38 (n 1) 5

31 15 ---------

a1 a9 15

a3 a6 18

a1 a1 8r 15

a1 2r a1 5r 18,

2a1 8r 15

2a1 7r 18

(4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67)

a1 a8


101

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

16. As marcas quilométricas em que há telefones instalados formam aP.A. de primeiro termo a1 5 e razão r 2,8. Sendo n o númerode telefones instalados, temos que:61 5 (n 1) 2,8 ⇒ n 21

17. Representando a P.A. por (x r, x, x r), temos:

Substituímos (I) em (II):(2 r) 2 (2 r) 24

4 r2 12

r2 16r 4Como a P.A. é decrescente, só nos interessa r 4.Temos, então, a P.A. (6, 2, 2).

18. dIndicando por (x r, x, x r) a P.A. crescente formada pelas me-didas dos ângulos internos do triângulo, temos:

⇒

Logo, x 60° e r 20° e, portanto, o maior ângulo interno do tri-ângulo mede 80°

19. a80 a1 79r ⇒ a80 6 79 3 243

S80 ⇒ S80 9.960

20. a51 15 (51 1) 4 185

Logo, S51 4.335

21. Os múltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 400 formam a P.A.:(102, 108, 114, …, 396). Indicando por n o número de termos des-sa P.A., temos:396 102 (n 1) 6 ⇒ n 50.Assim, temos:

S50 12.450

22. Indicando por n o número de termos da P.A., temos:

Sn ⇒ 3.160 e, portanto, n 40

23. a) 2 4 6 … 100

2.550

b) 2 5 8 … 119

2.420

24. (1, 3, 5, 7, …, an, …)Calculando an:an a1 (n 1)r ⇒ an 1 (n 1) 2Logo: an 2n 1Calculando Sn:

Sn ⇒ Sn

Logo: Sn n2

25. a) (6, 12, 24, 48, 96) é P.G. da razão 2.b) (3, 6, 9, 12, 15, 18) não é P.G.

c) é P.G. de razão

d) 8, 48, 288, é P.G. de razão 6.

26. q ⇒ q

27. bSendo x o termo a1 dessa progressão, temos:a2 x 0,1x 1,1xa3 1,1x 0,1 1,1x 1,1x(1 0,1) (1,1)2xa4 (1,1)2x 0,1 (1,1)2x (1,1)2x (1 0,1) (1,1)3x

Assim, temos que cada termo da seqüência (an), a partir do segun-

do, é igual ao produto do termo anterior por 1,1. Trata-se, portanto,

de uma P.G. de razão 1,1 ou, ainda,

28. (2x 4)2 5(6x 2) ⇒ x 3 ou x

29. ⇒

Substituindo (I) em (II), obtemos:(2 x)2 8x ⇒ x2 4x 4 0 e, portanto, x 2.Substituindo x por 2 em (I), temos y 4.

30. a10 3 29 1.536

31. a11 (3)10 2.187

32. ⇒ q 2

33. ⇒ q 3 ou q 3

34. 512 ⇒ 29

ou seja, e, portanto, n 20.

35. ⇒

Dividindo (II) por (I), membro a membro, obtemos q 3.Substituindo q por 3 em (I), concluímos que a1 1.

36. a6 a1q5

96 3 q5

q5 32q 2

Assim, temos a P.G.:

37. a7 a1q6 ⇒ 2 1q6; logo, q

• para q

temos a P.G.

• para q

temos a P.G.

x r x x r 6 ⇒ x 2 (I)

(x r)x(x r ) 24 (II)

x r x x r 180

x r 2(x r )

x 60

x 3r

(a1 a80) 80 2

------------------------------------------- (6 243) 80 2

-------------------------------------------

(15 185) 51 2

----------------------------------------------------

(102 396) 50 2

-------------------------------------------------

(a1 an)n 2

-------------------------------- (1 157)n 2

----------------------------------

2 jj 1

50

(2 100) 50

2-------------------------------------------

(3 j 1)j 1

40

(2 119) 40

2-------------------------------------------

(a1 an)n 2

-------------------------------- (1 2n 1)n 2

--------------------------------------------

[1

5 ------ , 1

25 --------- , 1

125 ------------ , 1

625 ------------]

1 5 ------ .

[4

3 ------ , 1.728]

a39

a38 ---------- 5

15 --------- 1

3 ------

11 10 --------- .

1 2 ------

1 x y

2-------------------

y2 8x

y 2 x (I)

y2 8x (II)

[1

27 ---------]

a1 4

a1q5 128

a1 2

a1q4 162

1 1.024 ----------------- [

1 2 ------]

n 11

210 ---------- [

1 2 ------]

1

[1

2 ------]

n

,

[1

2 ------]

n

[1

2 ------]

20

a1 a1q3 28

a1q a1q4 84

a1(1 q3) 28 (I)

a1q(1 q3) 84 (II)

(3, 6, 12, 24, 48, 96)

a1 a6

2 6

2 6 ,

(1 2 6 , 4 6 , 8 6 , 16 6 , 32 6 , 2), 2 6 ,

(1 2 6 , 4 6 , 8 6 , 16 6 , 32 6 , 2),


102

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

38.

• No ano 2025, a população dessa cidade será igual ao 25º termoda P.G. (2.000.000, 2.200.000, 2.420.000, 2.622.000, …), isto é:a25 2.000.000 (1,1)24

• No ano 2000 n, a população dessa cidade será o n-ésimo termoda P.G. (2.000.000, 2.200.000, 2.420.000, 2.662.000, …), isto é:an 2.000.000 (1,1)n 1

39.

Observando que os elementos da segunda coluna da tabela for-mam a P.G. (x; x 1,02; x (1,02)2; …) temos que:a) A quantidade vendida em 2012 é o 11º termo dessa P.G., isto

é, x (1,02)10.b) A quantidade vendida em 2020 é o 19º termo dessa P.G.; isto

é, x (1,02)18.c) A quantidade vendida no ano n, com n 2002, é o termo de

ordem n 2001 dessa P.G., isto é, x (1,02)n 2002.

40. 1ª geração → 3 27 2 3 28

2ª geração → 3 28 2 3 29

3ª geração → 3 29 2 3 210

O número de indivíduos da enésima geração é o termo an da P.G.(3 28, 3 29, 3 210, …), ou seja: an 3 28 2n 1 ⇒⇒ an 3 2n 7.Para que an 3 225, devemos ter 3 2n 7 3 225 e, portanto,n 18. Logo, o número de indivíduos será 3 225 na 18ª geração.

41. Indicando a P.G. por temos:

⇒

Resolvendo o sistema, obtemos x e q

Logo, a P.G. é

42. c

Sendo x, xq, as medidas do cateto menor, do cateto maior e

da hipotenusa, respectivamente, temos, pelo teorema de Pitágoras:

(xq)2 x2 ⇒ q2 1

Resolvendo essa equação para q 0, obtemos:

q 1,2.

43. S11 4.094

44. S10

S10

S10

45. S10 682

46. Sn 5.115

5.115

5(1 2n) 5.115

1 2n 1.023

1.024 2n

210 2n

n 10

47. S8 ⇒ 765 e, portanto, a1 3.

48. As quantidades de pneus vendidos ano a ano formam a P.G. de ra-zão 1,08:(20.000, 21.600, 23.328, …)Logo, no decênio 1993/2002, o número de pneus vendidos é dado por:

S10 289.730

49. S∞ ⇒ S∞

50. S∞ ⇒ S∞

51. 5 ⇒ x

52. ⇒ q

53. D 4

54. Os perímetros dos triângulos, em centímetros, formam a seguinteP.G. infinita:

Logo, a soma dos infinitos perímetros é:

S∞ 40 cm

55. a) S10 102 4 10 140b) a1 S1 12 4 1 ⇒ a1 5c) a6 S6 S5 s62 4 6d s52 4 5d ⇒ a6 15

56. b

Temos B e, portanto, a P.A. é

Como a soma dos ângulos internos de um triân-

Ano Número de habitantes

2001 2.000.000

2002 2.000.000 1,1 2.200.000

2003 2.200.000 1,1 2.420.000

2004 2.420.000 1,1 2.662.000

2025 2.000.000 (1,1)24

2000 n 2.000.000 (1,1)n 1

Ano Toneladas

2002 x

2003 x 1,02

2004 x (1,02)2

2005 x (1,02)3

[x

q ------ , x , xq] ,

x q ------ x xq 1

8 ------

x q ------ x 2

x 1 2 ------

x q ------ x 2

1 2 ------ 1

3 ------ .

[3

2 ------ , 1

2 ------ , 1

6 ------]

x q ------ ,

[x

q ------]

2 1

q2 -------- .

1 5 2

-----------------------

2(1 211) 1 2

-------------------------------

a1(1 q10) 1 q

----------------------------------

1[1 [ 1 2 ------]

10]

1 1 2 ------

--------------------------------------------

1 1 1.024 -----------------

1 2 ------

---------------------------------- 1.023

1.024-----------------

1 2 ------

--------------------- 1.023 512

-----------------

2f1 (2)10g

1 (2)---------------------------------------

5(1 2n) 1 2

------------------------------

a1(1 q8) 1 q

-------------------------------- a1(1 28)

1 2--------------------------------

20.000 f1 (1,08)10g

1 1,08-----------------------------------------------------------

a1

1 q ------------------- 45

1 1 3 ------

----------------------- 45 2

3 ------

--------- 135 2

------------

a1

1 q ------------------- 32

1 1 4 ------

----------------------- 128 3

------------

x

1 1 2 ------

----------------------- 5 2 ------

9 2 ------ 3

1 q ------------------- 1

3 ------

0,8 1 0,1 ------------------------ 44

9---------

[20, 10, 5, 5 2 ------ , …]

20

1 1 2 ------

----------------------- cm

A 4 A 2

------------------------- 5 A 2

-----------

[A , 5 A 2

----------- , 4 A] .


103

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

gulo qualquer é 180°, concluímos:

A 4A 180° ⇒ A 24°.

57. (n 1) ⇒ n 51

58. e

⇒ e, portanto,

a1 e r

Logo, a7 a1 6r ⇒ a7

59. cOs saldos, em reais, de Júnior e Ricardo formavam, respectiva-mente, as progressões aritméticas: (4.500, 4.450, 4.400, …) e(3.200, 3.250, 3.300, …). Os termos gerais dessas duas seqüênciassão, respectivamente,an 4.500 (n 1) (50) e bn 3.200 (n 1) 50; a1 e b1

correspondem aos saldos de novembro de 2001; a2 e b2 correspon-dem aos saldos de dezembro de 2001; e assim por diante.Vamos obter o menor valor de n, com n N*, tal que bn an, ou seja,3.200 (n 1) 50 4.500 (n 1) (50) ⇒ n 14.O menor n, com n N*, que satisfaz n 14 é o número 15; logo,no 15º mês, a partir de novembro, o saldo de Ricardo ultrapassou,pela primeira vez, o de Júnior.Isso se deu, portanto, em janeiro de 2003.

60. Os múltiplos de 11 compreendidos entre 200 e 500 formam aP.A.(209, 220, 231, …, 495). Sendo n o número de termos dessaP.A., temos: 495 209 (n 1) 11 ⇒ n 27.

Logo, S27 9.504

61. Os números naturais pares, em ordem crescente, formam a P.A. (0, 2, 4, 6, …) em que:an 0 (n 1) 2 ⇒ an 2n 2.

Logo, Sn ⇒ Sn

ou seja, Sn n2 n.

62. Os números naturais pares não-nulos, em ordem crescente, for-mam a P.A. (2, 4, 6, 8, …) em que an 2 (n 1) 2 ⇒ an 2n.

Logo, Sn ⇒ Sn

ou seja, Sn n2 n.

63. 5 9 13 … (4n 1)

2n2 3n

64. a) A produção no dia 20 de abril é igual ao 20º termo da P.A.(200, 210, 220, …), isto é, a20 200 19 10 390.

b) A produção acumulada até o dia 20 de abril é a soma dos 20primeiros termos da P.A. apresentada no item a, ou seja,

S20 5.900

65. eOs números de poltronas da 1ª à 16ª fila formam a P.A.

Assim, o total de poltronas do ci-

nema é igual à soma S16 dos termos dessa P.A., ou seja,

S16 560.

66. c

21 22 23 … 220 2210

Logo, a seqüência de teclas que devem ser acionadas é aquelaapresentada na alternativa c.

67. A representação dessa P.A. no plano cartesiano é formada por to-dos os pontos da forma (n, 2n 7), com n N*. Alguns dessespontos estão representados a seguir:

Sendo 2n1 7 e 2n2 7, como n1 n2, temos:

2

68. Sendo a1 (n1 1)r e a1 (n2 1)r, com n1 n2,

temos:

4 ⇒ 4

4

4

4

r 4Logo, a6 3 5 4 23

69. (2x)2 2(4x 6)x2 2x 3 0x 3 ou x 1Para x 3, temos a P.G. (2, 6, 18), crescente.Para x 1, temos a P.G. (2, 2, 2), oscilante.Logo, temos uma P.G. crescente se, e somente se, x 3.

70. an a1qn 1 ⇒ 231 2n 1, ou seja,

241 2n 1 e, portanto, n 42Logo, a P.G. possui 42 termos.

71. a16 a1q15 ⇒ 27 312 q15, ou seja, 315 q15 e, portanto, q 3

72. O número de destinatários da 6ª geração é igual ao 6º termo daP.G. (50, 500, 5000, …), isto é, a6 50 105 5.000.000.

73. 4.094 ⇒ 2 4 8 … 2n 4.094, ou seja,

4.094 ⇒ 2n 2.048 e, portanto, n 11.

5 A 2

-----------

103 6

------------ 1 2 ------ 1

3 ------

a3 p 1

a10 3 p 1

a1 2r p 1

a1 9r 3 p 1

3 p 11 7

-------------------------- 2 p 2

7----------------------- .

3 p 11 7

-------------------------- 6 (2 p 2)

7------------------------------------

15 p 1 7

-------------------------- .

(209 495) 27 2

-------------------------------------------------

(a1 an)n 2

-------------------------------- (0 2n 2)n 2

-------------------------------------------- ,

(a1 an)n 2

-------------------------------- (2 2n)n 2

------------------------------- ,

(4 j 1)j 1

n

(5 4n 1)n

2--------------------------------------------

(200 390) 20 2

-------------------------------------------------

(20, 22, 24, …, 20 15 2).

a16

(a1 a16) 16 2

------------------------------------------- (20 50) 16 2

-------------------------------------------

2 (1 20)20

2----------------------------------

–5

–3

–1

11 2 3

4 5

3

y

x

an1an2

an n

------------- 2n2 7 (2n1 7)

n2 n1-------------------------------------------------------

2n2 2n1

n2 n1----------------------------

2(n2 n1)

n2 n1------------------------------

an1an2

an n

------------- a1 (n2 1)r [a1 (n1 1) r]

n2 n1------------------------------------------------------------------------------------------

a1 rn2 r a1 rn1 r

n2 n1--------------------------------------------------------------------------

rn2 rn1

n2 n1---------------------------

r(n2 n1)

n2 n1-----------------------------

1 1.024 -----------------

2 j

j 1

n

2s1 2n

d 1 2

-----------------------------


104

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

74. a) Cada termo an da P.G. a seguir indica o consumo de água nessacidade, em milhões de litros, no n-ésimo dia de verão:(30; 30,15; 30,30075; …)Assim, o consumo nos quarenta primeiros dias de verão é:

S40 106 L

b) Sn 106 L

75. A empresa A doará a soma, em dólares, dos dez primeiros termosda P.G. (100.000, 50.000, 25.000, …) isto é, S10 199.805 dóla-res. A empresa B doará a soma, em dólares, dos infinitos termosda P.G. (98.000, 49.000, 24.500, …), isto é, S∞ 196.000 dólares.Logo, a empresa A é a mais generosa.

76. As distâncias, em metros, percorridas em alguns segundos após a

freada são os primeiros termos da P.G.

Mesmo que essa P.G. fosse infinita, não haveria o choque do autocom a pedra, pois:

S∞ 26,66. Isto é, a soma dos termos da

P.G. é aproximadamente 26,66 m, que é menor do que 100 m.

77. aSendo AB d e BB’ h, temos que a área do triângulo ABB’ é

As áreas dos triângulos destacados, em ordem decrescente, for-

mam a P.G. cuja soma dos infinitos ter-

mos é dada por:

S∞

Concluímos, então, que a soma das áreas dos triângulos destaca-dos é igual à área do triângulo ABB’.

78. Os pontos da forma (n, 4 3n), com n N*, formam a representa-ção gráfica da P.G. e, portanto, a P.G. é (12, 36, 108, ...).Assim, o termo geral an é an 12 3n 1

Para que an seja maior que 36, devemos ter:12 3n 1 36 3n 1 3 n 1 1 n 2Logo, o menor valor possível de n é 3.

1. a)

b)

c)

d) Para a classe 0,96, temos: 4 72°

Para a classe 0,98, temos: 6 108°




Logo, o gráfico de setores é:

2. a) 50 100 150 300 400 450 350 300 100 50 2.250Logo, foram vendidos 2.250 pares de calçados.

30f1 (1,005)40g

1 1,005--------------------------------------------------

30f1 (1,005)ng

1 1,005------------------------------------------------

[20, 5, 5 4 ------ , …] .

20

1 1 4 ------

----------------------- 80 3

---------

dh 2

---------- .

[ dh

4---------- , dh

8---------- , dh

16---------- , …]

dh 4

----------

1 1 2 ------

----------------------- dh 2

----------

Capítulo 13

Classes(volumes em L) Freqüência Freqüência

relativa

0,96 4 20%

0,98 6 30%

1,00 5 25%

1,02 4 20%

1,04 1 5%

freqüência total 20

6

5

4

1

Freqüência

0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 Classes(L)

1,04

1,02

1,00

0,98

0,96

Classes (L)

1 2 3 4 5 6Freqüência

360 20

---------------

360 20

---------------

360 20

---------------

360 20

---------------

360 20

---------------

108° 0,98 L

0,96 L

1,00 L

1,02 L

1,04 L

90°

72°

18°

72°


105

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

b) 0,2 20%

Logo, a freqüência relativa da classe 40 é 20%.

3. a) Considerando x o número de alunos que tiveram nota 3, temos:

x 42°.

Logo x 7.

b) Representando o número de alunos que tiveram nota 5 por y,

temos: y 120°.

Logo y 20.

c) A freqüência relativa da classe “nota 6” pode ser calculada por

portanto, essa freqüência é 25%.

4.

O histograma correspondente a essa distribuição é:

5. a) A amplitude da amostra, em m2, é 407 250. Devemos dividir

essa amplitude em 6 partes iguais: 26,1666….

Lembrando que os extremos de classe não precisam, necessa-

riamente, pertencer à amostra, podemos arredondar para

26,2 m2 a amplitude de cada classe. Adotando-se como extre-

mo da primeira classe o valor 250, temos:

b) O histograma correspondente a essa distribuição é:

6. a)

b) 1,24 cm;

c) Temos que 3,5 é o ponto médio do intervalo [3, 4]. Admitindoque o crescimento da planta nesse intervalo seja linear, temosque a altura da planta, em cm, será o ponto médio do intervalo[4,8; 5,6], que é a média aritmética entre 4,8 e 5,6, ou seja, 5,2.

7. a) A média final x . em Geografia é:

x . 6

b)

0,5

que é equivalente a:

ou seja,

88 4y 70 6y 9 ou ainda,2y 9 e, portanto,y 4,5

450 2.250 -----------------

360 60

---------------

360 60

---------------

90 360 ------------ ;

Classe(estatura em centímetros) Freqüência Freqüência

relativa

[161,5; 166,5[ 4 25%

[166,5; 171,5[ 6 37,5%

[171,5; 176,5[ 2 12,5%

[176,5; 181,5] 4 25%

Ft 16

161,5

6

Freqüência

Classe (cm)

4

2

166,5 171,5 176,5 181,5

407 250 6

-----------------------------

Classe(área, em metros quadrados) Freqüência Freqüência

relativa

[250,0; 276,2[ 4 20%

[276,2; 302,4[ 7 35%

[302,4; 328,6[ 2 10%

[328,6; 354,8[ 1 5%

[354,8; 381,0[ 1 5%

[381,0; 407,2] 5 25%

Ft 20

250,0 276,2 302,4 328,6 354,8 381,0 407,2

7

5

4

2

Freqüência

Área (m2)

1

0

6,2

h

5,6

5

4

3

2

10 2 3 4 5 t

1

6

4,8

3,6

6,0 1 7,5 2 5,0 3 6,0 3 1 2 3 3

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 54 9

---------

8,0 1 y 2 6,5 3 5,5 3 1 2 3 3

--------------------------------------------------------------------------------------------

4,5 1 7,0 2 5,5 3 y 3 1 2 3 3

--------------------------------------------------------------------------------------------

44 2y 9

------------------------ 35 3y 9

------------------------ 1 2 ------ ,

18[ 44 2y

9------------------------] 18[

35 3y 9

----------------------- 1 2 ------ ] ,


106

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

8. bIndicando por S e I os grupos com renda superior e inferior, res-pectivamente, temos:

O consumo médio de energia de um indivíduo do grupo S é

e do grupo I é

Devemos ter: x ⇒ x 3,3

9. Indicando por x o número de mulheres do grupo, o número de ho-mens é (120 x). Assim, a idade média das pessoas desse grupoé igual à média aritmética ponderada das idades 35 e 50 anos, compesos x e (120 x), respectivamente, isto é:

40 ⇒ x 80

Logo, nesse grupo há 80 mulheres e 40 homens.

10. eOs pontos médios das classes são 250, 750, 1.250, 1.750 e 2.250.O salário médio x . é a média aritmética ponderada entre esses va-lores, com pesos 14, 4, 2, 2 e 2, respectivamente, isto é:

x .

x . 708

11. A área de maior freqüência é 320 m2 e, portanto, Mo 320 m2.Para determinar a mediana, escrevemos os elementos da amostraem rol:260, 270, 280, 288, 290, 290, 298, 300, 302, 308, 312, 315, 320,320, 320.A mediana é o termo médio desse rol, ou seja, Md 300 m2.

12. a) A nota média x . é a média aritmética ponderada das notas 4, 5,6, 7, 8, 9 e 10 com pesos 6, 8, 11, 10, 8, 5 e 2, respectivamente,isto é,

x . 6,58

b) Dispondo em rol essas 50 notas, temos:

A mediana Md é a média aritmética entre o 25º e o 26º termodesse rol, isto é,

Md 6,5

c) A nota de maior freqüência é 6; logo, Mo 6.

13. eQuando as classes são intervalos, como nesse caso, para calculara média, tomamos o ponto médio xM de cada classe e calculamosa média aritmética ponderada entre os valores xM, atribuindo acada um o peso igual à freqüência da respectiva classe. Assim, amédia x . dos salários, em reais, é dada por:

x . 2.400

14. a) x .A 2,20 min

x .B 2,20 min

b) Piloto A Piloto B2,21 2,20 0,01 2,23 2,20 0,032,22 2,20 0,02 2,21 2,20 0,012,19 2,20 0,01 2,16 2,20 0,042,18 2,20 0,02 2,20 2,20 0,00

c) Piloto A Dam 0,015

Piloto B: Dam 0,02

d) Como Dam Dam, concluímos que o piloto A teve desempe-nho mais regular que o piloto B .

15. a) x .A 20

x .B 20

b)

1,6

43,2

c) Como concluímos que o jogador A teve desempe-

nho mais regular que o jogador B.

16. a) Atirador X:

x .1

26

Atirador Y:

x .2

26

b)

14,6

18Como X Y, concluímos que o atirador X teve desempenhomais regular que o atirador Y.

17. a) O número de homens é: 14 20 19 8 61b) O número de mulheres com mais de 19 anos é: 23 10 33c) O número de mulheres com, no máximo, 20 anos é:

12 18 23 53d) O número de homens com, no mínimo, 19 anos é:

20 19 8 47

18. 0,16 32.000 5.120Logo, 5.120 candidatos tiveram nota 3.

19. c

Observando as partes descendentes dos dois gráficos, constatamosque o indivíduo que bebeu depois do jantar atinge o limite máximo

Grupo Número de pessoas Consumo (TEP)

S 0,05 160 106 8 106 0,1 250.000 25.000

I 0,5 160 106 80 106 0,3 250.000 75.000

25.000 8 106

------------------- 75.000 80 106 ----------------------- .

25.000 8 106

------------------- 75.000 80 106 -----------------------

35x 50(120 x) 120

----------------------------------------------------

250 14 750 4 1.250 2 1.750 2 2.250 2 14 4 2 2 2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

17.000 24

-------------------

4 6 5 8 6 11 7 10 8 8 9 5 10 2 6 8 11 10 8 5 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5, 5, 5, …, 5,

6 notas

7, 7, 7, …, 7,(4, 4, 4, …, 4, 6, 6, 6, …, 6,

8 notas 11 notas 10 notas

8, 8, 8, …, 8, 9, 9, 9, …, 9, 10, 10)

8 notas 5 notas 2 notas

6 7 2

-----------------

1.500 20 2.500 18 3.500 9 4.500 3 50

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2,21 2,22 2,19 2,18 4

---------------------------------------------------------------------- 8,80 4

--------------

2,23 2,21 2,16 2,20 4

---------------------------------------------------------------------- 8,80 4

--------------

0,01 0,02 0,01 0,02 4

----------------------------------------------------------------------

0,03 0,01 0,04 0,00 4

----------------------------------------------------------------------

20 22 18 20 20 5

------------------------------------------------------------------ 100 5

------------

30 14 20 14 24 5

------------------------------------------------------------------ 100 5

------------

A2

(20 20) 2 (22 20) 2 (18 20) 2 (20 20) 2 (20 20) 2 5

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B2

(30 20) 2 (14 20) 2 (20 20) 2 (12 20) 2 (24 20) 2 5

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A2

B2 ,

50 4 30 6 20 5 10 4 0 1 4 6 5 4 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

520 20

------------

50 6 30 3 20 5 10 3 0 3 6 3 5 3 3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

520 20

------------

X

4(50 26) 2 6(30 26) 2 5(20 26) 2 4(10 26) 2 1(0 26) 2

4 6 5 4 1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

214

Y

6(50 26)

2

3(30 26)

2

5(20 26)

2

3(10 26)

2

3(0 26)

2

6 3 5 3 3 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

324


107

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

permitido, 0,6 g/L, três horas após a ingestão da bebida, e o indivíduo que bebeu em jejum atinge esse limite depois de, aproximadamente, quatrohoras e meia da ingestão da bebida.

20.

Uma amplitude possível para as classes é

0,04.

Assim, temos a tabela: O histograma relativo a esses dados é:

21.

Sendo

x

e

y

as médias das notas de Gustavo e Lucas, respectivamente, temos:

x

.

7 e

y

.

7

Sendo

Dam

(

G

) e

Dam

(

L

) os desvios absolutos médios de Gustavo teve e Lucas, respectivamente, temos:

Dam

(

G

)

0,375

Dam

(

L

)

0,5

Como

Dam

(

G

)

Dam

(

L

), conclui-se que Gustavo teve um desempenho mais regular e, portanto, teve direito à vaga.

22.

a)

(Paulo)

0,141

(João)

0,212

b) Como

(Paulo)

(João), concluímos que Paulo teve um desempenho mais regular e, portanto, merece a vaga.

23.

a) A média

x

.

dos salários, em reais é:

x

.

ou seja,

x

.

R$ 2.000,00

b) Indicando-se as variâncias da atual e da nova distribuição por e respectivamente, temos:

e

Observando que as duas frações têm o mesmo numerador, concluímos que

ou seja, a nova distribuição terá uma variância menor que

a atual.

1,76 1,60 4

--------------------------------

Classes(em m) Freqüência Freqüência

relativa

[1,60; 1,64[ 2 10%

[1,64; 1,68[ 3 15%

[1,68; 1,72[ 7 35%

[1,72; 1,76] 8 40%

freqüência total 20

1,60 1,64 1,68 1,72 1,76

8

7

3

2

Freqüência

Classe(m)

7,0 7,5 8,0 7,0 6,0 7,0 6,5 7,0 8

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7,0 6,5 8,0 6,5 7,5 7,5 6,0 7,0 8

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

|7,0 7,0| |7,5 7,0| |8,0 7,0| |7,0 7,0| |6,0 7,0| |7,0 7,0| |6,5 7,0| |7,0 7,0| 8

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

|7,0 7,0| |6,5 7,0| |8,0 7,0| |6,5 7,0| |7,5 7,0| |7,5 7,0| |6,0 7,0| |7,0 7,0| 8

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(4,8 5,0)2 (5,2 5,0)2 (5,0 5,0)2 (5,0 5,0)2 4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,02

(4,7 5,0)2 (5,3 5,0)2 (5,0 5,0)2 (5,0 5,0)2 4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,045

500 10 1.000 5 1.500 1 2.000 10 5.000 4 10.500 1 31

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ,

A2

N2 ,

A2 10(500 2.000) 2 5(1.000 2.000) 2 1(1.500 2.000)2 10(2.000 2.000) 2 4(5.000 2.000) 2 1(10.500 2.000) 2

31---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N2 10(500 2.000) 2 5(1.000 2.000) 2 1(1.500 2.000)2 12(2.000 2.000) 2 4(5.000 2.000) 2 1(10.500 2.000) 2

33---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N2

A2 ,


108

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

1. a)

b)

2. a) cos 28°

0,88

Logo: x 3,52 cm

b) sen 28°

0,46

Logo: x 2,3 cm

c) tg 28°

0,53

Logo: x 5,3 dm

3. No triângulo retângulo ABC, estão relacionados o ângulo agudo(44°), o cateto oposto () e o cateto adjacente (40 m). A razão tri-gonométrica que relaciona essas medidas é a tangente; logo,

tg 44° ⇒ 0,96 ou seja, 38,4

Assim, a largura do rio é 38,4 m.

4. a)

b) sen 32°

0,52

AB 69,23Logo, a distância entre A e B é 69,23 m, aproximadamente.

5. tg 55°

Como tg 55° 1,42, temos:

1,42 ⇒ x 38,34 cm

6. Temos que:cos 10° sen 80° 0,98sen 10° cos 80° 0,17

tg 10° 0,17

tg 80° 5,76 e, portanto,

7.

Como cos 37° sen 53° 0,79, temos:

0,79 ⇒ x 14,22

Logo: A’B’ 14,22 cm

8. Temos: sen (90° ) cos e cos (90° ) sen logo:

E sen 1

9. E

10. E

Como 15° e 75° são complementares, temos:

E

E

11.

O triângulo ABD é isósceles, pois m(A BBD) m(B BAD) 45°, lo-go, AD BD 10 cm.

tg 30°

Capítulo 14

35°

55°

35° 55°

sen 0,57 0,81

cos 0,81 0,57

tg 0,70 1,42

x 4 ------

x 4 ------

x 5 ------

x 5 ------

x 10 ---------

x 10 ---------

40 ---------

40 --------- ,

144 m

A

B

C

108 m

32°

BC AB ------------

36 AB ------------

x 27 ---------

0,81 0,57

--------------

x 27 ---------

sen 10 cos 10 ---------------------- 0,17

0,98 --------------

sen 80 cos 80 ---------------------- 0,98

0,17--------------

10° 80°

sen 0,17 0,98

cos 0,98 0,17

tg 0,17 5,76

r

s

A

18

37° C

B

A'

x

x B'37°

cos 37° x 18 ---------

x 18 ---------

sen cos cos sen -------------------------------------- 3

5 ------ 8

5 ------

[ 2

2-------------]

2

[ 1 2 ------]

4

s 3 d4

--------------------------------------------- 2 4 ------ 1

16 ---------

9--------------------------------- 1

16 ---------

sen 30 cos 15 sen 75

tg2 60 ----------------------------------------------------------------------------

sen 30 cos 15 cos 15

tg2 60 ----------------------------------------------------------------------------- sen 30

tg2 60 ---------------------

1 2 ------

s 3 d2

-------------------- 1 6 ------

30°45°

45°

10 cm

10 cm

A

D CB x

10 x

---------


109

Rep

rodu

ção

proi

bida

. Art

.184

do

Cód

igo

Pen

al e

Lei

9.6

10 d

e 19

de

feve

reiro

de

1998

.

x

12. Indicando por x a altura da torre, e calculando as medidas dos ân-gulos internos do triângulo APB, temos:

O triângulo APB é isósceles, pois possui dois ângulos de mesmamedida; logo, AB BP 120 mAssim, o triângulo BCP, temos:

sen 60°

ou seja:

Logo: x

13. c

Assim, a altura de cada degrau é de ou seja, de 0,25 m.

14. a)

sen 26° ⇒ 0,43 ou seja, d 4,6

Logo, o carrinho percorrerá 4,6 m, aproximadamente.

b)

cos 26° ⇒ 0,89 ou seja, x 3,56

sen 26° ⇒ 0,43 ou seja, y 1,72

Logo, os deslocamentos horizontal e vertical são de 3,56 m e

1,72 m, respectivamente.

15.

sen ⇒ R hsen Rsen

R Rsen hsen R(1 sen ) hsen

R

16. d

sen 2 cos ⇒ 2, ou seja, tg 2.

Assim, temos: tg ⇒ 2 ou seja, x 1.

Logo, os catetos do triângulo medem 2 m e 4 m e, portanto, a áreaA desse triângulo é dada por:

A 4 m2

17. ⇒

BD 500 m e CD

Logo, a altura do paredão é (500 m 500(1 m.

18. Indicando por x a altura do poste, temos:

Logo, a altura do poste é 4,6 m.

19. m(C BBD) m(C BDB) 30° ⇒ BCD é isósceles, portanto, CB CD 50 m.Assim, no triângulo CDE, temos: sen 30° ⇒ logo, x 25 m.

20. b

sen 30° ⇒ ou seja, 20 m.

3 3

------------- 10 x

---------

30

3 ------------- cm 10 3 cm

60°120°

30°

30°

120 m CBA

P

x

x BP ----------- x

120 ------------

3 2

------------- x 120 ------------

60 3 m

30°

3 m

x

sen 30° ⇒ logo: x 1,5x 3 ------ 1

2 ------ x

3 ------ ;

1,5 6

----------- m,

26°

d2 m

2 d ------- 2

d ------- ,

26°

4 m

y

x

x 4 ------ x

4 ------ ,

y 4 ------ y

4 ------ ,

R

θ

RO

h

O é o centro da Terra.

R h R --------------------

h sen 1 sen ------------------------------

sen cos -----------------

x 3 2x

------------------- x 3 2x

------------------- ,

2 4 2

---------------- m2

tg 45 BD 500 ------------

tg 60 CD 500 ------------

1 BD 500 ------------

3 CD 500 ------------

500 3 m

500 3 ) 3 )

30°

30°x

60°

2,3 m

60°

sen 30° ⇒ ou seja, x 4,6. 2,3 x

----------- 1 2 ------ 2,3

x----------- ,

x 50 --------- 1

2 ------ x

50 --------- ;

75°

40 m

40 m

Rio

A

C

B

75°

30°

40 --------- 1

2 ------

40 --------- ,


110

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

3.

d

⇒

x

⇒

y

18°

Logo, a engrenagem gira 18° quando a roda gira

4.

a) O intervalo considerado representa três voltas no sentido anti-horário; logo, as medidas associadas ao ponto

M

são: 30°; 390°e 750°.

b) O intervalo considerado representa duas voltas no sentidohorário; logo, as medidas associadas ao ponto

M

são:

330° e

690°.

Eliminando as voltas completas do arco de 7.850°, concluímosque: 7.850°

290°

Eliminando as voltas completas do arco de 1.853°, concluímosque: 1.853°

53°c)

50°

50°

360°

⇒

50°

310°

6.

a)

Eliminando as voltas completas do arco de concluí-

mos que:

b)

Eliminando as voltas completas do arco de

concluímos que:

c)

2

π

rad

⇒

7.

As medidas algébricas, em radianos, dos infinitos arcos com ex-tremidades em

B

são:

...

Logo, os infinitos números reais associados a

B

são:

...

Observando que a diferença entre dois termos consecutivos quais-quer dessa seqüência é 2

π

, podemos representar todos esses núme-ros reais por:

x

k

2

π

, com

k

Z

8.

As medidas algébricas, em radianos, dos infinitos arcos com ex-tremidades em

B

ou

B

são:

...

Logo, os infinitos números reais associados a

B

ou

B

são:

...

Observando que a diferença entre dois termos consecutivos quais-quer dessa seqüência é

π

, podemos representar todos esses núme-ros reais por:

x

k

π

, com

k

Z

9.

N

: 180°

21°

159°

P

: 180°

21°

201°

Q

: 360°

21°

339°

1.

a)

⇒

x

b)

⇒

x

c)

⇒

x

d)

⇒

x

2.

a)

⇒

x

90°

b)

⇒

x

150°

c)

⇒

x

135°

d)

⇒

x

330°

5.

a)

⇒

7.850°

Capítulo 15

rad

πx

graus

180

240

4π 3

---------- rad

rad

πx

graus

180

315

7π 4

---------- rad

rad

πx

graus

180

210

7π 6

---------- rad

rad

πx

graus

180

45

π 4

------- rad

ππ

2 ------

180

x

rad graus

π 5π 6

----------

180

x

rad graus

π 3π 4

----------

180

x

rad graus

π 11π

6-------------

180

x

rad graus

72π 18π

5-------------

2π

x

roda(rad)

engrenagem(rad)

π 10 ---------rad

ππ

10 ---------

180

y

rad graus

18π 5

------------- rad

7.850

290

360

2121 360 290

voltascompletas

b)

⇒

1.853°

1.853

53

360

55 360 53

voltascompletas

21π 2

-------------rad 20π 2

-------------rad π 2 ------rad

voltascompletas

21π 2

-------------rad,

21π 2

-------------rad π 2

-------rad.

23π 2

-------------rad 20π 2

-------------rad 3π 2

----------rad

voltascompletas

23π 2

-------------rad, 23π 2

-------------rad 3π 2

----------rad.

π

4 ------rad

π 4 ------rad

π 4 ------rad 7π

4----------rad.

3π

2---------- rad, π

2------- rad, 5π

2---------- rad, 9π

2---------- rad, ...

3π

2---------- , π

2------- , 5π

2---------- , 9π

2---------- , ...

π 2

-------

π 2

------- rad, π 2

------- rad, 3π 2

---------- rad, 5π 2

---------- rad, ...

π 2

------- , π 2

------- , 3π 2

---------- , 5π 2

---------- , ...

π 2

-------

Q

N M

P(201°)

(159°)

(339°)

(21°)


111

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

10.

N: π

P: π

Q: 2π

11. a)

M: 180° 120° 60°

P: 180° 60° 240°

Q: 360° 60° 300°

b)

M: 210° 180° 30°

N: 180° 30° 150°

Q: 360° 30° 330°

c)

M: 360° 310° 50°

N: 180° 50° 130°

P: 180° 50° 230°

12. a)

M: π

P: π

Q: 2π

b)

M: π

N: π

Q: 2π

c)

M: 2π

N: π

P: π

13. a) cos 0 1 e sen 0 0

b) 0 e 1

c) cos π 1 e sen π 0

d) 0 e 1

e) cos 2π 1 e sen 2π 0

14. E 1

15. a) sen 120° g) sen 135°

b) cos 120° h) cos 135°

c) sen 210° i) sen 225°

d) cos 210° j) cos 225°

e) sen 300° k) sen 315°

f) cos 300° l) cos 315°

16. E 2

17. I. (V) sen (180° ) sen II. (F) sen (180° ) sen

III. (F) sen (180° ) sen IV. (V) sen (180° ) sen

Q

N M

P

5( )4π

5( )6π

5( )π

5( )9π

π 5 ------ 4π

5----------

π 5 ------ 6π

5----------

π 5 ------ 9π

5----------

N M

(300°)

(60°)

(240°)

(120°)

QP

Q

N M

P

(150°)

(210°)

(30°)

(330°)

N M

(310°)

(50°)

(230°)

(130°)

QP

Q

N M

P

7( )5π

7( )9π

7( )2π

7( )12π

5π 7

---------- 2π 7

----------

2π 7

---------- 9π 7

----------

2π 7

---------- 12π 7

-------------

N M

QP

3( )2π3( )π

3( )4π3( )5π

4π 3

---------- π 3 ------

π 3 ------ 2π

3----------

π 3 ------ 5π

3----------

Q

N M

P

6( )5π

6( )7π

6( )π

6( )11π

11π 6

------------- π 6 ------

π 6 ------ 5π

6----------

π 6 ------ 7π

6----------

cos π 2 ------ sen π

2 ------

cos 3π 2

---------- sen 3π 2

----------

1 (1) 1 (1)

12 (1)2

------------------------------------------------------ 2 2

------------

3 2

------------- 2 2

-------------

1

2 ------

2 2

-------------

1

2 ------

2 2

-------------

3

2-------------

2 2

-------------

3

2-------------

2 2

-------------

1 2 ------ 2

2-------------

1 2 ------ [

1 2 ------]

[ 2

2-------------]

2------------------------------------- 1

2 4 ------

-----------


112

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

V. (F) sen (360° ) sen VI. (V) sen (360° ) sen

VII. (F) cos (180° ) cos VIII. (V) cos (180° ) cos

IX. (F) cos (180° ) cos X. (V) cos (180° ) cos

XI. (V) cos (360° ) cos XII. (F) cos (360° ) cos

18. E 2

19. I. (V) cos() cos II. (F) cos () cos III. (F) sen () sen IV. (V) sen () sen

20. a) sen (30°) sen 30°

b) cos (45°) cos 45°

c) sen (210°) sen 210°

d) cos (300°) cos 300°

21. ⇒ sen2 1 e, portanto,

sen

Como é um arco do 4º quadrante, temos que: sen

22. ⇒ cos2 1 e, portanto,

cos

Como é um arco do 3º quadrante, temos que: cos

23. ⇒ (2cos x)2 cos2 x 1 e, portanto,

cos x

Como x é um arco do 2º quadrante, temos que: cos x

Substituindo cos x por na equação sen x 2 cos x, obte-

mos: sen x

24. sen2 x cos2 x 1 ⇒ 1, ou seja,

m2 m 12 0.Logo, m 3 ou m 4.

