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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
Fabiane de Lima Righi
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA NA GEOMETRIA ESPACIAL
UTILIZANDO O GEOGEBRA
Santa Maria, RS
2016
Fabiane de Lima Righi
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA NA GEOMETRIA ESPACIAL
UTILIZANDO O GEOGEBRA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Matemática Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obtenção do
título de Licenciada em Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Maria Cecília Pereira Santarosa
Santa Maria, RS
2016
Fabiane de Lima Righi
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA NA GEOMETRIA ESPACIAL
UTILIZANDO O GEOGEBRA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Matemática Licenciatura, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,
RS), como requisito parcial para obtenção do
título de Licenciada em Matemática.
Aprovado em 05 de julho de 2016:
________________________________________________________________
Maria Cecília P. Santarosa, Drª. (UFSM)
(Presidente/Orientadora)
________________________________________________________________
Sandra Eliza Vielmo, Drª. (UFSM)
________________________________________________________________
Carmen Vieira Mathias, Drª.(UFSM)
Santa Maria, RS
2016
AGRADECIMENTOS
A concretização deste trabalho ocorreu, principalmente, pelo auxílio, compreensão e
dedicação de várias pessoas. Agradeço a todos que, de alguma forma, contribuíram para a
conclusão deste estudo e, de uma maneira especial, agradeço:
A Deus, pela presença constante em minha vida, dando-me força e iluminando meus
passos durante o curso noturno, para que chegasse sempre em segurança em casa;
Ao meu saudoso pai, que apesar de não estar mais presente fisicamente, foi de quem
herdei o gosto pela matemática;
Ao meu esposo e filhos por estarem sempre ao meu lado, incentivando-me a realizar esse
sonho;
Por fim agradeço à minha orientadora Drª Maria Cecília Pereira Santarosa, pela
orientação, amizade, ensinamentos, por todo o incentivo que me dedicou e que foi imprescindível
para a realização desse trabalho;
Muito obrigada por tudo.
“O ensino se consuma quando o significado do
material que o aluno capta é o significado que o
professor pretende que esse material tenha para o
aluno” (NOVAK; GOWIN, 1981, p. 81).
RESUMO
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA NA GEOMETRIA ESPACIAL
UTILIZANDO O GEOGEBRA
AUTORA: Fabiane de Lima Righi
ORIENTADORA: Maria Cecília Pereira Santarosa
Este trabalho surge com a intenção de favorecer o processo da Aprendizagem Significativa dos
conceitos da Geometria Espacial, a partir de uma metodologia de ensino pautada na resolução de
situações-problema com o uso do software Geogebra. Foram utilizados os resultados da aplicação
de uma sequência didática onde os conhecimentos prévios dos alunos (ou ausência destes) foram
investigados, em uma turma de terceiro ano do Ensino Médio de uma escola estadual do Rio
Grande do Sul. O conteúdo foi abordado por meio de questionamentos e análise do conhecimento
empírico dos alunos, revisão dos conhecimentos prévios de Geometria Espacial (geometria de
posição e áreas de figuras planas), análise dos problemas e posterior construção dos sólidos
envolvidos nas questões, no computador. Elaborou-se um material didático potencialmente
significativo para a aprendizagem dos conteúdos da Geometria Espacial, trazendo assim
resultados satisfatórios quanto ao aprendizado dos alunos por meio de resoluções de problemas
com o uso do software GeoGebra. Sua contribuição diz respeito não somente a atratividade e
visualização, mas surge como reorganizador do pensamento, promovendo um pensar
diferenciado no aluno. O significado dos conceitos matemáticos é interiorizado, tornando o
processo de formalização da matemática mais fácil e natural.
Palavras-chave: Aprendizagem Significativa. Conhecimentos Prévios. Geometria Espacial.
GeoGebra.
ABSTRACT
MEANINGFUL LEARNING IN GEOMETRY SPACE USING GEOGEBRA
AUTHOR: Fabiane de Lima Righi
ADVISOR: Maria Cecília Pereira Santarosa
This work comes with the intention of promoting the process of Meaningful Learning the
concepts of spatial geometry, from a teaching methodology guided to solve contextualized
problems using the Geogebra software. the results of the application of a didactic sequence where
we used the students' prior knowledge (or lack thereof) were investigated in a group of third year
of high school to a state school of Rio Grande do Sul. The content has been addressed through
questions and analysis of empirical knowledge of the students, review of previous knowledge of
spatial geometry (geometry position and areas of plane figures), analysis of problems and
subsequent construction of the solid involved in issues on the computer. It developed a
potentially significant courseware for learning of spatial geometry content, thus bringing
satisfactory results in terms of student learning through problem resolutions using the GeoGebra
software. His contribution concerns not only the attractiveness and visualization, but emerges as
reorganizing thought, promoting a different thinking in students. The meaning of mathematical
concepts is internalized, making the process of formalization of the easiest and most natural
mathematics.
.
Keywords: Meaningful Learning. Previous knowledge. Spatial geometry. GeoGebra.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Mapa Conceitual sobre Sólidos Geométricos. ........................................................... 16
Figura 2 – Primeiro questionário resolvido pelo estudante A.. ................................................... 22 Figura 3 – Questões resolvidas pelo estudante A, 1ºquestionário. .............................................. 23
Figura 4 – Questões resolvidas pelo estudante B, 1ºquestionário. .............................................. 24 Figura 5 – Questões resolvidas pelo estudante C 1º questionário. .............................................. 24
Figura 6 – Questões resolvidas pelo estudante D, 2º questionário. ............................................. 25 Figura 7 – Questões resolvidas pelo estudante E, 2º questionário............................................... 26
Figura 8 – Questões resolvidas pelo estudante G, 3º questionário. ............................................. 27 Figura 9 – Tela inicial do software GeoGebra com 3 janelas de visualização. ............................ 31
Figura 10 – Ferramentas 2D do software GeoGebra .................................................................. 31 Figura 11 – Ferramentas 3D do software GeoGebra. ................................................................. 32
Figura 12 – Construção do Cubo no GeoGebra 3D. ................................................................... 35 Figura 13 – Construção da piscina (paralelepípedo ou prisma retangular). ................................. 36
Figura 14– Utilização da ferramenta Planificação, na construção do sólido. .............................. 38 Figura 15 – Princípio de Cavalieri na obtenção do volume do paralelepípedo. ........................... 39
Figura 16 – Aplicação do Princípio de Cavalieri para a obtenção do volume de prismas. ........... 40 Figura 17 – Aplicação do princípio de Cavalieri para a obtenção do volume do Cilindro. .......... 41
Figura 18 – Construção de prismas feita no GeoGebra. ............................................................. 42 Figura 19 – Cilindros dentro do paralelepípedo. ........................................................................ 44
Figura 20 – Prisma de base triangular. ....................................................................................... 45 Figura 21 – Decomposição de um prisma triangular em três pirâmides. ..................................... 46
Figura 22 – Atividade sobre a congruência das pirâmides.......................................................... 47 Figura 23 – Princípio de Cavalieri para obtenção do volume do cone. ....................................... 48
Figura 24 –Cone inserido na metade da esfera. .......................................................................... 49 Figura 25 – Relações métricas no triângulo. .............................................................................. 51 Figura 26 – Volume máximo de um cone inscrito em uma esfera. ............................................. 52
Figura 27 – Volume máximo de um cilindro inscrito em um cone. ........................................... 53 Figura 28 – Estudantes realizando construções no GeoGebra. ................................................... 53
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 9
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................. 13
2.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA .................................................................................. 13
2.2 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA .................................................... 14
3 FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS .................................................................. 16
3.1 IDENTIFICANDO OS CONCEITOS RELACIONADOS PARA O ENSINO DA
GEOMETRIA ........................................................................................................................... 16
3.2 SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ............................................................... 17
3.3 QUANTO AO RECURSO COMPUTACIONAL .......................................................... 18
4 INVESTIGAÇÃO DOS CONHECIMENTOS PRÉVIOS DOS ESTUDANTES ..... 21
4.1 FASE 1: ANÁLISE DOS SUBSUNÇORES .................................................................. 21
4.1.1 Primeiro questionário (revisando polígonos e suas propriedades). .......................... 22
4.1.2 Segundo questionário (noções intuitivas de áreas e perímetros) .............................. 25
4.1.3 Terceiro questionário (classificação dos triângulos e área de polígonos) ................. 27
4.2 FASE 2 : PROPOSTA DE ORGANIZADORES PRÉVIOS PARA A CONSTRUÇÃO
DE SUBSUNÇORES. ............................................................................................................... 28
4.2.1 Introduzindo a Geometria Espacial intuitivamente ................................................... 29
4.2.2 Apresentação do software GeoGebra ......................................................................... 30
4.3 FASE 3: APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES POTENCIALMENTE
SIGNIFICATIVAS. .................................................................................................................. 33
4.3.1 Atividades .................................................................................................................... 34
5 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA PESQUISA ....................................................... 55
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS....................................................................................... ....58
REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 59
APÊNDICE A – PRIMEIRO QUESTIONÁRIO ...................................................... 61
APÊNDICE B – SEGUNDO QUESTIONÁRIO ........................................................ 62
APÊNDICE C – TERCEIRO QUESTIONÁRIO ...................................................... 63
APÊNDICE D – ATIVIDADES POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVAS............64
9
1 INTRODUÇÃO
Não há dúvidas de que o ensino da Geometria Espacial desempenha um papel de extrema
importância no cotidiano das pessoas e de que a maneira como este conteúdo for estudado irá
refletir no raciocínio lógico e visual, na capacidade de abstração e desenvolvimento, além de
aprimorar ideias intuitivas. Sendo assim, surge a necessidade de se buscar metodologias de
ensino centradas no aluno. Nesse caso, o professor passa a ser um facilitador, cuja autenticidade e
capacidade de aceitar o aluno como pessoa e de colocar-se no lugar deste são mais relevantes
para criar condições para que o aluno aprenda do que propriamente sua erudição e suas
habilidades didáticas (ROGERS, 1999).
Entre os desafios dos professores em sala de aula com relação ao ensino da Geometria
Espacial, destaca-se encontrar métodos alternativos que favoreçam a visualização geométrica dos
sólidos pelos alunos. Atualmente, a forma com que os estudantes estão fixando os conteúdos vem
mudando, e métodos tradicionais de ensino já não despertam o interesse da classe, nem tornam as
aulas mais atrativas.
