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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
Thaís Vendruscolo
ANÁLISE DOS CONTEÚDOS TAXAS DE VARIAÇÃO, FUNÇÕES
E PROGRESSÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO
DE ESCOLAS PÚBLICAS DE SANTA MARIA E NO ENEM.
Santa Maria, RS
2015
Thaís Vendruscolo
ANÁLISE DOS CONTEÚDOS TAXAS DE VARIAÇÃO, FUNÇÕES E
PROGRESSÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO DE ESCOLAS
PÚBLICAS DE SANTA MARIA E NO ENEM.
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Matemática Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obtenção do
título de Licenciada em Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Sandra Eliza Vielmo
Santa Maria, RS
2015
2
Thaís Vendruscolo
ANÁLISE DOS CONTEÚDOS TAXAS DE VARIAÇÃO, FUNÇÕES E
PROGRESSÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO DE ESCOLAS
PÚBLICAS DE SANTA MARIA E NO ENEM.
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Matemática Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obtenção do
título de Licenciada em Matemática.
Aprovado em 02 de dezembro de 2015:
Sandra Eliza Vielmo, Dra. (UFSM)
(Presidente/Orientadora)
Liane Teresinha Wendling Roos, Dra. (UFSM)
Luciane Gobbi Tonet, Dra. (UFSM)
Santa Maria, RS
2015
3
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde e pela vida.
Aos meus pais Vilmor e Marlí, ao meu irmão Thiago, que mesmo longe sempre me
apoiaram e me incentivaram na minha trajetória, por todos os momentos de rezas, fé e
confiança durante essa caminhada.
À professora Sandra, pelas orientações, preocupações, contribuições e ensinamentos
durante a realização deste trabalho.
4
RESUMO
ANÁLISE DOS CONTEÚDOS TAXAS DE VARIAÇÃO, FUNÇÕES E
PROGRESSÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO DE
ESCOLAS PÚBLICAS DE SANTA MARIA E NO ENEM.
AUTORA: THAÍS VENDRUSCOLO
ORIENTADORA: SANDRA ELIZA VIELMO
Esta pesquisa tem por objetivo investigar como (ou se) os livros didáticos utilizados pelas
maiores escolas públicas de Ensino Médio da cidade de Santa Maria e as questões do ENEM,
tratam as relações existentes entre os conteúdos matemáticos taxas de variação, funções e
progressões. Inicialmente foi realizado um aporte teórico sobre a metodologia da resolução de
problemas e do ENEM, destacando os objetivos deste exame no período de 1998 a 2009 e
posteriormente, no “Novo ENEM”. Também, foi realizada uma revisão matemática, quanto as
definições e teoremas que relacionam estes conteúdos. Considerando essas relações foram
analisados os livros didáticos das cinco maiores escolas públicas da cidade de Santa Maria,
conforme classificação do ENEM. Na sequência, foram selecionadas questões do “Novo
ENEM” relacionadas a estes conteúdos e propostas resoluções de forma a integrá-los. A partir
destas análises, constata-se que a forma tradicional de ensinar Matemática ainda se faz
presente na vida escolar, o que de certa forma traz sérias dificuldades aos alunos ao aplicar os
conteúdos matemáticos em situações da realidade ou até mesmo, quando se submetem a prova
do ENEM. Portanto, a partir dessa pesquisa, sugere-se uma maior preocupação no
planejamento pedagógico escolar de modo a articular e contextualizar os conteúdos, como é
fortemente recomendado pelas políticas públicas.
Palavras-chaves: Taxas de Variação. Contextualização. Livros Didáticos. ENEM.
5
ABSTRACT
ANALYSIS OF RATE OF CHANGE, FUNCTIONS AND PROGRESSIONS
CONTENT IN DIDATIC BOOKS EDUCATION OF PUBLIC SCHOOLS EAST IN
SANTA MARIA AND ENEM.
AUTHOR: THAÍS VENDRUSCOLO
ADVISOR: SANDRA ELIZA VIELMO
This research investigates if and how the didatic books, used by the largest public high
schools in the city of Santa Maria, and the questions from ENEM address the relationship
between the mathematical contents: rate of change, functions, and progressions. Initially, we
performed a theoretical framework on the methodology of problem solving and ENEM,
highlighting the objectives of this exam from 1998 to 2009 and later, the "New ENEM".
Furthermore, we performed a mathematical review on the definitions and theorems related to
these contents. Considering these associations, several didatic books from the top five public
schools in the city of Santa Maria were analyzed, according to the classification of ENEM.
Questions from the "New ENEM", related to these contents, were selected, and we proposed
resolutions to integrate them. From these analyses, it is noticeable that the traditional way of
teaching mathematics is still present in school life, which may incur in serious difficulties for
students to apply these mathematical contents in real scenarios or even when they undergo
ENEM. Therefore, from this research, we suggest an increased care in the school educational
planning to articulate and contextualize the contents, as is strongly recommended by public
policies.
Keywords: Variation Rates. Contextualization. Didatic Books. ENEM.
6
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 7
1 APORTE TEÓRICO ................................................................................... 9
1.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................................................. 9
1.2 ENEM ............................................................................................................................. 10
2 DESENVOLVIMENTO ........................................................................... 15
2.1 APORTE MATEMÁTICO ............................................................................................. 15
2.2 LIVROS DIDÁTICOS EM ESCOLAS PÚBLICAS DO ENSINO MÉDIO ................. 19
2.2.1 Análise dos Livros Didáticos ......................................................................................... 20
2.2.2 Análise Comparativa dos Livros Didáticos ................................................................. 24
2.3 QUESTÕES DO ENEM .................................................................................................. 25
2.3.1 Resolução e Análise Individual das Questões do ENEM ........................................... 25
2.3.2 Análise Geral das Questões do ENEM ........................................................................ 44
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................... 46
7
INTRODUÇÃO
Observa-se frequentemente que os alunos nas aulas da disciplina de Matemática fazem
perguntas do tipo: Por que temos que estudar esse conteúdo? Em que vamos usar esse
conteúdo que estamos aprendendo? Muitas vezes, nestes casos o professor não tem ou não
está preparado para responder aos alunos. A partir desses questionamentos, surge a
necessidade de um ensino contextualizado e interdisciplinar, levando o aluno a reconhecer as
conexões entre os diferentes temas matemáticos e, relacionar esses temas com o
conhecimento de outras áreas do currículo, construindo uma importante ferramenta para dar
sentido e motivar a aprendizagem.
Do mesmo modo, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM)
(BRASIL, 2000) afirmam que o critério central no ensino da Matemática deve ser a
contextualização e a interdisciplinaridade, pois permitem a ligação entre diversos conceitos
matemáticos e as outras ciências.
A escolha do tema deste trabalho surgiu da observação de que muitos acadêmicos do
Ensino Superior não compreendem as interpretações físicas e geométricas das taxas de
variação, definidas nas disciplinas de Cálculo I ou A, ministradas nos semestres iniciais dos
cursos de graduação das áreas de ciências naturais e exatas ou afins. Além disso, observa-se
que em relação as funções afim e exponencial, não compreendem as relações destas funções
com as progressões aritméticas e geométricas, conteúdos vistos no Ensino Médio.
Uma suposta hipótese é que a maioria dos livros didáticos do Ensino Médio não
desenvolvem estes conteúdos de modo a interligá-los. Em geral, na disciplina de Matemática,
os dois blocos de conteúdos (funções e progressões) são desenvolvidos isoladamente e o
conceito de taxa de variação, embora trabalhado e aplicado na disciplina de Física, muitas
vezes não é apresentado e associado com os conteúdos matemáticos.
Além disso, embora a matemática esteja presente em problemas relacionados a
diversas áreas do conhecimento, a resolução de problemas contextualizados não é vivenciada
com frequência no meio escolar. No processo de ensino aprendizagem da matemática, as
situações-problema são fundamentais, pois permitem ao aluno colocar-se diante de
questionamentos e pensar por si próprio, possibilitando o exercício do raciocínio lógico e não
apenas o uso padronizado de regras. Esta metodologia é muito importante, pois desenvolve no
aluno a capacidade de observar, pensar, interpretar e representar, ao mesmo tempo em que
torna o processo de ensino e aprendizagem mais dinâmico.
8
Nesse sentido, apresenta-se o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), elaborado
a partir de eixos cognitivos que avaliam competências e habilidades já previstas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais Mais do Ensino Médio (BRASIL, 2002), apresentando
questões contextualizadas e/ou interdisciplinares que procuram valorizar o raciocínio lógico.
Para esta pesquisa, inicialmente será realizado um aporte teórico sobre a metodologia
da resolução de problemas e do ENEM, destacando os objetivos deste exame no período de
1998 a 2009 e posteriormente, no “novo ENEM”. Também, serão analisadas as relações
existentes entre a função afim e progressões aritmética, bem como função exponencial e
progressões geométricas e as taxas de variação, sob o ponto de vista matemático. Com o
objetivo de observar como estes conteúdos são desenvolvidos no Ensino Médio, serão
analisados os livros didáticos de cinco das maiores escolas públicas do município de Santa
Maria. A partir destas observações e constatações, serão propostas resoluções de algumas
questões do ENEM de forma a relacionar estes conteúdos matemáticos.
