UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

MATEMÁTICA LICENCIATURA

SOBRE ALGUNS TEOREMAS ENVOLVENDOQUADRILÁTEROS: UMA VISÃO TEÓRICA

COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA

TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Jonathan de Aquino da Silva

Santa Maria, RS, Brasil

2015

SOBRE ALGUNS TEOREMAS ENVOLVENDOQUADRILÁTEROS: UMA VISÃO TEÓRICA COM O AUXÍLIO

DO GEOGEBRA

Jonathan de Aquino da Silva

Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura daUniversidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para

a obtenção do grau deLicenciado em Matemática

Orientadora: Professora Dr. Carmen Vieira Mathias

Santa Maria, RS, Brasil

2015

Universidade Federal de Santa MariaCentro de Ciências Naturais e Exatas

Matemática Licenciatura

A Comissão Examinadora, abaixo assinada,aprova o Trabalho de Graduação

SOBRE ALGUNS TEOREMAS ENVOLVENDO QUADRILÁTEROS:UMA VISÃO TEÓRICA COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA

elaborado porJonathan de Aquino da Silva

como requisito parcial para obtenção do grau deLicenciado em Matemática

COMISSÃO EXAMINADORA:

Carmen Vieira Mathias, Dr.(Presidente/Orientadora)

Cláudia Candida Pansonato, Dr. (CCNE-UFSM)

Ricardo Fajardo, Dr. (CCNE-UFSM)

Santa Maria, 02 de Dezembro de 2015.

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente à minha família, em especial minha mãe, Rosa Maria deAquino da Silva e meu pai, Ricardo Flores da Silva, que nesta longa caminhada, sempre meincentivaram e estavam sempre prontos para solucionar quaisquer problemas ou dúvidas comsabedoria. Agradeço minha orientadora Carmen Vieira Mathias por toda a paciência e dedi-cação tanto no decorrer do curso quanto na fase final de criação deste trabalho. Agradeço àprofessora Luciane Gobbi Tonet pelas oportunidades no início do curso e por todas as dicasdurante minha formação acadêmica. Agradeço à Tainara da Silva Guimarães por estar do meulado incentivando e acreditando no meu potencial. Agradeço meus(minhas) colegas e ami-gos(as) que nos momentos de tensão ou stress ajudaram a descontrair no futebol ou em festas.Agradeço cada professor(a) que, de alguma forma, me ajudou na formação como educador.

RESUMO

Trabalho de GraduaçãoMatemática Licenciatura

Universidade Federal de Santa Maria

SOBRE ALGUNS TEOREMAS ENVOLVENDO QUADRILÁTEROS: UMA VISÃOTEÓRICA COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA

AUTOR: JONATHAN DE AQUINO DA SILVAORIENTADORA: CARMEN VIEIRA MATHIAS

Local da Defesa e Data: Santa Maria, 02 de Dezembro de 2015.

Os resultados de Geometria Euclidiana podem chamar a atenção daqueles que gostamde trabalhar com recursos computacionais, pois a partir desses, existe a possibilidade de realizarconjecturas, visto a dinamicidade dos aplicativos. Desta forma, este trabalho consiste em umarevisão bibliográfica acerca de dois Teoremas de Geometria Euclidiana, especificamente sobrequadriláteros. Trabalhamos com o famoso Teorema de Varignon e suas extensões e com o nãotão conhecido Teorema dos Carpetes e alguns problemas relacionados. Realizamos a construçãodos entes geométricos envolvidos nesses dois resultados, utilizando o aplicativo GeoGebra. Aoutilizar os recursos tecnológicos, percebemos que esses podem ser um aliado a aprendizagemde novos conceitos, além de facilitar a visualização dos resultados e extensões dos mesmos.

Palavras-chave: Quadriláteros. Teoremas. GeoGebra.

ABSTRACT

Undergraduate Final WorkGraduate Program in MathematicsFederal University of Santa Maria

SOME THEOREMS ABOUT QUADRILATERALSAUTHOR: JONATHAN DE AQUINO DA SILVA

ADVISOR: CARMEN VIEIRA MATHIASDefense Place and Date: Santa Maria, December 02th, 2015.

The results of Euclidean Geometry can call the attention of those that enjoy workingwith computational resources because from these, there is the possibility of making conjectures,since the dynamics applications. Thus, this work consists of a literature review about two theo-rems of Euclidean Geometry, specifically quadrilaterals. We work with the famous Varignon’sTheorem and its extensions and the not so well known Theorem of Carpets and some relatedproblems. We carry out geometric constructions involved in these two results, using the Ge-oGebra software. By using the technological resources we realized that these can be an alliedto learning new concepts and facilitates the visualization of the results and extensions there of.

Keywords: Quadrilaterals, Theorems, GeoGebra.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TEOREMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1 Teorema de Varignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.1 Extensão do Teorema de Varignon para quadriláteros fora do padrão . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Extensão do Teorema de Varignon para outros pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 O Teorema dos Carpetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 CONSIDERAÇÕES SOBRE DO USO DAS TECNOLOGIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1 Teorema de Varignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.1 Generalização do Teorema de Varignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2 Extensão do teorema de Varignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.3 Teorema de Varignon para lados proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Teorema dos Carpetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8

1 INTRODUÇÃO

Atualmente, é de conhecimento público que existe uma enorme dicotomia entre os con-

teúdos vistos no Ensino Superior e sua aplicação direta na Educação Básica (BARTON, 2008).