25. 22 4 1 sen2 4(1 sen2 ) 4 cos2

x ⇒ x 1 cos ou x 1 cos

Logo, S 1 cos , 1 cos

26. Fazendo a mudança de variável sen x y, obtemos a equação do2º grau: 3y2 4y 1 0.

(4)2 4 3 1 4

y ⇒ y ou y 1

Retornando à variável original, temos:

sen x ou sen x 1 (não convém, pois 0 x π)

Calculando o valor de cos x:

⇒ cos2 x 1 e, portanto,

cos x

Como x é um arco do 1º quadrante, concluímos que:

cos x

27. Substituindo cos2 x por 1 sen2 x, podemos escrever:4(1 sen2 x) 5 sen x 5 0 ⇒ 4 sen2 x 5 sen x 1 0Fazendo a mudança de variável sen x y, podemos escrever:

4y2 5y 1 0 ⇒ y ou y 1


sen x ou sen x 1 [não convém, pois x π]

28. a)

S

b)

S

c)

S π

sen (sen ) sen

-------------------------------------------------- 2 sen sen

--------------------------

1

2 ------

2 2

-------------

[1

2 ------]

1 2 ------

1 2 ------

sen2 cos2 1

cos 5 13 ---------

[5

13 ---------]

2

12

13 ---------

12

13 ---------

sen2 cos2 1

sen 1

3 ------

[1

3 ------]

2

2 2 3

----------------

2 2

3----------------

sen2 x cos2 x 1

sen x 2 cos x

5 5

-------------

5

5------------- .

5

5-------------

2 5 5

----------------

[m 5 ------]

2

[ m 1

5-------------------]

2

2 4 cos2 2

--------------------------------------------

4 4 6

------------------------ 1

3 ------

1 3 ------

sen2 x cos2 x 1

sen x 1 3 ------

[1

3 ------]

2

2 2 3

----------------

2 2 3

---------------- .

1 4 ------

1 4 ------ π

2 ------

π – = π—3

π—3

2π—3

√3 —— 2

π

3 ------ , 2π

3----------

π – = π—6

π—6

(arco auxiliar)5π—6

π + = π—6

7π—6

√3 – —— 2

5π

6---------- , 7π

6----------

π

A


113

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

d)

S 0, π

e) Como 1 cos x 1, para qualquer x real, concluímos quea equação cos x 5 não possui raiz e, portanto, S .

f) Como 1 sen x 1, para qualquer x real, concluímos quea equação sen x 3 não possui raiz e, portanto, S .

29. a)

S 60°, 300°

b)

S 240°, 300°

c)

S 0°

d) Como 1 sen 1, para qualquer medida x, concluímos que

a equação sen x não possui raiz e, portanto, S .

30. sen2 x ⇒ sen x

S

31.

32. a)

S x R \ x

b)

S x R \ x

π

A

0

A

1—2

60°

360° – 60° = 300°

60°

360° – 60° = 300°180° + 60° = 240°

32

–

(arco auxiliar)

0°

1

2

a) S c) S

b) S d) S

1 4 ------ 1

2 ------

1—2

1—2

–

65π

6π

67π

611π

π

6 ------ , 5π

6---------- , 7π

6---------- , 11π

6-------------

π—3

1—2

1—2

π– — 3

π—6

π– — 2

0

π—2

π

3 ------ ,

π 3 ------

π 2 ------

π

6 ------

π 2 ------ ,

π 2 ------

π—4

3π—4

√2 —— 2

π 4 ------ 3π

4----------

π—6

√3 —— 2

11π——6

π 6 ------ 11π

6-------------


114

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c)

S x R \ x

d)

S x R \ 0 x ou x 2π

e)

S x R \ 0 x ou x 2π

f)

S x [0, 2π[ \ x e x

33.

S x R \ x

34. d

Quando a polia maior gira (ou 240°), a menor gira rad

tal que 4 12 ⇒

35. b

2

36. a)

b)

c)

d)

37. A 1

38. Sendo tAEu a altura do trapézio, x AB AD e y DE, temos:

⇒

1—2

–

11π——6

7π—6

7π 6

---------- 11π 6

-------------

π—4

√2 —— 2

7π—4

π 4

------- 7π 4

----------

π—2

3π—2

π 2

------- 3π 2

----------

π—3

2π—3

√3 —— 2

π 3 ------ 2π

3----------

65π

6π

Soluçõescomuns 2

π

π 2 ------ 5π

6----------

4π 3

---------- rad

4π 3

---------- 4π rad.

f (π) f [ 3π

2----------]

f [π

2 ------]

--------------------------------------------

(sen π cos π) [sen 3π 2

---------- cos 3π 2

----------]

sen π 2 ------ cos π

2 ------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

(0 1) (1 0) 1 0

-------------------------------------------------------

2( )2– , 45°22

2( )2– –,22

2( )2 –,22

150°2 2( )3 , 1

2( )3 ,21–

2( )3 ,21––

240°

2( )3,21–

2( )3,21

–2( )3,

21

330°

2 2( )3 , 12( )3 ,

21–

2( )3 ,21––

cos x cos x cos x sen x sen x cos x ----------------------------------------------------------------- cos x

cos x----------------------

A

x

x

180°

20 cm 20 cm

B

CD y E

sen (180 ) 20 x

---------

cos (180 ) y x

------

sen 20 x

---------

cos y x

------


115

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Como sen

e 90°

180°, temos cos

logo,

⇒

x

25 cm e

y

15 cm

Assim, a área

A

do trapézio é dada por:

A

cm

2

650 cm

2

39.

Traçando a reta horizontal

r

, conforme a figura, temos:

⇒

Como cos

0,8 e 0

90°, temos sen

0,6;logo,

⇒

x

3 m e

y

1,12 m

Assim, a altura

h

pedida é dada por:

h

(3

1,12

1,6) m

5,72 m

40.

Sendo

h

a altura da pirâmide, temos:

⇒

Como cos

0,6 e 90°

180°, temos sen

0,8;logo,

⇒

h

153 m

41.

a)

S

b)

S

c)

S

d)

S

e)

S

4 5 ------

3 5 ------ ;

4 5 ------ 20

x---------

3 5 ------ y

x------

(25 40)20 2

-----------------------------------

1,4 m

1,6 m

Eixo

5 m r

x

y

5 m

sen x 5

------

sen (90 ) y 1,4 -----------

sen x 5

------

cos y 1,4 -----------

sen cos ------------------- x

5------

0,8 y 1,4 -----------

115 m

180° –

h

tg (180 ) h 115---------

cos 0,6

sen (180 ) cos (180 )

------------------------------------------ h 115 ------------

cos 0,6

sen cos ----------------------- h

115 ------------

cos 0,6

0,8 (0,6) --------------------------- h

115 ------------

π—4

3π—4

22

π

4 ------ , 3π

4----------

π—4

π—4

7π—4

(arco auxiliar)

– 22

2π =–π—4

5π—4

π =+

5π

4---------- , 7π

4----------

6π

611π

32

π

6 ------ , 11π

6-------------

π—3

1—2

5π — 3

π

3 ------ , 5π

3----------

– 1

3π — 2

3π

2----------


116

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

f)

S

42. a) sen x cos x 0 ⇒ sen x 0 ou cos x 0Para sen x 0, temos: x 0 ou x π

Para cos x 0, temos: x ou x

Logo, S 0, π,

b) Pela propriedade do produto nulo, temos: 2sen x 1 0 ou

2cos x 0; logo, sen x ou cos x Por-

tanto, S

c) Fatoramos o primeiro membro, obtendo:sen x(2cos x 1) 0Pela propriedade do produto nulo, temos:sen x 0 ou 2 cos x 1 0, ou seja, sen x 0 ou

cos x e, portanto, x 0 ou x π ou x ou

x

Logo, S 0, π,

43. a) Fazendo sen x y, obtemos:2y2 y 1 0 (1)2 4 (2) (1) 9

y ⇒ y 1 ou y

Assim, temos sen x 1 ou sen x

Para sen x 1, temos: x

Para sen x temos: x ou x

Logo, S

b) Fazendo cos x y, obtemos:y2 4y 3 0 ⇒ y 1 ou y 3Retornando à variável original, temos:cos x 1 ou cos x 3 (não convém) e, portanto, x 0.Logo, S 0

44. 2(1 sen2 x) 7 sen x 5 0 ⇒ 2sen2 x 7sen x 3 0Fazendo sen x k, obtemos:

2k2 7k 3 0 ⇒ k ou k 3


sen x ou sen x 3 (não convém) e, portanto, x ou

x

Logo, S

45. A extremidade do arco de medida x deve ter ordenada (sen x) igualà abscissa (cos x). Os pontos da circunferência trigonométrica quetêm abscissa e ordenada iguais são os pontos médios do 1º e do3º quadrante:

Logo, o conjunto solução S da equação é: S

46. a) 34,75° (aproximadamente)b) 68,28° (aproximadamente)c) 78,23° (aproximadamente)

1. a)

b)

c)

2. dComo 95° e 130° são medidas de arcos do 2º quadrante, temos que

tg 95° 0 e tg 130° 0 e, portanto, 0

3π — 2

π — 2

π

2 ------ , 3π

2----------

π 2

------- 3π 2

----------

π 2

------- , 3π 2

----------

3 1 2 ------

3 2

------------- .

π 6

------- , 5π 6

---------- , 7π 6

----------

1

2 ------ 2π

3----------

4π 3

----------

2π 3

---------- , 4π 3

----------

1 9 4

---------------------- 1

2 ------

1

2 ------ .

π 2 ------

1

2 ------ , 7π

6---------- 11π

6-------------

π

2 ------ , 7π

6---------- , 11π

6-------------

1 2 ------

1 2 ------ π

6-------

5π 6

----------

π

6 ------ , 5π

6----------

π—4

5π—4

– 22

22

– 22

22

π 4

------- , 5π 4

----------

Capítulo 16

tg 180° = 0

180°

tg 360° = 0

360°

270°

Etg 270°

tg 95 tg 130 ----------------------


117

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

3. ⇒

Substituindo (I) em (II), vem:

(3 cos )2 cos2 1 ⇒ 10 cos2 1

cos

Como pertence ao 2º quadrante, temos:

cos

Substituindo (III) em (I), obtemos:

sen

4. ⇒ cos2 x 1; logo,

cos x

Como x 2π, temos que cos x

Portanto, tg x

5. a) tg 150° tg 30°

b) tg 240° tg 60°

c) tg 330° tg 30°

d) tg 135° tg 45° 1e) tg 225° tg 45° 1f) tg 315° tg 45° 1

6. E

7. De acordo com a figura, temos:

Logo: tg (180° ) tg

Assim, a classificação dos itens é:

8. E 2

9. Note que os prolongamentos dos raios que passam pelas extremi-

dades dos arcos e interceptam o eixo das tangentes em pon-

tos de ordenadas opostas, conforme a figura abaixo.

Logo: tg () tg

sen cos

----------------- 3

sen2 cos2 1

sen 3 cos (I)

sen2 cos2 1 (II)

10 10

----------------

10

10---------------- (III)

3 10 10

-------------------

sen x 3 5 ------

sen2 x cos2 x 1

[3

5 ------]

2

4 5 ------ .

3π 2

---------- 4 5 ------ .

3 5 ------

4 5 ------

---------------- 3 4 ------ .

3

3-------------

3

3

3-------------

tg 4π 3

---------- tg 2π

1 tg2 2π 3

----------------------------------------------------- 3 0

1 s 3 d2

-------------------------------------- 3

2-------------

O

tg α

tg (180° – α)

α(180° – α)

I. FalsoII. Verdadeiro

III. VerdadeiroIV. FalsoV. Falso

VI. Verdadeiro

O

tg α = tg (180° + α)α

(180° + α)

O

tg α

tg (360° – α)

(360° – α)

α



tg tg tg

---------------------------------------- 2 tg tg

-------------------------

O

tg α

tg (– α)

α

A

– α


118

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Assim, a classificação dos itens é:

10. a) tg (45°) tg 45° 1

b) tg (120°) tg 120°

c) tg (300°) tg 300°

11. E 1

12. a)

b)

c)

d)

e)

f)

13. tg x (tg x 1) 0 ⇒ tg x 0 ou tg x 1

Para tg x 0, temos: x 0 ou x π

Para tg x 1, temos: x ou x

Então: S

14. sen x cos x ⇒ tg x logo, x ou x e,

portanto, S

I. Falso II. Verdadeiro

s 3 d 3

s 3 d 3

tg (tg ) tg tg

-------------------------------------------- 2 tg 2 tg -------------------------

O

π3

4π3

3

S π

3 ------ , 4π

3----------

O

π6

7π6

+ =π π6

33

S π

6 ------ , 7π

6----------

π3 (arco auxiliar)

5π3

2π3

3

3–

S 2π

3---------- , 5π

3----------

π6

5π6

11π6

3–3

(arco auxiliar)

S 5π

6---------- , 11π

6-------------

π 0

tg π = tg 0 = 0

S 0, π

3π4

1

–1

π4

5π4

7π4

S π 4 ------ , 3π

4---------- , 5π

4---------- , 7π

4----------

tg2 x 1 ⇒ tg x 1

π 4 ------ 5π

4----------

0, π , π 4

------- , 5π 4

----------

3 3 ; π 3

------- 4π 3

----------

π 3

------- , 4 3

-----------


119

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

15.

a)

S

x

R

x

ou

x

b)

S

x

R

0

x

ou

x

ou

x

2

π

c)

S

x

R

x

ou

x

16.

a)

b)

⇒

Logo: tg

x

Como

x

é medida de ângulo agudo, devemos ter 30°

x

90°.

17.

Representamos, na mesma circunferência trigonométrica, cadaum dos intervalos determinados pelas inequações. Os pontos co-muns aos intervalos formam o conjunto de solução do sistema.

S

x

R

x

18.

a) cotg 45°

1

b) sec 0°

1

c) cossec 270°

1

19.

E

⇒

⇒

E

logo,

E

1

20.

cossec

x

⇒

ou seja, sen

x

Logo,

x

ou

x

Portanto, S

21.

Condição de existência: sen

x

0 e cos

x

0

sen

x

cos

x

sen

x

cos

x

⇒

⇒

sen

2

x

cos

2

x

2

sen

x

, ou seja,1

2

sen

x

ou, ainda

sen

x

3π2

π3

4π3

3π2

π 3

------- π 2

------- 4π 3

---------- 3π 2

----------

1

π2

π4

5π4 3π

2

π 4

------- π 2

------- 5π 4

----------

3π 2

----------

11π

π2

5π6

6

3π2

3–3

π 2

------- 5π 6

---------- 3π 2

---------- 11π 6

-------------

x

B

A C Mar

60 m

tg x AC 60

------------

AC 20 3

tg x AC 60

------------

AC 60

------------ 20 3 60

-------------------

3 3

-------------

90°

270°

30°

210°

33

π3

π2

Soluçõescomuns

π 3

------- π 2

-------

cos 45 sen 45

---------------------- 2

2-------------

2 2

-------------

-----------------

1 cos 0 ------------------- 1

1 ------

1 sen 270 ------------------------- 1

1 ------------

1 cos 60 ---------------------- 1

sen 30 ---------------------- [

cos 30 sen 30

----------------------]

2

1

1 2

------ ----------- 1

1 2

------ -----------

3 2

-------------

1 2 ------

-----------------

2

;

2 1 sen x ----------------- 2 , 2

2------------- .

π 4

------- 3π 4

---------- . π 4

------- , 3π 4

---------- .

sen x cos x ---------------- cos x

sen x---------------- 2

cos x ----------------

[sen x

cos x ---------------- cos x

sen x ----------------]

2 cos x ----------------

1 2 ------


120

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Como 0

x

2

π

, temos

x

ou

x

S

22.

3

⇒

sen

x

sen

2

x

cos

2

x

1

⇒

cos

2

x

1

cos

2

x

1

cos

x

Como

x

pertence ao 2

º

quadrante, temos:

cos

x

Logo:

tg

x

23.

⇒

Substituímos (I) em (II), obtendo:

cos

2

x

1 e, portanto, cos

x

Como

x

é um arco do terceiro quadrante, concluímos que

cos

x

24.

d

cos

x

sen

x

25.

Para qualquer ponto

P

do toboágua, a reta tangente à espiral, em

P

, forma um ângulo agudo de medida

com a horizontal. Portan-to, a altura

h

do toboágua pode ser calculada com o auxílio de umtriângulo retângulo com 26 m de hipotenusa e um ângulo agudo demedida

, sendo

h

a medida do cateto oposto a esse ângulo:

Calculando o sen

:

⇒

sen

Como

é a medida de um ângulo agudo, temos:

sen

Logo,

sen

⇒

e, portanto,

h

26.

a) tg 89°

57,28996163b) tg 89,9°

572,9572134c) tg 89,99°

5.729,577893d) tg 89,999°

57.295,77951e) tg 89,9999°

572.957,7951f) tg 90° não existe

27.

Observando que existem as tangentes de 33° e 213°, e que, na cir-cunferência trigonométrica, essas medidas estão associadas a pon-tos simétricos em relação à origem do sistema cartesiano, conclui-se que tg 33°

tg 213°.

Ou seja, tg

x

tg (180°

x

) para qualquer valor real

x

, queobedeça à condição de existência da tg

x

.

28.

a) tg

tg

b) tg

tg

c) tg

tg

1

d) tg

tg

29.

a

1

30.

⇒

30°

A regra de três a seguir nos dá a medida

R

:

2

π

R

30

360

120

⇒

R

m

31.

⇒

8

tg

1

Logo, 30°

45°

π 6

------- 5π 6

---------- .

π 6

------- , 5π 6

----------

1 sen x ---------------- 1

3 ------

[1

3 ------]

2

1 9 ------ 8

9 ------

2 2 3

----------------

2 2

3----------------

1 3 ------

2 2 3

----------------

-------------------------- 2

4-------------

cos x sen x ---------------- 2

sen2 x cos2 x 1

sen x cos x 2

---------------- (I)

sen2 x cos2 x 1 (II)

[ cos x

2----------------]

2

2 5

5----------------

2 5

5----------------

cotg x 1 cossec x

------------------------------- cos x

sen x---------------- 1

1 sen x ----------------

--------------------------------- cos x sen x

sen x---------------------------------------

1 sen x ----------------

-------------------------------------------

26 mh

sen cos ------------------ 0,2

sen2 cos2 1

26 26

----------------

26 26

---------------- .

h 26 --------- 26

26---------------- h

26 --------- 26 m

213°

tg 33° = tg 213°33°

2π 3

---------- π 3

------- 3

11π 6

------------- π 6

------- 3

3-------------

3π 4

---------- π 4

-------

4π 3

---------- π 3

------- 3

tg (π x) tg (x) tg (2π x) tg (π x) ------------------------------------------------------------------------

tg x tg x tg x tg x --------------------------------------

2 tg x 2 tg x ------------------------

A

180° α

B

R

O

tg 3 3

-------------

0 90

360

30

2πR

120

Medida do arco em graus

Medida do arco em metros

720 π

------------

tg 8 d

------

8 d 8 3

d 8 tg --------------

8 d 8 3

8 tg -------------- 8 3

3 3

-------------


121

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

32.

⇒ sen

No triângulo PQR, temos: sen (180° ) ⇒

⇒ sen ou seja, logo: d 1,3 m

33. cObservando que cos 0, pois é medida de um ângulo agudo,temos:

sec 2 tg ⇒ ou seja:

sen

De (I) e (II), concluímos que e, portanto, AB 80 m.

34. e

cos ⇒ sec 389,6

Observando a tabela, concluímos que 89,8° 89,9°.

1. a) cos 15° cos 45° cos 30° sen 45° sen 30°

b) sen 75° sen (45° 30°)

sen 45° cos 30° sen 30° cos 45°

2. x sen 40° sen 20° cos 20° sen 20° cos 20° 0,3 0,9 0,3 0,9 0,54

y cos 40° cos 20° cos 20° sen 20° sen 20° 0,9 0,9 0,3 0,3 0,72

z sen 65° sen 20° cos 45° sen 45° cos 20° 0,3 0,7 0,7 0,9 0,84

w cos 65° cos 20° cos 45° sen 20° sen 45° 0,9 0,7 0,3 0,7 0,42

3. ⇒ cos2 a 1; logo,

cos

Como 0 a temos cos a

Portanto, a] cos a sen a

4. e

x] x]

cos x sen x cos x

sen x 1 cos x (sen x) 0 0 cos x

(1) sen x cos x sen x

5. sen x cos x

sen x cos x ⇒

⇒ 2 sen x

Logo, sen x ou seja, x ou

x

Portanto, S

6. E sen(3x x) sen 2x

Logo, E

7. tg 15°

2

8. tg[x

9. x tg 13° tg (35° 22°)

0,234

y tg 57° tg (22° 35°)

1,527

z tg 70° tg(35° 35°)

2,745

10. Temos que tg e tg logo,

tg( ) 1

Verificamos, ainda, que 0° 180° e, portanto, 45°.

Q

2,6 m

180° – αα

d

RP

sec ⇒ cos 2 3

3----------------

3 2

-------------

sen2 [ 3

2-------------]

2

1

90 180

1 2 ------

d 2,6 -----------

d 2,6 ----------- , 1

2 ------ d

2,6 ----------- ;

1 cos ----------------- 2 sen

cos ----------------------- ,

1 2 ------ (I)

A

C

40 m

B

α

No triângulo ABC, temos:

sen (II).40 AB ------------

40 AB ------------ 1

2 ------

Sol

1,5 · 108 km3,85 · 105 km

α

Lua

Terra

3 85 105,

1,5 108------------------------------ 1,5 108

3 85 105 ,------------------------------

Capítulo 17

2 2

------------- 3 2

------------- 2 2

------------- 1 2

------ 6 2 4

------------------------------

6 2 4

------------------------------

sen a 3 5 ------

sen2 a cos2 a 1

[3

5 ------]

2

4 5 ------

π 2 ------ , 4

5 ------ .

cos [ π 3 ------ cos π

3 ------ sen π

3 ------

1 2 ------ 4

5 ------ 3

2------------- 3

5 ------ 4 3 3

10---------------------------

sen [ π 2 ------ cos [ 3π

2----------

sen π 2 ------ cos π

2------- cos 3π

2----------

sen 3π 2

----------


4 ------


4 ------ 2

2-------------

2 2

------------- 2 2

------------- .

1 2 ------ , π

6 ------

5π 6

----------

π

6 ------ , 5π

6----------

sen [2 π 8 ------] sen π

4 ------ 2

2-------------

tg 45 tg 30

1 tg 45 tg 30 ---------------------------------------------------

1 3 3

-------------

1 1 3 3

-------------

------------------------------------ 3

π 4 ------]

tg x tg π 4 ------

1 tg x tg π 4 ------

-------------------------------------------- 3 1 1 3 1 ------------------------- 1

2 ------

tg 35 tg 22

1 tg 35 tg 22 ---------------------------------------------------

0,7 0,4 1 0,7 0,4 ----------------------------------

tg 22 tg 35

1 tg 22 tg 35 ---------------------------------------------------

0,4 0,7 1 0,4 0,7 ----------------------------------

tg 35 tg 35

1 tg 35 tg 35 ---------------------------------------------------

0,7 0,7 1 0,7 0,7 ----------------------------------

3 9 ------ 1

3 ------ 3

6 ------ 1

2 ------ ;

tg tg

1 tg tg -----------------------------------------

1 3 ------ 1

2 ------

1 1 3 ------ 1

2 ------

---------------------------------- 5

6 ------

5 6 ------

--------------


122

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

11. ⇒ cos2 x 1 e, portanto,

cos x

Como x pertence ao 3º quadrante, temos:

cos x

Assim, concluímos:

sen 2x 2 sen x cos x 2

cos 2x cos2 x sen2 x

12.

(AC)2 32 42 ⇒ AC 5Como os triângulos ABC e ADC são congruentes, temos quem(B BAC) m(D BAC) ;logo, sen BA sen 2 2 sen cos 2

13. cos x

[1 1

2 1

14. cos x

[1 ou seja, cos x 1.

Para cos x temos:

1 ⇒

Como x pertence ao primeiro quadrante, temos que também

pertence a esse quadrante e, portanto,

15. 2 sen x cos x cos x ⇒ 2 sen x cos x cos x 0Fatoramos o primeiro membro, obtendo:cos x (2sen x 1) 0Pela propriedade do produto nulo, temos:

cos x 0 ou 2sen x 1 0, ou seja, cos x 0 ou sen x e,

portanto, x ou x ou x

Logo,

S

16. cos2 x sen2 x cos x 1 ⇒ cos2 x (1 cos2 x) cos x 1

ou seja, 2 cos2 x cos x 0 ou, ainda, cos x (2 cos x 1) 0

e, portanto, cos x 0 ou cos x

Logo, S

17. tg 2x

18.

B BDA é um ângulo externo do BCD ⇒ m(B BDA) 2.

No ABD temos: tg 2 ⇒

ou seja, e, portanto, AD 3,15

19.

⇒ 30° e 15°

No triângulo OPB, temos:

sen 15° em que, sen 15° sen (45° 30°)

sen 45° cos 30° sen 30° cos 45°

Assim, temos:

⇒ x

Logo, a distância do ponto P ao outro lado do ângulo é

20. Temos:

x] cos x sen x

1 cos x (sen x) 0 cos x

e x] cos x sen x

0 cos x 1 sen x sen xLogo, E cos x sen x

Calculando o cos x, obtemos: cos x

Concluindo, temos: E

21. dsen 6x cos x sen x cos 6x sen(6x x) sen 5x

Para x temos:

sen 5x 1

sen x 5

13 ---------

sen2 x cos2 x 1

[5

13 ---------]

2

12 13 ---------

12

13 ---------

[5

13 ---------] [

12 13 ---------]

120 169 ------------

[12

13 ---------]

2

[5

13 ---------]

2 119 169 ------------

B

3 cm4 cm

4 cm 3 cm

αα

D

CA

3 5 ------ 4

5 ------ 24

25 ---------

cos [2 x 2 ------] cos2 x

2 ------ sen2 x

2 ------

cos2 x 2 ------ cos2 x

2 ------] 2cos2 x

2 ------

[3

5 ------]

2

7

25 ---------

cos[2 x 2 ------] cos2 x

2 ------ sen2 x

2 ------

cos2 x 2 ------ cos2 x

2 ------] 2cos2 x

2 ------

3 4 ------ ,

3 4 ------ 2cos2 x

2 ------ cos x

2 ------ 14

4----------------

x 2 ------

cos x 2 ------ 14

4---------------- .

1 2 ------

π 2 ------ π

6 ------ 5π

6----------

π

2 ------ , π

6 ------ , 5π

6----------

1 2 ------

π

3 ------ , π

2 ------ , 3π

2---------- , 5π

3----------

2 tg x 1 tg2 x -------------------------- 2 3

1 32 --------------------

6 8 ------

3 4 ------

α

α 2α

B

3

ADC

3 AD ------------ 2 tg

1 tg2 --------------------------- 3

AD ------------ ,

2 0,4

1 (0,4)2 ----------------------------- 3

AD ------------

α β

4 cm

2 cm

B

x

A

p

O

45

sen 2 4 ------ 1

2 ------

x 4 ------ ,

6 2 4

------------------------------ .

6 2 4

------------------------------ x 4 ------ 6 2

( 6 2 ) cm.

sen [ 3π 2

---------- sen 3π 2

---------- cos 3π 2

----------

cos [ π 2

------- cos π 2

------- sen π 2

-------

4

5 ------

[4

5 ------]

3 5 ------ 1

5 ------

π 10 --------- ,

sen [5 π 10 ---------] sen π

2 ------


123

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

22. (cos cos )2 (sen sen )2 cos2 2 cos cos cos2 sen2 2 sen sen sen2 2 2(cos cos sen sen ) 2 2 cos ( )

2 2 2 2

23. tg 105° tg (45° 60°)

2

24. a) tg (60° )

b) tg (60° )

25. A BED é ângulo externo do AEC; logo, , portanto, .

Assim, temos: tg tg ( )

26. ⇒ cos x e sen x

Como 0 x concluímos que cos x e

sen x Assim, temos:

a) sen 2x 2 sen x cos x 2

b) cos 2x cos2 x sen2 x

27. (AC)2 32 52 ⇒ AC 4Sendo x a distância procurada, temos:

sen 2 ⇒ 2sen cos logo,

2 ou seja, x 4,8 cm

28. ⇒ 1, ou seja,

Como x pertence ao primeiro quadrante, temos que também

pertence a esse quadrante e, portanto,

Logo, sen x sen [2

2

29. ⇒ (0,6)2 cos2 x 1, ou seja,

cos x 0,8Como x pertence ao primeiro quadrante, temos que: cos x 0,8.Pela fórmula de co-seno do arco duplo, podemos escrever:

cos x cos [2

1 ou seja, cos x 1 e,

portanto, 0,8 1 ⇒

Como pertence ao primeiro quadrante, concluímos que:

30. • cos x cos [2

cos x cos2 [1

cos x 2 1 2 1

Como a cos x, temos a

• cos y 2 1

2 1

Como 0° y 90°, temos 0° 45° e, portanto,

cos 0. Assim,

Como b cos temos b

31. Indicando por x a medida DC, temos:

2cos π 4 ------ 2

2------------- 2

tg 45 tg 60

1 tg 45 tg 60 ---------------------------------------------------

1 3

1 1 3 -------------------------------- 3

tg 60 tg

1 tg 60 tg ------------------------------------------------ 3 2 3

1 3 2 3 -----------------------------------------

3 3

5----------------

tg 60 tg

1 tg 60 tg ------------------------------------------------ 3 2 3

1 3 2 3 -----------------------------------------

3

7-------------

tg tg

1 tg tg -----------------------------------------

2 4 ------ 2

6 ------

1 2 4 ------ 2

6 ------

---------------------------------- 1 7 ------

sen x 2 cos x

sen2 x cos2 x 1

5 5

------------- 2 5 5

----------------

π 2 ------ , 5

5-------------

2 5 5

---------------- .

2 5 5

---------------- 5 5

------------- 4 5 ------

[ 5

5-------------]

2

[ 2 5

5----------------]

2

3

5 ------

x 5 ------ x

5 ------ ;

3 5 ------ 4

5 ------ x

5 ------ ,

sen x 2 ------ 1

4 ------

sen2 x 2 ------ cos2 x

2 ------ 1

[1

4 ------]

2

cos2 x 2 ------

cos x 2 ------ 15

4----------------

x 2 ------

cos x 2 ------ 15

4---------------- .

x 2 ------] 2sen x

2 ------ cos x

2 ------

1 4 ------ 15

4---------------- 15

8----------------

sen x 0,6

sen2 x cos2 x 1

x 2 ------] cos2 x

2 ------ sen2 x

2 ------

sen2 x 2 ------ sen2 x

2 ------ 2sen2 x

2 ------

2sen2 x 2 ------ sen x

2 ------ 10

10----------------

x 2 ------

sen x 2 ------ 10

10----------------

x 2 ------] cos2 x

2 ------ sen2 x

2 ------

x 2 ------ cos2 x

2 ------]

cos2 x 2 ------ [

1 5 ------]

2

23

25 ---------

23

25 --------- .

cos2 y 2 ------

1 9 ------ cos2 y

2 ------

5 9 ------ cos2 y

2 ------

cos y 2 ------ 5

3-------------

y 2 ------

y 2 ------ cos y

2 ------ 5

3-------------

y 2 ------ , 5

3------------- .

A

21 m

28 m

D

C

x

B

⇒

⇒

tg 21 28 --------- 3

4 ------

tg 2 x 21 28

--------------------

tg 3 4 ------ (I)

2tg 1 tg2 ------------------------- x 21

28-------------------- (II)


124

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

(I) em (II) ⇒

⇒ x 75

Logo, a altura AD é de 96 m.

32. d 2sen x cos x sen x 0 ⇒ sen x (2 cos x 1) 0

Pela propriedade do produto nulo, temos:

sen x 0 ou 2cos x 1 0, ou seja, sen x 0 ou cos x

e, portanto, no intervalo [0, π], temos: x 0 ou x π ou

x

Logo, no intervalo considerado, a equação tem exatamente três so-luções.

33. cos2 x sen2 x sen x ⇒ 1 sen2 x sen2 x sen x, ou seja,2sen2 x sen x 1 0

Fazendo a mudança de variável sen x y, temos:

2y2 y 1 0 ⇒ y 1 ou y


y 1 ou y ⇒ sen x 1 ou sen x e, portanto,

no intervalo [π, 2π], só nos convém sen x 1; logo,

S

34. bPara x 22°30’, temos:

tg (2 22°30’) ⇒

⇒ tg 45° ou seja, 1 ⇒

⇒ 2 tg 22°30’ 1 tg2 22°30’ ou, ainda,

tg2 22°30’ 2 tg 22°30’ 1 0Fazendo tg 22°30’ y, temos:

y2 2y 1 0

22 4 1 (1) 8

y 1

Como tg 22°30’ é positiva, concluímos que:

tg 22°30’ 1 1 1,41, ou seja, tg 22°30’ 0,41

1. a)

b)

c)

d)

D RIm [3, 3]p 4π

2 3 4 ------

1 [3

4 ------]

2

----------------------------- x 21

28--------------------

3 2 ------

7 16 ---------

-------------- x 21 28

--------------------

1

2 ------

2π 3

---------- .

1 2 ------ .

1 2 ------ 1

2 ------

3π

2----------

2 tg 2230’

1 tg2 2230’ -----------------------------------------

2 tg 2230’

1 tg2 2230’ ----------------------------------------- ,

2 tg 2230’

1 tg2 2230’ -----------------------------------------

2 2 2 2

------------------------------- 2

2

Capítulo 18

x y

0 0

π 0

2π 0

4π2

π π 2π2

–43π2

3π2

y

4

0

–4

x

D RIm [4, 4] p 2π

x y

0 0

π 0

2π 0

–4π2

43π2

π π 2π2

3π2

y

4

–4

0 x

D RIm [4, 4]p 2π

x y

0 0

1π8

–13π8

4x

0

π2

0π4

π

0π2

2π

3π2

π8

π2

π4

3π83π83π83π83π8

1

0

–1

x

y

D RIm [1, 1]

p π 2 ------

x y

0 0

3π

–33π

2π

0

π2

x2

0π

02π 4π

3π2

4ππ 3π2π0

3

–3

x

y


125

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

e)

D RIm [3, 3]p 2π

f)

g)

2. 1 sen x 1 ⇒ 5 5sen x 5Adicionando 4 a cada membro dessa desigualdade, obtemos:5 4 4 5sen x 5 4 e, portanto, 1 f (x) 9.Logo, o máximo valor da função é 9.

3. 1 sen 4x 1 ⇒ 6 1 6 sen 4x 6 1 e, portanto,5 g(x) 7.Logo, o mínimo valor da função é 5.

4. 1 sen x 1 ⇒ 1 4m 2 1Adicionando 2 a cada membro dessa desigualdade, obtemos:

1 4m 3 ⇒ m

Logo, a igualdade sen x 4m 2 é possível para qualquer valor

real m tal que m

5. a)

b)

c)

d)

x y

0

3

–3

0

π2

5π6

4π3

π3

x –3

0π

02π

3π2

11π6

7π3

π3

5π6

4π3

7π3

11π6

0

3

–3

x

y

ππ

x y

0 4

π 4

2π 4

6π2

π π2

3π 2π2

23π2

y

x

6

4

2

0

D RIm [2, 6]p 2π

x y

0 2

7π4

–33π4

2x

0

π2

2π2

π

2π2π

3π2

π4

ππ2

3π4

2

7

0

–3

x

y

D RIm [3, 7]p π

1 4 ------ 3

4 ------

1 4 ------ 3

4 ------ .

x y

0 4

π –4

2π 4

0π2

03π2

π π 2π2

3π2

y

4

0

–4

x

D RIm [4, 4] p 2π

x y

0 –4

π 4

2π –4

0π2

03π2

π π 2π2

3π2

y

4

0

–4

x

D RIm [4, 4]p 2π

x y

0 1

0π8

03π8

4x

0

π2

–1π4

π

1π2

2π

3π2

π8

π2

π4

3π8

1

0

–1

x

y

D RIm [1, 1]

p π 2 ------

x y

0 3

0π

03π

0

π2

x2

–32ππ

34π2π

3π2

π 3π2π 4π

3

0

–3

x

y

D RIm [3, 3]p 4π


126

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

e)

f)

6. df(x) cos2 x sen2 x 3 ⇒ f(x) cos 2x 3Temos que: 1 cos 2x 1. Adicionando 3 a cada membro des-sa desigualdade, obtemos:3 1 cos 2x 3 1 3 ⇒ 2 f(x) 4Logo, o conjunto imagem de f é:y R 2 y 4

7. 1 cos x 1 ⇒ 4 4 cos x 4Adicionando 1 a cada membro dessa desigualdade, obtemos:1 4 1 4cos x 1 4 ⇒ 3 f(x) 5Logo, o valor mínimo da função é 3.

8. No segundo quadrante, o cos x assume todos os valores do inter-valo ]1, 0[. Assim, devemos ter:

1 5m 1 0 ⇒ 0 m

Logo, a equação cos x 5m 1 admite raiz no 2º quadrante para

qualquer valor real m, tal que 0 m

9. a)

D x R x com k Z;

Im R;

p

b)

D x R x π 2kπ, com k ZIm Rp 2π

c)

D x R \ x com k Z

Im R

p

10. d

O ponto pertence ao gráfico; logo,

1 ⇒ kπ, com k Z

Para k 0, temos ⇒ m

Notas.• Para qualquer valor inteiro positivo atribuído a k obtemos um

valor de m tal que m 6. Nesse caso, o período da função é

menor que o que contraria a figura apresentada.

• Para qualquer valor inteiro negativo atribuído a k, a função entreduas assíntotas consecutivas é decrescente, o que contraria a fi-gura apresentada.

11. a) x2 52 82 2 5 8 cos 60° e, portanto, x 7 cm.b) x2 62 102 2 6 10 cos 120° e, portanto, x 14 cm

12. (BC)2 42 82 2 4 8 cos 60° e, portanto, x

13. a) O maior ângulo opõe-se ao maior lado. Indicando por a me-dida desse ângulo, temos:

72 42 52 2 4 5 cos ⇒ cos

0

–1

1

y

x

x y

1

0

0

0

π2

π4

3π4

5π4

π4

ππx –4

–1π

12π

3π2

3π4

5π4

7π4

9π4

7π4

9π4

D RIm [1, 1]p 2π

x y

0 6

π 2

2π 6

4π2

43π2

π π2

3π 2π2

y

x

6

4

2

0

D RIm [2, 6]p 2π

1 5 ------

1 5 ------ .

x

x

yy

0 0

eπ6

3x

0

π– –2

eπ6

π2

π– –4 –1π

12

π4 –1π

12

π6

π6

–

–

π12

0

–1

1

π12

π 6 ------ kπ

3---------- ,

π 3 ------

0 0

e–π

0

π–2

eππ2

π– –4 –1π

2

π4 1π

2

x

y

π–π

–

π2

0

–1

1π2

x yx2

x y

0 0

eπ4

2x

0

π– –2

eπ4

π2

π– –4 1π

8

π4 –1π

8

x

y

– 0

–1

1

π8

π8

– π4

π4

π 4 ------ kπ

2---------- ,

π 2

-------

[π

6 ------ , 1]

tg mπ 6

------------ mπ 6

------------ π 4 ------

mπ 6

------------ π 4 ------ 3

2 ------

π 6 ------ ,

4 3 km

1

5 ------


127

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) Sendo a medida do maior ângulo, temos:

Logo, o maior ângulo é obtuso.

14.

D2 102 52 2 10 5 cos 120° e, portanto, D cm

d2 102 52 2 10 5 cos 60° e, portanto, d cm

Logo, as diagonais do paralelogramo têm medidas: cm e

cm

15.

⇒ e, portanto,

x

16. aSendo R a medida do raio da circunferência circunscrita ao triân-gulo, temos:

2R ⇒ 2R e, portanto, R 6 cm

17. ⇒

⇒ e, portanto,

sen

Como é a medida de um ângulo agudo, concluímos que 30°.

18. ⇒ e, portanto,

x 16cos Calculando o cos :

⇒ cos2 1 e, portanto,

cos

Observando que é medida de um ângulo agudo (pois, caso con-trário seria impossível existir um ângulo de medida 2, interno ao

triângulo), concluímos que cos

Logo, x 12,8 cm.

19. a) A 4 sen 60° e, portanto, A 15 cm2

b) A 5 4 sen 150° e, portanto, A 5 cm2

20. Sendo a medida do ângulo B BAC, temos:

8 10 sen 20 ⇒ sen e, portanto, 30° ou

150°.

