EXERCCIO (I) - FUNO QUADRTICA

1) As seguintes funes so definidas em IR. Verifique quais delas so funes quadrticas e

identifique em cada uma delas o valor de a, b e c:

a) f(x) = 2x(3x 1)

b) f(x) = (x + 2)(x 2) 4

c) f(x) = (1 + x)(1 x) + x2

d) f(x) = (x + 2)2 - x(x+1)

e) f(x) = (x + 1)2 2(x + 1)

f) f(x) = 2(x + 1)2

2) Dada a funo quadrtica f(x) = 3x2 4x + 1, determine:

a) f(1) e)f (-2)

b) f(2) f) f(h + 1)

c) f(0) g) x de modo que f(x) = 1

d) f( 2 ) h) x de modo que f(x) = -1

3) Seja f(x) = 2x2 3x + 1. Calcule

3

2f .

SOLUO:

9

2913

9

929412

9

412

9

221

3

23

3

22

3

22

f

4) Para que valores reais de m a funo f(x) = (m 1)x2 4x 1 no admite zeros(razes) reais?

SOLUO: Devemos ter < 0, isto , b2 4ac < 0 (-4)2 4.(m 1).(-1) < 0

16 + [-4m + 4].(-1) < 0

16 + 4m 4 < 0

4m + 12 < 0

4

12m

m < - 3

5) Verifique quais dos seguintes pontos pertencem parbola que representa graficamente a

funo f(x) = x2 5x + 6:

a)A(2, 0) b) B(4, 2) c) C(-1, 10)

SOLUO:

a) testando o ponto A (2,0)

f(2) = 22 5.2 + 6

0 = 0. Logo A f(x)

b) testando o ponto B(4,2)

f(4) = 42 5.4 + 6

2 = 16 20 + 6

2 = 2. Logo B f(x)

c) testando o ponto C(-1, 10)

f(-1) = (-1)2 5.(-1) + 6

10 = 1 + 5 + 6

10 12. Logo C f(x)

6) Qual deve ser o valor de k para que a parbola quer representa graficamente a funo

f(x) = x2 2x + k passe pelo ponto P(2, 5) ?

SOLUO :

Para q essa parbola passe por esse ponto devemos ter: f(2) = 22 2.2 + k

5 = 4 - 4 + k

K = 5.

7) Qual o maior valor que a funo f(x) = - 3x2 x + 1 pode assumir para qualquer x IR?

SOLUO:

yv = 12

11

12

11

12

)11(

12

)121(

)3.(4

)1).3.(4)1((

4

)4(

4

22

a

acb

a

8) Qual a funo quadrtica cuja parbola passa pelos pontos (3, -2), (0, 4) e tem vrtice V(2, -4) ?

SOLUO: c = 4, pois (0, 4) ponto do grfico.

Do ponto (3, -2) = (3, f(3)) temos: f(3) = a.32 + b.3 + 4. Como f(3)=-2 ficamos com -2 = a.32 + b.3 + 4

9a + 3b = -6.

Do ponto (2, -4) = (2, f(2)) temos: f(2) = a.22 + b.2 + 4. Como f(2) = -4 ficamos com -4 = a.22 + b.2 +

4 4a + 2b = -8.

Da resolvendo o sistema abaixo obtemos a e b.

42

23

42

23

824

639

ba

ba

ba

ba

ba

baresolvendo o sistema obtemos a = 2 e b = - 8.

Portanto a funo f(x) = 2x2 -8x + 4.

9) Determine o valor de k para que a funo f(x) = (2-k)x2 5x + 3 admita valor mximo.

SOLUO: Para a funo ter valor mximo devemos ter: a < 0.

Da, 2 k < 0 2 < k k > 2.

Portanto, devemos ter: kIR | k > 2.

10) Qual o valor de m para que a funo f(x) = (4m + 1)x2 x + 6 admita valor mnimo?

SOLUO: Para a funo ter valor mnimo devemos ter: a > 0.

Da, 4m + 1 > 0 4m > -1 m > -1/4.

Portanto, devemos ter: mIR | m > -1/4.

11) Para que valor de k o valor mnimo da funo f(x) = x2 6x + 3k 3 ?

SOLUO: Valor mnimo yv = a

acb

a 4

)4(

4

2

. Da substituindo os valores de a, b, c e yv

ficamos com:

3 = .4481212123612)1236(1.4

)3.1.4)6(( 2

kkkk

k

12) A reta, grfico da funo f(x) = 3x 1, e a parbola, grfico da funo g(x) = x2 x + 2, tm

pontos comuns? Se tiverem, descubra quais so.

SOLUO: Devemos igualar as duas funes e determina o valor de x que torna f(x) = g(x), isto ,

3x 1 = x2 x + 2

x2 x 3x + 1 + 2 = 0

x2 4x + 3 = 0

3''

1'

x

x

Substituindo os valores de x em qualquer uma das funes, obteremos os valores de y

correspondentes. Tais pontos sero os comuns. Da:

f(1) = 3.1 1 = 2 Note que, g(1) = 2

f(3) = 3.3 1 = 8 Note que, g(3) = 8

Portanto os pontos comuns so (1, 2) e (3, 8).

I