UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

LICIENCIATURA EM MATEMÁTICA

PERFIS DE VENTO BIDIMENSIONAIS APARTIR DAS EQUAÇÕES DE

NAVIER-STOKES

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Nandyne Londero

Santa Maria, RS, Brasil

2015

PERFIS DE VENTO BIDIMENSIONAIS A PARTIR DASEQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES

Nandyne Londero

Monografia apresentada ao Licenciatura em Matemática Diurno daUniversidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para

a obtenção do grau deGraduado em Licenciatura em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Charles Rogério Paveglio Szinvelski

Santa Maria, RS, Brasil

2015

Londero, Nandyne

PERFIS DE VENTO BIDIMENSIONAIS A PARTIR DASEQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES / por Nandyne Londero. – 2015.

44 f.: il.; 30 cm.

Orientador: Charles Rogério Paveglio SzinvelskiTrabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal de Santa

Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Licenciatura em Matemá-tica Diurno, RS, 2015.

1. Equação de Navier-Stokes. 2. Camada Limite Planetária.3. Equação de Ekman. I. Szinvelski, Charles Rogério Paveglio. II. Tí-tulo.

c© 2015Todos os direitos autorais reservados a Nandyne Londero. A reprodução de partes ou do tododeste trabalho só poderá ser feita mediante a citação da fonte.E-mail: nandynelondero@gmail.com

Universidade Federal de Santa MariaCentro de Ciências Naturais e Exatas

Licienciatura em Matemática

A Comissão Examinadora, abaixo assinada,aprova a Trabalho de Conclusão de Curso

PERFIS DE VENTO BIDIMENSIONAIS A PARTIR DAS EQUAÇÕES DENAVIER-STOKES

elaborada porNandyne Londero

como requisito parcial para obtenção do grau deGraduado em Licenciatura em Matemática

COMISSÃO EXAMINADORA:

Charles Rogério Paveglio Szinvelski, Dr.(Presidente/Orientador)

Fernando Colman Tura, Dr. (UFSM)

Salvador Lou Vega, Dr. (UFSM)

Santa Maria, 07 de Julho de 2015.

AGRADECIMENTOS

Com a consciência que a realização do trabalho somente se tornou possível graças acontribuição e apoio de muitas pessoas, reservo esse espaco para demonstrar minha gratidão atodas elas, em particular:

• Ao meu orientador Charles R. P. Szinvelski, pelo ensinamento e pela paciência durante osemestre;

• Agradeço, em especial, à professora Lidiane Buligon, que sempre se mostrou interessadaneste trabalho, dando as devidas sugestões, acompanhando cada etapa e dando as pistasque possibilitaram para que o mesmo chegasse ao seu término;

• Agradeço aos amigos, que participaram direta ou indiretamente, para a conclusão destetrabalho;

• Agradeço, ao meu namorado Raphael pelo apoio, pela amizade, pela cumplicidade, pelapaciência e pelo carinho demonstrados durante todo o semestre;

• À minha mãe, Marlene, ao meu pai, Paulo, que estiveram ao meu lado desde o início docurso, me apoiando psicologicamente e também financeiramente durante todo o período;

• Por fim, agradeço Universidade Federal de Santa Maria.

RESUMO

Trabalho de Conclusão de CursoLicienciatura em Matemática

Universidade Federal de Santa Maria

PERFIS DE VENTO BIDIMENSIONAIS A PARTIR DAS EQUAÇÕES DENAVIER-STOKES

AUTORA: NANDYNE LONDEROORIENTADOR: CHARLES ROGÉRIO PAVEGLIO SZINVELSKI

Local da Defesa e Data: Santa Maria, 07 de Julho de 2015.

Este trabalho apresenta a obtenção de perfis de vento para a Camada Limite Planetáriaa partir das Equações de Movimento das Equações de Navier-Stokes. A obtenção do modelo éderivado de equações fundamentais que governam os movimentos atmosféricos (Equações deConservação). A técnica utilizada para a obtenção desta solução teórica assemelha-se a técnicaempregada por Ekman em seu modelo e, agrega-se, do processo da discretização da CamadaLimite Planetária (CLP) (MOREIRA, 1995), esperando-se a obtenção de perfis de vento maisrealísticos.

Palavras-chave: Equação de Navier-Stokes. Camada Limite Planetária. Equação de Ekman.

ABSTRACT

Undergraduate Program in Mathematics - LicenseFederal University of Santa Maria

PERFIS DE VENTO BIDIMENSIONAIS A PARTIR DAS EQUAÇÕES DENAVIER-STOKES

AUTHOR: NANDYNE LONDEROADVISOR: CHARLES ROGÉRIO PAVEGLIO SZINVELSKI

Defense Place and Date: Santa Maria, July 07th, 2015.

This paper introduces the obtaining of wind profiles for Planetary Boundary Layer fromthe Movement equations of Navier-Stokes equations. The obtaining of the model is derivedfrom fundamental equations that govern the atmospheric movements (conservation equations).The technique used to achieve this theoretical solution is similar to the technique used by Ek-man in his model, and adds to, the discretization process of planetary boundary layer (PBL)(MOREIRA, 1995), hoping to obtain wind profiles more realistic.

Keywords: Navier-Stokes Equation. Planetary Boundery Layer. Ekman Equation.

LISTA DE APÊNDICES

APÊNDICE A – Vento Geostrófico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38APÊNDICE B – Coeficientes de Difusão para Turbulência Térmica e Mecânica . . . . . 40

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1 Teorias de Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Modelos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Soluções Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1 Equações de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1 INTRODUÇÃO

As descrições matemáticas do comportamento dos fluídos ganharam uma representação

no século XIX , na forma das equações de Navier-Stokes, a partir dos trabalhos pioneiros dos

franceses Navier, Poisson e do inglês Stokes.

As equações de Navier-Stokes fornecem bases para a interpretação e pesquisa do pro-

cesso de escoamento na camada limite atmosférica. Um resultado decorrente dessa pesquisa é

geração de campos de vento médio, que além de representar a busca por soluções analíticas das

Equações de Navier-Stokes também se faz relavante devido a sua aplicabilidade nos modelos

de dispersão atmosférica.

Um exemplo desta busca por soluções analíticas, é o modelo de Ekman (SORBJAN,

1989; HOLTON, 2004). Esta solução sugerida por Ekman fora obtida sob certas hipótese sim-

plificadoras, como estacionariedade, homogeneidade horizontal, movimento vertical desprezí-

vel, o balanço entre as forças de gradiente de pressão e a força de Coriolis, um vento geostrófico

constante conforme a altura varia, uma viscosidade molecular desprezível e coeficiente de difu-

são constante na vertical.