Procurando estreitar esses laços, buscou-se assuntos abordados em Geometria Plana que po-

dem ser facilmente encontrados em problemas do Ensino Fundamental e Médio. Nesta pes-

quisa, vasculhamos provas de Olimpíadas de Matemática, as quais têm variações em níveis e

público. Como exemplo, citamos a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas

que, segundo (OBMEP, 2015), tem como intuito estimular o estudo da Matemática por meio

da resolução de problemas que despertem o interesse e a curiosidade de professores e estu-

dantes, e tem como público alunos de escolas públicas de todo o território nacional. Além

disto, a Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), conforme (OBM, 2015), é uma compe-

tição aberta aos estudantes do Ensino Básico (a partir do 6a ano) e Ensino Médio das escolas

públicas e privadas de todo o Brasil e tem como objetivo, entre outros, descobrir jovens com

aptidão em matemática e colocá-los em contato com matemáticos profissionais e instituições

de pesquisa, propiciando condições favoráveis para a formação e o desenvolvimento de uma

carreira de pesquisa. Também citamos a Olimpíada Paulista de Matemática (OPM), que é uma

competição estilo OBM, porém destinada apenas aos alunos do estado de São Paulo. Um dos

problemas propostos nessa Olimpíada deu origem a este trabalho. A questão proposta apresenta

uma base para se trabalhar o Teorema dos Carpetes. Diretamente, esse assunto não é abordado

na disciplina de Geometria Plana na UFSM, porém o curso dá ferramentas para entendê-lo e

demonstrá-lo. Além disto, outro teorema aplicado em diversos problemas de Olimpíadas é de-

nominado Teorema de Varignon, que, assim como o Teorema dos Carpetes, apresenta relações

geométricas acerca de quadriláteros. Acredita-se que desenvolver os teoremas acima citados,

além da aplicabilidade em diversos problemas geométricos, é algo que pode aproximar o con-

teúdo visto na universidade daquele que o professor trabalha em sala de aula. Assim, neste

trabalho, realizou-se a demonstração destes teoremas e de alguns corolários provenientes dos

mesmos. Também apresentou-se extensões para casos não usuais. Além disto, os conceitos

aprendidos foram utilizados na construção de aplicativos manipuláveis, utilizando o software

GeoGebra.

9

1.1 Justificativa

Os problemas trabalhados em Geometria sempre me chamaram a atenção, apesar de não

ter muita facilidade com o assunto. A partir do 4o semestre, trabalhando com softwares de Geo-

metria Dinâmica, comecei a entender com maior profundidade sobre o assunto e cada problema

que pudesse ser compreendido por algum meio digital era fascinante. O Teorema dos Carpetes,

além de ser algo novo no que se refere a meu conhecimento geométrico, é uma ferramenta que

pode ser muito bem compreendida na educação básica. Também acreditei ser interessante tratar

neste trabalho sobre o Teorema de Varignon. Ao aliar este teorema aos conhecimentos adquiri-

dos sobre um aplicativo de Geometria Dinâmica (GeoGebra), foi possível realizar conjecturas

acerca suas extensões.

1.2 Objetivo

Apresentar dois teoremas de Geometria Plana: o clássico Teorema de Varignon e o não

tão conhecido Teorema dos Carpetes e algumas extensões desses dois resultados.

1.2.1 Objetivos específicos

• Apresentar de forma clara e detalhada a demonstração dos teoremas acima citados.

• Obter extensões desses teoremas e demonstrá-las.

• Apresentar as construções realizadas com o aplicativo GeoGebra que auxiliaram na

compreensão dos resultados apresentados.

10

2 TEOREMAS

2.1 Teorema de Varignon

A resolução de um problema de Olimpíada, ou de alguns exercícios de Matemática,

são atividades desafiadoras para estudantes de todos os níveis. Acredita-se que a resolução de

problemas de matemática possa enriquecer a experiência de alunos e professores, pois cultiva

a curiosidade e aprofunda nosso ponto de vista sobre o que significa fazer matemática. Um

resultado matemático que chama a atenção no sentido anteriormente descrito, para o estudo de

Geometria, foi o chamado Torema de Varignon. Tal teorema nos diz que os pontos médiosE, F ,

G e H dos respectivos lados de um quadrilátero ABCD são os vértices de um paralelogramo.

Além disto, a área do paralelogramo corresponde sempre à metade da área do quadrilátero. Para

demonstrarmos este teorema, vamos tomar por base a Figura 2.1 a qual nos descreve a situação

inicial.

Figura 2.1: Construção do Teorema em um quadrilátero qualquerFonte: O autor

11

Primeiramente, vamos mostrar que EFGH é um paralelogramo. De fato, construindo

as diagonais AC e BD Figura (2.2) temos que FG é a base média do 4BCD (pois F e G

são pontos médios de dois lados do 4BCD). Pelo Teorema da Base Média de um triângulo,

o qual enunciado e demonstação podem ser encontrados em Barbosa (2006), temos que FG ‖

BD. Analogamente temos que BD ‖ EH . Pela propriedade transitiva do paralelismo, temos

FG ‖ EH . Repetindo o argumento, nos outros dois lados do quadrilátero EFGH , obtemos a

conclusão EF ‖ HG. Ou seja, EFGH é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos,

isto é, um paralelogramo. No que segue mostraremos que A(EFGH) = 12A(ABCD), onde

A(∗) representa a área da figura (∗).

Figura 2.2: Construção das diagonais AC e BDFonte: O autor

Vamos considerar a diagonal AC do quadrilátero ABCD. Isto feito, determinam-se

quatro triângulos semelhantes, conforme figura (2.3)

Figura 2.3: Diagonal AC do quadrilátero ABCDFonte: O autor

12

De fato os triângulos4ABC e4EBF são semelhantes, pelo casoLAL (Lado-Ângulo-

Lado), poisAE ∈ AB, BF ∈ BC e B é o ângulo comum. Da mesma forma podemos perceber

a semelhança entre os triângulos 4ADC e 4HDG já que, AH ∈ AD, DG ∈ DC e D é o

ângulo comum. Observamos que nestes dois casos a razão de semelhança é 12. Como as alturas

destes triângulos também estão na razão 12, segue que a razão entre as áreas é de 1

4já que E, F ,

G e H são pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA respectivamente, assim, temos

que:

A(EBF ) =1

4A(ABC).

