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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO MATEMÁTICA LICENCIATURA
A BUSCA POR PADRÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Alceu Vinícius Medeiros de Barros
Santa Maria, RS, Brasil
2015
A BUSCA POR PADRÕES EM LIVROS DIDÁTICOS DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
Alceu Vinícius Medeiros de Barros
Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do
grau de Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof°. Dr°. Ricardo Fajardo
Santa Maria, RS, Brasil
2015
RESUMO
O livro didático se tornou uma importante ferramenta de ensino, tanto no Ensino Fundamental, quanto no Ensino Médio das escolas públicas. Muitos professores seguem a maioria das orientações que os autores desses livros dão. Dentre os conteúdos de Matemática trabalhados no Ensino Médio, pode-se dizer que o ensino de padrões está sendo omitido. Por esses motivos, este trabalho que traz o título “A busca por padrões em livros didáticos do 1º ano do ensino médio”, tem como finalidade analisar alguns livros utilizados por professores do 1º ano do Ensino Médio de algumas escolas de Santa Maria, quanto ao tratamento dado ao estudo de padrões. As análises foram feitas observando como o autor trabalhava alguns assuntos que envolviam padrões. Também foram apresentados alguns conceitos sobre a diversidade de padrões, bem como exemplos de cada. A partir desses conceitos, os livros foram analisados e de forma geral, os três livros analisados apresentaram limitações quando se trata de padrões, pois raramente são trabalhados e quando aparecem, são de uma forma muito pontual e superficial. Percebe-se que o assunto é importante e que não deveria cair em desuso na educação básica.
Palavras-Chaves: Livro Didático. Padrões. Análise de Livro Didático. Educação Básica.
ABSTRACT
The textbook has become an important teaching tool, both in elementary school, and in high school in public schools. Many teachers follow most of the guidelines that the authors of these books give. Among the Mathematics contents worked in high school, it can be said that the educational standards is being omitted. For these reasons, this work bears the title "The search for patterns in textbooks for 1st year high school", aims to analyze some books used by teachers of the 1st year of high school a few schools in Santa Maria, about the treatment given to the study of patterns. Analyses were performed by observing how the author worked some issues involving standards. Also presented some concepts of diversity patterns and examples of each. From these concepts, the books were reviewed and in general, the three books analyzed showed limitations when it comes to standards, they rarely worked and when they appear, are in a very timely and superficial way. It is felt that it is important and should not fall out of favor in basic education.
Key Words: Textbook. Standards. Analysis of Textbook. Basic education.
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 5
2. REFERENCIAL TEÓRICO ............................................................................... 6
2.1 Sobre Padrões .................................................................................................. ...6
2.1.1 Padrões Aritméticos ....................................................................................... 7
2.1.2 Progressões ................................................................................................... 8
2.1.3 Padrões Geométricos ...................................................................................... 9
2.1.4 Combinação entre padrão geométrico e aritmético ............................................ 10
2.1.5 Padrões Algébricos ...................................................................................... 10
2.1.6 Padrões onde é possível encontrar um termo geral ............................................ 11
2.1.7 Padrões onde não é possível encontrar um termo geral ...................................... 11
2.1.8 O Triângulo de Pascal visto como uma busca de padrão .................................... 12
2.1.9 O padrão na Geometria Analítica ................................................................... 12
3. METODOLOGIA .............................................................................................. 14
4. ANÁLISE DOS LIVROS ................................................................................... 15
4.1 Análise do material Matemática contextos e aplicações ........................................... 16
4.2 Análise do material Matemática Paiva ................................................................ 20
4.3 Análise do material Matemática Ciências e Aplicações ........................................... 24
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................ 27
8. REFERÊNCIAS .................................................................................................... 28
5
1. INTRODUÇÃO
Desde muito cedo na sua existência, o ser humano tenta entender o mundo e todas as
coisas que o cercam, buscando regras e generalizações para melhor compreender o universo e,
assim conforme a evolução dessa ciência há também o avanço na compreensão do mundo.
Vários autores afirmam que a matemática é uma ciência formada por padrões. Menegassi e
Silva (2007, p. 1) mencionam que “desde a Antiguidade, matemáticos buscavam
regularidades e padrões de seqüências, números e figuras”. A Matemática surge então, como
uma ciência necessária e repleta de padrões. Por muito tempo, os matemáticos buscavam
modelos que representassem regularidades, tanto em seqüência de números, figuras ou
situações do cotidiano.
Cada vez mais estamos cercados de padrões e seqüências. O padrão que se segue na
numeração das casas de uma rua, nas placas dos carros, nos códigos de barras, o ciclo do dia
para a noite, a freqüência de nossas refeições e assim por diante. Temos os mais variados
tipos de padrões onde alguns podem ser numéricos, geométricos, de movimentos ou da
natureza.
Segundo Devlin:
O que o matemático faz é examinar “padrões” abstratos – padrões numéricos, padrões de forma, padrões de movimento, padrões de comportamento, etc. Esses padrões tanto podem ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais recreativo. Podem surgir a partir do mundo à nossa volta, das profundezas do espaço e do tempo, ou das atividades mais ocultas da mente humana (DEVLIN, 2002, p. 9).
Com isso, vemos a importância do estudo dos padrões no ensino da matemática e a
magnitude desse assunto para os alunos. De posse disso, podemos realizar as seguintes
perguntas: Como esse assunto tão contundente vem sendo abordado nos livros didáticos? Os
padrões e as generalizações estão sendo tratadas de uma forma em que o aluno possa
desenvolver a capacidade de identificá-los?
Uma problemática então vem a surgir: De que forma é abordado o assunto que
envolve padrões em alguns livros didáticos do Ensino Médio de escolas públicas do
município de Santa Maria?
