Função Quadrática  Definição    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0

    Vejamos alguns exemplos de função quadrática:1.f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

2.f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

3.f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

4.f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

5.f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 , é uma curva chamada PARÁBOLA

Exemplo:    Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

f(-3)=(-3)2+(-3)F(-3)=9 – 3=6

f(-2)=(-2)2 +(-2)f(-2)=4 – 2 = 2

f(-1)=(-1)2 +(-1)f(-1)=1-1=0 4

1)2

1(

2

1

4

1)2

1(

)2

1()

2

1()

2

1( 2

f

f

f f(0)=02+0=0

f(1)=12 +1=2

f(2)=22+2=6

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

    Observação:   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:•se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; •se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

X

Ya > 0

X

Y a< 0

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara

cab ..42

a

cabbx

.2

..42

Exemplo:Calcular os zeros da função y=x2 – 5x +6

1

2425

6.1.45 2

a=1 b=-5 c=6

23

22

4

2

15'

32

6

2

15'

2

151.2

15

esãoraízesas

x

x

x

x

x2 – 5x +6=0

•Coordenadas do vértice da parábola

•Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 

Em qualquer caso, as coordenadas de V são

Exemplo:Encontre as coordenadas do vérticex2 – 4x + 3

22

41.2

42

V

V

V

x

x

a

bx

14

44

12161.4

3.1.44

4

..4

.4

2

2

v

v

v

v

v

y

y

y

a

caby

ay

)1,2(

1

2

v

y

x

v

V

a=1 b=-4 c=3

•Imagem     O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades

1ª caso: quando a >0

2º caso: a<0

Exemplo: Calcular a imagem da seguinte função quadrática y=x2 – 4x + 3

14

44

12161.4

3.1.44

4

..4

.4

2

2

v

v

v

v

v

y

y

y

a

caby

ay 1/ yyy

Aplicações de uma função quadrática

Exemplo1:

Um criador de galinhas resolve construir um galinheiro de forma retangular.Aproveitando um muro já existente no local como um dos lados do galinheiro, dispõe de 60 m de uma tela especial para fechar os outros três lados. Como obter as medidas do local correspondente ao galinheiro, para que a área seja máxima possível.

X+X+Y=602X+Y=60Y=60 – 2x

A área de um retângulo é o produto de suas dimensões, ou seja:

S=X.YS=X.(60 – 2X)S= - 2x2 +60X

154

60

)2.(2

602

V

V

V

v

X

X

X

a

bX

Como X =15,então:

Y=60 – 2.15Y=60 – 30Y =30

Portanto as dimensões da tela são 15 m e 30 m

Exemplo 2:

A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezados os efeito do ar, é uma parábola de equação Y=120X – 4X2, x e y em metros. Obtenha o alcance máximo e a altura máxima atingidos pelo corpo.