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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MÚSICA, MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS: UM CAMINHO PARA O ENSINO DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Trabalho de Conclusão de Curso
Diogo Beck Franken
Santa Maria, RS, Brasil
2015
MÚSICA, MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS: UM CAMINHO PARA O ENSINO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Diogo Beck Franken
Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura Matemática da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), apresentado como
requisito final para obtenção do grau de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Professora Dra. Carmen Vieira Mathias
Santa Maria, RS, Brasil
2015
Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas
Departamento de Matemática
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a conclusão de curso
MÚSICA, MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS: UM CAMINHO PARA O ENSINO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
elaborado por Diogo Beck Franken
como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática
COMISSÃO EXAMINADORA:
Carmen Vieira Mathias, Dra. (Presidente/Orientador)
AntonioCarlos Lírio Bidel,Dr. (UFSM)
Karine FaverzaniMagnago, Dra. (UFSM)
Santa Maria, 03 de Dezembro de 2015.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus, pelo dom da vida e me possibilitar um novo
dia todo amanhecer. Por me dar força e me guiar nos momentos de dúvidas e
aflições.
Aos meus pais, que estão sempre ao meu lado e ao de meus irmãos nos
apoiando, incentivando e dando o suporte necessário para que alcancemos nossos
objetivos. Por nunca faltar amor na nossa família, que é o que nos sustenta em
todos os momentos. Aos meus irmãos e irmãs por estarmos sempre juntos, mesmo
que não fisicamente, sempre torcendo uns pelos outros.
Queria agradecer ao meu pai em especial, por me ensinar a tocar violão com
10 anos e sempre me incentivou no desenvolvimento do raciocínio lógico
despertando o interesse pela matemática.
Aos amigos, por compartilhar inúmeros momentos de alegria durante toda a
minha trajetória em Santa Maria, me tornando uma pessoa melhor e mais feliz. Sem
vocês eu nada seria.
À minha orientadora Carmen Vieira Mathias, por aceitar este desafio junto a
mim, que sempre me incentivou, apoiou e acreditou na construção desta ideia, com
muita paciência não me deixando desistir e contribuindo muito para a realização
deste trabalho, além de um grande exemplo como docente.
RESUMO
Trabalho de Graduação
Curso de Matemática Licenciatura
MÚSICA, MATEMÁTICA E TECNOLOGIAS: UM CAMINHO PARA O ENSINO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
AUTOR: Diogo Beck Franken
ORIENTADORA: Carmen Vieira Mathias. Data e local da defesa: Santa Maria, 03 de Dezembro de 2015.
Esse trabalho trata-se de uma pesquisa do tipo bibliográfica que relaciona
matemática e música, assuntos que geralmente são tratados como saberes completamente isolados um do outro. Pretende-se apresentar as proximidades desses dois conhecimentos, utilizando aplicações como uma estratégia para o ensino da matemática. Mostraremos a música como um elemento motivador para se estudar funções trigonométricas no Ensino Médio, a partir da introdução da teoria musical, tendo como principal relação o som, sendo representado por uma onda senoidal. Faz-se o uso do aplicativo Geogebra como recurso tecnológico como facilitador das representações e transformações gráficas das funções trigonométricas, além de poder reproduzir os sons descritos por produto das funções estudadas.
Palavras-Chave: Música e Matemática. Geogebra. Funções Trigonométricas.
ABSTRACT
Undergraduate Final Work GraduateProgram in Mathematics Federal Universityof Santa Maria
MUSIC , MATHEMATICS AND TECHNOLOGY : A PATH TO
TEACHING FUNCTIONS TRIGONOMETRIC
AUTHOR: Diogo Beck Franken INSTRUCTOR: Carmen Vieira Mathias.
Date anddefense site: Santa Maria,December 03, 2015. This work it is a survey of bibliographic type that relates Mathematics and Music, subjects which are usually treated like know ledge completely isolated from one another. It is intended present the vicinity of both know ledges, using applications as a strategy for teaching mathematics. We show music as a motivator to studying trigonometric functions in high school, from the introduction of music theory with the main relationship sound, it is represented by a sine wave. It makes the use of Geogebra application as technological resources as a facilitator of representations and graphical transformations of trigonometric functions, and can reproduce the sounds described by product of the studied functions. Key-Words: Music and Mathematics. Geogebra. Trigonometric Functions.