Objetivo geral
Investigar como (ou se) os livros didáticos utilizados pelas maiores escolas públicas de
Ensino Médio da cidade de Santa Maria e as questões do ENEM tratam as relações existentes
entre os conteúdos matemáticos taxas de variações, funções e progressões.
Objetivos específicos
Compreender a definição de taxa de variação;
Compreender as propriedades que caracterizam as funções afim e exponencial,
relacionando-as com as progressões aritméticas e geométricas;
Aplicar as taxas de variações às funções afim e exponencial;
Analisar o processo de ensino aprendizagem destes conteúdos nos livros
didáticos das maiores escolas públicas de Ensino Médio de Santa Maria;
Analisar a existência (ou não) destas relações em algumas questões do ENEM.
Problema de Pesquisa
Como (ou se) as maiores escolas públicas de Ensino Médio de Santa Maria e as
questões do ENEM tratam as relações existentes entre funções, progressões e taxas de
variação?
9
1 APORTE TEÓRICO
Desde antiguidade, a matemática desempenha um papel significativo na sociedade, na
tomada de decisões. Assim é importante que o ensino de matemática não se dê de forma
isolada, mas relacionado com outras áreas do conhecimento e situações do cotidiano. Em
relação a este aspecto, os Parâmetros Curriculares Nacionais Mais do Ensino Médio
(PCNEM+), trazem que
Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a
outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades
que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o
pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para
se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar
conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações
necessárias à sua formação. (BRASIL, 2002, p. 111)
Ainda, os mesmos parâmetros colocam a existência de três grandes competências.
Uma delas compreende a investigação e a compreensão, cabendo ao aluno identificar o
problema, formular hipóteses e prever resultados, além de selecionar estratégias de resolução
de problemas, entre outros.
1.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
É perceptível a dificuldade dos alunos em trabalhar com situações problemas, pois
para a sua resolução, exigem reconhecimento das informações, identificação da problemática,
relacionamento com conceitos matemáticos e desenvolvimento de uma estratégia que
possibilite a resolução do problema em questão.
Dentre as várias metodologias propostas pelos pesquisadores da área de Educação
Matemática, apresenta-se a metodologia da Resolução de Problemas. Para Lupinacci e Botin,
A Resolução de Problemas é um método eficaz para desenvolver o raciocínio e para
motivar os alunos para o estudo da Matemática. O processo ensino e aprendizagem
podem ser desenvolvidos através de desafios, problemas interessantes que possam
ser explorados e não apenas resolvidos. (LUPINACCI e BOTIN, 2004, p. 1)
Embora muitos alunos apresentem grande dificuldade em resolver problemas, é
importante que os professores compreendam e utilizem esta metodologia. Segundo os
PCNEM+ (Brasil, 2002), a resolução de problemas é fundamental no ensino da Matemática,
10
pois leva o aluno a pensar em situações diversificadas e mais complexas, construindo
conhecimentos relacionados a diferentes áreas e despertando a criatividade e o senso crítico.
A resolução de problemas proporciona um desafio aos alunos, incentivando-os a
enfrentar problemas matemáticos e lidar com novas situações, utilizando-se de seus próprios
mecanismos de pensamento. O ensino de matemática não tem produzido resultados
satisfatórios e justificativas para esta situação são várias. Uma delas pode estar relacionada
com a metodologia adotada pelos professores ao ensinar os conteúdos, ou seja, o ensino e
aprendizagem de matemática de forma tradicional, não possibilitando o desenvolvimento de
atitudes e capacidades intelectuais, que são pontos fundamentais para despertar a curiosidade
dos alunos e torná-los capazes de lidar com novas situações.
1.2 ENEM
O Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) foi criado e iniciado em 1998 pelo
Ministério da Educação e Cultura (MEC). Este sistema de avaliação tem por objetivo
principal avaliar o desempenho dos estudantes ao fim da educação básica, buscando contribuir
para a melhoria da qualidade desse nível de escolaridade. Os dados, além de servirem de base
para o desempenho pessoal, também são utilizados pelo governo para definir políticas
públicas educacionais.
Até o ano de 2008 se constituía de uma única prova com 63 questões interdisciplinares
e uma redação. As questões eram centradas na avaliação individual de desempenho por
competências, com eixos estruturados na interdisciplinaridade e na contextualização de
conhecimentos expressos na forma de situações-problema. O exame foi estruturado a partir de
uma matriz de cinco competências, que correspondiam a domínios específicos da estrutura
mental, expressas por 21 habilidades.
No ano de 2009, ocorreu a reformulação do ENEM, que passou a se chamar “Novo
ENEM” e para a reformulação de sua Matriz de Referências foram consideradas as Matrizes
de Referência do Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos
(Encceja), já organizadas em quatro áreas do conhecimento e da própria matriz do ENEM do
período anterior, conforme INEP (2010).
Recentemente, as Diretrizes Curriculares do Ensino Médio foram reformuladas e o
currículo foi organizado em três grandes áreas do conhecimento: Linguagens, Códigos e suas
Tecnologias, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias e Ciências Humanas e
suas Tecnologias. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
(2000), a estruturação por áreas de conhecimento visa assegurar uma educação de base
11
científica e tecnológica, na qual conceito, aplicação e solução de problemas concretos são
combinados com uma revisão dos componentes socioculturais.
No Novo ENEM, a palavra competência está ligada à capacidade do estudante de
dominar a norma culta da Língua Portuguesa, compreender fenômenos naturais, enfrentar
situações-problema, construir argumentações consistentes e elaborar propostas que atentem
para as questões sociais. A cada competência corresponde um conjunto de “habilidades”, as
quais compreendem a demonstração prática dessas competências. A matriz de referência traz
um conjunto de 120 habilidades, sendo 30 para cada uma das quatro grandes áreas de
conhecimento que compõem o exame.
A proposta de reestruturação do ENEM trouxe como objetivo central democratizar as
oportunidades de concorrência às vagas oferecidas nos cursos de graduação em instituições
federais de ensino superior (IFES), podendo o participante concorrer nos processos de seleção
de diferentes regiões do país. Para isso, em 2009 foi implementado pelo Ministério da
Educação, o Sistema de Seleção Unificada (Sisu), que armazena até duas opções de cursos
pretendidos pelos candidatos. Estas opções são escolhidas após o recebimento do boletim de
desempenho no ENEM, possibilitando assim, que o candidato avalie suas reais chances de ser
selecionado em um curso em função de suas notas. Além disso, traz a possibilidade da
certificação de jovens e adultos no nível de Ensino Médio. Para tal finalidade, no ato da
inscrição, o participante deverá indicar a Instituição Certificadora na qual solicitará a
certificação para fins de conclusão do Ensino Médio.
O Novo ENEM é constituído de 180 questões, distribuídas igualmente nas quatro
áreas de conhecimento que compõem a prova, são elas: Linguagens, Códigos e suas
Tecnologias (incluindo redação); Ciências Humanas e suas Tecnologias; Ciências da Natureza
e suas Tecnologias; Matemática e suas Tecnologias. O exame é realizado em dois dias e são
aplicados quatro cadernos de provas de cores diferentes, apenas se diferenciando pela ordem
das questões dentro de cada área do conhecimento. No primeiro dia são aplicadas as questões
da área de Ciências Humanas e suas Tecnologias, numeradas de 1 a 45, juntamente com as da
área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, numeradas de 46 a 90. No segundo dia, as
questões compreendem a área de Linguagens, Códigos e suas Tecnologias, numeradas de 91
a 135, e a área de Matemática e suas Tecnologias, com questões de 136 a 180. A redação é
aplicada neste mesmo dia.
A proposta do ENEM, ao apresentar questões contextualizadas e interdisciplinares,
tem desencadeado uma modificação do padrão de questões que se vê habitualmente em livros
e salas de aula de Matemática, diminuindo a exigência de conteúdos memorizados,
12
valorizando o raciocínio e situações do cotidiano dos participantes. Do mesmo modo, os
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) afirmam que,
O critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o
potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e
entre diferentes formas de pensamento matemático, ou, ainda, a relevância cultural
do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática,
como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência. (BRASIL,
2000, p. 43).
No que se refere a contextualização, o Enem tem como pressuposto que os conteúdos
aprendidos devem estar a serviço da inteligência e do resgate dos sentidos e significados
humanos presentes nos conteúdos escolares.
Segundo o Inep, na nova configuração da Matriz de Referência do ENEM foi
organizado um conjunto de competências a serem avaliadas em cada uma das quatro áreas do
conhecimento, que foram desmembradas em habilidades mais específicas. As Competências
da área de Matemática e suas Tecnologias estão descritas no Quadro 1.
Quadro 1 - Competências da Matriz de Referência da área de Matemática e suas Tecnologias.
Competência 1 Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Competência 2 Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a
representação da realidade e agir sobre ela.
Competência 3 Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade
e a solução de problemas do cotidiano.
