Notas de Aula

Introdução àsEquações Diferenciais Parciais

Rodney Josué Biezuner 1

Departamento de MatemáticaInstituto de Ciências Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula da disciplina Introdução às Equações Diferenciais Parciais

dos Cursos de Bacharelado em Matemática e Matemática Computacional,

lecionada pelo autor durante três semestres entre 2005 e 2007.

12 de outubro de 2007

1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.

Sumário

0 Introdução 50.1 Condução do Calor em uma Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.1.1 Modelagem F́ısica e Matemática do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.1.3 Condição Inicial e Condição de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.1.4 Solução do Modelo Matemático: O Método de Separação de Variáveis e Séries de Fourier 110.1.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.2 Leis de Conservação e Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.2.1 Lei de Conservação Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.2.2 Lei de Conservação em Várias Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.2.3 Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180.2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 Séries de Fourier 201.1 Propriedades das Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.2 Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.3 Produto Interno no Espaço das Funções Quadrado-Integráveis . . . . . . . . . . . . . . 231.1.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Existência da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.2 Funções Cont́ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.3 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.4 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.5 Séries de Fourier de Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.6 Extensões Periódicas Pares e Ímpares de Funções Definidas em Intervalos . . . . . . . 381.3.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4 Convergência da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.1 Convergência Puntual da Série de Fourier: Demonstração do Teorema de Fourier . . . 431.4.2 Diferenciação e Integração Termo a Termo da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . 481.4.3 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.4.4 Convergência Uniforme da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.4.5 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.4.6 Sistemas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.4.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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2 Equação do Calor Unidimensional 632.1 Existência, Unicidade e Estabilidade da Solução para o Problema de Dirichlet . . . . . . . . . 63

2.1.1 Existência de Solução para o Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.2 Prinćıpio do Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.3 Unicidade e Estabilidade de Soluções para o Problema de Dirichlet Geral . . . . . . . 71

2.2 Problema de Dirichlet Não Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3 Problema de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4 Problema de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5 Unicidade de Solução para os Problemas de Neumann e Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6 Problemas Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.1 Equação do calor não-homogênea com fonte independente do tempo . . . . . . . . . . 812.6.2 Equação do calor não-homogênea com fonte dependente do tempo . . . . . . . . . . . 832.6.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7 Alguns problemas espećıficos de condução do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.1 Problema da barra com convecção de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.2 Condições de fronteira de Robin complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.8 Solução da Equação do Calor em R – Núcleo do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8.1 Solução do Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.8.2 O Prinćıpio do Máximo em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Equação da Onda Unidimensional 973.1 Modelo Matemático da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1.1 Vibrações Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.2 Condições Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.1.3 Solução da Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.1.4 Outros Tipos de Vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2 Solução pelo Método de Separação de Variáveis e Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3 A Solução de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3.1 Solução Geral da Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3.2 Solução do Problema de Dirichlet para a Equação da Onda pelo Método de D’Alembert108

3.4 Solução da Equação da Onda em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4.1 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4.2 Domı́nio de Dependência e Cone de Influência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4.3 Fenômeno de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.5 Harmônicos, Energia da Corda e Unicidade de Solução para a Equação da Onda . . . . . . . 1133.5.1 Harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5.3 Unicidade de Solução para a Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.6 Apêndice: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4 Equações Diferenciais Parciais Bidimensionais 1204.1 Séries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.1.1 Definição e Cálculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.1.2 Funções de Duas Variáveis Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2 A Equação da Onda Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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4.2.2 Solução do Problema da Membrana Vibrante pelo Método de Separação de Variáveise Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.3 A Equação do Calor Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3.1 Dedução da Equação do Calor Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.3.2 Equação do Calor Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3.3 Solução do Problema da Condução do Calor na Chapa Retangular com Margens Man-

tidas à Temperatura Zero por Separação de Variáveis e Séries de Fourier . . . . . . . . 1294.3.4 Solução do Problema da Condução do Calor na Chapa Retangular Termicamente Iso-

lada por Separação de Variáveis e Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 A Equação de Laplace 1345.1 Solução da Equação de Laplace no Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2 O Prinćıpio do Máximo Fraco e a Unicidade de Solução para a Equação de Laplace . . . . . . 1385.3 Solução da Equação de Poisson no Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.3.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.4 A Equação de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.4.1 A Equação de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.4.2 Solução da Equação de Laplace no Disco pelo Método de Separação de Variáveis e

Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.4.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5 Funções Harmônicas e o Prinćıpio do Máximo Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.5.1 Identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.5.2 Funções Harmônicas e as Propriedades do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.5.3 Prinćıpio do Máximo Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.5.4 Desigualdade de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.6 Solução da Equação de Laplace através de Funções de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.6.1 Solução Fundamental da Equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.6.2 Função de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.6.3 Propriedades da Função de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6.4 Solução da Equação de Laplace em Bolas – Fórmula Integral de Poisson . . . . . . . . 1565.6.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6 A Equação da Onda no Disco: Vibrações de uma Membrana Circular 1606.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibrações Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.2 Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2.1 Funções de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2.2 A Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2.4 Fórmulas de Recursão para as Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2.5 Funções de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2.6 Zeros das Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.3 Séries de Funções de Bessel e a Solução do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 1736.3.1 Ortogonalidade das Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.3.2 Séries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3.3 Solução do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 175

6.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibrações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

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7 Equação de Laplace em Domı́nios Tridimensionais Simétricos 1807.1 A Equação de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.1.1 A Equação de Laplace em Coordenadas Ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.1.2 Solução de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.1.3 Funções de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.1.4 Solução de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.2 A Equação de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.2.1 A Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.2.2 A Equação de Legendre e Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2.3 Séries de Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.2.4 Solução da Equação de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 189

8 Transformada de Fourier 1918.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.2.2 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.2.3 Transformada de Fourier da Função Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.2.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.3 O Método da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.3.1 A Equação do Calor para uma Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.3.2 A Equação da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.3.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Caṕıtulo 0

Introdução

Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação matemática envolvendo derivadas parciais. Umasolução para uma equação diferencial parcial é uma função cujas derivadas parciais satisfazem a equação.Dizemos que uma equação diferencial parcial tem ordem m quando a derivada parcial de ordem mais altatem ordem m.

A maioria das equações diferenciais parciais surgem de modelos f́ısicos. Uma outra classe importantesurge de problemas em geometria diferencial. Nestas notas, cada equação que estudarmos será precedidapela introdução de um modelo f́ısico. O modelo f́ısico, além de prover uma motivação para o estudo dedeterminada equação (por que estudar exatamente esta equação diferencial parcial, já que existem infinitasoutras possibilidades matemáticas?), sugere as propriedades matemáticas que as soluções desta equaçãodevem ter e, muitas vezes, métodos para resolvê-la ou até mesmo a expressão exata da solução.

Como exemplos de áreas que são altamente dependentes do estudo de EDPs, destacamos as seguintes:acústica, aerodinâmica, elasticidade, eletrodinâmica, dinâmica dos fluidos, geof́ısica (propagação de ondasśısmicas), transferência do calor, meteorologia, oceanografia, ótica, prospecção de petróleo, f́ısica do plasma,mecânica quântica, relatividade, circulação de fluidos dentro de organismos vivos e crescimento de tumores.

Nesta introdução veremos como muitas equações diferenciais parciais importantes surgem através de leisde conservação. Veremos antes um exemplo concreto: a equação do calor unidimensional, que é a formadiferencial da lei de conservação da energia térmica. Além disso, introduziremos um método de solução paraequações diferenciais parciais lineares: o método de separação de variáveis e o uso de séries de Fourier, cujateoria será desenvolvida a partir do primeiro caṕıtulo.

0.1 Condução do Calor em uma Barra

0.1.1 Modelagem F́ısica e Matemática do Problema

Considere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogêneo condutor de calor. Porbarra uniforme, entendemos que ela é geometricamente gerada pela translação de uma determinada figurageométrica plana na direção perpendicular ao seu plano (em outras palavras, um cilindro reto cuja base podeser qualquer figura geométrica, como por exemplo um disco (cilindro circular reto), uma elipse (cilindroeĺıptico reto), um triângulo (prisma reto), um retângulo (paraleleṕıpedo reto), ou qualquer outra figurageométrica plana). Em particular, a sua seção transversal é sempre igual a esta figura e portanto tem áreaconstante, que denotaremos por A. Suponha que a superf́ıcie lateral da barra esteja isolada termicamente,de modo a não permitir transferências de calor através dela com o ambiente. Transferências de calor, se éque acontecem, podem ocorrer apenas através das extremidades da barra.