Sumário
INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 8
1.TEORIA MUSICAL .......................................................................................... 10
2.REVISANDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................... 17
2.1 Função Seno ...................................................................................................... 17
2.2 Função Cosseno: .............................................................................................. 21
3. A ONDA COMO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................... 25
3.1. Soma e Produto de Funções Trigonométricas .............................................. 25
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 29
REFERÊNCIAS .................................................................................................. 31
8
INTRODUÇÃO
As relações entre matemática e música, embora sejam consideradas por
muitos, áreas totalmente distantes, são conhecidas e estudadas desde a antiguidade
e sempre se mantiveram muito próximas uma da outra (BIBBY, 2003). A matemática
grega só pode ser interpretada juntamente à filosofia, à astronomia, à moral, à
música, enfim, na Paideia - nome dado para o conjunto de conhecimentos
organizados de forma circular, ou seja, não hierárquica, formando um todo
necessário à formação do indivíduo (JAEGER, 2013).
Segundo Abdounur (2002), o primeiro matemático a relacionar razões de
cordas vibrantes a intervalos musicais foi Pitágoras. Este experimento foi feito no
monocórdio - Instrumento composto por uma única corda estendida entre dois
cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa, possuindo um cavalete móvel colocado
sob a corda para dividi-la em duas seções. Resultando no quarto ramo da
matemática, compondo o quadrivium, que são as quatro ciências matemáticas:
álgebra, geometria, astronomia e música.
Acredita-se importante mencionar BRASIL (2008), que se refere à lei nº
11.769, na qual fica determinado que a música deva ser conteúdo obrigatório em
toda a Educação Básica. Segundo Craveiro (2012) "O objetivo não é formar
músicos, mas desenvolver a criatividade, a sensibilidade e a integração dos alunos”.
A partir não somente desta obrigatoriedade em termos de lei, mas também da
consciência da importância de um trabalho interdisciplinar, julga-se profícuo ter a
música como disciplina escolar. Ela está presente no dia a dia dos alunos e isso faz
com que possamos ter este despertar para a matemática por meio da música,
mostrando aplicações da matemática no cotidiano.
Além disso, acredito que seja relevante mencionar meu histórico já que minha
relação com a música e a matemática começou cedo, a partir da figura do meu pai,
que me “tomava” a tabuada quando podia me levar para a escola e também ao me
ensinar alguns acordes no violão. Desde o início quando escolhi a licenciatura
pensei que poderia utilizar de alguma forma a música para despertar o interesse nos
alunos. Pelo fato de estar em sala de aula, pude observar a dificuldade que os
alunos têm em fazer uma ligação entre as relações trigonométricas e as funções
trigonométricas, ou seja, é muito complicado para o aluno estipular semelhanças e
diferenças e entre seno ou cosseno de um ângulo (trigonometria no triângulo
retângulo) e seno ou cosseno de um número real (funções trigonométricas).
Nesse sentido, vem a proposta desse trabalho de conclusão de curso, que foi
realizar uma pesquisa sobre as relações existentes entre matemática e música e
verificar, onde essa relação poderia ser encaixada dentro do currículo escolar.
Verificamos que, uma vez que a música esta presente na vida de todos diariamente,
ela pode ser um objeto motivador para se trabalhar não só as funções
trigonométricas como também, fazer o estudo do conjunto dos números racionais no
Ensino Fundamental. Observamos nas escolas a dificuldade de os alunos
aprenderem esse conteúdo, e a música pode tornar o assunto mais interessante e
proporcionar uma melhoria no entendimento do mesmo. Essas duas áreas, em
geral, são tratadas como campos de saber distintos e isolados um do outro.
Acreditando que a utilização do saber da música pode ser uma ferramenta
motivadora para o ensino da matemática, pretende-se mostrar as similaridades e
ligações entre elas, que podemos utilizar no intuito de desenvolver o ensino de
matemática. Além disso, utilizaremos como apoio o software GeoGebra com o
objetivo de facilitar a construção dos gráficos das funções trigonométricas e suas
transformações.
A primeira parte deste trabalho expõe uma pequena introdução à teoria
musical e sua relação com a matemática a partir de Pitágoras que fez medições em
um instrumento de uma corda e relacionou com números fracionários, formalizando
a construção desta teoria. Apresenta também as frequências sonoras para
relacionar estas com as funções trigonométricas.
Em seguida, apresentam-se as funções trigonométricas seno e cosseno,
realiza-sea construção de seus gráficos com o auxilio do aplicativo GeoGebra.
