FUNES1.Definio e Conceitos Bsicos1.1. Definio: uma funo f: A B
consta de trs partes: um conjunto A, chamadoDomnio de f, D(f); um
conjunto B, chamado Contradomnio de f, CD(f); e uma regra que
permite associar, de modo bem determinado, a cada a Isto , x A, !
f(x) B. A, um nico elemento b = f(a) B.
Observaes: 1- Para esta apostila, que trata apenas de funes
reais de varivel real, A e B sero subconjuntos no vazios do
conjunto dos reais, em geral intervalos ou unio de intervalos; 2-
IMPORTANTE!! No confundir f e f(x): f o nome da funo, enquanto f(x)
o valor que a funo f assume no ponto x A.
1.2. Exemplosa) f : R R; f(x) = l x l (funo Mdulo) R; g(x) = x
10 R; h(x) = 1
b) g : [10, + ) c) h : R \ { 0 } d) i ; R+
x
R; i(x) = ln x { 0; 1 }; f(x) =
e) (Funo de Dirichlet) f : R
0, x Q 1, x R - Q
1.3. IMAGEM ( direta e inversa ) DE UM CONJUNTO POR UMA
FUNO1.3.1. Quando x percorre o Domnio de f, f(x) descreve um
conjunto denominado Imagem de f, ou Im(f). Assim, temos que Im(f) =
{ f(x), x (relativos a 1.2 ): a) Im(f) = R+ b) Im(g) = R+ c) Im(h)
= R \ { 0 } d) Im(i) = R e) Im(f) = { 0 ; 1 } A }. Convm atentar
que Im(f) B. Exemplos
1.3.2. Entretanto, o conceito de Imagem no se restringe a isso.
Consideremos, agora, os subconjuntos X A e Y B. Denomina-se IMAGEM
DIRETA de X atravs de f o conjunto
f(X) = {f(x), x f (Y) = { x a) f : R \ { 0 } b) g: R-1
X}; mais importante ainda a IMAGEM INVERSA de Y atravs de f,
dada por Y }. Esclarecendo com exemplos: f(X) = [1/5; 3/2) e f-1(Y)
= [ 1; + )
A, f(x)
R; f(x) = 1/x, com X = ( 2/3; 5 ] e Y = [ 0; 1 ]
R; g(x) = x4, X = Y = [ -1, 2]. Neste caso, g(X) = [ 0; 16 ] e
g-1(Y) = [ 0, 4 2 ]
1.3.3. PROPRIEDADES 1) f(X 2) f(X 3) Se X 4) f-1(W 5) f-1(W 6)
Se Z 8) f-1(W Y) = f(X) Y) Y f(X) f(X) f(Y) f(Y) f(Y) f-1(W) f-1(W)
f-1(W) f-1(Z)
Z) = f-1(Z) Z) = f-1(Z) W f-1(Z)
7) f-1(YC) = (f-1(Y))C Z) = f-1(W)
2. GRFICO DE UMA FUNO2.1. Def.: O conjunto G(f) = { (x;f(x)); xA
} denominado grfico de f. , portanto, um
subconjunto de todos os pares ordenados (x;y) de nmeros
reais.
2.2. Exemplosa) Funo Mdulo b) g(x) =
x 10
c) h(x) = 1
x
d) i(x) = ln x
e) ( Esboce! )
3. OPERAES COM FUNES3.1. Sejam f, g : A a) f + g: A b) f . g: A
c) f / g: A B; A, B R. Define-se:
R por (f + g)(x) = f(x) + g(x); R por (f . g)(x) = f(x) . g(x);
R por (f / g)(x) = f(x) / g(x).
A operao mais importante envolvendo funes, entretanto, a
COMPOSIO:
3.2. Def.: Sejam A, B, C COMPOSTA gof : D A
R, com B
C, f : A
B e g: C D.
R. Definimos FUNO
R por: gof(x) = g(f(x)), x
OBSERVAES IMPORTANTES!!!: 1) O domnio de gof consiste nos x
obrigatrio que B C !! A tais que f(x) pertena ao domnio de g. Por
isso
2) O contradomnio de gof o contradomnio de g.
3.2.1.Exemplo: Sejam f: R e fog.
R; f(x) = x + 3 e g: R \ { -2 }
R; g(x)= 2/(x+2). Achemos gof
a) Com relao a gof, temos que D(gof) = { x R \ { -5 }. Assim,
gof : R \ { 5 }
R; f(x)
R \ { -2 } } = { x
R; x + 3
-2 } =
R; (gof) (x) = g(f(x)) = g(x+3) =
(x
2 3)
2 2 x 5
b) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ x portanto,
fog : R \ { -2 } R; (fog) (x) = f(g(x)) = f
R / g(x)
R } = R \ { -2 };
2 x 2
=
2 x 2
+3
4.PERIODICIDADE E MONOTONICIDADE4.1.Def.: f PERIDICA t R, t 0,
tal que x A x+t A e f(x + t)= f(x).
Observaes: 1) O nmero t chamado de UM perodo de f; 2) O menor
perodo positivo T denominado O PERODO de f, e ento f peridica de
perodo T.
4.2.Def.: Uma funo f: A f(x1)
R
B denominada crescente (no decrescente) se x1