A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento térmico lateral implicam queo fluxo de calor acontece somente na direção longitudinal (isto é, ao longo do comprimento da barra).

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Portanto, este é um problema de condução de calor unidimensional. Em outras palavras, as variáveis f́ısicassão constantes em cada seção transversal da barra, podendo variar apenas de uma seção para outra.

Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; logo a outraextremidade ocupa a posição x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada ponto da barravaria à medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra. Inicialmente,considere duas seções transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, delimitando uma fatia da barra.Através destas seções, calor flui (entra ou sai) para ou desta fatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto é, aquantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de área, por φ(x, t); no S.I., ofluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.

φ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempofluindo para a direita por unidade de área).

Se φ(x, t) < 0, o calor está fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia porunidade de tempo é dada pela diferença entre a quantidade de calor que entra pela seção transversal em xe a quantidade de calor que sai pela seção transversal em x + ∆x, isto é,

φ(x, t)A− φ(x + ∆x, t)A.É claro que calor pode sair da fatia pela seção transversal em x (se φ(x, t) < 0), assim como calor podeentrar na fatia pela seção transversal em x + ∆x (se φ(x + ∆x, t) < 0); se a diferença acima for negativa,então o resultado final é que calor sai da fatia.

Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada em funçãodas temperaturas nas seções transversais que delimitam a fatia através da Lei de Condução do Calor deFourier (esta lei foi empiricamente observada por Fourier):

Lei de Condução do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo materiale de mesma área igual a A, mantidas a temperaturas constantes respectivas T1 e T2. Se elas foremcolocadas paralelamente a uma distância d uma da outra, haverá passagem de calor da placa maisquente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra porunidade de tempo (ou seja, a taxa de transferência de calor, medida em Joules/s) é dada por

Φ = kA|T2 − T1|

d,

Rodney Josué Biezuner 7

onde k é uma constante espećıfica do material entre as placas, chamada condutividade térmica domaterial.

Denotemos

u(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.

As seções transversais da barra, localizadas em x e x + ∆x, fazem o papel das duas placasP1 e P2. Denoteas temperaturas nestas seções, no instante de tempo t, por T1 = u(x, t) e T2 = u(x + ∆x, t). Então, pela Leide Fourier, o fluxo de calor na direção positiva do eixo x que passa pela seção transversal localizada em x édado por (lembre-se que o fluxo de calor é definido como sendo a taxa de transferência de calor por unidadede área)

φ(x, t) = − lim∆x→0

ku(x + ∆x, t)− u(x, t)

∆x= −kux(x, t),

de modo que quando a temperatura cresce com x, ux é positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto φé negativo; se a temperatura decresce com x, ux é negativo e o calor flui para a direita, portanto φ é positivo.

Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posições x = a e x = b. Vamos calcular a quantidadetotal de calor Q que entra neste segmento no peŕıodo de tempo que vai de t0 até t1. Esta é a diferença entreo calor que entra na seção transversal que ocupa a posição x = a e o calor que sai pela seção transversal queocupa a posição x = b durante o peŕıodo de tempo considerado:

Q =∫ t1

t0

φ(a, t)Adt−∫ t1

t0

φ(b, t)Adt

=∫ t1

t0

kA[ux(b, t)− ux(a, t)] dt.

Mas, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever

ux(b, t)− ux(a, t) =∫ b

a

uxx(x, t) dx.

Logo, como k é constante (pois assumimos que a barra é feita de um único material homogêneo), temos

Q = kA∫ t1

t0

∫ ba

uxx(x, t) dxdt. (1)

Por outro lado, também é observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por umasubstância em um peŕıodo de tempo é diretamente proporcional à massa desta substância e à variação médiade sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:

Q = cm∆u.

A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substância e é chamada o calor espećıficoda substância; em outras palavras, o calor espećıfico nada mais é que a quantidade de calor necessária paraelevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substância; no S.I., o calor espećıfico temcomo unidades Joules/kgK. Embora o calor espećıfico de uma substância em geral varie com a temperaturaem que ela se encontra (isto é, c = c(u)), para diferenças de temperaturas não muito grandes o calor espećıficoé aproximadamente constante.

Aplicamos esta lei emṕırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posições x = a e x = b.A variação média da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 até t1 éobtida tomando-se a média das variações médias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja

∆u =1

b− a∫ b

a

[u(x, t1)− u(x, t0)] dx.

Rodney Josué Biezuner 8

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, segue que

∆u =1

b− a∫ b

a

[∫ t1t0

ut(x, t) dt]

dx.

Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento é dada por

Q = cm∆u =cm

b− a∫ b

a

∫ t1t0

ut(x, t) dt dx.

sendo m a massa deste segmento e c o calor espećıfico do material que constitui a barra. Por outro lado,escrevendo m = ρA(b − a), onde ρ é a densidade volumétrica da barra, e trocando a ordem dos limites deintegração, obtemos

Q = cρA∫ t1

t0

∫ ba

ut(x, t) dxdt. (2)

Igualando as duas expressões obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra nosegmento da barra entre x = a e x = b no peŕıodo de t0 até t1, obtemos a equação do calor em sua formaintegral:

cρ

∫ t1t0

∫ ba

ut(x, t) dxdt = k∫ t1

t0

∫ ba

uxx(x, t) dxdt.

Mas a, b, t0, t1 são arbitrários, logo os integrandos são necessariamente iguais e assim obtemos a equação docalor na sua forma diferencial

ut = Kuxx, (3)

onde K =k

cρé chamada a difusividade térmica do material. A equação (3) é chamada simplesmente

a equação do calor, e representa a lei de variação da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme comsuperf́ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar dotempo, um processo f́ısico conhecido como difusão. Outras quantidades f́ısicas também se difundem seguindoesta mesma equação diferencial parcial (em situações unidimensionais), como por exemplo a concentração desubstâncias qúımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equação (3) também é chamadamais geralmente de equação de difusão.

Observação: A forma diferencial da equação do calor também pode ser obtida mais diretamente. De fato,diferenciando a lei de Fourier

φ(x, t) = −kux(x, t)em relação a x obtemos

φx = −kuxx. (4)Por outro lado, vimos acima que

Q = −∫ t1

t0

[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt = cρA∫ b

a

∫ t1t0

ut(x, t) dt dx.

Agora, ao invés de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1),usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para escrevê-la na forma

∫ t1t0

[φ(b, t)− φ(a, t)]A dt =∫ t1

t0

[∫ ba

φx(x, t) dx

]Adt.

Rodney Josué Biezuner 9

Logo,

−∫ b

a

∫ t1t0

φx(x, t) dt dx = cρ∫ b

a

∫ t1t0

ut(x, t) dt dx.

Como a, b, t0, t1 são arbitrários, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equação

φx = −cρut. (5)Igualando as expressões (4) e (5) para φx, obtemos novamente a equação do calor.

0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equação do Calor

Pode acontecer que a condutividade térmica ao longo da barra não seja constante, mas dependa de x. Estasituação pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por várias barras, cada uma delasconstitúıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1),desta vez segue que

Q =∫ t1

t0

A[k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t)] dt,

e usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para escrever

k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t) =∫ b

a

[k(x)ux(x, t)]x dx,

de modo que

Q = A∫ t1

t0

∫ ba

[k(x)ux(x, t)]x dxdt.

Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espećıfico do material que constitui a barra varie com x, assimcomo a sua densidade linear (o que certamente ocorrerá na situação dada acima como exemplo). Logo,

Q = A∫ t1

t0

∫ ba

c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt

Portanto, nesta situação, a equação do calor que descreve a variação da temperatura da barra com o passardo tempo se torna

c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6)

Esta equação é chamada a equação do calor na forma divergente.Pode também ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regiões da barra, devida por exemplo a

reações qúımicas, nucleares ou aquecimento elétrico. Denotemos

q(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo.

À quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no peŕıodo de t0 até t1,devido ao fenômeno de condução do calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor geradainternamente no segmento durante este peŕıodo, antes de igualar à expressão obtida em (2) (isso nada maisé que a lei de conservação do calor, um caso particular da lei de conservação da energia). Pela definição deq(x, t), este calor gerado internamente é dado por

∫ t1t0

∫ ba

q(x, t)Adxdt.

