Notas de Aula de Variedades Diferenciáveis - mat.ufmg.brrodney/notas_de_aula/variedades_diferenciaveis.pdf · Notas de Aula Variedades Diferenci aveis Rodney Josu e Biezuner 1 Departamento

Notas de Aula

Variedades Diferenciaveis

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula da disciplina Variedades Diferenciaveis do Programa de Pos-Graduacao em Matematica.

19 de novembro de 2018

1E-mail: [email protected]; homepage: http://www.mat.ufmg.br/~rodney.

mailto:[email protected]

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Sumario

Capa 1

Sumario 5

1 Variedades Diferenciaveis 61.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Colagem de Pedacos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Variedades com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Aplicacoes Diferenciaveis 152.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Particoes da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Vetores Tangentes 233.1 Vetores Tangentes a Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Vetores Tangentes como Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Diferencial de uma Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Diferencial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Imersoes, Submersoes e Mergulhos 354.1 Difeomorfismos Locais, Imersoes e Submersoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Formas Locais das Imersoes e Submersoes e Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Formas Locais em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.2 Formas Locais em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Mergulhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Campos Vetoriais 425.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Pushforward e Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Fluxos de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5 Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.6 Campos Vetoriais que Comutam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1


5.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Tensores 566.1 Vetores Contravariantes e Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.1 Significado Real do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Convencao da Soma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3 Vetores e Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.2 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.3 O Espaco Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.4 Vetores e Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente TpM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.2 Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.5 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5.2 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.5.3 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5.4 Traco de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.6 Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.7 Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.7.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.7.2 Pullback de Campos Tensoriais Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.7.3 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Conexoes e Derivada Covariante 817.1 Conexao e Derivada Covariante de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1.1 Derivada Covariante ao longo de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.1.2 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.1.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.1.4 Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.1.5 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Conexao nos Fibrados Tensoriais e Derivada Covariante de Campos Tensoriais . . . . . . . . 907.3 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8 Variedades Metricas 1038.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2 Operacao de Subir ou Descer um Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Conexoes Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3.1 Conexao Compatıvel com a Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.3.2 Conexao Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.3.3 Sımbolos de Christoffel da Conexao Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9 Formas Diferenciais 1259.1 Tensores Simetricos e Tensores Alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2 Simetrizacao e Alternacao de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3 Produto Simetrico e Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.4 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.5 Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.5.1 Definicao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


9.5.2 Definicao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.5.3 Formas Fechadas e Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.5.4 Derivada Exterior e Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10 Variedades Orientaveis 14310.1 Forma de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orientaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.3 Operador Estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.3.1 Produto Interno de Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.3.2 Estrela de Hodge de Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.3.3 Codiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

10.4 Gradiente, Divergente e Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11 Grupos de Lie e Algebras de Lie 15911.1 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.2 Propriedades de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.3 Representacoes de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.3.1 Reducibilidade de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.3.2 SU2 e um recobrimento duplo de SO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.4 Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.4.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.4.2 A Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.4.3 A Representacao Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.5 Metricas em Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

12 Recobrimentos e Acoes de Grupos 18112.1 Espacos Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.1.1 Acoes Proprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.1.2 Teorema da Variedade Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.2 Aplicacoes de Recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

13 Fibrados Vetoriais 18613.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713.2 Condicao de Cociclo e Operacoes com Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.3 Secoes Locais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.4 Homomorfismos entre Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19913.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

14 Conexoes em Fibrados Vetoriais 20114.1 Definicao 1: Conexao de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20114.2 Definicao 2: Conexao de Koszul em Termos de Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . 202

14.2.1 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20314.2.2 Conexao em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

14.3 O Tensor Diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20914.4 Conexoes Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

14.4.1 Conexao no Fibrado Soma E1 ⊕ E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


14.4.2 A Conexao Dual no Fibrado Dual E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21114.4.3 Conexao no Fibrado Tensorial E1 ⊗ E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21114.4.4 Conexao no Fibrado Hom (E,E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

14.5 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21314.5.1 Derivada covariante ao longo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21314.5.2 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21414.5.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

15 Curvatura em Fibrados Vetoriais 21915.1 Curvatura de uma conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

15.1.1 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22115.2 Tensores e Formas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22215.3 Produto Exterior de Formas Vetoriais com valores em uma Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 22515.4 Formas com valores em um Fibrado Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

15.4.1 Produto Exterior entre uma Forma Diferencial e uma E-Forma . . . . . . . . . . . . . 22715.4.2 Produto Exterior entre Formas com valores em Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

15.5 Derivada Exterior Covariante d∇ de E-Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22815.5.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22815.5.2 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

15.6 Curvatura como Derivada Exterior Covariante Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23015.6.1 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23115.6.2 Equivalencia de R e Rd∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

15.7 A Curvatura como uma 2-Forma tomando valores em Hom (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . 23615.7.1 A derivada exterior covariante d∇Hom e a Identidade de Bianchi . . . . . . . . . . . . . 239

15.8 Duas Algebras Exteriores em Hom (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24015.8.1 Forma Local da Derivada Exterior Covariante em termos de f e [f] . . . . . . . . . . 243

15.9 Curvatura e Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16 Conexoes de Yang-Mills 24716.1 Fibrados Metricos e Conexoes Compatıveis com uma Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.1.1 Conexoes Compatıveis com a Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24916.1.2 Expressao Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24916.1.3 Produto Interno e Estrela de Hodge de E-Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25016.1.4 O Codiferencial Covariante de E-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

16.2 G-Conexoes em G-Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25216.3 Grupo de Transformacoes de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25216.4 Teoria de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.4.1 O Funcional de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25416.4.2 Conexoes de Yang-Mills e as Equacoes de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.5 Autodualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

17 Fibrados Diferenciaveis e Fibrados Principais 25717.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25717.2 G-Fibrados ou Fibrados com Grupo Estrutural G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25917.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26117.4 Homomorfismos de Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26117.5 Secoes Locais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26217.6 Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263


18 Conexoes e Curvatura em Fibrados Principais 26618.1 A Interpretacao Geometrica da Conexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26618.2 Fibrado Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

18.2.1 Subfibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26818.2.2 O Fibrado Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

18.3 Campos Vetoriais Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27018.4 Conexao de Ehresmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27418.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

18.5.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27718.5.2 Equacao de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27718.5.3 Identidade de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

18.6 Gauges Locais e Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27918.6.1 Forma de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27918.6.2 Gauges Locais e Globais de um Fibrado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

18.7 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28218.8 Derivada Exterior Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

19 Fibrados Associados e Fibrados de Referenciais 28319.1 Fibrados Associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28319.2 Fibrados de Referenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Referencias Bibliograficas 286

Capıtulo 1

Variedades Diferenciaveis

1.1 Definicao

1.1 Definicao. Seja M um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel. Um atlas (ou sistemade coordenadas) de dimensao n e classe Ck para M e uma famılia

Φ = (ϕα, Uα)α∈A

de homeomorfismos ϕα : Uα −→ Vα = ϕα (Uα) de um aberto Uα ⊂M sobre um aberto Vα de Rn para cadaα ∈ A, satisfazendo as seguintes condicoes:

(i) Os abertos Uα cobrem M , isto e, ⋃α∈A

Uα = M.

(ii) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅, as mudancas de coordenadas ou funcoesde transicao sao compatıveis, isto e, as aplicacoes

ϕβα = ϕβ ϕ−1α : ϕα (Uαβ) −→ ϕβ (Uαβ) ,

ϕαβ = ϕα ϕ−1β : ϕβ (Uαβ) −→ ϕα (Uαβ) ,

sao diferenciaveis de classe Ck.A aplicacao ϕα e chamada uma carta ou um sistema de coordenadas locais para a vizinhanca

coordenada Uα.Se ϕα (p) =

(x1 (p) , . . . , xn (p)

), entao x1, . . . , xn sao chamadas as coordenadas locais de p na carta

ϕα.Um atlas Φ = (ϕα, Uα)α∈A e maximal se ele possui todas as cartas que sao compatıveis com o atlas,

ou seja, se ϕ : U −→ V e um homeomorfismo de um aberto U ⊂ M sobre um aberto V de Rn tal que seU ∩ Uα 6= ∅ e ϕ ϕ−1

α , ϕα ϕ−1 sao de classe Ck para todo α ∈ A, entao ϕ ∈ Φ.Uma estrutura diferenciavel para M e um atlas maximal.Uma variedade diferenciavel de dimensao n e classe Ck e um espaco topologico de Hausdorff com

base enumeravel munido de uma estrutura diferenciavel de classe Ck, k > 1.Se k = 0, dizemos que M e uma variedade topologica.

Uma variedade diferenciavel e portanto uma variedade topologica em que as mudancas de coordenadas deum sistema de coordenadas local para outro sao difeomorfismos. Por definicao, o atlas maximal e unico. Aideia de se considerar atlas maximais vem da seguinte observacao: podemos garantir que uma funcao definidaem uma variedade diferenciavel e diferenciavel (veremos a definicao no proximo capıtulo) com relacao a doisatlas diferentes se eles sao compatıveis; portanto neste sentido atlas compatıveis definem a mesma estrutura

6


diferenciavel (por outro lado, e claro que existem funcoes que sao diferenciaveis em relacao a qualquer atlas,compatıveis ou nao, tais como funcoes constantes).

Observe que a relacao de compatibilidade nao e uma relacao de equivalencia entre cartas, pois ela nao etransitiva: se (ϕ1, U1) e compatıvel com (ϕ2, U2) e (ϕ2, U2) e compatıvel com (ϕ3, U3), nao e necessariamenteverdade que (ϕ1, U1) e compatıvel com (ϕ3, U3), pois embora

ϕ3 ϕ−11 =

(ϕ3 ϕ−1

2

)(ϕ2 ϕ−1

1

)e de classe Ck em U123 = U1 ∩U2 ∩U3, ela nao e necessariamente de classe Ck em U13 = U1 ∩U3. Por outrolado, se duas cartas sao compatıveis com um atlas, entao elas sao compatıveis entre si (Exercıcio 1.10).

Se uma variedade topologica possui uma estrutura diferenciavel (toda variedade topologica de dimensaon 6 3 possui, mas para toda dimensao n > 4 existem variedades topologicas compactas que nao possuem)ela possui uma quantidade nao enumeravel de estruturas diferenciaveis (veja [Lee 1], p. 30, Problem 1.6).Por outro lado, a estrutura diferenciavel de uma variedade diferenciavel e unica, no sentido que todo atlasdiferenciavel esta contido em um unico atlas maximal (veja [Lee 1], p. 13, Proposition 1.17).

Toda variedade diferenciavel de classe C1 possui uma estrutura diferenciavel de classe C∞, portanto emmuitas situacoes em que se requer funcoes com alto grau de diferenciabilidade (por exemplo, em geometriariemanniana) trabalha-se apenas com variedades suaves.

Surpreendentemente, a condicao de ser de Hausdorff (que assegura, entre outras coisas, que conjuntosfinitos de pontos sao fechados e que limites de sequencias convergentes sao unicos) nao e implicada peladefinicao (veja Exercıcio 1.11). A condicao de possuir uma base enumeravel garante a existencia de particoesda unidade. Por outro lado, dado um conjunto X, uma estrutura diferenciavel sobre X determina umatopologia para X (veja Exercıcio 1.12). Observe que toda variedade diferenciavel e localmente conexa porcaminhos e que uma variedade diferenciavel e conexa se e somente se ela e conexa por caminhos (Exercıcio1.16). Alem disso, toda variedade diferenciavel e paracompacta, isto e, toda cobertura de uma variedadediferenciavel por abertos admite uma subcobertura localmente finita; mais que isso, esta subcobertura podeser tomada enumeravel (veja [Lee 1], p. 9, Theorem 1.15).

Quando nos referirmos a uma variedade diferenciavel, assumiremos que ela esta munida de uma estruturadiferenciavel. Denotaremos as vezes uma variedade diferenciavel M de dimensao n por Mn quando fornecessario especificar a dimensao da variedade.

1.2 Exemplos

1.2 Exemplo (Esferas Sn). A esfera unitaria

Sn =(x1, . . . , xn+1

)∈ Rn+1 :

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= 1

com a topologia induzida de Rn+1 (sendo portanto um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel)e uma variedade suave atraves da estrutura diferenciavel que pode ser introduzida atraves de qualquer umdos seguintes atlas (todos eles sao compatıveis entre si, gerando o mesmo atlas maximal):

a) atlas de graficos de hemisferios:Para cada i = 1, . . . , n+ 1, considere os dois hemisferios

U+i =

(x1, . . . , xn+1

)∈ Sn : xi > 0

,

U−i =(x1, . . . , xn+1

)∈ Sn : xi < 0

.

As projecoes ϕ±i : U±i −→ Dn, onde

Dn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn :

(x1)2

+ . . .+ (xn)2< 1

e o disco unitario, definidas por

ϕ±i(x1, . . . , xn+1

)=(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1

)


sao cartas. De fato, elas sao claramente contınuas e suas inversas sao as aplicacoes contınuas

(ϕ±i)−1 (

x1, . . . , xn)

=

x1, . . . , xi,±

1−n+1∑k=1k 6=i

(xk)2

1/2

, xi+1, . . . , xn+1

,

de modo que elas sao homeomorfismos. As mudancas de coordenadas sao as aplicacoes

ϕ+i

(ϕ+j

)−1: Dn −→ Dn

dadas por

ϕ±i (ϕ±j)−1

=

x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xj ,±

1−n+1∑k=1k 6=i

(xk)2

1/2

, xj+1, . . . , xn+1

,

portanto sao aplicacoes suaves. Observe que este atlas tem 2 (n+ 1) cartas.b) atlas de projecoes estereograficas:Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, 1), qualquer reta ` passando por N que

nao seja tangente a esfera intercepta a esfera em um unico ponto

p =(x1, . . . , xn, xn+1

)e o hiperplano xn+1 = 0 em um unico ponto

x =(x1, . . . , xn, 0

).

Identificando este hiperplano com Rn atraves da identificacao natural(x1, . . . , xn, 0

)↔(x1, . . . , xn

)=: x

podemos obter uma carta para todo o aberto Sn\ N: esta reta tem equacao

N + t (p−N) =(tx1, . . . , txn, 1 + t

(xn+1 − 1

))e intercepta o plano xn+1 = 0 exatamente quando

t =1

1− xn+1,

de modo que a carta ϕN : Sn\ N −→ Rn e definida por

ϕN (p) = ϕN(x1, . . . , xn, xn+1

)=

(x1

1− xn+1, . . . ,

xn

1− xn+1

)=

x

1− xn+1. (1.1)

Esta aplicacao e claramente contınua, ja que xn+1 < 1. Para provar que ela e um homeomorfismo, obtemosa sua inversa: a reta ` tambem pode ser descrita pela equacao

N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, 1− t

)e intercepta a esfera quando ∥∥(tx1, . . . , txn, 1− t

)∥∥ = 1,

isto et2 ‖x‖2 + (1− t)2

= 1⇒ t2 (‖x‖+ 1)− 2t = 0


Esta equacao tem duas solucoes: t = 0, correspondente ao polo norte, e

t =2

1 + ‖x‖2,

correspondente ao ponto p. Logo,

ϕ−1N (x) = ϕ−1

N

(x1, . . . , xn

)=

(2x1

1 + ‖x‖2, . . . ,

2xn

1 + ‖x‖2,‖x‖2 − 1

1 + ‖x‖2

)(1.2)

=1

1 + ‖x‖2(

2x, ‖x‖2 − 1),

que tambem claramente e uma aplicacao contınua. Isso prova que ϕN e um homeomorfismo. De maneiracompletamente analoga, fazendo a projecao estereografica a partir do polo sul, obtemos uma segunda cartaϕS : Sn\ S −→ Rn por

ϕS (q) = ϕN(y1, . . . , yn, yn+1

)=

(y1

1 + yn+1, . . . ,

yn

1 + yn+1

)=

y

1 + yn+1, (1.3)

cuja inversa e

ϕ−1S (y) = ϕ−1

S

(y1, . . . , yn

)=

(2y1

1 + ‖y‖2, . . . ,

2yn

1 + ‖y‖2,

1− ‖y‖2

1 + ‖y‖2

)(1.4)

=1

1 + ‖y‖2(

2y, 1− ‖y‖2).

Para ver que as mudancas de coordenadas ϕS ϕ−1N , ϕN ϕ−1

S : Rn\ 0 −→ Rn\ 0 sao aplicacoes suavese so verificar que

ϕS ϕ−1N (x) = ϕS

(1

1 + ‖x‖2(

2x, ‖x‖2 − 1))

=

2x

1 + ‖x‖2

1 +‖x‖2 − 1

1 + ‖x‖2

,

isto e,

ϕS ϕ−1N (x) =

x

‖x‖2, (1.5)

e, analogamente,

ϕN ϕ−1S (y) =

y

‖y‖2(1.6)

(ou seja, inversoes do hiperplano xn+1 = 0 em relacao a esfera). O menor atlas possıvel para a esferapossui exatamente 2 cartas, embora a demonstracao disso nao seja simples, e necessita do desenvolvimentode ferramentas adequadas.

c) atlas de superfıcie de revolucao: Exercıcio 1.17.

1.3 Exemplo (Superfıcies Regulares de Rn). Em geral, as superfıcies regulares de Rn sao variedadesdiferenciaveis. Lembre-se que uma superfıcie regular de dimensao k e classe Cl e um subconjunto S ⊂ Rntal que para todo p ∈ S existem um aberto U ⊂ Rk, uma vizinhanca W de p em Rn e uma aplicacaodiferenciavel ϕ : U −→ V de classe Cl, onde V = W ∩ S, tal que ϕ e um homeomorfismo e a diferencialdϕu : Rk −→ Rn e injetiva para todo u ∈ U . Superfıcies regulares sao estudadas em detalhes em [Lima],Caps. 2 e 3.


Para os exemplos a seguir, recordamos alguns fatos basicos sobre topologia quociente. Se X e um espacotopologico e Y e um conjunto qualquer, uma aplicacao sobrejetiva π : X −→ Y induz uma topologia em Yatraves de se declarar um subconjunto U ⊂ Y aberto se e somente se π−1 (U) e aberto em X. Esta topologiae chamada a topologia quociente de Y induzida por π; π e chamada a aplicacao quociente, que torna-seautomaticamente uma aplicacao contınua.

Particularmente importante e frequente e a topologia quociente induzida pela projecao natural

π : X −→ X/ ∼

onde ∼ e uma relacao de equivalencia especificada com X/ ∼ denotando como usual o conjunto das classesde equivalencia de X (ou seja, o quociente de X pela relacao de equivalencia ∼). Denotando a classe deequivalencia de um elemento x por [x], a projecao natural e definida por π (x) = [x]. Com a topologiaquociente induzida por π, X/ ∼ e chamado o espaco quociente de X pela relacao de equivalencia ∼.

Se Y tem a topologia quociente e Z e um espaco topologico qualquer, entao uma aplicacao f : Y −→ Ze contınua se e somente se f π : X −→ Z e contınua. Alem disso, a topologia quociente e caracterizada poresta propriedade, isto e, ela e a unica topologia em Y que tem esta propriedade.

1.4 Exemplo (Espaco Projetivo Real RPn). O espaco projetivo real RPn e o espaco quociente daesfera Sn pela relacao de equivalencia que identifica pontos antipodais, isto e,

p ∼ −p.

Uma vizinhanca de um ponto (classe de equivalencia) [p] em RPn e portanto a identificacao antipodal deduas vizinhancas dos pontos p e −p que nao contem dentro de si pontos antipodais, tais como os hemisferiosopostos que contem p e −p. O atlas de hemisferios para a esfera do Exemplo 1.2 induz um atlas no espacoprojetivo da seguinte forma. Seja

π : Sn −→ RPn

a projecao quociente π (p) = [p], isto e, π−1 ([p]) = p,−p. Esta aplicacao identifica pontos antipodais, logoem particular identifica hemisferios opostos da esfera. Assim, vale

π(U+i

)= π

(U−i)

=: Ui.

Por definicao da aplicacao quociente, cada Ui e um aberto de RPn. Definimos uma carta

ψi : Ui −→ Dn

porψi ([p]) = ϕ+

i (p) ,

isto e, ψi π = ϕ+i ; em particular ψi e contınua. Sua inversa

ψ−1i (x) =

[(ϕ+i

)−1(x)],

ou seja, ψ−1i = π

(ϕ+i

)−1, que e a composta de aplicacoes contınuas, logo e contınua. Portanto, ψi e um

homeomorfismo e as mudancas de coordenadas sao dadas por

ψi ψ−1j (x) = (ψi π)

(π−1 ψ−1

j

)(x)

= ϕ+i (ψj π)

−1(x)

= ϕ+i

(ϕ+j

)−1(x) ,

de modo que elas sao suaves. Para ver que RPn e um espaco de Hausdorff e tem base enumeravel, noteprimeiramente que a projecao π e uma aplicacao aberta (o que nem sempre e valido para a aplicacao quocienteem geral): se V ⊂ Sn e aberto, entao

π−1 (π (V )) = V ∪ (−V )


(onde −U denota o antipodal de U), de modo que por definicao de aplicacao quociente π (V ) e aberto.Como a esfera Sn tem base enumeravel, isso implica que a topologia quociente de RPn tambem tem baseenumeravel. Alem disso, se [p] , [q] ∈ RPn sao pontos distintos, entao em particular p, q ∈ Sn nao sao pontosantipodais e existem vizinhancas disjuntas V de p e W de q na esfera tais que seus antipodais tambem naose intersectam (em outras palavras, V ∩W = ∅ e V ∩ (−W ) = ∅); π (V ) e π (W ) sao vizinhancas disjuntasde [p] e [q], respectivamente, e RPn e de Hausdorff.

Uma maneira equivalente de descrever o espaco projetivo real (e, historicamente, antecedeu a descricaoacima), embora menos visualizavel como variedade e a seguinte: RPn e o espaco quociente de Rn+1 pelarelacao de equivalencia que identifica todos os pontos de uma reta passando pela origem, isto e,(

x1, . . . , xn, xn+1)∼ λ

(x1, . . . , xn, xn+1

)se λ ∈ R e λ 6= 0.

Para definir um atlas para esta descricao de RPn, observe que um ponto (classe de equivalencia)[x1, . . . , xn+1

]tal que xi 6= 0 satisfaz [

x1, . . . , xn+1]

=

[x1

xi, . . . ,

xi−1

xi, 1,

xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

].

Definindo agora os abertosZi =

[x1, . . . , xn+1

]: xi 6= 0

consistindo das retas de Rn+1 que passam pela origem mas nao pertencem ao hiperplano xi = 0, definimosa carta θi : Zi −→ Rn por

θi[x1, . . . , xn+1

]=

(x1

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

),

que e contınua porque θi π e, cuja inversa e a aplicacao contınua dada por

θ−1i

(x1, . . . , xn

)=[x1, . . . , xi−1, 1, xi, . . . , xn+1

].

A mudanca de coordenadas e a aplicacao suave (para i < j; os outros casos sao semelhantes)

θi θ−1j

(x1, . . . , xn

)=

(x1

xi, . . . ,

xi−1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xj−1

xi,

1

xixj

xi, . . . ,

xn+1

xi

).

O fato que Rn+1/ ∼ e de Hausdorff e tem base enumeravel e provado de maneira semelhante ao modo comoprovamos para Sn/ ∼ (exercıcio).

1.5 Exemplo (Espaco Projetivo Complexo CPn). De modo analogo, definimos o espaco projetivocomplexo CPn como sendo o espaco quociente de Cn+1 (identificado com R2n+2) pela relacao de equivalenciaque identifica todos os pontos de uma reta complexa passando pela origem. Equivalentemente, CPn =S2n+1/ ∼ onde a relacao de equivalencia e(

z1, . . . , zn, zn+1)∼ λ

(z1, . . . , zn, zn+1

)se λ ∈ C e |λ| = 1.

CPn tem dimensao 2n.

1.6 Exemplo (Variedade Produto). Se Mm e Nn sao variedades diferenciaveis com atlas (ϕα, Uα)α∈Ae (ψβ , Vβ)β∈B, respectivamente, entao a variedade produto e o espaco topologico produto M ×N com

atlas (ϕα × ψβ , Uα × Vβ)(α,β)∈A×B. Note que uma mudanca de coordenadas para cartas da variedade

produto satisfaz(ϕ1 × ψ1) (ϕ2 × ψ2)

−1=(ϕ1 ψ−1

1

)×(ϕ2 ψ−1

2

)e portanto e uma aplicacao diferenciavel. A variedade produto tem portanto dimensao m+ n.

Um exemplo importante de variedade produto e o toro n-dimensional

Tn = S1 × . . .× S1.


1.7 Exemplo (Duas Estruturas Diferenciaveis em R). Considere R munido com a topologia usual.Podemos definir pelo menos dois estruturas diferenciaveis diferentes para R, isto e, dois atlas nao compatıveis(e que portanto geram atlas maximais diferentes). Temos a estrutura diferenciavel padrao para R, isto e, oatlas maximal que consiste de todas as aplicacoes que sao difeomorfismos de abertos de R (lembre-se queos abertos de R sao unioes de intervalos abertos). O atlas para R consistindo apenas da carta ϕ : R −→ Rdefinida por

ϕ (x) = x3

(note que ϕ e um homeomorfismo) nao e compatıvel com o atlas padrao de R, pois(ϕ−1 id

)(x) = x1/3

nao e diferenciavel, e portanto este atlas gera um atlas maximal, isto e, uma estrutura diferenciavel diferenteda estrutura difereciavel canonica. Veremos mais tarde, no entanto, que estas estruturas diferenciaveis saoequivalentes, no sentido de definirem variedades diferenciaveis difeomorfas.

1.8 Exemplo. Qualquer variedade topologica que possui um atlas consistindo de apenas uma carta, ou umatlas em que as funcoes de transicao evitam pontos onde existem as singularidades (tais como a quina dografico da funcao modulo, os quatro cantos de um quadrado ou os seis vertices de um cubo), e automatica-mente uma variedade diferenciavel suave. Em particular, se U ⊂ Rn e um aberto qualquer e f : U −→ Rk euma funcao contınua qualquer, entao o grafico de f

graf (f) = (x, f (x)) : x ∈ U

na topologia induzida de Rk e uma variedade diferenciavel suave de dimensao n, cujo atlas consiste da cartaϕ : graf (f) −→ U ⊂ Rn dada por ϕ (x, f (x)) = x.

1.9 Exemplo (Variedades Suavizaveis). Dada uma variedade topologica (ou seja um espaco topologico deHausdorff com base enumeravel, equipado com um atlas contınuo), e natural se perguntar se ela sempreadmite um atlas que a transforma em uma variedade diferenciavel. A resposta e sim para variedades dedimensoes 1, 2, 3 e nao para dimensao 4 em diante.

1.3 Colagem de Pedacos Euclidianos

Uma maneira natural de construir variedades diferenciaveis e atraves de colar pedacos de Rn, isto e, aber-tos euclidianos. Entretanto, a formalizacao disso e bem mais difıcil. Veja o tratamento detalhado em[Gallier-Quaintance], Secao 8.1, pp. 317-333.

1.4 Variedades com Bordo

Referencias [Tu], p. 250 e [Lee 1], p. 24.

1.5 Exercıcios

1.10 Exercıcio. Mostre que se duas cartas (ϕ,U) e (ψ,W ) sao compatıveis com um atlas Φ = ϕα, Uαα∈A,entao elas sao compatıveis entre si.

1.11 Exercıcio. Considere o subconjunto X = (R× 0) ∪(R+ × 1

)de R2 com a seguinte base para a

sua topologia:(a) intervalos do tipo (a, b)× 0, a < b;(b) intervalos do tipo (a, b)× 1, 0 6 a < b;(c) unioes de intervalos do tipo [(a, 0]× 0] ∪ [[0, b)× 1], a < 0 < b.


Verifique que X possui uma base enumeravel, que conjuntos finitos de pontos sao fechados em X e quetodo ponto de X possui uma vizinhanca difeomorfa a um conjunto aberto de R. Observe que X nao e, noentanto, um espaco de Hausdorff, porque os pontos (0, 0) e (0, 1) nao possuem vizinhancas abertas disjuntas.Veja tambem mais exemplos em [Lima], pp. 116-120.

1.12 Exercıcio. Mostre que podemos usar um atlas para definir uma topologia de maneira unica sobre umconjunto X que transforma ele em uma variedade diferenciavel da seguinte forma (veja [Lima], Secao IV-5,pp. 113-115, ou [Lee 1], Lema 1.35, pp. 21-22).

1.13 Teorema. Seja X um conjunto. Suponha que exista uma famılia

Φ = ϕαα∈A

de aplicacoes bijetivas ϕα : Uα −→ Vα de um subconjunto Uα de X sobre um aberto Vα ⊂ Rn, satisfazendoas seguintes condicoes:

(1) Os abertos Uα cobrem X, isto e, ⋃α∈A

Uα = X.

(2) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅, os conjuntos ϕα (Uαβ) e ϕβ (Uαβ) sao abertosem Rn e as aplicacoes

ϕαβ = ϕβ ϕ−1α : ϕα (Uαβ) −→ ϕβ (Uαβ) ,

ϕβα = ϕα ϕ−1β : ϕβ (Uαβ) −→ ϕα (Uαβ) ,

sao diferenciaveis de classe Ck, k > 1.Entao existe uma unica topologia T em X relativa a qual Φ e um atlas de dimensao n e classe Ck para

X.

A topologia T definida no teorema nao e necessariamente de Hausdorff, nem precisa possuir base enu-meravel (ela e apenas localmente de Hausdorff: se p, q ∈ Uα, p 6= q, eles possuem vizinhancas disjuntasporque Uα e homeomorfo a um aberto de Rn). Para que isso ocorra, sao necessarias condicoes adicionais:

1.14 Teorema. A topologia T definida no Teorema 1.13 e de Hausdorff se e somente se3) Sempre que p, q ∈ X, p 6= q, ou existe algum aberto Uα contendo ambos p e q, ou existem conjuntos

disjuntos Uα, Uβ tais que p ∈ Uα e q ∈ Uβ.Equivalentemente, para todos ındices α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα∩Uβ 6= ∅, nao existe nenhuma sequencia

xkk∈N ⊂ ϕα (Uαβ) tal que

xk −→ x ∈ Vα\ϕα (Uαβ) ,

ϕβ ϕ−1α (xk) −→ y ∈ Vβ\ϕβ (Uαβ) .

1.15 Teorema. A topologia T definida no Teorema 1.13 possui uma base enumeravel se e somente se(4) A cobertura Uαα∈A de X possui uma subcobertura enumeravel.

1.16 Exercıcio. Mostre que uma variedade diferenciavel M e conexa se e somente se ela e conexa porcaminhos.

Alem disso, verifique que as componentes conexas de M sao as suas componentes conexas por caminhos.Finalmente, prove que M possui no maximo um numero enumeravel de componentes conexas.

1.17 Exercıcio. Construa um atlas para Sn constituıdo por cartas de superfıcies de revolucao. Quantascartas sao necessarias para cobrir a esfera toda?

1.18 Exercıcio. Determine se os tres atlas contruıdos no Exemplo 1.2 sao compatıveis.


1.19 Exercıcio. Prove que superfıcies regulares de Rn sao variedades diferenciaveis.

1.20 Exercıcio. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n e classe Ck. Mostre que se U e umaberto de M , entao U tambem e uma variedade diferenciavel de dimensao n e classe Ck.

1.21 Exercıcio. Mostre que os espacos quocientes a seguir (quadrado unitario com as identificacoes dosbordos ilustradas) sao variedades diferenciaveis de dimensao 2.

1.22 Exercıcio. Leia sobre variedades de Grassmann em [Lima], pp. 123-128 e em [Gallier-Quaintance],Exemplo 7.4, pp. 275-279.

Capıtulo 2

Aplicacoes Diferenciaveis

De agora em diante, sempre que escrevermos o adjetivo diferenciavel, deve-se entender diferenciavel de classeCk (incluindo o caso k =∞).

2.1 Definicao

2.1 Definicao. Seja Mn uma variedade diferenciavel. Dizemos que uma funcao f : M −→ Rk e uma funcaodiferenciavel se para todo p ∈M existe uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanca de p tal que

f ϕ−1 : U ⊂ Rn −→ Rk

e uma funcao diferenciavel.

Observe que se f ϕ e diferenciavel para uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanca de p, entao para qualquercarta (ψ, V ) de uma vizinhanca de p temos que f ψ e diferenciavel, pois

f ψ = f ϕ−1 (ϕ ψ−1

)e a funcao de transicao ψ ϕ−1 e um difeomorfismo de classe Ck. A funcao f ϕ−1 e chamada umarepresentacao de f em coordenadas. Frequentemente omitimos a carta ϕ−1 quando trabalhamos coma representacao de f em coordenadas e escrevemos simplesmente

f(x1, . . . , xn

)ao inves de (

f ϕ−1) (x1, . . . , xn

).

2.2 Definicao. Se M e uma variedade diferenciavel, definimos o espaco vetorial de dimensao infinita

Ck (M) =f : M −→ R : f e diferenciavel de classe Ck

.

Ck (M) e um espaco vetorial porque a combinacao linear de funcoes diferenciaveis e uma funcao diferenciavel.Ck (M) tambem e uma algebra associativa com a multiplicacao usual de funcoes ou, esquecendo a estruturade espaco vetorial, pode ser considerado um anel comutativo com identidade, pois a funcao identicamente 1(e as funcoes constantes em geral) e uma funcao diferenciavel.

15


2.3 Definicao. Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis. Dizemos que uma aplicacao F : M −→ N euma aplicacao diferenciavel se para todo p ∈ M existem cartas (ϕ,U) de uma vizinhanca de p e (ψ, V )de uma vizinhanca de F (p) com F (ϕ (U)) ⊂ ψ (V ) tais que

ψ F ϕ−1 : U ⊂ Rm −→ Rn

e uma aplicacao diferenciavel.

Novamente observamos que se ψ F ϕ−1 e diferenciavel para as cartas (ϕ,U) , (ψ, V ), entao para quaisquer

cartas(ϕ, U

)de uma vizinhanca de p e

(ψ, V

)de uma vizinhanca de F (p) tais que F

(ϕ(U)

)⊂ ψ

(V)

temos que ψ F ϕ−1 e diferenciavel, pois

ψ F ϕ−1 = (ψ ψ−1) ψ F ϕ−1 (ϕ ϕ−1

)e ϕϕ−1, ψψ−1 sao difeomorfismos. A aplicacao ψF ϕ−1 e uma representacao de F em coordenadas.

Observe que a continuidade de uma aplicacao diferenciavel nao e requerida na definicao, mas e umaconsequencia desta (Exercıcio 2.16).

2.4 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e um difeomorfismo de classe Ck

se F e um homeomorfismo e F−1 tambem e diferenciavel.Se existir um difeomorfismo entre duas variedades diferenciaveis M e N , dizemos que elas sao difeomor-

fas.

Se duas variedades diferenciaveis sao difeomorfas, em particular elas possuem a mesma dimensao (Exercıcio2.15). Note que a relacao ser difeomorfa e uma relacao de equivalencia na classe de variedades diferenciaveis.Assim, do ponto de vista de topologia diferencial, duas variedades difeomorfas sao essencialmente a mesma.

O conceito de difeomorfismo leva naturalmente a perguntar se, dada uma variedade diferenciavel, es-truturas diferenciaveis diferentes sobre ela definem sempre duas variedades diferenciaveis difeomorfas ounao.

2.5 Exemplo (Duas Estruturas Diferenciaveis Difeomorfas em R). As duas estruturas diferenciaveis

no Exemplo 1.7 sao difeomorfas. De fato, denotando-as por R e R a aplicacao

F : R −→ R

definida porF (x) = x1/3

e um difeomorfismo (a identidade nao e), pois

ϕ F id−1R (x) = x

e um homeomorfismo suave e sua inversa

id−1R F

−1 ϕ (y) = y

tambem e suave.

A resposta em geral e que para variedades diferenciaveis de dimensao n 6 3 existe apenas uma estruturadiferenciavel a menos de difeomorfismo, enquanto que uma variedade simples de dimensao 4 como R4 temum numero nao enumeravel de estruturas diferenciaveis nao difeomorfas (no entanto, todas as estruturasdiferenciaveis de Rn sao difeomorfas se n 6= 4). Sabe-se tambem que esferas de dimensao ate n = 20, n 6= 4,possuem um numero finito de estruturas diferenciaveis a menos de difeomorfismo e este numero e conhecido(veja referencias em [Lee 1], p. 40, e [Conlon], p. 93-94, Examples 3.2.4-6); quantas estruturas diferenciaveisdifeomorfas S4 possui (ou mesmo se este numero e diferente de zero ou finito) e uma questao em aberto, aconjectura de Poincare generalizada.

Uma das aplicacoes diferenciaveis mais importantes entre variedades sao as curvas diferenciaveis:

2.6 Definicao. Uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M e uma aplicacao diferenciavelα : I −→M onde I ⊂ R e um intervalo.


2.2 Propriedades

O resultado a seguir permite construir aplicacoes diferenciaveis mais facilmente em certas situacoes frequen-tes.

2.7 Proposicao. Sejam M,N variedades diferenciaveis.Suponha que existe uma cobertura aberta Uα de M tal que para cada α existe uma aplicacao diferenciavel

Fα : Uα −→ N tal queFα|Uα∩Uβ = Fβ |Uα∩Uβ

para todos α, β. Entao existe uma unica aplicacao diferenciavel F : M −→ N tal que F |Uα = Fα para todoα.

Prova: Exercıcio 2.17.

2.8 Proposicao. Sejam M,N,P variedades diferenciaveis.Se F : M −→ N e G : N −→ P sao aplicacoes diferenciaveis, entao a composta G F : M −→ P e

diferenciavel.


2.9 Proposicao. Sejam M1,M2, N variedades diferenciaveis.Denote as projecoes canonicas da variedade produto M1 ×M2 em cada uma de suas componentes por

π1 : M1 ×M2 −→M1,

π2 : M1 ×M2 −→M2.

Uma aplicacao F : N −→ M1 × M2 e diferenciavel se e somente se cada uma aplicacoes componentesF i = πi F e diferenciavel.


2.3 Particoes da Unidade

Em muitas aplicacoes e necessario colar aplicacoes diferenciaveis que nao coincidem nas intersecoes de cartasa fim de produzir uma aplicacao diferenciavel globalmente definida. A ferramente que possibilita isso e umaparticao da unidade. Lembramos que uma colecao de subconjuntos de um espaco topologico e localmentefinita se qualquer ponto do espaco tem uma vizinhanca que intersecta no maximo um numero finito deconjuntos da colecao.

2.10 Definicao. Seja C = Uαα∈A uma cobertura aberta de uma variedade diferenciavelM . Uma particaoda unidade subordinada a C e uma colecao ραα∈A de funcoes diferenciaveis ρα : M −→ R tais que

(i) 0 6 ρα 6 1.(ii) supp ρα ⊂ Uα.(iii) supp ρα e localmente finita.(iv)

∑α∈A

ρα = 1.

Lembre-se que o suporte de uma funcao real f : X −→ R definida em um espaco topologico X e o conjunto

supp f = x ∈ X : f (x) 6= 0.

2.11 Teorema (Existencia de Particoes da Unidade). Toda cobertura aberta de uma variedade dife-renciavel possui uma particao da unidade subordinada.


Prova: A demonstracao aqui segue [Lee 1], pp. 41-44, e e feita em varias etapas.Passo 1. A funcao ξ : R −→ R definida por

ξ (t) =

e−1/t se t > 0,

0 se t 6 0,

e suave.Para uma demonstracao detalhada deste passo veja [Lee 1], p. 41, Lemma 2.20.

Passo 2 (Funcao de Corte). Dados numeros reais r < R, existe uma funcao suave σ : R −→ R tal que

σ (t) ≡

1 se t 6 r,0 se t > R,

e 0 < σ (t) < 1 se r < t < R.Basta definir

σ (t) =ξ (R− t)

ξ (R− t) + ξ (t− r).

Note que o denominador nunca se anula.

Passo 3 (Funcao Lombada). Dados numeros reais r1 < r2, existe uma funcao suave H : Rn −→ R talque

η (x) ≡

1 se ‖x‖ 6 r,0 se ‖x‖ > R,

e 0 < η (x) < 1 se r < ‖x‖ < R.Basta definir

η (x) = σ (‖x‖) ,

que e suave por ser a composta de funcoes suaves: a funcao norma e suave exceto na origem, mas como g econstante (igual a 1) na bola de raio r, isto nao e um problema.

Passo 4. Toda cobertura aberta de um espaco topologico com base enumeravel possui uma subcoberturaenumeravel.

Consequentemente, uma variedade diferenciavel sempre possui um atlas enumeravel.Sejam B = Bii∈N uma base enumeravel para a topologia de X e C = Uαα∈A uma cobertura aberta

de X. SejaB′ = B ∈ B : B ⊂ Uα para algum Uα ∈ C .

Para cada B ∈ B′ denote por UB algum conjunto de C que contem B, de modo que

C′ = UBB∈B′

e uma colecao enumeravel. C′ e uma subcobertura enumeravel de C: se x ∈ X, existe algum aberto Uα ∈ C

que contem x, e por definicao de base existe algum elemento Bi ⊂ Uα da base B que contem x; portantoBi ∈ B′ e daı x ∈ Bi ⊂ UBi.

Seja M uma variedade diferenciavel e Φ = (ϕα, Uα)α∈A um atlas. Porque M tem base enumeravel,a cobertura aberta Uαα∈A de M possui uma subcobertura enumeravel Uii∈N, logo as cartas (ϕi, Ui)constituem um atlas enumeravel Φ′ = (ϕi, Ui)i∈N.


No que se segue, damos o nome de bola coordenada a um aberto de uma variedade diferenciavel cujaimagem atraves de alguma carta do atlas e uma bola de Rn e bola coordenada regular a um aberto quee uma bola coordenada e cujo fecho esta contido em uma bola coordenada (de raio maior, e claro).Passo 5. Toda variedade diferenciavel M possui uma base enumeravel formada por bolas coordenadasregulares.

Sejam B = Bii∈N uma base enumeravel para a topologia de M e Φ = (ϕi, Ui)i∈N um atlas enumeravel.Se Vi = ϕi (Bi) ⊂ Rn, seja

Bi =Br (x) ⊂ Vi : x1, . . . , xn, r ∈ Q e Br (x) ⊂ BR (x) ⊂ Vi para algum R > r

a colecao enumeravel de bolas abertas centradas em pontos com coordenadas racionais e raios racionaiscontidas em Vi, tais que o seu fecho tambem esta contido em uma bola maior em Vi. Como Bi e uma baseenumeravel para Vi, e como ϕi e um homeomorfismo, a colecao

Bi =ϕ−1i (B) : B ∈ Bi

e uma base enumeravel de Ui por bolas coordenadas regulares. Segue que

⋃i∈N

Bi e uma base enumeravel

para M formada por bolas coordenadas regulares.

Passo 6. Toda variedade diferenciavel M pode ser exaurida por uma colecao enumeravel de compactos.Em outras palavras, existe uma famılia enumeravel Kii∈N de subconjuntos compactos de M tais que

M =⋃i∈N

Ki

eKi ⊂ intKi+1.

Esta famılia pode ser construıda da seguinte forma. Escreva M como a uniao enumeravel de bolas coorde-nadas regulares Bi. Tome K1 = B1. Como K1 e compacto, existe algum ındice i2 > 2 tal que

K1 ⊂ B1 ∪ . . . ∪Bi2 .

Tome K2 = B1 ∪ . . . ∪ Bi2 . Entao K2 e compacto, B2 ⊂ K2 e K1 ⊂ intK2. Em geral, suponha porinducao que construımos compactos K1, . . . ,Kj tais que Bi ⊂ Ki e Ki ⊂ intKi+1 para todo i. Porque Kj ecompacto, existe um ındice ij > j + 1 tal que

Kj ⊂ B1 ∪ . . . ∪Bij .

Tome Kj+1 = B1 ∪ . . . ∪ Bij . Entao Kj e compacto, Bj+1 ⊂ Kj+1 e Kj ⊂ intKj+1. Assim construımos asequencia de compactos com as propriedades desejadas. Note que

∪Ki ⊃ ∪Bi = M.

Lembramos que, dada uma cobertura C de um espaco topologico, um refinamento de C e uma outracobertura C′ do espaco tal que para todo C ′ ∈ C′ existe algum C ∈ C tal que C ′ ⊂ C.Passo 7. Toda variedade diferenciavel M e paracompacta, isto e, toda cobertura aberta de M possui umrefinamento aberto localmente finito.

Alem disso, este refinamento pode ser tomado como sendo formado de bolas coordenadas regulares queformam uma base para a topologia de M , tal que a cobertura formada pelos fechos destas bolas tambem eum refinamento localmente finito.


Se Ki e uma exaustao enumeravel de M por subconjuntos compactos, como a construıda no passoanterior, defina

Vi = Ki+1\ intKi,

Wi = intKi+2\Ki−1,

de modo que cada Vi e um subcompacto de cada aberto Wi (considere Kj = ∅ se j 6 0).Agora seja C uma cobertura aberta de M . Para cada x ∈ Vi, existe Ux ∈ C e se Bi e uma base

enumeravel para a topologia de M formada por bolas coordenadas regulares, existe uma bola coordenadaregular Bx desta cobertura tal que Bx ⊂ Ux ∩ Wi. A colecao Bx : x ∈ Vi e uma cobertura aberta docompacto Vi, logo tem uma subcobertura finita Bi. A uniao ∪Bi destas subcoberturas finitas e uma coberturaenumeravel por bolas coordenadas regulares. Ela e localmente finita porque as bolas em Bi estao contidas emWi e Wi∩Wi′ = ∅, exceto quando i−2 6 i′ 6 i+2. Note que nao apenas a colecao destas bolas coordenadasregulares, mas tambem a colecao dos fechos destas bolas e localmente finita (veja [Lee 1], Lemma 1.13, p.9).

Passo 8. Construcao de uma particao da unidade subordinada a uma cobertura aberta C = Uαα∈A davariedade.

Seja Bi um refinamento enumeravel de C por bolas coordenadas regulares, localmente finito, tal queBi

tambem e localmente finito. Seja B′i ⊂ Uα tal que B′i ⊃ Bi e ϕi uma carta tal que ϕi (Bi) = Bri (0) eϕi (B′i) = BRi (0). Defina uma funcao diferenciavel fi : M −→ R por

fi (p) =

ηi ϕi (p) se p ∈ B′i,0 se p ∈M\B′i,

onde ηi e a funcao lombada do Passo 3 para r = ri e R = Ri.Defina

gi (p) =fi (p)∑fi (p)

.

Como a coberturaBi

e localmente finita, o denominador de gi possui um numero finito de termos nao nulosem uma vizinhanca de cada ponto p da variedade, logo define uma funcao diferenciavel; alem disso, comofi e positiva em Bi e as fi sao nao negativas, o denominador nunca se anula e portanto gi e diferenciavel.Segue imediatamente da definicao de gi que

0 6 gi 6 1,

e ∑gi (p) = 1.

Resta apenas reindexar as funcoes gi de tal forma que elas sao indexadas pelo mesmo conjunto de ındicesA da cobertura C. Porque a cobertura B′i tambem e um refinamento de C, para cada i podemos escolherum ındice α (i) ∈ A tal que B′i ⊂ Uα(i). Para cada α ∈ A, se existem ındices i tais que α (i) = α, definimos

ρα =∑

i:α(i)=α

gi (p) ;

se nao, definimos ρα ≡ 0. Segue que

supp ρα =⋃

i:α(i)=α

Bi =⋃

i:α(i)=α

Bi ⊂⊂ Uα,

0 6 ρα 6 1,


∑α∈A

ρα = 1

e supp ρα e localmente finita.

2.12 Corolario (Existencia de Funcoes Lombada). Dados um fechado A e um aberto U ⊃ A em umavariedade diferenciavel M , existe uma funcao diferenciavel f : M −→ R tal que

(i) 0 6 f 6 1.(ii) f ≡ 1 em A.(iii) supp f ⊂ U.

Prova: Se ρ0, ρ1 e uma particao da unidade subordinada a cobertura U0 = U,U1 = M\A, entao bastatomar f = ρ0.

2.13 Definicao. Se M,N sao variedades diferenciaveis e A ⊂M e um subconjunto arbitrario, dizemos queuma funcao f : A −→ N e diferenciavel se ela possui uma extensao diferenciavel local para cada ponto deA.

Em outras palavras, para cada ponto p ∈ A existem uma vizinhanca Vp de p e uma funcao diferenciavel

fp : Vp −→ N tais que

fp|Vp∩A = f |Vp∩A.

2.14 Corolario (Lema de Extensao). Sejam M uma variedade diferenciavel, A ⊂ M um subconjuntofechado e U ⊃ A um aberto. Se f : A −→ Rk e uma funcao diferenciavel, entao existe uma extensaodiferenciavel f : M −→ Rk de f tal que supp f ⊂ U .

Em particular, se (ϕ,U) e uma carta local e V ⊂⊂ U , qualquer funcao diferenciavel f : V −→ Rk pode

ser estendida a uma funcao diferenciavel f : M −→ Rk com supp f ⊂ U .

Prova: Para cada p ∈ A, seja Vp ⊂ U uma vizinhanca de p tal que existe uma extensao local fp : Vp −→ Rkde f . A famılia

Vpp∈A ∪ (M\A)

e uma cobertura aberta de M . Seja ρpp∈A ∪ ρ0 uma particao da unidade subordinada a esta cobertura.

Definimos f : M −→ Rk por

f (x) =∑p∈A

ρp (x) fp (x) .

Observe que esta soma e localmente finita, logo f e diferenciavel e se x ∈ A, entao ρ0 (x) = 0 e fp (x) = f (x),logo

f (x) =

∑p∈A

ρp (x)

f (x) =

ρ0 (x) +∑p∈A

ρp (x)

f (x) = f (x) .

Alem disso,

supp f =⋃p∈A

supp ρp =⋃p∈A

supp ρp ⊂ Vp ⊂ U.

A segunda parte segue imediatamente da primeira, ja que V ⊂ U e fechado.

2.4 Exercıcios

2.15 Exercıcio. Prove que duas variedades diferenciaveis difeomorfas possuem a mesma dimensao.

2.16 Exercıcio. Prove que uma aplicacao diferenciavel entre variedades diferenciaveis e, em particular,contınua.


2.17 Exercıcio. Prove a Proposicao 2.7.



2.20 Exercıcio. Se M e uma variedade diferenciavel e A e um subconjunto fechado de M , existe umafuncao diferenciavel f : M −→ R tal que A = f−1 (0). ([Lee 1], p. 47, Teorema 2.29.)

2.21 Exercıcio. Sejam A,B subconjuntos fechados disjuntos de uma variedade diferenciavel M . Prove queexiste uma funcao diferenciavel f tal que 0 < f < 1, f−1 (0) = A e f−1 (1) = B.

2.22 Exercıcio. Se f1, . . . , fk ∈ Ck (M) tem suportes disjuntos, mostre que elas sao linearmente indepen-dentes. Conclua que Ck (M) tem dimensao infinita.

Capıtulo 3

Vetores Tangentes

Consideremos agora a questao de como definir a nocao de vetor tangente a um ponto em uma variedadediferenciavel. Esta nocao nao e obvia, ja que uma variedade e um espaco abstrato que nao se encontra emprincıpio imerso em um espaco ambiente, ou seja, em um espaco euclidiano RN , onde operacoes diferenciaise vetoriais sao naturais. Portanto, precisamos procurar uma caracterıstica de vetores tangentes em espacoseuclidianos que independa do espaco ambiente. Faremos isso em duas etapas, aumentando em abstracao atechegar a uma definicao que provara ser extremamente conveniente de trabalhar.

De agora em diante, assumiremos k = ∞ e diferenciavel significara suave e usaremos sempre o sımboloM para denotar uma variedade diferenciavel de dimensao n, a menos que especificado de outra forma.

3.1 Vetores Tangentes a Curvas

No que se segue, as derivadas parciais de funcoes reais f de varias variaveis reais serao denotadas por

∂f

∂xiou ∂if

conforme for mais conveniente.Quando α : I −→ Rn e uma curva diferenciavel em um espaco euclidiano, com α (t0) = p e α′ (t0) = v,

escrevendo em coordenadasα (t) =

(x1 (t) , . . . , xn (t)

),

temos que

α′ (t) =

(dx1

dt(t) , . . . ,

dxn

dt(t)

),

e em particular

v = α′ (t0) =

(dx1

dt(t0) , . . . ,

dxn

dt(t0)

).

Se f : Rn −→ R e uma funcao diferenciavel em p, entao a derivada direcional de f em p na direcao de v edada pela regra da cadeia por

(f α)′(t0) = dfα(t0)α

′ (t0) =

n∑i=1

∂f

∂xi(p)

dxi

dt(t0) =

[n∑i=1

dxi

dt(t0)

∂

∂xi

]f (p) ,

o que significa que a derivada direcional na direcao de v pode ser vista como um funcional linear atuandosobre funcoes diferenciaveis que depende apenas do vetor tangente v a curva.

23


3.1 Definicao. Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel com α (t0) = p. O vetor tangente a curva αem p e o funcional linear vp : C∞ (M) −→ R definido por

vp (f) = (f α)′(t0) . (3.1)

Um vetor tangente a variedade M em p e qualquer vetor tangente a uma curva diferenciavel passandopor p.

Na proposicao a seguir verificamos que a equacao (3.1) define de fato um funcional linear em C∞ (M)), alemde obter uma expressao local para um vetor tangente:

3.2 Proposicao. Em coordenadas locais, o vetor tangente vp a curva α em p se escreve na forma

vp (f) =∑ni=1

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0)dxi

dt(t0), (3.2)

onde ϕ =(x1, . . . , xn

)e uma carta de p com α (t0) = p e x0 = ϕ (p).

Em particular, um vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R e de fato um funcional linear.

Prova: Por definicao, dado f ∈ C∞ (M), temos

vp (f) = (f α)′(t0)

=(f ϕ−1 ϕ α

)′(t0)

= d(f ϕ−1

)x0

(ϕ α)′(t0)

=

n∑i=1

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0)dxi

dt(t0) .

Segue que para todos f, g ∈ C∞ (M) e para todos a, b ∈ R temos

vp (af + bg) =

n∑i=1

∂([af + bg] ϕ−1

)∂xi

(x0)dxi

dt(t0)

= a

n∑i=1

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0)dxi

dt(t0) + b

n∑i=1

∂(g ϕ−1

)∂xi

(x0)dxi

dt(t0)

= avp (f) + bvp (g) ,

de modo que vp : C∞ (M) −→ R e um funcional linear. Em outras palavras, um vetor tangente a M em p e um funcional linear para o qual existe uma curva

diferenciavel α em M tal que ele pode ser calculado pela equacao (3.1). E claro que curvas diferenciaveisdiferentes α, β : I −→M com α (t0) = β (s0) = p podem dar origem ao mesmo vetor tangente: basta que

(f α)′(t0) = (f β)

′(s0)

para todo f , e de fato sabemos que isso ocorre em RN para curvas que coincidem localmente, isto e, saotangentes em um ponto.

Na proxima secao definiremos vetores tangentes sem qualquer referencia a curvas. As duas definicoescoincidirao, mas a definicao final que vamos obter nao fara qualquer mencao explıcita a uma curva. Note queum vetor tangente e um funcional linear que existe no dual C∞ (M)

∗, e o unico papel da curva na definicao

e determinar se este funcional linear e um vetor tangente ou nao, mas o vetor tangente em si nao dependeda curva.


A chave para definir vetores tangentes independentemente de curvas e exatamente esta observacao queum vetor tangente nao e um funcional linear qualquer em C∞ (M), mas um funcional linear para o qualexiste uma curva diferenciavel α em M tal que ele pode ser calculado pela Equacao (3.1). Em princıpiopodem existir outros funcionais lineares em C∞ (M) que nao satisfazem esta condicao e, na verdade, comoveremos na proposicao a seguir, a maioria dos funcionais lineares em C∞ (M) nao satisfazem esta condicao: oconjunto dos funcionais lineares em C∞ (M) que sao vetores tangentes e um subespaco vetorial de dimensaon, enquanto que C∞ (M)

∗e um espaco vetorial de dimensao infinita (dual de C∞ (M), que tem dimensao

infinita pelo Exercıcio 2.22). Estabelecido isso, podemos depois buscar uma propriedade algebrica (que possaser formulada sem fazer referencia a curvas) que apenas os funcionais lineares em C∞ (M) que sao vetorestangentes satisfazem, para dar uma definicao de vetor tangente totalmente independente de curvas.

Observe que em princıpio nao esta claro da definicao de vetor tangente que o conjunto dos vetorestangentes a uma variedade M em um ponto e um espaco vetorial. Embora combinacoes lineares de funcionaislineares sejam sempre funcionais lineares, nada garante em princıpio que um tal funcional linear e um vetortangente a uma curva.

3.3 Proposicao. O conjunto dos vetores tangentes a uma variedade de dimensao n em qualquer ponto davariedade e um espaco vetorial real n-dimensional.

Prova: Para provar o resultado, mostraremos que todo vetor tangente e a combinacao linear de n vetorestangentes linearmente independentes ∂1|p , . . . , ∂n|p a serem definidos e que, alem disso, qualquer combinacaolinear dos vetores tangentes ∂1|p , . . . , ∂n|p e um vetor tangente a alguma curva.

Seja (ϕ,U) uma carta de p. Reescrevemos a expressao obtida na Proposicao 3.2 para vp (f) na forma

vp (f) =

n∑i=1

dxi

dt(t0)

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) .

Denotando por B = e1, . . . , en a base canonica de Rn, seja αi a curva diferenciavel αi : Ii −→M definidapor

αi (t) = ϕ−1 (x0 + tei) ,

onde Ii e um intervalo aberto contendo t0 tal que x0 + tei ∈ U para todo t ∈ Ii e denote por ∂i|p o vetortangente a curva αi em p. Como

∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) = limt→0

(f ϕ−1

)(x0 + tei)−

(f ϕ−1

)(x0)

t

= (f αi)′ (t0)

= ∂i|p (f) ,

segue que

vp =

n∑i=1

dxi

dt(t0) ∂i|p , (3.3)

isto e, todo vetor tangente e uma combinacao linear de ∂1|p , . . . , ∂n|p.Reciprocamente, se vp e o funcional linear

vp =

n∑i=1

ci ∂i|p ,

entao vp e o vetor tangente a curva α em p definida por

α (t) = ϕ−1

(x0 + t

(n∑i=1

ciei

)).


Com efeito,

(f α)′(0) =

n∑i=1

dxi

dt(0)

∂ (f ϕ)

∂xi(x0) =

n∑i=1

ci ∂i|p (f) = vp (f) .

Falta apenas verificar que ∂1|p , . . . , ∂n|p sao linearmente independentes. Se

n∑i=1

ci ∂i|p = 0,

entao em particularn∑i=1

ci∂(f ϕ−1

)∂xi

(x0) = 0 (3.4)

para todo f ∈ C∞ (M). Definindo para cada j

fj(x1, . . . , xn

)= xj

em um aberto U0 ⊂⊂ U , segue que fj e diferenciavel em U0 e pelo Lema da Extensao (Corolario 2.14)

podemos estender fj a uma funcao diferenciavel fj ∈ C∞ (M). Como

∂(fj ϕ−1

)∂xi

(x0) =∂(fj ϕ−1

)∂xi

(x0) = δij ,

escolhendo f = fj em (3.4) obtemos cj = 0 para todo j.

3.4 Definicao. O espaco vetorial dos vetores tangentes a um ponto p ∈M e chamado o espaco tangentea M em p e denotado TMp.

Se ϕ e uma carta de p, a base obtida na demonstracao da Proposicao 3.3

∂1|p , . . . , ∂n|p

e chamada a base coordenada do espaco tangente TMp associada a carta ϕ.

A base coordenada tambem sera denotada por

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

quando for conveniente ou necessario explicitar as coordenadas da carta. Nesta notacao, definimos

∂f

∂xi(p) :=

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂ (f ϕ)

∂xi(x) . (3.5)

No final das contas, linearidade nao e a unica propriedade que caracteriza a derivada em RN e portanto einsuficiente por si so para se definir vetores tangentes independentemente de curvas. Linearidade e a regra doproduto sao as propriedades que caracterizam a derivada. E, de fato, ela vale tambem para vetores tangentesa uma curva em variedades:

3.5 Proposicao (Regra do Produto). Para qualquer vetor tangente a uma curva vp vale

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .


Prova: Se vp e o vetor tangente a curva α em p, entao

vp (fg) = ((fg) α)′(t0) = [(f α) (g α)]

′(t0)

= (f α)′(t0) (g α) (t0) + (f α) (t0) (g α)

′(t0)

= vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

Esta e a propriedade algebrica que buscavamos para definir vetores tangentes independentemente de curvas,como veremos agora na proxima secao.

3.2 Vetores Tangentes como Derivacoes

3.6 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um vetor tangente a M em p e um funcional linearvp : C∞ (M) −→ R que tambem e uma derivacao em p, isto e, ele satisfaz a regra do produto

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g).

Note que nesta definicao o conjunto dos vetores tangentes a um ponto p ∈M forma naturalmente um espacovetorial real, pois e um subespaco do espaco dual C∞ (M)

∗: uma combinacao de funcionais lineares que sao

derivacoes tambem e um funcional linear que e uma derivacao, pois

(αvp + βwp) (fg) = αvp (fg) + βwp (fg)

= αvp (f) g (p) + αf (p) vp (g) + βwp (f) g (p) + βf (p)wp (g)

= [(αvp + βwp) (f)] g (p) + f (p) [(αvp + βwp) (g)] .

Mas a dimensao deste espaco nao e imediatamente obvia. Alem disso, nao e claro que todo vetor tangentesegundo esta definicao e um vetor tangente segundo a definicao anterior. Embora seja consequencia dasProposicoes 3.2 e 3.5 que vetores tangentes a curvas sao funcionais lineares em C∞ (M) que sao derivacoes,logo o espaco vetorial dos vetores tangentes segundo a definicao anterior e um subespaco vetorial do espacovetorial dos vetores tangentes segundo a nova definicao, ainda nao sabemos que todo funcional linear emC∞ (M) que e uma derivacao e um vetor tangente a alguma curva. Isso provara ser verdade quando mostrar-mos que o espaco vetorial dos funcionais lineares em C∞ (M) que sao derivacoes tambem tem dimensao n(Proposicao 3.14). Em outras palavras, as duas definicoes sao nao apenas equivalentes, mas de fato definemo mesmo conceito de vetor tangente. De agora em diante, usaremos a Definicao 3.6 como nossa definicao devetor tangente explicitamente; a caracterizacao dada pela Definicao 3.1 tambem sera frequentemente usadaem alguns calculos, exemplos e demonstracoes.

3.7 Proposicao. Qualquer vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R satisfaz as seguintes propriedades:(i) Se f e uma funcao constante, entao vp (f) = 0.(ii) Se f (p) = g (p) = 0, entao vp (fg) = 0.

Prova: Ambas as propriedades seguem imediatamente da regra do produto. (i) Como vp e linear, bastaprovar para a funcao constante f ≡ 1. Temos

vp (f) = vp (f) f (p) + f (p) vp (f) = 2vp (f) ,

logo vp (f) = 0. (ii) Temos

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) = vp (f) 0 + 0vp (g) = 0 + 0 = 0.

Apesar dos vetores tangentes (derivacoes) estarem definidas no espaco global C∞ (M), o proximo resul-

tado mostra que a sua atuacao e local.


3.8 Proposicao. Seja vp : C∞ (M) −→ R um vetor tangente. Se f, g ∈ C∞ (M) coincidem em umavizinhanca de p, entao vp (f) = vp (g).

Prova: Seja h = f − g, de modo que h ∈ C∞ (M) e h ≡ 0 em uma vizinhanca de p. Por linearidade, bastamostrar que vp (h) = 0. Para isso, tome ρ ∈ C∞ (M) tal que supp ρ ⊂ M\ p e ρ ≡ 1 no suporte de h (aexistencia de h esta garantida pelo Corolario 2.12). Em particular, como ρ = 1 onde h e nao nula, segue queρh = h. Daı, pela Proposicao 3.7 (ii), segue que

vp (h) = vp (ρh) = 0.

3.3 Diferencial de uma Aplicacao

Para definir a diferencial (derivada) de uma aplicacao diferenciavel, e extremamente conveniente a definicaode vetores tangentes como derivacoes:

3.9 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. Adiferencial de F em p e a aplicacao linear

dFp : TMp −→ TNF (p)

definida por

[dFp (vp)] (f) = vp (f F )

para todo f ∈ C∞ (N).

Note que como f ∈ C∞ (N) e F e de classe C∞, f F ∈ C∞ (M). dFp (vp) e uma derivacao porque

dFp (vp) (fg) = vp ((fg) F ) = vp ((f F ) (g F ))

= vp (f F ) g (F (p)) + f (F (p)) vp (g F )

= [dFp (vp) (f)] g (F (p)) + f (F (p)) [dFp (vp) (g)] .

Alem disso, dFp e uma aplicacao linear porque vp e um funcional linear.

3.10 Proposicao (Regra da Cadeia). Sejam M,N,P variedades diferenciaveis e F : M −→ N,G : N −→P aplicacoes diferenciaveis. Entao a diferencial de G F : M −→ P e

d (G F )p = dGF (p) dFp.

Prova: Ja vimos na Proposicao 2.8 que G F e diferenciavel. Por definicao, para todo f ∈ C∞ (P ),[d (G F )p (vp)

](f) = vp (f (G F )) = vp ((f G) F ) = dFp (vp) (f G)

=[dGF (p) (dFp (vp))

](f) .

3.11 Corolario. Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao dFp e um isomorfismo para cada p ∈ M e

d(F−1

)F (p)

= (dFp)−1

.

3.12 Corolario. Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. Se v e o vetor tangente a curva α : I −→Mem p, entao dFp (v) e o vetor tangente a curva F α : I −→ N em F (p).


Prova: Pois,(F α)

′(t0) = dFα(t0)dαt0 = dFα(t0)α

′ (t0) = dFp (v) .

3.13 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel. Se U e um aberto de M e i : U −→ M e a inclusao,entao dip e um isomorfismo para todo p ∈M .

Em particular, TUp e TMp sao isomorfos.

Prova: Para provar que dip : TUp −→ TMp e injetiva, suponha que dip (vp) = 0 para vp ∈ TUp. SejaW ⊂⊂ U uma vizinhanca de p. Se f ∈ C∞ (U) e uma funcao diferenciavel arbitraria, considere uma

extensao f ∈ C∞ (M) tal que f = f em W . Como f e f coincidem na vizinhanca W de p, segue daProposicao 3.8 que

vp (f) = vp

(f |U)

= vp

(f i

)= dip (vp)

(f)

= 0.

Como f e arbitraria, isso prova que vp = 0, logo dip e injetiva.Para provar que dip e sobrejetiva, seja wp ∈ TMp um vetor tangente qualquer. Defina um funcional

linear derivacao v : C∞ (U) −→ R por

v (f) = wp

(f)

onde f e a extensao de f definida anteriormente; pela Proposicao 3.8, o valor de wp

(f)

independe da escolha

de f , logo v esta bem definida. E facil ver que v e linear e e uma derivacao. Para todo g ∈ C∞ (M) temos

dip (v) (g) = v (g i) = wp

(g i

)= wp (g)

onde a ultima igualdade segue do fato que g i e g coincidem em W . Portanto, dip (v) = wp. Usando este resultado, obtemos uma demonstracao que dimTMp = n para a definicao de vetores tan-

gentes como derivacoes (em particular, independente da Proposicao 3.3):

3.14 Proposicao. Se M e uma variedade diferenciavel de dimensao n, entao TMp e um espaco vetorial dedimensao n para todo p ∈M .

Prova: Seja (ϕ,U) uma carta para uma vizinhanca de p ∈ M . Como ϕ e um difeomorfismo, segue quedϕp : TUp −→ T (Rn)ϕ(p)

∼= Rn e um isomorfismo. Como TUp e TMp sao isomorfos pelo lema anterior,segue o resultado. Conforme a discussao que se segue a Definicao 3.6, concluımos que todo funcional linear em C∞ (M) que euma derivacao e um vetor tangente a alguma curva diferenciavel em M . Assim, para todo vetor tangentevp ∈ TMp existe uma curva diferenciavel α : I −→M com α (t0) = p tal que

vp (f) = (f α)′(t0) ,

ou seja, as Definicoes 3.1 e 3.6 definem o mesmo objeto.

3.4 Diferencial em Coordenadas

Seja F : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicacao diferenciavel. Calculemos a diferencial dFx : Rm −→ Rn. Denotandopor Bm = e1, . . . , em e Bn = e′1, . . . , e′n as bases canonicas de Rm e Rn, respectivamente, obtemos para


f ∈ C∞ (Rm)

[dFx (ei)] (f) = ei (f F ) =∂ (f F )

∂xi(x)

=

m∑j=1

∂f

∂xj(F (x))

∂F j

∂xi(x)

=

m∑j=1

∂F j

∂xi(x) e′j (f) ,

ou seja,

dFx (ei) =

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) e′j .

Se

v =

m∑i=1

viei,

entao

dFx (v) =

m∑i=1

vidFx (ei) =

n∑j=1

[m∑i=1

vi∂F j

∂xi(x)

]e′j ,

isto e,

[dFx (v)]Bn =

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

v1

...vm

= [dFx]Bm,Bn [v]Bm .

Assim, a matriz da diferencial dFx em relacao as bases Bm,Bn e a matriz jacobiana:

[dFx]Bm,Bn :=

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

(x) .

Agora, para aplicacoes diferenciaveis entre variedades, note em primeiro lugar que se (ϕ,U) e uma cartade p = ϕ−1 (x), a base coordenada associada a ϕ satisfaz

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dϕ−1x (ei) .

De fato, como vimos na demonstracao da Proposicao 3.3, para f ∈ C∞ (M) vale

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂(f ϕ−1

)∂xi

(x) = ei(f ϕ−1

)=[dϕ−1

x (ei)]

(f) .

Seja F : Mm −→ Nn e uma aplicacao diferenciavel. Escolha cartas (ϕ,U) de p ∈M e (ψ, V ) de F (p) ∈ Ne denote

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

,

BF (p) =

∂

∂y1

∣∣∣∣F (p)

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣F (p)

,


as bases coordenadas associadas de TMp e TNF (p), respectivamente. Seja

F = ψ F ϕ−1 : ϕ (U) ⊂ Rm −→ Rn.

EscrevendoF ϕ−1 = ψ−1 F ,

temos

dFp

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)= dFp

[dϕ−1

x (ei)]

= dψ−1F (p)

[dFx (ei)

]

= dψ−1F (p)

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) e′j

=

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) dψ−1

F (p)

(e′j)

=

n∑j=1

∂F j

∂xi(x)

(∂

∂yj

∣∣∣∣F (p)

).

de modo que a matriz que representa a diferencial dFp em relacao a estas bases e

[dFp]Bp,BF (p)=

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...

∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

.

Usualmente, abusa-se a notacao identificando-se F = ψ F ϕ−1 com F .

3.5 Fibrado Tangente

Denotaremos uma uniao disjunta pelo sımbolo⊔

, ou seja,⊔λ∈Λ

Aλ =⋃λ∈Λ

λ ×Aλ,

de modo que mesmo que os conjuntos Aλ se sobreponham, na uniao disjunta eles sao subtituıdos por copiasque nao se sobrepoem. O fibrado tangente de uma variedade diferenciavel M de dimensao n e o conjunto

TM =⊔p∈M

TMp = (p, v) : p ∈M e v ∈ TMp .

Se M e uma variedade diferenciavel de classe Ck, qualquer atlas maximal de M induz um atlas para esteconjunto que o transforma em uma variedade diferenciavel de dimensao 2n e classe Ck−1 como veremos; atopologia de TM tambem e induzida pelo atlas de M (vimos uma maneira de fazer isso no Exercıcio 1.12,mas aqui a topologia e obtida de maneira mais facil).

Vamos mostrar como isso e feito. Seja

Φ = ϕα : Uα −→ ϕα (Uα) ⊂ Rnα∈A

um atlas maximal para M . Denote

TUα =⊔p∈Uα

TMp = π−1 (Uα) ,


ondeπ : TM −→M

e a projecao natural (independente de coordenadas) π (p, v) = p. Definimos a carta ψα : TUα −→ ϕα (Uα)×Rn por

ψα (p, v) =(ϕα (p) , d (ϕα)p v

),

ou seja,

ψα

(p,

n∑i=1

vi ∂i|p

)=

(ϕα (p) ,

n∑i=1

viei

).

3.15 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n.O fibrado tangente de M e uma variedade diferenciavel de dimensao 2n e a projecao natural π : TM −→

M e uma aplicacao diferenciavel.

Prova: Seja Φ como logo acima. Definimos uma topologia para TM declarando um subconjunto A abertoem TUα se e somente se ψα (A) e aberto em ϕα (Uα) × Rn. Em particular, o proprio TUα e aberto e ψα eum homeomorfismo entre TUα e ϕα (Uα)× Rn. Seja

B =⋃α∈A

A : A e aberto em TUα .

Definimos a topologia em TM como sendo aquela gerada por B. Para isso, precisamos verificar que B satisfazas condicoes necessarias para ser uma base para uma topologia para TM . Claramente B cobre TM . Alemdisso, se A1, A2 ∈ B sao tais que A1∩A2 6= ∅, dado p ∈ A1∩A2 podemos encontrar A ⊂ A1∩A2 que contemp; de fato, podemos tomar A = A1 ∩ A2: se A1 e aberto em TU1 e A2 e aberto em TU2, entao A1 ∩ A2 eaberto em T (U1 ∩ U2) (note que como o atlas Φ e maximal, U1 ∩ U2 e uma vizinhanca coordenada) pois

A1 ∩A2 = A1 ∩A2 ∩ T (U1 ∩ U2) = [A1 ∩ T (U1 ∩ U2)] ∩ [A2 ∩ T (U1 ∩ U2)]

e ambos A1 ∩ T (U1 ∩ U2) e A2 ∩ T (U1 ∩ U2) sao abertos em T (U1 ∩ U2). Isso prova que B pode ser umabase para uma topologia para TM .

Esta topologia tem base enumeravel (veja detalhes em [Tu], Propositions 12.2-3, pp. 131-132) e e deHausdorff. De fato, suponha que os pontos (p, v) e (q, w) sao distintos. Se p = q, entao v 6= w. Se (ϕ,U)e uma carta para p, v = dϕpv e w = dϕpw sao vetores distintos de Rn, logo existem abertos disjuntos V1

e V2 em Rn contendo v e w, respectivamente. Os conjuntos ϕ (U) × V1 e ϕ (U) × V2 sao abertos disjuntosde Rn × Rn, portanto ψ−1 (ϕ (U)× V1) e ψ−1 (ϕ (U)× V2) sao abertos disjuntos em TM contendo (p, v)e (p, w), respectivamente. Se p 6= q, entao existem vizinhancas coordenadas disjuntas U1 de p e U2 de q,de modo que ψ−1

1 (ϕ (U1)× Rn) e ψ−12 (ϕ (U2)× Rn) sao abertos disjuntos em TM contendo (p, v) e (q, w),

respectivamente.As mudancas de coordenadas podem ser calculadas explicitamente: temos

ψ−1α (x, v) =

(ϕ−1α (x) , d

(ϕ−1α

)x

(v)),

ou

ψ−1α

(x,

n∑i=1

viei

)=

(ϕ−1α (x) ,

n∑i=1

vi ∂i|p

),

de modo que (ψβ ψ−1

α

)(x, v) =

(ϕβ ϕ−1

α (x) , d(ϕβ ϕ−1

α

)xv).

Elas sao de classe Ck−1, porque as ultimas n funcoes coordenadas sao dadas em termos de derivadas dosdifeomorfismos ϕβ ϕ−1

α que sao de classe Ck.


A projecao natural π e diferenciavel, como pode ser visto atraves do diagrama

TUαπ−→ Uα

↓ ↓ϕα (Uα)× Rn ϕα (Uα)

Da demonstracao do resultado acima, fica claro que se M e uma variedade diferenciavel de classe Ck, entaoo fibrado tangente de M e uma variedade diferenciavel de classe apenas Ck−1 e tambem a projecao π e umaaplicacao diferenciavel de classe Ck−1.

3.16 Proposicao. Seja F : M −→ N diferenciavel de classe Ck. Se dF : TM −→ TN e definida por

dF (p, v) = (p, dFp (v)) .

entao dF e diferenciavel de classe Ck−1.Alem disso, se F e um difeomorfismo, entao dF tambem e.


3.17 Exemplo (Fibrado Tangente do Cırculo). Temos

TS1 ∼= S1 × R,

isto e, o fibrado tangente do cırculo e o cilindro (Exercıcio 3.25). Mais geralmente, se a dimensao e ımparsempre vale

TSn ∼= Sn × Rn

mas isto e falso para todas as esferas de dimensao par.

