Funções Diferenciáveis

Dizer que uma função de mais de uma variável é diferenciável não significa apenas que possui derivadas parciais. Nisto as funções de mais de uma variável são diferentes   das funções de uma variável.

Durante toda essa aula f(x,y) é uma função definida numa vizinhança de (x0,y0). Usaremos a notação d[(x,y),(x0, y0)] para representar a distância entre os pontos (x,y) e (x0,

y0).

Definição 1: Dizemos que f(x,y) é diferenciável em (x0, y0) se as duas condições são verdadeiras: 

Exemplo 1: f(x,y) = 2x + 3y é diferenciável em (1, -1) pois

Interpretação geométrica

A equação

é de um plano que passa por   (x0, y0, f (x0,y0)). Temos que r(x,y) = f(x,y) – z1. Logo,

"mais rápido" do que  (x,y) tende a  (x0,y0) Ou seja, próximo de (x0,y0) o gráfico de  f(x,y) está (ainda mais ) próximo desse plano.

  

Definição 2: Se f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) então:

1.   O plano tangente à superfície f(x,y)   em (x0,y0) tem equação

2. A diferencial (ou diferencial total) de f(x,y) em (x0,y0) é 

Exemplo 2: Seja a função f(x,y) = 2x + 3y e o ponto (1,-1)

1. O plano tangente à superfície f(x,y) = 2x + 3y é z = 2(x -1) + 3(y +1) - f(1,-1) z = 2x +3y  (ou seja, é ela própria pois esta superfície é um plano)  2.  df(1,-1) = 2. x + 3. y  

Proposição 1: Se f(x,y) é diferenciável em (x0, y0) então é continua em (x0,y0)

Demonstração: Devemos mostrar que

Exemplo 3: A função a seguir apesar de possuir derivadas parciais em (1,0) não é diferenciável em (1,0) pois  não é contínua neste ponto (veja aula anterior).

  Exemplo 4: Veremos com este exemplo que uma função pode ser contínua num ponto sem que seja diferenciável naquele ponto.

(é um bom exercício esboçar este gráfico!) é contínua mas não é diferenciável em (0,0) pois não possui derivadas parciais neste ponto (veja justificativa em aula).

A situação descrita na proposição a seguir é a que mais  nos interessa neste curso.

Proposição 2: Se f(x,y) possui derivadas parciais em todos os pontos de uma

(x0, y0 ) então f(x,y) é diferenciável em (x0, y0 ).

Exemplo 5: Seja a função racional

D(f) = R2- {(-1,0)} e para todo ponto (x,y) deste domínio

de f(x,y) então são funções contínuas neste domínio. Concluímos que f(x,y) é diferenciável em todo ponto do seu domínio.

De modo geral, pelas mesmas razões do exemplo acima, uma função racional édiferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Exemplo 6: A função racional f(x,y) = x é diferenciável em todos os pontos do R2 e em qualquer ponto (x0,y0) do R2 temos df = x. Indicando f(x,y) por x (é a notação tradicional do cálculo) temosdx = xAnalogamente temosdy = y

Usaremos a seguinte notação para a diferencial de uma função no ponto (x0,y0):

Exemplo 7: Seja a função f(x,y) = cos(3xy) + y. Calcule sua diferencial e determine seu plano tangente no ponto ( /2,-1)

A diferencial:

(e são contínuas em todo ponto do R2)

Plano tangente:f(x,y) = cos(-3 /2) –1 = -1 e portanto a equação do plano tangente é

 

Das classes de funções estudadas temos o seguinte diagrama

Derivadas Parciais

Exemplo 1: f(x,y) = sen(x2 + xy ) + y

Definição: Seja f(x,y) uma função definida numa vizinhança de (x0,y0). A derivada parcial da função f(x,y) em relação a y em (x0, y0) é a derivada da função de uma variável F(y) = f(x0, y) no ponto y = y0.

Ou seja, para calcular a derivada parcial de f(x,y) em relação a y e em (x0, y0) fixamos x = x0 e derivamos a função de variável y no ponto y0.

Usando o que vimos no Cálculo I, temos que

Interpretação geométrica:

De acordo com  a interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável, no caso a função F(y), temos

De modo análogo, definimos a derivada parcial em relação a x.

Na prática, para calcularmos a derivada parcial de uma função de várias variáveis em relação a uma de suas variáveis, consideramos todas as outras variáveis como constantes e derivamos em relação aquela variável.

Exemplo 2: Calcule as derivadas parciais das funções a seguir

Exemplo 3: (A derivada parcial como taxa de variação) A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal  situada no plano  XOY é dada por T = 10. (x2 +y2)2.

a) Determine a taxa de variação de T em relação à distancia no ponto (-1,2) e na direção de OY.

b) Partindo-se do ponto (-1,2) e deslocando-se na a direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui?

A função de duas variáveis T/ x é contínua e sua imagem em (-1,2) é negativa. Pelo teorema da conservação do sinal, T/ x é negativa numa vizinhança deste ponto.

Portanto a temperatura decresce.

Derivadas parciais e continuidade

Vimos  no Cálculo I (para funções  de uma variável) que"Se existe f´(x0) então f(x) é contínua em x0"

O mesmo resultado não vale para funções com duas, ou mais, variáveis. Veremos a seguir um exemplo de função de duas variáveis que não é contínua num ponto mas possui derivadas parciais nesse ponto.