21. Calculando a área AS do setor circular AOB:

⇒ AS 15π cm2

Calculando a área At do triângulo AOB:

At 6 6 sen 150° e, portanto, At 9 cm2

Logo, a área A pedida é dada por:

A AS At (15π 9) cm2 3(5π 3) cm2

22. sen ⇒ h 3 sen . Logo, o gráfico da função h() é:

23. Imagine uma circunferência de 1,4 m de diâmetro, centrada na ori-gem de um sistema cartesiano, tal que, quando um ponto P gira nacircunferência, uma haste rígida MP acompanha o movimento damaré, conforme a figura:

Admitindo que o ponto P gire com velocidade constante sobre acircunferência, temos que a 0 h a maré atinge seu nível médio e,portanto, no horário t , em horas, o ponto P terá percorrido um arco

de medida Logo, o movimento das marés pode ser des-

crito por: f(t) 0,7sen

0 180

cos 0

120°5 cm

10 cm

D

5 7

5 cm

10 cm

d

60°

5 3

5 7

5 3

105°

45° 30°

6x

x sen 30 ---------------------- 6

sen 45 ---------------------- x

1 2 ------

----------- 6

2 2

-------------

-----------------

3 2

6 sen 30 ---------------------- 6

1 2 ------

-----------

4 sen ------------------ 4 3

sen 120 -------------------------

4 sen ------------------ 4 3

3 2 ---------

-------------

1 2 ------

x sen 2 --------------------- 8

sen ------------------ x

2sen cos ------------------------------------- 8

sen ------------------

sen 3 5 ------

sen2 cos2 1

[3

5 ------]

2

4 5 ------

4 5 ------ .

64 5

--------- cm

1 2 ------ 5 3

1 2 ------

1 2 ------ 1

2 ------

360

150

π 62

AS

Área em cm2Medida do

ângulo centralem graus

1 2 ------

h 3 ------

3

–3

0 π2

h

π 3π2

2π

0,7sen

M

P

mar

0,7

0,7

tπ 6

--------- .

tπ 6

---------


128

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

24. a) A pressão máxima, pmáx., é obtida quando 1

e, portanto, pmáx. (300 200 1) bares 500 bares.

b) Para 1, temos: k 2π,

com k Z. Para k 0, obtemos o primeiro horário em que a

caldeira atingiu a pressão máxima: ⇒ t 2.

Logo, isso aconteceu às 2 horas.

25. A medida d é o período da função f , isto é, d 4π cm.A medida h é o comprimento do intervalo [5, 5], que é a imagemde f; logo, h 10 cm.

26.

(AB)2 52 82 2 5 8 cos 60° e, portanto, AB 7 km

27. Indicando por x e y as medidas, em km, de tBFu e tAFu, respectiva-mente, temos:

⇒ x e

⇒ y 30 sen 105°; logo, y 30 sen(60° 45°)

30(sen 60° cos 45° sen 45° cos 60°)Ou seja,

y

28.

⇒ e, portanto,

x 40,8. Logo, o observador obteve a distância de 40,8 m.

29. Sendo a medida do ângulo B BAC, temos:

8 ⇒ sen e, portanto, 30° ou 150°.

30.

A área S do paralelogramo é o dobro da área S’ do triângulo ACD,

isto é, S 2S’ ⇒ S 2 4 8 sen 30°; logo S 16 cm2.

31. Indicando por Atri. e Aset. as áreas, em cm2, do triângulo AOC e dosetor BOC, respectivamente, temos que a área A pedida é:

A Atri. Aset., em que Atri. 4 4 sen 120° ⇒

⇒ Atri. e ⇒ Aset.

Logo, A

1. a) a32 2.800Logo, o faturamento foi 2.800 dólares.

b) a13 a23 a33 a43 a53 10.580Logo, o faturamento foi 10.580 dólares.

c) a11 a12 a13 a14 7.730Logo, o faturamento foi 7.730 dólares.

2. a) A

b) A

3. d

At B ⇒ e, portanto,

⇒

Logo, x 2.

4. ⇒

⇒ e, portanto, x 1 e y 4

5. ⇒ e, portanto,

Logo, x 4

6. a) A B

sen (t 1)π 2

-------------------------

sen (t 1)π 2

------------------------- (t 1) π 2

------------------------- π 2 ------

(t 1) π 2

------------------------- π 2 ------

60°

5 km

8 km

C

A

B

45° 30°

15 km 105°

B

F

x

yA

x sen 45 ---------------------- 15

sen 30 ---------------------- 15 2 y

sen 105 -------------------------

15 sen 30 ----------------------

30[ 3

2------------- 2

2------------- 2

2------------- 1

2 ------]

15s 6 2 d 2

-----------------------------------------

20°

130°

30°

B

x

20 m40 m

D

A

C

20 x sen 130 ------------------------- 40

sen 30 ---------------------- 20 x

0,76-------------------- 40

0,5 -----------

4 sen ------------------ 1

2 ------

4 cm

8 cm

s '30°

D C

BA

1 2 ------

1 2 ------

4 3 ; 360 16π

--------------- 60 Aset.

------------ 8π 3

---------- .

[4 3 8π 3

----------] cm2.

Capítulo 19

a11 a12

a21 a22

a31 a32 3 5

4 6

5 7

a11 a12 a13

a21 a22 a23 1 3 4

3 1 5

2 5

4 2

3 1

x2 2 5

x 6 2

3 1

x2 2 2

x 6 4

x 2

x 2

3x y 7 0 0

0 5x y 1 0

0 0 0

0 0 0

3x y 7 0

5x y 1 0

x2 15 0

0 x 3 1 0

0 1 x2 15 1

x 3 1

x 4

x 4

2 3 8

1 4 0 4 5 9

6 2 7

6 8 1

7 2 7


129

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) 2A B

c) 3A C t

7. ⇒

⇒ ou seja, e, portanto,

x 1 e y 3

8. Temos:

X ⇒

⇒ X

9. a) AB

b) BC

c) B2

d) CD (1 2)

10. a)

b)

c)

d)

e)

11. I. F, observe os itens a e b do exercício 10.II. F, pois (P Q)2 (P Q)(P Q) P2 PQ QP Q2

e, como PQ não é, necessariamente, igual; a QP, não se podeafirmar que PQ QP 2PQ.

III. V, observe os itens c e d do exercício 10.IV. F, observe o item e do exercício 10.

12.

Sendo X temos:

⇒ e,

portanto, ⇒ a 4 e b 5

Logo, X

13. a) A população da cultura 1 no dia 2 é igual ao elemento a12 damatriz, ou seja, 5,2 109 indivíduos.

b) As populações da cultura 2 nos dias 1 e 2 são dadas, respec-tivamente, por a21 8 106 e a22 8,4 106; logo, o percentualde aumento é dado por:

0,05 5%

14. a) A

b) B

15. b

⇒

⇒ ou seja,

Logo, x 7 e y 3 e, portanto, x 2y 1.

16. ⇒

⇒

De I obtemos x 2 ou x 3, e de II obtemos x 4 ou x 2.Portanto, concluímos que x 2.

17. ⇒

⇒

De I obtemos x 4 ou x 3, e de II obtemos x 4 ou x 1.Portanto, concluímos que x 4.

4 6 16

2 8 0 4 5 9

6 2 7

0 1 25

4 10 7

1 2 ------ 6 9 24

3 12 0 1 4 2

0 3 5

5 5 26

3 15 5

x 1

y 2 y 3x 3

y x 1 x 4

5 1

x y 3x x

y y x 5

y 3x 0

2y x 5

8 2 6

12 4 2 3 6 3

0 6 3

3 6 3

0 6 3 8 2 6

12 4 2

5 4 9

12 2 5

2 1

4 2

3 5

2 6

1 0 3 12

6 24

1 18

2 6

1 0 4

3 26

4

2 6

1 0 2 6

1 0 2 12

2 6

4

3 4 8

3 6

1 2 3

0 6 1 1 1

4 4

2 2

15 15

26 26

1 1

4 4

2 2

1 2 3

0 6 1 1 8 4

4 32 16

2 16 8

1 2 3

0 6 1 1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 3

0 6 1

1 0

0 1 1 2 3

0 6 1 1 2 3

0 6 1

1 1

4 4

2 2

1 1 1

1 1 1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

A2 2 X p q B2 1

p 2 q 1

a

b,

1 2

0 3

a

b

6

15

a 2b

3b

6

15

a 2b 6

3b 15

4

5

8,4 106 8 106

8 106------------------------------------------------ 0,4 106

8 106------------------------

a11 a12

a21 a22 1 1

1 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 0 2 3

5 0 3

7 8 0

5 x2 2 y

49 y 3x

1 21 0

5 49 1

x2 y 21

2 y 3x 0

x2 49

2 y 1

3x 21

,

x 7

y 3

x 7

x2 5x 6 0

0 x2 6x 8 0 0

0 0

x2 5x 6 0 (I)

x2 6x 8 0 (II)

x2 7x 13 0

x2 3x 4 1 1 0

0 1

x2 7x 13 1 (I)

x2 3x 4 0 (II)


130

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

18. Temos que:

A e B

Logo, A Bt

19. a

⇒

⇒ e, portanto, x 4.

Assim, temos que x3 64.

20. a) a23 5; logo, foram vendidas 5 unidades do modelo 2 no dia

3 de fevereiro, pela loja A.

b) b12 0; logo, não foi vendida nenhuma unidade do modelo

1 no dia 2 de fevereiro, pela loja B.

c) Basta construir a matriz A B, ou seja,

A B

d) Basta construir a matriz A B, ou seja,

A B

21. Adicionando, membro a membro, as duas equações, temos:

2X ⇒ X

Substituindo X por em qualquer uma das duas equações

propostas, obtemos:

Y

22. Temos que:

C

Logo, c21 7

23. a

⇒ 2x 5 11 e, portanto, x 3.

24. a) A0 I2

b) A1

c) A2 I2

d) A3 A2 A I2 A A

e) A18 (A2)9 (I2)9 I2

f) A35 (A2)17 A (I2)17 A I2 A A

25. dAs alternativas a, b e c são falsas porque as matrizes A e B comu-tam na multiplicação, o que não foi garantido no enunciado.Um contra-exemplo mostra que a alternativa e é falsa:

Assim, a alternativa verdadeira é d, que é um caso particular dapropriedade M.4.

26.

Sendo X temos:

⇒

e, portanto, ⇒ a e

b

Logo, X

27. d

(I)

(II)

Substituímos (I) em (II):

Como a multiplicação de matrizes é associativa, temos:

1. a) I. 2 6 3 (2) (1) 7 (verdadeira)II. 2 1 3 1 2 7 (falsa)

b) 2 2 3 1 p 7 ⇒ p 0

2 (1) 3q 3 7 ⇒ q 4

1 4

1 2 0 1

3 0

1 4

1 2 0 3

1 0 1 7

2 2

2x 2x2 2

2 2x

x2 6x 30

2 2x

2x x2 6x

2x2 2 30

5 3 3 8

5 4 9 8

1 3 1 2

3 0 1 2

10 6

0 6 5 3

0 3

5 3

0 3

3 2

1 1

5 3 4

2 7 1 3 6

0 4

1 2

11 26

7 18

2x 5 20

5 4 11 20

5 4

1 0

0 1

3 8

1 3

3 8

1 3 3 8

1 3 1 0

0 1

3 8

1 3

1 0

0 1

3 8

1 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1 2 5 3

4 2 1

3 0 5 2 5 3

4 2 1

3 0 5

X p q A2 2 B1 2

q 2

p 1

a b ,

a b2 5

1 34 0 2a b 5a 3b

4 02a b 4

5a 3b 0

12 11

---------

20 11

---------

12 11

--------- 20 11

---------

x

y 2 3

5 7 a

b

z

w 4 2

6 0 x

y

z

w 4 2

6 0 2 3

5 7 a

b

z

w 4 2

6 0 2 3

5 7 a

b 18 26

12 18 a

b

Capítulo 20


131

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c) Para x 5 e y 0, temos:

2 5 3 0 z 7 ⇒ z 3

Para x 1 e z 5, temos:

2 1 3 y 5 7 ⇒ y

Logo, duas outras soluções são (5, 0, 3) e

2. bSendo x, y e z as quantidades de cédulas de R$ 5,00, R$ 10,00 eR$ 50,00, respectivamente, que a pessoa deve receber, temos:200 5x 10y 50zComo a quantidade de cédulas de R$ 50,00 deve ser máxima, compelo menos uma cédula de cada um dos outros valores, temos quez 3.Assim, podemos escrever:200 5x 10y 50 3 ⇒ x 10 2y

Como x, y N* e y 4, podemos construir a tabela

A primeira linha mostra o número mínimo de cédulas:

2 4 3, ou seja, 9 cédulas.

Outro modo:

O número mínimo de cédulas é obtido quando os números de cé-dulas de R$ 10,00 e de R$ 50,00 são máximos. Como as maioresquantidades de cédulas de R$ 10,00 e R$ 50,00 são 4 e 3, respecti-vamente, concluímos que 2 cédulas de R$ 5,00 completam a troca.

3. cO terno (1, 2, 3) é solução de todas as equações que compõem osistema; logo, esse terno é solução do sistema.

4. eObservando que (3, 1, 0) não é solução da equação x 3y z 3,concluímos que esse terno não é solução do sistema.

5. a) SPD, pois o sistema tem apenas uma solução, que é o par (3, 1).b) SI, pois é impossível a soma de dois números ter dois resulta-

dos diferentes.c) SPI, pois o sistema tem mais de uma solução; algumas delas

são: (1, 3), (2, 2), (3, 1) etc.d) SI, pois a equação 0x 0y 3 não tem solução.

6. a)

De III, temos z 3.Substituímos z por 3 em (II):4y 5 3 19 ⇒ y 1Substituímos z por 3 e y por 1 em (I):x 3 1 2 3 1 ⇒ x 2S (2, 1, 3)

b)

De (II), temos y 1 3z.Substituímos y por 1 3z em (I):x 5(1 3z) 3z 2 ⇒ x 7 18zS (7 18z, 1 3z, z), com z R

c)

De (II), temos z 2.Substituímos z por 2 em (I):

2x y 4 2 1 ⇒ x

S com y R

7. Indicando por m, f e q o número de professores de Matemática, Fí-sica e Química, respectivamente, temos:

⇒ m 152 3q

O menor número natural m que satisfaz essa última igualdade éobtido fazendo-se q 50.Logo, o menor número possível de professores de Matemática queparticipam do congresso é 2.

8. a)

Classificação: SPDResolução: De III, obtemos z 2.Substituindo z por 2 em II, obtemos y 1.Substituindo y por 1 e z por 2 em I, obtemos:x 1.Portanto, S (1, 1, 2).

b)

Classificação: SILogo, S

c)

Classificação: SPIResolução: De II, temos y 3 z.Substituindo y por 3 z em I, obtemos:x 2 (3 z) 4z 1 ⇒ x 5 6z.Logo, S (5 6z, 3 z, z), com z R.

x y z

2 4 3

4 3 3

6 2 3

8 1 3

10 3

---------

[1, 10 3

--------- , 5] .

x 3y 2z 1 (I)

4y 5z 19 (II)

2z 6 (III)

x 5y 3z 2 (I)

y 3z 1 (II)

2x y 4z 1 (I)

3z 6 (II)

y 7 2

-------------------

[ y 7

2------------------- , y , 2] ,

m f q 152

f 2q

x 5y 2z 10

2x y 3z 3

3x 6y 5z 19

(2) (3)

x 5y 2z 10

9y 7z 23

9y z 11

(1)

x 5y 2z 10 (I)

9y 7z 23 (II)

6z 12 (III)

x y 2z 1

3x y z 2

5x y 3z 1

(3) (5)

x y 2z 1

4y 7z 1

4y 7z 4equações incompatíveis

3x 7y 11z 6

x 2y 4z 1

x 3y 3z 4

x 2y 4z 1

3x 7y 11z 6

x 3y 3z 4

(3) (1)

x 2y 4z 1

y z 3

y z 3

x 2y 4z 1 (I)

y z 3 (II)


132

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

9. a)

Classificação: SILogo, S .

b)

Classificação: SPDResolução: De II, obtemos y 2.Substituindo y por 2 em I, obtemos x 2.Portanto, S (2, 2).

c)

x 2y 3

Classificação: SPIResolução: x 2y 3 e, portanto, S (2y 3, y), com y R

10. aRepresentando as quantidades de suco de fruta, mel e leite por s,m e , respectivamente, temos:

⇒ s m e

Logo, a quantidade de suco de frutas é 300 mL.

11. a) 3x 5y 10z 48

b) Temos 3x 48 (5y 10z) ⇒ x 16

Como x N*, concluímos que (y 2z) deve ser múltiplo de3 e y 2z 9. Logo as únicas possibilidades para y e z são:y 1 e z 1; y 1 e z 4; y 2 e z 2; e y 3 e z 3;y 4 e z 1; y 5 e z 2; e y 7 e z 1 Fixando esses pares de valores na tabela, obtemos os possíveisvalores de x:

12.

13. a) O parâmetro k pode ser substituído por qualquer número realnão-nulo, por exemplo:

b)

c)

14. a

Substituindo (II) em (I), obtemos:x 2(4 2z) 4z 1 ⇒ x 7

15. cSendo x, y e z os preços, em reais, da calculadora, da caneta e docaderno, respectivamente, temos:

Substituímos (II) em (I): 3y y z 28 ⇒ y 7

Como y, z N*, temos que os possíveis valores de z são 4, 8,

12, 16, 20 e 24. Assim, podemos construir a tabela:

Temos, portanto, que a alternativa correta é c.

16. bIndicando por E, P e A o número de livros de Eduardo, Paulo eAlex, respectivamente, temos:

(II) em (I): E P 5E 32 ⇒ P 32 6EComo E, P e A devem ser números naturais, então E 5 e, portanto, P 2.

17. a)

x 3y 1

4x y 2

3x 4y 0

(4) (3)

x 3y 1

13y 2

13y 3equações incompatíveis

3x y 4

x 2y 2

2x y 6

x 2y 2

3x y 4

2x y 6

(3) (2)

x 2y 2

5y 10

5y 10

x 2y 2 (I)

5y 10 (II)

x 2y 3

3x 6y 9

2x 4y 6

(3) (2)

x 2y 3

0x 0y 0

0x 0y 0

s m 1

2s

m s 9

-------------------

s m 1

s 9m 0

2s 0

(1)

s m 1

10m 1

3s m 1

3 10 --------- , 1

10 --------- 3

5 ------

5(y 2z) 3

---------------------------- .

x(número de

garrafas de 3 dL)

y(número de

garrafas de 5 dL)

z(número de

garrafas de 10 dL)11 1 11 1 46 2 21 3 36 4 11 5 21 7 1

x y z

18 6 4

15 5 8

12 4 12

9 3 16

6 2 20

3 1 24

Sistema linear Solução

(7, 1, 0)

(6, 1, 1)

(4, 1, 3)

r 5s t 12

r 3s t 4

2r s t 15

x 3y z 10

3x y 3z 22

y z 2

a b c 6

a b c 8

3x 2y 4

……… y 63

x 5y 7

……… y 00

5x y 4

……… y 60

x 2y 4z 1 (I)

y 4 2z (II)

x y z 28 (I)

x 3y (II)

z 4 ------ .

E P A 32 (I)

A 5E (II)

2x y z 7

4x y 3z 5

2x 3y 2z 7

(2) (1)


133

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Classificação: SPD

Resolução: De III, obtemos z 2.

Substituindo z por 2 em II, obtemos y 1.

Substituindo z por 2 e y por 1 em I, obtemos x 3.

Portanto, S (3, 1, 2).

b)

Classificação: SPI

Resolução: De II, temos y Substituindo y por

em I, obtemos: x 1

Portanto, S com z R.

c) Permutando as duas primeiras equações, temos:

Classificação: SI

Logo: S

d)

Classificação: SPD

Resolução: De (II) temos que y 1.

Substituindo y por 1 em (I), obtemos x 1.

Logo, S (1, 1)

18.

Classificação: SPD Resolução: De (III), obtemos z 0.Substituindo z por 0 em (II), obtemos y 2.Substituindo z por 0 e y por 2 em (I), obtemos x 1.Logo, S (1, 2, 0)

19. Indicando por x, y e z o número de medalhas de ouro, prata e bron-ze, respectivamente, temos:

(III) em (II): 2y 4 8 42 ⇒ y 5Substituímos y por 5 e z por 8 em (I):x 5 8 15 ⇒ x 2Portanto, foram confeccionadas 2 medalhas de ouro.

20. Sendo x, y e z as áreas das três glebas, em ordem decrescente, temos:

Como o sistema é impossível, concluímos que há erro nas infor-mações.

1. a) 5 7 4 3 23

b) 3 1 0 1 3

c) 0 2 12 0 4 6 12

d) 0 0 3 0 2 0 5

2x y z 7

y 5z 9

2y z 0

2

2x y z 7 (I)

y 5z 9 (II)

9z 18 (III)

3x y 2z 3

x 2y z 1

6x 5y 5z 6

x 2y z 1

3x y 2z 3

6x 5y 5z 6

(3) (6)

x 2y z 1

7y z 0

7y z 0

x 2y z 1 (I)

7y z 0 (II)

z

7 ------ .

z

7 ------ 5z

7--------- .

[1 5z 7

--------- , z 7 ------ , z] ,

x 3y 0z 1

3x 2y 5z 3

2x y 5z 1

(3) (2)

x 3y 0z 1

0x 7y 5y 0

0x 7y 5z 1equações incompatíveis

x 4y 3

x y 2

3x 7y 4

(1) (3)

x 4y 3

0x 5y 5

0x 5y 5

x 4y 3 (I)

5y 5 (II)

3x 4y 4z 11

2x 3y 2z 8

7x 2y 5z 11

(2) (7)

(3)

(3)

3x 4y 4z 11

0x y 2z 2

0x 22y 13z 44

(22)

3x 4y 4z 11 (I)

0x y 2z 2 (II)

0x 0y 57z 0 (III)

x y z 15

3x 5y 7z 87

30x 10y 5z 150

303

x y z 15

0x 2y 4z 42

0x 20y 25z 300

10

x y z 15 (I)

0x 2y 4z 42 (II)

0x 0y 15z 120 ⇒ z 8 (III)

x y z 60

y 2x 45

x z 2y 5

x y z 60

2x y 45

x 2y z 5

x y z 60

3y 2z 75

3y 2z 55equaçõesincompatíveis

Capítulo 21

5 3

4 7

3 1

0 1

2 3 1

1 0 1

4 2 2

1 3 0

2 0 1

1 2 0


134

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

2.

c

0

⇒

m

4 e

m

4

Logo, o sistema é possível e determinado se, e somente se,

m

4e

m

4.

3.

0

⇒

m

Logo, o sistema admite uma única solução se, e somente se,

m

4.

a)

0

⇒

3

x

2

27

0 e, portanto,

x

3 ou

x

3

Logo, S

3,

3

b)

8

⇒

5

x

2

7

x

6

0 e, portanto,

x

2 ou

x

Logo, S

2,

5.

a) Seja

D

6

3

k

. Impondo

D

0, teremos um sis-

tema possível e determinado:6

3

k

0

⇒

k

2. Portanto,

k

2

⇒

SPD.Para

k

2, temos:

x

3

y

1

Portanto,

k

2

⇒

SPI.Resumindo:

k

2

⇒

SPD,

k

2

⇒

SPI

b) Seja

D

5

k

. Impondo

D

0, teremos um

sistema possível e determinado:5

k

0

⇒

k

5. Portanto,

k

5

⇒

SPD.Para

k

5, temos:

Portanto,

k

5

⇒

SIResumindo:

k

5

⇒

SPD,

k

5

⇒

SI

6.

a) Seja

D

3

m

3.

Impondo

D

0, teremos um sistema possível e determinado:3

m

3

0

⇒

m

1.Portanto,

m

1

⇒

SPD.Para

m

1, temos:

Portanto,

m

1

⇒

SPI.Resumindo:

m

1

⇒

SPD,

m

1

⇒

SPI.

b) Seja

D

m

2

3

m

2.

Impondo

D

0, teremos um sistema possível e determinado:

m

2

3m 2 0 ⇒ m 2 e m 1.Portanto, m 2 e m 1 ⇒ SPD.Para m 2, temos:

Portanto, m 2 ⇒ SI.Para m 1, temos:

Portanto, m 1 ⇒ SI.Resumindo: m 2 e m 1 ⇒ SPD, m 2 ou m 1 ⇒ SI.

7. a) Seja D 18 3m. Impondo D 0, teremos um

sistema possível e determinado:18 3m 0 ⇒ m 6Portanto, m 6 ⇒ SPDPara m 6, temos:

Logo, n 3 0 ⇒ SIn 3 0 ⇒ SPI

Resumindo: m 6 ⇒ SPDm 6 e n 3 ⇒ SIm 6 e n 3 ⇒ SPI

b) Seja D m2 1. Impondo D 0, teremos

um sistema possível e determinado:

m2 1 0 ⇒ m 1 e m 1• Para m 1, temos:


• Para m 1, temos:


2 m

m 8

1 1 m

2 3 5

3 1 1

19 11

---------

19 11

---------

x 3

9 3x

x 3 1

1 5 2

0 2 x

3 5

------

3 5

------

1 3

k 6

x 3y 1

2x 6y 2

(2)

x 3y 1

0x 0y 0

5 1

k 1

5x y 3

5x y 1

(1)

5x y 3

0x 0y 4

m 1 2

2 1 1

5 2 5

x y 2z 1

2x y z 2

5x 2y 5z 7

2 5

x y 2z 1

y 5z 4

3y 15z 12

(3)

x y 2z 1

y 5z 4

1 3 m

3 1 3

m 2 1

x 3y 2z 1

3x y 3z 1

2x 2y z 1

(3) (2)

x 3y 2z 1

8y 3z 2

8y 3z 1equações incompatíveis

x 3y z 1

3x y 3z 1

x 2y z 1

(3) (1)

x 3y z 1

8y 2

5y 0equações incompatíveis

2 3

m 9

2x 3y 1

6x 9y n

(3)

2x 3y 1

0x 0y n 3

m 1

1 m

x y 1

x y n

(1)

x y 1

0x 0y n 1

x y 1

x y n

(1)

x y 1

0x 0y n 1


135

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Resumindo: m 1 e m 1 ⇒ SPD

m 1 e n 1 ⇒ SI

m 1 e n 1 ⇒ SPI

m 1 e n 1 ⇒ SI

m 1 e n 1 ⇒ SPI

8. a)

Logo, 4 2m 0 ⇒ SPI

4 2m 0 ⇒ SI

ou seja,

m 2 ⇒ SPI

m 2 ⇒ SI

b)

Logo, m 4 0 ⇒ SPI

m 4 0 ⇒ SPI (pois 2m 8 também será igual a zero)

Assim, temos que o sistema é possível e indeterminado para

qualquer valor real de m.

9. a)

Logo, 1 a 0 ⇒ SPD

1 a 0 ⇒ SI

ou seja,

a 1 ⇒ SPD

a 1 ⇒ SI

b)

Logo, 6 2a 0 ⇒ SPD

6 2a 0 ⇒ SI

ou seja,

a 3 ⇒ SPD

a 3 ⇒ SI

10. a) D 9 4 13

Como D 0, o sistema homogêneo é possível e determinado.

b) D 0 21 1 6 14 0 0

Como D 0, o sistema homogêneo é possível e indeterminado.

11. Seja D 16 a2. Impondo D 0, teremos um sis-

tema possível e determinado:

16 a2 0 ⇒ a 4 e a 4Portanto, a 4 e a 4 ⇒ SPDComo o sistema é homogêneo, os valores de a que anulam o de-terminante tornam o sistema possível e indeterminado, ou seja,a 4 ou a 4 ⇒ SPI.Resumindo: a 4 e a 4 ⇒ SPD

a 4 ou a 4 ⇒ SPI

12. Seja D k 7.

Para que o sistema homogêneo admita apenas a solução trivial, de-vemos ter D 0:k 7 0 ⇒ k 7

13. Seja D m2 4m 3.

Para que o sistema homogêneo admita soluções não-nulas, deve-mos ter D 0:

m2 4m 3 0 ⇒ m 1 ou m 3

14. d

0 ⇒ m 3

Logo, para que o sistema tenha solução única, deve-se ter m 3.

15. Os gráficos têm um único ponto em comum se, e somente se, o sis-

tema nas incógnitas x e y, for possível e deter-

minado. Para que isto aconteça, devemos ter:

0, ou seja, k 2

16. e

0 ⇒ x2 x 0 e, portanto, x 0 ou x 1.

17. a) 0 ⇒ k 2 e k 2

Logo, para k 2 e k 2 o sistema é possível e determinado.Para k 2, temos:

x 3y mz 1

2x 6y 4z 1

(2)

x 3y mz 1

0x 0y (4 2m)z 3

x y 2z 4

2x 2y mz 2m

(2)

x y 2z 4

0x 0y (m 4)z 2m 8

x 3y 2

2x y 3

4x 5y a

(2) (4)

x 3y 2

0x 7y 7

0x 7y 8 a

(1)

x 3y 2

0x 7y 7

0x 0y 1 a

x 2y 5

6x y 4

5x ay 1

(6) (5)

x 2y 5

0x 13y 26

0x (a 10)y 26

[1

13 ---------]

x 2y 5

0x y 2

0x (a 10)y 26

(a 10)

x 2y 5

0x y 2

0x 0y 6 2a

3 2

2 3

2 1 3

1 2 1

1 7 0

2 a

a 8

2 1 3

1 k 0

1 2 1

m 2 1

2 1 1

5 m 2

2 5 1

1 10 2

6 15 m

2x y 10

kx y 2,

2 1

k 1

1 0 1

0 x 0

x 0 1

2 k

2k 4

2x 2y 1

4x 4y 1

2 2x 2y 1

0x 0y 1 (SI)


136

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Para k 2, temos:

Resumindo:k 2 e k 2 ⇒ SPDk 2 ou k 2 ⇒ SI

b) 0 ⇒ p 3

Logo, para p 3 o sistema é possível e determinado.Para p 3, temos:

e, portanto, para q 1 0 o sistema é possível e indetermina-do; e para q 1 0 o sistema é impossível.

Resumindo:p 3 ⇒ SPDp 3 e q 1 ⇒ SPIp 3 e q 1 ⇒ SI

18. O determinante da matriz dos coeficientes é nulo; logo, temos ape-nas duas classificações possíveis: SPI ou SI. Escalonando o siste-ma, temos:

Logo, k 2 0 ⇒ SPIk 2 0 ⇒ SI

ou seja,k 2 ⇒ SPIk 2 ⇒ SI

19. a) 0 ⇒ k 2

Logo, para k 2 o sistema é possível e determinado.Para k 2, temos:

Resumindo:k 2 ⇒ SPDk 2 ⇒ SPI

b) 0 ⇒ p 2

Logo, para p 2 o sistema é possível e determinado.Para p 2, temos:

e, portanto, para q 6 0

o sistema é possível e indeterminado, e para q 6 0 o sistemaé impossível.

Resumindo:p 2 ⇒ SPDp 2 e q 6 ⇒ SPIp 2 e q 6 ⇒ SI

20. a)

Logo, para m 6 0 o sistema é possível e indeterminado; epara m 6 0 o sistema é impossível.Resumindo:m 6 ⇒ SPIm 6 ⇒ SI

b)

Logo, para m 12 0 o sistema é possível e indeterminado;para m 12 0 e n 9 0 o sistema é possível e indetermi-nado; e para m 12 0 e n 9 0 o sistema é impossível.

Resumindo:m 12 ⇒ SPIm 12 e n 9 ⇒ SPIm 12 e n 9 ⇒ SI

21. Permutando a 2ª e a 3ª equação, temos:

Logo, 2 3m 0 ⇒ SPD2 3m 0 ⇒ SI

ou seja,

m ⇒ SPD

m ⇒ SI

2x 2y 1

4x 4y 1

2 2x 2y 1

0x 0y 3 (SI)

1 p

1 3

x 3y 1

x 3y q

1 x 3y 1

0x 0y q 1

x 2y 1

2x 4y k

(2)

x 2y 1

0x 0y k 2

1 2 1

3 1 1

2 1 k

x 2y z 1

3x y z 2

2x y 2z 1

23

x 2y z 1

0x 5y 4z 1

0x 5y 4z 1

1

x 2y z 1

0x 5y 4z 1 (SPI)

0x 0y 0z 0

3 1 2

1 1 2

1 1 p

3x y 2z 2

x y 2z 4

x y 2z q

x y 2z 4

3x y 2z 2

x y 2z q

13

x y 2z 4

0x 2y 4z 10

0x 2y 4z q 4

1

x y 2z 4

0x 2y 4z 10

0x 0y 0z q 6

x 2y z 1

3x my 3z 1

3

x 2y z 1

0x (m 6)y 0z 2

2x 4y 2z 3

6x my 6z n

3

2x 4y 2z 3

0x (m 12)y 0z n 9

x 2y 7

3x y 6

2x my 0

23

x 2y 7

0x 5y 15

0x (4 m)y 14

1 5 ------

x 2y 7

0x y 3

0x (4 m)y 14

4 m

x 2y 7

0x y 3

0x 0y 2 3m

2 3 ------

2 3 ------


137

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

22. a

Resolvendo o sistema formado pelas duas primeiras equações,

temos:

⇒ x 1 e y 4

O sistema proposto será possível se, e somente se, o par (1, 4) for

solução da última equação, ou seja, k 1 k 4 20 e, portanto,

k 4

23. a) e, portan-

to, x 0 e y 0

Logo, S a(0, 0)b

b)

De (II), temos: y 3z.

Substituindo y por 3z, em (I), temos:

x 3z 5z 0 ⇒ x 2z

Logo, S a(2z, 3z, z), com z Rb

24. 0 ⇒ p 2 e p 8

Logo, para p 2 e p 8 o sistema é possível e determinado.

Como o sistema é homogêneo, os valores de p, que anulam o de-

terminante, tornam o sistema possível e indeterminado.

Resumindo:

p 2 e p 8 ⇒ SPD

p 2 ou p 8 ⇒ SPI

25. Para que o sistema homogêneo admita soluções além da trivial,

deve-se ter:

0 e, portanto, k 1.

26. c

Indicando por x e y os preços do kg do café e do açúcar, respecti-

vamente, temos:

Como o sistema é possível, pois os preços dos produtos foram osmesmos para as três pessoas, temos:

⇒ n 3

27. a) As retas serão paralelas distintas se, e somente se, o sistema

for impossível. Para que isso ocorra, é necessário que:

0 e, portanto, k 0,1.

Essa condição, porém, não é suficiente, pois o sistema poderiaser possível e indeterminado.Substituindo k por 0,1 no sistema, obtemos:

Assim, concluímos que o sistema é impossível para k 0,1.

b) Para o valor k 0,1, os gráficos de L e C estão contidos emretas paralelas distintas e, portanto, L(x) C(x) para qualquerquantidade x de garrafas produzidas. Assim sendo, o fabricantenunca ganhará dinheiro com essa venda.

1.

Logo, são possíveis 12 resultados.

2.

Logo, são possíveis 48 resultados.

3. a)

Logo, o usuário pode escolher 6 seqüências diferentes.

b)

Logo, o usuário pode escolher 12 seqüências diferentes.

4.

Logo, podem ser formados 216 números nas condições enunciadas.

5.


6.


x y 5

x y 3

x 2y 0

2x y 0

2 x 2y 0

0x 5y 0

x y 5z 0

2x y z 0

3x 2y 0z 0

32

x y 5z 0

0x 3y 9z 0

0x 5y 15z 0

x y 5z 0 (I)

y 3z 0 (II)

p 3 5

3 1 2

5 p 3

2 1 0

1 1 1

5 1 k

x 2y 8

2x ny 15

3x (n 1)y 22

32

x 2y 8

0x (n 4)y 1

0x (n 5)y 2

x 2y 8

y 1 4 n -----------------

y 2 5 n -----------------

1 4 n ----------------- 2

5 n -----------------

0,05x y 5.000

(k 0,05) x y 5.000

0,05 1

k 0,05 1

0,05x y 5.000

0,05x y 5.000Equações incompatíveis

Capítulo 22

Dado Moeda

Números depossibilidades 6 2 12

Dado Moeda

Números depossibilidades 6 2 4 48

Etiqueta

ir de Apara B

Números depossibilidades

2 3 6

ir de Bpara C

Números de possibilidades 2 3 2 1 12

ir de Apara B

ir de Bpara C

Retornar deC para B

Retornar deB para A

6 6 6 216Números de possibilidades




138

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

7.

Logo, podem ser formados 216 números.

8. Inicialmente, calculamos o número de possibilidades para a casadas unidades:

Logo, podem ser formados 60 números.

9. cO número máximo de tentativas é igual à quantidade de númerosnaturais de cinco algarismos distintos formados com 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8 e 9:

Assim, o tempo máximo para que o arquivo seja aberto é:15.120 5 segundos 75.600 segundos 21 horas

10. a)

Podem ser formadas 40.000 placas diferentes.

b)

c) Inicialmente calculamos o total de placas sem nenhuma restri-ção:

A seguir calculamos o total de placas que têm todos os algaris-mos nulos:

A diferença entre estes dois resultados é o número de placasque têm pelo menos um algarismo não-nulo, isto é:

263 104 263 263 (104 1)

11. n(AB) n(A) n(B) n(AB) ⇒⇒ n(AB) 25 29 10 44

12. Como AB , temos que:n(AB) n(A) n(B) ⇒ 25 10 n(B) e, portanto, n(B) 15

13. Calculando a quantidade de números de três algarismos nas con-dições enunciadas:

Calculando a quantidade de números de quatro algarismos nascondições enunciadas:

Como esses conjuntos de 80 e 120 números são disjuntos, temos queo total de números, nas condições enunciadas, é 80 120 200

14. Para o algarismo 4 na primeira casa da esquerda (unidade de mi-lhar), temos:

Para os algarismos 5, 6 ou 7 na primeira casa da esquerda, temos:

Como esses conjuntos de 36 e 180 números são disjuntos, temosque o total de números nas condições enunciadas é 36 180 216

15. Para o algarismo zero na última casa (unidades), temos:

Para os algarismos 2 ou 4 na última casa, temos:

Como esses conjuntos de 120 e 200 números são disjuntos, temosque o total de números, nas condições enunciadas, é120 200 320

16.

ou

ou

Logo, o total de números nas condições enunciadas é:6 9 6 21

17.

ou

6 6 6 1 216Números de possibilidades


9 8 7 6 5 15.120Números de possibilidades

4 4 4 5 5 5 5 40.000

Letras Algarismos

4 3 2 5 4 3 2 2.880

Letras Algarismos

Letras Algarismos

26 26 26 10 10 10 10 263 104

Letras Algarismos

26 26 26 1 1 1 1 263

0 0 0 0


3, 5,7 ou 8


1 ou 2


4


5, 6ou 7


0


2 ou 4


5 3 ou 7


63, 5ou 7


7 3 ou 5


10, 2ou 4


139

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

ou

Logo, o total de números nas condições enunciadas é:60 40 60 160

18. bLembrando que um número inteiro é múltiplo de 5 se o algarismodas unidades é 0 ou 5, temos:

ou

Logo, o total de números, nas condições enunciadas, é20 16 36

19.

ou

Logo, o total de maneiras é: 720 720 1.440

20. a) 7! 7 6 5 4 3 2 1 5.040b) 3! 2! 3 2 1 2 1 12c) 4! 2! 4 3 2 1 2 1 22

d)

21. I. Falso, pois 3! 2! 8 e 8 5!II. Falso, pois 3! 2! 12 e 12 6!

III. Verdadeiro, pois 4! 4! 48 e 48 2 4!IV. Verdadeiro, pois é a propriedade fundamental dos fatoriais.V. Falso, pois para n 0 ou n 1, não existe (n 2)!

22. a) 120

b)

c) 40

d) n

e)

f) n2 7n 12

23. a) 12 ⇒ n2 3n 10 0 e, portanto,

n 2 ou n 5 (não convém)Logo, S 2

b) ⇒ n2 5n 14 0 e,

portanto, n 2 ou n 7 (não convém)S 2.

c) ⇒ n 1 5 e, portanto, n 6

Logo, S 6

24. 15 ⇒

⇒ 15

ou seja, n2 2n 15 0 ⇒ n 3 ou n 5 (não convém)Logo, S 3

25. aComo cada região faz fronteira com todas as outras, temos que nãohaverá duas regiões com o mesmo plantio. Assim, o número deformas de se fazer o plantio é calculado por:

Logo, o plantio pode ser feito de 120 formas diferentes.

26.


27.


28.


29.


30.

Logo, podem ser formados 1.080 números nas condições enun-ciadas.

31.



2 0 ou 4


30, 2ou 4


0


5

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª

Páginas

6 5 4 3 2 1 720

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª

6 5 4 3 2 1 720

0! 3!

-------- 1 3 2 1 -------------------------- 1

6 ------

6! 3! -------- 6 5 4 3!

3!--------------------------------------

4! 6! --------- 4!

6 5 4! ----------------------------- 1

30 ---------

5! 8! 4! 7! -------------------- 5 4! 8 7!

4! 7!----------------------------------------

n! (n 1)! ------------------------ n(n 1)!

(n 1)!----------------------------

n! (n 2)! ------------------------ n!

(n 2)(n 1)n! ----------------------------------------------- 1

n2 3n 2 ----------------------------------

(n 3)! (n 5)!

------------------------ (n 3)(n 4)(n 5)! (n 5)!

---------------------------------------------------------------

(n 2)(n 1)n! n!

-----------------------------------------------

(n 1)! (n 3) (n 2)(n 1)! --------------------------------------------------------------- 1

20 ---------

(n 2)! (n 1)(n 2)! ------------------------------------------- 1

5 ------

n(n 1)! (n 1) n(n 1)! (n 1)!

----------------------------------------------------------------------------------

(n 1)! [n (n 1)n] (n 1)!