Assim, este trabalho tem como objetivo principal abordar tópicos da Geometria Espacial,
apresentados no Ensino Médio, por meio da análise e do resgate dos conhecimentos prévios,
utilizando como recurso didático a resolução de situações-problema e utilizando o software
GeoGebra, visando uma aprendizagem significativa por parte dos alunos. Quanto aos objetivos
específicos, pretende-se levar os alunos a uma (re) construção dos conhecimentos prévios básicos
para a aprendizagem da Geometria Espacial, auxiliar os alunos no processo de construção dos
novos conceitos de Geometria Espacial e desenvolver um material instrucional potencialmente
significativo, que possibilite a construção dos sólidos, utilizando o software GeoGebra em
problemas contextualizados.
A maioria dos estudantes tem dificuldades em reter os conceitos estudados em sala de
aula. Portanto, acredita-se que cabe ao professor mudar a metodologia de ensino, buscando
auxiliar o aluno no processo de formação de estruturas cognitivas que retenham o conhecimento e
atuem como facilitadores de uma aprendizagem significativa. Para tanto, é necessário promover o
estabelecimento de conexões entre conceitos já existentes na estrutura cognitiva do aluno e
conceitos novos. No contexto investigado deste trabalho, isso significa inserir a Geometria
10
Espacial por meio de uma linguagem conhecida para o aluno e utilizar a tecnologia como
ferramenta para obter melhor entendimento dos conceitos matemáticos envolvidos.
A motivação para realizar esta pesquisa surgiu da trajetória acadêmica da autora no Curso
de Matemática, em que atuou como bolsista do Fundo de Incentivo à Extensão (Fiex), em 2014,
no projeto intitulado: O Uso de Recursos Computacionais na Resolução de Problemas da
Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Nesse projeto, a
pesquisadora trabalhou com situações- problema e sua construção no software GeoGebra. Além
disso, atuou como bolsista do Programa de Licenciaturas (Prolicen), em 2015, com o projeto Pré-
Cálculo na Transição Ensino Médio/Ensino Superior, durante o qual esteve inserida em uma
escola da rede estadual e pôde analisar a real situação de aprendizagem daqueles alunos. Somam-
se a isso os fundamentos teóricos obtidos ao longo da participação na disciplina Educação
Matemática, quando teve contato com o tema “aprendizagem significativa” e “construção de
mapas conceituais”, a partir da análise de conteúdos em livros didáticos.
Empiricamente, a pesquisadora verificou, durante esse período, o fato de a Geometria do
oitavo ano do Ensino Fundamental estar sendo eventualmente suprimida, fosse pela falta de
tempo ou em detrimento a outros conteúdos considerados “mais importantes”. Por esse motivo,
nos dois contextos observados, percebeu-se a ausência de conhecimentos prévios nos alunos do
terceiro ano.
Diante desse fato, procurou-se elaborar um material instrucional potencialmente
significativo para a aprendizagem dos conteúdos da Geometria Espacial, levando em conta os
conhecimentos prévios dos alunos. A proposta foi implementada em uma turma de terceiro ano
do Ensino Médio de uma escola estadual, na região central do Estado do Rio Grande do Sul, pela
pesquisadora. O conteúdo foi abordado com questionamentos e análise do conhecimento
empírico dos alunos, revisão de conceitos prévios do conteúdo de Geometria Espacial (Geometria
de Posição e Áreas de Figuras Planas), um pouco de História da Matemática, análise das
situações- problema e posterior construção dos sólidos envolvidos nas questões, no com o uso do
software GeoGebra.
De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias (BRASIL, 2006), não se pode negar o impacto provocado pelas
Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na configuração da sociedade atual. Por um
11
lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia a dia da sociedade e a exigência de indivíduos
com capacitação para bem utilizá-la; por outro lado, tem-se, nessa mesma tecnologia, um recurso
que pode subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática. Faz-se importante contemplar
uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática como ferramenta para entender
a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática.
Ao refletirmos sobre o tema, atentando para os documentos oficiais, percebemos, nos
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN), que:
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma
capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para a resolução de
questões de matemática, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de
desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas do
seu cotidiano (BRASIL, 2002, p.120).
Também foco de atenção neste trabalho é o método da resolução de problemas, que segue
uma linha cognitivista de investigação do processo de aprendizagem dos alunos. De acordo com
Groenwald et al. (2004, p. 40).
Os problemas constituem a essência e o dinamismo da Matemática. Em cada concepção
didática os problemas ocupam um papel fundamental, porém os professores de
Matemática estão familiarizados com uma imensa variedade de problemas
intramatemáticos e poucos problemas extramatemáticos e menos ainda com um
planejamento didático baseado na resolução de problemas.
O método da resolução de problemas neste trabalho desempenha papel crucial na
identificação dos conhecimentos prévios dos alunos, que, na perspectiva de Ausubel (2003), é o
fator isolado mais importante para novas aprendizagens. Tais conhecimentos prévios,
denominados conceitos subsunçores, servirão de “ancoradouro” para a aprendizagem de novos
conceitos.
Isso fica claro na medida em que descrevemos quais são os passos esperados do aluno, no
ato da resolução de um problema. Segundo Groenwald et al.(2004,p.41), esses atos “[...] fazem o
aluno pensar produtivamente, desenvolvem o raciocínio do aluno, ensinam a enfrentar situações
novas, equipam o aluno com estratégias para desenvolver situações-problema e propiciam uma
boa base matemática”.
12
Diante do exposto, lançamos a seguinte questão de pesquisa: “é possível obter evidências
de aprendizagem significativa no ensino da Geometria Espacial a partir da adoção da
metodologia da resolução de problemas no ensino, auxiliada pelo uso do software GeoGebra?”
A fim de responder à questão de pesquisa, elaboramos um material instrucional
potencialmente significativo pautado na metodologia da resolução de situações-problema e na
utilização do aplicativo GeoGebra.
A primeira parte do trabalho descreve todos os referenciais teóricos adotados na pesquisa
para obtenção dos resultados.
No que tange à aprendizagem, a Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) norteou o
processo de aquisição de conhecimentos por parte dos alunos. Também foi importante para o
entendimento do processo de evolução dos conhecimentos necessários, por parte da investigadora
autora deste trabalho, para aplicação na pesquisa.
Quanto ao ensino, a metodologia da resolução de problemas procurou fornecer o
“significado” do ensino de Geometria para o aluno. Acrescido a isso, o uso do software
GeoGebra foi introduzido na pesquisa não somente pelo seu valor motivacional e visual diante
dos sólidos geométricos, mas como mediador da atividade humana, reorganizando a atividade
intelectual.
A ligação entre todos esses diferentes processos, na pesquisa, converge para uma análise
minuciosa da importância deste estudo para o favorecimento do ensino e de uma aprendizagem
significativa para o aluno, que será apresentada nas considerações finais.
Os referenciais bibliográficos listados foram de extrema importância para a justificação
dos fatos observados ao longo da pesquisa. Por fim, os apêndices fornecem os questionários e
atividades.
13
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Neste capítulo abordaremos os fundamentos teóricos considerados na pesquisa, bem como
a compatibilidade existente entre eles. Neste sentido procuraremos descrever brevemente a
importância da História da Matemática, em especial a História da Geometria Espacial na
formação do aluno do Ensino Médio, bem como possível correlação em termos de sua
aprendizagem significativa.
2.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Senão vejamos, sabe-se através das orientações curriculares para o Ensino Médio
(BRASIL, 2006) que:
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de
resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler
mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas
geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em
que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de
apreciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse
estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a geometria para
o cálculo de comprimentos, áreas e volumes (BRASIL, 2006 , p.32).
Ainda, com base no mesmo documento, o egresso do Ensino Médio deve estar apto a
perceber a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído. Portanto, a
História da Matemática, em especial da Geometria, tem papel crucial na sua formação
profissional e humana.
Podemos interpretar tal afirmação no sentido que os conceitos da Geometria Espacial
podem ser construídos de forma significativa para o aluno, a partir do conhecimento da sua
construção histórica, ao longo dos séculos. Logicamente, por si só, um estudo histórico não será
suficiente para a aprendizagem significativa por parte do aluno, mas poderá auxiliar na
introdução dos principais conceitos da Geometria, exercendo o papel de organizador prévio.
14
Na visão de Ausubel,“[...] organizadores prévios são materiais introdutórios,
apresentados antes do próprio material a ser aprendido, porém, em um nível mais alto de
abstração, generalidade e inclusividade do que esse material” (MOREIRA, 2006, p.107).
Entretanto, a introdução do conteúdo da Geometria Espacial pelos seus fatores históricos,
pertinentes para novas aprendizagens, também poderá servir para a organização e hierarquização
dos conhecimentos prévios dos alunos, ou para a construção destes conhecimentos, no caso da
não existência dos mesmos na mente do aluno. Também há de se levar em conta o fator
“motivacional” que a História da Geometria Espacial pode exercer sobre o aprendiz. A motivação
para o aprendizado é um dos principais aspectos a se considerar para uma aprendizagem
significativa.
Nunes, Almouloud e Guerra (2010), propuseram em seu trabalho o contexto da História
da Matemática como organizador prévio. Para os autores, “As atividades matemáticas podem ser
elaboradas a partir de um diálogo conjuntivo entre as informações históricas e a aprendizagem
significativa, mudando, assim, a imagem acerca da Matemática como conhecimento pronto e
acabado”. Deste modo, o conhecimento poderá ser apreendido pelos alunos a partir de
informações históricas, de acordo com a contextualização sociocultural que revestiu essas
informações.
2.2 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
Segundo Ausubel (2003), contrário à aprendizagem mecânica, aprender é modificar o
conhecimento, ou seja, significa organização e integração do material na estrutura cognitiva.
Dessa forma, propôs o conceito da aprendizagem significativa. Sendo um defensor do
Construtivismo, sua teoria argumenta que o sujeito constrói novos conhecimentos a partir do seu
conhecimento prévio, por meio de elos denominados de pontes cognitivas. Este conhecimento
prévio ele denominou de conceito subsunçor. Assim, a aprendizagem significativa ocorre quando
uma nova informação se ancora em conceitos subsunçores já existentes em sua estrutura
cognitiva (MOREIRA, 2011). Sendo assim, o conhecimento prévio é a base para a ampliação do
conhecimento.