Exemplo 4:

Temos que,

Podemos  mostrar que este limite não existe (exercício) . Portanto esta função não é contínua em (1,0).

Vamos calcular as derivadas parciais desta função no ponto (1,0).

Vamos considerar a função, de uma variável, F(x) = f(x,0)

Como F(x) = x , então F´(x) = 1, x R. Em particular F´(1) = 1 e portanto

De modo análogo (calcule!) temos que

Com a continuidade das derivadas parciais, garantimos a continuidade da função, é o que diz a proposição a seguir.

Proposição 1: Se as derivadas parciais de f(x,y) existem numa vizinhança de (x0,y0) e são contínuas neste ponto, então f(x,y) é contínua neste ponto.

Derivadas Parciais de Diversas Ordens

Exemplo 5:

As derivadas parciais de 1a ordem de f(x,y) são as suas derivadas parciais

Derivando as derivadas parciais de 1a ordem de f(x,y) obtemos suas derivadas parciais de 2a ordem:

De modo análogo, através das derivadas parciais de 2a ordem, obtemos as derivadas parciais de 3a ordem.

De modo geral, é da forma ilustrada neste exemplo que se definem as derivadas de diversas ordens de uma função.

Usamos também a seguinte notação para derivadas parciais fx, fy , fxx, fxy, etc. .. 

Observamos que neste exemplo apresentado temos que:

.

Esta igualdade não é uma coincidência _ ela sempre ocorre sob certas hipóteses. É o que diz a proposição a seguir.

Proposição 2: ( Teorema de Schwarz ) Se f(x,y) está definida numa vizinhança de (x0,y0)

Limites e continuidade de funções de n variáveis

Faremos o caso n = 2. O caso geral segue de maneira análoga.

Dados dois pontos quaisquer (x1,y1) e (x2,y2) de R2 indicaremos a distancia entre eles por d((x1,y1),(x2,y2)).

Definição 1: Uma vizinhança do ponto (x0, y0) R2 de raio r > 0 é o conjuntoV={(x,y) R2; d((x,y),(x0,y0)) < r}

 Exemplo 1: A vizinhança de (1,2) de raio 3 é o conjunto {(x,y) R2; d((x,y),(1,2)) < 3}cuja representação gráfica é o disco dado a seguir.

Definição 2: Sejam S um subconjunto do R2 e (x0, y0) R2. Dizemos que (x0, y0) é umponto de acumulação de S, se toda vizinhança V de (x0, y0) é tal que V S –{(x0,y0)}

Exemplo 2:

2.1) Se S = {(x,y) R2; y > x} então:(1,1) é um ponto de acumulação de S.(1,2 ) é ponto de acumulação de S(3,1) não é ponto de acumulação de SO conjunto dos pontos de acumulação de S é {(x,y) R2; y x}

Pontos de acumulação de S

2.2) Se S = {(x,y) R2; y > x2} {(2,-2)} então(2,-2) S mas não é ponto de acumulação de S.O conjunto dos pontos de acumulação de S é {(x,y) R2; y x2}

S Pontos de acumulação de S

Definição 3: Sejam L R, uma função f(x, y) cujo domínio indicaremos por D e (x0, y0) R2  um ponto de acumulação de D. Dizemos que L é o limite de f(x, y)  em  (x0, y0) se para todo > 0, existe > 0 tal que (x,y) D e 0 < d((x,y),(x0,y0)) < | f(x,y) – L | <

 

Exemplo 3: Os limites a seguir são bastante simples (podem ser verificados diretamente usando a definição acima, mas não faremos isso).

3.1) Dados f(x, y) = 1 para todo (x,y) R2 e (x0, y0) R2 , então

.

e f(1,2) = 6.

 

3.3) De modo geral, dada f(x,y) = c (c = constante) para todo (x,y) R2 e (x0, y0) R2

.

3.4) Dados f(x,y) = x para todo (x,y) R2 e (x0, y0) R2 , então 

.

3.5) Analogamente,

Proposição 1: (Conservação do sinal)

vizinhança V de (x0, y0) tal que para todo (x,y) V – {(x0,y0)}, f(x,y) > 0.

Vale o análogo, para L < 0.

Exemplo 4: No exemplo 3.4) , temos

sendo V a vizinhança de (-1,3) com raio 1/2 ( ou até raio 1).

Propriedades Operatórias dos limites

 

Sejam as funções f(x,y) e g(x,y ) com domínio D  e  (x0, y0) R2  um ponto de acumulação de D.  Se 

então,

         

           

Exemplo 5:

5.2) Como conseqüência das propriedades operatórias, dada qualquer função racional f(x,y) e qualquer (x0, y0) R2 pertencente a seu domínio (isto é, que não anula seu denominador) temos que

(Análogo ao que foi visto no Cálculo I, isto quer dizer que a função é continua em (x0, y0).)

          

5.4) Em alguns casos, mesmo quando o ponto não pertence a seu domínio, podemos calcular limites de funções racionais cancelando fatores do numerador e denominador

 

Funções Contínuas

 

Definição 3: Sejam f(x,y) uma função, D R2 seu domínio e (x0,y0) D. Dizemos que f(x,y) é contínua em (x0,y0) se para todo > 0, existe > 0 tal que (x,y) D e  d((x,y),(x0,y0)) < | f(x,y) – L | <

Observamos que se (x0,y0) é um  ponto de acumulação de D, então f(x,y) é contínua em  (x0,y0) se, e somente se,

Exemplo 6: Se f(x,y) é uma função racional e (x0,y0) pertence ao seu domínio (isto é não anula seu denominador) então f(x,y) é contínua em (x0,y0). (Veja Exemplo 5.2) ).