Competência 4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da
realidade e a solução de problemas do cotidiano.
Competência 5 Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas
ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Competência 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de
gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação,
interpolação e interpretação.
Competência 7 Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos
naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas,
determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar
informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
Fonte: site INEP.
13
Para este trabalho foram consideradas apenas as competências 1, 4, 5 e 6 da área de
Matemática, pois estão relacionadas aos conteúdos matemáticos abordados nesta pesquisa e
estão apresentadas no Quadro 2, juntamente com as habilidades associadas.
A Competência 1 é composta por cinco habilidades e refere-se ao pensamento
numérico, estando associada aos conteúdos de Análise Combinatória, Matemática Básica,
Porcentagem e Regularidades; neste último, envolvendo progressões aritmética e geométrica.
A Competência 4 é composta por quatro habilidades, solicitando que o participante
identifique a interdependência entre duas grandezas e suas variações em situações-problema
que permitam analisar a natureza dessa relação, associada aos conteúdos de Regra de Três,
Proporção Direta, Inversa e Mista. A Competência 5, composta por cinco habilidades, trata do
uso do pensamento algébrico/geométrico para resolver situações-problema, porque o
conhecimento matemático construído ao longo da vida, pode e deve ser generalizado e
transferido a outros contextos. Essa Competência refere-se aos conteúdos de Análise de
Fórmulas, Leitura de Gráficos, Geometria Analítica, Equações e Funções. Neste último,
envolvendo em particular as funções afim e exponencial, objetos desta pesquisa. Já a
Competência 6, composta por três habilidades, trata da interpretação de informações obtidas
da leitura de gráficos e tabelas, muitas vezes presentes em jornais, revistas, entre outros,
permitindo que conclusões referentes a previsão de comportamentos sejam realizadas.
Quadro 2 - Competências 1, 4, 5 e 6 da área de Matemática e suas Tecnologias e as
habilidades associadas.
Com
pet
ênci
a 1
H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações
dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de
argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
numéricos.
Com
pet
ênci
a
4
H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.
H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como
14
recurso para a construção de argumentação.
H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de
grandezas.
Com
pet
ênci
a 5
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre
grandezas.
H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
algébricos.
Com
pet
ênci
a 6
H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer
inferências.
H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso
para a construção de argumentos.
Fonte: site INEP.
15
2 DESENVOLVIMENTO
Neste capítulo, inicialmente será descrito o aporte matemático associado a taxa de
variação, taxa de variação relativa e taxa média de variação, funções afim e exponencial,
progressões aritméticas e geométricas. Após, será descrita a estrutura de desenvolvimento
destes conteúdos nos livros didáticos de cinco das maiores escolas públicas de Ensino Médio
de Santa Maria, bem como uma análise comparativa destes livros segundo alguns itens que
serão explicitados na seção 2.2. Posteriormente, a resolução de questões do Novo ENEM será
discutida de forma a relacionar estes conteúdos matemáticos, também indicando as
Competências e Habilidades da Matriz de Referência do ENEM utilizadas.
2.1 APORTE MATEMÁTICO
As taxas de variação, funções e progressões estão presentes em vários contextos,
como por exemplo, aplicações financeiras: juros simples e composto, crescimento
populacional, decaimento radiativo, fractais, entre outros. Esta conexão com outras áreas do
currículo e com a própria matemática faz com que o processo de ensino aprendizagem ganhe
mais sentido, proporcionando que o aluno perceba a importância do conteúdo a ser
trabalhado.
Segundo (BRASIL, 2006), as progressões aritmética e geométrica não devem ser
tratadas como um tópico independente, mas podem ser definidas, no conjunto dos números
naturais, como funções afim e exponencial, respectivamente.
Em atividades corriqueiras, a ideia intuitiva de variação de grandezas é muito
utilizada, como, por exemplo, quando é analisado o tempo médio gasto para chegar à
universidade, a variação do preço de determinado produto em um intervalo de tempo, a
variação da temperatura num dia específico, e assim por diante. Desta forma, a fim de
relacionar posteriormente as taxas de variação com as funções e progressões, suas definições
são apresentadas a seguir.
As definições e teoremas desta seção serão utilizados nas próximas seções, quando são
descritos e analisados alguns livros didáticos e questões do ENEM referente aos conteúdos de
interesse desta pesquisa.
16
Definição 1 (Taxa de Variação): A taxa de variação (ou acréscimo) de uma função 𝑓 com
relação a 𝑥 no intervalo [𝑥, 𝑥 + ℎ], denotada por TV, é definida por 𝑇𝑉 = ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ℎ) −
𝑓(𝑥).
Definição 2 (Taxa de Variação Média): A taxa de variação média de uma função 𝑓 com
relação a 𝑥 no intervalo [𝑥, 𝑥 + ℎ], denotada por TVM, é definida por:
𝑇𝑉𝑀 =𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑓
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑥=
𝑇𝑉
ℎ=
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Esta razão indica, em média, quanto varia 𝑓 para cada variação de uma unidade em 𝑥 no
intervalo [𝑥, 𝑥 + ℎ] .
Definição 3 (Taxa de Variação Relativa): A taxa de variação relativa (ou acréscimo relativo)
de uma função 𝑓 em um ponto x no intervalo [𝑥, 𝑥 + ℎ], denotada por TVR, é definida por:
𝑇𝑉𝑅 =𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑓
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑚 𝑥=
𝑇𝑉
𝑓=
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) .
Por outro lado, as funções afim e exponencial são bastante utilizadas como modelos
matemáticos para descrever situações-problemas. Porém, para definir qual destes modelos é
mais adequado, é necessário conhecer as propriedades que caracterizam essas funções,
conforme descritas em Lima (2006). Ainda sob o ponto de vista matemático, existe uma
relação biunívoca entre taxa de variação, função afim e progressão aritmética, bem como
entre taxa de variação relativa, função exponencial e progressão geométrica, como serão
vistas a seguir.
No seguinte teorema, a partir da hipótese de uma função ser afim, são demonstradas as
implicações relacionadas a progressões e taxas de variação.
Teorema 1: Se 𝑓: ℝ ⟶ ℝ é função afim do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … ) uma
progressão aritmética com razão ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖, então os valores 𝑓(𝑥𝑖), 𝑖 = 1,2, … formam
uma progressão aritmética de razão 𝑎ℎ. Além disso, a taxa de variação TV é uma função
apenas de h e a taxa de variação média TVM é dada pelo coeficiente angular 𝑎 da função
afim.
17
Demonstração:
Considerando a sequência (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … ) como uma progressão aritmética com razão ℎ =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖, a diferença de duas imagens consecutivas 𝑓(𝑥𝑖), 𝑖 = 1,2, … é dada por
𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖) = (𝑎𝑥𝑖+1 + 𝑏) − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏) = 𝑎(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = 𝑎ℎ, 𝑖 = 1, 2, …
Portanto, a sequência (𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑛), … ) é uma progressão aritmética de
razão 𝑎ℎ. Como a definição da taxa de variação TV, coincide com a diferença acima, tem-se
que 𝑇𝑉 = 𝑎ℎ, ou seja, é uma função que depende apenas de h e não de x. Agora, em relação
a taxa de variação média TVM, tem-se 𝑇𝑉𝑀 =𝑇𝑉
ℎ=
𝑎ℎ
ℎ= 𝑎, isto é, TVM é o coeficiente
angular da função afim.
O seguinte teorema é utilizado na demonstração do Teorema 3 e sua demonstração
pode ser obtida em Lima (2006, p. 95).
Teorema 2 (Teorema Fundamental da Proporcionalidade): Seja 𝑓: ℝ ⟶ ℝ uma função
crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
i) 𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛𝑓(𝑥) para todo 𝑛 ∈ ℤ e todo 𝑥 ∈ ℝ.
ii) Colocando 𝑎 = 𝑓(1), tem-se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ.
iii) 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
O seguinte teorema descreve a caracterização de uma função afim, a partir da taxa de
variação associada a uma função monótona e injetiva, isto é, uma função crescente ou
decrescente.
Teorema 3 (Caracterização da Função Afim): Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função monótona
injetiva. Se a taxa de variação 𝑇𝑉 depender apenas de ℎ, então 𝑓 é uma função afim.
Demonstração:
Como por hipótese, a variação TV depende apenas de h, esta será denotada por 𝜑(ℎ).
Supondo que a função 𝑓 seja crescente, observa-se que a função 𝜑: ℝ → ℝ também será
crescente com 𝜑(0) = 0. Além disso, para quaisquer ℎ, 𝑘 ∈ ℝ tem-se
18
𝜑(ℎ + 𝑘) = 𝑓(𝑥 + ℎ + 𝑘) − 𝑓(𝑥)
= 𝑓((𝑥 + 𝑘) + ℎ) − 𝑓(𝑥 + 𝑘) + 𝑓(𝑥 + 𝑘) − 𝑓(𝑥)
= (𝑓((𝑥 + 𝑘) + ℎ) − 𝑓(𝑥 + 𝑘)) + (𝑓(𝑥 + 𝑘) − 𝑓(𝑥))
= 𝜑(ℎ) + 𝜑(𝑘)
Ou seja, a função 𝜑 satisfaz o item iii) do Teorema 2 (Teorema Fundamental da
Proporcionalidade). Pela equivalência com ii) e tomando 𝑎 = 𝜑(1), tem-se 𝜑(ℎ) = 𝑎ℎ para
todo ℎ ∈ ℝ, ou seja, 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑎ℎ. Agora, considerando 𝑥 = 0 e denotando 𝑓(0)
por 𝑏, resulta 𝑓(ℎ) = 𝑎ℎ + 𝑏. Portanto, para todo 𝑥 ∈ ℝ, tem-se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, ou seja, f é
uma função afim.