3.6 Exercıcios

3.18 Exercıcio. Outra maneira de definir vetores tangentes e atraves da nocao de classes de equivalenciade curvas diferenciaveis (veja em mais detalhes [Gallier-Quaintance], Secao 7.2, pp. 283-286):

3.19 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de classe Ck. Dado p ∈M , dizemos que duas curvasdiferenciaveis de classe C1

α1 : (−ε1, ε1) −→M,

α2 : (−ε2, ε2) −→M,

passando por p, isto e, tais que α1 (0) = α2 (0) = p, sao equivalentes se

(ϕ α1)′(0) = (ϕ α2)

′(0) (3.6)

para toda carta ϕ de uma vizinhanca de p.

Mostre que se (3.6) vale para uma carta ϕ, entao ela vale para qualquer carta do atlas. Prove tambemque a condicao acima define de fato uma relacao de equivalencia para as curvas de classe C1 passando por p.

Esta relacao de equivalencia permite definir uma nocao de vetor tangente da seguinte forma:

3.20 Definicao. Um vetor tangente a M em p e qualquer classe de equivalencia [α] de curvas passandopor p.


Para transformar o conjunto TMp dos vetores tangentes em p em um espaco vetorial, mostre que se(ϕ,U) e uma carta em p, entao a aplicacao ϕ : TMp −→ Rn definida por

ϕ ([α]) = (ϕ α)′(0)

e uma bijecao e defina

[α1] + [α2] = ϕ−1 [ϕ ([α1]) + ϕ ([α2])] ,

λ [α] = ϕ−1 [λϕ ([α])] .

Mostre tambem que esta definicao independe da carta ϕ escolhida, no sentido que qualquer outra carta defineum espaco vetorial isomorfo.

Prove agora que com esta estrutura de espaco vetorial, ϕ : TMp −→ Rn e um isomorfismo, o que provaque dimTMp = n.

Para ainda outra definicao de vetor tangente utilizando a nocao de germes, veja [Tu], Secao 8, p. 86, oua longa discussao em [Gallier-Quaintance], Secao 7.3, pp. 288-295.

3.21 Exercıcio. Mostre que se M e uma superfıcie regular de RN , entao o espaco tangente TMp e isomorfoa

γ′ (0) : γ : (−ε, ε) −→M ⊂ RN e uma curva diferenciavel passando por p.

3.22 Exercıcio. Sejam M e N variedades diferenciaveis. Prove que

T (M ×N)(p,q)∼= TMp ⊕ TNq.

3.23 Exercıcio. Prove os detalhes que faltaram na Proposicao 3.15.


3.25 Exercıcio. Mostre que TS1 e difeomorfo a S1 × R.

Capıtulo 4

Imersoes, Submersoes e Mergulhos

Neste capıtulo, M,N sempre denotarao variedades diferenciaveis.

4.1 Difeomorfismos Locais, Imersoes e Submersoes

4.1 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e um difeomorfismo local se todoponto p ∈M possui uma vizinhanca U tal que F |U e um difeomorfismo sobre sua imagem.

Relembramos o Teorema da Aplicacao Inversa para aplicacoes diferenciaveis em Rn:

4.2 Teorema (Teorema da Aplicacao Inversa). Seja F : U ⊂ Rn −→ Rn uma aplicacao diferenciavelde classe Ck. Se dFx0

e um isomorfismo, entao existem abertos V ⊂ U contendo x0 e W ⊂ Rn contendoF (x0) tais que F |V : V −→W e um difeomorfismo de classe Ck.

4.3 Teorema (Teorema da Aplicacao Inversa para Variedades). Se F : M −→ N e uma aplicacaodiferenciavel tal que dFp e um isomorfismo, entao p possui uma vizinhanca U tal que F |U e um difeomorfismosobre sua imagem.

Em particular, se dFp e um isomorfismo para todo p ∈M , entao F e um difeomorfismo local.

Prova: Como dFp e um isomorfismo, em particular

dimM = dimN =: n.

Sejam vizinhancas coordenadas U de p e V de F (p) e cartas ϕ : U −→ ϕ (U) ⊂ Rn e ψ : V −→ ψ (V ) ⊂ Rntais que a representacao local de F

ψ F ϕ−1 : ϕ (U) ⊂ Rn −→ ψ (V ) ⊂ Rn

e diferenciavel. Pela regra da cadeia, se x = ϕ (p) e ψ−1 (F (p)) = y, temos que

d(ψ F ϕ−1

)x

= dψF (p) dFp d(ϕ−1

)x

e uma composta de isomorfismos, logo e um isomorfismo. Pelo Teorema da Funcao Inversa, existem abertosU ⊂ ϕ (U) e V ⊂ ψ (V ) tais que (

ψ F ϕ−1)|U : U −→ V

e um difeomorfismo, logoF |ϕ−1(U) = ψ−1

(ψ F ϕ−1

)|U

e uma composta de difeomorfismos, logo e um difeomorfismo.

35


4.4 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e uma imersao se sua diferencialdFp e injetiva em todo ponto p ∈M .

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e uma submersao se sua diferencial dFp esobrejetiva em todo ponto p ∈M .

4.5 Exemplo. Sejam M1,M2 sao variedades diferenciaveis. As inclusoes

i1 : M1 −→M1 ×M2,

i2 : M2 −→M1 ×M2,

sao imersoes. As projecoes

π1 : M1 ×M2 −→M1,

π2 : M1 ×M2 −→M2,

sao submersoes.

4.6 Exemplo. A projecao π : TM −→M e uma submersao.

4.7 Exemplo. Se S e uma superfıcie regular de RN , entao a inclusao i : S −→ RN e uma imersao.Se S e uma superfıcie parametrizada em RN , por definicao a sua parametrizacao e uma imersao.

4.8 Exemplo. A aplicacao π : R −→ S1 definida por π (t) = eit e uma submersao, mais que isso, umdifeomorfismo local.

4.9 Exemplo. A aplicacao π : R2 −→ T2 = S1 × S1 definida por π (t, s) =(eit, eis

)e uma submersao, mais

que isso, um difeomorfismo local.

4.10 Exemplo. A aplicacao quociente π : Sn −→ RPn e uma submersao, mais que isso, um difeomorfismolocal.

4.2 Formas Locais das Imersoes e Submersoes e Teorema do Posto

4.2.1 Formas Locais em Rn

Lembramos o Teorema do Nucleo e da Imagem da Algebra Linear:

4.11 Teorema (Forma Padrao das Aplicacoes Lineares). Sejam V,W espacos vetoriais de dimensaofinita. Se T : V −→W e uma aplicacao linear com posto k, entao existem bases para V e W em relacao asquais T tem representacao matricial dada pela forma em blocos[

Ik 00 0

]Prova: Sejam m = dimV , n = dimW , e1, . . . , ep uma base para kerT e f1, . . . , fk uma base para ImT .Complete esta ultima ate uma base

BW = f1, . . . , fk, fk+1, . . . fn

para W (se k < n). Sejam ep+1, . . . , ep+k ∈ V tais que Tep+i = fi para i = 1, . . . , k. Afirmamos que

BV = e1, . . . , ep, ep+1, . . . ep+k

e uma base para V . Em particular, decorrera que p+ k = n, isto e,

dim kerT + dim ImT = dimW,


que e a forma mais comum em que o Teorema do Nucleo e da Imagem e enunciado.De fato, se

p∑i=1

αiei +

k∑i=p+1

αp+iep+i = 0,

aplicando T a esta equacao obtemosk∑

i=p+1

αp+iTep+i = 0,

ouk∑

i=p+1

αp+ifi = 0,

donde αp+i = 0 para todo i. Entao,p∑i=1

αiei = 0,

donde αi = 0 para todo i. Isso prova que BV e L.I. Para ver que BV gera V , dado v ∈ V temos

Tv =

k∑i=1

βifi

para alguns escalares β1, . . . , βk. Daı,

Tv =

k∑i=1

βiTep+i = T

(v −

k∑i=1

βiep+i

),

donde

T

(v −

k∑i=1

βiep+i

)= 0,

ou seja,

v −k∑i=1

βiep+i ∈ kerT,

de modo que existem escalares α1, . . . , αp tais que

v −k∑i=1

βiep+i =

p∑i=1

αiei,

portanto

v =

p∑i=1

αiei +

k∑i=1

βiep+i.

Em relacao as bases BV ,BW a matriz de T tem a forma dada no enunciado (veja (4.1) logo a seguir). Em particular (na notacao da demonstracao do teorema),

T =

[Im0

]se k = m < n (inclusao),

Ik se k = m = n (isomorfismo),[In 0

]se m > n = k (projecao);

(4.1)


ou seja, se

x =

m∑i=1

xiei =(x1, . . . , xm

),

y =

n∑i=1

yjfi =(y1, . . . , yn

),

a aplicacao linear T se escreve na forma

T(x1, . . . , xm

)=

(x1, . . . , xm, 0, . . . 0

)se k = m < n,(

x1, . . . , xm)

se k = m = n,(x1, . . . , xn

)se m > n = k.

A versao nao linear para o Teorema 4.11 em Rn sao as Formas Locais das Imersoes e das Submersoese o Teorema do Posto, a seguir (o ultimo enunciaremos apenas para variedades; sua versao euclidiana podeser vista em [Lima], p. 22).

4.12 Teorema (Forma Local das Imersoes). Seja F : U −→ Rn, U ⊂ Rm aberto, uma aplicacao diferenciavelde classe Ck tal que dFx0 : Rm −→ Rn e injetiva (em particular, m < n).

Entao existem vizinhancas U de x0, V de 0 em Rn−m e W de F (x0), e um difeomorfismo de classe Ck

h : W −→ U × V

tal que h F |U e uma inclusao, isto e,h F (x) = (x, 0)

para todo x ∈ U .

Prova: Denote Rn−m = dFx0(Rm)

⊥(qualquer outro complementar de dFx0

(Rm) em Rn serve). Definag : U × Rn−m ⊂ Rn −→ Rn por

g (x, y) = F (x) + (0, y) .

Entaodg(x,y) (u, v) = dFx (u) + (0, v) ,

de modo que dg(x0,0) e um isomorfismo. Pelo teorema da aplicacao inversa, g e um difeomorfismo de classe

Ck de uma vizinhanca de (x0, 0) sobre uma vizinhanca de F (x0). Escolhendo a primeira da forma U × V e

tomando a ultima como sendo W = g(U × V

), segue que o difeomorfismo h e definido por

h = g−1 : W −→ U × V.

De fato, como g (x, 0) = F (x), temos

h F (x) = g−1 (F (x)) = (x, 0) .

4.13 Teorema (Forma Local das Submersoes). Seja F : Z ⊂ Rm −→ Rn, Z ⊂ Rm aberto, uma aplicacaodiferenciavel de classe Ck tal que dFz0 : Rm −→ Rn e sobrejetiva (em particular, m > n).

Escolha uma decomposicao Rm = Rm−n ⊕Rn tal que ∂2Fz0 = dFz0 |0⊕Rn : Rn −→ Rn e um isomorfismo.Entao, escrevendo z0 = (x0, y0) nesta decomposicao, existem vizinhancas U de x0 em Rm−n, V de F (z0)

em Rn e W de z0, e um difeomorfismo de classe Ck

h : U × V −→W

tal que F h e uma projecao, isto e,F h (x, y) = y

para todo (x, y) ∈ U × V ⊂ Z.


Prova: Defina g : Z −→ Rm−n × Rn por

g (x, y) = (x, F (x, y)) .

Entao

dg(x,y) =

[Im−n ∂1Fz0

0 ∂2Fz0

],

de modo que dg(x0,y0) e um isomorfismo. Pelo teorema da aplicacao inversa, g e um difeomorfismo de classe

Ck de uma vizinhanca de (x0, y0) sobre uma vizinhanca de (x0, F (z0)). Escolhendo a ultima da forma U×Ve tomando a primeira como sendo W = g−1 (U × V ), segue que o difeomorfismo h e definido por

h = g−1 : U × V −→W.

De fato, como g (x, y) = (x, F (x, y)), segue que a sua inversa h = g−1 e da forma geral

h (x, v) = (x, h2 (x, v))

para alguma funcao h2. Daı,

(x, y) = g g−1 (x, y)

= g h (x, y)

= g (x, h2 (x, v))

= (x, F (x, h2 (x, y)))

= (x, F (h (x, y))) ,

ou seja,F h (x, y) = y.

4.2.2 Formas Locais em Variedades

As versoes para variedades diferenciaveis sao as seguintes:

4.14 Teorema (Forma Local das Imersoes para Variedades). Seja F : Mm −→ Nn uma aplicacao dife-renciavel tal que dFp : TpM −→ TF (p)N e injetiva.

Entao F tem uma representacao local em p da forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xm, 0, . . . 0

).

Em particular, o conjunto dos pontos de M onde a diferencial e injetiva e aberto, ou seja, se dFq einjetiva, entao existe uma vizinhanca de q onde F e uma imersao.

Prova: O enunciado significa que existem vizinhancas coordenadas U de p e V de F (p) e cartas ϕ : U −→ϕ (U) ⊂ Rm e ψ : V −→ ψ (V ) ⊂ Rn tais que a representacao de F em coordenadas ψ F ϕ−1 e umainclusao, isto e,

ψ F ϕ−1(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xm, 0, . . . 0

).

Isso segue diretamente da forma local das imersoes nos espacos euclidianos aplicada a qualquer representacaolocal de F .

4.15 Teorema (Forma Local das Submersoes para Variedades). Seja F : Mm −→ Nn uma aplicacaodiferenciavel tal que dFp : TpM −→ TF (p)N e sobrejetiva.

Entao F tem uma representacao local em p da forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xn

).

Em particular, o conjunto dos pontos de M onde a diferencial e sobrejetiva e aberto, ou seja, se dFq esobrejetiva, entao existe uma vizinhanca de q onde F e uma submersao.


Prova: O enunciado significa que existem vizinhancas coordenadas U de p e V de F (p) e cartas ϕ : U −→ϕ (U) ⊂ Rm e ψ : V −→ ψ (V ) ⊂ Rn tais que a representacao de F em coordenadas ψ F ϕ−1 e umaprojecao, isto e,

ψ F ϕ−1(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xn

).

Isso segue diretamente da forma local das imersoes nos espacos euclidianos aplicada a qualquer representacaolocal de F .

4.16 Teorema (Teorema do Posto). Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel tal que dFp tem omesmo posto k para todo p ∈M .

Se F e uma submersao, F tem uma representacao coordenada em cada ponto p de M da forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xn

),

e se F e uma imersao, F tem uma representacao coordenada em cada ponto p de M da forma

F(x1, . . . , xm

)=(x1, . . . , xm, 0, . . . , 0

).


4.3 Mergulhos

4.17 Definicao. Um mergulho de uma variedade diferenciavel M em uma variedade diferenciavel N euma imersao F : M −→ N que e um homeomorfismo sobre a sua imagem.

4.18 Definicao. Uma subvariedade de uma variedade N e um subconjunto M ⊂ N com a topologiainduzida de M e com uma estrutura diferenciavel tal que a inclusao i : M −→ N e um mergulho.

4.19 Exemplo. As subvariedades de RN sao as superfıcies regulares.

4.20 Exemplo. Qualquer aberto de uma variedade diferenciavel N e uma subvariedade de N .

4.21 Exemplo. Uma imersao pode deixar de ser um mergulho se ela nao for injetiva ou se F : M −→ F (M)nao for um homeomorfismo. Um exemplo da primeira situacao sao superfıcies parametrizadas em RN quepossuem auto-intersecoes.

Um exemplo e a curva densa no toro β : R −→ T2

β (t) =(e2πit, e2πiθt

),

onde θ e qualquer numero irracional, que e uma imersao porque β′ (t) 6= 0. Ela e injetiva porque β (t1) = β (t2)implica que ambos t1 − t2 e θ (t1 − t2) sao inteiros, o que so vale se t1 = t2. Ela nao e um difeomorfismosobre sua imagem porque Z ⊂ R e discreto mas β (Z) ⊂ T2 necessariamente possui um ponto de acumulacao,ja que o toro e compacto. A densidade de β pode ser provada por um argumento semelhante ao visto em[Lima], pp. 163-167.

4.22 Exemplo. Uma imersao injetiva de uma variedade compacta e um mergulho, porque toda aplicacaocontınua injetiva de um espaco compacto sobre um espaco de Hausdorff e um homeomorfismo.

Uma imersao injetiva propria tambem e um mergulho. No caso de variedades, uma aplicacao contınuaF : M −→ N ser propria e equivalente a se (pn) ⊂ M nao possui subsequencia convergente implicarque (F (pn)) ⊂ N tambem nao possui subsequencia convergente (para espacos topologicos em geral, umaaplicacao contınua e propria se a pre-imagem de um compacto e sempre compacta). Em particular, umaaplicacao propria e fechada, logo quando ela e uma imersao injetiva ela e um mergulho. Um exemplo demergulho nao proprio e a curva diferenciavel α : (0,+∞) −→ R

α (t) =

(t, sen

1

t

).

Assim, se considerarmos o fecho da imagem F (M) de um mergulho F : M −→ N em N , ele pode nao seruma variedade, o que obriga em certas situacoes a trabalhar-se apenas com mergulhos proprios.


4.23 Teorema (Teorema do Mergulho de Whitney). Toda variedade diferenciavel e difeomorfa a umasubvariedade de R2n.

Em outras palavras, toda variedade diferenciavel pode ser mergulhada em algum espaco euclidiano. Esteresultado e otimo para certos valores de n: espacos projetivos de dimensao n = 2k nao podem ser mergulhadosem R2n−1. Por exemplo, o plano projetivo e a garrafa de Klein nao podem ser mergulhados em R3, maspodem ser mergulhados em R4. Por outro lado, se n 6= 2k, qualquer variedade, e se n = 2k, qualquervariedade orientavel (um conceito que veremos em detalhes mais tarde) podem ser mergulhadas em R2n−1.Para uma excelente revisao (e bem ilustrada) dos resultados sobre mergulhos de variedades em espacoseuclidianos ate 2010, veja [Skopenkov]. Uma demonstracao do teorema do mergulho de Whitney, assimcomo varios resultados sobre mergulhos e imersoes, pode ser vista em [Adachi].

4.24 Proposicao. Se F : M −→ N e um mergulho, entao F (M) e uma subvariedade de N .Alem disso, existe uma unica estrutura diferenciavel que transforma F (M) em uma subvariedade de N

tal que F : M −→ F (M) e um difeomorfismo.

Prova: Como F e um mergulho, F (M) com a topologia induzida de N e homeomorfo a M , logo e umavariedade topologica. Uma estrutura diferenciavel para F (M) e construıda da seguinte forma: um atlas(ϕα, Uα) para N induz um atlas

(ϕα F−1, F (Uα)

)para F (M).

Com a estrutura diferenciavel definida por este atlas, a aplicacao F e agora um difeomorfismo entre asvariedades M e F (M), e qualquer estrutura diferenciavel que satisfaca isso tem que conter o atlas acima,logo ela e unica. A inclusao e a composicao

F (M)F−1

−→MF−→ N

logo e um mergulho.

4.25 Proposicao. Seja N uma variedade diferenciavel de classe Ck.Se um conjunto M ⊂ N possui a propriedade que cada ponto p ∈M possui uma vizinhanca V em N tal

que M ∩V e uma subvariedade de dimensao m e classe Cl, entao M e uma subvariedade de classe Cl de N .


4.26 Definicao. Dada uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N dizemos que q ∈ N e um valor regularde F se todo p ∈ F−1 (q) e um ponto regular de F , isto e dFp e sobrejetiva.

4.27 Proposicao. Se F : Mm −→ Nn e uma aplicacao diferenciavel e q e um valor regular de F , entaoF−1 (N) e uma subvariedade de M de dimensao m− n.

Prova: Segue da forma local das submersoes. Exercıcio 4.32.

4.4 Exercıcios

4.28 Exercıcio. Se F : M −→ N e um difeomorfismo local, mostre que M e N devem ter a mesmadimensao.

4.29 Exercıcio. Verifique as afirmacoes dos Exemplos 4.3-4.8.

4.30 Exercıcio. Prove o Teorema do Posto (Teorema 4.16).



Capıtulo 5

Campos Vetoriais

De agora em diante, assumiremos k =∞ e diferenciavel significara suave.

5.1 Definicao

Considere projecao padrao π : TM −→M do fibrado tangente de M sobre M , isto e, π (p, v) = p para todov ∈ TpM .

5.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umaaplicacao diferenciavel X : M −→ TM tal que π X = idM .

Em outras palavras, um campo diferenciavel e uma secao diferenciavel do fibrado tangente. Podemos pensarem campos vetoriais como aplicacoes que associam a cada ponto p ∈ M um vetor tangente X (p) ∈ TpM ;em geral denotaremos o vetor tangente X (p) simplesmente por Xp. Em termos de coordenadas locais, se

B =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

e a base do espaco tangente TpM associada a alguma uma carta de p entao

Xp =

n∑i=1

Xi (p)∂

∂xi

∣∣∣∣p

e o campo vetorial X e diferenciavel em U se e somente se as funcoes coordenadas X1, . . . , Xn sao dife-renciaveis. De fato, a representacao em coordenadas locais de um campo X : M −→ TM visto como umasecao do fibrado tangente e dada por

X (p) =(x1 (p) , . . . , xn (p) , X1 (p) , . . . , Xn (p)

)=(x1, . . . , xn, X1, . . . , Xn

).

Outra forma de ver um campo vetorial diferenciavel em M e como uma aplicacao que associa a cadafuncao f ∈ C∞ (M) uma funcao Xf ∈ C∞ (M) atraves da expressao

(Xf) (p) = Xpf

onde Xp : C∞ (M) −→ R e um vetor tangente. Isso permite dar uma outra definicao equivalente de campovetorial diferenciavel:

42


5.2 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umoperador linear X : C∞ (M) −→ C∞ (M) que e uma derivacao, isto e,

X (αf + βg) = αXf + βXg

para todos α, β ∈ R e f, g ∈ C∞ (M) e X satisfaz a regra do produto,

X (fg) = (Xf) g + f (Xg)

para todos f, g ∈ C∞ (M).

As duas definicoes sao equivalentes. Usando a ultima definicao, podemos definir combinacoes lineares decampos vetoriais de forma natural.

5.3 Notacao. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial dos campos vetoriais diferenciaveisem M sera denotado por T (M).

Uma notacao frequentemente encontrada na literatura no lugar de T (M) e X (M). Observe que enquantoT (M) e uma espaco vetorial sobre R, ele e um modulo sobre o anel C∞ (M).

Dado um vetor tangente vp ∈ TpM , sempre podemos estende-lo a um campo diferenciavel X ∈ T (M)(Exercıcio 5.18).

Observe que se fossemos trabalhar com variedades de classe Ck, o fibrado tangente seria uma variedade declasse Ck−1 e, consequentemente, so poderıamos definir campos diferenciaveis de classe Ck−1; similarmente,de acordo com a segunda definicao, campos vetoriais seriam derivacoes Ck (M) −→ Ck−1 (M), pois

(Xf) (p) = Xpf =

n∑i=1

Xi (p)∂f

∂xi(p)

e as derivadas parciais de f ∈ Ck (M) sao de classe Ck−1.

5.2 Pushforward e Pullback

5.4 Proposicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. SeX ∈ T (M) e Y ∈ T (N) sao campos vetoriais tais que

YF (p) = dFp (Xp)

para todo p ∈M , entaoX (f F ) = (Y f) F

para todo f ∈ C∞ (N).

Prova: Pela definicao de diferencial,

[dFp (Xp)] (f) = Xp (f F ) ,

logo,[X (f F )] (p) = Xp (f F ) = [dFp (Xp)] (f) = YF (p)f = (Y f) (F (p)) .

5.5 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Definimos aaplicacao pushforward

F∗ : T (M) −→ T (N)


por(F∗X)F (p) = dFp (Xp) ,

e a aplicacao pullbackF ∗ : T (N) −→ T (M)

por(F ∗Y )p = dF−1

F (p)

(YF (p)

).

Se F e um difeomorfismo, definimos a aplicacao

Equivalentemente,(F∗X)q = dFF−1(q)

(XF−1(q)

).

Note que o pullback de um campo vetorial por F e simplesmente o pushforward do campo vetorial por F−1.

5.6 Proposicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Consi-dere T (M) e T (N) como modulos sobre os aneis C∞ (M) e C∞ (N), respectivamente. Entao o operadorpushforward F∗ e linear no seguinte sentido:

F∗ (fX + gY ) =(f F−1

)F∗X +

(g F−1

)F∗Y

para todos X,Y ∈ T (M) e para todas f, g ∈ C∞ (M). Alem disso, para toda f ∈ C∞ (N) vale

[(F∗X) f ] F = X (f F )

ou, equivalentemente,(F∗X) f = X (f F ) F−1.

Prova:M

F−→ N

↓f fF−1

R

Primeiro provamos a linearidade de F∗. No que se segue, q = F (p). Temos

[F∗ (X + Y )]q = dFp (Xp + Yp)

= dFp (Xp) + dFp (Yp)

= (F∗X)q + (F∗Y )q

e

[F∗ (fX)]q = dFp

((fX)p

)= dFp (f (p)Xp)

= f (p) dFp (Xp)

=(f F−1

)(q) (F∗X)q .

A ultima afirmativa segue imediatamente da Proposicao 5.4, ja que F∗X e exatamente o campo Y doenunciado daquela proposicao.


5.3 Fluxos de Campos Vetoriais

5.7 Teorema. Seja X ∈ T (M) um campo diferenciavel. Dado p ∈ M , existe uma vizinhanca V de p emM , δ > 0 e uma aplicacao diferenciavel

ϕ : (−δ, δ)× V −→M

tais que ϕq (t) = ϕ (t, q) e a unica curva diferenciavel em M que satisfazdϕ

dt(t, q) = Xϕ(t,q) para todos t ∈ (−δ, δ) , q ∈ V,

ϕ (0, q) = q.

Alem disso, para cada t fixado, ϕt = ϕ (t, ·) e um difeomorfismo e o fluxo e um grupo aditivo a um parametro,isto e,

ϕ0 = id,

ϕt+s = ϕtϕs.

Prova: Veja [Lee 1], Proposition 9.12, p. 212. ϕ e chamado o fluxo local do campo vetorial X. Note que por causa das propriedades de grupo temos

(ϕt)−1

= ϕ−t.

5.4 Colchete de Lie

Embora a Definicao 5.2 de campos vetoriais permite tambem em princıpio definir a composta de camposvetoriais e, ja que Xf e interpretada como a derivada de f na direcao de X, gostarıamos de interpretarnaturalmente a expressao

X (Y f)

como a derivada segunda de f primeiro na direcao de Y e em seguida na direcao de X, em geral esta compostanao e um campo vetorial porque nao satisfaz a regra do produto:

(X Y ) (fg) = X [Y (fg)] = X [(Y f) g + f (Y g)] = X [(Y f) g] +X [f (Y g)]

= [X (Y f)] g + (Y f) (Xg) + (Xf) (Y g) + f [X (Y g)]

= [(X Y ) f ] g + f [(X Y ) g] + (Xf) (Y g) + (Y f) (Xg) ;

em coordenadas locais (veja Proposicao 5.10 a seguir), a composta realmente envolve derivadas parciais desegunda ordem, as quais nao sao vetores tangentes por nao satisfazerem a regra do produto. Para definircalculo diferencial de ordem superior, e necessario o conceito de derivada covariante, que veremos no Capıtulo7 (Secao 7.2).

Por outro lado, a operacaoX Y − Y X

define um campo vetorial.

5.8 Definicao. Sejam X,Y ∈ T (M). O colchete de Lie de X e Y e o campo vetorial

[X,Y ] = XY − Y X.


Esta expressao deve ser entendida no sentido de

[X,Y ] = X Y − Y X,

ou seja,[X,Y ]p f = Xp (Y f)− Yp (Xf) .

O colchete de Lie e de fato um campo vetorial, pois

[X,Y ] (αf + βg) = X [Y (αf + βg)]− Y [X (αf + βg)]

= X [αY f + βY g]− Y [αXf + βXg]

= αX (Y f) + βX (Y g)− αY (Xf)− βY (Xg)

= α [X (Y f)− Y (Xf)] + β [X (Y g)− Y (Xg)]

= α [X,Y ] f + β [X,Y ] g

e

[X,Y ] (fg) = X [Y (fg)]− Y [X (fg)]

= X [fY g + gY f ]− Y [fXg + gXf ]

= X [fY g] +X [gY f ]− Y [fXg]− Y [gXf ]

= fX (Y g) + Y gXf + gX (Y f) + Y fXg − fY (Xg)−XgY f − gY (Xf)−XfY g= f [X (Y g)− Y (Xg)] + g [X (Y f)− Y (Xf)]

= f [X,Y ] (g) + g [X,Y ] (f) .

5.9 Proposicao. O colchete de Lie satisfaz as seguintes propriedades:(i) (Anticomutatividade)

[X,Y ] = − [Y,X] .

Consequentemente,[X,X] = 0.

(ii) (Bilinearidade)

[αX + βY, Z] = α [X,Z] + β [Y,Z] ,

[Z,αX + βY ] = α [Z,X] + β [Z, Y ] .

(iii) (Identidade de Jacobi)[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.

(iv)[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.

(v) Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao

F∗ [X,Y ] = [F∗X,F∗Y ] .

Prova: (i) e (ii) sao imediatas. Para provar (iii), usando (ii) obtemos

[[X,Y ] , Z] = [XY − Y X,Z] = [XY,Z]− [Y X,Z]

= XY Z − ZXY − Y XZ + ZY X.


Logo, usando (i) e novamente (ii), segue que

[[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = − [X, [Y,Z]]− [Y, [Z,X]]

= − [X,Y Z − ZY ]− [Y,ZX −XZ]

= − [X,Y Z] + [X,ZY ]− [Y, ZX] + [Y,XZ]

= −XY Z + Y ZX +XZY − ZY X − Y ZX + ZXY + Y XZ −XZY= −XY Z + ZXY + Y XZ − ZY X= − [[X,Y ] , Z] .

A propriedade (iv) segue da regra do produto: se h ∈ C∞ (M),

[fX, gY ]h = f [X (g (Y h))]− g [Y (f (Xh))]

= f [(Xg) (Y h)] + f [gX (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]− g [fY (Xh)]

= fgX (Y h)− gfY (Xh) + f [(Xg) (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]

= fg (XY − Y X)h+ [f (Xg)Y ]h− [g (Y f)X]h

= [fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X]h.

(v) segue da Proposicao 5.6: para todo f ∈ C∞ (N) temos

(XY ) (f F ) = X [Y (f F )] = X [(F∗Y ) f F ] = (F∗X) (F∗Y ) f F

e, analogamente,(Y X) (f F ) = (F∗Y ) (F∗X) f F.

Logo,

(F∗ [X,Y ]) f = [X,Y ] (f F ) F−1

= (XY − Y X) (f F ) F−1

= [(F∗X) (F∗Y )− (F∗Y ) (F∗X)] f F F−1

= [F∗X,F∗Y ] f.

Uma algebra de Lie e um espaco vetorial em que se define um produto (ou seja, uma aplicacao bilinear)anticomutativo que satisfaz a identidade de Jacobi (veja o Capıtulo 9). Portanto, esta proposicao mostraque T (M) com a operacao colchete e uma algebra de Lie.

5.10 Proposicao (Colchete de Lie em coordenadas locais). Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriaisque se expressam em coordenadas locais por

X =

n∑i=1

Xi ∂

∂xie Y =

n∑i=1

Y i∂

∂xi,

entao

[X,Y ] =

n∑i,j=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂

∂xj,

ou, em notacao mais sucinta,

[X,Y ] =

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj.

Em particular, [∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0

para todos i, j.


Prova: Temos

X (Y f) = X

(n∑i=1

Y i∂f

∂xi

)=

n∑i=1

X

(Y i

∂f

∂xi

)=

n∑i=1

Y iX

(∂f

∂xi

)+

n∑i=1

∂f

∂xiX(Y i)

=

n∑i=1

Y i

n∑j=1

Xj ∂2f

∂xj∂xi

+

n∑i=1

∂f

∂xi

n∑j=1

Xj ∂Yi

∂xj

=

n∑i,j=1

XjY i∂2f

∂xj∂xi+

n∑i,j=1

Xj ∂Yi

∂xj∂f

∂xi

e, por simetria,

Y (Xf) =

n∑i,j=1

Y jXi ∂2f

∂xj∂xi+

n∑i,j=1

Y j∂Xi

∂xj∂f

∂xi=

n∑i,j=1

XjY i∂2f

∂xi∂xj+

n∑i,j=1

Y j∂Xi

∂xj∂f

∂xi.

Como∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi,

os termos envolvendo as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam ao calcularmos [X,Y ] f = X (Y f)−Y (Xf) e a expressao do enunciado e obtida trocando os ındices i, j.

5.5 Derivada de Lie

Em princıpio, e um problema diferenciar campos vetoriais em variedades, ja que nao podemos tomar adiferenca de vetores que moram em espacos tangentes diferentes (nao ha uma maneira de identificar osespacos tangentes com Rn de uma maneira que seja invariante por mudanca de coordenadas). Pior ainda econsiderar o campo como uma secao do fibrado tangente

X : M −→ TM

e tentar ver a derivada do campo como a diferencial

dX : TM −→ T (TM) ,

ja que (dX)p (v) para um vetor v no espaco tangente TpM seria um vetor no espaco tangente TXp (TM):

(dX)p : TpM −→ TXp (TM)

Gostarıamos que a derivada direcional de um campo em M fosse tambem um campo em M . Uma solucao e aseguinte. Dado um campo Y em uma variedade que queremos diferenciar na direcao de um vetor tangente Xp

no ponto p, primeiro estendemos Xp a um campo vetorial X definido em toda a variedade. O campo vetorialX tem um fluxo local ϕt definido. Usamos o fluxo para levar o vetor Yϕt(p) ao longo da trajetoria reversaϕ−t do campo X para o espaco tangente TpM e fazer a diferenca la com o vetor Yp, tomando em seguida olimite quanto t→ 0. Esta sera a derivada de Lie. No Capıtulo 7 veremos o conceito de derivada covariante,que e uma solucao diferente para este problema, mais semelhante ao conceito de derivada direcional, porquedependera apenas do valor do vetor tangente Xp e nao do valor de X em uma vizinhanca de p, como e ocaso da derivada de Lie: ela depende do valor de X ao longo de uma trajetoria do campo passando por p, eesta depende ultimamenteno do valor do campo em uma vizinhanca de p.

5.11 Definicao. Sejam X,Y ∈ T (M) campos vetoriais, p ∈ M e ϕt o fluxo local do campo X em umavizinhanca V de p em M . A derivada de Lie do campo Y na direcao do campo X em p e definida por

(LXY )p = limt→0

[dϕ−t]ϕt(p)(Yϕt(p)

)− Yp

t=

d

dt[dϕ−t]ϕt(p) Yϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.


Na linguagem de pullbacks,

(LXY )p = limt→0

(ϕ∗t )p(Yϕt(p)

)− Yp

t=

d

dt(ϕ∗t )p Yϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.

enquanto que na linguagem de pushforwards,

(LXY )p = limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]p− Yp

t,

A definicao de derivada de Lie nao e operacionalmente util, ja que em geral e muito difıcil e mesmoimpossıvel obter o fluxo explicitamente. Felizmente, como veremos agora, a derivada de Lie coincide com ocolchete de Lie e este e muito facil de calcular.

5.12 Teorema (Interpretacao Geometrica do Colchete de Lie). Se X,Y ∈ T (M) sao campos veto-riais, p ∈M e ϕt e o fluxo local do campo X em uma vizinhanca V de p em M entao

LXY = [X,Y ] .

Prova: Para provar que os campos LXY e [X,Y ] sao iguais, mostraremos que

(LXY )p f = [X,Y ]p f

para todo p ∈ M e para toda f ∈ C∞ (M). Para isso, mostraremos que podemos encontrar uma funcaodiferenciavel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que

f (ϕ−t (q)) = f (q)− th (t, q) ,

isto e,f ϕ−t = f − th (t, ·) , (5.1)

eh (0, q) = Xqf. (5.2)

Daı seguira o resultado, pois (estendendo h (t, ·) a uma funcao diferenciavel definida em M)[[dϕ−t]ϕt(p)

(Yϕt(p)

)]f = Yϕt(p) (f ϕ−t) = Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·)) ,

donde

(LXY )p f = limt→0

[[dϕ−t]ϕt(p)

(Yϕt(p)

)]f − Ypf

t

= limt→0

Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·))− Ypft

= limt→0

Yϕt(p)f − Ypft

− limt→0

Yϕt(p) (h (t, ·))

= limt→0

(Y f) (ϕt (p))− (Y f) (p)

t− Yp (h (0, ·))

=∂ϕt (p)

∂t

∣∣∣∣t=0

(Y f)− Yp (h (0, ·))

= Xp (Y f)− Yp (Xf)

= [X,Y ]p f.


Para provar (5.1) e (5.2), primeiro observe que se g : (−δ, δ) × V −→ R e uma funcao diferenciavel talque

g (0, q) = 0 para todo q ∈ V,

entao existe uma aplicacao diferenciavel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que

g (t, q) = th (t, q) (5.3)

e∂g

∂t(t, q)

∣∣∣∣t=0

= h (0, q) . (5.4)

De fato, basta definir

h (t, q) =

∫ 1

0

∂g

∂s(ts, q) ds

e notar que, pelo Teorema Fundamental do Calculo,

th (t, q) =

∫ 1

0

t∂g

∂s(ts, q) ds =

∫ 1

0

∂

∂s[g (ts, q)] ds

= [g (ts, q)]s=1s=0 = g (t, q)− g (0, q)

= g (t, q) .

Seja agora f ∈ C∞ (M). Defina g : (−δ, δ)× V −→ R por

g (t, q) = f (q)− f (ϕ−t (q)) ,

ou, em notacao funcional,g (t, ·) = f − f ϕ−t.

Entaog (0, q) = f (q)− f (ϕ0 (q)) = f (q)− f (q) = 0,

de modo que podemos obter uma aplicacao diferenciavel h : (−δ, δ) × V −→ R tal que (5.3) e (5.4) valem.Em particular,

f (ϕ−t (q)) = f (q)− th (t, q) ,

o que prova (5.1). Segue de (5.4) que

h (0, q) =∂g

∂t(t, q)

∣∣∣∣t=0

= − ∂ (f ϕ−t)∂t

∣∣∣∣t=0

= − ∂ϕ−t (q)

∂t

∣∣∣∣t=0

f = Xϕ(0,q)f

= Xqf,

o que prova (5.2). Portanto, o colchete de Lie de dois campos vetoriais e a derivada de Lie. E a derivada de Lie (LXY )p e a“derivada direcional” do campo vetorial Y ao longo de uma trajetoria do fluxo do campo X passando porp; ela nao e uma derivada direcional no senso exato do termo, porque ela nao depende apenas da direcao docampo X em p, ou seja, nao podemos usar qualquer curva tangente a X em p para calcula-la, mas apenas atrajetoria do campo X passando por p e as trajetorias do campo X passando por p dependem do valor deX em uma vizinhanca de p. Isso tambem pode ser visto da expressao local do colchete de Lie

(LXY )p = [X,Y ]p =

n∑i=1

(Xp

(Y i)− Yp

(Xi)) ∂

∂xi.


Se por um lado, por definicao de vetor tangente, os coeficientes Xp

(Y 1), . . . , Xp (Y n) dependem dos valores

de Y ao longo de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e Xp, por outro lado os coeficientesYp(X1), . . . , Yp (Xn) dependem dos valores de X em uma vizinhanca de p (Proposicao 3.8) ou, mais es-

pecificamente, dos valores de X ao longo de uma curva passando por p com vetor tangente Yp (Definicao3.1).

5.13 Proposicao. A derivada de Lie satisfaz as seguintes propriedades para todos os campos vetoriaisX,Y, Z ∈ T (M) e para todo f ∈ C∞ (M):

(a) LXY = −LYX(b) LX [Y, Z] = [LXY, Z] + [Y,LXZ](c) L[X,Y ]Z = LXLY Z + LY LXZ(d) LX (fY ) = fLXY + (Xf)Y(e) F∗ (LXY ) = LF∗XF∗Y se F : M −→ N e um difeomorfismo.

Prova: (a)LXY = [X,Y ] = − [Y,X] = −LYX.

(b) Pela identidade de Jacobi

[[X,Y ] , Z] + [[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0

segue que

[X, [Y,Z]] = − [[Y,Z] , X]

= [[X,Y ] , Z] + [[Z,X] , Y ]

= [[X,Y ] , Z]− [Y, [Z,X]]

= [[X,Y ] , Z] + [Y, [X,Z]] ,

donde

LX [Y,Z] = [X, [Y,Z]]

= [[X,Y ] , Z] + [Y, [X,Z]]

= [LXY,Z] + [Y,LXZ]

(c) Segue diretamente da identidade de Jacobi:

L[X,Y ]Z = [[X,Y ] , Z]

= [X, [Y,Z]] + [Y, [X,Z]]

= [X,LY Z] + [Y,LXZ]

= LXLY Z + LY LXZ.

(d) Usando (iv) da Proposicao 5.9,

LX (fY ) = [X, fY ] = f [X,Y ] + (Xf)Y = fLXY + (Xf)Y.

(e) Usando (v) da Proposicao 5.9,

F∗ (LXY ) = F∗ [X,Y ] = [F∗X,F∗Y ] = LF∗XF∗Y.


5.6 Campos Vetoriais que Comutam

5.14 Lema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Se X e um campovetorial em M com fluxo local ϕt em uma vizinhanca V , entao o campo vetorial F∗X em N tem fluxo localF ϕt F−1 em F (V ).

Prova: Em outras palavras, se ϕ : (−δ, δ)×V −→M e o fluxo local de X em V , entao ψ : (−δ, δ)×F (V ) −→N dado por

ψ (t, q) = F(ϕt(F−1 (q)

))e o fluxo local do campo F∗X. Para provar este resultado, note primeiro que se f ∈ C∞ (M), entao pordefinicao de vetor tangente

Xp (f) =d

dtf ϕt (p)

∣∣∣∣t=0

= limt→0

f (ϕt (p))− f (p)

t

porque a trajetoria ϕt (p) e uma curva diferenciavel que tem Xp como vetor tangente em t = 0. Por definicao,se q = F (p), temos

(F∗X)q (f) = [dFp (Xp)] f

= Xp (f F )

= limt→0

(f F ) (ϕt (p))− (f F ) (p)

t

= limt→0

f(F ϕt

(F−1 (q)

))− (f F )

(F−1 (q)

)t

= limt→0

f(F ϕt F−1 (q)

)− f (q)

t,

o que significa que a curva diferenciavel F ϕt F−1 tem (F∗X)q como vetor tangente em q, logo e o fluxolocal do campo F∗X.

5.15 Corolario. Se M e uma variedade diferenciavel e F : M −→M e um difeomorfismo, entao

F∗X = X

se e somente seF ϕt = ϕt F.

5.16 Teorema. Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriais e ϕt, ψs sao os fluxos locais respectivos de X,Y emuma vizinhanca V de M , entao

ϕt ψs = ψs ϕtse e somente se

[X,Y ] = 0

em V .

Prova: Se ϕt ψs = ψs ϕt, como ϕt e um difeomorfismo, segue do Corolario 5.15 que (ϕt)∗ Y = Y , demodo que

[X,Y ]p = (LXY )p = limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]p− Yp

t= limt→0

Yp − Ypt

= 0

para todo p ∈ V .Reciprocamente, se [X,Y ] = 0 em V , considere a curva α : (−ε, ε) −→ TpM definida por

α (t) = [(ϕ−t)∗ Y ]p.


Temos, observando que o pushforward satisfaz (F G)∗ = F∗ G∗

α′ (t) = limh→0

α (t+ h)− α (t)

h

= limh→0

[(ϕ−t−h)∗ Y ]p− [(ϕ−t)∗ Y ]

p

h

= limh→0

[(ϕ−t)∗ (ϕ−h)∗ Y ]p− [(ϕ−t)∗ Y ]

p

h

= limh→0

(dϕ−t)ϕt(p) [(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p)

− (dϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p)

h

= (dϕ−t)ϕt(p) limh→0

[(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p) − Yϕt(p)h

= (dϕ−t)ϕt(p)

([X,Y ]ϕt(p)

)= (dϕ−t)ϕt(p) (0)

= 0.

Portanto, α (t) = α (0), o que implica (ϕ−t)∗ Y = Y , e o resultado segue do Corolario 5.15. Em particular,

ϕt ϕs ϕ−t ϕ−s = id .

Isso significa o seguinte, em outras palavras: quando [X,Y ] = 0 em uma vizinhanca V de p ∈M , se a partirde p percorrermos a trajetoria do campo X durante um intervalo de tempo t atingindo um certo ponto p1,e depois percorrermos a partir de p1 a trajetoria do campo Y durante um intervalo de tempo s atingindoum segundo ponto p2, voltarmos a partir de p2 ao longo da trajetorio do campo X durante um intervalo detempo t atingindo um certo ponto p3 e finalmente voltarmos tambem de p3 ao longo da trajetoria do campoY durante um intervalo de tempo s, chegaremos ao ponto original p (obviamente estamos assumindo queem nenhum momento saımos da vizinhanca V , o que sera verdade para deslocamentos s, t pequenos para osquais os fluxos locais de X e Y estao definidos em V ). Se [X,Y ] 6= 0, isso nao e verdade e terminamos emum ponto q diferente de p. O colchete de Lie portanto mede infinitesimalmente este defeito.

5.17 Teorema. Se E1, . . . , E∞ ∈ T (M) sao campos vetoriais linearmente independentes suaves em umavizinhanca de p ∈M tais que

[Ei, Ej ] = 0

para todos i, j = 1, . . . ,∞, entao existe uma vizinhanca coordenada(x1, . . . , xn

)de p tal que

Ei =∂

∂xi

para i = 1, . . . ,∞.

Prova: Sem perda de generalidade, podemos assumir atraves de uma carta adequada que M = U ⊂ Rn,p = 0 e

Ei (0) = ei

para i = 1, . . . ,∞, onde e1, . . . , en e a base canonica de Rn. Seja ϕit o fluxo gerado pelo campo Ei. Defina

ψ(x1, . . . , xn

)= ϕ1

x1 ϕ2x2 . . . ϕ∞x∞

(0, . . . 0, x∞+1, . . . , xn

)= ϕ1

x1

(ϕ2x2

(. . .(ϕ∞x∞

(0, . . . 0, x∞+1, . . . , xn

)). . .)).

[Note que no caso especial em que ∞ = n, a aplicacao ψ e

ψ (x) = ψ(x1, . . . , xn

)= ϕ1

x1 . . . ϕnxn (0)

= ϕ1x1

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

).


Em outras palavras, para calcular ψ(x1, . . . , xn

), percorremos sucessivamente as trajetorias dos campos

En, . . . , E1 a partir da origem durante os intervalos de tempo xn, . . . , x1: primeiro, saindo da origem, per-corremos a trajetoria do campo En durante o intervalo de tempo xn, chegando em um certo ponto ϕnxn (0);partindo deste ponto percorremos a trajetoria do campo En−1 durante o intervalo de tempo xn−1, che-gando em um certo ponto ϕn−1

xn−1 (ϕnxn (0)); continuamos desta forma sucessivamente ate chegar no pontoϕ1x1

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

)que definimos como sendo o ponto ψ (x).]

Afirmamos que dψ0 = I. De fato, dada f ∈ C∞ (M), se i = 1, . . . ,∞

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)

∂xi(0)

= limh→0

(f ψ)

(0, . . . 0,

16i6∞h , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f ϕ10 . . . ϕi−1

0 ϕih ϕi+10 . . . ϕ∞0 (0)− f (0)

h

= limh→0

f(ϕih (0)

)− f (0)

h

= Ei (0) (f)

= ei (f) ,

enquanto que se i =∞+ 1, . . . , n, temos

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)

∂xi(0)

= limh→0

(f ψ)

(0, . . . 0,

∞+16i6nh , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f ϕ10 ϕ2

0 . . . ϕ∞0 . . . ϕ∞0(

0, . . . 0,∞+16i6n

h , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

= limh→0

f

(0, . . . 0,

∞+16i6nh , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

=∂f

∂xi(0)

= ei (f) ,

portantodψ0 (ei) = ei

para i = 1, . . . , n. Segue que ψ (x) =(x1, . . . , xn

)e um difeomorfismo local e portanto uma carta para uma

vizinhanca de p = 0.


Observe que podemos calcular explicitamente dψx (e1) para todo x e nao somente na origem, obtendo

dψx (e1) (f) =∂ (f ψ)

∂x1(x)

= limh→0

(f ψ)(x1 + h, x2 . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f ϕ1x1+h ϕ2

x2 . . . ϕ∞x∞(0, . . . 0, x∞+1, . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f(ϕ1x1+h

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

))− f (0)

h

= E1 (x) (f) ,

ou seja,

E1 (x) = dψx (e1) =∂

∂x1

∣∣∣∣x

para todo x onde a carta esta definida. Isso prova o resultado para i = 1.Mas, pelo teorema anterior, como [Ei, Ej ] = 0, temos que os fluxos dos campos E1, . . . , E∞ comutam,

isto e,ϕit ϕ

jt = ϕit ϕ

jt

para todos i, j = 1, . . . ,∞. Logo, para i = 2, . . . ,∞ podemos escrever

ψ(x1, . . . , xn

)= ϕixi ϕ

1x1 ϕ2

x2 . . . ϕixi . . . ϕ∞x∞(0, . . . 0, x∞+1, . . . , xn

).

Pelo mesmo argumento anterior no caso i = 1, concluımos que

Ei (x) =∂

∂xi

∣∣∣∣x

para i = 2, . . . ,∞, para todo x onde a carta ψ esta definida, terminando a demonstracao do resultado. Assim, o colchete de Lie mede em algum sentido o quanto as trajetorias de campos linearmente independentesE1, . . . , En podem ser usadas para formar as “retas coordenadas” de um sistema de coordenadas (veja[Spivak], Vol. I, pp. 220-221, para uma afirmacao mais precisa deste resultado).

5.7 Exercıcios

5.18 Problema. Dado um vetor tangente v ∈ TpM , construa um campo diferenciavel X : M −→ TM talque Xp = v.

Capıtulo 6

Tensores

6.1 Vetores Contravariantes e Covariantes

Considere o conceito de vetor em Rn, por exemplo o vetor velocidade de uma curva descrita no sistema decoordenadas

(x1, . . . , xn

)por

x (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

).

Temosdx

dt=

(dx1

dt, . . . ,

dxn

dt

).

Em um outro sistema de coordenadas(y1, . . . , yn

)a curva e descrita por:

y (t) =(y1 (t) , . . . , yn (t)

),

de modo que seu vetor velocidade neste sistema de coordenadas e dado por

dy

dt=

(dy1

dt, . . . ,

dyn

dt

).

A regra da cadeia nos da como as coordenadas do vetor velocidade mudam de um sistema de coordenadaspara o outro:

dyi

dt=

n∑j=1

∂yi

∂xjdxj

dt(6.1)

para i = 1, . . . , n.Considere agora o conceito do gradiente de uma funcao, usualmente identificado com um vetor. No

sistema de coordenadas(x1, . . . , xn

), o gradiente e definido por

∇xf (x) =

(∂f

∂x1(x) , . . . ,

∂f

∂xn(x)

)enquanto que no sistema de coordenadas

(y1, . . . , yn

)o gradiente e dado por

∇yf (x) =

(∂f

∂y1(x) , . . . ,

∂f

∂yn(x)

)Novamente, a regra da cadeia nos da como as coordenadas do gradiente mudam de um sistema de coordenadaspara o outro:

∂f

∂yi=

n∑j=1

∂xj

∂yi∂f

∂xj(6.2)

56


para i = 1, . . . , n.Comparando as expressoes (6.1) e (6.2), vemos que elas sao bem diferentes. Isso fica ainda mais claro se

considerarmos o Jacobiano da mudanca de coordenadas y = y (x),

J =

[∂yi

∂xj

](6.3)

ou seja,

J =

∂y1

∂x1. . .

∂y1

∂xn...

...∂yn

∂x1. . .

∂yn

∂xn

.Temos

dy

dt= J

dx

dt(6.4)

enquanto que

∇yf =(J−1

)T ∇xf, (6.5)

pois

J−1 =

[dxi

dyj

]=

∂x1

∂y1. . .

∂x1

∂yn...

...∂xn

∂y1. . .

∂xn

∂yn

.Note que as leis de transformacao nao sao exatamente uma a inversa da outra no sentido matricial, ja que enecessario transpor a matriz de mudanca de coordenadas. Observe tambem que para as formulas concidirem,terıamos que ter

J =(J−1

)T,

isto e, J precisaria ser uma transformacao ortogonal, o que equivale a requerer que os dois sistemas decoordenadas

(x1, . . . , xn

)e(y1, . . . , yn

)sejam ortonormais, o que raramente ocorre.

O fato de que o gradiente de uma funcao sob uma mudanca de coordenadas transformar-se de uma maneiradiferente da de um vetor mostra que ele e um tipo diferente de vetor. Como veremos os motivos na proximasecao, vetores que se transformam de acordo com a expressao (6.1) sao chamados vetores contravariantes,enquanto que vetores que se transforma de acordo com a expressao (6.2) sao chamados vetores covariantes(ou simplesmente covetores).

As coordenadas de um vetor contravariante sao convencionalmente denotadas por superescritos:

v =(v1, . . . , vn

), (6.6)

porque, como nos casos dos vetores deslocamento, velocidade, aceleracao, etc., ou seja, vetores cujas di-mensoes estao diretamente relacionadas as dimensoes das coordenadas, o deslocamento aparece no numera-dor (acima da barra da fracao), enquanto que as coordenadas de um vetor covariante sao convencionalmentedenotadas por subescritos:

v = (v1, . . . , vn) , (6.7)

porque, como no caso do covetor gradiente, o deslocamento aparece no denominador (abaixo da barra dafracao), ou seja, vetores tais como o gradiente tem dimensoes que sao inversas as dimensoes das coordenadas.


6.1.1 Significado Real do Gradiente

A derivada de uma funcao real f : Rn −→ R em um ponto x ∈ Rn e um funcional linear dfx : Rn −→ R.O gradiente realmente nao e um vetor, mas sim um funcional linear ou uma 1-forma (estes termos saosinonimos). Como veremos daqui a pouco, funcionais lineares sao vetores (no espaco dual) que se comportamcom relacao a mudanca de coordenadas como covetores.

Assim, embora diferenciemos entre a diferencial dfx de uma funcao real f : Rn −→ R, que e um funcionallinear, e a funcao gradiente, que associa a cada ponto x um vetor ∇f (x) ou grad f (x), com a propriedadeespecial que

dfx (v) = 〈∇f (x) , v〉para todo v ∈ Rn, onde 〈·, ·〉 denota o produto interno canonico de Rn, de qualquer forma, devido a suadefinicao o vetor gradiente e um covetor e se comporta como tal.

Este fato nao e apenas um acidente restrito a forma especial com que ele se comporta com relacao a umamudanca de coordenadas, mas tambem e uma consequencia do significado geometrico de funcionais linearese do gradiente. Atraves do produto interno, qualquer funcional linear ω : Rn −→ R e identificado com umunico vetor v de Rn: v e o unico vetor tal que

ω (w) = 〈v, w〉

para todo w ∈ Rn. Este vetor v e portanto perpendicular ao hiperplano kerω, o nucleo do funcional ω. Aacao do funcional linear ω sobre um vetor arbitrario w pode ser entao vista da seguinte forma: ω determinauma famılia de hiperplanos, os hiperplanos paralelos a kerω; ω (w) e entao o numero de hiperplanos quea “seta” do vetor w “perfura” por unidade de distancia (esta e medida exatamente pelo produto interno).Para vetores com o mesmo comprimento de v, o vetor v e o que perfura o maior numero de hiperplanos, jaque e perpendicular a todos estes hiperplanos (a mesma consideracao evidentemente vale para −v). Outrosvetores diferentes de v e −v formarao um angulo nao reto com estes hiperplanos e, se tiverem o mesmocomprimento que o vetor v, eles perfurarao consequentemente menos hiperplanos. Ou seja, se ‖w‖ = ‖v‖mas w 6= v, entao

ω (w) < ω (v) ;

de fato,ω (w) = 〈v, w〉 = ‖v‖ ‖w‖ cos θ < ‖v‖ ‖w‖ = ‖v‖2 = ω (v) .

Se w e ortogonal a v, entao w esta no nucleo de ω e nao perfura nenhum hiperplano da famılia; assim,ω (w) = 0.

O vetor gradiente ∇f (x) tambem se comporta geometricamente desta forma. Exceto que no caso dogradiente substituımos a famılia de hiperplanos paralelos ao nucleo do funcional pela famılia das hiperfıciesde nıvel da funcao f . O vetor gradiente e perpendicular as hiperfıcies de nıvel de f . Isto funciona porquesegue da definicao que o gradiente e perpendicular ao espaco tangente a hiperfıcie de nıvel: se α : I −→ Rne uma curva contida em uma hiperfıcie de nıvel, entao

f (α (t)) ≡ c

para todo t ∈ I algum valor real c; derivando esta equacao em relacao a t, obtemos

dfα(t) (α′ (t)) = 0,

ou seja,〈∇f (α (t)) , α′ (t)〉 = 0.

Como isso vale para todas tais curvas, concluımos que ∇f (x) e perpendicular a Txf−1 (c)

. Portanto, o

gradiente “perfura” as hiperfıcies de nıvel. Como no caso linear, a direcao do vetor gradiente e a direcao emque mais hiperfıcies de nıvel sao perfuradas por unidade de distancia. Isso e quase equivalente a dizer queo gradiente aponta na direcao em que a funcao cresce com maior rapidez (como se demonstra em Calculo),pois perfurar as hiperfıcies de nıvel equivale a subir ou descer a montanha de contornos do grafico de f ,dependendo do sentido escolhido.


6.2 Convencao da Soma de Einstein

As escolhas que faremos neste capıtulo para a posicao de ındices e subındices, assim como outras escolhasque faremos no futuro, serao necessarias para que a convencao da soma de Einstein funcione: ao inves deusar o sinal de somatorio

∑para denotar uma soma, convencionamos que sempre que em uma expressao

aparecer o mesmo sımbolo como subındice e superındice, uma soma e implıcita sobre todos os valores queeste ındice pode tomar. Alguns exemplos:

Convencao da Soma de Einstein Notacao de Somatorio

viein∑i=1

viei

ei = Ajifj ei =n∑j=1

Ajifj

ωiei

n∑i=1

ωiei

ek =(A−1

)klf l ek =

n∑i=1

(A−1

)klf l

∂

∂xi=∂yj

∂xi∂

∂yj∂

∂xi=

n∑i=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

T = T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .

Embora possa-se levar algum tempo para se acostumar com esta notacao (mas nao muito tempo) ela eextremamente util: alem das expressoes ficarem menos carregadas com sımbolos, e portanto ficarem maisfaceis de ler e seu significado mais claro, ela e autocorretora, requer menos fatos para se memorizar ao seescrever uma expressao longa envolvendo tensores ou mudancas de coordenadas e praticamente se escrevesozinha.

6.3 Vetores e Covetores

6.3.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais

Dado um espaco vetorial de dimensao finita V munido de uma base

B = e1, . . . , en ,

denotaremos por [v]B o vetor coluna cujos elementos sao as coordenadas do vetor v em relacao a base B, ouseja, se

v = viei,

entao

[v]B =

v1

...vn

.Tambem abusaremos esta notacao as vezes, escrevendo [v]B =

(v1, . . . , vn

).

6.1 Definicao. Sejam V um espaco vetorial e

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,


duas bases para V . A matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 e a matriz A talque

[v]B2= A [v]B1

. (6.8)

Quando necessario, ela sera denotada por AB1→B2.

6.2 Notacao. Denotaremos o elemento que ocupa a i-esima linha e a j-esima coluna de A por Aij .

6.3 Proposicao. Sejam

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,

duas bases para um espaco vetorial V . Se A =(Aij)

e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 paraa base B2, entao os elementos desta matriz sao definidos por

ei = Ajifj . (6.9)

Ou seja, as colunas de AB1→B2 sao as coordenadas dos vetores da base B1 em relacao a base B2.

Prova: De fato, se vale (6.9), entao

v = viei = vi(Ajifj

)=(Ajiv

i)fj ,

que e exatamente (6.8):

[v]B2=

A11 . . . A1

n...

...An1 . . . Ann

v1

...vn

= A [v]B1.

Observe agora que enquanto a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 e

ei = Ajifj , (6.10)

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B2 para a base B1 e contraria: como

[v]B1= A−1 [v]B2

,

segue que se

[v]B1=(v1, . . . , vn

),

[v]B2=(w1, . . . , wn

),

entaovi =

(A−1

)ijwj . (6.11)

A lei de transformacao (6.10) e considerada a lei de transformacao fundamental. Portanto, a observacaoacima motiva a seguinte definicao:

6.4 Definicao. Vetores cujas coordenadas se transformam de maneira contraria a lei (6.10) sao chamadosvetores contravariantes.

Assim, os vetores do proprio espaco vetorial V sao vetores contravariantes.


6.3.2 Covetores

6.5 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. Um covetor de V e qualquer funcionallinear ω : V −→ R.

O espaco vetorial dos covetores de V , com as definicoes naturais de soma de covetores e multiplicacao decovetores por escalares reais e chamado o espaco dual de V e denotado por V ∗.

Portanto, covetor de V nada mais e que um sinonimo para funcional linear sobre V .

6.6 Definicao. Seja B = e1, . . . , en uma base para o espaco vetorial V . Definimos a base dual

B∗ =e1, . . . , en

de V ∗ por

ei (ej) = δji , i, j = 1, . . . , n. (6.12)

Um covetor arbitrario ω ∈ V ∗ expressa-se em coordenadas com relacao a base dual B∗ na forma

ω =

n∑i=1

ωiei.

Observe que se

v =

n∑i=1

viei,

entaoei (v) = vi. (6.13)

6.7 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais. Dada uma aplicacao linear A : V −→ W , definimos aaplicacao linear dual ou transposta A∗ : W ∗ −→ V ∗ de A por

(A∗ω) v = ω (Av)

para todo ω ∈W ∗ e para todo v ∈ V .

6.8 Proposicao. Sejam

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn

duas bases para o espaco vetorial V e

B∗1 =e1, . . . , en

,

B∗2 =f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗. Se A e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2,entao

ei =

n∑j=1

(A−1

)ijf j . (6.14)

Consequentemente,(A−1

)Te a matriz de mudanca de coordenadas da base dual B∗1 para a base dual B∗2,

isto e,

[ω]B∗2=(A−1

)T[ω]B∗1

. (6.15)


Prova. Pela Proposicao (6.3),

ei =

n∑j=1

Ajifj .

Seja B =(Bkl)

a matriz de transformacao da base B∗1 para a base B∗2, isto e,

ek =

n∑l=1

Bkl fl.

Entao

δki = ek (ei)

= ek

n∑j=1

Ajifj

=

n∑j=1

Ajiek (fj)

=

n∑j=1

Aji

n∑l=1

Bkl fl (fj)

=

n∑j=1

Aji

n∑l=1

Bkl δlj

=

n∑j=1

AjiBkj

=

n∑j=1

BkjAji ,

de modo que BA = I, donde B = A−1 e portanto

ek =

n∑l=1

(A−1

)klf l.

(6.15) segue da aplicacao da Proposicao (6.3) a (6.14), substituindo V por V ∗ e B1,B2 por B∗1,B∗2.

Portanto, assim como a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 (lei de transformacaofundamental) e

ei =

n∑j=1

Ajifj ,

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B∗2 para a base B∗1 e a mesma: como

[ω]B∗1= AT [ω]B∗2

,

segue que se

[ω]B∗1= (ω1, . . . , ωn) ,

[ω]B∗2= (σ1, . . . , σn) ,


entao

ωi =

n∑j=1

Ajiσj . (6.16)

Ou seja, covetores variam (se transformam) da mesma forma como variam (se transformam) os vetores dabase do espaco vetorial, que convencionamos ser a lei de transformacao fundamental. Esta observacao motivaa seguinte definicao:

6.9 Definicao. Vetores cujas coordenadas se transformam da mesma forma que a lei (6.10) sao chamadosvetores covariantes.

Assim, os covetores do espaco dual V ∗ sao vetores covariantes.

6.3.3 O Espaco Bidual

6.10 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. O espaco dual (V ∗)∗

do espaco dual deV e chamado o espaco bidual de V e denotado V ∗∗.

Uma importante identificacao natural (isto e, um isomorfismo definido independentemente de bases ebaseado apenas na estrutura linear) existe entre um espaco vetorial e seu espaco bidual:

6.11 Proposicao. A aplicacao Φ : V −→ V ∗∗ definida por

Φ (v) (ω) = ω (v)

e um isomorfismo natural entre V e V ∗∗.

Prova. Como dimV = dimV ∗∗, para verificar que Φ e um isomorfismo basta mostrar que ele e injetivo, istoe, que seu nucleo e o subespaco nulo. Seja e1 ∈ V um vetor nao nulo qualquer. Estenda este vetor a umabase B = e1, . . . , en para V . Seja B∗ =

e1, . . . , en

a correspondente base dual de V ∗. Entao Φ (e1) 6= 0

porqueΦ (e1)

(e1)

= e1 (e1) = 1.

Em vista desta identificacao, um vetor v ∈ V pode ser visto como um funcional linear sobre V ∗ cuja acaoem covetores de V ∗ e dada por

v (ω) = ω (v) . (6.17)

Em particular,ei(ej)

= δji (6.18)

e se

ω =

n∑i=1

ωiei,

entaoei (ω) = ωi. (6.19)

6.4 Vetores e Covetores Tangentes

6.4.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente TpM

Se ϕ : U −→ ϕ (U) e ψ : V −→ ψ (V ) sao duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = ϕ (x) =ϕ(x1, . . . , xn

)= ψ (y) = ψ

(y1, . . . , yn

)em M , abusando a notacao frequentemente escrevemos(

ψ−1 ϕ)

(x) =(ψ−1 ϕ

) (x1, . . . , xn

)=(y1(x1, . . . , xn

), . . . , yn

(x1, . . . , xn

)),

isto e, denotamos as funcao coordenadas(ψ−1 ϕ

)j(x) por yj (x).


6.12 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e

ϕ : U −→ ϕ (U) ,

ψ : V −→ ψ (V ) ,

duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

,

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente. Denote

∂yj

∂xi(x) :=

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

(x)

Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e definida por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

. (6.20)

Prova: Por definicao e pela regra da cadeia,

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dϕx (ei) = dψy[d(ψ−1 ϕ

)x

(ei)]

= dψy

n∑j=1

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

(x) fj

=

n∑j=1

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

dψy (fj)

=

n∑j=1

∂yj

∂xi

∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

Portanto, se um vetor v ∈ TpM se escreve em coordenadas em relacao as bases Bx e By nas formas

v =

n∑i=1

vix∂

∂xi

∣∣∣∣p

,

v =

n∑j=1

vjy∂

∂yj

∣∣∣∣p

,

entao, pelas Proposicoes 6.3 e 6.12, a lei de transformacao de coordenadas e dada por

vix =

n∑j=1

∂xi

∂yjvjy. (6.21)

6.4.2 Covetores Tangentes

Enquanto que o conceito de vetores tangentes em variedades permite uma interpretacao livre de coordenadasde derivadas de curvas, diferenciais de funcoes reais em variedades (ou seja, o analogo do gradiente em Rn) saointerpretadas de maneira mais natural como covetores tangentes (compare a Proposicao 6.8 com a discussaona introducao deste capıtulo).


6.13 Definicao. Seja M uma variedade diferenciael. Para cada p ∈ M definimos o espaco cotangenteT ∗pM a M em p por

T ∗pM = (TpM)∗.

Elementos de T ∗pM sao chamados covetores tangentes a M em p.

Assim, o espaco cotangente a M em p e o dual do espaco tangente a M em p.

6.14 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel e ϕ : U −→ ϕ (U) uma carta de uma vizinhancacoordenada de um ponto p ∈M . A base coordenada

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

do espaco tangente TpM associada a carta ϕ da origem a uma base dual coordenada para o espacocotangente T ∗pM associada a carta ϕ que denotaremos por

B∗p =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

. (6.22)

Portanto, qualquer covetor ω ∈ T ∗pM pode ser escrito de maneira unica como

ω =

n∑i=1

ωi dxi∣∣p, (6.23)

onde

ωi = ω

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

). (6.24)

Vamos investigar agora como as coordenadas de um covetor tangente se transformam quando ha uma mu-danca de bases coordenadas, de uma carta para outra.

6.15 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e ϕ : U −→ ϕ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente. Denote por

B∗x =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

,

B∗y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p

as respectivas bases duais. Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base B∗x para a base B∗y e dadapor

dxi∣∣p

=

n∑j=1

∂xi

∂yjdyj∣∣p. (6.25)


Prova: Pela Proposicao 6.12, a mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e dada por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

O resultado segue entao da Proposicao 6.8. Obtemos tambem da discussao que se segue a Proposicao 6.8 que se

[ω]B∗x = (ωx1 , . . . , ωxn) ,

[ω]B∗y = (ωy1 , . . . , ωyn) ,

entao

ωxi =

n∑j=1

∂yj

∂xiωyj .

Podemos agora entender a terminologia antiga em que vetores tangentes eram chamados vetores contrava-riantes, enquanto que covetores tangentes eram chamados vetores covariantes. E importante ressaltar queesta terminologia nada tem a ver com functores covariantes e contravariantes da teoria de categorias.

6.5 Tensores

6.5.1 Definicao

6.16 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e V ∗ seu espaco dual.Um k-tensor covariante em V (ou tensor covariante de ordem k) e uma funcao real k-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

−→ R.

Um l-tensor contravariante em V (ou tensor contravariante de ordem l) e uma funcao real l-linear

T : V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

Um tensor do tipo (k, l) e um tensor k-covariante e l-contravariante, isto e, uma funcao real multilinear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

O espaco vetorial real dos k-tensores covariantes sobre V sera denotado por T k (V ); o espaco vetorial dosl-tensores contravariantes sobre V sera denotado por Tl (V ) e o espaco vetorial dos (k, l) tensores sobre Vsera denotado por T kl (V ). Estes espacos vetoriais sao chamados espacos tensoriais.

6.17 Exemplo. Um 1-tensor covariante e simplesmente um covetor. Formas bilineares, entre elas o produtointerno, sao 2-tensores covariantes. Determinantes sao n-tensores covariantes em Rn.

Algumas identificacoes naturais (isto e, independente de especificacao de bases):

• 0-tensores sao numeros reais:T 0 (V ) = R;

• tensores do tipo (k, 0) sao k-tensores covariantes:

T k0 (V ) = T k (V ) ;


• tensores do tipo (0, l) sao l-tensores contravariantes:

T 0l (V ) = Tl (V ) ;

• 1-tensores covariantes sao covetores:T 1 (V ) = V ∗

• 1-tensores contravariantes sao vetores:

T1 (V ) = V ∗∗ = V.

6.18 Proposicao. Seja End (V ) o espaco vetorial dos operadores lineares sobre V . Entao existe um iso-morfismo natural

T 11 (V ) ∼= End (V ) .

Prova. Um isomorfismo natural Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) pode ser definido por

Φ (A) (v, ω) = ω (Av) .

6.19 Proposicao. Considere o espaco vetorial L(V k × (V ∗)

l;V)

das aplicacoes multilineares

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ V.

Entao existe um isomorfismo natural

T kl+1 (V ) ∼= L(V k × (V ∗)

l;V).

Prova. Este pode ser definido por

(ΦT )(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= ωl+1

(T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)).

6.5.2 Produto Tensorial

6.20 Definicao. Sejam T e S tensores de tipos (k, l) e (p, q), respectivamente. Seu produto tensorial eo tensor T ⊗ S do tipo (k + p, l + q) definido por

(T ⊗ S)(v1, . . . , vk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

= T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)S(vk+1, . . . , vk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q).

6.21 Exemplo. Sejam ω1, ω2 dois covetores (1-tensores covariantes). Entao

ω1 ⊗ ω2 (v1, v2) = ω1 (v1)ω2 (v2)

e um 2-tensor covariante (uma forma bilinear).

Usando produtors tensoriais, podemos obter uma base para o espaco tensorial T kl (V ):


6.22 Proposicao. SeB = e1, . . . , en

e uma base para o espaco vetorial V eB∗ =

e1, . . . , en

e a correspondente base dual para V ∗, entao

Bkl =ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

(6.26)

e uma base para o espaco tensorial T kl (V ). Alem disso, qualquer tensor T ∈ T kl (V ) se escreve na forma

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl , (6.27)

ondeT j1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl). (6.28)

Em particular, dimT kl (V ) = nk+l.

Prova. Primeiro mostraremos que Bkl gera o espaco tensorial T kl (V ). Seja T ∈ T kl (V ) um tensor qualquere defina

T j1...jli1...ik= T

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl).

Se v1, . . . , vk ∈ V , ω1, . . . , ωl ∈ V ∗ sao vetores e covetores arbitrarios, expressos em coordenadas por

vr =

n∑ir=1

virr eir e ωs =

n∑js=1

ωsjsejs

para r = 1, . . . , k e s = 1, . . . , l, segue da multilinearidade que

T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)

= T

n∑i1=1

vi11 ei1 , . . . ,

n∑ik=1

vikk eik ,

n∑j1=1

ω1j1e

j1 , . . . ,

n∑jl=1

ωljlejl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

vi11 . . . vikk ω1j1 . . . ω

ljlT(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikvi11 . . . vikk ω

1j1 . . . ω

ljl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 (v1) . . . eik (vk) ej1

(ω1). . . ejl

(ωl)

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

(v1, . . . vk, ω

1, . . . , ωl).

Para mostrar que Bkl e linearmente independente, suponha que exista uma combinacao linear nula

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Cj1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl = 0


para algumas constantes Cj1...jli1...ik∈ R. Como

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl)

= ei1 (er1) . . . eik (erk) ej1 (es1) . . . ejl (esl)

= δi1r1 . . . δikrkδs1j1 . . . δ

sljl

= δi1...iks1...slr1...rkj1...jl,

(o delta de Kronecker para multi-ındices e definido de forma analoga ao delta de Kronecker usual) segue que

0 = T (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl) =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Cj1...jli1...ikδi1...iks1...slr1...rkj1...jl

= Cs1...slr1...rk

para todos os ındices r1, . . . , rk, s1, . . . , sl = 1, . . . , n. Este resultado mostra que um tensor e completamente determinado pela sua acao em todas as sequenciaspossıveis de covetores e vetores das bases de V ∗ e V .

Observe que, se F ∈ T kl (V ), G ∈ T pq (V ) e T = F ⊗G ∈ T k+pl+q (V ), entao

Tj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

= T(ei1 , . . . , eik , eik+1

, . . . , eik+p , ej1 , . . . , ejl , ejl+1 , . . . , ejl+q

)= F

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)G(eik+1

, . . . , eik+p , ejl+1 , . . . , ejl+q

)de modo que


= F j1...jli1...ikGjl+1...jl+qik+1...ik+p

. (6.29)

6.5.3 Mudanca de Base

6.23 Proposicao. Sejam B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn duas bases para o espaco vetorial V eB∗1 =

e1, . . . , en

,B∗2 =

f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗. Sejam A a matriz de mudanca

de coordenadas da base B1 para a base B2, e(A−1

)Ta matriz de mudanca de coordenadas da base dual B∗1

para a base dual B∗2, isto e,

ei =

n∑j=1

Ajifj e ek =

n∑l=1

(A−1

)klf l.

Sejam

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Ej1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ikf i1 ⊗ . . .⊗ f ik ⊗ fj1 ⊗ . . .⊗ fjl

as expressoes em coordenadas para um tensor T ∈ T kl (V ) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik=

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslF s1...slr1...rk

. (6.30)


Prova. Segue da ultima proposicao e por multilinearidade que

Ej1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

= T

(n∑

r1=1

Ar1i1 fr1 , . . . ,

n∑rk=1

Arkik frk ,

n∑s1=1

(A−1

)j1s1fs1 , . . . ,

n∑sl=1

(A−1

)jlslfsl

)

=

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslT (fr1 , . . . , frk , f

s1 , . . . , fsl)

=

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslF s1...slr1...rk

.

6.24 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Para cada p ∈ M definimos o espaco tensorialtangente T kl (TpM) a M em p. Seja ϕ : U −→ ϕ (U) uma carta de uma vizinhanca de um ponto p ∈M . Abase coordenada

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

do espaco tangente TpM associada a carta ϕ e sua respectiva base dual

B∗p =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

dao origem a base coordenada associada a carta ϕ para o espaco tensorial tangente T kl (TpM)

(Bkl)p

=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

(6.31)

6.25 Corolario. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e ϕ : U −→ ϕ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas cartas para vizinhancas de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente, e

B∗x =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

,

B∗y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p


suas respectivas bases duais. Sejam

Tp =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Ej1...jli1...ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ik(p) dyi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dyik

∣∣p⊗ ∂

∂yj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂yjl

∣∣∣∣p

as expressoes em coordenadas para um tensor Tp ∈ T kl (TpM) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik(p) =

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

∂yr1

∂xi1. . .

