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1 Função Polinomial do 2º grau ou Função quadrática............1 1.1 O grau de uma função....................................1 1.2 Definição de Função Quadrática..........................2 1.3 Representação Gráfica da Função Quadrática..............3 1.3.1 Representação gráfica da função y = ax 2 ...............3 1.3.2 Representação gráfica da função y = ax 2 + c...........4 1.3.3 Representação gráfica da função y = ax 2 + bx..........5 1.3.4 Representação gráfica da função y = a (x - h) 2 ........6 1.3.5 Representação gráfica da função f (x) = a (x – h)2 + k7 1.3.6 Representação gráfica da função y = ax 2 + bx + c......8 1.4 Raízes (ou zeros) da função do 2º grau..................9 1.5 Concavidade da Parábola................................10 1.6 O Discriminante e a Concavidade........................11 1.7 Domínio e Imagem da Função.............................11 1.7.1 Crescimento e Decrescimento de uma Função Quadrática 11 1.7.2 Estudo do Sinal da Função Quadrática................11 1.8 Exercícios Resolvidos..................................12 1.9 Exercícios Propostos...................................13 1.10 Inequações do 2º grau..................................15 1.10.1................................Inequações simultâneas 15 1.10.2..............Inequação produto e inequação quociente, 16 1.11 Exercícios Propostos...................................17 2 Funções Quadráticas e a Representação de Fenômenos..........19 1 Função Polinomial do 2º grau ou Função quadrática Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro? O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642, estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 1 2 = 5 metros; depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 2 2 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 X 3 2 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x 2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x 2 . 1

Funções de 2º Grau

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Funções de 2º Grau

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1

11Funo Polinomial do 2 grau ou Funo quadrtica

11.1O grau de uma funo

21.2Definio de Funo Quadrtica

31.3Representao Grfica da Funo Quadrtica

31.3.1Representao grfica da funo y = ax2

41.3.2Representao grfica da funo y = ax2 + c

51.3.3Representao grfica da funo y = ax2 + bx

61.3.4Representao grfica da funo y = a (x - h)2

71.3.5Representao grfica da funo f (x) = a (x h)2 + k

81.3.6Representao grfica da funo y = ax2 + bx + c

91.4Razes (ou zeros) da funo do 2 grau

101.5Concavidade da Parbola

111.6O Discriminante e a Concavidade

111.7Domnio e Imagem da Funo

111.7.1Crescimento e Decrescimento de uma Funo Quadrtica

111.7.2Estudo do Sinal da Funo Quadrtica

121.8Exerccios Resolvidos

131.9Exerccios Propostos

151.10Inequaes do 2 grau

151.10.1Inequaes simultneas

161.10.2Inequao produto e inequao quociente,

171.11Exerccios Propostos

192Funes Quadrticas e a Representao de Fenmenos

1 Funo Polinomial do 2 grau ou Funo quadrtica

Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro? O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe at um ponto mximo e comea a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parbola. O fsico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642, estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se no fosse a resistncia do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros; depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 aproximadamente a metade da acelerao da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto o mesmo que escrever a funo f (x) = 5x2. Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemtico: funo quadrtica. Toda funo na qual a varivel x aparece com o expoente mximo igual a 2 chamada de funo quadrtica, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente mximo da varivel o quadrado.1.1 O grau de uma funoO grau de uma varivel independente dado pelo seu expoente. Assim, as funes de segundo grau so dadas por um polinmio de segundo grau, e o grau do polinmio dado pelo monmio de maior grau.As funes de segundo grau tm a varivel independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente 2. O grfico que corresponde a essas funes uma curva denominada parbola.

No dia-a-dia, h muitas situaes definidas pelas funes de segundo grau. A trajetria de uma bola lanada para frente uma parbola. Se fizermos vrios furos em vrias alturas num bote cheio de gua, os pequenos jorros de gua que saem pelos furos descrevem parbolas. A antena parablica tem a forma de parbola, originando o seu nome.

A funo quadrtica tambm modela muitos fenmenos fsicos e qumicos.