Muitas vezes nos deparamos com alunos que desenvolvem um raciocínio deficiente e
mal formado sobre as várias faces da matemática. Vai da dificuldade em identificar padrões
ou regularidades até o ato de encontrar barreiras para desenvolver o pensamento algébrico.
6
Enquanto aluno da escola básica, nunca fui motivado a observar os padrões ou
desenvolver uma linguagem algébrica. Quando ingressei no Ensino Superior, pude perceber o
quanto isso me fez falta. Acredito que a busca de padrões e o descobrimento deles motiva o
aluno a querer compreender a cada dia mais o mundo em que vive, o qual é cercado de
padrões e leis que regem o meio, por isso, a grande importância de se dar uma atenção maior
a esse assunto tão relevante.
Esse trabalho tem o objetivo de analisar alguns livros didáticos de matemática
utilizados no Ensino Médio, com um olhar crítico, baseado em como a busca de padrões e
sequências são abordadas nos mesmos. Será identificado quando, com que freqüência os
padrões são tratados e a maneira em que essa abordagem é feita por cada autor.
2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Sobre Padrões
O estudo de padrões e generalizações torna-se um foco quando se trata de desenvolver
o raciocínio do aluno e a sua capacidade de identificar regularidades, bem como desenvolver a
sua linguagem e o pensamento algébrico.
Ponte sustenta que:
[...] no pensamento algébrico dá-se atenção não só aos objectos mas também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre essas relações tanto quanto possível de modo geral e abstracto. Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este raciocínio é o estudo de padrões e regularidades (PONTE, 2006, p.8).
Ao desenvolver o seu pensamento algébrico, o aluno está desenvolvendo a sua
capacidade de estimação, ao mesmo tempo em que cria uma forma de generalização ou a
procura da lei geral que sustenta determinadas regularidades. Um dos caminhos para esse
desenvolvimento é o estudo dos padrões através de investigações.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM):
[...] elaborar conjecturas, estimular a busca de regularidades, a generalização de padrões, a capacidade de argumentação, são elementos fundamentais para o processo de formalização do conhecimento matemático e para o desenvolvimento de habilidades essenciais à leitura e interpretação da realidade e de outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 2000, p. 41)
7
Muitos dos elementos fundamentais para o processo de formalização do conhecimento
matemático estão se tornando cada vez mais escassos no pensamento dos alunos. A
capacidade de argumentação ou a elaboração de conjecturas, por exemplo, têm estado pouco
presente nas aulas de matemática, o que gera alunos com deficiências no aprendizado ou
simples reprodutores de ideias.
Para Stewart (1996, p. 11), “os padrões da natureza não existem somente para serem
admirados, eles são pistas vitais para as regras que governam os processos naturais”. As
percepções dos padrões e das regularidades vão sendo adquiridas a partir do momento em que
o aluno tem o contato e é instigado a prestar atenção em todas as formas de seqüências e
padrões espalhadas por todo o seu mundo e dia-a-dia. Ao trabalhar e desenvolver essas
percepções, esse aluno vai desenvolver seu raciocínio algébrico também, podendo identificar
com mais facilidade e naturalidade as generalizações algébricas.
A matemática por muito tempo se preocupou em estudar os padrões ou regularidades.
Como um resultado disso muitos autores até a chamaram de “ciência dos padrões” (DEVLIN,
2002, p. 9). Na realidade, os padrões convivem conosco a todo instante. Para notá-los é que
precisamos de uma sensibilidade maior em reconhecer o princípio, a regra ou aquilo que se
repete: a essência de um padrão.
É importante, propor para os alunos a investigação de padrões, tanto numéricos,
geométricos ou figurativos, para que com isso, eles venham a desenvolver uma linguagem
algébrica fluente para descrever as estruturas através de símbolos, constituindo uma base
sólida para desenvolvimento de generalizações. (BRASIL, 1998, p. 64).
Quando se menciona um padrão, geralmente vem à mente a ideia de uma sequência
numérica ou algo que envolva números. Porém, existe um universo de padrões que nos cerca
a todo instante. Alguns serão abordados a seguir.
2.1.1 Padrões Aritméticos
A aritmética é um ramo da matemática que explora os números como um todo e as
operações possíveis entre eles. Quando falamos em padrões aritméticos, pensamos em uma
sequência de números que seguem certo padrão, conforme ilustra o exemplo da Figura 1.
Nessa sequência, o autor pergunta “Olhe para essa série:
deve vir em seguida?” (501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 3
nossa). Notamos o padrão que está sendo seguido
elemento mais 1 e a próxima mais 3 e assim por diante
2.1.2 Progressões
As progressões fazem parte do currículo de todas as escolas
maioria, são vistas divididas em progressões aritméticas e geométricas.
Progressões aritméticas são
elemento é a soma do seu antecessor por uma constante. Por exemplo:
elementos dessa sequência
2 . Já as progressões geométricas
pelo produto de uma taxa constante. No exemplo a seguir, vemos uma progressão geométrica
onde seus elementos são gerados a partir de uma multiplicação do termo anterior por uma
constante denominada razão, a qual tem valor 2:
1 Fonte: 501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 3
Figura 1: Padrão Numérico1
o autor pergunta “Olhe para essa série: 3, 4,7,8,11,12,...
501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 3
otamos o padrão que está sendo seguido quando reconhecemos a soma do primeiro
óxima mais 3 e assim por diante, logo, o próximo número será
As progressões fazem parte do currículo de todas as escolas
maioria, são vistas divididas em progressões aritméticas e geométricas.