∂yrk

∂xik∂xj1

∂ys1. . .

∂xjl

∂yslF s1...slr1...rk

(p) . (6.32)

Prova: Segue das Proposicoes 6.12, 6.15 e 6.23.

6.5.4 Traco de Tensores

O traco de uma matriz A =(Aij)n×n e definido por

trA =

n∑i=1

Aii.

A partir disso pode-se definir o traco de um operador linear sobre um espaco vetorial real de dimensao finitacomo sendo o traco de qualquer uma de suas representacoes matriciais com respeito a uma base fixada poispode-se provar que o traco independe da base escolhida, ou seja, que o traco e uma nocao independente decoordenadas. Usando o isomorfismo natural entre o espaco vetorial End (V ) dos operadores lineares sobre Ve T 1

1 (V ), podemos definir logo de inıcio o traco para operadores lineares independemente de coordenadas.Alem da vantagem obvia de se ter uma definicao que nao se refere a coordenadas, a maior vantagem e queela sera naturalmente generalizada para definir o traco de tensores.

Observe que e uma consequencia da Proposicao 6.22 que os produtos tensoriais da forma ω⊗ v, ω ∈ V ∗,v ∈ V , geram T 1

1 (V ); em outras palavras, todo (1, 1)-tensor e uma combinacao linear de tais produtostensoriais.

6.26 Definicao. O traco de (1, 1)-tensores e o funcional linear tr : T 11 (V ) −→ R definido por

tr (ω ⊗ v) = ω (v)

em produtos tensoriais e estendido linearmente a todo T 11 (V ).

Se Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) e o endomorfimo natural, entao o traco de um operador linear A ∈ End (V )

e definido portrA = tr (Φ (A)) .

6.27 Proposicao. Se T ∈ T 11 (V ) se escreve em coordenadas na forma

T =

n∑i,j=1

T ji ei ⊗ ej ,

entao

trT =

n∑i=1

T ii . (6.33)


Se A ∈ End (V ), entao

trA =

n∑i=1

Aii. (6.34)

Prova: Por definicao,

trT =

n∑i,j=1

T ji tr(ei ⊗ ej

)=

n∑i,j=1

T ji ei (ej) =

n∑i,j=1

T ji δij =

n∑i=1

T ii .

Daı, como

trA =

n∑i=1

[Φ (A)]ii ,

e, pela Proposicao 6.18,

[Φ (A)]ji = Φ (A)

(ei, e

j)

= ej (Aei) = ej

(n∑k=1

Aki ek

)

=

n∑k=1

Aki ej (ek) =

n∑k=1

Aki δjk

= Aji ,

segue a segunda expressao. O conceito de traco pode ser generalizado para tensores de qualquer tipo, produzindo uma operacao que

diminui a ordem total do tensor em 2, 1 para a parte covariante e 1 para a parte contravariante. Antesobserve que, dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, cada (k − 1, l − 1)-upla fixada(

v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl

)∈ V k−1 × (V ∗)

l−1

define um tensor S ∈ T 11 (V ), que depende da (k − 1, l − 1)-upla escolhida, atraves da expressao

S (v, ω) = T(v1, . . . , vp−1, v, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ω, ωq+1, . . . , ωl).

Em outras palavras, fixados v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl,

T(v1, . . . , vp−1, ·, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq+1, . . . , ωl)

e um (1, 1)-tensor.

6.28 Definicao. Dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, o traco de T com respeito aos ındices p, q(ındice covariante p e ındice contravariante q) e o tensor trT do tipo (k − 1, l − 1) definido por

(trT )(v1, . . . , vp−1, vp, . . . , vk−1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq, . . . , ωl−1)

= trT(v1, . . . , vp−1, ·, vp, . . . , vk−1, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq, . . . , ωl−1).

Se for necessario explicitar os ındices em relacao aos quais foi tomado o traco, denotaremos trpq T .

6.29 Proposicao. Se T ∈ T kl (V ) se escreve em coordenadas na forma

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .


entao as coordenadas de

trT =

n∑i1,...,ik−1=1j1,...,jl−1=1

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1ei1 ⊗ . . .⊗ eik−1 ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl−1

sao dadas por

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1=

n∑i=1

Tj1...jq−1ijq...jk−1

i1...ip−1iip...il−1. (6.35)

Prova: Por definicao, se S e o tensor T(ei1 , . . . , eip−1

, ·, eip , . . . , eik−1, ej1 , . . . , ejq−1 , ·, ejq , . . . , ejl−1

), entao

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1= (trT )

(ei1 , . . . , eip−1 , eip , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejq−1 , ejq , . . . , ejl−1)

= trS

=

n∑i=1

Sii

=

n∑i=1

T(ei1 , . . . , eip−1 , ei, eip , . . . , eik−1

, ej1 , . . . , ejq−1 , ei, ejq , . . . , ejl−1)

=

n∑i=1

Tj1...jq−1ijq...jl−1

i1...ip−1iip...ik−1.

6.6 Fibrados Tensoriais

6.30 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel de dimensao n com um atlas Φ = ϕα : Uα −→Mα∈A.

O fibrado (k, l)-tensorial de M e a variedade diferenciavel de dimensao n+ nk+l

T kl M =⊔p∈M

T kl (TpM) =

(p, T ) : p ∈M e T ∈ T kl (TpM)

com a topologia e atlas induzidos de forma analoga a do fibrado tangente, ou seja, se

Φ = ϕα : Uα −→ ϕα (Uα) ⊂ Rnα∈A

e um atlas maximal para M e

T kl Uα =⊔p∈Uα

T kl (TpM) = π−1 (Uα) ,

ondeπ : T kl M −→M

e a projecao natural π (p, T ) = p, um subconjunto A e aberto em T kl Uα se e somente se ψα (A) e aberto em

ϕα (Uα)× Rnk+l , e um atlas para T kl M

Ψ =ψα : T kl Uα −→ ϕα (Uα)× Rn

k+lα∈A


e definido por

ψα

p, n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

=

ϕα (p) ,

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1p . . .⊗ eikej1 ⊗ . . .⊗ ejl

.

Note que

T 0M = M × R,T1M = TM,

T 1M = T ∗M,

T k0 M = T kM,

T 0l M = TlM.

O fibrado T 1M e chamado o fibrado cotangente.

6.7 Campos Tensoriais

6.7.1 Definicao

6.31 Definicao. Um campo tensorial e uma secao do fibrado tensorial. Um campo tensorial dife-renciavel e uma secao diferenciavel do fibrado tensorial, isto e, uma aplicacao diferenciavel T : M −→ T kl Mtal que π T = idM .

O espaco vetorial dos campos (k, l)-tensoriais diferenciaveis e denotado por Tkl (M).

A menos que seja dito o contrario, lidaremos apenas com campos tensoriais diferenciaveis. Note que

T0 (M) = C∞ (M) ,

T1 (M) = T (M) ,

Tk0 (M) = Tk (M) ,

T0l (M) = Tl (M) .

e T1M e o espaco vetorial dos campos covetoriais.

6.32 Proposicao. Seja T : M −→ T kl M um campo tensorial. Para cada carta ϕ : U −→ V uma vizinhancaV de M , denote a base coordenada associada para o espaco tensorial T kl (TpM) por

(Bkl)p

=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

para todo p ∈ V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma

Tp =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

. (6.36)


Entao T e um campo tensorial diferenciavel se e somente se para toda carta ϕ as funcoes T j1...jli1...ik: V −→ R

sao diferenciaveis para todos os ındices i1, . . . , ik, j1, . . . , jl = 1 . . . , n.


6.7.2 Pullback de Campos Tensoriais Covariantes

6.33 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel.Definimos a aplicacao pullback de campos tensoriais covariantes por F como sendo a aplicacao linear

F ∗ : Tk (N) −→ Tk (M)

definida por(F ∗T )p (v1, . . . , vk) = TF (p) (dFp (v1) , . . . , dFp (vk)) .

6.34 Proposicao. Valem as seguintes propriedades:(a) F ∗ (fT ) = (f F )F ∗T.(b) F ∗ (T ⊗ S) = F ∗T ⊗ F ∗S(c) (F G)

∗= G∗ G∗

(d) id∗ = id .


6.7.3 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes

6.35 Definicao. Sejam X ∈ T (M) um campo vetorial, T ∈ Tk (M) um campo tensorial covariante, p ∈Me ϕt o fluxo local do campo X em uma vizinhanca V de p em M . A derivada de Lie do tensor T na direcaodo campo X em p e definida por

(LXT )p = limt→0

(ϕ∗tT )p − Tpt

=d

dt(ϕ∗tT )ϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.

6.36 Proposicao. A derivada de Lie de campos tensoriais

L : T (M)× Tk (M) −→ Tk (M)(X,T ) 7→ LXT

e um operador R-bilinear e satisfaz a regra do produto usual:

LX (fT ) = (Xf)T + fLXT.


6.37 Proposicao. A derivada de Lie de campos tensoriais tambem satisfaz a regra do produto em relacaoao produto tensorial:

LX (T ⊗ S) = LXT ⊗ S + T ⊗ LXS.

Prova: Exercıcio 6.44. Quando T : (Rn)

k −→ R e um funcional k-linear, ou seja, um tensor k-covariante, sua derivada direcionalem um ponto P = (P1, . . . , Pk) na direcao de X = (X1, . . . , Xk) e dada por

(DXT ) (p) :=∂T

∂X(p) = dTP (X) =

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) . (6.37)


De fato, pela multilinearidade de T , T (P + tX) e um polinomio em t de grau k. Vamos introduzir umanotacao (que nao usaremos em nenhum outro lugar deste livro) para escrever os termos deste polinomioexplicitamente: para 1 6 i1 < . . . < ij 6 k, denote por

TP(Xi1 , . . . , Xij

)o resultado obtido quando substituımos na expressao T (P1, . . . , Pk) os vetores Pi1 , . . . , Pij por Xi1 , . . . , Xij ,respectivamente; por exemplo,

TP (Xi) = T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) ,

com Pi substituıdo por Xi, e

TP (Xi, Xj) = T (P1, . . . , Xi, . . . , Xj , . . . , Pk) .

com Pi, Pj substituıdos por Xi, Xj . Temos portanto

T (P + tX) = T (P1 + tX1, . . . , Pk + tXk)

= T (P ) +

k∑j=1

tj k∑i1<...<ij=1

TP(Xi1 , . . . , Xij

)= T (P ) + t

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk)

+

k∑j=2

k∑i1<...<ij=1

TP(Xi1 , . . . , Xij

) tj .

Logo, a derivada direcional e dada por

dTP (X) = limt→0

T (P + tX)− T (P )

t

=

k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) + limt→0

k∑j=2

k∑i1<...<ij=1

TP(Xi1 , . . . , Xij

) tj−1

=k∑i=1

T (P1, . . . , Xi, . . . , Pk) .

Temos uma formula semelhante para a derivada de Lie (mas lembre-se que ela nao e uma derivadadirecional), como veremos na proposicao a seguir. No que se segue, se T e um campo tensorial k-covariante,para nao carregar a notacao definimos a funcao

T (Y1, . . . , Yk) ∈ C∞ (M)

por

[T (Y1, . . . , Yk)] (p) = Tp

((Y1)p , . . . , (Yk)p

)de modo que, pela definicao (Xf) (p) = Xp (f),

[X (T (Y1, . . . , Yk))] (p) = Xp [T (Y1, . . . , Yk)] .

Da mesma forma, usamos (LXT ) (Y1, . . . , Yk) para denotar

(LXT )p

((Y1)p , . . . , (Yk)p

).


6.38 Proposicao. Se X ∈ T (M) e um campo vetorial e T ∈ Tk (M) um campo tensorial covariante, entaoa derivada de Lie LXT ∈ Tk (M) e dada por

(LXT ) (Y1, . . . , Yk) = LX (T (Y1, . . . , Yk))−k∑i=1

T (Y1, . . . ,LXYi, . . . , Yk)

= X (T (Y1, . . . , Yk))−k∑i=1

T (Y1, . . . , [X,Yi] , . . . , Yk)

para campos Y1, . . . , Yk ∈ T (M).

Prova: Para passar da primeira expressao para a segunda expressao, usamos LXf = Xf e LXY = [X,Y ].Vamos primeiro provar o caso k = 1:

(LXT ) (Y ) = X (T (Y ))− T ([X,Y ]) . (6.38)

De fato,

(LXT )p (Yp) = limt→0

(ϕ∗tT )p − Tpt

(Yp)

= limt→0

(ϕ∗tT )p (Yp)− Tp (Yp)

t

= limt→0

Tϕt(p)

([dϕt]p (Yp)

)− Tp (Yp)

t

= limt→0

Tϕt(p)

([dϕt]p (Yp)− Tϕt(p)

(Yϕt(p)

))+ Tϕt(p)

(Yϕt(p)

)− Tp (Yp)

t

= T limt→0

ϕt(p)

(limt→0

[dϕt]p (Yp)− Yϕt(p)t

)+ limt→0

Tϕt(p)(Yϕt(p)

)− Tp (Yp)

t

= Tp

(limt→0

(L−XY )ϕt(p)

)+Xp (T (Y ))

= Tp

((L−XY )p

)+Xp (T (Y ))

= Xp (T (Y ))− Tp[(LXY )p

]= Xp (T (Y ))− Tp

([X,Y ]p

),

onde usamos o fato que se ϕt e o fluxo local do campo X, entao ϕ−t e o fluxo local do campo −X; em outraspalavras, como

(LXY )p = limt→0

[dϕ−t]ϕt(p)(Yϕt(p)

)− Yp

t,

podemos escrever

(L−XY )p = limt→0

(L−XY )ϕt(p)

= limt→0

[dϕt]ϕ−t[ϕt(p)] (Yp)− Yϕt(p)t

= limt→0

[dϕt]p (Yp)− Yϕt(p)t

.

Para provar o caso k = 2, ou seja,

(LXT ) (Y,Z) = X (T (Y,Z))− T ([X,Y ] , Z)− T (Y, [X,Z]) , (6.39)


escrevemos T localmente comoT = Tijdx

i ⊗ dxj .

Pela regra do produto e pela Proposicao 6.37 temos

LXT = X (Tij) dxi ⊗ dxj + TijLX

(dxi ⊗ dxj

)= X (Tij) dx

i ⊗ dxj + TijLX(dxi)⊗ dxj + Tijdx

i ⊗ LX(dxj),

de modo que, por (6.38),

(LXT ) (Y,Z)

= X (Tij) dxi ⊗ dxj (Y, Z) + TijLX

(dxi)⊗ dxj (Y,Z) + Tijdx

i ⊗ LX(dxj)

(Y,Z)

= X (Tij)YiZj + Tij

[LX

(dxi)

(Y )]dxj (Z) + Tijdx

i (Y )⊗[LX

(dxj)

(Z)]

= X (Tij)YiZj + Tij

[X(Y i)− dxi ([X,Y ])

]Zj + TijY

i[X(Zj)− dxj ([X,Z])

]= X (Tij)Y

iZj + TijX(Y i)Zj + TijY

i[X(Zj)]

− Tijdxi ([X,Y ])Zj − TijY idxj ([X,Z])

= X(TijY

iZj)− Tijdxi ⊗ dxj ([X,Y ] , Z)− Tijdxi ⊗ dxj (Y, [X,Z])]

= X (T (Y,Z))− T ([X,Y ] , Z)− T (Y, [X,Z]) .

Para provar o caso geral, escrevemos T localmente como

T = Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik .

Pela regra do produto e pela Proposicao 6.37 temos

LXT = X (Ti1...ik) dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik + Ti1...ikLX(dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik

)= X (Ti1...ik) dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik +

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ LXdx

i ⊗ . . .⊗ dxik ,


de modo que, por (6.38),

(LXT ) (Y1, . . . , Yk)

= X (Ti1...ik) dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik (Y1, . . . , Yk)

+

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ LXdx

i ⊗ . . .⊗ dxik (Y1, . . . , Yk)

= X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk

+

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 (Y1)⊗ . . .⊗ LXdx

i (Yi)⊗ . . .⊗ dxik (Yk)

= X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk

+

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 (Y1)⊗ . . .⊗

[X(Y i)− dxi ([X,Yi])

]⊗ . . .⊗ dxik (Yk)

= X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk +

k∑i=1

Ti1...ikYi11 . . . X

(Y i). . . Y ikk

−k∑i=1

Ti1...ikdxi1 (Y1)⊗ . . .⊗ dxi ([X,Yi])⊗ . . .⊗ dxik (Yk)

= X(Ti1...ikY

i11 . . . Y ikk

)−

k∑i=1

Ti1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxi ⊗ . . .⊗ dxik (Y1, . . . , [X,Yi] . . . , Yk)

= X (T (Y1, . . . , Yk))−k∑i=1

T (Y1, . . . , [X,Yi] , . . . , Yk)

Da demonstracao, vemos que a expressao em coordenadas da derivada de Lie de tensores e

(LXT ) (Y1, . . . , Yk) = X (Ti1...ik)Y i11 . . . Y ikk +

k∑i=1

Ti1...ikYi11 . . . X

(Y i). . . Y ikk

−k∑i=1

Ti1...ikYi11 . . . [X,Yi]

i. . . Y ikk .

6.39 Corolario. Vale

LX (T (X1, . . . , Xk)) = (LXT ) (X1, . . . , Xk) +

k∑i=1

T (X1, . . . ,LXXi, . . . , Xk) .

6.8 Exercıcios

6.40 Exercıcio. Defina explicitamente o fibrado cotangente e mostre que ele e um fibrado vetorial. Definaexplicitamente o conceito de campos covetoriais.

6.41 Exercıcio. Mostre que o fibrado tensorial definido pela Definicao 6.31 e de fato uma variedade dife-renciavel.

6.42 Exercıcio. Demonstre a Proposicao 6.32.


6.43 Exercıcio. Seja T : M −→ T kl M uma secao do fibrado tensorial. Mostre que T e diferenciavel (e,portanto, um campo tensorial diferenciavel) se e somente se para toda vizinhanca V ⊂M e para todos os cam-pos vetoriais X1, . . . , Xk e para todas os campos covetoriais ω1, . . . , ωl a funcao T

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

:V −→ R definida por

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

(p) = Tp(X1 (p) , . . . , Xk (p) , ω1 (p) , . . . , ωl (p)

)e diferenciavel.

6.44 Exercıcio. Demonstre as Proposicoes 6.34, 6.36 e 6.37.

Capıtulo 7

Conexoes e Derivada Covariante

Neste capıtulo queremos generalizar de uma forma melhor o conceito de derivada direcional para camposvetoriais e tensoriais em variedades diferenciaveis, ja que, como vimos no Capıtulo 4, a derivada de Lie euma generalizacao imperfeita deste conceito.

Alem disso, gostarıamos de definir uma nocao completa de calculo diferencial em variedades diferenciaveis,isto e, calcular derivadas segundas, terceiras e todas as derivadas de ordem superior. A derivada de umafuncao real f (sua diferencial) e um funcional linear df , isto e, um tensor 1-covariante. Para podermosderivar mais uma vez, precisamos definir a nocao da derivada de um tensor 1-covariante. Para definirmosderivadas de ordem superior, precisamos definir as derivadas de tensores de todos os tipos (k, l). Assim comoa derivada de uma funcao aumenta a ordem covariante de 0 para 1, a derivada de (k, l)-tensores aumentaraa ordem covariante de k para k+ 1: ela sera um tensor do tipo (k + 1, l). Por este motivo, ela sera chamadaderivada covariante. Na verdade, ela sera construıda a partir da derivada covariante de campos vetoriais (aqual recebe este nome em funcao do seu uso na definicao da derivada covariante de tensores) e isso sera feitoem duas etapas: primeiro generalizaremos a definicao de derivada covariante de campos vetoriais (conexoes),que e uma nocao de derivada direcional, para definir derivadas covariantes de campos tensoriais, ou seja,derivadas direcionais de campos tensoriais (que sera chamada uma conexao em ⊕Tkl (M)); esta sera usadaem seguida para definir a nocao propriamente dita de derivada covariante de campos tensoriais, a chamadaderivada covariante total.

7.1 Conexao e Derivada Covariante de Campos Vetoriais

Para isso, consideramos as propriedades basicas e essenciais que a derivada direcional em Rn satisfaz: estasserao as propriedades que a derivada direcional para variedades deve satisfazer. Campos vetoriais suavesX,Y ∈ T (Rn) sao simplesmente aplicacoes X,Y : Rn −→ Rn (atraves da identificacao natural do fibradotangente TRn com Rn). A derivada direcional do campo Y no ponto p ∈ Rn na direcao do campo X esimplesmente a derivada direcional da aplicacao Y na direcao do vetor Xp = X (p), isto e,

(DXY ) (p) :=∂Y

∂Xp(p) = dYp (Xp) .

Enxergando o ponto de aplicacao implicitamente, podemos denotar

DXY = dY (X)

e considerar a derivada direcional de campos como uma aplicacao

D : T (Rn)× T (Rn) −→ T (Rn) .

81


Das propriedades de linearidade e regra do produto da derivada em Rn segue que, para escalares α, β ∈ R

DαX+gY Z = αDXZ + βDY Z,

DX (αY + βZ) = αDXY + βDXZ,

ou seja, D e uma aplicacao bilinear sobre R (linear nas duas variaveis), enquanto que para funcoes f, g ∈C∞ (Rn) temos

DfX+gY Z = fDXZ + gDY Z,

DX (fY ) = fDXY + (Xf)Y,

onde, na ultima equacao, usamos o fato que a derivada direcional de funcoes ∂Xf nada mais e que Xf :

Xf =

(n∑i=1

Xi∂i

)f =

n∑i=1

Xi (∂if) =∂f

∂X:= ∂Xf ;

portanto, D e uma aplicacao linear sobre o anel C∞ (Rn) na primeira variavel e satisfaz a regra do produtona segunda variavel.

[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.

7.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma conexao ∇ em M e uma aplicacaobilinear sobre R

∇ : T (M)× T (M) −→ T (M) ,

denotada por (X,Y ) 7→ ∇XY tal que, considerando T (M) como modulo sobre C∞ (M), satisfaz as seguintespropriedades:

(i) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,(ii) ∇X (fY ) = f∇XY + (Xf)Y.para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) e para todas as funcoes f, g ∈ C∞ (M).Dizemos que ∇XY e a derivada covariante do campo Y na direcao de X.

Observe que a derivada de Lie nao satisfaz a propriedade de ser uma aplicacao linear sobre o anel C∞ (M)na primeira variavel, pois

LfX+gY (Z) = [fX + gY, Z] = [fX,Z] + [gY, Z]

= f [X,Z]− (Zf)X + g [Y,Z]− (Zg)Y

= f [X,Z] + g [Y, Z]− (Zf)X − (Zg)Y

= fLX (Z) + gLY (Z)− (Zf)X − (Zg)Y,

logo nao e uma derivada covariante.O resultado a seguir mostra que a derivada covariante e de fato a generalizacao do conceito de derivada

direcional no espaco euclidiano para variedades (ou seja, todas as propriedades essenciais da derivada covari-ante foram capturadas na Definicao 7.1), de forma que podemos interpretar ∇XY como a derivada direcionaldo campo Y na direcao X:

7.2 Proposicao (Conexao em Coordenadas). Seja ∇ uma conexao em uma variedade diferenciavel M .Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriais que se expressam em coordenadas locais por

X =

n∑i=1

Xi∂i e Y =

n∑j=1

Y j∂j ,

entao

∇XY =

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j . (7.1)

Em particular, (∇XY )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangentea Xp.


Prova: Usando as propriedades de uma conexao, obtemos

∇XY = ∇X

n∑j=1

Y j∂j

=

n∑j=1

∇X(Y j∂j

)=

n∑j=1

Y j∇X∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j

=

n∑j=1

Y j∇∑ni=1X

i∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j

=

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j .

Em particular,

(∇XY )p =

n∑i,j=1

Xi (p)Y j (p) (∇∂i∂j)p +

n∑j=1

[Xp

(Y j)]

(p) ∂j |p .

Os coeficientesX1 (p) , . . . , Xn (p) dependem apenas do valor deX em p; os coeficientesXp

(Y 1), . . . , Xp (Y n),

por definicao de vetor tangente, dependem apenas dos valores de Y ao longo de uma curva passando por pcujo vetor tangente em p e Xp.

Da expressao (7.1), escrevendo os campos vetoriais ∇∂i∂j em termos dos campos base ∂k na forma

∇∂i∂j =

n∑k=1

Γkij∂k, (7.2)

obtemos a seguinte expressao local para o campo ∇XY :

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k. (7.3)

7.3 Definicao. As funcoes suaves Γkij definidas pela expressao (7.3) sao chamadas os sımbolos de Chris-toffel da conexao associados a carta particular utilizada.

Note que se denotarmos∇i := ∇∂i ,

segue que a k-esima componente do vetor derivada covariante ∇iY e dada por

(∇iY )k

= ∂iYk +

n∑j=1

Y j (∇∂i∂j)k

= ∂iYk +

n∑j=1

Y jΓkij ,

de modo que os sımbolos de Christoffel podem ser vistos como correcoes da derivada parcial: para calcular aderivada de um campo em uma direcao coordenada i nao e mais suficiente considerarmos apenas a derivadaparcial ∂i, isto e, a variacao do campo de um ponto para o outro ao longo desta direcao, como fazıamosem Rn; em uma variedade, como os proprios referenciais de direcoes ∂1, . . . , ∂n variam com o ponto, enecessario levar em conta esta variacao para calcular a variacao total do campo quando se varia o campode um ponto para outro ao longo de uma direcao; os termos desta correcao sao dados pelos sımbolos deChristoffel Γkij , que sao os componentes (∇∂i∂j)

kda variacao das direcoes ∂j ao longo das direcoes ∂i de

um ponto para outro. Em outras palavras, a k-esima componente da variacao de Y na direcao i nao e maissimplesmente a i-esima derivada parcial da k-esima componente de Y , mas a soma desta com as correcoes


dadas pelas k-esimas componentes das variacoes de todas as direcoes do campo Y na direcao i (isto e, ossımbolos de Christoffel) com os pesos dadas pelas correspondentes componentes do campo Y em cada direcao.

Observe que em princıpio precisamos obter n3 sımbolos de Christoffel para determinar uma conexao. Nocaso de conexoes riemannianas, como veremos, a sua simetria diminuira o numero de sımbolos diferentes queprecisaremos calcular.

7.4 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma conexao.

Prova: Se V e uma vizinhanca coordenada de M , dadas n3 funcoes arbitrarias Γkij ∈ C∞ (V ), a formula (7.3)define uma conexao em V , vista como subvariedade de M . Se Vα e uma cobertura de M por vizinhancascoordenadas, cada uma com uma conexao ∇α definida, entao podemos definir uma conexao global em M ,usando uma particao da unidade ρα subordinada a esta cobertura, por

∇XY =∑α

ρα∇αXY.

As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencaoespecial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem desatisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso casotemos

∇X (fY ) =∑α

ρα∇αX (fY ) =∑α

ρα [(Xf)Y + f∇αXY ]

= (Xf)Y∑α

ρα + f∑α

ρα∇αXY

= (Xf)Y + f∇XY.

7.5 Exemplo (Conexao Euclideana). Identificando espacos tangentes em Rn com o proprio Rn, vetorestangentes com vetores em Rn e campos vetoriais em Rn com aplicacoes suaves Rn −→ Rn, nos definimos aconexao euclideana ∇ : T (Rn)× T (Rn) −→ T (Rn) por

(∇XY )p = dYp (Xp) , (7.4)

ou seja, a derivada direcional do campo Y em p na direcao de Xp. Em coordenadas, usando a definicao dediferencial em Rn,

dYp (Xp) =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)ej ,

ou seja,

∇XY =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj. (7.5)

Outra maneira de obter a mesma expressao em coordenadas, usando a regra da cadeia,

dYp (Xp) (f) = Xp (f Y ) =

n∑i=1

Xi ∂ (f Y )

∂xi=

n∑i=1

Xin∑j=1

∂f

∂xj∂Y j

∂xi

=

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj(f) .


Em notacao mais sucinta, a expressao em coordenadas da conexao euclideana que obtemos a partir de (7.5)e

∇XY =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj. (7.6)

Segue de (7.3) e da observacao no inıcio da demonstracao da Proposicao 7.4 que a conexao euclideana e defato uma conexao com sımbolos de Christoffel Γkij = 0.

7.1.1 Derivada Covariante ao longo de Curvas

A existencia de uma conexao em uma variedade diferenciavel M permite derivar campos vetoriais ao longo decurvas na variedade. Em particular, e possıvel falar em aceleracao de uma curva e portanto de geodesicas e,eventualmente, curvatura. No proximo capıtulo veremos que uma metrica riemanniana define uma conexaounica em uma variedade riemanniana. Conexoes diferentes da conexao induzida pela metrica riemannianapermitem a definicao de estruturas geometricas em variedades diferenciaveis mais gerais que a dada pelametrica riemanniana; em particular, e possıvel falar de geodesicas sem uma nocao de metrica.

Veremos agora como a conexao permite definir uma nocao intrınseca de derivada de um campo vetorialao longo de uma curva na variedade.

7.6 Definicao. Seja γ : I −→ M uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M . Um campovetorial ao longo da curva γ e um campo vetorial diferenciavel V : I −→ TM tal que V (t) ∈ Tγ(t)Mpara todo t ∈ I.

O espaco vetorial dos campos vetoriais ao longo de uma curva γ e denotado T (γ).

7.7 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Existe uma unica corres-pondencia que associa a cada campo vetorial diferenciavel V ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→Mum outro campo diferenciavel

DV

dt

ao longo de γ tal queD

dt(αV + βW ) = α

DV

dt+ β

DW

dt,

D

dt(fV ) =

df

dtV + f

DV

dt

para todos os campos diferenciaveis V,W ao longo de γ, para todos os escalares α, β ∈ R e para toda funcaodiferenciavel f : I −→ R, e tal que, se V e induzido por um campo de vetores X ∈ T (M), ou seja, V = X γ,entao

DV

dt= ∇γ′(t)X.

Localmente,

DV

dt=

n∑k=1

dV kdt

+

n∑i,j=1

dγi

dtΓkijV

j

∂k, (7.7)

Prova: Observe que para a expressao ∇γ′(t)X fazer sentido, devemos entender o subescrito γ′ (t) nestesımbolo como qualquer extensao local do campo γ′ (t) a um campo em M , ja que pela Proposicao 7.2 soimporta o valor da extensao em γ (t), isto e, o vetor tangente γ′ (t), e o valor de X em uma curva tangentea γ′ (t) em γ (t), que pode ser tomada como sendo a propria curva γ.

Vamos provar primeiro a unicidade deDV

dt. Suponha que exista um tal campo

DV

dtsatisfazendo todas

as propriedades do enunciado. Seja

V (t) =

n∑j=1

V j (t) ∂j |t


a expressao local do campo V . Pelas primeiras duas propriedades do enunciado, temos

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑j=1

dV j

dt(t) ∂j |t +

n∑j=1

V j (t)D∂jdt

∣∣∣∣t

.

Pela terceira propriedade,

D∂jdt

∣∣∣∣t

=(∇γ′(t)∂j

)t

=(∇∑n

i=1dγi

dt (t)∂i∂j

)t

=

n∑i=1

dγi

dt(t) ∇∂i∂j |t .

Portanto, localmente o campoDV

dtse escreve na forma

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑k=1

dV kdt

(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γkij (t)V j (t)

∂k|t , (7.8)

o que mostra que o campoDV

dte unicamente determinado.

Para determinar a existencia deDV

dt, dada uma carta (ϕ,U) para uma vizinhanca de γ (t), defina o

campoDV

dtem ϕ (U) pela expressao (7.7); e imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz

todas as propriedades do enunciado. O operador

D

dt: T (γ) −→ T (γ)

e portanto um operador linear e uma derivacao.

7.8 Definicao. O campo diferenciavelDV

dte chamado a derivada covariante de V ao longo da curva γ.

7.1.2 Transporte Paralelo

7.9 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Um campo vetorial diferenciavelV ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→M e chamado um campo paralelo ao longo de γ se

DV

dt≡ 0.

Um campo vetorial X ∈ T (M) e chamado um campo paralelo se ele e paralelo ao longo de qualquer curva.

Pela Proposicao 7.7, a derivada covariante (∇XY )p e a derivada covariante do campo Yγ(t) restricao docampo Y a curva γ no ponto t = 0 onde γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Portanto, um campo vetorial Y ∈ T (M) eparalelo se e somente se

∇XY = 0

para todo campo X ∈ T (M).

7.10 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Seja γ : I −→M uma curvadiferenciavel e V0 ∈ Tγ(t0)M , t0 ∈ I. Entao existe um unico campo paralelo V definido ao longo de γ tal queVt0 = V0.


Prova: Usando a expressao (7.8), a existencia local do campo V (t) satisfazendoDV

dt= 0 para todo t e

V (t0) = V0 corresponde a uma solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais

dV 1

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γ1

ij (t)V j (t) = 0

...

dV n

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γnij (t)V j (t) = 0

com condicao inicialV 1 (t0) = V 1

0 , . . . , Vn (t0) = V n0 .

Se γ (I) esta inteiramente contida em uma vizinhanca coordenada, entao o teorema de existencia e unicidadepara equacoes diferenciais lineares garante a existencia de um unico campo V definido em todo o intervaloI. Caso contrario, como γ (I) e um conjunto compacto, ela pode ser coberta por um numero finito devizinhancas coordenadas, em cada uma das quais V pode ser definido de maneira unica usando o raciocınioacima e esta unicidade garante que o campo e o mesmo nas intersecoes das vizinhancas.

Este resultado, juntamente com as propriedades de EDOs lineares, permite definir um isomorfismocanonico (independente de bases) entre os espacos tangentes Tγ(s)M e Tγ(t)M atraves da conexao da varie-dade:

7.11 Definicao. O campo V obtido na Proposicao 7.10 e chamado o transporte paralelo de V0 ao longode γ.

A aplicacao transporte paralelo (tambem chamada a holonomia da curva γ) e o isomorfismo linear

Pt : Tγ(t0)M −→ Tγ(t)M

definida em cada vetor V0 ∈ Tγ(t0)M porPt (V0) = Vt,

isto e, Pt (V0) e o transporte paralelo do vetor V0 ao longo da curva γ.

Quando necessario, para s, t ∈ I denotaremos a aplicacao transporte paralelo de vetores em Tγ(s)M paravetores em Tγ(t)M por

Ps→t : Tγ(s)M −→ Tγ(t)M.

A aplicacao transporte paralelo e linear porque o transporte paralelo e dado pela solucao de um sistema deequacoes diferenciais lineares. Por unicidade, ela e um isomorfismo com

P−1s→t = Pt→s,

e da unicidade de solucao para um sistema de EDOs segue tambem que

P0→0 = id,

Pr→t Ps→r = Ps→t.

Em geral, o transporte paralelo de um vetor V em TpM para um vetor em TqM dependera da curva γligando p e q usada; isto e, se γ1, γ2 : I −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

γ1 (s) = γ2 (s) = p,

γ1 (t) = γ2 (t) = q,

entao em geralP γ1s→t (V ) 6= P γ2s→t (V )

para todo V ∈ TpM . O transporte paralelo e o mesmo, independente do caminho utilizado para ir de p ateq, se e somente se a curvatura for nula, como veremos.


7.1.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante

Atraves do transporte paralelo, podemos dar uma interpretacao geometrica para a derivada covariante.

7.12 Proposicao (Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante). Seja M uma variedade di-ferenciavel com uma conexao ∇. Dado um campo X ∈ T (M), seja γ : I −→ M uma curva diferenciavelsatisfazendo γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Se Y ∈ T (M), entao

(∇XY )p = limt→0

P−1t

(Yγ(t)

)− Yp

t=

d

dtP−1t

(Yγ(t)

)∣∣∣∣t=0

.

Prova: Seja B = E1, . . . , En uma base para TpM . Como a aplicacao transporte paralelo e um isomorfismo,

Bt = Pt (E1) , . . . , Pt (En)

e uma base de Tγ(t)M para todo t ∈ I. Como a aplicacao transporte paralelo e linear, se escrevermos ocampo Y em relacao ao referencial suave Bt na forma

Yγ(t) =

n∑i=1

Y i (t)Pt (Ei) ,

segue que

P−1t

(Yγ(t)

)=

n∑i=1

Y i (t)Ei.

Logo,

d

dtP−1t

(Yγ(t)

)∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)Ei.

Por outro lado, pela Proposicao 7.7, a derivada covariante calculada em p (∇XY )p e a derivada covariantedo campo Yγ(t) restricao do campo Y a curva γ no ponto t = 0 onde γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Logo,

(∇XY )p =D

dt

(n∑i=1

Y i (t)Pt (Ei)

)∣∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)P0 (Ei) +

n∑i=1

Y i (t)D

dt(Pt (Ei))

∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)Ei,

onde usamos o fato queD

dt(Pt (Ei)) = 0 porque os campos Pt (E1) , . . . , Pt (En) sao paralelos ao longo de γ.

7.1.4 Geodesicas

7.13 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Dizemos que uma curva dife-renciavel γ : I −→M e uma geodesica se

Dγ′

dt(t) = 0

para todo t ∈ I.


Em outras palavras, uma geodesica e uma curva cujo campo velocidade e paralelo ao longo da curva (umacurva que transporta paralelamente o seu proprio vetor tangente). Ou seja, uma geodesica e uma curva quenao muda de direcao. As vezes, por abuso de linguagem, a imagem γ (I) de uma geodesica γ tambem echamada geodesica.

7.14 Teorema (Teorema de Existencia e Unicidade de Geodesicas). Seja M uma variedade dife-renciavel com uma conexao ∇. Entao para todos p ∈M e v ∈ TpM , e para cada t0 ∈ R, existe um intervaloaberto I ⊂ R contendo t0 e uma unica geodesica γ : I −→M tal que γ (t0) = p e γ′ (t0) = v.

Prova: Seja V uma vizinhanca coordenada de p, e(x1, . . . , xn

)suas coordenadas. Por (7.7), uma curva

γ (t) = x (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

)e uma geodesica se e somente se as suas componentes satisfazem o sistema de equacoes diferenciais ordinariasde segunda ordem nao linear (quasilinear), chamado a equacao geodesica,

d2xk

dt2+

n∑i,j=1

Γkijdxi

dt

dxj

dt= 0, k = 1, . . . , n. (7.9)

Este sistema de segunda ordem pode ser transformado num sistema de primeira ordem introduzindo as nequacoes de primeira ordem

vk =dxk

dt, k = 1, . . . , n,

de modo que estas equacoes juntamente com

dvk

dt+

n∑i,j=1

Γkijvivj = 0, k = 1, . . . , n,

formam um sistema linear de primeira ordem equivalente ao primeiro. O resultado segue entao do teoremade existencia e unicidade para solucoes de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeiraordem.

7.1.5 Derivada Covariante Total

A derivada covariante ∇ : T (M)× T (M) −→ T (M) nao e um tensor pois (∇XY )p nao depende apenas deXp e Yp, mas de Xp e do valor de Y em uma vizinhanca de p. No entanto, se considerarmos o operadorderivada covariante total

∇ : T (M) −→ HomC∞(M) (T (M) ,T (M)) ,

definido por∇Y (X) = ∇XY,

pois a aplicacao ∇Y para cada Y fixo e uma aplicacao linear em T (M) sobre C∞ (M), segue que ∇Y e um(1, 1)-tensor. Lembramos a observacao que se segue a Definicao 7.9:

7.15 Proposicao (Significado da Derivada Covariante Total Nula). Um campo X ∈ T (M), e paralelose e somente se

∇X = 0.


7.2 Conexao nos Fibrados Tensoriais e Derivada Covariante deCampos Tensoriais

Por definicao, uma conexao em uma variedade diferenciavel M e uma maneira de calcular derivadas covari-antes de campos vetoriais. Esta conexao permite tambem definir derivadas covariantes para todos os campostensoriais de M .

7.16 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao existe uma unica conexao

∇ : T (M)× Tkl (M) −→ Tkl (M)

em cada Tkl (M) tal que(i) Em T1 (M) = T (M), ∇ coincide com a conexao dada.(ii) Em T0 (M) = C∞ (M),

∇Xf = Xf.

(iii) ∇ satisfaz a regra do produto com relacao a produtos tensoriais:

∇X (F ⊗G) = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) .

(iv) ∇ comuta com todos os tracos: se tr denota o traco com relacao a qualquer par de ındices, entao

∇X (trF ) = tr (∇XF ) .

Alem disso, esta conexao satisfaz tambem as propriedades adicionais:(a) Para todos Y ∈ T (M) e ω ∈ T1 (M) vale

∇X [ω (Y )] = (∇Xω) (Y ) + ω (∇XY ) .

(b) Para todos T ∈ Tkl (M), Xi ∈ T (M) e ωj ∈ T1 (M) vale

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

Prova: Dividiremos a demonstracao deste resultado em passos.Passo 1. Se existe uma conexao que satisfaz as propriedades (i)-(iv), entao ela necessariamente satisfaz(a)-(b).

De fato, (a) segue de (iii) e (iv):

∇X [ω (Y )] = ∇X tr (ω ⊗ Y )

= tr∇X (ω ⊗ Y )

= tr (∇Xω ⊗ Y ) + tr (ω ⊗∇XY )

= ∇Xω (Y ) + ω (∇XY ) .

Para provar (b), procedemos por inducao separadamente sobre k e l. O caso (k, l) = (0, 1) segue de (a)e (ii):

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= X (ω (Y ))− ω (∇XY ) .


Da mesma forma, o caso (k, l) = (1, 0) segue de (a) e de (ii) (usando a definicao da aplicacao de um vetor aum covetor via a dualidade entre V e o bidual V ∗∗):

(∇XY ) (ω) = ω (∇XY )

= ∇X [ω (Y )]− (∇Xω) (Y )

= X [ω (Y )]− Y (∇Xω) .

Agora assuma que (b) vale para todos os inteiros p < k, q < l. Mostraremos que isso implica que (b) valepara k, l. Como todo T ∈ Tkl (M) se escreve na forma

T =

n∑i,j=1

Fi ⊗Gj

para alguns Fi ∈ Tpq (M) e Gj ∈ T11 (M), onde p = k− 1 e q = l− 1, pela linearidade da conexao e suficiente

provar o resultado paraT = F ⊗G

com F ∈ Tpq (M) e G ∈ T11 (M). Por (iii),

∇XT = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) ,

donde

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= [(∇XF )⊗G](X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ [F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= (∇XF )(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

+ F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)

(∇XG)(Xk, ω

l).

Mas

(∇XF )(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

= X(F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1))G(Xk, ω

l)

−k−1∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

−l−1∑j=1

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

e

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)

(∇XG)(Xk, ω

l)

= F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)X(G(Xk, ω

l))

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(∇XXk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk,∇Xωl

).


Portanto,

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1))G(Xk, ω

l)

+ F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)X(G(Xk, ω

l))

−k−1∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(∇XXk, ω

l)

−l−1∑j=1

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk,∇Xωl

)= X

[F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)]

−k−1∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . , ωl−1, ωl)

− (F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1,∇XXk, ω

1, . . . , ωl−1, ωl)

−l−1∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1, ωl)

− (F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . , ωl−1,∇Xωl)

= X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]

−k∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l−1∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

= X(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l−1∑j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl).

Passo 2. Existencia.Defina ∇ : T (M) × Tkl (M) −→ Tkl (M) por (b) (o que inclui (a), como visto acima). Mostraremos que

∇ e uma conexao e satisfaz todas as propriedades (i)-(iv).Inicialmente, as propriedades de uma conexao:

(1) ∇fX+gY T = f∇XT + g∇Y T.Primeiro, para campos covetoriais: para todo Z vale

(∇fX+gY ω) (Z) = (fX + gY ) (ω (Z))− ω (∇fX+gY Z)

= fX (ω (Z)) + gY (ω (Z))− ω (f∇XZ + g∇Y Z)

= fX (ω (Z)) + gY (ω (Z))− fω (∇XZ)− gω (∇Y Z)

= f [X (ω (Z))− ω (∇XZ)] + g [Y (ω (Z))− ω (∇Y Z)]

= f∇Xω (Z) + g∇Y ω (Z) ,


logo∇fX+gY ω = f∇Xω + g∇Y ω.

Para T ∈ Tkl (M) temos

(∇fX+gY T )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= (fX + gY )(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇fX+gYXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇fX+gY ωj , . . . , ωl

).

Como

(fX + gY )(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

= fX(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

+ gY(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)),

T(X1, . . . ,∇fX+gYXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= T(X1, . . . , f∇XXi + g∇YXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= fT(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ gT(X1, . . . ,∇YXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

e

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇fX+gY ωj , . . . , ωl

)= T

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , f∇Xωj + g∇Y ωj , . . . , ωl)

= fT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

+ gT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Y ωj , . . . , ωl),

segue o resultado.(2) ∇X (T + S) = ∇XT +∇XS.

E obvio da definicao.(3) ∇X (fT ) = f∇XT + (Xf)T.

Note que esta regra do produto e um caso especial de (iii). Primeiro, para campos covetoriais: para todoZ vale

[∇X (fω)] (Z) = X [(fω) (Z)]− (fω) (∇XZ)

= X [fω (Z)]− fω (∇XZ)

= (Xf)ω (Z) + fX (ω (Z))− fω (∇XZ)

= (Xf)ω (Z) + f [∇Xω] (Z) ,

logo∇X (fω) = f∇Xω + (Xf)ω.


Para T ∈ Tkl (M) temos

(∇XfT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(fT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

(fT )(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

(fT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

= (Xf)T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ fX(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

(fT )(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

(fT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

donde segue o resultado.Agora provemos as propriedades (i)-(iv).

(i) Por definicao, assumindo (ii) (provada logo a seguir) e por (a)

(∇XY ) (ω) = X [ω (Y )]− Y (∇Xω)

= ∇X [ω (Y )]− (∇Xω) (Y )

= ω (∇XY )

de modo que ∇XY coincide com a conexao dada.(ii) Por definicao,

∇Xf = Xf.

(iii) Por definicao, se F ∈ Tkl (M) e G ∈ Tpq (M),

[∇X (F ⊗G)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

= X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)]

−k+p∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

−l+q∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q).

Pela regra do produto para campos vetoriais,

X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)]

= X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)]

= X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)X[G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)].


Temos tambem

k+p∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

=

k∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+

k+p∑i=k+1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

e

l+q∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q)

=

l∑j=1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+

l+q∑j=l+1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q).

Portanto,

[∇X (F ⊗G)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

=

X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]−

k∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)×G (Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)×X[G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)]

−k+p∑i=k+1

G(Xk+1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

−l+q∑j=l+1

G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q)

= (∇XF )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)∇XG

(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

= [(∇XF )⊗G](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

+ [F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

= [(∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q).

(iv) Para provar esta propriedade, estabeleceremos primeiro uma formula para ∇XT em coordenadas. Se

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jj


e

X =

n∑m=1

Xm∂m,

entao

∇XT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

= ∇∑Xm∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

=

n∑m=1

Xm (∇∂mT )(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

=

n∑m=1

Xm (∇∂mT )j1...jli1...ik

e a expressao em coordenadas para a derivada covariante de um campo tensorial, como veremos na Proposicao7.21, e

(∇∂mT )j1...jli1...ik

= ∂mTj1...jli1...ik

−k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir +

l∑s=1

n∑p=1

Tj1...js−1pjs+1...jli1...ik

Γjsmp. (7.10)

Seja F ∈ Tkl (M), de modo que trF ∈ Tk−1l−1 (M). Por linearidade e suficiente provar que

[∇∂m (trF )](∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl−1)

= [tr (∇∂mF )](∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl−1),

isto e, que[∇∂m (trF )]

j1...jl−1

i1...ik−1= [tr (∇∂mF )]

j1...jl−1

i1...ik−1.

Escrevendo

F =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl ,

temos, assumindo que o traco e tomado em relacao aos ındices p, q,

(trF )j1...jl−1

i1...ik−1=

n∑u=1

Fj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1.

Logo,

[∇∂m (trF )]j1...jl−1

i1...ik−1

= ∂m (trF )j1...jl−1

i1...ik−1−

k∑r=1

n∑p=1

(trF )j1...jli1...ir−1pir+1...ik

Γpmir +

l∑s=1

n∑p=1

(trF )j1...js−1pjs+1...jli1...ik

Γjsmp

=

n∑u=1

∂mFj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1−

k∑r=1

n∑p=1

n∑u=1


i1...ip−1uip...ir−1pir+1...il−1Γpmir

+

l∑s=1

n∑p=1

n∑u=1

Fj1...jq−1ujq...js−1pjs+1...jk−1

i1...ip−1uip...il−1Γjsmp


e

[tr (∇∂mF )]j1...jl−1

i1...ik−1

=

n∑u=1

(∇∂mF )j1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1

=

n∑u=1

∂mFj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1−

n∑u=1

k∑r=1

n∑p=1


i1...ip−1uip...ir−1pir+1...il−1Γpmir

+

n∑u=1

l∑s=1

n∑p=1

Fj1...jq−1ujq...js−1pjs+1...jk−1

i1...ip−1uip...il−1Γjsmp.

Comparando as expressoes, vemos que elas sao identicas.Passo 3. Unicidade.

Se existir uma conexao ∇ : T (M)×Tkl (M) −→ Tkl (M) que satisfaz (i)-(iv), entao ela tambem satisfazera(a)-(b), logo sera igual a conexao definida no Passo 2. De agora em diante, quando nos referirmos a uma conexao em uma variedade diferenciavel M , estaremosnos referindo a conexao do lema, definida em todas os fibrados tensoriais da variedade.

7.17 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana e ω um campo covetorial em M . Entao

∇Xω =

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk. (7.11)

Em particular,

∇∂idxj = −n∑k=1

Γjikdxk. (7.12)


Prova: De fato,

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= ∇X

[ω

(n∑k=1

Y k∂k

)]− ω

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k

= X

[n∑k=1

Y kω (∂k)

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ω (∂k)

= X

[n∑k=1

Y kωk

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ωk

=

n∑k=1

[X(Y k)ωk + Y kX (ωk)

]−

n∑k=1

X(Y k)ωk +

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij

=

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij =

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY kωjΓjik

=

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

Y k

=

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk (Y ) .

7.3 Derivada Covariante Total

Assim como em Rn temos as nocoes de derivada e derivada direcional de uma aplicacao, em variedades temosa nocao de derivada covariante total de um campo tensorial (secao do fibrado tensorial) e derivada covariantede um campo tensorial na direcao de um campo vetorial (como acabamos de ver).

7.18 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Dado um campo (k, l)-tensorial T ∈ Tkl (M), a derivada covariante total de T e o campo (k + 1, l)-tensorial

∇T : T1 (M)× . . .× T1 (M)× T1 (M)× . . .× T1 (M) −→ C∞ (M)

definido por∇T

(Y1, . . . , Yk, X, ω

1, . . . , ωl)

= ∇XT(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl). (7.13)

O nome derivada covariante pode ser agora compreendido: a derivada covariante total de um tensor aumentaem um a sua ordem covariante.

7.19 Definicao. Dizemos que um tensor T ∈ Tkl (M) e paralelo se ∇T = 0.

7.20 Notacao. Seja

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl


um campo (k, l)-tensorial. Entao temos duas notacoes bastante difundidas para escrever a expressao emcoordenadas da derivada covariante total de T :

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

∇mT j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl (7.14)

e

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

T j1...jli1...ik;mdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl (7.15)

Isto e, cada componente do campo (k + 1, l)-tensorial derivada covariante total e denotado por

∇mT j1...jli1...ik= T j1...jli1...ik;m. (7.16)

Por exemplo, se

X =

n∑i=1

Xi∂i,

entao

∇X =

n∑i,j=1

∇jXidxj ⊗ ∂i =

n∑i,j=1

Xi;jdx

j ⊗ ∂i. (7.17)

7.21 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao as componentesda derivada covariante total em um sistema de coordenadas sao dadas por

∇mT j1...jli1...ik= T j1...jli1...ik;m = ∂mT

j1...jli1...ik

+

l∑s=1

n∑p=1


Γjsmp −k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir . (7.18)

Em particular, em coordenadas normais,

∇mT j1...jli1...ik(p) = ∂mT

j1...jli1...ik

(p) .

Prova: Por definicao,

T j1...jli1...ik;m

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂m, dx

j1 , . . . , dxjl)

= (∇∂mT )(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

= ∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)−

k∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂m∂ir , . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)−

l∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂mdxjs , . . . , dxjl)


−k∑r=1

T

(∂i1 , . . . ,

n∑p=1

Γpmir∂p, . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)

−l∑

s=1

T

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,−n∑p=1

Γjsmpdxp, . . . , dxjl

)


−k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir +

l∑s=1

n∑p=1


Γjsmp.


Em coordenadas normais, os coeficientes de Christoffel em p se anulam. Por exemplo, para uma funcao real:

∇if = f;i = ∂if ;

para um campo vetorial (campo 1-tensorial contravariante)

∇jXi = Xi;j = ∂jX

i +

n∑p=1

XpΓijp;

para um campo covetorial (campo 1-tensorial covariante)

∇jωi = ωi;j = ∂jωi −n∑p=1

ωpΓpij ;

para um campo 2-tensorial covariante:

∇kTij = Tij;k = ∂kTij −n∑p=1

TpjΓpik −

n∑p=1

TipΓpjk;

para um campo (3, 1)-tensorial:

∇mRlijk = Rlijk;m = ∂mRlijk +

n∑p=1

RpijkΓlpm −n∑p=1

RlpjkΓpim −n∑p=1

RlipkΓpjm −n∑p=1

RlijpΓpkm;

e para um campo 4-tensorial covariante:

∇mRijkl = Rijkl;m = ∂mRijkl −n∑p=1

RpjklΓpim −

n∑p=1

RipklΓpjm −

n∑p=1

RijplΓpkm −

n∑p=1

RijkpΓplm.

7.22 Proposicao (Regra do Produto). Vale

∇m(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

)=(∇mF j1...jli1...ik

)Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

(∇mG

jl+1...jl+qik+1...ik+p

).

Prova: Seja T = F ⊗G, de modo que


= F j1...jli1...ikGjl+1...jl+qik+1...ik+p

.

Daı,

∇mTj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , ∂m, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= ∇∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= ∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)−k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)−

l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q).


Como

∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)= ∂m

(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

)=(∂mF

j1...jli1...ik


+ F j1...jli1...ik

(∂mG


),

k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)= −

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

k+p∑r=k+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= −

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

−k+p∑r=k+1

F j1...jli1...ikG(∂ik+1


)e

l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

=−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

l+q∑s=l+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q)

=−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl


−l+q∑s=l+1

F j1...jli1...ikG(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q),


segue que

∇mTj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

=

[∂mF

j1...jli1...ik

−k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)]Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

[∂mG


−k+p∑r=k+1

G(∂ik+1


)−

l+q∑s=l+1

G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q)]

=(∇mF j1...jli1...ik


+ F j1...jli1...ik

(∇mG


).

Este resultado justifica a notacao ∇m.

7.4 Exercıcios

7.23 Exercıcio. Prove que a aplicacao transporte paralelo e um isomorfismo.

7.24 Exercıcio. Seja Mn uma variedade diferenciavel com conexao ∇. Se γ e uma curva fechada com pontoinicial e final p, a aplicacao transporte paralelo ao longo de γ (holonomia de γ) e um automorfismo linearde TpM que denotaremos por Pγ . O grupo de holonomia de ∇ baseado em p e o subgrupo de GL (n,R)definido por

Holp (∇) = Pγ ∈ GL (n,R) : γ e uma curva fechada baseada em p .

Prove que:(a) Holp (∇) e um grupo.(b) Se M e conexa, entao Holp (∇) depende do ponto base p a menos de conjugacao, de modo que

Holp (∇) e Holq (∇) sao isomorfos para todos p, q ∈ M . Isso permite definir o grupo de holonomia Hol(∇)de M .

7.25 Exercıcio. Mostre que se M e uma subvariedade de RN , entao a componente tangente da conexaoeuclidiana define uma derivada covariante em M .

Capıtulo 8

Variedades Metricas

8.1 Definicao e Exemplos

8.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma metrica (ou tensor metrica)de ındice k em M e um campo tensorial diferenciavel 2-covariante g tal que gp e um produto interno com omesmo ındice k para todo p ∈M .

Uma variedade diferenciavel M com uma metrica g dada e chamada uma variedade metrica.Se g e um produto interno positivo definido (ou seja, se o seu ındice e 0), dizemos que g e uma metrica

riemanniana e M e uma variedade riemanniana.Se o ındice de g e diferente de zero, dizemos que g e uma metrica semi-riemanniana e M e uma

variedade semi-riemanniana.Se g e um produto interno de Lorentz (ou seja, se o ındice e 1), dizemos que g e uma metrica de Lorentz

e M e uma variedade de Lorentz.

Em outras palavras, uma metrica em M e uma aplicacao que associa a cada ponto p ∈ M um produtointerno

gp = 〈·, ·〉pno espaco tangente TpM que varia diferenciavelmente com p no sentido de que se ϕ : U −→ V e uma carta

para uma vizinhanca coordenada de M e Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

e a base coordenada de TpM associada a

esta carta para cada p ∈ U , entao as funcoes gij : U −→ R

gij (p) =⟨∂i|p , ∂j |p

⟩p

(8.1)

sao diferenciaveis. De fato, escrevendo o tensor metrica em coordenadas, temos

gp = gij (p) dxi∣∣p⊗ dxj

∣∣p, (8.2)

e as funcoes componentes gij do tensor metrica g sao diferenciaveis para toda parametrizacao ϕ se e somentese g e diferenciavel.

Omitindo o sımbolo do ponto de atuacao p, como frequentemente faremos, escrevemos simplesmente

gij = 〈∂i, ∂j〉 (8.3)

e notamos que a simetria do tensor metrica implica que

gij = gji. (8.4)

103


Em particular, quando consideramos a matriz

G = (gij) (8.5)

segue que G e uma matriz simetrica. Observe que devido a simetria existem apenas

n (n+ 1)

2

componentes potencialmente distintos do tensor metrica, ao inves dos n2 componentes distintos para umtensor 2-covariante geral.

Usando o produto simetrico de tensores (veja Capıtulo 9), que no caso de covetores e simplesmente

ωη :=1

2(ω ⊗ η + η ⊗ ω) (8.6)

e a simetria do tensor metrica, podemos escrever a expressao

g = gijdxi ⊗ dxj

na forma mais familiarg = gijdx

idxj , (8.7)

ja que

g = gijdxi ⊗ dxj =

1

2(gij + gji) dx

i ⊗ dxj

=1

2gijdx

i ⊗ dxj +1

2gjidx

i ⊗ dxj

=1

2gijdx

i ⊗ dxj +1

2gijdx

j ⊗ dxi (permutando os ındices i, j)

= gij1

2

(dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi

)= gijdx

idxj .

Estritamente falando, uma variedade metrica e um par (M, g), onde M e uma variedade diferenciavele g a metrica riemanniana, ja que uma mesma variedade diferenciavel pode admitir diferentes metricasriemannianas, como veremos no decorrer deste texto. Contudo, quando nao houver perigo de confusao, nosvamos nos referir a variedade riemanniana simplesmente por M .

8.2 Exemplo (Metrica Euclidiana). A variedade riemanniana mais simples e o espaco euclidiano Rncom a metrica euclidiana gij = δij , que denotaremos En.

8.3 Exemplo (Metrica Semieuclidiana). A variedade semi-riemanniana mais simples de ındice k e oespaco semi-euclidiano Rn com a metrica semieuclidiana gij = ηkij , que denotaremos Mn

k .

8.4 Exemplo (Metrica de Lorentz). A variedade de Lorentz mais simples de ındice 1 e o espaco deMinkowski n-dimensional Rn, n > 2, com a metrica de Lorentz gij = ηij . Denotaremos este espacopor Mn, enquanto que o espacotempo de Minkowski da relatividade especial M4 continuara a ser denotadogeralmente apenas por M.

8.5 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma metrica riemanniana.

Prova: Seja ϕα, Uα um atlas para M e ρα uma particao da unidade de M subordinada a coberturaUα.


Em cada Vα podemos definir uma metrica riemanniana, aquela induzida pela carta: dados p ∈ M e

vetores v, w ∈ TpM , eles se escrevem em coordenadas com relacao a base Bp =∂1|p , . . . , ∂n|p

associada

a carta ϕα porv = vi ∂i|p e w = wj ∂j |p

e definimos o produto interno〈v, w〉α,p = viwi.

Esta e uma metrica riemanniana na subvariedade Vα com gαij = δij . Para obter uma metrica riemannianaglobal em M , usamos a particao da unidade, definindo

〈v, w〉p =∑α∈A

ρα (p) 〈v, w〉α,p .

De fato, esta soma e finita em uma vizinhanca de p, portanto define um tensor diferenciavel em M ; alemdisso, como uma combinacao linear finita positiva de produtos internos e um produto interno, ela define umproduto interno em TpM .

Observe que a demonstracao acima nao funciona para metricas semi-riemannianas. De fato, uma com-binacao linear finita de metricas semi-riemannianas, mesmo positiva, nao e necessariamente uma metricasemi-riemanniana. Por exemplo, a soma das metricas semi-riemannianas em R4

〈v, w〉1 = v1w1 + v2w2 − v3w3 − v4w4,

〈v, w〉2 = −v1w1 − v2w2 + v3w3 + v4w4,

e o tensor nulo. Mais ainda, a soma das metricas de Lorentz em R4

〈v, w〉1 = −v1w1 + v2w2 + v3w3 + v4w4,

〈v, w〉2 = v1w1 − v2w2 + v3w3 + v4w4,

e o tensorT (v, w) = 2 (v3w3 + v4w4) ,

que e degenerado, pois se v0 = (1, 1, 0, 0), entao

T (v0, w) = 0

para todo w ∈ R4. A realidade e que existem variedades diferenciaveis que nao admitem metricas semi-riemannianas. Por exemplo, e possıvel provar, usando tecnicas de Topologia Diferencial, que esferas dedimensao par nao admitem metricas de Lorentz (em particular S4 nao pode ser uma variedade de Lorentz; oespacotempo nao pode ser uma esfera 4-dimensional); mais geralmente, e possıvel provar que toda variedadediferenciavel compacta de dimensao ımpar possui uma metrica de Lorentz e que uma variedade diferenciavelcompacta de dimensao par admite uma metrica de Lorentz se e somente se ela tem caracterıstica de Euler nula(veja [Steenrod], Theorem 40.13, p. 207). Por outro lado, todas as variedades diferenciaveis nao compactasadmitem metricas de Lorentz (veja [BEE], p. 50).

8.6 Exemplo (Metrica Produto). Se (M1, g1) e (M2, g2) sao duas variedades metricas, entao definimosa metrica produto g = g1 ⊕ g2 na variedade produto M1 ×M2 por

〈(v1, v2) , (w1, w2)〉(p1,p2) = 〈v1, w1〉p1 + 〈v2, w2〉p2 (8.8)

para todos (v1, v2) , (w1, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2∼= T(p1,p2) (M1 ×M2). E facil ver que g e simetrica. Para

verificar a sua nao-degenericidade, suponha que

〈(v1, v2) , (w1, w2)〉(p1,p2) = 0


para todo (w1, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2. Entao em particular

〈(v1, v2) , (0, w2)〉(p1,p2) = 0,

〈(v1, v2) , (w1, 0)〉(p1,p2) = 0.

para todos w1 ∈ Tp1M1 e para todo w2 ∈ Tp2M2. Como

〈(v1, v2) , (0, w2)〉(p1,p2) = 〈v1, 0〉p1 + 〈v2, w2〉p2 = 〈v2, w2〉p2 ,

〈(v1, v2) , (w1, 0)〉(p1,p2) = 〈v1, w1〉p1 + 〈v2, 0〉p2 = 〈v1, w1〉p1 ,

segue que〈v1, w1〉p1 = 0

para todo w1 ∈ Tp1M1 e〈v2, w2〉p2 = 0

para todo w2 ∈ Tp2M2, e a nao-degenericidade de g1, g2 implica que

v1 = v2 = 0.

Observe que a matriz associada a metrica G e a matriz diagonal em blocos

G =

[G1 00 G2

]=

[(g1)ij 0

0 (g2)ij

].

8.7 Definicao. Sejam M,N variedades metricas. Um difeomorfismo F : M −→ N e uma isometria se

〈v, w〉p = 〈dFpv, dFpw〉F (p) (8.9)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM . Se existir uma isometria entre M e N , dizemos que M e N saoisometricas.

Dizemos que M e N sao localmente isometricas se para todo p ∈ M existe uma vizinhanca Vp de pem M e uma isometria F : Vp −→ F (Vp) ⊂ N e reciprocamente para todo q ∈ N existe uma vizinhanca Wq

de q em N e uma isometria G : Wp −→ G (Wp) ⊂M .Dizemos que uma variedade metrica (M, g) e plana, se ela e localmente isometrica ao espaco euclidiano

ou ao espaco semi-euclidiano.

Observe que o conjunto das isometrias em uma variedade metrica possui uma estrutura natural de grupoem que o produto de isometrias e definido como a composicao das aplicacoes. Este grupo e denotado por

Isom (M) .

Observe que o pullback de um difeomorfismo F : M −→ N em que N e uma variedade semi-riemanniananao define necessariamente uma metrica semi-riemanniana em M , pois poderıamos ate mesmo ter (na piorhipotese) que TpM seja um subespaco de vetores nulos para o 2-tensor g = F ∗h. Por exemplo, isso eexatamente o que acontece na imersao F : R −→ Mn definida por F (t) = (t, t, x3, . . . , xn). Alem disso, seisso fosse verdade, pelo Teorema do Mergulho de Whitney, que afirma que toda variedade diferenciavel dedimensao n pode ser mergulhada em R2n (um mergulho e uma imersao injetiva), toda variedade diferenciavelteria uma metrica semi-riemanniana. g = F ∗h sera uma metrica semi-riemanniana em M se e somente seg|TpM e nao-degenerado e tem o mesmo ındice para todo p ∈M .

8.8 Exemplo. O grupo de isometrias de En consiste das composicoes de operadores ortogonais e translacoes.O grupo de isometrias de M e o grupo de Poincare.


E facil ver que isometria e uma relacao de equivalencia na classe das variedades metricas. GeometriaRiemanniana e principalmente o estudo das propriedades que sao invariantes por isometrias. Uma excelentereferencia para o estudo de grupos de isometrias de variedades riemannianas e [Kobayashi].

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N entre variedades diferenciaveis e uma imersao sedFp e injetiva para todo p ∈M .

8.9 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, (N,h) uma variedade riemanniana e F : M −→ Numa imersao. A metrica induzida por F em M (tambem chamada a metrica do pullback), denotadapor

g = F ∗h,

e definida por〈v, w〉p := 〈dFpv, dFpw〉F (p) (8.10)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM .

Com esta metrica definida em M , a imersao F torna-se uma imersao isometrica. Na linguagem dopullback, um difeomorfismo F entre duas variedades metricas (M, g) e (N,h) e uma isometria se

g = F ∗h.

8.10 Exemplo (Superfıcies n-dimensionais em RN ). Seja M ⊂ Rn+k uma variedade diferenciavel dedimensao n, isto e, uma superfıcie n-dimensional. A aplicacao inclusao i : M −→ Rn+k e uma imersao, demodo que, se assumirmos a metrica euclidiana em Rn+k, ela induz em M uma metrica riemanniana. Nestecaso, a inclusao passa a ser uma imersao isometrica. Daı, como a diferencial dip da inclusao e a inclusaonatural de TpM em Rn+k, segue que

〈v, w〉p = 〈v, w〉Rn+k (8.11)

onde 〈·, ·〉Rn+k e o produto interno canonico de Rn+k. Uma demonstracao alternativa de que toda variedadediferenciavel possui uma metrica riemanniana segue entao do Teorema do Mergulho de Whitney: a metricainduzida pela metrica euclidiana em Rn. Diferentes cartas podem ser usadas para a mesma superfıcie n-dimensional, cada uma dando origem a componentes gij mais ou menos simples.

Um exemplo de superfıcie n-dimensional e o grafico de uma funcao real. Se U ⊂ Rn e um aberto ef : U → R e uma funcao, entao o grafico de f

graf (f) = (x, f (x)) : x ∈ U

e uma variedade diferenciavel com a topologia induzida de Rn+1 de dimensao n. Uma carta global para ografico de f e ϕ : Rn −→ graf(f) definida por

ϕ(x1, . . . , xn

)=(x1, . . . , xn, f

(x1, . . . , xn

)).

Como

∂ϕk

∂xj=

δkj se k 6= n+ 1,∂f

∂xjse k = n+ 1,

ou seja,∂ϕ

∂xj(x) =

(0, . . . , 0, 1

j, 0, . . . 0,

∂f

∂xj(x)

)segue que

gij (x) =

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩(x,f(x))

=

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩Rn+1

= δij +∂f

∂xi∂f

∂xj. (8.12)


Outro exemplo de superfıcie 2-dimensional e uma superfıcie de revolucao gerada por uma curva. Espe-cificamente seja γ : I −→ R2, γ (t) = (α (t) , β (t)) uma curva parametrizada regular tal que β (t) 6= 0 paratodo t ∈ I; podemos imaginar γ contida no plano yz definindo

γ (t) = (0, α (t) , β (t)) .

Se girarmos esta curva ao redor do eixo z obteremos uma superfıcie parametrizada regular S. A imagem deS e a imagem da aplicacao ϕ : I × R −→ R3 dada por

ϕ (t, θ) = (α (t) cos θ, α (t) sen θ, β (t)) ;

a partir de ϕ podemos obter cartas locais restringindo o parametro θ a um intervalo aberto de comprimento2π. Daı,

∂ϕ

∂t(t, θ) = (α′ (t) cos θ, α′ (t) sen θ, β′ (t)) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ) = (−α (t) sen θ, α (t) cos θ, 0) ,

donde

g11 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂t(t, θ) ,

∂ϕ

∂t(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂t

⟩R3

= [α′ (t)]2

+ [β′ (t)]2,

g12 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂t(t, θ) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂θ

⟩R3

= 0,

g22 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂θ(t, θ) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂θ,∂ϕ

∂θ

⟩R3

= [α (t)]2.

Portanto

G (t, θ) =

[[α′ (t)]

2+ [β′ (t)]

20

0 [α (t)]2

].

8.11 Exemplo (Esfera). A metrica euclidiana induz uma metrica na esfera de raio r

Snr =x ∈ Rn+1 : ‖x‖2 =

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= r2

que chamaremos a metrica canonica de Snr . Denotaremos a esfera unitaria por Sn, simplesmente. Vamos veros coeficientes gij para diferentes cartas da esfera.

a) Como grafico de funcao:O hemisferio superior da esfera e o grafico da funcao f : Br ⊂ Rn −→ R dada por f

(x1, . . . , xn

)=√

r2 − (x1)2 − . . .− (xn)

2. Como

∂f

∂xi(x) =

−xi√r2 − ‖x‖2

,

segue que

gij (x) = δij +xixj

r2 − ‖x‖2. (8.13)

Similarmente para o hemisferio inferior. Estas cartas nao cobrem o equador da esfera.b) Como superfıcie de revolucao:A parametrizacao da esfera de raio r como superfıcie de revolucao e

(x, y, z) (φ, θ) = (r senφ cos θ, r senφ sen θ, r cosφ).


Segue que

G (φ, θ) =

[r2 00 r2 sen2 φ

].

c) Atraves da projecao estereografica:Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, r), a reta a partir de N que intercepta o

plano xn+1 = 0 em um ponto x =(x1, . . . , xn, 0

), intercepta a esfera em um ponto ϕ (x). Portanto, a carta

projecao estereografica a partir do polo norte ϕ : Rn −→ Snr \ N e definida por

ϕ (x) = N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, (1− t) r

)onde t > 0 e tal que ‖ϕ (x)‖ = r. Ou seja, t e tal que

t2 ‖x‖2 + (1− t)2r2 = r2,

donde

t =2r2

r2 + ‖x‖2.

Logo,

ϕ(x1, . . . , xn

)=

(2r2x1

r2 + ‖x‖2, . . . ,

2r2xn

r2 + ‖x‖2, r‖x‖2 − r2

r2 + ‖x‖2

), (8.14)

donde

∂ϕk

∂xj(x) =

2r2δkj

r2 + ‖x‖2− 4r2xjxk(

r2 + ‖x‖2)2 se k 6= n+ 1,

4r3xj(r2 + ‖x‖2

)2 se k = n+ 1.

Segue que as componentes do tensor metrica nas coordenadas dadas pela carta ϕ sao

gij (x) =

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩ϕ(x)

=

⟨n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi(x) ek,

n+1∑l=1

∂ϕl

∂xj(x) el

⟩Rn+1

=

n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi∂ϕl

∂xj〈ek, el〉Rn+1 =

n+1∑l=1

∂ϕk

∂xi∂ϕl

∂xjδkl =

n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi∂ϕk

∂xj

=

n∑k=1

2r2δki

r2 + ‖x‖2− 4r2xixk(

r2 + ‖x‖2)2

2r2δkj

r2 + ‖x‖2− 4r2xjxk(

r2 + ‖x‖2)2

+16r6xixj(r2 + ‖x‖2

)4

=

n∑k=1

4r4δkiδkj(r2 + ‖x‖2

)2 −8r4

(δkix

jxk + δkjxixk)(

r2 + ‖x‖2)3 +

16r4xixj(xk)2(

r2 + ‖x‖2)4

+16r6xixj(r2 + ‖x‖2

)4

=4r4δij(

r2 + ‖x‖2)2 −

16r4xixj(r2 + ‖x‖2

)3 +16r4xixj ‖x‖2(r2 + ‖x‖2

)4 +16r6xixj(r2 + ‖x‖2

)4

=4r4δij(

r2 + ‖x‖2)2 −

16r4xixj(r2 + ‖x‖2

)3 +16r4xixj(r2 + ‖x‖2

)3

=4r4δij(

r2 + ‖x‖2)2 .


Vamos anotar este resultado para futura referencia:

gij (x) =4r4(

r2 + ‖x‖2)2 δij . (8.15)

Observe que

G (x) =

4r4(r2 + ‖x‖2

)2

. . .

4r4(r2 + ‖x‖2

)2

=

4r4(r2 + ‖x‖2

)2 I.

Usando a projecao estereografica a partir do polo sul obtemos duas cartas que cobrem toda a esfera.

8.12 Exemplo (Espaco Hiperbolico). Considere o semiespaco superior de Rn

Hn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn : xn > 0

.

Com a topologia induzida como aberto de Rn, Hn e uma superfıcie diferenciavel de dimensao n. Se definirmosdiretamente em Hn a metrica

gij(x1, . . . , xn

)=

δij

(xn)2 , (8.16)

entao Hn e uma variedade riemanniana chamada o espaco hiperbolico n-dimensional. Observe que

G =

1

(xn)2

. . .1

(xn)2

=1

(xn)2 I.

8.13 Exemplo (Toros). O toro mergulhado em R3 e uma superfıcie de revolucao gerada pelo cırculo.Tomando o cırculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametrizacao γ (t) = (R+ r cos t, r sen t)obtemos a parametrizacao para o toro bidimensional como superfıcie de revolucao

ϕ (t, θ) = ((R+ r cos t) cos θ, (R+ r cos t) sen θ, r sen t)

cuja respectiva metrica e dada por

G (t, θ) =

[r2 0

0 (R+ r cos t)2

].

Outra metrica induzida de RN importante para o toro, nao localmente isometrica a metrica dada acima(como veremos depois) e a metrica plana do toro: considerando o toro como a superfıcie n-dimensionalTn = S1 × . . . × S1 ⊂ R2n, a metrica euclidiana de R2n induz uma metrica no toro da seguinte forma.Escrevendo

Tn = S1 × . . .× S1 =x ∈ R2n :

(x1)2

+(x2)2

=(x3)2

+(x4)2

= . . . =(x2n−1

)2+(x2n)2

= 1,

vemos que uma parametrizacao ϕ : Rn −→ Tn para este toro e dada por

ϕ (θ) = ϕ(θ1, . . . , θn

)=(cos θ1, sen θ1, . . . , cos θn, sen θn

).


Temos, portanto,

∂ϕk

∂θj(θ) =

− sen θj se k = 2j − 1,cos θj se k = 2j,0 se k 6= 2j − 1, 2j.

ou seja,∂ϕ

∂θj=

(0, . . . , 0,− sen θj

2j−1, cos θj

2j, 0, . . . 0

)Daı

gij (θ) =

⟨∂ϕ

∂θi(θ) ,

∂ϕ

∂θj(θ)

⟩ϕ(θ)

=

⟨∂ϕ

∂θi(θ) ,

∂ϕ

∂θj(θ)

⟩R2n

= δij , (8.17)

que sao os mesmos componentes da metrica euclidiana. Portanto, o toro plano e localmente isometrico aoplano Rn. Observe que considerando T2 como uma superfıcie de R3 ou como uma superfıcie de R4 defineduas metricas completamente diferentes para a mesma superfıcie.

