494 Capítulo 13: Integraçãopara CamposVetoriais

de uma superfície lisa S orientável que também está em D. Assim, pelo Teo-rema de Stokes,

t F . dr = Jf V X F . n da- = O.c s

A segunda é para curvas que apresentam intersecção consigo mesmas,como aquela na Figura 13.69. A idéia é quebrar essas curvas em laços simplesgerados por superfícies orientáveis, aplicar o Teorema de Stokes a um laço decada vez e somar os resultados.

FIGURA13.69 Em uma região abertasimplesmente conexa no espaço, curvasderiváveis que apresentam intersecçãoconsigo mesmas podem ser divididasem laços aos quais o Teorema deStokes se aplica.

o diagrama a seguir resume os resultados para campos conservativos defi-nidos sobre regiões abertas conexas e simplesmente conexas.

F conservativosobre D

Teorema 2,Seção 13.3

ê.e

1F8dr=üc

sobre todocaminhofechado em D

EXERCíCIOS 13.7

Usando o Teorema de Stokes para Calcular aCirculaçãoNos exercícios 1-6, use a integral de superfície no Teorema deStokes para calcular a circulação do campo F ao redor da curva Cno sentido indicado.

1. F = x2i + 2xj + ik

C: A elipse 4r + 1 = 4 no plano xy, no sentido anti-horárioquando vista de cima.

2. F = 2yi + 3xj - z2k

C: A circunferência r + 1 = 9 no plano xy, no sentido anti-horário quando vista de cima.

3. F =yi + xzj +z2k

C: A fronteira do triângulo cortado do plano x + y + z = 1pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando visto decima.

4. F = (I + i)i + (X2+ Z2)j + (X2+ I)k

c: A fronteira do triângulo cortado do plano x + y + z = 1pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando visto decima.

Teorema 1,Seção 13.3

~'";"""""""<,Rf' ,ro~: F= 'VfonD

Teorema 6

~~i.'}:{f!itfET'lcit.~~'~1

VxF=OemD

Conexidade simplesdo donúnio +Teorema de Stokes

5. F = (I + l)i + (x2+ I)j + (X2+ I)k

C: O quadradolimitadopelas retasx = :t 1 e y = :t:1 noplanoxy, no sentidoanti-horárioquandovistodecima.

6. F = x2l i + j + zk

C: A intersecção do cilindro r + 1 = 4 e do hemisférioX2 + 1 + Z2 = 16, z ~ O.

Fluxo do Rotacional7. Seja n o vetor unitário normal exterior da casca elíptica

s: 4X2 + 9y2 + 36z2 =36, z ~ O,

e seja

F = yi + x2j + (X2 + y4)3/2 sen e v'xYZk.

Encontre o valor de

ff V X F . n du.s

(Dica: Uma parametrização da elipse na base da casca é x = 3cos t, Y = 2 sen t, O ::; t::; 21T.)

-----..

I'r

8. Seja n o vetor unitário normal exterior (nonnal no sentidooposto da origem) da casca parabólica

S: 4xz + y + ZZ= 4, Y 2: O,

e seja

F=(-Z+2~X}+(arctgy)j+(X+ 4~z)k.Encontre o valor de

f JV X F .n do-.s

9. Seja S o cilindro ro + i = aZ,O :::;z :::;h, junto com seu topo,r + i :::;aZ,Z = h. Seja F = -yi + xj + rk. Use o Teoremade Stokes para encontrar o fluxo exterior de V X F através de S.

10. Calcule

J J V X (yi) . n do-,s

onde S é o hemisfério xZ + I + l = 1,z 2: O.

11. Fluxo do rotacional FMostre que

f JJ VXF'ndo-s

tem o mesmo valor para todas as superfícies orientadas S quese estendem sobre C e que induzem o mesmo sentido positivosobre C.

12. EscrevendoparaaprenderSeja F um campo vetorial diferen-ciável definido sobre uma região que contenha uma superfícieS lisa, fechada e orientada em seu interior. Seja n o campo devetores unitários normais em S. Suponha que S seja a união deduas superfícies SI e Sz unidas ao longo de uma curva C fe-chada, simples e lisa. Pode-se dizer algo sobre

JJV X F .n do-?s

Justifique sua resposta.

Teorema de Stokes para SuperfíciesParametrizadas

Nos exercícios 13-18, use a integral de superfície no Teorema deStokes para calcular o fluxo do rotacional do campo F através dasuperfície S no sentido do vetor unitário normal exterior n.