Utilizando os recursos do software se faz possível verificar de forma simples, as
transformações desses gráficos, que são descritas de forma detalhada neste
trabalho. Na terceira parte, apresenta-se algumas especificidades do aplicativo
Geogebra, que permite, a partir de combinações de funções trigonométricas, tocar
alguns sons. E para finalizar, são descritas as conclusões do trabalho.
1. TEORIA MUSICAL
Segundo Abdounur (2002), poucos filósofos, muito menos cientistas,
souberam adaptar elementos sensíveis às suas teorias com tanto acerto como
Pitágoras. A famosa teoria Pitagórica da harmonia das esferas era muito mais
profunda que a mera conjectura da consonância das notas que os astros produzem
nos seus movimentos regulares. A música era, para os pitagóricos, um símbolo de
harmonia do cosmos e, simultaneamente, um meio de alcançar o equilíbrio interno
do espírito do homem.
Observa-se que a harmonia que Pitágoras descobriu nos números, 1, ½, 1/3,
¼, fez com que acreditasse que todo o Universo era controlado por música, motivo
pelo qual cunhou a expressão “música das esferas” (CAMPOS, 2009).
Nesse trabalho é importante deter-se no inventor de um aparelho capaz de
relacionar a harmônica musical com os números. Tal instrumento, inventado por
Pitágoras é o monocórdio, que era composto por uma única corda estendida entre
dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa possuindo um cavalete móvel
colocado sob a corda para dividi-la em duas seções. (ABDOUNUR, 2002)
Esta corda produzia um som que Pitágoras tomou como som fundamental: o
tom.Fez, a seguir, marcas na corda, as quais a dividiam em doze partes iguais,
conforme apresenta a Figura 1.
Figura 1: Marcações feitas por Pitágoras no Monocórdio Fonte: Camargos (2003)
Cunha (2006) relata que Pitágoras tocou a corda na 6ª marca e observou que
se produzia a oitava. Tocou depois na 9ª marca e resultava na quarta. Ao tocar na 8ª
marca, obtinha-se a quinta. Além disso, segundo o mesmo autor, Pitágoras verificou,
ainda, que os sons produzidos, ao tocar em outras marcas, resultavam discordes,
ou, pelo menos, não tão acordes como os anteriores. Isso significa que os números
1, 2, 3 e 4, cuja soma é 10, formavam a beleza do som, pois consideravam o 10 um
número mágico, evidenciando uma interconexão entre a Matemática e a Música.
De acordo com Abdounur (2002) e Cunha (2006), atribui-se o descobrimento
dos intervalos consonantes a Pitágoras, embora provavelmente esses já fossem
conhecidos desde muito antes em distintas culturas antigas. Os intervalos
pitagóricos, tomando como ponto inicial uma corda cujo valor hipotético de
comprimento é 1, percorrem a escala por quintas ascendentes e transpõem as notas
obtidas à oitava relativa, obtendo frações, representando as notas musicais em
relação ao tamanho da corda (figura 2).
Figura 2: Escala de Notas
Fonte: Camargos (2010)
De acordo com Rodrigues (1999), para os pitagóricos, a harmonia dos sons
estava em correspondência direta com a aritmética das proporções, o produto de 2/3
(fração associada à quinta) por 3/4 (fração associada à quarta) dá a fração 1/2
associada à oitava; a sua divisão está associada à fração 8/9 = (2/3):(3/4) que
representa um tom. Contudo, podemos deduzir que, como citado anteriormente, pelo
percurso das quintas e pelas médias aritméticas dos intervalos, os pitagóricos
chegaram às frações anteriores.
Por exemplo, ao pensarmos em um piano, composto de oito oitavas
(sequência de Dó à Si), se tomarmos o Dó central como referência, verificamos que
o Dó uma oitava abaixo, terá uma fração de 8/9 em relação ao tamanho do Dó
central, o que implica na frequência sonora e, portanto, ouvimos a mesma nota
porém mais aguda.
Hipoteticamente, tomemos o tamanho da corda como igual a uma unidade,
logo já teria o Dó igual a 1. Pitágoras teria também a quarta, a quinta e a oitava
notas, respectivamente, 3/4, 2/3 e 1/2. Isso possibilitou que obtivessem as frações
correspondentes às outras notas, utilizando o que chamamos de “Ciclo de Quintas”
conforme a Figura 3.
Figura 3: Ciclo de Quintas (Sentido Anti-horário)
Fonte: Garland e Kahn (1995), pg. 61.
Garland e Kahn (1995) observaram que os pitagóricos haviam obtido suas
gamas, correspondentes às notas musicais, utilizando o ciclo ou percurso das
quintas, como nos mostra a Figura 4.