---------------------------------------------------------------

Números de possibilidades 5 4 3 2 120

RegiãoA

RegiãoB

RegiãoC

RegiãoD




1 ou 3


1 ou 3

5 6 6 6 1.080Números de possibilidades



140

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

32. e

Logo, podem ser formados 2.160 números nas condições enun-ciadas.

33. b

Como esse cálculo inclui o número 6.000.000, temos que o total

de números nas condições enunciadas é 3 76 1.

34. e

Há, portanto, 516 maneiras diferentes de preencher o cartão de res-posta.

35. dCalculando o número possível de linhas telefônicas nas condiçõesatuais, temos:

Calculando o número de telefones sob as condições do próximomês, temos:

Assim, a partir do próximo mês, haverá um acréscimo de

504 105 504 104 linhas telefônicas.

36.

Logo, são possíveis 300 seqüências de cores nas condições enun-ciadas.

37. Indicando por A o conjunto de crianças com mais de 5 anos de ida-de e por B o conjunto de crianças com menos de 10 anos, temos:n(AB) n(A) n(B) n(AB) ⇒⇒ 65 40 32 n(AB) , portanto, n(AB) 7Logo, há 7 crianças com mais de cinco e menos de dez anos de idade.

38.

ou

Logo, o número máximo de garrafas que poderiam ser produzidasnessa safra é 2.880 8.640 11.520.

39. b

Logo, podem ser feitos dez percursos diferentes.

40. aOs números devem ser formados por cinco algarismos escolhidosdentre: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 9. Assim, temos:

ou

Logo, há 2.160 números nas condições do enunciado.

41. • Com a vogal A e as consoantes B, C e D, temos:

ou

ou

Assim, com a vogal A temos 6.480 placas.• Com o vogal E e as consoantes B, C e D o raciocínio anterior se

repete e, portanto, obtemos mais 6.480 placas.Concluímos, então, que o número de placas que podem ser confec-cionadas, nas condições enunciadas, é 6.480 6.480 12.960.

42. a)

ou

Logo, há 72 maneiras de dispor as pessoas de modo que as pes-soas de mesmo sexo não fiquem em degraus consecutivos.

b) Inicialmente, vamos calcular o número de disposições das seispessoas, uma em cada degrau, sem levar em consideração o sexo:

Subtraindo-se desse número o resultado obtido no item a, tere-mos o total de disposições diferentes em que podem ser colo-cadas as pessoas na escada de modo que em pelo menos doisdegraus consecutivos fiquem pessoas de mesmo sexo:720 72 648

3 6 5 4 3 2 1 2.160Números de possibilidades

6, 7ou 9

3 7 7 7 7 7 7 3 76Números de possibilidades

6, 7ou 9

1ª 2ª 3ª 16ª

questões

5 5 5 ... 5 516Números de possibilidades


9 8 7 10 10 10 10 10 504 105Números de possibilidades


1ªretirada

2ªretirada

3ªretirada

4ªretirada

4 3 2 6 5 4 2.880

Letras Algarismos

Números de possibilidades

4 3 2 6 5 4 3 8.640

Letras Algarismos


ir de Apara B

Números depossibilidades

5 2 10

ir de Bpara C

1 4 6 5 4 480Números de possibilidades

6

2 7 6 5 4 1.680Números de possibilidades

7 ou 9

1 3 2 6 5 4 3 2.160

Letras Algarismos


A

3 1 2 6 5 4 3 2.160

Letras Algarismos


A

3 2 1 6 5 4 3 2.160

Letras Algarismos


A

3 3 2 2 1 1 36Números de possibilidades

M F M F M F


F M F M F M


1ºdegrau

2ºdegrau

3ºdegrau

4ºdegrau

5ºdegrau

6ºdegrau


141

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

43. Indicando por A a cor amarela, temos:

Logo, o painel pode ser pintado de 125 maneiras nas condições

enunciadas.

44. Com os algarismos considerados, o número é par ou múltiplo de 5

se o seu algarismo das unidades for 0, 2 ou 5. Assim, temos as pos-

sibilidades:

ou

ou


45. c

n(C1 C2 C3) 38 2 4 6 34 1 33 118

Logo, o total de originais de impressão é igual a 118.

46. a)

b)

c) n2 7n 12

d) n2 11n 30

e)

47. a

C.E. x N*

⇒

⇒ ou seja,

x2 3x 2 0 e, portanto, x 1 ou x 2.

Logo, S 1, 2.

48. dC.E. n N

8n! ⇒

⇒ 8n!

Como n! 0, podemos dividir ambos os membros por n!, obtendo:

8 ⇒

⇒ 8 ou seja, 8 n 3 e, portanto,

n 5.Logo, S 5.

49. aInicialmente calculamos o total de números que podem ser lidosno hodômetro, podendo haver repetição de algarismos:

A seguir, calculamos o total de números que podem ser lidos nohodômetro, sem repetição de algarismos:

A diferença 108 é o resultado procurado.

1. a) Pelo princípio fundamental de contagem, temos:

b)

2. a)

b)

c)

3. a) A7,4 840

b) A4,3 4 3 2 1 24

c) A4,4 4 3 2 1 24


A


0


2


5

C1

38 6 34

42 1

33

C2

C3

8! 10! ------------ 8!

10 9 8! -------------------------------- 1

90 ---------

3! 9! 5! 7! -------------------- 3! 9 8 7!

5 4 3! 7! ---------------------------------------- 18

5---------

(n 4)(n 3)(n 2)! (n 2)!

---------------------------------------------------------------

(n 5 ) (n 6)(n 7)! (n 7)!

---------------------------------------------------------------------

(n 5 )! (n 3 ) (n 4)(n 5)! ----------------------------------------------------------------------- 1

n2 7n 12 -----------------------------------------

(x 2)! 3! x!

------------------------ x! (x 1)! ------------------------

(x 2) (x 1) x!6 x!

-------------------------------------------------------- x (x 1)!(x 1)!

------------------------------ ,

(n 2)! (n 1)! n 1

-------------------------------------------------------

(n 2) (n 1) n! (n 1) n! n 1

----------------------------------------------------------------------------------------------

(n 2 )(n 1) (n 1) n 1

---------------------------------------------------------------------

(n 1) (n 3) n 1

------------------------------------------


10 9 8 7 6 5 4 3 10 !2

-----------Números de possibilidades

10! 2

-----------

Capítulo 23

A4,2 4 3 12

(a , b)

(b , a)

(a , c)

(c , a)

(a , d )

(d , a)

(b , c)

(c , b)

(b , d )

(d , b)

(c , d )

(d , c)

A8,3 8 7 6 336

A5,4 5 4 3 2 120

A6,6 6 5 4 3 2 1 720

7! 3!

-------- 7 6 5 4 3! 3!

----------------------------------------

4! 1!

---------

4! 0!

---------


142

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

4. Condição de existência: n N e n 2

An, 2 20 ⇒ 20, ou seja,

20 ⇒ n2 n 20 0 e, portanto, n 5

ou n 4 (não convém)Logo: S 5

5. eEssa quantidade é igual ao número de seqüências de 5 elementosdistintos formadas pelos 9 elementos de I, ou seja, A9,5.

6. cO número de maneiras é igual ao número de seqüências de 10 ele-mentos distintos formadas pelas 20 cadeiras numeradas da fila, ouseja, A20, 10.

7. O número de seqüências de 6 elementos distintos formadas pelas6 crianças é P6 6! 720.

8. Decompondo 5.040 em fatores naturais consecutivos, temos:

Logo: n! 5.040 ⇒ n! 7! e, portanto, n 7

9. a) P6 6! 720

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

3! 4! 144

10. cO total de anagramas da palavra é n!, dos quais (n 1)! começampor B. Logo, o número de anagramas que não começam por B é:n! (n 1)!

11. a) Indicando por H e M as posições que devem ser ocupadas porhomem e mulher, respectivamente, temos:

Logo, eles podem ocupar as cadeiras em 144 seqüências dife-rentes, nas condições enunciadas.

b) Inicialmente calculamos o número de seqüências possíveis,sem levar em consideração o sexo:P7 7! 5.040Subtraindo de P7 o resultado obtido no item a, obtemos o totalde seqüências possíveis com pelo menos duas pessoas de mes-mo sexo ocupando cadeiras consecutivas:P7 P4 P3 5.040 144 4.896

12. a) 12

b) 840

c) 3.360

d) 7.560

13. a)

Logo, 420 anagramas começam por B.

b)

ou

Logo, o número de anagramas que começam por consoante é420 1.260 1.680

14. 1.260

Podem ser indicados 1.260 preços diferentes.

15. a) cccck, ccckc, cckcc, ckccc e kcccc

b) 10

c) Interessam-nos as seqüências com 3 “caras” e 2 “coroas” oucom 4 “caras” e uma “coroa” ou com 5 “caras”. O número deseqüências nessas condições é dado por:

10 5 1 16

n! (n 2)! -------------------------

n(n 1)(n 2)! (n 2)!

------------------------------------------------

5.040

2.520

840

210

42

7

1

2

3

4

5

6

7

7!

1 P5 5! 120

C

P4 1 1 4! 24

L O

3 P5 3 5! 360

P5 3 3 5! 360

3 P4 3 9 4! 216

3 P4 2 6 4! 144

OC A B E L

4! 24

OC A B E L

4!

4 3 3 2 2 1 1

H MH M H M H

4! 3! 144

P4 P3

P4(2) 4!

2!-------- 4 3 2!

2!------------------------

P7(3) 7!

3!--------- 7 6 5 4 3!

3!----------------------------------------

P8(2, 3) 8!

2! 3! ------------------ 8 7 6 5 4 3!

2 1 3! ------------------------------------------------

P9(4, 2) 9!

4! 2! ------------------- 9 8 7 6 5 4!

4! 2 1 ------------------------------------------------

1 420P7(2, 3) 7!

2! 3! ------------------

B

1 420P7(2, 3) 7!

2! 3! ------------------

B

1 1.260P7(2, 2) 7!

2! 2! -------------------

R

P9(4, 3, 2) 9!

4! 3! 2! ----------------------------

P5(3, 2) 5!

3! 2! ------------------

P5(3, 2) P5

(4) P5(5) 5!

3! 2! ------------------ 5!

4! -------- 5!

5! --------


143

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

16. a) Para qualquer caminho escolhido, nas condições do enunciado,Pedro deve se deslocar 3 km para o norte e 4 km para o leste,por exemplo:

Indicando por N cada unidade para o norte e por L cada uni-dade para o leste, temos que o número de caminhos possíveisque Pedro pode percorrer é igual ao número de permutaçõesdas letras NNNLLLL, ou seja,

35

b)

Luís pode percorrer 210 caminhos diferentes.

17. a) C7, 5 21

b) C5, 4 5

c) C8, 8 1

d) C9, 1 9

e) C4, 0 1

f) C0, 0 1

18. a) Condição de existência: n N e n 2

10 ⇒ 10, ou seja,

n2 n 20 0 ⇒ n 5 ou n 4 (não convém)Logo: S 5

b) Condição de existência: x N e x 3

⇒

⇒

Como 0, podemos dividir ambos os membros

por obtendo:

⇒ x 20

S 20

19. C5, 3 10

Logo, o pintor pode obter 10 novas cores.

20. a) C9, 2 36

Logo, ficam determinadas 36 retas.

b) C9, 3 84

Logo, ficam determinados 84 triângulos.

21. C7, 4 C8, 3 1.960Portanto, a comissão pode ser formada de 1.960 maneiras diferentes.

22. Para completar uma comissão que contenha o casal, devemos es-colher mais 3 pessoas dentre as 7 restantes; logo, o número de ma-neiras diferentes que a comissão pode ser formada é:

C7, 3 35

23.

Os alunos podem ser distribuídos de 56 maneiras diferentes.

24.

Logo, 16 retas determinadas pelos vértices não contêm aresta doparalelepípedo.

25. a) C9, 3 C6, 3 C3, 3 84 20 1 63Logo, ficam determinados 63 triângulos.

b) C6, 2 C6, 1 C2, 1 15 6 2 27

26. dIndicando por n o número de lutadores, temos:

Cn, 2 45 ⇒ 45, ou seja,

45, ou ainda, n2 n 90 0 ⇒ n 10

ou n 9 (não convém)

27. a) (x a)6

x6 6x5a 15x4a2 20x3a3 15x2a4 6xa5 a6

b) (2x 3)3 [2x (3)]3 (2x)3(3)0

(2x)2(3)1 (2x)1(3)2 (2x)0(3)3

8x3 3 4x2 (3) 3 2x 9 1 (27) 8x3 36x2 54x 27

c) (2x y2)4 (2x)0(y2)4 (2x)1(y2)3

(2x)2(y2)2 (2x)3(y2)1 (2x)4(y2)0

y8 4 2xy6 6 4x2y4 4 8x3y2 16x4

y8 8xy6 24x2y4 32x3y2 16x4

3

2

1

O 1

y

x

A

2 3 4

N

S

O L

P7(3, 4) 7!

3! 4! ------------------

3

4

5

2

1

O 1

y

x

A

B

2 3 4 5 6

N

S

O L

210P7(4, 3) P4

(2, 2) 7! 4! 3! ------------------ 4!

2! 2! ------------------

Ir deO a A

Ir deA a B

7! 5! 2! ------------------ 7 6 5!

5! 2 1 ------------------------

5! 4! 1! ------------------- 5 4!

4! 1 ----------------

8! 8! 0! -------------------

9! 1! 8! ------------------- 9 8!

1 8! ----------------

4! 0! 4! ------------------

0! 0! 0! -------------------

n! 2!(n 2)! ------------------------------ n(n 1)(n 2)!

2 1 (n 2)! -----------------------------------------------

x! 3!(x 3)! ------------------------------ 3 x!

(x 2)! ------------------------

x! 6(x 3)! ---------------------------- 3 x!

(x 2)(x 3)! --------------------------------------------

x! (x 3)! ------------------------

x! (x 3)! ------------------------ ,

1 6 ------ 3

x 2 -----------------

5! 3! 2! ------------------

9! 2! 7! ------------------

9! 3! 6! ------------------

7! 3! 4! ------------------

C8, 5 C3, 3 568! 5! 3! ------------------- 3!

3! 0! -------------------

MeioAmbiente

Fontes deEnergia

C8, 2 12 16

número dearestas

n! 2!(n 2) ! ------------------------------

n(n 1) (n 2)! 2(n 2)!

-----------------------------------------------

6

0

x6a06

1

x5a16

2

x4a2

6

3

x3a36

4

x2a46

5

x1a56

6

x0a6

3

0

3

1 3

2 3

3

4

0 4

1

4

2 4

3 4

4


144

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

28. a

(1 0,005)15 115 (0,005)0 114 (0,005)1,

ou seja, (1,005)15 1,075

29. cCondição de existência: n N e n 2

18 ⇒

⇒ 18 ou seja,

2n2 18 e, portanto, n 3 ou n 3 (não convém)Logo: S 3

30. cFixado o número 40 como segundo elemento da seqüência, o totalde maneiras de se obterem os outros três elementos é igual ao nú-mero de seqüências de três elementos distintos escolhidos dentre89 elementos distintos, ou seja, A89, 3.

31. cCalculando A6, 4 teremos o número de seqüências de quatro ele-mentos distintos formadas pelos elementos de I. Dessas seqüên-cias, aquelas que começam por zero constituem o total de A5, 3.A diferença A6, 4 A5, 3 é, portanto, a quantidade de números na-turais de 4 algarismos distintos que podem ser formados com oselementos de I.

32. eComo há restrições para a 1ª e 7ª posição, devemos, em primeirolugar, calcular o número de possibilidades para essas posições:

Logo, as músicas podem ser apresentadas em 1.440 seqüências di-ferentes.

33. a)Logo, podem ser delineadas 6 seqüências de etapas.

b) Considerando-se o bloco AB como um único elemento, onúmero de seqüências que se pode formar com os quatro ele-mentos AB, C, D, E é P4 4!. Analogamente, considerando-se o bloco BA como um único elemento, o número de seqüên-cias que se pode formar com os quatro elementos BA, C, D, Eé P4 4!. Logo, o resultado procurado é 2P4 2 4! 48.

34. cInicialmente calculamos o número de permutações dos dois blocos:

e , que é 2!. A seguir, calculamos o

número de permutações dos elementos em cada bloco, que tam-bém é 2!:

Logo, o número de seqüências em que os quatro amigos podem serdispostos, nas condições do enunciado, é 2! 2! 2! 8.

35. Indicando por V e C as posições que devem apresentar vogal econsoante, respectivamente, temos:

ou

Logo, existem 36 36 72 anagramas nas condições enunciadas.

36. O total de anagramas da palavra ESCOLA é P6 6! 720. Sub-traindo-se desse total o resultado obtido no exercício 35, obtém-sea quantidade de anagramas que apresentam vogais ou consoantesem posições consecutivas:720 72 648

37. 3 (n 1)! 2.160 ⇒ (n 1)! 720Decompondo 720 em fatores naturais consecutivos, temos:

Logo: n 1 6 ⇒ n 7

38. a) P5 5! 120

b)

Logo, o total de números nas condições mencionadas menoresque 34.215 é 24 24 6 6 2, ou seja, 62 números.

c) No item anterior concluímos que há 62 números menores que34.215 nas condições mencionadas.Logo, o número 34.215 ocupa a 63ª posição na seqüência cres-cente desses números.

39. O número de anagramas que apresentam o U antes do E é igual aonúmero de anagramas que apresentam o E antes do U; logo, o totalde anagramas com as vogais em ordem alfabética é:

60

40. a) 3.360

b)

15

0 15

1

n! (n 2)! ------------------------ (n 1)!

(n 1)! ------------------------

n(n 1)(n 2)! (n 2)!

----------------------------------------------- (n 1)n(n 1)! (n 1)!

-----------------------------------------------

4 P5 3 12 5! 1.440número de possibilidades →

1 1 P3 3! 6número de possibilidades →

A B

Pedro Luísa João Rita

Pedro Luísa João

2!

2! 2!

Rita

P3 P3 3! 3! 36

V CV C V C

P3 P3 3! 3! 36

C VC V C V

720

360

120

30

6

1

2

3

4

5

6

6!

1 P4 4! 24

1

1 P4 4! 24

2

1 1 P3 3! 6

3 1

1 1 P3 3! 6

3 2

1 1 1 P2 2! 2

3 4 1

P5 2

--------- 5! 2

--------

P8(2, 3) 8!

3! 2! ------------------

840P7(3) 7!

3! --------

G


145

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c)

d)

ou

Logo, há 2.100 anagramas que começam por consoante.

e)

f)

ou

Logo, há 900 anagramas que começam por consoante e termi-nam por vogal.

41.

Logo, 12 anagramas apresentam as três vogais juntas.

42. dDecompondo 1.125 em fatores primos, temos:

Assim, o número de seqüências de teclas que podem ser digitadasé igual ao número de seqüências que podem ser formadas distri-buindo-se os fatores 3; 3; 5; 5 e 5 nas “casas vazias” do diagrama:

Logo, esse número é dado por: 10

43. Sendo n o número de bolas da urna, temos:

21 ⇒ 21; logo:

n 7 ou n 6 (não convém)Portanto, há 5 bolas pretas na urna.

44. 60

Assim, o mapa pode ser pintado de 60 maneiras diferentes.

45. eC.E. m 2

⇒ m 4

Portanto: S 4

46. bObservando que o conjunto A 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 é forma-do exclusivamente por números primos, concluímos que se m, ne p, q são subconjuntos diferentes de A, então m n p q. Logo,o número de produtos distintos de dois elementos quaisquer de A éigual ao número de subconjuntos de A formados por dois elementos,ou seja, C8,2 28.

47. C6, 3 C8, 5 C5, 2 11.200Logo, as vagas podem ser preenchidas de 11.200 maneiras dife-rentes.

48. bO número de escolhas dos três primeiros quadradinhos para sepintar é C9, 3, e o número de escolhas dos três quadradinhos seguin-tes para se pintar é C6, 3. Assim, o número de figuras diferentes quepodem resultar da pintura é dado por:C9, 3 C6, 3 1.680

49.

Logo, podem ser formadas 205 comissões diferentes, com pelomenos uma mulher em cada comissão.

50. eC13,4 C8, 4 C5, 4 640Logo, podem ser feitos 640 tipos de sacolas distintas.

51. cUm termo geral do desenvolvimento da potência é:

T x p 150 p ⇒ T x p

Fazendo p 2 obtemos o termo do 2º grau do desenvolvimento,ou seja,

T x2 1.225x2

Logo, o coeficiente do termo do 2º grau é 1.225.

1. a) (V) ,AB - / ,DC -

b) (V) ,DC - / ,HG -

c) (F) As retas ,EF - e ,FG - são concorrentes.d) (F) ,CB - e ,HE - são paralelas.e) (V) ,CF - e ,HE - são reversas.f) (V) As retas ,DB - e ,AC - são concorrentes.g) (V) As retas ,AB - e ,EF - são coplanares.h) (F) As retas ,DB - e ,HF - não são coplanares.i) (V) ,AB - / p (F G H).j) (F) ,AC - é concorrente ao p (B C G)k) (V) ,AB - p (H G B)l) (F) ,EF - p(F G B)m) (F) ,AD - é paralela ao plano p (H G F ).n) (V) ,EB - é secante ao plano p (B G F).

120P6(3) 6!

3! --------

G G

1 840P7(3) 7!

3! --------

G

3 3 1.260P7(2,3) 7!

2! 3! ------------------

RNT

1 1.260P7(2,2) 7!

2! 3! ------------------

A

1 1 360P6(2) 6!

2! ---------

G A

3 1 3 540P6(2,2) 6!

2! 2! -------------------

RNT

A

12P4(2) 4!

2! --------

AAA TTB

1.125

375

125

25

5

1

3

3

5

5

5

P5(2, 3) 5!

2! 3! ------------------

Pn(2; n 2) n!

2!(n 2)! ------------------------------

P6(3, 2) 6!

3! 2! --------------------

(m 1)! (m 3)! -------------------------- m!

(m 2)! 2! --------------------------------------

C10, 4 C5, 4 205

Total decomissões

de 4 pessoas

Total decomissões

de 4 homens

50

p 50

p

50

2

Capítulo 24


146

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

o) (V) O plano p (A B C) é secante ao plano p (H G B).p) (V) p (A B C) / p (H E F)q) (V) p (A B C) / p (A D C)r) (F) A reta comum aos planos p (B G F) e p (A B C) é ,BC - .s) (V) ,BC - é perpendicular a ,BG -.t) (V) ,BC - forma ângulo reto com ,BG -.u) (F) ,EC - não é perpendicular a ,CF -.v) (V) ,BC - é perpendicular a ,CE -.w) (V) ,DC - é perpendicular ao plano p (B G F).x) (F) ,DF - não é perpendicular ao plano p (E F G).y) (V) p (C B G) ⊥ p (A B C)z) (V) p(A C F) ⊥ p (E H F)

2. a) Como ,DH - / ,CG - temos que as medidas dos ângulos formadospor ,DH - e ,BF - são iguais às medidas dos ângulos formados por,CG - e ,BF -:

O ângulo B BOG é externo do triângulo FOG; logo, 80°

b) As retas pedidas são: ,AD -, ,DC -, ,EH - e ,EF -.

3.

Sendo B r e C s , temos que A BCB é um ânguloque a reta s forma com o plano :m(A BCB) 90° 50° 180°m(A BCB) 40°

4.

Observando que r ⊥ p (A A’ A”) e sendoQ r p (A A’ A”) temos que A’ BQA” é um ângulo formadopor e :m(A’ BQA”) 90° 90° 80° 360°m(A’ BQA”) 100°Logo, um ângulo agudo formado pelos planos e mede 80°.Esse ângulo é o suplemento do ângulo A’ BQA”.

5. Sendo ,PQ - ⊥ , com Q , temos que P BMQ é um ângulo agudoque a reta ,PM - forma com o plano .

⇒ 30°

6. Sendo C a projeção ortogonal de B sobre , temos:

⇒

e, portanto, AC e BC 3.

Logo:

a) A projeção ortogonal de tABu sobre mede

b) A distância do ponto B ao plano é 3 cm.

7. A 30.

Logo, o poliedro possui 30 arestas.

8. A 32


9. A 18.


10. A 20.


11. Aplicando a relação de Euler, sendo V 16 e A 24, temos:16 24 F 2 ⇒ F 10.Logo, o poliedro possui 10 faces.

12. Aplicando a relação de Euler, sendo F V e A 10, temos:V 10 V 2 ⇒ V 6.Logo, o poliedro possui 6 vértices.

13. Aplicando a relação de Euler, sendo F 13 e V 22, temos:22 A 13 2 ⇒ A 33.Logo, o poliedro possui 33 arestas.

14. Aplicando a relação de Euler, sendo F 8 e V temos:

A 8 2 ⇒ A 12.

15. Nesse poliedro temos F 12 e A 30; logo,

V A F 2 ⇒ V 30 12 2 e, portanto, V 20

16. Nesse poliedro temos V 24 e A 36; logo,

V A F 2 ⇒ 24 36 F 2 e, portanto, F 14.

17. O centro das faces de um octaedro regular são vértices de um he-xaedro regular (cubo).

40°40°40°

A B

D C

O

E

H

F

G

α

A

50°

B C

A

r

80°

A'Q

αβ

A''

Q

30

θ

15

P

M

sen 15 30 --------- 1

2 ------

0 90

C

6

30°

B

A

cos 30 AC 6

------------

sen 30 BC 6

------------

3 2

------------- AC 6

------------

1 2 ------ BC

6------------

3 3

3 3 cm.

20 3 2

-----------------

3 3 5 4 7 5 2

----------------------------------------------------

12 3 2

-----------------

5 3 5 4 1 5 2

----------------------------------------------------

A 2

------- ,

A 2

-------

12 5 2

-----------------

24 3 2

-----------------


147

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

18. Sendo a a medida da aresta do octaedro, temos:

(AB)2 (AM)2 (BM)2 ⇒ a2 52 52 e,

portanto, a

19. A área Af de cada face é a área de um triângulo eqüilátero de lado6 cm; logo,

Af

Como o icosaedro regular é constituído de 20 faces congruentes,temos que a área A de sua superfície é dada por:

A 20

20. A reta ,DA- é paralela a ,HE - e é concorrente com ,DB -; logo, a medida de um ângulo agudo formado por ,DA- e ,DB - é a medida pro-curada:

⇒ 60°

21.

A medida de um ângulo agudo que a reta ,AB - forma com o plano

é tal que sen logo 30°. Portanto, a medida

de um ângulo obtuso que ,AB - forma com o plano é 150°.

22. Sendo A a projeção ortogonal de A sobre , temos:

cos 30° ⇒ ou seja, BA

Logo, a medida da projeção ortogonal de tABu sobre é

23.

Sendo a medida de um ângulo agudo formado pelos planos e

, temos:

⇒ 60°

24. c

O produto do número de vértices pelo número de arestas que par-

tem de cada vértice é o dobro do número de arestas do poliedro.

Isso porque cada aresta une dois, e apenas dois, vértices do polie-

dro; portanto, temos:

3V 2A ⇒ V

25. 12 ⇒ V 7

26. a

A ⇒ A 150

27. I. Como 18 20 8 2, concluímos que não existe poliedro

convexo com 18 vértices, 20 arestas e 8 faces; logo, a afirmação I

é falsa.

II. Como 28, concluímos que a afirmação II é verda-

deira.

III. Em um poliedro convexo constituído por dez ângulos tetraé-

dricos, temos que V 10 e A 20, logo,

V A F 2 ⇒ 10 20 F 2 e, portanto, F 12.

Concluímos, então, que a afirmação III é verdadeira.

28. c

⇒ V 7 2

e, portanto, V 7

Logo, 7 A 7 2 ⇒ A 12

29. c

25 ⇒ n 3

Assim, temos: A 25 e F 3 4 5 12.

Pela relação de Euler, concluímos:

V A F 2 ⇒ V 25 12 2 e, portanto, V 15.

30. c

10

P

A

B

a

5

5

5

5

Q

M

5 2 cm

62 3 4

----------------------- cm2 9 3 cm2

9 3 cm2 180 3 cm2

BA

H

CD

G

FE

388

θ

tg 8 3 8

---------------- 3

0 90

12

B

CAθ

β

α

6

6 12 --------- 1

2 ------ ;

α

β

A

A'

B

r

830°

BA 8

-------------- 3 2

------------- BA 8

-------------- , 4 3

4 3 m.

A

4

4

BA'

3

tg 4 3 4

---------------- 3

0 90

2 A 3

-----------

6 3(V 1) 2

--------------------------------------

80 3 12 5 2

---------------------------------------

14 4 2

-----------------

10 4 2

-----------------

6 3(V 1) 2

-------------------------------------- A

F 7

V A F 2

6 3(V 1) 2

--------------------------------------

3n 4(n 1) 5(n 2) 2

-----------------------------------------------------------------------


148

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Os segmentos tPSu e tNSu são alturas de triângulos eqüiláteros cujos

lados medem logo,

PS NS 3 cm.

Assim, o triângulo NSP é isósceles de base tPNu:

(RS)2 32 e, portanto, RS

1. Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a medida x da hipotenusa decada triângulo das bases:x2 32 42

e, portanto, x 5 cm.Assim, a área total AT desse prisma é dada por:

AT [4 10 3 10 5 10 2 cm2 132 cm2

2. Representando no plano a superfície desse prisma, temos:

a) A área Af de cada face lateral é dada por:Af 4 8 dm2 32 dm2

b) A área B de cada base é dada por:

B 6 dm2 dm2

c) A área lateral AL é dada por:AL 6Af 6 32 dm2 192 dm2

d) A área total AT é dada por:

AT AL 2B s192 2 dm2 48s4 dm2

3.

a) No triângulo retângulo EFG, temos:(EG)2 32 42 e, portanto, EG 5 cm.

b) No triângulo retângulo AEG, temos:(AG)2 122 52 e, portanto, AG 13 cm.

c) AT 2(3 12 4 12 3 4) cm2 192 cm2

d) V 3 4 12 cm3 144 cm3

4. aA distância máxima é a medida D de uma diagonal desse parale-lepípedo:

D cm 7 cm

5. Sendo x, x 2 e x 4 as dimensões, em metros, do paralelepípe-do, temos:

⇒⇒ x 1 ou x 5 (não convém)Logo, as dimensões do paralelepípedo são: 1 m, 3 m e 5 m.

6. Sendo a, b , e c as dimensões, em metros, do paralelepípedo, temosque:

⇒

⇒

Substituímos (II), (III) e (IV) em (I):

2(3k 4k 3k 5k 4k 5k) 376 ⇒ k 2

Assim, as dimensões do paralelepípedo são 6 m, 8 m e 10 m e, por-tanto, o seu volume V é dado por:

V 6 8 10 m3 480 m3

7. cO volume inicial Vi era de 6.000 m3 e o volume final Vf é de4.200 m3. Sendo h a altura, em metros, atingida pela água, após aevaporação, temos:Vf 4.200 ⇒ 30 20 h 4.200 e, portanto, h 7.

8. Sendo a a medida, em centímetros, de cada aresta desse cubo, te-mos que:AT 54 ⇒ 6a2 54 e, portanto, a 3.Logo, a medida D da diagonal do cubo é dada por:

D cm.

9. Sendo a a medida, em centímetros, de cada aresta desse cubo, te-mos:

D ⇒ e, portanto, a 5.

Logo, a área total AT do cubo é dada por:AT 6 52 cm2 150 cm2

10. aSendo a a medida, em centímetros, de cada aresta do cubo, temosque, 12a 60 ⇒ a 5; logo, o volume V do cubo é dado por:V 53 cm3 125 cm3

11. aA capacidade C da caixa é dada por:C 503 cm3 125.000 cm3 125 dm3 125 L

12. A área de um losango é igual ao semiproduto das diagonais. Logo,a área B da base do prisma é:

B cm2 4 cm2

Assim, concluímos que o volume V desse prisma é:

V BH 4 5 cm3 20 cm3

2 3 cm;

2 3 3 2

------------------------------ cm

3 cm

3 cm

3 cm

P

R

N S

3 cm

( 3 )2

6 cm.

Capítulo 25

3 4 2

--------------]

B

4 dm

4 dm

8 dmAt

3 34 dm = 2 dm2

4 2 3 2

------------------------ 24 3

24 3 d 3 d

AD

BC

E

H

F

G4 cm

3 cm

12 cm

22 32 62

x2 (x 2)2 (x 4)2 35

2(ab ac bc) 376

a 3 ------ b

4 ------ c

5 ------ k

2(ab ac bc) 376 (I)

a 3k (II)

b 4k (III)

c 5k (IV)

3 3

75 a 3 75

4 2 2

--------------


149

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

13. Indicando por H a altura do prisma, temos:

sen 45° ⇒

Logo, H cm.A área B da base do prisma é:B 4 6 cm2 24 cm2

Concluímos, então, que o volume V é:V BH 24 cm3 cm3

14. aCada degrau tem a forma de um prisma de 1 m de altura cujas ba-ses são triângulos retângulos de catetos com 0,12 m e 0,30 m; logoo volume V de cada degrau é dado por:

V 1 m3 0,018 m3

Portanto, o volume de 10 degraus é 0,18 m3.

15. Como o prisma é regular triangular, cada base é um triângulo eqüi-látero.

Logo, a área B de cada base é B cm2

cm2 e, portanto, o volume V desse prisma é dado por:

V 8 cm3 cm3

16. Como o prisma é regular hexagonal, cada base é um hexágono re-gular:

Logo, a área B de cada base é B cm2

cm2 e, portanto, o volume V desse prisma é dado por:

V 10 cm3 cm3.

17. aSendo a a medida, em metros, de cada aresta do prisma, temos:

A área B da base é dada por:

B

O volume V é dado por: V a

Assim, temos:

V ⇒ e, portanto, a 4.

A área Af de cada face lateral é dada por:

Af 42 m2 16 m2 e, portanto, a área lateral AL é dada por:

AL 3 16 m2 48 m2

18.

Assim, temos: AL 96 ⇒ 6a2 96, portanto, a 4 m.Logo, o volume V desse prisma é:

V 4 m3 m3.

19.

a) No triângulo VMA, temos:m2 62 102 e, portanto, m 8 cm.

b) A medida r do apótema da base é metade da medida do ladodessa base:r 6 cm

c) No triângulo VOM, temos:

H2 62 82 e, portanto, H cm cm

d) A área Af de cada face lateral é Af cm2

48 cm2 e, portanto, a área lateral AL é dada por:

AL 4 48 cm2 192 cm2

e) B 122 cm2 144 cm2

f) AT AL B (192 144) cm2 336 cm2

g) V B H 144 cm3 cm3

20.

a) No triângulo VMA, temos:

m2 e, portanto, m 5 cm

10 cmH

6 cm

4 cm

45°

H 10 --------- 2

2------------- H

10 ---------

5 2

5 2 120 2

0,12 0,30 2

-----------------------------

3 cm2

4 cm

4 2 3 2

------------------------

4 3

4 3 32 3

6 cm

3 62 3 2

-------------------------------

54 3

54 3 540 3

3a

a

a

a

a

a

a

Base

2

Face lateral

a a 3 2

----------------

2---------------------------- a2 3

4------------------ .

a2 3 4

------------------ a3 3 4

------------------ .

16 3 a3 3 4

------------------ 16 3

33a2

B =a a Af = a2

aa

a

Área lateral AL

AL = 6Af

AL = 6a2Área Af

de uma face lateralÁrea Bda base

2

3 42 3 2

------------------------------- 96 3

V

A

M6 cm

6 cm12 cm

10 cm

O

H m

r

28 2 7

12 8 2

-----------------

1 3 ------ 1

3 ------ 2 7 96 7

H

Or

m

3 cm3

3 cm33 cm6

13 cm213 cm2

M

A

V

s3 3 d2

s2 13 d2


150

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) A medida r do apótema da base é da medida da altura de

um triângulo eqüilátero de lado cm:

r cm 3 cm


H2 32 52 e, portanto, H 4 cm

d) A área Af de cada face lateral é Af cm2

cm2; logo, a área lateral AL é dada por:

AL cm2 cm2

e) B cm2 cm2

f) AT AL B cm2 cm2

g) V B H 4 cm3 cm3

21.

a) No triângulo VMA, temos:m2 52 132 e, portanto, m 12 cm

b) A medida r do apótema da base é a medida da altura de um tri-ângulo eqüilátero de lado 10 cm:

r cm cm


H2 122 e, portanto, H cm

d) A área Af de cada face lateral é Af cm2 60 cm2;

logo, a área lateral AL é dada por:

AL 6 60 cm2 360 cm2

e) B cm2 cm2

f) AT AL B s360 cm2 30(12 cm2

g) V B H cm3

cm3

22. V 8 dm3 dm3

23.

Logo, a área B da base é: B cm2 60 cm2 e, portanto,

o volume V da pirâmide é: V 60 6 cm3 120 cm3

24. O plano separa a pirâmide P em dois sólidos: uma pirâmide P’ eum tronco de pirâmide T. Indicando por a medida da aresta dabase de P’, temos:

⇒ 2

Os volumes Vp e Vp das pirâmides P e P’, respectivamente, são:

Vp 12 cm3 cm3 e

Vp’ 6 cm3 cm3

Logo, o volume VT do tronco de pirâmide é dado por:

VT Vp Vp’ cm3 cm3

25.

Logo, a área total AT do prisma é dada por:

AT AL 2B cm2 2 cm2

26. eA área total AT do prisma é dada por: AT AL 2B 6Af 2B

s6 20 2 cm2 cm2.

Fazendo 1,7, temos que AT 201,6 cm2.

A área A da folha de cartolina é A 600 cm2.

1 3 ------

6 3

1 3 ------ 6 3 3

2------------------------------

6 3 5 2

------------------------

15 3

3 15 3 45 3

(6 3 )2

3 4

------------------------------------- 27 3

s45 3 27 3 d 72 3

1 3 ------ 1

3 ------ 27 3 36 3

13 cm 13 cm

10 cm

5 cm

5 cm

V

A

M

m

Or

H

10 3 2

------------------- 5 3

s5 3 d2

69

10 12 2

--------------------

3 102 3 2

---------------------------------- 150 3

150 3 d 5 3 )

1 3 ------ 1

3 ------ 150 3 69

150 23

1 3 ------ 2 4

2-------------- 32

3---------

Base

13 13

5

h

5

h2 52 132 ⇒ h 12

10 12 2

--------------------

1 3 ------

6 cm

12 cm

4 cm

12 6

--------- 4

------

1 3 ------ 3 42 3

2------------------------------- 96 3

1 3 ------ 3 22 3

2------------------------------- 12 3

s96 3 12 3 d 84 3

2a

a

2 cm

Base

3 cm

AL 24 ⇒ 3 2a2 24 e,portanto, a 2 cm.

B cm2 cm2 2 3 2

--------------------- 3

s24 2 3 d s12 3 d

24 3 d s120 48 3 d

3


151

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Portanto, 0,336 33,6%.

Logo, o percentual da folha usado na construção do prisma será33,6%.

27. bSendo a, b e c as dimensões, em centímetros, do paralelepípedo,temos que:

⇒

Substituímos (I), (II) e (III) em (IV):2k 5k 6k 1.620 ⇒ k 3Logo, as dimensões do paralelepípedo são:6 cm, 15 cm e 18 cm e, portanto, sua área total AT é dada por:

AT 2(6 15 6 18 15 18) cm2 936 cm2

28. aA capacidade C do vaso é igual ao volume de um paralelepípedode dimensões 50 cm, 30 cm e 2 cm, ou seja,C 50 30 2 cm3 3.000 cm3 3 dm3 3L.

29. a) Indicando por x a medida, em metros, de cada aresta da caixa,temos:

ABC EFC ⇒ e, portanto, x 1,2 m

b) O volume V de água, em metros cúbicos, é dado por:

V 1,2 1,2 (0,85 1,2) m3 1,4688 m3

Logo, o volume, em litros, é:V 1.468,8 L

30. Consideremos a função V: [1, 4] → R que associa a cada aresta demedida x, em cm, o volume do cubo, isto é:

V(x) x3

A taxa média de variação de V em relação a x, no intervalo [1, 4],é dada por:

21

Logo, para cada cm de aumento na aresta, o volume aumenta em

média 21 cm3.

31.

Logo, o volume V do prisma é

V 8 cm3 32 cm3.

32. bA caixa é um prisma cujas bases são os trapézios e a altura medex. Calculando a área B de uma base, temos:

B cm2 400 cm2

Sendo V o volume do prisma, em cm3, e observando que

20 L 20.000 cm3, temos:V 400x 20.000 ⇒ x 50Logo, a altura do prisma mede 50 cm.

33. bA figura é a planificação de um prisma regular triangular de altura

e aresta da base 5.

A área B da base é dada por:

B e, portanto, o volume V é dado por:

V 75

34. bO volume Vd de líquido derramado é igual ao volume de um pris-ma de altura 8 m cuja base é um triângulo retângulo com catetosde 2 m e 8 m:

Vp 8 m3 64 m3

O volume V da caixa é V 83 m3 512 m3.Assim, o percentual de líquido derramado é 0,125 12,5%

35. aSendo a e h as medidas, em cm, da aresta da base e da altura doprisma, respectivamente, temos:

AT A

---------- 201,6 600

-----------------

a 2 ------ b

5 ------ c

6 ------ k

abc 1.620

a 2k (I)

b 5k (II)

c 6k (III)

abc 1.620 (IV)

6 m

x

x

x

A

CF

E

D

B

1,5 – x

1,5

1,5 1,5 x ---------------------- 6

x------

V x

------------ 43 13 4 1

----------------------

8

4x

x

x2 x2 42 ⇒ x 2 2

2 2 2 2 2

----------------------------------

s12 28 )20 2

----------------------------------

12 cm

20 cm

28 cm

4 3

5

Base

5

35

342

5 5 3 2

------------

2------------------------ 25 3

4-------------------

25 3 4

-------------------- 4 3

2 8 2

--------------

64 512 ------------

a a

h

Face lateral

h

a

Base

a 32


152

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

O volume V e a área lateral AL são dados por:

V 6 h e AL 6ah; logo,

⇒ a e h 12

Portanto, a altura do prisma é 12 cm.