As funções contínuas num ponto (x0,y0) têm as mesmas propriedades operatórias já descritas para limites.

Proposição 2:Se f(x,y) é continua em (x0,y0), L1 = f(x0,y0), e g(z) é uma função de uma variável real tal que existe

Exemplo 7:

 

Proposição 3: 

contínua y = y(x) (ou x = x(y) ) tal que C –{(x0,y0)} está contido no domínio  de f  e  y0 = y(x0) (ou x0 = x(y0) ), temos

 

Notação: Dada a curva C de equação y = y(x) usaremos a notação

 

Exemplo 8:

Temos aqui temos uma indeterminação do tipo 0/0 mas não podemos usar L´Hospital pois esta regra não vale para funções com mais de uma variável.

Vamos mostrar que este limite não existe, apresentando pelo menos duas curvas (como acima) que passam por (1,0) tal que os limites sobre elas sejam diferentes (análogo ao que se faz para funções de uma variável, usando os limites laterais).

Temos D = R2 –{(1,0)} (É importante conhecer o domínio D da função pois as curvas C a considerar devem ser tais que C - {(1,0)} D)

Seja a curva C1 de equação y = 0 (Observe que esta curva passa em (1,0))

Seja a curva C2 de equação x = 1

Seja a curva C3 de equação y = ( x -1)

De (I) (III) (ou de (II) (III) ) temos que não existe 

8.2) Determine os pontos de descontinuidade da função

portanto a função f(x,y) é contínua para todo (x, y) (0,0).

 

Para o ponto (0,0) vamos mostrar, como no exemplo anterior, que não existe limite neste ponto.

Seja a curva C1 de equação x = 0 (Observe que todas as curvas consideradas devem passar em (0,0))

Seja a curva C2 de equação y = 0,de modo análogo ao exemplo anterior, temos

Seja C3 uma reta qualquer, diferente das retas x = 0 e y = 0 , passando por (0,0). Neste caso C3 tem como equação y = ax com a 0 e

Seja a curva C4 de equação y = x2, temos

De (I) (IV) temos que não existe 

Concluímos que os pontos onde f(x,y) é contínua são (x,y) R2 tais que (x,y) (0,0)

8.2) Calcular, caso exista,

D(f) = {(x,y) R2; x y}

Seja a curva C1 de equação x = 2 (Observe que todas as curvas consideradas devem passar em (2,2) mas não podemos tomar a reta  y = x)

A regra da cadeia

Proposição 1: Sejam x = x(t) e y = y(t), funções de uma variável que possuem derivadas em t0,  tais que x0 = x(t0) e  y0 = y(t0). Se f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) então g(t) = f(x(t),y(t)) possui derivada

em t0 e

.

A igualdade (*) é chamada regra da cadeia. Esta igualdade é geralmente escrita da seguinte forma:

Onde z é usado para representar tanto f(x,y), como g(t) = f( x(t),y(t) ).

Exemplo 1:

  .

Tomemos x(t) = cos(t), y(t) = t2 , f(x,y) = xy . Logo, h(t) = f(x(t),y(t)).

Observação 1: A proposição acima ainda é válida ao tomarmos (u,v) em lugar de t, supondo que x(u,v) e y(u,v) possuem derivadas parciais.

Exemplo 2: Determine

Temos x(1,1) = 1.arctg(1) = /4 e y(1,1) = 11 =1. Portanto

Finalizando,

Observação 2: Na prática, se as funções são de fato dadas  (o que nem sempre ocorre nos exercícios), não precisamos  usar a regra da cadeia. Podemos compor as funções para em seguida derivar. No exemplo acima, podemos tomar a função

  e calcular suas derivadas parciais, sem  usar a regra da cadeia.

Faça como exercício!

Derivadas Direcionais

Quando consideramos as derivadas parciais

para derivar. De modo análogo, podemos escolher outras direções. Dessa forma teremos "as derivadas direcionais da função".

Seja f(x,y) uma função definida numa vizinhança de (x0,y0).

Definição: A derivada direcional de f(x,y) em (x0,y0) e no sentido de um vetor não nulo u é 

sendo u0  = u /|u| o vetor unitário  (ou seja, de comprimento 1) que possui mesma  direção e mesmo sentido de u.

Interpretação geométrica:

Clique para ver figura em "animação"

Exemplo 3: Seja o vetor unitário u = (1,0)

Ou seja, a derivada direcional na direção do vetor (1,0) (que é a direção positiva do eixo Ox) é igual à derivada parcial em relação a x.

De modo análogo, temos que

positiva do eixo OY.

