Equações de Navier-Stokes

• Para um fluido em movimento, a pressão(componente normal da força de superfície) édiferente da pressão termodinâmica:

• é invariante a rotação dos eixos decoordenadas, e equivale a p para o fluidoestático, i.e., é igual ao valor médio docomponente normal de tensão no elementode superfície na posição x) . Para o fluidoestático,

!

p " #1

3trT

!

p

!

p = p

• Assim, para um fluido Newtoniano:

• Para fluido Newtoniano incompressível:!

p = p " # +2

3µ

$

% &

'

( ) * •u

+ = T+1

3trT

$

% &

'

( ) I = 2µE"

2

3µ * •u( )I

!

p = p

" = " = 2µE

Equações de Navier-Stokes• Para um fluido isotérmico (µ ≈ cte) e

incompressível, a equação de momentumfica:

• Definindo a pressão modificada ou pressãodinâmica

!

"# u( )#t

+ u•$ u( )%

& '

(

) * = "g +$p+ µ$2

u

!

"# u( )#t

+ u•$ u( )%

& '

(

) * =$P + µ$2

u

!

"#P $ %g "#p (= 0 no fluido estático)

Equação de energia para fluidosem que a Lei de Fourier é válida

• Em geral, nos fluidos Newtonianos a Leide Fourier é satisfeita

• A equação de energia para o fluidoNewtoniano incompressível é dada por:

!

"Cp

D#

Dt= $

#

"

%"

%#

&

' (

)

* + p

Dp

Dt+ p, •u+ T oE +, • k,#( )

!

"Cp

D#

Dt= $

#

"

%"

%#

&

' (

)

* + p

Dp

Dt+ 2µ E oE( ) +, • k,#( )

Comportamento não Newtoniano

• Fluidos complexos• Não satisfazem a equação constitutiva

para o fluido Newtoniano• Polímeros, suspensões, etc.• Compostos por macromoléculas• Propriedades elásticas:• Propriedades reológicas dependem do

escoamento (ex.: viscosidade)!

Wi " # ˙ $

Fluidos não Newtonianos

• Fluidos puramente viscosos (Newtoniano Generalizado): viscosidadevaria com a taxa de deformação. Fluidos viscoplásticos: também possuem tensão limite de

escoamento• Fluidos viscoelásticos: possuem características viscosas e elásticas• Equações constitutivas: não existem equações que descrevam o

comportamento geral de fluidos complexos em quaisquer tipos deescoamentos

• Duas técnicas distintas são usadas para a obtenção de equaçõesconstitutivas: mecânica do contínuo x modelagem molecular (descriçãomatemática do material na escala das macromoléculas)

• Modelagem híbrida: mecânica do contínuo+modelagem molecular paraproduzir modelos empíricos relativamente simples

• Fluido Newtoniano Generalizado:

!

" =#( ˙ $ ) ˙ $

BinghamPseudoplástico

Newtoniano

Dilatante

τ

!

˙ "

Herschel-Bulkley

Fluidos puramente viscosos

Fluidos viscoelásticos

• Modelo de Maxwell: Equação constitutiva paramateriais viscoelásticos

!

" = "a

+ "b

˙ " = ˙ " a

+ ˙ " b

=#

µ+

˙ #

G $ # +

µ

G˙ # = µ˙ "

γa γb

• Amortecedor (elem. viscoso):

• Mola (elem. elástico):

!

" = µ˙ #

!

" =G#

τ

Condições de contorno: paredessólidas e interfaces• Tipos:

– Fronteira livre– Fronteira limitada: paredes ou interfaces

• Condição cinemática (conservação de massaem S, componente normal da velocidadecontínuo) u•n=û•n em S

Se a outra fase é sólida,û=usólido (parede fixaimpermeável, û=0)

Mudança de fase na interface:

ρ(u- uI)•n= ρ( û- ûI) •n em S

Velocidade da interface

• Condição de contorno térmica• Temperatura: em S (=θs se for parede)• Fluxo de calor (conservação de energia na

interface):

!

" = ˆ "

!

j•n = ˆ j •n em S

j = "k#$ + % u"uI( )CP $ "$ ref( )ˆ j = " ˆ k # ˆ $ + ˆ % ˆ u "uI( ) ˆ C P

ˆ $ "$ ref( )

Sem mudança de fase Com mudança de fase (H=CP∆θ)

!

u•n = ˆ u •n = uI •n

"k #$ •n( ) = " ˆ k # ˆ $ •n( )= Qs (se for parede)

!