Analogamente, mostramos que

A(HDG) =1

4A(ADC)

Temos:

A(ABC) + A(ADC) = A(ABCD)

1

4A(ABC) +

1

4A(ADC) =

1

4A(ABCD)

A(BEF ) + A(DHG) =1

4A(ABCD) (2.1)

Para completar a demonstração, considera-se a diagonal BD, conforme a Figura (2.4).

Figura 2.4: Diagonal BD do quadrilátero ABCDFonte: O autor

13

Note que os triângulos 4ABD e 4AEH são semelhantes pelo caso LAL, pois AE ∈

AB, AH ∈ AD e A é o ângulo em comum. Da mesma forma vemos a semelhança entre

4BCD e 4FCG, visto que, BF ∈ BC, CG ∈ CD e D é o ângulo em comum. De modo

análogo ao realizado anteriormente podemos mostrar que os triângulos4AEH e4FCG, pos-

suem respectivamente as mesmas relações com os triângulos4ABD e4BCD, ou seja,

A(AEH) =1

4A(ABD),

A(FCG) =1

4A(BCD),

portanto:

A(BCD) + A(ABD) = A(ABCD)

1

4A(BCD) +

1

4A(ABD) =

1

4A(ABCD)

A(FCG) + A(AEH) =1

4A(ABCD) (2.2)

Assim, por (2.1) e (2.2), temos:

A(EBF ) + A(HDG) + A(FCG) + A(AEH) =1

2A(ABCD),

mas,

A(EFGH) = A(ABCD)− [A(EBF ) + A(HDG) + A(FCG) + A(AEH)],

então,

A(EFGH) = A(ABCD)− 1

2A(ABCD) =

1

2A(ABCD).

Assim, mostramos que a área do paralelogramo EFGH é a metade da área do quadri-

látero ABCD.

2.1.1 Extensão do Teorema de Varignon para quadriláteros fora do padrão

Segundo Contreras (2014), alguns teoremas têm a capacidade de se estender para dife-

rentes casos. Seguindo essa ideia, o Teorema de Varignon é classificado como um resultado

que possui essa propriedade. Ele é verdadeiro não apenas para quadriláteros convexos, mas

também para os quadriláteros fora do padrão, que entedemos como os não-convexos, cruzados

ou degenerados. A Figura 2.5 apresenta alguns exemplos de quadriláteros degenerados.

14

Figura 2.5: Exemplos do Teorema de Varignon em quadriláteros degeneradosFonte: O autor

A Figura 2.6 ilustra os quadiláteros do tipo cruzados (à esquerda) e quadriláteros não-

convexos (à direita).

Figura 2.6: Exemplos do Teorema de Varignon em quadriláteros cruzados e não-convexosFonte: O autor

A demonstração do Teorema de Varignon para esses casos é análoga a do caso de um

quadrilátero convexo. Faremos a demonstração para o caso cruzado para perceber a analogia.

Dado o quadrilátero cruzado ABCD, construímos o quadrilátero EFGH , sendo cada vértice

o ponto médio dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Desejamos provar que o qua-

drilátero EFGH é um paralelogramo. Para começar, construiremos a diagonal AC, conforme

a Figura 2.7:

Figura 2.7: Construção da diagonal ACFonte: O autor

15

Tomando o4ABC, consideramos os pontos médios de AB e BC, respectivamente, E

e F . Como EB ∈ AB e BF ∈ BC, podemos concluir que AC ‖ EF

Da mesma forma, tomando o 4ADC. Temos que G e H são pontos médios de CD e

AD, respectivamente. Como GD ∈ CD e HD ∈ AD, podemos concluir via Teorema da Base

Média que AC ‖ GH

Sendo assim, se,

AC ‖ EF,

e

AC ‖ GH,

então, por transitividade

EF ‖ GH.

Da mesma forma, consideremos a diagonal BD, conforme ilustra a Figura 2.8.

Figura 2.8: Construção da diagonal BDFonte: O autor

16

No4BCD, temos que F eG são, respectivamente, pontos médios deBC e CD. Como

FC ∈ BC e CG ∈ CD, podemos concluir que BD ‖ FG

E considerando o4ABD, temos que E e H são pontos médios de AB e BD, respecti-

vamente. Como AE ∈ AB e AH ∈ AD, podemos concluir que BD ‖ EH

Sendo assim, se,

BD ‖ FG,

e

BD ‖ EH,

então, por transitividade

FG ‖ EH.

Portanto, concluímos que o quadrilátero EFGH é um paralelogramo.

2.1.2 Extensão do Teorema de Varignon para outros pontos

Uma questão interessante a se investigar sobre o Teorema de Varignon é se o mesmo

pode ser estendido para outros tipos de pontos tais como uma trisecção, penta-secção, ou até

uma n-ésima secção dos seus lados. Como podemos ver na Figura 2.9, é razoável dizer que uma

trisecção determina um paralelogramo, dependendo dos pontos escolhidos.

Figura 2.9: Paralelogramos determinados por uma trisecção apropriada dos lados do quadriláteroFonte: O autor

17

A Figura (2.10) ilustra que, ao realizar uma penta-secção e unir pontos apropriados,

também teremos como resultado um paralelogramo dependendo dos pontos escolhidos.

Figura 2.10: Paralelogramos determinados por uma penta-secção apropriada dos lados do quadriláteroFonte: O autor

Para provar que os quadriláteros construídos nas figuras 2.9 e 2.10 são paralelogramos,

podemos utilizar o Teorema de Tales, o qual enunciado e demonstação podem ser encontrados

em Barbosa (2006). No que segue demonstraremos que realizando uma penta-secção no qua-

drilátero ABCD, o quadrilátero A2B3C2D3 é um paralelogramo. A prova realizada, tem como

base a demostração encontrada em Contreras (2014).

Para isso, construimos a diagonal AC e BD, conforme a Figura 2.11.