Analogamente, será dado o mesmo tratamento as funções do tipo exponencial.
Definição 4 (Função do Tipo Exponencial): Dizemos que uma função 𝑔: ℝ → ℝ é do tipo
exponencial, quando 𝑔(𝑥) = 𝑏𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ, onde a e b são constantes positivas.
Teorema 4: Se 𝑔: ℝ ⟶ ℝ é uma função do tipo exponencial 𝑔(𝑥) = 𝑏𝑎𝑥 e
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … ) uma progressão aritmética de razão ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 , , então os valores
𝑔(𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, … formam uma progressão geométrica de razão 𝑎ℎ. Além disso, a taxa de
variação relativa TVR é uma função que depende apenas de h.
Demonstração:
Considerando a sequência (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … ) como uma progressão aritmética com razão ℎ =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖, tem-se
𝑔(𝑥𝑖+1) = 𝑏𝑎𝑥𝑖+1 = 𝑏𝑎𝑥𝑖+ℎ = (𝑏𝑎𝑥𝑖)𝑎ℎ = 𝑔(𝑥𝑖)𝑎ℎ, 𝑖 = 1, 2, …
ou seja, 𝑔(𝑥𝑖+1)
𝑔(𝑥𝑖)= 𝑎ℎ, pois 𝑔(𝑥𝑖) ≠ 0 . Portanto, a sequência (𝑔(𝑥1), 𝑔(𝑥2), … , 𝑔(𝑥𝑛), … ) é
uma progressão geométrica de razão 𝑎ℎ . Em relação a taxa de variação relativa TVR da
função 𝑔 , tem-se
𝑇𝑉𝑅 =∆𝑔
𝑔=
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)=
𝑏𝑎𝑥+ℎ − 𝑏𝑎𝑥
𝑏𝑎𝑥= 𝑎ℎ − 1
19
que depende apenas de h.
Analogamente ao Teorema 2, o seguinte teorema, embora não seja demonstrado, será
enunciado, pois é utilizado na demonstração do Teorema 6. Sua demonstração pode ser obtida
em Lima (2006, p. 183).
Teorema 5 (Caracterização da Função Exponencial) Seja 𝑓: ℝ → ℝ + uma função
monótona injetiva . As seguintes afirmações são equivalentes:
i) 𝑓(𝑛𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑛 para todo 𝑛 ∈ ℤ e todo 𝑥 ∈ ℝ;
ii) Colocando 𝑎 = 𝑓(1), tem-se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ.
iii) 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
O seguinte teorema descreve a caracterização de uma função do tipo exponencial, a
partir da taxa de variação relativa associada a uma função monótona e injetiva.
Teorema 6 (Caracterização das Função do Tipo Exponencial): Seja 𝑔: ℝ → ℝ+ uma função
monótona injetiva. Se o acréscimo relativo de 𝑔 depender apenas de ℎ, então 𝑔 é uma função
do tipo exponencial.
Demonstração:
Pelo Teorema 4, a hipótese do acréscimo relativo de 𝑔 depender apenas de ℎ equivale a supor
que 𝑔(𝑥 + ℎ)/ 𝑔(𝑥) depende apenas de ℎ e não de x. Assim, considerando a função 𝜑(ℎ) =
𝑔(𝑥+ℎ)
𝑔(𝑥) e tomando 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)/𝑏, onde 𝑏 = 𝑔(0), f continua sendo uma função monótona
injetiva. Neste caso, a função 𝜑 pode ser reescrita como 𝜑(ℎ) = 𝑓(𝑥 + ℎ)/ 𝑓(𝑥) que
independe de x, agora com 𝑓(0) = 1. Considerando 𝑥 = 0 em 𝜑(ℎ) = 𝑓(𝑥 + ℎ)/ 𝑓(𝑥),
resulta 𝜑(ℎ) = 𝑓(ℎ) para todo ℎ ∈ ℝ. Assim, a função monótona injetiva f cumpre 𝑓(ℎ) =
𝑓(𝑥 + ℎ)/ 𝑓(𝑥), ou equivalentemente, 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥)𝑓(ℎ), isto é, 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)
para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Portanto, f satisfaz o item iii) do Teorema 5. Pela equivalência com
o item ii) do mesmo teorema, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 e portanto 𝑔(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) = 𝑏𝑎𝑥 que corresponde a
uma função do tipo exponencial.
20
2.2 LIVROS DIDÁTICOS DE ESCOLAS PÚBLICAS DE ENSINO MÉDIO DE SANTA
MARIA
Nesta seção será apresentada a abordagem dos conteúdos relativos a taxas de variação,
funções afim e exponencial e progressões aritmética e geométrica nos os livros didáticos
utilizados nas cinco maiores escolas públicas de Ensino Médio do município de Santa Maria,
segundo classificação do ENEM: Colégio Politécnico/UFSM, Colégio Militar, Colégio
Técnico Industrial (CTISM), Escola Estadual de Ensino Médio Cilon Rosa e Colégio
Estadual Manoel Ribas (Maneco).
Em seguida, será realizada uma análise individual de cada livro e, posteriormente, uma
análise comparativa, de modo a evidenciar os seguintes itens: definição de taxas de variação
média e relativa, relações entre taxas de variação, progressões e funções e abordagem de
situações-problema.
2.2.1 Análise Individual dos Livros Didáticos
Colégio Politécnico/ UFSM
Título: Matemática: Ciência e Aplicações, volume 1
Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida
Editora: Saraiva
Ano: 2013
O livro didático é dividido em quatorze capítulos, sendo Capítulo 1: Noções de
conjuntos; Capítulo 2: Conjuntos numéricos; Capítulo 3: Funções; Capítulo 4: Função afim;
Capítulo 5: Função quadrática; Capítulo 6: Função Modular; Capítulo 7: Função
exponencial; Capítulo 8: Função logarítmica; Capítulo 9: Complemento sobre funções;
Capítulo 10: Progressões; Capítulo 11: Matemática comercial; Capítulo 12: Semelhança e
21
triângulos retângulos; Capítulo 13: Trigonometria no triângulo retângulo e Capítulo 14:
Estatística básica.
No Capítulo 3 é dado um tratamento geral sobre funções e na Seção 12 (p. 61), os
autores trazem a definição geral de taxa média de variação de uma função e apresentam três
exemplos sobre este conteúdo.
No Capítulo 4, os autores iniciam a Seção 8 (p. 78) com dois exemplos para definir
taxa média de variação da função afim, seguida de mais um exemplo. Há seis exercícios de
fixação e uma aplicação.
No Capítulo 10, Seção 2 (p. 203) temos o conteúdo de progressão aritmética (PA) e no
item 5 (p. 210) a relação entre PA e função afim a partir de um exemplo, seguido de um
exercício. Ainda no Capítulo 10, a Seção 3 (p. 211) apresenta o conteúdo de progressão
geométrica (PG) e no item 6 (p. 223) a relação entre PG e função exponencial, a partir de um
exemplo, seguido de dois exercícios.
Colégio Militar de Santa Maria
Titulo: Matemática, volume único
Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Périgo
Editora: Atual
Ano: 2011
O livro é dividido em quarenta e um capítulos, sendo Capítulo 1: Conjuntos; Capítulo
2: Conjuntos numéricos; Capítulo 3: Funções; Capítulo 4: Função afim; Capítulo5: Função
quadrática; Capítulo 6: Função Modular; Capítulo 7: Função exponencial; Capítulo 8:
Função logarítmica; Capítulo 9: Complemento sobre funções; Capítulo 10: Progressões;
Capítulo 11: Matemática comercial e financeira; Capítulo 12: Semelhança e triângulos
retângulos; Capítulo 13: Trigonometria no triângulo retângulo; Capítulo 14: A circunferência
trigonométrica; Capítulo 15: Razões trigonométricas na circunferência; Capítulo 16:
Triângulos quaisquer; Capítulo 17: Funções trigonométricas; Capítulo 18: Transformações;
Capítulo 19: Equações e inequações trigonométricas; Capítulo 20: Matrizes; Capítulo 21:
Determinantes; Capítulo 22: Sistemas lineares; Capítulo 23: Áreas de superfícies planas;
22
Capítulo 24: Geometria espacial de posição; Capítulo 25: Prisma; Capítulo 26: Pirâmide;
Capítulo 27: Complemento sobre poliedros; Capítulo 28: Cilindro; Capítulo 29: Cone;
Capítulo 30: Esfera; Capítulo 31: Análise combinatória; Capítulo 32: Binômio de Newton,
Capítulo 33: Probabilidade; Capítulo 34: O ponto; Capítulo 35: A reta; Capítulo 36: A
circunferência; Capítulo 37: As cônicas; Capítulo 38: Números complexos; Capítulo 39:
Polinômios; Capítulo 40: Equações algébricas e Capítulo 41: Estatística básica.
