funções

Capítulo 3

FUNÇÕES DE VÁRIASVARIÁVEIS

3.1 Introdução

Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma dasnoções centrais da Matemática, o conceito de função.

Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como umaquantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única.

Através das funções de várias variáveis poderemos modelar uma grandequantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência.

Definição 3.1. Seja A ⊂ Rn. Uma função f definida no subconjunto A comvalores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número realf(u).

Observação 3.1.

1. Os elementos de u ∈ A são chamados variáveis independentes dafunção e os elementos w = f(u) são chamados variáveis dependentesda função.

2. A notação que utilizaremos é:

f : A ⊂ Rn −→ R

u −→ f(u).

65

66 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

3. Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x, y, z) e afunção por:

w = f(x, y, z),

4. Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y) e a funçãopor:

z = f(x, y),

z é chamada variável dependente da função .

Exemplos 3.1.

[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos dependeessencialmente da quantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H deágua (cm3), da temperatura T (0C) e da presença de uma certa proteina L(ml). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela:

N H T L Q

10 1 10 0.1 1520 3.5 14 0.4 2030 5.6 16 0.8 2222 8 21 0.1 2125 5.1 12 0.8 1510 1.4 30 1.6 1250 7.3 35 0.9 17

Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é umafunção bem definida:

Q = Q(N, H, T, L).

[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua alturah:

V (r, h) = π r2 h.

Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume:

3.1. INTRODUÇÃO 67

V (2, 10) = π 22 × 10 = 40 π cm3,

aproximadamente, 125.663 cm3

[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve tera forma de um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros),com um hemisfério em cada extremidade. O volume do tanque é descritoem função da altura l e do raio r.

r

l

Figura 3.1: O tanque do exemplo [3].

O volume do cilindro é π l r2 m3 e o dos dois hemisférios é4 π r3

3m3; logo, o

volume total é:

V (l, r) = π

[

4 r3

3+ l r2

]

m3.

Por exemplo, se a altura for 8 m e o raio r = 1 m, o volume é:

V (8, 1) =28 π

3m3.

[4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:

IMC(P, A) =P

A2,

onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pes-soa está acima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS(Organização Mundial da Saude):

Condição IMC

Abaixo do peso < 18.5Peso normal 18.5 ≤ IMC ≤ 25

Acima do peso 25 ≤ IMC ≤ 30Obeso > 30


Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65 m e pesa 98 quilos, tem:

IMC(98, 1.65) = 35.9;

logo segundo a tabela está obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80 m epesa 75 kg, tem

IMC(98, 1.75) = 23.1;

logo, segundo a tabela tem peso normal.

[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partículade massa m0 na origem de um sistema de coordenadas x y z, o módulo daforça F exercida sobre outra partícula de massa m situada no ponto (x, y, z)é dado por uma função de 5 variáveis independentes:

Figura 3.2: Exemplo [5].

F (m0, m, x, y, z) =g m0 m

x2 + y2 + z2,

onde g é a constante de gravitação universal.

[6] (Lei de Gay - Lussac) A lei de um gás ideal confinado é dada por:

P V = k T,

onde P é a pressão em N/u3 (N=Newton, u=unidades de medida), V é ovolume em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma constante quedepende do gás.

3.1. INTRODUÇÃO 69

Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da tempera-tura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a tempe-ratura do gás em função da pressão e do volume:

V (P, T ) =k T

P,

P (V, T ) =k T

Ve

T (P, V ) =P V

k.

[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros de altura,a concentração do poluente, a x quilômetros da origem da emissão e a ymetros do chão pode ser aproximada por:

P (x, y) =a

x2

(

eh(x,y) + ek(x,y))

,

onde h(x, y) = − b

x2

(

y − h)2 e k(x, y) = − b

x2

(

y + h)2.

