FUNÇÃO LOGARITMICA MATEMÁTICALOGARITMOS SETEMBRO - 2010 Prof. Mário Hanada MÁRIO HANADA PARTE - 01

FUNÇÃO LOGARITMICAFUNÇÃO LOGARITMICA

MATEMÁTICA MATEMÁTICA

LOGARITMOSLOGARITMOS

SETEMBRO - 2010

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MÁRIO HANADA

PARTE - 01

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MÁRIO HANADA - setembro/2010

LOGARÍTMOS

82 x

322 x

3x

3S

Resolva a equação, em IR:Resolva a equação, em IR:

1)1) 82 x

MÁRIO HANADA

Vimos em equações exponenciais…

8 24 22

322

1

Potências de mesma base

INTRODUÇÃO


LOGARÍTMOS

42 33 x

42 33 x

819

1

x

42 x

2x

819

1

x

2S

2)2) Resolva as equações, em IR:Resolva as equações, em IR:

81 3

9 33 3

431

27 3

Potências de mesma base

INTRODUÇÃO


LOGARÍTMOS

82 x

322 x

3x

3S

Resolva as equações, em IR:Resolva as equações, em IR:

1)1) 82 x

MÁRIO HANADA

E se fosse essa equação exponencial?

8 24 22

522

1

72 x7

7

7

1Vimos em equações e inequações exponenciais, casos em que podíamos reduzir as potências à mesma base.

Não conseguiremos reduzir todas as potências à mesma base.

O que podemos raciocinar, nesse caso, é que se 4 < 7 < 8 então 22 < 7 < 23

, sabendo que 7 = 2x , temos, 22 < 2x < 23 , portanto podemos garantir que

2 < x < 3

Para quem nunca viu logarítmo, ou pelo que estudamos até o momento, a melhor resposta a ser dada é

?Então como determinar o valor exato de x ?

compare…

2 < x < 3

INTRODUÇÃO


LOGARÍTMOS

Procure fazer leituras em livros e na WEB sobre logaritmos como:

História dos Logaritmos;

Surgimento dos Logaritmos;

John Napier;

Henry Briggs;

etc.

INTRODUÇÃO

Logaritmos

log

Base do Base do logaritmologaritmo

LogaritmandLogaritmandoo

LogaritmLogaritmoo

0b 01 a

Condições de Existência de logaritmos:Condições de Existência de logaritmos:


LOGARÍTMOSDefinição:Definição:

ba

x

e

“logaritmo”

“logaritmo”“ de b”

“ de b”“na base a”

“na base a”


LOGARÍTMOS

log

Base do Base do logaritmologaritmo

LogaritmandLogaritmandoo

LogaritmLogaritmoo

ba

x

xba log xa b

Definição:Definição:


LOGARÍTMOSExemplos:

x25log5 x5 25

25log5

Calcule pela definição os seguintes logaritmos:

1)1) Calcular logaritmo de 25 na base 5 é:

25log5 x

255 x 2x

Portanto o logaritmo de 25 na base 5 é 2, pois 52 = 25


LOGARÍTMOS

x81log3 x3 81

81log32)2) Calcular logaritmo de 81 na base 3 é:

81log3 x

433 x 4x


Exemplos:


LOGARÍTMOS

x

8

1log 2 x2

8

1

8

1log 2

3)3) Calcular logaritmo de 1/8 na base 2 é:

8

1log 2 x

322 x 3x

Portanto o logaritmo de 1/8 na base 2 é -3, pois 32 8

1

Exemplos:


LOGARÍTMOS

x4log 4 x4 4

4log 44)4) Calcular logaritmo de 4 na base 4 é:

4log 4 x

144 x 1x


Exemplos:


LOGARÍTMOS

x1log9 x9 1

1log95)5) Calcular logaritmo de 1 na base 9 é:

1log9 x

099 x 0x


Exemplos:


LOGARÍTMOS

x3log9 x9 3

3log96)6) Calcular logaritmo de

3log9 x

2

12 33 x

2

12 x

3 na base 9 é:

2

12 33 x

4

1x

Portanto o logaritmo de 34

1 na base 9 é , pois

4

1

9 3

Exemplos:


LOGARÍTMOS

x32log21

x

2

1 32

32log217)7) Calcular logaritmo de 32 na base 1/2 é:

32log21 x

51 22 x 5 x

Portanto o logaritmo de 32 na base

522 x

5x2

1

pois5

2

1

52 32

é – 5 ,

Exemplos:


LOGARÍTMOS

x27log 3 9 x3 9 27

27log 3 98)8) Calcular logaritmo de 27 na base

27log 3 9 x

339 31

x

332 33 x

logaritmo de 27 na base

33 39 x

3 9 , pois 29

3 9 29

31

9 é

3 9 é :

33

2

33 x

33

2

x 2

9x

2

9

Portanto o

69

9

69

23 618

3 33 27Veja este exemplo de outro modo a seguir.