Figura 4: Sequência das Notas
Fonte: O Autor
É importante observar que, na Figura 3, a quinta de Dó (C) é a nota Sol (G); e
que a quinta de Sol é a nota Ré (D); logo, como Sol corresponde a 2/3 de Dó, a nota
Ré será correspondente a 2/3 de Sol (G); logo, como Sol corresponde a 2/3 de Dó, a
nota Ré será correspondente a Ré = 2/3.(Sol) = (2/3).(2/3) = 4/9 (C).
Como a fração 4/9 não está entre Dó = 1 e sua oitava Dó = 1/2, os pitagóricos
poderiam ter multiplicado seu valor por 2 e obtido a nota Ré, correspondente a 8/9.
Em seguida, para obter a quinta da nota Ré, o Lá,usou-se o mesmo
procedimento:
Lá =2/3(Ré) = (2/3).(8/9) = 16/27 (C) .
Continuando pelo mesmo processo:
Mi = 2/3 (Lá) = (2/3).(16/27) = 32/81, que não está entre 1 e 1/2, logo,
multiplicando também por 2 teremos, Mi = 64/81.
Si = 2/3 (Mi) = (2/3).(64/81) = 128/243 .
Segundo Abdounur (2002), que a influência das gamas pitagóricas percorreu
toda a Idade Média, sendo substituída, gradativamente, a partir do século XVI, com
a descoberta dos logaritmos e com o chamado Temperamento Musical. Isso está de
acordo com Rodrigues (1999), ao relatar sobre essa gama cromática pitagórica, que
foi aperfeiçoada a partir de Zarlino (1517-1590), quando ele acrescentou o número 5
às relações de frequências pitagóricas. Assim, construía-se a escala de maneira que
o intervalo de terça maior passava a possuir relação de frequências 5/4, existente na
série harmônica. Supondo-se que a primeira nota, dó, tenha frequência 1, obteremos
para as outras notas as frequências conforme a Figura 5.
Figura 5: Frequência das Notas.
Fonte: Autor
Ainda de acordo com Rodrigues (1999), as primeiras aproximações
numéricas das gamas, daquilo que viria a ser chamado de Temperamento musical,
eram geométricas e mecânicas, e os matemáticos da época utilizavam um
instrumento chamado de Mesolábio (Figura 6).
Figura 6 :O Mesolábio, Fonte: RODRIGUES (1999)
Segundo Rodrigues (1999), o instrumento apresentado na Figura 6, foi
inventado pelos gregos e foi reproduzido da edição de 1573 de Institutioniarmoniche,
de F. Zarlino foi um dos três métodos que ele expôs na sua obra
“Sopplimentimusicali” (Veneza, 1588), para “dividir a oitava diretamente em 12
partes ou semitons iguais e proporcionais”. Este instrumento, descrito em textos
gregos antigos, consiste em três paralelogramos retangulares móveis e permite
obter as linhas CD e EF como duas médias proporcionais de AB e GH epoderia ter
sido utilizado por Zarlino, na tentativa de achar mecanicamente médias
proporcionais das notas correspondentes à escala musical da época.
Além disso, podemos pensar na música como ondas sonoras, que segundo
Halliday (2009) ondas são movimentos causados por uma perturbação que se
propagam no meio. As ondas sonoras são ditas ondas mecânicas e se propagam
com a variação de pressão do meio. Dependendo da fonte emitente, as ondas
sonoras podem apresentar qualquer frequência, desde poucos Hertz (Hz) (como as
ondas produzidas por abalos sísmicos), até valores extremamente elevados
(comparáveis às frequências da luz visível). Porém, nós, seres humanos, só
conseguimos ouvir ondas sonoras cujas frequências estejam compreendidas entre
20 Hz e 20.000 Hz, sendo chamadas, genericamente, de sons.
A representação geométrica de uma onda sonora origina gráficos que podem
ser utilizados para estudar conceitos de funções trigonométricas. A Figura 7 ilustra
um gráficocom componentes básicos de uma onda, realizado com o auxílio do
software GeoGebra.
Figura 7: Representação geométrica de uma onda sonora
Fonte: O Autor
Observando o gráfico, temos que crista é a parte mais alta da onda e o vale a
parte mais baixa da onda. A distância do eixo x com uma crista ou vale é
denominada amplitude (A). A distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos
é chamada de Comprimento de Onda (λ) equivale a uma volta completa no ciclo
trigonométrico. O número de vezes que o comprimento de onda se repete é
denominada frequência e medida em Hertz.