Figura 2.11: Desenho para a vizualização que A2B3C2D3 é um paralelogramoFonte: O autor

18

Consideremos primeiramente o triângulo 4BCD. Assim, como os pontos escolhidos

pertencem a uma penta-secção dos lados do triângulo, temos

CC2

C2D=

2

3=CB3

B3B

podemos concluir pela recíproca do Teorema de Tales que C2B3 ‖ DB. Considere agora

4ABD, a igualdade,AA2

A2B=

2

3=AD3

D3D

implica que D3C2 ‖ A2B3. Portanto, o quadrilátero A2B3C2D3 é um paralelogramo pois os

lados opostos são paralelos.

Observando as figuras 2.9 e 2.10 podemos ser induzidos a uma generalização de um

resultado envolvendo uma n-secção. Assim, consideramos ABCD um quadrilátero qualquer

onde cada lado é dividido em n segmentos congruentes. Os pontos A1, A2, A3, ... , An−1 são

as n-secções do lado AB. Os pontos B1, B2, B3, ... , Bn−1 são as n-secções do lado BC. Os

pontos C1, C2, C3, ... , Cn−1 são as n-secções do lado CD. Os pontos D1, D2, D3, ... , Dn−1

são as n-secções do lado DA. O quadrilátero AiBn−iCiDn−i é um paralelogramo, conforme

sugere a figura 2.12

Figura 2.12: Construção da n-secçãoFonte: O autor

Assim podemos investigar a extensão do Teorema de Varignon para pontos que dividem

os lados de um quadrilátero qualquer em segmentos proporcionais. A figura 2.13 nos sugere

que EFGH é um paralelogramo, o que podemos provar como segue.

19

Figura 2.13: Construção do Teorema de Varignon dividido em partes proporcionaisFonte: O autor

Desde que AEEB

= AHHD

e GCDG

= FCBF

, a recíproca do Teorema de Tales nos afirma que

EH ‖ BD e BD ‖ FG e, como consequência, EH ‖ FG. Analogamente, mostra-se que,

EF ‖ HG. Assim, EFGH é um paralelogramo pois os lados opostos são paralelos.

2.2 O Teorema dos Carpetes

Na Geometria Plana, podemos associar ao teorema demonstrado por Pierre Varignon

outro teorema que envolve áreas, semelhanças e congruências de figuras, denominado Teorema

dos Carpetes. Enquanto acadêmicos, vemos na Geometria Plana inúmeros conceitos sobre

semelhanças e congruências de áreas de figuras, os quais nos ajudam na resolução de diversos

problemas sobre o assunto. Estes resultados e conceitos podem auxiliar também em questões de

competição como da OPM, donde tiramos um exercício que indiretamente envolvia o Teorema

dos Carpetes, um assunto que não foi trabalhado na disciplina de Geometria Plana. A Figura

2.14 apresenta o problema em questão.

Pensamos, em como um aluno de 8o ou 9o ano, nível para o qual a questão apresentada

foi proposta, poderia resolver o item "a"do problema. Acreditamos que o aluno pensaria da

seguinte forma: Sejam x a área do carpete que não está na sobreposição, y a área do carpete

sobreposta e w a área do dormitório que não está com o carpete, logo

y + x = ACC ,

w + x = AD,

20

Figura 2.14: Exercício da Olimpíada Paulista de MatemáticaFonte: OPM (2014)

onde ACC é a área coberta pelo tapete cinza claro e AD é a área do dormitório que não possui o

carpete cinza escuro. Como o carpete cinza claro estava, inicialmente, no espaço sem o carpete

cinza escuro, e, não há sobras no dormitório, segue que:

y + x = w + x,

e daí

y = w.

É interessante observar que é possível resolver o exercício utilizando um teorema co-

nhecido como o Teorema dos Carpetes, que possui o seguinte enunciado:

"Suponha-se que o chão de uma sala retangular é coberta por uma coleção de tapetes,

os quais não se sobrepõe. Se movimentarmos um dos tapetes, então, fica claro que a área da

sobreposição será igual à área da sala que ficará descoberta."(ANDRESCU, 2010, p.60)

Para demonstrar o Teorema, podemos considerar que o formato da sala ou dos tapetes

são irrelevantes, pois o que irá nos interessar principalmente é a parte sobreposta. Então vamos

supor que a sala seja um quadrado, assim, sejam M e N os pontos médios dos lados AB e BC

de um quadrado ABCD. Tomemos P = AN ∩ DM , Q = AN ∩ CM e R = CM ∩ DN .

Devemos provar a igualdade:

A(AMP ) + A(BMQN) + A(CNR) = A(DPQR),

onde A(AMP ) +A(BMQN) +A(CNR) representa a área sem carpetes e A(DPQR) repre-

senta a área da sobreposição. A Figura 2.15 ilustra a descrição acima realizada.

21

Figura 2.15: Base para trabalho do teoremaFonte: O autor

Vamos assumir, sem perda de generalidade, que a área do quadrado seja igual a um.

Mostraremos que a figura é simétrica em relação à BD. Para tanto, a Figura 2.16 nos auxiliará

nesta visualização.

Figura 2.16: Simetria em relação à BDFonte: O autor

Temos que4ABO ∼= 4BCO, pois AB ≡ BC, OB é comum e BOA = BOC = 90o.

Os triângulos4ABO e4BOC são retângulos com a hipotenusa e um cateto congruentes, logo

AO ≡ OC.

Na Figura 2.17, observamos que os triângulos4AQD e4NQB são semelhantes, pois

os ângulos em AQD e NQB são congruentes (opostos pelo vértice), os ângulos NBQ e ADQ

são congruentes entre si (ângulos alternos internos).

Então, tendo BN = AD2

, ou ainda AD = 2BN , verificamos que:

AQ

QN=AD

BN,

22

Figura 2.17: Semelhança de triângulosFonte: O autor

AQ

QN=

2BN

BN,

AQ

QN= 2,

AQ = 2QN.