Exemplos:


LOGARÍTMOS

x27log 3 9 x3 9 27

27log 3 98)8)

Calcular logaritmo de 27 na base

27log 3 9 x

32 33 31

x

logaritmo de 27 na base

33

2

33 x

3 9 , pois 29

3 9 29

31

9 é

3 9 é :

33

2

x 2

9x

2

9

Portanto o

69

9

69

23 618

3 33 27

33 2 33 x

Exemplos:


xmm

53log xm3 5 m

53log mm

9)9) Calcular logaritmo de

53log mm

x

5

13 mm x

logaritmo de 3m , pois

15

13m 15

3

m

é

3m é :

5

13 x

15

1x

15

1

Portanto o

51

m 5 m

Supondo 0m e 1m

5 m na base

5 m na base

Exemplos: LOGARÍTMOS

EXERCITANDO…

log464 = 3 43 = 64

log327 = 3 33 = 27

log366 = 1/2 361/2 = 6

log121= 0 120 = 1

q2 = p logqp = 2

q2 = p logqp = 2

?


LOGARÍTMOS

???

EXERCITANDO…

xba log xa b

xa b balog x

Caminho inverso


LOGARÍTMOS

EXERCITANDO…

log464 = 3 43 = 64

log327 = 3 33 = 27

log366 = 1/2 361/2 = 6

log121= 0 120 = 1

q2 = p logqp = 2

xy = 2 logx2 = y

pq = r logpr = q

logxy = z xz = y

23 = 8 log28 = 3

loga5 = b ab = 5

01 x:CE

0r 01 pe:CE

0y 01 xe:CE

01 a:CE


LOGARÍTMOSEXERCITANDO…

log(2-x)q = 3

0q 021 xe:CE

(2- x)3 = q

log(x- 4)(7x+5) = 2

057 x 041 xe:CE

(x- 4)2 = 7x+5

logm(2+x)= k mk = 2+x

02 x 01 me:CE

EXERCITANDO…

log101000 = 3 103 = 1000

Log100,01 = -2 10-2 = 0,01

Log0,21= 0 (0,2)0 = 1

72 = 49 log749 = 2

122 =144 log12144 = 2

107 = 10.000.000 log10(10.000.000 )= 7

(0,2)2 = 0,04 log0,2(0,04) = 2

4-2 = 1/16 Log4(1/16) = -2

log71 = 0 70 = 1

log2128 = 7 27 = 128

log10010 = ½ 1001/2 = 10

log88 = 1 81 = 8


LOGARÍTMOS

Consequências da definição

01log a


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 1:

01log5 Exemplos:

01log12

01log 7,0

01log31

01log3

01log 2 x

O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0.

10 a

Obedecendo as condições de existências.


1log aa


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 2:

15log5 Exemplos:

118log18

17,0log 7,0

13

1log

31

13log3

115log 15 xx


O logaritmo da base, qualquer que seja ela, é igual a 1.

aa 1


ba ba log


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 3:

A potência de base a e expoente loga b é igual a b.


pois o logaritmo de b de base a é o expoente que se deve dar à base a para que a potência seja igual a b.

baa logEm considere yba log , assim temos

a

?x

se yba log ba y

balog

xy

bx

xa ba log

Então

é o mesmo que

ba ba log

Vamos tentar justificar:


ba ba log


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 3:




Exemplo 1: Calcule o valor de5log22

5log22 Utilizando a propriedade:

5Resposta: 52 5log2


ba ba log


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 3:




Exemplo 2: Calcule o valor de5log28

5log28

Trocando os expoentes entre si

5log3 22 35log22

Dentro do parênteses utilizando a propriedade:

35 125Resposta: 1258 5log2


cb aa loglog


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 4:

pois


Se dois logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

cb

cb aa loglog caa log b bc


cb aa loglog


LOGARÍTMOS

xba log ba x

Propriedade 4:Obedecendo as condições de existências.

Se dois logaritmos de mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

cb

Exemplo 1: Determine o valor de xx , tal que 11log23log 77 x

11log23log 77 x

Como os dois logaritmos têm a mesma base, então os logaritmandos também são iguais.

1123 x 2113 x

93 x 3x


023 x 23 x

3

2x

Como3

23

x

Resposta: 3x

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