15
Vejamos um exemplo relacionado a esta pesquisa: Para um aluno que teve um
aprendizado significativo na escola nos conteúdos de Geometria de Posição e cálculo de Áreas de
Polígonos, será muito mais fácil calcular Áreas de Sólidos Geométricos e posteriormente seus
respectivos volumes. Pois ter estes conhecimentos prévios, apreendidos corretamente, de forma
significativa, lhe dará mais estabilidade cognitiva e mais clareza.
Por meio de estratégias que possibilitem o uso de material concreto, planificações,
situações-problema, construção e visualização das atividades com ajuda de um aplicativo será
possível que novos conhecimentos (Cálculo de Volumes de Sólidos) possam ancorar-se nos
conceitos prévios (Geometria de Posição e Áreas de Polígonos), se existirem, de forma
significativa. Neste processo, estes conceitos prévios (subsunçores) ficarão mais enriquecidos,
modificados e diferenciados, em relação aqueles. Ao longo da vida do aprendiz, este ciclo pode
continuar, e os subsunçores modificados, novamente servirão de ancoragem para novos conceitos
(como Sólidos de Revolução, por exemplo).
De acordo com Scheller (2014 apud MOREIRA; MASINI, 1982), na teoria de Ausubel, o
armazenamento de ideias no cérebro é altamente organizado, com relações ocorrendo entre
elementos mais antigos e mais recentes, produzindo uma hierarquia conceitual, na qual os
elementos mais específicos do conhecimento estão ligados a conceitos mais gerais. O ensino deve
ser efetuado programando os assuntos de forma hierárquica, com a estrutura lógica explicitando
as relações entre as ideias, ressaltando as similaridades comuns e levando em consideração o
conhecimento anterior do estudante. Primeiramente, as ideias mais gerais de um conteúdo devem
ser apresentadas e então progressivamente diferenciadas, em termos de detalhe e especificidade.
Essencialmente, são duas as condições para a aprendizagem significativa: o material de
aprendizagem deve ser potencialmente significativo e o aprendiz deve apresentar predisposição
para aprender. Esta predisposição para a aprendizagem significativa implica além da existência
dos conceitos subsunçores na estrutura cognitiva, uma disposição para atribuir significados
psicológicos a logicidade do material apresentado.
A busca por evidências de aprendizagem significativa requer que os cinco lugares da
educação: contexto, ensino, aprendizagem, currículo e avaliação se inter-relacionem entre si, por
meio de uma abordagem investigativa qualitativa, onde o que interessa é o processo, e não apenas
os resultados.
16
3 FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS
A fim de obter coerência com a pesquisa, a abordagem será qualitativa, por meio da
descrição e interpretação dos dados. A metodologia de ensino em que foi desenvolvido este
trabalho de pesquisa esteve pautada na análise crítico reflexiva do conteúdo de Geometria
abordado em livros didáticos e na resolução de situações- problema junto à utilização de um
recurso computacional.
3.1 IDENTIFICANDO OS CONCEITOS RELACIONADOS PARA O ENSINO DA
GEOMETRIA
Apesar de não ser o foco principal do trabalho, mas não menos importante, apresenta-se
nesta seção um mapa conceitual relacionado ao conteúdo sobre “Sólidos Geométricos”(Figura 1).
Figura 1 – Mapa Conceitual sobre Sólidos Geométricos.
Fonte: Elaborado pela autora.
17
Este mapa foi elaborado pela pesquisadora, numa fase anterior a própria fase inicial do
projeto, a partir da análise de um livro didático de Matemática, disciplina de Educação
Matemática II, a fim de identificar os conceitos relacionados, bem como apontar um possível
caminho a ser proposto no ensino da Geometria Espacial, para uma possível aprendizagem
significativa.
Mapas conceituais devem ser entendidos como diagramas que procuram mostrar relações
hierárquicas entre conceitos de um corpo de conhecimentos e que derivam sua existência da
própria estrutura conceitual desse corpo de conhecimentos (MOREIRA, 2006). Sendo um forte
instrumento no processo do ensino e da aprendizagem.
Pode-se dizer que foi a partir da análise reflexiva do conteúdo, externalizada no mapa
conceitual presente, a partir da observação participante realizada pela pesquisadora no contexto
escolar investigado, e através da participação nos projetos específicos citados na parte
introdutória deste trabalho, deu-se a fundamentação e elaboração deste Trabalho de Conclusão de
Curso (TCC).
Observe na figura acima, a preocupação externalizada pela autora do trabalho, com a
necessidade de se retomar os conhecimentos prévios necessários para a aprendizagem
significativa do conceito “Sólidos Geométricos”. Observe, também, o importante conceito
“Princípio de Cavalieri”, que une fortemente os conceitos de “Poliedros” e “Corpos Redondos”,
para a análise dos respectivos “Volumes”.
Mas como fazer os alunos perceberem estas relações? Nesta fase, a reflexão levou a
pesquisadora a perceber a importância da introdução de tais relações através de situações -
problema, propostas no processo do ensino. Estas, por sua vez, seriam muito melhor assimiladas,
no processo da aquisição de significados, por parte dos estudantes, se fortalecidos pelo uso de
recursos computacionais, no caso o software GeoGebra.
3.2 SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
É importante reconhecer que a Matemática deve ser trabalhada por meio de Resoluções de
Problemas, ou seja, que tarefas envolvendo problemas seja o veículo pelo qual um currículo deva
18
ser desenvolvido. A aprendizagem será uma consequência do processo de Resolução de
Problemas.
Na aprendizagem significativa há uma interação entre o novo conhecimento que é
apresentado e o já existente na percepção do educando, na qual ambos se transformam e se
completam, construindo assim, o conhecimento. Desta forma, as atividades foram planejadas com
o intuito de propiciar ambientes de aprendizagem significativa para os alunos.
Quanto à importância da Resolução de Problemas em matemática, Onuchic (2009)
ressalta que:
Durante a resolução do problema há sempre a oportunidade de se avaliar a compreensão
dos alunos e saber se eles se apossaram dos conceitos importantes envolvidos no
problema, destacando a importância de cada questionamento levantado, como fonte para
que o professor perceba o crescimento matemático de cada aluno. Tal situação permite
que a avaliação seja constante e a aprendizagem seja significativa. ( Onuchic, 2009,p.10)
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), Curriculares (2002)
apontam a Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino aliada ao desenvolvimento
da capacidade intelectual e cognitiva do aluno, salientando que viabiliza, aos alunos, “identificar
os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta
e perceber o caráter de jogo intelectual característico da Matemática” (p. 47). Além disso, fazem
destaque, ainda, à possibilidade de despertar no aluno o estímulo, o interesse, a curiosidade, e o
espírito de investigação; de desenvolver a capacidade para resolver problemas e de envolver-se
com questões reais e matemáticas no processo de ensino e aprendizagem. Verifica-se, neste
contexto, que essas possibilidades fortalecem o vínculo que se pode traçar com a aprendizagem
significativa no processo educativo.
3.3 QUANTO AO RECURSO COMPUTACIONAL
O software GeoGebra foi desenvolvido pelo pesquisador Markus Hohenwarte,
19
matemático austríaco1. Trata-se de um software de domínio público, criado dentro da concepção
de geometria dinâmica e elaborado para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis
de ensino. O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade,
estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente e vem sendo aprimorado gradativamente
pelo próprio criador. Segundo Gravina (2011):
O GeoGebra tem o interessante recurso de “estabilidade sob ação de movimento”: feita
uma construção, mediante movimento aplicado aos pontos que dão início a construção, a
figura que está na tela do computador se transforma quanto ao tamanho e a posição, mas
preserva as propriedades geométricas que foram impostas no processo de construção, bem como as propriedades delas decorrentes .(Gravina,2011,p.3)
Trabalharemos a Geometria Espacial utilizando o GeoGebra, deve ser utilizada a versão
5.0 ou superior, pois são as que possuem a janela de visualização 3D. Neste presente trabalho,
apresentado e intitulado “Aprendizagem Significativa na Geometria Espacial utilizando o
GeoGebra”, como recurso facilitador para o estudo da Geometria Espacial. A interface do
programa contempla a interface 2D acrescida da janela de visualização 3D e dos comandos
específicos da Geometria Espacial.
O trabalho com este software surge como uma proposta de reorganizador do pensamento,
promovendo um pensar diferenciado por parte do aluno. Este software também pode ser utilizado
como instrumento capaz de auxiliar, facilitar e complementar o processo de ensino e
aprendizagem da Geometria Espacial.
O software foi importante na pesquisa, pois auxiliou os estudantes na compreensão de
conceitos e propriedades, e com atividades mais simples em que os alunos puderam visualizar e
movimentar os sólidos, usando assim o GeoGebra como uma ferramenta a mais para a construção
dos seus conhecimentos.
A seguir, o Quadro 1 apresenta as ferramentas mais utilizadas durante a pesquisa:
1 Disponível para dowload em: http://www.geogebra.org
20
Quadro 1 – Ferramentas do software GeoGebra.
controle deslizante polígono
reta perpendicular reta paralela
área volume
cubo prisma
pirâmide cone
cilindro planificação
extrusão para prismas girar janela de visualização 3D
interseção entre duas superfícies plano paralelo
Fonte: Elaborado pela autora. .
O uso do software GeoGebra poderá propiciar por meio de suas ferramentas visualizadas
no quadro, a execução de atividades matemáticas, dando condições necessárias para que alunos e
professor se sintam à vontade no manuseio e não ameaçados por esta tecnologia, enriquecendo
ambientes de aprendizagem e auxiliando o aluno no processo de construção do conhecimento.
21
4 INVESTIGAÇÃO DOS CONHECIMENTOS PRÉVIOS DOS ESTUDANTES
A referida pesquisa deu-se em três importantes fases: a primeira diz respeito a
investigação dos conhecimentos e experiências prévias dos alunos; a segunda propõe formas
alternativas de apresentação do conteúdo, com o objetivo de auxiliá-los no processo de
construção destes conhecimentos prévios, necessários para a aprendizagem da Geometria
Espacial; finalmente, a terceira fase, apresenta o material instrucional potencialmente
significativo da Geometria Espacial.
Conforme exposto na introdução, esta proposta foi implementada no segundo semestre de
2015, em uma turma de vinte e três alunos do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola
estadual do Rio Grande do Sul, pela pesquisadora e teve duração de três meses, com duas aulas
semanais, perfazendo um total de 24 horas/aula.
4.1. FASE 1: ANÁLISE DOS SUBSUNÇORES
Conforme especificado nos fundamentos teóricos, na perspectiva ausubeliana,
subsunçores são conhecimentos prévios que, espera-se, devam estar presentes na estrutura
cognitiva do aprendiz, e que são especificamente relevantes para que novos conhecimentos sejam
potencialmente significativos, isto é, sejam relacionáveis com estes subsunçores específicos.