8.2 Operacao de Subir ou Descer um Indice

Uma propriedade importante da metrica riemanniana e que ela permite converter vetores em covetores evice-versa. De fato, ela permite definir um isomorfismo entre os espacos T1 (M) de campos vetoriais de Me T1 (M) de campos covetoriais de M , chamado o isomorfismo musical. A escolha deste nome se refere aossımbolos escolhidos para denotar o isomorfismo e seu inverso, conforme veremos na definicao a seguir.

8.14 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Definimos o isomorfismo bemol

[ : T1 (M) −→ T1 (M)X 7→ X[

que leva X no covetor X[ definido por

X[ (Y ) = g (X,Y ) = 〈X,Y 〉 (8.18)

para todo Y . Seu inverso e o isomorfismo sustenido

] : T1 (M) −→ T1 (M)ω 7→ ω]

que leva o covetor ω no vetor ω] definido por

g(ω], Y

)=⟨ω], Y

⟩= ω (Y ) (8.19)

para todo Y .

Em coordenadas,

X[ (Y ) =

⟨n∑i=1

Xi∂i,

n∑j=1

Y j∂j

⟩=

n∑i,j=1

gijXiY j

=

n∑i,j=1

gijXidxj (Y ) ,

ou seja,

X[ =

n∑i,j=1

gijXidxj . (8.20)


Escrevendo os componentes do covetor X[ em coordenadas na forma

X[ =

n∑j=1

Xjdxj , (8.21)

segue que

Xj =

n∑i=1

gijXi. (8.22)

Diz-se que o covetor X[ e obtido a partir do vetor X descendo um ındice. Por este motivo esta operacao edenotada pelo sımbolo bemol, porque em partituras musicais o sımbolo bemol e usado para abaixar a alturada nota musical que lhe segue. Ja no caso do isomorfismo inverso, escrevendo em coordenadas o vetor ω] naforma

ω] =

n∑i=1

ωi∂i, (8.23)

segue que ⟨n∑k=1

ωk∂k, ∂j

⟩= ω (∂j) ,

donde

ωj =

n∑k=1

gkjωk.

Multiplicando pela matriz inversa gij , como

n∑i=1

gijn∑k=1

gjkωk =

n∑k=1

(n∑i=1

gijgjk

)ωk =

n∑k=1

δikωk = ωi,

segue que

ωi =

n∑j=1

gijωj . (8.24)

Diz-se que o vetor ω] e obtido a partir do covetor ω subindo um ındice. Por este motivo esta operacaoe denotada pelo sımbolo sustenido, porque em partituras musicais o sımbolo sustenido e usado para subir aaltura da nota musical que lhe segue.

O vetor gradiente e definido a partir da operacao de subir um ındice:

8.15 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dada uma funcao f ∈ C∞ (M), definimos o campogradiente de f por

grad f = df ].

Em outras palavras, o vetor gradiente e definido por

〈grad f, Y 〉 = df (Y )

para todo Y .

Em coordenadas, como

df =

n∑i=1

∂f

∂xidxi,

temos

grad f =

n∑i,j=1

gij∂f

∂xi∂j . (8.25)

A operacao de subir ou descer um ındice pode ser aplicada a qualquer tensor:


8.16 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ Tkl (M), entao T [ ∈ Tk+1l−1 (M) e o tensor

definido por

T [(X1, . . . , Xk, Xk+1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl)

= T(X1, . . . , Xp, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωq−1, X[k+1, ω

q+1, . . . , ωl)

e T ] ∈ Tk−1l+1 (M) e o tensor definido por

T ](X1, . . . , Xp−1, Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= T(X1, . . . , Xp−1,

(ωl+1

)], Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl).

Note que ao aplicar a operacao de subir ou descer um ındice de um tensor teremos que explicitar qual ındiceestamos subindo ou descendo. Em geral isto e feito em palavras, sem o uso de um sımbolo especial. Emcoordenadas, descendo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jl−1

i1...ikik+1= T [

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, dxj1 , . . . , dxjl−1)

= T(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 ,(∂ik+1

)[)= T

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 ,

n∑p=1

gik+1pdxp

)

=

n∑p=1

gik+1pT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 , dxp)

=

n∑p=1

gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jl−1

i1...ikik+1=

n∑p=1

gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

. (8.26)

Subindo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jljl+1

i1...ik−1= T ]

(∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1)

= T(∂i1 , . . . , ∂ik−1

,(dxjl+1

)], dxj1 , . . . , dxjl

)= T

(∂i1 , . . . , ∂ik−1

,

n∑q=1

gjl+1q∂q, dx1, . . . , dxl

)

=

n∑q=1

gjl+1qT(∂i1 , . . . , ∂ik−1

, ∂q, dx1, . . . , dxl

)=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jljl+1

i1...ik−1=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q. (8.27)

Outra aplicacao importante do isomorfismo musical e estender a operacao de tomar o traco de tensores.Enquanto que o traco de tensores elimina um ındice covariante e um ındice contravariante, o traco em relacaoa metrica definido a seguir elimina dois ındices covariantes.


8.17 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ Tkl (M), entao o traco de T em relacao ametrica g e o tensor trg T ∈ Tk−2

l (M) definido por

trg T = tr(T ]).

Em coordenadas, o traco de T em relacao a metrica g em relacao aos dois ultimos ındices, subindo o ultimoındice antes de tomar o traco, e dado por

(trg T )j1...jli1...ik−2

=

n∑i=1

(T ])j1...jlii1...ik−2i

=

n∑i,j=1

gijT j1...jli1...ik−2ij.

Por exemplo, se T ∈ T2 (M) e um tensor simetrico, de forma que nao importa qual ındice escolhemos subir,entao trg T ∈ T0 (M) = C∞ (M) e a funcao definida por

trg T =

n∑i=1

(T ])ii

=

n∑i,j=1

gijTij .

8.18 Exemplo (Contracao do Tensor Metrica). Estamos agora em condicao de entender porque deno-tamos a inversa da matriz metrica G = (gij) por G−1 =

(gij), ou seja, porque

n∑k=1

gikgkj = δij .

De fato, como vimos acima,n∑k=1

gikgkj = gij

egij = g]

(ei, e

j)

= g(ei,(ej)])

= ej (ei) = δij .

8.3 Conexoes Riemannianas

Como metricas riemannianas e conexoes definem cada uma uma estrutura geometrica particular, o caso maisrelevante de variedade riemanniana dotada de uma conexao e quando a estrutura geometrica definida porelas coincide. Para isso a conexao deve satisfaz duas condicoes.

8.3.1 Conexao Compatıvel com a Metrica

A primeira delas e a chamada compatibilidade da conexao com a metrica, que pode ser definida de qualquerum dos tres modos equivalentes a seguir.

8.19 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao as seguintes afirmacoessao equivalentes:(i) Para todos os campos paralelos V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel α em M vale

〈V,W 〉 ≡ constante. (8.28)

(ii) Para todos os campos vetoriais V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel α em M vale

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩. (8.29)


(iii) Para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) vale

X 〈Y,Z〉 = 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 . (8.30)

Prova: (ii) ⇒ (i) Se V e W sao campos paralelos, entao

d

dt〈V,W 〉 = 〈0,W 〉+ 〈V, 0〉 = 0

e portanto 〈V,W 〉 e constante.(i) ⇒ (ii) Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel qualquer e para um ponto fixado t0 ∈ I escolha umabase ortonormal

B0 =E1|t0 , . . . , En|t0

para Tα(t0)M . Usando a Proposicao 7.10, estenda cada um dos vetores E1|t0 , . . . , En|t0 paralelamente acampos E1, . . . , En ao longo de α. Segue da definicao de compatibilidade que

Bt = E1|t , . . . , En|t

e uma base ortonormal para Tα(t)M para cada t ∈ I. Dados campos diferenciaveis V e W ao longo de α,podemos entao escrever

V =

n∑i=1

V i (t) Ei|t e W =

n∑j=1

W j (t) Ej |t

com as funcoes V i,W j diferenciaveis, pois

V i (t) = 〈V,Ei〉 e W j (t) = 〈W,Ej〉 .

Como os campos E1 (t) , . . . , En (t) sao paralelos ao longo de α, temos

DE1

dt= . . . =

DEndt

= 0,

logo

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑i=1

dV i

dt(t) Ei|t +

n∑i=1

V i (t)DEidt

∣∣∣∣t

=

n∑i=1

dV i

dt(t) Ei|t ,

e, similarmente,

DW

dt

∣∣∣∣t

=

n∑j=1

dW j

dt(t) Ej |t .

Daı, ⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩=

⟨n∑i=1

dV i

dtEi,

n∑j=1

W jEj

⟩+

⟨n∑i=1

V iEi,

n∑j=1

dW j

dtEj

⟩

=

n∑i,j=1

dV i

dtW j 〈Ei, Ej〉+

n∑i,j=1

V idW j

dt〈Ei, Ej〉

=

n∑i,j=1

(dV i

dtW j + V i

dW j

dt

)δij

=

n∑i=1

(dV i

dtW i + V i

dW i

dt

)=

d

dt

n∑i=1

V iW i

=d

dt〈V,W 〉 .


(ii) ⇒ (iii) Seja p ∈ M e α : I −→ M uma curva diferenciavel com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp. Entao, pordefinicao de vetor tangente,

Xp 〈Y, Z〉 =d

dt

⟨Yα(t), Zα(t)

⟩∣∣∣∣t=t0

=

⟨DY

dt

∣∣∣∣t0

, Zt0

⟩+

⟨Yt0 ,

DZ

dt

∣∣∣∣t0

⟩

=

⟨(∇α′(t0)

Y)α(t0)

, Zt0

⟩+

⟨Yt0 ,

(∇α′(t0)

Z)α(t0)

⟩=⟨

(∇XY )p , Zp

⟩+⟨Yp, (∇XZ)p

⟩.

(iii) ⇒ (ii) Se V,W sao campos ao longo de uma curva diferenciavel α em M com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp,entao

d

dt〈Vt,Wt〉

∣∣∣∣t=t0

= Xp 〈Vt,Wt〉

=⟨

(∇XV )p ,Wt

⟩+⟨Vt, (∇XW )p

⟩=

⟨(∇α′(t0)

V)α(t0)

,Wt0

⟩+

⟨Vt0 ,

(∇α′(t0)

W)α(t0)

⟩=

⟨DV

dt

∣∣∣∣t0

,Wt0

⟩+

⟨Vt0 ,

DW

dt

∣∣∣∣t0

⟩.

A condicao 〈V,W 〉 ≡ constante justifica o nome campos paralelos.

8.20 Definicao. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexao ∇. Dizemos que a conexao ecompatıvel com a metrica, quando ela satisfaz qualquer uma das condicoes da proposicao anterior.

8.3.2 Conexao Simetrica

A segunda condicao para que a estrutura geometrica definida pela conexao seja a mesma definida pela metricae a seguinte:

8.21 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. O tensor torcao da conexao ∇e a aplicacao

T : T (M)× T (M) −→ T (M)

definida porT (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] .

Dizemos que a conexao ∇ e simetrica se T ≡ 0, isto e, se para todos os campos X,Y ∈ T (M) vale

∇XY −∇YX = [X,Y ] .

Apesar da conexao nao ser um tensor, sua torcao e de fato um (2, 1)-tensor, pois ela so depende do valor no


ponto. Em coordenadas, como

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k,

∇YX =

n∑k=1

Y (Xk)

+

n∑i,j=1

Y iXjΓkij

∂k,

[X,Y ] =

n∑k=1

(X(Y k)− Y

(Xk))∂k,

o tensor torcao e dado por

T (X,Y ) =

n∑k=1

n∑i,j=1

(XiY j − Y iXj

)Γkij

∂k, (8.31)

de onde vemos que T (X,Y ) e linear em relacao a X e a Y , separadamente, e depende apenas de Xp e Yp.

8.22 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇. Entao

∇∂i∂j = ∇∂j∂i (8.32)

eΓkij = Γkji. (8.33)

Prova: Como

[∂i, ∂j ] = ∇∂i∂j −∇∂j∂i =

n∑k=1

(Γkij − Γkji

)∂k

e [∂i, ∂j ] = 0, seguem os resultados. Em particular, para conexoes riemannianas o numero de sımbolos de Christoffel potencialmente diferentescai para

n2 (n+ 1)

2.

8.23 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇, compatıvel com a metricade M . Entao, para todos campos X,Y, Z ∈ T (M), vale

〈∇XY, Z〉 =1

2(X 〈Y, Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 − 〈X, [Y,Z]〉 − 〈Y, [X,Z]〉+ 〈Z, [X,Y ]〉) . (8.34)

Em particular, uma conexao simetrica compatıvel com a metrica e unicamente determinada pela metrica.

Prova: Pela Proposicao 8.19,

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 ,Y 〈X,Z〉 = 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉 ,Z 〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZY 〉 .

Logo, por simetria,

X 〈Y,Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉+ 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉− 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉= 〈X,∇Y Z −∇ZY 〉+ 〈Y,∇XZ −∇ZX〉+ 〈∇XY, Z〉+ 〈∇YX,Z〉= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈∇XY −∇YX,Z〉+ 2 〈∇XY, Z〉= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈[X,Y ] , Z〉+ 2 〈∇XY,Z〉 ,

donde segue o resultado.


8.24 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana. Entao existe uma unica conexao simetrica ∇ com-patıvel com a metrica de M .

Prova: O lema anterior mostra como definir uma conexao simetrica compatıvel com a metrica atraves daexpressao (8.34). Alem disso, pelo lema, qualquer conexao simetrica compatıvel com a metrica satisfara aidentidade (8.34), o que estabelece a unicidade.

8.25 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. A unica conexao simetrica ∇ compatıvel com ametrica de M e chamada a conexao riemanniana (ou conexao de Levi-Civita) de M .

Uma outra maneira de caracterizar a conexao riemanniana:

8.26 Proposicao (Derivada Covariante Total do Tensor Metrica). A conexao riemanniana e a unicaconexao simetrica tal que ∇g = 0.

∇g = 0.

Prova: Se (M, g) e uma variedade riemanniana, entao pela definicao e pela compatibilidade da conexao coma metrica, temos

∇g (X,Y, Z) = ∇Zg (X,Y )

= Z [g (X,Y )]− g (∇ZX,Y )− g (X,∇ZY )

= Z 〈X,Y 〉 − 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉= 0.

A recıproca e obvia. O fato que ∇g = 0 foi um serio empecilho para Einstein no seu caminho em direcao a descoberta da Teoriada Relatividade Geral.

Isometrias preservam conexoes riemannianas, como esperado:

8.27 Proposicao. Sejam (M, g) e (M, g) variedades riemannianas isometricas com conexoes riemannianas

∇ e ∇, respectivamente. Se F : M −→ M e uma isometria, entao

F∗ (∇XY ) = ∇F∗X (F∗Y )

Em particular, se α : I −→M e uma curva diferenciavel e V e um campo vetorial ao longo de α, entao

F∗

(DV

dt

)=D (F∗V )

dt.

Prova: Defina uma aplicacao∇ : T (M)× T (M) −→ T (M)

por

∇XY = F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

].

Mostraremos que ∇ e uma conexao riemanniana em M . A unicidade da conexao riemanniana garantiraentao que

∇ = ∇,


o que provara o resultado. De fato, temos

∇fX+gY Z = F−1∗

[∇F∗(fX+gY ) (F∗Z)

]= F−1

∗

[∇F∗(fX+gY ) (F∗Z)

]= F−1

∗

[∇(fF−1)F∗X+(gF−1)F∗Y (F∗Z)

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗X (F∗Z) +

(g F−1

)∇F∗Y (F∗Z)

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗X (F∗Z)

]+ F−1

∗

[(g F−1

)∇F∗Y (F∗Z)

]= fF−1

∗

[∇F∗X (F∗Z)

]+ gF−1

∗

[∇F∗Y (F∗Z)

]= f∇XZ + g∇Y Z,

∇X (Y + Z) = F−1∗

[∇F∗XF∗ (Y + Z)

]= F−1

∗

[∇F∗XF∗Y + ∇F∗XF∗Z

]= F−1

∗

[∇F∗XF∗Y

]+ F−1

∗

[∇F∗XF∗Z

]= ∇XY +∇XZ

e

∇X (fY ) = F−1∗

[∇F∗XF∗ (fY )

]= F−1

∗

[∇F∗X (fF∗Y )

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y +

[(F∗X)

(f F−1

)]F∗Y

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y

]+ F−1

∗[[

(F∗X)(f F−1

)]F∗Y

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y

]+[(F∗X)

(f F−1

)]F−1∗ (F∗Y )

= fF−1∗

[∇F∗XF∗Y

]+[X(f F−1 F

)]F−1∗ (F∗Y )

= f∇XY + (Xf)Y,

o que prova que ∇ e uma conexao.Agora verificaremos que ∇ e simetrica:

∇XY −∇YX = F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

]− F−1

∗

[∇F∗Y (F∗X)

]= F−1

∗

[∇F∗X (F∗Y )− ∇F∗Y (F∗X)

]= F−1

∗ [F∗X,F∗Y ]

= F−1∗ F∗ [X,Y ]

= [X,Y ] .

Observe que para provar que ∇ e uma conexao simetrica, foi suficiente usar o fato que F e um difeomorfismo.Para estabelecer a compatibilidade de ∇ com a metrica de M e necessario usar o fato que F e uma


isometria. Com efeito, dados X,Y, Z ∈ T (M), sejam V = F∗Y e W = F∗Z. Entao temos

〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉

=⟨F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

], F−1∗ W

⟩+⟨F−1∗ V, F−1

∗

[∇F∗X (F∗Z)

]⟩=⟨∇F∗X (F∗Y ) ,W

⟩+⟨V, ∇F∗X (F∗Z)

⟩=⟨∇F∗X (F∗Y ) , F∗Z

⟩+⟨F∗Y, ∇F∗X (F∗Z)

⟩= F∗X 〈F∗Y, F∗Z〉= X 〈Y,Z〉 .

A ultima passagem merece ser mais detalhada: definindo f : N −→ R por

f (q) =⟨

(F∗Y )q , (F∗Z)q

⟩q,

por isometria segue que se p = F−1 (q) entao

f (q) = 〈Yp, Zp〉p =⟨YF−1(q), ZF−1(q)

⟩F−1(q)

,

isto e,f = 〈Y,Z〉 F−1;

assim, usando a propriedade(F∗X) f = X (f F ) F−1,

temosF∗X 〈F∗Y, F∗Z〉 = X (f F ) F−1 = X 〈Y,Z〉 F−1,

ou seja,[〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉] (p) = [X 〈Y,Z〉] (p) .

8.28 Exemplo (Conexao riemanniana em Rn). A conexao euclideana (Exemplo 7.5) e a conexao rieman-niana de Rn com a metrica usual. De fato, a conexao e compatıvel com a metrica pois se α : I −→ Rn e umacurva diferenciavel e V,W campos ao longo de α induzidos pelos campos vetoriais X,Y , respectivamente,entao segue da regra da cadeia que

d

dt

⟨Vα(t),Wα(t)

⟩=

⟨d

dtVα(t),Wα(t)

⟩+

⟨Vα(t),

d

dtWα(t)

⟩=⟨dXα(t) (α′ (t)) ,Wα(t)

⟩+⟨Vα(t), dYα(t) (α′ (t))

⟩=⟨(∇α′(t)X

)α(t)

,Wα(t)

⟩+⟨Vα(t),

(∇α′(t)Y

)α(t)

⟩=

⟨DV

dt

∣∣∣∣α(t)

,Wα(t)

⟩+

⟨Vα(t),

DW

dt

∣∣∣∣α(t)

⟩.

e ela e simetrica porque[(∇XY )p − (∇YX)p

](f) =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂f

∂xj−

n∑j=1

(n∑i=1

Y i∂Xj

∂xi

)∂f

∂xj

=

n∑j=1

n∑i=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂f

∂xj

= [X,Y ]p (f) .


ou tambem, de forma mais sucinta,

∇XY −∇YX =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj−

n∑j=1

Y(Xj) ∂

∂xj

=

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj

= [X,Y ] .

Para uma variedade riemanniana com conexao riemanniana, o transporte paralelo e uma isometria:

8.29 Proposicao. Se M e uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇, entao a aplicacaotransporte paralelo e uma isometria que preserva orientacao.

Prova: Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel passando por um ponto p ∈ M . Dados V,W ∈ TpM ,considere a funcao real f : I −→ R definida por

f (t) = 〈τt (V ) , τt (W )〉 .

Pela compatibilidade da metrica, segue que

f ′ (t) =

⟨D

dtτt (V ) , τt (W )

⟩+

⟨τt (V ) ,

D

dtτt (W )

⟩= 0,

ja que os campos τt (V ) , τt (W ) sao paralelos ao longo de α por definicao. Portanto, f (t) = f (0) para todot ∈ I, ou seja

〈τt (V ) , τt (W )〉 = 〈V,W 〉

o que prova que τt e uma isometria.Para provar que τt preserva orientacao, seja

B = E1, . . . , En

uma base ortonormal positivamente orientada para TpM . Como τt e uma isometria,

Bt = τt (E1) , . . . , τt (En)

e uma base ortonormal de Tα(t)M para todo t ∈ I. A orientacao positiva de Bt segue por continuidade dafuncao determinante.

8.3.3 Sımbolos de Christoffel da Conexao Riemanniana

Vamos agora ver como os sımbolos de Christoffel de uma conexao riemanniana podem ser calculados atravesdos componentes gij da metrica. Antes introduzimos a seguinte notacao: a matriz G = (gij) e uma matrizpositiva definida, logo admite uma inversa, que denotaremos por

G−1 =(gij). (8.35)

8.30 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =

n∑m=1

Γmij gmk. (8.36)


Prova: Segue imediatamente da definicao dos sımbolos de Christoffel:

∇∂i∂j =

n∑m=1

Γmij∂m.

8.31 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =1

2(∂igjk + ∂jgik − ∂kgij) . (8.37)

Prova: Por (8.34) temos que

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =1

2(∂i 〈∂j , ∂k〉+ ∂j 〈∂i, ∂k〉 − ∂k 〈∂i, ∂j〉 − 〈∂i, [∂j , ∂k]〉 − 〈∂j , [∂i, ∂k]〉+ 〈∂k, [∂i, ∂j ]〉)

=1

2(∂jgik + ∂igjk − ∂kgij) ,

ja que [∂m, ∂l] = 0.

8.32 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

Γkij =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk. (8.38)

Prova: Pelos lemas temosn∑l=1

Γlijglm =1

2(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) .

Logon∑

m=1

gmkn∑l=1

Γlijglm =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk.

O lado esquerdo desta equacao e

n∑l=1

n∑m=1

gkmgmlΓlij =

n∑l=1

δklΓlij = Γkij .

8.33 Corolario. Se ∇ e a conexao riemanniana de Rn entao

Γkij = 0. (8.39)

Consequentemente,

∇XY =

n∑k=1

X(Y k)∂k (8.40)

e∇∂i∂j = 0. (8.41)

8.34 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

∂kgij =

n∑p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gpjΓpik (8.42)

e

∂kgij = −

n∑p=1

gipΓjpk −n∑p=1

gpjΓipk. (8.43)


Prova: Para provar a primeira identidade, usando a compatibilidade da metrica temos

∂kgij =∂

∂xk〈∂i, ∂j〉 = 〈∇∂k∂i, ∂j〉+ 〈∂i,∇∂k∂j〉

=

⟨n∑p=1

Γpki∂p, ∂j

⟩+

⟨∂i,

n∑p=1

Γpkj∂p

⟩

=

n∑p=1

Γpki 〈∂p, ∂j〉+

n∑p=1

Γpkj 〈∂i, ∂p〉

=

n∑p=1

Γpkigpj +

n∑p=1

Γpkjgip.

Para provar a segunda identidade, primeiro diferenciamos a identidade

n∑p=1

glpgpj = δjl ,

obtendon∑p=1

glp∂kgpj = −

n∑p=1

(∂kglp) gpj .

Como

n∑l=1

giln∑p=1

glp∂kgpj =

n∑p=1

n∑l=1

gilglp∂kgpj

=

n∑p=1

δip∂kgpj

= ∂kgij ,

segue da primeira identidade que

∂kgij = −

n∑l=1

giln∑p=1

(∂kglp) gpj = −

n∑p=1

n∑l=1

gilgpj∂kglp

= −n∑p=1

n∑l=1

gilgpj

(n∑

m=1

glmΓmpk +

n∑m=1

gmpΓmlk

)

= −n∑p=1

n∑m=1

gpjn∑l=1

gilglmΓmpk −n∑l=1

n∑m=1

giln∑p=1

gpjgmpΓmlk

= −n∑p=1

n∑m=1

gpjδimΓmpk −n∑l=1

n∑m=1

gilδjmΓplk

= −n∑p=1

gpjΓipk −n∑l=1

gilΓjlk.


8.4 Exercıcios

8.35 Exercıcio. Mostre que a metrica produto e de fato uma metrica. Porque

g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = gp1 (v1, v2) gp2 (w1, w2)

nao define uma metrica na variedade produto M1 ×M2?

Capıtulo 9

Formas Diferenciais

9.1 Tensores Simetricos e Tensores Alternados

9.1 Definicao. Tensores simetricos sao tensores covariantes cujo valor nao e alterado quando se troca aordem de um par qualquer de vetores:

T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = T (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) .

Tensores alternados sao tensores covariantes cujo valor muda de sinal quando se troca a ordem de um parqualquer de vetores:

T (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = −T (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) .

2-tensores alternados sao tambem chamados simplesmente tensores anti-simetricos, enquanto que k-tensoresalternados para k > 2 sao tambem chamados tensores completamente anti-simetricos. 0-tensores e 1-tensoressao simultaneamentes tensores simetricos e alternados.

9.2 Proposicao. Se σ : 1, . . . , n −→ 1, . . . , n e uma permutacao e T e um tensor alternado, entao

T(vσ(1), . . . , vσ(k)

)= (signσ)T (v1, . . . , vk) .

Prova. Segue imediatamente da definicao de sinal de uma permutacao. O exemplo mais importante de tensor simetrico e o tensor metrica. Denotaremos o espaco vetorial dos

k-tensores simetricos de um espaco vetorial V por Σk (V ).O espaco vetorial dos k-tensores alternados de um espaco vetorial V e denotado por Λk (V ). Como

0-tensores alternados sao simplesmente 0-tensores, isto e, numeros reais, e 1-tensores alternados sao simples-mente covetores, temos

Σ0 (V ) = Λ0 (V ) = R,Σ1 (V ) = Λ1 (V ) = T 1 (V ) .

Tensores alternados sao tambem conhecidos como formas exteriores (uma k-forma exterior e tambemchamada uma forma exterior de grau k), de modo que covetores sao 1-formas. Campos tensoriais alternadosem variedades diferenciaveis sao chamados de formas diferenciais (uma k-forma diferencial e tambemchamada uma forma diferencial de grau k); o espaco vetorial das k-formas diferenciais e denotado por ΛkM .Em particular, Λ0M = Ck (M) e Λ1M = T1M . Em geral, as formas diferenciais sao denotadas por letrasgregas minusculas.

125


9.3 Lema. As seguintes afirmativas sao equivalentes.(i) T e um tensor alternado.(ii) T (v1, . . . , vk) = 0 sempre que v1, . . . , vk sao linearmente dependentes.(iii) T (v1, . . . , v, . . . , v, . . . , vk) = 0 para todo v qualquer que seja o par de posicoes que v ocupa.

Prova. Veja [Lee 1], Lemma 14.1, p. 350.

9.2 Simetrizacao e Alternacao de Tensores

O produto tensorial nao e comutativo. Por exemplo, se α, β sao 1-tensores covariantes arbitrarios, entao

α⊗ β 6= β ⊗ α

pois em geralα⊗ β (v, w) = α (v)β (w) 6= α (w)β (v) = β ⊗ α (v, w) .

De fato, se α, β sao os covetores canonicos, temos

e1 ⊗ e2 (v, w) = v1w2,

e2 ⊗ e1 (v, w) = v2w1,

de modo que claramentee1 ⊗ e2 6= e2 ⊗ e1.

Por este motivo, 2-tensores arbitrarios

T = T11e1 ⊗ e1 + T12e

1 ⊗ e2 + T21e2 ⊗ e1 + T22e

2 ⊗ e2

nao sao nem simetricos, nem anti-simetricos.Para obter um 2-tensor simetrico a partir dos 1-tensores α, β, considerarıamos o tensor

α⊗ β + β ⊗ α,

enquanto que para obter um 2-tensor anti-simetrico a partir de α, β considerarıamos o tensor

α⊗ β − β ⊗ α.

Isso permitiria simetrizar ou anti-simetrizar um 2-tensor arbitrario T . Exceto que gostarıamos que a sime-trizacao de um tensor T que ja e simetrico fosse o proprio tensor T e que a anti-simetrizacao de um tensoranti-simetrico T tambem fosse o proprio T . Entao e necessario tomar a media:

1

2(α⊗ β + β ⊗ α) ,

1

2(α⊗ β − β ⊗ α) .

Assim, definimos a partir de um 2-tensor T arbitrario o 2-tensor simetrico

SimT = T11e1 ⊗ e1 +

T12 + T21

2e1 ⊗ e2 +

T12 + T21

2e2 ⊗ e1 + T22e

2 ⊗ e2

chamado a simetrizacao de T , e o 2-tensor antisimetrico

AltT =T12 − T21

2e1 ⊗ e2 +

T21 − T12

2e2 ⊗ e1,


chamado a anti-simetrizacao de T .Isso pode ser generalizado: para obter um 3-tensor simetrico a partir de tres 1-tensores α, β, γ conside-

ramos1

6(α⊗ β ⊗ γ + γ ⊗ α⊗ β + β ⊗ γ ⊗ α+ β ⊗ α⊗ γ + α⊗ γ ⊗ β + γ ⊗ β ⊗ α) ,

enquanto que para obter um 3-tensor anti-simetrico a partir de α, β, γ consideramos

1

6(α⊗ β ⊗ γ + γ ⊗ α⊗ β + β ⊗ γ ⊗ α− β ⊗ α⊗ γ − α⊗ γ ⊗ β − γ ⊗ β ⊗ α) .

Em geral, dados k 1-tensores ω1, . . . , ωk,

1

k!

∑σ∈Sk

ωσ(1) ⊗ . . .⊗ ωσ(k) (9.1)

(onde Sk denota o conjunto das permutacoes dos ındices 1, . . . , n) e um k-tensor simetrico e

1

k!

∑σ∈Sk

(signσ)ωσ(1) ⊗ . . .⊗ ωσ(k) (9.2)

e um k-tensor anti-simetrico. Daı, se

T =

n∑i1,...,ik=1

Ti1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik

e um k-tensor arbitrario, entao sua simetrizacao e o tensor

Sim T =

n∑i1,...,ik=1

1

k!

(∑σ∈Sk

Tσ(i1)...σ(ik)

)ei1 ⊗ . . .⊗ eik

e sua anti-simetrizacao e o tensor

Alt T =

n∑i1,...,ik=1

1

k!

(∑σ∈Sk

(signσ)Tσ(i1)...σ(ik)

)ei1 ⊗ . . .⊗ eik

Equivalentemente:

9.4 Definicao. Dado um k-tensor covariante T ∈ T k (V ), definimos o k-tensor simetrico SimT ∈ Σk (V ),chamado a simetrizacao de T , por

(Sim T ) (v1, . . . , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

T(vσ(1), . . . , vσ(k)

).

Dado um k-tensor covariante T ∈ T k (V ), definimos o k-tensor alternado AltT ∈ Λk (V ), chamado aalternacao de T , por

(AltT ) (v1, . . . , vk) =1

k!

∑σ∈Sk

(signσ)T(vσ(1), . . . , vσ(k)

).

Para ver que de fato as definicoes sao equivalentes:


9.5 Proposicao. Se T ∈ T k (V ) e um k-tensor covariante com coordenadas Ti1...ik , entao

(SimT )i1...ik = T(i1...ik) :=1

k!

∑σ∈Sk

Tσ(1)...σ(k),

(AltT )i1...ik = T[i1...ik] :=1

k!

∑σ∈Sk

(signσ)Tσ(1)...σ(k).

Prova. Segue diretamente da definicao, lembrando que

(SimT )i1...ik = (SimT ) (ei1 , . . . , eik) ,

(AltT )i1...ik = (AltT ) (ei1 , . . . , eik) .

9.6 Exemplo. SeT = T11e

1 ⊗ e1 + T12e1 ⊗ e2 + T21e

2 ⊗ e1 + T22e2 ⊗ e2,

entao

SimT = T11e1 ⊗ e1 +

T12 + T21

2e1 ⊗ e2 +

T12 + T21

2e2 ⊗ e1 + T22e

2 ⊗ e2

e

AltT =T12 − T21

2e1 ⊗ e2 +

T21 − T12

2e2 ⊗ e1.

Por exemplo,

(AltT ) (v, w) =T12 − T21

2v1w2 +

T21 − T12

2v2w1

= −T21 − T12

2w2v1 − T12 − T21

2w1v2

= −T12 − T21

2w1v2 − T21 − T12

2w2v1

= − (AltT ) (w, v) .

Os operadores

Sim : T k (V ) −→ Σk (V ) ,

Alt : T k (V ) −→ Λk (V ) ,

sao operadores lineares. Note que T e simetrico se e somente se

SimT = T

e que T e alternado se e somente seAltT = T.

9.7 Exemplo. Se ω e um 2-tensor, entao

(Altω) (v, w) =1

2[ω (v, w)− ω (w, v)] ,

de modo que se α, β sao 1-tensores, entao por definicao de Alt e do produto tensorial

(Altα⊗ β) (v, w) =1

2[α⊗ β (v, w)− α⊗ β (w, v)]

=1

2[α⊗ β (v, w)− β ⊗ α (v, w)] ,


poisα⊗ β (w, v) = α (w)β (v) = β (v)α (w) = β ⊗ α (v, w) ,

portanto

Altα⊗ β =1

2[α⊗ β − β ⊗ α] .

Se ω e um 3-tensor, entao

(Altω) (u, v, w) =1

6[ω (u, v, w) + ω (w, u, v) + ω (v, w, u)

−ω (v, u, w)− ω (w, v, u)− ω (u,w, v)]

de modo que se α, β, γ sao 1-tensores, entao por definicao de Alt e do produto tensorial

Alt (α⊗ β ⊗ γ) (u, v, w)

=1

6[α⊗ β ⊗ γ (u, v, w) + α⊗ β ⊗ γ (w, u, v) + α⊗ β ⊗ γ (v, w, u)

−α⊗ β ⊗ γ (v, u, w)− α⊗ β ⊗ γ (w, v, u)− α⊗ β ⊗ γ (u,w, v)]

=1

6[α⊗ β ⊗ γ (u, v, w) + β ⊗ γ ⊗ α (u, v, w) + γ ⊗ α⊗ β (u, v, w)

−β ⊗ α⊗ γ (u, v, w)− γ ⊗ β ⊗ α (u, v, w)− α⊗ γ ⊗ β (u, v, w)]

isto e,

Alt (α⊗ β ⊗ γ) =1

6[α⊗ β ⊗ γ + β ⊗ γ ⊗ α+ γ ⊗ α⊗ β

−β ⊗ α⊗ γ − γ ⊗ β ⊗ α− α⊗ γ ⊗ β] .

Os mesmos resultados continuam valendo se trocarmos Alt por Sim.

9.3 Produto Simetrico e Produto Exterior

9.8 Definicao. Dados α ∈ Σk (V ) e β ∈ Σl (V ) definimos o seu produto simetrico α β ∈ Σk+l (V ) por

α β =(k + l)!

k!l!Sim (α⊗ β) .

O motivo para o coeficiente na definicao acima, assim como o coeficiente na definicao a seguir, e explicadopelo exemplo a seguir, assim como pela simplicidade da formula que aparece na Proposicao 9.13.

9.9 Exemplo. Se α, β, γ sao 1-tensores simetricos, entao

α β = α⊗ β + β ⊗ α

eα β γ = α⊗ β ⊗ γ + γ ⊗ α⊗ β + β ⊗ γ ⊗ α+ β ⊗ α⊗ γ + α⊗ γ ⊗ β + γ ⊗ β ⊗ α.

A primeira formula segue imediatamente da definicao de produto simetrico e do Exemplo 9.7. A segundasegue tambem da definicao e do Exemplo 9.7:

α β γ = (α β) γ = (α⊗ β + β ⊗ α) γ =3!

2!1![Sim (α⊗ β ⊗ γ + β ⊗ α⊗ γ)]

=3!

2

1

3!(α⊗ β ⊗ γ + β ⊗ γ ⊗ α+ γ ⊗ α⊗ β + β ⊗ α⊗ γ + γ ⊗ β ⊗ α+ α⊗ γ ⊗ β

β ⊗ α⊗ γ + γ ⊗ β ⊗ α+ α⊗ γ ⊗ β + α⊗ β ⊗ γ + β ⊗ γ ⊗ α+ γ ⊗ α⊗ β+)

= α⊗ β ⊗ γ + γ ⊗ α⊗ β + β ⊗ γ ⊗ α+ β ⊗ α⊗ γ + α⊗ γ ⊗ β + γ ⊗ β ⊗ α.


Em outras palavras, o produto simetrico corresponde essencialmente a simetrizar o produto tensorial semtomar a media.

9.10 Definicao. Dados α ∈ Λk (V ) e β ∈ Λl (V ) definimos o seu produto exterior (ou produto cunha)α ∧ β ∈ Λk+l (V ) por

α ∧ β =(k + l)!

k!l!Alt (α⊗ β) .

Assim,

(α ∧ β) (v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+l) =1

k!l!

∑σ∈Sk+l

(signσ)α(vσ(1), . . . , vσ(k)

)β(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l)

).

Em particular, se α, β, γ sao 1-tensores, entao

α ∧ β = α⊗ β − β ⊗ α

eα ∧ β ∧ γ = α⊗ β ⊗ γ + γ ⊗ α⊗ β + β ⊗ γ ⊗ α− β ⊗ α⊗ γ − α⊗ γ ⊗ β − γ ⊗ β ⊗ α.

Em outras palavras, o produto exterior corresponde essencialmente a anti-simetrizar o produto tensorial semtomar a media. Isso ficara mais claro na Proposicao 9.13.

9.11 Proposicao. Se B = e1, . . . , en e uma base para V , o conjunto dos k-tensores covariantes (chamadosk-formas elementares)

BI =ei1 ∧ . . . ∧ eik

i1,...,ik=1,...,ni1<...<ik

e uma base para Λk (V ).Em particular, se dimV = n, entao

dim Λk (V ) =

(n

k

)se k 6 n e dim Λk (V ) = 0 se k > n.

Prova. Para ver que BI e linearmente independente, suponha que

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ikei1 ∧ . . . ∧ eik = 0.

Entao, para um multi-ındice j1 . . . jk tal que j1 < . . . < jk temos

0 =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ikei1 ∧ . . . ∧ eik (ej1 , . . . , ejk)

=

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ik det[eir (ejs)

]r,s=1,...,k

=

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ik det[δirjs]r,s=1,...,k

= αj1...jk .


Aqui usamos o fato que a matriz[δirjs]

possui pelo menos uma linha nula ou pelo menos uma coluna nula se

i1 . . . ik 6= j1 . . . jk,

caso contrario ela e a matriz identidade. De fato, suponha que i1 6= j1. Se j1 < i1, entao j1 < i1 < . . . < ik e

δirj1 = eir (ej1) = 0 para todo r = 1, . . . , k,

ou seja, a coluna j1 e nula; se i1 < j1, entao i1 < j1 < . . . < jk e

δi1js = ei1 (ejs) = 0 para todo s = 1, . . . , k,

ou seja, a linha i1 e nula. Se i1 = j1 e i2 6= j2, usamos o mesmo argumento para concluir que a coluna j2 e nulase j2 < i2 e que a linha i2 e nula se i2 < j2. Continuando nesta linha, concluımos que se i1 . . . il−1 = j1 . . . jl−1

e il 6= jl, entao a coluna jl e nula se jl < il e a linha il e nula se il < jl.Para ver que BI gera Λk (V ), escreve primeiro

α =

n∑i1,...,ik=1

αi1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik

comαi1...ik = α (ei1 , . . . , eik) .

Se α e um k-tensor covariante alternado, entao

αi1...ik = α (ei1 , . . . , eik) = 0

sempre que ir = is para algum par r, s. Se i1, . . . , ik sao distintos, entao o fato de α ser alternado garanteque

ασ(i1)...σ(ik) = α(eσ(i1), . . . , eσ(ik)

)= (signσ)α (ei1 , . . . , eik)

= (signσ)αi1...ik

para todas as permutacoes σ ∈ Sk. Portanto,

α =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ik1

k!

∑σ∈Sk

(signσ) eσ(i1) ⊗ . . .⊗ eσ(ik)

=

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ikei1 ∧ . . . ∧ eik .

Em particular, toda k-forma se escreve como

α =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

αi1...ikei1 ∧ . . . ∧ eik ,

ondeαi1...ik = α (ei1 , . . . , eik) .


9.12 Notacao. Usaremos a letra I para denotar o multi-ındice crescente i1 . . . ik, isto e, que satisfaz i1 <. . . < ik, e denotaremos

eI = ei1 ∧ . . . ∧ eik .

Assim, uma k-forma sera denotada por

α =∑I

αIeI

ou simplesmente, na convencao da soma de Einstein,

α = αIeI .

Se I = i1 . . . ik e J = j1 . . . jl, denotaremos a concatenacao dos multi-ındices I, J por IJ , isto e,

IJ = i1 . . . ikj1 . . . jl

9.13 Proposicao. TemoseI ∧ eJ = eIJ .

Em particular, se

α =∑I

αIeI ,

β =∑J

βJeJ ,

entaoα ∧ β =

∑IJ

αIβJeIJ .

Prova. Veja [Lee 1], Lema 14.10, p. 355.

9.14 Proposicao. O produto exterior satisfaz as seguintes propriedades:(i) (bilinearidade) se a, b ∈ R,

(aα+ bβ) ∧ γ = a (α ∧ γ) + b (β ∧ γ) ,

γ ∧ (aα+ bβ) = a (γ ∧ α) + b (γ ∧ β) .

(ii) (associatividade)(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) .

(iii) (anticomutividade) se α ∈ Λk (V ) e β ∈ Λl (V ) ,

α ∧ β = (−1)klβ ∧ α.

(iv) Se v1, . . . , vk sao vetores e ω1, . . . , ωk sao 1-formas,

ω1 ∧ . . . ∧ ωk (v1, . . . , vk) = det[ωi (vj)

]Prova. (i) Segue imediatamente da definicao, porque o produto tensorial e bilinear e Alt e linear.

(ii) Pelo lema anterior,(eI ∧ eJ

)∧ eK = eIJ ∧ eK = eIJK = eI ∧ eJK = eI ∧

(eJ ∧ eK

)e o resultado geral segue de bilinearidade.


(iii) Pelo lema anterior e as propriedades de permutacao, se σ e a permutacao que transforma IJ em JI,temos

eI ∧ eJ = eIJ = (signσ) eJI = (signσ) eJ ∧ eI .

O resultado segue quando se nota que signσ = (−1)kl

, porque a permutacao σ se decompoe como umacomposicao de kl transposicoes (cada ındice de I deve ser movido passando por todos os ındices de J).

(iv) Segue do argumento da Proposicao 9.11 e multilinearidade. Segue que

ei1 ∧ . . . ∧ eik (v1, . . . , vk) = det[virj]r,j=1,...,k

.

Se k = n, dim Λn (V ) = 1, a base de Λ1 (V ) e constituıda pelo n-tensor alternado e1 ∧ . . . ∧ en e

e1 ∧ . . . ∧ en (v1, . . . , vn) = det[vij],

ou seja, e1 ∧ . . . ∧ en e a funcao determinante.

9.15 Corolario. Se ω ∈ Λk (V ) e k e ımpar,

ω ∧ ω = 0.

Em particular, isso vale se ω e uma 1-forma.

O resultado em geral nao e valido se k e par:

9.16 Exemplo. Considere a 2-formaα = e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4.

Temos

α ∧ α =(e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4

)∧(e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4

)= e1 ∧ e2 ∧ e1 ∧ e2 + e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4

+ e3 ∧ e4 ∧ e1 ∧ e2 + e3 ∧ e4 ∧ e3 ∧ e4

= e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 + e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4

= 2e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4

6= 0,

pois

e3 ∧ e4 ∧ e1 ∧ e2 = −e4 ∧ e1 ∧ e2 ∧ e3

= e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4,

fazendo 3 transposicoes em cada passo para levar o primeiro vetor ao final da expressao.Usando a notacao de concatenacao,

α = e12 + e34

e

α ∧ α =(e12 + e34

)∧(e12 + e34

)= e1212 + e1234 + e3412 + e3434

= e1234 + e3412

= 2e1234,

pois precisamos de 6 transposicoes para transformar 3412 em 1234 (3 transposicoes para levar cada um doisdıgitos iniciais no final, primeiro o dıgito 3 e depois o dıgito 4, como visto acima).


9.17 Definicao. Definimos a algebra exterior de V como sendo o espaco vetorial

Λ (V ) =

n⊕k=0

Λk (V )

munido do produto exterior.

A algebra exterior e uma algebra graduada, associativa e anticomutativa (veja [Lee 1], p. 357, para a definicaodeste objeto). Sua dimensao e 2n (soma das dimensoes de Λk (V )).

9.4 Formas Diferenciais

Seja M uma variedade diferenciavel. Como definimos no inıcio deste capıtulo, uma forma diferencial e umcampo tensorial alternado ω, isto e, em cada ponto p ∈M o tensor ωp e alternado e os coeficientes de ω emcoordenadas locais sao diferenciaveis. Em coordenadas locais, uma k-forma diferencial se escreve na forma

ω =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

ωi1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,

com ωi1...ik diferenciaveis ou, mais compactamente,

ω =∑I

ωIdxI = ωIdx

I .

9.18 Definicao. O espaco vetorial das k-formas diferenciais em M e denotado por Λk (M) .A algebra exterior de M e a algebra graduada, associativa e anticomutativa

Λ (M) =

n⊕k=0

Λk (M) .

Uma base para Λk (M) em coordenadas locais e dada por

BI =dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

i1,...,ik=1,...,ni1<...<ik

Se F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel, o pullback F ∗ω de uma forma diferencial ω por F , comoo pullback de um campo tensorial em geral, e definido por

(F ∗ω)p (v1, . . . , vk) = ωF (p) (dFp (v1) , . . . , dFp (vk)) .

para vetores v1, . . . , vk ∈ TpM .

9.19 Proposicao. Seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. Entao

F ∗ (ω ∧ η) = F ∗ (ω) ∧ F ∗ (η) .

Prova. Por linearidade, basta considerar o produto de k 1-formas. Se ω1, . . . , ωk sao 1-formas,

F ∗(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)p

(v1, . . . , vk) =(ω1 ∧ . . . ∧ ωk

)F (p)

(dFpv1, . . . , dFpvk)

= det[(ωi)F (p)

(dFpvj)]

= det[(F ∗ωi

)p

(vj)]

=(F ∗ω1

)p∧ . . . ∧

(F ∗ωk

)p

(v1, . . . , vk) .


9.5 Derivada Exterior

A derivada exterior generaliza a diferencial de uma funcao suave, o gradiente, o divergente e o rotacional.Ela age em uma forma diferencial produzindo uma forma diferencial de grau maior, um a mais. A derivadaexterior de uma forma diferencial de classe Cr e uma forma diferencial de classe Cr−1; assumiremos o graude diferenciabilidade da forma tao alto quanto necessario para as afirmacoes a seguir fazerem sentido (poreste motivo, e mais conveniente considerar formas diferenciais de classe C∞).

9.5.1 Definicao Local

9.20 Definicao. Dada ω ∈ Λk (Rn), se

ω =∑J

ωJdxJ

sua derivada exterior dω ∈ Λk+1 (Rn) e definida por

dω =∑J

dωJ ∧ dxJ =∑J

n∑i=1

∂ωJ∂xi

dxi ∧ dxJ .

Por exemplo, se ω e uma 1-forma, temos

dω =

n∑i,j=1

∂ωj∂xi

dxi ∧ dxj

=

n∑i,j=1i<j

(∂ωj∂xi− ∂ωi∂xj

)dxi ∧ dxj .

9.21 Proposicao. Se ω ∈ Λk (Rn) e η ∈ Λl (Rn), entao

d (ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

Prova. Temos

d (ω ∧ η) = d

[∑I

ωI dxI ∧∑J

ηJ dxJ

]

= d

∑I,J

ωIηJ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

d (ωIηJ) ∧ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

(ηJ dωI + ωI dηJ) ∧ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

ηJ dωI ∧ dxI ∧ dxJ +∑I,J

ωI dηJ ∧ dxI ∧ dxJ

=∑I,J

dωI ∧ dxI ∧ ηJ dxJ + (−1)k∑I,J

ωI dxI ∧ dηJ ∧ dxJ

=∑I

(dωI ∧ dxI

)∧∑J

ηJdxJ + (−1)

k∑I

ωI dxI ∧∑J

dηJ ∧ dxJ

= dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη,


onde usamos a anticomutatividade no antepenultimo passo, ja que dηJ e uma 1-forma e dxI uma k-forma.

Se f e uma 0-forma de classe C2, temos

d2f = d

n∑j=1

∂f

∂xjdxj

=

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xjdxi ∧ dxj

=

n∑i,j=1i<j

(∂2f

∂xi∂xj− ∂2f

∂xj∂xi

)dxi ∧ dxj

= 0,

consequencia de podermos trocar a ordem de derivacao sem alterar o resultado. Em geral, como consequenciadisso e da proposicao anterior, temos:

9.22 Proposicao. Valed2 = d d = 0.

Prova. Usando a Proposicao 9.23, e os fatos que

d2f = 0

quando f e uma 0-forma, como visto logo acima, e

d2xJ = d(dxJ

)= 0,

o que segue imediatamente da definicao, ja que os coeficientes da forma elementar sao constantes, temos que

d2ω = d (dω) = d

(∑J

dωJ ∧ dxJ)

=

(∑J

d2ωJ ∧ dxJ)−∑J

dωJ ∧ d2xJ

= 0.

9.23 Proposicao. Seja F : U ⊂ Rm −→ Rn uma aplicacao diferenciavel. Entao

F ∗ (dω) = d (F ∗ω) .

Prova. Ao longo desta demonstracao omitimos os pontos de aplicacao para nao sobrecarregar a notacao, edenotaremos as coordenadas do domınio por x1, . . . , xm e as da imagem por y1, . . . , yn.

Provaremos o resultado primeiro para 0-formas. Observe que,

F ∗dyi = dF i,

pois, pela regra da cadeia,F ∗dyi (v) = dyi (dF (v)) = d

(yi F

)(v) .


Usando linearidade, temos

F ∗ (df) = F ∗

(n∑i=1

∂f

∂yidyi

)

=

n∑i=1

∂f

∂yiF ∗dyi

=

n∑i=1

∂f

∂yidF i

=

n∑i=1

∂f

∂yi

m∑j=1

∂F i

∂xjdxj

=

m∑j=1

n∑i=1

∂f

∂yi∂F i

∂xjdxj

=

m∑j=1

∂ (f F )

∂xjdxj

= d (f F )

= d (F ∗f) .

Em particular,F ∗dyJ = d

(F ∗yJ

)Para o caso geral, observe que pela Proposicao 9.19 (comutatividade do pullback e produto exterior),

F ∗dyJ = dF J ,

isto e,

F ∗(dyj1 ∧ . . . ∧ dyjk

)= F ∗dyj1 ∧ . . . ∧ F ∗dyjk

= dF j1 ∧ . . . ∧ dF jk .

Daı,d(F ∗dyJ

)= d2F j1 ∧ . . . ∧ d2F jk = 0.


Disso tudo segue que

F ∗ (dω) = F ∗

(∑J

dωJ ∧ dyJ)

=∑J

F ∗dωJ ∧ F ∗dyJ

=∑J

d (F ∗ωJ) ∧ F ∗dyJ

=∑J

[d (F ∗ωJ) ∧ F ∗dyJ + (−1)

k(F ∗ωJ) ∧ d

(F ∗dyJ

)]=∑J

d[(F ∗ωJ) ∧ F ∗dyJ

]=∑J

d[(F ∗ωJ)F ∗dyJ

]= d

(∑J

F ∗ωJF∗dyJ

)

= dF ∗

(∑J

ωJdyJ

)= d (F ∗ω) .

9.5.2 Definicao Global

9.24 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel.Entao para cada k existe um unico operador linear

d : Λk (M) −→ Λk+1 (M)

chamado o operador derivada exterior que satisfaz as seguintes propriedades:(i) Se ω ∈ Λk (M) e η ∈ Λl (M), entao

d (ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

(ii) d2 = 0.(iii) Se f e uma 0-forma, df e a diferencial de f .Em coordenadas locais, se

ω =∑J

ωJdxJ ,

entao

dω =∑J

dωJ ∧ dxJ =∑J

n∑i=1

∂ωJ∂xi

dxi ∧ dxJ .

Alem disso, seja F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. Entao

F ∗ (dω) = d (F ∗ω) .


Prova. Dada uma carta (ϕ,U) para M , definimos

dω = ϕ∗d[(ϕ−1

)∗ω].

O operador d esta definido porque se (ψ, V ) e uma outra carta qualquer para M com U ∩ V 6= ∅, pelaProposicao 9.23 temos

ϕ∗d[(ϕ−1

)∗ω]

=(ϕ ψ−1 ψ

)∗d[(ϕ−1

)∗ω]

= ψ∗(ϕ ψ−1

)∗d[(ϕ−1

)∗ω]

= ψ∗d(ϕ ψ−1

)∗ (ϕ−1

)∗ω

= ψ∗d[(ϕ−1

) (ϕ ψ−1

)]∗ω

= ψ∗d[(ψ−1

)∗ω].

Para provar a unicidade, supondo que d e um operador linear que satisfaz (i)-(iii), mostraremos que issoimplica a formula local do enunciado.

Primeiro estabelecemos que estas propriedades implicam que d e determinado localmente, isto e, se ω1 eω2 sao k-formas tais que

ω1 = ω2

em um aberto U , entaodω1 = dω2

em U . De fato, considereη = ω1 − ω2.

Dado p ∈ U , seja f uma funcao lombada suportada em U e identicamente 1 em uma vizinhaca de U . Entaofη ≡ 0, de modo que

0 = d (fη) = df ∧ η + fdη.

Aplicando em p, segue que0 = dfp ∧ ηp + f (p) dηp = dηp,

ja que dfp = 0 e f (p) = 1. Como p ∈ U , e arbitrario, concluımos que dη = 0 em U , donde o resultadodesejado.

Agora, dado ω ∈ Λk (M), escreva-a em coordenadas locais em relacao a uma carta (ϕ,U) como

ω =∑J

ωJdxJ .

Usando funcoes lombadas, para qualquer p ∈ U podemos estender as funcoes coeficientes ωJ e as funcoescoordenadas xi restritas a uma vizinhanca de p a funcoes diferenciaveis definidas globalmente em M . Segueque

dωp =∑J

(dωJ)p ∧ dxJp ,

ou seja, esta e a formula para dω em qualquer ponto p arbitrario, o que estabelece ao mesmo tempo aunicidade e a formula local.


Para provar a comutividade com o pullback, usamos a definicao e a comutatividade com o pullback emRn. Se (ϕ,U) e um carta para M e (ψ, V ) e uma carta para N , temos nestas cartas

F ∗ (dω) = F ∗(ψ∗d

[(ψ−1

)∗ω])

= (ψ F )∗d[(ψ−1

)∗ω]

=(ψ F ϕ−1 ϕ

)∗d[(ψ−1

)∗ω]

= ϕ∗(ψ F ϕ−1

)∗d[(ψ−1

)∗ω]

= ϕ∗d(ψ F ϕ−1

)∗ [(ψ−1

)∗ω]

= ϕ∗d(ψ−1 ψ F ϕ−1

)∗ω

= ϕ∗d(F ϕ−1

)∗ω

= ϕ∗d(ϕ−1

)∗F ∗ω

= d (F ∗ω) .

9.5.3 Formas Fechadas e Exatas

9.25 Definicao. Dizemos que uma forma ω ∈ Λk (M) e fechada se

dω = 0.

Ela e exata se existe η ∈ Λk−1 (M) tal queω = dη.

Note que toda forma exata e necessariamente fechada, pois

dω = d (dη) = d2η = 0.

Por outro lado, nem toda forma fechada e exata. Localmente isso sempre vale pelo Lema de Poincare, masnao globalmente.

9.26 Teorema (Lema de Poincare). Uma 1-forma em uma variedade simplesmente conexa e fechada se esomente se ela e exata.

Prova. Veja Teorema 11.49 e Corolario 16.27 em [Lee 1].

9.5.4 Derivada Exterior e Colchete de Lie

A relacao entre a derivada exterior de uma 1-forma e o colchete de Lie e dada pelo seguinte resultado. Emparticular, ele estabelece uma formula para a derivada exterior que e independente de coordenadas.

9.27 Proposicao. Se ω ∈ Λ1 (M) e X,Y ∈ T1M , entao

dω (X,Y ) = X (ω (Y ))− Y (ω (X))− ω ([X,Y ]) .

Prova. Primeiro provamos o resultado para os vetores da base coordenada (que podem ser globalmenteextendidos atraves de funcoes lombada). Como [∂i, ∂j ] = 0, neste caso e suficiente provar que

dω (∂i, ∂j) = ∂i (ω (∂j))− ∂j (ω (∂i)) .


Se esta relacao vale para duas formas ω, η, ela vale para a sua soma ω + η (de fato ela e linear sobre R, masela nao e linear sobre Ck (M), isto e, se ela vale para ω, em princıpio isso nao implica que ela vale para umaforma do tipo fω). Portanto e suficiente prova-la para formas do tipo fdxk, ou seja, mostrar que

d(fdxk

)(∂i, ∂j) = ∂i

(fdxk (∂j)

)− ∂j

(fdxk (∂i)

)= δkj ∂if − δki ∂jf.

E, de fato,d(fdxk

)= df ∧ dxk + fd2xk = df ∧ dxk,

de modo que

d(fdxk

)(∂i, ∂j) = df ∧ dxk (∂i, ∂j)

= det

[df (∂i) df (∂j)dxk (∂i) dxk (∂j)

]= det

[∂if ∂jfδki δkj

]= δkj ∂if − δki ∂jf.

Agora provamos o resultado para campos do tipo X = f∂i, Y = g∂j :

f∂i (ω (g∂j))− g∂j (ω (f∂i))− ω ([f∂i, g∂j ])

= f∂i (gω (∂j))− g∂j (fω (∂i))− ω (fg [∂i, ∂j ] + f∂ig∂j − g∂jf∂i)= f∂i (gω (∂j))− g∂j (fω (∂i))− ω (f (∂ig) ∂j) + ω (g (∂jf) ∂i)

= f (∂ig)ω (∂j) + fg∂i (ω (∂j))− g (∂jf)ω (∂i)− gf∂j (ω (∂i))

− f (∂ig)ω (∂j) + g (∂jf)ω (∂i)

= fg [∂i (ω (∂j))− ∂j (ω (∂i))]

= fgdω (∂i, ∂j)

= dω (f∂i, g∂j) .

O resultado geral segue agora escrevendo os campos X,Y nas suas formas locais

X =∑

Xi∂i,

Y =∑

Y j∂j ,

observando que se a relacao vale para campos, ela vale para a sua soma.

9.28 Proposicao. Se ω ∈ Λk (M) e X1, . . . , Xk+1 ∈ T1M , entao

dω (X1, . . . , Xk+1) =∑

16i6k+1

(−1)i−1

Xi

(ω(X1, . . . , Xi, . . . , Xk+1

))+

∑16i<j6k+1

(−1)i+j(ω(

[Xi, Xj ] , X1, . . . , Xi, . . . , Xj , . . . , Xk+1

)).

Prova. Veja [Lee 1], Proposicao 14.32, pp. 370-371.

9.29 Proposicao. Se ω, η ∈ Λ (M) e X ∈ T1M , entao

LX (ω ∧ η) = (LXω) ∧ (η) + ω ∧ (LXη) .

Prova. Exercıcio 9.35.

9.30 Proposicao. Se ω, η ∈ Λ (M) e X ∈ T1M , entao

LX (dω) = d (LXω) .

Prova. Exercıcio 9.36.


9.6 Exercıcios

9.31 Exercıcio. Mostre que todo 2-tensor pode ser escrito como a soma de um tensor simetrico e um tensoralternado, mas isso nao e valido para tensores de grau superior.

9.32 Exercıcio. Prove o Lema 9.3.





Capıtulo 10

Variedades Orientaveis

Em geral, dizemos que duas bases em um espaco vetorial tem a mesma orientacao se a matriz de mudanca decoordenadas que leva uma base na outra tiver determinante positivo; caso contrario, elas possuem orientacoesopostas. Escolher uma base como tendo orientacao positiva e escolher uma orientacao para o espaco vetorial.Qualquer outra base do espaco vetorial tera orientacao positiva se a matriz de mudanca de coordenadas queleva uma base na outra tiver determinante positivo; caso contrario, dizemos que a outra base tem orientacaonegativa. Isso define uma relacao de equivalencia para as bases de um espaco vetorial com exatamente duasclasses de equivalencia.

Podemos escolher uma orientacao para cada plano tangente TpM de uma variedade diferenciavel, masgostarıamos que esta escolha fosse coerente, que espacos tangentes de pontos de uma mesma vizinhancatenham a mesma orientacao e que esta nao dependa da carta.

10.1 Definicao. Uma variedade diferenciavel M e orientavel se ela possui um atlas coerente Φ, isto e,tal que para todos ϕ1, ϕ2 ∈ Φ temos

det d(ϕ−1

2 ϕ1

)> 0.

Uma escolha de um tal atlas e uma escolha de orientacao para a superfıcie e quando esta escolha foi feita,dizemos que a superfıcie foi orientada.

Quando uma superfıcie nao possui nenhum atlas com esta propriedade, dizemos que ela e nao-orientavel.

Em outras palavras, um atlas e coerente se os determinantes das diferenciais das mudancas de coordenadasde todas as cartas deste atlas sao sempre positivos. Observe que orientabilidade e uma propriedade globalde uma variedade.

10.2 Exemplo. Toda variedade cujo atlas que uma unica carta e orientavel, pois o atlas consistindo destaunica carta e trivialmente coerente. Assim, o conceito de orientabilidade para superfıcies parametrizadasregulares em Rn e trivial. Em particular, superfıcies regulares que sao graficos de funcoes sao orientaveis.

Superfıcies que podem ser cobertas por duas parametrizacoes cuja intersecao e um conjunto conexotambem sao orientaveis. Se na intersecao o determinante da matriz jacobiana da mudanca de coordenadas enegativo, basta trocar a ordem das variaveis em uma das parametrizacoes, para mudar o sinal do determinantee assim obter um atlas coerente. Em particular, a esfera Sn que pode ser coberta por duas projecoesestereograficas que se interceptam ao longo de um conjunto conexo (a intersecao e a esfera menos os polos)e uma superfıcie orientavel.

10.3 Teorema. Uma hiperfıcie regular M ⊂ Rn+1 de classe Ck, k > 1, e orientavel se e somente se existeum campo normal unitario N : M −→ Rn+1 de classe Ck−1.

Prova: M orientavel =⇒ M possui um campo normal unitario.

143


Seja Φ um atlas coerente para M . Para cada ponto p ∈M defina N (p) por

N (p) = N(ϕ−1 (x)

)=

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥onde a base coordenada e arbitraria e sao identificado com vetores de Rn+1. N esta bem definida porque setomarmos qualquer outra base coordenada, se ϕψ−1 e a mudanca de coordenadas entre elas, vale a relacao

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn= det d

(ϕ ψ−1

) ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn.

Como o determinante e positivo, conclui-se que

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn∥∥∥∥ ∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn

∥∥∥∥ =

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥ .A aplicacao N e uma aplicacao diferenciavel de classe Ck−1, ja que o denominador nunca se anula navizinhanca coordenada.M possui um campo normal unitario =⇒ M orientavel.

Seja N : M −→ Rn+1 um campo normal unitario de classe Ck−1. Como k > 1, temos que N e na piordas hipoteses uma aplicacao contınua. Seja Φ um atlas para M tal que cada vizinhanca coordenada e conexa(para obter um atlas assim, basta restrigir as cartas de um atlas arbitrarios as componentes conexas de cadavizinhanca coordenada). Para cada carta (ϕ,U) deste atlas a funcao fϕ : U −→ R definida por

fϕ (p) =

⟨N (p) ,

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥⟩

e pelo menos contınua. Como fϕ toma os valores discretos ±1 e U e conexo, segue que fϕ ≡ 1 ou fϕ ≡ −1.Se fϕ ≡ −1 mudamos a ordem de duas variaveis da carta ϕ. Desta forma, obtemos um atlas Φ para M talque fϕ ≡ 1 para toda ϕ ∈ Φ; em outras palavras,

N (p) =

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥para toda ϕ ∈ Φ. Se ϕ,ψ ∈ Φ, como

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn∥∥∥∥ ∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn

∥∥∥∥ = N (p) =

∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn∥∥∥∥ ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn

∥∥∥∥e

∂

∂y1× . . .× ∂

∂yn= det d

(ϕ ψ−1

) ∂

∂x1× . . .× ∂

∂xn,

segue quedet d

(ϕ ψ−1

)> 0.


10.4 Corolario. Se uma superfıcie regular e a imagem inversa de um valor regular, entao ela e orientavel.

Prova: Seja M = f−1 (c), c ∈ R um valor regular de uma funcao diferenciavel f . Dado um ponto p ∈ M ,considere uma curva α : I −→M satisfazendo α (t0) = p. Escreva

α (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

).

Comof(x1 (t) , . . . , xn (t)

)= c,

derivando em relacao a t, segue da regra da cadeia que

n∑i=1

∂f

∂xi(p)(xi)′

(t) = 0,

ou seja, o vetor gradiente de f

∇f (p) :=

(∂f

∂x1(p) , . . . ,

∂f

∂xn(p)

)e normal ao vetor tangente α′ (t) e nunca se anula, ja que c e um valor regular de f . Como isso vale paratodas as curvas em M , segue que

N (p) =∇f (p)

‖∇f (p)‖define um campo normal unitario global em M de classe de diferencialidade um a menos que a classe dediferenciabilidade da funcao f .

10.5 Corolario. Seja M ⊂ Rn+1 uma superfıcie regular orientavel. Se γ : [a, b] −→M e uma curva regularfechada e N : [a, b] −→ Rn+1 e um campo normal unitario contınuo ao longo da curva γ, entao N (a) = N (b).

Prova: Pelo Teorema 10.3 existe um campo normal unitario contınuo N : S −→ R3. Como ambos os vetoresN (t) e N (γ (t)) sao normais ao plano tangente Tγ(t)S, segue que

f (t) =⟨N (t) ,N (γ (t))

⟩= ±1.

Como a funcao f : [a, b] −→ R e contınua, devemos ter f ≡ 1 ou f ≡ −1. Em particular,⟨N (a) ,N (γ (a))

⟩=⟨N (b) ,N (γ (b))

⟩.

Mas γ (a) = γ (b), logo N (γ (a)) = N (γ (b)) e forcosamente N (a) = N (b).

10.6 Proposicao. A faixa de Mobius, a garrafa de Klein e o plano projetivo RP2 nao sao orientaveis.

Prova: Considere um cırculo de raio R centrado na origem no plano xy. Em um ponto p0 deste cırculo,suponha posicionado um segmento L de comprimento 2r, com r < R. cujo ponto medio e exatamentep0. Enquanto o ponto medio do segmento percorre uniformemente o cırculo, fazemos o segmento giraruniformemente em torno de seu ponto medio, mantendo uma posicao sempre perpendicular ao vetor tangente,de tal forma que quando o ponto termina de dar uma volta, o segmento da meia volta em torno de seuponto medio. A superfıcie gerada desta forma e uma superfıcie parametrizada, a faixa de Mobius. Suaparametrizacao de acordo com a descricao dada e φ : R× (−r, r) −→ R3 definida por

φ(u, v) =((R+ v cos

u

2

)cosu,

(R+ v cos

u

2

)senu, v sen

u

2

);

u da o angulo de rotacao em torno do cırculo, enquanto que v da a posicao do segmento. Suponha porabsurdo que a faixa de Mobius M e orientavel. Considere o centro da faixa de Mobius M como uma curvafechada regular α : [0, 2π] −→ S dada por

α (t) = (R cos t, R sen t, 0) .


Definimos um campo normal N : [0, 2π] −→ R3 a faixa de Mobius ao longo desta curva, infinitamentediferenciavel, por

N (t) = R

(cos t sen

t

2, sen t sen

t

2,− cos

t

2

).

Este campo e obtido da parametrizacao

φ(u, v) =((R+ v cos

u

2

)cosu,

(R+ v cos

u

2

)senu, v sen

u

2

)calculando-se

N (u) =∂φ

∂u(u, 0)× ∂φ

∂v(u, 0)

= (−R senu,R cosu, 0)×(

cosu

2cosu, cos

u

2senu, sen

u

2

)= R

(cosu sen

u

2, senu sen

u

2,− cos

u

2

)e fazendo t = u. Mas

N (0) = R (0, 0,−1) 6= R (0, 0, 1) = N (2π) ,

contrariando o ultimo corolario.A garrafa de Klein e o plano projetivo contem uma faixa de Mobius, logo nao sao orientaveis (e facil ver

no primeiro caso; no segundo basta tomar uma faixa ocupando metade do equador da esfera S2 e identificaras duas extremidades). Estes resultados valem para subvariedades de codimensao 1 com a orientacao induzida.

10.1 Forma de Volume

10.7 Definicao. Seja Mn uma variedade diferenciavel. Dizemos que uma n-forma ω ∈ Λn (M) e umaforma de volume em M se ela nunca se anula.

10.8 Exemplo. Uma forma de volume para esfera Sn vista como subvariedade de Rn+1 e definida por

ωp (v1, . . . , vk) = det [p v1 . . . vk]

para cada p ∈ Sn. Note que na metrica e orientacao induzida de Rn+1, como p e um vetor unitario normalaos vetores v1, . . . , vk ∈ TpSn, se v1, . . . , vk sao tambem vetores ortonormais, entao [p v1 . . . vk] e uma matrizortogonal e portanto

ωp (v1, . . . , vk) = ±1,

o sinal sendo positivo quando B = p, v1, . . . , vk e uma base ortonormal positiva de Rn+1. Assim umaorientacao no espaco ambiente Rn+1 induz uma orientacao na esfera Sn.

10.9 Proposicao. Se F : M −→ N e um difeomorfismo local e ω e uma forma de volume em N , entaoF ∗ω e uma forma de volume em M .

Prova. Por definicao,(F ∗ω)p (v1, . . . , vk) = ωF (p) (dFpv1, . . . , dFpvk)

e como dFp e um isomorfismo, se v1, . . . , vk e uma base, dFpv1, . . . , dFpvk tambem e; como ωF (p) nao seanula nesta ultima, ωp nao se anula na primeira.

10.10 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel que possui uma forma de volume ω. Entao, todan-forma η ∈ Λn (M) se escreve na forma

η = fω

para alguma funcao f ∈ C∞ (M).


Prova. Seja Φ = (ϕα, Uα) um atlas para M . Dado p ∈ M , escrevendo em coordenadas locais em mp, oque equivale a tomar o pullback das formas atraves de uma carta ϕα, segue que(

ϕ−1α

)∗ω = ωα dx

1 ∧ . . . ∧ dxn,(ϕ−1α

)∗η = ηα dx

1 ∧ . . . ∧ dxn,

para funcoes ωα, ηα ∈ C∞ (ϕα (Uα)). Pela proposicao anterior,(ϕ−1

)∗ω e uma forma volume em ϕα (U),

logo ωα nunca se anula. Definindo

gα =ηαωα

,

segue que (ϕ−1α

)∗η = gα

(ϕ−1α

)∗ω.

Portanto, se fα = ϕ∗αgα = gα ϕα, temosη = fαω

em Uα para todo α. Mas, se (ϕα, Uα) , (ϕβ , Uβ) sao duas cartas tais que Uα ∩Uβ 6= ∅, para todo p ∈ Uα ∩Uβe para toda base v1, . . . , vn de TpM vale

ηp (v1, . . . , vn) = fα (p)ωp (v1, . . . , vn) = fβ (p)ωp (v1, . . . , vn) ,

de modo que fα = fβ nas intersecoes de domınios de cartas. Podemos entao definir f ∈ C∞ (M) por

f = fα em Uα.

Observe que η tambem e uma forma de volume se e somente se f nao se anula em nenhum ponto.

10.11 Proposicao. Uma variedade diferenciavel M e orientavel se e somente se ela admite uma forma devolume.

Alem disso, esta forma determina uma orientacao para M .

Prova. M e orientavel =⇒M possui uma forma de volume.Seja Φ = (ϕα, Uα) um atlas coerente para M e ρα uma particao da unidade subordinada a cobertura

Uα. Sejae1 ∧ . . . ∧ en

a forma de volume canonica para Rn. Em cada Uα defina a forma de volume (Proposicao 10.9)

ωα = ϕ∗α(e1 ∧ . . . ∧ en

).

Defina entao uma n-forma em M por

ω =∑α

ραωα.

Para verificar que ω e uma forma de volume, escreva em ϕβ (Uβ) (lembre-se que a soma a seguir e semprelocalmente finita) (

ϕ−1β

)∗ω =

∑α

(ϕ−1β

)∗(ραω

α)

=∑α

(ϕ−1β

)∗ρα

(ϕ−1β

)∗ωα

=∑α

(ρα ϕ−1

α

) (ϕ−1β

)∗ϕ∗α(e1 ∧ . . . ∧ en

)=∑α

(ρα ϕ−1

α

) (ϕα ϕ−1

β

)∗ (e1 ∧ . . . ∧ en

)=∑α

(ρα ϕ−1

α

)det d

(ϕα ϕ−1

β

) (e1 ∧ . . . ∧ en

)


e, como ρα e det d(ϕα ϕ−1

β

)nunca sao negativas e sao positivas em um numero finito de vizinhancas de

cada ponto de M , segue que os coeficientes de(ϕ−1β

)∗ω sao positivos. Portanto ω = (ϕβ)

∗(ϕ−1β

)∗ω e uma

forma de volume em Uβ , logo ω e uma forma de volume em M .M possui uma forma de volume =⇒M e orientavel.

Seja ω uma forma de volume em M e Φ = (ϕα, Uα) um atlas para M . Pela Proposicao 10.9,(ϕ−1α

)∗ω = fα

(e1 ∧ . . . ∧ en

)e uma forma de volume para Rn. As funcoes sao portanto nao nulas. Compondo ϕα com uma aplicacao quereverte orientacao (por exemplo, uma aplicacao linear que muda o sinal de uma das coordenadas de Rn), senecessario,

ωα > 0

para todo ındice α. Afirmamos que, se necessario com esta modificacao, Φ e um atlas coerente para M . Defato, de maneira analoga as contas feitas acima, temos em qualquer vizinhanca Uα ∩ Uβ 6= ∅

fβ(e1 ∧ . . . ∧ en

)=(ϕ−1β

)∗ω

=(ϕ−1β

)∗(fαω)

= fα det d(ϕα ϕ−1

β

) (e1 ∧ . . . ∧ en

),

de modo que

fβ = fα det d(ϕα ϕ−1

β

).

Como fβ e fα sao positivas, concluımos que

det d(ϕα ϕ−1

β

)> 0.

10.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orientaveis

A metrica riemanniana permite definir uma nocao de volume em variedades orientadas que permite integrarfuncoes, nao apenas formas diferenciais. Seja M uma variedade riemanniana orientada. Dado p ∈ M , sejaBp = e1, . . . , en uma base ortonormal positiva para TpM . Seja ϕ : U −→ ϕ (U) uma parametrizacaopositiva (isto e, na mesma orientacao de M ; para detalhes, veja por exemplo [Carmo], p. 18) de umavizinhanca ϕ (U) de p em M e escreva os vetores da base coordenada de TpM associada a carta ϕ emcoordenadas em relacao a base ortonormal positiva Bp na seguinte forma:

∂i|p =

n∑k=1

Aki ek

para i = 1, . . . , n. Entao

gij (p) =⟨∂i|p , ∂j |p

⟩p

=

⟨n∑k=1

Aki ek,

n∑l=1

Aljel

⟩p

=

n∑k,l=1

AkiAlj 〈ek, el〉p =

n∑k,l=1

δklAkiA

lj

=

n∑k=1

AkiAkj .


Ou seja, definindo as matrizes G = (gij) e A =(Aij), temos

G (p) = ATA

dondedetG = (detA)

2.