1.2 Definio de Funo QuadrticaChama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma y = f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so constantes reais e a 0.Exemplos de funes quadrticas:f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

y=x2+3x+2, onde a=1; b=3; c=2

y=x2 , onde a=1; b=0; c=0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax2. essencial que exista um termo de segundo grau na funo para que ela seja uma funo quadrtica, ou de segundo grau. Alm disso, esse termo deve ser o de maior grau da funo, pois se houvesse um termo de grau 3, isto , ax3, ou de grau superior, estaramos falando de uma funo polinomial de terceiro grau.

Assim como os polinmios podem ser completos ou incompletos, temos funes de segundo grau incompletas, como: f (x) = x2

f (x) = ax2

f (x) = ax2+ bx

f (x) = ax2 + c

Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expresso geral y = ax2; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax2 + bx; ou tambm unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax2 + c. Exemplos de aplicao da funo quadrtica:

1.3 Representao Grfica da Funo Quadrtica

1.3.1 Representao grfica da funo y = ax2Comeamos representando a funo quadrtica y = x2, que a expresso mais simples da funo polinomial de segundo grau.

Como acontece com toda funo, para represent-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores. Se unirmos os pontos com uma linha contnua, o resultado uma parbola, como mostra a figura:

Observando atentamente a tabela de valores e a representao grfica da funo y = x2 vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, o eixo de simetria do grfico.

Alm disso, o ponto mais baixo da curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) o ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto conhecido como vrtice da parbola.

Na figura a seguir, esto s representaes grficas de vrias funes que tm como expresso geral y = ax2.

Observando com ateno a figura acima podemos afirmar: O eixo de simetria de todos os grficos o eixo Y

Como x2 = ( x) 2, a curva simtrica em relao ao eixo das ordenadas. A funo y = x2 crescente para x > xv e decrescente para x < xv. Trata-se de uma funo contnua, pois para pequenas variaes de x correspondem pequenas variaes de y.

Todas as curvas tm o vrtice no ponto (0,0).

Todas as curvas que esto no semiplano de ordenadas positivas, com exceo do vrtice V (0,0), tm ponto de mnimo que o prprio vrtice.

Todas as curvas que esto no semiplano de ordenadas negativas, com exceo do vrtice V (0,0), tm ponto de mximo que o prprio vrtice.

Se o valor de a for positivo, os ramos da parbola se dirigem para cima. Ao contrrio, se a for negativo, os ramos se dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientao da parbola:

a > 0, a parbola abre-se para valores positivos de y.a < 0, a parbola abre-se para valores negativos de y.

medida que aumenta o valor absoluto de a, a parbola mais fechada, isto , os ramos ficam mais prximos do eixo de simetria: quanto maior |a|, mais a parbola se fecha.

Os grficos de y = ax2 e y = ax2 so simtricos entre si com relao ao eixo X, das abscissas.

1.3.2 Representao grfica da funo y = ax2 + c

Observe as tabelas de valores e suas representaes grficas nas figuras a seguir:

O grfico y = x2 3 obtido baixando-se 3 unidades no grfico da funo y = x2. Enquanto, o grfico de y = x2 + 5 obtido se elevando em 5 unidades o grfico da funo y = x2.

Para lembrar:

Em geral, o grfico da funo y = ax2 + c se obtm deslocando o grfico y = ax2 em c unidades na direo do eixo Y, como mostra a figura ao lado.

As duas funes y = x2 3 e y = x2 + 5, representadas nas figuras anteriores, tm as seguintes caractersticas: Seu eixo de simetria Y.

So simtricas com relao ao eixo Y.

Para a > 0, o grfico se abre para as ordenadas positivas.

Para a < 0, o grfico se abre para as ordenadas negativas.

O vrtice da parbola o ponto V (0, c).

O grfico desloca-se verticalmente em funo de c.

1.3.3 Representao grfica da funo y = ax2 + bx Acrescentar um termo de primeiro grau funo estudada y = ax2 implica uma nica modificao: a parbola sofre uma translao. Isto significa que o vrtice j no ser o ponto (0, 0), como mostra a figura abaixo. Por isso, para poder representar a parbola, ser necessrio encontrar um mtodo que nos permita localizar a posio do novo vrtice.