Progressões aritméticas são sequências numéricas que, a partir do segundo termo, cada
elemento é a soma do seu antecessor por uma constante. Por exemplo:
são obtidos por meio da soma do seu antecessor com a constante
Já as progressões geométricas, são definidas como sequências que crescem ou decrescem
constante. No exemplo a seguir, vemos uma progressão geométrica
onde seus elementos são gerados a partir de uma multiplicação do termo anterior por uma
constante denominada razão, a qual tem valor 2: 1, 2, 4,8,16,32,64,...
Fonte: 501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 3
8
3, 4,7,8,11,12,... Que número
501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 3, tradução
quando reconhecemos a soma do primeiro
o próximo número será o 15.
As progressões fazem parte do currículo de todas as escolas básicas. Elas, na sua
sequências numéricas que, a partir do segundo termo, cada
1, 2, 4,6,8,10,12,... , os
da soma do seu antecessor com a constante
sequências que crescem ou decrescem
constante. No exemplo a seguir, vemos uma progressão geométrica
onde seus elementos são gerados a partir de uma multiplicação do termo anterior por uma
9
2.1.3 Padrões Geométricos
Na matemática, a Geometria sempre se fez presente e consequentemente, os padrões
geométricos. Um dos padrões mais conhecidos na Geometria são os fractais e os mosaicos.
São estruturas geométricas complexas que suas propriedades se repetem em qualquer escala.
Porém, existem outros exemplos de padrão geométrico como ilustrado na Figura 2:
Figura 2: Padrão Geométrico2
Vemos aqui um padrão geométrico no qual o autor ao descrever a ordem do exercício
pede para olhar atentamente para a sequência de símbolos e encontrar o padrão. Quando nos
deparamos com um desafio onde não se vê números, nos motiva a pensar mais e elaborar
conjecturas para obter um resultado. Podemos reconhecer três formas geométricas: dois
quadrados, um triângulo e um círculo, os quais ficam permutando entre si. No primeiro
momento, os quadrados contêm dentro de si o círculo e o triângulo. Já no segundo momento,
o triângulo e o círculo estão fora e trocaram de posição. No terceiro momento, os quadrados
passaram a estar dentro do círculo e do triângulo, que por sua vez, voltaram a trocar de
posição. Por fim, a última etapa nos mostra o quadrado fora do triângulo e por conseqüência,
o que nos resta seguindo o padrão, é que a figura geométrica que completa é o círculo com o
quadrado em cima.
2 Fonte: 501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 11
10
2.1.4 Combinação entre padrão geométrico e aritmético
A combinação entre esses padrões surge quando temos um caso semelhante ao
apresentado na Figura 3 a seguir:
Figura 3: Exercício envolvendo a combinação de padrões3
O exemplo traz uma série de quadrados sendo divididos e um padrão que determina
quanto irá medir a área de cada quadrado sombreado seguinte. Nesse caso, temos uma fusão
entre um comportamento geométrico e aritmético, pois precisamos do auxílio das
propriedades de sequências para conseguir resolver o problema.
2.1.5 Padrões Algébricos
Há um tempo, o meio de se estudar álgebra, era através de equações já logo de cara,
em uma abordagem descontextualizada e com um conjunto de símbolos espalhados e,
aparentemente, sem conexão. Em geral, o aluno tinha um primeiro contato com o pensamento
algébrico, num estado de desenvolvimento ainda pequeno. Acredita-se que o resultado era de
que esse aluno gerava um bloqueio para a álgebra dizendo muitas vezes que “a matéria é
muito complicada” e que “serve pra complicar mais a vida”.
A álgebra é uma parte da matemática que generaliza a aritmética, simplificando por
meio de variáveis, introduzindo significados e resolvendo problemas nos quais as grandezas
3 Fonte: PAIVA, 2013, p. 272
11
são representadas por símbolos. Padrões algébricos nada mais são do que modelos que
seguem um raciocínio e que se repetem de alguma forma.
2.1.6 Padrões onde é possível encontrar um termo geral
Ao se ler a expressão termo geral, logo nos vem à lembrança, algo que remete às
Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG). De fato, são as progressões
mais citadas neste meio, pois geralmente são trabalhadas no 1º ano do Ensino Médio nas
escolas. O que muitas vezes não é comentado é que aqueles números ou expressões dispostas
em sequências são padrões. Ao encontrarmos a razão, nada mais estamos fazendo do que
identificar o padrão que está implícito na sequência.
2.1.7 Padrões onde não é possível encontrar um termo geral
Figura 4: Padrão de letras4
A Figura 4 apresenta um padrão no qual não é possível determinar um termo geral. O
autor pede que preencha a parte restante do padrão. Percebemos que as letras estão dispostas
três a três. Vemos que a primeira letra de cada sequência obedece a ordem alfabética
iniciando em Q. Já a letra do meio é uma constante presente em todos os trios. Por fim, a
última letra de cada sequência, também segue a ordem alfabética, porém, começando em R.
Logo, a alternativa que se ajusta ao padrão é a letra a.
Padrões como esse, não são muito trabalhados em sala de aula, primeiro por nunca
estarem no currículo e também por não se “encaixarem” em algum conteúdo. O que o
professor deve considerar é que ao se deparar com uma proposta como essa, o aluno ao
identificar, terá de argumentar descritivamente como e por que ele acredita na resposta
escolhida, desenvolvendo assim, o modo como se expressa, a escrita e a argumentatividade.
4 Fonte: 501 Challenging Logic Reasoning Problems, 2005, p. 10
12
2.1.8 O Triângulo de Pascal visto como uma busca de padrão
O famoso matemático Francês Blaise Pascal (1623–1662), desenvolveu uma maneira
bem conveniente de se lembrar o padrão dos coeficientes binomiais. A Figura 5 ilustra a
organização dos coeficientes numéricos:
Figura 5: Representação do Triângulo de Pascal5
Esses coeficientes são organizados em um padrão triangular onde “os primeiros e
últimos números em cada linha do triângulo de Pascal são 1 e todos os outros números em
cada fila são formados pela adição dos dois números imediatamente acima deles”. Pascal
notou que os números nesse triângulo são precisamente os mesmos números que são os
coeficientes da expansão binomial.