36. A altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam umtriângulo retângulo; logo,

37. A altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam umtriângulo retângulo; logo,

38. Uma aresta lateral, metade de uma aresta da base e o apótema dapirâmide formam um triângulo retângulo; logo,

39.

a) O apótema do tetraedro regular é a altura de um triângulo eqüi-

látero de lado 6 cm: m cm cm

b) A medida r é da medida da altura de um triângulo eqüilá-

tero de lado 6 cm:

r cm cm

c) H2 e, portanto, H cm

d) A área Af de cada face é a área de um triângulo eqüilátero delado 6 cm:

Af cm2 cm2

Logo, a área total AT é dada por:

AT 4 cm2 cm2

e) V cm3 cm3

40. a

• No triângulo VOA temos:H2 162 172 e, portanto, H cm

• A área B da base é dada por:

B cm2 cm2

• O volume V é dado por:

V B H cm3

cm3

41.

Logo, a área B da base é: B cm2 28 cm2 portan-

to, o volume V da pirâmide é: V 28 15 cm3 140 cm3

42. c

a2 3 4

------------------

6 a2 3 4

------------------ h 216 3

6ah 144 3

2 3

20 cm

15 cm

mm2 152 202 e,portanto, m 25 cm

12 m

r

13 mr2 122 132 e,portanto, r 5 m

6 cm

8 cm

6 cm

x

x2 82 62 e, portanto, x 10 cm

H m

6 cm

r

6 3 2

---------------- 3 3

1 3 ------

1 3 ------ 3 3 3

s 3 d2

(3 3 d2

2 6

62 3 4

----------------------- 9 3

9 3 36 3

1 3 ------ 9 3 2 6 18 2

O

H

V

A

α

17 cm

16 cm

16 cm

33

3 162 3 2

---------------------------------- 384 3

1 3 ------ 1

3 ------ 384 3 33

384 11

4

43 3

55 h h2 32 52 ⇒ h 4

(10 4)4 2

-----------------------------

1 3 ------

8 cm

r

10 cm


153

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

A medida r do apótema da base da pirâmide formada pela água étal que:r2 82 102 ⇒ r 6 cmLogo, a medida da aresta da base dessa pirâmide é 12 cm. Pode-mos, assim, calcular o volume V de água:

V 122 8 cm3 384 cm3

Sendo x a altura, em centímetros, atingida pela água no cubo, te-mos:10 10 x 384 ⇒ x 3,84

1.

a) AL 2π 2 5 m2 20π m2

b) B π 22 m2 4π m2

c) AT (20π 2 4π)m2 28π m2

d) ASM 4 5 m2 20 m2 e) V 4π 5 m3 20π m3

2.

a) AL 2π 4 8 cm2 64π cm2

b) B π 42 cm2 16π cm2

c) AT (64π 2 16π) cm2 96π cm2

d) ASM 82 cm2 64 cm2

e) V 16π 8 cm3 128π cm3

3. Sendo r a medida, em dm, do raio da base do cilindro eqüilátero,temos:(2r)2 144 ⇒ r 6; logo:AL 2π 6 12 dm2 144π dm2;AT (144π 2 π 62) dm2 216π dm2;V π 62 12 dm3 432π dm3

4. Sendo h a medida, em cm, da altura do cilindro, temos:

10 h π 52 ⇒ h logo,

AL 2π 5 25π2 cm2 e AT (25π2 2 π 52) cm2

25π (π 2) cm2

Sendo B a área da base e V o volume, temos:

B π 52 cm2 25π cm2 e V B h 25π cm3; logo:

V cm3

5. a)

b)

6. dSendo R a medida, em m, do raio da base do cilindro maior, temos:

2πR 8 2π 4 8 2 π 42 ⇒ R 6Logo, o raio R tem 2 m a mais que o raio da base do cilindro menor.

7. Colocando sobre esse tronco um outro, congruente a ele, obtemoso cilindro:

Temos, portanto, que o volume VT , do tronco, é metade do volumedesse cilindro:

VT 112π cm3

1 3 ------

Capítulo 26

2 m

2 m

5 m 5 m

5 m

4 m

Base

Superfície lateral

Secção meridiana

2π · 2 m

2 m

Base

4 cm

4 cm

8 cm 8 cm

8 cm

8 cm

Base

Superfície lateral

Secçãomeridiana

2π · 4 cm

4 cm

Base

5π 2

---------- ;

5π 2

---------- cm2

5π 2

----------

125π2 2

------------------

A

D

B

6 cm

2 cmC

V π 22 6 cm3 24π cm3

A B

D

6 cm

2 cm

C

AT (2π 6 2 2 π 62) cm2 96π cm2

8 m 8 m

4 m R

5 cm

9 cm

9 cm

5 cm

4 cm

π 42 14 2

---------------------------- cm3


154

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

8. Inicialmente, aplicamos o teorema de Pitágoras para o cálculo damedida g da geratriz do cone:

g2 62 82 e, portanto, g 10 cmA seguir, representamos no plano a superfície do cone:

a) AL 80π cm2

b) B π 82 cm2 64π cm2

c) AT (80π 64π) cm2 144π cm2

d) ou 288°

e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo isósce-les de lados com 10 cm, 10 cm e 16 cm:

Logo, ASM 48 cm2

f) V 64π 6 cm3 128π cm3

9.

a) AL 32π dm2

b) B π 42dm2 16π dm2

c) AT (32π 16π) dm2 48π dm2

d) π rad ou 180°

e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo eqüiláte-ro com 8 dm de lado; logo:

ASM

f) V 16π

10. As secções meridianas são triângulos eqüiláteros. Sendo g a medi-da, em centímetros, do lado de um desses triângulos, temos:

ASM ⇒ e, portanto, g 4 cm

Assim, temos:

AL 8π cm2;

AT (8π π 22) cm2 12π cm2;

V 4π

11.

AL 3B ⇒ π 4 g 3 π 42 e, portanto, g 12 cm.

Pelo teorema de Pitágoras, obtemos: H

Logo, V π 42

12. Inicialmente, calculamos a medida do cateto tBCu.(BC)2 152 172 e, portanto, BC 8 cm.a)

6 cm

8 cm

g

10 cm

θ

Superfícielateral

2π 8 cm 16π cm

8 cm

Base

16π 10 2

------------------------ cm2

16π 10

------------- rad 8π 5

---------- rad

10 cm 10 cm6 cm

16 cm

16 6 2

----------------- cm2

1 3 ------

2π · 4 dm = 8π dm

4 dm

8 dm 8 dm

4 dm

Base

Superfícielateral

θ

3 dm4

8π 8 2

------------------ dm2

8π 8

---------- rad

82 3 4

----------------------- dm2 16 3 dm2

1 3 ------ 4 3 dm3 64π 3

3----------------------- dm3

3g2

g g

g

4 3 g2 3 4

------------------ 4 3

2π · 2 cm = 4π cm

2 cm

4 cm 4 cm

2 cm

Base

Superfícielateral

θ

3 cm2

4π 4 2

------------------ cm2

1 3 ------ 2 3 cm3 8π 3

3------------------- cm3.

H g

4 cm

8 2 cm.

1 3 ------ 8 2 cm3 128π 2

3-------------------------- cm3

A

CB 8 cm

17 cm15 cm

A

CB

15 cm 17 cm

8 cm

V π 82 15 cm3

320π cm3

1 3 ------

AT (π 15 17

π 152) cm2 480π cm2

b)


155

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

13.

⇒

CD

1 m

O volume

V

T

do tronco é dado por:

V

T

π

2

2

4

π

1

2

2

]

m

3

14.

eSendo

d

a distância, em centímetros, do plano ao centro

O

da es-fera, temos:

Logo,

d

2

5

2

13

2

e, portanto,

d

12 cm.

15.

dSendo

O

o centro da esfera e

r

a medida do raio do círculo, em cen-tímetros, temos:

Logo,

r

2

6

2

9

2

e, portanto,

r

16.

V

π

4

3

cm

3

A

4

π

4

2

cm

2

64

π

cm

2

17.

Sendo

O

e

O

’ os centros da esfera e da secção plana, respectiva-mente, e

r

o raio dessa secção, temos:

r

2

12

2

15

2

e, portanto,

r

9 cm.a) A área

A

sec

da secção plana é dada por:

A

sec

π

9

2

cm

2

81

π

cm

2

b) A área

A

sup

da superfície esférica é dada por:

A

sup

4

π

15

2

cm

2

900

π

cm

2

c) O volume

V

da esfera é dado por:

V

π

15

3

cm

3

4.500

π

cm

3

18.

Sendo

r

a medida do raio da secção plana, temos:

π

r

2

9

π

e, portanto,

r

3 cm.Assim, sendo

O

e

R

o centro e o raio da esfera temos:

R

2

3

2

⇒

R

6 cm e, portanto, o volume

V

da esfera

e a área

A

da superfície esférica são:

V

π

6

3

cm

3

288

π

cm

3

e

A

4

π

6

2

cm

2

144

π

cm

2

19.

O volume

V

e a área

A

são:

V

π

3

3

cm

3

18

π

cm

3

A

4

π

3

2

π

3

2

]

cm

2

27

π

cm2

20. Sendo R a medida, em cm, do raio da esfera original, temos:

π R3 8 π 53 ⇒ R 10

21. A área Ae de cada superfície esférica é:Ae 4π 52 mm2 100 3,14 mm2 314 mm2

A área total AT banhada em ouro é:AT 40Ae 40 314 mm2 12.560 mm2

Conclui-se, assim, que o custo total, em reais, foi de 0,05 12.560,ou seja, R$ 628,00.

C D

2 m

2 m

4 m

B

V

α

A

2 4 ------ CD

2------------

[1

3 ------ 1

3 ------ 14π

3------------- m3

O

13 cm

5 cm

d

O

5 cm

9 cm6 cm

r

O

r

O

3 5 cm.

4 3 ------ 256π

3---------------- cm3

O

15 cm12 cm

r

O

O'

O'

4 3 ------

R

O

3 cm

3 cm3

(3 3 )2

4 3 ------

1 2 ------ 4

3 ------

[1

2 ------

4 3 ------ 4

3 ------


156

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

22. a)

I. B BAC é ângulo comum aos triângulos ABC e AOT.II. B BCA O BTA, pois são ângulos retos.As condições I e II caracterizam o caso AA;logo ABC AOT.

b) No triângulo ABC do item anterior, temos:

(AB)2 162 122

(AB)2 400 AB 20 cmA semelhança entre os triângulos ABC e AOT garante que:

20r 24 12r

r 3 cmConcluímos, então, que a área A da superfície esférica é:

A 4 π 32 cm2 36π cm2

23.

No OO’C temos:

102 62 (CO’)2, logo, CO’ 8 cm. Como CO’ AB, con-cluímos que AB 8 cm.

24.

No triângulo OO’C, temos:

(3R)2 R2 122 e, portanto, R

Logo, os raios das esferas medem e

27. Sendo R a medida, em cm, do raio da cunha, temos:

⇒ 80πR3 2.160π

e, portanto, R 3 cm

29. Sendo R a medida, em m, do raio do fuso, temos:

⇒ 4πR2 12π 2π

e, portanto, R 6 m

31. A área total AT de cada lata éAT (2 3,14 5 12 2 3,14 52) cm2

AT 533,8 cm2 0,05338 m2

Logo, o total de metros quadrados para a fabricação das latas é20.000 0,05338, ou seja, 1.067,6 m2.

32. Sendo h a medida, em cm, da altura do cilindro, temos:

AL ⇒ 2π 5 h logo, h 5 cm.

33.

Logo, a capacidade dessa caixa é 21.195 L.

34. 125.600 L 125.600 dm3 125,6 m3

Logo, o raio da base desse cilindro mede 2 m.

C

A

rOr

16 cm

2 cm

12 cm B

T

C

A

16 cm

12 cm B

r2 + r T

O

A

20 2 r ----------------- 12

r---------

8 cm

6 cm

2 cm 2 cm

2 cm

C

Aα

B

O'

O

2 R

2 cm

12 cm

12

C

R

R

R

R

A B

O'

O

3 2 cm.

3 2 cm 6 2 cm.

25.

⇒ VC

26.

⇒ VC 2π cm3

28.

⇒ Af

30.

⇒ Af 6π cm2

360

20

4 π 13 3

-------------------------

V C

Ângulo(graus)

Volume(m3)

20 4π 3

----------

360------------------------- m3 2π

27 --------- m3

2π

3π 8

----------

4π 23 3

--------------------

V C

Ângulo(rad)

Volume(cm3)

3π 8

---------- 32π 3

-------------

2π-------------------------------- cm3

360

60

4πR3 3

----------------

6π

Ângulo(graus)

Volume(cm3)

360

80

4 π 52

A f

Ângulo(graus)

Área(m2)

80 4 π 25 360

------------------------------------- m2

200π 9

---------------- m2

2π

π 6 ------

4πR2

12π

Ângulo(rad)

Área(m2)

π 6 ------

360

60

4 π 32

A f

Ângulo(graus)

Área(cm2)

60 4 π 9 360

--------------------------------- cm2

AT 2

---------- 2π 5 h 2π 52 2

-------------------------------------------------- ;

3 m

1,5 m

V π (1,5)2 3 m3

V 3,14 2,25 3 m3

V 21,195 m3 21.195 dm3

R

10 m

V 125,6 πR2 10 125,6 3,14 R2 10 125,6 R2 4 R 2


157

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

35. I. b II. c

I. Com o fundo da garrafa apoiado sobre um plano horizontal,

medem-se o diâmetro 2r da base e a altura h do cilindro forma-

do pelo líquido. Com estas medidas, pode-se calcular o volume

V πr2h. Logo, são necessárias, no mínimo, duas medições.

II. Com o fundo da garrafa apoiado sobre um plano horizontal,

medem-se o diâmetro 2r da base e a altura h do cilindro forma-

do pelo líquido. A seguir, vira-se a garrafa, com o gargalo para

baixo, mantendo-se o fundo em um plano horizontal, e mede-

se a distância d entre o fundo e a superfície do líquido.

Com essas medidas, pode-se calcular o volume interno total da

garrafa:

V πr2h πr2d . Logo, são necessárias, no mínimo, três

medições.

36. O volume de água é o volume V do seguinte tronco de cilindro reto

com base circular:

Logo, o volume de água no copo é 81π cm3.

37. a

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

62 h2 42 e, portanto, h

Logo, o volume V do cone é dado por:

V

38.

Logo, AT (π 32 π 3 6) cm2 27π cm2

39. O volume V de um mourão é:

V [π 102 190 102 30] cm3

V (19.000π 1.000π) cm3

V 20.000π cm3 (20.000 3,14) cm3

V 62.800 cm3 0,0628 m3

O número n de mourões que podem ser fabricados é:

n 7.500

40.

VA’B’ VAB ⇒ logo, d 3 cm.

Calculando o volume VT do tronco, obtemos:

VT 4,2 π (0,5)2 3] cm3

0,436π cm3

41. Sendo r e R os raios da bola e do aro, respectivamente, temos:

⇒

Logo:

1,875;

ou seja, o diâmetro do aro é 87,5% maior que o diâmetro da bola.

42. a) Os volumes Vg e Vf de cada gota e do frasco, respectivamente,são dados por:

Vg

e Vf π 22 8 cm3 32π cm3

b) O volume V de medicamento administrado ao paciente emcada minuto é calculado por:

V 30 Vg 30

O tempo t , em minutos, necessário para que o paciente recebatoda a medicação é dado por:

100 min

43. dOs volumes Vc e Ve do cilindro e de cada esfera, respectivamente,são dados por:Vc π 102 16 cm3 1.600π cm3

e Ve

Calculando o número n de esferas que se podem obter com toda amassa, temos:

n 150

44. cSendo O e O’ os centros das esferas maior e menor, respectiva-mente, temos:

10 cm 8 cm

3 cm

V

81π cm3

π 32 (10 8) 2

-------------------------------------------- cm3

h g

4 cm

AL 24π ⇒ π 4 g 24π e,portanto, g 6 cm.

20 cm.

π 42 20 3

---------------------------------- cm3 16π 20 3

------------------------- cm3

2r 2r

rr

3r

V ⇒ πr2

e, portanto, r 3 cm

9π 3 1 3 ------ r 3

9π 3

1 3 ------π

471 0,0628 --------------------

d

AB

A' B'

V

d + 1,2 cm

1,2 cm

0,7 cm

0,5 cm

d d 1,2 ---------------------- 0,5

0,7 ----------- ;

[1

3 ------ π (0,7)2 1

3 ------

4πr2 576π

2πR 45π

r 12 cm

R 22,5 cm

diâmetro do aro diâmetro da bola -------------------------------------------- 2R

2r----------- R

r------- 22,5

12--------------

4π (0,2) 3 3

----------------------------- cm3 4π 0,008 3

---------------------------- cm3 4π 375 ------------ cm3

4π 375 ------------ cm3 8π

25 --------- cm3

t V f

V----------

32π

8π 25 ---------

-------------- min

4π 23 3

-------------------- cm3 32π 3

------------- cm3

V c Ve

--------- 1.600π 32π

3-------------

--------------------

84

4

4C

A B

O'

O


158

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

A distância x entre os pontos A e B é igual à distância entre os pon-

tos C e O’; logo, x2 42 122 ⇒ x

c) A área total AT da superfície da cunha é a soma da área do fusocom as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é,AT (75π 225π) cm2 300π cm2

47. cSendo R a medida, em km, do raio da Terra, temos:

2πR 40.000 ⇒ R

Como o ângulo diedro de cada fuso mede 15°, temos:

⇒

⇒ Af 108

48. Sendo R e 5R as medidas do raio, antes e depois do aumento, res-pectivamente, temos:

⇒ R 1 cm

Logo, antes da operação, a bola tinha 1 cm de raio.

1. Sendo E o espaço amostral formado pelos 1.000 números e A oevento formado pelos números de E menores que 51, temosn(E) 1.000 e n(A) 50.Logo:

P(A)

2. dIndicando por C e K as faces “cara” e “coroa”, respectivamente,temos o espaço amostral E a(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)b,n(E) 4, e o evento A a(C, K), (K, C)b, n(A) 2.

Logo: P(A) 50%

3. a) Indicando por C e K as faces “cara” e “coroa”, respectivamente,temos que o espaço amostral E do experimento é:E a(C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (K, C, C), (K, K, K),(K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)b, n (E) 8

b) O evento A formado pelos ternos com pelo menos duas “caras”é: A a(C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (K, C, C)b, n(A) 4.

Logo: P(A)

c) O evento B formado pelos ternos com no máximo duas “caras” é:B a(C, C, K), (C, K, C), (K, C, C), (C, K, K), (K, C, K),

(K, K, C) (K, K, K)b, n(B) 7. Logo: P(B)

4. O espaço amostral E desse experimento é:E a(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), ..., (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), ..., (3, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), ..., (6, 6)b, n(E) 36

a) A a(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)b, n(A) 6

Logo: P(A)

b) B a(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)b, n(B) 5

Logo: P(B)

c) C , n(C) 0

Logo: P(C) 0

d) D a(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)b, n(D) 6

Logo: P(D)

e) P(E) 1

5. a)

Logo, o espaço amostral E é formado por 216 elementos, ouseja, n(E) 216.

b) Queremos que ocorra algum elemento do evento:A a(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)b,n(A) 6.

Logo: P(A)

6. aSejam:E o espaço amostral do experimento;D apartamentos desabitados eH apartamentos habitados.Indicando por x o número de elementos de D, isto é, n(D) x, te-mos que n(H) 3x e n(E) 4x.

Logo: P(D) 25%

7. Sejam:E o espaço amostral do experimento;M meninas do espaço E e H meninos do espaço E.Indicando por x o número de elementos de M, isto é, n(M) x, te-mos que: n(H) x 6 e n(E) 2x 6

Logo: P(M) ⇒ e, portanto, x 12

Assim, concluímos que na sala há 18 meninos.

8. Calculando o número de elementos do espaço amostral E:

45.

⇒ VC 6π cm3

46. a)

⇒ VC 375π cm3

b)

⇒ Af 75π cm2

8 2

360

60

4 π 33 3

-------------------------

V C

Ângulo(graus)

Volume(cm3)

60 4π 33 3

--------------------

360----------------------------------- cm3

360

30

4 π 153 3

----------------------------

V C

Ângulo(graus)

Volume(cm3)

360

30

4 π 152

A f

Ângulo(graus)

Área(cm2)

20.000 π

--------------------

360

15

4 π [ 20.000

π--------------------]

2

A f

Ângulo(graus)

Área(km2)

15 4 π 4 108

π2-----------------------------------------------

360--------------------------------------------------- 2

3π ----------

4π(5R)3 3

------------------------ 4πR3 3

----------------

5R R----------------------------------------------------- 124π

3----------------

Capítulo 27

n( A) n(E) ---------------- 50

1.000 ----------------- 5

100 ------------ 1

20 ---------

n( A) n(E) ---------------- 2

4 ------ 1

2 ------

n( A) n(E) ---------------- 4

8 ------ 1

2 ------

n(B) n(E) ---------------- 7

8 ------

n( A) n(E ) ---------------- 6

36 --------- 1

6 ------

n(B) n(E ) ---------------- 5

36 ---------

n(C) n(E) ---------------- 0

36 ---------

n(D) n(E) ---------------- 6

36 --------- 1

6 ------

n(E ) n(E ) ---------------- 36

36 ---------

6 6 6 216

Números depossibilidades →

1º

lançamento2º

lançamento3º

lançamento

n( A) n(E ) ---------------- 6

216 ------------ 1

36 ---------

n(D) n(E )

---------------- x 4x ---------- 1

4 ------

2 5 ------ x

2x 6 --------------------- 2

5 ------

n(E) 5 4 3 2 1 120


159

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Calculando o número de elementos do eventoA x E x é número par:

Assim, temos que: P(A)

9. O espaço amostral desse experimento é:E r r é reta que passa por dois vértices do cubo ABCDEFGH,n(E) C8, 2 28.Queremos que ocorra algum elemento do eventoA s E s é reta que passa pelo vértice G, n(A) C7, 1 7.

Logo: P(A)

10. a) O espaço amostral E é formado por todas as comissões de trêspessoas que podem ser escolhidas dentre as 9 pessoas do gru-po, isto é, n(E) C9, 3 84.

b) Sendo A x E x é uma comissão com 2 homens e umamulher, temos que: n(A) C4, 2 C5, 1 30

Logo: P(A)

11. O espaço amostral E do experimento é:E a(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)b,n(E) 6.

a) Queremos que ocorra o terno do evento A a(1, 2, 3)b, n(A) 1.

Logo: P(A)

b) O evento B, considerado nesse item, é vazio, pois não existeterno em E que possua apenas duas etiquetas nas posições cor-retas (se duas estão nas posições corretas, então a terceira tam-

bém está). Logo: P(B) 0

12. O espaço amostral E desse experimento é formado por todas as se-qüências (a, b , c, d , e) em que cada elemento é o resultado obtidoem um dos dados. Observando que a b c d e 30, con-cluímos que o evento A considerado no problema coincide com opróprio espaço amostral; assim, temos:

P(A) 1

13. 0 1 ⇒ 0 n 8 20

Portanto, 8 n 28.Concluímos, então, que o maior número possível de pessoas quepodem estar na sala é 28.

14. Indicando por P(A) e P(A.) as probabilidades de acertar e errar oalvo, respectivamente, temos:

P(A.) 1 P(A) ⇒ P(A.) 1

15. O espaço amostral H do experimento é formado por todos os tri-ângulos com vértices em três dos sete pontos dados; logo,n(E) C7, 3 35.Considerando o evento T x H x é triângulo retângulo, te-mos que um triângulo pertence a T se, e somente se, possui comovértices os pontos A e B; logo n(T ) 5.Devemos calcular a probabilidade do complementar de T, isto é,

P(T .) 1 P(T) 1

16. Calculando o número de elementos do espaço amostral E, temos:

Logo, n(E) 216.

a) Calculando o número de elementos do eventoA a(a, b , c) E a b c é ímparb, temos:

Logo, n(A) 27 e, portanto: P(A)

b) A. a(d , e, f) E d e f é parb

P(A .) 1 P(A) 1

17. Sendo p a probabilidade de o piloto perder a corrida, temos que 3p

é a probabilidade de ele vencer. Logo, p 3p 1 ⇒ p e,

portanto, a probabilidade de que o piloto vença a corrida é:

18. a)

b) Indicando por Ai e Mj as bolas azuis e amarelas, respectiva-mente, temos o espaço amostral:E A1, A2, A3, A4, M1, M2, M3, M4, M5, n(E) 9.1ºººº modoB A1, A2, A3, A4, n(B) 4C A1, A3, M1, M3, M5, n(C) 5C B A1, A3, n(C B) 2P(C B) P(C) P(B) P(C B)

2ºººº modoD x E x é bola azul ou tem número ímpar, ou seja,D A1, A2, A3, A4, M1, M3, M5, n(D) 7.

Logo: P(D)

19. O espaço amostral do experimento é E 1, 2, 3, ..., 30, n(E) 30.Temos, então:

1ºººº modoA 1, 2, 3, ..., 19, n(A) 19B 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, n(B) 10A B 3, 6, 9, 12, 15, 18, n(A B) 6P(A B) P(A) P(B) P(A B)

2ºººº modoC x E x é menor que 20 ou é múltiplo de 3, ou seja,C 1, 2, 3, ..., 19, 21, 24, 27, 30, n(C) 23.

Logo: P(C)

20. eE 1, 2, 3, ..., 1.000, n(E) 1.000A 2, 4, 6, ..., 1.000, n(A) 500B 10, 11, 12, ..., 99, n(B ) 90A B 10, 12, 14, ..., 98, n(A B) 45Para calcular n(A B) pode-se usar o termo geral da PA:an a 1 (n 1)r ⇒ 98 10 (n 1) 2Logo, n 45.

Então:P(A B) P(A) P(B) P(A B)

54,5%

n(A) 4 3 2 1 2 48

2 ou 4

n( A) n(E) ---------------- 48

120 ------------ 2

5 ------

n( A) n(E) ---------------- 7

28 --------- 1

4 ------

n( A) n(E ) ---------------- 30

84 --------- 5

14 ---------

n( A) n(E ) ---------------- 1

6 ------

n() n(E )

----------------- 0 6 ------

n( A) n(E) ---------------- n(E )

n(E )----------------

n 8 20

-----------------

3 5 ------ 2

5 ------

5 35 --------- 30

35 --------- 6

7 ------

(x , y , z)

6 6 6 216

(ímpar, ímpar, ímpar)

3 3 3 27

n( A) n(E ) ---------------- 27

216 ------------ 1

8 ------

1 8 ------ 7

8 ------

1 4 ------

3 4 ------

AZ

XX X X X X X

1AZ2

AZ3

AZ4

AM1

AM2

AM3

AM4

AM5

4 9 ------ 5

9 ------ 2

9 ------ 7

9 ------

n(D) n(E )

---------------- 7 9 ------

19 30 --------- 10

30 --------- 6

30 --------- 23

30 ---------

n(C) n(E ) ---------------- 23

30 ---------

500 1.000 ----------------- 90

1.000 ----------------- 45

1.000 ----------------- 545

1.000 -----------------


160

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

21. eSendo E o espaço amostral; A o evento formado pelos carros comfreio ABS; e B o evento formado pelos carros com direção hidráu-lica, temos:P(A B) P(A) P(B) P(A B) ⇒

⇒ P(A B)

Logo, P(A B) ou seja, a probabilidade de que o automó-

vel escolhido tenha freio ABS ou direção hidráulica é

22. E x x é sabonete da gôndola, n(E) 140A y E y é sabonete azul, n(A) 80B z E z é sabonete da marca Tux, n(B) 100.A B w E w é sabonete azul da marca TuxA B EP(A B) P(A) P(B) P(A B) ⇒

⇒ 1 P(A B)

Logo, P(A B) ou seja, a probabilidade de se

obter um sabonete azul da marca Tux é

23.

Substituindo (II) em (I), temos:

P(B) ⇒ P(B)

24. O espaço amostral do experimento é: E x x é bola da urna,n(E) 9.Considerando-se os eventos: A y E y é bola branca,n(A) 2; B z E z é bola verde, n(B) 3;

A B , temos: P(A B) P(A) P(B)

25. a)

b) P(B/A)

26. Sendo:E o conjunto de todas as pessoas entrevistadas;A o conjunto das pessoas que já consumiram o produto A;B o conjunto das pessoas que já consumiram o produto B, temos:

35 x x 50 x 5 70 ⇒ x 20 e, portanto,

P(B/A)

27. P(B/A)

Dividindo por n(E) o numerador e o denominador da fração dosegundo membro, temos:

P(B/A) ⇒ P(B/A) e, portanto,

P(B/A)

28. a) A probabilidade P1 de sair bola vermelha na 2ª retirada, dado

que saiu bola vermelha na primeira, é: P1

b) A probabilidade P2 de sair bola vermelha na 2ª retirada, dadoque saiu bola vermelha na primeira, é: P2 0

c) São independentes os eventos do item a, pois a probabilidade

de sair bola vermelha na 2ª retirada é independentemente

do que ocorreu na primeira retirada.

29. a)

BPA, P

b) BPA, P1 ou BAP, P2 ou PBA, P3 ou

PAB, P4 ou ABP, P5 ou APB, P6

Logo, a probabilidade total P é dada por:

P 6

c) AAA, P

30. a)

PPB, P

b) PPB, P1 ou PBP, P2 ou BPP, P3


P 3

5 8 ------ 2

3 ------ 11

24 ---------

5 6 ------ ,

5 6 ------ .

80 140 ------------ 100

140 ------------

40 140 ------------ 2

7 ------ ,

2 7 ------ .

P( A) P(B) 2 3 ------ (I)

P( A) P(B) 4

---------------- (II)

P(B) 4

---------------- 2 3 ------ 8

15 ---------

2 9 ------ 3

9 ------ 5

9 ------ .

EB

• 1• 2

• 3• 4

• 5• 6

A

n( A B) n( A)

----------------------------- 2 4 ------ 1

2 ------

EB

5

35 – x x 50 – x

A

EB

5

15 20 30

A

n( A B) n( A)

----------------------------- 20 35 --------- 4

7 ------

n( A B) n( A)

-----------------------------

n( A B) n(E)

-----------------------------

n( A) n(E) ----------------

---------------------------------- P( A B) P( A)

------------------------------

3 5 ------

2 3 ------

----------- 9 10 ---------

1 5 ------

1 5 ------ ,

B B B

P P

A A A A

3 9 ------ 2

9 ------ 4

9 ------ 8

243 ------------

8 243 ------------ 8

243 ------------ 8

243 ------------

8 243 ------------ 8

243 ------------ 8

243 ------------

8 243 ------------ 16

81 --------- .

4 9 ------ 4

9 ------ 4

9 ------ 64

729 ------------

B B B

P P P P

4 7 ------ 3

6 ------ 3

5 ------ 6

35 ---------

6 35 --------- 6

35 --------- 6

35 ---------

6 35 --------- 18

35 ---------


161

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c) Vamos calcular inicialmente a probabilidade de saírem as trêsbolas pretas:

PPP, P1

Logo, a probabilidade P de sair pelo menos uma bola branca édada por:

P 1 P1 1

31. a)

Em vez de pensar em retiradas simultâneas, vamos pensar emretiradas sucessivas e sem reposição.

1 e 0,50 e 0,10, P1 ou 1 e 0,10 e

0,50, P2 ou 0,10 e 0,50 e 1, P3 ou 0,10 e 1 e 0,50,

P4 ou 0,50 e 0,10 e 1, P5 ou 0,50 e 1 e 0,10,

P6


P 6

b) 0,50 e 0,50 e 0,10, P1 ou

0,50 e 0,10 e 0,50, P2 ou 0,10 e 0,50 e 0,50, P3


P 3

c) 1 e 0,10 e 0,10, P1 ou

0,10 e 1 e 0,10, P2 ou 0,10 e 0,10 e 1, P3


P 3

32. a) Indicando por C e E o acerto e o erro, respectivamente, temos:EEC, P 0,3 0,3 0,7 0,063

b) EEC, P1 0,063; ou ECE, P2 0,063; ou CEE, P3 0,063Logo, a probabilidade total P é dada por:P 3 0,063 0,189

c) Vamos calcular a probabilidade P1 de o atirador errar nos trêstiros:EEE, P1 0,3 0,3 0,3 0,027Logo, a probabilidade P de ele acertar o alvo em pelo menosum tiro é dada por:P 1 P1 1 0,027 0,973

33. O total de seqüências distintas nessas condições é dado por

56, sendo a probabilidade de ocorrer cada

uma delas Logo, a probabilidade P de ocorrerem 5 caras

e 3 coroas é dada por:

P 56

34. bSendo:E o espaço amostral dos alunos da escola; S o evento dos alunosvacinados contra sarampo; e R o evento dos alunos vacinados con-tra rubéola, temos:

240 x x 100 x 80 400 ⇒ x 20

Logo, P(S R) 0,05 5%

35. bO espaço amostral E é formado por todas as seqüências possíveis,nas condições do enunciado:

Portanto, n(E) 2.000.Considerando um evento A com apenas um elemento de E, temos:

P(A)

36. O espaço amostral E desse experimento é formado por todas as se-qüências de 5 elementos em que cada um é “cara” ou “coroa”; logo,n(E) 25 32. Queremos que ocorra algum elemento do eventoA formado pelas seqüências pertencentes a E que possuem três“caras” e duas “coroas”;

logo, n(A) 10. Assim, temos que

P(A)

37. a) C48, 6 12.271.512

b) P

38. bA soma das áreas dos setores circulares hachurados é igual a áreaS de um semicírculo de raio 10 km, isto é,

S km2 50π km2. A probabilidade P de um morador,

caminhando livremente pelo município, encontrar-se na área dealcance de pelo menos uma das emissoras é dada por:

P ⇒ P 25%

39. dO espaço amostral E desse experimento é formado por todas asequipes de 4 médicos que podem ser formadas; logo,n(E) C10, 4 210.Sendo A o evento de E, formado pelas equipes de 4 ortopedistas,temos que n(A) C6, 4 15.O complementar de A, isto é, A., é o evento formado pelas equipescom pelo menos um cirurgião em cada uma; logo,

P(A.) 1 P(A) 1

4 7 ------ 3

6 ------ 2

5 ------ 4

35 ---------

4 35 --------- 31

35 ---------

0,50 0,50 0,50 0,50

1 1

0,10 0,10 0,10

2 9 ------ 4

8 ------ 3

7 ------ 1

21 --------- ;

1 21 --------- ; 1

21 --------- ;

1 21 --------- ; 1

21 --------- ;

1 21 ---------

1 21 --------- 2

7 ------

4 9 ------ 3

8 ------ 3

7 ------ 1

14 --------- ;

1 14 --------- ; 1

14 ---------

1 14 --------- 3

14 ---------

2 9 ------ 3

8 ------ 2

7 ------ 1

42 --------- ;

1 42 --------- ; 1

42 ---------

1 42 --------- 1

14 ---------

P8(5, 3) 8!

5! 3! ------------------

[1

2 ------]

8

.

[1

2 ------]

8 56 256 ------------ 7

32 ---------

ER

80

240 – x x 100 – x

S

n(S R) n(E )

---------------------------- 20 400 ------------

→ 5 5 5 4 4 2.000Números depossibilidades

algarismos letras

n( A) n(E ) ---------------- 1

2.000 -----------------

P5(3, 2) 5!

3!2! ----------------

n( A) n(E ) ---------------- 10

32 --------- 5

16 --------- .

1 C48,6 -------------- 1

12.271.512 ------------------------------

π 102 2

--------------------

50π 628

------------- 50 3,14 628

-------------------------

15 210 ------------ 195

210 ------------ 13

14 ---------


162

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

40. eCalculando o número de elementos do espaço amostral E

Logo, n(E) 1.024Apenas um elemento de E compõe o evento A com todas as res-

postas incorretas; logo, P(A)

O complementar de A, isto é, A., é formado pelas provas que con-têm pelo menos uma resposta correta e, portanto,

P(A.) 1 P(A) 1

41. Sendo P(R) e P(M) as probabilidades de escolha de rapaz e moça,respectivamente, temos:

⇒ P(R)

Logo, a probabilidade de se escolher um rapaz é de

O espaço amostral do experimento é:E x x é membro da conferência, n(E) 34.Considerando-se os eventos: A y E y é mulher, n(A) 15;B z E z é matemático(a), n(B) 12;A B t E t é mulher matemática, n(A B) 5; temos:

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

43. Sejam:• o espaço amostral E formado pelos 50 leitores;• o evento A de E formado pelos leitores do jornal A;• o evento B de E formado pelos leitores do jornal B.

Temos:

P(A B) 1 ⇒ P(A) P(B) P(A B) por-

tanto, P(A B) ou seja,

P(A B)

Logo, a probabilidade de que a pessoa escolhida seja leitora dos

jornais A e B é de

Professor: É interessante resolver este problema por meio de um

diagrama:

35 x x 34 x 3 50 ⇒ x 22

Logo, P(A B)

44.

E x x é número de alguma bola da urnaA y E y 8B z E z é par

P(B/A)

Logo, a probabilidade de que o número retirado seja par é

E x x é participante do congresso, n(E) 147A y E y é mulher, n(A) 81B z E z é psiquiatra, n(B) 48A B w E w é mulher e psiquiatra, n(A B) 18

Logo: P(B/A)

46. Podemos raciocinar com retiradas sucessivas e sem reposição:

a) bbp, P1 ou

bpb, P2 ou

pbb, P3

Logo, a probabilidade total é dada por:

P P1 P2 P3

b) ppp, P

c) Como o evento determinado pela condição “pelo menos umabola branca” é o complementar do evento determinado pelacondição “as três bolas pretas”, temos que a probabilidade P,pedida, é:

P 1

d) Como o evento determinado pela condição “no máximo duasbolas brancas” é o complementar do evento determinado pelacondição “três bolas brancas”, temos que a probabilidade P,pedida, é:

P 1 1

47. Podemos raciocinar com retiradas sucessivas e sem reposição. Aprobabilidade de a primeira pessoa sorteada ser um dos irmãos é

de e a probabilidade de a segunda pessoa sorteada ser o ou-

tro irmão é de logo, a probabilidade P de serem sorteados os

dois irmãos é de:

P

42. Matemáticos(as) Físicos(as) Químicos(as)

Homens 7 8 4

Mulheres 5 4 6

n(E) 50 n(A) 35 n(B) 34 n(A B) x

→ 2 2 2 . . . 2 210 1.024Números depossibilidades

1ª

questão2ª

questão3ª

questão . . .10ª

questão

1 1.024 -----------------

1 1.024 ----------------- 1.023

1.024 -----------------

P(R) 3P(M )

P(R) P(M ) 1

3 4 ------

3 4 ------ .

15 34 --------- 12

34 --------- 5

34 ---------

22 34 --------- 11

17 ---------

3 50 --------- 47

50 --------- ,

35 50 --------- 34

50 --------- 47

50 --------- ,

11 25 --------- .

11 25 --------- .

B

3

35 – x x 34 – x

A E

n( A B) n(E)

----------------------------- 22 50 --------- 11

25 --------- .

45. Psiquiatras Psicólogos Neurologistas

Número demulheres 18 53 10

Número dehomens 30 19 17

EB

• 1• 3• 5• 7

• 2• 4• 6

• 8• 10• 12• 14• 16• 18• 20

• 9• 11• 13• 15• 17• 19

A

n( A B) n( A)

----------------------------- 3 7 ------

3 7 ------ .

n( A B) n( A)

----------------------------- 18 81 --------- 2

9 ------

b b b b b b

p p p p

6 10 --------- 5

9 ------ 4

8 ------ 1

6 ------ ;

1 6 ------ ;

1 6 ------ .

3 6 ------ 1

2 ------

4 10 --------- 3

9 ------ 2

8 ------ 1

30 ---------

1 30 --------- 29

30 ---------

6 10 --------- 5

9 ------ 4

8 ------ 1

6 ------ 5

6 ------

2 20 --------- ,

1 19 --------- ;

2 20 --------- 1

19 --------- 1

190 ------------


163

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

48. dIndicando por A e N os eventos adoecer e não adoecer no decursode cada mês, devemos ter:NNA; P 0,7 0,7 0,3 0,147 14,7%

49. cA probabilidade de que nenhum deles tenha nível universitário é0,6 0,7, ou seja, 0,42; logo, a probabilidade P de que pelo menosum deles tenha nível universitário é dada por:P 1 0,42 0,58 58%

1. a) AB 5

b) AB

10

c) AB

2. a) AB

AC

BC

O perímetro do triângulo é

AB AC BC

b) ⇒ (AC)2 (AB)2 (BC)2; logo,

ABC é um triângulo retângulo.

3. Sendo P(0, a), devemos ter PQ 10, ou seja,

10 ⇒ a 3 ou a 13Logo, há dois pontos possíveis: P(0, 3) e P’(0, 13).

4. Sendo P(a, 0), devemos ter PQ 13, ou seja,

13 ⇒ a 4 ou a 20Logo, há dois pontos possíveis: P(4, 0) e P’(20, 0).

