SOLUÇÕES EXATAS 2D DA EQ. DE NAVIER-STOKES

SOLUÇÕES EXATAS 2DDA EQ. DE NAVIER-STOKES

1. 1o Problema de Stokes

2. Escoamento na vizinhança de um ponto de estagnação (Hiemenz 1911)

3. Canal Convergente ou Divergente (Jeffery & Hamel )

IM250– Prof. Eugênio Rosa

Stokes 1st Problem• Mecanismo de transporte: difusão de quantidade de

movimento. • O transporte é proporcional ao gradiente da propriedade

transportada.

• Placa plana colocada em movimento num meio semi-infinito.

filme 200cs

dJ

dn


Formulação


IM250– Prof. Eugênio RosaPropriedades Função Erro

http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function




Métodos de Solução Eq. Difusão (i)

• A equação de difusão para um domínio semi-infinito.

• As técnicas de solução analítica para esta EDP linear são: • (i) transformação similar (apresentada); • (ii) transformação de Fourier e • (iii) Transformação de Laplace. Esta última aplica-se quanto U0

não for constante mas U0(t), também conhecida como ‘Stokes 2nd problem’. Para solução analítica acesse o link Laplace.


Métodos de Solução Eq. Difusão (ii)

• A equação de difusão para um domínio finito.

• A técnica de solução analítica para esta EDP linear é o método por separação de variáveis: (i) domínio cartesiano solução por série de Fourier, para solução

analítica acesse o link Fourier. (ii) domínio cilíndrico-polar por série de Bessel. (iii) domínio esférico por série de Legendre.

0

u y L, t 0c.c.

u y 0, t U

c.i. u y,0 0


Efeito da Viscosidade• Para problema puramente difusivos, foi visto que quanto maior

for a difusividade mais rapidamente o domínio sente o movimento da parede, veja expressão para a altura de penetração (1% de velocidade da fronteira)

t • Observe este efeito quando a parede externa do cilindro começa a girar (a)

fluido 100 cP e (b) 10000 cP


Reversibilidade 1º Prob. Stokes

• Um fluido viscoso preenche o cilindro. • Sua parede é posta a girar, após alguns instantes

ela para e inverte a rotação.• Observe o que acontece com o marcador do

fluido: ele retorna para mesma posição. Porque?

• O escoamento é reversível pq o fluido não possui termo convectivo (não-linear). Na ausência deste termo a equação permanece linear e portanto o esc. é reversível.

Filme reverso


Transporte por Difusão• Quantidade de movimento, vorticidade, temperatura, concentração (escalares

em geral , , h, s etc) são variáveis que são transportadas por difusão. • Note que as equações de transporte são similares!

• A Difusão turbulenta é muitas vezes maior que a laminar. De fato o movimento aleatório dos vórtices transporta de forma eficaz as propriedades

difusão laminar x turbulenta


Com

pet

ição

Dif

usã

o x

Con

vecç

ão


Com

pet

ição

Dif

usã

o x

Con

vecç

ão


Hiemenz Problem (1911)• Escoamento viscoso próximo a um ponto de estagnação 2D. • Mecanismo de transporte: difusão e convecção de quantidade de

movimento

K. Hiemenz , Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).K. Hiemenz, the boundary layer on a submerged in the uniform liquid flow right circular cylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).


Hiemenz Problem

z

kxf yu kxf ' e v = -ky

u vkxf "

y x

• Procura-se solução em termos de , satisfaz massa, uma eq. a menos!

z

kxyu kx e v = -ky

0

• Região efeitos viscosos ausentes:

• Região efeitos viscosos presentes: hipótese o não deslizamento muda dependência de (u,v) em y mas não é evidente que ele altere a dependência de (u,v) em x.

nao deslizamento, y = 0u x,0 0 f ' 0 0v x,0 0 f 0 0

longe da parede, y u x, kx f ' 1

como f ' 1 entaox, 0 f '' 0

Condições Contorno



f’()= 1



Forma Adimensional• A eq. de Q. Movimento Reduziu para

uma EDO dependente de y: 2''' '' 'k k kf .f .f . f

• A eq. possui dimensão de m-2, portanto cada vez que o valor de k/ será necessário resolvê-la novamente. É conveniente expressão a equação na forma adimensional para obter uma solução geral!

• Considerando as variáveis a seguir e suas dimensões k [s-1], [m2/s], f [m] e k/ [m-2] pode-se utilizar /k [m] como escala de comprimento do problema!

• A busca da forma adimensional da eq. Q.Mov. requer definir uma escala para y para deixar f(y) adimensional.

d ~ /k = y/


Forma Adimensional – escala

• Isto mostra que: os mecanismos de difusão e convecção são de mesma ordem e a escala coincide c/ o comprimento característico da eq.