Entendemos, assim, os conceitos subsunçores como a variável mais importante para novas
aprendizagens.
A fim de verificar a presença ou não de tais subsunçores, a pesquisa teve início com a
aplicação de três questionários englobando conteúdos supostamente já estudados e essenciais
para uma aprendizagem significativa da Geometria Espacial.
As atividades desenvolvidas pelos alunos são extensivas para serem inseridas em sua
totalidade. No entanto, procuramos resgatar aquelas de maior significado para nossos propósitos,
as quais são apresentadas na forma de recortes, no que segue.
22
4.1.1 Primeiro questionário (revisando polígonos e suas propriedades)
Nesta atividade (Apêndice A), que foi adaptada de Martinatto (2013), os alunos deveriam
relacionar os diversos polígonos apresentados com objetos de seu cotidiano, classificar as figuras
em dois grupos e depois em três grupos, respondendo qual o critério utilizado respectivamente
para a classificação.
Todos os alunos presentes conseguiram relacionar os polígonos com algum objeto de seu
cotidiano, mas quando a atividade pediu para classificar os polígonos em grupos e escrever qual o
critério utilizado, houve várias distorções que deixaram evidente que a maioria não sabia ou não
recordava as propriedades de polígonos.
As figuras 2 e 3 transcrevem os esquemas utilizados pelo aluno “A” para dar conta das
situações propostas nos questionários.
Figura 2 – Primeiro questionário resolvido pelo estudante A.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
23
Figura 3 – Questões resolvidas pelo estudante A, 1º questionário.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
Observe que o estudante consegue relacionar os polígonos com objetos de seu cotidiano,
porém não tem bem definido o conceito de ângulos e classificação de triângulos quanto a seus
lados, questões 1.2 e 1.3. Na questão 1.2 o estudante responde que o grupo 1 (de figuras
redondas) não possuem um ângulo certo de 90º, e que o grupo 2 (quadrados, retângulos e
triângulos)possuem ângulo de visão de 90º em cada ponta.Deixando claro não possuir lembrança
cognitiva que uma circunferência tem 360º e que os ângulos internos de um triângulo somam
180º, jamais 90º em cada ângulo, chamado pelo aluno de “ponta”.
Na questão 1.3, quando o estudante afirma que o triângulo possui pelo menos um lado
diferente, mostra insegurança no conteúdo de triângulos e seus lados, pois o triângulo equilátero
não se enquadra na regra descrita, pois possui os três lados congruentes.
A seguir, a Figura 4 apresenta a resposta do estudante B, onde o mesmo classificou os
grupos em “grupo de paralelas” (quadrado e retângulo) e “grupo de deformados” (losango e
paralelogramo), evidenciando uma possível deficiência cognitiva relacionada às propriedades de
polígonos.
24
Figura 4 – Questões resolvidas pelo estudante B, 1º questionário.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
O estudante C demonstrou insegurança com o conteúdo de ângulos internos de polígonos
ao afirmar que todos exceto a circunferência, possuíam ângulos, conforme respostas na Figura 5.
Figura 5 – Questões resolvidas pelo estudante C, 1º questionário.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
25
Esta atividade foi importante por evidenciar a necessidade de mediar o processo de
re/construção dos subsunçores relacionados a polígonos, suas propriedades e seus ângulos
internos, por meio do resgate de conteúdos da Geometria do Ensino Fundamental. Na perspectiva
ausubeliana, se não houver estes conceitos subsunçores prévios, que servirão como âncora para o
novo conhecimento, a aprendizagem pode ser mecânica, contrapondo-se à aprendizagem
significativa.
4.1.2 Segundo questionário (noções intuitivas de áreas e perímetros)
Neste questionário (Apêndice B), adaptada de Martinatto (2013) esperava-se do aluno um
esquema de resolução para algumas situações - problema. Logo depois, na questão 1.5, os alunos
foram instigados ao cálculo do perímetro e área de uma região qualquer.
A última questão 1.4 e 1.5 foram as que mais erraram, pois confundiram perímetro com
área, conforme as Figuras 6 e 7.
Figura 6 – Questões resolvidas pelo estudante D, 2º questionário.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
26
Figura 7 – Questões resolvidas pelo estudante E, 2º questionário.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
Após a análise das respostas de todos os alunos, referente a este questionário, observou-se
que aproximadamente 30% dos alunos presentes lembraram-se do conteúdo de área e perímetro,
acertando a maioria das perguntas, enquanto os outros 70%, ou erraram por querer impor
fórmulas que não existiam ou porque confundiram os conceitos de área e perímetro,
Novamente, constatou-se que os poucos subsunçores existentes no cognitivo dos alunos
era frágil, principalmente aqueles relacionados ao conteúdo de círculos e circunferências,
carecendo serem reconstruídos em alicerces pautados na fundamentação teórica de tais
conteúdos. Particularmente no que se refere a círculos e circunferência trata-se de conteúdo que,
no contexto investigado, faz parte do 8º ano do Ensino Fundamental, que muitas vezes, por falta
de tempo, não é trabalhado em sala de aula. No entanto, acredita-se que se não houver um fator
motivacional, o aluno não terá interesse na apreensão deste conteúdo, de forma significativa.
27
4.1.3 Terceiro questionário (classificação dos triângulos e área de polígonos)
Neste questionário, (Apêndice C), adaptada de Garcia (2010), temos questões onde os
alunos primeiramente deveriam agrupar alguns triângulos ao grupo ao qual pertenciam:
equiláteros, isósceles ou escalenos, classificando-os de acordo com seus lados. Logo após
deveriam relacionar alguns polígonos à suas respectivas fórmulas de áreas.
Esta foi a etapa em que os alunos apresentaram maior dificuldade, 15% dos alunos
presentes conseguiram realizar todas as atividades corretamente, enquanto 85% ou não
lembravam de nada ou conseguiam lembrar somente as fórmulas do quadrado, retângulo e
triângulo.
Alguns alunos justificaram que não lhes foi ministrado este conteúdo no Ensino
Fundamental, por isso não sabiam. A maioria não atribuiu significado ao conceito de triângulo
equilátero, isóscele e escaleno, tampouco cálculo de áreas, como pode ser observado na atividade
resolvida pelo estudante G, conforme apresenta a Figura 8.
Figura 8 – Questão resolvida pelo estudante G, 3º questionário.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
28
Sabe-se que, na ausência de subsunçores, o aluno pode aprender o conteúdo de forma
mecânica, a fim de dar conta das situações propostas em sala de aula. A aprendizagem mecânica
não é duradoura, mas é uma alternativa para a posterior aprendizagem com significados. A
análise deste material permitiu concluir que a maioria dos alunos não possuía os subsunçores
necessários para dar início ao conteúdo de Geometria Espacial, e que seria necessário intervir no
sentido de formar uma estrutura cognitiva prévia capaz de ancorar estes novos conhecimentos.
4.2 FASE 2: PROPOSTA DE ORGANIZADORES PRÉVIOS PARA A CONSTRUÇÃO DE
SUBSUNÇORES.
Quando o aprendiz não dispõe de subsunçores adequados que lhe permitam atribuir
significados aos novos conhecimentos (Geometria Espacial), uma solução proposta por Ausubel
são os chamados organizadores prévios. Se o aluno não tem subsunçores relevantes à
aprendizagem, o melhor é promover a sua construção, antes de prosseguir com o novo conteúdo.
Segundo Moreira (2011), organizador prévio é um recurso instrucional apresentado em
um nível mais alto de abstração, generalidade e inclusividade em relação ao material de
aprendizagem. Podem ser aulas que precedem um conjunto de aulas, vídeos, experimentos, etc.
As possibilidades são muitas, mas a condição é que preceda a apresentação do material de
aprendizagem e que seja mais geral que este. Deste modo, iniciou-se uma revisão sobre perímetro
e área, onde os alunos utilizaram materiais concretos, dentre eles: cordas, fitas métricas, réguas e
cadarços de tênis, a fim de calcular o perímetro da classe, da lousa, da sala de aula, bem como
suas respectivas áreas.
Em outro momento foram apresentados aos alunos os três triângulos: equilátero, isósceles
e escaleno, suas particularidades e como encontrar sua altura por meio do Teorema de Pitágoras.
A maioria dos alunos não apresentava bem definido em sua estrutura cognitiva a aplicação do
Teorema de Pitágoras, sendo necessário revisar este conteúdo do Ensino Fundamental.
Durante a apresentação dos polígonos, os estudantes participaram ativamente da
construção das definições do quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio, losango.
Foi debatida a diferença entre círculo e circunferência e logo após foram apresentados
vários modelos de polígonos em EVA para que cada aluno pudesse, por meio do processo de
“desconstrução”, refletir que não há necessidade de decorar fórmulas de áreas. Em suma, todo
29
este processo instigou e estimulou os alunos para a construção dos conceitos subsunçores
referentes à Geometria Plana.
4.2.1 Introduzindo a Geometria Espacial intuitivamente
Dando continuidade, buscou-se apresentar um organizador prévio para o ensino de
Geometria Espacial, a fim de favorecer o processo de integração entre os conhecimentos prévios
dos estudantes e os novos conhecimentos da Geometria Espacial a serem ensinados. Tal
organizador prévio foi constituído, inicialmente, pelo manuseio, por parte dos alunos, de
materiais concretos. Posteriormente, foi apresentado um vídeo sobre a História da Matemática
relacionado a conceitos da Geometria Espacial.
Os alunos manipularam diversas peças trazidas de casa e que estavam inseridas no seu
cotidiano, latas em forma cilíndrica, chapéu de aniversário em forma de cone, caixas de vários
formatos e de várias alturas, bolas de gude. Foi então introduzida a nomenclatura matemática
para estes objetos bastante familiares: paralelepípedos, prismas, cubos, cones, esferas e
pirâmides.
Acredita-se que a História da matemática tem um importante papel para a Aprendizagem
Significativa, além de organizador prévio ela também pode servir como fator motivacional. O
professor poderá trabalhar com slides, ou conversar com a classe sobre a História da Geometria,
portanto este foi o momento pelo qual este assunto foi introduzido na pesquisa, seguido de
diálogos e reflexões acerca deste assunto. Dentre todos os sites pesquisados, optou-se pelo vídeo
disponível no site <www.geometrianodiaadia.blogspot.com>, por tratar-se de um material onde é
explicada, de maneira simples, a definição de Geometria, assim como sua origem.