5. a

CA CB ⇒ Quadrando ambos os membros dessa igualdade, obtemos:(x 1)2 32 (x 5)2 92 ⇒ x 8

6. a) xM 6 e yM 8; logo, M(6, 8)

b) xM 1 e yM 3; logo, M(1, 3)

c) xM e yM logo,

7. a) Sendo B(x, y) o ponto procurado, temos que Q é ponto médiode tABu

Logo, ⇒ x 7 e y 6

Assim, concluímos que B(7, 6)

b) Sendo B(x, y) o ponto procurado, temos que Q é ponto médiode tABu.

Logo, ⇒ x 6 e y 4

Assim, concluímos que B(6, 4)

8. c

M é ponto médio de tBCu; logo, M(7, 12).O comprimento da mediana tAMu é dado por:

AM 10

9. Sendo C(xC, yC) e D(xD, yD), temos:

I. Q é ponto médio de tACu ⇒

Logo, xC 6 e yC 9

II. Q é ponto médio de tBDu ⇒

Logo, xD 3 e yD 8.

Por I e II, concluímos que: C(6, 9) e D(3, 8).

10. a) 120° e m tg 120°

b) 60° e m tg 60°

11. a) m 4

b) m

c) m 0

d) m Não existe m, isto é, a reta ,AB- é vertical.

12. Sendo a inclinação da reta r, temos:

a) m tg

b) 120°

13. a) O eixo Ox determina nas retas paralelas r e s ângulos corres-pondentes congruentes; logo, a inclinação da reta r é a mesmada reta s, ou seja, 45° e, portanto, mr tg 45° 1.

b) Calculando o coeficiente angular m da reta que passa pelo pon-

to A(5, 3) e B(2, 0), temos que m 1 e, portanto, a

inclinação de ,AB- é 45°.Como ,AB- / r e B r, concluímos que ,AB- r e, portanto,A r.

Capítulo 28

(9 6) 2 (11 7)2 32 42 25

f3 (3)g 2 (13 5)2

62 82 100

f1 (1) g2 (1 3)2 22 (4)2

20 2 5

(1 3) 2 f1 (1)g2 (2)2 22

8 2 2

(5 3) 2 f5 (1)g 2 22 62

40 2 10

(5 1) 2 (5 1)2 42 42

32 4 2

2s 10 3 2 d

( AC)2 40

( AB)2 (BC)2 40

(0 6) 2 (a 5)2

(a 8) 2 (0 5)2

(x 1) 2 (2 1) 2 (x 5) 2 (2 7) 2

4 8 2

----------------- 6 10 2

--------------------

3 5 2

----------------------- 1 (7) 2

----------------------------

1 2 2

----------------- 3 2 ------

3 3 5 ------

2---------------------- 9

5 ------ ;

M[3

2 ------ , 9

5 ------]

A (3, 8) Q (–2, 1) B (x, y)

2 x 3 2

-----------------

1 y 8 2

-----------------

A (–5, 2) Q ( , 3)12

B (x, y)

x (5) 2

---------------------------- 1 2 ------

y 2 2

----------------- 3

A (1, 4)

C (10, 15)

B (4, 9)

M (x, y)

(7 1) 2 (12 4)2 62 82 100

4 2 xC

2--------------------

6 3 yC

2--------------------

4 5 xD

2--------------------

6 4 yD

2--------------------

3

3

14 6 4 2

--------------------

5 (1) 3 1

---------------------------- 3

2 ------

3 3 2 (1) ---------------------------------

6 1 8 8 ----------------- 5

0 ------

y x ----------- 3 0

0 1------------------------ 3

3 0 5 2

-----------------


164

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

14. a) mAB 2

mBC 2

Como mAB mBC, concluímos que A, B e C são colineares.

b) mAB 0

mBC 0

Como mAB mBC, concluímos que A, B e C são colineares.

c) mAB (não existe)

mBC (não existe)

Como não existem mAB e mBC, concluímos que A, B e C sãocolineares.

d) mAB 1

mBC 1

Como mAB mBC, concluímos que A, B e C não são colineares.

15. dOs pontos (1, 3), (2, 4) e (x, 0) são colineares se, e somente se,

ou seja, x 10

16. a) Indicando por 1 a quantidade atual de gases que provocam oefeito estufa, por 0 (zero) o início das medições de tempo e porn a quantidade de gases na atmosfera daqui a 54 anos, temos:

Como os pontos (0, 1), (54, n) e (100, 3) são colineares, temos:

⇒ n 2,08

Logo, o aumento percentual em relação à quantidade atual é

dado por: 1,08 108%

b) Indicando por k a medida atual da temperatura, em graus Cel-sius, por 0 (zero) o início das medições do tempo e por t onúmero de anos necessários para que a temperatura global au-mente 1,7 °C, temos:

Como os pontos (0; k), (t; k 1,7) e (100; k 5,8) são coli-neares, temos:

⇒

t 29,3Logo, a temperatura sofrerá um aumento de 1,7 °C em 29,3anos, aproximadamente.

c) Sendo T a variação da temperatura ao final da primeira déca-da, temos:

⇒

0,058

Assim, a taxa média de aumento da temperatura na primeiradécada será de 0,058 °C por ano.

17. a) y 1 2(x 4) ⇒ 2x y 9 0;

b) y 5 4(x 2) ⇒ 4x y 13 0;

c) y 0 ⇒ x 3y 6 0;

d) y 0 8(x 0) ⇒ 8x y 0;

e) y 2(x 0) ⇒ 4x 2y 3 0

f) y ⇒ 4x 8y 11 0

18. d

Logo, a reta pode ser representada por:y 5 1(x 2), ou ainda, x y 3 0

19. a) r

Logo, a reta r pode ser representada por:

y 0 ou ainda, y 0

b) s

Logo, a reta s pode ser representada por:y 2 1(x 5), ou ainda, x y 3 0

20. a) ,AB-

Logo, uma equação da reta ,AB- é:y 4 1(x 2), ou ainda, x y 6 0

b) ,AB-

Logo, uma equação da reta ,AB- é:y 8 2(x 1), ou ainda, 2x y 10 0

6 4 1 0 -----------------

4 2 0 (1) ----------------------------

2 2 5 1 -----------------

2 2 6 5 -----------------

7 1 4 4 -----------------

9 7 4 4 -----------------

6 4 3 1 -----------------

4 1 1 4 -----------------

4 3 2 1 ----------------------- 4 0

2 x ----------------------- ,

54

1

n

3

100

Quantidade de gases

Tempo (anos)

3 1 100 0 ----------------------- n 1

54 0 --------------------

2,08 1 1

-------------------------

k + 5,8

k + 1,7k

t 100

Temperatura (°C)

Tempo (anos)

k 5,8 k 100 0

-------------------------------- k 1,7 k t 0

-------------------------------- 5,8 100 ------------ 1,7

t-----------

k + 5,8

k + Tk

10 100

Temperatura (°C)

Tempo (anos)

k 5,8 k 100 0

-------------------------------- k T k 10 0

--------------------------------- 5,8 100 ------------ T

10------------

T 10

------------

1

3 ------(x 6)

3 2 ------

3 2 ------

1 2 ------[x 1

4 ------]

A(2, 5)

m tg 135 1

A(4, 0)

m tg 60 3

3 (x 4) , 3x 4 3

A(5, 2)

m tg 45 1

A(2, 4)

m 2 4 8 2 ----------------- 1

A(1, 8)

m 8 2 1 4 ----------------- 2


165

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c) ,AB-

Logo, uma equação da reta ,AB- é:

y 0 3(x 5), ou ainda, 3x y 15 0

d) ,AB-

Logo, uma equação da reta ,AB- é:

y 6 ou ainda, 5x 2y 3 0

21. A reta r que contém esse gráfico passa pelo ponto P(0, 10) e tem

coeficiente angular m dado por m logo, a

equação de r é: y 10 ou seja, y 10.

Assim, temos:a) x 8 ⇒ y 20

Logo, depois de 8 segundos de aberta a torneira, o tanque con-tinha 20 L de água.

b) y 30 ⇒ x 16Logo, a água atingiu 75% da capacidade do tanque 16 segun-dos depois de aberta a torneira.

22. A reta r é vertical e passa por (3, 4); logo, uma equação dessareta é x 3.A reta s é horizontal e passa por (3, 4); logo, uma equação dessareta é y 4.

23. a)

Q bi ⇒ yQ xQ 6; logo, Q(6, 6)

M é ponto médio de tOQu ⇒ xM 3 e

yM 3; logo, M(3, 3)

T s ⇒ yT 3 e T bp ⇒ xT yT 3; logo, T(3, 3)

b) bp: y xbi: y xr: x 6s: y 3

24. eA alternativa falsa é e, pois para que um ponto pertença à bissetrizdos quadrantes pares suas coordenadas devem ser opostas.

25. Sendo P(a, a), temos:

PQ 5 ⇒ 5

Quadrando ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

(a 2)2 (a 3)2 25 ⇒ a2 5a 6 0 e, portanto, a 6ou a 1.Assim, temos dois pontos possíveis: P(6, 6) e P’(1, 1)

26. bO ponto A do terceiro quadrante, que dista 3 km do eixo Ox e 5 kmdo eixo Oy é A(5, 3); e o trajeto do automóvel é representadopor:

Assim, temos que B(7, 2) e, portanto,

AB 13

27. cO triângulo ABC é retângulo em A se, e somente se,

(AB)2 (AC)2 (BC)2, ou seja,

e,

portanto, m 49.

28. a

C é ponto médio de tABu; logo,

⇒ x 3 e y 9 e, portanto, B(3, 9)

29. a)

A velocidade é a razão entre o espaço percorrido e o tempogasto para esse deslocamento. Então,

v ⇒ v logo,

v 0,34 km/s.

b) O ponto P é o ponto médio de tABu, ou seja,

30. a) mAB 1 e mCD 4.

Como mAB mCD, temos que ,AB- e ,CD- são concorrentes.

b) mAB e mCD

Como mAB mCD, temos que ,AB- e ,CD- são paralelas.

A(5, 0)

m 12 0 1 5 ----------------------- 3

A(3, 6)

m 1 6 1 3 -----------------------

5 2 ------

5

2 ------(x 3) ,

40 10 24 0

----------------------- 5 4 ------ ;

5 4 ------(x 0) , 5x

4----------

_

–3 3

3T M

Q

D

y

r

s

bp bi

x

6

6

0 6 2

-----------------

0 6 2

-----------------

(a 2) 2 (a 3)2

A(–5, –3)

B(7, 2)

P(7, 0)

N(10, 0)

M(10, –3)

–5

–3

y

x

f7 (5)g2 f2 (3)g2 169

s (m 1)2 f4 (2)g2 d2

s (1 0)2 (2 6)2 d2

s (m 0)2 (4 6)2 d2

A (3, 1)C (0, 5)

B (x, y)

x 3 2

----------------- 0

y 1 2

----------------- 5

10

18 x

P

B

Q

A

y

4

2

3 xQ

AB 50

------------ (10 2) 2 (18 3)2 50

------------------------------------------------------------------ km/s;

P[ 21

2--------- , 6] .

4 2 1 3

----------------- 5 1 2 1 -----------------------

5 3 2 4

----------------- 1 3 ------ 8 7

1 2 ----------------- 1

3 ------ .


166

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

c) mAB (não existe)

mCD (não existe)

Como não existem mAB e mCD, temos que ,AB- e ,CD- são paralelas.

31. m tg 135° ⇒ 1; logo, a 3.

32. e

mAB 1 ⇒ 135°

mAC ⇒ 120°

Assim, temos que:m(B BAC) 135° 120° 15°

33. Os pontos A(0, 2), B(3, 0) e P (7, yP) pertencem à mesma reta se,

e somente se, mAB mBP , ou seja, e, portanto,

yP

34. r ⇒ y 0

ou seja, 3y 0.

35. cO gráfico está contido na reta r que passa pelos pontos A(0, 36) eB(40.000, 44). Assim, temos:

r

Logo, uma equação da reta r é y 36

ou ainda, y 36.

Observando que para x 20.000 obtém-se y 4, concluímosque a 20.000 pés de altitude a temperatura é 4 °C.

36. bP bi ⇔ 4k 1 2k 3 e, portanto, k 2

37. Sendo P(a, a), temos:

PA 2 AB ⇒

ou seja,


(a 3)2 (a 1)2 8 ⇒ a2 2a 1 0 e, portanto, a 1.Logo, P(1, 1).

1. a)

b)

c)

d)

2. r ⇒ y 0 (x 3)

Logo, uma equação geral da reta r é 2x 3y 6 0A reta r intercepta s e t no ponto de abscissa 3.Fazendo x 3 na equação anterior, temos:2 (3) 3y 6 0 ⇒ y 4.Assim, as equações gerais de s e t são, respectivamente, x 3 0e y 4 0

3. a) D 11

Como D 0, concluímos que r e s são concorrentes.

b) ⇒ x 1 e y 2

Logo, r s (1, 2)

4. e

0 ⇔ k 10

Logo, r e s são concorrentes se, e somente se, k 10

5. ⇒ x 0 e y

Logo, Oy r

9 3 4 4

-----------------

5 1 1 1

-----------------

a (1) 1 5

----------------------------

C(0, )

B(0, 1)

A(1, 0) x

y

β

α

3

1 0 0 1

-----------------

3 0 0 1

------------------------ 3

0 2 3 0 -----------------

yP 0

7 3--------------------

8 3 ------ .

(5, 0)

m tg 150 3

3-------------

3

3-------------(x 5)

3x 5 3

A(0, 36)

m 36 (44) 0 40.000

---------------------------------- 1

500 ------------

1

500 ------------(x 0)

x

500 ------------

(a 3) 2 (a 1)2

2 (4 3) 2 (2 1)2 , (a 3) 2 (a 1) 2

2 2

Capítulo 29

y

x2

–3

x y

0 3

2 0

y

x8

–5

x y

0 0

8 5

y

x5

y

x

Reta y = 0

(3,0)

m 2 0 0 3 -----------------

2 3 ------

2

3 ------

1 4

3 1

x 4y 7 0

3x y 1 0

2 1

k 5

2x 5y 8 0

x 0

8 5 ------

[0, 8 5 ------]


167

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

6. a)

b) Fazendo x k na equação x y 1 0, temos:k y 1 0 ⇒ y 1 kLogo, um ponto genérico da reta r é G(k, 1 k), com k R.

c) Impondo que a distância entre os pontos G(k, 1 k) e O(0, 0)seja igual a 5, temos:

k2 (1 k)2 25

k2 1 2k k2 25

2k2 2k 24 0

⇒ k 4 ou k 3

Concluímos, então, que há dois pontos, G(4, 3) e G’(3, 4).

7. 2x 3y 5 0 ⇒ y

logo, m e q

8. a) mr ms e qr qs; logo, r e s são paralelas distintas.b) mr mt e qr qt; logo, r e t são paralelas coincidentes.c) ms mu; logo, s e u são concorrentes.

9. Temos que:

mr e ms

Logo, r e s são paralelas se, e somente se, ou seja, k 4.

10. r ⇒ y 4 1(x 10)

Logo, uma equação geral da reta r é: x y 14 0

11. a) r ⇒ y 4 5(x 1)

Logo, uma equação reduzida da reta r é: y 5x 1

b) r ⇒ y 0 2(x 5)

Logo, uma equação reduzida da reta r é: y 2x 10

12. a) s

y 1 2(x 3)y 2x 5

b) Fazendo x k na equação y 2x 5, obtemos y 2k 5.Logo, o ponto G tem ordenada 2k 5.

c) Um ponto genérico da reta s é G(k, 2k 5). Impondo queGO GB, temos:

⇒

⇒ (2k 5)2 (2k 9)2, ou seja,

4k2 20k 25 4k2 36k 81 e, portanto, k

Concluímos, então, que G

13. a) r ⇒ y 1 5(x 9)

Logo, uma equação geral da reta r é: 5x y 44 0

b) r ⇒ y 4 (x 1)

Logo, uma equação geral da reta r é: x 2y 7 0

c) r ⇒ y 0 (x 3)

Logo, uma equação geral da reta r é: 3x 4y 9 0

14. ms

r ⇒ y 4 (x 1)

Logo, a equação reduzida da reta r é: y

15. O ponto médio do segmento tABu é M(2, 4) e o coeficiente angular

da reta ,AB - é mAB

Sendo r a mediatriz do segmento tABu, temos:

r ⇒ y 4 4(x 2)

Logo, a equação reduzida de r é: y 4x 12.

16. a) r ⇒ y 0 2(x 1)

Logo, uma equação da reta r é: 2x y 2 0

b) s ⇒ y 2 (x 5)

Logo, uma equação da reta s é: x 2y 9 0

c) ⇒ x 1 e y 4

Logo, A(1, 4)

d) O ponto A é o ponto médio do segmento tPPu’:

Logo, ⇒ x 3 e y 6 e, portanto,

P’(3, 6)

17. a) ⇒

Substituindo (I) em (II), temos:y 2(x 9) 1 ⇒ y 2x 19

b) ⇒


y 4 7 ⇒ y 2x 17

y

x1r

1

x y

0 1

1 0

(k 0)2 (1 k 0)2 5

S 1

P 12

2x

3---------- 5

3 ------ ;

2

3 ------ 5

3 ------ .

2 3 ------ k

6 ------

2 3 ------ k

6 ------ ,

P(10, 4)

mr ms tg 135 1

P(1, 4)

mr ms 5

P(5, 0)

mr ms 2

P(3, 1)

ms mAB4 0

0 (2) ---------------------------- 2

(k 0)2 (2k 5 0)2

(k 0)2 (2k 5 4)2

k2 k2

7 2

------

[7

2 ------ , 2]

P(9, 1)

mr 1

ms --------- 5

P(1, 4)

mr 1

ms ---------

1 2 ------

1

2 ------

P(3, 0)

mr 1

ms ---------

3 4 ------

3

4 ------

0 2 3 0 -----------------------

2 3 ------

P(1, 4)

mr 1

ms --------- 3

2 ------

3 2 ------

3x 2

---------- 11 2

---------

5 3 6 2 ----------------- 1

4 ------ .

M (2, 4)

mr 1

mAB ------------- 4

A(1, 0)

mr 2 0

0 1----------------------- 2

P(5, 2)

ms 1

mr --------- 1

2 ------

1 2 ------

2x y 2 0

x 2y 9 0

P(5, 2) A(1, 4) P’(x, y)

x 5 2

----------------- 1

y 2 2

----------------- 4

x t 9

y 2t 1

t x 9 (I)

y 2t 1 (II)

x 2t 5

y 4t 7

t x 5 2

----------------- (I)

y 4t 7 (II)

[ x 5

2-----------------]


168

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

18. a) ⇒

Substituindo (I) em (II), temos:y 3(x 5) 6 ⇒ y 3x 9

b) Para t 0 temos o ponto (5, 6) e para t 5 temos o ponto (10, 21):

19. a

Observando que C e M variam linearmente, pois

temos que o gráfico de C em função de M está contido na reta rrepresentada a seguir:

Assim, temos:

r ⇒ C 622 C 622

que é uma equação equivalente à apresentada na alternativa a.

20. a) Consideremos as retas r e s que contêm as semi-retas apresen-tadas.

r 100 ⇒

⇒ y 50.000 100(x 0) 100x y 50.000 0

s 150 ⇒ y 0 150(x 0)

150x y 0Resolvendo o sistema formado pelas equações de r e s, temos:

⇒ x 1.000 e y 150.000

Logo, para que a receita se iguale ao custo de produção, devemser fabricadas e vendidas 1.000 bicicletas.

b) A partir de 1.001 bicicletas fabricadas e vendidas, a indústriapassará a ter lucro.

21. Um ponto genérico da reta dada é G(a, 2 a).

Impondo que GP 5, temos:

5, ou ainda,

5


(a 2)2 (1 a)2 25 ⇒ a2 3a 10 0 e, portanto,

a 2 ou a 5.

Assim, concluímos que há dois pontos que satisfazem a condição

enunciada; são eles:

G1(2, 4) e G2(5, 3)

22. e

18 ⇒ a2 36 e, portanto, a 6 ou a 6 (não convém)

Logo, a reta r passa pelos pontos (6, 0) e (0, 6). Assim, temos:

r ⇒ y 0 1 (x 6)

ou seja, uma equação da reta r é: x y 6 0.

23. a) P r ⇔ a 1 2 (1) 2 0 e, portanto, a 4.

b) 4x 2y 2 0 ⇒ y 2x 1; logo, o coeficiente angular

de r é 2.

24. Temos que: mr e ms 2m; logo, r e s são paralelas se,

e somente se, 2m e, portanto, m

25. Temos que: mr e ms logo, r e s são concor-

rentes se, e somente se, 2k 3 e, portanto, k

26. a) r ⇒ y (1) 5(x 3)

ou ainda, 5x y 14 0.

b) r ⇒ y 0 [x (2)] ou, ainda,

4x 3y 8 0.

c) Como a reta s é vertical e a abscissa de P é 4, temos que a reta

r que passa por P e é paralela a s tem equação x 4.

d) r ⇒ y 2 0 [x (6)], ou ainda, y 2.

27. d

O coeficiente angular mr da reta r é dado por:

mr 4

x t 5

y 3t 6

t x 5 (I)

y 3t 6 (II)

y

x5 10

6

21

C M ------------- 32

33 --------- ,

33

654

rC

622

M

(0, 622)

m 32 33 ---------

32 33 ---------(M 0) 32M

33 ---------------

(0, 50.000)

mr 60.000 50.000

100 0--------------------------------------------

(0, 0)

ms 15.000 0

100 0-------------------------------

100x y 50.000 0

150x y 0

(a 2)2 (1 a)2

(a 2)2 (1 a)2

y

x

a

ar

a a 2

--------------

(6, 0)

mr6 0

0 6 ----------------- 1

1 m 2

-------------------

1 m 2

------------------- 1 5 ------ .

k 2 ------ 2k 3;

k 2 ------

6 5 ------ .

P(3, 1)

mr ms 5

P(2, 0)

mr ms4

3 ------

4 3 ------

P(6, 2)

mr ms 0

4 0 0 (1) ----------------------------


169

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Assim, temos:

t ⇒ y 2 4(x 1) ou, ainda, 4x y 2 0.

28. a) O montante y acumulado durante x anos pela aplicação deR$ 5.000,00 à taxa de 20% ao ano é dado pory 5.000 5.000 0,2 x, ou seja, y 5.000 1.000x.O montante y acumulado durante x anos pela aplicação deR$ 4.000 à taxa de 25% ao ano é dado pory 4.000 4.000 0,25 x, ou seja, y 4.000 1.000x.

b) Os gráficos de y 5.000 1.000x e y 4.000 1.000x são,respectivamente, as semi-retas r e s representadas a seguir:

c) Os montantes nunca se tornarão iguais, porque os gráficos queos representam são semi-retas paralelas distintas e, portanto,não têm ponto comum.

29. a) r ⇒ y (3) 2(x 2) ou,

ainda, 2x y 7 0.

b) r ⇒ y 5 (x 0) ou,

ainda, 5x 2y 10 0.c) A reta s é vertical; logo, a reta r é horizontal. Assim, temos:

r ⇒ y 1 0 (x 2) ou ainda, y 1.

d) A reta s é horizontal; logo, a reta r é vertical. Como a abscissado ponto P é 2, uma equação de r é x 2.

30. e

ms

r ⇒ y 4 2 (x 2) ou, ainda, y 2x

31. a) A reta r que contém a altura relativa ao vértice A é perpendicu-lar a tBCu

mBC

r ⇒ y 9 2(x 0), ou

ainda, r: 2x y 9 0

b) ,BC - ⇒ y 8 (x 3), ou ainda,

,BC-: x 2y 13 0O ponto H é a intersecção das retas r e ,BC-:

⇒ x 1 e y 7 e, portanto, H(1, 7)

c) A medida da altura relativa ao vértice A é a distância entre ospontos A(0, 9) e H (1, 7):

AH

32. Observando que o ponto A(4, 5) não pertence à reta r de equação7x y 8 0, pois 7 4 (5) 8 0, temos que o ponto Apertence à diagonal não-contida em r. Lembrando que as diago-nais do quadrado são perpendiculares, e indicando por s a reta pro-curada, temos:

s ⇒ y (5) (x 4)

ou, ainda, x 7y 31 0.

33. O gráfico que descreve v em função de t é um segmento contidona reta r que passa pelos pontos (0; 1.000) e (10; 1.001,8).

r 0,18 ⇒ v 1.000 0,18(t 0)

ou seja, v 0,18t 1.000O gráfico que descreve c em função de t é um segmento contidona reta s que passa pelos pontos (0, 40) e (10, 90).

s ⇒ c 40 5(t 0)

ou seja, c 5t 40Assim, temos:

Substituindo II em I, podemos escrever:

v 0,18 1.000, ou seja, v 0,036c 998,56.

1. a) dPr 3

b) Uma equação geral da reta r é x y 8 0; logo,

dPr

c) Uma equação geral da reta r é x 0y 4 0;

logo, dPr 5

d) Uma equação geral da reta r é 0x y 3 0;

logo, dPr 5

P(1, 2)

mt mr 4

4.000

6.000

5.000

1 x

r sy

P(2, 3)

mr 1

ms --------- 2

P(0, 5)

mr 1

ms --------- 5

2 ------

5 2 ------

P(2, 1)

mr 0

(2, 4)

(0, 5)

rs

5 4 0 2 -----------------

1 2 ------

(2, 4)

mr 1

ms --------- 2

A (0, 9)

B (3, 8)

C (–1, 6)

r

8 6 3 1 ----------------- 1

2 ------

A(0, 9)

mr 1

mBC ------------- 2

B(3, 8)

mBC1

2 ------

1 2 ------

2x y 9 0

x 2y 13 0

(1 0 )2 (7 9)2 5

A(4, 5 )

ms 1

mr ---------

1 7

------

1 7 ------

(0, 1.000)

mr 1.001,8 1.000 10 0

-------------------------------------------

(0, 40)

ms 90 40 10 0

----------------------- 5

v 0,18t 1.000 (I)

c 5t 40 ⇒ t c 40

5-------------------- (II)

[ c 40

5--------------------]

Capítulo 30

5 1 12 3 2

52 122 -------------------------------------------------- 39

13 ---------

2 (4) 8

12 (1)2 ----------------------------------------------- 6

2 ------------- 3 2

9 0 6 4

12 02 --------------------------------------- 5

1 ------

0 5 2 3

02 12 --------------------------------------- 5

1 ------


170

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

2.

d

Pr

d

Ps

Como o ponto

P

eqüidista de

r

e

s

, conclui-se que

P

pertence auma das bissetrizes dos ângulos formados por

r

e

s

.

3.

a)

,

AB

-

⇒

y

0

Logo, uma equação geral da reta

,

AB

-

é:3

x

4

y

15

0.

b) A medida

d

da altura pedida é a distância entre

C

e

,

AB

-

:

d

1

4.

Sendo

P

(0,

a

) o ponto procurado, temos:

d

Pr

2

⇒

2, ou seja,

8

a

2

34

⇒

8

a

2

34 ou 8

a

2

34 e, portanto,

a

4

ou

a

Logo, há dois pontos possíveis:

P

(0, 4) e

P

’

[

0,

5.

eSendo

G

(

a

,

a

) um ponto genérico da bissetriz dos quadrantes ím-pares, vamos impor que

d

Gr

3:

3

⇒

a

12

15, ou seja,

a

12

15 ou

a

12

15 e, portanto,

a

3 ou

a

27Assim, os pontos (3, 3) e (

27,

27) distam 3 unidades da reta

r

.O ponto médio

M

do segmento com extremos nesses pontos é

ou seja,

M

(

12,

12).

6.

eConsideremos um ponto qualquer de uma das retas; por exemplo,atribuindo o valor zero à variável

y

da equação da reta

r

, obtém-se

x

5; logo, o ponto

A

(5, 0) pertence a

r

. A distância

d

entre

A

e

s

é a distância entre

r

e

s

.

d

7.

a)

b)

A

BEFG

BG

BE

6

4

24

A

BEC

4

A

CFD

2

A

DGB

9

c)

A

BCD

A

BEFG

(

A

BEC

A

CFD

A

DGB

)

24

(4

2

9)

9

d)

D

D

6

14

15

42

5

6

18

A

BCD

9

8. b

D 24

Logo, a área A do triângulo é dada por:

A 12

9. c

⇒ x 3 e y 4

⇒ x 1 e y 0

⇒ x 1 e y 0

Logo, os vértices do triângulo são os pontos (3, 4), (1, 0) e (1, 0).

A área A desse triângulo é dada por A em que,

D 8, isto é, A 4.

10. a

D 2k 19

Assim, temos:

e, portanto, k 3 ou k 22

11. a) D 0

Como D 0, concluímos que A, B e C são colineares.

b) D 22

Como D 0, concluímos que A, B e C não são colineares.

c) D 0

Como D 0, concluímos que A, B e C são colineares.

12. Os pontos A, B e C são colineares se, e somente se,

0, ou seja, x 1 ou x 8.

2 0 8 2

22 12 --------------------------------------- 10

5 ------------- 2 5

0 2 (8) 6

12 22 -------------------------------------------------- 10

5 ------------- 2 5

B(5, 0)

m 3 0 1 5 -----------------

3 4 ------

3

4 ------(x 5)

3 0 4 5 15

32 42 -------------------------------------------------- 5

5 ------

15 0 8 a 2

152 82 --------------------------------------------------

9

2 ------ .

9

2 ------] .

4a 3a 12

42 (3)2 -----------------------------------------

M [ 27 3

2-------------------------- , 27 3

2--------------------------] ,

5 3 0

12 32 ---------------------------- 10

2----------------

6

y

5

4

3

2

1

–1–1 1 2

B

E C F

D

G

3 4 5 6 7 8 9 x

–2

–2

BE EC 2

------------------------- 4 2 2

--------------

FD CF 2

------------------------- 1 4 2

--------------

GD BG 2

-------------------------- 3 6 2

--------------

1 2 1 1 2

3 6 1 3 6

7 5 1 7 5

18 2

------------------

1 3 1

3 7 1

0 10 1

D 2

----------- 24 2

------------

x y 1 0

2x y 2 0

x y 1 0

y 0

2x y 2 0

y 0

D 2

----------- ,

3 4 1

1 0 1

1 0 1

8 2

--------- 8 2

------

0 1 1

2 4 1

7 k 1

2k 19 2

--------------------------- 25 2

---------

1 2 1

0 5 1

2 1 1

1 7 1

0 1 1

4 3 1

1 4 ------ 4 1

1 2 ------ 3 1

5 4 ------ 0 1

x 4 1

2 9 1

0 x 1


171

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

13. eBastar impor a condição de não-alinhamento para os três pontos,ou seja,

0

Resolvendo esta inequação, obtemos k

14. a) 0 ⇒ x y 1 0

b) 0 ⇒ x y 2 0

c) 0 ⇒ x 2 0

d) 0 ⇒ y 2 0

15. a) x 3

A reta origem tem equação x 3.

b) y 4 0 ⇒ y 4

A reta origem tem equação y 4.

c) y x 5

A reta origem tem equação y x 5

d) 3x y 6 0 ⇒ y 3x 6

A reta origem tem equação y 3x 6

16.

Os pontos (x, y) que satisfazem (I) e (II) simultaneamente são ob-tidos pela intersecção dos semiplanos (I) e (II), isto é:

17. aA equação da reta que passa pelos pontos (30, 0) e (0, 15) é:

0 ou, ainda, y 15

Assim, a região em destaque representa as soluções do sistema:

ou, ainda,

18. Sendo P(a, 0), vamos impor que dPr 3, ou seja,

3 ⇒ 12a 3 39 e, portanto, a 3 ou

a

Logo, há dois pontos possíveis: P(3, 0) e

19. A reta r tem equação: 2x y 7 0. Os pontos do eixo das or-

denadas são do tipo P(0, a). Impondo que dPr temos:

⇒ a 7 1; logo, a 8 ou

a 6. Portanto, os pontos procurados são (0, 8) e (0, 6).

20. G(a, a 3) é um ponto genérico da reta s. Impondo que dGr 3, te-

mos:

3; logo, a ou a 1.

Portanto, os pontos procurados são e (1, 4).

21. A medida de cada lado desse quadrado é a distância entre as retasr e s. Atribuindo o valor zero (poderia ser um outro valor qual-quer) à variável x da equação da reta r, temos:

3 0 y 1 0 ⇒ y 1Logo, P(0, 1) r.

2 5 1

4 0 1

k 1 3 1

9 5 ------ .

x y 1

4 5 1

1 2 1

x y 1

2 0 1

6 8 1

x y 1

2 3 1

2 5 1

x y 1

1 2 1

4 2 1

y

x3

y

x

4

y

x5

–5

y

x2

6

y x (I)

y 2 x (II)

y

x1 2

2

1

x y 1

30 0 1

0 15 1

x

2 ------

x 0

y 0

y x 2 ------ 15

x 0

y 0

x 2y 30

12a 5 0 3

122 (5)2 ----------------------------------------------

7

2 ------

P’[7

2 ------ , 0] .

5 5

------------- ,

2 0 a 7

22 (1)2 --------------------------------------- 5

5-------------

5 a 12 (a 3) 4

52 (12)2 ------------------------------------------------------------------

71 7

---------

[ 71

7--------- , 50

7---------]


172

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Assim, a medida é dada por:

dPs

e, portanto, a área A do quadrado é:

A

22. AEFGH AEHF AHGF

32; logo, AEHF 16

45; logo, AHGF 22,5

Portanto, AEFGH 16 22,5 38,5

23. cSendo C(a, 0) o vértice que pertence ao eixo das abscissas, temos:

4 em que D 3a 7

Logo, 4 e, portanto, a 5 ou a

Assim, o ponto C é (5, 0) ou

24. a) Resolvendo os sistemas

obtemos as coordenadas dos pontos A, B

e C :A(3, 1), B(3, 1) e C (5, 5).

b) D 24

Logo, a área A do triângulo é: A 12.

25. As intersecções da reta r com os eixos Ox e Oy são e (0, 6),respectivamente. Temos:

Nos dois casos, a área A do triângulo limitado pela reta r e pelos

eixos coordenados é A

Devemos ter A 9, ou seja, 9 ⇒ a 2 ou a 2.

26. e

Podemos representar a P.A. (a, b , c) por com

r R, e, desse modo, temos:A(r b , 0), B(0, b) e C(b r, 0).

A área S do triângulo ABC é dada por

S em que D 2b2; logo,

S b ⇒ b e, portanto, b 1 ou b 0 (não convém)

27. AB BC é mínimo se, e somente se, A, B e C são colineares. Te-

mos que 0 ⇔ a 2

Logo, AB BC é mínimo se, e somente se, a 2.

28. a)

b)

c) O semiplano é formado por todos os pontos “abaixo” da reta

origem r : y x 2. Como não faz parte do gráfico, a reta r

deve ser representada por uma linha tracejada.

d) O semiplano é formado por todos os pontos que pertencem à

reta origem r : y 3x 9 ou estão “acima” dela. Como faz

parte do gráfico, a reta r deve ser representada por uma linha

contínua.

29. a) Representamos em um mesmo plano cartesiano cada um dos

semiplanos determinados pelas inequações x 4 e

3 0 1 2

32 12 --------------------------------------- 1

10 ----------------

[1

10 ----------------]

2 1 10 ---------

3 4 1

5 0 1

5 1 1

32 2

------------------

5 1 1

0 4 1

5 0 1

45 2

------------

D 2

----------- ,

2 1 1

3 2 1

a 0 1

3a 7 2

------------------------ 1

3 ------ .

[1

3 ------ , 0] .

y 1

y 2x 5;

y 1

x 2y 5 0;

y 2x 5

x 2y 5 0

3 1 1

3 1 1

5 5 1

24 2

------------------

[6

a ------ , 0]

6

6 6

a

x

Se a > 0 Se a 0

y

6a

x

y

| 6 a ------ | 6

2---------------------- 3 |

6 a ------ |

3 |6

a ------ |

(b r , b , b r ) ,a c

D 2

----------- ,

r b 0 1

0 b 1

b r 0 1

2b2 2

--------------------

1 3 1

a 7 1

a 2 1 1

y

xO 6

y

xO

2

y

xO

r

2

–2

y

O

x

r

3

–9


173

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

2x y 4 0. Os pontos comuns aos dois semiplanos for-

mam o conjunto solução do sistema:

b) Raciocinando como no item a, obtemos:

Sendo x e y as quantidades de litros do tipo A e do tipo B, respec-tivamente, a receita E obtida com a venda dessas quantidades é:

E 3x 3y

Relacionando as informações do enunciado, chegamos ao sistema:

cujas soluções são representadas pela região sombreada a seguir:

Demonstra-se que o máximo valor de E é obtido ao atribuir às va-riáveis x e y as coordenadas de um determinado vértice do polígo-no sombreado. Testamos cada um deles:(0, 0) ⇒ E 3 0 3 0 0(120.000, 0) ⇒ E 3 120.000 3 0 360.000(60.000, 90.000) ⇒ E 3 60.000 3 90.000 450.000(0, 120.000) ⇒ E 3 0 3 120.000 360.000Assim, o máximo valor de E é obtido no ponto (60.000, 90.000).Portanto, para que o fabricante obtenha a receita máxima, deveproduzir 60.000 L de óleo do tipo A e 90.000 L de óleo do tipo B.

1. a) (x 4)2 (y 7)2 82 ⇒ (x 4)2 (y 7)2 64

b) (x 0)2 (y 2)2 ⇒ x2 (y 2)2 7

c) (x 0)2 (y 0)2 52 ⇒ x2 y2 25

d) [x (4)]2 (y 1)2 ⇒ (x 4)2 (y 1)2

e) 5x [y 12 ⇒

⇒ [x [y 1

2. a) C(3, 1) e R 5

b) C(5, 0) e R

c) e R 3

3. a) R CA 5

b) ⇒ (x 3)2 (y 2)2 25

4. a) Como a circunferência é tangente aos eixos coordenados, te-mos que C eqüidista desses eixos e, portanto, C(4, 4) e R 4

b) ⇒ (x 4)2 (y 4)2 16

5. a) 2k 3 0 ⇒ k

b) 2k 3 0 ⇒ k

c) 2k 3 0 ⇒ k

6. aO centro O da circunferência é o ponto médio do segmento tMNu,ou seja, O(6, 1). O raio R da circunferência é a distância OM, ou

seja, R OM

Assim, a equação da circunferência C é (x 6)2 (y 1)2 10,ou ainda, x2 y2 12x 2y 27 0

7. O raio R é a distância entre o centro C e o eixo Oy, ou seja, R 4;logo, a equação da circunferência é: (x 4)2 (y 2)2 16, ouainda, x2 y2 8x 4y 4 0

8. a) Comparando essa equação comx2 y2 2ax 2by a2 b2 R2 0, temos:

⇒

Logo, C (1, 2) e R 3.b) Comparando essa equação com

x2 y2 2ax 2by a2 b2 R2 0, temos:

⇒

Logo, C(3, 0) e R

c) Dividimos por 4 ambos os membros:x2 y2 6x 2y 0Comparando essa equação comx2 y2 2ax 2by a2 b 2 R2 0, temos:

⇒

Logo, C(3, 1) e R

30. Tipo A(quantidade

por litro)

Tipo B(quantidade

por litro)

Óleo emestoque

(em litros)

Óleo de algodão 0,25 0,50 60.000

Óleo de amendoím 0,75 0,50 90.000

–4

x

y

40 5

–6

8

4

0 3 5 9 x

y

0,25x 0,50y 60.000

0,75x 0,50y 90.000

x 0

y 0

180.000

y

x

120.00090.000

60.000 120.000 240.000

Capítulo 31

s 7 d2

[1

3 ------]

2 1 9 ------

[1

3 ------]6

2 1 2 ------]

2

1 3 ------]

2 1 2 ------]

2

3

C [1

2 ------ , 5

2 ------]

(3 0) 2 (2 6)2

C (3, 2)

R 5

C (4, 4)

R 4

3 2 ------

3 2 ------

3 2 ------

(6 7) 2 (1 2)2 10

2a 2

2b 4

a2 b2 R2 4

a 1

b 2

R 3

2a 6

2b 0

a2 b2 R2 6

a 3

b 0

R 3

3 .

2a 6

2b 2

a2 b2 R2 0

a 3

b 1

R 10

10 .


174

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

9. a) x2 2x y2 8y 8 1 16 ⇒⇒ (x 1)2 (y 4)2 9Logo, C(1, 4) e R 3.

b) x2 y2 6y 4 9 ⇒ x2 (y 3)2 5

Logo, C(0, 3) e R

c) Dividimos por 12 ambos os membros:

x2 y2 x 2y 0

Assim, temos: x2 x y2 2y

1 ⇒ [x (y 1)2 1

Logo, e R 1.

10. Sendo C(a, 0), devemos impor que CA CB, ou seja,

ou ainda,

a2 8a 16 4 a2 12a 36 e, portanto, a 4Assim, o centro da circunferência é C(4, 0) e o raio é

R CA 2; logo, a equação dessa

circunferência é (x 4)2 (y 0)2 4, ou ainda,

x2 y2 8x 12 0

11. eAs equações das alternativas a, b e c não representam circunferên-cia, pois em uma equação normal os coeficientes de x2 e y2 sãoiguais e não-nulos; e o coeficiente de xy é zero.Na equação da alternativa d, temos:

x2 2x y2 4y 6 1 4

(x 1)2 (y 2)2 1, que representa o conjunto vazio.Na equação da alternativa e, temos:

x2 8x y2 7 16

(x 4)2 y2 9Essa equação representa a circunferência de centro (4, 0) e raio 3.