Denotando por vol [v1, . . . , vn] o volume do paralelepıpedo formado pelos vetores v1, . . . , vn, sabemos que

vol[∂1|p , . . . , ∂n|p

]= detA vol [e1, . . . , en] = detA =

√detG (p) ,

ja que vol [e1, . . . , en] = 1. Seja ψ : V −→ ψ (V ) outra carta positiva de uma vizinhanca ψ (V ) de p em Me escreva os vetores da base coordenada associada a carta ϕ em termos dos vetores da base coordenada deTpM associada a parametrizacao ψ

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xiJji

∂

∂yj

∣∣∣∣p

(10.1)

Denote

hij (p) =

⟨∂

∂yi

∣∣∣∣p

,∂

∂yj

∣∣∣∣p

⟩p

eH = (hij) .

Segue que

√detG (p) = vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]

= det

(∂yj

∂xi

)vol

[∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

],

ou seja,√

detG (p) = det

(∂yj

∂xi

)√detH (p) . (10.2)

Podemos agora definir o volume.

10.12 Definicao. Seja Mn uma variedade riemanniana e Ω ⊂M um conjunto aberto, conexo e com fechocompacto, tal que Ω esta contida em uma vizinhanca coordenada U de uma carta ϕ : U −→ ϕ (U) e afronteira de ϕ (Ω) tem medida nula em Rn. O volume de Ω e definido por

vol Ω =

∫ϕ(Ω)

√detGdx1 . . . dxn. (10.3)

Se Ω ⊂M e um compacto, tome qualquer cobertura finita Vii=1,...,n de Ω por vizinhancas parametrizadasde M e considere uma particao da unidade ρii=1,...,n subordinada a esta cobertura; se ϕi : Ui −→ Vi,i = 1, . . . , n, sao parametrizacoes destas vizinhancas, definimos

vol Ω =

n∑i=1

∫ϕi(Ω)

ρi√

detGdx1 . . . dxn. (10.4)

Se f : M −→ R e uma funcao contınua com suporte compacto Ω, definimos∫M

f d volg =

n∑i=1

∫ϕ−1i (Ω)

f(ϕ−1i (x)

)√detGdx1 . . . dxn. (10.5)


Segue da formula de mudanca de variaveis para integrais multiplas e de (10.1) que o volume esta bemdefinido, isto e, nao depende da carta. O elemento de volume riemanniano

d volg =√

detGdx1 . . . dxn =√

detGdx1 ∧ . . . ∧ dxn (10.6)

e de fato uma n-forma.

10.3 Operador Estrela de Hodge

Localmente:

10.13 Definicao. Para cada k definimos o operador linear estrela de Hodge

∗ : Λk (Rn) −→ Λn−k (Rn)

em k-formas elementares dxI por∗dxI = dxJ ,

onde dxJ e a (n− k)-forma elementar tal que

dxI ∧ dxJ = dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

Em outras palavras, a estrela de Hodge da k-forma dxI e a unica (n− k)-forma dxJ tal que o produtoexterior de dxI e dxJ e a forma volume de Rn.

10.14 Exemplo. Em R3, temos

∗1 = dx ∧ dy ∧ dz,∗dx = dy ∧ dz,∗dy = −dx ∧ dz,∗dz = dx ∧ dy,

∗ (dx ∧ dy) = dz,

∗ (dx ∧ dz) = −dy,∗ (dy ∧ dz) = dx,

∗ (dx ∧ dy ∧ dz) = 1.

10.3.1 Produto Interno de Formas

Para definir o operador estrela de Hodge para formas diferenciais, primeiro definimos o produto interno deformas.

10.15 Definicao. Seja V um espaco vetorial com produto interno.O produto interno em Λ1 (V ) e definido de maneira natural por

〈ω, η〉 =⟨ω], η]

⟩.

Isso induz um produto interno em Λk (V ) definindo⟨ω1 ∧ . . . ∧ ωk, η1 ∧ . . . ∧ ηk

⟩= det

[⟨ωi, ηj

⟩]onde ω1, . . . , ωk, η1, . . . , ηk sao 1-formas.


Logo, se

ω = ωiei,

η = ηjej ,

sao 1-formas, de modo que

ω] = ωiei,

η] = ηjej ,

entao〈ω, η〉 = gijω

iηj . (10.7)

Usando o fato que

ωi = girωr,

ηj = gjsηs,

segue que〈ω, η〉 = gijg

irgjsωrηs = δrjgjsωrηs = grsωrηs,

que destacamos para referencia〈ω, η〉 = grsωrηs. (10.8)

Em particular, ⟨ei, ej

⟩= gij (10.9)

e a baseB∗ =

e1, . . . , en

e ortonormal se e somente se

B = e1, . . . , enfor ortonormal.

Para k-formas elementares eI , eJ temos⟨eI , eJ

⟩= det

[⟨eir , ejs

⟩]r,s=1,...,k

=∑σ∈Sk

(signσ)⟨ei1 , eσ(i1)

⟩. . .⟨eik , eσ(ik)

⟩.

ou ⟨eI , eJ

⟩= det

[⟨eir , ejs

⟩]r,s=1,...,k

= det[girjs

]r,s=1,...,k

Em particular,BI =

ei1 ∧ . . . ∧ eik

i1,...,ik=1,...,ni1<...<ik

e ortonormal se e somente seB = e1, . . . , en

for ortonormal. Em uma base ortonormal, se

ω =∑I

ωIeI ,

η =∑J

ηJeJ ,


sao k-formas, entao

〈ω, η〉 =∑I

ωIηI .

Caso contrario, se

ω =

n∑i1,...,ik=1i1<...<ik

ωi1...ikei1 ∧ . . . ∧ eik ,

η =

n∑j1,...,jk=1j1<...<jk

ηj1...jkej1 ∧ . . . ∧ ejk ,

entao

〈ω, η〉g =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jk=1i1<...<ikj1<...<jk

ωi1...ikηj1...jk(ei1 ∧ . . . ∧ eik

) (ej1 ∧ . . . ∧ ejk

)

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jk=1i1<...<ikj1<...<jk

gi1j1...gikjkωi1...ikηj1...jk .

10.16 Exemplo (Produto Interno de Formas no Espaco de Minkowski). O produto interno de1-formas

ω = ω0 dt+ ω1 dx+ ω2 dy + ω3 dz,

η = η0 dt+ η1 dx+ η2 dy + η3 dz,

em M4 e dado por〈ω, η〉 = −ω0η0 + ω1η1 + ω2η2 + ω3η3.

Para calcular o produto interno de 2-formas no espaco de Minkowski, calculamos⟨dxi1 ∧ dxi2 , dxj1 ∧ dxj2

⟩= det

[⟨dxir , dxjs

⟩]r,s=1,2

= det

[ ⟨dxi1 , dxj1

⟩ ⟨dxi1 , dxj2

⟩⟨dxi2 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩ ]=⟨dxi1 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩−⟨dxi1 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩,

e usamos a bilinearidade do produto interno. Temos, portanto,

〈dt ∧ dx, dt ∧ dx〉 = −1,

〈dt ∧ dy, dt ∧ dy〉 = −1,

〈dt ∧ dz, dt ∧ dz〉 = −1,

〈dx ∧ dy, dx ∧ dy〉 = 1,

〈dx ∧ dz, dx ∧ dz〉 = 1,

〈dy ∧ dz, dy ∧ dz〉 = 1,

e nos demais casos ⟨dxi1 ∧ dxi2 , dxj1 ∧ dxj2

⟩= 0;


isto e exatamente a ortonormalidade da base

BI =dxi ∧ dxj

i,j=0,1,2,3

i<j,

que poderıamos ter usado logo de inıcio para obter as relacoes acima.Para calcular o produto interno de 3-formas no espaco de Minkowski, calculamos⟨

dxi1 ∧ dxi2 ∧ dxi3 , dxj1 ∧ dxj2 ∧ dxj3⟩

= det[⟨dxir , dxjs

⟩]r,s=1,2,3

= det

⟨dxi1 , dxj1⟩ ⟨dxi1 , dxj2

⟩ ⟨dxi1 , dxj3

⟩⟨dxi2 , dxj1

⟩ ⟨dxi2 , dxj2

⟩ ⟨dxi2 , dxj3

⟩⟨dxi3 , dxj1

⟩ ⟨dxi3 , dxj2

⟩ ⟨dxi3 , dxj3

⟩ ,

ou usamos imediatamente a ortonormalidade, obtendo

〈dt ∧ dx ∧ dy, dt ∧ dx ∧ dy〉 = det

〈dt, dt〉〈dt, dx〉〈dt, dy〉〈dx, dt〉〈dx, dx〉〈dx, dy〉〈dy, dt〉〈dy, dx〉〈dy, dy〉

= det

−1 0 00 1 00 0 1

= −1,

〈dt ∧ dy ∧ dz, dt ∧ dy ∧ dz〉 = −1,

〈dt ∧ dx ∧ dz, dt ∧ dx ∧ dz〉 = −1,

〈dx ∧ dy ∧ dz, dx ∧ dy ∧ dz〉 = 1,

e nos demais casos ⟨dxi1 ∧ dxi2 ∧ dxi3 , dxj1 ∧ dxj2 ∧ dxj3

⟩= 0.

Para 4-formas, temos〈dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz, dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz〉 = −1.

10.17 Definicao. Seja M uma variedade metrica. O produto interno de formas diferenciais ω, η ∈Λk (M) e definido ponto a ponto por

〈ω, η〉 (p) = 〈ωp, ηp〉gp .

O produto interno L2 de formas diferenciais ω, η ∈ Λk (M) com suporte compacto e definido global-mente por

〈ω, η〉L2 =

∫M

〈ω, η〉 d volg .

10.3.2 Estrela de Hodge de Formas Diferenciais

10.18 Proposicao. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana ou de Lorentz orientada e

d volg =√|det g|dx1 ∧ . . . ∧ dxn

sua forma volume.Entao para cada k existe um unico operador linear

∗ : Λk (M) −→ Λn−k (M)

chamado o operador estrela de Hodge tal que

ω ∧ ∗η = 〈ω, η〉g d volg .


Prova. Veja Exercıcio 16-18 em [Lee 1].

10.19 Proposicao. Se (M, g) e uma variedade riemanniana orientada entao

∗(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)= (signσ)

(dxj1 ∧ . . . ∧ dxjn−k

),

ondej1, . . . , jn−k = 1, . . . , n − i1, . . . , ik

e σ e a permutacao(1, . . . , n) 7→ (i1, . . . , ik, j1, . . . , jn−k) .

Se (M, g) e uma variedade Lorentziana orientada entao

∗(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)= (signσ) ηi1 . . . ηik

(dxj1 ∧ . . . ∧ dxjn−k

),

onde ηij := ηijij =⟨∂xij , ∂xij

⟩sao os coeficientes da metrica de Lorentz.

Prova. Pagina 89 de [Baez-Muniain]. Introduzindo o sımbolo de Levi-Civita por

εi1...in =

sign (i1, . . . , in) se todos os ındices ij sao distintos,0 caso contrario,

segue que (∗dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

)j1...jn−k

= εi1...ikj1...jn−kdxj1 ∧ . . . ∧ dxjn−k . (10.10)

e seω = ωi1...ikdx

i1 ∧ . . . ∧ dxik ,

entao(∗ω)j1...jn−k = εi1...ikj1...jn−kωi1...ik .

10.20 Corolario. Se ω e uma k-forma em uma variedade riemanniana orientada, entao

∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)

ω.

Em uma variedade de Lorentz orientada,

∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)+1

ω.

Em uma variedade metrica com assinatura (p, q) orientada,

∗ ∗ ω = (−1)k(n−k)+p

ω.

Prova. Veja Exercıcio 67 (p. 91) em [Baez-Muniain]. O primeiro segue tambem facilmente de

sign (k + 1, . . . , n, 1, . . . , k) = (−1)k(n−k)

.

O operador estrela de Hodge e um isomorfismo isometrico.

10.21 Exemplo (Estrela de Hodge no Espaco de Minkowski). Em M4, usando (10.10), com

dt = dx0,

dx = dx1,

dy = dx2,

dz = dx3,


e notando que

η0 = −1,

ηi = 1 se i = 1, 2, 3,

obtemos

∗1 = dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz,∗dt = −dx ∧ dy ∧ dz,∗dx = −dt ∧ dy ∧ dz,∗dy = dt ∧ dx ∧ dz,∗dz = −dt ∧ dx ∧ dy,

∗ (dt ∧ dx) = −dy ∧ dz,∗ (dt ∧ dy) = dx ∧ dz,∗ (dt ∧ dz) = −dx ∧ dy,∗ (dx ∧ dy) = dt ∧ dz,∗ (dx ∧ dz) = −dt ∧ dy,∗ (dy ∧ dz) = dt ∧ dx,

∗ (dx ∧ dy ∧ dz) = −dt,∗ (dt ∧ dy ∧ dz) = −dx,∗ (dt ∧ dx ∧ dz) = dy,

∗ (dt ∧ dx ∧ dy) = −dz,∗ (dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz) = −1.

De fato, por exemplo,

∗dt = ∗dx0 = ε0123η0dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 1 (−1) dx ∧ dy ∧ dz

= −dx ∧ dy ∧ dz

e, de fato,

dt ∧ (∗dt) = −dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz= 〈dt, dt〉 dt ∧ dx ∧ dy ∧ d;

tambem,

∗dx = ∗dx1 = ε1023η1dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 = (−1) 1dt ∧ dy ∧ dz

= −dt ∧ dy ∧ dz

e, de fato,

dx ∧ (∗dx) = dx ∧ (−dt ∧ dy ∧ dz)= dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz= 〈dx, dx〉 dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz;

como ultimo exemplo,

∗ (dt ∧ dy) = ∗(dx0 ∧ dx2

)= ε0213η0η2dx

1 ∧ dx3

= (−1) (−1) 1dx ∧ dz= dx ∧ dz


e, de fato,

dt ∧ dy ∧ ∗ (dt ∧ dy) = dt ∧ dy ∧ dx ∧ dz= −dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz= 〈dt ∧ dy, dt ∧ dy〉 dt ∧ dy ∧ dx ∧ dz.

10.22 Definicao. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana orientada de dimensao 4.Dizemos que uma 2-forma ω em M e autodual se

∗ω = ω

e que ω e antiautodual se∗ω = −ω.

10.23 Proposicao. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana orientada de dimensao 4.Toda 2-forma em M se escreve de maneira unica como a soma de uma forma autodual e uma forma

antiautodual.

10.3.3 Codiferencial

A derivada exterior e um operadord : Λk (M) −→ Λk+1 (M) .

10.24 Definicao. Seja M uma variedade metrica de assinatura (p, q). O codiferential e o operador linear

d∗ : Λk+1 (M) −→ Λk (M)

definido pord∗ω = (−1)

p+nk+1 ∗ d ∗ ω.

Note que, como a derivada exterior, o codiferencial satisfaz

(d∗)2

= 0.

10.25 Proposicao. Seja M uma variedade metrica sem fronteira. O codiferencial e o operador adjuntoformal da derivada exterior, no sentido que

〈dω, η〉L2 = 〈ω, d∗η〉L2

para todos ω ∈ Λk (M) e η ∈ Λk+1 (M) de suporte compacto.


Prova. Temos, pelas Proposicoes 10.18 e 10.20,

〈dω, η〉L2 − 〈ω, d∗η〉L2 =

∫M

[〈dω, η〉 − 〈ω, d∗η〉] d volg

=

∫M

(dω ∧ ∗η − ω ∧ ∗d∗η)

=

∫M

(dω ∧ ∗η − (−1)

p+nk+1ω ∧ ∗ ∗ d ∗ η

)=

∫M

(dω ∧ ∗η − (−1)

p+nk+1(−1)

k(n−k)+pω ∧ d ∗ η

)=

∫M

(dω ∧ ∗η + (−1)

kω ∧ d ∗ η

)=

∫M

d (ω ∧ ∗η)

= 0.

10.4 Gradiente, Divergente e Rotacional

O gradiente de uma funcao f : Rn −→ R pode ser visto como a derivada exterior de 0-formasidentificandoo gradiente de f no espaco euclideano Rn com a diferencial de f :

∇f = df =∂f

∂x1dx1 + . . .+

∂f

∂xndxn.

Assim, o gradiente e o operador derivada exterior

d : Λ0 (M) −→ Λ1 (M) .

O rotacional de um campo vetorial F : R3 −→ R3 pode ser visto como a estrela de Hodge da derivadaexterior da 1-forma associada ao campo, isto e, cujas componentes sao exatamente as componentes do campo(isto e, a 1-forma obtida do campo descendo ındices usando a metrica euclideana): se

ω = F1dx1 + F2dx

2 + F3dx3 =

3∑j=1

Fjdxj ,

entao∇× F = ∗dω,

pois

dω =

3∑i=1

3∑j=1

∂Fj∂xi

dxi ∧ dxj

=

(∂F2

∂x1− ∂F2

∂x1

)dx1 ∧ dx2 +

(∂F3

∂x1− ∂F1

∂x3

)dx1 ∧ dx3 +

(∂F3

∂x2− ∂F2

∂x3

)dx2 ∧ dx3

e

∗dω =

(∂F3

∂x2− ∂F2

∂x3

)dx1 +

(∂F1

∂x3− ∂F3

∂x1

)dx2 +

(∂F2

∂x1− ∂F2

∂x1

)dx3.


de modo que, agora subindo os ındices usando a metrica euclideana, as componentes de dω sao exatamenteas componentes do campo rotacional de F . Assim, o rotacional e o operador derivada exterior seguido dooperador estrela de Hodge

∗d : Λ1 (M) −→ Λ2 (M) .

Finalmente, o divergente de um campo vetorial F : R3 −→ R3 pode ser visto como a derivada exteriorda 2-forma que e a estrela de Hodge da 1-forma associada ao campo: se

ω = F1dx1 + F2dx

2 + F3dx3,

entao

∗ω = ∗(F1dx

1 + F2dx2 + F3dx

3)

= F3dx1 ∧ dx2 − F2dx

1 ∧ dx3 + F1dx2 ∧ dx3

e

d (∗ω) =∂F3

∂x3dx3 ∧ dx1 ∧ dx2 − ∂F2

∂x2dx2 ∧ dx1 ∧ dx3 +

∂F1

∂x1dx1 ∧ dx2 ∧ dx3

=

(∂F1

∂x1+∂F2

∂x2+∂F3

∂x3

)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

Assim, o divergente e o operador estrela de Hodge seguido do operador derivada exterior

d∗ : Λ1 (M) −→ Λ3 (M) .

10.5 Exercıcios

10.26 Exercıcio. Prove que o fibrado tangente TM sempre e uma variedade orientavel (mesmo que M naoseja).

10.27 Exercıcio. Mostre que se o fibrado tangente TM e trivial, isto e, existe um difeomorfismo entre TMe M × Rn que preserva fibras, entao M e orientavel.

Capıtulo 11

Grupos de Lie e Algebras de Lie

11.1 Grupos de Lie

11.1.1 Definicao

Um grupo de Lie e uma variedade diferenciavel que e simultaneamente um grupo algebrico, de tal modo quea estrutura algebrica e compatıvel com a estrutura diferenciavel, isto e, as operacoes algebricas de produtoe inversao sao aplicacoes diferenciaveis.

A aplicacao mais importante de grupos de Lie e no estudo de simetrias de variedades, isto e, automorfismosde variedades que preservam alguma estrutura extra: o grupo de isometrias de uma variedade Riemanniana(por exemplo, o grupo de simetrias da esfera, formado por rotacoes e reflexoes) e um grupo de Lie, comopode ser visto em detalhes em [Kobayashi].

11.1 Definicao. Um grupo de Lie e uma variedade diferenciavel G que possui uma estrutura algebricade grupo tal que as aplicacoes produto

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh

e inversao

G −→ G

g 7→ g−1

sao diferenciaveis.

Observe que a aplicacao produto esta definida na variedade produto G × G. As duas condicoes acima queexpressam a compatibilidade da estrutura algebrica com a estrutura diferencial podem ser resumidas emuma unica condicao:

11.2 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se esomente se a aplicacao

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh−1

e diferenciavel.

159


Prova: Suponha que a aplicacao do enunciado e diferenciavel. Entao a aplicacao inversao de G e diferenciavelporque e a composta de aplicacoes diferenciaveis:

G −→ G×G −→ Gg 7→ (e, g) 7→ eg−1 = g−1

(lembre-se que a inclusao na variedade produto sempre e uma aplicacao diferenciavel). Da mesmo forma, aaplicacao produto de G e diferenciavel porque e a composta de aplicacoes diferenciaveis:

G×G −→ G×G −→ G

(g, h) 7→(g, h−1

)7→ g

(h−1

)−1= gh

(lembre-se que uma aplicacao de G×G em G×G e uma aplicacao diferenciavel se e somente se cada aplicacaocoordenada G×G −→ G e).

A recıproca e obvia.

11.3 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Dado g ∈ G, entao as aplicacoes multiplicacao a esquerdapor g

Lg : G −→ Gg 7→ gh

e multiplicacao a direita por gRg : G −→ G

h 7→ hg

sao difeomorfismos.

Prova: Pois

(Lg)−1

= Lg−1 ,

(Rg)−1

= Rg−1 ,

Este resultado mostra que um grupo de Lie e homogeneo, isto e, do ponto de vista da variedade diferenciavelsubjacente todo ponto localmente se parece com qualquer outro ponto, via os difeomorfismos globais (auto-morfismos) multiplicacao a esquerda ou a direita.

Note que pela regra da cadeia [(dLg)h

]−1=(dL−1

g

)Lgh

=(dLg−1

)gh

(11.1)

e similarmente [(dRg)h

]−1=(dRg−1

)gh. (11.2)

Usando a homogeneidade de um grupo de Lie, podemos agora mostrar que na definicao de um grupo deLie basta assumir que a operacao produto e diferenciavel:

11.4 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se esomente se a aplicacao produto

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh

e diferenciavel.


Prova: Para provar o resultado, basta mostrar que a aplicacao inversao e diferenciavel se a aplicacao produtoe.

Primeiro note que a aplicacao produto P : G×G −→ G e uma submersao em (e, e). De fato, identificando(Exercıcio 3.22)

T(e,e) (G×G) = TeG⊕ TeGdado v ∈ TeG, seja α : I −→ G uma curva tal que α (0) = e e α′ (0) = v. Defina a curva β : I −→ G×G por

β (t) = (α (t) , e) ,

de modo queβ′ (t) = (α′ (t) , 0) ,

donde

β (0) = (e, e) ,

β′ (0) = (v, 0) ,

Segue da regra da cadeia que

dP(e,e) (v, 0) = dP(e,e) (β′ (0)) = (P β)′(0)

= α′ (0) = v.

Agora defina uma aplicacaoF : G×G −→ G×G

porF (g, h) = (g, gh) ,

ou seja,F = (π1, P ) ,

onde π1 e a projecao na primeira variavel. Como ambas P e π1 sao submersoes (veja Exemplo 4.5), segueque

dF(e,e) : TeG⊕ TeG −→ TeG⊕ TeGdada por

dF(e,e) =(d (π1)(e,e) , dP(e,e)

)tambem e sobrejetiva. Mas as dimensoes do domınio e do contradomınio sao iguais, logo dF(e,e) e umisomorfismo. Pelo Teorema da Aplicacao Inversa, existe uma vizinhanca U de (e, e) tal que F |U e umdifeomorfismo sobre sua imagem. Mas a inversa de F e, de fato,

F−1 (g, h) =(g, g−1h

),

logo em U a aplicacao inversa e a composta de aplicacoes diferenciaveis segundo o diagrama

gi17−→ (g, e)

F−1

7−→(g, g−1

) π17−→ g−1

portanto pela regra da cadeia ela e diferenciavel em U .Para mostrar que a aplicacao inversa e de fato diferenciavel em qualquer aberto de G, usamos a homo-

geneidade de um grupo de Lie. Dado g ∈ G arbitrario, como Lg e um difeomorfismo, Lg (U) = gU e umavizinhanca de g. Em gU a aplicacao inversa e a composta de aplicacoes diferenciaveis segundo o diagrama(no diagrama a seguir, dado h ∈ gU , escrevemos h = gx para algum x ∈ U)

h = gxLg−1

7−→ xinversa|U7−→ x−1

Rg−1

7−→ x−1g−1 = (gx)−1

= h−1,

portanto pela regra da cadeia ela e diferenciavel em gU . O resultado acima e um exemplo tıpico de como podemos usar o comportamento de um grupo de Lie emuma vizinhanca da identidade para provar fatos sobre todo o grupo.


11.5 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Se H e um subgrupo de G que e tambem uma subvariedade deG, entao H e um grupo de Lie.


11.1.2 Exemplos

11.6 Exemplo. Os espacos Rn e Cn (identificado com R2n) sob a operacao de adicao vetorial sao gruposde Lie.

Da mesma forma, o grupo multiplicativo dos reais R\ 0 e o grupo multiplicativo dos complexos C\ 0(identificado com R2\ 0) sob a operacao de multiplicacao sao grupos de Lie.

Como S1 com a multiplicacao induzida de C e um subgrupo e uma subvariedade de C\ 0, ele tambeme um grupo de Lie (Exercıcio 11.48).

11.7 Exemplo (Quaternions). A algebra (anel com divisao nao-comutativo) dos quaternions H e o su-bespaco vetorial real das matrizes complexas

H =

[z w−w z

]: z, w ∈ C

com o produto usual de matrizes. De fato,[

z w−w z

]−1

=1

|z|2 + |w|2

[z −ww z

].

Ele e isomorfo a R4, com sua base canonica sendo dada pelas matrizes

1 =

[1 00 1

], i =

[i 00 −i

], j =

[0 1−1 0

], k =

[0 ii 0

].

Assim, um quaternion pode ser escrito na forma

a+ bi+ cj + dk,

com os quaternions puros i, j,k satisfazendo as relacoes de comutacao

i2 = j2 = k2 = −1,

ij = −ji = k,

jk = −jk = i,

ki = −ik = j.

Usando estas relacoes mais as leis associativa e distributiva, podemos multiplicar os quaternions diretamente,sem nos referirmos a matrizes. Um mnemonico para as tres ultimas relacoes e

i k ←− j

Definimos a parte real e a parte imaginaria de um quaternion q = a+ bi+ cj + dk por

Re q = a,

Im q = bi+ cj + dk.

O seu conjugado quaternion eq = a− bi− cj − dk


e seu modulo|q| =

√a2 + b2 + c2 + d2.

Note queqq = |q|2 ,

de modo que

q−1 =q

|q|2.

O grupo multiplicativo dos quaternions H\ 0 e um grupo de Lie.

11.8 Exemplo (Produto Direto). Se G e H sao grupos de Lie, o produto direto G×H

(g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1h2)

com a estrutura diferenciavel de variedade produto e um grupo de Lie (Exercıcio 11.49). Assim, o toron-dimensional Tn = S1 × . . .× S1 ⊂ R2n e um grupo de Lie.

11.9 Exemplo (Grupo Linear Geral GLn (R)). O grupo das matrizes reais n × n invertıveis, chamado ogrupo linear geral real de ordem n e denotado GLn (R), e um grupo de Lie de dimensao n2.

De fato, identificando as matrizes reais n × n com pontos de Rn2

(por exemplo, ordenando as colunas

lado a lado), temos que GLn (R) e um aberto de Rn2

, pois

GLn (R) = det−1 (R\ 0) .

O produto de matrizes e uma aplicacao diferenciavel

GLn (R)×GLn (R) −→ GLn (R)

pois as n2 funcoes coordenadas desta aplicacao sao

(XY )ij =

n∑k=1

XikY

kj ,

que e uma funcao polinomial nas variaveis X11 , . . . , X

n1 , . . . , X

1n, . . . , X

nn , Y

11 , . . . , Y

n1 , . . . , Y

1n , . . . , Y

nn , por-

tanto diferenciavel. A inversao de matrizes tambem e uma aplicacao diferenciavel

GLn (R) −→ GLn (R)

pois cada funcao coordenada desta aplicacao e da forma

Xij = (−1)

i+j detX (i|j)detX

(aqui X (i|j) denota a matriz (n− 1)× (n− 1) obtida de X atraves da eliminacao de sua i-esima linha e desua j-esima coluna), que e uma funcao racional nas variaveis X1

1 , . . . , X1n, . . . , X

n1 , . . . , X

nn (o determinante

e uma funcao polinomial de grau n das entradas da matriz), cujo denominador nunca se anula, portantodiferenciavel.

Note que o grupo linear geral GLn (R) e o grupo de automorfismos de Rn que preservam a estruturalinear (a estrutura de espaco vetorial) de Rn, isto e, os isomorfismos de Rn.

11.10 Exemplo (Grupo Linear Especial SLn (R)). O grupo linear especial real de ordem n, denotado porSLn (R), e o grupo das matrizes com determinante 1. Ele e exatamente o grupo dos isomorfismos de Rn quepreservam o volume. Ele inclui nao apenas os isomorfismos isometricos mas tambem, por exemplo, aquelesisomorfismos que sao dilatacoes em certas direcoes e contracoes em outras, que se compensam exatamente


de forma a nao alterar o volume. Ele e um grupo de Lie de dimensao n2 − 1, porque 1 e um valor regularda funcao determinante det : Rn2 −→ R. De fato, como a funcao determinante e uma funcao n-linear, suaderivada direcional e dada por

d (det)X H =

n∑i=1

det(X1, . . . ,Hi, . . . , Xn

)(aqui Xi denota a i-esima coluna de X). Daı, a derivada parcial da funcao determinante em relacao avariavel Xp

q na matriz X e dada por (denotamos a matriz elementar cujo elemento (r, s) e 1 e os demaiselementos sao nulos por Ers)

∂ det

∂Xrs

(X) = d (det)X Ers = (−1)r+s

detX (r|s) ,

ou seja, e o menor da matriz X. Pela expansao do determinante ao longo de uma linha ou coluna da matriz,segue que qualquer valor nao nulo do determinante e um valor regular: se detX 6= 0, entao pelo menos umde seus menores e diferente de zero, logo pelo menos uma das derivadas parciais da funcao det calculada emX e nao nula. Portanto, SLn (R) e um subgrupo e uma subvariedade de GLn (R), logo tambem e um grupode Lie.

Note que, diferentemente de GLn (R), SLn (R) e uma subvariedade fechada, pois e a imagem inversa dosubconjunto fechado 1 pela funcao contınua determinante.

11.11 Exemplo (Grupo Ortogonal On). O grupo das matrizes reais n × n ortogonais, chamado o grupoortogonal de ordem n e denotado On, e um grupo de Lie de dimensao n (n− 1) /2.

De fato, On e um subgrupo de GLn (R) que tambem e uma subvariedade de GLn (R). Para verificar esteultimo fato, lembre-se que uma matriz X e ortogonal se e somente se XXt = I. Como XXt e uma matrizsimetrica, identificamos o espaco vetorial das matrizes simetricas com Rn(n+1)/2. Para provar que On e umasubvariedade basta entao provar que I e um valor regular da aplicacao

F : Rn2

−→ Rn(n+1)/2

definida porF (X) = XXt,

uma aplicacao claramente diferenciavel. A derivada direcional desta aplicacao, como pode ser calculadodiretamente da definicao, e dada por

dFXH = XHt +HXt.

Para provar que I e um valor regular de F , temos que mostrar que para toda matriz simetrica S ∈ Rn(n+1)/2

existe uma matriz H tal quedFXH = XHt +HXt = S.

A possibilidade mais simples disso ocorrer e se H satisfizesse

XHt = HXt =1

2S.

E, de fato, podemos garantir que isso realmente ocorre usando a ortogonalidade de X para obter explicita-mente

H =1

2SX.

Como I e um valor regular de F , On = F−1 (I) e uma subvariedade de dimensao

n2 − n (n+ 1)

2=n (n− 1)

2.


Em particular, On e uma subvariedade fechada (a imagem inversa de um subconjunto fechado por uma

funcao contınua). Alem disso, ele e um conjunto limitado, pois toda matriz ortogonal tem norma n em Rn2

(cada uma das n colunas tem norma 1). Concluımos portanto que On e um grupo de Lie compacto.Note que o grupo ortogonal On e o grupo das isometrias euclidianas de Rn. Mais geralmente, definimos

o grupo ortogonal Op,q como sendo o grupo das isometrias de Rn dotado da metrica de assinatura (p, q);este tambem e um grupo de Lie de dimensao n (n− 1) /2, mas nao e compacto se pq 6= 0.

11.12 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. A componente conexa que contem a identidade G0 e umsubgrupo de Lie.

Prova: Como G0 e uma componente conexa de G, em particular e aberta em G e portanto uma subvariedade.Para verificar que G0 e um grupo de Lie, basta entao verificar que ele e fechado em relacao as operacoesde produto e de tomar inversa. Se g, h ∈ G0 entao existem caminhos contınuos α, β : [0, 1] −→ G0 tais queα (0) = β (0) = e e α (1) = g, β (1) = h. Pela continuidade da operacao produto e da operacao de tomarinversa,

(αβ) (t) = α (t)β (t) ,

α−1 (t) = [α (t)]−1,

sao caminhos contınuos de e para gh e g−1, logo gh, g−1 ∈ G0. O subgrupo de Lie G0 e chamada a componente da identidade. Obviamente, as componentes conexasque nao contem a identidade nao podem ser subgrupos.

11.13 Exemplo (Grupo Ortogonal Especial SOn). O grupo ortogonal On contem duas componentes cone-xas, o formado pelas matrizes ortogonais de determinante +1 (isto e, as rotacoes) e o das matrizes ortogonaisde determinante −1 (isto e, as reflexoes).

Claramente, On nao pode ser conexo, pois a imagem de On pela funcao determinante e o conjuntodesconexo −1, 1. Para ver que On possui exatamente 2 componentes conexas, veja [Lima], p. 59.

Apenas a componente conexa das rotacoes e um grupo, pela propriedade do determinante do produto dematrizes (a composta de rotacoes e uma rotacao, enquanto que a composta de reflexoes e uma rotacao).

O grupo de Lie das matrizes ortogonais com determinante 1 e chamado o grupo ortogonal especiale denotado SOn. Ela e a componente conexa de On que contem a identidade. Como esta componenteconexa tambem e fechada (imagem inversa de 1 pela funcao determinante), SOn tambem e um grupo de Liecompacto, alem de conexo (Exercıcio 11.5).

11.14 Exemplo (Grupo Ortogonal Especial de Lorentz SO1,3). O grupo nao compacto O1,3 das matrizesortogonais com assinatura (1, 3) e chamado o grupo de Lorentz. O subgrupo de O1,3 das matrizes orto-gonais com determinante 1 e chamado o grupo ortogonal especial SO1,3. Ele e um subgrupo de Lie deO1,3, mas nao e a componente conexa que contem a identidade. De fato, O1,3 possui 4 componentes conexase SO1,3 duas componentes conexas.

Para ver que o grupo de Lorentz nao possui menos que 4 componentes conexas, denotando

η =

−1

11

1

,por definicao uma matriz Λ e ortogonal na assinatura (1, 3) (isto e, ela e uma transformacao de Lorentz)se ela satisfaz

ΛtηΛ = η.

De fato, isso e equivalente avtΛtηΛw = vtηw


para todos os vetores v, w ∈ R4 e a metrica de Lorentz de assinatura (1, 3) e definida por

〈v, w〉 := vtηw,

de modo que〈Λv,Λw〉 = 〈v, w〉

para todos os vetores v, w ∈ R4. Isso implica em particular que uma transformacao de Lorentz Λ satisfaz acondicao

|Λ00| > 1,

pois

−Λ200 +

3∑i=1

Λ2i0 = 〈Λe0,Λe0〉 = 〈e0, e0〉 = −1,

de modo que

Λ200 = 1 +

3∑i=1

Λ2i0 > 1. (11.3)

A regra do produto dos determinantes, juntamente com det η = −1, implica que uma transformacao deLorentz satisfaz

det Λ = ±1,

logo a condicaodet (ΛΛ′) = det Λ det Λ′

implica que O1,3 tem pelo menos duas componentes, aquela formada pelas matrizes de Lorentz com deter-minante −1 e aquelas com determinante +1, esta ultima sendo um subgrupo (isto e, SO1,3). Mas cada umadestas componentes na verdade se divide em pelo menos duas componentes conexas, aquela formada pelasmatrizes de Lorentz satisfazendo Λ00 > 1 e aquela formada pelas pelas matrizes de Lorentz satisfazendoΛ00 6 −1. Isso decorre da regra do produto dos sinais do primeiro elemento das matrizes de Lorentz:

sign [(ΛΛ′)00] = sign (Λ00) sign (Λ′00) .

De fato,

(ΛΛ′)00 = Λ00Λ′00 +

3∑i=1

Λ0iΛ′i0,

de modo que se Λ00Λ′00 > 0, entao segue de (11.3) (a transposta de uma transformacao de Lorentz e umatransformacao de Lorentz, logo a equacao vale nao apenas para a primeira coluna mas tambem para aprimeira linha) e da desigualdade de Schwarz que

(ΛΛ′)00 =

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′)20i

)1/2

+

3∑i=1

Λ0iΛ′i0

>

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

−

(3∑i=1

Λ2i0

)1/2( 3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

> 0,


e se Λ00Λ′00 < 0, entao

(ΛΛ′)00 = −

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′)20i

)1/2

+

3∑i=1

Λ0iΛ′i0

6 −

(1 +

3∑i=1

Λ2i0

)1/2(1 +

3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

+

(3∑i=1

Λ2i0

)1/2( 3∑i=1

(Λ′0i)2

)1/2

< 0.

A componente da identidade SO01,3 de SO1,3 (e de O1,3) e portanto formada pelas matrizes com determinante

+1 e primeiro elemento Λ00 > 1; ela e chamada o grupo de Lorentz ortocrono proprio. Transformacoesde Lorentz preservam a direcao do tempo. Observe que as seguintes transformacoes de Lorentz nao pertencema SO0

1,3 (isto e, nao sao ortocronas):

reversao espacial (paridade): P (t, x, y, z) = (t,−x,−y,−z) ,reversao temporal: T (t, x, y, z) = (−t, x, y, z) ,

reversao espacotemporal: PT (t, x, y, z) = (−t,−x,−y,−z) .

Note que as transformacoes de Lorentz ortocronas com determinante ±1 tambem formam um subgrupo deO1,3, chamado o subgrupo isocrono e denotado O+

1,3, e as transformacoes de Lorentz com determinante+1 satisfazendo sign (Λ00) = ±1 tambem formam outro subgrupo de O1,3, chamado o subgrupo proprio.

11.15 Exemplo (Grupo Linear Geral GLn (C) e Grupo Linear Especial SLn (C)). Os grupos lineares com-plexos GLn (C) e SLn (C) sao definidos de forma analoga aos grupos lineares reais GLn (R) e SLn (R),respectivamente, e sao grupos de Lie de dimensao 4n2.

11.16 Exemplo (Grupo Unitario Un e Grupo Unitario Especial SUn). O grupo das matrizes complexasn×n unitarias, chamado o grupo unitario de ordem n e denotado Un, e um grupo de Lie de dimensao n2.Analogamente as matrizes ortogonais, as matrizes unitarias U satisfazem |detU | = 1, exceto que detU emgeral e um numero complexo. O grupo das matrizes unitarias n×n com determinante 1 e chamado o grupounitario especial de ordem n, denotado SUn. Sua dimensao e n2 − 1. Todos estes grupos sao conexos(Exercıcio 11.55).

U1 e o cırculo S1 e SU2 e o grupo dos quaternions unitarios. De fato, se

A =

[α βγ δ

]e uma matriz em SU2, entao a condicao detA = 1 implica

αδ − βγ = 1,

enquanto que o fato que A e unitaria, ou seja, AAt

= I implica que[αα+ ββ αγ + βδ

αγ + βδ γγ + δδ

]=

[1 00 1

].

As duas condicoes juntas implicam α = δ e γ = −β, como pode ser verificado. Em particular, SU2 edifeomorfo a esfera S3. As esferas S1 e S3 sao as unicas esferas que podem ser grupos de Lie.

De forma analoga a Rn e Cn pode-se definir Hn e considera-lo essencialmente como um espaco vetorialmas, como H nao e um corpo, deve-se ter cuidado com a multiplicacao por escalares. Daı pode-se definirGLn (H), SLn (H) e Un(H); este ultimo e denotado Spn e chamado o grupo simpletico de ordem n (Sp1 edifeomorfo a SU2). Veja [Naber], pp. 39-46, para um desenvolvimento detalhado destes conceitos. O grupode calibre da teoria eletromagnetica e U1, o grupo de calibre da teoria eletrofraca e U1×SU2 e o grupo decalibre do modelo padrao (forca eletromagnetica + forca fraca + forca forte) e U1×SU2 ×SU3.


11.2 Propriedades de Grupos de Lie

11.17 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que um campo vetorial X e invariante a esquerdase

(Lg)∗X = X

para todo g ∈ G.

Explicitando a definicao acima, ela significa que para todos g, h ∈ G vale

(dLg)hXh = XLgh = Xgh. (11.4)

Em particular, um campo invariante a esquerda fica completamente determinado pelo seu valor em um pontoqualquer de G. Por exemplo, se conhecemos o valor de Xe entao, tomando h = e, segue que

Xg = (dLg)eXe. (11.5)

Campos invariantes a esquerda sao automaticamente diferenciaveis:

11.18 Proposicao. Se X e um campo invariante a esquerda, entao X ∈ T (G).

Prova: Para provar que um campo invariante a esquerda X e diferenciavel em G, basta mostrar isso parauma vizinhanca V da identidade e: se X e diferenciavel em V , como Lg e um difeomorfismo, X = (Lg)∗Xe um campo diferenciavel na vizinhanca gV = Lg (V ) de g.

Seja (ϕ,U) uma vizinhanca coordenada de e com funcoes coordenadas xi. Observe que as componentesdo campo X neste sistema de coordenadas sao exatamente Xi: se X = Xj∂j , temos

Xxi = Xj∂jxi = Xjδij = Xi.

Logo, para provar que X e C∞ em alguma vizinhanca V ⊂ U de e, basta provar que as suas componentesXxi sao funcoes C∞ em V . Tome uma vizinhanca V de e tal que

V V ⊂ U,

isto e, se g, h ∈ V , entao gh ∈ U (em particular, V ⊂ U , porque e ∈ V ). A existencia de V segue dacontinuidade da aplicacao produto P : G × G −→ G: P−1 (U) e um aberto de G × G contendo (e, e), e natopologia produto existe um aberto da forma V1 × V2 ⊂ P−1 (U) contendo (e, e); basta tomar V = V1 ∩ V2.

Para cada g ∈ V , temos (Xxi

)(g) = Xg

(xi)

=[(dLg)eXe

] (xi)

= Xe

(xi Lg

)e note que a ultima identidade faz sentido, isto e, xi Lg esta definido em V , porque Lg (V ) ⊂ U . Escrevendo

Xe = cj ∂j |e ,

para alguns escalares cj ∈ R, segue que

(Xxi

)(g) = ci

∂(xi Lg

)∂xj

(e) .

Para cada g fixado, o lado direito desta identidade e uma funcao C∞ em V (derivada parcial da compostada funcao coordenada de uma carta com um difeomorfismo), mas precisamos mostrar que ele tambem e C∞

em g ∈ V . Para isso, observe que, a composta

ψ = ϕ P : V × V −→ Rn


ou seja,ψ (g, h) =

(x1 (gh) , . . . , xn (gh)

),

e C∞. Usando a cartaϕ× ϕ : V × V −→ ϕ (V )× ϕ (V ) ,

temos(ϕ× ϕ) (g, h) = (ϕ (g) , ϕ (h)) =

(x1 (g) , . . . , xn (g) , x1 (h) , . . . , xn (h)

),

de modo que seF : ϕ (V )× ϕ (V ) −→ Rn

e definida porF = ψ (ϕ× ϕ)

−1,

podemos escreverψ = F (ϕ× ϕ) .

Em particular,ψi = F i (ϕ× ϕ) ,

donde (xi Lg

)(h) = xi (gh) = F i

((x1 (g) , . . . , xn (g) , x1 (h) , . . . , xn (h)

))As funcoes coordenadas F 1, . . . , Fn sao C∞ em ϕ (V )× ϕ (V ), logo

∂(xi Lg

)∂xj

(e) =∂F i

∂xn+j

((x1 (g) , . . . , xn (g) , x1 (e) , . . . , xn (e)

)),

que e C∞ em g ∈ V .

11.19 Corolario. Seja G um grupo de Lie. Todo vetor tangente Xe no espaco tangente TeG possui umaunica extensao a um campo invariante a esquerda X ∈ T (G).

11.20 Proposicao. Mais que isso, toda base de TeG pode ser estendida a um referencial global de camposinvariantes a esquerda.

Em particular, o conjunto dos campos invariantes a esquerda de um grupo de Lie n-dimensional G e umsubespaco vetorial de T (G) de dimensao n.

Prova: Basta definirXg = (dLg)eXe.

Para ver que X e um campo invariante a esquerda, seja h ∈ G qualquer. Como

Lh Lg = Lhg

segue que(dLh)gXg = (dLh)g (dLg)eXg = [d (Lh Lg)]eXg = (dLhg)eXg = Xhg.

Pela proposicao anterior, X ∈ T (G). A unicidade segue pelo fato de campos invariantes a esquerda ficaremcompletamente determinado pelo seu valor em um ponto qualquer de G, como observado no inıcio destasecao.

Seja agoraB = X1,e, . . . , Xn,e

uma base para TeG. Como acabamos de demonstrar, cada vetor Xi,e pode ser estendido a um campoinvariante a esquerda Xi ∈ T (G) definindo

Xi,g = (dLg)eXi,e

Como dLg e um difeomorfismo, em particular

Bg = X1,g, . . . , Xn,g

e uma base para TgG.


11.21 Corolario. Todo grupo de Lie possui um fibrado tangente trivial.Em particular, todo grupo de Lie e orientavel.

Prova: Pela proposicao, podemos obter um referencial suave

Bg = X1,g, . . . , Xn,g

para G. Logo podemos definir um difeomorfismo

F : TG −→ G× Rn

porF(g, ciXi,g

)=(g, ciei

).

O resultado segue do Exercıcio 10.2.

11.3 Representacoes de Grupos de Lie

Seja V um espaco vetorial real ou complexo e denote por GL (V ) o grupo dos isomorfismos de V . Se V temdimensao finita n = dimV , segue que GL (V ) e isomorfo ao grupo linear geral GLn (R) no primeiro caso eao grupo linear geral GLn(C) no segundo. Varios (mas nem todos) grupos de Lie sao subgrupos de GL (V ),o que leva naturalmente a teoria de representacoes de grupos de Lie.

11.22 Definicao. Se G e um grupo de Lie, uma representacao de G e um homomorfismo

ρ : G −→ GL (V ) .

Se uma representacao e injetiva, entao dizemos que ela e fiel, pois neste caso G ∼= ρ (G), isto e, G eefetivamente isomorfo a um subgrupo de GLn (R) ou a um subgrupo de GLn (C); assim, neste caso G erealmente representado por um grupo de matrizes. O grupo de recobrimento universal de SL(2,R) e umexemplo de um grupo de Lie que nao possui nenhuma representacao fiel, portanto nao e isomorfo a umsubgrupo de matrizes reais ou complexas.

O motivo de considerarmos GL (V ) ao inves de lidar simplesmente com GLn (R) ou GLn (C) e que umarepresentacao ρ : G −→ GL (V ) deve ser pensada como uma acao linear de G sobre o espaco vetorial V :

gv := ρ (g) v.

De fato, como ρ e um homomorfismo, temos

g (hv) = (gh) v.

O objetivo da teoria de representacoes nao e apenas determinar quando um grupo de Lie possui umarepresentacao e qual e ela. Em geral, um grupo de Lie possui varias representacoes diferentes. O objetivoe determinar a menos de isomorfismos quais sao estas representacoes. Para classificar representacoes, istoe, dizer quando duas determinacoes sao essencialmente a mesma, definimos a nocao de equivalencia de duasrepresentacoes da seguinte forma:

11.23 Definicao. Se G e um grupo de Lie, duas representacoes de G

ρ : G −→ GL (V ) ,

ρ′ : G −→ GL (V ) ,

sao equivalentes se existe um isomorfismo T : V −→ V tal que

ρ (g)T = Tρ′ (g)

para todo g ∈ G.


Ou seja,g (Tv) = T (gv) ,

a acao de G sobre V no lado esquerdo desta equacao sendo dada por ρ, enquanto que no lado direito a acaoe dada por ρ′. Em outras palavras, para todo g ∈ G

ρ′ (g) = T−1ρ (g)T

de modo que as matrizes ρ′ (g) e ρ (g) sao semelhantes independentemente de g atraves da mesma mudancade coordenadas dada pelo isomorfismo T .

11.3.1 Reducibilidade de Grupos de Lie

Podemos criar novas representacoes a partir de representacoes dadas:

11.24 Definicao. Seja G um grupo de Lie e ρ1, . . . , ρk representacoes de G agindo sobre os espacos vetoriaisV1, . . . , Vk, respectivamente. Sua soma direta e a representacao ρ1 ⊕ . . . ⊕ ρk agindo sobre a soma diretaV1 ⊕ . . .⊕ Vk dos espacos vetoriais definida por

(ρ1 ⊕ . . .⊕ ρk) (g) (v1, . . . , vk) = (ρ1 (g) v1, . . . , ρk (g) vk) .

Ou, simplesmente,g (v1, . . . , vk) = (gv1, . . . , gvk) .

11.25 Definicao. Seja G um grupo de Lie e ρ1, . . . , ρk representacoes de G agindo sobre os espacos vetoriaisV1, . . . , Vk, respectivamente. Seu produto tensorial e a representacao ρ1⊗ . . .⊗ ρk agindo sobre o produtotensorial V1 ⊗ . . .⊗ Vk dos espacos vetoriais definido por

(ρ1 ⊗ . . .⊗ ρk) (g) (v1 ⊗ . . .⊗ vk) = ρ1 (g) v1 ⊗ . . .⊗ ρk (g) vk.

Ou, simplesmente,g (v1 ⊗ . . .⊗ vk) = gv1 ⊗ . . .⊗ gvk.

11.26 Definicao. Seja ρ : G −→ GL (V ) uma representacao.Dizemos que um subespaco W de V e invariante sob a acao de G definida por ρ se gw ∈ W para todo

w ∈W e para todo g ∈ G.Dizemos que ρ e irredutıvel se os unicos subespacos invariantes de ρ sao os subespacos triviais 0 e V .

Representacoes irredutıveis sao os elementos de construcao de representacoes de grupos de Lie.

11.27 Definicao. Dizemos que uma representacao de um grupo de Lie e completamente redutıvel seela e isomorfa a uma soma direta finita de representacoes irredutıveis.

11.28 Proposicao. Se G e um grupo de Lie compacto, entao toda representacao dele e completamenteredutıvel.

Prova: Veja [Hall], p. 93. Os grupos de calibre (gauge) que aparecem em teoria quantica de campos sao compactos (o grupo de

Lorentz da relatividade geral nao e compacto) e as partıculas elementares correspondem a representacoesirredutıveis de tais grupos.


11.29 Teorema (Lema de Schur). Seja ρ : G −→ GL (V ) uma representacao irredutıvel. Se T : V −→ V eum isomorfismo tal que

ρ (g)T = Tρ (g)

para todo g ∈ G, entao T e um multiplo escalar da identidade.

Prova: Veja [Hall].

11.30 Corolario. Qualquer representacao de um grupo de Lie abeliano e unidimensional.

Prova: Pois qualquer isomorfismo ρ (g) comuta com todos os outros, logo ρ (g) e um multiplo da identidade.

11.3.2 SU2 e um recobrimento duplo de SO3

Mostraremos que existe um homomorfismo

ρ : SU2 −→ SO3

que e um recobrimento duplo. Como SU2 e difeomorfo a S3 (veja [Naber], p. 38, Teorema 1.1.4), isso tambemimplicara que SO3 e difeomorfo a RP3, como veremos (veja tambem [Hall], p. 21, Proposicao 1.17). Issoimplica que Vendo SO3 como um subgrupo de GL3 (C), este homomorfismo tambem e uma representacaode SO3 em GL3 (C).

Lembre-se que SU2 consiste das matrizes unitarias complexas 2 × 2 com determinante 1, isto e, dasmatrizes que satisfazem U∗U = I, onde a transposta conjugada e definida por

(A∗)ij = Aji.

O espaco vetorial real V das matrizes complexas hermitianas (autoadjuntas, isto e, A∗ = A) 2 × 2 comtraco nulo e isomorfo a R3. De fato, um elemento de V tem a forma geral

X =

[x3 x1 − x2i

x1 + x2i −x3

]e as matrizes de Pauli

σ1 =

[0 11 0

],

σ2 =

[0 −ii 0

],

σ3 =

[1 00 −1

],

formam uma base para este espaco, isto e, X = x1σ1 + x2σ2 + x3σ3. Com esta identificacao, o produtointerno canonico de R3 pode ser calculado como

〈X,Y 〉 =1

2tr (XY )

como pode ser verificado por calculo direto.Defina para cada U ∈ SU2 um operador linear ΦU : V −→ V por

ΦU (X) = UXU−1.

De fato, como U e unitario, temos(UXU−1

)∗=(U−1

)∗X∗U∗ = UXU−1


e, usando a propriedade do traco do produto tr (AB) = tr (BA),

tr(UXU−1

)= tr

(U−1UX

)= trX = 0,

de modo que ΦU (X) ∈ V . Afirmamos que a aplicacao

U 7−→ ΦU

e uma representacaoρ : SU2 −→ GL (V ) .

Com efeito, para ver que ρ (U1U2) = ρ (U1) ρ (U2), isto e, que

ΦU1U2 = ΦU1 ΦU2 ,

e so notar que

ΦU1U2(X) = (U1U2)X (U1U2)

−1

= (U1U2)X(U−1

2 U−11

)= U1

(U2XU

−12

)U−1

1

= ΦU1 [ΦU2 (X)] .

Alem disso, o operador linear ΦU e uma isometria, pois

〈ΦU (X) ,ΦU (Y )〉 =1

2tr (ΦU (X) ΦU (Y )) =

1

2tr(UXU−1UY U−1

)=

1

2tr(UXY U−1

)=

1

2tr(U−1UXY

)=

1

2tr (XY )

= 〈X,Y 〉 .

Logo, o homomorfismo ρ na verdade e um homomorfismo

ρ : SU2 −→ O3 .

Como o homomorfismo ρ e contınuo e SU2 e conexo (pois e difeomorfo a S3), segue que o homomorfismo ρno final e um homomorfismo

ρ : SU2 −→ SO3 .

Ele e pelo menos dois para um, poisΦU = Φ−U .

Na verdade ρ e exatamente dois para um, pois se ρ (U1) = ρ (U2), entao

ρ(U1U

−12

)= id,

isto e, ΦU1U−12

e operador identidade, o que significa que U1U−12 comuta com todas as matrizes X ∈ V :

(U1U2)X (U1U2)−1

= X =⇒ (U1U2)X = X (U1U2) .

Uma matriz que comuta com todas as matrizes hermitianas com traco nulo so pode ser um multiplo daidentidade (exercıcio: basta considerar matrizes A que comutam com as matrizes de Pauli, ja que elasformam uma base para V , obtendo equacoes para as entradas de A cujas solucoes mostram que A tem queser um multiplo da identidade). Como os unicos multiplos da identidade em SU2 sao I e −I, segue queU1 = ±U2.


Para ver que ρ e sobrejetiva, e so observar que toda rotacao em R3 pode ser representada pela conjugacaode um quaternio unitario. Mais precisamente, se u = ai + bj + ck e um quaternion unitario, entao a rotacaode R3 com eixo u e angulo 2θ e dada pela conjugacao

R (p) = q−1pq

onde q = cos θ + u sen θ e p = (x, y, z) ∈ R3 ⊂ H (para uma demonstracao deste fato, veja [Stillwell], pp.14-15).

Portanto, ρ e uma aplicacao diferenciavel sobrejetiva que identifica pontos antipodais de SU2, e e possıvelmostrar que ρ e um recobrimento duplo de SO3 e portanto que SO3 e difeomorfo a RP3 (para detalhes, veja[Naber], pp. 398-399). O homomorfismo ρ : SU2 −→ SO3 e chamado a aplicacao spinor. Para o significadofısico deste homomorfismo, veja [Naber], p. 399.

11.4 Algebras de Lie

As operacoes produto e de tomar a inversa de um grupo de Lie em geral sao localmente funcoes nao linearesdas variaveis coordenadas da variedade subjacente. O estudo de grupos de Lie e bastante simplificado quandose lineariza o grupo em uma vizinhanca de qualquer ponto. Como um grupo de Lie e homogeneo, isto e,todo ponto localmente se parece com qualquer outro ponto, via multiplicacao a esquerda ou a direita (pois,como vimos na Proposicao 11.3, estas duas aplicacoes sao difeomorfismos globais do grupo de Lie e, comoveremos, sao isometrias quando o grupo de Lie e dotado de uma metrica riemanniana) basta linearizar umavizinhanca de sua identidade. Embora topologica e geometricamente todos os pontos de um grupo de Liesao equivalentes, algebricamente o ponto identidade e especial. O resultado deste processo de linearizacao euma estrutura chamada uma algebra de Lie, isto e, um espaco vetorial com um produto que satisfaz certaspropriedades. A algebra de Lie preserva a maioria, mas nao todas as propriedades do grupo de Lie original,e a maioria das suas propriedades pode ser recuperada atraves da inversa da operacao de linearizacao, aaplicacao exponencial. Espacos vetoriais podem ser estudados com as ferramentas padrao disponıveis; porexemplo, eles podem ser dotados de uma base ortonormal. As propriedades da algebra de Lie na vizinhancada origem sao identificadas com as propriedades do grupo de Lie original na vizinhanca da identidade.

11.4.1 Definicao e Exemplos

11.31 Definicao. Uma algebra de Lie (sobre R) e um espaco vetorial g munido de uma aplicacao bilinear,chamada o colchete de Lie,

[·, ·] : V × V −→ R

que satisfaz(i) (anticomutatividade)

[X,Y ] = − [Y,X] ; (11.6)

(ii) (identidade de Jacobi)[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0 (11.7)

para todos X,Y, Z ∈ g.

A identidade de Jacobi substitui a associatividade.

11.32 Exemplo. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial T (M), equipado com o colchetede Lie de campos e uma algebra de Lie.

11.33 Exemplo. O espaco vetorial das matrizes reais n×n com a operacao colchete definida pelo comutador

[A,B] = AB −BA (11.8)


e uma algebra de Lie. De fato, bilinearidade e anticomutatividade claramente valem e

[[A,B] , C] + [[B,C] , A] + [[C,A] , B]

= (AB −BA)C − C (AB −BA) + (BC − CB)A−A (BC − CB)

+ (CA−AC)B −B (CA−AC)

= ABC −BAC − CAB + CBA+BCA− CBA−ABC +ACB

+ CAB −ACB −BCA+BAC

= 0.

Esta algebra de Lie e denotada por gl (Rn) (veja Exemplo 11.37).

11.34 Exemplo. R3 com o produto vetorial e uma algebra de Lie.De fato, o produto vetorial e anticomutativo e satisfaz a identidade de Jacobi:

(u× v)× w + (w × u)× v + (v × w)× u = 0.

O Exemplo 11.32 mostra que podemos associar a toda variedade diferenciavel uma algebra de Lie. Mascomo T (M) tem dimensao infinita, isso em geral nao e muito util, ja que nao podemos fazer computacoesusando bases. Veremos agora como podemos associar algebras de Lie de dimensao finita a variedadesdiferenciaveis que tambem sao grupos de Lie. A chave e, ao inves de considerar o espaco vetorial de todos oscampos vetoriais diferenciaveis definidos na variedade, considerar apenas os campos invariantes a esquerda,que formam um subespaco vetorial de dimensao finita (Corolario 11.19).

11.35 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Entao o colchete de Lie de campos invariantes a esquerda eum campo invariante a esquerda.

Em particular, o subespaco vetorial de dimensao finita dos campos invariantes a esquerda e uma algebrade Lie.

Prova: Sejam X,Y ∈ T (G) campos invariantes a esquerda. Temos, para toda f ∈ C∞ (G),

(dLg)h [X,Y ]h f = [X,Y ]h (f Lg)= XYh (f Lg)− Y Xh (f Lg)= X (dLg)h Yh (f)− Y (dLg)hXh (f)

= XYgh (f)− Y Xgh (f)

= [X,Y ]gh f.

Como o subconjunto dos campos invariantes a esquerda e um subespaco vetorial de T (G), segue que elee uma (sub)algebra de Lie.

Ao inves de considerar todo o subespaco dos campos invariantes a esquerda, e padrao considerar apenaso isomorfo espaco tangente ao grupo de Lie na identidade (todo campo invariante a esquerda e a extensaounica de um vetor tangente na identidade pelo Corolario 11.19 e dado pelo operador linear pushforward,o que determina um isomorfismo entre estes espacos). Definimos entao uma operacao colchete de Lie noespaco tangente (espaco vetorial) TeG que o transforma em uma algebra de Lie:

11.36 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A algebra de Lie g de G e o espaco tangente TeG munido docolchete de Lie

[Xe, Ye] := [X,Y ]e . (11.9)

onde X,Y ∈ T (G) sao as unicas extensoes invariantes a esquerda dos vetores tangentes Xe, Ye.


11.37 Exemplo (A algebra de Lie gln(R)). Como GLn (R) e um aberto de Rn2 ≡ Mn (R), segue que

Tid GLn (R) = Mn (R) .

Se xij denota a ij-esima funcao coordenada em Rn2

, nesta identificacao uma matriz n×n real A e identificadacom o vetor tangente a identidade

A =

n∑k,l=1

Akl ∂kl|id ,

onde Akl denota a kl-esima entrada de A (neste exemplo denotaremos as entradas de matrizes alternati-vamente por superındices, subındices ou uma mistura dos dois, dependendo da conveniencia, para fazer anotacao de Einstein funcionar); equivalentemente, como vimos na demonstracao da Proposicao 11.18, o valordo vetor tangente A aplicado a ij-esima funcao coordenada xij e a ij-esima entrada de A:

Axij = Aij .

Afirmamos que o colchete de Lie da algebra de Lie de GLn (R) e exatamente o comutador do produtomatricial:

[A,B] = AB −BA.

Para provar isso, usando a Definicao 11.36 e a identificacao anterior, basta mostrar que se A e B sao osunicos campos vetoriais invariante a esquerda em GLn (R) tais que

Aid = A,

Bid = B,

entao[A,B]id

(xij)

= (AB −BA)ij

(11.10)

pois [A,B]id(xij)

e a ij-esima entrada da matriz [A,B]id na identificacao acima. Por definicao do colchetede Lie de campos, temos

[A,B]id(xij)

= Aid

(Bxij

)−Bid

(Axij

)= A

(Bxij

)−B

(Axij

).

O resultado (11.10) seguira se mostrarmos que

A(Bxij

)= (AB)

ij,

B(Axij

)= (BA)

ij.

Verificaremos a ultima expressao, e a primeira seguira por analogia.Primeiro calculamos Axij ∈ C∞ (GLn (R)): para todo g ∈ GLn (R) temos(

Axij)

(g) = Agxij =

[(dLg)idAid

]xij =

[(dLg)idA

]xij

= A(xij Lg

)= Akl ∂kl|id

(xij Lg

).

A aplicacao xij Lg : GLn (R) −→ R e dada por(xij Lg

)(h) = xij (gh) = (gh)

ij= girh

rj ,

logo

∂kl(xij Lg

)=

0 se l 6= j,gik se l = j.


Segue que (Axij

)(g) = Akl ∂kl

(xij Lg

)∣∣id

= Akjgik

= gikAkj ,

ou seja, (Axij

)(g) = (gA)

ij,

a ij-esima entrada da matriz gA. Desta ultima formula, obtemos

∂kl(Axij

)=

0 se k 6= i,Alj se k = i.

Daı,

B(Axij

)= Bkl ∂kl|id

(Axij

)= Bkl ∂kl

(Axij

)∣∣id

= BilAlj

= (BA)ij,

a ij-esima entrada da matriz BA, como querıamos verificar.

As algebras de Lie dos grupos de Lie de matrizes sao denotadas pelas mesmas letras destas, mas usando afonte Fractur. Pelo Teorema de Ado, toda algebra de Lie de dimensao finita e isomorfa (o isomorfismo dealgebras de Lie e definido da maneira obvia: alem de ser um isomorfismo de espacos vetoriais, preserva ocolchete de Lie) a uma subalgebra de Lie de matrizes com o comutador como colchete de Lie (veja [Lee 1], p.199, Corolario 8.50). Contraste este resultado com o fato de existirem grupos de Lie que nao sao isomorfosa subgrupos de Lie de matrizes. Alem disso, toda subalgebra de Lie de uma algebra de Lie de um grupo deLie e a algebra de Lie de um subgrupo de Lie (conexo; veja [Spivak], vol. I, pp. 513-514), logo toda algebrade Lie e isomorfa a algebra de Lie de algum grupo de Lie.

11.4.2 A Exponencial

11.38 Definicao. Dada uma matriz real ou complexa A definimos

expA = eA =

∞∑k=1

Ak

k!.

Para uma demonstracao de que a serie acima converge e das proposicoes a seguir veja qualquer uma dasreferencias na bibliografia sobre grupos de Lie. No que segue, F = R,C.

11.39 Proposicao. Se AB = BA, entaoeA+B = eAeB .

11.40 Proposicao. Valedet(eA)

= etrA.

Em particular, expA ∈ GL (n,F).


Esboco de Prova: Isso e facil de ver para matrizes diagonais. O resultado geral segue do fato das matrizesdiagonais serem densas em GLn (C) (qualquer perturbacao aleatoria das entradas de uma matriz vai produziruma perturbacao aleatoria dos coeficientes do polinomio caracterıstico e polinomios com raızes distintas saodensos no espaco dos polinomios), usando a continuidade da aplicacao exponencial e do traco.

11.41 Proposicao. A aplicacao exponencial exp : GLn (F) −→ GLn (F) e uma aplicacao diferenciavel.

11.42 Proposicao. A curva diferenciavel γ : R −→ GLn (F) definida por

γ (t) = exp tA

e um homomorfismo tal que γ (0) = I e γ′ (0) = A.

11.43 Exemplo (A algebra de Lie son). Seja X um vetor tangente em Tid SOn. Entao existe X = γ′ (0)para alguma curva diferenciavel γ : [0, 1] −→ SOn com γ (0) = id. Em particular,

〈γ (t) v, γ (t)w〉 = 〈v, w〉

para todos v, w ∈ Rn. Derivando esta equacao para v, w fixados, obtemos

〈γ′ (0) v, γ (0)w〉+ 〈γ (0) v, γ′ (0)w〉 = 0,

donde〈Xv,w〉 = −〈v,Xw〉

para todos v, w ∈ Rn, ou seja, X e uma matriz anti-simetrica.Reciprocamente, se X e uma matriz anti-simetrica, definimos a curva diferenciavel comecando na origem

γ (t) = exp (tX) ,

de modo que γ (0) = id eγ′ (t) = X exp (tX) ,

donde

d

dt〈γ (t) v, γ (t)w〉 = 〈γ′ (t) v, γ (t)w〉+ 〈γ (t) v, γ′ (t)w〉

= 〈Xγ (t) v, γ (t)w〉+ 〈γ (t) v,Xγ (t)w〉= 0,

ou seja, γ e uma curva diferenciavel em O (n); como det γ (0) = 1 , concluımos que γ e uma curva diferenciavelem SOn. Isso prova que Tid SOn = Altn (R), a notacao que usaremos para o subespaco vetorial das matrizesreais anti-simetricas n× n. Portanto,

son = Altn (R) .

11.44 Definicao. Seja G um grupo de Lie de matrizes. A aplicacao exponencial para G e a aplicacao

exp : g −→ G

definida por exp g = exp (tg) .

Pode-se mostrar que todo elemento de um grupo de Lie matricial conexo e compacto e a exponencial deum vetor tangente. Para grupos de Lie conexos mas nao compactos pode-se mostrar que todo elemento e oproduto de um numero finito de exponenciais de vetores tangentes.


11.4.3 A Representacao Adjunta

11.5 Metricas em Grupos de Lie

Podemos introduzir uma metrica em G com certas propriedades algebricas.

11.45 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que uma metrica 〈·, ·〉g em G e invariante a esquerdase

〈v, w〉h =⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

(11.11)

para todos g, h ∈ G e para todos v, w ∈ TeG. Analogamente, definimos uma metrica invariante a direita.Uma metrica que e ao mesmo tempo invariante a esquerda e a direita e chamada uma metrica bi-

invariante.

Em outras palavras, em uma metrica invariante a esquerda, toda multiplicacao a esquerda Lg e uma isometria,enquanto que em uma metrica invariante a direita, toda multiplicacao a direita Rg e uma isometria. Emuma metrica bi-invariante todas as translacoes sao isometrias. A existencia de metricas bi-invariantes paragrupos de Lie compactos e estabelecida no Exercıcio 7 de [Carmo]. A existencia de metrica invariantes aesquerda ou a direita em qualquer grupo de Lie e estabelecida atraves da seguinte definicao.

11.46 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Suponha que 〈, 〉 e algum produto interno em TeG. Entao ametrica em G definida por

〈v, w〉g =⟨(dLg−1

)gv,(dLg−1

)gw⟩e

(11.12)

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a esquerda.Analogamente, a metrica em G definida por

〈v, w〉g =⟨(dRg−1

)gv,(dRg−1

)gw⟩e

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a direita.

Prova: Temos, por definicao,

⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

=

⟨(dL(Lgh)−1

)Lgh

(dLg)h v,(dL(Lgh)−1

)Lgh

(dLg)h w

⟩e

=⟨(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h v,(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h w⟩e

= 〈(dLh−1)h v, (dLh−1)h w〉e= 〈v, w〉h

lembrando que Lh−1g−1 Lg = Lh−1g−1g = Lh−1 . Analogamente prova-se a invariancia a direita da segundametrica.

Ha uma relacao entre o produto interno e o colchete de Lie em g = TeG que caracteriza as metricasbi-invariantes de G que enunciaremos sem prova.

11.47 Teorema. Seja G um grupo de Lie com algebra de Lie g. A metrica invariante a esquerda definidana proposicao anterior e bi-invariante se e somente se o produto escalar 〈, 〉 em g = TeG usado para definira metrica satisfaz

〈[V,X] ,W 〉 = −〈V, [W,X]〉

para todos V,W,X ∈ g.


11.6 Exercıcios

Para alguns dos exercıcios a seguir, veja as referencias [Hall], [Stillwell] e [Warner].


11.49 Exercıcio. Prove que o produto direto de dois grupos de Lie, considerado como a variedade produto,e um grupo de Lie.

11.50 Exercıcio. Mostre que o grupo linear geral complexo GLn (C), o grupo linear especial complexoSLn (C), o grupo unitario Un e o grupo unitario especial SUn sao grupos de Lie e ache suas dimensoes.

11.51 Exercıcio. Prove que o grupo linear geral GLn (R) e o grupo linear especial SLn (R) possuem exata-mente 2 componentes conexas.

11.52 Exercıcio. Prove que o grupo ortogonal On possui exatamente 2 componentes conexas e que SOn econexo.

11.53 Exercıcio. Prove que o grupo de Lorentz O1,3 possui exatamente 4 componentes conexas e que SO1,3

possui exatamente duas componentes conexas.

11.54 Exercıcio. Mostre que o grupo de Lorentz O1,3 e SO1,3 nao sao compactos.

11.55 Exercıcio. Mostre que GLn (C), SLn (C), Un e SUn sao conexos.

11.56 Exercıcio. Prove que U1 e difeomorfo a S1 e que SU2 e difeomorfo a S3.

11.57 Exercıcio. Prove que SO3 e difeomorfo a RP3.

11.58 Exercıcio. Prove que Un e difeomorfo a S1 × SUn.

11.59 Exercıcio. Calcule sln (R), gln (C) e sun.

Capıtulo 12

Recobrimentos e Acoes de Grupos

A aplicacao mais importante de grupos de Lie em matematica pura e aplicada e a acao de grupos de Lieem outras variedades. Por exemplo, a acao de um grupo G sobre uma variedade riemanniana M que eusualmente considerada e a de um grupo de isometrias de M . Mais geralmente, a acao de um grupo deLie envolve tipicamente uma variedade diferenciavel dotada de uma estrutura especıfica adicional e o grupode Lie e simplesmente o grupo de difeomorfismos da variedade que preserva a estrutura adicional (por estemotivo, chamado o grupo de simetria da estrutura); no caso de variedades riemannianas, a estrutura adicionale exatamente a metrica.

12.1 Definicao. Dizemos que um grupo G age (a esquerda) sobre um conjunto M , se existe uma aplicacao

G×M −→ M(g, x) 7−→ gx

tal que

ex = x,

(gh)x = g (hx) .

Dizemos que G age livremente sobre M se G age sem pontos fixos, isto e, se gx = x implica g = e.A orbita de um ponto x ∈M e o conjunto

Gx = gx : g ∈ G .

A acao de G e transitiva se Gx = M para algum ponto x ∈M (e portanto para todo x).

Quando G e um grupo de Lie e M e uma variedade diferenciavel, as acoes mais interessantes de G sobre Msao as acoes diferenciaveis. As vezes, uma acao G×M −→M sera explicitamente denotada por um sımbolopara a aplicacao, digamos φ, e a acao de um elemento g de G por φg, isto e,

φg (x) = φ (g, x) = gx.

Por exemplo, φg seria uma isometria especıfica de uma variedade riemanniana.

12.2 Exemplo. A acao de um grupo de Lie de matrizes sobre Rn e simplesmente a multiplicacao matricial.Quando o grupo de Lie e GL (n,R) ha duas orbitas, 0 e Rn\ 0, pois existe um isomorfismo que leva

qualquer vetor nao nulo em qualquer outro vetor nao nulo. A acao de GL (n,R) nao e livre nem transitiva.Quando o grupo de Lie e O (n), o grupo das isometrias de Rn, as orbitas sao as esferas (n− 1)-dimensionais

Sn−1r centradas na origem de raio r. O mesmo vale para SO (n).

Podemos restringir e considerar a acao de O (n) e de SO (n) sobre a esfera Sn−1 centrada na origem e deraio 1. A acao de O (n) nao e livre, pois reflexoes preservam certos pontos fixos. A mesma observacao valepara a acao de SO (n) quando n > 3, mas a acao de SO (2) sobre o cırculo S1 e livre. Em todos os casos aacao destes grupos e transitiva.

181


12.3 Exemplo. Todo grupo de Lie age sobre si mesmo por multiplicacao a esquerda e por conjugacao.

12.4 Exemplo. Se G e o grupo de difeomorfismos de uma variedade M , ele age sobre M de modo natural.Idem, se G e o grupo de isometrias de uma variedade riemanniana.

12.1 Espacos Quociente

A acao de um grupo G sobre um conjunto M define uma relacao de equivalencia:

x ∼ y se existe g ∈ G tal que y = gx.

As classes de equivalencia desta relacao sao exatamente as orbitas de G em M.

12.5 Definicao. O conjunto de todas as orbitas e o espaco quociente M/G (tambem chamado espacode orbitas) dotado da topologia quociente sobre a projecao quociente

π : M −→M/G

definida por π (x) = Gx.

12.6 Proposicao. Se a acao de G sobre M e contınua, entao a projecao π : M −→M/G e uma aplicacaoaberta.

Prova: Seja U ⊂M aberto. Entao

π−1 (π (U)) =⋃g∈G

gU.

Como para cada g, a acao por g (x 7→ gx) e um homeomorfismo (sua inversa e a acao por g−1), cada conjuntogU e aberto e portanto π−1 (π (U)) e aberto. Como π e a aplicacao quociente, segue que π (U) e aberto.

12.7 Exemplo. Se G e o grupo das translacoes por vetores com coordenadas inteiras, entao R2/G e o toro.

Que condicoes suficientes a acao deve satisfazer para que o espaco de orbitas seja uma variedade? Aresposta a isso esta no Teorema da Variedade Quociente (Teorema 12.10).

12.1.1 Acoes Proprias

Lembre-se que uma aplicacao e propria se as pre-imagens de subconjuntos compactos sao compactas.

12.8 Definicao. Dizemos que uma acao de um grupo de Lie G sobre uma variedade M e uma acao propriase a aplicacao

G×M −→ M ×M(g, x) 7−→ (gx, x)

e propria.

Observe que esta condicao e mais fraca do que exigir que a aplicacao acao G ×M −→ M ela mesma sejapropria (Exercıcio 11.49) e esta terminologia e infeliz e pode causar alguma confusao.

12.9 Proposicao. Se um grupo de Lie age continuamente e propriamente em uma variedade, entao o espacoquociente e de Hausdorff.

Prova: [Lee 1], Theorem 21.4, pp. 543.


12.1.2 Teorema da Variedade Quociente

12.10 Teorema (Teorema da Variedade Quociente). Se G e um grupo de Lie cuja acao sobre umavariedade diferenciavel M e diferenciavel, livre e propria, entao o espaco quociente M/G e uma variedadetopologica de dimensao dimM − dimG e que tem uma unica estrutura diferenciavel tal que a projecaoquociente e uma submersao diferenciavel.