2.1.9 O padrão na Geometria Analítica
Ao analisarmos o gráfico de uma função afim y ax b= + , podemos observar um
padrão existente onde olhamos o coeficiente numérico “ a ” como um quociente de variação
em y (vertical) sobre a variação em x (horizontal). A Figura 6 exemplifica uma situação:
5 Fonte: LARSON; HOSTETLER, 2007, p. 685
Figura 6: Pontos discretos em um plano cartesiano seguindo um padrão
Seguindo do ponto de partida, podemos observar o padrão em que os pontos estão sendo
marcados com base no coeficiente numérico
supracitado, vemos que a partir do ponto
unidades acima verticais e uma unidade à direita horizontal, sinalizadas pela cor azul na
Figura 6, o qual nos dá o ponto
sendo destacado pela cor roxa. Para os pontos marcados abaixo do ponto de partida
que duas unidades são deslocadas abaixo
horizontalmente nas cores vermelho e rosa
no plano cartesiano. Esses movimentos padronizados foram gerados a partir do coeficiente
numérico 2
1a
−=
−.
6 Figura construída no Geogebra pelo autor.
: Pontos discretos em um plano cartesiano seguindo um padrão
Seguindo do ponto de partida, podemos observar o padrão em que os pontos estão sendo
marcados com base no coeficiente numérico a da função y ax b= +
supracitado, vemos que a partir do ponto ( 1,1)A = − , o próximo ponto é marcado após duas
unidades acima verticais e uma unidade à direita horizontal, sinalizadas pela cor azul na
, o qual nos dá o ponto (0,3)B = . O próximo passo segue analogamente ao anterior,
roxa. Para os pontos marcados abaixo do ponto de partida
que duas unidades são deslocadas abaixo verticalmente e uma unidade à esquerda
nas cores vermelho e rosa, o que nos dá a noção de “movimentos negativos”
no plano cartesiano. Esses movimentos padronizados foram gerados a partir do coeficiente
Figura construída no Geogebra pelo autor.
13
: Pontos discretos em um plano cartesiano seguindo um padrão6
Seguindo do ponto de partida, podemos observar o padrão em que os pontos estão sendo
y ax b= + . No exemplo
, o próximo ponto é marcado após duas
unidades acima verticais e uma unidade à direita horizontal, sinalizadas pela cor azul na
O próximo passo segue analogamente ao anterior,
roxa. Para os pontos marcados abaixo do ponto de partida A , vemos
verticalmente e uma unidade à esquerda
, o que nos dá a noção de “movimentos negativos”
no plano cartesiano. Esses movimentos padronizados foram gerados a partir do coeficiente
14
3. METODOLOGIA
Para desenvolver esse Trabalho de Conclusão de Curso, foi realizado um levantamento
de livros didáticos utilizados em algumas escolas de Ensino Médio de Santa Maria. Optou-se
por obter amostras de livros em que já se tinha um conhecimento prévio da escola devido a
projetos e estágios realizados, facilitando assim, o acesso aos mesmos.
No todo, foi feita uma pesquisa bibliográfica qualitativa sobre padrão em geral, que
segundo Fiorentine e Lorenzato: “[...] pode-se analisar os conteúdos e a forma como são
abordados; os erros conceituais; a ideologia subjacente ao texto e as ilustrações etc.”
(FIORENTINE; LORENZATO, 2006, p. 138) Essa análise irá consistir em obter o teor em
que os padrões são abordados, não necessariamente a palavra em si nem seus sinônimos, mas
apurar toda e qualquer forma de quantificação.
Os argumentos tidos como base emergiram da abordagem dada a pesquisa, no caso,
qualitativa. Os critérios para a análise dos livros didáticos foram fundamentados na
observação e descrição dos aspectos pedagógicos e metodológicos sobre padrões detectados
em cada autor.
De posse desses livros, foi analisado primeiramente, com uma visão macro, o sumário
e índice de títulos dos quais ao ser reconhecido alguma menção a padrões ou seus sinônimos
de abordagem. Foi então dada nesse capítulo, uma visão micro da interlocução do autor sobre
o assunto, bem como seus métodos de abordagem, não só no que se refere à explanação do
conteúdo, mas também em seu tratamento do assunto nos exercícios.
Cada livro foi explorado e observado de maneira semelhante no intuito de manter uma
coerência nos resultados. Após a conclusão do levantamento dos dados, também foi
consultado o índice remisso de cada livro para uma análise mais consistente e abrangente.
15
4. ANÁLISE DOS LIVROS
Os livros a seguir foram disponibilizados pelos professores de cada escola. A prioridade
foi de que os livros fizessem parte do PNLD mais recente possível para se ter uma pesquisa
com elementos mais precisos a partir da realidade atual.
O livro MATEMÁTICA CONTEXTOS E
APLICAÇÕES é de autoria de Luiz Roberto Dante .
Foi publicado na sua 2ª edição em 2014. Possui 8
capítulos distribuídos em 263 páginas. Contém
questões do ENEM, vestibulares, etc.
Livro MATEMÁTICA PAIVA tem como autor o
professor Manoel Paiva. Foi publicado pela Editora
Moderna na sua 2ª edição em São Paulo - 2013.
Possui 12 capítulos contidos em 304 páginas.
Livro MATEMÁTICA CIÊNCIA E APLICAÇÕES.
Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze de Almeida.