Proposição 2: Se f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) então, para todo vetor não nulo u, existe

para u0 = u/|u| = (a,b)

Exemplo 4: Seja a função f(x,y) = x2 - ln(x.y). Calcule as derivadas direcionais de f(x,y) no ponto (1,2) e na direçãoa) do vetor (3,4).b) da reta y = -2x –1, sentido a escolher.c) da reta tangente à curva y = x2 no ponto x = -1, sentido a escolher

a) O vetor u = (3,4) não é unitário, vamos tomar o vetor unitário nesta direção, ou seja, o versor.Temos,

b)

Obs.: Para obtermos vetores paralelos a uma dada reta r, tomamos dois pontos distintos

da reta (x1,y1) e (x2,y2) e consideramos vetores v da forma v = (x2 – x1, y2 – y1). Se a reta é dada pela equação y = ax + b, tomando seus pontos (0, b) e (1, a + b) obtemos o vetor v = (1- 0, a + b – b) v = (1, a ).

Neste exemplo, temos que o vetor (1, -2) é paralelo à reta. Tomemos o versor

Portanto como o ponto é o mesmo do item a) temos,

Podemos usar também o versor

c) A reta tangente à curva y = x2 em x = -1 tem equação y – 1= -2.(x +1) y = -2x –1, ou seja, a reta do item b). Como o ponto é também o mesmo do item b) então a resposta é a mesma daquele item.

d) Supondo que próximo ao ponto dado a curva seja gráfico de uma função y = y(x), calculemosy´(x) derivando y em relação a x (implicitamente) na equação

Logo o coeficiente angular da reta tangente é igual a

Tomando o versor na direção deste vetor

Como a derivada é positiva, a função é crescente próximo ao ponto (2,1) e nesta direção.

Outra alternativa para resolver o problema é considerar equações paramétricas para a curva (elipse)

 

   reta tangente, é igual a  v = ((2cos (t))´,(sen(t))´)  = (-2sen(t), cos(t)). Para t = /6  temos v = (-2sen(/6), cos(/6))

.

Um caso particular importante ocorre quando se considera a derivada direcional de f(x,y) em (x0,y0) na direção da reta tangente à curva de nível da função f(x,y) que passa em (x0,y0). Neste caso (como é de se esperar, pois f é constante sobre esta curva)

.

A demonstração dessa propriedade é uma aplicação da regra da cadeia:Suponhamos que próximo ao ponto (x0,y0) a curva de nível f(x,y) = f(x0,y0) o seja gráficode uma função y = y(x). A função em x, f(x,y(x) ) é constante, logo sua derivada é zero. Esta mesma derivada pode ser calculada usando a regra da cadeia. Desta forma temos

.

é nula.

Exemplo 5: Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) na direção da reta tangente em (1,1) ao círculo x2 + y2 = 2.

Verifique calculando diretamente.

O vetor gradiente

Revisão (Matemática Básica)

  Dados dois vetores u = (a,b) e v = (c,d) então o produto escalar (ou produto   interno) de u por v é igual a u .v = a.c + b.d  Se u e v são vetores não nulos então u .v = |u|.|v|.cos( ), sendo o ângulo entre eles

 

Definição : Se f(x, y) é diferenciável em (x0,y0) então seu vetor gradiente em (x0,y0) é

.

Exemplo 1: Calcule o gradiente de f(x,y) = cos(x2.y) - x  no  ponto (1, /2).

O gradiente e as derivadas direcionais

 

Vimos que se f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) e u  é um vetor não nulo então

sendo (a, b) = u0 = u/|u|, o versor de uTemos então que

2) Se f (x0,y0) 0 então

Na expressão acima, fixando o ponto (x0,y0) e variando o vetor unitário u0 observamos que o gradiente e, consequentemente,  seu  módulo  permanecem  constantes.  A  variação das derivadas direcionais depende apenas de cos( ). Como cos( ) [-1,1], podendo assumir todos os valores deste intervalo, então num só ponto (x0,y0) encontramos derivadas direcionais de todos  os valores que vão desde   - | f(x0,y0)|  até  | f(x0,y0)|.A maior derivada direcional é | f(x0,y0)| e ocorre para cos( ) = 1 = 0. Ou seja, ocorre se u tem mesma direção e mesmo sentido que f(x0,y0). Então  o  gradiente  aponta  para a direção e sentido em que o crescimento da função é maior.

A menor derivada direcional ocorre para cos( ) = -1 = 180o . Ou seja, se u tem a direção do gradiente e sentido contrário a ele.

A derivada direcional é nula se, e somente se, cos( ) = 0, u seja, se = 90º . Isto é, se u é ortogonal a f(x0,y0). Como a derivada direcional na direção da tangente à curva de nível é nula. Então o gradiente é ortogonal à tangente à curva de nível. Ou mais simples,  o gradiente é normal à curva de nível.

Exemplo 2: Dada a função f(x,y) = cos(x2.y) - x e o ponto (1, /2). Determine:

a) Um vetor unitário na direção em que f(x,y) cresce mais rapidamente neste ponto e e a

respectiva taxa de variação de f.

b) Um vetor unitário na direção em que f(x,y) decresce mais rapidamente neste ponto  e a respectiva taxa de variação de f .

c) Vetor(es) unitário(s) na direção em que f(x,y) permanece constante e a respectiva taxa de variação de f neste ponto.

a)  É o versor u na direção de f(1, /2). Pelo exemplo anterior,

b) É o versor u1 na direção de f(1, /2).

c) São os versores ortogonais ao versor u (ou u1)

Exemplo 3: A superfície de um rio se encontra no plano XOY e o seu  leito  é representado pela parte do gráfico da  função f(x,y) = z = -5 + x2 que se encontra abaixo  desse plano. .Se um barco está situado na superfície do rio no ponto de coordenadas (1,1) em que direção (e sentido)  deve se deslocar  para que

a)  A profundidade da água aumente mais rapidamente?

b) A profundidade permaneça a mesma? a) Na direção e sentido de - f(1,1) = -(2,0) = (-2,0)b) Nas direções ortogonais ao gradiente ou seja nas direções e sentidos dos vetores (0,2) e (0,-2)

Podemos trabalhar com funções com mais de duas variáveis de modo análogo ao que fazemos com funções de duas variáveis.