Quanto ao lado AN , verificamos que:

AQ =2

3AN

QN =1

3AN

Temos que A(ABN) = 14A(ABCD), pois a base AB se mantém e BN = 1

2BC, além disto,

consideremos as bases AQ e AN dos triaângulos 4AQB e 4ABN , eles possuem a mesma

altura h = d(B,AN):

A(AQB) =2

3.1

4A(ABCD) =

1

6A(ABCD),

A(BQN) =1

3.1

4A(ABCD) =

1

12A(ABCD),

e, por congruência,

A(BQM) =1

12A(ABCD).

Consideremos N ′ =−−→AN ∩

−−→DC , conforme apresenta a figura (2.18).

Assim, os triângulos 4AMP e 4N ′DP também são semelhantes, pois os ângulos

MAP e DN ′P são alternos internos, bem como PDN ′ e PMA e os ângulos APM e DPN ′

são opostos pelo vértice. Como AM = AB2

, AB = CD, e DN ′ = 2CD, temos

PM

PD=AM

DN ′,

23

Figura 2.18: Prolongamento do segmento AN até a intersecção com DCFonte: O autor

PM

PD=

CD2

2CD,

PM

PD=

1

4.

Logo, MD = 5MP Temos que A(ADM) = 14A(ABCD), pois a base AD se mantém, mas

AM = 12AB. Agora considerando no 4AMP a base MP e altura h = d(A,MP ) e no

4ADM a base MD e a altura h = d(A,MP ), temos

A(AMP ) =1

5.1

4A(ABCD) =

1

20A(ABCD),

Finalmente, mostra-se que,PQ

AN=

4

15.

Mas, A(AND) = 12A(ABCD) e, assim,

A(PQD) =4

15A(AND) =

2

15A(ABCD),

Ou seja,

A(AMP ) + A(BMQ) =1

12A(ABCD) +

1

20A(ABCD) =

2

15A(ABCD)

Relacionados ao Teorema dos Carpetes, são encontrados outros problemas interessantes,

conforme os propostos por Nunes (2015). No que segue, apresentaremos dois desses problemas

e suas respectivas soluções. O primeiro problema apresentado pela autora é o que segue:

"Sejam AM e BN medianas do triângulo4ABC e D o baricentro. Prove que a área do

triângulo4ABD é igual à área do quadrilátero CMDN". A Figura 2.19 ilustra tal situação.

24

Figura 2.19: Problema proposto no triânguloFonte: O autor

Figura 2.20: Construções das medianas AM e BNFonte: O autor

Uma propriedade conhecida da mediana é a de que ela divide o triângulo em dois outros

de mesma área. Na Figura 2.20, pode-se visualizar tal propriedade para a mediana BN :

Note que, usando as propriedades acima citadas, podemos determinar a área de tais

triângulos, conforme segue:

A(ABC) = A(ABN) + A(CBN)

A(ABN) = A(CBN) =b.h

2

A(ABC) =2.b.h

2= b.h

Observando o mesmo resultado para a medianaAM , podemos concluir que os triângulos

4ABN e 4ABM têm mesma área. Assim, o Teorema dos Carpetes, nos garante que a área

do triângulo 4ABD, que fica na intersecção dos triângulos 4ABN e 4ABM , é igual à área

do quadrilátero CMDN .

Outro problema proposto, que pode ser demonstrado utilizando o referido Teorema,

trata de regiões circulares, cujo enunciado é o que segue: "Sabendo-se que os arcos da figura

25

são arcos de circunferências, prove que as áreasS1 e S2 indicadas na figura, são iguais". A figura

(2.21) ilustra tal enunciado.

Figura 2.21: Problema proposto no arco de circunferênciaFonte: O autor

Juntas, as áreas dos semicírculos indicados por λ1 e λ2 equivalem à área do setor circular

indicado por λ3. De fato, podemos observar na Figura (2.22) que as regiões circulares possuem

o mesmo raio .

Figura 2.22: Separação das regiões indicadasFonte: O autor

Temos que Sλ3 = 14π(2r)2 = πr2 e Sλ1 = Sλ2 = 1

2πr2 = πr2

2. Então, o Teorema dos

Carpetes garante que S1 = S2.

Deste modo, nota-se que um teorema a princípio proposto para quadriláteros, pode ser

utilizado para outras figuras geométricas.

26

3 CONSIDERAÇÕES SOBRE DO USO DAS TECNOLOGIAS

3.1 Teorema de Varignon

O Teorema de Varignon é um bom exemplo de uma atividade que pode ser planejada

em termos de Geometria Dinâmica, pelo fato de que é válido para qualquer quadrilátero e o

dinamismo do aplicativo faz com que isso seja evidente. Todas as construções aqui apresentadas

estão disponíveis em Silva (2015).

O Geogebra possui uma ferramenta denominada Relação (Figura 3.1), a qual permite

verificar relações matemáticas existentes entre dois elementos previamente selecionados.

Figura 3.1: Ferramenta "Relação"no software GeogebraFonte: O autor

Assim, construído um quadrilátero qualquer, os pontos médios de seus lados e o qua-

drilátero definido por esses pontos, o aplicativo permite verificar se de fato esse quadrilátero

possui as propriedades que o garantem ser um paralelogramo.

No que segue, apresentaremos o processo de construção do quadrilátero qualquer e dos

elementos que permitem verificar a validade do Teorema de Varignon.

Com a ferramenta polígono, construímos um quadrilátero qualquer (Figura 3.2).

27

Figura 3.2: Construção do quadrilátero ABCDFonte: O autor

Com a ferramenta Ponto Médio, construímos o ponto médio de cada lado do quadrilátero

(Figura 3.3).

Figura 3.3: Construção dos pontos médios dos ladosFonte: O autor

A partir da ferramenta Polígono, construímos o polígono formado pelos pontos médios

dos lados (Figura 3.4).

Figura 3.4: Construção do quadrilátero formado pelos pontos médiosFonte: O autor

28

Para concluir que o segundo quadrilátero é um paralelogramo, podemos utilizar a ferra-

menta Relação e clicando nos lados não adjascentes, conforme a Figura 3.5.