Analisando o livro didático, concluímos que em nenhum momento, os autores
apresentam algum tipo de relação entre os conteúdos de taxas de variação, funções e
progressões.
Colégio Técnico Industrial (CTISM)/ UFSM
Título: Novo olhar: Matemática, volume 1
Autor: Joamir Roberto de Souza
Editora: FTD
Ano: 2013
O livro é dividido em quatro Unidades, sendo que na Unidade 1: Conjuntos, há
somente um capítulo com este mesmo título. A Unidade 2: Funções contém Capítulo 2: As
Funções; Capítulo 3: Função afim; Capítulo 4: Função quadrática; Capítulo 5: Função
exponencial; Capítulo 6: Função logarítmica e Capítulo 7: Função Modular. Na Unidade 3:
Progressões contém somente o Capítulo 8 com o mesmo título e a Unidade 4: Trigonometria,
contém o Capítulo 9: Trigonometria no triângulo retângulo.
Analisando a Unidade 2, os capítulos destinados tanto para as funções em geral,
quanto para as específicas, observamos que em nenhum momento o autor traz a definição de
taxa de variação.
No Capítulo 8, Seção 2, item 2 (p. 222), é apresentada a relação entre progressão
aritmética e função afim: Considerando a função 𝑓: ℝ ⟶ ℝ e 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … elementos de
uma PA de razão 𝑟, 𝑓 será uma função afim, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, se, e somente se,
𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑛), … for uma PA de razão 𝑎𝑟. Após, são apresentados dois exemplos e
uma listagem de quatro exercícios associados a essa relação.
23
Analogamente, no Capítulo 8, Seção 3, item 2 (p. 243), é apresentada a relação entre
progressão geométrica e função exponencial: Considerando a função do tipo exponencial
𝑓: ℝ ⟶ ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑎𝑥 e 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … elementos de uma PA, a sequência
(𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑛), … ) é uma progressão geométrica (PG) de razão 𝑎𝑟. Após, são
apresentadas duas atividades resolvidas e uma listagem de cinco exercícios associados a essa
relação.
Colégio Estadual Manoel Ribas (Maneco) e Escola Estadual de Ensino Médio Cilon
Rosa
Título: Matemática: Contextos e Aplicações, volume 1
Autor: Luiz Roberto Dante
Editora: Ática
Ano: 2013
O livro é dividido em quatro Unidades, sendo que a Unidade 1: Números e funções
contém o Capítulo 1: Conjuntos numéricos e o Capítulo 2: Funções; na Unidade 2: Função
afim e função quadrática, contém o Capítulo 3: Função afim e função modular e o Capítulo 4:
Função quadrática; na Unidade 3: Função exponencial e função logarítmica, contém o
Capítulo 5: Função Exponencial e o Capítulo 6: Logaritmo e função logarítmica; a Unidade
4: Sequências e Trigonometria, contém o Capítulo 7: Sequências e o Capítulo 8:
Trigonometria no triângulo retângulo.
No Capítulo 2 é dado um tratamento geral sobre funções, onde no item 9 (p. 59), o
autor define taxa média de variação de uma função e apresenta dois exemplos.
No Capítulo 3, na seção 2 (p. 74) traz a definição de função afim e na seção 4 (p. 75)
traz novamente, a definição geral de taxa média de variação e calcula esta taxa para a função
afim. Posteriormente, apresenta uma listagem de sete exercícios que relacionam a definição,
valor e taxa de variação de uma função afim. Ainda no Capítulo 3, seção 10 (p. 89) o autor
define brevemente progressão aritmética relacionando com função afim, através de um
exemplo. Ainda, como uma observação, apresenta o resultado do Teorema 1 e traz três
exercícios que envolvem essa relação.
24
No Capítulo 5, na seção 4 (p. 159) é dada a definição de função exponencial e na
seção 5 (p. 164) é definida brevemente progressão geométrica relacionando com função
exponencial. Ainda, apresenta o resultado do Teorema 4 e traz quatro exercícios para fixação.
No Capítulo 7, a seção 2 (p. 212) apresenta o conteúdo de progressão aritmética, onde
no item 6 (p. 218), se estabelece a conexão entre progressão aritmética e função afim da
seguinte maneira,
De modo geral, se considerarmos uma PA (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … ) de razão 𝑟, 𝑟 ≠ 0,
cujo termo geral é 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟, a representação geométrica dessa PA é
formada por pontos do gráfico da função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎1 + (𝑥 − 1)𝑟, dados por
(1, 𝑎1), (2, 𝑎2), … , (𝑛, 𝑎𝑛), ….
Ainda no Capítulo 7, a seção 3 (p. 220) apresenta o conteúdo de progressão
geométrica, onde o item 5 (p. 227), traz a conexão entre progressão geométrica e função
exponencial da seguinte maneira,
Podemos pensar em uma progressão geométrica como uma função que associa a
cada número natural positivo 𝑛 o valor dado por 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1. Essa função é a
restrição aos números naturais positivos da função do tipo exponencial 𝑎(𝑥) =𝑎1𝑞𝑥−1.
Neste capítulo, não é apresentado nenhum exercício ou problema que relacione as
progressões e as funções.
2.2.2 Análise Comparativa dos Livros Didáticos
A análise realizada nos livros didáticos sobre a existência (ou não) de tratamento dos
conteúdos de interesse deste trabalho é apresentada no Quadro 3.
Quadro 3 - Análise comparativa dos livros didáticos considerados.
Escola
Definição de taxa de variação
média (TVM) e de taxa de
variação relativa (TVR)
Relação entre progressões, funções
e taxa de variação
Situações-
problema
Politécnico Sim, para TVM.
Sim, para TVM e função afim;
Sim, para progressões e
funções.
1 em TVM.
Militar Não Não Não
CTISM Não Sim, para progressões e
funções. Não
Cilon
Rosa/
Maneco
Sim, para TVM.
Sim, para TVM e função afim;
Sim, para progressões e
funções.
Fonte: Autora.
25
É perceptível uma concordância entre os autores, quanto a sequência dos conteúdos
abordados, além da série na qual cada assunto é visto, pois os conteúdos analisados estão
inseridos na primeira série do Ensino Médio. Ainda, pode ser observado que nenhum dos
livros analisados apresenta a taxa de variação relativa, necessária para a caracterização de
uma função do tipo exponencial. Apesar de alguns destes autores se preocuparem em
estabelecer uma comparação entre os três conteúdos abordados neste trabalho, esta
comparação é realizada em poucas linhas. Em relação à contextualização dos conteúdos, os
autores apresentam algumas situações-problema resolvidos e/ou sugeridos como exercícios,
porém de forma individual associada a cada bloco de conteúdos.
2.3 QUESTÕES DO ENEM
Nesta seção serão apresentadas, resolvidas e analisadas questões da área de
Matemática e suas Tecnologias do Novo ENEM (a partir de 2009), relacionadas aos
conteúdos matemáticos objeto desta pesquisa. Para uma melhor organização, foram
selecionadas as questões da prova de cor azul. A partir da resolução, será realizada uma
análise da questão e destacadas as Competências e Habilidades da Matriz de Referência do
ENEM presentes.
2.3.1 Resolução e Análise Individual das Questões do ENEM
Nesta seção será realizada a resolução e análise das questões selecionadas que
envolvem conteúdos de taxa de variação média, função afim e progressão aritmética.
(Questão 146, 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se
hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três
primeiros dias, a diária custaria 𝑅$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias
seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada
dia, seria de 𝑅$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas
condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual
o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
26
Figura 1: Gráfico do valor da diária em função do tempo.
Fonte: Inep – Prova azul
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria
pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional
por oito dias fara uma economia de
a) 𝑅$ 90,00
b) 𝑅$ 110,00
c) 𝑅$ 130,00
d) 𝑅$ 150,00
e) 𝑅$ 170,00
Resolução:
Considerando a hospedagem de sete dias sem promoção, o preço da diária é
𝑅$150,00. Então por sete dias, o casal pagaria pela hospedagem 𝑅$150,00 × 7 =
𝑅$1050,00.