O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são cons-tantes que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão dopoluente. Sejam a = 200 e b = −0.002. Por exemplo, para uma chaminé de10 m, a contaminação a 1 km de distância e a uma altura de 2 m é:

P (1000, 2) = 0.004 µg/m.

[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso,como artérias ou veias. Como as quantidades envolvidas são pequenas,podemos considerar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.

R

Figura 3.3: Fluxo laminar de Poiseuille.

Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido africção nas paredes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do


eixo central do vaso e decresce se a distância d (cm) do eixo à parede crescee é zero na parede. v é uma função de quatro variáveis:

v(P, R, l, d) =P (R2 − d2)

4 l η,

onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entradae a da saída do sangue no vaso, medida em dina/cm2. Experimentalmente,para o sangue humano numa veia: η = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675,R = 0.0075, P = 4 × 103 e d = 0.004, tem-se:

v(4 × 103, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.

[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fór-mula para calcular a área da superfície de uma pessoa em função de seupeso e sua altura:

S(P, A) = 0.0072 P 0.425 A0.725,

onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido emm2. Uma pessoa que pesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma área dasuperfície corporal: S(50, 160) = 1.5044 m2.

[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:

R R R

R

E

1 2 3

4

Figura 3.4: Circuito elétrico.

A intensidade da corrente I neste circuito é função das resistências Ri, onde(i = 1, 2, 3, 4) e da tensão da fonte E; logo:

I(R1, R2, R3, R4, E) =E

R1 + R2 + R3 + R4.

[11] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de umafábrica é determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários

3.2. DOMÍNIO E IMAGEM 71

por horas trabalhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, comprade maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela a produção échamada de Cobb-Douglas e é dada por:

P (L, K) = A Kα L1−α,

onde L é a quantidade de trabalho, K é o capital investido, A e α são cons-tantes positivas (0 < α < 1).

A função de produção de Cobb-Douglas tem a seguinte propriedade paratodo n ∈ N:

P (n L, n K) = A n Kα L1−α,

isto é, para acréscimos iguais na quantidade de trabalho e de capital inves-tido obtemos o mesmo acréscimo na produção.

Por exemplo, se o capital investido é de R$ 600.000 e são empregados 1000operários/hora, a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:

P (L, K) = 1.01 L3

4 K1

4 ;

então, P (1000, 600.000) = 4998.72.

3.2 Domínio e Imagem

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Ima-gem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias va-riáveis.

Definição 3.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u)existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f).

2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamadoimagem de f e é denotado por Im(f).

Observação 3.2. Na prática o domínio de uma função é determinado pelocontexto do problema.


Exemplos 3.2.

[1] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua alturah. Logo,

V (r, h) = π r2 h.

Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:

Dom(f) = {(r, h) ∈ R2 / r > 0, h > 0} = (0, +∞) × (0, +∞) eIm(f) = (0, +∞).

No caso de não estar considerando a função como volume, teríamos que:

Dom(f) = Im(f) = R2.

[2] Seja z = f(x, y) =√

1 − x2 − y2.

Note que f é definida se, e somente se:

1 − x2 − y2 ≥ 0,

ou seja x2 + y2 ≤ 1; logo:

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.

Por outro lado 0 ≤ z =√

1 − x2 − y2 ≤ 1; logo, Im(f) = [0, 1].

1

1


[3] Seja z = f(x, y) =x

x − y.

3.2. DOMÍNIO E IMAGEM 73

Note que f é definida se o denominador x − y 6= 0; então, x 6= y e,

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x 6= y} = R2 − {(x, x)/x ∈ R}.

1

1


[4] Seja z = f(x, y) = arcsen(x + y).

Note que arcsen(u) é definido se −1 ≤ u ≤ 1; logo, −1 ≤ x + y ≤ 1 o queacontece, se, e somente se, y ≤ 1 − x e −1 − x ≤ y; então:

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/ − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x}.

1

1


[5] Seja z = f(x, y) = ln(y − x).

Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0; logo, y − x > 0 e fé definida em todo o semi-plano definido por:

{(x, y) ∈ R2/y > x}.


1

1


[6] Seja z = f(x, y) =y

√

x2 + y2 − 1.

Note que o quociente é definido se x2 + y2 − 1 > 0; logo, a função é definidaem todo o plano menos a região determinada por x2 + y2 ≤ 1.

1

1


[7] Seja w = f(x, y, z) = y√

x2 + y2 + z2 − 1.

Note que a raiz quadrada está definida se, e somente se:

x2 + y2 + z2 − 1 ≥ 0;

logo, a função é definida em todo R3 menos a região determinada por:

x2 + y2 + z2 < 1.

De outro modo, todo o espaço menos os vetores de R3 de norma menor que1.

3.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 75

Observação 3.3. Damesma forma que no caso de uma variável, as funçõespolinomiais de grau n, de várias variáveis tem Dom(f) = Rn e a Im(f)depende do grau do polinômio.

[8] Se f(x, y, z) = x5 + y3 − 3 x y z2 − x2 + x2 y z + z5 − 1, então, Im(f) = R.

Se g(x, y) = x2 + y2 − 2 x y, então Im(f) = [0, +∞).

3.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis

Definição 3.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. O gráfico de f é oseguinte subconjunto de Rn+1:

G(f) = {(x, f(x)) ∈ Rn+1/x ∈ Dom(f)} ⊂ Rn × R

Observações 3.1.

1. Se n = 2 e x = (x, y); então:

G(f) = {(x, y, f(x, y))/(x, y) ∈ Dom(f)}.

G(f) é, em geral, uma superfície em R3.

2. Por exemplo, o gráfico da função :

f(x, y) =

{

1 se x, y ∈ Q

0 se x, y /∈ Q,

não é uma superfície.

3. Se n = 3, x = (x, y, z) e G(f) é uma "hipersuperfície"em R4.

4. Para n = 2, a projeção do gráfico de f sobre o plano xy é exatamenteDom(f).


Figura 3.10: Esboço do gráfico de uma função , ponto a ponto.

Figura 3.11: Gráfico de uma função.

3.4 Conjuntos de nível

Definição 3.4. O conjunto de nível de f com valor c ∈ R é definido por:

{x ∈ Dom(f)/f(x) = c}

Em particular:

1. Se n = 2, o conjunto de nível c é dito curva de nível c de f :

Cc = {(x, y) ∈ Dom(f)/f(x, y) = c}

3.4. CONJUNTOS DE NÍVEL 77

2. As curvas de nível são obtidas pelas projeções no plano xy, das curvasobtidas pela interseção do plano z = c com a superfície G(f).

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 3.12: Curvas de nível e gráficos, respectivamente.

3. Se n = 3, o conjunto de nível c é dito superfície de nível c de f :

Sc = {(x, y, z) ∈ Dom(f)/f(x, y, z) = c}

4. No caso n = 3, G(f) ⊂ R4; portanto, somente poderemos exibir esbo-ços de suas seções.

5. Se z = T (x, y) é a temperatura em cada ponto de uma região do plano,as curvas de nível correspondem a pontos de igual temperatura. Nestecaso, as curvas são chamadas isotermas.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 3.13: Curvas Isotermais.


6. Se z = P (x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma regiãodo plano, as curvas de nível correspondem a pontos de igual potencialelétrico. Neste caso, as curvas são chamadas equipotenciais.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

Figura 3.14: Curvas Equipotenciais.

Outra aplicação importante das curvas de nível é o esboço de gráficos defunção de duas variáveis:

A construção do esboço do G(f)

O esboço do grá fico de uma função é feita assim:

1. Uma vez dado o valor da "altura"z = c obtemos uma curva plana.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 3.15:


2. Elevando cada curva, sem esticá-la ou incliná-la obtemos o contornoaparente de G(f).

Figura 3.16:

3. Auxiliado pelas seções (como no caso das quádricas), podemos esbo-çar G(f) de forma bastante fiel.

Figura 3.17:

4. Note que curvas de nível muito espaçadas, significa que o gráficocresce lentamente; duas curvas de nível muito próximas significa queo gráfico cresce abruptamente.