Possui 14 [blocos] de assuntos distribuídos em 281
páginas. Está em sua 7ª edição publicada pela Editora
Saraiva – São Paulo 2013
O Programa Nacional do Livro Didático - PNLD é um programa do governo federal
brasileiro que tem por objetivo oferecer aos alunos e professores de escolas públicas dos
Ensinos Fundamental e Médio, de forma universal e gratuita, livros didáticos e dicionários de
língua portuguesa de qualidade para apoio ao processo ensino-aprendizagem desenvolvido em
sala de aula. Ele se renova a cada três anos, ou seja, a cada triênio o Ministério da Educação
(MEC) publica o Guia de Livros Didáticos com resenhas das coleções consideradas
aprovadas. O guia é encaminhado às escolas, que escolhem, entre os títulos disponíveis,
aqueles que melhor atendem ao seu projeto político pedagógico.
1
2
3
16
4.1 Análise do material Matemática contextos e aplicações
Ao se ter uma visão macro de Dante (2014), o qual denominamos Livro 1, vemos que
o autor apresenta uma grande variedade de figuras e ilustrações que exprimem vários padrões
geométricos. Logo que se observa o índice, identifica-se o título: “Função e sequências” no
capítulo 2 do mesmo. Ao abordar o assunto sobre funções, o autor traz um exercício na página
64 para introduzir o tema. Segue a Figura 7:
Figura 7: Exercício sobre sequências7
Logo após é dada uma definição para sequência. O autor diz que sequência é uma
função cujo domínio é o conjunto dos naturais com exceção do 0: ℕ*: f: ℕ → ℝ. A cada
número natural diferente de zero corresponde um único número real n
x :
1 2 31 ;2 ;3 ;...; ;...n
x x x n x→ → → →
O livro deixa destacado também que podemos ter também sequências finitas. Nesse
caso, a função é { }: 1, 2, 3,..., f n →� , e a sequência 1, 2,..., nx x x tem n termos. São
destacadas, como importantes exemplos de sequências, as progressões aritméticas e
geométricas, porém ele não se atém muito e diz que outros exemplos de sequências serão
abordados no capítulo 7.
Ainda na página 135, do capítulo 4, é feita uma conexão entre função quadrática e
progressão aritmética, onde se é considerada uma função quadrática ( ) ²f x x= e a
progressão aritmética: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 2 1, ...n + onde se é dado o termo geral. Após
alguns exemplos, a sequência 1, 9, 25, 49, ..., 4 ² 4 1, 4 ² 4 1, ...n n n n− + + + surge. Essa
nova sequência não é uma PA, pois a diferença entre dois termos consecutivos não é
7 DANTE, 2014, p. 64
17
constante. Mas se tomarmos as diferenças entre os termos consecutivos dessa nova sequência,
teremos: 8, 16, 24, 32, 40, .., 8 , ...n que é uma progressão aritmética de razão8 .
O autor deixa claro que se f é uma função quadrática, então ela transforma uma PA
em sequências cujas diferenças dos termos consecutivos formam uma PA e assim
reciprocamente.
Já na página 164 do capítulo 5 o autor faz uma conexão entre funções exponenciais e
progressões. É dada uma breve retomada no que já foi estudado sobre esses conteúdos e é
visto o que ocorre com uma função do tipo exponencial ( ) xf x b a= com :f →� �
definida por ( ) 3 2xf x = ⋅ onde o autor faz uma conexão entre funções exponenciais e
progressões.
O capítulo 7 é dedicado inteiramente para abordar o assunto Sequências. O autor
comenta que os fenômenos da natureza apresentam regularidades (esta palavra foi grifada),
que constituem objeto de estudo da matemática como, por exemplo, o formato das flores, a
quantidade de pétalas que elas contêm o desenho que aparece nas frutas quando são cortadas
transversal ou longitudinalmente, ou os gomos da casca do abacaxi. Em tudo percebe-se que
há disposição perfeitamente simétrica.
É comentado que os padrões são transformados em representações numéricas, que são
a expressão da Matemática. A sequência de Fibonacci é citada quando se fala em carapaças de
caracóis. O padrão desses números começa por 1 e1, e, daí por diante, cada número é a soma
dos dois anteriores.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
O autor dá vários exemplos citando dias da semana, meses do ano, sequências dos
anos nos quais a Copa do mundo é realizada, etc. Dá-se a definição de sequência e logo após
alguns exemplos, é definida a lei de formação ou termo geral de uma sequência.
O conceito de recorrência é explorado e definido com a seguinte expressão: “Quando
conhecemos o primeiro termo de uma sequência e uma regra que permite determinar cada
termo n
a a partir dos seus anteriores, dizemos que explicitamos a sequência por recorrência”.
O autor ainda destaca: “Recorremos ao valor do termo anterior para obter o próximo”.
18
Os exercícios propostos em seguida pelo autor variam entre padrões numéricos,
geométricos, algébricos e geométricos com pontos discretos como apresenta a Figura 8:
Figura 8: Exercícios envolvendo sequências e padrões8
Observamos que o exercício 1 trabalha a regularidade numérica. Já os exercícios 2, 3 e
11, trazem uma temática geométrica, onde nos exercícios 2 e 3 pontos dispostos discretamente
criam padrões numéricos e no exercício 11, cada figura apresenta triângulos formados a partir
de uma certa quantidade de palitos.