Buscando soluções mais realísticas, adequações e modificações do modelo de Ekman

foram sugeridos e destacam-se os modelos que impõem perfil de difusividade que variam com

a altura (MONIN; YAGLOM, 1971; GRISOGONO, 1995). Tan (2001) propôs uma solução

para a camada de Ekman semi-geostrófica, incluindo coeficiente de difusão variável com a

altura e assumindo campo de pressão baroclínico, este modelo uniu as soluções apresentadas

por Wu e Blumen (1982) e de Grisogono (1995). Wilson e Flesch (2004) utilizaram um modelo

composto por camada superficial (perfil logarítmico da teoria de MONIN; OBUKHOV), pela

camada de Ekman modificada (profundidade finita) e por uma camada geostrófica (aproximada

pelo vento térmico).

Neste processo para obtenção de soluções mais realísticas, Szinvelski et al. (2006) con-

sideraram as condições da estacionaridade, homogeneidade horizontal, desprezaram a subsidên-

cia e a viscosidade molecular, além de uma discretização da altura da Camada Limite Planetária

(CLP) análogo ao utilizada por Moreira (1995) e a consideração do escoamento geostrófico ba-

rotrópico e baroclínico (SORBJAN, 1989; STULL, 1988), através do uso dos componentes do

vento geostrófico na superfície (caso barotrópico) e ambos valores constantes dados experimen-

talmente.

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Em seu trabalho, Buligon et al. (2010) não considerarou homogeneidade horizontal, esta

suposição implica que a estrutura da atmosfera varia no plano horizontal e não permite a omis-

são dos gradientes horizontais, mas assumiram as hipóteses: estacionariedade, desprezo da sub-

sidência, desprezo do termo de viscosidade molecular, consideração do escoamento geostrófico

baroclínico, discretização da altura da CLP, consideração dos efeitos de grande escala do esco-

amento cinemático representados pelos termos de divergência e de vorticidade (BLUESTEIN,

1992), o que resultou em uma solução mais real para o campo de vento médio bidimensional

turbulento.

Na linha dos modelos descritos acima, o modelo a ser proposto aproxima-se dos traba-

lhos de Szinvelski et al. (2009) e de Buligon et al. (2010), entretanto propõem-se o uso de perfis

para o vento geostrófico calculados pelo modelo The Weather Research and Forecasting model

- WRF (http://www.wrf-model.org/index.php), que, supõem-se trazer mais realismo a solução

da equação para o campo de vento médio bidimensional turbulento.

Supõem-se, ainda, que as condições de contorno devem atender a suposição de que am-

bas as componentes horizontais da velocidade assumam um valor constante no solo e se aproxi-

mam dos seus ventos geostróficos no topo da camada limite planetária. Devido a discretização

da CLP faz-se necessário assumir contato perfeito entre as subcamadas, hipóteses representa-

das pelas condições de interfaces. Ainda, decorrente da sua natureza semialítica, espera-se que

o modelo apresente um baixo custo computacional, o que é uma vantagem quando compara-

dos (em termos de tempo de computacional) aos modelos numéricos disponíveis na literatura

(microescala (LES) e mesoescala (WRF)).

Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar uma solução teórica para as equações de

Navier-Stokes unidimensionais aplicadas a CLP para a obtenção de perfis de vento unidimensi-

onais.

Assim, o trabalho se divide em cinco capítulos, dois apêndices e um anexo.

No segundo capítulo, apresenta-se uma breve revisão bibliográfica com o objetivo de

descrever suscitamente a linha de pesquisa em que se enquadra o presente trabalho, servindo

como um primeiro material para uma pesquisa bibliográfica na área.

No terceiro capítulo, apresenta-se as bases teóricas utilizadas na dedução do modelo es-

tudado partindo de princípios gerais, perpassando pelas equações constituintes das equações de

Navier-Stokes e equações de estados. Apresenta-se o processo de decomposição de Reynolds

e sua aplicação para a obtenção das equações de movimento utilizadas no estudo e respectivas

12

questões de fechamento dos parâmetros turbulentos decorrentes dessa aplicação, assim como,

algumas hipóteses simplificadoras usualmente aplicadas na área. Como um modelo exemplifi-

cado, analisá-se o Modelo de Ekman e sua resolução, justifica-se esse seção, pois apresentam-se

os métodos utilizados no estudo do modelo proposto.

O capítulo quatro, é propriamente a apresentação e resolução do modelo proposto para

a geração de um campo de vento bidimensional e alguns resultados obtidos. Finalizando com a

conclusão (capítulo cinco).

Apresentam-se, ainda, dois apêndices tratando dos respectivos tópicos: Vento geostró-

fico e Coeficientes de Difusão Turbulenta. O primeiro é uma breve apresentação do que é o

vento geostrófico (BULIGON, 2009) e seguido da dedução dos coeficientes de difusão a se-

rem utilizados na implementação de um futuro trabalho (DEGRAZIA et al., 2000; BULIGON,

2009; SZINVELSKI, 2009).

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Por um longo tempo, a busca por uma solução analítica para os perfis de vento médio na

camada limite atmosférica, em condições mais realistas, tem promovido importantes pesquisas

nas áreas de matemática e física. Encontramos um vasto conjunto de estudos de modelos que

impõem perfil de difusividade que variam com a altura, revisados por Zilitinkevich (1970),

Monin e Yaglom (1971) e Grisogono (1995).

Outros estudos têm expandido as soluções incluindo condições baroclínicas e advectivas

mostrados por Miles (1994) e Bannon e Salem (1995). Tan (2001) propôs uma solução para a

camada de Ekman semi-geostrófica, incluindo coeficiente de difusão variável com a altura e

assumindo campo de pressão baroclínico, este modelo uniu as soluções apresentadas por Wu

e Blumen (1982) e de Grisogono (1995), os resultados mostraram que a estrutura do vento

em uma camada de Ekman semi-geostrófica depende da interação entre a aceleração inercial,

coeficiente de difusão variável e gradiente de pressão baroclínico.

2.1 Teorias de Similaridade

Na década de 50, Monin e Obukhov (1954) propuseram uma teoria de similaridade vá-

lida para a camada limite superficial, baseada na suposição de que o regime turbulento é descrito

por alguns parâmetros chaves, com os quais é possível construir escalas características do mo-

vimento. Deardoff (1970) desenvolveu a teoria de similaridade para a camada bem misturada,

propondo as escalas de movimentos características desta região.