Prova: [Lee 1], Theorem 21.10, pp. 544-548.

12.2 Aplicacoes de Recobrimento

Lembramos alguns fatos de topologia e topologia diferencial referentes a espacos de recobrimento (para osfatos de topologia, veja [Carmo2], pp. 371-384; para os fatos de topologia diferencial veja [Lee 1], pp. 91-94).

12.11 Definicao. Sejam M , M espacos topologicos conexos por caminhos [variedades diferenciaveis cone-

xas]. Uma aplicacao de recobrimento [diferenciavel] de M sobre M e uma aplicacao sobrejetiva [dife-renciavel]

π : M −→M

tal que todo ponto p ∈M possui uma vizinhanca V tal que π−1 (V ) e uma uniao disjuntas de abertos Vλ tal

que π|Vλ : Vλ −→ V e um homeomorfismo [difeomorfismo].

M e chamada a base do recobrimento e M o espaco de recobrimento de M .Se M e simplesmente conexo, dizemos que M e o recobrimento universal de M .

12.12 Proposicao. Uma aplicacao de recobrimento e diferenciavel se e somente se ela e um difeomorfismolocal.

12.13 Definicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento. Um levantamento de um caminhoγ : I −→M e um caminho γ : I −→ M tal que π γ = γ.

12.14 Proposicao (Propriedade de Levantar Caminhos). Seja π : M −→M uma aplicacao de recobrimento[diferenciavel]. Se γ : I −→ M e um caminho [uma curva diferenciavel] e p = γ (0), entao para qualquer

ponto p ∈ π−1 (p) existe um unico levantamento [diferenciavel] γ : I −→ M de γ tal que γ (0) = p.

12.15 Proposicao (Recobrimento de Espacos Simplesmente Conexos). Se π : M −→ M e uma aplicacaode recobrimento [diferenciavel] e M e simplesmente conexa, entao π e um homeomorfismo [difeomorfismo].

12.16 Proposicao (Existencia e Unicidade da Variedade de Recobrimento Universal). Se M e um espacotopologico conexo e localmente simplesmente conexo [variedade diferenciavel conexa], entao existe um espaco

topologico [uma variedade diferenciavel] simplesmente conexo[a] M e uma aplicacao de recobrimento univer-

sal [diferenciavel] π : M −→M .

Alem disso, se π : M −→M e outra aplicacao de recobrimento universal [diferenciavel], entao existe um

homeomorfismo [difeomorfismo] h : M −→ M tal que π h = π.

Mais um fato da teoria de espacos de recobrimento (veja [Munkres], p. 354):

12.17 Proposicao. Seja π : M −→M uma aplicacao de recobrimento universal. Entao existe uma bijecaoentre π1 (M) e π−1 (p) para qualquer p ∈M .

Pela Proposicao 12.12, uma aplicacao de recobrimento diferenciavel π : M −→ M e um difeomorfismolocal. Se M e uma variedade riemanniana, isso permite considerar a metrica induzida em M .

12.18 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, M uma variedade riemanniana e π : M −→ Muma aplicacao de recobrimento diferenciavel. A metrica induzida em M por π e chamada a metrica dorecobrimento.


Lembramos mais alguns resultados de espacos de recobrimento (veja [Massey], pp. 159-160 para adefinicao e a primeira proposicao e p. 163 para a segunda proposicao).

12.19 Definicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento. Dizemos que um homeomorfismoF : M −→ M e uma transformacao de recobrimento se π F = π.

12.20 Proposicao. Uma transformacao de recobrimento e uma isometria na metrica do recobrimento.

Prova: Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento e F : M −→ M e uma transformacao derecobrimento. Sejam p1, p2 ∈ M tais que F (p1) = p2. Como F e uma transformacao de recobrimento,

π (p2) = π (F (p1)) = π (p1) =: p,

logo, se v, w ∈ Tp1M , temos por definicao da metrica de recobrimento e pela regra da cadeia

〈dFp1 (v) , dFp1 (w)〉p2 = 〈dπp2 (dFp1 (v)) , dπp2 (dFp1 (w))〉p=⟨d (π F )p1 (v) , d (π F )p1 (w)

⟩p

= 〈dπp1 (v) , dπp1 (w)〉p= 〈v, w〉p1 .

Sob a operacao de composicao de funcoes, o conjunto de transformacoes de recobrimento e um grupo.

12.21 Proposicao. Toda transformacao de recobrimento diferente da identidade nao possui pontos fixos.

12.22 Proposicao. O grupo de transformacoes do recobrimento universal de M e isomorfo ao grupo fun-damental de M .

Lembramos mais um fato da teoria de espacos de recobrimento (veja [Carmo2], Proposition 1, p. 374).

12.23 Proposicao. Seja π : M −→M um homeomorfismo local. Se M e compacto e M e conexo, entao πe uma aplicacao de recobrimento.

A acao de um grupo G sobre uma variedade riemanniana M que consideraremos a seguir sera sempre deum grupo de isometrias de M .

12.24 Definicao. Dizemos que um grupo G age (a esquerda) em um conjunto M , se existe uma aplicacao

G×M −→ M(g, x) 7−→ gx

tal que

ex = x,

(gh)x = g (hx) .

Dizemos que G age livremente em M se gx = x implica g = e (em outras palavras, G age sem pontosfixos). A orbita de um ponto x ∈M e o conjunto

Gx = gx : g ∈ G .

A acao de G e transitiva se Gx = M para algum e portanto para todo x ∈ M . O conjunto de todas asorbitas e o quociente M/G e consideramos a projecao natural

π : M −→M/G


definida por π (x) = Gx.Se M e um espaco topologico, dizemos que um grupo G de homeomorfismos de M age de modo

totalmente descontınuo em M se todo x ∈M possui uma vizinhanca U em M tal que

g (U) ∩ U = ∅

para todo g ∈ G, g 6= e.

Para uma demonstracao dos resultados a seguir, veja [Massey], Lemma 8.1, a discussao antes e depoisdeste lema, e Proposition 8.2, pp. 164-165) (para a definicao de espacos de recobrimento regulares veja apagina 163).

12.25 Proposicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento e Γ o grupo das transformacoes derecobrimento de M . Entao:

(1) Γ age de modo totalmente descontınuo em M .(2) Γ age transitivamente em π−1 (p) para todo p ∈M se e somente se π e uma aplicacao de recobrimento

regular.Em particular, neste caso o espaco quociente M/Γ e naturalmente homeomorfo a M .

12.26 Proposicao. Se G e um grupo que age de modo totalmente descontınuo em um espaco topologicoconexo e conexo por caminhos M e M/G tem a topologia quociente, entao π : M −→M/G e uma aplicacaode recobrimento regular e G age transitivamente em π−1 (p) para todo p ∈M/G.

Se M e uma variedade riemanniana e Γ e um subgrupo do grupo de isometrias de M que age de modototalmente descontınuo em M , entao M/Γ tem uma estrutura de variedade diferenciavel em que π : M −→M/Γ e um difeomorfismo local. Alem disso, se Γ age transitivamente em π−1 (p), podemos definir em M/Γuma metrica tal que π e uma isometria local: dado p ∈M/Γ, escolhemos p ∈ π−1 (p) e definimos

〈v, w〉p =⟨dπ−1

p (v) , dπ−1p (w)

⟩p.

Esta definicao nao depende da escolha do ponto p ∈ π−1 (p). De fato, como Γ age transitivamente emπ−1 (p), dado qualquer outro ponto p ∈ π−1 (p) existe uma isometria F ∈ Γ tal que F (p) = q.

12.27 Definicao. A metrica definida atraves do recobrimento π : M −→ M/Γ e chamada a metricaquociente.

12.3 Exercıcios

12.28 Problema. Seja G um grupo de Lie agindo continuamente sobre uma variedade M . Mostre que se aacao G×M −→M e uma aplicacao propria, entao a acao e uma acao propria. De um contraexemplo paramostrar que a recıproca nao vale.

Capıtulo 13

Fibrados Vetoriais

Entre as ideias mais importantes e influentes no desenvolvimento da matematica, e uma das localizadas emum ponto chave no tempo foi a ideia de grafıco. Nao apenas a ideia de coordenadas (plano cartesiano),mas a ideia de representar objetos geometricos e eventualmente funcoes atraves de graficos. Essencialmente,um grafico e um produto cartesiano. Com a introducao do conceito de variedades, observa-se que muitosobjetos nao podem ser representados globalmente como um produto cartesiano, mas apenas localmente (umdos exemplos desta situacao que vimos e o fibrado tangente TM , que em geral nao e o produto cartesianoM × Rn). Entretanto, tais objetos geometricos que se caracterizam por ser produtos cartesianos apenaslocais constituem ferramentas poderosas para obter uma serie de resultados extraordinarios e a propriaimpossibilidade de obter produtos cartesianos globais permite aprender varias outras coisas. O conceito deproduto cartesiano local e capturado e definido precisamente pelo conceito matematico de fibrado.

Produtos cartesianos realmente aparecem em um grande numero de situacoes diferentes: um cilindropode ser visto como uma famılia disjunta de retas parametrizadas pelos pontos de um cırculo. Uma faixacomum e uma faixa de Mobius ambas podem ser vistas como famılias disjuntas de segmentos parametrizadospelos pontos de um cırculo, embora o resultado global do ponto de vista topologico seja bem diferente, naoapenas pelo fato de eles nao serem homeomorfos: o primeiro e um produto cartesiano global, enquanto queo segundo so pode ser visto como um produto cartesiano localmente. O toro bidimensional mergulhado noespaco tridimensional pode ser visto como uma colecao de cırculos (os meridianos) parametrizados pelospontos de um outro cırculo (o equador); globalmente temos um produto cartesiano, difeomorfo a S1× S1. Ofibrado tangente TM de uma variedade Mn e a uniao disjunta dos espacos tangentes TMp , cada um delesisomorfo a Rn, de modo que um ponto p ∈ M pode ser considerado como um parametro que parametrizaa famılia de espacos tangentes; os demais fibrados tensoriais podem ser vistos de modo analogo. Em todosestes casos, o espaco pode ser dividido em fibras parametrizadas por pontos da base.

Estes exemplos tem em comum o fato das fibras serem homeomorfas (no caso em que as fibras temuma estrutura algebrica adicional, como a de espacos vetoriais, elas sao tambem isomorfas) e, apesar doespaco inteiro quase nunca poder ser escrito diretamente como o produto cartesiano da base (o espaco deparametros), localmente isso e possıvel, ou seja, cada espaco e localmente o produto cartesiano do espacobase com a fibra. Estas duas propriedades caracterizam a essencia do que e um fibrado. A colagem devizinhancas que sao produtos cartesianos de modo a obter um objeto global (o fibrado) e feita de maneiraanaloga a colagem de vizinhancas para obter uma variedade.

Um exemplo de aplicacao fısica e uma partıcula localizada em um ponto p do espacotempo M : enquantoque sua velocidade pode ser realizada atraves de um vetor no espaco tangente TMp, ou seja, o seu campovelocidade ao longo de sua trajetoria (simplesmente uma curva no espacotempo) pode ser realizado atravesdo fibrado tangente (e sua aceleracao pode ser calculada atraves da derivada covariante do seu campo develocidade ao longo da sua trajetoria), qualquer estrutura interna extra (tal como spin) deve ser realizada erealizada atraves de um fibrado apropriado (ou seja, atraves de outro produto cartesiano local parametrizadopela posicao no espacotempo da partıcula).

186


13.1 Definicao

Antes de vermos o conceito mais geral de fibrado, produtos cartesianos locais onde as fibras podem serespacos topologicos quaisquer, veremos neste capıtulo o conceito particular de fibrado vetorial, produtoscartesianos em que as fibras sao espacos vetoriais, que generaliza diretamente o conceito de fibrado tangentee fibrados tensoriais que ja vimos antes e portanto estamos mais familiarizados. Na pratica todos as ideiasfundamentais ja foram vistas e estaremos apenas formalizando alguns conceitos de forma a podermos trocarespacos tangentes TMp, cotangentes T ∗Mp e tensoriais T kl Mp por espacos vetorais Ep mais gerais.

Intuitivamente, um fibrado vetorial E de posto m sobre uma variedade diferenciavel M e obtido asso-ciando a cada ponto p de M um espaco vetorial Ep de dimensao m de tal forma que Ep depende diferen-ciavelmente de p. Como nos casos anteriores do fibrado tangente e fibrados tensoriais, definimos o fibradovetorial

E =⊔p∈M

Ep

como sendo a uniao disjunta de todos os espacos vetoriais (fibras) Ep, e consideramos a projecao canonicaπ : E −→ M que projeta cada fibra Ep em seu ponto base p ∈ M . Entao a ideia de que Ep deve dependerdiferenciavelmente de p pode ser concretizada pela exigencia de que E seja localmente trivial sobre M , ou seja,que p possua uma vizinhanca U tal que π−1 (U) (a parte de E projetada sobre U por π) pode ser representadacomo o produto cartesiano U×Rm, o que constitui uma carta do fibrado (tambem frequentemente chamada deuma trivializacao local, ja que e um difeomorfismo que expressa uma vizinhanca do fibrado como um produtocartesiano). Uma condicao de compatibilidade entre as cartas realizada por funcoes de transicao semelhantesas mudancas de coordenadas entre cartas de variedades deve ser satisfeita para assegurar a definicao de umobjeto global e preservacao das fibras (ou seja, quando consideramos a fibra sobre o ponto de vista de duascartas, ha apenas uma mudanca de coordenadas na fibra). Mas esta condicao de compatibilidade e maisrıgida, ja que nao queremos apenas que as fibras sejam preservadas, mas tambem que sua estrutura algebricaseja preservada, isto e, que as coordenadas na fibra sejam transformadas atraves de um automorfismo linearda fibra.

Em outras palavras, um ponto de uma variedade e o mesmo, nao importa que coordenadas voce escolhepara representa-lo; um ponto da variedade e um objeto geometrico que existe por si so independentemente dascoordenadas. Quando uma partıcula se move ao longo da variedade espacotempo, ela tem uma velocidadeem cada ponto da trajetoria; a velocidade e um vetor no espaco tangente, que e tambem uma entidadegeometrica que existe por si so independentemente das coordenadas escolhidas para representa-la. Quandose escolhe coordenadas para representar o ponto que a partıcula ocupa na trajetoria, ou seja, escolhe-se umacarta para uma vizinhanca deste ponto na variedade, automaticamente se escolhe coordenadas no espacotangente, isto e, coordenadas de uma vizinhanca do ponto + vetor velocidade no fibrado tangente. Pode-sefazer outra escolha de coordenadas, isto e, fazer uma mudanca de coordenadas atraves da escolha de outracarta; esta mudanca de coordenadas e um difeomorfismo. No espaco tangente, no entanto, quando se fazesta mudanca de coordenadas na carta, tem-se uma mudanca de coordenadas linear, pois o espaco tangentee o mesmo apenas a menos de mudancas de coordenadas lineares. O mesmo vale para um fibrado: quandose muda as coordenadas do ponto base de forma diferenciavel, as coordenadas da fibra vetorial variam deforma linear.

13.1 Definicao. Um fibrado vetorial de posto m sobre uma variedade topologica M e uma variedadetopologica E juntamente com uma aplicacao contınua sobrejetiva π : E −→ M que satisfaz as seguintescondicoes:

(i) Para cada p ∈M , a fibraEp = π−1 (p)

e um espaco vetorial real de dimensao m.(ii) Para cada p ∈M existe uma vizinhanca U de p em M e um homeomorfismo

ψ : π−1 (U) −→ U × Rm,


chamado uma carta do fibrado (ou trivializacao local), tal que se π1 : U × Rm −→ U e a projecaona primeira coordenada, entao

π = π1 ψ,

isto e, o diagrama abaixo e comutativo:

π−1 (U)

π

ψ // U × Rm

π1

yyU

(iii) Para cada q ∈ U ,ψ|Eq : Eq −→ Rm

(Rm ≡ q × Rm) e um isomorfismo entre espacos vetoriais.O espaco E e chamado o espaco total do fibrado, M seu espaco base e π sua projecao.

O nome trivializacao se deve ao fato que o produto cartesiano E = M × V com a projecao na primeiracoordenada e V um espaco vetorial e chamado um fibrado trivial; assim, cada vizinhanca π−1 (U) ehomeomorfa a um fibrado trivial sobre U atraves de uma trivializacao. Note que o fibrado E e efetivamentea uniao dos espacos vetoriais Ep:

E =⊔p∈M

π−1 (p) =⊔p∈M

Ep.

Exemplos de fibrados vetoriais sao os fibrados tangente, cotangente e os fibrados tensoriais em geral que javimos. O cilindro S1 × R e o unico fibrado vetorial cuja base e uma variedade diferenciavel compacta que evisualizavel (veja, por exemplo, a Figura 10.1, p. 250, em [Lee 1] para uma visualizacao de uma trivializacaolocal de um cilindro sobre um cırculo), enquanto que a faixa de Mobius infinita considerada como um fibradosobre S1 com fibra R e o unico fibrado vetorial nao trivial facil de visualizar.

13.2 Definicao. Se M e E sao variedades diferenciaveis, π : E −→ M e uma aplicacao diferenciavel e ascartas do fibrado sao difeomorfismos, entao E e chamado um fibrado vetorial diferenciavel.

A colecao de cartas do fibradoψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm

e chamado um atlas para o fibrado, a semelhanca da linguagem de variedades. Note que um atlas para ofibrado em conjunto com um atlas para a variedade base M permite construir um atlas para a variedadetotal E.

13.3 Proposicao. Se E e um fibrado vetorial diferenciavel, entao a projecao π : E −→M e uma submersao.

Prova: Exercıcio 13.22. Veremos agora como a definicao de fibrado garante que quando fazemos uma mudanca de coordenadas

passando para uma carta do fibrado diferente para o mesmo ponto base, as coordenadas na fibra Ep mudamatraves de um automorfismo linear.

13.4 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel de posto m.Sejam

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × Rm,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅. Entao existe uma aplicacao diferenciavel

gαβ : Uαβ −→ GLm (R)


tal que a mudanca de coordenadas de cartas do fibrado

ψα ψ−1β : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm

tem a forma (ψα ψ−1

β

)(p, v) =

(p, (gαβ)p v

).

Mais precisamente,

(gαβ)p = ψα|Ep (ψβ |Ep

)−1

.

Prova: Do diagrama comutativo

π−1 (Uα ∩ Uβ)

ψα

vv

ψβ

((π

(Uα ∩ Uβ)× Rm

π1((

(Uα ∩ Uβ)× Rm

π1vv

Uα ∩ Uβ

segue que

π1 (ψα ψ−1

β

)= (π1 ψα) ψ−1

β

= π ψ−1β

= π1,

o que implica, como esperado, que as fibras sao preservadas pelas mudancas de coordenadas de cartas dofibrado, ou seja, existe uma aplicacao diferenciavel gαβ : Uαβ × Rm −→ Rm tal que(

ψα ψ−1β

)(p, v) = (p, gαβ (p, v)) .

Denotando(gαβ)p (v) = gαβ (p, v) ,

para cada p ∈ Uαβ , obtemos uma funcao (gαβ)p : Rm −→ Rm. A funcao (gαβ)p e um isomorfismo, pois e acomposta de isomorfismos:

(gαβ)p =(ψα ψ−1

β

)|p×Rm = ψα|Ep

(ψβ |Ep

)−1

.

Escolhendo uma base em Rm, podemos representar (gαβ)p por uma matriz na variedade GLm (R), que e

simplesmente um aberto de Rm2

. Abusando a linguagem, consideramos gαβ como uma funcao definida emUαβ tomando valores em GLm (R).

Falta apenas verificar que gαβ e uma aplicacao diferenciavel (Exercıcio 13.23).

13.5 Definicao. A aplicacao diferenciavel


e chamada a funcao de transicao entre as cartas do fibrado ψα e ψβ .


A funcao de transicao mostra qual e a mudanca de coordenadas na fibra Ep ao mudarmos as coordenadasdo ponto p na variedade base. Por exemplo, no caso do fibrado tangente TM , a funcao de transicao gαβe simplesmente a diferencial d

(ϕ−1α ϕβ

)da mudanca de coordenadas ϕ−1

α ϕβ entre cartas ϕα, ϕβ davariedade base M . A mudanca de coordenadas entre cartas do fibrado as vezes tambem e chamada umafuncao de transicao, ja que pelo resultado acima uma e essencialmente dada pela outra. Do contexto ficaclaro quando esta-se referindo a funcoes de transicao no sentido que acabamos de definir e quando o termoe usado para se referir as mudancas de coordenadas entre cartas do fibrado.

Analogamente a situacao em variedades, em que podemos usar um atlas para definir uma topologia demaneira unica sobre um conjunto X que o transforma em uma variedade diferenciavel (Exercıcios 1.12,1.13, 1.14 e 1.15), dada uma variedade M podemos construir a topologia e a estrutura diferenciavel davariedade total E do fibrado vetorial sobre M atraves de simplesmente dar uma cobertura de abertos paraM e trivializacoes para cada um destes abertos de tal forma que nas sobreposicoes dos abertos as mudancasde coordenadas sao dadas por difeomorfismos que preservam fibras e a estrutura linear entre fibras (isto e,atraves de funcoes de transicao, como visto na Proposicao 13.4); uma vez feito isso, a topologia e estruturadiferencial do espaco total E ficam determinadas, como veremos no teorema a seguir.

13.6 Teorema (Construcao da Topologia e Estrutura Diferenciavel do Espaco Total do Fibradoa partir do Atlas). Seja M uma variedade diferenciavel.

Para cada p ∈M , seja Ep um espaco vetorial real de dimensao m e considere a uniao disjunta

E =⊔p∈M

Ep

e a projecao π : E −→M definida por π (v) = p para todo v ∈ Ep.Suponha dados:(i) uma cobertura aberta Uαα∈A de M ;(ii) para cada α ∈ A uma bijecao

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm

tal que ψα|Ep : Ep −→ Rm e um isomorfismo entre espacos vetoriais;(iii) para cada α, β ∈ A tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ uma aplicacao diferenciavel


tal que a aplicacaoψα ψ−1

β : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm


β

)(p, v) =

(p, (gαβ)p v

).

Entao E tem uma unica topologia e uma unica estrutura diferenciavel que o transformam em um fibradovetorial diferenciavel de posto m sobre M , com π a projecao e ψα as cartas do fibrado.

Prova: Para cada ponto p ∈M , escolha Uα 3 p. Seja (φp, Vp) uma carta em p com Vp ⊂ Uα. Defina

ϕp : π−1 (Vp) −→ φp (Vp)× Rm

porϕp = (φp × idRm) ψα.

Afirmamos que a colecao Ψ =(ϕp, π

−1 (Vp))

satisfaz as condicoes dos Exercıcios 1.12, 1.13, 1.14 (3) e1.15, de modo que E possui a estrutura de uma variedade diferenciavel de dimensao n+m.

De fato, os conjuntos φp (Vp)×Rm sao abertos de Rn+m porque φp (Vp) e um aberto de Rn, por definicaode carta de variedade, e as aplicacoes ψp sao bijecoes, porque sao as compostas de bijecoes.


Claramente os conjuntos π−1 (Vp) cobrem E, pois cada ponto p possui uma carta em M , Uα cobremM e ϕα e uma bijecao entre Ep e Rm.

Alem disso, nas sobreposicoes (intersecoes nao vazias) π−1 (Vp) ∩ π−1 (Vq) temos que

ϕp[π−1 (Vp) ∩ π−1 (Vq)

]= φp (Vp ∩ Vq)× Rm

e um aberto de Rn+m, e as mudancas de coordenadas nestas sobreposicoes sao dadas por

ϕp ϕ−1q = [(φp × idRm) ψα]

[ψ−1β (φq × idRm)

−1]

= (φp × idRm) (ψα ψ−1

β

)(φ−1q × idRm

),

ou seja, uma composta de difeomorfismos, portanto um difeomorfismo.Para ver que E e de Hausdorff, sejam r, s ∈ E, com r 6= s. Se r, s ∈ Ep, entao no mesmo aberto π−1 (Vp).

Se r ∈ Ep e s ∈ Eq, podemos escolher vizinhancas disjuntas Vp de p e Vq de q, de modo que π−1 (Vp) eπ−1 (Vq) sao vizinhancas coordenadas disjuntas de r e s, respectivamente.

Finalmente, como Vp possui uma subcobertura enumeravel, E tem base enumeravel.Falta apenas verificar que as aplicacoes ϕα sao cartas de fibrado. Cada ϕα e um difeomorfismo porque

sua representacao no atlas definido acima para E e o atlas dado para M × Rm e

(φp × idRm) ψα ϕ−1p = (φp × idRm) ψα ψ−1

α (φp × idRm)−1

= idφp(Vp)×Rm .

Da mesma forma, a representacao local para a projecao natural π no atlas para E e no atlas para M e

π (x, v) = x

logo π e diferenciavel. Como ϕα leva Ep em p × Rm, e imediato que π1 ϕ = π e ψα e linear sobre asfibras porque o contradomınio de gαβ e GLm (R).

13.2 Condicao de Cociclo e Operacoes com Fibrados Vetoriais

Assim como podemos fazer operacoes com espacos vetoriais (dual, somas diretas, produtos tensoriais, produ-tos exteriores, considerar o espaco dos homomorfismos lineares entre dois espacos vetoriais, etc.), podemosfazer o mesmo com fibrados vetoriais, fazendo estas operacoes fibra a fibra, desde que elas sejam feitas deforma contınua (diferenciavel) e atraves disso definir novos fibrados vetoriais.

Para fazer isso mais facilmente, veremos como construir toda a estrutura do fibrado sobre uma variedadeM , ou seja, nao apenas a topologia e a estrutura diferenciavel do espaco total E, mas tambem o atlasde cartas do fibrado, a partir apenas da colecao de funcoes de transicao. Isto e diferente do que fizemosna Proposicao 13.6, onde o atlas foi dado e mostramos como ele determinava a topologia e a estruturadiferenciavel de E. Mais explicitamente, construiremos um fibrado E sobre M atraves de uma cobertura deabertos Uαα∈A de M e uma colecao de homeomorfismos

ψαβ : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm

que preservam fibras automorficamente (isto e, tem a forma dada pela Proposicao 13.4 em termos de funcoesde transicao): o espaco total E e imaginado construido pela uniao dos produtos cartesianos Uα × Rmcom identificacoes induzidas pelos homeomorfismos ψαβ (da mesma forma que uma variedade pode ser vistacomo a colagem de abertos euclideanos atraves das mudancas de coordenadas das cartas; para uma ilustracaodeste processo de colagem no caso de fibrados, veja por exemplo a figura na pagina 10 de [Poor]). Talvezsurpreendentemente, a unica condicao de compatibilidade necessaria entre os homeomorfismos que precisaser imposta para esta construcao funcionar e a condicao de cociclo

ψαβψβγ = ψαγ , (13.1)


que certamente vale para as mudancas de coordenadas de cartas de um fibrado, pois

ψαβψβγ =(ψα ψ−1

β

) (ψβ ψ−1

γ

)= ψα ψ−1

γ

= ψαγ .

Equivalentemente, a condicao de cociclo vale para as funcoes de transicao gαβ : Uαβ −→ GLm (R)

gαβgβγ = gαγ , (13.2)

mas esta identidade deve ser entendida nao como uma composta de aplicacoes (o que nao faz sentido), maspuntualmente:

gαβ (p) gβγ (p) = gαγ (p)

para todo p ∈ Uαβγ = Uα ∩ Uβ ∩ Uγ .

13.7 Teorema (Construcao de um Fibrado Vetorial a partir das Funcoes de Transicao). Seja Muma variedade diferenciavel com uma cobertura aberta Uαα∈A.

Suponha que a famılia de aplicacoes diferenciaveis

Φ = gαβ : Uαβ −→ GLm (R)α,β∈A

satisfaz a condicao de cociclogαβgβγ = gαγ (13.3)

ou, equivalentemente,

gαα = id,

gαβgβγgγα = id,

sempre que Uαβγ = Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅ para todos os ındices α, β, γ ∈ A

Entao existe um fibrado diferenciavel E sobre M de posto m cujas funcoes de transicao sao as funcoesgαβ.

Prova: A condicao de cociclogαβgβγ = gαγ

implica, tomando α = β = γ, quegααgαα = gαα,

donde, multiplicando ambos os lados pela inversa g−1αα,

gαα = id . (13.4)

Daı, tomando β = α em (13.3), segue imediatamente que

gαβgβα = id . (13.5)

sempre que Uαβ 6= ∅. Em particular,g−1αβ = gβα. (13.6)

Segue desta ultima e de (13.3) escrito na forma

gαβgβγg−1αγ = id

quegαβgβγgγα = id . (13.7)


sempre que Uαβγ 6= ∅.Reciprocamente, se (13.4) e (13.7) valem, tomando γ = α em (13.7) obtemos (13.5), que e equivalente a

(13.6). Daı, segue de (13.7) e de (13.6) que

gαβgβγ = g−1γα = gαγ .

Considere a uniao disjunta

E =⊔α∈A

(Uα × Rm)

Definimos uma relacao de equivalencia entre dois pontos (x, v) ∈ Uα × Rm e (y, w) ∈ Uβ × Rm

(x, v) ∼ (y, w)

por

x = y ∈ Uαβ ,w = gβα (v) .

As condicoes de cociclo garantem que esta e uma relacao de equivalencia. De fato:(i) Reflexividade:

Segue da primeira condicao de cociclo gαα = id. De fato,

v = gαα (v) ,

logo (x, v) ∼ (x, v).(ii) Simetria:

Segue da condicao gαβgβα = id. De fato, suponha que (x, v) ∼ (x,w), de modo que w = gβα (v). Entao

gαβ (w) = gαβ [gβα (v)] ,

dondegαβ (w) = v

e (x,w) ∼ (x, v).(iii) Transitividade:

Segue diretamente da condicao de cociclo gαβgβγ = gαγ . De fato, suponha que (x, v) ∼ (x,w) e que(x,w) ∼ (x, u), de modo que

w = gβα (v) ,

u = gγβ (w) .

Entaou = gγβ (w) = gγβ [gβα (v)] = gγα (v)

e (x, v) ∼ (x, u).Assim, identificamos os pontos (x, v) e (y, w) (vale a pena acompanhar o raciocınio usando uma figura

semelhante a figura na pagina 10 de [Poor]). Portanto, podemos introduzir a topologia quociente no espacodas classes de equivalencia, isto e, no espaco quociente

E = E/ ∼,

Lembrando: um subconjunto V ⊂ E e aberto se e somente se Π−1 (V ) e aberto, onde Π : E −→ E e aprojecao quociente.


Uma vez definido o espaco total do fibrado E, definimos a projecao do fibrado π : E −→M por

π ([x, v]) = x

para todo v ∈ Rm, onde denotamos a classe de equivalencia de (x, v) por [x, v]. Claramente, π e contınua.Falta construir as cartas ϕα deste fibrado. Se

ψα = Π|Uα×Rm : Uα × Rm −→ Π (Uα × Rm) ⊂ E

definimos ϕα = ψ−1α . Para ver que ψα e um homeomorfismo, note primeiro que ψα e uma bijecao porque

cada classe [x, v] ∈ π−1 (Uα) tem um unico representante (x, v) ∈ Uα × Rm; daı a topologia quociente tornaψα um homeomorfismo. Alem disso, temos

ϕα ϕ−1β = ψ−1

β ψα = ϕβα.

De fato, se (x, v) ∈ (Uα ∩ Uβ)× Rm, entao

ψ−1β ψα (x, v) = ψ−1

β ([x, v])

= (x,w)

onde por definicao da relacao de equivalencia (x, g) = ϕβα (x, v). [Novamente, veja uma figura analoga a dapagina 10 de [Poor].]

Os detalhes referentes a diferenciabilidade ficam como exercıcio. A cobertura aberta de M e o conjunto de funcoes de transicao que satisfazem as condicoes de cociclo echamado um sistema de funcoes de transicao para o fibrado.

Este resultado permite construir novos fibrados a partir de fibrados dados mais facilmente, como veremos.Essencialmente, toda operacao (contınua) que podemos definir entre espacos vetoriais, podemos definir entrefibrados.

13.8 Exemplo (Dual). Se E e um fibrado vetorial sobre M de posto k, entao seu dual e o fibrado vetorialde posto k cuja fibra sobre p e o dual E∗p com funcoes de transicao em Uαβ dadas por

g∗αβ =(gTαβ)−1

.

De fato, se ψα e uma carta do fibrado, entao o isomorfismo

ψα|Ep : Ep −→ Rm

induz o isomorfismo

ψ∗α =[(ψα|Ep

)T ]−1

|E∗p : Ep −→ Rm.

Daı,

g∗αβ = ψ∗α|E∗p (ψ∗β |E∗p

)−1

=[(ψα|Ep

)T ]−1 [(ψβ |Ep

)T ]=

[[(ψβ |Ep

)T ]−1 (ψα|Ep

)T]−1

=

[[(ψβ |Ep

)−1]T (

ψα|Ep)T]−1

=

[[(ψα|Ep

) (ψβ |Ep

)−1]T]−1

=(gTαβ)−1

.


13.9 Exemplo (Soma Direta). Se E e E′ sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , de postosk e l, respectivamente, entao sua soma direta (ou soma de Whitney) e o fibrado E⊕E′ de posto k+ l cujafibra sobre p e a soma direta Ep ⊕ E′p ∼= Rk+l com funcoes de transicao

g⊕αβ = gαβ ⊕ g′αβ ,

ou seja,

g⊕αβ =

[gαβ 00 g′αβ

].

13.10 Exemplo (Produto Tensorial). Se E e E′ sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , depostos k e l, respectivamente, entao seu produto tensorial e o fibrado E ⊗E′ de posto kl cuja fibra sobrep e o produto tensorial Ep ⊗ E′p ∼= Rkl com funcoes de transicao

g⊗αβ = gαβ ⊗ g′αβ .

13.11 Exemplo (Fibrado Hom). e E e E′ sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , de postosk e l, respectivamente, entao o fibrado Hom (E,E′) e o fibrado de posto kl cuja fibra sobre p e o espacovetorial dos homomorfismos lineares Hom

(Ep, E

′p

). Um isomorfismo

Lα : Hom(Ep, E

′p

)−→ Hom

(Rk,Rl

)associado a carta de fibrado ψα e definido por

Lα (L) = ψ′α|E′p L (ψα|Ep

)−1,

de modo que as funcoes de transicao sao dadas por

gHomαβ = Lα L−1

β .

13.3 Secoes Locais e Globais

13.12 Definicao. Se π : E −→ M e um fibrado, uma secao de E e uma aplicacao S : M −→ E tal queπ S = idM .

Uma secao local e uma aplicacao S : U −→ E definida em um aberto de M tal que π S = idU .

Exemplos de secoes sao os campos vetoriais para fibrados tangentes e os campos tensoriais para fibradostensoriais. Fibrados vetoriais sempre possuem uma secao contınua global: a secao nula S ≡ 0. No caso defibrados vetoriais, o conjunto de secoes tem uma estrutura natural de espaco vetorial sobre R e de modulosobre C∞ (M) herdada da fibra:

(αS + βT )p = αSp + βTp,

(fS + gT )p = f (p)Sp + g (p)Tp.

13.13 Notacao. O espaco vetorial das secoes de um fibrado E e denotada Γ (E).Assim tambem sera denotado o modulo das secoes sobre C∞ (M).


Obtemos uma base de secoes locais de um fibrado vetorial de posto m associada a cada cada carta defibrado ψ definindo

σi,p = ψ−1 (p, ei) (13.8)

i = 1, . . . ,m, ja que para cada p ∈ M , σ1,p, . . . σm,p e uma base para a fibra Ep. Em geral omitimos oponto p da notacao.

13.14 Proposicao. Toda base de secoes local e associada a uma carta de fibrado.

Prova: Veja Proposition 10.19 em [Lee 1], p. 259.

13.15 Corolario. Todo conjunto de secoes locais linearmente independente pode ser completado ate umabase de secoes locais, reduzindo a vizinhanca, se necessario.

Prova: Veja Proposition 10.19 em [Lee 1], p. 259.

13.16 Proposicao (Mudanca de Base de Secoes Locais). Seja E um fibrado vetorial de posto m. Sejam

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × Rm,

cartas do fibrado E tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ e


as funcoes de transicao entre estas cartas, isto e,

ψα ψ−1β : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm


β

)(p, v) = (p, gαβ (p) v) .

Sejam

σα1 , . . . , σαm ,σβ1 , . . . , σ

βm

,

as bases de secoes locais associadas a ψα, ψβ, respectivamente, ou seja,

(σαi )p = ψ−1α (p, ei) ,(

σβi

)p

= ψ−1β (p, ei) .

Entaoσβi = (gαβ)

ji σ

αj . (13.9)

Prova: Temos (σβi

)p

= ψ−1β (p, ei)

= ψ−1α

(ψα ψ−1

β

)(p, ei)

= ψ−1α (p, gαβ (p) ei)

= ψ−1α

(p, (gαβ)

ji ej

)= (gαβ)

ji ψ−1α (p, ej)

= (gαβ)ji

(σαj)p,

onde usamos o fato que a carta de um fibrado e linear sobre cada fibra, por definicao.


13.17 Proposicao. Os seguintes isomorfismos valem:(i)

Γ(M × Rk

) ∼= C∞(M,Rk

)(ii)

Γ (E ⊕ E′) ∼= Γ (E)⊕ Γ (E′)

(iii)Γ (Hom (E,E′)) ∼= HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′))

(iv)Γ (E∗) ∼= HomC∞(M) (Γ (E) , C∞ (M)) = (Γ (E))

∗

(v)Γ (E ⊗ E′) ∼= Γ (E)⊗C∞(M) Γ (E′)

(vi)Γ(ΛkE

) ∼= ΛkC∞(M) (Γ (E)) .

Prova: Os isomorfismo (i) e (ii) sao faceis de verificar. Provaremos o isomorfismo (iii):

Γ (Hom (E,E′)) ∼= HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′)) .

Seja, S ∈ Γ (Hom (E,E′)). Por definicao, S e uma aplicacao diferenciavel

S : M −→ Γ (Hom (E,E′))

tal queSp : Ep −→ E′p

e um isomorfismo linear entre as fibras espacos vetoriais Ep e E′p. Definimos um isomorfismo

Φ : Γ (Hom (E,E′)) −→ HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′))

por[Φ (S) (σ)]p = Sp (σp)

para cada σ ∈ Γ (E). Como Sp e linear em cada fibra, Φ (S) : Γ (E) −→ Γ (E′) e linear sobre o moduloC∞ (M): dadas f, g ∈ C∞ (M) e σ, σ′ ∈ Γ (E), temos

[Φ (S) (fσ + gσ′)]p = Sp(f (p)σp + g (p)σ′p

)= f (p)Sp (σp) + g (p)Sp

(σ′p)

=[fΦ (S) (σ) + gSp

(σ′p)]p.

Para mostrar que Φ e injetiva, suponha que Φ (S) (σ) = 0 e a secao nula no fibrado E′, isto e,

Sp (σp) = 0


para todo p ∈M e para todo σp ∈ Ep. Temos que mostrar que S e a secao nula do fibrado Hom (E,E′), istoe, Sp : Ep −→ E′p e o isomorfismo nulo para todo p ∈M . Fixe p ∈M e v ∈ Ep. Seja σv ∈ Γ (E) uma secaotal que (σv)p = v, que pode ser obtida atraves de uma funcao lombada (ou seja, defina σv localmente em umaberto U atraves de uma carta do fibrado, tome uma funcao lombada f tal que f (p) = 1 e supp f ⊂⊂ U , demodo que a secao globalmente definida em M sera fσv). Segue que

0 = Sp

((σv)p

)= Sp (v) .

Como v e arbitrario, isso implica que Sp e o isomorfismo nulo e como p e arbitrario, segue que S e a secaonula.

Para provar que Φ e sobrejetiva, seja T ∈ HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E′)), isto e,

T : Γ (E) −→ Γ (E′)

e um homomorfismo linear sobre o modulo C∞ (M). Precisamos obter uma secao S ∈ Γ (Hom (E,E′)) talque Φ (S) = T , Para isso, basta definir para cada p ∈M e para cada v ∈ Ep,

Sp (v) = [T (σv)]p .

onde σv ∈ Γ (E) e uma secao tal que (σv)p = v. Claramente S e linear, bastando apenas verificar que S estabem definida, isto e, se (σv)p = (σ′v)p, entao

[T (σv)]p = [T (σ′v)]p ,

o que e equivalente a mostrar quese σp = 0, entao [T (σ)]p = 0.

Sejam σ1, . . . , σm ∈ Γ (E) tais que

(σ1)q , . . . , (σm)q

formam uma base para Eq para todo q em uma

vizinhanca U de p (estas secoes globais que formam uma base de secoes em uma vizinhanca de p podem serobtidas pelo argumento anterior usando uma funcao lombada). Temos

σq =∑

f i (q) (σi)q

para todo q ∈ U para algumas funcoes f i ∈ C∞ (U); em particular, f i (p) = 0 para todo i. Seja f ∈ C∞ (M)com supp f ⊂⊂ U e f (p) = 1. Entao

T (σ) = T (fσ + (1− f)σ)

= T (fσ) + (1− f)T (σ) ,

de modo que[T (σ)]p = [T (fσ)]p .

Mas em Ufσ =

∑(ff i)σi

e podemos fazer esta identidade valer para todo M estendendo ff i a uma funcao gi ∈ C∞ (M) com gi (p) =f i (p) = 0. Como T e C∞ (M)-linear, segue que

T (fσ) =∑

giT (σi)

de modo que

[T (fσ)]p =∑

gi (p) [T (σi)]p = 0.


O isomorfismo (iv) e um caso especial de (iii), tomando E′ = M × R. O isomorfismo (v) segue de (paramaiores detalhes, veja [Madsen-Tornehave], Theorem 16.13)

Γ (E ⊗ E′) ∼= Γ (Hom (E∗, E′))∼= HomC∞(M) (Γ (E∗) ,Γ (E′))

∼= HomC∞(M)

(HomC∞(M) (Γ (E) , C∞ (M)) ,Γ (E′)

)∼= Γ (E)⊗C∞(M) Γ (E′) .

Para o isomorfismo (vi), veja [Madsen-Tornehave], Theorem 16.13.

13.4 Homomorfismos entre Fibrados

13.18 Definicao. Se

π : E −→M,

π′ : E′ −→M ′,

sao fibrados vetoriais, um homomorfismo entre os fibrados E e E′ e uma aplicacao contınua F : E −→ E′

tal que existe uma aplicacao f : M −→ M ′ satisfazendo π′ F = f π, isto e, tal que o diagrama abaixocomuta

E

π

F // E′

π′

M

f // M ′

e tal que F |Ep : Ep −→ E′f(p) e linear para todo p ∈M .Se a inversa de F tambem for um homomorfismo entre fibrados, entao dizemos que F e um isomorfismo

entre fibrados e os fibrados E e E′ sao isomorfos.

Note que um homomorfismo entre fibrados preserva fibras se f e a identidade e no caso geral leva a fibra emp na fibra em f (p). Note ainda que no caso de fibrados vetoriais a aplicacao f e automaticamente contınua:se S e a secao nula, entao

f = π′ F S.

Portanto, se F e diferenciavel, entao f tambem e.Quando M = M

′, restringimos a definicao permitindo apenas f = idM :

13.19 Definicao. Se

π : E −→M,

π′ : E′ −→M,

sao fibrados vetoriais sobre o mesmo espaco base M , um homomorfismo entre os fibrados E e E′ e umaaplicacao contınua F : E −→ E′ tal que π′ F = π e F |Ep : Ep −→ E′f(p) e linear para todo p ∈M .

13.20 Proposicao. Sejam E,E′

fibrados vetoriais sobre M .Uma aplicacao F : Γ (E) −→ Γ (E′) e linear sobre C∞ (M) se e somente se existe um homomorfismo

entre fibrados vetoriais F : E −→ E′ tal que F (S) = F S para todo S ∈ Γ (E).

Prova: Veja [Lee 1], Lemma 10.29, p. 262.

13.21 Exemplo. Se M,N sao variedades diferencıaveis e F : M −→ N e uma aplicacao diferenciavel, aaplicacao tangente dF : TM −→ TN (veja Proposicao 3.16) e um homomorfismo entre fibrados.


13.5 Exercıcios


13.23 Exercıcio. Termine a demonstracao da Proposicao 13.4, mostrando que gαβ e uma aplicacao dife-renciavel (use a mesma ideia da Proposicao 7.37 em [Lee 1], p. 171).

Capıtulo 14

Conexoes em Fibrados Vetoriais

Sabemos derivar campos tensoriais usando conexoes. Neste capıtulo mostraremos como derivar secoes dequalquer fibrado vetorial, usando uma nocao equivalente de conexoes para fibrados vetoriais. A primeiranocao de conexao que consideraremos e uma generalizacao direta da nocao algebrica de conexao que vimospara os fibrados tensoriais.

14.1 Definicao 1: Conexao de Koszul

Conexoes nos fibrados tensoriais permitem calcular a derivada direcional dos campos tensoriais definidosna variedade, que nada mais sao que as secoes do fibrado tensorial. A derivada direcional de um campotensorial na direcao de um vetor tangente a variedade e exatamente a derivada covariante do campo nestadirecao. Por analogia, temos a mesma definicao de conexoes em fibrados vetoriais, o que permitira calculara derivada direcional de secoes do fibrado vetorial na direcao de um vetor tangente ao espaco base (ao longodeste capıtulo denotaremos o espaco dos campos vetoriais T (M) por Γ (TM)):

14.1 Definicao. Uma conexao em um fibrado vetorial π : E −→M e uma aplicacao R-bilinear

∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E)

que e C∞ (M)-linear na primeira variavel e satisfaz a regra do produto na segunda variavel:

∇fX+gY S = f∇XS + g∇Y S,∇X (fS) = f∇XS + (Xf)S,

Dizemos que ∇XS e a derivada covariante da secao S na direcao de X.

A conexao definida acima e tambem chamada uma conexao de Koszul. Note que se fixarmos um campovetorial X ∈ Γ (TM) temos uma derivacao (uma aplicacao R-linear que satisfaz a regra do produto)

∇X : Γ (E) −→ Γ (E) .

A forma local da conexao de Koszul em termos das coordenadas locais de campos vetoriais e das coor-denadas locais de secoes do fibrado e dada pelo seguinte resultado:

14.2 Proposicao. Seja ∇ uma conexao para um fibrado vetorial π : E −→M .Escreva localmente X ∈ Γ (TM) como

X = Xi∂i

para algumas funcoes Xi ∈ C∞ (U) e S ∈ Γ (E) como

S = Skσk

201


para algumas funcoes Sk ∈ C∞ (U).Defina Γkij ∈ C∞ (U) por

∇∂iσj = Γkijσk. (14.1)

Entao∇XS = Xi

(∂iS

k + ΓkijSj)σk. (14.2)

Prova: Temos

∇XS = ∇Xi∂i(Sjσj

)= Xi∇∂i

(Sjσj

)= Xi

[(∂iS

j)σj + Sj∇∂iσj

]= Xi

[(∂iS

j)σj + SjΓkijσk

].

14.3 Definicao. As funcoes suaves locais Γkij definidas pela expressao (14.1) sao chamadas os sımbolos deChristoffel da conexao associados a carta de fibrado.

14.4 Proposicao. Todo fibrado vetorial possui uma conexao.

Prova: Seja E um fibrado vetorial sobre M . Se U e uma vizinhanca coordenada de M tal que π−1 (U) euma vizinhanca coordenada de fibrado de E, dadas n3 funcoes arbitrarias Γkij ∈ C∞ (U), a formula (14.2)

define uma conexao no fibrado local trivial π−1 (U) sobre U . Se Uα e uma cobertura de M por vizinhancascoordenadas tal que

π−1 (Uα)

e uma cobertura de E por vizinhancas coordenadas de fibrado, cada uma

com uma conexao ∇α definida, entao podemos definir uma conexao de fibrado global em E usando umaparticao da unidade ρα subordinada a cobertura Uα, por

∇XY =∑α

ρα∇αXY.

As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencaoespecial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem desatisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso casotemos

∇X (fS) =∑α

ρα∇αX (fS) =∑α

ρα [(Xf)S + f∇αXS]

= (Xf)S∑α

ρα + f∑α

ρα∇αXS

= (Xf)S + f∇XS.

14.2 Definicao 2: Conexao de Koszul em Termos de Formas Dife-renciais

Atraves de um isomorfismo natural, podemos definir conexoes em termos de 1-formas diferenciais. Issopermitira ver a derivada covariante de secoes como uma derivada covariante de fato, isto e, uma aplicacaolinear que aumenta em 1 o grau de covariancia. Por exemplo, a curvatura sera entao uma 2-forma diferencial,como veremos no proximo capıtulo.


14.2.1 Derivada Covariante Total

A maneira de expressar a conexao de Koszul que veremos agora permitira entre outras coisas definir umanocao de derivada covariante total de secoes do fibrado vetorial, semelhante a nocao que vimos de covariantetotal de tensores, que e a nocao de derivada pura em contraste com a nocao de derivada direcional, na direcaode um campo.

Relembrando, a derivada covariante total de tensores e uma aplicacao R-linear

∇ : Tkl (M) −→ Tk+1l (M)

definida por(∇T )

(X,Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl)

= (∇XT )(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl)

;

por exemplo, no caso particular de 1-formas ∇ : T1 (M) −→ T2 (M) temos

(∇ω) (X,Y ) = (∇Xω) (Y ) .

Tambem podemos ver a derivada covariante total de tensores como uma aplicacao R-linear graduada

∇ :

∞⊕k,l=0

Tkl (M) −→∞⊕

k,l=0

Tkl (M)

no fibrado tensorial total.Para definir uma nocao semelhante de derivada covariante total em fibrados a partir da Definicao 14.1,

note em primeiro lugar que, como a conexao para fibrados e C∞ (M)-linear na primeira variavel, para cadasecao do fibrado S ∈ Γ (E) fixada, a aplicacao

∇S : Γ (TM) −→ Γ (E)

definida por∇S (X) = ∇XS

e C∞ (M)-linear, isto e,∇S ∈ HomC∞(M) (Γ (TM) ,Γ (E))

(usaremos Hom neste capıtulo exclusivamente para denotar conjuntos de homomorfismos de modulos sobreC∞ (M), mas as vezes denotaremos explicitamente que o homomorfismo e sobre o anel C∞ (M) por questoesde enfase). A derivada covariante total pode entao ser definida de maneira mais sucinta como uma derivacao(uma aplicacao R-linear que satisfaz a regra do produto)

∇ : Γ (E) −→ Hom (Γ (TM) ,Γ (E))

Mas ao inves de enxergar ∇S como um C∞ (M)-homomorfismo, usando o isomorfismo a seguir podemos ver∇S como um objeto geometrico.

14.5 Proposicao.Hom (Γ (TM) ,Γ (E)) ∼= Γ (E)⊗ Λ1 (M) .

Prova: Temos

Γ (E)⊗ Λ1 (M) = Γ (E)⊗ Γ (T ∗M)∼= Γ (E ⊗ T ∗M)∼= Γ (Hom (TM,E))∼= Hom (Γ (TM) ,Γ (E)) .


O isomorfismo desta proposicao pode ser explicitado. Considerando a aplicacao bilinear de avaliacao

Eval : Γ (TM)×[Γ (E)⊗ Λ1 (M)

]−→ Γ (E)

definida em geradores por (utilizando a notacao de multiplicacao por escalar a direita; em um espaco vetorial,as duas acoes de multiplicacao por escalar, a esquerda e a direita, dao o mesmo resultado)

EvalX (S ⊗ ω) = Sω (X) ,

o isomorfismo naturalΦ : Γ (E)⊗ Λ1 (M) −→ Hom (Γ (TM) ,Γ (E))

e dado em geradores por[Φ (S ⊗ ω)] (X) = EvalX (S ⊗ ω) ,

como pode ser verificado. Assim, consideraremos uma definicao alternativa equivalente para a conexao deKoszul:

14.6 Definicao. Uma conexao em um fibrado vetorial π : E −→M e uma aplicacao R-linear

∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) ,

que satisfaz a regra do produto∇ (fS) = f∇S + S ⊗ df.

A derivada covariante da secao S na direcao do campo X e definida por

∇XS = EvalX (∇S) .

Em notacao tensorial fica mais claro que a expressao na definicao e de fato uma regra do produto:

∇ (fS) = ∇ (S ⊗ f)

= ∇S ⊗ f + S ⊗ df= f∇S + S ⊗ df.

14.7 Proposicao. As definicoes de conexoes 14.1

∇ : Γ (E) −→ Hom (Γ (TM) ,Γ (E))

e 14.6∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M)

sao equivalentes, no sentido de que o diagrama a seguir e comutativo:

Γ (E)∇ //

∇ ''

Γ (E)⊗ Λ1 (M)

Φ

Hom (T (M) ,Γ (E))


Prova: Como o isomorfismo Φ e C∞ (M)-linear, dada ∇ basta tomar ∇ = Φ−1 ∇ e dada ∇ basta definir

∇ = Φ ∇. De fato,

∇ (fS) (X) =(

Φ ∇)

(fS) (X)

= Φ[∇ (fS)

](X)

= Φ[∇S ⊗ f + S ⊗ df

](X)

= Φ(∇S ⊗ f

)(X) + Φ (S ⊗ df) (X)

= f (∇XS) + df (X)S

= f (∇XS) + (Xf)S.

De qualquer forma, vamos mostrar como obter a conexao ∇ : Γ (E) −→ Γ (E) ⊗ Λ1 (M) diretamente.

Antes, precisamos provar algumas de suas propriedades. Uma das suas propriedades basicas esperadas e queela e um operador local:

14.8 Proposicao. Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) uma conexao.Para todo aberto U ⊂M , se S1, S2 ∈ Γ (E),satisfazem S1 = S2 em U , entao ∇S1 = ∇S2 em U .

Prova: Seja S = S1 − S2, de modo que S|U = 0. Provaremos que ∇S = 0 em U .Fixe p ∈ U e para alguma vizinhanca V ⊂⊂ U de p, seja f ∈ C∞ (M) uma funcao lombada com

supp f ⊂ U e f |V = 1. Entao fS e a secao identicamente nula, logo

0 = ∇ (fS) = fdS + S ⊗ df.

Aplicando em p, como df = 0 em V e f (p) = 1, concluımos que (∇S)p = 0. O proximo resultado mostra que a derivada covariante de secoes e uma derivada direcional.

14.9 Proposicao. Sejam d uma conexao para um fibrado vetorial π : E −→ M e X,Y ∈ Γ (TM). SeXp = Yp, entao

(∇XS)p = (∇Y S)p

para toda secao S ∈ Γ (E).

Prova: Seja Z = X − Y , de modo que Zp = 0. Provaremos que (∇ZS)p = 0.Para alguma vizinhanca coordenada V ⊂⊂ U de p, seja f ∈ C∞ (M) uma funcao lombada com supp f ⊂

U e f |V = 1. Em U podemos escreverZ = Zi∂i.

Temos que fZi ∈ C∞ (M) coincide com Z 6i em V , de modo que

Z = f2Z = f2Zi∂i

e um campo em M que coincide com Z em V . Daı,

f2∇ZS = ∇f2ZS = ∇ZS = ∇f2Zi∂iS = fZi∇f∂iS

(note que todos os campos aqui definidos sao globais, daı a necessidade de se considerar f2, para sobrar f emf∂i de modo que este seja um campo globalmente definido para fazer sentido calcular a derivada covarianteda secao S na sua direcao). Aplicando em p, como Zi (p) = 0 e f (p) = 1, concluımos que (∇ZS)p = 0.


14.2.2 Conexao em Coordenadas

Agora obteremos a expressao local da derivada covariante ∇ e a usaremos para definir uma conexao em umfibrado vetorial (como fizemos para definir a conexao de campos vetoriais):

14.10 Proposicao (Formas da Conexao). Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E) ⊗ Λ1 (M) uma conexao para umfibrado vetorial E de posto m.

Para cada carta do fibrado ϕ : π−1 (U) −→ U × Rm seja σ1, . . . , σm a base de secoes locais associada,de forma que cada secao S ∈ Γ (E) e escrita localmente na forma

S =

m∑i=1

Siσi =

m∑i=1

σi ⊗ Si.

Denote

σ =[σ1 · · · σm

],

∇σ =[∇σ1 · · · ∇σm

],

e

S =

S1

...Sm

, dS =

dS1

...dSm

,de modo que

S = σ ⊗ S.

Para cada i, escreva ∇σi ∈ Γ (E|U )⊗ Λ1 (U) localmente na forma

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji

de modo que

∇σ =[σ1 · · · σm

]⊗

ω11 · · · ω1

m...

...ωm1 · · · ωmm

= σ ⊗ ω

(multiplicacao tensorial de matrizes definida da mesma maneira que a multiplicacao usual de matrizes).As 1-formas ωij ∈ Λ1 (U) sao chamadas as formas da conexao com respeito a carta ϕ do fibrado e a matriz

de 1-formas ω =(ωij)

e chamada a matriz da conexao com respeito a carta ϕ do fibrado.Entao, vale

∇S = ∇ (σ ⊗ S) = σ ⊗ dS +∇σ ⊗ S (14.3)

= σ ⊗ (dS + ω ⊗ S) ,

onde


Prova: Temos

∇S = ∇

[m∑i=1

(Siσi

)]

=

m∑i=1

∇(Siσi

)=

m∑i=1

∇(σi ⊗ Si

)=

m∑i=1

σi ⊗ dSi +

m∑i=1

∇σi ⊗ Si

= σ ⊗ dS +∇σ ⊗ S= σ ⊗ dS + (σ ⊗ ω)⊗ S= σ ⊗ (dS + ω ⊗ S) .

O resultado mostra que a conexao e determinada localmente por uma matriz de 1-formas, a matriz daconexao ω.

14.11 Definicao. O caso ω = 0 corresponde a conexao flat ∇0 do fibrado E|U .

Em outras palavras,∇0S = σ ⊗ dS,

ou seja,

∇0

(m∑i=1

Siσi

)=

m∑i=1

σi ⊗ dSi.

14.12 Definicao. Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗Λ1 (M) uma conexao para um fibrado vetorial E de posto m.Se escrevermos as formas da conexao em coordenadas locais do espaco base Mn

ωki =

n∑j=1

Akjidxj ,

os coeficientes Akji = ωki (∂j) sao chamados os componentes do potencial vetorial da conexao.

Assim,

∇σi =

m∑j=1

Akji(σk ⊗ dxj

).

A diferenca entre os componentes do potencial vetorial da conexao e os sımbolos de Christoffel e que Γ naoe um tensor, nem mesmo localmente, enquanto que A e um tensor local, como veremos no final desta secao(Corolario ??). Vistos apenas como funcoes, os sımbolos de Christoffel da conexao ∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→Γ (E) sao identicos aos componentes do potencial vetorial da conexao ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M): temos

∇∂jσi = Γkjiσk,

∇σi = Akji(σk ⊗ dxj

)


e tambem

∇∂jσi = Φ ∇∂jσi= Akli Eval∂j

(σk ⊗ dxl

)= Akliσkdx

l (∂j)

= Akjiσk,

de modo queΓkji = Akji.

14.13 Proposicao. Todo fibrado possui uma conexao.

Prova: Seja Uα uma cobertura de M tal que π−1 (Uα) e um fibrado trivial. Se ∇α e uma conexao trivialem π−1 (Uα) e ρα e uma particao da unidade subordinada a Uα defina uma conexao em E por

∇ =∑α

ρα∇α.

De fato, ∇ e R-linear e

∇ (fS) =∑α

ρα∇α (fS)

=∑α

ρα (S ⊗ df + f∇αS)

=∑α

ραS ⊗ df +∑α

ραfdαS

=

(∑α

ρα

)S ⊗ df + f

∑α

ρα∇αS

= S ⊗ df + fdS.

14.14 Proposicao. Seja ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗Λ1 (M) uma conexao para um fibrado vetorial π : E −→Mde posto m. Sejam

ϕα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm,ϕβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × Rm,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ e


as funcoes de transicao entre estas cartas, isto e,

ϕα ϕ−1β : Uαβ × Rm −→ Uαβ × Rm

tem a forma (ϕα ϕ−1

β

)(p, v) = (p, gαβ (p) v) .

Se ωα, ωβ sao as matrizes da conexao para os abertos Uα, Uβ entao

ωβ = g−1αβωαgαβ + g−1

αβdgαβ . (14.4)

Em notacao menos compacta,

ωβ (p) = g−1αβ (p)ωα (p) gαβ (p) + g−1

αβ (p) d (gαβ)p .


Prova: Como vimos na Proposicao 13.16,

σβi = (gαβ)ji σ

αj .

Daı, pela regra do produto,∇σβi = σαj ⊗ d (gαβ)

ji + (gαβ)

ji ∇σ

αj . (14.5)

Como

∇σαj = σαk ⊗ (ωα)kj ,

∇σβi = σβj ⊗ (ωβ)ji = (gαβ)

kj σ

αk ⊗ (ωβ)

ji ,

substituindo estas expressoes em (14.5) (e trocando o ındice j por k no primeiro termo desta equacao) segueque

(gαβ)kj σ

αk ⊗ (ωβ)

ji = σαk ⊗ d (gαβ)

ki + σαk ⊗ (gαβ)

ji (ωα)

kj ,

ou seja,

σαk ⊗ (gαβ)kj (ωβ)

ji = σαk ⊗

[d (gαβ)

ki + (ωα)

kj (gαβ)

ji

],

donde(gαβ)

kj (ωβ)

ji = d (gαβ)

ki + (ωα)

kj (gαβ)

ji .

Daı[gαβωβ ]

ki = [dgαβ + ωαgαβ ]

ki ,

dondegαβωβ = dgαβ + ωαgαβ .

Tomando a inversa de ambos os lados, obtemos o resultado


αβdgαβ .

14.3 O Tensor Diferenca

Suponha que um fibrado E possua duas conexoes

∇,∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E) .

no sentido da Definicao 14.1. Como conexoes sao derivacoes, isto e, satisfazem a regra do produto na segundavariavel, elas nao sao tensores. No entanto, se tomarmos a diferenca

A = ∇−∇

entao A : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E) e C∞ (M)-linear em ambas as variaveis e portanto um tensor. De fato,

AX (fS) = ∇X (fS)−∇X (fS)

= f∇XS +X (f)S − f∇XS −X (f)S

= f(∇XS −∇XS

)= fAX (S) .

Localmente, quando ∇ e a conexao flat associada ao fibrado E|U sobre uma vizinhanca trivializavel U comcarta ψ, este tensor diferenca e chamado o potencial vetorial da conexao em relacao a carta do fibrado(U,ψ).


Em termos de duas conexoes∇,∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M)

no sentido da Definicao 14.6, o potencial vetorial A = ∇−∇ e uma aplicacao C∞ (M)-linear (um tensor)

A : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) ,

e a demonstracao e analoga:

A (fS) = ∇ (fS)−∇ (fS)

= f∇S +X (f)S − f∇S −X (f)S

= f(∇S −∇S

)= fA (S) .

Vale a recıproca:

14.15 Proposicao. Se ∇ e uma conexao em um fibrado e A e um tensor, entao ∇ = ∇+A tambem e umaconexao.

Prova: Esta afirmativa obviamente vale para ambas as definicoes de conexao, mas vamos provar para asegunda: claramente ∇ e R-linear, soma de aplicacoes R-lineares e satisfaz a regra do produto porque

∇ (fS) = ∇ (fS) +A (fS)

= f∇S +X (f)S + fA (S)

= f (∇S +A (S)) +X (f)S

= f∇ (S) +X (f)S.

Por este motivo, a conexao de Koszul em fibrados vetoriais tambem e chamada de conexao afim.

14.16 Corolario. Se ∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ1 (M) e uma conexao com matriz de conexao ω e

ωki =

n∑j=1

Akjidxj ,

entao A : Γ (E|U ) −→ Γ (E|U )⊗ Λ1 (U) e um tensor local.

Prova: Pois localmente ∇ = ∇0 +A, onde ∇0 e a conexao flat para U .

14.4 Conexoes Induzidas

14.4.1 Conexao no Fibrado Soma E1 ⊕ E2

Considere o fibrado vetorial E1 ⊕ E2. Pela Proposicao 13.17 vale o isomorfismo

Γ (E1 ⊕ E2) ∼= Γ (E1)⊕ Γ (E2) .

14.17 Definicao. Sejam

∇1 : Γ (TM)× Γ (E1) −→ Γ (E1) ,

∇2 : Γ (TM)× Γ (E2) −→ Γ (E2) ,

conexoes nos fibrados E1, E2 sobre M . A conexao soma direta no fibrado E1⊕E2 induzida pelas conexoes∇1,∇2 e a conexao

∇⊗ : Γ (TM)× Γ (E1 ⊕ E2) −→ Γ (E1 ⊕ E2)

definida por∇⊗X (S1 + S2) = ∇1

XS1 +∇2XS2.


14.4.2 A Conexao Dual no Fibrado Dual E∗

Considere o fibrado dual E∗. Pela Proposicao 13.17 vale o isomorfismo

Γ (E∗) ∼= (Γ (E))∗.

14.18 Definicao. Seja∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E) ,

uma conexao no fibrado E. A conexao dual no fibrado dual E e a conexao

∇∗ : Γ (TM)× Γ (E∗) −→ Γ (E∗)

definida por(∇∗Xω) (S) = X (ω (S))− ω (∇XS)

onde ω ∈ Γ (E∗) e S ∈ Γ (E).

Em outras palavras, temos uma “regra do produto”:

X (ω (S)) = (∇∗Xω) (S) + ω (∇XS) ,

vendo ω (S) como uma funcao em C∞ (M) definindo

[ω (S)] (p) = ωp (Sp) .

14.19 Proposicao. ∇∗ e de fato uma conexao.

Prova: ∇∗ e claramente R-linear em ambas as variaveis e C∞ (M)-linear na primeira. Ela e uma derivacaona segunda variavel pois

(∇∗Xω) (fS) = X (ω (fS))− ω (∇X (fS))

= X (fω (S))− ω ((Xf)S + f∇XS)

= (Xf)ω (S) + fX (ω (S))− (Xf)ω (S)− fω (∇XS)

= fX (ω (S))− fω (∇XS)

= f [X (ω (S))− ω (∇XS)]

= f (∇∗Xω) (S) .

14.4.3 Conexao no Fibrado Tensorial E1 ⊗ E2

Considere o fibrado vetorial E1 ⊗ E2. Pela Proposicao 13.17 vale o isomorfismo

Γ (E1 ⊗ E2) ∼= Γ (E1)⊗ Γ (E2) .

14.20 Definicao. Sejam

∇1 : Γ (TM)× Γ (E1) −→ Γ (E1) ,

∇2 : Γ (TM)× Γ (E2) −→ Γ (E2) ,

conexoes nos fibrados E1, E2 sobre M . A conexao tensorial no fibrado E1 ⊗ E2 induzida pelas conexoes∇1,∇2 e a conexao

∇⊗ : Γ (TM)× Γ (E1 ⊗ E2) −→ Γ (E1 ⊗ E2)

definida por∇⊗X (S1 ⊗ S2) = ∇1

XS1 ⊗ S2 + S1 ⊗∇2XS2.

Observe que esta definicao e feita de modo a valer a regra do produto no produto tensorial de secoes.


14.4.4 Conexao no Fibrado Hom (E,E)

Definiremos uma conexao diferente no fibrado Hom (E,E), induzida pela conexao no fibrado E com pro-priedades especiais; particularmente, a derivada exterior induzida por esta nova conexao satisfazera umapropriedade de Bianchi mais simples, como veremos no proximo capıtulo.

A matriz da conexao ω associa a cada ponto da variedade uma matriz. Como uma matriz e umatransformacao linear do espaco vetorial, parece mais natural enxergar a conexao como uma aplicacao tomandovalores no fibrado dos homomorfismos Hom (E,E).

Considere o fibrado vetorial Hom (E,E). Pela Proposicao 13.17 vale o isomorfismo

Γ (Hom (E,E)) ∼= Hom (Γ (E) ,Γ (E)) ,

ou seja, a cada secao F : M −→ Hom (E,E) corresponde um homomorfismo

F : Γ (E) −→ Γ (E)

definido por [F (S)

]p

= Fp (Sp) .

14.21 Definicao. Seja ∇ : Γ (TM) × Γ (E) −→ Γ (E) uma conexao no fibrado E. A conexao induzidano fibrado Hom (E,E) e a conexao

∇Hom : Γ (TM)× Γ (Hom (E,E)) −→ Γ (Hom (E,E))

definida por (∇HomX F

)(S) = ∇X (F (S))− F (∇XS) .

Em outras palavras, temos uma “regra do produto”:

∇X (F (S)) = F (∇XS) +(∇HomX F

)(S) .

14.22 Proposicao. ∇Hom e de fato uma conexao.

Prova: ∇Hom e claramente R-linear em ambas as variaveis e C∞ (M)-linear na primeira. Ela e uma derivacaona segunda variavel pois(

∇HomX (fF )

)(S) = ∇X (fF (S))− fF (∇XS)

= (Xf)F (S) + f∇X (F (S))− fF (∇XS)

= (Xf)F (S) + f(∇HomX F

)(S) ,

de modo que (∇HomX (fF )

)= (Xf)F + f∇Hom

X F.

Esta conexao desempenhara um papel importante mais tarde. A origem de ∇Hom

X pode ser justificadausando o isomorfismo Hom (E,E) ∼= E ⊗ E∗, a conexao dual em E∗ e a conexao tensorial em E ⊗ E∗. Defato, o isomorfismo e dado explicitamente por

[Φ (S ⊗ ω)] (T ) = Sω (T ) .

Daı, dada uma conexao ∇ em E, que induz a conexao dual ∇∗ em E∗, a conexao tensorial induzida emE ⊗ E∗ e dada por

∇⊗X (S ⊗ ω) = ∇XS ⊗ ω + S ⊗∇∗Xω,


de modo que ∇HomX e definida atraves do diagrama comutativo

Γ (E ⊗ E∗)∇⊗X−→ Γ (E ⊗ E∗)

↓ Φ ↓ Φ

Γ (Hom (E,E))∇HomX−→ Γ (Hom (E,E))

isto e,∇HomX = Φ ∇⊗X Φ−1.

Para verificar que a conexao ∇Hom da Definicao 14.21 e a mesma conexao definida pelo diagrama comutativo,mostramos que

∇HomX Φ = Φ ∇⊗X .

Com efeito, temos [(∇HomX Φ

)(S ⊗ ω)

](T ) =

[∇HomX (Φ (S ⊗ ω))

](T )

= ∇X ([Φ (S ⊗ ω)] (T ))− [Φ (S ⊗ ω)] (∇XT )

= ∇X (ω (T )S)− ω (∇XT )S

= X (ω (T ))S + ω (T )∇XS − ω (∇XT )S

e [(Φ ∇⊗X

)(S ⊗ ω)

](T ) =

[Φ(∇⊗X (S ⊗ ω)

)](T )

= [Φ (∇XS ⊗ ω + S ⊗∇∗Xω)] (T )

= [Φ (∇XS ⊗ ω)] (T ) + [Φ (S ⊗∇∗Xω)] (T )

= ω (T )∇XS +∇∗Xω (T )S

= ω (T )∇XS +X (ω (T ))S − ω (∇XT )S.

14.5 Transporte Paralelo

14.5.1 Derivada covariante ao longo de curvas

A existencia de uma conexao em um fibrado vetorial diferenciavel E sobre M permite derivar secoes ao longode curvas no espaco base M .

14.23 Definicao. Seja (E, π,M) um fibrado vetorial e γ : I −→M uma curva diferenciavel no espaco baseM . Uma secao ao longo da curva γ e uma aplicacao diferenciavel S : I −→ E tal que π (S (t)) = γ (t),isto e, S (t) ∈ Eγ(t), para todo t ∈ I.

O R-espaco vetorial ou C∞ (I)-modulo das secoes diferenciaveis ao longo de uma curva γ e denotadoΓ (γ).

Frequentemente utilizaremos a notacao St para denotar S (t).

14.24 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Existe umunico operador R-linear e derivacao

D

dt: Γ (γ) −→ Γ (γ)

tal que se S e uma secao ao longo da curva γ induzida por uma secao global S ∈ Γ (E), ou seja, S = S γ,entao

DS

dt= ∇γ′(t)S.


Localmente,

DS

dt=

n∑k=1

dSkdt

+

n∑i,j=1

dγi

dtΓkijSj

σk. (14.6)

Prova: Observe que para a expressao ∇γ′(t)S fazer sentido, devemos entender o subescrito γ′ (t) nestesımbolo como qualquer extensao local do campo vetorial γ′ (t) a um campo em M , ja que pela Proposicao14.9 so importa o valor da extensao em γ (t), isto e, o vetor tangente γ′ (t).

Vamos provar primeiro a unicidade deDS

dt. Suponha que exista uma tal secao

DS

dtsatisfazendo todas

as propriedades do enunciado. SejaSt = Sj (t) σj |t

a expressao local de S, de modo que

DS

dt

∣∣∣∣t

=dSj

dt(t) σj |t + Sj (t)

Dσjdt

∣∣∣∣t

.

Pela terceira propriedade,

Dσjdt

∣∣∣∣t

=(∇γ′(t)σj

)t

=(∇ dγi

dt (t)σiσj

)t

=dγi

dt(t) ∇σiσj |t .

Portanto, localmente a secaoDS

dtse escreve na forma

DS

dt

∣∣∣∣t

=

n∑k=1

dSkdt

(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γkij (t)Sj (t)

σk|t , (14.7)

o que mostra queDS

dte unicamente determinada.

Para determinar a existencia deDS

dt, dada uma carta (ϕ,U) para uma vizinhanca de γ (t), defina

DS

dtem ϕ (U) pela expressao (14.7); e imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz todas aspropriedades do enunciado.

14.25 Definicao. A secao diferenciavelDS

dte chamada a derivada covariante de S ao longo da curva γ.

14.5.2 Transporte Paralelo

14.26 Definicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Uma secaodiferenciavel S ao longo de uma curva diferenciavel γ : I −→M e chamada uma secao paralela ao longode γ se

DS

dt≡ 0.

Uma secao global S ∈ Γ (E) e chamada uma secao paralela se ela e paralela ao longo de qualquer curva.

Seja S ∈ Γ (E) uma secao global. Pela Proposicao 14.24, a derivada covariante da secao S (t) = Sγ(t),restricao de S a curva γ, no ponto t0 onde γ (t0) = p e γ′ (t0) = Xp e a derivada covariante (∇XS)p.Portanto, uma secao global S e paralela se e somente se

∇XS = 0

para todo campo X ∈ Γ (TM), isto e, se e somente se

∇S = 0.


14.27 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial diferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Sejaγ : I −→M uma curva diferenciavel e S0 ∈ Eγ(t0), t0 ∈ I. Entao existe uma unica secao paralela S definidaao longo de γ tal que St0 = S0.

Prova: Usando a expressao (14.6), a existencia local do campo S (t) satisfazendoDS

dt= 0 para todo t e

S (t0) = S0 corresponde a uma solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais

dS1

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γ1

ij (t)Sj (t) = 0

...

dSn

dt(t) +

n∑i,j=1

dγi

dt(t) Γnij (t)Sj (t) = 0

com condicao inicial

S1 (t0) = S10 ,

...

Sn (t0) = Sn0 .

Se γ (I) esta inteiramente contida em uma vizinhanca coordenada, entao o teorema de existencia e unicidadepara equacoes diferenciais lineares garante a existencia de uma unica secao S definida em todo o intervaloI. Caso contrario, como γ (I) e um conjunto compacto, ele pode ser coberto por um numero finito devizinhancas coordenadas, em cada uma das quais S pode ser definido de maneira unica usando o raciocınioacima e esta unicidade garante que o campo e o mesmo nas intersecoes das vizinhancas.

Este resultado, juntamente com as propriedades de EDOs lineares, permite definir um isomorfismocanonico (independente de bases) entre as fibras Eγ(t) e Eγ(s) atraves da conexao da variedade, o querealmente justifica o nome “conexao” (algo que conecta as fibras):

14.28 Definicao. A secao S obtida na Proposicao 14.27 e chamado o transporte paralelo de S0 ao longode γ.

O operador transporte paralelo (tambem chamada a holonomia da curva γ) e o isomorfismo linear

Pt : Eγ(t0) −→ Eγ(t)

definida em cada vetor S0 ∈ Eγ(t0) porPt (S0) = St,

isto e, Pt (S0) e o transporte paralelo do vetor S0 ao longo da curva γ.

Quando necessario, para t, t′ ∈ I denotaremos a aplicacao transporte paralelo de vetores em Eγ(t) paravetores em Eγ(t′) por

Pt→t′ : Eγ(t) −→ Eγ(t′),

de modo queSt′ = Pt→t′St. (14.8)

A aplicacao transporte paralelo e linear porque o transporte paralelo e dado pela solucao de um sistema deequacoes diferenciais lineares. Por unicidade, ela e um isomorfismo com

P−1t′→t = Pt→t′ ,


e da unicidade de solucao para um sistema de EDOs segue tambem que

P0→0 = id,

Pt′→t′′ Pt→t′ = Pt→t′′ .