A sequência de Fibonacci volta a ser explorada nas páginas 210 e 211 no seguinte
problema: “Supondo que um coelho tenha vida eterna e que cada casal gere um novo casal,
que dará origem a um novo par no segundo mês de vida, e assim sucessivamente, de mês em
mês, fica formada uma sequência especial com números naturais.” (DANTE, 2014, p. 210)
8 DANTE, 2014, p. 209
19
O livro ilustra por meio de um esquema as possibilidades e quantos pares são obtidos
em cada mês. Tudo isso também é organizado em forma de tabela onde os meses, os casais, o
número de casais e os casais que procriam são registrados. Em seguida, um dos exercícios
pede para que o aluno divida cada termo da sequência, a partir de 21, pelo seu precedente. Os
quocientes são próximos do número 1, 618 que é o “número de ouro” dos gregos.
Inicia-se o estudo das Progressões Aritméticas na página 212. Exercícios com
objetivos de encontrar termos e termos gerais são propostos em sua maioria. Para a fórmula
da soma dos termos de uma PA finita, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é apresentado por
meio de um exemplo em que Gauss, após completar 10 anos de idade, consegue em alguns
minutos calcular a soma de todos os números de 1 a 100.
Com a apresentação de alguns exercícios resolvidos e propostos, dá-se início à
Progressão Geométrica. A definição é dada logo após um exemplo em que é pedido para se
calcular quantos quilogramas de açúcar uma usina produzirá em certo período de tempo, se o
aumento de produção anual for sempre de 10% . Alguns modelos de exercícios já resolvidos
são apresentados e as fórmulas das somas finitas e infinitas de uma PG são dadas em seguida.
Uma curiosidade é exposta na página 225, onde se é contada uma lenda a qual fala que
um rei perguntou ao inventor do jogo de xadrez o que ele queria como recompensa pela
invenção. O inventor respondeu: “1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4
pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela quinta, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade
a cada nova casa”. Como o tabuleiro de xadrez possui 64 casas, a soma dos 64 termos da PG
1, 2, 4,8,16,32,..., de razão 2q = é feita:
6464
1
1 1 21 2 1
1 1 2
n
n
qS a
q
− −= ⋅ = ⋅ = −
− −
Após esse cálculo, um número gigantesco de vinte algarismos é encontrado:
18 446 744 073 709 551 615
Infelizmente o rei precisaria de um planeta maior do que a terra para conseguir
calcular tal quantidade de trigo.
20
Na página 231 são sugeridos alguns problemas para se resolver em duplas envolvendo
PA e PG. No índice remissivo não foi encontrada nenhuma menção sobre padrões que não foi
exposta aqui.
Analisando o Livro 1 viu-se que muitas das imagens nele contidas, estão simplesmente
para ilustrar/decorar o livro, pois não se é trabalhado nada com base nelas. Várias dessas
imagens continham padrões geométricos e ilustravam uma certa sequência. O autor inicia o
assunto de sequências através de um exercício que é ilustrado na Figura 7, o qual que instiga
os alunos a “descobrir qual número está faltando”. As ferramentas que o aluno possui para
resolver esse exercício são livres e certamente serão diferentes entre os alunos da turma, pois
cada dupla irá encontrar sua própria regra que justificará a descoberta dos números que
faltam. Um grande número de exemplos, das mais variadas formas, foram trabalhados nos
exercícios, tais como padrões geométricos, numéricos, geométricos discretos, etc.
O autor também indicou o exercício 11 na página 209 da Figura 7 para que fosse feito
em dupla. Essa atividade tem um caráter investigativo, pois os alunos devem preencher um
quadro com os dados obtidos pelo padrão percebido em cada figura montada com os palitos.
Por meio de uma atividade colaborativa, podem-se fundir as ideias de cada aluno e juntos,
identificarem a singularidade, bem como a solução do desafio proposto. Em outro momento, o
livro destaca que “Recorremos ao valor do termo anterior para obter o próximo”, isso resume
o conceito de recorrência, mas que não se aplica somente a sequências numéricas. Muitos
padrões, dos mais variados tipos, podem identificados e através da recorrência, podemos
então recorrer a um elemento anterior de alguma sequência de padrões para descobrir o
próximo.
4.2 Análise do material Matemática Paiva
Quando realizamos uma visão macro de Paiva (2013), o qual denominamos Livro 2,
encontramos no índice a menção sobre sequências somente no capítulo 12 que é o bloco onde
foi feito o estudo das progressões. Na página 254, o conceito de sequência finita: “Sequência
finita é toda função de domínio { }1,2,3,...,A n= , com *A ⊂ � , e contra-domínio B , sendo
B um conjunto qualquer não vazio.” (PAIVA, 2013, p. 254) e sequências infinitas:” é toda
função de domínio { }* 1,2,3,4,...=� e contra-domínio B , sendo B um conjunto qualquer
21
não vazio.” (PAIVA, 2013, p. 254). Alguns breves exemplos de sequências são dados como,
por exemplo, ( )2,4,6,8 e ( )1,1, 1,1, 1,1,...− − − .
Logo o “termo da sequência” já é trabalhado e alguns exercícios são propostos na
página 257. Nesses exercícios são na maioria trabalhados os conceitos estudados
anteriormente sobre encontrar termos de uma sequência ou gerá-los a partir de um termo
geral.
Na página seguinte, o assunto abordado é Progressão Aritmética e sua definição é logo
imposta. Três exercícios são dados para o aluno diferenciar uma sequência de uma progressão
aritmética e também classificar algumas progressões em crescente e decrescente. A fórmula
do termo geral é trabalhada com um exemplo ilustrado por uma escada, em que o piso do
andar térreo é o termo 1a , o primeiro degrau 2a , atén
a . São dados seis exercícios resolvidos na
página seguinte e logo após, 10 exercícios sobre PA são propostos aos alunos.