A teoria de similaridade do número de Rossby para uma Camada Limite Atmosférica

(CLA) barotrópica (BLACKADAR; TENNEKES, 1968), e uma baroclínica (YORDANOV;

WIPPERMANN, 1972) foi derivada com a finalidade de fornecer uma maneira de calcular

fluxos superficiais a partir de parâmetros de grande escala em modelos de resolução vertical

limitada, em que a teoria de similaridade de Monin-Obukhov não poderia ser aplicada. Em

meados de 1980, esta teoria não se manteve e, em muitos modelos de circulação de grande

escala, a teoria número de Rossby foi substituída pela de Monin-Obukhov. Tennekes (1982)

forneceu uma excelente descrição para a camada limite atmosférica, geralmente em problemas

de escala.

Na década de setenta e início da década de oitenta, a compreensão da difusão turbulenta

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na camada limite planetária convectiva teve considerável avanço a partir dos experimentos de

tanque de Willis e Deardorff (1974; 1976; 1978; 1981) que comprovaram que a estrutura vertical

da turbulência na camada limite convectiva não obedece a uma distribuição Gaussiana. Os

primeiros suportes para as observações de laboratório de Willis e Deardorff foram obtidos a

partir de modelos numéricos de Lamb (1978; 1982), que usou resultados do modelo de “Large

Eddy Simulation”, de Deardorff (1972).

Experimentos de campo, tais como o Experimento de Kansas (IZUMI, 1971), o Expe-

rimento de Wangara (CLARKE et al., 1971) e o Experimento de Minessota (KAIMAL; WYN-

GAARD; HAUGEN; COTé; IZUMI; CAUGHEY; READINGS, 1976), estudaram o perfil, os

fluxos, as variâncias, os espectros e outras características estatísticas de vento e de temperatura,

dando uma grande contribuição para o entendimento de processos que governam a camada li-

mite atmosférica. Muitos desses resultados foram usados como base para a determinação de

funções da teoria de similaridade.

Uma teoria de similaridade local válida para toda a camada limite planetária estável foi

introduzida por Nieuwstadt (1984). Esta mostrou-se, em muitos aspectos, como uma generali-

zação da teoria de Monin-Obukhov para a camada superficial (DERBYSHIRE, 1990; SORB-

JAN, 1989) .

No ano de (1985), Briggs propôs uma expressão para a distribuição de concentração ver-

tical obtida a partir dos resultados de laboratório de Willis e Deardorff. Uma teoria de similari-

dade local válida para toda a Camada Limite Planetária estável foi introduzida por Nieuwstadt

e Sorbjan.

2.2 Modelos Numéricos

Nas décadas de 70 e 80, muitos autores estudaram a estrutura e a dinâmica da camada

de mistura. Os modelos desenvolvidos com esta finalidade baseavam-se em casos em que os

gradientes verticais eram pequenos em toda a camada limite atmosférica. Eles se dividiam

em modelos que utilizavam equações médias sobre ensemble 1, ou média sobre volume e em

de simulação de grandes turbilhões (LES) com média sobre volume. Estes procuram simular,

principalmente, perfis de temperatura, vento, umidade, fluxos de calor e umidade, variância

de temperatura, reproduzir os perfis verticais dos momentos estatísticos de primeira e segunda

1 A média sobre ensemble corresponde a média aritmética sobre um número grande e finito de experimentosidênticos (STULL, 1988)

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ordem.

Deardorff (1972; 1974a) propôs um modelo numérico tridimensional, no qual a maior

parte da turbulência foi explicitamente calculada e a escala da turbulência de subgrade foi mode-

lada pelo esquema de fechamento de segunda ordem. Porém, este modelo exigia uma resolução

muito pequena nas variáveis espaciais e na variável temporal, o que implicava em um enorme

tempo computacional e memória para o armazenamento dos dados. Por esse motivo, Mellor e

Yamada (1974), Wyngaard e Coté (1974), Zeman e Lumley (1976), André et al (1978), entre

outros, utilizaram esquema de turbulência média sobre ensemble com fechamento de ordem

superior (segundo e terceira ordem).

Mellor e Yamada (1974) apresentaram uma análise que simplificava o modelo de fe-

chamento de segunda ordem, em um de três níveis (nível-3) que usa somente duas equações

diferenciais parciais prognóstica e um conjunto de equações lineares algébricas para resolver as

variáveis turbulentas em uma camada limite convectiva seca. O modelo nível-3 foi utilizado por

Mellor e Yamada (1974) para simular variações diurnas da camada limite planetária, observada

durante o experimento de Wangara.

Sun e Ogura (1980) modificaram o esquema sugerido por Mellor e Yamada (1974) in-

corporando fórmulas para os momentos de terceira ordem e termos para a pressão propostos

por Zeman e Lumley (1976). Em oposição aos trabalhos de Mellor e Yamada (1974), Deardoff

(1974b) introduziu a escala de comprimento da turbulência, que depende da estratificação da

atmosfera. Embora os resultados obtidos por Sun e Ogura concordem melhor com os dados do

experimento de Wangara, comparados aos simulados por Yamada e Mellor (1975), o esquema

para a turbulência é mais difícil de se aplicar em modelos de duas ou três dimensões, que é a

parametrização sugerida no modelo nível-3.

Wyngaard (1974), Yamada e Mellor (1975) e André et al. (1978) simularam evoluções

noturnas da camada limite planetária.

Deardoff (1980) simplificou o modelo sugerido por ele na década de 70, assumindo que

as relações para o coeficiente de difusão são válidas para fluxos turbulentos e que o coeficiente

de difusão é proporcional à raiz quadrada da energia cinética turbulenta. Ainda que este mo-

delo calcule turbulência de subgrade, suas equações básicas são similares às apresentadas em

Mellor e Yamada (1977) (modelo de nível-2.5 que calcula turbulência média sobre ensemble),

embora o último esquema apresente fórmulas mais complicadas para a escala de comprimento

e coeficiente de difusão.

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Enger (1986) and Sun e Chang (1986) e simularam dados do experimento de Wangara,

bem como a dispersão de poluentes na camada limite convectiva.

Proposto por Moeng (1984), o modelo LES, é composto de um conjunto de cinco equa-

ções prognósticas, as quais determinam a evolução temporal e espacial das componentes médias

da velocidade do vento, da temperatura potencial média na escala resolvida e a energia ciné-

tica turbulenta média na escala de subgrade. O modelo ainda é constituído por uma equação

diagnóstica que determina o campo espacial das flutuações de pressão na escala resolvida. Es-

tas equações são obtidas aplicando-se um filtro passa-baixa 2 nas equações de conservação de

momento, massa e energia e assume-se a aproximação de Boussinesq. A condição de contorno

inferior, ou contorno de superfície, no modelo LES, é uma interface rígida em que a velocidade

vertical é nula. A conexão entre os dados de superfície utilizados como forçante no modelo

e o primeiro ponto da grade numérica é realizada através da teoria de similaridade de Monin-

Obukov (STULL, 1988). As condições de contorno superior impõem velocidade vertical média

nula, fluxos de subgrade nulos, barotropia e gradiente linear de temperatura potencial. Isso

significa que não há variação da velocidade entre os dois últimos pontos verticais da grade e a

variação de temperatura é linear (MARQUES, 2004; PUHALES, 2008). Este modelo emprega o

método pseudo-espectral para resolver numericamente as derivadas em relação às coordenadas

horizontais e ao método de diferenças finitas para as derivadas em relação à coordenada ver-

tical (SULLIVAN; MCWILLIAMS; MOENG, 1994; MARQUES, 2004; RIZZA et al., 2006;

DEGRAZIA et al., 2007).