Em outro momento, os alunos realizaram atividades onde calcularam a área de sólidos
geométricos, para isto tiveram acesso a vários modelos de sólidos em acrílico e recortes de papel
destes sólidos planificados. Neste momento observou-se que os alunos conseguiram relacionar
esta atividade com o cálculo de áreas de polígonos trabalhadas em aulas anteriores, e
visualizaram os sólidos geométricos como formados por polígonos. Segundo Moreira (2011).
Quando um novo conhecimento interage com um conhecimento prévio adquire novos
significados. Nessa interação, os dois se modificam, porém diz-se que houve uma
30
assimilação do novo conhecimento. Diz-se também que a aprendizagem significativa foi
subordinada (Moreira, 2011, p.29).
Nos sólidos mais simples, como o cubo e o paralelepípedo, os estudantes foram induzidos
com sucesso ao cálculo mental da área total planificada, enquanto que nos sólidos com faces
triangulares e pentagonais o processo foi um pouco mais lento, sendo preciso atendê-los
individualmente para tirar dúvidas. Isso se deve ao fato de os alunos haverem acabado de
assimilar o Teorema de Pitágoras, utilizado para o cálculo da altura de triângulos.
Como última etapa, os alunos aprenderam a contar faces, arestas e vértices por meio da
manipulação dos sólidos de acrílico, trabalhando em duplas, verificando o Teorema de Euller.
Conforme Moreira (2006).
Usando materiais educativos do currículo, professor e aluno buscam congruência de
significados. Em uma situação de ensino, o professor atua de maneira intencional para mudar significados da experiência do aluno, utilizando materiais educativos.
(MOREIRA, 2006, p.163-165).
Observou-se nesta fase da pesquisa a importância de trabalhar com material concreto para
a mediação da aprendizagem significativa.
4.2.2 Apresentação do software GeoGebra
Esta etapa da pesquisa teve o apoio incondicional da equipe diretiva da referida escola, a
qual disponibilizou um técnico em informática para dar suporte técnico ao projeto. Na escola
havia duas salas de informática, uma com doze e a outra com vinte computadores disponíveis,
além de dois armários com trinta netbooks cada. Optou-se por instalar o GeoGebra na versão 5.0
em trinta dos netbooks, para otimizar o tempo e possibilitar que cada um dos alunos pudesse
manipular individualmente suas atividades.
Sendo assim, nesta aula os alunos tiveram o primeiro contato com o software, onde foi
apresentada a interface do GeoGebra, o qual apresenta duas janelas, , a janela de visualização 2D
exibe o Campo de Entrada, Janela de Álgebra e Janela de visualização,a segunda janela apresenta
o ambiente 3D, conforme apresentado na Figura 9.
31
Figura 9– Tela inicial do software GeoGebra com 3 janelas de visualização.
Fonte: Elaborada pela autrora.
As construções realizadas no ambiente 3D são projetadas no plano xy e aparecem na
janela de visualização 2D. Também foram apresentadas as ferramentas 2D e 3D e suas
respectivas funções, conforme as Figuras 10 e 11 .
Figura 10 – Ferramentas 2D do software GeoGebra.
Fonte: Software GeoGebra.
32
Figura 11 – Ferramentas 3D do software GeoGebra.
Fonte:Software GeoGebra.
Durante esta primeira fase os alunos realizaram duas rápidas atividades referente aos
conteúdos recentemente revisados de Geometria Plana, para que pudesse ser discutido algumas
importantes propriedades como: paralelismo e perpendicularismo entre retas, pontos sobre reta,
como traçar ângulos , polígonos regulares etc. Essa discussão não mais sob uma perspectiva
estática,mas explorando situações que permitissem que os elementos geométricos da construção
pudessem ser alterados para gerar mais dinamismo e movimento, sem alterar as propriedades que
os definem.
Neste contexto, Gravina (1996) salienta que:
Tanto na formação de conceitos, quanto no caso de dedução de propriedades, podemos
concluir que grande parte das dificuldades se originam no aspecto estático do desenho:
devemos explorar situações de aprendizagem que permitam o controle do desenho para
que características de contingência da representação não sejam incorporadas às
propriedades matemáticas que determinam sua configuração.(Gravina,1996,p.5)
Uma das condições para a Aprendizagem Significativa é a de que o aprendiz deve
apresentar uma predisposição para aprender, sendo assim, a pesquisadora aproveitou este
momento para apresentar aos estudantes algumas atividades de sua autoria, feitas com o
GeoGebra, mostrando algumas ferramentas da janela de visualização 3D, que possibilitam o
movimento dos sólidos.Os estudantes ficaram fascinados pelos visuais obtidos e conseguiu-se
estimulá-los,com isso os alunos envolveram-se mais nas atividades, demonstrando curiosidade e
buscando aprender mais sobre o software para dar continuidade as próximas atividades referentes
à Geometria Espacial.
33
4.3 FASE 3: APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES POTENCIALMENTE
SIGNIFICATIVAS.
Uma das condições para que ocorra a aprendizagem significativa, destacada nos
referenciais teóricos, é que o material de aprendizagem deve ser potencialmente significativo, ou
seja, que o material de aprendizagem (livros, aplicativos,...) tenha significado lógico. Isto é, o
material deve ser relacionável a determinados conhecimentos e o estudante deve ter esses
conhecimentos prévios necessários para fazer esse relacionamento, pois se este não existir,
nenhum novo conhecimento será potencialmente significativo.
É importante enfatizar que “[...] o material só pode ser potencialmente significativo, não
significativo: não existe livro significativo [...], pois o significado está nas pessoas, não nos
materiais. É o aluno que atribui significados aos materiais de aprendizagem” (MOREIRA, 2011,
p.25). Entretanto, tal material deve ter um significado lógico para o aluno, para que possa
atribuir-lhe significado psicológico, numa interação que poderá proporcionar uma aprendizagem
significativa.
Deste modo, ratifica-se a importância da primeira e segunda fase para dar prosseguimento
a terceira fase, que trata da apresentação de atividades que abordam tópicos da Geometria
Espacial apresentados no Ensino Médio por meio de situações- problema, utilizando o software
GeoGebra como recurso didático.
Nesta proposta, as atividades de ensino começaram com os aspectos mais gerais, com
uma abordagem mais dedutiva por parte dos alunos e ao longo de cada atividade estes conteúdos
foram sendo progressivamente formalizados pela pesquisadora. Essas atividades foram realizadas
por meio de resolução de problemas, com o auxílio do software GeoGebra, onde o aluno
manipula e explora ideias geométricas o tempo todo, permitindo sistematizar o seu saber. Isto
ocorre, pois permite que se parta de atividades mais simples, como a do Cubo e Prismas, para
atividades mais complexas, onde o aluno participa da construção de definições. Destacam-se o
Princípio de Cavalieri e algumas deduções de fórmulas de volumes dos sólidos.
Sendo assim, foi entregue aos alunos uma folha com as atividades (Apêndice D), para que
inicialmente tentassem analisar e resolver, e posteriormente construí-las no computador com o
34
auxílio da pesquisadora, e novamente analisar sob esta nova perspectiva, tentando responder aos
questionamentos feitos.
4.3.1 Atividades
1- A primeira atividade, adaptada de uma questão da 1ª fase da OBMEP 2013, objetivou a
apresentação da idéia intuitiva do volume e a generalização da fórmula do volume do Cubo.
Intuitivamente, sabemos que o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele
ocupada. Como unidade do volume, podemos utilizar um cubo unitário, ou seja, se a aresta de um
cubo é de 1 cm, o seu volume será de 1 𝑐𝑚3. Podemos então determinar o volume de um sólido
fazendo uma comparação entre ele e o cubo unitário. Para tanto, propôs-se a atividade para
obtenção do volume do cubo pelo total preenchimento de seu interior com as unidades de medida
e seus submúltiplos.
Inicialmente, os alunos inseriram cinco quadrados de lado 1 cm, com um lado sobre o
eixo x e o plano xoy. Para isto foi necessário que criassem um vetor para indicar a direção na
qual se realizaria a translação dos quadrados.
Foram inseridos os quadrados de lado 1 cm, que no plano xoy cobrissem uma superfície
de 5x5. Também foi inserida a primeira fila de cubos com lado sobre o eixo x, utilizando os
comandos Cubo e Sequencia. Novamente inseriram a primeira fila de cubos no plano xoy, e as
outras quatro filas sobre a primeira, para formar um cubo de lados 5x5.
A seguir, a Figura 12 mostra a construção do cubo de dimensões 4x4x4.
35
Figura 12 – Construção do Cubo no GeoGebra 3D.
Fonte: Elaborada pela autora
Os estudantes entenderam o cubo como um caso particular de um paralelepípedo
retângulo em que todas as arestas têm o mesmo comprimento e que as 6 faces de um cubo são
quadrados iguais.
No item A, a maioria dos 23 alunos contaram os quadradinhos e chegaram a resposta
certa, que 60 quadradinhos formava o paralelepípedo. Mas alguns já formaram a ideia de
multiplicar as arestas.
Nos itens B e C utilizaram a construção do cubo feito no GeoGebra, e rapidamente
encontraram a resposta, onde alguns alunos já respondiam na forma de potência. Já para
responder ao item D eles foram manipulando o controle deslizante e calculando vários cubos de
tamanhos de arestas diferentes até encontrarem a resposta certa, um cubo de arestas de 8 cm,
8x8x8 = 512 cubinhos no total.
Pôde-se observar que os estudantes assimilaram o conceito intuitivo de volume ao
manipular a ferramenta controle deslizante e criar diferentes cubos, inicialmente contando os
36
cubinhos menores, para logo em seguida multiplicar seus lados (arestas). A generalização para a
fórmula surgiu naturalmente na maior parte do grupo.
2- Esta atividade foi adaptada de Dante (2005), objetivou levar o aluno a perceber a
proporcionalidade entre comprimento, altura e largura de paralelepípedos, bem como o cálculo da
área total deste sólido, resgatando os conhecimentos de Geometria Plana.
Durante a parte inicial da construção, optou-se por deixar os eixos cartesianos e a malha
quadriculada para facilitar a visualização dos estudantes, conforme a Figura 13.
Figura 13 – Construção da piscina (paralelepípedo ou prisma retangular).
Fonte: Elaborada pela autora.