Partimos da funo y = ax2 + bx. Esta funo tambm pode ser escrita como y = x (ax + b).

Sabemos que nos pontos em que os ramos da parbola cortam o eixo X, das abscissas, o valor de y ser 0. Por isso podemos dizer que x X (ax + b) = 0.

Resolvendo esta expresso, saberemos os pontos em que a parbola corta o eixo X. Podemos facilmente notar que uma soluo x = 0, e se isolarmos o x em (ax + b) = 0, obteremos x = (b/a).

Se a parbola corta o eixo X nos pontos 0 e (b/a), a abscissa do vrtice (xv) ser necessariamente o ponto mdio do segmento que tem por extremos 0 e (b/a). Assim:

Para obter o valor da ordenada do vrtice, basta substituir o valor de x por -b/(2a) na funo. A partir da ficamos conhecendo os valores que mais nos interessam para construir a tabela e representar graficamente a funo.

Podemos tambm usar a seguinte frmula para o clculo do vrtice de uma parbola:

V= ( ), onde . Veremos o clculo do discriminante, (, em seguida.1.3.4 Representao grfica da funo y = a (x - h)2Quando a funo f (x) = ax2 + bx + c pode ser expressa na forma

f (x) = a (x - h) 2, esta uma translao horizontal sobre o eixo X da funo y = ax2.

Temos a funo f (x) = x2 4x + 4, que, por ser um quadrado perfeito, pode ser expressa como f (x) = (x 2) 2.

Vamos representar f (x) = x2 e f (x) = (x 2) 2 num mesmo grfico:

Observando a figura abaixo, vemos que a curva f (x) = (x 2) 2 idntica a y = x2, mas com o vrtice em V (2, 0).

Em geral, os grficos das funes f (x) = (x c)2 so idnticos a f (x) = x2, mas com o vrtice em (c, 0).

Para lembrar: Essas funes obedecem aos mesmos critrios que f (x) = ax2, com a diferena de que o eixo de simetria passa pelo vrtice (c, 0) e paralelo ao eixo das ordenadas.

1.3.5 Representao grfica da funo f (x) = a (x h)2 + k Quando a funo f (x) = ax2 + bx + c no pode ser indicada na formaf (x) = a (x h) 2, devemos tentar express-la como f (x) = a (x h) 2 + k. Vamos considerar a funo abaixo:

f (x) = x2 + 6x + 12 = x2 + 6x + 9 + 3

Como: x2 + 6x + 9 = (x + 3) 2. Podemos, portanto, express-la desta maneira:

f (x) = (x + 3) 2 + 3

Agora, vamos representar graficamente f (x) = x2 ; f(x) = (x + 3) 2 e f(x) = (x + 3) 2 + 3De acordo com a figura, o grfico da funof (x) = x2 + 6x + 12 obtido com uma translao da parbola f (x) = x2 em 3 unidades negativas nas abscissas e 3 unidades positivas nas ordenadas.

Os grficos obtidos das funes descritas na tabela abaixo obedecem aos mesmos critrios gerais. Tendo apenas algumas diferenas:

O vrtice encontra-se no ponto (h, k).

O eixo de simetria da parbola a reta que passa pelo vrtice (h, k) e paralela ao eixo das ordenadas.

1.3.6 Representao grfica da funo y = ax2 + bx + c A funo quadrtica, em sua forma completa, corresponde expresso y = ax2 + bx + c. Seu grfico, em geral, obtido deslocando-se verticalmente a representao grfica da funo y = ax2 + bx. O valor de c o que determina o deslocamento da funo. Se c for positivo, a funo se deslocar c unidades para cima. Inversamente, se c for negativo, o deslocamento ser de c unidades para baixo.

A partir das funes indicadas na tabela, anterior, vamos observar suas representaes grficas e as translaes que sofreram:

Considere que, para representar graficamente a funo, precisamos conhecer o vrtice da parbola.

Observe que nas duas parbolas da figura acima, o valor da abscissa o mesmo: x = 2.

Isto nos permite utilizar o mtodo de calcular as coordenadas do vrtice: x = (b/2a) e o valor da ordenada. Esses clculos podem ser obtidos substituindo-se o valor de x por (b/2a) na funo. Por ltimo, bom guardar as seguintes afirmaes:

O eixo de simetria da parbola a reta vertical que passa pelo vrtice da parbola.