2.3 Soluções Analíticas

Embora o objetivo deste trabalho seja a obtenção de perfis de vento na CLP, muitas das

técnicas de resolução das Equações diferenciais envolvidas são provenientes de trabahos de área

de Difusão-Advecção. Assim, um dos pioneiros na resolução de equação analítica foi Fick, na

metade do século XIX. Ele obteve a primeira solução da equação de difusão-advecção, a conhe-

cida solução Gaussiana, na qual o coeficiente de difusão e a velocidade do vento são constantes

com a altura. Esta solução tem como condições de contorno:

Kz∂c

∂z= 0 em z = 0 e z →∞,

2 As escalas de movimento são separadas através da aplicação de um filtro de frequências que elimina as altasfrequências do escoamento turbulento.

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que correspondem a fluxo nulo de contaminantes na parte inferior e superior da camada limite

planetária.

Modelos e soluções bidimensionais para a Equação de Difusão-Advecção de difusão

verticais (Kz) podem ser encontradas em Roberts (1923), Rounds (1955) e Smith (1957).

Scriven e Fisher (1975) propuseram a solução com U constante e Kz, como segue:

Kz = z para 0 ≤ z ≤ zt

e

Kz = Kz(zt) para zt ≤ z ≤ zi,

onde zt é geralmente a altura da camada limite superficial.

Em seus respectivos trabalhos, Moura (1995) e Pires (1996), obtiveram a solução ana-

lítica da equação de difusão unidimensional dependente do tempo, sem vento, utilizando o

coeficiente de difusão Kz de Degrazia et al. (1997) para o caso estável e convectivo, respecti-

vamente.

Em 1998, Vilhena et al. (1991) e Moreira et al. (1999), resolveram analiticamente a

equação difusão-advecção estacionária, considerando a turbulência não homogênea e utilizando

o sistema de multicamadas. Este modelo diferentemente dos modelos Gaussianos não considera

o coeficiente de difusão constante em toda a CLP. Moreira et al. (2003) resolveu o mesmo

modelo para o caso não estacionário.

O modelo de duas camadas, sugerido por Bannon e Salem (1995), assume que o vento

geostrófico varia com a altura; considera a camada mais baixa consistente com a teoria da

similaridade de Monin-Obukhov e, acima, a camada de Ekman com coeficiente de difusão

constante. É similar ao de Krishna (1981) e Brown (1982). Neste trabalho, os autores discutiram

aspectos da baroclinicidade linear da camada de Ekman, vorticidade superficial, divergência e

movimento vertical na camada limite.

Berger e Grisogono (1998) estenderam os resultados obtidos por Grisogono (1995) para

o caso baroclínico e coeficiente de difusão variável. Em ambos os trabalhos, os autores utiliza-

ram o método WKB (ver (BENDER; ORSZAG, 1978)).

Garratt (1982) utilizaram um modelo de três camadas para a camada limite atmosférica

instável, composta por camada superficial, camada de mistura e camada de transição. Assu-

mindo camada limite atmosférica fracamente baroclínica, derivaram relações para as compo-

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nentes do vento na camada de mistura e o deficit de velocidade. Além do mais, eles incluíram

efeitos de advecção e de entranhamento (transporte vertical através da camada de transição).

Wilson e Flesh (2004) utilizaram um modelo composto por camada superficial (perfil

logarítmico da teoria de Monin-Obukhov), pela camada de Ekman modificada (profundidade

finita) e por uma camada geostrófica (aproximada pelo vento térmico). Para demonstrar a flexi-

bilidade do modelo de duas camadas, os autores otimizaram os parâmetros livres para fornecer

melhores curvas interpoladas para simples perfis de vento de multi-níveis. Estes incluíam mo-

delos para perfis vento extraídos de Canadian Global Environmental Multi-scale weather model

(GEM), bem como perfis experimentais obtidos a partir do experimento de Wangara e do ex-

perimento de dispersão sobre oceanos (LROD). Segundo os autores, em muitos casos, os perfis

simulados pelo modelo de duas camadas mostram-se satisfatórios. A performance do modelo

comparado ao experimento de Wangara nos dias 33 e 40 (WILSON, J.D.; FLESCH, T.K., 2004).

Em um mais recente trabalho, Buligon et al. (2010), realizou uma solução analítica para

a dispersão vertical a partir de uma fonte área. A solução obtida é uma solução analítica para

a equação unidimensional transiente aplicada na determinação da concentração de poluentes

atmosféricos representada por uma fonte área instantânea. Na solução da equação foi utilizada

a técnica da Transformada de Laplace considerando-se a CLP como um sistema multicama-

das, o que permite simular turbulência nãohomogênea representada por perfis contínuos dos

parâmetros turbulentos.

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Nas próximas seções serão apresentadas, resumidamente, as equações fundamentais que

governam os movimentos atmosféricos. Deduções e informações completas das equações apre-

sentadas a seguir podem ser obtidas em livros como Hinze (1975), Sorbjan (1989), Brown

(1990), Holton (2004), Vianello e Alves (2006), Lemes e Moura (2002) e Fortuna (2000). Pos-

teriormente apresentar-se-ão duas aproximações usuais para problemas aplicados à descrição de

fenômenos de transporte a atmosfera, o Equilíbrio Hidrostático e a Aproximação Geostrófica.

Em síntese, este capítulo apresentará as hipóteses e princípios básicos para a dedução e

resolução do modelo proposto. Para isto, partirá-se da forma mais geral da equação de conserva-

ção e equações constitutivas (parametrizações) até sua aplicabilidade no problema de obtenção

de perfis de campos de vento unidimensionais em relação a altura da camada limite planetária.

3.1 Equações de Conservação

Leis de conservação são equações que descrevem o modo que determinado ente físico

é balanceado através de um processo físico. Tais equações são aplicadas, em diversas áreas da

Física (conservação de massa, de cargas, de energia, etc.) e outras ciências naturais.

Matematicamente, leis de conservação são expressadas por equações diferenciais, de-

nominadas equações governantes ou equações de movimento. Basicamente, estas equações

descrevem como o processo evolui no tempo.