Figura 3.18:

Exemplos 3.1.

[1] Se T (x, y) = x + y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de umaregião do plano, as curvas de nível ou isotermas são T (x, y) = c, isto é:

x + y2 − 1 = c, c ∈ R.

Temos uma família de parábolas:

c x + y2 − 1 = c

0 x + y2 = 11 x + y2 = 2-1 x + y2 = 02 x + y2 = 3-2 x + y2 = −1


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

- 2

- 1

0

1

2

Figura 3.19: Esboco das curvas de nível de T = T (x, y).

[2] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x2 − y2.

Note que Dom(f) = R2.

Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:

z = x2 − y2

não se altera se substituimos x e y por−x e−y; logo, tem simetria em relaçãoaos planos yz e xz.

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos: x2 − y2 = c.

Se c < 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos y.

Se c = 0, temos y = ±x, que são duas retas passando pela origem.

Se c > 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos x.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 3.20: Curvas de nível.


Traços:

No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.

No plano yz: a parábola: y2 + z = 0.

No plano xz: a parábola: x2 − z = 0.

Logo z = f(x, y) = x2 − y2 é um parabolóide hiperbólico.

Figura 3.21: Gráfico.

[3] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x + y2.


Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.


z = x + y2

não se altera se substituimos y por −y; logo, tem simetria em relação aoplano xz.

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos y2 = c − x, que é uma família de parábolas com focono eixo dos y, para todo c ∈ R.


-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


Traços:

No plano yz é a parábola: y2 − z = 0. No plano xz é a reta: x − z = 0.

Logo z = f(x, y) = x + y2 é um cilindro parabólico.


[4] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = ln(x2 + y2).

Note que Dom(f) = R2 − {(0, 0)}.Interseções com os eixos coordenados: (0,±1, 0), (±1, 0, 0).


z = ln(x2 + y2)


não se altera se substituimos x e y por−x e−y; logo, tem simetria em relaçãoaos planos yz e xz.

Curvas de nível.

Fazendo z = c, temos:

x2 + y2 = ec,

para todo c ∈ R. As curvas de nível são círculos centrados na origem deraios ec/2; se c → −∞, o raio tende para zero e se c → +∞, o raio cresce.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


A superfície tem o aspecto de um funil.



[5] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = sen(x).


Como na equação falta a variável y, o gráfico de f é um cilindro de diretrizz = sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.


[6] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x−y + z +2.Note que Dom(f) = R3.

Superfícies de nível:

Fazendo w = c, temos:

x − y + z = c − 2,

que representa uma família de planos paralelos de normal (1,−1, 1), paraqualquer c.


Figura 3.27: Superfícies de nível.

[7] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = z − x2 − y2.



Fazendo w = c, temos:

z = x2 + y2 + c,

que para cada c é a equação de um parabolóide circular com eixo no eixodos z.

Figura 3.28: Superfícies de nível.

[8] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x2 − y2 + z2.



Fazendo w = c temos:

x2 − y2 + z2 = c.

Se c < 0, é um hiperbolóide de duas folhas: x2 − y2 + z2 = c.

Figura 3.29: Hiperbolóide de duas folhas.

Se c = 0, é um cone circular: x2 − y2 + z2 = 0.

Figura 3.30: Cone circular.

Se c > 0, é um hiperbolóide de uma folha: x2 − y2 + z2 = c; etc.


Figura 3.31: Hiperbolóide de uma folha.

Em alguns casos é mais conveniente esboçar as curvas nível do que o gráficoda função.

[9] Considere a função de Cobb-Douglas:

P (L, K) = 1.01 L3

4 K1

4 .