"k #$ •n( ) + ˆ k # ˆ $ •n( ) = % H " ˆ H ( ) u"uI( ) •n

• Condição de contorno dinâmica– Especifica a relação entre os componentes

tangenciais da velocidade– Assumindo que a velocidade é contínua na

interface (não deslizamento):

– A condição de não deslizamento ocorre namaioria dos fluidos Newtonianos (moléculaspequenas), e também em muitas situaçõesdos fluidos complexos

!

u" u•n( )n = ˆ u " ˆ u •n( )n (parede, ˆ u =Usólido

)

• Condição de contorno Navier-slip

– β: coeficiente de deslizamento (empírico)– A condição estabelece que ocorre um

deslizamento, e que este é função damagnitude da tensão cisalhante na parede

• O deslizamento em geral ocorre paraaltos valores de tensão

• Ângulo de contato: ângulo entre ainterface gás/líquido e uma superfíciesólida

!

u" u•n( )n"# T•n" T•n( ) •n( )n[ ] = 0

• Materiais “repelentes a água”, θc>1500

• Tensão interfacial (ou superficial, quando ainterface envolve um líquido e um gás):fornece uma medida do trabalho requeridopara aumentar a área da interface (i.e., paraformar uma nova interface, trazendomoléculas do fluido longe dela)

• Balanço de forças na linha de contato(equação de Young):

!

"LGcos#

c= "

SG$ "

SL

γij: tensão interfacial na interface ij

• Obs: imagine a tensão interfacial como o trabalhorequerido para criar uma unidade de área superficial⇒alto γij indica forte atração entre i e j.

• Da eq. acima, vemos que θc pequeno implica em γSG >γSL (líquido fortemente atraído ao sólido) e θc alto, γSL > γSG

• A CC de deslizamento ou não deslizamento pode serdefinida usando o conceito de atração entre líquido esólido (ou θc): deslizamento ocorre em paredeshidrofóbicas (alto θc )

• Em geral, a CC de não deslizamento é satisfatóriapara fluidos Newtonianos

• Fluidos complexos: deslizamento pode ocorrer,especialmente a altas tensões

Outras observações sobre CC:

• Nas interfaces, além das CC de velocidade, sãonecessárias CC adicionais

• Interfaces mudam ao longo do escoamento.Generalização da condição cinemática:

• Condição de tensão: balanço de forças na interface(que tem volume nulo) - soma das forças na interfaceé zero

• Hipótese: interface é caracterizada por uma superfícieou tensão interfacial, que é função do estadotermodinâmico local (T ou p)

!

F " z # h x,y,t( )

1

$F

%F

%t+ u•n = 0

• Forças agindo na interface: pressão e tensãoagindo nas faces (proporcionais à área dainterface); força devida a tensão interfacial queage no plano da interface, nas bordas doelementode superfície.

• Tensão interfacial: medida de energia livre porunidade de área. Aumento de área requeraumento da energia livre (trabalho) do sistema.Na teoria macroscópica, este trabalho éproduzido pela força por unidade decomprimento γ (tensão interfacial)

• Balanço de forças em A:

T: tensão no primeiro fluido: tensão no segundo fluido

n: vetor normal a interfacet: vetor tangente a interface

!

T" ˆ T ( )A## •ndA + $ tdI

C#

= grad s$dA" $n %•n( )dAA#

A##

1 2 3 = 0

T" ˆ T ( ) •n + grads$ " $n % •n( ) = 0

!

ˆ T

• Componente normal (•n): T=-pI+τ

• Equação de Young-Laplace (fluidos semmovimento):

• Obs: se a eq. de YL não pode sersatisfeita

• Escoamentos capilares: esc. Governados pelatensão superficial quando existem gradientesem ( : pressão capilar)

!

ˆ p tot " ptot + # " ˆ # ( ) •n[ ] •n{ }" $ % •n( ) = 0

!

ˆ p tot " ptot = # $ •n( )termo de curvatura

1 2 4 3 4

$ •n =1

R1

+1

R2

!

" •n # cte

!

" •n( )

!

" # •n( )

• Componente tangencial:(•t1 e •t2,perpendiculares a n)

!

0 = " # ˆ " ( ) •n[ ] • ti+ grad

s$( ) • t

i

grads$ % & #n n•&( )

- Componentes tangenciais da tensão são descontínuosatravés da interface quando gradsγ não é zero.- Tensão interfacial depende do estado termodinâmico (p, T): efeitos termocapilares- Obs: surfactantes - reduzem a tensão superficial na interface