Segundo Halliday (2009), a função trigonométrica que representa uma onda é
uma senóide do tipo f�x� � A sin�Bx � C� � D, em que A é amplitude da onda e
caracteriza a Intensidade sonora, e B a frequência, calculada por B � 2π λ� ,
responsável pela altura do som.
Como veremos a seguir, se modificamos a frequência, o som ficará mais
agudo (frequência alta) ou mais grave (frequência baixa). A figura 8ilustra as
frequências da escala musical.
Figura 8: Frequências da escala Musical (em Hertz)
Fonte:Simões (2015)
Podemos observar estas frequências a partir do que apresenta Bortolossi
(2013) que utiliza um applet1 que reproduz sons. Esse applet (Figura 9) mostra o que
descrevemos acima, de forma interativa. Ou seja, alterando o controle deslizante
aumentando ou diminuindo as frequências é possível ouvir o som mais grave ou
mais agudo. A figura 8 apresenta a variação de frequência de 440Hz (Lá) para
550Hz (Dó). Com o auxílio do applet o aluno pode ouvir cada uma das frequências
além de visualizar as alterações no gráfico.
Figura 9: Ouvindo uma onda Senoidal
Fonte Bortolossi (2013)
No que segue, apresentaremos de forma detalhada as transformações que os
coeficientes A, B, C e D da função f�x� � A sin�Bx � C� � D, realiza nos gráficos das
funções trigonométricas seno e cosseno, bem como a relação existente entre a onda
sonora e essas funções a fim de realizar uma ligação entre os conteúdos específicos
vistos no Ensino Médio e a Música.
1 Applet é um pequeno software que executa uma atividade específica, dentro (do contexto) de outro programa maior (como
por exemplo um web browser), geralmente como um Plugin. O termo foi introduzido pelo AppleScript em 1993.
2 REVISANDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Como vimos no capítulo anterior, uma onda pode ser representada pelo
gráfico da função trigonométrica seno. Seguiremos aqui o estudo das funções
trigonométricas, conforme CARMO, MORGADO e WAGNER (2001).
2.1 Função Seno
Seja a função trigonométrica y � sen x. Por meio do Geogebra, pode-se
construir o gráfico desta função e utilizando o recurso Controle Deslizante, é
possível realizar um estudo do comportamento da mesma. A figura 10 apresenta o
gráfico da função construída no aplicativo acima citado, assim como ocorre com
todos os demais gráficos apresentados nesse capítulo.
Figura 10: Gráfico da função y � senx
Fonte: O Autor
O recurso Controle Deslizante no Geogebra permite modificar valores
numéricos por um meio de controle visual de valores, que podemos definir conforme
configurações do applet.
É importante salientar a relação que o gráfico da função tem como ciclo
trigonométrica de raioum, que pode ser explorado a partir de um applet construído
no Geogebra, conforme o apresentado na Figura 11.
Figura 11: O ciclo trigonométrico- Função seno
Fonte: Lutz (2015)
Por meio desta construção podemos observar que o conjunto imagem é o
intervalo compreendido entre -1 e 1, ou seja, o intervalo [-1, 1], pois percorrendo um
ciclo inteiro (360°ou2πrad) o gráfico não ultrapassa os valores indicados acima.
Temos também que o Período da função é igual a 360°ou2πrad.
Podemos ainda ampliar nosso estudo, analisando agora variações da função
Seno dadas por funções do tipof�x� � A sin�Bx � C� � D, em que A, B, C e D são
números reais.Com o auxílio da ferramenta Controle Deslizante do software,
podemos analisar a influência que cada um dos coeficientes A, B, C e D possuem no
comportamento do gráfico da função.
Primeiramente consideremos uma função do tipo f�x� � A sin�x�. Ao
tomarmos valores para 0<A<1 notamos que o gráfico comprime no sentido do eixo y,
Quando tomamos valores para A<-1 ou A>1o gráfico da função se expande no
sentido do eixo y, interferindo diretamente na imagem da função, conforme a Figura
12.
Figura 12: Gráfico da função y� 2senx à esquerda e y� �� senxà direita
Fonte: O Autor
Consideremos a seguir a função do tipof�x� � sen�Bx�. De maneira análoga
ao gráfico anterior, ao tomarmos valores distintos para B modificamos o gráfico da
função f�x� � sen�x�, agora no sentido do seu período. Com 0<B<1 temos que o
gráfico da função expande no sentido do eixo x, e para B>1 o gráfico se comprime,
conforme a Figura 13.