Em geral, o transporte paralelo de um vetor V em Ep para um vetor em Eq dependera da curva γ ligandop e q usada; isto e, se γ1, γ2 : I −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

γ1 (t) = γ2 (t) = p,

γ1 (t′) = γ2 (t′) = q,

entao em geralP γ1t→t′ (V ) 6= P γ2t→t′ (V )

para V ∈ Ep.

14.29 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade conexa M com conexao ∇. As seguintesafirmativas sao equivalentes:

(i) O transporte paralelo ao longo de qualquer curva depende apenas de seus pontos inicial e final.(ii) Para todo ponto p ∈M e todo vetor V ∈ Ep existe uma unica secao global paralela S ∈ Γ (E) tal que

Sp = V .(iii) Existe uma base de secoes globais paralelas σ1, . . . , σm ∈ Γ (E).(iv) E e o fibrado trivial sobre M , isto e, E ∼= M × Rm.

Prova: (i) =⇒ (ii) Fixe p ∈ M e V ∈ Ep. Defina uma secao global S ∈ Γ (E) da seguinte forma: dadoq ∈ M e uma curva diferenciavel γ ligando p e q, digamos γ (0) = p e γ (t) = q, se Pt denota o transporteparalelo ao longo da curva γ a partir do ponto p, defina

Sq = Pt (V ) .

Por (i), S esta bem definida. Pelas propriedades de diferenciabilidade das solucoes de um sistema linearde EDOs e por (14.8), S e uma secao diferenciavel. Segue da observacao apos a Definicao 14.26 que S eparalela.(ii) =⇒ (i) Sejam γ1, γ2 : [a, b] −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

γ1 (a) = γ2 (a) = p,

γ1 (b) = γ2 (b) = q,

(reparametrizando uma das curvas, se necessario, podemos assumir que elas estao definidas no mesmo inter-valo) e S1, S2 secoes ao longo de γ1, γ2, respectivamente, tais que

S1 (a) = S2 (a) .

Seja S a secao global paralela tal que S (a) = S1 (a) = S2 (a). Por unicidade de solucoes de EDOs, segue que

P γ1t = Sγ1(t),

P γ2t = Sγ2(t),

de modo queS1 (b) = Sγ1(b) = Sq = Sγ2(t) = S2 (b) .

(ii) =⇒ (iii) Fixado p ∈ M , seja B = V1, . . . , Vn uma base para Ep e sejam σ1, . . . , σm ∈ Γ (E) as unicassecoes globais paralelas tais que

(σi)p = Vi.


Se q ∈M , seja γ uma curva conectando p e q. Como o transporte paralelo e um isomorfismo e

P γt (Vi) = (σi)γ(t) ,

concluımos que o conjunto de vetores

(σ1)q , · · · , (σm)q

e uma base para a fibra Eq.

(iii) =⇒ (ii) Seja V = αi (σi)p. Entao S = αiσi.(iv) =⇒ (iii) Se ψ : E −→ M × Rm e o difeomorfismo trivializador e e1, · · · , em denota a base canonicade Rm, defina

(σi)p = ψ−1 (p, ei) .

(iii) =⇒ (iv) Defina ψ : E −→M × Rm por

ψ(p, αi (σi)p

)=(p, αiei

).

Se γ : [a, b] −→M e uma curva fechada baseada em p, de modo que γ (a) = γ (b) = p, entao a holonomia

de γ e um automorfismo linearPγ : Ep −→ Ep.

14.30 Definicao. O grupo de holonomia de ∇ em p e o grupo

Holp (∇) = Pγ : γ e uma curva fechada baseada em p

Assim, Holp (∇) e um subgrupo de GLm (R), se o fibrado tem posto m. Se o espaco base M e conexo,entao Holp (∇) depende de p a menos de conjugacao, logo os grupos Holp (∇) e Holq (∇) sao isomorfos paratodos p, q ∈ M e faz sentido falar no grupo de holonomia de ∇. Se E = TM e a conexao utilizada esubentendida, costuma-se abusar a linguagem e falar no grupo de holonomia de M .

14.5.3 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante

Atraves do transporte paralelo, podemos dar uma interpretacao geometrica para a derivada covariante.

14.31 Proposicao (Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante). Seja E um fibrado vetorialdiferenciavel sobre M dotado de uma conexao ∇. Dado um campo X ∈ Γ (TM), seja γ : I −→ M umacurva diferenciavel satisfazendo γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Se S ∈ Γ (E), entao

(∇XS)p = limt→0

P−1t

(Sγ(t)

)− Sp

t=

d

dtP−1t

(Sγ(t)

)∣∣∣∣t=0

.

Prova: Seja B = σ1, . . . , σm uma base para Ep. Como a aplicacao transporte paralelo e um isomorfismo,

Bt = Pt (σ1) , . . . , Pt (σn)

e uma base de Eγ(t) para todo t ∈ I. Como a aplicacao transporte paralelo e linear, se escrevermos a secaoS em relacao ao referencial suave Bt na forma

Sγ(t) = Si (t)Pt (σi) ,

segue queP−1t

(Sγ(t)

)= Si (t)σi.

Logo,d

dtP−1t

(Sγ(t)

)∣∣∣∣t=0

=dSi

dt(0)σi.


Por outro lado, pela Proposicao 14.24, a derivada covariante (∇XS)p e a derivada covariante do campo Sγ(t)

no ponto t = 0 onde γ (0) = p e γ′ (0) = Xp. Logo,

(∇XS)p =D

dt

(Si (t)Pt (σi)

)∣∣∣∣t=0

=dSi

dt(0)P0 (σi) + Si (t)

D

dt(Pt (σi))

∣∣∣∣t=0

=dSi

dt(0)σi,

onde usamos o fato queD

dt(Pt (σi)) = 0 porque os campos Pt (σ1) , . . . , Pt (σn) sao paralelos ao longo de γ.

Capıtulo 15

Curvatura em Fibrados Vetoriais

Dado um fibrado vetorial munido de uma conexao, podemos definir sua curvatura de maneira completamenteanaloga a curvatura de variedades diferenciaveis com conexao (isto e, a curvatura do fibrado tangente). Poroutro lado, usando o conceito de formas diferenciais tomando valores em um fibrado e o operador derivadaexterior covariante em tais formas, podemos definir a curvatura como uma derivada exterior covariantesegunda no fibrado E. Finalmente, usando o fibrado Hom (E) ao inves de E, que tem duas estruturasadicionais de algebra, uma associativa dada pela composicao de operadores lineares e a outra de algebra deLie dada pelo comutador de operadores lineares, obtemos uma terceira formulacao de curvatura com ricaspropriedades.

15.1 Curvatura de uma conexao

Generalizando o conceito do tensor (endomorfismo) curvatura de Riemann, definimos de maneira completa-mente analoga o conceito de curvatura em fibrados: se o fibrado e provido de uma conexao, calculamos aderivada direcional de uma secao do fibrado em duas direcoes e tomamos a diferenca entre os dois valores;para que a curvatura seja nula em fibrados triviais dotados da conexao flat e tambem para que o resultadodesta diferenca seja um tensor, tomamos ainda a diferenca pela derivada direcional da secao na direcao docomutador (isto e, do colchete de Lie) destas duas direcoes.

15.1 Definicao. Seja E um fibrado munido de uma conexao ∇ : Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E).A curvatura da conexao e definida como sendo a aplicacao

R : Γ (TM)× Γ (TM)× Γ (E) −→ Γ (E)

dada porRX,Y S = ∇X∇Y S −∇Y∇XS −∇[X,Y ]S.

Nesta formulacao, a curvatura mede a falha da derivada covariante segunda em comutar: para um fibradotrivial E = M × Rm e a conexao flat ∇ vale

R ≡ 0.

Enquanto que a conexao e uma derivacao, a curvatura e um tensor (do ponto de vista fısico, em quea curvatura e uma forca, isso expressa o fato da forca ser invariante em relacao a mudanca de referenciaisinerciais):

15.2 Proposicao. A curvatura R e C∞ (M)-linear em todas as variaveis.Alem disso, R e anti-simetrica nas duas primeira variaveis, isto e,

RX,Y S = −RY,XS. (15.1)

219


Prova: A anti-simetricissidade da curvatura segue imediatamente da definicao:

RX,Y S = ∇Y∇XS −∇X∇Y S −∇[Y,X]S

= −∇X∇Y S +∇Y∇XS +∇[X,Y ]S

= −RY,XS.

A linearidade em relacao a segunda variavel e estabelecida por

RX,Y1+Y2S = ∇X∇Y1+Y2

S −∇Y1+Y2∇XS −∇[X,Y1+Y2]S

= ∇X∇Y1S +∇X∇Y2

S −∇Y1∇XS −∇Y2

∇XS−∇[X,Y1]S −∇[X,Y2]S

= RX,Y1S +RX,Y2

S

e

RX,fY S = ∇X∇fY S −∇fY∇XS −∇[X,fY ]S

= ∇X (f∇Y S)− f∇Y∇XS −∇f [X,Y ]+(Xf)Y S

= f∇X∇Y S + (Xf)∇Y S − f∇Y∇XS − f∇[X,Y ]S − (Xf)∇Y S= f

(∇X∇Y S −∇Y∇XS −∇[X,Y ]S

)= fRX,Y S.

Observe que sem o terceiro termo na definicao de curvatura nao e possıvel obter a linearidade nesta variavel.A linearidade em relacao a primeira variavel e entao estabelecida atraves da anti-simetricissidade da

curvatura.Falta apenas estabelecer a linearidade em relacao a terceira variavel:

RX,Y (S1 + S2) = ∇X∇Y (S1 + S2)−∇Y∇X (S1 + S2)−∇[X,Y ] (S1 + S2)

= ∇X∇Y S1 −∇Y∇XS1 −∇[X,Y ]S1

+∇X∇Y S2 −∇Y∇XS2 −∇[X,Y ]S2

= RX,Y S1 +RX,Y S2

e

RX,Y (fS) = ∇X∇Y (fS)−∇Y∇X (fS)−∇[X,Y ] (fS)

= ∇X (f∇Y S) +∇X ((Y f)S)−∇Y (f∇XS)−∇Y ((Xf)S)

− f∇[X,Y ]S − [X,Y ] (f)S

= f∇X∇Y S + (Xf)∇Y S + (Y f)∇X (S) +X (Y f)S

− f∇Y∇XS − (Y f)∇XS − (Xf)∇Y S − Y (Xf)S

− f∇[X,Y ]S − [X,Y ] (f)S

= f∇X∇Y S − f∇Y∇XS + [X (Y f)− Y (Xf)]S − f∇[X,Y ]S − [X,Y ] (f)S

= f∇X∇Y S − f∇Y∇XS − f∇[X,Y ]S + [Y,X] (f)S − [X,Y ] (f)S

= f(∇X∇Y S −∇Y∇XS −∇[X,Y ]S

)= fRX,Y S.

Assim, fixados os campos X,Y , podemos pensar na curvatura como um operador C∞ (M)-linear em

Γ (E):RX,Y : Γ (E) −→ Γ (E)


definido porRX,Y = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ].

ComoRX,Y ∈ HomC∞(M) (Γ (E)) ∼= Γ (Hom (E))

(lembrando que Hom (E) denota o fibrado cujas fibras sao os endomorfismos das fibras de E), este isomorfismopermite pensar em RX,Y como uma secao do fibrado Hom (E). Alem disso, a antissimetria

RX,Y = −RY,X

sugere usar a linguagem de formas, quando fixamos S e pensamos na curvatura como um operador C∞ (M)-bilinear antisimetrico em Γ (TM)× Γ (TM) tomando valores em Γ (E):

RS : Γ (TM)× Γ (TM) −→ Γ (E) .

Ou seja, RS e uma 2-forma vetorial no espaco vetorial Γ (TM) tomando valores no espaco vetorial Γ (E).O conceito de forma vetorial sera visto na proxima secao e veremos conceitos e ferramentas adicionais quepermitirao ver a curvatura como uma derivada exterior covariante segunda de secoes em E ou diretamentecomo uma 2-forma em Hom (E).

15.1.1 Expressao Local

A demonstracao da expressao local da curvatura a seguir e analoga para a curvatura riemanniana, masrepetimos ela com as pequenas modificacoes necessarias (isto e, trocar ∂k por σk) para tornar claro asdiferencas. Usando a notacao tensorial usual, denotamos

Rij = R∂i,∂j : Γ (E) −→ Γ (E)

eRijk = R∂i,∂jσk.

15.3 Proposicao. Seja E um fibrado com uma conexao ∇. Temos

Rij =[∇∂i ,∇∂j

], (15.2)

eRijk =

[∇∂i ,∇∂j

]σk. (15.3)

Em particular, os componentes do tensor endomorfismo curvatura sao

Rlijk = ∂iΓljk − ∂jΓlik +

m∑p=1

(ΓlipΓ

pjk − ΓljpΓ

pik

), (15.4)

que pode ser escrito mais compactamente na forma

Rij = ∂iΓj − ∂jΓi + [Γi,Γj ] , (15.5)

considerando Rij e Γi como matrizes com elementos (Rij)lk = Rlik e (Γi)

lk = Γlik, com [Γi,Γj ] denotando o

comutador de matrizes[Γi,Γj ] = ΓiΓj − ΓjΓi.


Prova: A primeira afirmacao segue de [∂i, ∂j ] = 0 e a segunda segue imediatamente.A terceira segue de

R∂i,∂jσk

= ∇∂i(∇∂jσk

)−∇∂j (∇∂iσk)

= ∇∂i

(m∑p=1

Γpjkσp

)−∇∂j

(m∑p=1

Γpikσp

)

=

m∑p=1

∇∂i(

Γpjkσp

)−

m∑p=1

∇∂j (Γpikσp)

=

m∑p=1

Γpjk∇∂iσp +

m∑p=1

(∂iΓ

pjk

)σp −

m∑p=1

Γpik∇∂jσp −m∑p=1

(∂jΓpik)σp

=

m∑p=1

Γpjk

m∑l=1

Γlipσl +

m∑l=1

(∂iΓ

ljk

)σl −

m∑p=1

Γpik

m∑l=1

Γljpσl −m∑l=1

(∂jΓ

lik

)σl

=

m∑l=1

[m∑p=1

ΓpjkΓlip −m∑p=1

ΓpikΓljp + ∂iΓljk − ∂jΓlik

]σl.

Para provar a expressao compacta, e so notar que

Rlijk = ∂iΓljk − ∂jΓlik + [Γi,Γj ]

lk

e

[Γi,Γj ]lk = (ΓiΓj)

lk − (ΓjΓi)

lk

=

m∑p=1

ΓlipΓpjk −

m∑p=1

ΓljpΓpik.

Observe que Γi e a matriz do tensor diferenca local A∂i : Γ (E|U ) −→ Γ (E|U ) (vide Corolario 14.16).

15.2 Tensores e Formas Vetoriais

No nıvel de algebra linear, um 2-tensor covariante real T pode ser visto como uma matriz T tal queT (v1, v2) = vt1T v2. Isso equivale a representar o tensor T por uma matriz T cujos elementos sao 2-tensoresreais, tal como quando escolhemos representar a metrica g de uma variedade riemanniana pela uma matriz(gij) das componentes da metrica em uma variedade riemanniana M ; cada componente gij e um 2-tensorreal. Neste caso, a metrica g e um campo 2-tensorial e na pratica quando escrevemos (gij) estamos usandouma matriz cujos elementos sao campos 2-tensoriais reais (ou 2-formas diferenciais simetricas, usando outralinguagem para tensores simetricos). Uma outra maneira de olhar para isso e enxergar (gij) como uma formadiferencial na variedade riemanniana M cujos valores sao matrizes, isto e, que associada a cada ponto davariedade uma matriz. De qualquer forma, usar matrizes so e possıvel uma vez escolhida uma base, logoisso so faz sentido em coordenadas. O principal objetivo desta e da proxima secao e formalizar esta ideiaindependentemente de bases, trocando matrizes por homomorfismos de espacos vetoriais (transformacoeslineares).

Da mesma forma, como a curvatura R e C∞ (M)-linear em ambas as variaveis e antissimetrica, elae um tensor antissimetrico, exceto que ela nao e um tensor real, mas um tensor vetorial (como o tensorendomorfismo curvatura da geometria riemanniana). Portanto, ao inves de ser vista como um operador, ela


pode ser vista mais simplesmente como uma 2-forma tomando valores em matrizes ou, equivalentemente,como uma matriz cujos elementos sao 2-formas reais. Como o uso de matrizes implica na escolha de bases,uma maneira independente de bases e considerar a curvatura como uma 2-forma tomando valores no fibradoHom (E), ideia que sera formalizada na proxima secao.

Observe que esta ideia nao vale para a conexao, que e uma derivacao; por este motivo, a conexao nao eexclusivamente representada pela matriz de conexao, mas possui uma parte afim, dada pela derivada usualem coordenadas da carta do fibrado. A parte linear da conexao e o termo dado pela matriz de conexao, ouseja, o tensor diferenca local A (a diferenca entre a conexao do fibrado e a conexao trivial na carta local dofibrado, isto e, o potencial vetorial). O tensor diferenca tambem pode ser visto como uma 1-forma tomandovalores no fibrado Hom (E), equivalente em coordenadas a ele ser representado por uma 1-forma tomandovalores em matrizes ou, tambem equivalentemente, pela matriz da conexao cujos elementos sao 1-formas.

Nesta secao, formalizaremos a ideia de formas tomando valores em um espaco vetorial, isto e, generali-zaremos o conceito de formas reais para considerar formas que tomam valores vetoriais (tais como valoresna algebra de Lie g de algum grupo de Lie G, no caso de G-fibrados como veremos no proximo capıtulo),conceito que e imediatamente generalizado para formas diferenciais reais, e na proxima secao generalizaremoso conceito para formas diferenciais tomando valores em fibrados vetoriais.

15.4 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais. Um (k, l)-tensor vetorial em V tomando valores em W(ou um (k, l)-W -tensor em V ) e uma aplicacao (k, l)-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→W.

Denotaremos o espaco vetorial dos (k, l)-tensores vetoriais em V com valores em W por T kl (V,W ).Uma k-forma vetorial em V tomando valores em W (ou uma k-W -forma em V ) e uma aplicacao

linear alternadaω : V × . . .× V︸︷︷︸

k vezes

−→W.

Denotaremos o espaco vetorial das k-formas vetoriais em V com valores em W por Λk (V ∗,W ).

Em geral, usaremos letras latinas maiusculas em negrito para denotar tensores vetoriais e letras gregasminusculas em negrito para denotar formas vetoriais. Obviamente

Λk (V ∗,R) = Λk (V ∗) ,

isto e, o espaco vetorial das k-formas ordinarias definidas anteriormente, ou seja, as k-formas reais.

15.5 Proposicao. SejaB = e1, . . . , em

uma base para W . Entao ω e uma k-forma vetorial em V com valores em W se e somente se existem mk-formas reais ω1, . . . , ωm ∈ Λk (V ∗) tais que

ω (v1, . . . , vk) =

m∑i=1

ωi (v1, . . . , vk) ei. (15.6)

Em particular, no caso especial de 1-formas vetoriais em V com valores em W , temos

ω (v) =

m∑i=1

ωi (v) ei.

Prova: Para ver isso, se πi : V −→ R e a projecao na i-esima coordenada em relacao a base B, entaoπi ω ∈ Λk (V ∗) e tomamos

ωi = πi ω.


As k-formas reais ωi sao as coordenadas da forma vetorial ω. De fato, segue da Proposicao 15.5 que temosum isomorfismo (nao natural, pois depende da escolha de uma base)

Λk (V ∗,W ) ∼= Λk (V ∗)× . . .× Λk (V ∗)︸︷︷︸m vezes

, (15.7)

e uma k-forma ω ∈ Λk (V ∗,W ) se escreve em relacao a esta base na forma

ω =(ω1, . . . , ωm

)Utilizando a notacao de multiplicacao por escalar a direita (em um espaco vetorial, as duas acoes de multi-

plicacao por escalar, a esquerda e a direita, sao equivalentes), a equacao 15.6 pode ser mais convenientementeescrita na forma

ω = eiωi. (15.8)

Desta maneira podemos simplesmente aplicar ambos os lados da equacao aos vetores de V :

ω (v) = eiωi (v) ,

ω (v1, . . . , vk) = eiωi (v1, . . . , vk) .

Passaremos a utilizar esta notacao.

15.6 Proposicao. Existe um isomorfismo natural

Λk (V ∗,W ) ∼= W ⊗ Λk (V ∗) .

Prova: Pois

Λk (V ∗,W ) ∼= Hom(Λk (V ∗) ,W

)∼= W ⊗

(Λk (V ∗)

)∗∼= W ⊗ Λk (V ∗) .

Mais concretamente, o isomorfismo

Φ : W ⊗ Λk (V ∗) −→ Λk (V ∗,W )

pode ser definido de maneira natural em geradores por

[Φ (w ⊗ ω)] (v1, . . . , vk) = ω (v1, . . . , vk)w,

enquanto que o isomorfismo na direcao contraria

Ψ : Λk (V ∗,W ) −→W ⊗ Λk (V ∗)

pode ser definido apenas de maneira nao natural via (15.8) por

ω =

m∑i=1

eiωi 7−→

m∑i=1

ei ⊗ ωi

se B = e1, . . . , em e uma base para W .


15.3 Produto Exterior de Formas Vetoriais com valores em umaAlgebra

Se W e uma algebra, de modo que podemos multiplicar vetores de W entre si, podemos generalizar tambema definicao de produto exterior de k-formas reais para um produto exterior de k-formas vetoriais. Usamos oisomorfismo natural dado pela Proposicao 15.6:

15.7 Definicao. Seja W uma algebra com produto ∗. Em geradores

v ⊗ ω ∈W ⊗ Λk (V ∗) ,

w ⊗ η ∈W ⊗ Λl (V ∗) ,

definimos(v ⊗ ω) ∧∗ (w ⊗ η) = (v ∗ w)⊗ (ω ∧ η) . (15.9)

e estendemos linearmente ao produto exterior induzido pelo produto ∗

∧∗ : Λk (V,W )× Λl (V,W ) −→ Λk+l (V,W ) .

Equivalentemente, podemos definir o produto exterior de formas vetoriais com valores em uma algebradiretamente da seguinte forma: dadas uma k-forma vetorial ω ∈ Λk (V,W ) e uma l-forma vetorial η ∈Λl (V,W ), seu produto exterior induzido pelo produto ∗ e a (k + l)-forma vetorial ω ∧∗ η ∈ Λk+l (V,W )definida por

(ω ∧∗ η) (v1, . . . vk+l) =∑

σ∈Sk+lσ(1)<...<σ(k)

σ(k+1)<...<σ(k+l)

(signσ)ω(vσ(1), . . . , vσ(k)

)∗ η(vσ(k+1), . . . , vσ(k+l)

).

Alem de ser um produto, isto e, uma aplicacao bilinear, propriedades adicionais do produto exterior ∧∗dependerao fortemente do produto ∗ da algebra W : o produto exterior pode nao ser associativo ou anti-simetrico. Se W e uma algebra de Lie, denotaremos o produto exterior induzido pelo colchete de Lie [·, ·]por

ω [∧] η.

15.8 Proposicao. Se W = g e uma algebra de Lie com base B = e1, . . . , em, vale:(i) Se

ω = ei ⊗ ωi,η = ej ⊗ ηj ,

entaoω [∧]η = [ei, ej ]⊗

(ωi ∧ ηj

).

(ii) Se ω ∈ Λ1 (V,W ),(ω [∧]ω) (v, w) = 2 [ω (v) ,ω (w)] .

(iii) Se ω ∈ Λ1 (V,W ),(ω [∧]ω) [∧]ω = 0.


Prova: (i) Decorre da definicao.(ii)

(ω [∧]ω) (v, w) = [ei, ej ]⊗(ωi ∧ ωj

)(v, w)

= [ei, ej ](ωi (v)ωj (w)− ωi (w)ωj (v)

)= [ei, ej ]ω

i (v)ωj (w)− [ei, ej ]ωi (w)ωj (v)

=[eiω

i (v) , ejωj (w)

]−[eiω

i (w) , ejωj (v)

]= [ω (v) ,ω (w)]− [ω (w) ,ω (v)]

= 2 [ω (v) ,ω (w)] .

(iii) Pela definicao direta equivalente e usando (ii),

[(ω [∧]ω) [∧]ω] (v1, v2, v3)

=∑

σ∈Sk+lσ(1)<σ(2)

(signσ)[(ω [∧]ω)

(vσ(1), vσ(2)

),ω(vσ(3)

)]= [(ω [∧]ω) (v1, v2) ,ω (v3)]− [(ω [∧]ω) (v1, v3) ,ω (v2)]

+ [(ω [∧]ω) (v2, v3) ,ω (v1)]

= 2 [[ω (v1) ,ω (v2)] ,ω (v3)]− 2 [[ω (v1) ,ω (v3)] ,ω (v2)]

+ 2 [[ω (v2) ,ω (v3)] ,ω (v1)]

= 2 [ω (v1) ,ω (v2)] ,ω (v3) + [[ω (v2) ,ω (v3)] ,ω (v1)] + [[ω (v3) ,ω (v1)] ,ω (v2)]= 0

pela identidade de Jacobi. Compare (ii) da proposicao anterior com

ω ∧ ω = 0

para formas reais. Em geral,ω [∧]ω 6= 0.

15.4 Formas com valores em um Fibrado Vetorial

Da mesma maneira que uma forma diferencial real ω em Λk (M) em cada ponto p ∈ M e uma forma realωp ∈ Λk

(TM∗p

)e ωp varia suavemente com p, uma forma tomando valores em um fibrado E e uma forma

vetorial em cada ponto da variedade que varia suavemente com o ponto. De maneira operacionalmente maissimples, definimos:

15.9 Definicao. Uma k-forma com valores em um fibrado E (ou uma E-forma de grau k) e umelemento do espaco vetorial

Λk (M,E) := Γ (E)⊗ Λk (M) .

Para verificar que isso coincide com a visao intuitiva exposta acima, vamos obter sua expressao local. Lo-calmente, isto e, considerando um aberto U ⊂Mn tal que o fibrado E sobre U e trivial

E|U ∼= U × Rm,

temos que o espaco das formas tomando valores em E|U e (usando o isomorfismo (15.7))

Λk (M,E|U ) = Γ (E|U )⊗ Λk (U)

∼= Λk (U)× . . .× Λk (U)︸︷︷︸m vezes

,


ja que Γ (E|U ) e um espaco vetorial de dimensao m gerado por secoes locais σ1, . . . , σm. Em outras palavras,uma k-forma tomando valores em um fibrado vetorial de posto m e localmente uma forma vetorial comvalores em Rm. Assim, escolhendo uma base de secoes locais, podemos escrever ω ∈ Λk (M,E) localmentena forma

ω = σiωi,

onde ω1, . . . , ωm ∈ Λk (U) sao k-formas reais definidas no aberto U de modo que uma k-forma tomandovalores em um fibrado e localmente um vetor de k-formas reais, ou seja, uma k-forma vetorial; em outraspalavras, uma k-E-forma ω em Λk (M,E) em cada ponto p ∈ M , e uma forma vetorial em ωp ∈ Λk

(E∗p)

que varia suavemente com o ponto p.Note que

Λ0 (M,E) = Γ (E)⊗ Λ0 (M) = Γ (E)⊗ C∞ (M) = Γ (E) .

Note tambem que o conceito de formas diferenciais vetoriais, a generalizacao direta de formas diferenciaisreais, esta automaticamente definido: sao as formas tomando valores no fibrado trivial M × Rm.

15.4.1 Produto Exterior entre uma Forma Diferencial e uma E-Forma

Definimos o produto exterior entre uma forma real e uma forma com valor em um fibrado:

15.10 Definicao. O produto exterior entre uma k-forma ω ⊗ S com valores em E e uma l-forma real ηe definido como sendo a (k + l)-forma com valores em E

(S ⊗ ω) Z η = S ⊗ (ω ∧ η) .

Estendemos esta definicao linearmente para obter um produto exterior

Z : Λk (M,E)× Λk (M) −→ Λk+l (M,E) .

Em particular, para l = 0 temos que

Z : Γ (E)× Λk (M,E) −→ Λk (M,E)

e dado simplesmente porS Z ω = S ⊗ ω.

15.11 Proposicao. ValeS Z (ω ∧ η) = (S Z ω) Z η.

Prova: Pois

S Z (ω ∧ η) = S ⊗ (ω ∧ η)

= (S ⊗ ω) Z η

= (S Z ω) Z η.

15.4.2 Produto Exterior entre Formas com valores em Fibrados

Tambem precisamos generalizar o produto exterior para formas com valores em fibrados e mesmo em fibradosdiferentes, que sera usado no final deste capıtulo (onde trabalharemos simultaneamente com E-formas e a2-forma curvatura R que sera uma Hom (E)-forma):


15.12 Definicao. O produto exterior de uma k-forma S⊗ω com valores em E e uma l-forma S′⊗η comvalores em E′ e definido como sendo a (k + l)-forma com valores em E ⊗ E′

(S ⊗ ω) ∧E,E′ (S′ ⊗ η) = (S ⊗ S′)⊗ (ω ∧ η)

Estendemos esta definicao linearmente para obter um produto exterior

∧E,E′ : Λk (M,E)× Λl (M,E′) −→ Λk+l (M,E ⊗ E′) .

15.5 Derivada Exterior Covariante d∇ de E-Formas

15.5.1 Definicao

Agora generalizaremos a derivada exterior para k-formas tomando valores em fibrados. Note que como

Λ0 (M,E) = Γ (E) ,

Λ1 (M,E) = Λ1 (M)⊗ Γ (E) ,

segue que uma conexao no fibrado e uma aplicacao linear

∇ : Λ0 (M,E) −→ Λ1 (M,E) .

15.13 Definicao. Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇. A derivada exterior covariante d∇associada a conexao ∇ e o conjunto de aplicacoes R-lineares

d∇ = d∇,i : Λk (M,E) −→ Λk+1 (M,E)

para cada k tal que(i) d∇,0 = ∇.(ii) Para todo α ∈ Λk (M,E) e para todo ω ∈ Λl (M) vale

d∇ (α Z ω) = d∇α Z ω + (−1)kα Z dω.

15.14 Proposicao (Existencia e Unicidade da Derivada Exterior). Se E e um fibrado vetorial comconexao ∇, existe uma unica derivada exterior covariante d∇ associada a ∇.

Prova: Estabelecemos primeiro a unicidade: pelas condicoes (ii) e (i) da Definicao 15.13 de derivada exteriorcovariante, d∇ deve satisfazer para todo α = S ⊗ η ∈ Λk (M,E)

d∇α = d∇ (S ⊗ η)

= d∇ (S Z η)

= d∇S Z η + S Z dη

= ∇S Z η + S ⊗ dη.

Por sua vez, como ja fizemos frequentemente, usamos esta formula para definir a derivada exteriorcovariante d∇, definindo em geradores

d∇ (S ⊗ η) := ∇S Z η + S ⊗ dη


e estendendo linearmente para Λk (M,E). Como

d∇ (S ⊗ f) = ∇S Z f + S ⊗ df= ∇S ⊗ f + S ⊗ df= f∇S + S ⊗ df,

segue qued∇,0 = ∇,

o que prova (i) da Definicao 15.13. Para provar (ii) daquela definicao, calculamos para ω ∈ Λk (M) e paraα = S ⊗ η ∈ Λl (M,E)

d∇ (α Z ω) = d∇ ((S ⊗ η) Z ω)

= d∇ (S ⊗ (η ∧ ω))

= ∇S Z (η ∧ ω) + S ⊗ d (η ∧ ω)

= ∇S Z (η ∧ ω) + S ⊗[dη ∧ ω + (−1)

kη ∧ dω

]= ∇S Z (η ∧ ω) + S ⊗ (dη ∧ ω) + (−1)

kS ⊗ (η ∧ dω)

= (∇S Z η) Z ω + (S ⊗ dη) Z ω + (−1)kS ⊗ (η ∧ dω)

= (∇S Z η + S ⊗ dη) Z ω + (−1)k

(S ⊗ η) Z dω

= d∇α Z ω + (−1)kα Z dω.

Falta mostrar que esta definicao nao e ambıgua, ja que uma E-forma pode ser escrita como uma com-binacao de geradores de varias maneiras diferentes, isto e, nao estamos usando uma base de gerado-res. Veja [Gallier-Quaintance], Proposition 29.8, p. 1091, para uma demonstracao algebrica detalhadaou [Baez-Muniain], p. 251, para uma demonstracao usando coordenadas.


Agora vamos obter a expressao local da derivada exterior covariante. Como ela e induzida pela conexao dofibrado, sua expressao local depende da expressao local da conexao, que e dada pela matriz da conexao

(ωij).

15.15 Proposicao (Expressao Local da Derivada Exterior Covariante). Seja E um fibrado de postom com conexao ∇. Seja ω =

(ωij)

a matriz da conexao associada a uma carta do fibrado.Se

α =(α1, . . . , αm

)e a expressao local de uma k-forma η ∈ Λk (M,E) para k-formas reais α1, . . . , αm, entao

d∇α = σ ⊗ (dα+ ω ∧α) ,

(produto exterior de matrizes definida da mesma maneira que a multiplicacao usual de matrizes), isto e,

d∇(α1, . . . , αm

)=(dα1, . . . , dαm

)+(α1, . . . , αm

)∧ ω.

Prova: Se σ1, . . . , σm e a base de secoes locais associada a esta carta, entao

α = σi ⊗ αi.


Daı, segue da Proposicao 14.10 que

d∇α = d∇(σi ⊗ αi

)= d∇

(σi Z α

i)

= ∇σi Z αi + σi Z dαi

=(σj ⊗ ωji

)Z αi + σi ⊗ dαi

= σj ⊗(ωji ∧ α

i)

+ σj ⊗ dαj

= σ ⊗ (ω ∧α+ dα) .

15.6 Curvatura como Derivada Exterior Covariante Segunda

A curvatura pode ser formulada como o operador derivada exterior covariante de segunda ordem:

15.16 Definicao. A curvatura Rd e o operador

Rd∇ = d2∇ = d∇,1 d∇,0 = d∇ ∇ : Λ0 (E) −→ Λ2 (E) .

Nesta formulacao da curvatura de um fibrado em termos da derivada exterior covariante, a curvatura mediraa falha da derivada exterior covariante de E-formas em satisfazer a identidade

d2∇ = d∇ d∇ = 0

valida para formas diferenciais reais:d2 = d d = 0.

Note que como Λ0 (E) = Γ (E), a curvatura Rd∇ associa a cada secao do fibrado E uma 2-forma com valoresem E. Como para a curvatura R definida no inıcio deste capıtulo, mostraremos que o operador curvaturaRd∇ tambem e um tensor:

15.17 Proposicao. O operador curvatura Rd∇ e C∞ (M)-linear, isto e,

Rd∇ ∈ HomC∞(M)

(Λ0 (E) ,Λ2 (E)

).

Prova: Temos

Rd∇ (fS) = (d∇ ∇) (fS)

= d∇ (∇ (fS))

= d∇ (S ⊗ df + f∇S)

= d∇ (S Z df + f Z∇S)

= S Z d2f −∇S Z df + S Z df + d∇ (∇S) Z f

= d∇ (∇S) Z f

= fd∇ (∇S)

= fRd∇ (S) .



Veremos a expressao local para a curvatura Rd∇ .

15.18 Proposicao (Equacao de Estrutura). Seja E um fibrado com conexao.Se ω =

(ωij)

e a matriz da conexao e Ω =(Ωij)

e a matriz de curvatura associadas a uma carta dofibrado, isto e,

Rd∇ (σi) =

m∑j=1

σj ⊗ Ωji ,

entaoΩ = dω + ω ∧ ω,

(produto exterior de matrizes definida da mesma maneira que a multiplicacao usual de matrizes), isto e,

Ωij = dωij +

m∑k=1

ωik ∧ ωkj .

Prova: A matriz de conexao ω e definida pelas relacoes (Proposicao 14.10)

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji .

Logo,

Rd∇ (σi) = d∇ (∇σi)

= d∇

m∑j=1

σj ⊗ ωji

=

m∑j=1

∇σj Z ωji +

m∑j=1

σj ⊗ dωji

=

m∑j=1

(m∑k=1

σk ⊗ ωkj

)Z ωji +

m∑j=1

σj ⊗ dωji

=

m∑j,k=1

σk ⊗(ωkj ∧ ω

ji

)+

m∑k=1

σk ⊗ dωki

=

m∑k=1

σk ⊗

m∑j=1

(ωkj ∧ ω

ji

)+ dωki

,de modo que

Ωki = dωki +

m∑j=1

(ωkj ∧ ω

ji

).

Observe que a matriz de curvatura e uma matriz de 2-formas.

15.19 Corolario. ValedΩ = Ω ∧ ω − ω ∧Ω,

isto e,

dΩij =

m∑k=1

(Ωik ∧ ωkj − ωik ∧ Ωkj

).


Prova: Pois

dΩ = d (dω + ω ∧ ω)

= d (dω) + (dω ∧ ω − ω ∧ dω)

= d2ω + dω ∧ ω − ω ∧ dω= (Ω− ω ∧ ω) ∧ ω − ω ∧ (Ω− ω ∧ ω)

= Ω ∧ ω − ω ∧ ω ∧ ω − ω ∧Ω + ω ∧ ω ∧ ω= Ω ∧ ω − ω ∧Ω.

15.20 Proposicao (Segunda Identidade de Bianchi). Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇. Entao

d∇Rd∇ (σi) =

m∑j,k=1

σj ⊗(

Ωjk ∧ ωki

).

Prova: Temos, em notacao de Einstein,

Rd∇ (σi) = σj ⊗ Ωji ,

logo,

d∇(Rd∇ (σi)

)= d∇

(σj ⊗ Ωji

)= ∇σj Z Ωji + σj ⊗ dΩji

=(σk ⊗ ωkj

)Z Ωji + σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki − ω

jk ∧ Ωki

)= σk ⊗

(ωkj ∧ Ωji

)+ σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki − ω

jk ∧ Ωki

)= σj ⊗

(ωjk ∧ Ωki

)+ σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki − ω

jk ∧ Ωki

)= σj ⊗

(Ωjk ∧ ω

ki

).

O proximo resultado mostra como as matrizes de curvatura se transformam com a mudanca de cartas

do fibrado, usando as funcoes de transicao.

15.21 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇. Sejam

ϕα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm,ϕβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × Rm,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅ e


as funcoes de transicao entre estas cartas.Se Ωα,Ωβ sao as matrizes da curvatura para os abertos Uα, Uβ entao

Ωβ = g−1αβΩαgαβ . (15.10)


Prova: Pela equacao de estrutura,Ωβ = dωβ + ωβ ∧ ωβ

Por outro lado, de acordo com a Proposicao 14.14,


αβdgαβ .

Denotaremos nesta demonstracao gαβ simplesmente por g para nao carregar a notacao. Temos (lembrandoque g e uma matriz de funcoes logo o seu produto exterior e simplesmente o produto usual)

ωβ ∧ ωβ=(g−1ωαg + g−1dg

)∧(g−1ωαg + g−1dg

)= g−1ωαg ∧ g−1ωαg + g−1ωαg ∧ g−1dg

+ g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dg ∧ g−1dg

= g−1ωα ∧ gg−1ωαg + g−1ωα ∧ gg−1dg

+ g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dg ∧ g−1dg

= g−1ωα ∧ ωαg + g−1ωα ∧ dg+ g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dg ∧ g−1dg.

Para calcular dωβ , segue deg−1g = I

que (lembrando que g e uma matriz de funcoes)

0 = d(g−1g

)= dg−1g + g−1dg,

ou seja,dg−1 = −g−1dg g−1.

Daı, comodωβ = d

(g−1ωαg

)+ d

(g−1dg

).

Calculando cada termo separadamente (novamente lembrando que g e uma matriz de funcoes logo o seuproduto exterior e simplesmente o produto usual):

d(g−1ωαg

)= dg−1 ∧ ωαg + g−1d (ωαg)

= −g−1dg g−1 ∧ ωαg + g−1 (dωαg − ωα ∧ dg)

= −g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dωαg − g−1ωα ∧ dg

enquanto que

d(g−1dg

)= dg−1 ∧ dg + g−1d2g

= −g−1dg g−1 ∧ dg= −

(g−1dg

)∧(g−1dg

).

Concluımos que

dωβ = −g−1dg ∧ g−1ωαg + g−1dωαg − g−1ωα ∧ dg −(g−1dg

)∧(g−1dg

).


Portanto (marcando os ındices que se cancelam com o mesmo superescrito),

Ωβ

= −g−1dg ∧ g−1ωαg[1] + g−1dωαg − g−1ωα ∧ dg[2] −

(g−1dg

)∧(g−1dg

)[3]

+ g−1ωα ∧ ωαg + g−1ωα ∧ dg[2] + g−1dg ∧ g−1ωαg[1] + g−1dg ∧ g−1dg[3]

= g−1dωαg + g−1ωα ∧ ωαg= g−1 (dωα + ωα ∧ ωα) g

= g−1Ωαg.

15.6.2 Equivalencia de R e Rd∇

Como a curvatura exterior e a aplicacao

Rd∇ : Γ (E) −→ Γ (E)⊗ Λ2 (M) ,

segue que

Rd∇ (S) =∑i

Li ⊗ θi

para algumas secoes Li ∈ Γ (E) e para algumas 2-formas θi ∈ Λ2 (M).

15.22 Definicao. Definimos a aplicacao

Rd∇X,Y : Γ (E) −→ Γ (E)

da seguinte forma: se

Rd∇ (S) =∑i

Li ⊗ θi,

entaoRd∇X,Y (S) =

∑i

Li ⊗ θi (X,Y ) .

Note que θi (X,Y ) ∈ C∞ (M), logo temos uma identificacao

Ti ⊗ θi (X,Y ) = θi (X,Y )Ti,

de modo que RdX,Y (S) ∈ Γ (E). Claramente, RdX,Y e C∞ (M)-linear, isto e,

RdX,Y ∈ HomC∞(M) (Γ (E)) .

15.23 Proposicao. ValeRX,Y = Rd∇X,Y .

Prova: Dado S ∈ Γ (E), para determinar θi, Li na Definicao 15.22 escreva

∇S =∑i

Ki ⊗ ωi (15.11)


para algumas formas ωi ∈ Λ1 (M) e para algumas secoes Si ∈ Γ (E). Daı,

Rd∇ (S) = d∇ (∇S)

= d∇

(∑i

Ki ⊗ ωi)

= d∇

(∑i

Ki Z ωi

)=∑i

∇Ki Z ωi +∑i

Ki ⊗ dωi.

Agora escreva

∇Ki =∑j

Tj ⊗ ηj . (15.12)

Entao

Rd∇ (S) =∑j

Tj ⊗ ηj Z∑i

ωi +∑i

Ki ⊗ dωi

=∑i,j

Tj ⊗(ηj ∧ ωi

)+∑i

Ki ⊗ dωi.

Temos, pela Definicao 15.22,

Rd∇X,Y (S) =∑i,j

Tj ⊗(ηj ∧ ωi

)(X,Y ) +

∑i

Ki ⊗ dωi (X,Y )

=∑i,j

(ηj ∧ ωi

)(X,Y )Tj +

∑i

dωi (X,Y )Ki

=∑i,j

[ηj (X)ωi (Y )− ωi (X) ηj (Y )

]Tj +

∑i

dωi (X,Y )Ki

= −∑i

ωi (X)∑j

ηj (Y )Tj − ωi (Y )∑j

ηj (X)Tj

+∑i

dωi (X,Y )Ki,

de modo que

Rd∇X,Y (S) =∑i

[dωi (X,Y )Ki − ωi (X)∇YKi + ωi (Y )∇XKi

].

Pela Proposicao 9.27, temos

dωi (X,Y ) = X(ωi (Y )

)− Y

(ωi (X)

)− ωi ([X,Y ]) , (15.13)


logo

Rd∇X,Y (S) =∑i

[X(ωi (Y )

)Ki − Y

(ωi (X)

)Ki − ωi ([X,Y ])Ki

−ωi (X)∇YKi + ωi (Y )∇XKi

]=∑i

[∇X

(ωi (Y )Ki

)−∇Y

(ωi (X)Ki

)− ωi ([X,Y ])Ki

]=∑i

[∇X

(Kiω

i (Y ))−∇Y

(Kiω

i (X))− ωi (Ki [X,Y ])

]=∑i

[∇X (∇Y S)−∇Y (∇XS)−∇[X,Y ]S

]=∑i

(∇X∇Y −∇Y∇X −∇[X,Y ]

)S

= RX,Y (S) .

15.7 A Curvatura como uma 2-Forma tomando valores em Hom (E)

Nesta secao veremos uma formulacao da curvatura que permitira escrever a segunda identidade de Bianchide uma forma simples, e particularmente adequada para a teoria de conexoes de Yang-Mills. Mais especifi-camente, dada uma conexao ∇ no fibrado E, consideraremos a conexao especial ∇Hom no fibrado Hom (E)induzida de ∇, que vimos no final do capıtulo anterior e que tem como caracterıstica a propriedade desatisfazer a regra do produto (considerando F (S) como um produto FS). A conexao ∇Hom induz, comotoda conexao, uma derivada exterior covariante d∇Hom . Para esta derivada exterior covariante a segundaidentidade de Bianchi toma a forma d∇HomR = 0. Exceto que, para que esta identidade faca sentido, isto e,para podermos calcular d∇HomR, R tem que ser uma forma tomando valores em Hom (E) e portanto mostra-remos como ver a curvatura R como uma 2-forma R tomando valores em Hom (E). A segunda identidadede Bianchi entao sera escrita de maneira mais precisa como d∇HomR = 0.

Usando o isomorfismo a seguir, poderemos ver a curvatura ao inves de apenas como uma aplicacaoC∞ (M)-linear que associa a cada secao do fibrado E uma 2-forma tomando valores em E, mas enxergar elapropria como uma 2-forma tomando valores no fibrado Hom (E).

15.24 Proposicao. Vale o isomorfismo

HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)= HomC∞(M)

(Λ0 (M,E) ,Λk (M,E)

)∼= Λk (Hom (M,E))

Prova: Temos

HomC∞(M)

(Λ0 (M,E) ,Λk (M,E)

)= HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)∼= Γ (E)

∗ ⊗C∞(M) Λk (M,E)

= Γ (E)∗ ⊗C∞(M)

[Γ (E)⊗C∞(M) Λk (M)

]∼=[Γ (E)

∗ ⊗C∞(M) Γ (E)]⊗C∞(M) Λk (M)

= HomC∞(M) (Γ (E) ,Γ (E))⊗ Λk (M)

∼= Γ (Hom (E,E))⊗ Λk (M)

= Γ (Hom (E))⊗ Λk (M)

= Λk (M,Hom (E)) .


Mais concretamente, o isomorfismo

Φ : Λk (M,Hom (E)) −→ HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)e dado da seguinte forma: se F ∈ Λk (M,Hom (E)) se escreve na forma

F = Fi ⊗ ηi,

para Fi ∈ Γ (Hom (E)) e ηi ∈ Λk (M), entao

[Φ (F )] (S) = Fi (S)⊗ ηi.

Em particular,

HomC∞(M)

(Λ0 (M,E) ,Λ2 (M,E)

) ∼= Λ2 (M,Hom (E)) (15.14)

de modo que pode-se ver a curvatura como uma 2-forma tomando valores no fibrado Hom (E).

15.25 Definicao. A forma curvatura e a 2-forma R tomando valores no fibrado Hom (E) correspondentea curvatura Rd∇ via o isomorfismo (15.14).

Usando o produto exterior [ definido a seguir, poderemos calcular o operador

d2∇ = d∇,k+1 d∇,k

para qualquer k em funcao da 2-forma curvatura R, de modo que a curvatura mede o quanto d2∇ 6= 0 em

todos os graus.

15.26 Definicao. Seja E um fibrado com uma conexao ∇ e curvatura associada F . Definimos o produtoexterior entre Hom (E)-formas e E-formas como sendo a aplicacao bilinear

[ : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,E) −→ Λk+l (M,E)

definida em geradores por

(F ⊗ η) [ (S ⊗ ω) = F (S)⊗ (η ∧ ω)

= F (S) Z (η ∧ ω) .

Este produto exterior tambem pode ser visto da seguinte forma: a Definicao 15.12 define o produto exteriorentre formas com valores em Hom (E) e formas com valores em E, produzindo uma forma com valores noproduto tensorial Hom (E)⊗ E:

∧Hom(E),E : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,E) −→ Λk+l (M,Hom (E)⊗ E) .

Como

Γ (Hom (E)⊗ E) ∼= Γ (Hom (E))⊗ Γ (E)∼= HomC∞(M) (Γ (E))⊗ Γ (E) ,

segue que

Λk+l (M,Hom (E)⊗ E) = Λk+l (M)⊗ Γ (Hom (E)⊗ E)

∼= Λk+l (M)⊗HomC∞(M) (Γ (E))⊗ Γ (E) .


Usando este isomorfismo podemos definir a aplicacao

Eval : Λk+l (M,Hom (E)⊗ E) −→ Λk+l (E)

porEval (F ⊗ S ⊗ ω) = F (S)⊗ ω

para F ∈ Γ (Hom (E)), S ∈ Γ (E) e ω ∈ Λk+l (M). Aplicando ∧Hom(E),E e depois Eval temos um produtoexterior

[ : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,E) −→ Λk+l (M,E) .

Em geradores este operador e dado por

(F ⊗ η) [ (S ⊗ ω) = Eval((F ⊗ η) ∧Hom(E),E (S ⊗ ω)

)= Eval (F ⊗ S ⊗ (η ∧ ω))

= F (S)⊗ (η ∧ ω) .

15.27 Proposicao. Usando o isomorfismo Λk (M,Hom (E)) ∼= HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

), vale

F [ (S ⊗ ω) = F (S) Z ω.

Prova: Se F ∈ Λk (M,Hom (E)) ∼= HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λk (M,E)

)se escreve na forma

F = Fi ⊗ ηi,

temos

F [ (S ⊗ ω) =(Fi ⊗ ηi

)[ (S ⊗ ω)

= Fi (S)⊗(ηi ∧ ω

)=(Fi (S)⊗ ηi

)Z ω

= F (S) Z ω.

15.28 Proposicao. Seja E um fibrado com uma conexao ∇ e a 2-forma curvatura associada R. Entao

d2∇ = d∇,k+1 d∇,k : Λk (M,E) −→ Λk+2 (M,E)

satisfazd2∇α = R [α.

Prova: Basta provar o resultado em geradores α = S ⊗ ω. Note que pela Proposicao 15.27 vale

Rd∇ (S) Z ω = R [ (S ⊗ ω) .

Temos

d2∇α = d2

∇ (S ⊗ ω)

= d∇ [d∇ (S Z ω)]

= d∇ [∇S Z ω + S Z dω]

= ∇S Z dω + S Z d2ω + d∇ (∇S) Z ω + (−1)1∇S Z dω

= Rd (S) Z ω

= R [ (S ⊗ ω)

= R [α.


15.7.1 A derivada exterior covariante d∇Hom e a Identidade de Bianchi

Vamos agora ver como a identidade de Bianchi para a derivada exterior covariante d∇Hom induzida pelaconexao ∇Hom e a 2-forma curvatura R associada a conexao ∇ toma a forma particularmente simples

d∇HomR = 0.

Note que como a curvatura R e uma 2-forma tomando valores em Hom (E), faz sentido aplicar o operadord∇Hom .

15.29 Proposicao (Regra do Produto). Seja E um fibrado com conexao ∇ e correspondente derivadaexterior covariante d∇.

Seja ∇Hom a conexao induzida de ∇ em Hom (E) e d∇Hom a correspondente derivada exterior covariante.Entao

d∇ (F [α) = d∇HomF [α+ (−1)kF [ d∇α.

para todos F ∈ Λk (M,Hom (E)) e para todos α ∈ Λl (M,E).

Prova: Pela definicao de conexao induzida, temos

∇X (F (S)) =(∇HomX F

)(S) + F (∇XS) .

Nao podemos simplesmente omitir o subescrito X no ultimo termo, ja que a expressao F (∇S) nao fazsentido, mas escrevendo

∇S = Ki ⊗ θi

para Ki ∈ Γ (E) e θi ∈ Λ1 (M), temos

∇X (F (S)) =(∇HomX F

)(S) + F (Ki) θ

i (X) .

de modo que podemos escrever

∇ (F (S)) =(∇HomF

)(S) + F (Ki)⊗ θi. (15.15)

Basta provar o resultado para geradores F = F ⊗ η e α = S ⊗ ω. Temos

d∇ (F [α)

= d∇ ((F ⊗ η) [ S ⊗ ω)

= d∇ (F (S)⊗ (η ∧ ω))

= d∇ (F (S) Z (η ∧ ω))

= ∇ (F (S)) Z (η ∧ ω) + (−1)0F (S) Z d (η ∧ ω)

=[(∇HomF

)(S) + F (Ki)⊗ θi

]Z (η ∧ ω) + F (S) Z d (η ∧ ω)

=(∇HomF

)(S) Z (η ∧ ω) + F (Ki)⊗ θi Z (η ∧ ω)

+[F (S) Z (dη ∧ ω) + F (S) Z (−1)

k(η ∧ dω)

]=[(∇HomF

)(S) Z (η ∧ ω) + F (S) Z (dη ∧ ω)

]+[F (Ki) Z

(θi ∧ η ∧ ω

)+ (−1)

kF (S) Z (η ∧ dω)

].

Por outro lado,

d∇HomF [α = d∇Hom (F ⊗ η) [ (S ⊗ ω)

= d∇Hom (F Z η) [ (S ⊗ ω)

=[∇HomF Z η + (−1)

0(F Z dη)

][ (S ⊗ ω)

=(∇HomF Z η

)[ (S ⊗ ω) + (F Z dη) [ (S ⊗ ω)

=(∇HomF

)(S) Z (η ∧ ω) + F (S) Z (dη ∧ ω)


e

F [ d∇α = (F ⊗ η) [ d∇ (S ⊗ ω)

= (F ⊗ η) [ d∇ (S Z ω)

= (F ⊗ η) [[∇S Z ω + (−1)

0S Z dω

]= (F ⊗ η) [

[(Ki ⊗ θi

)Z ω + S Z dω

]= (F ⊗ η) [

[Ki Z

(θi ∧ ω

)]+ (F ⊗ η) [ (S Z dω)

= F (Ki) Z(η ∧ θi ∧ ω

)+ F (S) Z (η ∧ dω)

= (−1)kF (Ki) Z

(θi ∧ η ∧ ω

)+ F (S) Z (η ∧ dω) .

donde segue o resultado, pois (−1)k

(−1)k

= (−1)2k

= 1. Note que este nao e um produto exterior mas um produto tensorial.

15.30 Proposicao (Segunda Identidade de Bianchi). Seja E um fibrado vetorial com conexao ∇ ecurvatura associada R. Entao

d∇HomR = 0.

Prova: Seja S ∈ Γ (E) = Λ0 (E) uma secao arbitraria. Entao, pelas Proposicoes 15.28 e 15.29,

d3∇S = d∇

(d2∇S)

= d∇ (R [ S)

= R [ d∇S + d∇HomR [ S.

Por outro lado, pela Proposicao 15.28,

d3∇S = d2

∇ (d∇S) = R [ d∇S.

Igualando as duas expressoes e cancelando o termo comum R [ d∇S, obtemos

d∇HomR [ S = 0

para todo S ∈ Γ (E), o que implica d∇HomR = 0.Note que este resultado nao vale para qualquer conexao em Hom (E), mas apenas para a conexao d∇Hom

associada a conexao ∇Hom, que por sua vez foi induzida da conexao ∇, e tambem a partir da qual foi definidaa curvatura R.

15.8 Duas Algebras Exteriores em Hom (E)

Todos os produtos exteriores definidos acima falham em definir uma algebra exterior, ou por serem produtosde objetos diferentes (por exemplo, no produto exterior [, que e um produto exterior entre uma E-forma euma Hom (E)-forma), ou porque o resultado e um objeto diferente dos fatores do produto (por exemplo, noproduto exterior Z de E-formas, cujo resultado e uma (E ⊗ E)-forma).

Trabalhar apenas com Hom (E)-formas permite contornar este problema e simplificar a algebra, porqueΓ (Hom (E)) e uma algebra. De fato, como o produto de secoes pode ser definido de duas maneiras diferentes,por composicao

F ∗G = F G = FG,

ou atraves do comutadorF ∗G = [F,G] = F G−G F = FG−GF,

podemos na verdade definir dois produtos exteriores diferentes, obtendo duas algebras exteriores diferentes:


15.31 Definicao. O produto exterior f e a aplicacao C∞ (M)-bilinear

f : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,Hom (E)) −→ Λk+l (M,Hom (E))

definida em geradores por(F ⊗ ω)f (G⊗ η) = FG⊗ (ω ∧ η) .

Este produto exterior esta diretamente relacionado com o produto [ definido anteriormente e pode serconsiderado como sendo uma generalizacao daquele, usando a notacao produto para uma matriz aplicada aum vetor F (S) = FS:

(F ⊗ η) [ (S ⊗ ω) = F (S)⊗ (η ∧ ω) = FS ⊗ (η ∧ ω) .

15.32 Definicao. O produto exterior [f] como sendo a aplicacao C∞ (M)-bilinear

[f] : Λk (M,Hom (E))× Λl (M,Hom (E)) −→ Λk+l (M,Hom (E))

definida em geradores por(F ⊗ ω) [f] (G⊗ η) = [F,G]⊗ (ω ∧ η) .

Portanto, na algebra exterior de Hom (E)-formas

Λ (M,Hom (E)) =

∞⊕k=0

Λk (M,Hom (E)) ,

temos dois produtos exteriores f e [f]. Frequentemente, o produto exterior F [f]G e denotado por [F ,G].A relacao entre os dois produtos exteriores e dada pela identidade a seguir:

15.33 Proposicao (Relacao entre [f] e f). Se F ∈ Λk (M,Hom (E)) e G ∈ Λl (M,Hom (E)), entao

F [f]G = F fG− (−1)klGf F .

Prova: Basta provar para geradores: se F = F ⊗ ω e G = G⊗ η, entao

F [f]G = [F,G]⊗ (ω ∧ η)

= (FG−GF )⊗ (ω ∧ η)

= FG⊗ (ω ∧ η)−GF ⊗ (ω ∧ η)

= (F ⊗ ω)f (G⊗ η)− (−1)klGF ⊗ (η ∧ ω)

= F fG− (−1)klGf F .

Como Γ (Hom (E)) e uma algebra associativa com o produto dado pela composicao, a algebra exterior

graduada Λ (Hom (E)) com o produto exterior f tambem e associativa:

F f (GfH) = (F fG)fH.

para F ∈ Λp (M,Hom (E)), G ∈ Λq (M,Hom (E)) e H ∈ Λr (M,Hom (E)). Como Γ (Hom (E)) e umaalgebra de Lie com o produto dado pelo comutador, valem correspondentes propriedades na algebra exteriorgraduada Λ (M,Hom (E)) com o produto exterior [f]:


15.34 Proposicao (Anticomutatividade Graduada). Se F ∈ Λk (M,Hom (E)) e G ∈ Λl (M,Hom (E)),entao

F [f]G = − (−1)klG [f]F .

Em particular,F [f]F = 0.

Prova: Basta provar para geradores: se F = F ⊗ ω e G = G⊗ η, entao

F [f]G = (F ⊗ ω) [f] (G⊗ η)

= [F,G]⊗ (ω ∧ η)

= (FG−GF )⊗ (ω ∧ η)

= − (GF − FG)⊗ (−1)kl

(η ∧ ω)

= − (−1)kl

[G,F ]⊗ (η ∧ ω)

= − (−1)kl

(G⊗ η) [f] (F ⊗ ω)

= − (−1)klG [f]F .

15.35 Proposicao (Identidade de Jacobi Graduada). Se F ∈ Λp (M,Hom (E)), G ∈ Λq (M,Hom (E))e H ∈ Λr (M,Hom (E)) entao

(−1)prF [f] (G [f]H) + (−1)

qpG [f] (H [f]F ) + (−1)

rqH [f] (F [f]G) = 0,

ou, usando a notacao [F ,G] := F [f]G

(−1)pr

[F , [G,H]] + (−1)qp

[G, [H,F ]] + (−1)rq

[H, [F ,G]] = 0.

Prova: Multiplicando cada termo da identidade de Jacobi graduada por (−1)pr

vemos que ela e equivalentea

F [f] (G [f]H) + (−1)p(q+r)

G [f] (H [f]F ) + (−1)r(p+q)

H [f] (F [f]G) = 0.

Basta provar para geradores: se

F = F ⊗ ω,G = G⊗ η,H = H ⊗ σ,

entao

[F , [G,H]] = (F ⊗ ω) [f] ((G⊗ η) [f] (H ⊗ σ))

= (F ⊗ ω) [f] ([G,H]⊗ (η ∧ σ))

= [F, [G,H]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ) .

Daı, trocando os sımbolos ciclicamente,

[G, [H,F ]] = [G, [H,F ]]⊗ (η ∧ σ ∧ ω) ,

[H, [F ,G]] = [H, [F,G]]⊗ (σ ∧ ω ∧ η) ,

donde

[G, [H,F ]] = (−1)pr

[G, [H,F ]]⊗ (η ∧ ω ∧ σ)

= (−1)pr

(−1)pq

[G, [H,F ]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ)

= (−1)p(q+r)

[G, [H,F ]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ)


e, analogamente,

[H, [F ,G]] = (−1)r(p+q)

[H, [F,G]]⊗ (ω ∧ η ∧ σ) .

Portanto,

[F , [G,H]] + (−1)p(q+r)

[G, [H,F ]] + (−1)r(p+q)

[H, [F ,G]]

= ([F, [G,H]] + [G, [H,F ]] + [H, [F,G]])⊗ (ω ∧ η ∧ σ)

= 0.

Observe que a algebra exterior graduada Λ (M,Hom (E)) com o produto exterior f em geral nao possuiuma propriedade semelhante, ja que a algebra Γ (Hom (E)) com o produto dado pela composicao nao e nemcomutativa, nem anticomutativa, nem nada. Por este motivo, em geral

F f F 6= 0,

embora possa-se restringir os homomorfismos lineares apenas ao subespaco vetorial daqueles que comutam,ou que anticomutam; no primeiro caso, obtemos comutatividade graduada, enquanto que no segundo obtemosanticomutatividade graduada.

15.8.1 Forma Local da Derivada Exterior Covariante em termos de f e [f]

Seja E um fibrado com conexoes ∇1,∇2 : Γ (E) −→ Λ1 (M,E). Como vimos no capıtulo anterior, a diferenca

A = ∇1 −∇2

e um tensor A ∈ HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λ1 (M,E)

)(quando E e dotado de uma conexao ∇, consideramos o

fibrado local trivial E|U , ∇1 = ∇|E|U e ∇2 = ∇0 e a conexao flat do fibrado local E|U entao A e chamado opotencial vetorial). Usando o isomorfismo

HomC∞(M)

(Γ (E) ,Λ1 (M,E)

) ∼= Λ1 (M,Hom (E)) ,

podemos ver o tensor diferenca como uma 1-forma A ∈ Λ1 (M,Hom (E)).

15.36 Lema. Seja E um fibrado com conexoes ∇1,∇2 e respectivas conexoes induzidas ∇Hom1 ,∇Hom

2 . Se

A = ∇1 −∇2,

entao∇Hom

1 −∇Hom2 = [A, ·] ,

isto e,∇Hom

1 F −∇Hom2 F = AF − FA.

Prova: Por definicao de conexao induzida,(∇Hom

1,X F)

(S) = ∇1,X (F (S))− F (∇1,XS) ,(∇Hom

2,X F)

(S) = ∇2,X (F (S))− F (∇2,XS) ,

onde escolhemos denotar (∇i)X por ∇i,X e similarmente(∇Homi

)X

por ∇Homi,X . Logo,(

∇Hom1,X F

)(S)−

(∇Hom

2,X F)

(S) = A (F (S))− F (A (S)) .


15.37 Proposicao (Derivada Exterior Covariante em Termos do Tensor Diferenca). Seja E umfibrado com conexoes ∇1,∇2. Se A = ∇1 −∇2, entao

d∇1α = d∇2

α+A [α

para toda forma α ∈ Λk (M,E) ed∇Hom

1F = d∇Hom

2F +A [f]F

para toda forma F ∈ Λk (M,Hom (E)).

Prova: Basta provar para geradores.Para verificar a primeira identidade, seja α = S ⊗ ω. Entao (aqui Z denota o produto exterior entre

E-formas e formas diferenciais reais, como definido anteriormente)

d∇1α = d∇1

(S ⊗ ω)

= d∇1(S Z ω)

= d∇1S Z ω + S Z dω

= (d∇2S +A (S)) Z ω + S Z dω

= d∇2S Z ω + S Z dω +A (S) Z ω

= d∇2α+A [ (S Z ω)

= d∇2α+A [α.

Para verificar a segunda identidade, seja F = F ⊗ ω. Entao (aqui Z denota o produto exterior entreHom (E)-formas e formas diferenciais reais)

d∇Hom1F = d∇Hom

1(F ⊗ ω)

= d∇Hom1

(F Z ω)

= d∇Hom1

F Z ω + F Z dω

=(d∇Hom

2F +AF − FA

)Z ω + F Z dω

= d∇Hom2

F Z ω + F Z dω + (AF − FA) Z ω

= d∇Hom2F +A [f] (F Z ω)

= d∇Hom2F +A [f]F .

15.38 Lema. Para quaisquer E-formas α e Hom (E)-formas F ,G temos

F [ (G [α) = (F fG) [α.

Prova: Em geradores, se F = F ⊗ ω, G = G⊗ η e α = S ⊗ α, temos

F [ (G [α) = (F ⊗ ω) [ [(G⊗ η) [ (S ⊗ α)]

= (F ⊗ ω) [ [G (S)⊗ (η ∧ α)]

= F (G (S))⊗ [ω ∧ (η ∧ α)]

= (FG) (S)⊗ [(ω ∧ η) ∧ α]

= (FG)⊗ (ω ∧ η) [ (S ⊗ α)

= (F fG) [α.


15.39 Proposicao (Curvatura em termos do Tensor Diferenca). Seja E um fibrado com conexoes∇1,∇2 e respectivas curvaturas R1,R2. Se A = ∇1 −∇2, entao

R1 = R2 + d∇Hom2A+AfA.

Em particular, se E e um fibrado com conexao ∇ que possui uma conexao flat ∇0, entao

R = d∇Hom0A+AfA.

Prova: Pela Proposicao 15.28, para toda E-forma α vale

d2∇1α = R1 [α,

d2∇2α = R2 [α.

Por outro lado, pela Proposicao 15.37,

d2∇1α = d∇1

(d∇1α)

= d∇1(d∇2

α+A [α)

= d∇1(d∇2

α) + d∇1(A [α)

= d2∇2α+A [ d∇2α+ d∇2 (A [α) +A [ (A [α)

= R2 [α+A [ d∇2α+ d∇Hom2A [α−A [ d∇2α+ (AfA) [α

= R2 [α+ d∇Hom2A [α+ (AfA) [α

=(R2 + d∇Hom

2A+AfA

)[α.

Comparando as duas expressoes, como α e arbitrario, segue o resultado.

15.40 Lema. Para quaisquer Hom (E)-forma α vale

α [f] (αfα) = 0.

Prova: Pela Proposicao 15.33, observando que se α e uma k-forma, entao αfα e uma (2k)-forma

α [f] (αfα) = αf (αfα)− (−1)k(2k)

(αfα)fα

= αf (αfα)− (αfα)fα

= 0,

pois o produto exterior f e associativo.

15.41 Proposicao (Segunda Identidade de Bianchi, demonstracao local). Seja E um fibrado vetorialcom conexao ∇ e curvatura associada R. Entao

d∇HomR = 0.

Prova: Escreva localmenteA = ∇−∇0,

onde ∇0 e a conexao flat, cuja curvatura R0 e zero, de modo que

d2∇Hom

0F = 0

para qualquer Hom (E)-forma F e, pela Proposicao 15.39,

R = d∇Hom0A+AfA.


Logo, pela Proposicao 15.37, usando o fato que A e uma 1-forma e o lema anterior, temos

d∇HomR = d∇Hom0R+A [f]R

= d∇Hom0

(d∇Hom

0A+AfA

)+A [f]

(d∇Hom

0A+AfA

)= d2∇Hom

0A+ d∇Hom

0(AfA) +A [f] d∇Hom

0A+A [f] (AfA)

= d∇Hom0AfA−Af d∇Hom

0A+A [f] d∇Hom

0A

= d∇Hom0A [f]A+A [f] d∇Hom

0A

= 0.

15.9 Curvatura e Transporte Paralelo

15.42 Proposicao. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade conexa M com conexao ∇ e curvaturaR. Se o transporte paralelo ao longo de qualquer curva depende apenas de seus pontos inicial e final, entaoR = 0.

Prova: De acordo com a equacao de estrutura (Proposicao 15.18), se(

Ωji

)e a matriz de curvatura definida

por

Rd∇ (σi) =

m∑j=1

σj ⊗ Ωji .

vale

Ωij = dωij +

m∑k=1

ωik ∧ ωkj ,

onde a matriz de conexao(ωji

)e definida por (Proposicao 14.10)

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji .

Pela Proposicao 14.29, existe uma base de secoes globais paralelas σ1, . . . , σm ∈ Γ (E), de modo que emrelacao a esta base

∇σi ≡ 0

e, consequentemente, ωji = 0, donde Rd∇ ≡ 0. A recıproca e valida para variedades simplesmente conexas, de modo que nelas a curvatura mede exata-

mente o quanto o transporte paralelo depende dos pontos inicial e final:

15.43 Teorema. Seja E um fibrado vetorial sobre uma variedade simplesmente conexa M com conexao ∇e curvatura R. Entao o transporte paralelo ao longo de qualquer curva depende apenas do seu ponto final edo seu ponto final se e somente se R = 0.

Prova: Veja [Forger-Antoneli], p. 56. Requer conhecimento do classico Teorema de Frobenius, que podeser visto em [Gallier-Quaintance], Chapter 25, e nas referencias la descritas.

Capıtulo 16

Conexoes de Yang-Mills

16.1 Fibrados Metricos e Conexoes Compatıveis com uma Metrica

16.1 Definicao. Seja E um fibrado vetorial sobre M e considere o fibrado tensorial E∗⊗E∗. Uma metricaem E e uma secao global g ∈ Γ (E∗ ⊗ E∗) simetrica, nao degenerada em cada ponto de M .

Um fibrado dotado de uma metrica e chamado um fibrado metrico.

Isso essencialmente significa que para cada p ∈ M a funcao gp e uma forma bilinear simetrica na fibra Ep,nao degenerada, que varia diferenciavelmente com p, o que e equivalente a dizer que as funcoes componentes,localmente definidas,

gij := g (σi, σj) ,

sao diferenciaveis. Uma metrica em uma variedade M nada mais e que uma metrica no fibrado tangenteTM .

A existencia de metricas em fibrados vetoriais (todo fibrado vetorial admite uma metrica riemannianavia um argumento usando particoes da unidade analogo ao usado para mostra a existencia de uma metricariemanniana para qualquer variedade diferenciavel) permite reduzir o grupo de estrutura das funcoes detransicao gαβ : Uαβ −→ GLn (R) de GLn (R) para o grupo ortogonal Op,q e para SOp,q, se a variedade fororientavel. Para ver isso, sera necessario antes provar que dada uma base local de secoes em um fibradometrico esta pode ser ortonormalizada atraves de um processo diferenciavel; a existencia de uma base orto-normal em cada fibra Ep (que nao contem vetores do tipo luz) e assegurada pelo Teorema de Sylvester, masisso nao garante a existencia de uma base ortonormal de secoes em uma vizinhanca, isto e, bases em cadaEp variando diferenciavelmente com p.

16.2 Lema (Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt). Seja V um espaco vetorial real dotadode um produto interno de assinatura (p, q).

Se v1, . . . , vn e uma base para V , entao V possui uma base ortonormal w1, . . . , wn tal que wi e umacombinacao linear dos vetores v1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dos produtos escalares〈vi, vj〉 e nenhum wi e do tipo luz.

Prova: O que impede a aplicacao do processo usual de Gram-Schmidt usado em espacos vetoriais comproduto interno positivo definido e a possıvel presenca de vetores do tipo luz (isto e, vetores v tais que〈v, v〉 = 0) na base inicial ou o seu surgimento durante o processo de ortogonalizacao. Isso pode ser evitadoatraves do argumento descrito a seguir.

Se um vetor vi da base e do tipo luz, a nao-degenerescencia do produto interno garante que existe pelomenos algum outro vetor vj na base (nao necessariamente do tipo luz) tal que 〈vi, vj〉 6= 0. Trocamos estes parde vetores vi, vj por um outro par de vetores ortogonais vi, vj que geram o mesmo subespaco bidimensional

247


mas que nao sao do tipo luz, definindo:

vi =

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj ,

vj =

(1 +

〈vj , vj〉2 〈vi, vj〉

)vi − vj .

De fato,

〈vi, vj〉 =

[(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

] [(1 +


)vi − vj

]= −

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)〈vi, vj〉+

(1 +


)〈vj , vi〉 − 〈vj , vj〉

= −〈vi, vj〉+〈vj , vj〉

2+ 〈vj , vi〉+

〈vj , vj〉2

− 〈vj , vj〉

= 0

e

〈vi, vi〉 =

[(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

] [(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)vi + vj

]= 2

(1− 〈vj , vj〉

2 〈vi, vj〉

)〈vi, vj〉+ 〈vj , vj〉

= 2 〈vi, vj〉6= 0,

〈vj , vj〉 =

[(1 +


)vi − vj

] [(1 +


)vi − vj

]= −2

(1 +


)〈vi, vj〉+ 〈vj , vj〉

= −2 〈vi, vj〉6= 0.

Se depois da substituicao deste par restar outro vetor do tipo luz na base, repetimos o argumento trocandoeste vetor e outro vetor da base por um par ortogonal de vetores que nao sao do tipo luz. Procedemosassim ate obter uma base v1, . . . , vn base para V que nao possui nenhum vetor do tipo luz. Os vetoresassim obtidos sao combinacoes lineares dos vetores v1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dosprodutos escalares 〈vi, vj〉.

Aplicamos a esta base o processo usual de Gram-Schmidt, isto e, definimos w1 = v1 e, indutivamente,

wk+1 = vk+1 −k∑i=1

〈vk+1, wi〉〈wi, wi〉

wi.

Se em determinado passo o vetor wk e do tipo luz, antes de proceder usamos o argumento anterior e trocamoso par wk−1, wk por um par ortogonal de vetores que nao sao do tipo luz. Desta forma, obtemos uma baseortogonal w1, . . . , wn tal que nenhum wi e do tipo luz e tal que cada wi e uma combinacao linear dos vetoresv1, . . . , vn com coeficientes que sao funcoes racionais dos produtos escalares 〈vi, vj〉 e, consequentemente, dosprodutos escalares 〈vi, vj〉. Em particular, podemos normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal.

16.3 Proposicao. Todo fibrado metrico admite uma base ortonormal de secoes locais.


Prova: Segue do lema anterior usando o processo de Gram-Schmidt em uma vizinhanca como uma base desecoes locais; como os coeficientes das novas bases obtidas sao funcoes racionais de produtos escalares dassecoes locais da base original, obtemos uma base diferenciavel ortonormal de secoes locais.

Note que em fibrado metrico E sobre M , a metrica do fibrado e uma possıvel metrica na variedade baseM sao independentes: um exemplo e o fibrado vetorial M × Rp+q, em que sempre podemos atribuir umametrica riemanniana na variedade base M e uma metrica de assinatura (p, q) nas fibras Rp+q.

16.1.1 Conexoes Compatıveis com a Metrica

Usaremos frequentemente o sımbolo 〈, 〉 para representar a metrica g de um fibrado. Segue da definicao quedadas duas secoes S1, S2 ∈ Γ (E), a funcao

p 7→⟨

(S1)p , (S2)p

⟩Ep

e uma funcao em C∞ (M).

16.4 Definicao. Dado um fibrado metrico E, uma conexao ∇ em E e compatıvel com a metrica (ou ∇e uma conexao metrica) se

d 〈S1, S2〉 = 〈∇S1, S2〉+ 〈S1,∇S2〉

para todas as secoes S1, S2 ∈ Γ (E).

Esta condicao e equivalente aX 〈S1, S2〉 = 〈∇XS1, S2〉+ 〈S1,∇XS2〉

para todo X ∈ Γ (TM) e para todas S1, S2 ∈ Γ (E).

16.5 Proposicao. Seja E um fibrado metrico com metrica g. Entao uma conexao ∇ e compatıvel com a

metrica g se e somente se a conexao induzida ∇ no fibrado vetorial∨2

E∗ (onde usamos a mesma notacao

para simplificar) satisfaz∇g = 0.