Exemplo 4: A densidade de massa de uma certo corpo (dada em g / cm3) é variável e em cada ponto (x,y,z) do corpo é igual a f(x,y,z) = 4x2 + y2 +16z2. Consideremos o ponto Po  do corpo de coordenadas (1,2,-1). Determine:a) A taxa de variação da densidade em Po, na direção de Po para a origem. A densidade cresce ou decresce nesta direção?b) A direção e o sentido em que a densidade cresce mais no ponto Po e o valor da taxa.

a) O vetor (0 - 1,0 - 2, 0 - (-1)) = (-1, -2, 1) possui a direção e sentido de Po para a origem, (0, 0, 0) . O versor na direção deste vetor é

.

f = (8x,2y,32z) f (Po) = (8, 4, -32).

(Obs. Mais exatamente, estamos usando aqui o teorema da conservação do sinal aplicado à função contínua

 que é a "função derivada direcional na direção do vetor u" dado acima.)

b) Direção de f (Po) = (8, 4, -32). A taxa de variação (ou derivada direcional) é

Funções dadas implicitamente

Exemplo 1: Seja a equação do elipsóide

  Explicitando o valor de z nesta equação temos 

As funções de duas variáveis

são dadas implicitamente pela equação (I) e o gráfico de cada uma delas é parte do elipsóide.

  Seja  a função de 3 variáveis

A equação (I) pode ser escrita como F(x,y,z) = 0. Ou seja, (I) é a equação da superfície de nível 0  de F(x,y,z).

Se consideramos a função

(ou qualquer outra que difere de F(x,y,z) de uma constante) temos também que (I) é a superfície de 

nível 1 de G(x,y,z).

Definição 1: Sejam as funções F(x,y,z) e z = f(x,y) e a constante C R. Dizemos que f(x,y) é dada

 implicitamente pela equação F(x,y, z) = C se F(x,y, f(x,y)) = C para todo (x,y) do domínio de f.

 Geometricamente significa que o gráfico de f é parte da superfície de nível C de F.  

Derivadas de funções dadas implicitamente

Seja a função z = f(x,y) diferenciável em (x0,y0), dada implicitamente pela equação   F(x,y,z) = C,

tal 

que F(x,y,z) é diferenciável em

Então,

A demonstração dessa propriedade é apenas uma aplicação da regra da cadeia, por essa razão

vamos 

calcular a derivada em relação a x, a derivada em relação a y segue de modo análogo:

Na equação F(x,y,f(x,y)) = C temos que a função de duas variáveis h(x,y) = F(x,y,f(x,y)) é

constante 

(é igual a C) logo suas derivadas são nulas. Além disso usando a regra da cadeia temos, 

Exemplo 2:

para z = z(x,y) dada implicitamente pela equação z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) = 3

Seja F(x,y,z) = z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x). Temos

Portanto,

Este exercício pode ser resolvido também da seguinte forma:Considera-se que na equação  z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) = 3,  z   e  também z3 + cos(x)z2 + y2z + sen(2x) são funções de x e y. Fixando x e derivando em relação a y  temos,

De modo análogo calculamos a derivada em relação a x.

Plano tangente e reta normal a uma superfície

Plano tangente

Observação:     Existe    um resultado (é o   Teorema  da Função Implícita) que nos garante que se a função F(x,y,z) possui derivadas parciais contínuas e sua derivada em relação a z não se anula no ponto P0 = (x0,y0.z0) então "próximo" deste ponto a superfície de nível de F  (que passa em P0 coincide com o gráfico de uma função de duas variáveis     z = f(x,y) e esta

função também possui derivadas parciais contínuas. Ocorre o análogo se a derivada de F em relação a x ou a y  é não nula em P0. E assim teremos funções x = f(y,z) ou y = f(x,z). .

Nestas condição, se o gradiente de F é não nulo, definimos o plano tangente à superfície S, 

como sendo o plano tangente à função f em P0 .

Assim se a derivada de F em relação a z for não nula, o plano tangente terá equação

Substituindo as derivadas de f(x,y) em função das derivadas de F(x,y) temos,

  Da     última    equação,   temos    que    se       Q =

(x,y,z)   é   um   ponto   qualquer   do plano      

tangente       então    o      vetor         Q - P0 = (x - x0, 

y - y0,  z - z0)    é     tal   que  F(P0) . (Q - P0) =

0.

  Isto é,  o  vetor Q - P0 = (x -x0, y- y0, z-z0)    é 

ortogonal a F(P0)

 

Então, o plano tangente a S em P0  é  o plano  que passa neste ponto cujo vetor normal  é  F(P0).

 A reta normal

Nas mesmas condições citadas definimos:

A reta normal a S em P0   é a reta que passa neste ponto na direção de F(P0).