Figura 3.5: Conclusão utilizando a ferramenta RelaçãoFonte: O autor

É interessante o uso do GeoGebra para descobrir que os pontos médios formarão sempre

um paralelogramo. Outra forma de se observar que o quadrilátero EFGH é um paralelogramo

é trabalhar com os seus ângulos consecutivos. Assim,tendo os ângulos consecutivos suple-

mentares (Figura 3.6), implica que os segmentos opostos são paralelos. Assim, EF ‖ GH e

HE ‖ FG, o que implica em EFGH ser um paralelogramo.

Figura 3.6: Algumas estratégias utilizadas para verificar que EFGH é um paralelogramo usando oGeoGebra

Fonte: O autor

29

3.1.1 Generalização do Teorema de Varignon

Para verificar que a relação determinada pelos pontos médios do quadrilátero valem para

outros pontos, como os da trisecção, pentasecção e n-secção, foi realizada uma construção, onde

houve a necessidade de trabalharmos com outros elementos de Geometria e alguns outros con-

ceitos, como sequências, distâncias e divisão de segmentos (no âmbito da Geometria Analítica).

Em nossa pesquisa realizada na internet, principalmente em repositórios de applets, por exem-

plo, geogebra.org não encontramos nenhuma construção do Teorema de Varignon utilizando

esses elementos, assim optamos por indicá-los. Desta forma, no que segue, descrevemos os

procedimentos de construção adotados.

Começaremos com a construção da trisecção dos lados de um quadrilátero. Com a

ferramenta polígono, construímos um quadrilátero qualquer (Figura 3.7).

Figura 3.7: Construção de um quadrilátero qualquerFonte: O autor

Para dividir o lado AB em três segmentos congruentes, utilizamos a reta suporte AD e

marcamos um ponto M qualquer, conforme a Figura 3.8.

Figura 3.8: Construção do ponto M na reta ADFonte: O autor

30

Para encontrar um ponto N na reta AD tal que AM = MN , utilizamos a ferramenta

Compasso com centro em M e raio AM , conforme ilustra a Figura 3.9.

Figura 3.9: Construção do ponto N na reta ADFonte: O autor

Repetimos o procedimento para encontrar o ponto O, porém tomamos como centro o

ponto N e como raio o segmento NM (Figura 3.10).

Figura 3.10: Ponto O na reta ADFonte: O autor

31

Para denterminar a divisão do segmento AB em 3 partes congruentes, traçamos o seg-

mento BO. Com a ferramenta Reta Paralela, traçamos duas paralelas, uma passando por N e

outra passando por M . Os pontos E e F serão a intersecção com o segmento AB (Figura 3.11).

Figura 3.11: Pontos E e F dividindo o segmento ABFonte: O autor

Analogamente, o mesmo procedimento foi realizado para os demais lados do quadrilá-

tero. Utilizando a reta suporte AB encontramos os pontos G e H em BC. Com a reta suporte

BC foram encontrados os pontos I e J em CD. A partir da reta suporte CD foram determina-

dos os pontos K e L em DA, conforme ilustra a Figura 3.12.

Figura 3.12: Trissecção dos lados do quadrilátero ABCDFonte: O autor

A partir da ferramenta Polígono, foram feitos os quadriláteros EHIL e FGJK. A con-

clusão que são paralelogramos pode ser observada, novamente, através da ferramenta Relação

(Figura 3.13).

32

Figura 3.13: Acabamento da trisecção do Teorema de VarignonFonte: O autor

No que segue, observamos que para dividir o lado do quadrilátero em 5 segmentos con-

gruentes, foram realizados os mesmos procedimentos feitos para a trisecção, conforme a Figura

3.14.

Figura 3.14: Divisão de cada lado em 5 segmentos congruentesFonte: O autor

Feitas as partições, utilizamos a ferramenta Polígono, para determinar os quadriláteros

seguindo a condição na qual os pontos escolhidos podem ser A1B4C1D4, ou A2B3C2D3, de

maneira genérica, podemos representar por AiB5−iCiD5−i com 1 ≤ i ≤ 4, já que os lados

estão divididos em 5 partes (Figura 3.15)

33

Figura 3.15: Quadriláteros formados seguindo AiB5−iCiD5−iFonte: O autor

3.1.2 Extensão do teorema de Varignon

Para iniciar a construção das n-secções dos lados do quadrilátero, foi criado, com a

ferramenta Controle Deslizante, um controle que nos indicará o número de partições de cada

lado, que tem início em 2 e fim em 20 com incremento 1 (os valores podem variar, desde que

se mantenham no conjunto dos naturais). A partir da ferramenta Polígono, contruímos um

quadrilátero qualquer ABCD (Figura 3.16).

Figura 3.16: Construção do quadrilátero ABCDFonte: O autor

Na sequência, construímos um ponto E fora do quadrilátero ABCD, para utilizá-lo

como referência na construção de retas paralelas aos lados. Assim, com o auxílio da ferramenta

Reta Paralela, construímos uma reta paralela ao ladoAB passando porE e marcamos um ponto

G nesta reta, conforme Figura 3.17.

34

Figura 3.17: Reta paralela ao lado AB passando por E e ponto G ∈ ABFonte: O autor

Sobre a reta EG, determinamos um vetor unitário −→u , com mesma direção da reta EG e

sentido conforme indica a Figura 3.18. Esse vetor será necessário para determina as n-secções

do lado do quadrilátero.

Figura 3.18: Vetor unitário de EGFonte: O autor

Utilizando sequências, translações e o controle deslizante n, construímos uma lista de

pontos no segmento AB, com o seguinte comando Sequência[Transladar[ <Objeto>, Vetor[

<Ponto Inicial>, <Ponto Final> ] ], <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ] onde n é o

valor final, conforme a Figura (3.19)

Figura 3.19: Construção da Sequencia de pontos em ABFonte: O autor

35

De forma análoga, criamos listas de pontos nos demais lados do quadrilátero, conforme

a Figura 3.20.