As curvas de nível de P para diversas produções são esboçadas, indicandoas possibilidades de L e K para cada produção.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 3.32: Curvas de nível da função de Cobb-Douglas.

[10] Sabemos que o índice de massa corporal é dado por:

IMC(P, A) =P

A2.

As curvas de nível de ICM indicam as possibilidades de:


10 ≤ P ≤ 200 e 0.5 ≤ A ≤ 2.5.

50 100 150 200

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Figura 3.33: Curvas de nível da função da massa corporal.

De forma análoga ao caso de uma variável, nem toda superfície em R3 é ográfico de uma função de duas variáveis. A condição necessária e suficientepara que uma superfície em R3 seja o gráfico de uma função z = f(x, y)é que toda reta paralela ao eixo dos z intersecte a superfície em um únicoponto. A esfera x2 +y2 + z2 = 1 não pode ser gráfico de uma função de duasvariáveis, mas os hemisférios da esfera são gráficos das funções:

z = f1(x, y) =√

1 − x2 − y2 e z = f2(x, y) = −√

1 − x2 − y2.

Em geral, toda equação de tres variáveis que represente uma superfície éuma superfície de nível de alguma função de tres variáveis. As superfíciesquádricas são superfícies de algum nível de funções de três variáveis.

Exemplos 3.2.

[1] Seja x2 + y2 + z2 = 1; então: x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 0para

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1,

x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 1 para

g(x, y, z) = x2 + y2 + z2

e x2+y2+z2 = 1 é superfície de nível c = 30 para h(x, y, z) = x2+y2+z2+29.

[2] Seja z = f(x, y), considere h(x, y, z) = z − f(x, y); então, G(f) é umasuperfície de nivel zero de h.


3.5 Exercícios

1. Determine o volume em função de h e r.

(a) Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto dealtura h e raio r, com teto cônico.

(b) Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto dealtura h e raio r, com teto uma semi-esfera.

2. Se f(x, y) = x5−y5−4 x2 y3−3 x3 y2 +x y2 +x2−y2−x+y +1, calcule:

(a) f(0, 0)

(b) f(1, 1)

(c) f(x, x)

(d) f(y,−y)

(e) f(x2,√

x y)

(f) f(1, h)

(g) f(h, 0)

(h)f(x + h, y) − f(x, y)

h

(i)f(x, y + h) − f(x, y)

h

3. Se f(x, y, z) = (x y z)2, calcule:

(a) f(0, 0, 0)

(b) f(1, 1, π)

(c) f(x, x, x)

(d) f(y, z, z)

(e) f(x2,√

x y z, z3 y)

(f)f(x + h, y, z) − f(x, y, z)

h

(g)f(x, y + h, z) − f(x, y, z)

h

(h)f(x, y, z + h) − f(x, y, z)

h

3.5. EXERCÍCIOS 91

(i)f(x + h, y + h, z + h) − f(x, y, z)

h

4. Determine Dom(f) se:

(a) f(x, y) =

√

x − y

x + y

(b) f(x, y) =x2 − y2

x − y

(c) f(x, y) =x + y

x y

(d) f(x, y) = 16 − x2 − y2

(e) f(x, y) = |x|e y

x

(f) f(x, y) =√

|x| − |y|

(g) f(x, y) =x − y

sen(x) − sen(y)

(h) f(x, y) =√

y − x +√

1 − y

(i) f(x, y, z) = x y z − x4 + x5 − z7

(j) f(x, y, z) = sen(x2 − y2 + z2)

(k) f(x, y, x) =y

z x

(l) f(x, y, z) = x2 sec(y) + z

(m) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1)

(n) f(x, y, z) =√

1 − x2 − y2 − z2

(o) f(x, y, z) = ex2+y2+z2

(p) f(x, y, z) = 3

√

1 − x2 − y2 − z2.