Portanto temos:

  equação vetorial

  Equações paramétricas

Exemplo 3: Determinar o plano tangente e a reta normal à superfície

 

O plano tangente tem equação 

A reta normal tem equação vetorial

Integrais Duplas

Introdução

Sejam um retângulo S = [a, b] x [c, d]

R2 e   f: S R uma função de duas

variáveis, limitada e tal que f(x,y) 0

(x, y) S. 

Consideremos o seguinte problema:

Calcular o volume  V  da  região do

espaço limitado pelo plano    XOY  e  a 

superfície z = f(x, y), tal que (x, y) S.

Tomamos     n   e    m   números naturais

quaisquer,  números      reais      quaisquer 

a     =  x0 <   x1  <  x2 <  ...<   xn  = b    e   c

=  y0   <   y1    <  y2    < ...<  ym  =   d,  

os       "sub-retângulos"        de    S,   Aij =

[xi-1, xi] [yj-1, yj]       e     pontos       Pij

quaisquer   do   plano   tais   que   Pij  Aij

Tomamos a área  de  cada   um   dos

retângulos Aij:

e  o  volume  do  paralelepípedo  retângulo

de          base    Aij     e     altura    f(Pij):    

Vij = f(Pij). Aij. 

Consideramos a soma desses volumes

como uma estimativa para o volume V,

isto é

 

O volume V, caso exista, é obtido fazendo as dimensões dos retângulos Aij tenderem para 0, o

que se consegue fazendo o máximo de todas as diagonais tender para 0. Indicando a diagonal do

retângulo Aij por dij temos

Ou seja

 

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Definições 1:

Uma função f(x, y) definida e limitada no retângulo S = [a, b] [c, d]   é integrável em S se

existe (e é finito) o limite

 

  Se f(x, y) é integrável em S então sua integral ou sua integral dupla em S é igual a I

É claro que se   f(x, y) 0  então   I  é  o volume V do sólido  especificado acima.Se f(x, y)  0  então  V = I.

Proposição 1: Se f(x, y) é contínua em S então f(x, y) é integrável em S.

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Propriedades operatórias da integral dupla

Sejam f(x, y) e g(x, y) integráveis no retângulo S e c R então:

1)  f(x, y) + g(x, y) é integrável em   S  e

2)  c.f(x, y)  é  integrável  em  S  e 

 

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Integrais Iteradas ou Repetidas

Da mesma forma que temos as derivadas parciais, temos também as integrais iteradas. 

Neste caso integramos uma variável por vez, fixando as outras.

Exemplo 1: Dados a função f(x, y) = sen (x + y) e o retângulo S = [0, ] [ /2, 0], fixemos y [ /2, 0] e tomemos a integral em x,

Podemos definir a função de y

 

Integrando h(y) no intervalo [ /2, 0] obtemos

Indicamos,

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Definição 2 : Seja f(x, y) definida no retângulo S = [a, b] [c, d]. Se y fixo e

pertencente a [c, d] a função  em x   f(x, y) é integrável em  [a, b]  e a função 

é integrável em [c,d] então temos a integral iterada

De modo análogo podemos considerar 

As integrais iteradas, como veremos a seguir, são usadas para calcular integrais duplas

e triplas

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Proposição 2: Se f(x, y) é integrável no retângulo S = [a, b] [c, d] e y [c, d] a

função g(x) = f(x, y) é integrável em [a,b] então

Analogamente, se g2(y) = f(x, y) é integrável x, então

Interpretação geométrica

Para o caso f(x,y) 0:

Observações 1: 1.1) Se f(x,y) satisfaz a essa proposição então

podemos trocar a ordem nas integrais iteradas sem mudar o

resultado isto é,

1.2) Se f(x,y) é contínua no retângulo   S   então satisfaz a esta

proposição (pois, neste caso, f(x, y) é integrável em S e y fixo

a função g(x) = f(x,y) é continua e portanto integrável)

Exemplo 2:

f(x, y) = sen(x +y) é contínua em S, portanto

Exemplo 3: Determinar o volume do sólido limitado pela superfície z = x2 + y2 e o eixo

OX e tal que (x, y) S = [-2, 2] [-2, 2].

Temos que z = f(x,y) = x2 + y2 0 e é função contínua portanto.

 

Esta superfície é um parabolóide de revolução. A representação gráfica do sólido é dada

na figura a seguir.

Proposição 3: Sejam S = [a, b] x [c, d],  f(x, y) definida e limitada em S e C S uma

curva dada por y = y(x) ou x = x(y), funções de uma variável, contínuas num intervalo

fechado. Se f(x, y) é contínua em  S - C então f(x, y) é integrável em S.

Exemplo 4: Sejam S = [-1, 1] x [0, 1] e

f(x, y) só não é contínua sobre a

curva y(x) = 1 - x2 com x  [-1,

1].

f(x, y) é integrável em S

Vamos calcular sua integral:

Como veremos na próxima

seção, "Integrais Duplas sobre

regiões do plano", esta última

integral é também igual à

integral da função g(x,y) = x2 +

y2 na região R do plano, limitada

pela parábola y = x2 e pelo eixo

OX.

Observação 2: Na proposição acima se C é reunião de curvas contínuas y = y1(x),......,y = yn(x), x =

x1(y) .... x = xm(y) então f(x, y) ainda é integrável em S.