Portanto, temos que∫ t1

t0

∫ ba

[kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ∫ t1

t0

∫ ba

ut(x, t) dxdt

Rodney Josué Biezuner 10

e dáı obtemos a equaçãout = Kuxx + q(x, t). (7)

É claro que nada impede que as duas situações acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equaçãocompleta que descreve o fenômeno da condução de calor na barra será

c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8)

0.1.3 Condição Inicial e Condição de Fronteira

A equação do calor (3) tem um número infinito de soluções. Por exemplo, qualquer função constanteu(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A,B, C são quaisquer constantes reais, satisfazem (3). Umproblema fisico real, no caso a distribuição de temperaturas em uma barra, deve ter uma solução única.Portanto, é necessário impor restrições adicionais sobre o problema, de modo que possamos obter umasolução única para a equação do calor.

Intuitivamente, parece óbvio que a distribuição de temperaturas na barra ao longo do tempo depende dadistribuição inicial de temperaturas, chamada a condição inicial do problema:

u(x, 0) = f(x).

Esta é a única condição inicial necessária. Matematicamente, esta necessidade é expressa pelo fato da equaçãodiferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em relação ao tempo de primeira ordem (como no caso deequações diferenciais ordinárias de primeira ordem, em que é necessário saber apenas uma condição inicial,o valor da função no instante inicial, para se conhecer a solução única da equação).

Além disso, a distribuição de temperaturas na barra ao longo do tempo também deve depender do quese passa nas extremidades da barra, que podem não estar isoladas termicamente e portanto podem permitira entrada ou sáıda de calor, influindo na distribuição de temperaturas na barra com o passar do tempo. Ascondições nas extremidades da barra são chamadas de condições de fronteira. Matematicamente, isso sedeve ao fato da equação diferencial parcial (3) depender também da variável x. Podemos imaginar váriostipos de condições de fronteira para o problema da barra:

1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes:

u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2.

2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com funções conhecidas:

u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t).

3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor através das extremidades é nulo e abarra está completamente isolada):

ux(0, t) = ux(L, t) = 0.

4. Fluxo de calor através das extremidades conhecido:

ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t).

5. Combinação de quaisquer duas das condições acima:

u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0.

Rodney Josué Biezuner 11

Com uma condição inicial e qualquer uma destas condições de fronteira o problema matemático estábem posto, admitindo uma única solução, conforme veremos em detalhes em um caṕıtulo posterior. Umacondição do tipo 1 ou 2, em que são dados valores para a solução da equação diferencial parcial na fronteira,é chamada uma condição de Dirichlet. Uma condição do tipo 3 ou 4, em que são dados valores para aderivada da solução da equação diferencial parcial na fronteira em relação à variável espacial, é chamadauma condição de Neumann. Uma condição mista, envolvendo tanto o valor da solução como o de suaderivada espacial na fronteira, exemplificada pela condição do tipo 5, é chamada uma condição de Robin.

Observação: O fato da equação do calor (3) ter uma derivada parcial em relação à variável x de segundaordem não tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condições de fronteira. Se fôssemos usar aanalogia com equações diferenciais ordinárias, seria por exemplo suficiente especificar u(0, t) e ux(0, t), maseste tipo de problema não tem solução em geral (é chamado sobredeterminado). O fato de precisarmos deduas condições de fronteira é uma simples conseqüência da fronteira de um segmento ser formada por doispontos (no caso, a fronteira do segmento [0, L] é formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmentetemos apenas uma condição de fronteira; o que ocorre é que, no caso de um segmento, a fronteira é desconexae esta condição de fronteira é mais facilmente expressa por duas sentenças. Este conceito ficará mais claroquando estudarmos equações diferenciais parciais em regiões do plano e do espaço.

Uma condição de fronteira de grande interesse prático ocorre quando a barra está em contato com umfluido em movimento, como ar ou água. Como exemplo desta situação, imagine uma barra quente em contatocom ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora, no conhecidoprocesso de convecção. Experimentos mostram que o fluxo do calor que deixa a barra é proporcional àdiferença de temperatura entre a barra e a temperatura exterior:

Kux(0, t) = H[u(0, t)− T ];T é a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H é chamada o coeficiente de transferência decalor ou coeficiente de convecção; a constante H depende do material que forma a barra e das propriedadesdo fluido (tais como sua velocidade). Esta é a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que estacondição de fronteira envolve uma combinação linear entre u e ux e é uma condição de Robin. Como pelalei de Fourier o fluxo de calor é dado por φ = −kux, temos que φ(0, t) = −kH[u(0, t)−T ], de modo que se abarra está mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T ), o fluxo é negativo, isto é, na direção negativado eixo x, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Porcausa disso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deveentão ser escrita na forma

Kux(L, t) = −H[u(L, t)− T ].

0.1.4 Solução do Modelo Matemático: O Método de Separação de Variáveis eSéries de Fourier

O modelo matemático que obtivemos, para a distribuição de temperaturas com o passar do tempo em umabarra cuja superf́ıcie lateral está isolada termicamente, é uma equação diferencial parcial com condição iniciale condição de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espećıfico em que as extremidades da barra estãomantidas à temperatura constante igual a 0 (correspondente ao primeiro problema de Dirichlet da subseçãoanterior):

ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L,u(0, t) = u(L, t) = 0. se t > 0.

(9)

Tentaremos resolver este problema pelo chamado método de separação de variáveis. No método deseparação de variáveis, supomos que a solução u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duasfunções de uma variável, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t:

u(x, t) = F (x)G(t). (10)

Rodney Josué Biezuner 12

Esta é apenas uma suposição, que pode ou não ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposiçãoestá errada, mas ainda assim ela nos ajudará a encontrar a solução correta para o problema). A vantagemde fazer esta suposição é que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema deencontrar a solução de uma equação diferencial parcial, que não sabemos como resolver, em um problema deencontrar a solução de uma equação diferencial ordinária, que sabemos resolver. De fato, substituindo (10)na equação do calor, obtemos

F (x)G′(t) = KF ′′(x)G(t)

dondeF ′′(x)F (x)

=1K

G′(t)G(t)

.

Note que o lado esquerdo desta equação depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenasde t. Isso só pode ser posśıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto é,

F ′′(x)F (x)

= σ e1K

G′(t)G(t)

= σ

onde σ ∈ R é uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equações diferenciais ordinárias:

• A equação diferencial de segunda ordem

F ′′(x)− σF (x) = 0 (11)

para 0 < x < L.

• A equação diferencial de primeira ordem

G′(t)− σKG(t) = 0 (12)

para t > 0.

Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equação mais complexa que (12), porqueas condições de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condições

F (0) = F (L) = 0. (13)

De fato, a condição de fronteira u(0, t) = 0 implica que F (0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vezimplica que F (0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma solução que nãonos interessa, exceto no caso raro em que a condição inicial seja também f ≡ 0); similarmente a condição defronteira u(L, t) = F (L)G(t) = 0 implica que F (L) = 0. Assim, apesar da equação (11) ser mais complexa,ela está sujeita a restrições, o que não ocorre com a equação (12): a condição (13) restringe as soluçõesde (11), o que ultimamente limitará os valores posśıveis de σ. Em prinćıpio, há três soluções posśıveis,dependendo do sinal de σ:

1. σ > 0 : Neste caso, a solução geral de (11) é da forma

F (x) = c1e√

σx + c2e−√

σx.

Logo, a condição (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{

c1 + c2 = 0c1e

√σL + c2e−

√σL = 0

.

Mas a única solução deste sistema é c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, solução quenão nos interessa (a não ser que a condição inicial fosse u(x, 0) ≡ 0).

Rodney Josué Biezuner 13

2. σ = 0 : A solução geral de (11) neste caso é da forma

F (x) = c1x + c2.

A condição (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{

c2 = 0c1L + c2 = 0

.

cuja única solução também é c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que não nos interessa.3. σ < 0 : Denotando λ =

√−σ, a solução geral de (11) neste último caso é da forma

F (x) = c1 cos λx + c2 sen λx.

A condição (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{

c1 = 0c2 sen λL = 0

.

Como não queremos c2 = 0, devemos ter sen λL = 0, o que implica λL = nπ, onde n ∈ N pode ser uminteiro positivo qualquer.

Portanto, para cada valor de n uma solução não nula para o problema (11), (13) é da forma

Fn(x) = sennπ

Lx, (14)

por este motivo chamada uma autofunção para o problema (11), (13) associada ao autovalor

−σ = λ2n =n2π2

L2. (15)

A equação (12) é imediatamente resolvida através de uma integração simples. A solução de (12) é daforma

G(t) = ceσKt,

onde c ∈ R é uma constante real. Como o valor de σ para que o problema (9) tenha soluções não nulas é odado em (15), segue que para cada valor de n temos uma solução relevante de (12) dada por (a menos daconstante)

Gn(x) = e−n2π2

L2Kt. (16)

Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma função

un(x, t) = e−n2π2

L2Kt sen

nπ

Lx

que é uma solução para a equação diferencial parcial do problema (9) satisfazendo às suas condições defronteira.

