UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

ÁREA DE TECNOLOGIA E COMPUTAÇÃO

HISTÓRIA E APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES: EXPONENCIAL E

LOGARITMICA

Douglas Milan Tedesco

Professora: Carmen Teresa Kaiber

Disciplina: Calculo III (Turma 4N)

Canoas, 25 de Junho de 2014

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1. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1.1. História da Função Logarítmica

O surgimento dos logaritmos se deu durante o final do século XVI devido a

necessidade do homem em desenvolver técnicas para efetuar cálculos na resolução

de problemas na astronomia e na navegação, pois os problemas exigiam cálculos

aritméticos muito complexos para a época (SILVA, 2013).

Diversos matemáticos contribuíram na construção dos logaritmos, porém,

quem impulsionou fortemente seu desenvolvimento foi John Napier (1550-1617), um

nobre teólogo escocês, que não era matemático profissional, mas tinha a

matemática como lazer. Seu interesse era por alguns aspectos da computação e

trigonometria, especialmente estudos relacionados a simplificação de cálculos

(SILVA, 2013).

Napier elaborou uma tábua de logaritmos com o objetivo de simplificar as

operações, principalmente a de produtos e quocientes. Além de Napier, o suíço

Joost Biirgi (1552-1632), também contribuiu para o surgimento dos logaritmos

produzindo trabalhos a respeito desse tema. Napier e Biirgi lançaram suas tábuas de

logaritmos em 1614 e 1620, respectivamente (SILVA, 2013).

Conforme Anton (2009), quando os logaritmos foram introduzidos como uma

ferramenta computacional no século XVII, eles forneceram aos cientistas daquela

época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as

calculadoras tenham substituído as tabelas logarítmicas em cálculos numéricos, as

funções logarítmicas têm aplicações de longo alcance na Matemática e nas ciências.

Os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados

de logaritmos comuns. Para estes é usual suprimir referência explicita para a base e

escrever log x e não log10x. Os logaritmos de base dois, mais recentemente,

desempenharam importante papel na ciência computacional, uma vez que surgem

naturalmente em sistema numérico binário (ANTON, 2009).

Entretanto, os logaritmos mais usados nas aplicações são os logaritmos

naturais, os quais têm uma base irracional denotada pela letra e em homenagem ao

matemático suíço Leonard Euler que, em artigo não-publicado, escrito em 1728,

sugeriu sua aplicação aos logaritmos.

Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais é aproximadamente

2,718282, surge como a assíntota horizontal ao gráfico da equação y=(1+1/x)x.

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1.2. Aplicações da Função Logarítmica

Segundo Anton (2009) os logarítmicos são usados na ciência e na

Engenharia para tratar como quantidades cujas unidades variam sobre um conjunto

excessivamente amplo de valores. Por exemplo, a altura de um som pode ser

medida pela sua intensidade I (em watts por metro quadrado), a qual está

relacionada com a energia transmitida pela onda sonora – quanto maior a

intensidade, maior a energia transmitida e mais alto o som é captado pelo ouvido

humano. Contudo, unidade de intensidade são difíceis de controlar por que variam

sobre um enorme conjunto de valores. Por exemplo, o som no limiar da audição

humana tem uma intensidade em torno de 10-12 W*m-2, um cochicho abafado tem

uma intensidade cerca de 100 vezes o limiar da audição, e a turbina de um avião a

jato a 50 metros tem uma intensidade de cerca de 1 x 1012 vezes o limiar da

audição. Para ver como os logaritmos podem ser usados para reduzir essa

amplitude, observe que se

Equação 1 – Logaritmo Base 10.

então, aumentado x por um fator de 10, adiciona-se 1 a unidade y, uma vez

que

Equação 2 – Logaritmo Base 10.

Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a

Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números

adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a

construção de gráficos (GARPELLI, 2014).

Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar dígitos de

informação (bits). Na física, a escala logarítmica é utilizada em diversas aplicações.

Uma delas é a escala de decibéis, que mede a intensidade de sons. Ela é uma

escala logarítmica também na base 10.

Na química, por sua vez, os logaritmos são aplicados para calcular o pH

(potencial hidrogeniônico) de uma solução.

Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”) de

algum abalo sísmico. A intensidade sísmica é uma classificação dos efeitos que as

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ondas sísmicas provocam em determinado lugar. Não é uma medida direta com

instrumentos, mas simplesmente uma maneira de descrever os efeitos empessoas

(como as pessoas sentiram) em objetos e construções (barulho e queda de objetos,

trincas, ou rachaduras em casas, etc.) e na natureza (movimento de água,

escorregamentos, liquefação de solos arenosos, mudanças na topografia, etc.).

Como a intensidade é uma classificação e não uma medida, ela está sujeita a muitas

incertezas. A maior utilidade da escala de intensidade é no estudo de sismos

históricos, sismos ocorridos antes da existência de estações sismográficas

(HENRIQUE, 2006).