Figura 13: Gráfico da função y � sen �� x! à esquerda e y� sen�4x� Fonte: O Autor
Seguindo a análise, agora vamos observar o comportamento do gráfico da
função f�x� � sen�x � C�, conforme as Figura 14.
Figura 14: Gráfico da função y � sen�x � 3� à esquerda e y� sen�x − 4� à direita Fonte: O Autor
Observamos que a tomarmos valores distintos de C o gráfico desloca no
sentido do eixo x, quando o valor tomado for positivo desloca o gráfico para
esquerda enquanto que para valor negativo desloca o gráfico para direita.Para
finalizar a análise do gráfico vamos considerar a função f�x� � sen�x� � D, cujo
gráfico está ilustrado na Figura15.
Figura 15: Gráfico da função y � sen�x� � 1 à esquerda e y� senx − 2 à direita Fonte: O Autor
Assim, verificamos que ao obtermos valores distintos para o coeficiente D o
gráfico desloca todo o gráfico no sentido vertical, do eixo y, também influenciando na
imagem da função.
Analogamente faremos o estudo da função cosseno.
2.2 Função Cosseno:
Seja a função trigonométrica y � cos x. Por meio do GeoGebra, pode-se
construir o gráfico desta função e utilizando alguns recursos do software é possível
realizar o estudo detalhado do comportamento da mesma. A figura 16 apresenta
nosso objeto de estudo.
Figura 16: Gráfico da função y � cos�x�
Fonte: O Autor
Pode-se utilizar aqui o mesmo aplicativo anterior, Porém, ao invés de escolher
a função seno, escolhemos a função cosseno e se pode realizar a investigação
anterior, conforme ilustra a Figura 17.
Figura 17: O ciclo trigonométrico- Função cosseno
Fonte: Lutz (2015)
Assim, por meio do aplicativo podemos observar que o conjunto imagem
também é o intervalo compreendido entre -1 e 1, ou seja, o intervalo [-1, 1], pois
percorrendo um ciclo inteiro (360°ou2πrad) o gráfico não ultrapassa os valores
indicados acima. Temos também que o Período da função é igual a 360°ou2πrad.
Podemos ainda ampliar nosso estudo, analisando agora variações da função
Cosseno dadas por funções do tipo f�x� � A cos�Bx � C� � D, onde A, B, C e D são
números reais.
Com o auxílio das ferramentas do software, podemos analisar a influência que
cada um dos coeficientes A, B, C e D possuem no comportamento do gráfico da
função.Primeiramente consideremos uma função do tipo f�x� � A cos�x�. Ao
tomarmos qualquer valor para A, notamos que o gráfico pode ampliar ou diminuir no
sentido do eixo y, interferindo diretamente na imagem da função, conforme a Figura
18.
Figura 18:Gráfico da função y � �� cos�x� à esquerda ey � 2cos�x�à direita
Fonte: O Autor
Consideremos a seguir a função do tipof�x� � cos�Bx�. De maneira análoga
ao gráfico anterior, ao tomarmos valores distintos para B modificamos o gráfico da
função f�x� � sin�x�, agora no sentido do seu período, conforme a Figura 19.
Figura 18:Gráfico da funçãoy � cos��� x� à esquerda e y � cos�4x�à direita Fonte: O Autor
Seguindo a análise, agora vamos observar o comportamento do gráfico da
função f�x� � cos�x � C�, conforme a Figura 20.
Figura 20: Gráfico da função y � cos�x � 3� à direita e y � cos�x − 2� à esquerda
Fonte: O Autor
Observamos que a tomarmos valores distintos de C o gráfico desloca no
sentido do eixo x, quando o valor tomado for positivo desloca o gráfico para
esquerda enquanto que para valor negativo desloca o gráfico para direita.
Para finalizar a análise vamos considerar o gráfico da função f�x� � sin�x� �D. Conforme a Figura 21.
Figura 21: Gráfico da funçãoy � cos�x� − 1à esquerda e y � cos�x� � 1à direita
Fonte: O Autor
Assim, verificamos que ao obtermos valores distintos para o coeficiente D o
gráfico desloca todo o gráfico no sentido vertical, do eixo y, também influenciando na
imagem da função.
3. A ONDA COMO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Segundo Bortolossi (2012) a Análise de Fourier é usada no estudo de sinais:
funções que trazem consigo informações sobre o comportamento ou a natureza de
um fenômeno que varia com o tempo ou com o espaço. Sons são exemplos de
fenômenos que geram sinais: ondas sonoras produzem variações de pressão cujos
valores mudam com o tempo.