As propriedades de uma PA são trazidas e um dos exemplos sobre a que fala que “Em
toda a PA finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos
extremos” traz uma ilustração de padrão interessante conforme ilustra a Figura 9:
Figura 9: Padrão numérico9
A segunda propriedade comentada é que “Uma sequência de três termos é PA se, e somente
se, o termo médio é igual à média aritmética entre os outros dois, isto é: ( ), , a b c é PA ⇔
2
a cb
+= ” e sua demonstração é feita logo em seguida.
9 PAIVA, 2013, p. 262
22
A seguir, a história de como Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pôde somar os números
naturais de 1 a 100 em apenas três minutos é contada: O professor Buttner propôs aos seus
alunos que realizassem essa soma e assombrado com a rapidez de Gauss constatou que o
resultado estava correto. O cálculo de Gauss foi simples e elegante, pois ele percebeu que
havia um padrão nas somas do primeiro número com o último que dava 101. A soma do
segundo número com o penúltimo também resultava em 101 e assim por diante conforme
ilustra a Figura 10.
Figura 10: Soma realizada por Gauss10
Como no total haviam 50 somas desse tipo, Gauss concluiu que :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 97 98 99 100 50 101 5050+ + + + + + + + + + + + + = × =
A fórmula para a soma dos n termos de uma PA é apresentada e uma demonstração
algébrica e geométrica são feitas. Alguns exercícios são propostos, logo após, a relação entre
PA e função afim onde o domínio da função não é mostrado. Na página seguinte, a
Progressão Geométrica é exposta.
Ao introduzir o assunto, uma relação entre função exponencial e o tipo de sequência
chamada de Progressão Geométrica (PG) é feita. Algumas ideias de aplicações são exploradas
como, por exemplo, a redução média de 30% do buraco na camada de ozônio a cada década e
também a durabilidade do iodo-131 utilizado em medicina nuclear para exames de tireoide.
As classificações de PG são dadas onde se dividem em crescente, decrescente,
constante, oscilante e quase nula. A fórmula do termo geral é abordada com o auxílio de um
exemplo de Matemática Financeira e são apresentados cinco exercícios resolvidos, os quais
10 PAIVA, 2013, p. 264
23
exploram encontros de elementos de uma PG ou encontrar o termo geral de uma PG. Dos
exercícios propostos, somente um trouxe um caso geométrico conforme é ilustrado pela figura
11:
Figura 11: Exercício envolvendo combinação entre padrão geométrico e aritmético11
Uma propriedade é apresentada e demonstrada na página 273. Essa propriedade diz
que “Uma sequência de três termos, em que o primeiro é diferente de zero, é uma PG, se, e
somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Temos então que:
( ), ,a b c é PG ⟺ ²b ac= ”.
Alguns exercícios são dados e, logo em seguida, a representação genérica de uma PG é
explanada. Após, a soma dos n primeiros termos de uma PG é trabalhada tendo como
exemplo inicial, calcular o total de soja produzido em um estado a partir de uma sequência em
que cada elemento representa a quantidade de soja produzida anualmente, em milhões de
toneladas. A fórmula já é logo exposta como solução e uma demonstração a acompanha.
A soma dos infinitos termos de uma PG vem a seguir trazendo um pequeno conceito
de limite e evidenciando que “O limite da soma dos infinitos termos de uma PG, de razão q,
com 1 1q− < < , é dado por: 1
1 -
aS
q=
∞ ”. Adiante, muitos exercícios propostos e
11 PAIVA, 2013, p. 272
24
complementares são trazidos e alguns deles possuem o cunho geométrico, chegando até a
explorar fractais.
Quando se analisou o Livro 2, o autor não menciona em nenhum momento anterior ao
capítulo de progressões, algum assunto ou tópico que fale sobre sequências ou padrões,
diferente do livro 1 o qual discretamente já tinha abordado o assunto. Nesse livro, o autor logo
vai ao tema principal do capítulo: PA e PG. O livro traz poucas imagens, porém utiliza todas,
inclusive em alguns casos, a ilustração do padrão que está por trás de uma sequência é muito
importante como na figura 9, o aluno consegue perceber melhor o que está acontecendo.
Em PG, foi interessante o autor ter trabalhado com exemplos aplicáveis da realidade,
como a camada de ozônio que se refere ao meio ambiente e do iodo-131, o qual tem sua
aplicabilidade em medicina. Nota-se uma grande falta, tanto de exemplos, como de exercícios
que explorem também as sequências geométricas.
Este livro é rigoroso nas demonstrações das fórmulas, onde sempre procura demonstrar,
porém, notou-se que as fórmulas eram citadas como solução dos problemas rapidamente, não
deixando o aluno desenvolver alguma ideia ou raciocínio para desenvolver ferramentas que
levassem à elucidação do exercício. Com o exemplo de Gauss, para a soma dos termos de
uma PA, podemos ver o quão importante foi para Gauss perceber o padrão existente naquela
soma onde rapidamente a solução pôde se tornar clara. Isso evidencia o quanto é significante
para um aluno exercitar e desenvolver essa percepção dos padrões.
4.3 Análise do material Matemática Ciências e Aplicações
Ao observar o índice geral de Paiva (2013), o qual denominamos Livro 3, vemos que no
bloco 10 a partir da página 200, o autor apresenta as progressões. A introdução desse novo
assunto é feita a partir de um exemplo que relaciona o número de funcionários de uma
empresa nos seus dez primeiros anos de existência. Assim, uma tabela é apresentada e os
dados de cada ano são preenchidos. Sequência numérica infinita e sequência numérica finita
são definidas e, logo após, a formação dos elementos de uma sequência, como o termo geral e
a lei de recorrência, são expostos. Nove exercícios são propostos e o assunto trabalhado em
seguida é Progressões Aritméticas (PA).