Porém, considerando a hospedagem com pacote promocional, nos três primeiros dias,
o casal irá pagar 𝑅$150,00 por dia, ou seja, 𝑅$150,00 × 3 = 𝑅$450,00. Nos três dias
seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação seria de
𝑅$20,00, a cada dia. Então, no quarto dia, o casal pagaria 𝑅$150,00 − 𝑅$20,00 =
𝑅$130,00, no quinto dia pagaria 𝑅$130,00 − 𝑅$20,00 = 𝑅$110,00 e no sexto dia pagaria
𝑅$110,00 − 𝑅$20,00 = 𝑅$90,00. Portanto, nesses três dias, o casal pagaria 𝑅$130,00 +
𝑅$110,00 + 𝑅$90,00 = 𝑅$330,00. Observa-se que nesta etapa da resolução, poderia ter sido
usado progressão aritmética, cuja razão é a taxa de variação média R$20,00. Como nos dois
dias seguintes seria mantido o preço do sexto dia, para o sétimo e oitavo dias o casal pagaria
𝑅$90,00 + 𝑅$90,00 = 𝑅$180,00. Assim, para os oito dias, o casal pagaria 𝑅$450,00 +
𝑅$330,00 + 𝑅$180,00 = 𝑅$960,00.
27
Comparando as duas situações, a economia seria 𝑅$1050,00 − 𝑅$960,00 = 𝑅$90,00,
ou seja, o casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de
𝑅$90,00. Assim, a resposta correta é a alternativa a).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi utilizada a taxa de variação média, onde
ainda para o período compreendido entre o quarto e sexto dias, poderia ser utilizada a razão de
uma progressão aritmética.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 1, com Habilidades H2 (Identificar padrões numéricos) e H3 (Resolver
situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos);
- Competência 4, com Habilidade H16 (Resolver situação-problema envolvendo a variação
de grandezas) e H17 (Analisar informações envolvendo a variação de grandezas);
- Competência 6, com Habilidade H25 (Resolver problema com dados apresentados em
gráficos). Observa-se que, embora essa habilidade se apresente no texto da questão, a mesma
não precisaria ser utilizada, pois as informações gráficas também estão descritas
algebricamente no texto, e o aluno poderia optar por uma forma ou outra para a resolução da
situação-problema.
(Questão 148, 2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono
de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas. Os dados na tabela indicam
que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção
(em toneladas) é
a) Inferior a 0,18.
b) Superior a 0,18 e inferior a 0,50.
c) Superior a 0,50 e inferior a 1,50.
d) Superior a 1,50 e inferior a 2,80.
e) Superior a 2,80.
28
Figura 2 - Tabela dos dados da emissão de dióxido de carbono.
Fonte: Inep - Prova azul.
Resolução:
Para determinar o intervalo da taxa de variação média (TVM), o aluno deve observar
que os dados da primeira coluna da tabela da figura 2 variam como uma progressão aritmética
de razão 0,1 tonelada. Assim, calculando a TVM a cada aumento de 0,1 tonelada, observará
que a menor taxa e a maior taxa de emissão de dióxido de carbono (em ppm) são,
respectivamente:
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑇𝑉𝑀 =2,30 − 2,14
1,2 − 1,1=
0,16
0,1= 1,6
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑇𝑉𝑀 =4,00 − 3,73
2,0 − 1,9=
0,27
0,1= 2,7
Assim, o intervalo de variação da TVM de emissão de dióxido de carbono (em ppm) é
1,6 ≤ 𝑇𝑉𝑀 ≤ 2,7. Portanto, a resposta correta é a alternativa d).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi aplicada diretamente a definição geral de
taxa de variação média, não associando a uma função afim, uma vez que as taxas não são
constantes.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 4, com Habilidade H15 (Resolver situação-problema envolvendo a variação de
grandezas) e H17 (Analisar informações envolvendo a variação de grandezas);
29
- Competência 6, com Habilidade H24 (Utilizar informações expressas em tabelas) e H25
(Resolver problema com dados apresentados em tabelas). Sem a utilização desta competência
e habilidades, o aluno não teria condições de resolver a situação-problema.
(Questão 159, 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro
idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na
figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do
número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
Figura 3: Ilustração do experimento.
Fonte: Inep - Prova azul
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Figura 4 - Quadro dos resultados do experimento
Fonte: Inep - Prova azul .
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do
número de bolas (x)?
a) 𝑦 = 30𝑥.
b) 𝑦 = 25𝑥 + 20,2.
c) 𝑦 = 1,27𝑥.
30
d) 𝑦 = 0,7𝑥.
e) 𝑦 = 0,07𝑥 + 6.
Resolução:
Observando todas as alternativas da questão, há um indicativo de que a expressão
algébrica que permite calcular o nível da água (𝑦) em função do número de bolas (𝑥) é uma
função afim do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Para os resultados do experimento da figura 4, tem-se:
{a . 5 + b = 6,35
a . 10 + b = 6,70a . 15 + b = 7,05
Para obter os coeficientes a e b serão utilizadas as duas primeiras equações.
Resolvendo este sistema linear, obtém-se 𝑎 = 0,07 e 𝑏 = 6. Substituindo os valores destes
coeficientes na terceira equação, a mesma também é satisfeita. Assim, a expressão algébrica
que modela o nível da água em função do número de bolas de vidro é 𝑦 = 0,07𝑥 + 6.
Sob o ponto de vista de taxa de variação média, considerando os dados da Figura 4,
tem-se que a taxa média de variação é dada por:
𝑇𝑉𝑀 =6,70 − 6,35
10 − 5=
7,05 − 6,70
15 − 10=
0,35
5= 0,07
Ou seja, a TVM é constante e igual a 0,07 para os dados da Figura 4, que é o
coeficiente angular da função afim associada. Ainda, relacionando com a progressão
aritmética, observa-se que as duas colunas da Figura 4 representam PA com razões r1=5 e
r2=0,35, respectivamente, o que confirma as relações descritas anteriormente.
Assim, a resposta correta é a alternativa e).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi aplicada a definição geral de taxa de
variação média, podendo ser associada a uma função afim e progressão aritmética, pois a taxa
é constante. Avalia-se esta questão como sendo uma questão interessante, pois apresenta a
possibilidade de observação e inter-relação entre os conteúdos desta pesquisa.
31
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 4, com Habilidade H15 (Resolver situação-problema envolvendo a variação
de grandezas) e H17 (Analisar informações envolvendo a variação de grandezas);
- Competência 5, com Habilidade H19 (Identificar representações algébricas que expressem a
relação entre grandezas), H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos) e H22 (Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como
recurso para a construção de argumentação).
- Competência 6, com Habilidade H24 (Utilizar informações expressas em tabelas para fazer
inferências) e H25 (Resolver problema com dados apresentados em tabelas). Sem a utilização
desta competência e habilidades, o aluno não teria condições de resolver a situação-problema.
(Questão 149, 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando
canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo.
A quantidade de canudos (𝑪) de cada figura depende da quantidade de quadrados (𝑸) que
formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Figura 5 - Representação da atividade realizada pela professora.
Fonte: Inep - Prova azul.
Que expressão fornece a quantidade de quadrados de cada figura?
a) 𝐶 = 4𝑄
b) 𝐶 = 3𝑄 + 1
c) 𝐶 = 4𝑄 + 1
d) 𝐶 = 𝑄 + 3
e) 𝐶 = 4𝑄 – 2
32
Resolução:
Pode ser observado que para formar um quadrado, são necessários quatro canudos;
para formar dois quadrados, sete canudos; para formar três quadrados, 10 canudos; e assim
sucessivamente, como mostrado no Quadro 4.
Quadro 4 - Números de canudos em função da quantidade de quadrados.
N° de quadrados (Q) Quantidade de Canudos (C)
1 4
2 7
3 10
Fonte: Elaborado pela autora.
Observa-se que os números que identificam a quantidade de canudos descrevem uma
progressão aritmética de razão 3. Assim, utilizando a fórmula do termo geral 𝑎𝑛 = 𝑎1 +
(𝑛 – 1)𝑟 pode ser calculado o n-ésimo termo da 𝑃𝐴 (4, 7, 10, … ), considerando as variáveis
da situação-problema:
𝐶 = 4 + (𝑄 – 1)3
ou
𝐶(𝑄) = 3𝑄 + 1
que representa uma função afim crescente, mostrada na Figura 6, juntamente com os três
dados do experimento.
Figura 6 - Gráfico da função C.
Fonte: GeoGebra.
33
Analogamente a questão anterior, poderia ser explorada a taxa média de variação
associada, onde
𝑇𝑉𝑀 =7 − 4
2 − 1= 3 = 𝑎
Ou seja, o valor de TVM corresponde ao coeficiente angular da função afim, bem
como a razão da progressão aritmética associada.
Assim, a resposta correta é a alternativa b).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi aplicada diretamente a fórmula do n-
ésimo termo de uma PA, que representa uma função afim e posteriormente associada a
definição de taxa média de variação, que é constante. Avalia-se esta questão como sendo uma
questão interessante, pois apresenta a possibilidade de observação e inter-relação entre os
conteúdos desta pesquisa.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 1, com Habilidade H2 (Identificar padrões numéricos);
- Competência 4, com Habilidade H16 (Resolver situação-problema envolvendo a variação de
grandezas) e H17 (Analisar informações envolvendo a variação de grandezas);
- Competência 5, com Habilidade H19 (Identificar representações algébricas que expressem a
relação entre grandezas) e H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos) ;
- Competência 6, com Habilidade H25 (Resolver problema com dados apresentados em
gráficos).