Citando o mesmo autor para o caso de fenômenos periódicos, a ideia básica
da Análise de Fourier é a seguinte: sinais periódicos podem ser aproximados por
somas de funções trigonométricas da formay � Asen�Bx � C�, com A,Be
Cconstantes. É justamente esse princípio que vamos investigar aqui, usando, para
isso, experimentos sonoros. Veremos como os parâmetros A, Be C afetam o gráfico
da função y � Asen�Bx � C� e as propriedades do som correspondente e, também,
como somas de funções desse tipo podem ser usadas para representar sons mais
complexos.
3.1. Soma e Produto de Funções Trigonométricas
Como já observamos, uma das ondas mais simples é a onda senoidal, ou
seja, aquela que é descrita por uma função do tipo y � Asen�Bx � C�. Podemos
reescrever essa equação conforme Benson (2008)como uma onda senoidal com
freqüência ν em Hertz, amplitude ce fase φ de forma:
y � csen�2πνt � φ� A quantidade ω � 2πν é chamada a velocidade angular . A função do ângulo
φ é para nos dizer onde a onda senoidal atravessa o eixo de tempo (eixo horizontal).
Por, exemplo, uma onda do tipo cosseno está relacionada com uma onda senoidal
pela equaçãocos x � sin x � *�!, de modo que uma onda “cosseno” é realmente
apenas uma onda senoidal com uma fase diferente.
Por exemplo, a nota Lá (A) de 440hz, pode ser representada pela onda da
forma:
csin�880πt � φ�. Isto pode ser convertido como uma combinação linear de senos e cossenos,
utilizando fórmulas conhecidas, como a de soma de arcos, para o seno e cosseno:
sen�A � B� � senA. cosB � cosA. senB (1)
cos�A � B� � cosA. cosB − senA. senB (2)
Então função que representa a onda fica:
y � csen�ωt � φ� � a cos�ωt� � bsen�ωt� , com a � c. senφ e b � c. cosφ.
Podemos nos questionar o que ocorre quando duas ondas senoidais ou
cossenoidais “puras” são jogados no mesmo tempo? Por exemplo, por que é que
quando duas notas muito próximas são jogados simultaneamente, ouvimos ”beats2”?
Uma vez que este é o método pelo qual cordas em um piano, por exemplo, estão
sintonizadas, é importante entender as origens dessas batidas.
A resposta a esta questão também está nas identidades trigonométricas (1) e
(2). Desde que o sen (-B) = -senB e cos (-B) = cosB , substituindoB por -B nas
equações citadas temos
sen�A − B� � senAcosB − cosAsenBcos�A − B� � cosAcosB � senAsenB.
Adicionando as equaçõessen�A � B� � senA. cosB � cosA. senB e sen�A −B� � senAcosB − cosAsenB
temos:sen�A � B� � sen�A − B� � 2senAcosB.
O que podemos reescrever como:
senAcosB � 12 .sen�A � B� � sen�A − B�/.
Da mesma forma, adicionando e subtraindo as expressões
cos�A � B� � cos�A − B� � 2cosAcosBcos�A − B�− cos�A � B� � 2sinAsinB
2 Beats são vibrações ocasionadas por ondas sonoras de frequências muito próximas, o que popularmente
entendemos por “batida da música”.
obtemos
cosAcosB � 12 �cos�A � B� � cos�A − B��
e
sinAsinB � 12 .cos�A − B� − cos�A � B�/.
Isso nos permite escrever qualquer produto de senos e cossenos como uma
soma ou diferençade senos e cossenos.Porém, estamos interessados no processo
oposto. Então, tomamos u � A � Bev � A − B. Para A e B, resultaA � 1/2�u �v�eB � 1/2�u − v�.
Substituindo nas equações
sen�A � B� � sen�A − B� � 2sinAcosB, cos�A � B� � cos�A − B� � 2cosAcosB
e
cos�A − B�− cos�A � B� � 2sinAsinB
obtemos:
senu � senv � 2sen �u � v�2 cos �u − v�
2
cosu � cosv � 2cos �u � v�2 cos �u − v�
2
cosv − cosu � 2sen �u � v�2 sen �u − v�
2 .