Por outro lado, precisamos de uma solução que também satisfaça à condição inicial u(x, 0) = f(x). Logo,as soluções que encontramos só funcionam se a função f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, sef(x) for um múltiplo escalar da função seno. Por exemplo,

se f(x) = 3 senπ

Lx, então (9) tem solução u(x, t) = 3u1;

se f(x) = 17 sen5πL

x, então (9) tem solução u(x, t) = 17u5.

Rodney Josué Biezuner 14

É óbvio que isso raramente ocorre.Na verdade, porém, ainda podemos obter soluções para o problema (9) a partir destas soluções se f(x)

for apenas uma combinação linear de senos. Por exemplo,

se f(x) = 3 senπ

Lx + 25 sen

9πL

x, então (9) tem solução u(x, t) = 3u1 + 25u9;

se f(x) = 4 sen2πL

x− 23

sen22πL

x +√

5 sen901π

Lx, então (9) tem solução u(x, t) = 4u2 − 23u22 +

√5u901.

Isso é verdade porque a equação do calor é uma equação linear, o que significa que combinações linearesde soluções da equação diferencial são também soluções da equação diferencial e, além disso, as condiçõesde fronteira de (9) são homogêneas, logo combinações lineares de soluções que satisfazem as condições defronteira continuam satisfazendo as condições de fronteira (veja o Exerćıcio 0.1). Assim, qualquer expressãoda forma (isto é, qualquer combinação linear de soluções)

u(x, t) =N∑

n=1

cnun(x, t)

é uma solução da equação do calor satisfazendo as condições de fronteira em (9). Em particular, se

f(x) =N∑

n=1

cn sennπ

Lx,

segue que

u(x, t) =N∑

n=1

cne−n2π2

L2Kt sen

nπ

Lx (17)

é uma solução do problema (9).Mas, na maioria dos casos, a temperatura inicial f não é uma combinação linear de senos. Então Fourier

(em 1807) teve a idéia de tomar “combinações lineares infinitas”, isto é, séries infinitas, assumindo que todafunção pode ser escrita como uma série infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemosescrever toda função f na forma

f(x) =∞∑

n=1

cn sennπ

Lx

para certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a série de Fourier de f , então ocandidato para solução do problema de valor inicial e de condição de fronteira (9) seria a função

u(x, t) =∞∑

n=1

cne−n2π2

L2Kt sen

nπ

Lx. (18)

Isso nos leva às seguintes indagações:

1. Será que toda função f(x) realmente pode ser escrita como uma série de Fourier?

2. Se a resposta à pergunta anterior for negativa, quais são as funções que possuem séries de Fourier?Será que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidadesignificativa das funções que surgem nos problemas práticos?

3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma série de Fourier, será que a série definida acima parau(x, t) converge para uma função diferenciável em t e duas vezes diferenciável em x que é a solução de(9)?

Rodney Josué Biezuner 15

Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as séries de Fourier. Faremos issono próximo caṕıtulo.

Observação: Note que nem o candidato à solução (18), e nem mesmo a solução (17), são produtos de duasfunções de uma variável, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas são na realidadesomas de produtos de funções de uma variável, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto asuposição inicial de que partimos no método de separação de variáveis é errada para a maioria das condiçõesiniciais, a não ser que elas sejam múltiplos de sen(nπx/L). Mas, usando a linearidade da equação do calor,pudemos usar as soluções obtidas através do método de separação de variáveis e a partir delas construir asolução para o problema geral. Este é um método freqüentemente usado em ciências exatas: simplificar umproblema complexo através de uma suposição que em geral não é válida, mas a partir da solução para oproblema simplificado, construir a solução correta para o problema complicado.

0.1.5 Exerćıcios

Exerćıcio 0.1. Mostre que a equação do calor é linear, isto é, se u1(x, t) e u2(x, t) são soluções da equaçãodiferencial parcial ut = Kuxx, então au1(x, t) + bu2(x, t) também é, quaisquer que sejam a, b ∈ R.Além disso, se elas satisfazem as condições de fronteira homogêneas u(0, t) = u(L, t) = 0, entãoau1(x, t) + bu2(x, t) também satisfaz.

Exerćıcio 0.2. Mostre que a equação mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x + q(x, t), também é umaequação linear.

Exerćıcio 0.3. Proceda como fizemos no texto e encontre um candidato à solução para o seguinte problemade valor inicial com condição de fronteira de Neumann homogênea:

ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L.

0.2 Leis de Conservação e Relações Constitutivas

0.2.1 Lei de Conservação Unidimensional

A dedução da equação do calor é um exemplo de uma situação bem mais geral. Muitas das equaçõesfundamentais que aparecem nas ciências naturais são obtidas através de leis de conservação.

Leis de conservação são essencialmente leis de balanceamento, expressando o fato de que alguma substânciaé balanceada. Aqui, o termo substância pode indicar uma substância realmente material, ou até mesmo umconceito abstrato, tal como energia ou uma população de animais. Por exemplo, a primeira lei da ter-modinâmica é a lei de conservação da energia: a variação de energia interna de um sistema é igual ao calortotal adicionado ao sistema mais o trabalho realizado sobre o sistema. Como outro exemplo, considere umfluido escoando em alguma região do espaço, consistindo de substâncias sofrendo reações qúımicas: paracada substância qúımica individual, a taxa de variação da quantidade total da substância na região é igualà taxa com que a substância flui para dentro da região, menos a taxa com que ela flui para fora da região,mais a taxa com que ela é criada, ou consumida, pelas reações qúımicas. Como último exemplo, a taxa devariação de uma dada população de animais em uma região é igual à taxa de nascimentos, menos a taxa demortes, mais a taxa de migração para dentro ou fora da região.

Matematicamente, leis de conservação traduzem-se em equações integrais, de onde podem ser deduzidasequações diferenciais, na maior parte dos casos. Estas equações descrevem como o processo evolui com otempo. Por este motivo, elas são também chamadas de equações de evolução. Vamos examinar primeiroo caso unidimensional.

Rodney Josué Biezuner 16

Seja u = u(x, t) a densidade ou concentração de alguma substância, por unidade de volume, que dependeapenas de uma variável espacial x ∈ R e do tempo t > 0. Novamente enfatizamos que a substância cujadensidade estamos medindo pode ser massa, momento, energia, população, ou qualquer outra coisa, materialou abstrata. Por exemplo, no caso da equação do calor, a temperatura u é uma medida da densidade deenergia térmica. De fato, se e(x, t) denota a densidade de energia térmica, isto é, a quantidade de energiatérmica por unidade de volume, então a densidade de energia térmica e a temperatura estão relacionadasatravés da equação

e(x, t) = c(x)ρ(x)u(x, t),

cujo significado é: a energia térmica por unidade de volume é igual à energia térmica por unidade de massapor unidade de temperatura (i.e., o calor espećıfico), vezes a temperatura, vezes a densidade volumétrica demassa.

Imaginamos que a substância está distribúıda em um tubo uniforme com seção transversal de áreaconstante A. Por hipótese, u é constante em cada seção transversal do tubo, variando apenas na direção x.Considere um segmento arbitrário do tubo, entre as seções transversais localizadas em x = a e em x = b.Chamamos este segmento de volume de controle. A quantidade total da substância dentro do volume decontrole no instante de tempo t é

Quantidade total da substânciadentro do volume de controle =

∫ ba

u(x, t)Adx.

Assuma agora que existe movimento da substância através do tubo na direção axial. Definimos o fluxoφ(x, t) da substância no tempo t como sendo a quantidade da substância fluindo através da seção transversalem x no tempo t por unidade de área, por unidade de tempo. Assim as dimensões de φ são [φ] = quantidadeda substância / (área × tempo). Por convenção, φ será positivo se a substância estiver se movendo na direçãopositiva do eixo x, e negativo se ela estiver se movendo na direção negativa do eixo x. Portanto, no tempo t,a quantidade ĺıquida de substância permanecendo no volume de controle será a diferença entre a quantidadeda substância entrando em x = a e a quantidade da substância saindo em x = b:

Taxa de transferência ĺıquida da substânciapara dentro do volume de controle = φ(a, t)A− φ(b, t)A.