12. Inicialmente, representamos a equação na forma reduzida:(x2 2x) (y2 4y) k 3 ⇒ (x2 2x 1) (y2 4y 4) k 3 1 4, ou seja, (x 1)2 (y 2)2 k 2Logo, a equação representa uma circunferência se, e somente se,k 2 0, ou seja, k 2.

13. a) (1 2)2 (2 2)2 5; logo, P é interior à circunferência.b) 12 52 8 1 6 0; logo, P é exterior à circunferência.c) 42 (2)2 2 4 6 (2) 24 0; logo, P pertence à

circunferência.

14. a) Os pontos P(x, y) que satisfazem a inequação(x 4)2 (y 4)2 4 são todos os pontos do círculo de centro(4, 4) e raio 2.

b) Os pontos que satisfazem a inequação (x 4)2 (y 4)2 4são todos os pontos interiores ao círculo de centro (4, 4) eraio 2.

15. a) O centro C e o raio R de são:C(1, 2) e R 2

dCs 2

dCs R; logo, s é tangente a .

b) O centro C e o raio R de são:C(1, 4) e R 3

dCs

dCs R; logo, s é secante a .

c) O centro C e o raio R de são:C(1, 2) e R 1

dCs 2

dCs R; logo s é exterior a .

16. a) s ⇒ y 4 2(x 0)

Logo, uma equação geral da reta s é 2x y 4 0

b) O raio R da circunferência é a distância entre C e s, ou seja,

R dCs

Logo, a equação reduzida da circunferência é:(x 1)2 (y 1)2 5

17. a) Substituindo x e y por 7 e 9, respectivamente, na equação dacircunferência , obtemos uma sentença verdadeira:(7 3)2 (9 6)2 25Logo, P .

b) O centro é o ponto C(3, 6).

c) t ⇒ y 9 ou

ainda, t: 4x 3y 55 0

18. O centro C e o raio R de são C (1, 1) e R 3. Toda reta s, s / t,tem uma equação geral da forma 3x 4y k 0, com k R.

Devemos ter:dCs R

3

1 k 15k 14 ou k 16Portanto, as equações pedidas são:s : 3x 4y 14 0 e s’: 3x 4y 16 0

..........1 ..........16

..........9

5 .

1 4 ------

1 4 ------.......... ..........1

1

4 ------ 1

4 ------ 1

2 ------]

2

C [1

2 ------ , 1]

(a 4) 2 (0 2)2 (a 6) 2 (0 0)2 ,

(4 4)2 (0 2)2

..........1 ..........4

..........16

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2

–2

–1 0–1

1

2

3

4

5

6

1 2 x

y

C

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 –1 0–1

1

2

3

4

5

6

1 2 x

y

C

3 1 4 2 15

32 42 --------------------------------------------------

2 (1) 4 1

22 (1)2 -------------------------------------------------- 5

4 (1) 3 2 8

42 32 ----------------------------------------------------------

(0, 4)

ms4 0

0 2 ----------------- 2

2 1 1 4

22 (1)2 --------------------------------------- 5

5 ------------- 5

P(7, 9)

mt 1

mCP -------------

4 3 ------

4

3 ------(x 7) ,

3 (1) 4 1 k

32 42 ----------------------------------------------------------


175

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

19. a)


(x 1)2 (6 x)2 25

x2 2x 1 36 12x x2 25 0

2x2 10x 12 0

x2 5x 6 0

x 2 ou x 3Para x 2, a equação (I) nos dá y 4.Para x 3, a equação (I) nos dá y 3.Concluímos, então, que s a(2, 4), (3, 3)b.

b) O comprimento dessa corda é a distância entre os pontosA(2, 4) e B(3, 3), ou seja:

AB

20. a)

Substituindo (I) em (II), temos:(1 y)2 y2 2(1 y) 4y 3 0

1 y2 y2 2 4y 3 0

2y2 4y 2 0

y2 2y 1 0y 1Para y 1, a equação (I) nos dá x 0.Concluímos, então, que s a(0, 1)b.

b)

Substituindo (I) em (II), temos:(4 3y)2 y2 8(4 3y) 6y 22 0

16 9y2 y2 32 6y 22 0

10y2 6y 6 0

5y2 3y 3 0

Observando que (3)2 4 5 3 51, isto é, 0,concluímos que s .

21.

Substituindo I em II, obtemos:(x 3)2 (0 2)2 20; isto é, x2 6x 7 0;logo, x 7 ou x 1.Para x 7, a equação I nos dá y 0.Para x 1, a equação I nos dá y 0.Portanto, Ox a(1, 0), (7, 0)b.

22.

Observando que uma reta r de equação y k, com k R, é hori-zontal e passa pelo ponto (0, k), temos:a) r é exterior a se, e somente se, k 2 ou k 2.b) r é tangente a se, e somente se, k 2 ou k 2.c) r é secante a se, e somente se, 2 k 2.

23.

Substituindo (I) em (II), obtemos: x2 (mx)2 10x 16 0, ouainda, (m2 1)x2 10x 16 0 (note que essa equação é dosegundo grau para qualquer m real).A reta é secante à circunferência se, e somente se, 0, ou seja,

100 64(m2 1) 0 e, portanto, m

24. Sendo C(a, 0) o centro da circunferência, temos que:

CA 5 ⇒ 5, ou seja,

a2 16 25 e, portanto, a 3 ou a 3.Assim, há duas circunferências, e ’, possíveis:

⇒ (x 3)2 y2 25

e ’ ⇒ (x 3)2 y2 25

25. aSendo R o raio da órbita, temos:2 3,14 R 12.560 5 ⇒ R 10.000Logo, a equação da órbita é:(x 0)2 (y 0)2 10.0002 ⇒ x2 y2 108

26. O centro C é um ponto do tipo C(k, 2k 1), com k R.Impondo que CA CB, temos:

⇒ k 1

Logo:

⇒ : (x 1)2 (y 1)2 5

27. dIndicando por E, F e G os pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4), respectiva-mente, vamos obter as mediatrizes r e s dos segmentos tEFu e tFGu,respectivamente:• O ponto médio do segmento tEFu é M(2, 2). Como a reta ,EF - é ver-

tical, temos que a reta r é horizontal:

r ⇒ y 2 0(x 2) ou, ainda, y 2.

• O ponto médio do segmento tFGu é N(1, 4). Como a reta ,FG- éhorizontal, temos que s é a reta vertical que passa por N, ou seja,s: x 1.

A intersecção de r e s é o centro C da circunferência que passa porE, F e G; logo, C(1, 2).Concluindo, a distância entre C(1, 2) e O(0, 0) é dada por:

CO

28. Seja : x2 y2 2ax 2by a2 b2 R2 0a) Comparando com a equação x2 y2 10x 2y 22 0,

temos:

Substituindo I e II em III, encontramos:(5)2 (1)2 R2 22; logo, R 2.Portanto, C(5, 1) e R 2.

b) Comparando com a equação x2 y2 2y 5 0, temos:

Substituindo I e II em III, temos:

02 12 R2 5; logo, R

Portanto, C(0, 1) e R

c) Dividindo ambos os membros dessa igualdade por 3, obtemos:x2 y2 x 2y 1 0.

y 6 x (I)

(x 1) 2 y2 25 (II)

(3 2) 2 (3 4)2 2

x 1 y (I)

x2 y2 2x 4y 3 0 (II)

2y 2y

x 4 3y (I)

x2 y2 8x 6y 22 0 (II)

24y 24y

y 0 (I)

(x 3) 2 (y 2)2 20 (II)

2

y

x2

–2

–2

y mx (I)

x2 y2 10x 16 0 (II)

3

4 ------ 3

4 ------

(a 0) 2 (0 4) 2

C(3, 0)

R 5

C (3, 0)

R 5

(k 2) 2 (2k 1 3)2

(k 3) 2 (2k 1 2) 2

C(1, 1)

R CA (1 2) 2 (1 3) 2 5 ⇒

M (2, 2)

m 0

(1 0) 2 (2 0) 2 5

2a 10 ⇒ a 5 (I)

2b 2 ⇒ b 1 (II)

a2 b2 R2 22 (III)

2a 0 ⇒ a 0 (I)

2b 2 ⇒ b 1 (II)

a2 b2 R2 5 (III)

6 .

6 .


176

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Comparando essa equação com , temos:

Substituindo I e II em III, temos:

(1)2 R2 1; logo, R

Portanto, e R

29. a) x2 y2 10x 20y 121 0 ⇒⇒ (x2 10x) (y2 20y) 121Completando os quadrados perfeitos, obtemos:(x2 10x 25) (y2 20y 100) 121 25 100 ⇒⇒ (x 5)2 (y 10)2 4 e, portanto, C (5, 10) e R 2.

b) x2 y2 12x 0 ⇒ (x2 12x) y2 0Completando o quadrado perfeito, obtemos:(x2 12x 36) y2 0 36 ⇒ (x 6)2 y2 36Logo, C (6, 0) e R 6.

c) Dividindo ambos os membros da igualdade por 25, obtemos:

x2 y2 2y 0.

Completando os quadrados perfeitos, obtemos:

[x2 (y2 2y 1) 1 ⇒

⇒ [x (y 1)2 1.

Logo, e R 1.

30. a) A equação não representa uma circunferência, pois os coefi-cientes de x2 e y2 são diferentes.

b) (x2 2x) (y2 2y) 9 ⇒⇒ (x2 2x 1) (y2 2y 1) 9 1 1, ou seja,(x 1)2 (y 1)2 7; logo, a equação não representa umacircunferência.

c) (x2 8x) (y2 y) 10 ⇒

⇒ (x2 8x 16) [y2 y 10 16 ou

seja, (x 4)2 [y logo, a equação representa

uma circunferência.d) A equação não representa uma circunferência, pois o coefi-

ciente do produto xy é diferente de zero.

31. a) O gráfico é formado pela circunferência: (x 3)2 (y 5)2 4 e por todos os pontos interiores a .

b) O gráfico é formado apenas pelos pontos exteriores à circun-ferência : x2 y2 4x 8y 11 0.

32. a) A região afetada pelo terremoto é representada pelo círculo decentro E(3, 0) e raio R 5.

b) (x 3)2 y2 25

33. a) x[100 y[50 30.250 ⇒

⇒ (x 500)2 (y 250)2 10.000A representação das soluções dessa inequação no plano carte-siano, para x 600 e y 350, é:

b)

34. dA circunferência tem centro C(2, 2) e raio R 1. Para que a reta s:mx y 1 0 seja tangente a essa circunferência, devemos terdCS R, ou seja,

1 ⇒ 2m 1

Quadrando ambos os membros, temos:

(2m 1)2 m2 1 e, portanto, m 0 ou m

2a 1 ⇒ a 1 2 ------ (I)

2b 2 ⇒ b 1 (II)

a2 b2 R2 1 (III)

[1

2 ------]

2 1 2 ------ .

C[1

2 ------ , 1]

1 2 ------ .

2 5 ------x 1

25 ---------

2 5 ------x 1

25 ---------]

1 25 --------- 1

25 ---------

1 5 ------]

2

C[1

5 ------ , 1]

1 4 ------]

1 4 ------ ,

1 2 ------]

2 25 4

--------- ;

y

x

5C

10 3

y

x520

C–4

–1 1–1

1

2

3

4

5

6

y

x

–2

–3

– 4

–5

–6

0–2 2 3 4 5 6 7 8 9

E

x 10 ---------]

y 10 ---------]

350

250

500 600 x

y

350

250

500 600 x

y

m 2 2 1

m2 (1)2 ----------------------------------------- m2 1

4 3 ------ .


177

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

35. A circunferência tem centro C(0, 0) e raio R 1. Todas as retasdo plano cartesiano, paralelas à reta r: x y 0, podem ser repre-sentadas por s: x y k 0, com k R. Para encontrar os va-lores de k de modo que s seja tangente à circunferência, impomos

que dCS R, ou seja, 1 e, portanto, k

Logo, as equações pedidas são:

x y 0 e x y 0.

36. A reta r, tangente à circunferência em T, é perpendicular à reta ,OT -.Assim, temos:

r ⇒ y 2 2(x 4)

Logo, a equação reduzida de r é y 2x 10.

37. a)

Substituindo I em II, obtemos: (3 y 1)2 (y 4)2 20,isto é, y2 2y 0; logo, y 0 ou y 2.Para y 0, a equação I nos dá x 3.Para y 2, a equação I nos dá x 5.Concluímos, então, que s a(3, 0), (5, 2)b.

b)

Substituindo I em II, obtemos:(2y 1)2 y2 4y 1 0; ou seja, 5y2 0; logo, y 0.Para y 0, a equação I nos dá x 1.Concluímos, então, que s a(1, 0)b.

c)

Substituindo I em II, obtemos:(x 3)2 (2x 1 2)2 2, ou seja,x2 6x 9 4x2 4x 1 2 0, ou ainda,5x2 10x 8 0. Observando que (10)2 4 5 8 60, isto é, 0, concluímos que s .

d)

Substituindo I em II, obtemos:

x2 (3x)2 8x 2 3x 8 0; ou seja, 10x2 2x 8 0,

ou ainda: 5x2 x 4 0; logo, x 1 ou x

Para x 1, a equação I nos dá y 3.

Para x a equação I nos dá y

Concluímos, então, que s (1, 3),

38.

Substituindo I em II, obtemos:02 y2 10 0 2y 22 0, ou seja, y2 2y 22 0.Observando que (2)2 4 1 22 84, ou seja, 0,concluímos que Oy .

39.

Substituindo I em II, obtemos:(2 y)2 y2 8 (2 y) 2y 12 0 ⇒ y 0 ou y 3.

Para y 0, a equação I nos dá x 2.Para y 3, a equação I nos dá x 5.Assim, A(2, 0) e B(5, 3).Sendo r a mediatriz de tABu, temos:

r ⇒ y ou seja,

a equação da mediatriz de tABu é r : x y 5 0.O centro C da circunferência é C(4, 1) e pertence à retax y 5 0, pois 4 1 5 0.

1.

Logo, r 0, s 3, t 3,14, u e v 4 2i.

2. a) Para x 1, temos:z1 (1 1) (12 1)i 0 0i 0z2 (1 1) (1 1)i 2 0i 2Logo, ambos são números reais.

b) Para x 1, temos:z1 (1 1) [(1)2 1]i 2 (1 1)i 2 0i 2z2 (1 1) (1 1)i 0 2i 2iLogo, z1 é número real e z2 é imaginário puro.

3. Devemos ter: ou seja,

e, portanto, x 2

4. Devemos ter k2 9 0 e, portanto, k 3.

5.

Substituindo (II) em (I), temos:3b 2 2b 3 ⇒ b 5Substituindo b por 5 em (I) ou (II), obtemos a 13.

6. I. V, pois todo número real a pode ser representado por a 0iII. F, pois números complexos com parte imaginária não-nula não

são reais.III. F, pois R C e, portanto, C R RIV. V, pois os números complexos que não são reais são aqueles

que têm a parte imaginária não-nula.V. F, pois dois números complexos conjugados têm a mesma

parte real e partes imaginárias opostas.VI. V, pela justificativa do item anterior.

7. a) z2 z3 3 5i 7 i 4 6ib) z1 z .3 z4 8 7 i (2i) 15 ic) Temos que z4 z2 2i (3 5i) 3 7i; logo,

Tz4 T z2 (z3 z1) 3 7i (7 i 8) 12 6i

8. a) z1 z2 (2 5i) 5 10 25ib) z1 z3 (2 5i) 4i 8i 20i2 20 8ic) z1 z .4 (2 5i)(4 2i) 8 4i 20i 10i2 2 24id) z2 z3 z4 5 4i 4 2i 4 18ie) z3 z4 z2 z1 4i(4 2i) 5(2 5i)

16i 8i2 10 25i 2 9i

0 0 k

12 12 ------------------------------- 2 .

2 2

T (4, 2)

mr 1

mOT ------------- 2

x 3 y (I)

(x 1) 2 (y 4) 2 20 (II)

x 2y 1 (I)

x2 y2 4y 1 0 (II)

y 2x 1 (I)

(x 3) 2 (y 2) 2 2 (II)

y 3x (I)

x2 y2 8x 2y 8 0 (II)

4

5 ------ .

4

5 ------ ,

12 5 ------ .

[4

5 ------ , 12

5---------].

x 0 (I)

x2 y2 10x 2y 22 0 (II)

x 2 y (I)

x2 y2 8x 2y 12 0 (II)

M[7

2 ------ , 3

2 ------]

mr 1

m ,AB - -------------- 1

3 2 ------ 1[x 7

2 ------] ,

Capítulo 32

4 – 2i

3,14

–3 Ωnœ

®C

0

2

2

x2 4 0

x 2 0,

x 2

x 2

a 2b 3 (I)

a 3b 2 (II)


178

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

9. a)

b)

c)

d) (z1)1

e) Temos que

2i; logo, z2

2i (5 i) i

10. z 4a ai 16i 4i2 ⇒ z 4a 4 (16 a)iO número z é um imaginário puro se, e somente se,

⇒ e, portanto, a 1

11. De acordo com a sugestão, temos:4(x yi) (x yi) 6 9i4x 4yi x yi 6 9i3x 5yi 6 9i

x 2 e y

z 2

12. z ⇒

⇒ z

O número z é real se, e somente se, 0, ou seja, a 2.

13. Os números z e w são inversos entre si se, e somente se,z w 1, ou seja,

1 0i, ou ainda,

i 1 0i.

Portanto: ⇒

Concluímos que: a

14. De acordo com a sugestão, temos:

tz1 t t z2

(a c) (b d)i (a b i) (c d i) z .1 z .2

15. a) z2 (2i)2 4i2 4

b) z3 (2i)3 8i3 8 (i) 8i

c) z1 (2i)1

d) z8 (2i)8 28 i8 256

e) w2 (1 i)2 1 2 1 i i2 1 2i 1 2i

f) w3 (1 i)3 (1 i)2 (1 i) 2i(1 i)

2i 2i2 2 2i

g) w1 (1 i)1

h) w8 (1 i)8 [(1 i)2]4 [2i]4 16 i4 16

16. a) z8 z3 z5 (2 2i)(4 4i) 8 8i 8i 8i2 16

b) z2 z5 : z3

2i

c) z6 sz3d2 ( 2 2i)2 4 8i 4i2 8i

17.

i35 i73 i962 i3 i1 i2

i i 1 1 2

18. Para que essa igualdade ocorra, o número n 21 deve ser múltiplode 4; logo, o menor número natural n possível é 3.

19. a) (w1)2

2 i 2 4i 2 4i

(w2)2 4i

Logo, w1 e w2 são raízes quadradas de 4i.

b) Sendo w a b i, com a, b R, uma das raízes quadradasde 2i, temos:

w2 z

(a b i)2 2i

a2 b2 2ab i 0 2i

Substituindo (II) em (I):

b2 0

b4 1b 1Substituindo b por 1 em (II), temos a 1;Substituindo b por 1 em (II), temos a 1.Concluímos, então, que as raízes quadradas de 2i são w1 1 i e w2 1 i.

z4 z1

-------- 5 4 3i -------------------- 5(4 3i)

(4 3i) (4 3i) --------------------------------------------- 20 15i

25--------------------------

4 5 ------ 3i

5---------

z4 z2

-------- 5 5 i ---------------- 5(5 i)

(5 i) (5 i) --------------------------------------

25 5i 26

----------------------- 25 26 --------- 5i

26---------

z3 z1

-------- 2i 4 3i -------------------- 2i(4 3i)

(4 3i) (4 3i) --------------------------------------------- 8i 6i2

25

------------------------

6 25 --------- 8i

25---------

1 4 3i -------------------- 1(4 3i)

(4 3i )(4 3i) --------------------------------------------- 4 3i

25--------------------

4 25 --------- 3i

25 ---------

z1 z3

-------- 4 3i 2i

-------------------- (4 3i)(2i) (2i)(2i)

----------------------------------------

8i 6i2 4

----------------------------- 3 2 ------

z1 z3

--------

3 2 ------

7 2 ------

4a 4 0

16 a 0

a 1

a 16

3x 6

5y 9

9 5 ------

9i 5

---------

(1 i) (a 2i) (a 2i)(a 2i) ---------------------------------------------- a 2i ai 2i2

a2 4

------------------------------------------------

a 2

a2 4 ------------------- (a 2)i

a2 4------------------------

a 2

a2 4 -------------------

(1 2i)[1

5 ------ ai]

[1

5 ------ 2a] [a 2

5 ------]

1 5 ------ 2a 1

a 2 5 ------ 0

a 2

5 ------

a 2

5 ------

2

5 ------

(a bi) (c d i)

(a c) (b d )i

1 2i --------- i

i -----------

i 2 ------

1 1 i ---------------- 1 i

1 i ---------------- 1 i

12 i2

--------------------

1 2 ------ i

2 ------

4 4i 2 2i -------------------- (4 4i) (2 2i)

(2 2i) (2 2i)--------------------------------------------

8 8i 8i 8i2

8------------------------------------------------

835 43 18

73 41 240

962 42 20

80 40

1

i80 --------- 1

i0 -------

s 2 i 2 d2

s 2 d2

2 2 si 2 d2

fs 2 i 2 dg2

s 2 i 2 d2

a2 b2 0 (I)

2ab 2 ⇒ a 1 b ------ (II)

1

b2 --------


179

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

20.

21.

Fazendo

z

x

y

i, com

x

,

y

R

, temos:

x

y

i

(

x

y

i)(

x

y

i)

16

x

2

y

2

16

Assim, o L.G. é a circunferência de centro

C

(0, 0) e raio

R

4.

22.

a) O lugar geométrico das imagens dos números complexos

z

1

y

i, com

y

R

, é a reta vertical

r

que passa pelo ponto

(1, 0):

b) O lugar geométrico das imagens dos números complexos

z

x

4i, com

x

R

, é a reta horizontal

s

que passa pelo pon-

to (0, 4):

c) O lugar geométrico das imagens dos

números complexos

z

x

y

i, com

x

,

y

R

e

y

x

,

é a reta

t

, bissetriz dos quadrantes

ímpares:

23.

a)

z

1

15

b)

z

2

c)

z

3

4

d)

e)

z

1

z

2

z

1

z

2

f)

(

z

2

)

4

z

2

4

2

2

4

24.

Há apenas dois números reais quetêm módulo igual a 6, são eles:6 e

6.

25.

Há infinitos números complexos que têm módulo igual a 6; seus

afixos formam a circunferência de centro (0, 0) e raio 6.

26.

a) Fazendo

z

x

y

i, com

x

,

y

R

, temos:

z

3

i

5

⇒

x

y

i

3

i

5

(

x

3)

(

y

1)i

5

5

(

x

3)

2

(

y

1)

2

25

Concluímos, então, que o L.G. é a circunferência de centro

C

(3,

1) e raio

R

5.

5

4

3

2

1

–1–1 0–2–3– 4

z4

z6

z5

z3

z1

z2

– 5– 6 6 Re

Im

54321

–2

– 3

– 4

16 x yi -------------------

4

3

2

1

–1–1 0–2–3–4–5–6 6 Re

Im

54321

–2

–3

–4

1 Re

Im r

4

Re

Im

s

45°

Re

Im

t

92 122 81 144 225

12 12 2

02 (4)2 16

z4

z2 --------

z4 z2

----------- (2)2 02

12 12

--------------------------------------

4

2 ------------- 2

2 ------------- 2 2

2---------------- 2

15 2

s 2 d4

24

6–6 Re

Im

6

6

– 6

– 6

Re

Im

(x 3)2 (y 1)2

5

4

3

2

1

–1–1 0–2–3–4–5–6 6 7 8 Re

C

Im

54321

–2

–3

–4

–5

–6


180

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

b) z1 3 i 1 2i 3 i 4 3i

5

Logo, a imagem de z1 pertence a esse lugar geométrico.

z2 3 i 3i 3 i 3 4i

5

Logo, a imagem de z2 pertence a esse lugar geométrico.

z3 3 i 8 3 i 5 i

Logo, a imagem de z3 não pertence a esse lugar geométrico.

27. bz 10 4i 15i 6i2 16 11i; logo, z . 16 11i

28. a) (x yi) (1 i) x xi yi yi2 x y (x y)i

b) x y (x y)i 2 0i ⇒ e, portanto,

x 1 e y 1.

29. a) Sendo z x yi, com x, y R, temos:4(x yi) 3(x yi) 3 14i ⇒⇒ x 7yi 3 14i e, portanto,x 3 e y 2.Logo: z 3 2i

b) Sendo z x yi, com x, y R, temos:(x yi)i (x yi)(3 i) 4 6i ⇒ 3x 2y 3yi 4 6i e, portanto, x 0 e y 2.Logo: z 2i

30. aIndicando por z o número complexo dado, temos:

z

2i

Logo: z . 2i

31. z

O número z é real se, e somente se, 0 e, portanto,

k 10

32. bz5 z3 ⇒ 1 e, portanto, z2 1

33. ePotências de bases opostas e mesmo expoente par são iguais, ouseja, zn (z)n, ∀ z C e n par. Logo,

(2 i)101 100 (i 2)50 49 (2 i)(i 2)

2i 4 i2 2i 5

34. cIndicando por z a expressão (a i)4, temos:z (a i)2 (a i)2 (a2 2ai 1)(a2 2ai 1) a4 2a3i a2 2a3i 4a2i2 2ai a2 2ai 1 a4 a2 4a2 a2 1 (2a3 2a3 2a 2a)i a4 6a2 1 (4a3 4a)iO número z é real se, e somente se, 4a3 4a 0 e,portanto, a 0 ou a 1 ou a 1.

35. e

(1 i)10 a ⇒ [(1 i)2]5 a, ou seja, [1 2i 1]5 a e,

portanto, a 32i

36. c

Logo, i2.002 i2.001 i2 i1 1 i

37. Sendo w a b i, com a, b R, uma das raízes quadradas de

z, devemos ter:

w2 z, ou seja,

(a b i)2 8i ⇒ a2 b2 2ab i 0 8i e, portanto,

⇒

Substituímos (II) em (I):

b2 0 ⇒ b 2 ou b 2

Substituindo b por 2 em (II), temos a 2.

Substituindo b por 2 em (II), temos a 2.

Concluímos, então, que as as raízes quadradas de 8i são

w1 2 2i e w2 2 2i

38. Sendo z x yi, com x, y R, temos:

(x yi) i (x yi)(1 i) 10i (x yi) ⇒ 0 (10 2y)i

e, portanto, y 5.

Logo, o lugar geométrico das imagens dos complexos z é a reta ho-

rizontal de equação y 5:

39. a) 8 15i 17

b) 1 3i

c) 6i 6

d) 4 4

40. z 3 4i 1 i 6 8i 6i

5 10 6

41. b

1

42. b

(1 3i)4 1 3i4 100

43. Sendo z x yi, com x, y R, temos:

x yi 3i 4 ⇒ x (y 3)i 4 e, portanto,

4 ou, ainda, x2 (y 3)2 16.

(4)2 32

(3)2 42

52 12 26

x y 2

x y 0

(1 i) (1 i) (1 i)(1 i) ---------------------------------------- (1 i) (1 i)

(1 i)(1 i) --------------------------------------

1 2i i2

12 i2

------------------------------- 1 2i i2

12 i2

-------------------------------

(5 i) (k 2i) (k 2i)(k 2i) --------------------------------------------- 5k 10i k i 2i2

k2 4------------------------------------------------------

5k 2

k2 4--------------------- (10 k)i

k2 4---------------------------

10 k

k2 4--------------------

z5

z3 --------

(2 i)101 (2 i)

50

(2 i)100 (i 2)49

-------------------------------------------------------- (2 i)

101

(2 i)100

-------------------------- (i 2)50

(i 2)49

-------------------------

22.002 4

500 12.001 4

500

a2 b2 0

2ab 8

a2 b2 0 (I)

a 4 b ------ (II)

[ 4 b

------]2

Im

Re

–5

82 152

12 (3)2 10

02 62

(4)2 02

32 (4)2 (1)2 12

(6)2 (8)2

02 62 2 300 2

i 3

3 i ----------------------

i 3

3 i -------------------------- s 3 d

212

s 3 d2

(1)2 ------------------------------------------------- 2

2 ------

s 12 32 d4

( 10 )4

x2 (y 3)2


181

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Logo, o lugar geométrico das imagens dos números complexos zé a circunferência de centro C(0, 3) e raio R 4:

44. Sendo z x yi, com x, y R, temos:x yi 2 x yi 3 ⇒

⇒ 3, ou seja, 1

ou, ainda, x2 y2 1.Logo, o lugar geométricodas imagens dos númeroscomplexos z é a circunfe-rência de centro C(0, 0) eraio R 1:

45. bSendo z x yi, com x, y R, temos que:x yi 5 5i 3 ⇒ x 5 (y 5)i 3 e, portanto,

3 ou, ainda,

(x 5)2 (y 5)2 9.Logo, a trajetória do projétil A é a circunferência de centro C(5, 5)e raio R 3:

O ponto dessa trajetória, mais próximo de O, pertence à reta ,CO -,cuja equação é obtida por:

,CO - ⇒ y 0 1(x 0) ou, ainda, y x.

Logo, a trajetória do projétil B é formada por imagens de númeroscomplexos w x yi, com x, y R e y x.

1. a) Resposta possível: n 3b) Resposta possível: n 2

2.

De (I), temos k 3 ou k 3 e de (II), temos k 3 ou k 0.Apenas a raiz 3 é comum a (I) e (II); logo, P(x) é identicamentenulo se, e somente se, k 3.

3.

De (I), temos m 1 ou m 1; de (II), temos m 1.Assim, apenas o número 1 satisfaz (I) e (II) simultaneamente;logo, P(x) tem grau 3 se, e somente se, m 1.

4. a) P(0) 4 03 5 02 0 3 3

b) P(1) 4 13 5 12 1 3 11c) P(2) 4 (2)3 5 (2)2 (2) 3 7d) P(i) 4 i3 5 i2 i 3 2 5i

5. Sendo P(x) ax2 bx c, temos:

⇒

⇒

Substituindo (I) em (II) e (III), temos:

⇒ a 3 e b 2

Logo P(x) 3x2 2x 1 e, portanto:P(2) 3 22 2 2 1 15

6. a) Fazendo P(x) 0, temos:3x2 2x 1 0 (2)2 4 3 (1) 16

x ⇒ x 1 ou x

Concluímos, então, que as raízes de P(x) são 1 e

b) Fazendo P(x) 0, temos:x2 1 0 ⇒ x2 1 e, portanto, x i ou x iConcluímos, então, que as raízes de P(x) são i e i.

7. bSeja P(x) anx

n an 1xn 1 an 2x

n 2 ... a0 tal quean an 1 an 2 ... a0 0.

Calculando P(1), temos:P(1) an 1

n an 1 1n 1 an 2 1

n 2 ... a0 ⇒⇒ P(1) an an 1 an 2 ... a0

Por hipótese, temos que a soma dos coeficientes de P(x) é zero.Logo, P(1) 0, isto é, 1 é raiz de P(x).

8. P(x) Q(x) ⇔ e, portanto, a 6 e b 2.

9. P(x) Q(x) ⇔

e, portanto, a 4, b 3 e c 5.10. a) A(x) B(x) 6x3 2x2 4x2 3x 5x 1; logo,

A(x) B(x) 6x3 6x2 2x 1b) A(x) B(x) 6x3 2x2 3x (4x2 5x 1); logo,

A(x) B(x) 6x3 2x2 8x 1c) 4 A(x) 4 (6x3 2x2 3x); logo,

4 A(x) 24x3 8x2 12xd) B(x) C(x) (4x2 5x 1) (9x 2)

36x3 8x2 45x2 10x 9x 2; logo, B(x) C(x) 36x3 37x2 19x 2

e) [C(x)]2 (9x 2)2 81x2 36x 4f) 2A(x) 3B(x) 2 (6x3 2x2 3x) 3 (4x2 5x 1)

12x3 4x2 6x 12x2 15x 3; logo,2A(x) 3B(x) 12x3 8x2 21x 3

g) A(x) C(x) B(x) (6x3 2x2 3x) (9x 2) 4x2 5x 1 54x4 12x3 18x3 4x2 27x2 6x 4x2 5x 1logo, A(x) C(x) B(x) 54x4 6x3 27x2 11x 1

3

7

Im

Re–1

C

x2 y2 2 x2 y2 x2 y2

Im

Re–1

1

1

–1

C

(x 5)2 (y 5)2

Im

Re

5

0 5

8

C

O(0, 0)

mCO5 0

5 0 ----------------- 1

Capítulo 33

k2 9 0 (I)

k2 3k 0 (II)

m2 1 0 (I)

m 1 0 (II)

a 02 b 0 c 1

a 12 b 1 c 4

a (1)2 b (1) c 0

c 1 (I)

a b c 4 (II)

a b c 0 (III)

a b 1 4

a b 1 0

2 16 6

--------------------------- 1

3 ------

1

3 ------ .

a 4 a 2b

a 3b 0

2 c a b

2a (b 5)

a 4 0


182

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

11.

eA identidade é equivalente a:

x

3

1

x

3

(

a

1)

x

2

(

b

a

)

x

b

Assim, temos:

⇒

a

1 e

b

1

12.

eA alternativa

e

pode ser falsa, pois os coeficientes dos termos demaior grau de

Q

(

x

) e

T

(

x

) podem ser opostos.

13.

a)

Portanto,

Q

(

x

)

3

x

4

2

x

3

x

3 e

R

(

x

)

2

x

6.

b)

Portanto,

Q

(

x

)

2

x

2

8 e

R

(

x

)

27

x

2

28

x

14.

c)

Portanto,

Q

(

x

)

x

3

x

2

x

1 e

R

(

x

)

0.

14.

a

P

(

x

)

(

x

2

1)(

x

2

x

1)

(

x

1)

⇒

P

(

x

)

x

4

x

3

2

15.

Substituindo II em I, obtemos

a

a

3

⇒

a

e, portanto,

b

16.

d

⇒

⇒

e, portanto,

ou seja,

a

5 e

b

7.

Analisando as alternativas, constatamos que a correta é a

d

, pois7

5

12.

17.

a) O resto é

P

(2), ou seja:

P

(2)

3

2

4

2

2

3

1

33b) O resto é

P

(

1), ou seja:

P

(

1)

(

1)

3

6

(

1)

2

5

(

1)

10

0

c) O resto é ou seja:

32

8

1

18.

eO resto da divisão de

P

(

x

) por

x

1 é igual a

P

(

1). Assim, te-mos:

P

(

1)

4 ⇒ 3 (1)5 2 (1)4 3k (1)3 (1) 1

4 e, portanto, k

19. dOs restos das divisões de P(x) por x 1 e por x 1 são, respecti-vamente, iguais a P(1) e P(1). Assim, temos:

⇒ e, portanto,

p 1 e q 6.

20. ef(x) (x2 2x 1)(x 2) 1.O resto R da divisão de f(x) por x 1 é igual a f(1), ou seja,R f(1) [(1)2 2 (1) 1](1 2) 1 11

21. Se P(x) ax2 bx c, com a, b , c C, então:P(2) 3 ⇒ 4a 2b c 3.P(3) 10 ⇒ 9a 3b c 10.P(4) 21 ⇒ 16a 4b c 21.

Resolvendo o sistema:

temos:

Da equação III, obtemos a 2;Substituindo a por 2 em II, obtemos b 3;Substituindo a por 2 e b por 3 em I, obtemos c 1.Logo, P(x) 2x2 3x 1.

22. Temos:P(3) 34 4 33 4 32 4 3 3 81 108 36 12 3 0P(i) i4 4 i3 4 i2 4 i 3 1 4i 4 4i 3 0Como P(3) 0 e P(i) 0, concluímos, pelo teorema de D’Alem-bert, que P(x) é divisível por x 3 e por x i.

23. eO polinômio f(x) é divisível por x 3 se, e somente se, f(3) 0.Assim, temos:

33 4 32 m 3 5 0 ⇒ m

a 1 0

b a 0

b 1

3x6 13x5 8x4 13x3 8x2 23x 12 x2 5x 6

3x6 15x5 18x4 3x4 2x3 x 3

2x5 10x4 13x3 8x2 23x 12

2x5 10x4 12x3

x3 8x2 23x 12

x3 5x2 6x

3x2 17x 12

3x2 15x 182x 6

2x5 6x4 0x3 x2 4x 2 x3 3x2 4x 2

2x5 6x4 8x3 4x2 2x2 8

8x3 3x2 4x 2

8x3 24x2 32x 16

27x2 28x 14

x4 0x3 0x2 0x 1 x 1

x4 x3 x3 x2 x 1

x3 0x2 0x 1

x3 x2

x2 0x 1

x2 x

x 1

x 1

0

a(x 3) b(x 3) (x 3)(x 3)

-------------------------------------------------------- 3x x2 9 -------------------

ax 3a bx 3b

x2 9----------------------------------------------------- 3x

x2 9 -------------------

(a b) x 3a 3b

x2 9------------------------------------------------------- 3x

x2 9 -------------------

a b 3

3a 3b 0

a b 3 (I)

a b (II)

3 2 ------

3 2 ------ .

2x 1 (x 2) (x 3) ----------------------------------------- a(x 3) b(x 2)

(x 2 )(x 3)--------------------------------------------------------

2x 1 (x 2)(x 3) ----------------------------------------- (a b) x 3a 2b

(x 2) (x 3)-------------------------------------------------------

a b 2

3a 2b 1

P[1

2 ------] ,

P[1

2 ------] [

1 2 ------]

4

[1

2 ------]

3

[1

2 ------]

2 1 4 ------

7

3 ------ .

P(1) 4

P(1) 8

(1)3 p (1) q 4

13 p 1 q 8

c 2b 4a 3

c 3b 9a 10

c 4b 16a 21

c 2b 4a 3

c 3b 9a 10

c 4b 16a 21

1

c 2b 4a 3

b 5a 7

2b 12a 18

2

c 2b 4a 3

b 5a 7

2a 4

(I)

(II)

(III)

14 3

---------


183

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

24.

a 4 e b 1

25. P(x) é divisível por x 1 se, e somente se, P(1) 0, ou seja,(1)n 1 0 e, portanto, (1)n 1. Esta igualdade é satisfeitapara qualquer número par n do universo considerado.

Logo, Q(x) 6x3 11x2 25x 51 e R 100.

Logo, Q(x) 2x4 2x3 3x2 3x e R 1.

Logo, Q(x) x3 3x2 9x 27 e R 0.

Logo, o quociente Q(x) e o resto R da divisão de P(x) por x 1 são:Q(x) x4 x3 x2 x 1 e R 0

Como P(x) Q(x) (x 1) R, concluímos:P(x) (x4 x3 x2 x 1)(x 1)

28. Como P(1) 0, concluímos que P(x) é divisível por x 1. Sen-do Q(x) o quociente dessa divisão, temos:

ou seja, Q(x) x6 x5 x4 x3 x2 x 1 e, portanto:P(x) (x 1)(x6 x5 x4 x3 x2 x 1)

29. a) (com x 1)

Inicialmente, dividimos E(x) por x 1, obtendo o quocienteQ1(x) e o resto R1:

Q1(x) x4 x3 2x2 x 1 e R1 2; logo,

Q(x) e

R R1 2

b) [com x

Inicialmente dividimos E(x) por x obtendo o quociente

Q1(x) e o resto R1:

Q1(x) 6x2 3x e R1

Q(x) 3x2 e R R1

c) (com x 2)

Inicialmente, dividimos E(x) por x 2, obtendo o quocienteQ1(x) e o resto R1

Q1(x) x5 2x4 4x3 8x2 16x 32 e R1 63;

logo, Q(x) x5 2x4 4x3 8x2 16x 32

e R R1 63

30. a) A raiz do polinômio D(x) é logo, o resto R da divisão de

P(x) por D(x) é dado por:

R 9 3 1 ⇒ R 1

b) A raiz do polinômio D(x) é logo, o resto R da divisão

de P(x) por D(x) é dado por:

R 16 2 3 ⇒ R 1

c) A raiz do polinômio D(x) é i; logo, o resto R da divisão de P(x)por D(x) é dado por:R P(i) 2i5 3i4 1 ⇒ R 2i 2

31. ⇒ 3

Multiplicando por 16 ambos os membros, temos:1 4k 48 45k 1

32. A raiz do binômio 3x 2 é Para mostrar que P(x) é divisível

por 3x 2, basta verificarmos que 0.

Temos:

27 9 3 14

8 4 2 14 0

Logo, P(x) é divisível por 3x 2.

33. Devemos ter P(2) 0, ou seja:25 4 23 3 2 k 0 ⇒ k 58

34. bSendo P(x) x3 bx2 cx d , temos:

⇒

26. a) 2 6 1 3 1 2

6 11 25 51 100

b) 1 2 0 1 0 3 1

2 2 3 3 0 1

c) 3 1 0 0 0 81

1 3 9 27 0

27. 1 1 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 0 3 1 0 1

1 1 2 1 1 2

P(2) 0

P(1) 0

(2)3 a (2)2 b (2) 6 0

13 a 12 b 1 6 0

4a 2b 14

a b 5

E (x) 3x 3 --------------------- E (x)

3(x 1) --------------------------

E (x) x 1 -----------------

3---------------------

Q1(x) 3

------------------ x4 3

-------- x3 3

-------- 2x2 3

------------ x 3 ------ 1

3 ------

E (x) 2x 1 --------------------- E(x)

2[x 1 2 ------ ]

------------------------------

E(x)

x 1 2 ------

---------------------

2-------------------------- 1

2 ------]

1 2 ------ ,

6 0 2 2

6 3

2 1 0 0 0 0 0 1

1 2 4 8 16 32 63

1 2 ------

7 2 ------ 15

4---------

7 2 ------ 15

4--------- ;

Q1(x) 2

------------------ 3x 2

---------- 7 4 ------ 15

4---------

E (x) 2 x ----------------- E(x)

(x 2) ----------------------------

E (x) x 2 -----------------

1---------------------

Q1(x) 1

------------------

1 3 ------ ;

P[1

3 ------] [

1 3 ------]

3

[1

3 ------]

2

1

2 ------ ;

P[1

2 ------] [

1 2 ------]

4

[1

2 ------]

P[1

4 ------]

45 16

--------- 1 16 --------- k

4 ------ 45

16---------

2 3 ------ .

