O Teorema de Cauchy em Equacoes de Navier-Stokes

Arlindo Dutra Carvalho JuniorMestrando em Matematica, UFSM,

97105-900, Santa Maria, RS

E-mail: arlindocarvalhojr@gmail.com,

Joao Paulo LukaszczykUFSM - Departamento de Matematica

97105-900, Santa Maria, RS

E-mail: joaopaulolukas@yahoo.com.br.

Palavras-chave: Equacoes de Navier-Stokes, Teorema de Cauchy, Fluxo de Cauchy

Resumo: Neste trabalho apresentamos alguns resultados similares ao Teorema Classico de Cau-chy em Mecanica dos Fluıdos, que estabelece um formato linear para o campo de tensoes internasde um fluıdo partindo-se das hipoteses basicas da continuidade deste campo e da validade de umaLei Geral de Balanco. Nestes resultados o conceito chave presente e o de Fluxo de Cauchy Fra-camente Balanceado que de certa forma substitui a continuidade.

1 Introducao

Leis Gerais de Balanco estao presentes na descricao matematica da maioria dos fenomenos fısicose tem o formato geral: ∫

∂Ω

s(x,n(x))dAx +

∫Ω

f(x)dVx = 0

que relaciona o valor de uma grandeza numa regiao com o seu fluxo na fronteira desta regiao.Em Mecanica dos Fluıdos um resultado fundamental para a descricao das Equacoes de Navier-Stokes e o Teorema de Cauchy (teorema 2) que estabelece s(x, n) = S(x)n como formato parao campo de tensoes internas de um fluıdo onde S(x) e uma transformacao linear para cadax ∈ Ω ⊂ R3. A hipotese matematica fundamental e a continuidade da funcao em x.Neste trabalho procuramos, com base no artigo [2], substituir tal hipotese por outras matemati-camente mais fracas e com isto obter resultados similares, mas tambem um pouco mais fracos.Tal substituicao de hipoteses tem como justificativa fısica o fato de a funcao tensao s(x, n) podenao ser continua em algumas aplicacoes.A descricao deste trabalho e a seguinte: na seccao 2 apresentamos alguns conceitos especıficos,na seccao 3 uma descricao geral das Equacoes de Navier-Stokes e o Classico Teorema de Cauchye finalmente na seccao 4 os resultados similares ao Classico Teorema de Cauchy.

2 Conceitos Preliminares

Nesta seccao apresentamos alguns conceitos especıficos usados nos enunciados dos teoremasprincipais.

Definicao 1 (CPO) Chamamos de Conjunto Plano orientado ao par S = (P,n), onde P ⊂ R3

e um conjunto de Borel plano e n e um vetor normal unitario a P .

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Definicao 2 Sejam R ⊂ Rn um conjunto aberto e limitado eG: Conjunto de Borel de R −→ Rn.Dizemos que G e limitada por volume, se existe c > 0 tal que |G(D)| 6 cV (D).

Definicao 3 Sejam R ⊂ Rn um conjunto aberto e limitado eG: Elementos de Superficie de R−→ Rn.Dizemos que G e limitada por area, se existe c > 0 tal que |G(S)| 6 cA(S) para todo elementode superficie S.

Definicao 4 (Fluxo de Cauchy) Sejam R ⊂ Rn um conjunto aberto e limitado e F : (Ele-mentos de Superfıcie de R)−→ Rn. Dizemos que F e um Fluxo de Cauchy se:(CI) F e limitado por area.(CII) F e aditiva em elementos de superfıcie compatıveis, ou seja:

F (S1 ∪ S2) = F (S1) + F (S2)

onde S1 e S2 sao elementos de superfıcie compatıveis e disjuntos.

Definicao 5 (Fluxo de Cauchy Fracamente Balanceado) Um Fluxo de Cauchy F e ditofracamente Balanceado se |F (∂B)| 6 cV (B), onde B e um solido e V (B) o volume.

Definicao 6 (Convergencia Regular) Uma sequencia (Sk) de CPO’s converge regularmentepara S, se Sk e compatıvel com S para todo k ∈ N e se a area da diferenca simetrica (S −Sk)∪(Sk − S) tende a zero quando k −→∞.

Lema 1 Sejam F um Fluxo de Cauchy, (Sk) uma sequencia de elementos de superfıcie quetende regularmente para S, entao F (Sk) −→ F (S) quando k −→∞.

Teorema 1 Sejam F um Fluxo de Cauchy Fracamente Balanceado, S ⊂ R um elemento regularde superfıcie, entao F (S) = −F (−S) e a funcao x 7→ F (S + x) e contınua.

3 Equacao de Navier-Stokes e Teorema de Cauchy

As Equacoes de Navier-Stokes sao deduzidas partindo-se de uma descricao do momento. AFısica Classica diz de forma empirica que a quantidade de momento linear e dada por: P = mv,onde P e a quantidade de momento, m e a massa do corpo e v e a velocidade. Seja ρ a densidadede um fluıdo e v a velocidade deste fluıdo e uma funcao contınua, podemos obter o momentopor:

P =

∫Ωt

ρ(x, t)v(x, t)dx (1)

Forcas agindo em Ωt:i) Forcas externas: Seja f(x, t) a densidade de volume de forcas externas atuando na regiao Ωt.Neste caso F (t) =

∫Ωt

ρf(x, t)dx fornece a forca total em Ωt no instante de tempo t.

ii) Forcas internas: Desprezando o atrito e outros tipos de forcas do movimento das partıculas,denotaremos τ(x, t, n) o campo de tensoes das forcas de contato que atuam por unidade de areaem uma superfıcie perpendicular ao vetor normal unitario n.Entao a forca do restante do fluıdo sobre o fluido que ocupa a regiao Ωt, delimitada pela superfıcie∂Ωt, cujo vetor normal unitario exterior e n, e dada por: F (t) =

∫∂Ωt

τ(x, t,n)dSx.