5. Esboce Dom(f) no plano de cada função do exercício [4].

6. Seja x ∈ Rn. Uma função f(x) é dita homogênea de grau n ∈ Z separa todo t > 0, f(tx) = tn f(x). Verifique que as seguintes funçõessão homogêneas e determine o grau:

(a) f(x, y) = 3 x2 + 5 x y + y2


(b) f(x, y) =2

x2 + y2

(c) f(x, y) =√

x2 + y2 sen(y

x), x 6= 0

(d) f(x, y, z) =x

y3+

y

z3+

z

x3

(e) f(x, y, z) =1

x + y + z

(f) f(x, y, z) = x2 e−y

z

7. Esboce as curvas de nível de f , para os seguintes c:

(a) f(x, y) =√

100 − x2 − y2, c = 0, 8, 10.

(b) f(x, y) =√

x2 + y2, c = 0, 1, 2, 3, 4

(c) f(x, y) = 4 x2 + 9 y2, c = 0, 2, 4, 6

(d) f(x, y) = 3x − 7y, c = 0, ±1, ±2

(e) f(x, y) = x2 + xy, c = 0, ±1, ±2, ±3

(f) f(x, y) =x2

y2 + 1, c = 0, ±1, ±2, ±3

(g) f(x, y) = (x − y)2, c = 0, ±1, ±2, ±3

(h) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1), c = 0, ±1

(i) f(x, y) =x

x2 + y2 + 1, c = ±1, ±2

(j) f(x, y) = ex2+y2

, c = 1, 2

8. Esboce as superfícies de nível de f , para os seguintes c:

(a) f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2, c = 0, ±1, ±2

(b) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2, c = 0, ±12, ±1

(c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z, c = 0, ±1, ±2

(d) f(x, y, z) = x − y2 + z2, c = 0, ±1, ±2

(e) f(x, y, z) = x y z, c = 0, ±1, ±2

(f) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2), c = 0, ±1, ±2

9. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nívelde f :

3.5. EXERCÍCIOS 93

(a) f(x, y) = x − y − 2

(b) f(x, y) = x2 + 4 y2

(c) f(x, y) = x y

(d) f(x, y) = 2 x2 − 3 y2

(e) f(x, y) = |y|(f) f(x, y) =

√

16 − x2 − y2

(g) f(x, y) =√

9 x2 + 4 y2

(h) f(x, y) = e−(x2+y2)

(i) f(x, y) = 1 −√

x2 + y2

(j) z = 1 + y2 − x2

(k) z = x2

(l) z =√

1 + x2 + y2

(m) z = y3

(n) z = sen(x)

(o) z = ey

10. Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a se-guinte função para determinar a superfície corporal de uma pessoa:

S(P, h) = 0.0072 P 0.425 h0.725,

que estabelece uma relação entre a área da superfície S (m2) de umapessoa, o seu peso P (Kg) e sua altura h (cm).

(a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfíciecorporal?

(b) Esboce as curvas de nível da função S.

(c) Esboce o gráfico de S.

11. De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas fe g funções definidas em A ⊂ Rn, definimos:

(

f + g)

(u) = f(u) + g(u).

(

f g)

(u) = f(u) g(u);

em particular,(

λ f)

(u) = λ f(u), para todo λ ∈ R.

(f

g

)

(u) =f(u)

g(u),

se g(u) 6= 0.


(a) Calcule: f + g, f g, ef

g, se:

i. f(x, y) = x3−x y2−x2 y−y3+x2+y2 e g(x, y) = x2 y+x y2−x3.

ii. f(x, y) = x y2 − x4 y3 e g(x, y) =√

x2 + y2 + x y

(b) Calcule: f + g, f g, ef

g, se

i. f(x, y, z) = x y z − x2 z2 e g(x, y, z) = x y z − y2 z2.

ii. f(x, y, z) =√

x y + z − x2 − y2 e g(x, y, z) = x5 − y2 z2.

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