Nesta segunda atividade os alunos puderam mostrar que conseguiram internalizar os
conhecimentos prévios da Geometria Plana, revisados na fase 2 da pesquisa, pois precisaram
calcular a área total da piscina. Além disto, com base na primeira atividade tiveram condições de
perceber que as arestas de um paralelepípedo são de tamanhos diferentes, e consequentemente
seu volume pode ser calculado por meio da multiplicação: comprimento * largura * altura. Este
passo foi muito importante para posteriormente entenderem que o produto entre comprimento e
largura representa a área da base do sólido.
37
A maior parte dos estudantes não apresentou dificuldades em encontrar o volume da
piscina, pois a primeira atividade os tinha preparado para a noção do tridimensional, portanto
todos encontraram como resultado o valor de 160 𝑚3. Enquanto no item B, a pesquisadora
deixou que começassem os cálculos das laterais e do fundo da piscina, para depois sugerir que
poderiam utilizar a ferramenta planificação e a malha quadriculada. Praticamente toda a classe
encontrou as respostas corretas:
A fundo = comprimento ∗ largura = 80 m2
A laterais = 2 ∗ comprimento ∗ largura + 2 ∗ altura ∗ largura = 72𝑚2
Somando as medidas das áreas do fundo e das laterais, obtiveram a área total da piscina
de 152 𝑚2.
O item C permitiu aos estudantes transformar um paralelepípedo em um cubo por meio da
ferramenta controle deslizante. Para responderem ao item D, os alunos construíram e
manipularam um controle deslizante específico, que além de animar a planificação, permitiu a
visualização e compreensão das partes que compõem o paralelepípedo, facilitando o cálculo de
sua área total. O último item F permitiu que os alunos percebessem que o volume do bloco
retangular é proporcional a cada uma de suas dimensões, ou seja, se mantivermos constantes duas
das dimensões e multiplicarmos a terceira por um número natural qualquer, o volume também
será multiplicado pelo mesmo número natural. O mesmo acontecendo se dividirmos um deles.
𝑉 𝑎,𝑏, 3𝑐 = 𝑉 𝑎, 3𝑏, 𝑐 = 𝑉 3𝑎,𝑏, 𝑐 = 3𝑉 𝑎,𝑏, 𝑐
A seguir, a Figura 14 mostra a ferramenta planificação sendo utilizada com o intuito de
facilitar a o cálculo da área total do sólido.
38
Figura 14 – Utilização da ferramenta Planificação, na construção do sólido.
Fonte: Elaborada pela autora .
A partir da ideia intuitiva de volume do cubo foi possível generalizar e obter o volume do
bloco retangular como área da base multiplicada pela altura. A partir do volume do bloco
retangular, as fórmulas de volume para paralelepípedos, prismas, pirâmides, cilindros e cones
puderam ser obtidas pelo Princípio de Cavalieri:
“São dados dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os
dois sólidos segundo figuras de mesma área, então, esses sólidos têm mesmo volume”. (DANTE,
2005, p.166, grifo nosso).
Nos livros didáticos, esse resultado é adotado como postulado, e sua demonstração é
omitida para que sejam evitadas as dificuldades de se apresentar precocemente a alunos do
Ensino Médio, a teoria de integração de funções reais, necessária para esta demonstração.
Utilizando o Princípio de Cavalieri conjuntamente com ferramentas adequadas ao estudo de
volumes, foi possível facilitar a visualização e levar os estudantes à compreensão das fórmulas de
volume dos principais sólidos geométricos estudados na Educação Básica.
39
Para que entendessem o Princípio de Cavalieri e deduzissem o volume do paralelepípedo,
foi elaborado um problema clássico, da pilha de livros, onde os estudantes precisaram
inicialmente refletir e escolher uma das opções.
3- As construções referentes ao Princípio de Cavalieri foram adaptadas de Júnior, Cardoso
e Calixto (2014). A terceira atividade foi extraída de Tadeu (2013), objetivou levar os estudantes
à compreensão do Princípio de Cavalieri.
Vários alunos responderam item B ou D e poucos responderam item E.
Antes de discutir a questão, a pesquisadora deu início a construção de uma atividade no
GeoGebra, onde os alunos construíram um bloco retangular e um paralelepípedo, cujas bases
tinham áreas iguais (Figura 15).
Figura 15 – Princípio de Cavalieri na obtenção do volume do paralelepípedo.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
Por meio da ferramenta controle deslizante do GeoGebra foi possível manipular o plano
que intersecta esses sólidos, e o aluno pode constatar que as figuras planas formadas pela
interseção do plano com os sólidos têm áreas equivalentes.
Voltou-se a discussão do problema e das respostas dos alunos e estes puderam
compreender o Princípio de Cavalieri, deduzindo que o volume do paralelepípedo também é
40
obtido pela multiplicação da área da base pela altura, visto que é sempre possível construir um
bloco retangular com o mesmo volume que o paralelepípedo.
Como os estudantes realizaram esta construção com muita facilidade, a pesquisadora
inseriu mais duas construções, em sequência, para que os estudantes construíssem e
compreendessem que o Princípio de Cavalieri também é válido para outros sólidos.
A Figura 16 apresenta a construção de prismas de mesma área da base e mesma altura,
portanto, mesmo volume.
Figura 16 – Aplicação do Princípio de Cavalieri para a obtenção do volume de prismas.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
Para obter o volume do cilindro, utilizamos a mesma ideia trabalhada para o volume de
prismas, construindo um prisma e um cilindro com áreas das bases aproximadas. Neste caso a
pesquisadora precisou intervir para ajudar os estudantes a encontrarem uma circunferência e um
triângulo com áreas equivalentes, na janela de visualização 2D. Com a movimentação do plano
paralelo ao plano da base pode-se observar que as áreas das figuras planas obtidas da interseção
do plano com os sólidos em cada nível eram equivalentes. Concluindo, pelo Princípio de
41
Cavalieri, que o volume do cilindro é o mesmo do prisma, ou seja, o produto da área da base pela
altura. A Figura 17 ilustra uma construção feita por um aluno da classe, para o estudo do volume
do cilindro.
Figura 17 – Aplicação do princípio de Cavalieri para a obtenção do volume do Cilindro.
Fonte: construção feita por um aluno.
4- A quarta atividade foi adaptada da prova do Programa Experimental de Ingresso ao
Ensino Superior (PEIES, 2013) da Universidade Federal de Santa Maria.
Esta atividade objetivou levar o estudante a identificar bases regulares em prismas,
calcular suas áreas aplicando o Teorema de Pitágoras quando necessário e calcular o volume de
alguns prismas. A seguir, a construção da Figura 18 permitiu obter diferentes prismas ao mover
os dois controles deslizantes, variar a área da base e planificá-las.
42
Figura 18 – Construção de prismas feita no GeoGebra.
Fonte: Adaptado de Borja (2012).
Os estudantes demoraram um pouco a resolver o item A, no entanto a construção da
atividade no GeoGebra facilitou a visualização de que o prisma hexagonal regular possui duas
bases congruentes e paralelas que são hexágonos regulares, e que esta base pode ser dividida em
6 triângulos equiláteros. Os estudantes sabiam calcular a área de figuras planas como o hexágono,
e também que deveriam desconstruí-lo em 6 triângulos equiláteros, pois durante a fase 2 da
pesquisa (Seção 4.2) aprenderam a calcular a área de um triângulo equilátero de lado l, utilizando
o Teorema de Pitágoras, calculando inicialmente a altura h deste triângulo e posteriormente a área
do triângulo equilátero A.
Obtendo:
ℎ =𝑙 ∗ 3
2 𝐴 =
𝑙2 ∗ 3
4
43
Substituíram l por 10 cm e multiplicaram por 6 , pois são 6 triângulos equiláteros,
encontrando a resposta da área da base do hexágono, restando apenas multiplicar pela altura do
hexágono (6 cm).
Como o volume do prisma é calculado multiplicando a área da base pela altura,
encontraram:
𝑉 = 6 ∗
10 2 ∗ 3
4∗ 6 = 900 3𝑐𝑚3
Durante a resolução dos itens B e C, os estudantes moveram os controles deslizantes e
criaram mais prismas, de base triangular, quadrada, pentagonal, até o último prisma, cuja base era
um decágono. Devido o pouco tempo, os alunos somente realizaram os cálculos para os prismas
de bases triangular, quadrada e pentagonal. Com a ferramenta planificação eles manipularam os
sólidos e, neste momento, observou-se que os estudantes estavam seguros e conseguiam
diferenciar os passos necessários para o cálculo da área total e do volume destes sólidos.
5- A quinta atividade foi adaptada da questão nº 18, de Tadeu (2014), objetivou levar o
estudante a relacionar a parte plana com a parte espacial e revisar o estudo do círculo.
Resolução:
A) A circunferência é 2 πr , logo o raio mede 5 cm ,e o diâmetro = 10cm
Nos 45 cm do comprimento cabem 4 latas, e nos 25 cm de largura cabem 2 latas.
Portanto, como a camada é única cabem 2 * 4 = 8 latas de tinta.
B) Neste item houve mais de uma resposta correta, alguns encontraram as dimensões 60
cm x 20 cm, outros encontraram 40 cm * 30 cm ou vice- versa e também encontraram as
dimensões 10 cm x 120 cm.
Para resolvermos no GeoGebra é conveniente reduzirmos as metragens da embalagem
para facilitar a construção, visto que não irá alterar o resultado final.
Nesta atividade os alunos aproveitaram a construção do paralelepípedo e primeiramente
precisaram reduzir as metragens do exercício para utilizar no software. Logo depois testaram
quantos círculos caberiam no fundo da caixa (polígono retangular), calculando primeiramente o
44
tamanho do raio ou diâmetro e trabalhando na janela 2D. Por fim passaram para a janela 3D para
construírem os pequenos cilindros.
Na Figura 19 podemos observar os controles deslizantes e a base dos cilindros na janela
de visualização 2D e a construção dos cilindros na janela de visualização 3D.
Figura 19 – Cilindros dentro do paralelepípedo.
Fonte: Elaborada pela autora.
Importante salientar que esta atividade pode ser modificada pelo professor, no decorrer do
conteúdo, podendo movimentar os seletores e modificar as dimensões da caixa, como também
modificar o produto fabricado, ao invés de latas cilíndricas podem ser cones (casquinhas de
sorvete), pirâmides de base quadrada ou pequenas esferas (globos).