Tomando u como sendo uma função escalar, que representa a densidade ou a concen-

tração medida de uma determinada quantidade do ente por unidade de volume no espaço n-

dimensional; ou unidade de hipervolume, para um específico tempo t, define-se u = u(x, t),

com x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn e t ∈ R∗+. Seja V ⊂ Rn, a região de interesse na evolução do pro-

cesso e ∂V sua borda, com parametrização suave. Tem-se então que a taxa de variação temporal

da quantidade total contida em V é

d

dt

∫V

u(x, t)dx,

com elemento de volume n-dimensional dx = dx1 . . . dxn.

A taxa temporal de variação do total da quantidade do ente, em V ; será balanceada pela

taxa produzida por uma fonte (ou destruída por um sumidouro) em V, mais a taxa líquida da

20

quantidade que flui, através de ∂V . Toma-se f(x, t, u) como termo de fonte e a quantidade total

deste termo em V será dado por:

∫V

f(x, t, u)dx.

Esse termo de fonte (ou termo de sumidouro) depende tanto das variáveis espaciais e temporal,

como de u, pois u contém informações sobre a distribuição espacial e temporal do ente em cada

ponto P ∈ V .

Figura 3.1 – Representação da região de interesse V ∈ R3 com contorno suave - ∂V , e elementode superfície dS com normal n exterior e Campo de Fluxo Φ. Esquematiza - se, Figura 3.1-b,a dedução da Integral de Fluxo do Campo Vetorial Φ. Figura modificada a partir de figuras de(LOGAN, 1994) - Figura 3.1 - a; e (Swokowski, 1994) - Figura 3.1 - b.

A taxa líquida que flui através de V se dá na direção do campo vetorial (seja de velo-

cidade, de massa, de cargas, etc.), definido pela função Φ(x, t), uma função contínua, em que

se supõe que o bordo ∂V é composto por uma membrana delgada, pela qual o ente possa fluir.

Sobre esta superfície, define-se o vetor normal unitário exterior n(x), com componentes con-

tínuos e dS, um elemento infinitesimal de superfície, ou elemento infinitesimal de hiperfície -

sem perda de generalidade, usar-se-á elemento de superfície e elemento de volume dentro de

uma contextualização explícita (aqui, no espaço Rn). Logo, tem-se que Φ(x, t) é praticamente

constante em dS, pois Φ(x, t) é uma função contínua (ver Figura 3.1-b, no caso tridimensio-

nal)(SWOKOWSKI, 1994); e a quantidade de ente que flui através de dS, é aproximadamente

o volume do prisma de área dS e altura Φ(x, t) · n, logo dV = Φ(x, t) · ndS, o que permite

estabelecer o fluxo total de Φ(x, t) através da superfície ∂V é

21

∫∂V

Φ(x, t) · ndS.

De uma maneira geral, para uma região de interesse V , uma lei de conservação funda-

mental para um determinado ente u é dado pelo equacionamento:

taxa temporal de mudança do ente em V = taxa líquida do ente que flui através de V +

a taxa que o ente é produzido (ou destruído) em V .

Ou seja,

d

dt

∫V

u(x, t)dx = −∫∂V

Φ(x, t) · ndS +

∫V

f(x, t, u)dx, (3.1)

o sinal de menos representa o fato de que o ente está sendo direcionado para o interior ou

exterior de V por Φ, em que na primeira situação, o sentido do campo Φ é contrário a n e, na

segunda os sentidos são “concordantes”3.

Esta equação integral é a forma geral para uma lei de conservação.

Pelo Teorema da Divergência , segue que:

∫V

∇ ·Φ(x, t)dx =

∫∂V

Φ(x, t) · ndS,

logo, utilizando a Regra de Leibniz - derivação sob o sinal de integração - e agrupando os

termos, tem-se:

∫V

(∂u(x, t)

∂t+∇ ·Φ(x, t)− f(x, t, u)

)dx = 0,

seja um ponto P = (x1, . . . , xn) ∈ V , e fazendo a região V → P , sendo VP o volume no ponto

P , utiliza-se do fato que4

3 Φ · n‖Φ ‖ · ‖n ‖

= Φ · n = cos(θ) =

|cos(θ)|, −π/2 ≤ θ ≤ π/2−|cos(θ)|, π/2 < θ < −π/2 , onde Φ é o versor do campo Φ, e

θ = Φ]n, com n]n = 0.

4 MODELO

O direcionamento dado a esta pesquisa é a obtenção de perfis de vento para a CLP a

partir das Equações de Movimento das Equações de Navier-Stokes.

Estes perfis de vento, mediante o emprego das hipóteses:

• homogeneidade horizontal (STULL, 1988);

• estacionariedade (STULL, 1988);

• desprezando a subsidência e a viscosidade molecular (STULL, 1988);

• considerando o escoamento geostrófico barotrópico e baroclínico (SORBJAN, 1989; STULL,

1988);

serão obtidos através de uma discretização da altura da CLP (MOREIRA, 1995), procedimento,

este, que se aproximará de uma descrição mais realística do campo de vento médio bidimensi-

onal na Camada Limite Planetária.

Partem-se das equações de movimento para as componentes u e v, ver Sitema (3.31),

são dadas por:

0 = fcv − fcvg +d

dz

(Kz

du

dz

)(4.1)

e

0 = −fcu+ fcug +d

dz

(Kz

dv

dz

). (4.2)

E admitidas as hipóteses acima, em destaque o processo de discretização da CLP, o que

permite considerar o coeficiente de difusão vertical Kz constante em cada camada resultante da

discretização, reescrevem-se como:

Kzd2u

dz2+ fcv = fcvg (4.3)

e

Kzd2v

dz2− fcu = −fcug. (4.4)

E de maneira análoga ao apresentado no Modelo de Ekman, sintetiza-se em uma única

equação em w:

Kzd2w

dz2− fciw = −fcwgi (4.5)

23

com w = u + vi e wg = ug + vgi, 0 ≤ z ≤ zi, zi a altura da CLP, com respectivas condições

de contorno (impõem-se que ambas as componentes horizontais da velocidade assumam um

valor constante no solo e se aproximam dos seus valores geostróficos no topo da camada limite

planetária):

w = w0 em z = z0 (4.6)

e

w = wg em z = zi. (4.7)

O processo de discretização apresentado por Moreira (1995), consiste na discretização

da altura da CLP (zi) em N subcamadas, onde, embora os valores dos coeficientes de difusão

vertical Kzn são constantes, nas respectivas subcamadas, assim como os valores dos compo-

nentes do vento geostrófico; mantém, dessa forma, a característica de perfis variáveis destes

parâmetros, e consequentemente dos perfis de ventos u e v.