Isso nos permite escrever qualquer soma ou a diferença de ondas senoidais e
ondas senocomo um produto de senos e cossenos. Por exemplo, ao plotarmos as
funções y � sen�12x� � sen�10x� ou a função y � 2sen�11x�cos�x� (Figura 22) obtemos
o mesmo gráfico, o que ocorre exatamente pelo que foi exposto anteriormente.
Figura 22: Gráfico das funções y � sen�12x� � sen�10x� à esquerda e y � 2sen�11x�cos�x� à direita
Fonte: O Autor
Assim, por exemplo, suponha que um afinador de piano afinou uma das três
cordas correspondentes à nota Lá (A) acima do Dó(C) central a 440 Hz. O segundo
string (cadeia) ainda está fora de sintonia, de modo que ela ressoa em 436 Hz. A
terceira está sendo amortecida, de modo a não interferir com o ajuste da segunda
cadeia. Ignorando fase e amplitude por um momento, as duas cordas junto soarão
como
sin�880πt� � sin�872πt�.
Usando a equação senu � senv � 2sen �456�� cos �476�
� podemos reescrever
esta soma como
2sin�876πt�. cos�4πt�.
O GeoGebra possui a ferramenta TocarSom, que permite gerar um som a
partir de um produto de funções seno e cosseno como esta citado acima. Assim ao
digitar o comando TocarSom[2sen�876πx�cos�4πx�,0,2π]na caixa de entrada (figura
23) o Geogebra literalmente toca o som correspondente a essa expressão.
Figura 23: Comando Tocar Som
Fonte: OAutor.
Ainda é possível, utilizar alguns recursos já elaborados e divulgados, como o
apresentado em Bortolossi (2012). O autor denomina o applet produzido de
“gerando sons mais complexos com a superposição de duas ondas”. Nesse
aplicativo é possívelmodificar as amplitudes (A1 e A2 ), frequências (k1 e k2 ) e
fases (C1 e C2 ) de duas ondas sonoras e, então, ouvir o som da superposição
correspondente. O autor apresenta vários exemplos de como realizar atividades a
partir do aplicativo que tem um apelo didático muito interessante, tratando de ondas
no sentido da Física.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao pensar nesse trabalho, em um primeiro momento, a ideia era apresentar
uma proposta de ensino das funções trigonométricas no Ensino Médio, tendo como
motivador o estudo da teoria musical e a relação da música com a matemática.
Porém, ao amadurecer o conceito do que de fato deveria ser um Trabalho Final de
Graduação, resolvemos delimitar o trabalho para realizar uma pesquisa sobre as
relações existentes entre matemática e música e verificar, em que essa relação
poderia ser encaixada dentro do currículo escolar. Além de encontrar a relação
apresentada, percebemos que as funções trigonométricas não estão presentes
apenas nas ondas sonoras, mas tambémnas frequências e tons de discagem de
telefones: Os telefones e celulares modernos possuem o sistema de discagem
DTMF (Dual-ToneMulti-Frequency). Nesse sistema, cada tecla emite um som que é
resultante da superposição de duas ondas senoidais, uma de frequência baixa, outra
de frequência alta Bortolossi(2012).
Também podemos encontrar aplicações das funções trigonométricas
nosbatimentos cardíacos, que conforme Bortolossi(2012), o fenômeno de batimento
ocorre quando duas ondas senoidais com frequências próximas são superpostas.
Assim, percebemos que esse trabalho ampliou nossos horizontes, pois
percebemos outras formas de apresentar o conteúdo de funções trigonométricas
para os alunos.Além disso,acreditamos que o uso do aplicativo Geogebra, pode
dinamizar e concretizaros conceitos matemáticos estudados, tornando literalmente
audível e visual o que o professor pode propor. Também, com a utilização deste
recurso foi permitido a construção, manipulação e análise do comportamento das
funções trigonométricase suas transformações, o que acreditamos que possa
auxiliar no processo de ensinar e aprender.
Acredita-se, enquanto professor, que é possível utilizar esse aplicativo em
sala de aula, bem como as relações e aplicações aqui apresentadas. Pois, uma vez
que as tecnologias estão cada vez mais presentes na vida dos alunos, ao entrar em
uma sala com algo diferente do usual, espera-se despertar maior interesse aos
mesmos. A tecnologia como ferramenta para auxiliar o ensino, pode ser muito
satisfatória, já que aplicativos como o apresentado permitem que o aluno possa ter
mais elementos de aprendizagem, saindo do mundo abstrato, do campo das ideias,
indo para a parte prática, do cotidiano, tornando a aprendizado mais atrativo de
forma interdisciplinar e dinâmico.
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