A substância pode ser criada ou destrúıda dentro do volume de controle por uma fonte interna ou externa.A taxa de criação ou destruição da substância, que chamaremos de termo fonte e denotaremos por f(x, t, u),tem dimensões [f ] = quantidade da substância / (volume × tempo), tendo sinal positivo se a substância écriada dentro do volume de controle e negativa se a substância for destrúıda dentro do volume de controle.Observe que ela pode depender da própria quantidade da substância dispońıvel, medida pela densidade u.A taxa de criação ou destruição da substância dentro do volume de controle é então dada por

Taxa de criação da substânciadentro do volume de controle =

∫ ba

f(x, t, u)Adx.

A lei de conservação para a substância pode ser formulada da seguinte forma:

Taxa de variação

da quantidade de substância

dentro do volume de controle

=Taxa de transferência ĺıquida de substância

para dentro do volume de controle

através de sua fronteira

+ Taxa de criação da substânciadentro do volume de controle

ou, em termos matemáticos, após cancelar o termo comum A,

d

dt

∫ ba

u(x, t) dx = φ(a, t)− φ(b, t) +∫ b

a

f(x, t, u) dx. (19)

Rodney Josué Biezuner 17

Esta é a lei de conservação na forma integral, valendo mesmo se u, φ ou f não forem funções diferenciáveis(o que pode ocorrer em certos fenômenos f́ısicos, como por exemplo naqueles que envolvem ondas de choqueou outros tipos de descontinuidade). Se estas funções forem continuamente diferenciáveis, podemos derivarsob o sinal de integração na primeira integral

d

dt

∫ ba

u(x, t) dx =∫ b

a

ut(x, t) dx,

e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para escrever

φ(a, t)− φ(b, t) = −∫ b

a

φx(x, t) dx,

obtendo a equação diferencial parcialut + φx = f(x, t, u) (20)

que é a lei de conservação na forma diferencial.

0.2.2 Lei de Conservação em Várias Dimensões

Vamos formular a lei de conservação nas formas integral e diferencial para os espaços Rn, n = 2 ou n = 3(na verdade, tudo o que deduzirmos aqui, vale para qualquer n > 2). Considere um volume de controle V emRn, em que a densidade ou concentração u = u(x, t) de alguma substância por unidade de volume dependede n variáveis espaciais x = (x1, . . . , xn) e do tempo t > 0. Temos

Quantidade total da substânciadentro do volume de controle =

∫

V

u(x, t) dV

e, se f(x, t, u) denota o termo fonte,

Taxa de criação da substânciadentro do volume de controle =

∫

V

f(x, t, u) dV.

Em n dimensões, o fluxo pode ser em qualquer direção, logo ele é uma grandeza vetorial que denotaremospor φ(x, t). Se η(x) denota o vetor unitário normal apontando para fora da região V , a taxa de transferênciaĺıquida da substância para fora do volume de controle através de sua fronteira ∂V é dada por

Taxa de transferência ĺıquida da substânciapara fora do volume de controle =

∫

∂V

φ(x, t) · η(x) dS.

A lei de conservação é, portanto,

d

dt

∫

V

u(x, t) dV = −∫

∂V

φ(x, t) · η(x) dS +∫

V

f(x, t, u) dV. (21)

Se u, φ e f forem todas de classe C1 (assim como a região V ), podemos derivar sob o sinal de integração eusar o Teorema da Divergência

∫

∂V

φ(x, t) · η(x) dS =∫

V

div φ(x, t) dV,

para obter a lei de conservação em forma diferencial

ut + div φ = f(x, t, u). (22)

Rodney Josué Biezuner 18

0.2.3 Relações Constitutivas

A lei de conservação na forma diferencial é uma equação diferencial parcial em duas incógnitas, u e φ.Precisamos, portanto, de uma segunda equação para obter um sistema bem determinado. A equação adicionalé freqüentemente baseada nas propriedades f́ısicas do meio, as quais freqüentemente decorrem de observaçõesemṕıricas. Tais equações são chamadas de relações constitutivas ou equações de estado.

Exemplo 0.1. (Equação do Calor) No caso da equação do calor, a relação constitutiva é a lei de Fourier:

φ(x, t) = −kux(x, t).

Em dimensões mais altas, a lei de Fourier assume a forma

φ(x, t) = −k∇u(x, t). (23)

De fato, para materiais isotrópicos (isto é, materiais em que não existem direções preferenciais) verifica-se experimentalmente que o calor flui de pontos quentes para pontos frios na direção em que a diferençade temperatura é a maior. O fluxo de calor é proporcional à taxa de variação da temperatura nestadireção, com a constante de proporcionalidade k sendo por definição a condutividade térmica, comono caso unidimensional. Como sabemos, a direção onde uma função cresce mais rápido é exatamenteaquela dada pelo vetor gradiente da função, e o módulo do gradiente fornece a magnitude da taxade variação da função nesta direção. O sinal negativo ocorre, como no caso unidimensional, porque ovetor gradiente aponta na direção de crescimento da temperatura, enquanto que o fluxo do calor se dána direção oposta (da temperatura maior para a temperatura menor). O fluxo do calor em uma regiãobi ou tridimensional pode ser facilmente visualizado quando se lembra que o gradiente de uma função éperpendicular às superf́ıcies de ńıvel da função. No caso em que a função é a temperatura, as superf́ıciesde ńıvel são chamadas superf́ıcies isotérmicas ou, simplesmente, isotermas. Assim, o calor flui dasisotermas mais quentes para as isotermas mais frias, e em cada ponto da isoterma perpendicularmenteà isoterma. Em outras palavras, as linhas de corrente do fluxo de calor correspondem às linhas de fluxodo campo gradiente da temperatura.

Portanto, a equação do calor em Rn com termo fonte independente de u tem a forma

ut = K∆u + f(x, t), (24)

onde ∆u denota o laplaciano de u:

∆u = div∇u = ∂2u

∂x21+ . . . +

∂2u

∂x2n. (25)

¤

Exemplo 0.2. (Equação da Difusão) Em muitos outros processos f́ısicos observa-se que a substância fluia uma taxa diretamente proporcional ao gradiente de densidade, de regiões de maior densidade pararegiões de menor densidade. Esta relação geral é chamada de lei de Fick :

φ(x, t) = −D∇u(x, t), (26)

onde D é a constante de difusão. Se o termo fonte é independente de u, obtemos a equação dadifusão

ut = D∆u + f(x, t). (27)

O nome difusão vem do fato de que a substância difunde-se para regiões adjacentes por causa degradientes (i.e., diferenças) de concentração, e não porque é transportada pela corrente (i.e., nãoatravés de convecção). Por este motivo, o termo D∆u é chamado de termo difusivo.

Rodney Josué Biezuner 19

Além do calor, exemplos de outras substâncias que se comportam assim são substâncias qúımicasdissolvidas em algum fluido (neste caso, u representa a concentração qúımica) e até mesmo populaçõesde insetos. Além de ser confirmada através de observações emṕıricas, a lei de Fick que governa estese vários outros fenômenos f́ısicos e biológicos pode ser justificada teoricamente através de argumentosbaseados em modelos probabiĺısticos e caminhos aleatórios. ¤

Exemplo 0.3. Quando o termo fonte não é independente de u, processos governados pela lei de conservaçãoe pela lei de Fuck são regidos pela chamada equação da difusão-reação

ut = ∆u + f(x, t, u). (28)

O termo fonte, também chamado termo de reação, pode ser não linear em u. Exemplos importantesaparecem na teoria de combustão e em biologia. ¤

Exemplo 0.4. (Equação da Continuidade) Se ρ denota a densidade de um fluido e V é o campo de ve-locidades de escoamento do fluido, o fluxo de massa (taxa de transferência de massa, medida emquantidade de massa / (área)×(tempo)) é dado por

φ = ρV.

Note que a densidade ρ = ρ(x, t) de um fluido movendo-se no espaço, assim como o seu campo develocidades V = V(x, t), são funções da posição no espaço e do instante de tempo considerado. A leide conservação de massa implica então a equação da continuidade

ρt + div(ρV) = 0.