34
(Questão 156, 2010, 2ª aplicação) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos
e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos.
No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados
brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o
gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.
Figura 7 - Gráfico do número de sacolas em função do número de anos.
Fonte: Inep - Prova azul.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos
em 2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 8,0
e) 10,0
Resolução:
De acordo com o enunciado do problema, a origem está associada ao ano de 2007, e o
próximo ano destacado corresponde a 9 anos após 2007, isto é, 2016.
Como o gráfico é representado por uma reta, será uma função afim do tipo 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏, com o valor inicial 𝑓(0) = 18 = 𝑏.
Calculando a taxa de variação média da função, tem-se:
𝑎 =0 − 18
9 − 0= −2
35
Desse modo, segue que 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 18.
Como a situação-problema solicita o número de sacolas consumidas em 2011, é
calculado 𝑓(4), por 𝑓(4) = −2 × 4 + 18 = −8 + 18 = 10. Ou seja, em 2011 foram
consumidas 10 milhões de sacolas plásticas. Portanto, a resposta correta é a alternativa e).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi aplicada primeiramente a fórmula da taxa
de variação média, que corresponde ao coeficiente angular de uma função afim. Avalia-se
esta questão como sendo uma questão interessante, pois apresenta a possibilidade de
observação e inter-relação entre os conteúdos desta pesquisa.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 4, com Habilidade H15 (Identificar a relação de dependência entre grandezas),
H16 (Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas) e H17 (Analisar
informações envolvendo a variação de grandezas);
- Competência 5, com Habilidade H19 (Identificar representações algébricas que expressem a
relação entre grandezas), H20 (Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre
grandezas) e H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos);
- Competência 6, com Habilidade H25 (Resolver problema com dados apresentados em
gráficos).
(Questão 162, 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea
aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000
passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém
para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38000
b) 40000
c) 41000
36
d) 42000
e) 48000
Resolução:
Se considerarmos as quantidades de passagens vendidas como elementos de uma
sequência numérica, podemos escrevê-la como (30000, 34500, 36000, … ). Calculando a
diferença entre termos consecutivos, a razão desta sequência é h = 1500, ou seja, a
sequência representa uma PA de razão 1500. Considerando que cada mês corresponde a um
elemento da PA, janeiro corresponde ao primeiro elemento e julho corresponde ao 7º termo.
Assim,
𝑎7 = 33000 + (7 − 1)1500 = 42000
Portanto, a empresa área vendeu 42000 passagens em julho.
Sob o ponto de vista da função afim ou taxa média de variação associada, serão
consideradas as informações do quadro 5.
Quadro 5 - Número de passagens aéreas vendidas em relação a cada mês.
Mês (t) Nº de passagens vendidas (P)
0 33000
1 34500
2 36000
Fonte: Elaborado pela autora.
Calculando a taxa média do número de passagens vendidas no período de janeiro a
março, tem-se:
𝑇𝑀𝑉 =𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑛° 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜=
∆𝑃
∆𝑡=
36000 − 33000
2 − 0=
3000
2= 1500 = 𝑎
Ou seja, a cada mês a empresa vende em média 1500 passagens aéreas e este número
corresponde ao coeficiente angular da função afim. Como 𝑃 varia a uma taxa constante
positiva, o gráfico da função afim associada é representado por uma reta crescente, como
mostra a Figura 8.
37
Figura 8 - Gráfico da função P.
Fonte: GeoGebra.
Como em janeiro de 2011 (𝑡 = 0) foram vendidas 33000 passagens, o coeficiente
linear satisfaz 𝑏 = 𝑃(0) = 33000. Assim,
𝑃(𝑡) = 33000 + 1500𝑡
Como o problema solicita o número de passagens aéreas vendidas por essa empresa
em julho de 2011, considerando 𝑡 = 6, tem-se 𝑃(6) = 33000 + 1500 × 6 = 42000, ou seja,
foram vendidas 42000 passagens aéreas em julho de 2011. Assim, a resposta correta é a
alternativa d).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi aplicada diretamente a fórmula do n-
ésimo termo de uma PA. Analogamente, a mesma foi solucionada considerando a taxa média
de variação, que corresponde ao coeficiente angular da função afim e a partir da condição
inicial, foi determinado o coeficiente linear e posteriormente, o valor numérico solicitado.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 1, com Habilidade H2 (Identificar padrões numéricos);
- Competência 4, com Habilidade H15 (Identificar a relação de dependência entre grandezas)
e H16 (Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas);
38
- Competência 5, com Habilidade H19 (Identificar representações algébricas que expressem a
relação entre grandezas) e H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos).
(Questão 173, 2013) O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O
início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de
1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número
a) 32
b) 34
c) 33
d) 35
e) 31
Resolução:
Considerando os períodos do ciclo de atividade magnética do Sol como elementos de
uma sequência numérica, registrados a cada onze anos, tem-se 𝑎1 = 1755, 𝑎2 = 1766, 𝑎3 =
1777 e assim sucessivamente. Esta sequência é uma progressão aritmética de razão 11.
A partir da fórmula do termo geral, o ano de 2101 pode ser representado pelo termo
𝑎𝑛. Assim, 2101 = 1755 + (𝑛 − 1), implicando 𝑛 =357
11≈ 32,45.
De maneira semelhante a algumas questões anteriores, este problema poderia ser
resolvido analisando a taxa média de variação e a função afim associada.
Portanto, no ano de 2101 o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número 32 e
a resposta correta é a alternativa a).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi aplicada diretamente a fórmula do n-
ésimo termo de uma PA. Analogamente, a mesma poderia ter sido solucionada considerando a
taxa média de variação, que corresponde ao coeficiente angular da função afim e a partir da
condição inicial, determinar o coeficiente linear e posteriormente, o valor numérico
solicitado.
39
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 1, com Habilidade H2 (Identificar padrões numéricos);
- Competência 4, com Habilidade H15 (Identificar a relação de dependência entre grandezas)
e H16 (Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas);
- Competência 5, com Habilidade H19 (Identificar representações algébricas que expressem a
relação entre grandezas) e H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos).
Nas seguintes questões do ENEM, serão solucionados e analisados problemas que
envolvem conteúdos de função exponencial, progressão geométrica e taxa de variação
relativa.
(Questão 138, 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas
com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total
nos países desenvolvidos.
Figura 9 - Gráfico da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais por ano.
Fonte: Inep - Prova azul.
40
Suponha que o modelo exponencial 𝒚 = 𝟑𝟔𝟑𝒆𝟎,𝟎𝟑𝒙, em que 𝒙 = 𝟎 corresponde ao
ano 2000, 𝒙 = 𝟏 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que 𝒚 é a população
em milhões de habitantes no ano 𝒙, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou
mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando
𝒆𝟎,𝟑 = 𝟏, 𝟑𝟓, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
a) 490 𝑒 510 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
b) 550 𝑒 620 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
c) 780 𝑒 800 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
d) 810 𝑒 860 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
e) 870 𝑒 910 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
Resolução:
Para saber qual será a estimativa da população, com 60 anos ou mais, em 2030,
primeiramente, serão extraídos os dados do problema: função 𝑦 = 363𝑒0,03𝑥; 𝑥 = 0
corresponde ao ano 2000, 𝑥 = 1 corresponde ao ano 2001 e assim sucessivamente. A partir da
identificação do padrão desses dados, observa-se que 𝑥 = 30, corresponde ao ano 2030.
Então, substituindo na função, tem-se que 𝑦 = 363𝑒0,03×30 = 363𝑒0,03×10×3 = 363𝑒0,3×3 =
363(𝑒0,3)3 = 363(1,35)3 ≈ 363 × 2,46 ≈ 892,98. Assim, a resposta correta é alternativa e).
Análise:
Para a resolução dessa situação-problema foi obtido diretamente o valor numérico
solicitado, pois já havia sido fornecida a expressão da função exponencial.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 1, com Habilidade H2 (Identificar padrões numéricos);
- Competência 5, com Habilidade H20 (Interpretar gráfico cartesiano que represente relações
entre grandezas) e H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos);
- Competência 6, com Habilidade H25 (Resolver problema com dados apresentados em
gráficos).
41
(Questão 166, 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo
ocorrido no Brasil, quando uma amostra de 𝑐é𝑠𝑖𝑜 − 137, removida de um aparelho de
radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-
vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se
reduza à metade. A meia-vida do 𝑐é𝑠𝑖𝑜 − 137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de
um material radioativo, após 𝑡 anos, é calculada pela expressão 𝑀(𝑡) = 𝐴 (2,7)𝑘𝑡, onde 𝐴 é
a massa inicial e 𝑘 uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do 𝑐é𝑠𝑖𝑜 − 137
se reduza a 10% da quantidade inicial?
a) 27
b) 36
c) 50
d) 54
e) 100
Resolução:
Nessa situação-problema é solicitado o tempo necessário para que a massa inicial 𝐴
seja reduzida a 10% da quantidade inicial, ou seja, qual o instante de tempo t tal que 𝑀(𝑡) =
0,1𝐴. Matematicamente, é necessário resolver a equação:
𝐴(2,7)𝑘𝑡 =𝐴
10
ou, equivalentemente,
(2,7)𝑘𝑡 =1
10 (∗)
a qual apresenta duas variáveis: 𝑘 e 𝑡
Assim, utilizando a informação referente a meia vida do Césio 137 que é de 30 anos,
tem-se que a massa de Césio se reduz a 𝐴
2, quando 𝑡 = 30. Assim, 𝑀(30) =
𝐴
2.