A escala de Mercalli se baseia nesse conceito de classificar a intensidade dos

terremotos a partir dos efeitos em pessoas e estruturas na superfície da terra. Foi

elaborada pelo italiano Giuseppe Mercalli em 1902, porém não utiliza conceitos de

logaritmos e é um pouco menos precisa. A forma mais atualmente utilizada nos

Estados Unidos é a Escala de Mercalli Modificada (MM), que foi desenvolvida em

1931 pelos sismólogos Harry Wood e Frank Neumann. Esta escala apresenta

limitações uma vez que depende de observação humana, para isso foi criada uma

escala que mede a magnitude do terremoto em função da quantidade de energia

liberada durante um sismo (HENRIQUE, 2006).

Estas eram utilizadas antes da invenção da escala de Richter por Charles

Francis Richter e Beno Gutenberg em 1935, que a base utilizada, neste caso, é a

10, de modo que um abalo sísmico com 6 pontos nesta escala é 10 vezes mais forte

do que um abalo com 5 pontos (GARPELLI, 2014).

A escala Richter foi desenvolvida no intuito de medir a magnitude de um

terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas

pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de

grandes proporções.

Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica

denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus. A magnitude (graus) é o

logaritmo da medida das amplitudes (medida por aparelhos denominados

sismógrafos) das ondas produzidas pela liberação de energia do terremoto. A

equação utilizada é a seguinte (GARPELLI, 2014):

Equação 3 – Magnitude (graus).

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onde,

M: magnitude;

A: amplitude máxima;

A0: amplitude de referência.

Assim se compararmos um terremoto de 6 graus com outro de 8 graus, de

magnitude, pela equação chegaremos ao resultado que as ondas do terremoto A2

possuem amplitudes 100 vezes mais intensas do que a do terremoto A1:

M1 – M2 = (log A1 – log A0) – (log A2 – log A0)

M1 – M2 = (log A1 – log A0) – (log A2 – log A0)

A2 = 100A1

Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte

fórmula:

Equação 4 – Energia Liberada por um Terremoto.

onde,

I: varia de 0 a 9

E: energia liberada em kW/h

E0: 7 x 10-3 kW/h.

Assim, de acordo com a fórmula, a energia liberada por um terremoto de 6

graus na escala Richter é de 7 x 106 kW/h (GARPELLI, 2014).

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2. FUNÇÃO EXPONENCIAL

2.1. História da Função Exponencial

Ao longo da história da matemática o homem procurou meios que facilitassem

os cálculos. Matemáticos procuravam construir tabelas para simplificar a aritmética,

mas específico, para cálculos com potencias. Utilizando essas tabelas obtinham

resultados cada vez mais precisos, sendo que os primeiros registros sobre potência

datam de 1000 a.C., porém somente no século XVII entra-se a notação de potencias

que é utilizada atualmente (GAIA, 2014).

Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694,

para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da

curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são

atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais

encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites

e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à

variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal (FAMA,

2011).

A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século

XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x).

Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar

"estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em

qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente

imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século

XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de

fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os

diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construísse o cálculo

infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a

definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para

o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática

usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os

objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a

definição "formal" de função moderna (FAMA, 2011).

As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito

rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas

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ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia,

Economia, Biologia, Psicologia e outras (COLA, 2014).

A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função

logarítmica natural, isto é:

Equação 5 – Função Exponencial inverso de Função

Logarítmica.

Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:

Equação 6 – Função Exponencial.

A Tabela 1 apresenta características da função exponencial.

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Tabela 1 – Características da Função Exponencial

Função exponencial

0 < a < 1

Função exponencial

a > 1

f: lR lR

x ax

● Domínio = lR

● Contradomínio = lR+

● f é invectiva

● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR

● f é continua e diferençável em lR

● A função é estritamente decrescente.

● limx→ -∞ ax = + ∞

● limx→ +∞ ax = 0

● y = 0 é assíntota horizontal

f: lR lR

x ax

● Domínio = lR

● Contradomínio = lR+

● f é invectiva

● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR

● f é continua e diferençável em lR

● A função é estritamente crescente.

● limx→ +∞ ax = + ∞

● limx→ -∞ ax = 0

● y = 0 é assíntota horizontal

Fonte: COLA, 2014

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então

(COLA, 2014):

ax ay= ax + y

ax / ay= ax - y

(ax) y= ax.y

(a b)x = ax bx

(a / b)x = ax / bx

a-x = 1 / ax

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Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e =

constante de Euller = 2,718...) (COLA, 2014).

y = ex se, e somente se, x = ln(y)

ln(ex) =x

ex+y= ex.ey

ex-y = ex/ey

ex.k = (ex)k

2.2. Aplicações da função exponencial

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a

taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros

capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substancias

químicas, desenvolvimento de bactérias e microrganismos, crescimento

populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas

utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Os cientistas, para datar um material orgânico como, por exemplo, um osso

de dinossauro, se baseiam em um efeito chamado desintegração radioativa para

fazer essa estimativa. Substâncias químicas com o passar do tempo emitem

partículas e se transformam em outras substâncias, o que faz a sua massa original

diminuir. O ritmo de desintegração de cada substância radioativa é diferente e não

depende da massa original, da temperatura ou de qualquer outra condição.