Figura 3.20: Construção das Sequências de pontos nos lados BC, CD e DAFonte: O autor

Para determinar os paralelogramos, escolhemos um ponto P sobre qualquer uma das

listas (Figura 3.21).

Figura 3.21: Construção do ponto P em alguma listaFonte: O autor

Foi construída uma planilha no intuito de identificar os elementos das sequências onde

temos indicados uma coluna sendo os valores possíves para n e os pontos referentes aos lados

por meio do comando Elemento[ <Lista>, <Posição do Elemento> ], conforme ilustra a Figura

3.22.

36

Figura 3.22: Construção da planilhaFonte: O autor

Com auxílio da ferramenta Condicional, Se[P=Bn, Polígono[ Bn, Cn, Dn, En ]], cons-

truímos os quadriláteros da forma AnBnCnDn. Veja a Figura (3.23)

Figura 3.23: Construção dos quadriláterosFonte: O autor

Observamos que o ponto P pode percorrer qualquer elemento da lista na qual foi in-

serido e que o quadrilátero construído será sempre um paralelogramo (Figura 3.24). Esse fato

pode ser percebido utilizando a ferramenta Relação.

37

Figura 3.24: Verificação de 3 casos casos da n-secçãoFonte: O autor

3.1.3 Teorema de Varignon para lados proporcionais

No que segue, apresentaremos o processo de construção do resultado de Varignon para

lados proporcionais. Para isto, houve a necessidade de construir um quadrilátero qualquer e um

ponto E sobre um dos lados, conforme ilustra a Figura 3.25.

Figura 3.25: Construção do ponto E ∈ ABFonte: O autor

Foram construídas as diagonais AC e BD, conforme ilustra a Figura 3.26.

Figura 3.26: Construção das diagonaisFonte: O autor

Na sequência, traçamos duas retas paralelas, a primera à AC passando por E, e a se-

38

gunda à BD, também passando por E. Depois foram marcados os pontos de intersecção com

os lados do quadrilátero (Figura 3.27).

Figura 3.27: Construção dos pontos F e HFonte: O autor

Utilizando novamente a ferramenta Reta Paralela traçamos a reta paralela à BD pas-

sando por F e marcamos a intersecção com o quadrilátero (Figura 3.28).

Figura 3.28: Construção do ponto GFonte: O autor

Com a ferramenta Polígono, construímos o polígono EFGH , conforme ilustra a Figura

3.29.

39

Figura 3.29: Contrução do quadrilátero EFGHFonte: O autor

Observamos que para realizar esta construção, partimos do fato do quadrilátero interno

ser um paralelogramo. A Figura 3.30 ilustra que, as medidas serão sempre proporcionais.

Figura 3.30: Verificação das medidas proporcionaisFonte: O autor

3.2 Teorema dos Carpetes

Para a construção da figura que ilustra o Teorema dos Carpetes, começamos determi-

nando um quadrado (Figura 3.31).

40

Figura 3.31: Construção do quadrado ABCDFonte: O autor

Com a ferramenta Ponto Médio, marcamos os pontos médios de dois lados adjascentes

(Figura 3.32).

Figura 3.32: Construção dos pontos médios de dois ladosFonte: O autor

A partir da ferramenta Polígono, marcamos dois triângulos formados pelos pontos mé-

dios criados e seus respectivos lados opostos (Figura 3.33).

41

Figura 3.33: Construção dos triângulosFonte: O autor

Com o auxílio da ferramenta Intersecção de Dois Objetos, marcamos os pontos em

comum dos dois triângulos (Figura 3.34).

Figura 3.34: Construção das intersecções dos triângulos e verificação das áreasFonte: O autor

Para estender o Teorema dos Carpetes para um retângulo, construímos um retângulo

ABCD, conforme Figura 3.35, utilizando as ferramentas Reta, Reta Paralela, Reta Perpendi-

cular e Intersecção de Dois Objetos.

42

Figura 3.35: Construção do retângulo ABCDFonte: O autor

Construímos os pontos M e N pertencentes respectivamente aos lados BC e CD do

polígono e com a ferramenta Polígono, contruímos os triângulos4ABN e4ADM , conforme

ilustra a Figura (3.36.

Figura 3.36: Contrução os triângulos4ABN e4ADMFonte: O autor

Com a ferramenta Intersecção de Dois Objetos, marcamos as intersecções dos dois tri-

ângulos (Figura 3.37).

43

Figura 3.37: Construção dos pontos P , Q e RFonte: O autor

Para verificação da validade desta construção, basta manipular o ponto N e observar a

variação das áreas, conforme ilustra a Figura 3.38.

Figura 3.38: Construção de 3 retângulos para a verificação de suas áreasFonte: O autor

No que segue, exploraremos a construção para o primeiro problema proposto que era

sair da ideia de quadriláteros e fazer a construção do Teorema dos Carpetes para um triânqulo

qualquer. Com a ferramenta Polígono, construímos um triângulo qualquer (Figura 3.39).

44

Figura 3.39: Construção do triângulo qualquerFonte: O autor

A partir da ferramenta Ponto Médio construímos os pontos médios de dois lados, con-

forme a Figura 3.40.

Figura 3.40: Construção dos pontos médiosFonte: O autor

Com o auxílio da ferramenta Segmento, construímos dois segmentos que unem os pontos

médios e seus respectivos vértices opostos. Logo após, com a ferramenta Intersecção de Dois

Objetos determinamos o Baricentro (Figura 3.41).

Figura 3.41: Construção do BaricentroFonte: O autor

Com a ferramenta Polígono, construímos os triângulos 4ABM e 4ABN , conforme

45

Figura 3.42.