• A escala é definida pelo mecanismo de difusão, t

• O tempo é definido pela convecção, t L U x kx 1 k

• Combinando as escalas, encontra-se que . A escala é não depende de x e t, mas é constante!

k

• A distância da parede, y, expressa na forma adimensional passa a ser:

y y k


Forma Adimensional – função corrente • Por hipótese define-se uma nova função

corrente com a função F() x, AxF

• F() é adimensional, x [m] e A é uma const. a ser determinada, A [m2/s]

Definição da constante A

• Longe da parede, y e ,

• A definição de u a partir de (x,y) ou de devem coincidir, logo x,

' 'ku kxf y u Ax F y k

y y e onde

' '' ' f F 1k

kf A FA k

• A função corrente x, k x F


Forma Adimensional – função corrente • Por hipótese define-se uma nova função

corrente com a função F() x, AxF

• F() é adimensional, x [m] e A é uma const. a ser determinada, A [m2/s]

Definição da constante A

• Longe da parede, y e ,

• A definição de u a partir de (x,y) ou de devem coincidir, logo x,

' 'ku kxf y u Ax F y k

y y e onde

' '' ' f F 1k

kf A FA k

• A função corrente x, k x F


Relações entre f(y) e F()

identidade

u = =

v = =

= =

/y = =

' 'f y F

f y Fk

'kxfy

kfx

''ukxf

y

'''kxfy

'kk x F

y

k Fx

''u kk x F

y

2

''kx F

y

'' ''kf y F

''' '''kf y F


Equação Q. Mov. e Condições de Contorno

A eq. Q. Mov. em f(y): 2''' '' 'k k k

f ff f 0

2''' '' 'F FF F 1 0

Sujeita às C. C.

' '

' '

y 0 u 0, f 0 0 e F 0 0

y 0 v 0, f 0 0 e F 0 0

y u kx, f 1 e F 1

Substituindo na eq. as definições de F no lugar de f chega-se a:

A EDO é resolvida numericamente utilizando, por exemplo, uma

rotina Runge Kutta 4ª ordem com método de shooting.


Sch

ilich

ting,

7th

ed



Para Re -> camada viscosa (cor rosa) tende a zero – Camada Limite.Para Re ->0 camada viscosa ocupa todo domínio (sem inércia)

Esta solução analítica de Hiemenz mostra pela primeira vez o efeito do Re no escoamento de fluidos!



Figure 8.1 – Flow past a circular cylinder at Re = 0.16. The flow is from left to right. It resembles superficially the pattern of potential flow. The flow of water is shown by aluminum dust. (Courtesy of The Parabolic

Press, Stanford, California. Reprinted with permission.)


Jeffery Hamel Flow (2D) • Escoamento desenvolvido num canal convergente / divergente

formado por duas placas paralelas inclinadas entre si. • Linhas de corrente são retas que passam pela origem, em coordenadas

cilindrico-polar (r, ):– u = 0 (desenvolvido) & rur = f()

George Barker Jeffery (9 May 1891 – 27 April 1957) was a leading mathematical physicist in the early twentieth century.Georg Karl Wilhelm Hamel (12 September 1877 – 4 October 1954) was a German mathematician with interests in mechanics, the foundations of mathematics and function theory.


Re.


d c

c

2c

e 2c = C, então

C


=



Perfil de Velocidade (10º)i. Canal convergente, sempre

possível, Re cresce o perfil fica mais plano com forte gradiente próximo parece, C.L.

ii. Canal divergente é limitado a Recritico=const/ e Re >Recritico. Pode ocorrer separação quando aumenta ou Re diminui


Comentários da Solução• O perfil de velocidades para um canal convergente

ou divergente diferem entre sí. • Para o canal convergente a medida que Re aumenta

o perfil tende a ficar cada vez mais uniforme em toda a extensão do canal;

• Para o canal divergente o perfil depende de Re e pode apresentar valores negativos! Isto é, recirculação.

• Para haver recirculação é necessário que o escoamento tenha separado (um estágio anterior). O modelo mostra que separação ocorre com o aumento do ângulo e a diminuição de Re


Leitura Complementar Algumas soluções analíticas NS

• Algumas soluções analíticas das eqs. NS estão reportadas em White, F.M., Viscous Flow, cap. 3 e Schlichting, H., Boundary Layer Theory, cap. 5.

– Unsteady duct flows– Unsteady flows with moving boundaries * – Assymptotic suction flows– Wind driven flows– Hiemenz flow (2D and axis-symmetric) *– Von Karman, flow near infinite rotating disk

– Jeffery-Hamel flow in a wedge shaped region *

• Existe uma segunda grande classe de soluções aproximadas de NS que são obtidas por séries assintóticas.

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