Prova: Para qualquer ω ∈ Γ

(∨2E∗)⊂ Γ (E∗) ⊗ Γ (E∗) ∼= Γ (E∗ ⊗ E∗), a conexao induzida satisfaz a

regra do produto

X (ω (S1, S2)) = (∇Xω) (S1, S2) + ω (S1,∇XS2) + ω (∇XS1, S2) ,

vendo ω (S1, S2) como uma funcao em C∞ (M) definindo [ω (S1, S2)] (p) = ωp

((S1)p , (S2)p

). Em particular,

para ω = g temosX 〈S1, S2〉 = (∇Xg) (S1, S2) + 〈∇XS1, S2〉+ 〈S1,∇XS2〉 .

Portanto, ∇∗g = 0 se e somente se

X 〈S1, S2〉 = 〈∇XS1, S2〉+ 〈S1,∇XS2〉 .


16.6 Proposicao. As matrizes de conexao e de curvatura de uma conexao compatıvel com a metrica emrelacao a um referencial ortonormal de secoes locais sao antissimetricas.


Prova: Temos

∇σi =

m∑j=1

σj ⊗ ωji .

Como〈σi, σj〉 = δij ,

segue que

0 = d 〈σi, σj〉= 〈∇σi, σj〉+ 〈σi,∇σj〉

=

⟨m∑k=1

σk ⊗ ωki , σj

⟩+

⟨σi,

m∑k=1

σk ⊗ ωkj

⟩

=m∑k=1

ωki 〈σk, σj〉+

m∑k=1

ωkj 〈σi, σk〉

=

m∑k=1

ωki δjk +

m∑k=1

ωkj δik

= ωji + ωij .

Agora, pela equacao de estrutura e pelo resultado anterior

Ωij = dωij +

m∑k=1

ωik ∧ ωkj

= −dωji +

m∑k=1

ωki ∧ ωjk

= −dωji −m∑k=1

ωjk ∧ ωki

= −Ωji .

16.1.3 Produto Interno e Estrela de Hodge de E-Formas

Generalizamos o produto interno de formas diferenciais para E-formas da seguinte maneira.

16.7 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica M . O produto interno de duask-formas S ⊗ ω, T ⊗ η com valores em E e definido como sendo a funcao suave

〈S ⊗ ω, T ⊗ η〉 = 〈S, T 〉〈ω, η〉 .

Estendemos esta definicao bilinearmente para obter um produto exterior

〈, 〉 : Λk (M,E)× Λk (M,E) −→ C∞ (M) .


Em particular, se

ω =

m∑i=1

Si ⊗ ωi,

η =

m∑j=1

Tj ⊗ ηj ,

entao

〈ω,η〉 =

m∑i,j=1

〈Si, Tj〉⟨ωi, ηj

⟩.

16.8 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica orientada M . O produto internoL2 de duas k-formas com suporte compacto em M e definido por

〈ω,η〉L2 =

∫M

〈ω,η〉 d volg,

onde d volg e a forma elemento de volume induzida pela metrica em M .

16.9 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica M . O operador estrela deHodge para E-formas

∗ : Λk (M,E) −→ Λn−k (M,E)

e definido em geradores por∗ (S ⊗ ω) = S ⊗ ∗ω.

Assim, se

ω =

m∑i=1

Si ⊗ ωi,

entao

∗ω =

m∑i=1

Si ⊗ ∗ωi.

16.1.4 O Codiferencial Covariante de E-formas

A derivada exterior covariante de E-formas e um operador

d∇ : Λk (M,E) −→ Λk+1 (M,E) .

16.10 Definicao. Seja E um fibrado metrico de assinatura (p, q). O codiferential covariante e o operadorlinear

d∗∇ : Λk+1 (M,E) −→ Λk (M,E)

definido pord∗∇ω = (−1)

p+nk+1 ∗ d∇ ∗ ω.

16.11 Proposicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica orientada sem fronteira. Ocodiferencial e o operador adjunto formal da derivada exterior, no sentido que

〈d∇ω, η〉L2 = 〈ω, d∗∇η〉L2

para todos ω ∈ Λk (M,E) e η ∈ Λk+1 (M,E) de suporte compacto.


Prova. Veja [Hamilton], Theorem 7.2.12, p. 412.

16.12 Definicao. Definimos o laplaciano covariante como sendo o operador linear

∆ = d∇ d∗∇ + d∗∇ d∇.

Denotamos∆Hom = d∇Hom d∗∇Hom + d∗∇Hom d∇Hom .

16.2 G-Conexoes em G-Fibrados Vetoriais

Considere um G-fibrado vetorial, isto e, um fibrado cujas funcoes de transicao pertencem a um subgrupo deLie G ⊂ GLn (R).

16.13 Definicao. Seja E um G-fibrado vetorial. Entao uma conexao ∇ em E e uma G-conexao se suamatriz de conexao para qualquer carta do fibrado esta em g.

16.3 Grupo de Transformacoes de Gauge

16.14 Definicao. Seja E um G-fibrado metrico. O grupo de transformacoes de gauge GE de E e oconjunto das secoes do fibrado Hom (E) que em cada ponto sao isomorfismos que preservam a metrica, istoe,

GE = F ∈ Γ (Hom (E)) : Fp : Ep −→ Ep e um isomorfismo ∀p ∈M e 〈Fp (Sp) , Fp (Sp)〉Ep = 〈Sp, Sp〉Ep.

Elementos de GE sao chamados de transformacoes de gauge.

Em outras palavras, F esta no grupo de gauge de E se F |Ep ∈ Op,q para todo p ∈ M . Considerando oisomorfismo Γ (Hom (E)) ∼= HomC∞(M) (Γ (E)) tambem podemos escrever⟨

F (S)p , F (S)p

⟩Ep

= 〈Sp, Sp〉Ep

para todo S ∈ Γ (E).Segue que (ver [Darling], p. 227) podemos considerar uma transformacao de gauge F como uma aplicacao

F : U −→ G.

Alem disso, se ∇ e uma conexao em E, entao F induz uma conexao ∇F em E definida por

∇FXS = F[∇X

(F−1 (S)

)],

ou seja, tal que o diagrama abaixo e comutativo:

Γ(E)

F

∇X // Γ(E)

F

Γ(E)

∇FX // Γ(E)

16.15 Proposicao. Se ∇ e uma G-conexao, entao ∇F tambem e uma G-conexao.


O proximo resultado mostra como a curvatura de uma G-conexao muda sob uma transformacao de gauge:

16.16 Proposicao. ValeRd∇F (S) = F

[Rd∇

(F−1 (S)

)].

Γ(E)

F

Rd∇FX,Y // Γ(E)

F

Γ(E)

Rd∇FX,Y // Γ(E)

Prova. Temos

Rd∇F (S) = d∇F (d∇F (S)) = d∇F(∇F (S)

)= d∇F

(F[∇(F−1 (S)

)])= d∇F

(F[d∇(F−1 (S)

)])= F

[∇(F−1

(F[d∇(F−1 (S)

)]))]= F

[d∇([d∇(F−1 (S)

)])]= F

[Rd∇

(F−1 (S)

)].

16.17 Proposicao. Se V,W sao espacos vetoriais com produto interno de assinatura (p, q), eles induzemum produto interno de assinatura (p, q) no espaco dos homomorfimos lineares Hom (V,W ) atraves da escolhade uma base ortonormal B = e1, . . . , em para V e definindo

〈F, F ′〉Hom(V,W ) =

m∑i=1

〈F (ei) , F′ (ei)〉W .

Este produto interno independe da base ortonormal usada.

Prova. Se

B = e1, . . . , em ,B′ = f1, . . . , fm ,

sao duas bases ortonormais para V , escrevendo

fi =

m∑j=1

gji ej ,

segue queg =

(gij)

e uma matriz ortogonal, pois

δij = 〈fi, fj〉 =

⟨m∑k=1

gki ek,

m∑l=1

gljel

⟩=

m∑k,l=1

gki glj 〈ek, el〉

=

m∑k,l=1

gki gljδkl =

m∑k=1

gki gkj

=

m∑k=1

(gT)ikgkj ,


de modo que ggT = I.Portanto,

m∑i=1

〈F (fi) , F′ (fi)〉W =

m∑i=1

⟨F

(m∑k=1

gki ek

), F ′

(m∑l=1

gliel

)⟩W

=

m∑k,l=1

m∑i=1

gki gli 〈F (ek) , F ′ (el)〉W

=

m∑k,l=1

δkl 〈F (ek) , F ′ (el)〉W

=

m∑k=1

〈F (ek) , F ′ (ek)〉W .

Portanto, se E e um fibrado metrico, entao a metrica de E induz uma metrica em Hom (E) da seguinte

forma: se σ1, . . . , σm e uma base ortonormal de secoes em p, entao

〈F, F ′〉Hom(Ep) :=

m∑i=1

〈F (σi) , F′ (σi)〉Ep .

Esta metrica nao depende da escolha da base ortonormal de secoes.

16.18 Proposicao. A norma da curvatura e um invariante de gauge, ou seja,∥∥∥R∇F ∥∥∥2

=∥∥∥R∇∥∥∥2

.

Prova. Seja F ∈ GE . Como F preserva a metrica, se σi e um referencial ortonormal se secoes, entaoF−1 (σi)

tambem e, logo∥∥Rd∇F ∥∥2

=⟨Rd∇F , Rd∇F

⟩Hom

=

m∑i=1

⟨Rd∇F (σi) , R

d∇F (σi)⟩Ep

=

m∑i=1

⟨F[Rd∇

(F−1 (σi)

)], F[Rd∇

(F−1 (σi)

)]⟩Ep

=

m∑i=1

⟨Rd∇

(F−1 (σi)

), Rd∇

(F−1 (σi)

)⟩Ep

=⟨Rd∇ , Rd∇

⟩Hom

=∥∥Rd∇∥∥2

.

16.4 Teoria de Yang-Mills

16.4.1 O Funcional de Yang-Mills

16.19 Definicao. Seja E um fibrado metrico sobre uma variedade metrica orientada M . O funcional deYang-Mills (acao ou lagrangiano de Yang-Mills) e o funcional

S : G-conexoes em E −→ R


definido por

S (∇) =1

2

∫M

∥∥∥R∇∥∥∥2

d volg .

16.4.2 Conexoes de Yang-Mills e as Equacoes de Yang-Mills

16.20 Definicao. Dizemos que uma conexao em E e uma conexao de Yang-Mills se ela e um pontocrıtico do funcional de Yang-Mills.

16.21 Lema. Vale ⟨∆HomR∇,R∇

⟩L2

=∥∥∥d∗∇HomR

∇∥∥∥2

L2.

Prova. Temos, pela propriedade adjunta (Proposicao 16.11) e pela segunda identidade de Bianchi (Pro-posicao 15.30),⟨

∆HomR∇,R∇⟩L2

=

∫M

⟨d∇Hom

(d∗∇HomR

∇)

+ d∗∇Hom

(d∇HomR∇

),R∇

⟩Hom(E)

d volg

=

∫M

⟨d∗∇HomR

∇, d∗∇HomR∇⟩

Hom(E)d volg +

∫M

⟨d∇HomR∇, d∇HomR∇

⟩Hom(E)

d volg

=

∫M

∥∥∥d∗∇HomR∇∥∥∥2

Hom(E)d volg

=∥∥∥d∗∇HomR

∇∥∥∥2

L2.

16.22 Teorema. As seguintes condicoes sao equivalente para que uma conexao ∇ seja uma conexao deYang-Mills:

(i)d∗∇HomR

∇ = 0.

(ii)∆HomR∇ = 0.

Prova. (i) Seja ∇ uma conexao. Obtemos uma variacao da conexao na direcao de uma 1-forma arbitrariafixada A ∈ Λ1 (M,Hom (E)) (isto e, uma curva passando por ∇ na direcao de A) definindo para cada t ∈ Ra conexao

∇t = ∇+ tA.

Pela Proposicao 15.37 segue qued∇1α = d∇2α+ tA [α.

Pela Proposicao 15.39 temosR∇t = R∇ + td∇HomA+ t2AfA.

Portanto, ∥∥∥R∇t∥∥∥2

=∥∥∥R∇∥∥∥2

+ 2t⟨R∇, d∇HomA

⟩Hom(E)

+O(t2).


Daı,

d

dtS (∇t)

∣∣∣∣t=0

= limt→0

S (∇t)− S (∇)

t

=1

2limt→0

∫M

∥∥∥R∇∥∥∥2

−∥∥∥R∇t∥∥∥2

td volg

=

∫M

⟨R∇, d∇HomA

⟩Hom(E)

d volg

=

∫M

⟨d∗∇HomR

∇,A⟩

Hom(E)d volg .

Concluımos qued

dtS (∇t)

∣∣∣∣t=0

= 0

para toda A ∈ Λ1 (M,Hom (E)), isto e, ∇ e uma conexao de Yang-Mills, se e somente se d∗∇HomR∇ = 0.

(ii) Pela segunda identidade de Bianchi (Proposicao 15.30),

d∇HomR∇ = 0.

Logo, d∗∇HomR∇ = 0 implica

∆HomR∇ = d∇Hom

(d∗∇HomR

∇)

+ d∗∇Hom

(d∇HomR∇

)= 0.

A reciprocamente segue imediatamente do lema. A primeira equacao do teorema anterior e a equacao de Yang-Mills; a segunda equacao diz que a curvaturade uma conexao de Yang-Mills e uma Hom (E)-forma harmonica.

16.5 Autodualidade

Observe que como a curvatura e essencialmente a derivada da conexao (o que e mais facil ver na formalocal, ou seja, os elementos da matriz de curvatura sao derivadas dos elementos da matriz de conexao), quee chamada o potencial de gauge, as equacoes de Yang-Mills sao equacoes de segunda ordem do potencial degauge.

No entanto, existe um sistema de equacoes de primeira ordem, mais forte que a equacao de Yang-Mills,cujas solucoes satisfazem automaticamente esta, e que e mais facil de resolver. A situacao e analoga asubstituir o estudo da equacao de Laplace pelas equacoes de Cauchy-Riemann.

[Darling], p. 244.

Capıtulo 17

Fibrados Diferenciaveis e FibradosPrincipais

A fibra de um fibrado nao precisa ser um espaco vetorial. Em geral, ela pode ser um espaco qualquer quepode ou nao ter estruturas adicionais, topologicas, diferenciais, algebricas ou geometricas. Consideraremosagora fibrados diferenciaveis em que a fibra e uma variedade diferenciavel fixa (a menos de difeomorfismos),que pode ter uma estrutura algebrica ou geometrica alem da estrutura diferenciavel mas compatıvel comesta, tal como a estrutura de um grupo de Lie.

17.1 Definicao

17.1 Definicao. Um fibrado diferenciavel sobre uma variedade diferenciavel M com fibra tıpica F euma variedade diferenciavel E juntamente com uma aplicacao diferenciavel sobrejetiva π : E −→ M quesatisfaz as seguintes condicoes:

(i) Para cada p ∈M , a fibraEp = π−1 (p)

e uma variedade diferenciavel difeomorfa a F .(ii) Para cada p ∈M existe uma vizinhanca U de p em M e um difeomorfismo

ψ : π−1 (U) −→ U × F,

chamado uma carta do fibrado (ou trivializacao local), tal que se π1 : U × F −→ U e a projecao naprimeira coordenada, entao

π = π1 ψ,

isto e, o diagrama abaixo e comutativo:

π−1 (U)

π

ψ // U × F

pr1yy

U

O espaco E e chamado o espaco total do fibrado, M sua base e π sua projecao.

Segue diretamente da definicao (comutatividade do diagrama) que para cada carta do fibrado ψ a aplicacao

ψ|Ep : Ep −→ F

257


e um difeomorfismo, onde identificamos p × F com F , ou seja, ψ preserva fibras. Fibrados vetoriaisdiferenciaveis de posto m sao exemplos de fibrados diferenciaveis em que a fibra tıpica e o espaco vetorialRm e requeremos a condicao inicial que ψ|Ep preserva a estrutura linear adicional, isto e, e um isomorfismo.A colecao de cartas do fibrado

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × Rm

e chamado um atlas para o fibrado, como no caso de fibrados vetoriais. Tambem como para fibradosvetoriais, um atlas para o fibrado em conjunto com um atlas para a variedade base M permite construir umatlas para a variedade total E.

Frequentemente omitiremos a palavra diferenciavel quando nos referirmos a um fibrado diferenciavel.

17.2 Proposicao. Seja E um fibrado diferenciavel sobre M com fibra F .Entao a projecao π e uma submersao e Ep e uma subvariedade mergulhada em E difeomorfa a F .

Prova: Sejaψ : π−1 (U) −→ U × F

uma carta do fibrado. Para cada (p, v) ∈ U × F a aplicacao linear

d (π1)(p,v) : T(p,v) (U × F ) −→ TpU = TpM

e sobrejetiva, logoπ1 : U × F −→ U

e uma submersao. Como ψ e um difeomorfismo e π1 ψ = π,

dπx = d (π1)(p,v) dψx

e sobrejetivo para todo x ∈ E e π tambem e uma submersao.Consequentemente, cada fibra de E e a imagem inversa de um valor regular da aplicacao diferenciavel

π, logo e uma variedade mergulhada de E. Para cada p ∈ U , ψ leva Ep difeomorficamente sobre p × F eπ2 : U × F −→ F e um difeomorfismo deste conjunto sobre F .

Quando fazemos uma mudanca de coordenadas passando para uma carta do fibrado diferente para omesmo ponto base, as coordenadas na fibra Ep mudam atraves de um difeomorfismo da fibra F :

17.3 Proposicao. Seja E um fibrado diferenciavel com fibra F .Sejam

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × F,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × F,

cartas do fibrado tais que Uαβ = Uα ∩ Uβ 6= ∅. Entao existe uma aplicacao

gαβ : Uαβ −→ Difeo (F )

tal que a mudanca de coordenadas de cartas do fibrado

ψα ψ−1β : Uαβ × F −→ Uαβ × F


β

)(p, x) =

(p, (gαβ)p (x)

).

Mais precisamente, a funcao de transicao gαβ e definida por

(gαβ)p = ψα|Ep (ψβ |Ep

)−1

.


Prova: A demonstracao e completamente analoga a demonstracao da Proposicao 13.4, trocando a fibra Rmpela fibra F e isomorfismos por difeomorfismos. No caso de fibrados vetoriais, as funcoes de transicao sao aplicacoes gαβ : Uαβ −→ GLn (R). Como GLn (R)e um grupo de Lie, em particular uma variedade diferenciavel, faz sentido falar em aplicacoes diferenciaveise de fato provamos na Proposicao 13.4 que as funcoes de transicao de fibrados vetoriais sao diferenciaveis.O problema e que nao podemos dizer no caso de fibrados diferenciaveis gerais que a funcao de transicao

gαβ : Uαβ −→ Difeo (F )

e uma aplicacao diferenciavel entre variedades, pois o grupo de difeomorfismos Difeo (F ) de uma variedadediferenciavel F em geral nao e uma variedade diferenciavel, nem mesmo uma variedade diferenciavel dedimensao infinita (isso ocorre comumente quando a fibra tıpica nao e compacta). De qualquer forma, nagrande maioria das aplicacoes em geometria e topologia diferencial e nas aplicacoes fısicas (teorias de gauge),as funcoes transicoes tem imagem em um subgrupo de Difeo (F ) que e um grupo de Lie de dimensao finita.

17.2 G-Fibrados ou Fibrados com Grupo Estrutural G

Pelo fato do grupo de difeomorfismos Difeo (F ) ser muito grande ou nao ter estrutura diferenciavel, restrin-gimos as funcoes de transicao gαβ da Proposicao 17.3 a um subgrupo G de Difeo (F ) que seja um grupo deLie. Isso leva ao conceito mais util de G-fibrado ou fibrado com grupo estrutural G.

Lembramos que uma acao a esquerda de um grupo de Lie G em uma variedade F e uma aplicacaodiferenciavel

τ : G× F −→ F

tal que

τ (e, x) = x,

τ (gh, x) = τ (g, τ (h, x)) ,

para todo x ∈ F ; em geral o sımbolo τ que denota a acao e omitido e escreve-se simplesmente

G× F −→ F(g, x) 7−→ g · x

e

e · x = x,

(gh) · x = g · (hx) .

A acao do grupo de Lie G na variedade F e equivalente a um homomorfismo de grupos (representacao)

ρ : G −→ Difeo (F )

que associa a cada g ∈ G o difeomorfismo ρg : F −→ F tal que

ρg (x) = g · x,

isto e, a transformacao difeomorfica de F pela acao do elemento g (a inversa de ρg sendo ρg−1). Vamosrequerer que a acao seja efetiva isto e, que a acao ρ : G −→ Difeo (F ) seja injetiva (em outras palavras, quea representacao seja fiel). Neste caso G e exatamente um subgrupo de difeomorfismos de F e podemos usarg ao inves de ρg.


17.4 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo efetivamente sobre uma variedade diferenciavel F , com aacao dada pelo homomorfismo injetivo ρ : G −→ Difeo (F ).

Duas cartas de um fibrado E sobre M com fibra F

ψα : π−1 (Uα) −→ Uα × F,ψβ : π−1 (Uβ) −→ Uβ × F,

sao G-compatıveis se para cada p ∈ Uα∩Uβ vale gαβ (p) = ρg (p) para algum g ∈ G e a funcao de transicaogαβ e uma aplicacao diferenciavel

gαβ : Uα ∩ Uβ −→ G.

Em outras palavras, se duas cartas sao G-compatıveis, para cada p ∈ Uα∩Uβ o difeomorfismo da fibra gαβ (p)e uma acao sobre a fibra de um elemento g do grupo de Lie G, ou seja, e um elemento de ρ (G) ⊂ Difeo (F ).Assim, usando esta identificacao dizemos que a funcao de transicao gαβ e um elemento do grupo de Lie G.Estritamente falando, a G-compatibilidade de cartas e fixada nao apenas pelo grupo G, mas tambem pelaacao ρ de G em F ; para nao carregar a notacao, a acao ρ em geral nao e especificada, sendo subentendida.Assim, podemos escrever a acao da funcao de transicao atraves da acao do grupo de Lie:

gαβ (p) · x = ρ (gαβ (p)) (x) .

17.5 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo efetivamente sobre uma variedade diferenciavel F .Um G-fibrado (ou um fibrado com grupo estrutural G) e um fibrado diferenciavel E sobre M com

fibra F que possui um atlas com cartas ψα tais que cada difeomorfismo ψα|Ep e um elemento de G e duascartas quaisquer sao sempre G-compatıveis.

Intuitivamente falando, o proposito do grupo G e especificar como a fibra F se torce quando o ponto base semove ao longo do espaco base M (isto e, como Ep se torce quando p varia). Por exemplo, o grupo estruturalda faixa de Mobius vista como um G-fibrado sobre o cırculo S1 com fibra (−1, 1) e Z2; a acao de Z2 sobre ointervalo (−1, 1) e formada pela identidade e pela reflexao em torno do ponto medio do intervalo. O mesmovale para a garrafa de Klein, exceto que a fibra e S1.

A nocao de G-estrutura para fibrados generaliza a nocao de grupo de simetria de um espaco vetorialV ou uma variedade diferenciavel M dotadas de uma estrutura geometrica (uma metrica riemanniana oulorentziana, ou uma estrutura simpletica). O conjunto de difeomorfismos de V ou M que preservam aestrutura geometrica, que e o grupo de simetria da estrutura, e um grupo de Lie que age diferenciavelmentesobre M .

Um subgrupo H de G pode ser escolhido como um grupo estrutural para o fibrado. Isso restringe asfuncoes de transicoes admissıveis ainda mais (isto e, as funcoes de transicao H-compatıveis), por isso esteprocesso e chamado reducao do grupo do fibrado.

17.6 Teorema (Construcao de Fibrados a partir das Funcoes de Transicao satisfazendo asCondicoes de Cociclo). Sejam M e F variedades diferenciaveis, G um grupo de Lie agindo efetivamentesobre F e Uαα∈A uma cobertura aberta de M .

DenotandoUαβ = Uα ∩ Uβ se Uα ∩ Uβ 6= ∅,Uαβγ = Uα ∩ Uβ ∩ Uγ se Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅,

suponha que a famılia de aplicacoes diferenciaveis

Φ = gαβ : Uαβ −→ Gα,β∈A

satisfaz a condicao de cociclogαβgβγ = gαγ (17.1)


ou, equivalentemente,

gαα = id,

gαβgβγgγα = id,

sempre que Uαβγ 6= ∅ para todos os ındices α, β, γ ∈ A.Entao existe um G-fibrado E sobre M com fibra F cujas funcoes de transicao sao as funcoes gαβ.

Prova: A demonstracao e completamente analoga a da Proposicao 13.7. Nem todos os fibrados diferenciaveis sao G-fibrados; para exemplos veja a referencia em [Poor], inıcio da

pagina 4.

17.3 Exemplos

17.4 Homomorfismos de Fibrados

17.7 Definicao. Um fibrado diferenciavel e trivial se existe uma trivializacao global que e um difeomorfismo

ϕ : E −→M × F.

Alem dos exemplos considerados na introducao deste capıtulo, um importante exemplo consiste dos espacosde recobrimento, que sao fibrados cujas fibras sao espacos topologicos discretos.

Dois fibrados sao equivalentes se, alem deles serem homeomorfos, eles homeomorficamente levam fibrasem fibras, o que pode ser resumido na definicao a seguir:

17.8 Definicao. Dois fibrados sobre B

π : E −→M,

π′ : E′ −→M,

sao isomorfos se existe um homeomorfismo h : E −→ E′ tal que o diagrama abaixo e comutativo:

E

π

h // E′

π′~~M

Segue da definicao que h preserva fibras

h(

(π′)−1

(p))

= π−1 (p) ,

ou seja, a fibra Ep e levada homeomorficamente na fibra E′p atraves de h.Vamos determinar agora quando dois atlas definem dois fibrados isomorfos.

17.9 Teorema (Determinacao de Isomorfismo de Fibrados a partir das Funcoes de Transicao).Sejam B e F espacos topologicos, Uαα∈A uma cobertura aberta de B e

Φ = ϕαβ : Uαβ × F −→ Uαβ × Fα,β∈A ,

Φ′ =ϕ′αβ : Uαβ × F −→ Uαβ × F

α,β∈A ,


dois sistemas de funcoes de transicao.Elas determinam fibrados isomorfos se e somente se existem homeomorfismos que preservam fibras

hα : Uα × F −→ Uα × F

tais queϕ′αβ = hαϕαβh

−1β .

Prova: Sejam E,E′ os fibrados determinados por Φ,Φ′ segundo a construcao do teorema anterior, comatlases ϕα , ϕ′α, respectivamente.

Suponha em primeiro lugar que E,E′ sao isomorfos, de modo que existe um homeomorfismo h : E −→ E′

que preserva fibras. Definahα = ϕ′αhϕ

−1α .

Como h e as cartas preservam fibras, hα tambem preserva. Alem disso

hαϕαβh−1β =

(ϕ′αhϕ

−1α

)ϕαβ

(ϕ′βhϕ

−1β

)−1

=(ϕ′αhϕ

−1α

) (ϕαϕ

−1β

) [ϕβh

−1(ϕ′β)−1]

= ϕ′α(ϕ′β)−1

= ϕ′αβ .

Reciprocamente, suponha dadas os homeomorfimos hα satisfazendo as condicoes do enunciado. Definah : E −→ E′ por

h = (ϕ′α)−1hαϕα.

Basta provar que h esta bem definido, pois entao decorrera imediatamente que h e um homeomorfismo quepreserva fibras. E, de fato,

(ϕ′α)−1hαϕα =

(ϕ′β)−1

ϕ′β

[(ϕ′α)

−1hαϕα

] (ϕ−1β ϕβ

)=(ϕ′β)−1

[ϕ′β (ϕ′α)

−1]hα

(ϕαϕ

−1β

)ϕβ

=(ϕ′β)−1 [

ϕ′βαhαϕαβ]ϕβ

=(ϕ′β)−1 [

hβϕβαh−1α hαϕαβ

]ϕβ

=(ϕ′β)−1

hβϕβ .

17.5 Secoes Locais e Globais

17.10 Definicao. Se π : E −→ M e um fibrado, uma secao global de E e uma aplicacao diferenciavelσ : M −→ E tal que π σ = idM .

Uma secao local de E e uma aplicacao σ : U −→ E definida em um aberto de M tal que π σ = idU .

No caso de fibrados gerais, o conjunto de secoes Γ (E) nao tem uma estrutura natural de R-espaco vetorial,muito menos de C∞ (M)-modulo. Enquanto que em um fibrado vetorial sempre existe uma secao global, asecao nula, isso nao e verdade em um fibrado geral.


17.6 Fibrados Principais

17.11 Definicao. Um G-fibrado principal e um G-fibrado P em que a fibra tıpica F e o grupo G, ondea acao considerada de G sobre si proprio e a multiplicacao a esquerda.

O nome se deve ao fato que todo os G-fibrados podem ser obtidos a partir de um G-fibrado principal atravesda construcao de um fibrado associado, como veremos. Reciprocamente, fibrados principais podem serobtidos de fibrados vetoriais (as vezes apenas quando estes sao munidos de uma estrutura adicional) atravesda construcao do fibrado de referenciais.

Um fibrado principal P com fibra G permite definir uma acao a direita de G sobre o espaco total Pque age livre e transitivamente sobre as fibras de P (diferente da acao a esquerda de G sobre a fibra tıpicaF ) da seguinte maneira:

17.12 Proposicao. Seja P um G-fibrado principal. Se z ∈ π−1 (p), seja (ψα, Uα) uma carta de fibrado comp ∈ Uα e ψα (z) = (p, h); dado g ∈ G, definimos

z · g := ψ−1α (p, hg) . (17.2)

Esta e uma acao a direita em P que age livre e transitivamente sobre as fibras de P e nao depende da cartado fibrado escolhida.

Consequentemente, a variedade diferenciavel P/G esta definida e e difeomorfa a M .

Prova: Para verificar a independencia em relacao a carta de fibrado escolhida, se x ∈ Uα ∩ Uβ e

ψα (z) = (p, hα) ,

ψβ (z) = (p, hβ) ,

por definicao de funcao de transicao temos(ψα ψ−1

β

)(p, g) =

(p, (gαβ)x (g)

);

em particular,hβ = gβαhα.

Daı,

ψ−1α (p, hαg) = ψ−1

α

(p, (gαβ)p (hαg)

)= ψ−1

β

(p, (gβα)p (hαg)

)= ψ−1

β

(p,(

(gβα)p hα

)g)

= ψ−1β (p, hβg) .

Para ver que esta e uma acao, por definicao temos que se

ψα (z) = (p, h)

entaoψα (z · g1) = (p, hg1) ,

de modo que, por definicao,

ψα ((z · g1) · g2) = (p, (hg1) g2)

= (p, h (g1g2))

= ψα (z · g1g2) .


O fato da acao nao depender da carta escolhida implica em particular que ela e livre (isto e, se g 6= e, entaoz · g 6= z) e transitividade nas fibras (isto e, para todos z, w ∈ Ep existe g ∈ G tal que w = z · g) segue datransitividade da multiplicacao de grupo.

Observe que se definirmos uma acao a direita de G em Uα ×G por

(p, h) · g = (p, hg) ,

entao segue imediatamente da definicao que

ψα (z · g) = ψα (z) · g,

o que implica que as cartas do fibrado sao equivariantes (isto e, as cartas do fibrado sao homomorfismoscom respeito a acao do grupo, por isso tambem chamadas G-homomorfismos). Esta propriedade e usadaequivalentemente para definir fibrados principais (por exemplo em [Spivak] vol. 2, p. 346; uma demonstracaodesta equivalencia e mais detalhes podem ser vistos em [Gallier-Quaintance], Proposition 28.16, p. 1065 eem [Forger-Antoneli], p. 103).

Todo fibrado vetorial possui uma secao global (a secao nula). Um fibrado principal possui uma secaoglobal se e somente se ele e um fibrado trivial (para uma demonstracao, veja [Gallier-Quaintance], Proposition28.19, p. 1068). No entanto, em cada vizinhanca trivilizavel podemos definir a secao identidade:

σα (p) = ψ−1α (p, e) .

17.13 Teorema. Sejam G um grupo de Lie, Pπ−→M uma aplicacao sobrejetiva diferenciavel e uma acao

a direita diferenciavel P ×G −→ G de G sobre P . Entao P e um G-fibrado principal se e somente se valemas seguintes condicoes:

(i) a acao de G preserva fibras e e transitiva nelas;(ii) existe uma cobertura aberta Uα de M juntamente com secoes locais σα : Uα −→ P .

Prova: Se (P, π,M,G) e um fibrado principal, entao escolha um atlas equivariante (ψα, Uα) para P com

ψα : P |Uα −→ Uα ×G.

Ja vimos que a acao nas fibras e livre; as secoes locais sao as secoes identidade, isto e,

σα (p) = ψ−1α (p, e) .

A recıproca segue da Proposicao 17.15 a seguir.

17.14 Definicao. Seja P um fibrado principal sobre M . Uma secao global σ : M −→ P e chamada umgauge global e uma secao local S : U −→ P e chamada um gauge local.

17.15 Proposicao. Seja P um G-fibrado principal sobre M e S : U −→ P um gauge local. Entao

ψ : U ×G −→ P |U

definido porψ (p, g) = S (p) · g

e um difeomorfismo equivariante.Em particular, se S : M −→ P e um gauge global, entao P e o fibrado trivial M ×G.

Prova: A aplicacao e diferenciavel porque S e diferenciavel e a acao de G sobre P e diferenciavel. Ela ebijetiva porque a acao de G sobre P e transitiva nas fibras.

Para provar que ψ e um difeomorfismo, basta mostrar que ψ e um difeomorfismo local. Para isso, como

dimP |U = dimP = dimM + dimG,


pelo Teorema da Aplicacao Inversa e suficiente provar que dψ (z, g) e injetiva em cada ponto (z, g) ∈ U ×G.A derivada

dψ(z,g) : TMp × TGg −→ TPS(p)·g

e dada pordψ(z,g) (vp, wg) = d (rg S)p (vp) + µG (wg)S(p)·g.

Veja o resto da demonstracao em [Hamilton], Lemma 4.2.7, p. 210 (necessita do conceito de campos vetoriaisfundamentais, que veremos no proximo capıtulo e da forma de Maurer-Cartan). Assim, a escolha de um gauge local corresponde a escolha de um sistema de coordenadas de carta locais paraum fibrado principal. Em Fısica, isso leva naturalmente a ideia de que as teorias devem ser independentesda escolha de gauges (assim como em Teoria de Relatividade a fısica deve ser independente da escolha deum sistema de coordenadas no espacotempo, isto e, na variedade base M).

Capıtulo 18

Conexoes e Curvatura em FibradosPrincipais

18.1 A Interpretacao Geometrica da Conexao

Como vimos na introducao ao conceito da derivada de Lie, quando quisemos definir um conceito de derivadade campos (Capıtulo 3), embora um campo vetorial diferenciavel seja uma secao diferenciavel do fibradotangente

X : M −→ TM

e em princıpio fosse possıvel definir a derivada do campo X como a diferencial

dX : TM −→ T (TM) ,

esta seria uma nocao tecnicamente complicada, inutil para a maioria das aplicacoes (por exemplo, em geo-metria riemanniana), ja que a derivada de um campo em M nao seria um campo em M . Depois de perceberque a derivada de Lie ainda nao e uma generalizacao perfeita do conceito de derivada direcional de camposem RN para campos em variedades, introduzimos o conceito de conexao no fibrado tangente no sentido deKoszul no Capıtulo 4 para obter a nocao de derivada covariante, que alem de ser a generalizacao perfeita, etambem uma generalizacao simples.

Para entender melhor a nocao de conexao em fibrados diferenciaveis, retornamos a visao de um campovetorial como uma secao do fibrado tangente. Historicamente, a solucao do problema de definir a derivadadesta secao levou a varias definicoes de conexao, principalmente a resolucao algebrica do problema parafibrados vetoriais via a conexao de Koszul, vista no Capıtulo 14, e a resolucao geometrica do problema viaa conexao de Ehresmann, que esclarece o que esta por tras deste conceito. A discussao a seguir e inspiradade [Dodson-Poston], pp. 212-220.

O principal problema da diferencial

(dX)p : TMp −→ T (TM)Xp

e que para v ∈ TMp o vetor (dX)p (v) nao esta no espaco tangente a M em p, mas sim no espaco tangentea TM em Xp:

266


ComodimT (TM)Xp = 2 dimTMp,

podemos decompor T (TM)Xp como a soma direta de dois subespacos n-dimensionais: cada vetor de

TXp (TM) se escreve de maneira unica como a soma de uma componente “vertical” na direcao da fibra(tangente a fibra), que e isomorfa a TpM , e uma componente “horizontal”, “paralela” a M (aqui, visualizaro difeomorfismo TS1 como o cilindro S1 × R ajuda: cada espaco tangente ao cırculo e uma fibra vertical docilindro; mas localmente isso pode ser visto na ilustracao acima tambem). Lembre-se que localmente cadaponto de um aberto trivializavel do fibrado tangente e a imagem de (p, v) atraves da carta (p, dϕp (v)), demodo que a primeira variavel da carta e essencialmente um ponto da variedade. Usando a projecao natural

π : TM −→M

podemos ver que a componente horizontal de (dX)p (v) e essencialmente v: pela regra da cadeia,

dπXp

((dX)p (v)

)= d (π X)p (v) = d (idM )p v = v.

A aplicacao π e uma submersao que envia o espaco tangente 2n-dimensional T (TM)Xp no espaco tangenten-dimensional TMp. O subespaco horizontal e levado injetivamente em TMp, enquanto que o subespacovertical (esencialmente a fibra sobre p) e o nucleo da diferencial dπp. Assim a projecao natural π induz umaprojecao natural dos espacos vetoriais

dπ(p,v) : T (TM)(p,v) −→ TMp

de modo que o espaco tangente T (TM)(p,v) se decompoe como soma direta

T (TM)(p,v) = ker dπ(p,v) ⊕H

e a componente horizontal pode ser escolhida livremente. Escolher um subespaco H que e levado isomorfica-mente em TMp equivale a escrever a derivada de um campo X (isto e, a componente horizontal de (dX)p (v))


como um campo na variedade (isto e, escrever (dX)p (v) como um vetor de TMp) Cada escolha do subespacoH (variando diferenciavelmente com p) corresponde a escolha de uma conexao no fibrado tangente.

Para tornar estas nocoes mais precisas e aplica-las em fibrados diferenciaveis mais gerais, precisamosgeneralizar as ideias discutidas acimas para estes.

18.2 Fibrado Vertical

18.2.1 Subfibrados Vetoriais

18.1 Definicao. Seja Eπ−→M um fibrado vetorial diferenciavel de posto m. Dizemos que D

π′−→M e umsubfibrado vetorial diferenciavel de E de posto k se ele e um fibrado vetorial tal que

(i) D e uma subvariedade de E;(ii) π′ = π|D;

(iii) para cada p ∈M , Dp = (π′)−1

(p) e um subespaco vetorial de dimensao k da fibra Ep = π−1 (p).

18.2 Definicao. Uma distribuicao em uma variedade M e um subfibrado vetorial diferenciavel do fibradotangente TM .

Em outras palavras, se D e uma distribuicao, para cada ponto p ∈M , Dp e um subespaco vetorial de TMp,Dp dependendo diferenciavelmente de p, no sentido dado pelo resultado a seguir:

18.3 Proposicao. Seja Eπ−→ M um fibrado vetorial diferenciavel de posto m e uma correspondencia que

associa a cada p ∈M um subespaco vetorial Dp ⊂ Ep de dimensao k. Entao

D =⋃p∈M

Dp ⊂ E

e um subfibrado vetorial de E se e somente se para cada p ∈M existe uma vizinhanca U 3 p e secoes locaisdiferenciaveis

σ1, . . . , σk ∈ Γ (E|U )

tais que σ1 (q) , . . . , σk (q) e uma base para Dq para cada q ∈ U .

Prova: Se D e um subfibrado vetorial diferenciavel de E de posto k e τ1, . . . , τk ∈ Γ (D|U ) formam umabase de secoes locais, basta tomar σi = ı τi, onde ı : D → E e a inclusao.

Reciprocamente, mostramos primeiro que D e uma subvariedade de E. Para isso, basta mostrar quecada p ∈ M tem uma vizinhanca V tal que D ∩ π−1 (V ) e uma subvariedade de π−1 (V ) ⊂ E. Sejamσ1, . . . , σk ⊂ Γ (E|U ) uma base de secoes locais de E sobre uma vizinhanca U de p para Dq para todoq ∈ U . Diminuindo U para uma vizinhanca V se necessario, podemos completar esta base ate uma basede secoes locais σ1, . . . , σk, σk+1, . . . , σm ⊂ Γ (E|V ) para Eq para cada q ∈ V (Corolario 13.15). PelaProposicao 13.14, esta base de secoes locais esta associada a uma carta de fibrado ψ : π−1 (V ) −→ V ×Rm,isto e,

σi (q) = ψ−1 (q, ei)

para i = 1, . . . ,m. O difeomorfismo ψ leva D ∩ π−1 (V ) no subconjunto U × Rk atraves da identificacao deRk com o subespaco xk+1 = . . . = xm = 0 de Rm:

ψ

(k∑i=1

Siσi (q)

)=

(q,

k∑i=1

Siei

).

Em particular, D ∩ π−1 (V ) e aberto e D e portanto uma subvariedade de E. A aplicacao

ψ = πk ψ,


onde πk : Rm −→ Rk e a projecao padrao, e uma carta de fibrado, logo obtemos um atlas para D e este eportanto um subespaco vetorial diferenciavel. De agora em diante, quando nos referirmos a subfibrados vetoriais, estara subentendido que eles sao dife-renciaveis.

18.2.2 O Fibrado Vertical

Se Eπ−→M e um fibrado diferenciavel, como π e uma submersao, para cada ponto p ∈M a fibra Ep = π−1 (p)

e uma subvariedade de E. Isso nos leva a seguinte definicao:

18.4 Definicao. Seja Eπ−→ M um fibrado diferenciavel. Para cada ponto p ∈ M considere a fibra

Ep = π−1 (p) e seja z ∈ Ep um elemento da fibra. O espaco tangente vertical V Ez a variedade E noponto z e o espaco tangente T (Ep)z a fibra Ep considerada como subvariedade de E no ponto z.

O conjunto de todos os espacos tangentes verticais

V E =⊔z∈E

V Ez

forma um subfibrado vetorial de TE, chamado o fibrado vertical de E.

Note que V E e um fibrado vetorial sobre o espaco total E, assim como TE.

18.5 Proposicao. Seja Eπ−→M um fibrado diferenciavel. Entao

V Ez = ker dπz.

V E tem posto igual a dimensao da fibra de E.

Prova: Dado Xz ∈ V Ep = T (Ep)z, por definicao Xz e um vetor tangente a uma curva inteiramente contidana fibra Ep, que e totalmente projetada no ponto p. Consequentemente,

dπz (Xz) = 0,

dondeV Ez ⊂ ker dπz.

Como π e uma submersao de modo que dπz e sobrejetiva, segue do teorema do nucleo e da imagem (ondedenotamos por F a fibra tıpica de E),

dim ker dπz = dimE − dimM

= dimF

= dimT (Ep)z ,

logo V Ez = ker dπz.

18.6 Definicao. Seja E −→M um fibrado diferenciavel. Um espaco tangente horizontal a variedade Eno ponto z e um subespaco complementar ao espaco tangente vertical em TEz, isto e, um subespaco HEzde TEz tal que

TEz = V Ez ⊕HEz.

Note que um espaco tangente horizontal nao esta definido de forma unica.

18.7 Proposicao. Seja Eπ−→M um fibrado diferenciavel e z = π1 (p). Entao

dπz : HEz −→ TMp

e um isomorfismo linear.

Prova: Segue imediatamente da Proposicao 18.5.


18.3 Campos Vetoriais Fundamentais

Suponha que um grupo de Lie G age a direita em uma variedade diferenciavel M . Esta acao corresponde aum homomorfismo

φ : G −→ Difeo (M)

que deveria ser diferenciavel, se nao fosse pelo problema ja apontado no capıtulo anterior que Difeo (M) emgeral nao e uma variedade diferenciavel, nem mesmo de dimensao infinita. Agora nos indagamos se estaaplicacao induz um homomorfismo no nıvel de algebras de Lie

φ∗ : g −→?

O que seria a algebra de Lie de Difeo (M)?Recorde a aplicacao exponencial

exp : g −→ G,

onde para cada Xe ∈ g, se φX : R × G −→ G denota o fluxo do campo vetorial invariante a esquerda Xextensao de Xe, entao

exp (Xe) = φX (1, e) ,

isto e, exp (Xe) e o valor da curva integral do campo X passando pela identidade e do grupo de Lie (ou seja,com velocidade Xe) em t = 1. Como mudar a escala do parametro muda correspondentemente a escala dovetor tangente, temos

exp (tXe) = φtX (1, e) = φX (t, e) .

Pode-se provar queφX (t, g) = g exp (tXe) = Rexp(tXe) (g) = Lg (exp (tXe)) .

Alem disso,d (exp)0 = id,

de modo que exp e um difeomorfismo sobre sua imagem em uma vizinhanca da origem de g.Agora, para cada Xe ∈ g considere que para cada p ∈M temos uma curva em Difeo (M) definida por

γp (t) = p · exp (tXe) .

Denote o campo induzido pelo vetor Xe e pela aplicacao exponencial por

Xp = γ′p (0) .

Como T (M) e uma algebra de Lie atraves do colchete de Lie de campos, temos portanto uma aplicacao entrealgebras de Lie

φ∗ : g −→ T (M)

que, como veremos mais adiante, e um homomorfismo entre algebras de Lie.

18.8 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo a direita em uma variedade diferenciavel M . Para cadaXe ∈ g definimos o campo fundamental X ∈ T (M) da acao por

Xp =d

dt[p · exp (tXe)]

∣∣∣∣t=0

ou, equivalentemente, seφp : G −→ M

g 7→ p · gdenota a aplicacao orbita,

Xp = d (φp)e (Xe) .


O nome campo fundamental da acao vem do fato que ele permite visualizar a acao de G sobre a variedadeM : em cada ponto p de M ele da a direcao dos possıveis movimentos no ponto atraves da acao, permitindopor exemplo determinar a forma da orbita na vizinhanca de p. No caso de acoes a esquerda, a definicao esemelhante, mas com sinal contrario (para que o resultado da Proposicao 18.12 valha; veja comentario 3.4.5em [Hamilton], p. 145):

18.9 Definicao. Seja G um grupo de Lie agindo a esquerda em uma variedade diferenciavel M . Para cadaXe ∈ g definimos o campo fundamental X ∈ T (M) por

Xp =d

dt[exp (−tXe) · p]

∣∣∣∣t=0

ou, equivalentemente, seφ′p : G −→ M

g 7→ g−1 · p

denota a aplicacao orbita inversa,Xp = d (φp)e (Xe) .

18.10 Lema. Dado Xe ∈ g, seja X a extensao invariante a esquerda de Xe. Entao

Xφp(g) = d (φp)g (Xg)

para todo g ∈ G.

Prova: Como X e invariante a esquerda, temos pela regra da cadeia

d (φp)g (Xg) = d (φp)g d (Lg)eXe

= d (φp)g d (Lg)ed

dtexp (tXe)

∣∣∣∣t=0

=d

dt[φp Lg exp (tXe)]

∣∣∣∣t=0

=d

dt[p · (g exp (tXe))]

∣∣∣∣t=0

=d

dt[(p · g) · exp (tXe)]

∣∣∣∣t=0

= Xp·g

= Xφp(g).

18.11 Lema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. SejamX,Y ∈ T (M) e X ′, Y ′ ∈ T (N) campos vetoriais tais que

X ′F (p) = dFp (Xp) ,

Y ′F (p) = dFp (Yp) .

Entao[X ′, Y ′]F (p) = dFp [X,Y ]p .


Prova: Para todo f ∈ C∞ (M) temos, pela Proposicao 5.4,

[X ′, Y ′]F (p) (f) = X ′F (p) (Y ′f)− Y ′F (p) (X ′f)

= dFp (Xp) (Y ′f)− dFp (Yp) (X ′f)

= Xp (Y ′f F )− Yp (X ′f F )

= Xp (Y (f F ))− Yp (X (f F ))

= [Xp (Y f)− Yp (Xf)] F= [X,Y ]p (f) F= dFp [X,Y ]p (f) .

18.12 Proposicao. A aplicacao linearφ∗ : g −→ T (M)

definida porφ∗ (Xe) = X

e um homomorfismo entre algebras de Lie, isto e,

[Xe, Ye] =[X,Y

].

Em particular, o conjunto de campos fundamentais e uma subalgebra de Lie de T (M).

Prova: Provamos para acoes a direita, ja que a demonstracao do resultado para acoes a direita e analogo.Por definicao, se X,Y sao as extensoes invariantes a esquerda de Xe, Ye, temos

[Xe, Ye] = [X,Y ]e ,

de modo que[Xe, Ye]p = d (φp)e [X,Y ]e .

Como φp (e) = e temos [X,Y

]e

=[X,Y

]φp(e)

,

e pelo Lema 18.11 basta provar que

Xφp(g) = d (φp)g (Xg) ,

Y φp(g) = d (φp)g (Yg) .

para todo g ∈ G. Mas isso segue do Lema 18.10.

18.13 Proposicao. Se a acao e livre, entao a aplicacao linear

φ∗ : g −→ T (M)

e injetiva.

Prova: Veja [Hamilton], Proposition 3.4.3, p. 144.

18.14 Proposicao. Se P e um G-fibrado principal, entao considerando a acao a direita de G sobre P aaplicacao

φ∗ : g −→ V Pz

e um isomorfismo linear.Consequentemente, o fibrado vertical V P e um fibrado vetorial trivial, com trivializacao global dada por

P × g −→ V P(p,Xe) 7→ Xp.


Prova: Como a acao de G sobre P e sobre as fibras do fibrado, conforme definida no capıtulo anterior, aaplicacao orbita

φz : G −→ Pp ⊂ P

tem imagem na fibra π−1 (p) a que z pertence, logo Xp = d (φp)e (Xe) ∈ T (Pp)z = V Pz.Como a acao de G sobre as fibras de P e livre, φ∗ e injetiva; como dim g = dimV Pz, φ∗ e um isomorfismo.

18.15 Proposicao. O fibrado vertical de um fibrado principal e invariante a direita, isto e,

(rg)∗ (V Ez) = V Ez·g.

Prova: Segue imediatamente da definicao, ja que a acao a direita de G em P e sobre as fibras de P . Embora campos vetoriais fundamentais sejam definidos usando a acao do grupo, em geral eles nao sao

invariantes sob a acao. Para ver isso, lembre-se que se P × G −→ P e uma acao a direita na variedade P ,entao a translacao a direita e a aplicacao diferenciavel

rg : P −→ Pz 7→ z · g

e que se G× P −→ P e uma acao a esquerda, entao a translacao a esquerda e a aplicacao diferenciavel

lg : P −→ Pz 7→ g · z

Recorde tambem que a aplicacao conjugacao e o difeomorfismo

Cg = Lg Rg−1 : P −→ Ph 7→ ghg−1

e que a aplicacao adjunta em g e o isomorfismo

Adg = d (Cg)e : g −→ g,

enquanto que a representacao adjunta do grupo de Lie G e o homomorfismo de grupos

Ad : G −→ GL (g)g 7→ Adg .

18.16 Proposicao. Seja G um grupo de Lie agindo em uma variedade diferenciavel P .Se G age a direita, entao

(rg)∗(X)

= Adg−1 Xe.

Se G age a esquerda, entao(lg)∗

(X)

= AdgXe.

Em particular, para uma acao a esquerda [direita], a translacao a esquerda [direita] de um campo fundamentale um campo fundamental.


Prova: Provaremos para acoes a direita. Temos, pela regra da cadeia,[(rg)∗

(X)]p

= d (rg)p·g−1 Xp·g−1

= d (rg)p·g−1

d

dtp · g−1 exp (tXe)

∣∣∣∣t=0

=d

dt

(rg φp

(g−1 exp (tXe)

))∣∣∣∣t=0

=d

dt

(φp(g−1 exp (tXe) g

))∣∣∣∣t=0

=d

dt

(φp(Cg−1 (exp (tXe))

))∣∣∣∣t=0

= d (φp)ed

dtCg−1 (exp (tXe))

∣∣∣∣t=0

= d (φp)e d(Cg−1

)e

d

dt(exp (tXe))

∣∣∣∣t=0

= d (φp)e Adg−1 Xe.

18.4 Conexao de Ehresmann

18.17 Definicao. Seja P um G-fibrado principal sobre M . Uma conexao de Ehresmann em P e umadistribuicao HP de espacos tangentes horizontais que e invariante a direita, isto e,

(rg)∗ (HPz) = HPz·g.

A distribuicao HP e tambem chamada o fibrado horizontal tangente dado pela conexao.

Assim,TP = V P ⊕HP,

e todo vetor tangente v ∈ TPz se escreve de maneira unica como a soma

v = vV + vH

para vV ∈ V Pz e vH ∈ HPz. Quando M e uma variedade metrica e TM tem a metrica induzida, temos

T (TM) = TM ⊕ TM⊥

e o fibrado horizontal TM⊥ e o fibrado normal, canonicamente escolhido atraves da metrica (pois paracada fibra TMp escolhemos o complementar ortogonal como o espaco tangente horizontal). A invariancia adireita de uma distribuicao de espacos horizontais que consiste uma conexao de Ehresman significa que aolongo de uma fibra Pp os espacos horizontais sao mutuamente paralelos com respeito a translacao a direita aolongo da fibra. Ao longo de uma mesma fibra, todos os subespacos horizontais podem ser conectados um como outro atraves da acao do grupo G, o que ja provamos ser verdade para os subespacos verticais (Corolario18.15). Em particular, todos os espacos horizontais HPz ao longo de uma fibra Pp sao determinados fixandoum espaco horizontal HPz0 , ja que a acao de G e transitiva nas fibras de P .

Existe uma descricao equivalente da conexao de Ehresmann atraves de formas diferenciais vetoriais e aformulacao da teoria de 1-forma conexoes de fibrados principais e conceptualmente mais simples e mais facilde lidar do que a de 1-forma conexoes de fibrados vetoriais (a ligacao entre as duas e feita atraves do conceitode fibrados associados a ser visto no proximo capıtulo).


Essencialmente, quando existe uma decomposicao

T = H ⊕ V

de um espaco vetorial T de dimensao k na soma direta de um subespaco vetorial H de dimensao k − me um subespaco vetorial V de dimensao m, podemos definir uma forma vetorial sobrejetiva A : T −→ Ztomando valores em um espaco vetorial Z de dimensao m cujo nucleo e H e que leva V isomorficamente emZ. Esta forma nao e unica, nem pode ser em geral canonicamente definida, a menos que haja uma estruturaadicional alem da linear. Por exemplo, dada uma base v1, . . . , vm de V e uma base vm+1, · · · , vk de H,se z1, . . . , zn−m e uma base de Z, definimos

A (vi) =

zi para i = 1, . . . ,m,0 para i = m+ 1, . . . , n,

e estendemos linearmente. A decomposicao em soma direta pode ser equivalentemente recuperada da formavetorial A, ou seja, dada uma forma vetorial sobrejetiva A : T −→ Z, se H = kerA e V e qualquer subespacode T levado isomorficamente em Z, temos pelo teorema do nucleo e da imagem que T = H⊕V ; novamente, Vnao e unicamente determinado por A e condicoes adicionais sao necessarias para identificar algum subespacoV que se tem em mente.

No caso de fibrados principais, em cada espaco tangente TPz = HPz + V Pz definimos uma formavetorial sobrejetiva Az tomando valores na algebra de Lie g cujo nucleo e o espaco horizontal HPz e levaV Pz isomorficamente em g. Para isso usamos os campos fundamentais, o que permitira obter uma formadiferenciavel vetorial, isto e, Az varia diferenciavelmente com z. Lembre-se que se P e um G-fibrado principal,alem da acao a esquerda do grupo estrutural G na fibra tıpica G, podemos definir uma acao a direita de Gem P , o que permite definir campos fundamentais no fibrado vertical V P ⊂ TP que associam a cada vetorXe ∈ g um unico campo X definido em toda a variedade P com Xz ∈ V Pz como provado na Proposicao18.14.

18.18 Definicao. Seja P um G-fibrado principal. Uma conexao (tambem chamada um campo de gauge)em P e uma 1-forma diferencial vetorial A ∈ Λ1 (P, g) tomando valores em g tal que

(i)A(X)

= Xe

para todo Xe ∈ g, onde X denota o campo fundamental induzido por Xe, definido pela acao a direita de Gem P .

(ii) [(rg)∗A

](Z) = A (drg (Z)) = Adg−1 (A(Z))

para todos g ∈ G e para todos Z ∈ T (P ).

Portanto, para cada z ∈ P , Az e uma aplicacao linear sobrejetiva (pela condicao (i))

Az : TPz −→ g

satisfazendo Az(Xz

)= Xe; como dimV Pz = dim g, A leva V Pz isomorficamente sobre g, de modo que pelo

teorema do nucleo e da imagemTPz = V Pz + kerAz.

Note que como Adg−1 : g −→ g e um isomorfismo linear, Adg−1 A ∈ Λ1 (P, g) tambem.

18.19 Teorema (Correspondencia entre Conexoes de Ehresmann e a Forma Conexao ). Seja P um G-fibradoprincipal.

(i) Se HP e uma conexao de Ehresmann, de modo que todo campo vetorial Z ∈ Γ (TP ) se escreve naforma Z = X + Y para algum X ∈ g e Y ∈ Γ (HP ), entao a formula

A(X + Y

)= X


define uma forma conexao em Λ1 (P, g).(ii) Reciprocamente, se A ∈ Λ1 (P, g) e uma conexao, entao

HPz = kerAz

define uma conexao de Ehresmann HP em P .

Prova: (i) Claramente, a condicao A(X)

= X da forma conexao e satisfeita (com HP = kerA). Paraverificar a segunda condicao, note que da definicao de conexao de Ehresmann segue que se Y e horizontal,entao (rg)∗ (Y ) tambem e, de modo que

A((rg)∗ Y

)= 0.

Daı, [(rg)∗A

]z

(Zz) =[(rg)∗A

]z

(X + Y

)z

= Arg(z)

[(rg)∗

(X + Y

)]rg(z)

(definicao de pushforward)

= Az·g[(rg)∗

(X)]z·g +Az·g

[(rg)∗ (Y )

]z·g

= Az·g

[Adg−1 X

z·g

](Proposicao 18.16)

= Adg−1 X

= Adg−1

[Az(Xz + Yz

)]= Adg−1 [Ap (Zz)] .

(ii) Primeiro verificamos que HP e um subfibrado de TP . Seja

Xe,1, . . . , Xe,m

uma base para a algebra de Lie g, de modo que podemos escrever

A =

m∑i=1

Xe,iAi

para algumas 1-formas diferenciais reais Ai ∈ Λ1 (P ), onde m = dim g = dimG. Como

A(X)

= Xe

para todo Xe ∈ g, em particularA(Xi

)= Xe,i,

dondeAi(Xj

)= δij .

Logo, as 1-formas Ai sao linearmente independentes em cada ponto z ∈ P . Seja g uma metrica riemannianana variedade P e Zi os campos vetoriais g-duais as formas Ai, isto e,

Ai (V ) = 〈Zj , V 〉 .

Como os campos Zi sao linearmente independentes, eles geram um subfibrado ξ de TP de posto m. Segueque HP e o complementar ortogonal de ξ em TP e portanto um subfibrado.

Para verificar que HP e um fibrado horizontal, observe que, como a 1-forma vetorial Ap e sobrejetivasobre g, segue do teorema do nucleo e da imagem que

dim kerAz = dimTPz − dim g

= dimTPz − dimV Pz,


de modo queTPz = V Pz ⊕HPz.

Finalmente, a invariancia a direita de HP segue do fato que para todo Y ∈ T (HP ) temos

Az·g[(rg)∗ Y

]z·g = Arg(z)

[(rg)∗ Y

]rg(z)

=[(rg)∗A

]z

(Yz) (definicao de pushforward)

= Adg−1 [Az(Yz)] (invariancia a direita de A)

= 0,

de modo que (rg)∗ Y ∈ HPz·g.

18.5 Curvatura

18.5.1 Definicao

18.20 Definicao. Seja P um G-fibrado principal com conexao A ∈ Λ1 (P, g) e seja HP o correspondentefibrado horizontal, de modo que TP = V P ⊕HP . Denote por

πH : TP −→ HP

a projecao. A curvatura da conexao A e a 2-forma diferencial vetorial F ∈ Λ2 (P, g) tomando valores em gdefinida por

F (X,Y ) = dA (πH (X) , πH (Y ))

para todos X,Y ∈ T (P ).

Como a derivada covariante em superfıcies em Rn, que e uma projecao no complementar ortogonal dosubespaco tangente a superfıcie.

18.5.2 Equacao de Estrutura

Lembramos o produto exterior para formas vetoriais ω,η ∈ Λ1 (P, g) com valores em uma algebra de Lie daDefinicao 15.7, que denotamos

ω [∧]η.

Lembramos tambem que (usado na demonstracao da Proposicao 15.8)

ω [∧]v (X,Y ) = [ω (X) ,η (Y )]− [ω (Y ) ,η (X)] .

donde (Proposicao 15.8)ω [∧]ω (X,Y ) = 2 [ω (X) ,ω (Y )] .

18.21 Lema. Se X um campo fundamental e Y um campo horizontal, entao[X,Y

]e um campo horizontal.

Prova: O fluxo de X e dado por ϕt = rexp(tXe). Isso implica que

[X,Y

]z

= (LXY )z

= limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]z− Yz

t∈ HPz,

pois Yz·exp(tXe) ∈ HPz·exp(tXe) e (ϕ−t)∗ preserva o fibrado tangente horizontal.

18.22 Proposicao (Equacao de Estrutura). A curvatura F de uma conexao A satisfaz

F = dA+1

2A [∧]A.


Prova: Verificamos a formula inserindo X,Y em ambos os lados da equacao, distinguindo tres casos. Noteque

1

2A [∧]A (X,Y ) =

1

22 [A (X) , A (Y )] = [A (X) , A (Y )] .

1. X,Y sao vetores verticais.Entao

πH (X) = πH (Y ) = 0,

eF (X,Y ) = dA (πH (X) , πH (Y )) = 0.

Por outro lado, como X,Y sao verticais, temos

X = V ,

Y = W,

para alguns vetores V,W ∈ g, de modo que

[A (X) , A (Y )] = [V,W ] .

E

dA (X,Y ) = LX (A (Y ))− LY (A (X))−A ([X,Y ])

= LX (W )− LY (V )− [V,W ]

= − [V,W ] ,

pois V,W sao aplicacoes constantes de P para g. Portanto

dA (X,Y ) +1

2A [∧]A (X,Y ) = [V,W ]− [V,W ] = 0.

2. X,Y sao vetores horizontais.Neste caso,

A (X) = A (Y ) = 0

de modo queA [∧]A (X,Y ) = 0

eF (X,Y ) = dA (πH (X) , πH (Y )) = dA (X,Y ) .

3. X e um vetor vertical e Y e um vetor horizontal.Temos

F (X,Y ) = dA (πH (X) , πH (Y )) = dA (0, Y ) = 0.

eX = V

para algum vetor V ∈ g, de modo que

[A (X) , A (Y )] = [V, 0] = 0

e

dA (X,Y ) = LX (A (Y ))− LY (A (X))−A ([X,Y ])

= LX (0)− LY (V )−A[V , Y

]= 0,

porque[V , Y

]e horizontal, pelo lema.


18.5.3 Identidade de Bianchi

18.23 Proposicao (Identidade de Bianchi). Vale

dF = 0,

em HP , isto e,dF (X,Y, Z) = 0

se X,Y, Z sao campos horizontais.

Prova: Note que como F e uma 2-forma, dF e uma 3-forma. Temos em geral

dω (X,Y, Z) = LX (ω (Y,Z)) + LY (ω (Z,X)) + LZ (ω (X,Y ))

− ω ([X,Y ] , Z)− ω ([Y, Z] , X)− ω ([Z,X] , Y ) .

Pela equacao de estrutura,

dF = d2A+1

2d (A [∧]A)

=1

2d (A [∧]A) .

Tomamos ω = A [∧]A. Se X,Y, Z sao horizontais, o resultado segue como na demonstracao da equacao daestrutura.

18.6 Gauges Locais e Globais

18.6.1 Forma de Estrutura

18.24 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A forma de estrutura (tambem conhecida como formacanonica ou forma de Maurer-Cartan) de G e a forma vetorial µ ∈ Λ1 (G, g) tomando valores em g definidapor

µg = d(Lg−1

)g.

Ou seja, como Lg−1 (g) = e, temos

d(Lg−1

)g

: TGg −→ TGe = g

e µg (v) ∈ g para todo v ∈ TGg.

18.25 Proposicao. Sejam G um grupo de Lie e X ∈ T (G) um campo invariante a esquerda. Entao

µg (Xg) = Xe.

Prova: Por definicao,Xg = d (Lg)eXe,

logo

Xe =[d (Lg)e

]−1Xg.

DeLg−1 Lg = idG,


segue qued(Lg−1

)Lg(e)

d (Lg)e = idTGe = idg,

ou seja, [d (Lg)e

]−1= d

(Lg−1

)Lg(e)

= d(Lg−1

)g

= µg.

A forma estrutura tem as seguintes propriedades de invariancia com respeito ao pullback atraves das

translacoes a esquerda e a direita:

18.26 Proposicao. Vale

L∗g (µ) = µ,

R∗g (µ) = Adg1 µ,

para todo g ∈ G.

Prova: Temos [L∗g (µ)

]h

(v) = µLg(h)

[d (Lg)h (v)

]= µgh

[d (Lg)h (v)

]= d

(Lh−1g−1

)Lg(h)

[d (Lg)h (v)

]= d

(Lh−1g−1 Lg

)h

(v)

= d (Lh−1)h (v)

= µh (v)

e [R∗g (µ)

]h

(v) = µRg(h)

[d (Rg)h (v)

]= µhg

[d (Rg)h (v)

]= d

(Lg−1h−1

)Rg(h)

[d (Rg)h (v)

]= d

(Lg−1h−1 Rg

)h

(v)

= d(Cg−1 Lh−1

)h

(v)

= d(Cg−1

)e

[d (Lh−1)h (v)]

= Adg1 µh (v) ,

poisLg−1h−1 Rg (k) = g−1h−1kg = Cg−1 Lh−1 (k) .

A derivada de uma acao pode ser dada em funcao da forma estrutura:

18.27 Proposicao (Derivada de uma Acao). Seja G um grupo de Lie agindo diferenciavelmente a direitaem uma variedade M atraves da acao

φ : M ×G −→M

e seja φp a aplicacao orbita φp (g) = p · g. Entao

dφ(p,g) (Xp, Yg) = d (rg)p (Xp) + d (φp)g (Yg)

= d (rg)p (Xp) + µg (Yg)p·g,

onde (Xp, Yg) ∈ TMp ⊕ TGg ∼= T (M ×G)(p,g).


Prova: Sejam α : I −→M e β : I −→ G curvas diferenciaveis tais que

α (0) = p, α′ (0) = Xp,

β (0) = g, β′ (0) = Yg,

Entao

dφ(p,g) (Xp, Yg) = dφ(p,g) (Xp, 0) + dφ(p,g) (0, Yg)

= dφ(p,g) (α′ (0) , 0) + dφ(p,g) (0, β′ (0))

= d (rg)p (α′ (0)) + d (φp)g (β′ (0))

= d (rg)p (Xp) + d (φp)g (Yg) .

Seja Y a extensao invariante a esquerda de Yg. Entao, pela Proposicao 18.25,

Ye = µg (Yg)

Pelo Lema 18.10,d (φp)g (Yg) = Y φp(g) = Y p·g

donde segue o resultado.

18.6.2 Gauges Locais e Globais de um Fibrado Principal

18.28 Definicao. Seja P um fibrado principal sobre M . Uma secao global σ : M −→ P e chamada umgauge global e uma secao local S : U −→ P e chamada um gauge local.

18.29 Proposicao. Seja P um G-fibrado principal sobre M e S : U −→ P um gauge local. Entao

ψ : U ×G −→ P |U

definido porψ (p, g) = S (p) · g

e um difeomorfismo equivariante.Em particular, se S : M −→ P e um gauge global, entao P e o fibrado trivial M ×G.

Prova: A aplicacao e diferenciavel porque S e diferenciavel e a acao de G sobre P e diferenciavel. Ela ebijetiva porque a acao de G sobre P e transitiva nas fibras.

Para provar que ψ e um difeomorfismo, basta mostrar que ψ e um difeomorfismo local. Para isso, como

dimP |U = dimP = dimM + dimG,

pelo Teorema da Aplicacao Inversa e suficiente provar que dψ (z, g) e injetiva em cada ponto (z, g) ∈ U ×G.A derivada

dψ(z,g) : TMp × TGg −→ TPS(p)·g

e dada pordψ(z,g) (vp, wg) = d (rg S)p (vp) + µG (wg)S(p)·g.

Veja o resto da demonstracao em [Hamilton], Lemma 4.2.7, p. 210 (necessita do conceito de campos vetoriaisfundamentais, que veremos no proximo capıtulo e da forma de Maurer-Cartan). Assim, a escolha de um gauge local corresponde a escolha de um sistema de coordenadas de carta locais paraum fibrado principal. Em Fısica, isso leva naturalmente a ideia de que as teorias devem ser independentesda escolha de gauges (assim como em Teoria de Relatividade a fısica deve ser independente da escolha deum sistema de coordenadas no espacotempo, isto e, na variedade base M).


18.7 Transporte Paralelo

Atraves da conexao podemos definir o transporte paralelo em fibrados principais. A direcao de transporteparalelo e dada pelos espacos tangentes horizontais.

18.30 Definicao. Seja Pπ−→ M um fibrado principal dotado de uma conexao de Ehresmann. Dada uma

curva diferenciavel γ : I −→M , o levantamento horizontal de γ e a curva γ : I −→ P tal que π γH = γe cujos vetores velocidade sao horizontais, isto e, γ′ (t) ∈ HPγ(t) para todo t ∈ I.

18.31 Teorema (Existencia e Unicidade de Levantamentos Horizontais). Seja Pπ−→M um fibrado

principal dotado de uma conexao de Ehresmann. Dada uma curva diferenciavel γ : [a, b] −→ M comγ (a) = p , para cada z ∈ π−1 (p) existe um unico levantamento horizontal γ de γ tal que γ (a) = z .

Prova: Como P e localmente trivial, existe um levantamento α : [a, b] −→ P (construcao analoga a delevantamentos em espacos de recobrimento). Um levantamento γ de γ deve ser da forma

γ (t) = γ (t) · g (t)

para alguma curva g (t) em G (isto e, dada pela acao ponto a ponto de g em γ) com g (0) = e.Encontraremos g como a solucao de uma equacao diferencial. Se A e a forma conexao, a curva γ ser

horizontal e equivalente aA (γ′ (t)) = 0

para todo t. Pela Proposicao 18.27,

γ′ (t) = dφ(γ(t),g(t)) (γ′ (t) , g′ (t))

= d(rg(t)

)γ(t)

(γ′ (t)) + µg (g′ (t))γ(t).

Daı, como A e uma conexao e

Adg(t)−1 = d(Cg(t)−1

)e

= d(Lg(t)−1

)gd(Rg(t)

)e

segue que

A (γ′ (t)) = Adg(t)−1 A(γ′ (t)) + µg (g′ (t))

= d(Lg(t)−1

)g

[d(Rg(t)

)e

(A(γ′ (t))) + g′ (t)].

Concluımos que g (t) tem que ser a solucao unica da equacao diferencial

g′ (t) = −d(Rg(t)

)e

(A(γ′ (t)))

com condicao inicial g (0) = e.

18.32 Definicao. Seja Pπ−→ M um fibrado principal dotado de uma conexao de Ehresmann. Dada uma

curva diferenciavel γ : [a, b] −→M , com γ (a) = p, γ (b) = q o transporte paralelo

T = Tγ : Pp −→ Pq

no fibrado principal ao longo de γ e definido por

T (z) = γz (b)

onde γ e o levantamento horizontal de γ comecando em z.

18.8 Derivada Exterior Covariante

Capıtulo 19

Fibrados Associados e Fibrados deReferenciais

Como mencionado antes, o nome fibrado principal se deve ao fato que todo os G-fibrados podem ser obtidosa partir de um G-fibrado principal atraves da construcao de um fibrado associado e, reciprocamente, fibradosprincipais podem ser obtidos de fibrados vetoriais atraves da construcao do fibrado de referenciais. Nestecapıtulo veremos estes conceitos em detalhes.

19.1 Fibrados Associados

Seja (P, π,M) um G-fibrado principal e F uma variedade em que G age. Considere a variedade produtoP × F e defina sobre ela uma acao de G

G× (P × F ) −→ P × F

por(p, q) · g =

(g · p, g−1 · q

).

Denote por [p, g] a classe de equivalencia (isto e, a orbita) de um par (p, g), por

P ×G F

o espaco das orbitas desta acao e porρ : P ×G F −→ P × F

a projecao canonica, isto e, ρ (p, q) = [p, q]. Definindo

π′ ([p, q]) = π (p) ,

temos o seguinte diagram comutativo:

19.1 Teorema (Construcao do Fibrado Associado). Sob as condicoes anteriores, (P ×G F, π′,M) eum G-fibrado sobre M com fibra tıpica F .

Prova: Veja [Forger-Antoneli], Teorema 2.2, p. 113.

19.2 Definicao. O fibrado (P ×G F, π′,M) e chamado o fibrado associado ao fibrado principal P corres-pondente a acao dada de G sobre a fibra F .

19.3 Proposicao. Qualquer G-fibrado sobre M e isomorfo a um fibrado associado a um fibrado principal.

Prova: Veja [Forger-Antoneli], discussao no inıcio da p. 110.

283


19.2 Fibrados de Referenciais

Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n e para cada ponto p ∈M considere o conjunto

FMp = bases de TMp ,

ou seja, um elemento de FMp e uma base B = v1, . . . , vn de TMp. A uniao disjunta

FM =⊔p∈M

FMp

sera o espaco total de um fibrado que definiremos a seguir. Denotaremos um elemento de FMp por

[e1, . . . , em]p

Isomorfismos lineares levam bases em bases. Como mudancas de base correspondem a matrizes invertıveis,uma acao natural a direita do grupo linear GLn (R) sobre as fibras de FM

FM ×GLn (R) −→ FM

e dada por[e1, . . . , em]p ·A = [e′1, . . . , e

′n]p

ondee′i = Aijei.

19.4 Proposicao. FMπ−→M com a projecao natural π : [e1, . . . , em]p 7→ p e um GLn (R)-fibrado principal.

Prova:Demonstracao 1: Seja (Uα, ϕα) um atlas para M . Definimos funcoes de transicao

gαβ : Uαβ −→ GLn (R)

por

(gαβ)p = d (ϕα)p d(ϕ−1β

)ϕβ(p)

.

As condicoes de cociclo sao satisfeitas. Pela Proposicao 17.6, segue que FM e um fibrado com fibra tıpicaGLn (R).

Demonstracao 2: Uma outra maneira de provar este resultado e construir um atlas de fibrado diretamente.A cada carta da variedade (Uα, ϕα) podemos associar a secao local

(σα)p =[∂1|p , . . . , ∂n|p

]e definir a inversa de uma carta de fibrado

ψ−1α : Uα ×GLn (R) −→ π−1 (Uα)

porψ−1α (p,A) = (σα)p ·A,

de modo que as mudancas de coordenadas de cartas do fibrado

ψα ψ−1β : Uαβ ×GLn (R) −→ Uαβ ×GLn (R)

sao dadas por (ψα ψ−1

β

)(p,A) =

(p, dψβ(p)

(ψα ψ−1

β

)A)

e satisfazem as condicoes do Teorema 13.6, portanto FM e um GLn (R)-fibrado (apesar da demonstracaola ser para fibrados vetoriais, ela pode ser imediatamente adaptada para servir tambem para fibrados dife-renciaveis em geral).


19.5 Definicao. O fibrado FM e chamado o fibrado de referenciais de M .

O fibrado de referenciais e o fibrado onde o referencial movel de Cartan se move. Note que a fibra tıpicaGLn (R) do fibrado de referenciais tem dimensao n e portanto o espaco total FM tem dimensao n+ n2.

Se M e uma variedade metrica, usando apenas referenciais ortonormais, obtemos um fibrado chamadofibrado de referenciais ortonormais FOp,qM de M ; se M for alem disso orientada, usando apenasreferenciais ortonormais positivamente orientados, obtemos o fibrado de referenciais ortonormais ori-entados FSOp,qM de M .

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