Um resultado classico que fornece uma expressao para τ e o seguinte:

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Teorema 2 (O Classico Teorema de Cauchy) Seja Ω ⊂ R3 um conjunto aberto e limitado,suponha que s : Ω×S2 −→ R3 e uma funcao continua em x ∈ Ω. Alem disso, seja f : Ω −→ R3

uma funcao limitada que satisfaz a lei do balanco∫∂Ω

s(x,n(x))dAx +

∫Ω

f(x)dVx = 0

onde n(x) e o vetor normal exterior a Ω no ponto x ∈ ∂Ω, entao s(x,n) e linear em n.Isto e,

s(x, n) = S(x)n

onde S : R3 −→ R3 e uma transformacao linear.

Pelo Teorema de Cauchy, se o fluıdo satisfaz a Segunda Lei de Newton, o campo de tensoes τdepende linearmente da normal unitaria exterior da superfıcie ∂Ω, ou seja, existe uma funcaomatricial S(x, t) tal que

τ(x, t,n) = S(x, t)n (2)

Com isso, a Segunda Lei de Newton pode ser representada como:

d

dt

∫Ωt

ρvdx =

∫Ωt

ρfdx+

∫∂Ωt

SndSx

resolvendo a equacao, utilizando o teorema do transporte do lado esquerdo da igualdade, oteorema de Gauss na integral de superficie e considerando que divv = 0, ou seja, que estamostrabalhando com fluıdo incompressıvel, obteremos:

ρDv

Dt= ρf + DivS (3)

que e a Equacao da Conservacao do Momento.Dependendo do formato de S obtemos uma equacao para a descricao do movimento do fluıdo.Supondo-se:

S = −pI + µ′(divv)I + µ(G+GT ) (4)

onde µ e µ′

sao constantes associadas a viscosidade do fluıdo e dependem da temperatura, amatriz G e tal que cada uma de suas linhas e o gradiente em cada uma das direcoes v1, v2, v3

respectivamente.obtemos:

ρDv

Dt= ρf −5p+ µ∆v (5)

div = 0

que e o sistema classico de Equacoes de Navier-Stokes com fluıdo imcompressıvel.

4 Generalizacoes do Teorema de Cauchy

Nesta seccao apresentamos mais algumas definicoes especıficas e alguns resultados similares aoTeorema de Cauchy mas com algumas hipoteses diferentes.

Definicao 7 (Densidade Media) Chamamos de Densidade Media a funcao fr : Rr × S2 −→Rn, definida por:

fr(x,n) =F (Dr(x,n))

A(Dr(x,n))(6)

onde Rr = x ∈ R;B[x, r] ⊂ R

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Definicao 8 (Densidade Media Uniforme) Seja fr : A ⊂ R −→ Rn, dizemos que f temdensidade media uniforme se, dado qualquer vetor unitario n e qualquer compacto A ⊂ R afamılia a um parametro r e uniformemente convergente em A quando r → 0:

fr(x,n) =F (Dr(x,n))

A(Dr(x,n))(7)

Definicao 9 (Par de Densidade) Ao par (x,n) chamamos par de densidade se existe o li-mite:

f(x,n) = limr→0

fr(x,n) (8)

Teorema 3 Seja F um Fluxo de Cauchy Fracamente Balanceado, entao as seguintes afirmacoessao equivalentes.i)F tem densidade media uniforme;ii)F tem densidade quase sempre e e uma funcao contınua da posicao.

Teorema 4 (Teorema de Cauchy) Seja F um Fluxo de Cauchy Fracamente Balanceado. SeF tem densidade em todo ponto e a densidade f e uma funcao contınua da posicao, entao f elinear em cada ponto de R, sendo R uma regiao aberta e limitada do espaco n-dimensional comfronteira (∂R) regular.

Teorema 5 (Linearidade Quase Sempre) Seja F um Fluxo de Cauchy Fracamente Balan-ceado com densidade f . Entao f e linear em quase todos os pontos de R, isto e, existe um campoT : R −→ L(R3) e, para cada vetor unitario n, um subconjunto R∗(n) de R tal que

V (R−R∗(n)) = 0 (9)

f(x,n) = T (x)n (10)

para todo x ∈ R∗(n).

Teorema 6 Seja F um Fluxo de Cauchy. entao F obedece a lei do balanco classica se, e somentese, F e fracamente balanceado.

Referencias

[1] R.A.Feijoo, Introduccion a Mecanica del Contınuo. Rio de Janeiro: Notas de Aula, 1977.

[2] M.E.Gutin, L.C. Mattins, Cauchy’s Theorem in Classical Physics. Arch. Rat. Mech. Anal.60 (305-324), 1976.

[3] L.A.Medeiros, E.A.Mello, A Integral de Lebesgue. Rio de Janeiro: Instituto Federal, 1989.

[4] S.T.Melo, F.M.Neto, Mecanica do Fluidos e Equacoes Diferenciais. Rio de Janeiro: IMPA,2000.

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