O tempo para que uma substância tenha sua massa original reduzida pela

metade é chamado de meia-vida. Assim, estimando a massa original de uma

substância no organismo vivo e sabendo a massa no material coletado é possível

avaliar a quanto tempo o organismo está morto.

A Tabela 2 apresenta algumas substâncias radioativas e o valor de sua meia-

vida (SILVIA, 2008).

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Tabela 2 – Substâncias Radioativas e o Valor de sua Meia-Vida

Fonte: Silva, 2008.

A meia-vida de uma substância é uma função exponencial da massa em

função do tempo, como mostra a Figura 1.

Figura 1 – Meia-Vida de uma Substância é uma Função Exponencial da Massa em Função do Tempo

Fonte: Silva, 2008.

O processo de identificação da idade de um material orgânico ilustra o uso da

função exponencial, assim como outros exemplos práticos comentados a seguir.

Quando jogamos uma moeda comum, o número de resultados que podemos

obter é igual a dois. Se, ao invés de uma, jogarmos duas moedas, o número de

resultados possíveis é igual a quatro, se forem 3 moedas, oito resultados possíveis

(SILVIA, 2008).

Podemos escrever essa situação:

1 moeda 2 resultados possíveis = 21

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2 moedas 4 resultados possíveis = 22

3 moedas 8 resultados possíveis = 23

O número de resultados que podemos obter depende do número de moedas

jogadas, ou seja, o número de resultados é obtido em função do número de moedas.

Pensando agora em outro exemplo, uma pesquisadora notou, durante um

experimento com determinada bactéria, que o número de bactérias triplicava a cada

hora. Durante o experimento que tinha uma população inicial de 5 indivíduos,

ocorreu o seguinte:

1ª hora n° de bactérias = 3x5 = 5x31

2ª hora n° de bactérias = 3x(3x5) = 5x32

3ª hora n° de bactérias = 3x(32x5) = 5x33

Então, o número de bactérias depende do número de horas passadas desde

o início do experimento, isto é, a população é dada em função do tempo (SILVIA,

2008).

A função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na

Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de

Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos".

Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao

fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e

passando, portanto, a ganhar juro. O investigador, no fim do segundo ano, receberá,

portanto, "juro do juro" além do juro do capital. Por exemplo, uma pessoa coloca

3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10

anos. No final deste período o valor a receber (capital acumulado) é:

Ao fim de 1 ano 3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2

Ao fim de 2 anos 3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) = 3x1,22

Ao fim de 3 anos 3x1,22 + 3x1,22x0,2 = 3x1,23

Ao fim de 10 anos 3x1,210 ≈ 18,575

Ao fim de x anos 3x1,2x

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3. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

ANTON, Howard. Calculo, um novo horizonte. Vol.1, 6º Edição, Ed. Bookman, Porto Alegre, 2009. COLA, da web. Disponível em: http://coladaweb.com/matematica/funcao Acessado em: 24/06/2014. CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS, Disponível em: http://sbemrn.com.br/site/III%20erem/comunica/doc/CC_Pinheiro_e_Santana.pdf Acessado em: 24/06/2014. FAMA. 7 de novembro de 2011. Disponível em: http://trabalhoflama.blogspot.com.br/2011/11/historia-da-funcao-exponencial.html. Acessado em: 24/06/2014. GAIA, Altobele. Função exponencial. Disponível em: http://ebah.com.br/content/ABAAAfC3cAD/funcao-exponencial# Acessado em: 24/06/2014. GARPELLI, Lia. Logaritmos. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfGSsAD/logaritmos Acessado em: 24/06/2014. HENRIQUE, Cynthia Adeline Pinheiro UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo. Novembro/2006. Disponível em: http://cdb.br/prof/arquivos/76295_20080603084510.pdf Acessado em: 24/06/2014. SILVIA, Função Exponencial. 2008. Disponível em: http://google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=2&ved=0CCIQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.uber.com.br%2Fsilvia%2Ftextos_basicos%2FFuncao_Exponencial.doc&ei=i5mpU_m5IojisATg2ICAAg&usg=AFQjCNF3N0wpcgXda-kvy09hl8_f6shTlg&bvm=bv.69620078,d.b2k&cad=rja Acessado em: 24/06/2014. VASCONCELOS, Logaritmo e suas aplicações. Disponível em: http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/jspui/bitstream/123456789/479/1/PDF%20-%20Kleber%20Washington%20Cabral%20de%20Vasconcelos.pdf Acessado em: 24/06/2014.