Substituindo estes valores na função exponencial dada, tem-se 𝐴
2= 𝐴(2,7)
𝑘×30 , isto
é, 1
2= (2,7)30𝑘.
42
Aplicando a informação inicial que log10 2 = 0,3, ou ainda que 100,3 = 2, tem-se:
(2,7)30𝑘 =1
100,3 = (1
10)
0,3 (**)
Substituindo (∗) em (∗∗), é obtida a equação:
(2,7)30𝑘 = ((2,7)𝑘𝑡)0,3
isto é,
(2,7)30𝑘 = (2,7)0,3𝑘𝑡
Nesta última equação exponencial, como as bases são iguais, implica em expoentes
iguais, ou seja,
30𝑘 = 0,3𝑘𝑡 ⇒ 30 = 0,3𝑡 ⇒ 𝑡 =30
0,3 ⇒ 𝑡 = 100 𝑎𝑛𝑜𝑠.
Assim, são necessários 100 anos para que a quantidade inicial se reduza a 10%.
Portanto, a resposta correta é a alternativa e).
Análise:
Para responder o questionamento da situação-problema foi utilizada a expressão da
função exponencial e a determinação do instante de tempo, a partir da resolução de uma
equação exponencial.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 5, com Habilidade H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos) e H22 (Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como
recurso para a construção de argumentação).
(Questão 152, 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por
objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma
indústria fabricou 8000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em
tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse
43
aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um acréscimo anual de 50%.
Considere 𝑃 a quantidade anual de produtos fabricados no ano 𝑡 de funcionamento da
indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades
produzidas 𝑃 em função de 𝑡, para 𝑡 ≥ 1?
a) 𝑃(𝑡) = 0,5𝑡−1 + 8000
b) 𝑃(𝑡) = 50𝑡−1 + 8000
c) 𝑃(𝑡) = 4000𝑡−1 + 8000
d) 𝑃(𝑡) = 8000(0,5)𝑡−1
e) 𝑃(𝑡) = 8000(1,5)𝑡−1
Resolução:
A partir das informações do problema, para o 1º ano foram fabricadas 8000 unidades,
para o 2º ano, com um aumento de 50%, foram produzidas 12000 unidades e assim
sucessivamente, de modo a descrever a sequência numérica
(8000, 12000, 18000, 27000, … . ), que é uma progressão geométrica de razão dada por:
𝑞 =𝑎2
𝑎1=
12000
8000= 1,5
Para obter a expressão que determina o número de unidades produzidas 𝑃 em função
de 𝑡, para 𝑡 ≥ 1, é utilizada a fórmula do termo geral da PG, 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1. Como 𝑎1 =
𝑃(1) = 8000, tem-se 𝑃(𝑡) = 8000(1,5)𝑡−1.
Explorando este problema quando associado a taxa de variação relativa (TVR) tem-se
𝑇𝑉𝑅1 =𝑎2 − 𝑎1
𝑎1=
12000 − 8000
8000= 0,5
𝑇𝑉𝑅2 =𝑎3 − 𝑎2
𝑎2=
18000 − 12000
12000= 0,5
𝑇𝑉𝑅3 =𝑎3 − 𝑎2
𝑎2=
27000 − 18000
18000= 0,5
Como a taxa de variação relativa é constante, a função que descreve este problema é
uma função exponencial que satisfaz 𝑇𝑉𝑅 = 0,5 = 𝑎ℎ − 1. Assim, 𝑎ℎ = 1,5 e como ℎ = 1,
a base da função exponencial é 𝑎 = 1,5. Logo 𝑃(𝑡) = 𝑏(1,5)𝑡 e como 𝑃(1) = 8000, resulta
que 𝑏 = 8000(1,5)−1. Logo, 𝑃(𝑡) = 8000(1,5)𝑡−1.
Portanto, a resposta correta é alternativa e).
44
Análise:
Para responder o questionamento da situação-problema foi utilizada a fórmula do
termo geral de uma PG, que resultou na expressão da função exponencial. Em paralelo, foi
analisada a taxa de variação relativa, que também resultou na expressão da mesma função
exponencial.
Competências e Habilidades:
Entende-se que para a resolução desta situação-problema, com maior ou menor grau
de presença, o aluno utilizará as seguintes Competências e Habilidades associadas:
- Competência 1, com Habilidade H2 (Identificar padrões numéricos);
- Competência 4, com Habilidade H15 (Identificar a relação de dependência entre grandezas),
H16 (Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas) e H17 (Analisar
informações envolvendo a variação de grandezas);
- Competência 5, com Habilidade H19 (Identificar representações algébricas que expressem a
relação entre grandezas) e H21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva
conhecimentos algébricos).
2.3.2 Análise Geral das Questões do ENEM
De um modo geral, os conteúdos pesquisados neste trabalho estão contemplados nas
questões do Novo ENEM, principalmente os conteúdos do primeiro bloco (taxa de variação
média, função afim e progressões aritméticas) que apresenta muito mais questões, quando
comparado com o segundo bloco (taxa de variação relativa, função exponencial e progressões
geométricas). Porém percebe-se que para a resolução dos problemas associados, o aluno não
precisa utilizar de forma integrada os conteúdos de cada bloco. Além disso, as relações mais
aparentes ocorrem entre função afim e taxa de variação, função afim e progressão aritmética
ou entre função exponencial e progressão geométrica.
Portanto, é extremamente importante que o aluno conheça os conceitos envolvidos e que
saiba tomar decisões diante das informações associadas aos problemas, os quais podem ter
suas informações representadas na forma de gráficos, tabelas ou textual.
45
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Baseado nos livros didáticos analisados, é bastante perceptível que a forma tradicional
de ensinar Matemática ainda se faz presente na vida escolar nas maiores escolas públicas de
Ensino Médio de Santa Maria, o que de certa forma traz sérias dificuldades aos alunos no
momento de aplicar os conteúdos matemáticos em situações da realidade ou até mesmo,
quando se submetem a prova do ENEM. Talvez este seja um fato que justifique a visão
pessimista que a maioria dos alunos tem em relação à Matemática e ao seu processo de ensino
aprendizagem.
De forma geral, os alunos estão desmotivados e a utilização de novas metodologias de
ensino precisa ser discutida, como é o caso da metodologia da resolução de problemas. Com
isso, torna-se visível a importância de trabalhar os conteúdos matemáticos de forma mais
contextualizada e interdisciplinar, o que é bastante recorrente nas Habilidades associadas as
competências 1, 4, 5 e 6 relacionadas aos conteúdos matemáticos de interesse desta pesquisa,
mais especificamente: Avaliar propostas de intervenção na realidade: envolvendo variação de
grandezas (H18) e utilizando conhecimentos numéricos (H5) e conhecimentos algébricos
(H23). Ainda, utilizar e analisar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer
inferências (H24) e a construção de argumentos (H26).
Observa-se na análise dos livros didáticos que há poucas situações-problema propostas
e nenhuma que aborde os três conteúdos de forma integrada. Além disso, em relação a
questões do ENEM, constata-se que os conteúdos estão contemplados, porém mais
frequentemente a função afim, progressão aritmética e taxa média de variação, mas não de
uma forma a integrá-los.
Portanto, a partir dessa pesquisa, sugere-se uma maior preocupação no planejamento
pedagógico escolar, de modo a articular e contextualizar os conteúdos, como é fortemente
recomendado pelas políticas públicas.
46
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Brasília: MEC, 2000.
BRASIL, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: orientações
educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, SEMTEC, 2002.
BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, SEB, 2006.
DANTE, L. R. Matemática: Contextos e Aplicações. 2 ed. São Paulo: Ática, v. 1, 2013.
IEZZI, G. et al. Matemática: Ciência e Aplicações. 7 ed. São Paulo: Saraiva, v. 1,2013.
IEZZI, G. et al. Matemática, 5 ed. São Paulo: Atual, v. único, 2011.
INEP. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Brasília,
2015. Disponível em: <http://www.inep.gov.br/>. Acesso em 12 set.2015.
INEP. Relatório Pedagógico ENEM 2009-2010. Disponível em:
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/relatorios_pedagogicos/relatorio_pedago
gico_enem_2009_2010.pdf >. Acesso em 10 ago. 2015. LIMA, E. L et al. A Matemática do Ensino Médio. 9 ed. Rio de Janeiro: SBM, v. 1, 2006.
LUPINACCI, M. L. V.; BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de
matemática. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, p. 1–5,
2004.
SOUZA, J. R. Novo Olhar: Matemática. 2 ed. São Paulo: FTD, v. 1, 2013.