13. F = 2zi + 3xj + 5ykS: r(r, O)= (r cos O)i+ (r sen O)j+ (4 - rZ)k, O~ r:::;2,O ~ O:::; 27T

14. F = (y - z)i + (z - x)j + (x + z)k

S: r(r, O)= (r cos O)i+ (r sen O)j+ (9 - r2)k, O:::;r:::;3,O :::; 0$ 27T

15. F = xZyi + 2lzj + 3zk

S: r(r, O) = (r cos O)i + (r sen O)j + rk, O:::; r $ 1,Os O~ 27T

16. F = (x - y)i + (y - z)j + (z - x)k

S: r(r, O)= (r cos O)i+ (r sen O)j+ (5 - r)k,O ~ 9 $ 27T

O :::; r :::; 5,

L

13.7 Teoremade Stokes 495

17. F = 3yi + (5 - 2x)j + (l - 2)k

S: r( ep, 9) = (V3 sen epcos 9)i + (V3 sen epsen 9)j +(V3 cos ep)k, Os ep$ Tr12, O:::;O:::;2Tr

18. F = li + lj + xk

S: r( ep, 9) = (2 sen epcos O)i+ (2 sen epsen 9)j + (2 cos<jJ)k, 0$ ep$ 7T/2, 0$ 8$ 27T

Teoria e Exemplos19. Circulaçãozero Use a identidade V X VI = O (equação (8) no

texto) e o Teorema de Stokes para mostrar que as circulaçõesdos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfícieorientávellisa no espaço são zero.

~;i

iI

(a) F = 2xi + 2yj + 2zk

(b)F = V(xl~)

(c) F = V X (xi + yj + zk)

(d) F = VI

20. CirculaçãozeroSeja/(x,y, z) = (xz + i + zZ)-1I2. Mostre quea circulação no sentido horário do campo F = VIaoredor dacircunferência xZ + yZ= aZ no plano xy é zero

(a) Tomando r = (a cos t)i + (a sen t)j, O:S t:::;27T,e inte-grando F .dr sobre a circunferência.

(b) Aplicando o Teorema de Stokes.

21. Seja C uma curva simples, fechada e lisa no plano 2x + 2y +z = 2, orientada como mostrado aqui. Demonstre que o

T2YdX + 3zdy -xdzc

z

y

if

~

11

I

III,

x

depende apenas da área da região limitada por C, e não da po-sição ou forma de C.

22. Mostre que, se F = xi + yj + zk, então V X F = O.

23. Encontre um campo vetorial com componentes duas vezes de-riváveis cujo rotacional é xi + yj + zk ou prove que tal camponão existe.

24. EscrevendoparaaprenderO Teoremade Stokesdiz algo espe-cial sobre a circulação em um campo cujO rotacional é zero?Justifique sua resposta.

25. Seja R uma região no plano xy que é limitada por uma curva Cfechada, simples e lisa por partes e suponha que os momentosde inércia de R em relação aos eixos x e y sejam Ix e Iy. Calculea integral

fi;j~

'1

496 Capítulo 13: Integraçãopara CamposVetoriais

f V(r4) . n ds,c fF'dr

c

não é zero se C é a circunferência r + i = 1 no plano~. .(OTeorema 6 não se aplica aqui porque o domínio de F não ésimplesmente conexo. O campo F não é definido ao longo doeixo z, assim não há nenhuma maneira de contrair C a umponto sem deixar o domínio de F.)

onde r = V X2 + y2, em termos de Ix e Iy.

26. Rotacional zero, mas não conservativo Mostre que o rotacional de

F -y. + x . + k= --z2~ ~J zx+y x+y

é zero, mas que

Teorema da Divergência e uma Teoria UnificadaDivergente em Três Dimensões. Teorema da Divergência. Provado Teorema da Divergênciapara RegiõesEspeciais. TeoremadaDivergênciapara Outras Regiões. lei de Gauss: Umadas QuatroGrandes leis do Eletromagnetismo . Equação da ContinuidadedeHidrodinâmica . Unificando os Teoremas que EnvolvemIntegrais

A forma da divergência do Teorema de Green no plano afirma que o fluxoexte-rior líquido de um campo vetorial através de uma curva fechada simples podeser calculado integrando-se a divergência do campo sobre a região limitada pelacurva. O teorema correspondente em três dimensões, chamado de Teorema daDivergência, afirma que o fluxo líquido de um campo vetorial para fora atr(;lvésde uma superfície fechada no espaço pode ser calculado integrando-se a diver-gência do campo sobre a região limitada pela superfície. Nesta seção, provare-mos o Teorema da Divergência e mostraremos como ele simplifica o cálculo defluxo. Também deduziremos a Lei de Gauss para fluxo em um campo-elétricoea equação de continuidade da hidrodinâmica. Por fim, unificaremos os teoremasde integrais vetoriais do capítulo em um único teorema fundamental.

Divergente em Três Dimensões

O divergentede umcampovetorialF = M(x,y, z)i + N(x,y, z)j + P(x,y, z)kéa funçãoescalar

div F = V . F = 8M + 8N + 8P.8x éJy 8z

O símbolo 'div F' é lido como 'divergente de F', 'div F' ou 'divergente de F'.A notação V . F é lida como 'nabla escalar F' .

Div F tem em três dimensões a mesma interpretação física que tem emduas. Se F é o campo de velocidade de um escoamento fluido, o valor de div Fem um ponto (x, y, z) é a taxa à qual o fluido está sendo injetado ou drenado em(x, y, z). O divergente é o fluxo por unidade de volume ou densidade de fluxo I!.°ponto.

(1)

Exemplo 1 Encontrando o Divergente

Encontre o divergente de F = 2xzi - xyj - zk.

Solução O divergente de F é

8 8 8V . F = - (2xz) + - (- xy) + - (- z) = 2z - x-I.

8x 8y 8z

..