As Equações (4.3) e (4.4) em u e v discretizadas são expressas por:

Kzd2undz2

+ fcvn − fcvgn = 0 (4.8)

e

Kznd2vndz2− fcun + fcugn = 0. (4.9)

E, consequentemente, a equação em w discretizada, será expressa como:

Kzn

d2wndz2

− fcwn = −ifcwgn, (4.10)

com zn ≤ z ≤ zn+1 e n = 1, 2, ..., N − 1.

As condições de contorno para un e vn impõem que ambas as componentes horizontais

da velocidade assumam um valor constante no solo e se aproximem dos seus valores geostrófi-

cos no topo da camada limite planetária, expressas, matematicamente, a seguir:

un = u0 e vn = v0 em z = z0 e n = 1, (4.11)

e

un = ugn e vn = vgn em z = zi e n = N. (4.12)

As condições de contorno para wn é expressa por

wn = w0 em z = z0 e n = 1 (4.13)

24

Figura 4.1 – Representação da discretização da Camada Limite Planetária

e

wn = wgn em z = zi e n = N (4.14)

A partir da discretização, Kz, ug e vg passam a ser denominados Kzn, ugn e vgn, respec-

tivamente, uma vez que elas representam a camada discretizada em questão.

As condições de continuidade para as componentes do vento médio e fluxos nas inter-

faces garantem contato perfeito entre as subcamadas em que a CLP foi dividida; são necessá-

rias para determinar as 2N constantes que surgem da solução do problema, representado pelas

Equações (4.8) e (4.9), condições, estas, dadas por:

un = un+1 em z = zn e n = 1, 2, ...(N − 1); (4.15)

vn = vn+1 em z = zn e n = 1, 2, ...(N − 1); (4.16)

Kzn∂un∂z

= Kz(n+1)∂un+1

∂zem z = zn e n = 1, 2, ..., (N − 1) (4.17)

e

Kzn∂vn∂z

= Kz(n+1)∂vn+1

∂zem z = zn e n = 1, 2, ..., (N − 1). (4.18)

E para sua equivalente em w, tem-se:

wn = wn+1 em z = zn e n = 1, 2, ...(N − 1) (4.19)

e

Kzn∂wn∂z

= Kz(n+1)∂wn+1

∂zem z = zn e n = 1, 2, ..., (N − 1) (4.20)

Em resumo, tem-se o sistema:

25

Kznd2wndz2

− fcwn = −ifcwgn, n = 1, 2, ..., (N − 1)

wn = w0 em z = z0 e n = 1

wN = wg em z = zi

wn = wn+1 em z = zn e n = 1, 2, ...(N − 1)

Kzn∂wn∂z

= Kz(n+1)∂wn+1

∂zem z = zn e n = 1, 2, ..., (N − 1)

. (4.21)

Observe, que ao adotar a hipótese de discretização da CLP em N subcamadas, os parâ-

metros utilizados na elaboração do modelo deverão ser discretizados e seus valores serão dados

pelo seus respectivos valores médios em cada subcamada:

Kzn =1

zn+1 − zn

∫Kz(z)dz; (4.22)

ugn =1

zn+1 − zn

∫ug(z)dz (4.23)

e

vgn =1

zn+1 − zn

∫vg(z)dz. (4.24)

Como w = u+ iv, as equações (4.23) e (4.24) , podem ser reescritas como:

wgn =1

zn+1 − zn

∫wg(z)dz, (4.25)

com n = 1, 2, ..., N . 5

Utilizando o mesmo procedimento em que se obteve a solução para o modelo de Ekman,

tem-se a solução para o Sistema (4.21) válidas para o Hemisfério Norte:

wn(z) = Anexp[γn(1 + i)z]−Bnexp[γn(1 + i)z] + wgn, (4.26)

com γn =√

fc2Kn

e An, BnεC.

Para determinar as constantes An e Bn , aplicam-se as condições de contorno (4.13) e

(4.14) e as condições de interface (4.19) e (4.20), como segue:

em z0 = z1 :w0 = w1 ,

em 6

5 Sugere-se a utilizaçãp do algoritmo para a integração numérica o Romberg (BURDEN; FAIRES, 2003) e alinguagem de programação para a implementação do algoritmo o FORTRAN90 (KERRIGAN, 1993).6 w1(z1) = A1e

γ1z1(cosγ1z1 + isenγ1z1) +B1e−γ1z1(cosγ1z1 − isenγ1z1) + wg1

=

w2(z2) = A2eγ2z2(cosγ2z2 + isenγ2z2) +B2e

−γ2z2(cosγ2z2 − isenγ2z2) + wg2

26

z1 = z2 :

w1 = w0

w1 = w2

K1∂w1

∂z1= K2

∂w2

∂z2

,

em z2 = z3 :

w1 = w2

w2 = w3

K2∂w2

∂z2= K3

∂w3

∂z3

,

em z3 = z4 :

w2 = w3

w3 = w4

K3∂w3

∂z3= K4

∂w4

∂z4

,

......

em z(N−1) = zN :

w(N−2) = w(N−1)w(N−1) = wN

K(N−1)(∂w(N−1)

∂zN−1= KN

∂wN

∂zN

,

em z = zi :wi = wg .

Com as expressões obtidas acima, chega-se a um sistema linear de dimensão (η = 2N)

dado por: Mx = b, em que:

M =

M11 M12 0 0 0 · · · 0 · · · 0M21 M22 −M23 −M24 · · · 0 0 · · · 0M31 M32 −M33 −M34 · · · 0 0 · · · 0

0 0 M43 M44 · · · 0 0 · · · 0...

......

......

......

......

0 0 0 0 · · · Mη−1,η−3 Mη−1,η−2 −Mη−1,η−1 −Mη−1,η0 0 0 0 0 · · · 0 Mη,η−1 Mη,η

,

x =

[A1 B1 A2 B2 · · · AN BN

]T e b =[b1 b2 · · · bη−1 bη

]T ,

são definidos como segue:

M11 = eγ0z0 [(cosγ0z0 − senγ0z0) + i(senγ0z0 + cosγ0z0],

M12 = e−γ0z0 [(−cosγ0z0 − senγ0z0) + i(senγ0z0 − cosγ0z0],

e

b1 = w0 − wg1 .

Para n = 1, 2, ..., N − 1, tem-se7:

M21 = eγ1z1 [(cosγ1z1 − senγ1z1) + i(senγ1z1 + cosγ1z1],

7 bi = 0, para i = 2, 3, 4, ..., η − 1

27

M22 = e−γ1z1 [(−cosγ1z1 − senγ1z1) + i(senγ1z1 − cosγ1z1],...