Integrais duplas em regiões do plano

Exemplo 1: Seja

.

h (x,y) não é contínua apenas no segmento da reta y = x., portanto é integrável em S.

Para cada x fixo a função em y, h(x,y) é dada por duas sentenças por isso escrevemos a integral

Temos então

Observe que neste exemplo apenas os pontos que estão no triângulo 

D = {(x,y) R2; 1 x 1 e 1 y x}

 (figura a seguir) contribuem para o cálculo da integral. Por esta razão faz sentido dizer que

esta é também a integral da função f(x,y) = 4-x2 - y2 neste triângulo.

Observação 1 : É dessa forma que podemos estender o conceito de integral dupla em

regiões que não sejam retangulares _ dada uma função f(x,y) e uma região D do plano,

consideramos um retângulo S de lados paralelos aos eixos OX e OY que contenha a região

D e uma função h(x,y) que coincida com a função f(x,y) em D e seja nula em pontos do

retângulo que não estejam na região D. Assim, apenas os pontos da região  contribuirão

para o cálculo da integral.

Definição 1: Sejam D um conjunto limitado do plano e f: D R uma função limitada.

Tomemos um retângulo S = [a, b] [c, d] tal que D S e a função definida em S

Dizemos que f é integrável em D se  h é integrável em S e que

Exemplo 2: ( 34) a) da Lista de exercícios) Seja R a região do plano limitada pela circunferência x2 + y2 = 9, calcule 

Tomemos o retângulo   S = [-3 ,3] [-3 ,3]

que contem a região R. Neste caso a função

h(x,y), como obtida acima, é nula para

pontos que estão simultaneamente no

retângulo e fora do disco e para pontos (x,y)

do disco é tal que

  .

Logo h não é continua apenas sobre a

circunferância e portanto é integrável.

Temos,

Como h (x,y) = 0 fora do disco, então para cada y [-3,3] 

Portanto,

Observação 2: Podemos também calcular a integral I mudando a ordem na integral iterada, ou seja

Neste caso temos que resolver a integral

Exemplo 3: ( 34) b) da Lista de exercícios) Seja R a região do plano limitada pelas retas y = 2x, y = x/2 e x = , calcule

Temos a seguir um esboço da região R( Em exemplos deste tipo, é necessário ter uma idéia do esboço da região ) e S = [0, ] [0, 2 ] é um retângulo que contem R, (veja figura).

Então para cada x fixo

Portanto

Integrando por partes ...

Exemplo 4: ( 37) a) da Lista de exercícios) Encontre por integração dupla, o volume do sólido no 1o

octante limitado pelo plano z = 8 x 2y.

( Em exemplos deste tipo, é necessário ter uma boa idéia do sólido, identificar funções de duas variáveis cujos gráficos limitam o sólido e regiões do plano onde integraremos as funções )

Neste exemplo, determinamos as interseções deste plano com os eixos coordenados:

OX:y = 0 e z = 0 0 = 8 x 2 0 x = 8. Ou seja, o ponto P1=(8,0,0)

OY:x = 0 e z = 0 0 = 8 0 2y y = 4. Ou seja, o ponto P2= (0, 4, 0)

OZ:x = 0 e y = 0 z = 8 0 2 0 z = 8. Ou seja, o ponto P3 = (0, 0, 8).

Com estes 3 pontos distintos obtemos um esboço do plano .

Então o sólido é limitado superiormente por este plano, que é o gráfico da função z = 8 x 2y, e

inferiormente pelo triângulo P1OP2. O volume do sólido é igual a integral dupla desta função na

região R do plano XOY limitada por este triângulo. Isto é,

Considerando no plano XOY o retângulo S = [0, 8] [0, 4] e a reta de equação x = 8 - 2y,

interseção dos planos  z = 8 x 2y e XOY, temos

Cálculo de área usando integral dupla

Podemos usar a integral dupla para calcular a área de uma região plana R, considerando que

numericamente o valor da área é igual ao volume do cilindro cuja base é a região R e cuja

altura é (constante) igual a 1.Ou seja tomamos a integral dupla da função constante f(x,y) =

1

 

Exemplo 5: ( 36) b) da Lista de exercícios) Encontre, por integração dupla, a área do região do plano XOY limitada pelas curvas y = x2 - 9 e y = 9 - x2

Tomemos o retângulo [-3,3] [-9,9] que contem a região R.  Então 

Exemplo 6: (Lista 37) c)) Volume do sólido que é interseção dos dois cilindros

 

Representação gráfica de parte da figura tal que y 0 e z 0 (1/4 do sólido)

 

 

 

Exemplo 7: Calcule o volume do sólido abaixo do plano z = 4x e acima do círculo do plano XOY de equação x2 + y2 = 16

Representação gráfica da figura .

 

O cilindro reto, cuja base é o círculo dado, é um recurso auxiliar. O volume do sólido é

obtido integrando a função f(x,y) = 4x (gráfico em amarelo) no semi-círculo R dado acima

Exemplo 8: Calcule o   volume   do  sólido     situado no  1o octante e   limitado pelas  superfícies  z = 4 - y2, y = 2x e x = 0.

Representação gráfica do sólido.

Temos aqui, dois planos x = 0 (o plano YOZ) e y = 2x, ambos perpendiculares a XOY e a superfície cilindrica z = 4 - y2

O sólido é limitado superiormente pelo gráfico da função f(x,y) = 4 - y2 (gráfico em amarelo) e inferiormente pelo triângulo R (dado acima).