No item B, os estudantes modificaram o tamanho da caixa, utilizando os controles
deslizantes referentes ao comprimento e a largura, visto que a altura das latas cilíndricas
permanecia inalterada.
45
6- Fazem parte desta atividade algumas construções realizadas no GeoGebra com o intuito de
levar o aluno a refletir e participar do processo de construção para obtenção dos volumes da
pirâmide e do cubo, revisando congruência de triângulos e razão de semelhança .
Para o estudo do volume da pirâmide, foi elaborado pela pesquisadora uma atividade no
GeoGebra adaptada de Borja (2012), para que os alunos apenas manipulassem, mostrando a
decomposição de um prisma triangular em três pirâmides (tetraedros), de mesmo volume. Um
controle deslizante foi utilizado para modificar a posição das pirâmides.
Consideramos então, um prisma triangular cujas bases são os triângulos “ABC” e “DEF”.
Seja A a área de ABC e seja h a altura do prisma. Como já vimos anteriormente, seu
volume Vp é dado por área da base vezes altura, ou seja:
𝑉 𝑝 = 𝐴ℎ
Cuja representação encontra-se na figura 20.
Figura 20 – Prisma de base triangular.
Fonte: Adaptado de Borja (2012).
46
A próxima construção mostra que esse mesmo prisma é dividido em três tetraedros de
mesmo volume, conforme Figura 21.
Sejam V1, V2 e V3 os volumes respectivos dos três tetraedros (pirâmides).
Figura 21 – Decomposição de um prisma triangular em três pirâmides.
Fonte: Adaptado de Borja (2012).
Após a construção e manipulação do controle deslizante, houve a necessidade de uma
demonstração mais teórica, para que os alunos revisassem congruência de triângulos e
posteriormente chegassem a uma conclusão sobre como calcular o volume da pirâmide.
Os estudantes receberam uma atividade com o desenho de três prismas congruentes, para
que pintassem as três pirâmides da atividade anterior feita no GeoGebra, indicando possíveis
congruências entre elas, (Figura 22).
Durante esta atividade, as observações realizadas foram detalhadas no quadro negro:
1º) As pirâmides 1 e 3 têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, os triângulos ABC
e DEF são congruentes e a distância de D ao plano (ABC) é igual à distância de C ao plano (
DEF) , que é a mesma altura do prisma original. Logo, 1 e 3 têm mesmo volume.
2º) As pirâmides 2 e 3 também têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, o triângulo
CEF é congruente ao triângulo BCE, pois cada um deles é a metade do paralelogramo (BCFE), e
47
a altura de cada uma dessas pirâmides é a distância de D ao plano (BCFE). Logo, 2 e 3 têm o
mesmo volume.
Assim, V1=V3 e V2=V3 e, portanto, por transitividade, os três volumes são iguais.
Figura 22 – Atividade sobre a congruência das pirâmides.
Fonte: Dante (2005, p.175).
Lembrando que:
V p = V1 + V2 + V3, implica
V p = 3 ∗ 𝑉 → 𝑉 =𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
3
Ou seja, o volume da pirâmide é : Vpi = 𝑉𝑝
3
Como o volume do prisma é igual a área da base vezes a altura, temos:
𝑉 𝑝𝑖 =
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
3
Esta atividade foi importante, pois permitiu que os alunos recordassem congruência de
triângulos e visualizassem o fato de que, quando duas pirâmides têm a mesma base e a mesma
altura, então suas secções transversais, equidistantes dos vértices, têm mesma área. Nessas
48
condições, aplica-se o Princípio de Cavalieri, concluindo-se que: O volume de uma pirâmide
triangular é igual a um terço da área da base pela medida da altura.
Para determinarmos o volume de uma pirâmide qualquer, usamos novamente a conclusão
anterior e o Princípio de Cavalieri.
Quanto ao volume do Cone, procurou-se mostrar aos alunos que também podemos utilizar
o Princípio de Cavalieri.
Considerando um cone de altura H e área da base A contida em um plano horizontal (α) e
uma pirâmide de altura H e base de área A, contida no mesmo plano que o cone, se um plano
horizontal (β) com distância h dos vértices, seccionar os dois sólidos, determinando regiões
planas de áreas A1 e A2. Esse plano determina no cone uma seção circular de raio r, tal que a
razão entre a área dessa seção A2 e a área da base do cone A é igual ao quadrado da razão entre h
e H.Ou seja:
𝐴1
𝐴=
ℎ2
𝐻2 𝑒
𝐴2
𝐴=
ℎ2
𝐻2→
𝐴2
𝐴=
𝐴1
𝐴→ 𝐴1 = 𝐴2
A seguir, a Figura 23 foi construída para os estudantes manipulassem o controle
deslizante e movessem o plano beta (β), resgatando conceitos de razão de semelhança estudados
na oitava série do Ensino Fundamental.
Figura 23 – Princípio de Cavalieri para obtenção do volume do cone.
Fonte: Elaborada pela autora.
49
7- Esta atividade foi adaptada do ENEM (2014), tendo como objetivo introduzir o
conceito de esfera, calcular o volume de cones e relacionar o volume máximo de um cone inscrito
em uma circunferência com o estudo de funções.
Nesta e na última atividade, os alunos não realizaram as construções no GeoGebra devido
a complexidade destas, porém cada estudante pôde manipular e trabalhar individualmente no seu
computador, onde as mesmas foram disponibilizadas pela pesquisadora.
Para criar uma semiesfera os estudantes inseriram um plano paralelo ao plano da base
cortando a esfera ao meio e moveram o controle deslizante da altura do cone para que este ficasse
inscrito na semiesfera, conforme Figura 25.
Figura 24- Cone inserido na metade da esfera.
Fonte: Elaborado pela autora
Iniciou-se um debate para que os alunos definissem uma fórmula para a semiesfera.
Alguns alunos se antecederam e responderam que era só dividir ao meio a fórmula da esfera.
Neste momento a pesquisadora demonstrou algebricamente a fórmula da esfera, utilizando o
Princípio de Cavalieri.
A resolução do item A não teve maiores dificuldades, pois como o raio R da esfera é igual
a altura do cone, o cone também terá o mesmo raio R da esfera, bastando apenas substituírem na
fórmula de volume do cone (h = R), obtendo o volume do cone esculpido (Vce):
50
V ce =
1
3∗ π ∗ R2 ∗ R
V ce = 1
3∗ π ∗ R3
Para resolver o item B os alunos demoraram um pouco para concluir que para encontrar o
volume do material retirado deveriam subtrair o volume da semiesfera e o volume do cone.
Dividindo a esfera ao meio, encontraram o volume da semiesfera (Vse):
𝑉𝑠𝑒 =
4𝜋𝑅3
6
Depois encontraram o volume do material retirado, subtraindo o volume da semi-esfera e
o volume do cone:
4𝜋𝑅3
6−
𝜋𝑅3
3=
𝜋𝑅3
3
Durante a resolução do item C, os estudantes demonstraram dificuldades em encontrar
uma função que se relacionasse com o volume do cone, indicando possível deficiência cognitiva
com relação ao conteúdo de funções. Foi necessário intervir didaticamente para que
compreendessem que, neste caso, temos duas variáveis relacionadas com o volume do cone, a
altura e o raio. E para que a função reflita bem o que ocorre com o volume do cone quando varia
a altura, devemos escrever o raio dependendo da altura. Foi necessário retomar o Teorema da
Altura, pois os alunos não lembravam:
“O quadrado da altura correspondente à hipotenusa é igual ao produto das projeções
ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa”.
Como precisávamos escrever o raio dependendo da altura, aplicamos o Teorema da Altura
no raio do cone que, conforme a Figura 25 a seguir, representa a altura do triângulo.
51
Figura 25 – Relações métricas no triângulo.
Fonte: Elaborada pela autora.
Obtendo:
r2 = altura do cone ∗ 2 ∗ Raio da esfera − altura do cone
r2 = h ∗ (2R − h)
Como a fórmula do Volume do Cone é:
V cone =
1
3∗ π ∗ r2 ∗ h
Construímos a função Volume, primeiro substituindo r2 = h ∗ (2R − h) na fórmula do
volume do cone e depois substituindo a altura do cone h, pela letra x.
V =
1
3∗ π ∗ h 2 ∗ R − h ∗ h
V =
1
3∗ π ∗ x 2 ∗ R − x ∗ x
Observe, a seguir, a construção do cone inscrito em uma circunferência e a variação do
seu volume, Figura 26.
52
Figura 26 – Volume máximo de um cone inscrito em uma esfera.
Fonte: Adaptado de Laserna (2014)
Nesta atividade os estudantes tiveram a opurtunidade de modificar os valores do seletor e
com isso variar a altura do cone, ao realizar esta ação, perceberam que a altura máxima para que
o cone continuasse inscrito na esfera era de 4 cm. O exercício também continha uma caixa de
texto com a variação do raio da esfera, onde o aluno modificava o raio da esfera e apontava em
seu caderno as mudanças ocorridas. Pode-se observar também que a função representa uma
função polinomial de terceiro grau com um mínimo e um máximo.
8- Esta atividade foi desenvolvida pela pesquisadora com o objetivo de que os estudantes
relacionassem sólidos inscritos primeiramente no plano, verificando possíveis relações de
proporcionalidade entre os seus respectivos raios e alturas, assim como calcular diferentes
volumes para o cilindro, encontrando seu volume máximo quando inscrito em um cone,
relacionando com a função apresentada na atividade.
Os estudantes primeiramente calcularam diferentes volumes para o cilindro, sendo
necessário deixar visíveis os eixos cartesianos e a malha quadriculada. Depois destes cálculos
houve um importante diálogo sobre a janela de álgebra e importantes resultados contidos nela,
que o aluno devia saber interpretar.
O item B foi importante para que os alunos compreendessem que as relações métricas
obtidas no plano são fundamentais para o entendimento e cálculos de áreas e volumes de sólidos.
53
No item C, os estudantes conseguiram visualizar e identificar o instante em que o cilindro
obtinha seu volume máximo, pois a função possui um ponto de máximo, e após o ponto de
máximo o volume do cilindro começa a diminuir novamente, conforme Figura 27.
Figura 27 – Volume máximo de um cilindro inscrito em um cone.
Fonte: Adaptado de Borja (2012).
A Figura 28 apresenta alguns dos alunos da turma, durante a fase de construção de
atividades no software GeoGebra.
Figura 28– Estudantes realizando construções no GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da autora.
54
Os estudantes permaneceram motivados o tempo todo, as atividades eram feitas
individualmente, porém uns ajudavam os outros, discutindo seus métodos, suas construções e
seus erros.