25
Na página 203, um exemplo de compras de supermercado é dado para se iniciar PA,
onde fala que latas de milho são empilhadas formando uma espécie de torre e olhando de
cima para baixo conforme a Figura 12:
Figura 12: Fonte: IEZZI, 2013 p. 203
Vê-se que elas foram dispostas segundo o padrão:
- 2 latas na fila mais alta (fila 1);
- 5 latas na fila seguinte (fila 2);
- 8 latas na fila 3 e assim por diante.
As perguntas “Quantas latas de milho formavam a 15ª (e última) fila, a qual está
apoiada no chão? Quantas latas formavam a torre?” São feitas. A questão fica em aberto
dizendo que mais adiante, a solução da questão será apresentada. Logo em seguida, a
definição do que é uma PA é apresentada e é classificada entre crescente, decrescente e
constante.
O termo geral é apresentado e o exercício referente a Figura 12 é resgatado e sua
solução é elucidada. Exercícios resolvidos são trabalhados e o aluno recebe 28 exercícios
propostos, todos algébricos, para resolver. A soma dos n primeiros termos de uma PA é
trazida e novamente o autor rebusca o exercício da página 203, para agora, calcular o número
total de latas que formavam a “torre” no supermercado.
Na página 211, as Progressões Geométricas são abordadas com base em um exemplo
de uma empresa de telecomunicações que deseja, a cada mês, dobrar o número de pacotes
26
vendido no mês anterior. A definição de PG é apresentada acompanhada de um exemplo que
lista diversos tipos de PG e suas razões. As classificações apresentadas são: crescente,
decrescente, constante, alternada ou oscilante e estacionária. O termo geral da PG vem em
seguida juntamente com um exemplo. Seis exercícios são resolvidos, todos envolvendo uma
abordagem aritmética e algébrica e, logo após, 30 exercícios, também algébricos são
propostos ao aluno.
Ao analisarmos o Livro 3, percebeu-se que os exemplos, em sua maioria, foram dados
com situações próximas da realidade dos alunos, onde se é trabalhado padrões em uma
simples compra num supermercado, até a variação dos números de funcionários de uma
empresa. Um ponto negativo do livro, que foi notado no capítulo de sequências, foi a grande
quantidade de conteúdo dado, exemplos e somente mais à frente é que são dados exercícios.
Observa-se que os exercícios são de grande quantidade e não muito variados sobre o tema.
27
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir das análises dos livros didáticos dedicados ao 1º ano do Ensino Médio,
podemos ter uma breve noção de como a busca por padrões e estratégias de generalização
nesses livros foram trabalhadas. Já presumíamos de antemão que o tema escolhido seria
sucinto, pois pela experiência na escola básica e, em contato com diversos livros na
graduação, víamos o quanto esse assunto não estava presente com muita evidência.
Quando se vê com um olhar geral as análises dos três livros, podemos observar qual o
destaque que se é dado para o assunto de padrões em comum por cada autor. O livro 1
sobressaiu-se em comparação aos outros dois, pois sequências e padrões foram trabalhadas,
mesmo que de uma maneira sucinta, fora do capítulo que falaria sobre progressões que já
sabíamos que seriam abordadas . Os exercícios abrangeram uma grande variedade de tipos de
sequências, não se limitando somente aos clássicos exemplos numéricos ou algébricos, mas
explorando também padrões geométricos e discretos.
A partir dessa análise vemos que ainda falta um olhar mais atencioso, tanto da parte
dos autores, como até do currículo da escola básica para a busca de padrões. Após estudar e
investigar mais esse assunto percebemos o quão útil e proveitoso pode ser instigar os alunos a
desenvolver o raciocínio e identificar padrões ou regularidades até o ato de desenvolver o
pensamento algébrico.
Como futuro professor da escola básica, pretendo não me ater somente aos conteúdos
que são recomendados pelo currículo proposto pela escola. Acredito ser possível sim, e de
grande importância, o professor explorar juntamente com os alunos a busca de padrões em
geral. Com isso, os estudantes irão desenvolver suas percepções lógicas juntamente com o
raciocínio identificando padrões com mais facilidade e criando estratégias de generalizações.
Sabemos das limitações e de que muitas vezes o professor deve trabalhar contra o
tempo. Mas somos cientes de que com dedicação e confiança no seu trabalho, o professor
possa trazer uma aula que trate do assunto que abordamos nesse trabalho. E que a freqüência
em que isso seja trabalhado, cada vez mais se torne crescente.
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8. REFERÊNCIAS
501 Challenging Logic Reasoning Problems. 2 ed. New York : LearningExpress, LLC, 2005. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, SEF, 1998. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM). Brasília: MEC, 2000. Disponível em:< http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf> Acesso em: 15 nov. 2014. DANTE, R. L. Matemática conceitos e aplicações. 2 ed. São Paulo : Ática, 2014. DEVLIN, K. Matemática: a ciência dos padrões. Porto: Porto Editora, 2002. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). IEZZI, G. Matemática ciência e aplicações. 7 ed. São Paulo : Saraiva, 2013. LARSON, R. E.; HOSTETLER, R. P. Precalculus. 4 ed. New York: Houghton Mifflin Harcourt, 2007. MENEGASSI, M. E. J; SILVA, M. M. da. Análise de problemas envolvendo padrões numéricos. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais eletrônicos... Belo Horizonte: UNI-BH, 2007. Disponível em:<http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Relato_de_Experiencia/Trabalhos/RE21461236053T.doc > Acesso em: 15 nov. 2014. PAIVA, M. Matemática Paiva. 2 ed. São Paulo : Moderna, 2013. PONTE, J. P. da. Números e Álgebra no currículo escolar. Disponível em: <www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/05-Ponte(Caminha).rtf> Acesso em: 22 out. 2014. STEWART, I. Os números da natureza. Rio de Janeiro: Rocco, 1996.