A equação da continuidade é a primeira das equações de Navier-Stokes que governam a dinâmicados fluidos. ¤

Exemplo 0.5. (Equação da Advecção) Quando a velocidade do fluido é constante, o fluxo de massa é dadopor uma relação linear simples. No caso unidimensional (por exemplo, quando o fluido está restrito aum tubo ou cano), o fluxo é

φ = cu, (29)

onde c é a velocidade do fluido e denotamos a densidade por u. Neste caso, a equação da continuidadetorna-se

ut + cux = 0. (30)

Esta é a chamada equação da advecção ou equação do transporte. Advecção refere-se ao movi-mento horizontal de uma propriedade f́ısica. Esta equação de primeira ordem linear é o modelo maissimples de convecção. ¤

0.2.4 Exerćıcios

Exerćıcio 0.4. Identifique as relações constitutivas para as seguintes leis de conservação escritas em formadiferencial:

1. Equação de Burgers:ut + uux = 0.

2. Equação de Korteweg-deVries (KdV):

ut + uux + uxxx = 0.

3. Equação dos meios porosos:ut + (uγ)xx = 0.

Caṕıtulo 1

Séries de Fourier

Para determinar a possibilidade de uma determinada função poder ser expressa como uma série de Fourier,bem como para obter os coeficientes da série de Fourier da função quando isso ocorrer, precisamos antesestudar certas propriedades das funções seno e cosseno.

1.1 Propriedades das Funções Seno e Cosseno

1.1.1 Periodicidade

Definição. Uma função f : R −→ R é periódica se existe T ∈ R, T 6= 0, tal que f(x + T ) = f(x) paratodo x ∈ R. O número real T é chamado um peŕıodo para a função f .

Claramente, se T é um peŕıodo para a função f , então qualquer múltiplo inteiro de T também é um peŕıodopara f : 2T , −2T , 3T , −3T , 4T , −4T , etc. Por exemplo,

f(x + 3T ) = f((x + 2T ) + T ) = f(x + 2T ) = f((x + T ) + T ) = f(x + T ) = f(x).

Definição. O menor peŕıodo positivo de uma função periódica f é chamado o peŕıodo fundamental.

Em geral, o peŕıodo fundamental de uma função periódica é referido simplesmente como o peŕıodo da função.Porque o valor de uma função periódica repete-se a cada intervalo de comprimento igual ao seu peŕıodo,

para conhecer uma função periódica de peŕıodo T basta descrevê-la em qualquer intervalo de comprimentoT ; o seu gráfico é obtido repetindo-se o gráfico neste intervalo em qualquer outro intervalo de comprimentoT .

Exemplo 1.1.

(a) As funções seno e cosseno são periódicas e ambas têm peŕıodo 2π.

(b) Funções constantes são funções periódicas que não possuem peŕıodo fundamental, pois qualquer númeroreal não nulo é um peŕıodo para a função constante, logo não existe um menor peŕıodo positivo. Domesmo modo, a função

f(x) ={

1 se x é racional,0 se x é irracional,

é uma função periódica que não possui peŕıodo fundamental, pois todo número racional não nulo é umpeŕıodo para f (observe que números irracionais não são peŕıodos para f).

20

Rodney Josué Biezuner 21

(c) A função f(x) = x− bxc, onde bxc é o maior inteiro menor que ou igual a x, é periódica de peŕıodo 1.

1

0,6

0,8

0,4

0

x

321

0,2

0-3 -1-2

(d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de funções periódicas, simplemente definindo uma funçãoem um intervalo de comprimento T e declarando que ela é periódica de peŕıodo T , desta forma definindoela na reta toda. Ou seja, suponha que a função f foi inicialmente definida no intervalo I de compri-mento T ; dado x ∈ R, se x /∈ I, determine um inteiro k tal que x + kT ∈ I (k é positivo se x estálocalizado à esquerda do intervalo I e negativo se x está à direita de I) e defina

f(x) = f(x + kT ).

Desta forma, definimos uma função f na reta toda que é automaticamente periódica de peŕıodo T . Porexemplo, podemos definir uma função g por

g(x) ={ −x se − L 6 x < 0,

x se 0 6 x < L,

e declará-la periódica de peŕıodo 2L.

0,8

1

0,4

0

0,6

0,2

x

210-1-2

Para que a definição desta extensão periódica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechadoem um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a função deve teros mesmos valores nestes extremos. ¤

Com relação aos peŕıodos das funções que constituem a série de Fourier, fazemos a seguinte importanteobservação:

Rodney Josué Biezuner 22

Proposição 1.2. As funções sennπx

Le cos

nπx

Ltêm o mesmo peŕıodo fundamental, igual a

2Ln

.

Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirmação mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α 6= 0,

sen αx e cos αx têm peŕıodo fundamental igual a2πα

.

Isso pode ser determinado através do seguinte argumento: queremos encontrar o menor valor positivo de Tpara o qual vale

sen α(x + T ) = sen αx para todo x ∈ R,ou seja,

sen αx cosαT + cos αx sen αT = sen αx para todo x ∈ R.Para determinar αT , o que conseqüentemente determinará T , basta obter os valores de sen αT e cos αT ,pois um ângulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno,a menos de múltiplos de 2π. Para isso, observamos que a equação acima é válida para qualquer valor de x.Em particular, substituindo o valor x = 0 na expressão acima, obtemos

sen αT = 0,

o que implica que αT é um múltiplo de π. Agora, substituindo o valor x =π

2αna expressão acima, obtemos

cosαT = 1.

Logo, αT é necessariamente um múltiplo de 2π. Como queremos o menor valor positivo de T , segue que

αT = 2π

e, portanto,

T =2πα

.

A mesma conclusão vale para a função cos αx, já que a função cosseno nada mais é que a função senodefasada. ¥Como conseqüência deste resultado, já que qualquer múltiplo inteiro do peŕıodo fundamental é um peŕıodo,segue que para todo n as funções sen

nπx

Le cos

nπx

Ltêm o valor 2L como peŕıodo comum.

1.1.2 Relações de Ortogonalidade

Para o cálculo dos coeficientes da série de Fourier de uma função (quando existir), as seguintes relações deortogonalidade entre as funções sen

nπx

Le cos

nπx

Ldesempenham um papel fundamental:

Proposição 1.3. (Relações de Ortogonalidade) Valem as seguintes identidades:

∫ L−L

cosnπx

Lsen

mπx

Ldx = 0 para todos n,m;

∫ L−L

cosnπx

Lcos

mπx

Ldx =

{L se n = m,0 se n 6= m; (1.1)

∫ L−L

sennπx

Lsen

mπx

Ldx =

{L se n = m,0 se n 6= m.

Rodney Josué Biezuner 23

Prova. Estas relações podem ser obtidas através de integração direta e uso das identidades trigonométricas.Por exemplo, se n 6= m, escrevemos

∫ L−L

sennπx

Lsen

mπx

Ldx =

12

∫ L−L

[cos

(n−m)πxL

− cos (n + m)πxL

]dx

=12

1π

[1

n−m sen(n−m)πx

L− 1

n + msen

(n + m)πxL

∣∣∣∣L

−L= 0.

Se n = m, escrevemos

∫ L−L

sennπx

Lsen

mπx

Ldx =

∫ L−L

(sen

nπx

L

)2dx =

12

∫ L−L

[1− cos 2nπx

L

]dx

=12

[x− L

2nπsen

2nπxL

∣∣∣∣L

−L= L.

¥

1.1.3 Produto Interno no Espaço das Funções Quadrado-Integráveis

O nome relações de ortogonalidade deve-se ao fato de que as expressões acima significam que as funçõessen

nπx

Le cos

nπx

Lsão ortogonais no espaço vetorial das funções quadrado-integráveis definidas no intervalo

[−L,L]. De fato, no espaço

L2([a, b]) =

{u : [a, b] −→ R :

∫ ba

u2(x) dx < ∞}

das funções definidas no intervalo [a, b] cujo quadrado é integrável, podemos definir um produto interno por

〈u, v〉 =∫ b

a

u(x)v(x) dx.

Porque as funções são quadrado-integráveis, a integral acima está bem definida e é finita (caso contrário, seduas funções são apenas integráveis, o produto delas não é necessariamente integrável; tome, por exemplo,u(x) = v(x) = x−1/2 no intervalo [0, 1]). De fato, como para quaisquer A,B ∈ R vale a desigualdade2AB 6 A2 + B2, segue que

∫ ba

u(x)v(x) dx ≤ 12

∫ ba

u2(x) dx +12

∫ ba

v2(x) dx < ∞.

Como o ângulo entre dois vetores é definido por

](u, v) = arccos 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ,

segue que duas funções são ortogonais se

∫ ba

u(x)v(x) dx = 0.