A parbola corta o eixo Y no ponto (0,c).

Os pontos de interseo com o eixo X so determinados resolvendo-se a equao: ax2 + bx + c = 0Para lembrar: Pode haver dois pontos de interseo, um, ou nenhum, dependendo do valor do discriminante da equao ser positivo, zero ou negativo, respectivamente.O vrtice estar situado no ponto V = (2,2)

Ao lado, foram traados os grficos da funo , para c igual a -50 , -20 , 0 , 20 e 50 , respectivamente.

1.4 Razes (ou zeros) da funo do 2 grauDenominam-se zeros ou razes da funo do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 os valores de x para os quais ela se anula; isto , y=f(x)=0

Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Baskara:

Temos:

Observao:

A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

- quando positivo, h duas razes reais e distintas;

- quando zero, h s uma raiz real;

- quando negativo, no h raiz real. Como determinar a raiz ou zero da funo do 2 grau?

Simplesmente aplicando a resoluo de equaes do 2 grau, vista nesta seo.

Exemplo: na funo y=x-4x+3, as razes so x = 1 e x = 3. Vejamos o grfico:

Notem que quando x=1 e x=3, a parbola intercepta ("corta") o eixo x.

1.5 Concavidade da ParbolaVeja os desenhos:

Quando a>0, a concavidade da parbola est voltada para cima (carinha feliz) e quando a 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo;

Exemplos:

y = f(x) = x - 4y = f(x) = -x + 4

a = 1 >0a = -1 < 0

Quando a concavidade est voltada para cima (a>0), o vrtice representa o valor mnimo da funo. Quando a concavidade est voltada para baixo (a0 concavidade voltada para cimaa0Corta o eixo horizontal em 2 pontos

D=0Toca em 1 ponto do eixo horizontal

D 0, ento Im =

Se a < 0, ento Im =

1.7.1 Crescimento e Decrescimento de uma Funo Quadrtica

Em uma parbola, metade crescente e a outra metade decrescente.

Concavidade voltada para cima:

Decrescente do -infinito ao vrtice

Crescente do vrtice ao infinito

Concavidade voltada para baixo:

Crescente do -infinito ao vrtice

Decrescente do vrtice ao infinito

1.7.2 Estudo do Sinal da Funo Quadrtica

Estudar o sinal da funo quadrtica y=f(x) = ax2 + bx + c, com a 0, significa determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula, positivo ou negativo.O estudo do sinal vai depender do discriminante da equao quadrtica correspondente e do coeficiente a.

1 Caso: a > 0 Se ( > 0

y=f(x) > 0 para x < x ou x > xy=f(x) = 0 para x = x ou x = xy=f(x) < 0 para x < x < x

Se ( = 0y > 0 para x K xy = 0 para x = x = xSe ( < 0

y > 0 para todo x real2 Caso: a < 0

Se ( > 0

y > 0 para x< x < xy = 0 para x = x ou x = xy < 0 para x < x ou x > x

Se ( = 0

y = 0 para x = x = x

y < 0 para x K xSe ( < 0

y < 0 para todo x real1.8 Exerccios Resolvidos

1) Sabe-se que -2 e 3 so razes de uma funo quadrtica. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao grfico dessa funo, ento:

a) o seu valor mximo 1,25

b) o seu valor mnimo 1,25

c) o seu valor mximo 0,25

d) o seu valor mnimo 12,5

*e) o seu valor mximo 12,5.

SOLUO: Sabemos que a funo quadrtica, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, so os zeros ou razes da funo.

Portanto, poderemos escrever:

y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)

y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao grfico da funo, vem:

8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)

8 = a(1)(-4) = - 4.a

Da vem: a = - 2

A funo , ento: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)

y = -2x2 + 6x - 4x + 12

( y = -2x2 + 2x + 12

Temos ento: a = -2 , b = 2 e c = 12.

Como a negativo, conclumos que a funo possui um valor mximo.

Isto j elimina as alternativas B e D.

Vamos ento, calcular o valor mximo da funo. (=b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100. Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta a letra E.