P[2

3 ------]

P[2

3 ------] [

2 3 ------]

3

[2

3 ------]

22

3 ------

P[2

3 ------]

P(1) 0

P(2) 0

P(3) 30

13 b 12 c 1 d 0

23 b 22 c 2 d 0

33 b 32 c 3 d 30


184

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Resolvendo o sistema obtemos

b

9;

c

34 e

d

24.Assim,

P

(

x

)

x

3

9

x

2

34

x

24 e, portanto,

P

(

1)

(

1)

3

9

(

1)

2

34

(

1)

24

66

35.

e

P

(1)

0

⇒

k

1

3

2

1

2

0, ou seja,

k

4.Logo,

P

(

1)

4

(

1)

3

2

(

1)

2

4

36.

(3

ab

)

x

4

(

a

b

6)

x

2

11

x

4

4

x

2

⇒

⇒

ou, ainda,

Substituindo II em I:(

b

2)

b

8

⇒

b

2

2

b

8

0 e, portanto,

b

4 ou

b

2.Para

b

4, temos

a

2; e para

b

2, temos

a

4.Logo,

a

b

2

4

4

(

2)

2.

37.

⇒

a

3,

b

1 e

c

2

38.

a

A

(

x

)

B

(

x

)

C

(

x

)

x

2

x

1

(

x

2

4

x

4)

(

3

x

)

x

2

x

1

3

x

3

12

x

2

12

x

3

x

3

13

x

2

13x 1

39. cEfetuando a divisão de P(x) por Q(x), temos:

Logo, o resto da divisão é 7.

40. eEfetuando a divisão de P(x) por d(x), temos:

Assim, temos que Q(x) x4 3x3 3x2 2x 1 e, portanto,Q(1) (1)4 3 (1)3 3 (1)2 2 (1) 1 8

41. c

Assim, temos q 25 0, ou seja, q 25

Como ∂P 3 e ∂Q 1, temos que ∂D 2.Sendo D(x) ax2 bx c, com a, b, c C, podemos escrever:x3 4x2 7x 3 (x 1) (ax2 bx c) 2x 1 ⇒⇒ x3 4x2 7x 3 ax3 (b a)x2 (c b 2)x c 1;

logo: ⇒ a 1, b 3 e c 2

Logo, D(x) 1x2 3x 2

43. a

⇒

⇒ e, portanto,

ou seja, A 3 e B 2.

44. bP(x) (3x2 1)(2x2 3x 1) x 2.O resto R da divisão de P(x) por x 1 é igual a P(1), ou seja,R P(1) (3 12 1)(2 12 3 1 1) 1 2 1.

45. dSendo P(x) x2 ax 1, os restos das divisões de P(x) por x 1e por x 2 são, respectivamente, iguais a P(1) e P(2). Assim,temos:P(1) P(2) ⇒ 12 a 1 1 (2)2 a (2) 1 e, por-tanto, a 1.

46. Sendo P(x) ax2 bx c o polinômio procurado, temos:

⇒

Substituindo (I) em (II) e (III), temos:

⇒ a 3 e b 2

Logo, P(x) 3x2 2x 1.

47. dSendo P(x) 2x4 (k2 3)x2 x 2, temos que P(x) é divi-sível por x 1 se, e somente se, P(1) 0. Logo,2 14 (k2 3) 12 1 2 0 e, portanto, k 2 ou k 2.

48. cO polinômio P(x) é divisível por x 1 e por x 2 se, e somentese, P(1) 0 e P(2) 0. Assim, temos:

e, portanto,

a e b

49. bO polinômio P(x) é divisível por x 1 e por x 1 se, e somentese, P(1) 0 e P(1) 0; e o resto de P(x) por x 2 é igual aP(2). Assim, temos:

ou seja,

Resolvendo o sistema, obtemos a 2, b 1 e c 2.

50. O polinômio P(x) é divisível por x 1 se, e somente se, P(1) 0,ou seja, 1n 1 0Como 1n 1 para qualquer valor de n, concluímos que a igualdade1n 1 0 não é satisfeita para nenhum valor de n. Logo, não exis-te n que torne P(x) divisível por x 1.

Logo, Q(x) 5x2 17x 50 e R 153

42.⇒

3 ab 11

a b 6 4

ab 8 (I)

a b 2 (II)

a b 2

3b c 1

a c b

3x2 3x 10 x2 x 1

3x2 3x 3 3

7

x5 2x4 0x3 x2 3x 1 x 1

x5 x4 x4 3x3 3x2 2x 1

3x4 0x3 x2 3x 1

3x4 3x3

3x3 x2 3x 1

3x3 3x2

2x2 3x 1

2x2 2x

0

x 1

x 1

x4 0x3 6x2 0x q x2 2x 5

x4 2x3 5x2 x2 2x 5

2x3 x2 0x2 q

2x3 4x2 10x

5x2 10x q

5x2 10x 25

q 25

P(x)

R(x)

D(x)

Q(x)

∂P ∂Q ∂D

P(x) Q(x) D(x) R(x)

a 1

b a 4

c b 2 7

c 1 3

51. a) 3 5 2 1 3

5 17 50 153

5x 1

x2 1--------------------- A(x 1) B(x 1)

(x 1) (x 1)----------------------------------------------------------

5x 1

x2 1--------------------- ( A B) x A B

x2 1---------------------------------------------------

A B 5

A B 1

P(0) 1

P(1) 0

P(1) 4

c 1 (I)

a b c 0 (II)

a b c 4 (III)

a b 1 0

a b 1 4

a (1)3 b (1)2 2 (1) 2 0

a 23 b 22 2 2 2 0

3

2 ------ 5

2 ------ .

13 a 12 b 1 c 0

(1)3 a (1)2 b (1) c 0

23 a 22 b 2 c 12

,

a b c 1

a b c 1

4a 2b c 4


185

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Logo, Q(x) x3 e R

Logo, Q(x) x5 x4 x3 x2 x 1 e R 0.

52. a) Dividindo x3 a3 por x a, temos:

Assim, concluímos:

⇒ x3 a3 (x a)(x2 ax a2)

b) Dividindo x3 a3 por x a, obtemos:

Assim, concluímos:

⇒ x3 a3 (x a)(x2 ax a2)

Professor, aproveite esse exercício para mostrar uma aplicaçãode fatoração da diferença de dois cubos. Por exemplo, resolva

em C a equação x3 8 0.

Resoluçãox3 23 0 ⇒ (x 2)(x2 2x 4) 0 x 2 0 ou

x2 2x 4 0; logo, x 2 ou x 1 ou

x 1

Logo, S a2, 1 1

53. cO volume V remanescente do bloco é dado por V x3 8.Observando que 2 é raiz desse polinômio, podemos fatorá-lo comum fator igual a x 2. Por isso, efetuamos a divisão de x3 8 porx 2:

Logo, V (x 2)(x2 2x 4).

54. a) Como D(x) 2(x 4), inicialmente dividimos P(x) porx 4, obtendo o quociente Q1(x) e o resto R1:

Assim, Q1(x) 2x2 6x 22 e R1 89.Concluindo, temos que o quociente Q(x) e o resto R da divisãode P(x) por D(x) são dados por:

Q(x) x2 3x 11 e R R1 89

b) Como D(x) inicialmente dividimos P(x) por

x obtendo o quociente Q1(x) e o resto R1.

Assim, Q1(x) 3x3 3x2 4x e R1

Concluindo, temos que o quociente Q(x) e o resto R da divisãode P(x) por D(x) são dados por:

Q(x) x3 x2 e R R1

c) Como D(x) inicialmente dividimos P(x) por

x obtendo o quociente Q1(x) e o resto R1:

Assim, Q1(x) 4x2 4x 4 e R1 2.Concluindo, temos que o quociente Q(x) e o resto R da divisãode P(x) por D(x) são dados por:

Q(x) x2 x 1 e R R1 2

55. e

O polinômio P(x) 6x3 ax2 14x 15 é divisível por 2x 3

e, portanto, 0. Assim, temos:

6 a 14 15 0 ⇒ a 7

1. a) 0 ⇒⇒ (x2 2x x 2)(x 4) 0, ou seja,(x2 3x 2)(x 4) 0, ou ainda,x3 4x2 3x2 12x 2x 8 0 e, portanto,x3 7x2 14x 8 0

b) (x 5)(x 1)(x 1) 0 ⇒ (x 5)(x 1)2 0, ou seja,(x 5)(x2 2x 1) 0, ou ainda,x3 2x2 x 5x2 10x 5 0 e, portanto,x3 7x2 11x 5 0

c) 3(x 2)(x 2)(x 2)(x 2) 0 ⇒⇒ 3(x 2)2 (x 2)2 0, ou seja,3(x2 4x 4)(x2 4x 4) 0, ou ainda,3(x4 4x3 4x2 4x3 16x2 16x 4x2 16x 16) 0e, portanto,3x4 24x3 72x2 96x 48 0

2. O polinômio P(x) x3 7x2 12x 10 é divisível por x 5,pois P(5) 0; portanto, P(x) pode ser escrito comoP(x) (x 5) Q(x). Por Briot-Ruffini, temos:

⇒ P(x) (x 5)(x2 2x 2)

Assim, a equação x3 7x2 12 x 10 0 é equivalente a

(x 5)(x2 2x 2) 0.

b) 1 0 0 1 1

1

c) 1 1 0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 0

a 1 0 0 a3

1 a a2 0

a 1 0 0 a3

1 a a2 0

2 1 0 0 8

1 2 4

4 2 2 2 1

2 6 22

1

2 ------

1

2 ------ 1

4 ------ 7

8 ------

23 16 ---------

x2 2

-------- x 4 ------ 7

8 ------

23 16 ---------

x3 a3

0

x a

x2 ax a2

x3 a3

0

x a

x2 ax a2

3i

3i.

3i, 3ib

0

resto

89

resto

Q1(x) 2

------------------

3[x 4 3 ------] ,

4 3 ------ ,

3 1 0 3 6

3 3 4

4 9 9 7

4 4 4

4 3 ------

7 3 ------

82 9

---------

resto

7 3 ------ 82

9--------- .

Q1(x) 3

------------------ 4x 3

---------- 7 9 ------ 82

9---------

4[x 5 4 ------ ] ,

5 4 ------

5

4 ------

2

resto

Q1(x) 4

------------------

P[3

2 ------]

[3

2 ------]

3

[3

2 ------]

23

2 ------

Capítulo 34

(x ……) 1 (x ……) 2 (x ……) 4

5 1 127 10

1 2 2 0


186

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Pela propriedade do produto nulo, temos:x 5 0 ou x2 2x 2 0; logo,

x 5 ou x 1 i e, portanto,

S 5, 1 i, 1 i

3.

Assim, a equação 2x4 2x3 13x2 x 6 0 é equivalente a(x 2)(x 3)(2x2 1) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:x 2 0 ou x 3 0 ou 2x2 1 0; logo,

x 2 ou x 3 ou x e, portanto,

S

4. a) As raízes de P(x) são dadas por:4x2 x 3 0 (1)2 4 4 (3) 49

x

x 1 ou x

Pelo teorema da decomposição, obtemos P(x) na forma fatora-da:

P(x) 4(x 1)

b) As raízes de P(x) são dadas por:x3 8x2 12x 0x(x2 8x 12) 0x 0 ou x2 8x 12 0x 0 ou x 2 ou x 6Pelo teorema da decomposição, obtemos P(x) na forma fatora-da:P(x) x(x 2)(x 6)

c) ⇒ P(x) (x 2)(3x2 3)

As raízes de P(x) são dadas por:(x 2)(3x2 3) 0 ⇒ x 2 0 ou 3x2 3 0 e,portanto, x 2 ou x i ou x iPelo teorema da decomposição, obtemos P(x) na forma fato-rada:P(x) 3(x 2)(x i)(x i)

5. Por Briot-Ruffini, temos:

Logo, P(x) (x 1)(x 2)(3x2 16x 5).As raízes de P(x) são dadas por: (x 1)(x 2)(3x2 16x 5) 0 ⇒ x 1 0 ou x 2 0 ou 3x2 16x 5 0; ou seja,

x 1 ou x 2 ou x 5 ou x

Portanto, a forma fatorada de P(x) é:

P(x) 3(x 1)(x 2)(x 5)

6. a) ⇒ sx1 1 e x2 2d ou sx1 2 e x2 1d

b) Temos que P(x) x(x 2)(x 1), ou seja,P(x) x3 3x2 2x.

Logo, o coeficiente do termo de grau 2 é 3.

7. a) Pela propriedade do produto nulo, temos:(x 2)3 0 ou (x 5)4 0 ou x 7 0 e, portanto,x 2 ou x 5 ou x 7.Logo, S 2, 5, 7

b) A raiz 2 tem multiplicidade 3, a raiz 5 tem multiplicidade 4, e7 é raiz simples.

c) O grau da equação é a soma das multiplicidades das raízes, istoé, 3 4 1 8.

8. P(x) 6(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)(x 2)(x 3)Logo, a equação polinomial pedida é:6(x 1)2(x 2)3(x 3) 0

9. Dividindo o polinômioP(x) x5 4x4 x3 10x2 4x 8 por x 1, temos:

Logo: P(x) (x 1)

Dividindo Q1(x) por x 1, temos:

Logo: P(x) (x 1)(x 1)

Dividindo Q2(x) por x 1, temos:

Logo, Q2(x) não é divisível por x 1.Concluímos, então, que 1 tem multiplicidade 2 e a raiz 2 temmultiplicidade 3.

10.

Logo, a equação proposta é equivalente a (x 1)2(x2 5x 6) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:(x 1)2 0 ou x2 5x 6 0, ou seja,

x 1 ou x e, portanto,

x 1 ou x 2 ou x 3S 1, 2, 3

11.

Assim, temos que:

⇒ p 9 e q 5

12. Se 3 2i é raiz da equação, então 3 2i também é; logo, o con-junto solução S dessa equação éS 5, 3 2i, 3 2i

13. Como os coeficientes da equação são números reais, temos que: se3i é raiz simples, então 3i é raiz simples; se 4 i é raiz dupla,então 4 i é raiz dupla.Portanto, a equação deve ter pelo menos sete raízes:1, 3i, 3i, 4 i, 4 i, 4 i e 4 i; e, com isso, concluímosque o grau mínimo da equação deve ser 7.

14. (x 3i)(x 3i)(x 1)(x 1) 0 ⇒⇒ x4 2x3 10x2 18x 9 0

2 2i 2

--------------------

2 2

3 6

2 13 1 6

2 1 3

02 0 1

0

2

2-------------

2, 3, 2 2

------------- , 2 2

-------------

1 49 8

----------------------------

3

4 ------

[x 3 4 ------ ]

2 3 36 6

3 0 3 0

3 25

2 22

1 59 10

3

03

0

47

37 10

16 5

1 3 ------ .

[x 1 3 ------]

x1 x2 3

x1 x2 2

1 14 10

1 5 6 4

1 4 8

8 0

(x4 5x3 6x2 4x 8 )

Q1(x)

1 65 4

1 6 12 8

1 8

0

(x3 6x2 12x 8 )

Q2(X)

1 126

1 7 19

1 8

27

1 7

1 6

1 17 6

1

01

0

17

11 6

5 6 resto

resto

5 1 2

-------------------------

1 3

1 4

1

1

1 5

resto

p q4 p q4 p

9 p resto

4 p q 0

9 p 0


187

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

15.

Se o número 4i é raiz da equação, então

4i também é; logo, aequação pode ser representada sob a forma:(

x

4i)(

x

4i)

Q

(

x

)

0, ou seja,(

x

2

16)

Q

(

x

)

0,em que

Q

(

x

) é o quociente da divisão:

Logo, a equação proposta é equivalente a:(

x

2

16)(

x

2

x

6)

0cujas raízes são 4i,

4i,

3 e 2.Assim, temos como conjunto solução:S

4i,

4i,

3, 2

16.

A equação possui coeficientes reais. Portanto, se 1

i é raiz daequação, então 1

i também o é. Assim, o polinômio

P

(

x

)

x

4

4

x

3

7

x

2

6

x

2 é divisível por[

x

(1

i)] [

x

(1

i)]

(

x

1)

2

i

2

x

2

2

x

2.Efetuando a divisão de

P

(

x

) por

x

2

2

x

2, temos:

Logo, a equação proposta é equivalente à equação(

x

2

2

x

1)(

x

2

2

x

2)

0. Assim, temos:

x

2

2

x

1

0 ou

x

2

2

x

2

0

⇒

⇒

x

ou

x

e, portanto,

x

1 ou

x

1

i ou

x

1

iS

1, 1

i, 1

i

17.

a) Se essa equação admite raiz do tipo com

p

e

q

inteiros pri-

mos entre si e

q

0, então

p

é divisor de

1 e

q

é divisor de 2.

Logo,

Testando cada um dos valores na equação

P

(

x

)

0, temos:

P

(1)

2

1

4

1

3

1

2

1

1

4

⇒

1 não é raiz.

P

(

1)

2

(

1)

4

(

1)

3

(

1)

2

(

1)

1

0

⇒

1 éraiz.

P

2

1

0

⇒

⇒

é raiz.

P

2

1 ⇒ não é raiz.

Logo, a equação admite exatamente duas raízes racionais, que

são os números 1 e

b) Se essa equação possui raízes racionais, então elas pertencemao conjunto 1, 2.Testando cada um desses valores na equação P(x) 0, temos:

P(1) 15 3 14 8 13 7 1 2 13 ⇒ 1 não é raiz.

P(1) (1)5 3 (1)4 8 (1)3 7 (1) 2 15 ⇒ 1 não é raiz.

P(2) 25 3 24 8 23 7 2 2 0 ⇒ 2 é raiz.

P(2) (2)5 3 (2)4 8 (2)3 7 (2) 2 92 ⇒ 2 não é raiz.Logo, a equação admite apenas uma raiz racional, que é o nú-mero 2.

18. Se essa equação possui raízes racionais, então elas pertencem aoconjunto 1, 2.Testando cada um desses valores na equação P(x) 0, temos:P(1) 14 3 13 3 12 3 1 2 12 ⇒ 1 não é raiz.P(1) (1)4 3 (1)3 3 (1)2 3 (1) 2 0 ⇒⇒ 1 é raiz.P(2) 24 3 23 3 22 3 2 2 60 ⇒ 2 não é raiz.P(2) (2)4 3 (2)3 3 (2)2 3 (2) 2 0 ⇒⇒ 2 é raiz.O polinômio P(x) possui duas raízes racionais: 1 e 2.Logo P(x) é divisível por x 1 e por x 2:

Assim, a equação P(x) 0 é equivalente a

(x 1)(x 2)(x2 1) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:

x 1 0 ou x 2 0 ou x2 1 0; ou seja,x 1 ou x 2 ou x i ou x i.Portanto, S 1, 2, i, i.

19. b

Se é raiz da equação, com p e q inteiros primos entre si e

q 0, então p é divisor de 7 e q é divisor de 5. Logo, as possíveisraízes racionais da equação estão dentre os números:

1, 1, 7, 7, e

Como, dentre esses números, o único não-inteiro e maior que 1 é

concluímos que ele é raiz da equação.

20. a)

x3 abx 4 ⇒ x3 6x 4, ou, ainda, x3 6x 4 0b) Pesquisando raízes racionais da equação anterior, temos que 2

é raiz. Logo, o polinômio x3 6x 4 é divisível por x 2:

e, portanto, a equação pode ser representada por:

(x 2)(x2 2x 2) 0

Pela propriedade do produto nulo, temos:

x 2 0 ou x2 2x 2 0, ou seja,

x 2 ou x 1 ou x 1 (não convém)

Concluímos, então, que a medida da aresta do cubo é 2 m ou

(1 ) m.

21. ⇒ b 12 e c 8

x4 x3 10x2 16x 96 x2 16

x4 16x2 x2 x 6

x3 6x2 16x 96

x3 16x

6x2 0x 96

6x2 96

0

x4 4x3 7x2 6x 2 x2 2x 2

x4 2x3 2x2 x2 2x 1

2x3 5x2 6x 2

2x3 4x2 4x

x2 2x 2

x2 2x 2

0

2 0 2

------------------------ 2 2i 2

--------------------

p q ------ ,

p q ------ 1, 1

2 ------ .

[1

2 ------] [

1 2 ------]

4

[1

2 ------]

3

[1

2 ------]

2 1 2 ------

1 2 ------

[1

2 ------] [

1 2 ------]

4

[1

2 ------]

3

[1

2 ------]

2 1 2 ------

5 4 ------

1 2 ------

1 2 ------ .

1 3

2

3 3 2

1 1 2

01 0 1

0

1

2

p q

-------

1 5 ------ ,

1 5 ------ , 7

5 ------

7 5 ------ .

7 5 ------ ,

x ax

x ab = 6 m2

b

x

1 0

2

6 4

1 2 0

2

3 3

3

3 5 3 5 b

2 ------

(3 5 )(3 5 ) c 2 ------


188

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

22. Se 3 i é raiz da equação, então 3 i também é; logo,

⇒ b 24 e c 40

23. a) r1 r2

b) r1r2

c)

d) r1 r2 ⇒ (r1 r2)2

Logo, 2r1r2

Como r1r2 temos:

2

e)

24. a) r1 r2 r3 1

b) r1r2 r1r3 r2r3 2

c) r1r2r3

d) 6

e) r1 r2 r3 1 ⇒ (r1 r2 r3)2 12; logo,

2r1r2 2r1r3 2r2r3 1, ou seja,

2(r1r2 r1r3 r2r3) 1, ou, ainda,

2 2 1 e, portanto,

3

f) r1r2 r1r3 r2r3 2 ⇒ (r1r2 r1r3 r2r3)2 22; logo,

(r1r2)2 (r1r3)

2 (r2r3)2 2r1r2 r1r3 2r1r2 r2r3

2r1r3 r2r3 4, ou seja,

(r1r2)2 (r1r3)

2 (r2r3)2 2r1r2r3(r1 r2 r3) 4 ou, ainda,

(r1r2)2 (r1r3)

2 (r2r3)2 2 1 4 e, portanto,

(r1r2)2 (r1r3)

2 (r2r3)2

g)

30

25. Sendo x1, x2 e x3 as raízes da equação, tal que x1 x2 1, temos:

x1 x2 x3 ⇒ 1 x3 e, portanto, x3

Por Briot-Ruffini, temos:

Logo, a equação proposta é equivalente a:

s2x2 2x 12) 0, cujas raízes são: 2 e 3. As-

sim, temos o conjunto solução:

S

26. cSejam r, s e t as raízes da equação tal que r s 1.Aplicando a relação de Girard, temos: r s t 7, e substituindors por 1, temos: t 7.Dividindo o polinômio 2x3 19x2 37x 14 por x 7, temos;

Logo, a equação proposta é equivalente a

(x 7) (2x2 5x 2) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:

x 7 0 ou 2x2 5x 2 0; ou seja, x 7 ou

x 2 ou x

Portanto, a soma das duas maiores raízes da equação é 9.

27. dDuas das relações de Girard para essa equação nos garantem que:

Logo, a2bc ab2c abc2 abc(a b c) 20 10 200.

28. Sejam s r, s e s r as raízes da equação.Uma das relações de Girard garante que: s r s s r 60;logo, s 20.Dividindo o polinômio x3 60x2 1.100x 6.000 por x 20,temos:

Logo, a equação proposta é equivalente a:

(x 20) (x2 40x 300) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:

x 20 0 ou x2 40x 300 0; ou seja,x 20 ou x 10 ou x 30.Portanto, S 10, 20, 30.

29. aIndicando as raízes da equação por r 3, r e r 3, temos, por umadas relações de Girard:r 3 r r 3 15 ⇒ r 5

3 i 3 i b

4 ------

(3 i)(3 i) c 4 ------

s 3 d 2

----------------------------- 3 2

-------------

6 2

-------------

1 r1 -------- 1

r2 --------

r2 r1 r1r2

-------------------- 3

2-------------

6 2

-------------

----------------- 3

6 ------------- 18

6----------------

3 2 6

---------------- 2 2

-------------

3 2

------------- [ 3

2-------------]

2

r12 r2

2 3 4 ------

6 2

------------- ,

r12 6

2------------- r2

2 3 4 ------

r12 r2

2 3 4 ------ 6 3 4 6

4---------------------------

1

r12

-------- 1

r22

-------- r2

2 r12

r12r2

2----------------------

r12 r2

2

(r1r2)2----------------------

3 4 6 4

---------------------------

[ 6

2-------------]

2------------------------------- 3 4 6

6---------------------------

(3)

3-----------------

6 3 ------

(1)

3----------------- 1

3 ------

1 r1 -------- 1

r2 -------- 1

r3 --------

r2r3 r1r3 r1r2 r1r2r3

------------------------------------------------ 2

1 3 ------

-----------

r12 r2

2 r32

r12 r2

2 r32

r12 r2

2 r32

r12 r2

2 r32

1 3 ------

10 3

---------

1

r12

-------- 1

r22

-------- 1

r32

-------- r2

2 r32 r1

2 r32 r1

2 r22

r12 r2

2 r32

---------------------------------------------------------------

(r2r3)2 (r1r3)2 (r1r2)2

(r1r2r3)2---------------------------------------------------------------------

10 3

---------

[ 1 3 ------]

2

------------------

10 3

---------

1 9 ------

--------------

b

a ------

1 2 ------ 1

2 ------ .

2 1

2 2

6

0

13

12

1 2 ------

[x 1 2 ------]

1 2 ------ ,

1

2 ------ , 2, 3

7 2 3719 14

2 25 0

1 2 ------ .

a b c 10

abc 20

20 1 1.10060 6.000

1 30040 0


189

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Assim, o conjunto solução S da equação éS 2, 5, 8Pelas outras relações de Girard, temos:

⇒ a 66 e b 80

30.

31. As relações de Girard garantem que

e, portanto,

32. Sendo r, r, r, s e s as raízes dessa equação, as relações de Girardgarantem que:

r r r s ⇒ r 2


Assim, a equação proposta é equivalente a:(x2 12)(x 2)3 0Portanto:x2 12 0 ou (x 2)3 0ou seja:

x ou x 2

S

33. A equação é equivalente a:s1 x2ds1 x2d xsx2 2x 15d 0Pela propriedade do produto nulo, temos:1 x2 0 ou 1 x2 0 ou x 0 ou x2 2x 15 0 e, portanto,x 1 ou x 1 ou x i ou x i ou x 0 ou x 5 ou x 3.Logo, o conjunto solução S da equação é:S 1, 1, i, i, 0, 5, 3

34. 5 (x 1) (x 2) (x 3) 0 ⇒ (5x2 5x 10) (x 3) 0;logo, 5x3 10x2 25x 30 0.

35. a) O polinômio P(x) é divisível por x 5, pois P(5) 0; portan-to, P(x) (x 5) Q(x).Por Briot-Ruffini, temos:

Logo, a equação x3 2x2 13x 10 0 é equivalente a(x 5) (x2 3x 2) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:x 5 0 ou x2 3x 2 0; ou seja, x 5 ou x 2 ou x 1.Portanto, S 5, 2, 1.

b) O polinômio P(x) é divisível por x pois P 0;

portanto, P(x) Q(x).


Logo, a equação 2x3 x2 2x 1 0 é equivalente a

(2x2 2) 0. Pela propriedade do produto nulo,

temos:

x 0 ou 2x2 2 0; ou seja, x ou x i ou x i

Portanto, S

36. dPelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

Logo, a equação proposta é equivalente a(9x2 18x 5)(x 2) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:9x2 18x 5 0 ou x 2 0 e, portanto,

x ou x ou x 2.

Logo, p2 q2

37. aP(2) 0 ⇒ 23 4 22 a 2 6 0 e, portanto, a 1.Logo, P(x) x3 4x2 x 6.Como P(2) 0, temos que P(x) é divisível por x 2.Efetuando a divisão, temos:

Logo, P(x) (x 2)(x2 2x 3).As raízes de P(x) são dadas por:(x 2)(x2 2x 3) 0 ⇒ x 2 0 oux2 2x 3 0 e, portanto, x 2 ou x 3 ou x 1.Finalmente, pelo teorema da decomposição, concluímos:P(x) 1(x 2)(x 3)(x 1).

38. 1(x 1)2(x 2)2 0 ⇒ x4 2x3 3x2 4x 4 0

39. a) Por Briot-Ruffini, temos:

Logo, o polinômio P(x) x6 10x5 25x4 x2 10x 25é divisível por (x 5)2 e não é divisível por (x 5)3; assim,concluímos que 5 é raiz dupla da equação P(x) 0.

b) Por Briot-Ruffini, temos:

Logo, o polinômio P(x) x5 6x4 11x3 2x2 12x 8 édivisível por (x 2)3 e não é divisível por (x 2)4; assim, con-cluímos que 2 é raiz tripla da equação P(x) 0.

2 5 2 8 5 8 a

2 5 8 b

r1 r2 r3 r4 0

r1r2 r1r3 r1r4 r2r3 r2r4 r3r4 3

r1r2r3 r1r2r4 r1r3r4 r2r3r4 1

r1r2r3r4 0

2 4 4 4 a

2 4 (2) 4 (2) 4 4 4 4 4 4 4 b

2 4 4 (2) 4 4 (2) 4 4 4 4 4 c

2 4 4 4 d

a 10

b 24

c 32

d 128

(s) (6)

1-------------

1 6

4

2 0 64

1 8 48

241 12

02

2 2

1 0 12 0

144 96

48

0

2 3

2 3 , 2 3 , 2

5 1 2 10

1 23 0

13

1 2 ------ , [

1 2 ------]

[x 1 2 ------]

5 1 10 25 0 1 10 25

5 1 5 0 0 1 5 0

5 1 0 0 0 1 0

1 5 25 125 626

2 1 6 11 2 12 8

2 1 4 3 4 4 0

2 1 2 1 2 0

2 1 0 1 0

1 2 3

2

2 0 0

2

2

1 2 ------ 1 1

[x 1 2 ------]

1 2 ------ 1

2 ------

1

2 ------ , i, i .

9 02 31

9 518

10

0

1

3 ------

5 3 ------

[1

3 ------]

2

[5

3 ------]

2 26

9--------- .

2 1

1

1

0

4 6

2resto

3


190

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

40.

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

Logo, a equação proposta pode ser apresentada sob a forma:(

x

1)

4

(

x

1)

0e, portanto, a raiz 1 tem multiplicidade 4.

41.

bAplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

Logo, a equação proposta é equivalente a:(

x

2)

2

(

x

2

4)

0Pela propriedade do produto nulo, temos que:(

x

2)

2

0 ou

x

2

4

0 e, portanto,

x

2 ou

x

2i ou

x

2iAssim, concluímos que: S

2, 2i,

2i.

42.

cAplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

Como a raiz 1 é dupla, os dois restos obtidos devem ser iguais azero, ou seja,

⇒

p

e

q

0

43.

eA equação polinomial possui todos os coeficientes reais; logo, seum número imaginário

z

é raiz dessa equação, então o conjugadode

z

também é raiz da equação. Como a equação tem exatamentequatro raízes, concluímos que as demais raízes são 1

i e 2

i.

44.

Como todos os coeficientes da equação polinomial são reais, te-mos que se i é raiz da equação, então

i também o é. Logo, o po-linômio 2

x

4

3

x

3

3

x

2

3

x

1 é divisível por (

x

i)(

x

i),ou seja,

x

2

1. Efetuando a divisão, temos:

Assim, a equação proposta é equivalente a(

x

2

1)(2

x

2

3

x

1)

0.Pela propriedade do produto nulo, temos:

x

2

1

0 ou 2

x

2

3

x

1

0 e, portanto,

x

i ou

x

i ou

x

1 ou

x

Logo, a maior raiz real do polinômio é

45.

Como todos os coeficientes da equação polinomial são reais, te-mos que se i é raiz da equação, então

i também o é. Logo, o po-linômio

x

5

3

x

4

2

x

3

3

x

2

x

é divisível por (

x

i)(

x

i), ouseja,

x

2

1. Efetuando a divisão, temos:

Assim, a equação proposta é equivalente a:(

x

2

1)(

x

3

3

x

2

x

)

0 ou, ainda,

x

(

x

2

1)(

x

2

3

x

1)

0.Pela propriedade do produto nulo, temos:

x

0 ou

x

2

1

0 ou

x

2

3

x

1

0 e, portanto,

x

0 ou

x

i ou

x

i ou

x

ou

x

Logo, S

0, i,

i,

46.

a) Se essa equação admite raiz do tipo com

p

e

q

inteiros pri-

mos entre si e

q

0, então

p

é divisor de 2 e

q

é divisor de 1,ou seja,

p

1,

2 e

q

1.

Logo,

1,

2.

Testando cada um desses valores na equação

P(x) 0, temos:P(1) 14 3 13 3 12 3 1 2 12 ⇒ 1 não é raizP(1) (1)4 3 (1)3 3 (1)2 3 (1) 2 0 ⇒⇒ 1 é raizP(2) 24 3 23 3 22 3 2 2 60 ⇒ 2 não é raizP(2) (2)4 3 (2)3 3 (2)2 3 (2) 2 0 ⇒⇒ 2 é raizLogo, a equação admite exatamente duas raízes racionais:1 e 2.

b) Se essa equação possui raízes racionais, então elas pertencem

ao conjunto 1, 3, Testando o número 1 na

equação P(x) 0, temos:P(1) 2 13 12 3 0 ⇒ 1 é raiz.

Em vez de calcular P(1), P(3),

P(3), e podemos aproveitar o fato de que

1 é raiz e dividir P(x) por x 1:

Logo, a equação proposta é equivalente a(2x2 3x 3)(x 1) 0 e, portanto, 2x2 3x 3 0 oux 1.Como o discriminante da equação 2x2 3x 3 0 é negati-vo, concluímos que a equação P(x) 0 possui como única raizracional o número 1.

47. a) Se essa equação possui raízes racionais não nulas, então elas

pertencem ao conjunto: 1,

Testando os valores em P(x) 0, temos:P(1) 2 14 4 13 12 1 0 ⇒ 1 é raiz.

1 1 3 2 2 3 1

1 1 2 0 2 1

1 1 1 1 1

1 1 0 1

1 1 1

1

2 1 4 8 16 16

2 1 2 4 8

1 0 4

1 1 8p 1 q

1 1 1 8p 2 8p

1 2 8p

0

resto

0

resto

0

resto

0

resto

2

resto

0

resto

0

resto

2 8 p q

resto

4 16 p

resto

2 8 p q 0

4 16 p 0

1 4 ------

2x4 3x3 3x2 3x 1 x2 1

2x4 2x2 2x2 3x 1

3x3 x2 3x 1

3x3 3x

x2 0x 1

x2 10

1 2 1 0 3

2 3 3

1

2 ------ .

1

2 ------ .

x5 3x4 2x3 3x2 x 0 x2 1

x5 x3 x3 3x2 x

3x4 x3 3x2 x 0

3x4 3x2

x3 0x2 x 0

x3 x0

3 5 2

------------------------ 3 5 2

------------------------ .

3 5 2

------------------------ , 3 5 2

------------------------ .

p

q ------ ,

p q ------

1

2 ------ ,

3 2 ------ .

P[1

2 ------] , P[

1 2 ------] ,

P[3

2 ------] P[

3 2 ------] ,

0resto

1

2 ------ .


191

Rep

rod

ução

pro

ibid

a. A

rt.1

84 d

o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

.610

de

19 d

e fe

vere

iro d

e 19

98.

Dividindo P(x) por x 1, temos:

Logo, a equação dada é equivalente a:(2x3 2x2 x) (x 1) 0, ou ainda,x (2x2 2x 1) (x 1) 0.Pela propriedade do produto nulo, temos:x 0 ou 2x2 2x 1 0 ou x 1 0; ou seja,

x 0 ou x ou x ou x 1.

Portanto, S 0, 1.

b) Se essa equação possui raízes racionais, então elas pertencemao conjunto 1, 1. Testando os valores em P(x) 0, temos:P(1) 14 2 13 2 12 2 1 1 8 ⇒ 1 não é raiz.P(1) (1)4 2 (1)3 2 (1)2 2 (1) 1 0 ⇒⇒ 1 é raiz.Por Briot-Ruffini temos:

Logo, 1 é raiz dupla e, portanto, a equação proposta é equiva-lente a (x 1)2(x2 1) 0, cujas raízes são: 1, i e i.Assim, temos o conjunto solução: S 1, i, i.

48. a) Os montantes MA e MB devidos aos bancos A e B, respectiva-mente, ao final dos três anos, são dados por:MA 20.000 20.000 x 3 20.000 60.000xeMB 10.000(1 x)3

Assim, temos:10.000(1 x)3 20.000 60.000x ⇒ (1 x)3 2 6x x3 3x2 3x 1 0

b) Pesquisando as raízes racionais dessa equação, constatamosque 1 é raiz. Logo, o polinômio x3 3x2 3x 1 é divisívelpor x 1:

e, portanto, a equação pode ser representada por:(x 1)(x2 4x 1) 0Pela propriedade do produto nulo, temos:x 1 0 ou x2 4x 1 0, ou seja, x 1 oux 2 (não convém)Concluímos, então, que a taxa x é de 100%.

49. Os volumes V1 e V2 das bolas menor e maior, respectivamente, sãodados por:

V1 e V2

Assim, temos:

⇒ (R 1)3 2R3 2

R3 3R2 3R 1 0Pesquisando as raízes racionais dessa equação, constatamos que 1

é raiz. Logo, o polinômio R3 3R2 3R 1 é divisível por R 1:

e, portanto, a equação pode ser representada por:(R 1)(R2 4R 1) 0Pela propriedade do produto nulo, temos:R 1 0 ou R2 4R 1 0, ou seja,

R 1 (não convém) ou R 2 ou R 2 (nãoconvém)

Concluímos, então, que a medida R é (2 ) cm.

50. Sendo r1 e r2 as dimensões, em cm, do retângulo de perímetro P eárea A, temos:P 2r1 2r2 2(r1 r2)

A r1r2

Logo, P e A

51. dSendo p e q as raízes da equação, temos que:

Logo, 53

52. Sendo x1, x2 e x3 as raízes da equação, tal que x1 x2 18, temos,por uma das relações de Girard:x1x2x3 36 ⇒ 18x3 36 e, portanto, x3 2.Por Briot-Ruffini, temos:

Logo, a equação proposta é equivalente a(x 2)(x2 9x 18) 0, cujas raízes são: 2, 6 e 3. Assim,temos o conjunto solução S 2, 6, 3

53. aSendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo, temos que a áreatotal AT e o volume V desse sólido são dados por:At 2(ab ac bc)V abcComo as dimensões a, b e c são as raízes da equação proposta,duas das relações de Girard nos garantem que:ab ac bc 31abc 30Logo, AT 62 cm2 e V 30 cm3

54. a) Sendo a r, a e a r as raízes do polinômio, uma das rela-ções de Girard nos garante que:a r a a r 3 e, portanto, a 1.Assim, temos:P(1) 0 ⇒ 13 3 12 m 0 e, portanto, m 2.

b) Do item a, concluímos que P(x) x3 3x2 2. DividindoP(x) por x 1, temos:

Logo, P(x) (x 1)(x2 2x 2).As raízes de P(x) são dadas por:(x 1)(x2 2x 2) 0 ⇒ x 1 0 ou x2 2x 2 0 e,

portanto, x 1 ou x 1 ou x 1

55. aSendo x1, x2 e x3 as raízes da equação, tal que x1 x2 1, temos,por uma das relações de Girard:x1x2x3 2 ⇒ 1 x3 2 e, portanto, x3 2Substituindo x por 2 na equação, concluímos:2 (2)3 (2)2 k (2) 4 0 ⇒ k 8

56. dSendo 2, a, b e c as raízes do polinômio, uma das relações deGirard nos garante que:2 a b c 1 e, portanto, a b c 1.

57. bSendo 1, 1, a, b e c as raízes da equação, uma das relações deGirard nos garante que:1 1 a b c 1e, portanto, a b c 3.

1 2 4 1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 2 2 1

1 1 1 1 1

1 1 0 1

1 1

1 1 3 3 1

1 4 1 0

1 1 3 3 1

1 4 1 0

0resto

1 3 2

------------------------ 1 3 2

------------------------

1 3 2

------------------------ , 1 3 2

------------------------ ,

0resto

0resto

2resto

3

4πR3 3

---------------- 4π(R 1) 3 3

--------------------------------

4π(R 1) 3 3

-------------------------------- 8πR3 3

----------------- 8π 3

----------

3 3

2 1 11 36 36

1 9 18 0

1 1 3 0 2

1 2 2

3

2[b

a ------]

2b a

----------c

a ------

2b

a---------- cm c

a ------ cm2.

p q 53 19 ---------

pq 1 19 ---------

1 p ------- 1

q ------

q p

pq------------------

53 19

---------

1 19 ---------

--------------

0resto

3 3 .


Documents

Matemática - Suplemento de Apoio do Professor - Manual