Rodney Josué Biezuner 24

1.1.4 Exerćıcios

Exerćıcio 1.1. Sejam f, g : R→ R funções periódicas de peŕıodo T . Mostre que(a) f + g é periódica de peŕıodo T .

(b) αf é periódica de peŕıodo T para qualquer escalar α ∈ R.(c) O conjunto PT (R) das funções periódicas de peŕıodo T é um subespaço vetorial do espaço F(R) das

funções reais definidas na reta.

(d) fg é periódica de peŕıodo T .

(e) f/g é periódica de peŕıodo T (assuma que g nunca se anula).

(f) f(x

a

)é periódica de peŕıodo aT .

(g) f (ax) é periódica de peŕıodoT

a.

(h) Se h é uma função qualquer (não necessariamente periódica), então a composta h ◦ f é periódica depeŕıodo T .

Exerćıcio 1.2. Sejam f, g : R → R funções periódicas de peŕıodos fundamentais diferentes. Podemosconcluir que f + g é periódica? Podemos concluir que f + g não é periódica?

Exerćıcio 1.3. Sejam f1, f2 : R → R funções periódicas de peŕıodos T1, T2, respectivamente. Prove que seexistem inteiros n,m tais que

nT1 = mT2,

então f1 + f2 é periódica de peŕıodo nT1.

Exerćıcio 1.4. Mostre que sen ax + sen bx é periódica se e somente se a/b é racional.

Exerćıcio 1.5. Seja f : R→ R uma função diferenciável, periódica de peŕıodo T . Mostre que f ′ também éperiódica de peŕıodo T .

Exerćıcio 1.6. Seja f : R → R uma função periódica de peŕıodo T , localmente integrável (i.e., integrávelem qualquer intervalo). Mostre que a função

F (x) =∫ x

0

f

é periódica de peŕıodo T se e somente se ∫ T0

f = 0.

Exerćıcio 1.7. Seja f : R → R uma função periódica de peŕıodo T , localmente integrável. Determine aconstante a para que a função abaixo seja periódica de peŕıodo T :

F (x) =∫ x

0

f(t) dt− ax.

Exerćıcio 1.8. Seja f : R→ R uma função periódica de peŕıodo T , localmente integrável. Mostre que∫ a+T

a

f =∫ T

0

f.

Exerćıcio 1.9. Mostre que uma função periódica cont́ınua não constante possui peŕıodo fundamental.

Rodney Josué Biezuner 25

1.2 Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier

Suponha que possamos expressar uma função f : R→ R na forma

f(x) =a02

+∞∑

n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

), (1.2)

ou seja, que o lado direito desta identidade seja uma série convergente que converge para o valor f(x) emtodo ponto x ∈ R. A série no lado direito da expressão acima é chamado a série de Fourier de f . [Omotivo de termos escolhido escrever

a02

ao invés de simplesmente a0 ficará claro a seguir.] Em particular,para que isso seja posśıvel vemos que f tem que ser periódica com peŕıodo 2L, pois este é o peŕıodo comumdas funções sen

nπx

Le cos

nπx

L; portanto, funções definidas na reta toda que não satisfazem esta condição

não podem possuir séries de Fourier.Suponha, além disso, que a função f seja integrável no intervalo [−L,L] e que a série do lado direito

possa ser integrada termo a termo. Obtemos, pelas relações de ortogonalidade,∫ L−L

f(x) dx =a02

∫ L−L

dx +∞∑

n=1

(an

∫ L−L

cosnπx

Ldx + bn

∫ L−L

sennπx

Ldx

)

= a0L,

donde

a0 =1L

∫ L−L

f(x) dx. (1.3)

Os outros coeficientes também podem ser obtidos facilmente explorando as relações de ortogonalidade. Mul-tiplicando ambos os lados da equação (1.2) por cos

nπx

Le integrando de −L a L, obtemos

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

a02

∫ L−L

cosnπx

Ldx +

∞∑m=1

(am

∫ L−L

cosmπx

Lcos

nπx

Ldx + bm

∫ L−L

senmπx

Lcos

nπx

Ldx

)

= anL,

donde

an =1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx. (1.4)

[Por este motivo escrevemos o termo constante da série de Fourier na formaa02

: deste modo, a fórmula para

os coeficientes an é a mesma, independente se n = 0 ou n 6= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os ladosda equação (1.2) por sen

nπx

Le integrando de −L a L, obtemos

bn =1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx. (1.5)

Exemplo 1.4. Admitindo que exista uma série de Fourier que convirja para a função periódica f de peŕıodo2L, definida no intervalo [−L,L] por

f(x) ={ −x se − L 6 x 6 0,

x se 0 6 x 6 L,

calcule os seus coeficientes.

Rodney Josué Biezuner 26

Solução. Temos

a0 =1L

∫ L−L

f(x) dx =1L

[−

∫ 0−L

x dx +∫ L

0

x dx

]=

1L

(L2

2+

L2

2

)= L.

Os outros coeficientes podem ser calculados através de integração por partes. Temos

an =1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

1L

[−

∫ 0−L

x cosnπx

Ldx +

∫ L0

x cosnπx

Ldx

]

=1L

[(− L

nπx sen

nπx

L

∣∣∣∣0

−L+

L

nπ

∫ 0−L

sennπx

Ldx

)+

(L

nπx sen

nπx

L

∣∣∣∣L

0

− Lnπ

∫ L0

sennπx

Ldx

)]

=1L

[− L

2

n2π2cos

nπx

L

∣∣∣∣0

−L+

L2

n2π2cos

nπx

L

∣∣∣∣L

0

]

=1L

[− L

2

n2π2+

L2

n2π2cos nπ +

L2

n2π2cos nπ − L

2

n2π2

]

=2L

n2π2(cosnπ − 1)

=

{0 se n é par,

− 4Ln2π2

se n é ı́mpar.

e

bn =1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx =

1L

[−

∫ 0−L

x sennπx

Ldx +

∫ L0

x sennπx

Ldx

]

=1L

[(L

nπx cos

nπx

L

∣∣∣∣0

−L− L

nπ

∫ 0−L

cosnπx

Ldx

)+

(− L

nπx cos

nπx

L

∣∣∣∣L

0

+L

nπ

∫ L0

cosnπx

Ldx

)]

=1L

[L2

nπcosnπ − L

2

n2π2sen

nπx

L

∣∣∣∣0

−L− L

2

nπcos nπ +

L2

n2π2sen

nπx

L

∣∣∣∣L

0

]

= 0.

Portanto,

f(x) =L

2− 4L

π2

∞∑n=1

1(2n− 1)2 cos

(2n− 1)πxL

.

Observe que a série do lado direito é de fato convergente em todo ponto x, já que os coeficientes

diminuem na razão de1

(2n− 1)2 ,∣∣∣∣cos

(2n− 1)πxL

∣∣∣∣ 6 1 e a série∞∑

n=1

1n2

é sabidamente convergente.

Na figura a seguir ilustramos o gráfico da série truncada em vários valores de n (vermelho correspondea truncar a série em n = 1, azul a truncá-la em n = 2 e verde a truncá-la em n = 3; preto corresponde

Rodney Josué Biezuner 27

a truncar a série em n = 100, indistingúıvel do gráfico da função f propriamente dita):

-2

1

0,6

0,8

0,4

x

2100

0,2

-1

Por outro lado, a convergência parece ser mais lenta nas quinas (isto é, nos pontos onde f não édiferenciável), como pode ser observado na figura acima. Para ver isso melhor, tome L = x = π, demodo que obtemos

π =π

2− 4

π

∞∑n=1

1(2n− 1)2 cos(2n− 1)π

ouπ2

8=

∞∑n=1

1(2n− 1)2 = 1 +

19

+125

+149

+ . . .

Enquanto que π = 3.1415926536 é uma aproximação para π com 10 casas decimais, temos:√√√√8

k∑n=1

1(2n− 1)2 =

3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000,3.141592335 se k = 1000000.

¤

1.3 Teorema de Fourier

Vamos determinar condições suficientes para que uma função f possua uma série de Fourier e que estaconvirja para f pelo menos na maioria dos pontos de seu domı́nio.

Rodney Josué Biezuner 28

1.3.1 Existência da Série de Fourier

Primeiramente, vamos ver que condições a função f deve satisfazer para que a sua série de Fourier estejadefinida, mesmo que ela possa não convergir para f em nenhum ponto. Para que a série de Fourier de fexista, os coeficientes de Fourier de f precisam estar definidos.