2) Que nmero excede o seu quadrado o mximo possvel?

*a) 1/2

b) 2

c) 1

d) 4

e) -1/2

SOLUO: Seja x o nmero procurado.

O quadrado de x x2 .

O nmero x excede o seu quadrado , logo: x - x2.

Ora, a expresso anterior uma funo quadrtica y = x - x2 .

Podemos escrever: y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.

O valor procurado de x, ser o xv (abcissa do vrtice da funo). Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2. Logo, a alternativa correta a letra A . 1.9 Exerccios Propostos

1) Representar graficamente as seguintes funes e compar-las com o grfico da funo y = x2.

a) y = x2.

b) y = x2 + 2.

c) y = x2 4x.

d) y = (x2/2) 2x + 3.

2) Partindo da funo y = x2, desenhar as funes:

y = x2 + 1, y = x2 2.

3) Representar graficamente as funes y = (x 2) 2, y = (x + 1) 2 a partir de y = x2. 4) Representar graficamente as funes y = (x + 2) 2 + 1, y = (x 1) 2 2.

5) Para as 6 funes a seguir, vamos:

1 Calcular os zeros da funo

2 Ponto de Mximo ou de Mnimo

3 Fazer o Grfico

4 Mostrar o crescimento e decrescimento da funo

5 Imagem

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6) O lucro de uma empresa dada por onde x a quantidade vendida. O que podemos afirmar em relao ao lucro. Qual a quantidade vendida que apresenta o lucro mximo.

7) As equaes a seguir definem funes do 2 grau. Para cada uma dessas funes, ache as coordenadas do vrtice que a representa:

a) f(x)= x - 4x + 5

b) f(x)= x +4x - 6

c) f(x)= 2x +5x - 4

d) f(x)= -x + 6x - 2

e) f(x)= -x - 4x +1

8) Determine, se existirem, os zeros reais das funes seguintes:

a) f(x)= 3x - 7x + 2

b) f(x)= -x + 3x - 4

c) f(x)= -x + 3/2x + 1

d) f(x)= x -4

e) f(x)= 3x

No existe zeros em (b)

9) Construa o grfico das seguintes funes:

a) f(x)= x - 16x + 63

b) f(x)= 2x - 7x + 3

c) f(x)= 4x - 4x +1

d) f(x)= -x + 4x - 5

e) f(x)= -2x +8x- 6

10) Em uma partida de vlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relao h(t) = -t + 8t.

a) Em que instante a bola atingiu a altura mxima? [Nota]: observem o vrtice

b) De quantos metros foi a altura mxima alcanada pela bola?

c) Esboce o grfico que represente esta situao.

Respostas: 4: a)4s; b) 16m

11) Determine m e n para que o vrtice da parbola de y = x2 mx + n seja (-1,2).

12) Determine o conjunto imagem da funo f(x) = 2x2 8x + 1 de domnio IR.

13) Determine m para que a funo f(x) = (3m-12)x2 5x 1 tenha valor mximo.

14) De todos os retngulos de permetro 40 cm, determine o de rea mxima.

15) A diferena entre dois nmeros 8. Para que o produto seja o menor possvel, um deles deve ser:

a) 16

b) 8

*c) 4

d) -4

e) -16

16) A diferena entre dois nmeros 8. O menor valor que se pode obter para o produto :

a) 16

b) 8

c) 4

d) -4

*e) -161.10 Inequaes do 2 grau

Para resolvermos uma inequao do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequaes so representadas pelas desigualdades: , > ,O, < .

Exemplo: x2 3x +6 > 0

Resoluo:

x2 3x +6 = 0

( x= 1, x = 2Como desejamos os valores para os quais a funo maior que zero devemos fazer um esboo do grfico e ver para quais valores de x isso ocorre.

Vemos, que as regies que tornam positivas a funo so: x2

Resposta: {x X IR / x2}

1.10.1 Inequaes simultneasExemplo: -8 < x2 2x 8 < 0

Resoluo:

1o passo) Separar as inequaes , obedecendo o intervalo dado.

Temos: I) x2 2x 8 > -8 e II) x2 2x 8 0 x = 0 e x = 2

II) x2 2x 8