M2n,2n−1 = e−γnzn [(−cosγ2zn − senγ2zn) + i(senγ2zn − cosγ2zn],

M2n,2n = eγnzn [(cosγnzn − senγnzn) + i(senγnzn + cosγnzn],

e

b2N = wg

O sistema Mx = b pode ser resolvido utilizando-se o método numérico da Eliminação

de Gauss (BURDEN; FAIRES, 2003), Estratégias de Pivotação, Decomposição LU ou Fatora-

ção Cholesky. Recomenda-se o método de Gauss pois a rotina é simples e a matriz tem muitos

zeros.

5 CONCLUSÃO

O presente trabalho se mostrou relevante em minha formação, pois permitiu unir con-

ceitos e técnicas estudados no decorrer do curso de graduação com uma finalidade distinta das

abordagens vistas até então. A experiência matemática adquirida ao longo da graduação per-

mite explorar outras áreas, como conteúdos físicos e fenômenos meteorológicos, sendo para

tanto necessária a apropriação de conceitos peculiares para que haja uma maior interação com

os temas.

Objetivamente, este trabalho apresenta uma solução teórica para as equações de Navier-

Stokes aplicada a Camada Limite Planetária (CLP) para a obtenção de um campo de vento

bidimensional e por consequência, este modelo em particular, deriva das equações de conserva-

ção, as quais, em sua forma geral, são apresentadas como uma fonte de revisão para a área.

O modelo apresentado é proveniente do Modelo de Ekman, do qual se utiliza o processo

de resolução e de uma série de suposições e hipóteses simplificadoras nas parametrizações dos

parâmetros turbulentos. Entretanto, com o objetivo de tornar o modelo mais realístico, os ter-

mos turbulentos são parametrizados seguindo a teoria K (DEGRAZIA et al., 2000), os quais são

escritos em termos das características do campo turbulento na camada limite convectiva junta-

mente com uma proposta de discretização da altura da Camada Limite Planetária (MOREIRA,

1995), onde empregá-se valores médios para os parâmetros físicos utilizados pelo modelo.

Espera-se que o modelo desenvolvido teoricamente, neste trabalho, apresente melhores

resultados que o apresentado pelo modelo de Ekman e ao final, obteremos os perfis de vento

médio horizontais.

Futuramente, pretende-se comparar o desempenho do modelo estudado com outros mo-

delos: WRF que é um modelo de mesoescala de previsão numérica do tempo, desenvolvida

para servir as necessidades operacionais de previsão, bem como das pesquisas atmosféricas

(http://www.wrf-model.org/index.php), com o modelo LES (Large Eddy Simulation) (RIZZA

et al., 2006), com a Lei Logarítmica (STULL, 1988) e com o modelo de Ekman (HOLTON,

2004).

29

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APÊNDICES

38

APÊNDICE A – Vento Geostrófico

O vento geostrófico é um escoamento horizontal, uniforme, paralelo às isóbaras 8 e

ocorre nos níveis superiores da atmosfera (atmosfera livre), em que os efeitos de atrito são

desprezíveis. Para o vento geostrófico tem-se

1

ρ

∂p

∂y= −fcug, (A.1a)

1

ρ

∂p

∂x= fcvg, (A.1b)

em que ug e vg são componentes zonal e meridional do vento geostrófico e fc é o parâmetro de

Coriolis.

No escoamento geostrófico, a força do gradiente de pressão é equilibrada pela força de

Coriolis, resultando num escoamento com velocidade constante, ~Vg, paralela às isóbaras.

O vento geostrófico é uma excelente aproximação do vento observado na atmosfera

livre, exceto nas vizinhanças do Equador (senφ→ 0) e em locais de escoamento excessivamente

curvos.

Ao substituir e derivar em relação a z nas vgeo e (A.1a), a equação do equilíbrio hidros-

tático (eeh) e a equação de estado (eqe),tem-se que

∂ug∂z

= −Rfc

(∂T

∂z

∂ lnp

∂y− ∂T

∂y

∂ lnp

∂z

), (A.2a)

∂vg∂z

=R

fc

(∂T

∂z

∂ lnp

∂x− ∂T

∂x

∂ lnp

∂z

), (A.2b)

em que1

p

∂p

∂xi=∂ lnp

∂xi, i = x, y.

A variação vertical do vento geostrófico dada pelas dgeo é chamada de vento térmico e

sua existência está vinculada a exitência de um gradiente horizontal de temperatura ao longo

das superfícies isobáricas.

Das dgeo temos que o vento térmico é zero e, consequentemente, as componentes do

vento geostrófico são constantes. Quando a camada limite planetária é barotrópica, a densi-

dade depende apenas da pressão (ρ = ρ (p)); no entanto, quando a camada limite planetária é

baroclínica, a densidade depende da pressão e da temperatura (ρ = ρ (p, T )) e resulta no vento

térmico diferente de zero.

8 A partir dos valores de pressão atmosférica plotados em uma carta geográfica, podem ser traçadas linhas queunam pontos de mesmo valor da pressão; tais linhas são chamadas isóbaras (VAREJãO-SILVA, 2005).

39

Utilizando novamente a equação hidrostática (eeh) e a equação de estado (eqe), tem-se

∂ug∂z

= − g

fcT

∂T

∂y, (A.3a)

∂vg∂z

=g

fcT

∂T

∂x. (A.3b)

As componentes do vento geostrófico, no caso baroclínico, são obtidas integrando as

dgeo2 no intervalo (z0, z), resultando em

ug = uT z + ug0, (A.4a)

vg = vT z + vg0, (A.4b)

em que ug0 e vg0 são as componentes do vento geostrófico na superfície da Terra e

uT = − g

fcT

∂T

∂y, (A.5a)

vT =g

fcT

∂T

∂x. (A.5b)

40

APÊNDICE B – Coeficientes de Difusão para Turbulência Térmica eMecânica

Os coeficientes de difusão utilizados nesse estudo foram propostos por (DEGRAZIA

et al., 2000). Eles são derivados a partir da teoria de difusão estatística de Taylor, considerando-

se que os espectros turbulentos, gerados pelos forçantes térmicos e mecânicos, são modelados

a partir de uma combinação linear (HINZE, 1975; FRISCH, 1995). Portanto, no presente caso,

tal parametrização permite reproduzir de maneira realística a camada limite convectiva, na qual

a turbulência próxima à superfície é gerada por efeito mecânico.

Assumindo a hipótese de superposição, pode-se escrever o espectro Euleriano unidi-

mensional como:

SEi (n) = SEib(n) + SEis(n), (B.1)

onde o primeiro termo do lado direito representa a parte produzida por empuxo e o segundo

termo representa a parte mecânica. Os índices b e s referem-se aos forçantes térmico e mecâ-

nico, respectivamente.