Definição. Dizemos que uma função integrável f : R −→ R é absolutamente integrável no intervalo[a, b] se ∫ b

a

|f(x)| dx < ∞.

Denotamos isso por f ∈ L1([a, b]).Se f é localmente absolutamente integrável (isto é, se f é absolutamente integrável em todo intervalo),denotamos isso por f ∈ L1loc(R).

Proposição 1.5. Seja f : R −→ R uma função periódica de peŕıodo 2L. Se f é absolutamente integrávelno intervalo [−L,L], então os coeficientes de Fourier de f

an =1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx, n = 0, 1, 2, . . . ,

bn =1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx, n = 1, 2, . . . ,

estão bem definidos.

Prova. De fato,∣∣∣∣∣∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 6∫ L−L|f(x)|

∣∣∣cos nπxL

∣∣∣ dx <∫ L−L|f(x)| dx < ∞,

∣∣∣∣∣∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 6∫ L−L|f(x)|

∣∣∣sen nπxL

∣∣∣ dx <∫ L−L|f(x)| dx < ∞.

¥Portanto, quando f ∈ L1loc(R) é uma função periódica de peŕıodo 2L, podemos construir formalmente a série

a02

+∞∑

n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

).

A próxima questão é se esta série converge em cada ponto x e se ela converge para o valor f(x).

1.3.2 Funções Cont́ınuas por Partes

Definição. Uma função real f é cont́ınua por partes no intervalo [a, b] se existir um número finito depontos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b tais que

(i) f é cont́ınua em cada subintervalo [xi−1, xi], i = 1, . . . , n;

(ii) existem os limites laterais à esquerda e à direita nos extremos de cada subintervalo.

Exemplo 1.6.

Rodney Josué Biezuner 29

(a) A função

f(x) =

−1 se n < x < n + 1 e n é par,0 se x = n ∈ Z,1 se n < x < n + 1 e n é ı́mpar.

é cont́ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade são ospontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos são −1 e 1.

1

0

0,5

3-0,5x

20 1

-1

-3 -2 -1

(b) A função

g(x) =

1 se x < 0,0 se x = 0,

sen1x

se x > 0,

não é cont́ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois não existe o limite lateral à direita em x = 0.

1

0

0,5

1

x

0,5-0,5

-1

-0,5

-1 0

Rodney Josué Biezuner 30

(c) Similarmente, a função

h(x) =

− 1x

se x < 0,

0 se x = 0,1 se x > 0,

não é cont́ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois não existe o limite lateral à esquerda em x = 0.

x

20

10

10

15

0,5-0,50

5

-1

¤

1.3.3 O Teorema de Fourier

Agora enunciaremos o Teorema de Fourier, que dá condições suficientes sobre uma função periódica f paraque a sua série de Fourier convirja puntualmente para f nos pontos de continuidade de f . A demonstraçãodeste resultado será adiada para uma seção posterior.

Teorema 1.7. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma função periódica de peŕıodo 2L, tal que f e f ′são cont́ınuas por partes no intervalo [−L,L]. Então a série de Fourier de f

a02

+∞∑

n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

)

onde

an =1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx, n = 0, 1, 2, . . . ,

bn =1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx, n = 1, 2, . . . ,

converge para f(x), se f é cont́ınua em x, e paraf(x+) + f(x−)

2, se f é descont́ınua em x.

Em geral, se uma função f e a sua derivada f ′ forem cont́ınuas por partes, diremos simplesmente que f édiferenciável por partes. Observe que se f é cont́ınua em x, então a média dos limites laterais de f em xé exatamente igual a f(x); o teorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente

Rodney Josué Biezuner 31

afirmando que se f satisfaz as condições do enunciado, então a série de Fourier de f converge sempre paraf(x+) + f(x−)

2.

Exemplo 1.8.

(a) Defina

f(x) =

{x2 sen

1x

se x 6= 0,0 se x = 0.

Observe que f é cont́ınua ( limx→0

x2 sen1x

= 0), mas f ′ não é cont́ınua por partes, pois apesar da derivadaexistir em x = 0, não existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0:

f ′(x) =

{2x sen

1x− cos 1

xse x 6= 0,

0 se x = 0.

0,04

0

0,02

-0,02

-0,04

x

0,30,2-0,1-0,2 0-0,3 0,1

1

0

0,5

0,3

-0,5

x

0,20

-1

-0,3 -0,2 -0,1 0,1

(b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R por

f(x) ={

0 se − L < x < 0,L se 0 < x < L,

e f periódica de peŕıodo 2L.

1

0,60,8

0,4

0

x

321

0,2

0-3 -1-2

Rodney Josué Biezuner 32

Vamos calcular a série de Fourier de f e verificar onde ela converge. Temos

a0 =1L

∫ L−L

f(x) dx =∫ L

0

dx = L,

an =1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

∫ L0

cosnπx

Ldx =

L

nπsen

nπx

L

∣∣∣L

0

= 0,

bn =1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx =

∫ L0

sennπx

Ldx = − L

nπcos

nπx

L

∣∣∣L

0=

L

nπ(1− cos nπ)

=

{0 se n é par,

2Lnπ

se n é ı́mpar.

Portanto,

f(x) =L

2+

2Lπ

∞∑n=1

12n− 1 sen

(2n− 1)πxL

.

Veja a figura abaixo, representando a soma parcial truncada em n = 10:

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

x

420-2-4

Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a série de Fourier de f temvalor igual a L/2, exatamente a média dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a sériede Fourier converge para f , mas com uma convergência lenta, já que os seus coeficientes são da ordemde 1/(2n− 1).

(c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R por

g(x) ={ −x se − L 6 x < 0,

x se 0 6 x < L,

e g periódica de peŕıodo 2L. Observe que g é cont́ınua e diferenciável por partes (isto é, g′ é cont́ınuapor partes), logo a série de Fourier de g converge para g em todo ponto. ¤

Rodney Josué Biezuner 33

1.3.4 Estimativa dos Coeficientes de Fourier

Se f possui maior regularidade, é posśıvel provar diretamente que a sua série de Fourier converge sem recorrerao Teorema de Fourier. A idéia é obter estimativas para os coeficientes de Fourier e então usar o teste dacomparação para concluir que a série de Fourier converge.

Seja f uma função periódica de peŕıodo 2L. Em primeiro lugar, se f é localmente absolutamente in-tegrável, podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier: como

|an| =∣∣∣∣∣1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 61L

∫ L−L|f(x)|

∣∣∣cos nπxL

∣∣∣ dx < 1L

∫ L−L|f(x)| dx,

|bn| =∣∣∣∣∣1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 61L

∫ L−L|f(x)|

∣∣∣sen nπxL

∣∣∣ dx < 1L

∫ L−L|f(x)| dx.

se denotarmos

M0 =1L

∫ L−L|f(x)| dx,

segue que|an| , |bn| 6 M0 para todo n 6= 0. (1.6)

Em outras palavras, se f é localmente absolutamente integrável, então as seqüências (an) e (bn) dos coefi-cientes de Fourier de f são uniformemente limitadas.

Se, além disso, f for cont́ınua e diferenciável e sua derivada f ′for localmente absolutamente integrável,podemos integrar por partes para obter

an =1L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

1nπ

f(x) sennπx

L

∣∣∣L

−L− 1

nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx

de modo que

an = − 1nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx. (1.7)

Analogamente,

bn =1L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx = − 1

nπf(x) cos

nπx

L

∣∣∣L

−L+

1nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx

= − 1nπ

(f(L) cos nπ − f(−L) cos(−nπ)) + 1nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx

de modo que

bn =1

nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx. (1.8)

Segue que

|an| =∣∣∣∣∣

1nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 61

nπ

∫ L−L|f ′(x)| dx,

|bn| =∣∣∣∣∣

1nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 61

nπ

∫ L−L|f ′(x)| dx.

Se

M1 =1π

∫ L−L|f ′(x)| dx,

Rodney Josué Biezuner 34

temos|an| , |bn| 6 M1

npara todo n 6= 0. (1.9)

Assim, neste caso as seqüências (an) e (bn) dos coeficientes de Fourier de f convergem para 0 a uma taxaproporcional a 1/n.

Se, além das hipóteses acima, f for duas vezes diferenciável, f ′ for cont́ınua em [−L,L] e a derivadasegunda f ′′ for localmente absolutamente integrável, podemos integrar por partes duas vezes para obter

an =1

nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx =

1nπ

[− L

nπf ′(x) cos