Gráficos de funções de 2 variáveis

Exemplo1:

I) Determine e represente graficamente.

i) Domínio de f.

ii) Curvas de nível.

iii) Interseções com os planos coordenados.

II) Esboce o gráfico de f usando os itens de I).

Exemplo 1.1 f(x, y) = x2 + y2

i) D(f) = R2

Representação gráfica do domínio

ii) Curvas de nível

Seja a equação x2 + y2 = k.

Como x2 0 e y2 0 então se k < 0 a equação não tem solução. Ou seja, para qualquer k < 0

(abaixo do plano XOY) a curva de nível correspondente é o .

Fazendo k = 0 (intersecção com o plano XOY), a equação x2 + y2 = 0 tem solução x = 0 e y = 0.

A curva de nível em z = 0 é (0, 0).

Fazendo k > 0, a equação x2 + y2 = k pode ser escrita como

Portanto para qualquer k > 0 a curva de nível correspondente é um círculo de raio

.

Representação gráfica das curvas de nível

Como todas as curvas de nível são  círculos com centros em (0, 0) concluímos que o gráfico de f(x,y) é uma   superfície de revolução em torno de OZ.

iii) Interseções com os planos coordenados.

XOY: Já foi obtido, corresponde à curva no nível z = 0.

XOZ: Fazendo y = 0 na equação z = x2 + y2. obtém-se z = x2, equação de uma parábola

Representação gráfica

 

YOZ: Fazendo x = 0 na equação z = x2 + y2. obtém-se z = y2, a parábola obtida em XOZ.

Concluímos que o gráfico é um parabolóide de revolução

II) Gráfico de f

 

 Exemplo 1.2 f (x, y) = 1 y2

i) D(f) =R2

Representação gráfica de  D(f): Figura 1

ii) Curvas de nível

Seja a equação 1 y2 = k. Extraindo o valor de y temos

Logo, para k >1 (isto é, 1 - k < 0 ) a curva ne nível correspondente é o vazio.

Para k = 1 temos y = 0 e x é qualquer. Então a curva de nível é o eixo OX.

Para k <1, y assume os dois valores de (*) e x é qualquer. Então a curva de nível é constituída

das duas retas paralelas a OX

Representação gráfica 

iii) Intersecções com os eixos coordenados

XOY: z = 0 1 y2 = 0 y = 1. Ou seja, as duas retas y = 1 e y = -1.

Representação gráfica:

XOZ: y = 0 1 02 = z z = 1. Ou seja, a reta z = 1.

Representação gráfica

  

YOZ: x = 0 1 y2 = z . Neste caso, no plano YOZ, temos uma parábola.

Representação gráfica

 

II) Gráfico: Trata –se de uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao eixo OX tal que a parábola

do plano YOZ de equação z = 1-y2 (figura logo acima) é uma diretriz (é o que acontece com funções

que independem de uma das variáveis x ou y )

Exemplo 1.3 f (x, y) = y2 x2

i) D(f) =R2

Representação gráfica : Figura 1

ii) Curvas de nível

Seja a equação y2 x2 = k. (*)

Se k = 0, temos x2 = y2 x = y ou x = -y, ou seja, as retas 1a  e  2a  bissetrizes.

Se k > 0, podemos escrever a equação (*) como

Neste caso temos uma hipérbole com focos sobre o eixo OY

Se k < 0 então – k > 0 , podemos escrever a equação (*) como

Neste caso temos também uma hipérbole com focos sobre o eixo OX

Representação gráfica

iii) Intersecções com os planos coordenados

XOY: Já foi obtido, corresponde à curva no nível z = 0.

XOZ: Fazendo y = 0 na equação z = y2 x2 . obtém-se z = - x2, equação de uma parábola

Representação gráfica

YOZ: Fazendo x = 0 na equação z = y2 x2 . obtém-se z = y2, equação de uma parábola

Representação gráfica

 

II) Gráfico: Trata-se do parabolóide hiperbólico

 

Exemplo 1. 4

Representação gráfica:

 

ii) Curvas de nível

Seja a equação

Como ek é maior que zero para todo k, então a curva de nível em z = k é a elipse de equação

cujo semi-eixo no eixo OX é sempre três vezes maior que e o semi-eixo no eixo OY.

Representação gráfica

(Ou seja, "quase" uma superficie de revolução)

iii) Intersecções com os planos coordenados

XOY: Significa a curva de nível em z = 0, ou seja a elípse de equação

Representação gráfica:

Veja figura anterior

XOZ: Fazendo y = 0 na equação

obtém-se

Representação gráfica

 

YOZ: Fazendo x = 0 na equação

obtém-se

Representação gráfica

 

II) Gráfico

   

OBS: Dada a função z = f (x1,..., xn) a superfície de nível de f em z = k é definida de modo análogo

às curvas de nível para n = 2.

Exemplo 2: Determine e represente graficamente as superfícies de nível da função

f (x, y, z) = x2 + y2 + z2

Seja a equação

x2 + y2 + z2 = k

Se k > 0 então temos

a equação de uma esfera de centro em (0, 0 ,0 ) e raio k1/2

Se k = 0 então temos o ponto (0,0, 0).

Para Se k < 0 a superfície de nível é o vazio.

Representação gráfica das superfícies de nível