A componente térmica do espectro unidimensional é dada por (DEGRAZIA, 1998):

n SEib(n)

w2∗

=1, 06 ci f ψ

2/3ε

(zzi

)2/3(f ∗m)5/3i

[1 + 1, 5

(f

(f∗m)i

)]5/3 , (B.2)

com:

• ci = αiαu (2πκ)−2/3; αi é derivado experimentalmente a partir do espectro para cada

componentes de direção do vento, e vale 1, 43

e 43

para u,v e w, respectivamente; e αu =

0, 5 ± 0, 05 (CHAMPAGNE et al., 1977; SORBJAN, 1989) e κ = 0, 4 é a constante de

von Kármán;

• f =nz

U(z), é a freqüência reduzida onde z é a altura acima do solo e U(z) = U é a

velocidade média do vento horizontal;

• ψε =εbziw3∗

é a taxa de dissipação adimensional, εb = (0, 75)3/2(w3∗/zi

)é a taxa média de dissipação térmica do ECT (CAUGHEY; PALMER, 1979; WILSON,

1997);

41

• z é a altura acima do solo;

• zi é o topo da camada limite convectiva;

• (f ∗m)i =z

(λm)ié a freqüência reduzida do pico espectral convectivo, onde (λm)i é o

comprimento de onda associado ao máximo do espectro vertical (KAIMAL et al., 1976;

CAUGHEY, 1982; DEGRAZIA, 1998), com:

(λm)u = (λm)v = 1, 5zi,

(λm)w = 1, 8 zi

[1− exp

(−4z

zi

)− 0, 0003 exp

(8z

zi

)];

• w∗ = (u∗)0

(ziκ|L|

)1/3é a escala de velocidade convectiva;

• L é o comprimento de Monin-Obukov;

• (u∗)0 é a velocidade de fricção na superfície;

Substituindo f em (B.2) e integrando analiticamente a equação para o espectro sobre

todo o domínio da freqüência, como segue

∫ ∞0

SEib(n) dn =1, 06 ci z ψ

2/3ε

U (f ∗m)5/3i

(z

zi

)2/3

w2∗

∫ ∞0

[1 + 1, 5

(z

U (f ∗m)in

)]−5/3dn (B.3)

e, assim, pode-se obter a expressão da variância da velocidade do vento σ2ib, que é dada por:

σ2ib = 1, 06 ci

ψ2/3ε

(f ∗m)2/3i

(z

zi

)2/3

w2∗. (B.4)

O valor do espectro de energia Euleriano normalizado pela variância da velocidade tur-

bulenta pode ser expresso por:

FEib (n) =

SEib(n)

σ2ib

=z

U (f ∗m)i

[1 + 1, 5

f

(f ∗m)i

]−5/3(B.5)

e, consequentemente, em n = 0:

FEib (0) =

z

U (f ∗m)i. (B.6)

A componente mecânica do espectro dimensional é dada por (DEGRAZIA; MORAES,

1992):

42

nSEis(n)n

u2∗=

1, 5cifφ2/3ε

(fm)5/3i

[1 +

1, 5f 5/3

(fm)5/3i

]−1, (B.7)

onde:

• ci e f seguem as mesmas definições dadas anteriormente;

• u∗ é a velocidade de fricção; u∗ = (u∗)20

(1− z

h

)α1

, α1 = 1, 7 (WYNGAARD; COTé;

RAO, 1974);

• φε =εskz

u3∗é a função taxa de dissipação molecular, e εs =

u3∗kz

(1− z

zi

)é a taxa média

de dissipação mecânica do TKE (HOJSTRUP,1982), k é a constante de van Kármán;

• (fm)i é a freqüência do pico espectral da estratificação neutra dado por:

(fm)i =

0, 045

(1 + 117

fcz

(u∗)0

), i = u

0, 16

(1 + 33

fcz

(u∗)0

), i = v

0, 35

(1 + 15

fcz

(u∗)0

), i = w

(B.8)

fc = 2Ω senφ é o parâmetro de Coriolis.

Substituindo f em (B.7), pode-se escrever a equação para o espectro mecânico, da se-

guinte forma:

SEis(n) =1, 5ciφ

2/3ε

(fm)5/3i

u2∗z

U

[1 +

1, 5f 5/3

(fm)5/3i

]−1.

Integrando SEis(n) analiticamente sobre todo o domínio de freqüências:

∫ ∞0

SEis(n) dn =1, 5ciφ

2/3ε

(fm)5/3i

u2∗zφ2/3ε

U

∫ ∞0

[1 +

1, 5(nzU

)5/3(fm)5/3i

]−1dn, (B.9)

onde

∫ ∞0

[1 +

1, 5(nzU

)5/3(fm)5/3i

]−1dn =

3

5π csc

(2π

5

)[1, 5

(fm)5/3i

( zU

)5/3]−3/5

,

obtém-se a expressão para a variância da velocidade do vento para o caso mecânico:

43

σ2is =

2, 32 ciφ2/3ε u2∗

(fm)2/3i

. (B.10)

O valor do espectro de energia Euleriano normalizado pela variância da velocidade tur-

bulenta pode ser expresso por:

FEis (n) =

SEis(n)

σ2is

=0, 64

(fm)i

z

U

[1 +

1, 5

(fm)5/3i

(n zU

)5/3]−1(B.11)

e, consequentemente, em n = 0:

FEis (0) =

0, 64

(fm)i

z

U. (B.12)

Assumindo a superposição linear dos efeitos térmico e mecânico, o espectro Euleriano

adimensional é dado por:

FEi (n) = FE

ib (n) + FEis (n) =

SEib(n)

σ2ib

+SEis(n)

σ2is

. (B.13)

Considerando, agora, o valor do espectro adimensional para grandes tempos de viagem,

toma-se (B.13) na origem (n ≈ 0), resultando em:

FEi (0) = FE

ib (0) + FEis (0) =

SEib(0)

σ2ib

+SEis(0)

σ2is

, (B.14)

que juntamente com as equações (B.6), (B.12), (B.4) e (B.10), resulta em:

FEi (0) =

z

U (f ∗m)i+

0, 64z

U (fm)i. (B.15)

Conforme expressão obtida em (DEGRAZIA, 2000) para o coeficiente de difusão

Kα =σ2i βiF

Ei (0)

4, (B.16)

onde βi =γU

σié a razão entre as escalas de tempo Lagrangianas e Eulerianas, é possível obter

o coeficiente de difusão, Kα com α = x, y, z, para dispersão em regime de turbulência térmica

e mecânica:

Kα =0, 11σibz

(f ∗m)i+

0, 07σisz

(fm)i, (B.17)

ou

44

Kα = 0, 11√ci

[zψ

1/3ε w∗(z/zi)

1/3

(f ∗m)4/3i

+u∗zφ

1/3ε

(fm)4/3i

], (B.18)

onde assume-se o valor de γ igual a 0, 44.