Figura 3.42: Construção dos triângulos4ABM e4ABNFonte: O autor

Como esse é um triângulo qualquer, ao movimentarmos qualquer um dos seus pontos,

podemos observar que a relação apresentada por Nunes (2015) é valida (Figura 3.43)

Figura 3.43: Verificação das áreas de 3 triângulosFonte: O autor

46

A ideia do segundo exercício proposto por Nunes (2015) era expandir o Teorema dos

Carpetes para circunferências. Entretanto, para calcularmos a área, iremos aproximar as regiões

por polígonos utilizando os recursos Spline, Sequências e Polígono visto que o GeoGebra não

calcula a área de regiões circulares (a não ser a limitada por uma circunferência). Iniciamos a

construção com uma reta qualquer passando por AB e, com a ferramenta Reta Perpendicular,

traçamos a perpendicular à AB passando pelo ponto A, conforme Figura 3.44.

Figura 3.44: Construção da reta AB e sua perpendiculaFonte: O autor

Com auxílio da ferramenta Compasso, traçamos uma circunferência com centro em A e

raio AB encontrando o ponto C, que será a intersecção da circunferência com a reta perpendi-

cular anteriormente construída. (Figura 3.45).

Figura 3.45: Construção da circunferência e ponto CFonte: O autor

A partir da ferramenta Setor Circular, construímos um setor com os pontos A, B e C

(Figura 3.46).

47

Figura 3.46: Construção do setor de circunferência ABCFonte: O autor

Utilizamos a ferramenta Ponto Médio para determinarmos os pontos médio dos lados

AB e AC. Em seguida, foram construídos os setores circulares DBA e EAC e, com o auxílio

da ferramenta Intersecção de Dois Objetos, foi construído o ponto de intersecção destes dois

setores, conforme ilustra a Figura 3.47.

Figura 3.47: Construção dos pontos médios e dos setores de circunferênciaFonte: O autor

Agora queremos verificar se a área que está na intersecção das duas semi-circunferências

(S1) e a área que está por fora (S2) são iguais. Podemos aproximar a curva utilizando o recurso

Spline. Para isto, foram determinados 20 pontos pertencentes às curvas que formam a intersec-

ção e 60 pontos pertencentes às curvas de fora, conforme Figura 3.48.

48

Figura 3.48: Construção dos pontos que servirão para a determinação das SplinesFonte: O autor

Neste momento, foram determinadas duas curvas, conforme ilustra a Figura 3.49. A

primeira com os pontos que formam a intersecção Spline[L1] e a segunda com os pontos que

formam a figura de fora Spline[L2], onde L1 e L2 são listas de pontos.

Figura 3.49: Construção das SplinesFonte: O autor

Com a ferramenta Controle Deslizante, foi construído um controle n, variando de 2 à 100

com incremento 1, que servirá para nos indicar a quantidade de pontos pertencentes ao polígono

que fará a aproximação das curvas das Splines. Uma lista de pontos foi criada com o recurso

Sequências para cada uma das Splines da seguinte forma Sequencia[[Spline](i), i, 0, 0.999, 1/n]

(Figura 3.50).

49

Figura 3.50: Controle deslizante e lista de pontos nas SplinesFonte: O autor

Com auxílio da ferramenta Polígono[Lista], foram construídos os polígonos a partir das

listas determinadas pelas sequências relacionadas às Splines. A Figura 3.51 ilustra que, quanto

maior for o número de pontos n, melhor será a aproximação das áreas.

50

Figura 3.51: Verificação da aproximação de algumas áreasFonte: O autor

Ressaltamos que S1 e S2 apresentados nas figuras são os valores das áreas.

51

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O campo da Geometria é imenso, e as várias formas com que cada conceito pode ser

trabalhado é o que pode despertar nos alunos uma melhor aprendizagem dos conteúdos. Os

problemas de Olimpíadas são grandes desafios que podem auxiliar na compreensão de alguns

tópicos referentes aos conteúdos trabalhados na graduação.

Os Teoremas presentes neste trabalho podem ser desenvolvidos na Educação Básica se

pensados de forma clara e dinâmica, e com o auxílio das construções desenvolvidas no GeoGe-

bra. Para minha formação, o trabalho serviu para retomar conceitos de Geometria que foram

utilizados para as demonstrações dos Teoremas desenvolvidos. Além disto, a execução das ve-

rificações no software GeoGebra elevou meus conhecimentos sobre o aplicativo. Deste modo,

aprendi comandos nos quais nunca havia trabalhado, como Sequências, Transladar e Spline,

que poderão ser utilizados em outras construções sobre inúmeros conteúdos. Acredito também

que a experiência de escrever um trabalho final de graduação, onde houve a necessidade de pes-

quisar sobre os assuntos envolvidos, realizar construções utilizando o aplicativo, que pensamos

ser inéditas, foi muito enriquecedor e de fundamental importância na minha formação como

futuro educador.

52

REFERÊNCIAS

ANDRESCU, T. Mathematical Olympiad Tresure. Springer, New York, 2010. Disponí-

vel em ftp://kubacki.waw.pl/Titu_Andreescu-Mathematical_Olympiad_

Treasures.pdf. Acesso: 12 jun 2015.

BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. SBM. Rio de janeiro, 2006.

BARTON, B. The Klein Project: An IMU/ICMI Collaboration: A Short Description.

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CONTRERAS, J. N. Investigating Variations of Varignons Theorem Using GeoGebra. Ge-

oGebra International Journal of Romania, Vol3. 2014. Disponível em https://ggijro2.

files.wordpress.com/2014/04/art531.pdf. Acesso: 26 ago 2015.

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OBM. Site da Olimpíada Brasileira de Matemática. 2015. Disponível em http://www.

obm.org.br/. Acesso: 20 ago 2015.

OBMEP. Site da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2015. Dispo-

nível em http://www.obmep.org.br/. Acesso: 20 ago 2015.

OPM. Prova da XXXVII Olimpíada Paulista de Matemática. 2015. Disponível em http:

//www.opm.mat.br/static/archive/opm_2013_1.pdf. Acesso: 20 ago 2015.

SILVA, J. A. Site das Construções. 2015. Disponível em http://tube.geogebra.org/

user/profile/id/2747187. Acesso: 14 nov 2015.