Quanto às dificuldades encontradas por alguns alunos, a solução veio também de forma
surpreendente, pois alguns estudantes destacaram-se muito, atuando como monitores da
pesquisadora após o término de suas atividades, auxiliando os demais alunos.
A autonomia do aluno com relação às diferentes formas de interpretação e manipulação
de atividades indica uma capacidade reflexiva em cima da situação- problema proposta, evidência
imediata de aprendizagem significativa.
55
5 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA PESQUISA
Conforme descrito anteriormente, a partir da análise da autora do trabalho, acerca das
relações conceituais presentes no conteúdo da Geometria Espacial, este trabalho foi desenvolvido
em três etapas, seguindo os pressupostos da TAS, da resolução de problemas e utilização do
software GeoGebra, vislumbrando uma possível aprendizagem significativa. Na primeira etapa:
Investigação dos conhecimentos prévios dos estudantes verificou-se que a grande maioria deles
não dispunha dos conceitos subsunçores necessários para a aprendizagem significativa dos novos
conhecimentos da Geometria Espacial. No contexto investigado, observou-se que o ensino da
Geometria não estava sendo priorizado, nem no nível Fundamental e nem no nível Médio. Esta
certificação foi possível, pois a pesquisadora pode participar como bolsista do Projeto de
Extensão Pré-Cálculo na Transição Ensino Médio/Ensino Superior, do Programa de
Licenciaturas (Prolicen). Foi uma espécie de estudo do tipo etnográfico, onde a inserção no
ambiente investigado favoreceu à pesquisadora o acesso às aulas ministradas e do material
didático utilizado pelos professores, às análises de entrevistas com estes professores e com a
coordenadora pedagógica, à análise dos livros didáticos utilizados e, principalmente, acesso à
concepção social e cultural adotada pela escola.
Somando-se a estes dados coletados, a pesquisadora, também estava realizando o Estágio
supervisionado para alunos do oitavo ano, da disciplina de Matemática. O contato profissional
com a professora titular da disciplina pode mostrar que, da forma como o conteúdo está disposto
nos livros didáticos (na parte final), não há tempo suficiente para que seja desenvolvido de forma
a favorecer a aprendizagem significativa. Novamente, o processo da aprendizagem dos estudantes
esbarra na compartimentalização dos conteúdos.
Importantes pesquisas chegaram a este mesmo resultado, destacam-se as de Perez (1991),
de Pavanello (1993) e Lorenzato (1995). De acordo com Lorenzato (1995), a insegurança dos
professores e seu despreparo para ministrar as aulas de Geometria, juntamente pelo fato de seu
conteúdo estar localizado no final do currículo, são fatores pelo qual a Geometria tem sido
colocada em segundo plano.
Entretanto, pôde-se observar uma considerável “abertura” por parte da Escola, que sempre
tentou minimizar a problemática permitindo uma postura de constante diálogo com a
56
pesquisadora, com as professoras envolvidas no processo e com a coordenação pedagógica. Cabe
salientar que a atitude dos membros da Escola influenciou diretamente os resultados positivos
desta pesquisa.
Com o resultado negativo da existência de conhecimentos prévios dos estudantes,
investigados na primeira etapa do trabalho, seguiu-se as orientações da Teoria da Aprendizagem
Significativa, que afirma que na falta de subsunçores, um recurso que pode facilitar o processo da
aprendizagem significativa é a utilização de Organizadores Prévios. Com isto, todo o conteúdo da
Geometria Plana foi retomado numa segunda etapa da pesquisa: Re/construção dos
conhecimentos prévios, que possibilitou que os conceitos subsunçores fossem reconstruídos na
estrutura cognitiva dos estudantes. Aliado ao uso do GeoGebra, o fator motivacional para a
aprendizagem significativa foi definitivo. Além do auxílio na formação de conhecimentos
prévios, com a utilização destas aulas ministradas na forma de Organizador Prévio, foi possível
auxiliar os estudantes na construção de uma “ponte cognitiva” entre seus conhecimentos natos e
os novos conhecimentos que receberiam da Geometria Espacial. Com isto, concluiu-se que o
material a ser apresentado na terceira etapa da pesquisa: Ensinando a Geometria Espacial,
possuía potencialidade significativa para os estudantes.
Ao iniciar as atividades potencialmente significativas da terceira fase, pôde-se observar
que os alunos dispunham das duas condições para obtenção de uma aprendizagem significativa:
apresentavam-se bastante motivados em dar início às atividades no computador e tinham
conhecimentos prévios necessários para relacionar com o novo material e atribuir-lhe novos
significados, possibilitando a diferenciação progressiva e a reconciliação integradora deste novo
material.
Os alunos foram avaliados durante todo o processo da pesquisa. Os erros cometidos por
eles tiveram um papel importante na motivação para novas tentativas de resolução das atividades,
permitindo que os participantes interagissem entre si, discutindo os resultados obtidos, gerando
um ambiente de investigação. A resolução dos problemas com o auxílio do GeoGebra, permitiu
um aprendizado com entusiasmo,onde os alunos ao manipularem e criarem novos sólidos
aprenderam novos conceitos sobre o conteúdo, facilitado pelo uso do software. Acredita-se que a
introdução dos conhecimentos prévios e a abordagem por meio do GeoGebra aumentaram
consideravelmente as condições dos alunos para a descoberta, análise e compreensão dos novos
57
conhecimentos de Geometria Espacial, mostrando fortes evidências de aprendizagem
significativa dos novos conceitos.
Podemos afirmar, a partir deste estudo, que a formação teórica firmada pela pesquisadora,
acerca do entendimento das relações conceituais no conteúdo de Geometria Espacial,
fundamentados na Teoria da Aprendizagem Significativa e aliado aos fundamentos
metodológicos com respeito à resolução de situações-problema utilizando o software GeoGebra,
demonstra imensa importância na solidificação do tripleto Formação –Teoria -Prática, para o bom
funcionamento do sistema de ensino e de aprendizagem. No referido estudo, proporcionou a
atribuição de significados psicológicos pelos estudantes ao significado lógico do material
instrucional apresentado. Outro fator importante constatado é a importância de uma análise
qualitativa, crítica e reflexiva, para a obtenção dos resultados da pesquisa.
Espera-se que este trabalho possa contribuir para outros profissionais da Educação, em
diferentes contextos.
58
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho traz resultados importantes sobre o processo do ensino e da aprendizagem
na perspectiva da Teoria da Aprendizagem Significativa de David Paul Ausubel. Mostra que não
basta que o professor ministre suas aulas de forma tradicional, sem levar em conta as
experiências e conhecimentos prévios dos seus alunos. É necessário que o professor elabore sua
metodologia de ensino pautada em referenciais teóricos, metodológicos e epistemológicos.
Apesar de não ser o foco do trabalho, alguns resultados não esperados foram obtidos.
Considera-se importante relatá-los, pois abrem possibilidades para novas pesquisas. Dentre eles
destaca-se a possibilidade de interlocução entre a Escola e a Universidade, proporcionado com a
pesquisa. Foi possível perceber a necessidade de cursos de formação continuada para os
professores de Matemática, principalmente no que tange a utilização de recursos tecnológicos.
Estes profissionais estão isolados nas escolas, muitas vezes sem o conhecimento da área da
pesquisa, ou de resultados de pesquisas realizadas no nível das Academias, que possam favorecer
o processo do ensino e da aprendizagem. Aprendeu-se muito com estes professores, que retêm
em suas práticas um constante “laboratório” de possibilidades de coleta de informações que
podem auxiliar os profissionais das Academias em suas futuras pesquisas. Esta “ligação” entre
Escola e Academia é essencial para o desenvolvimento da área educacional.
Finalmente, sabemos das potencialidades e limitações desta proposta, conscientes de que
essa é apenas uma possibilidade de trabalho em sala de aula, que utiliza diferentes recursos
didáticos com a sincera intenção de contribuir para uma aprendizagem significativa para o aluno,
que lhe permita seguir adiante na sua futura vida acadêmica.
Espera-se que este trabalho possa contribuir como proposta de ensino pautada em
referenciais teóricos, metodológicos e epistemológicos, unindo prática e teoria.
59
REFERÊNCIAS
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2003.
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60
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61
APÊNDICE A – PRIMEIRO QUESTIONÁRIO
62
APÊNDICE B – SEGUNDO QUESTIONÁRIO
63
APÊNDICE C – TERCEIRO QUESTIONÁRIO
Triângulos segundo seus lados
Ligue cada triângulo ao grupo ao qual pertence:
Polígonos e áreas:
Ligue cada polígono com a fórmula de sua respectiva área:
A = L x L A = b x h 𝐴 =
𝐷 ∗ 𝑑
2 𝐴 =
𝑏 ∗ ℎ
2 𝐴 =
𝐵 + 𝑏
2∗ ℎ 𝐴 =
𝑝 ∗ 𝑎
2
64
APÊNDICE D – ATIVIDADES POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVAS
Atividade 1
A) Quantos cubos A precisa-se empilhar para formar o paralelepípedo B?
a) 60 b) 47 c) 94 d) 39 e) 23
B) Quantos cubos iguais a A precisa-se para formar um cubo de lado 5 vezes maior que A?
C) Bráulia cortou um cubo em muitos cubinhos de aresta 1 cm, através de cortes paralelos às suas
faces. Por exemplo, se este cubo tivesse 4 cm de lado, os cortes produziriam: Um cubo 4x4x4.
Você concorda com isto? Utilizando o software GeoGebra ,movimente o seletor e forme cubos de
diferentes tamanhos e conte o número de arestas e o número total de cubinhos formados em cada
um. Escreva a que conclusão você chegou.
D) Entretanto, e se o comprimento da aresta de um cubo for desconhecido? Após cortar o cubo,
Bráulia contou os cubinhos de 1 cm de lado, os quais eram 512. Qual era o comprimento da
aresta do cubo?
E) Por meio da manipulação no GeoGebra, tente generalizar uma fórmula para um cubo de aresta
a.
65
Atividade 2
Uma piscina com 10 m de comprimento, 8m de largura e 2 m de profundidade (altura) foi
azulejada de modo que seu fundo foi revestido com o menor número possível de azulejos
quadrados. Supondo desprezível o espaçamento dos rejuntes dos azulejos, responda:
A) Qual o volume total da piscina?
B) Quantos azulejos são necessários para revestir o fundo da piscina?E as laterais?
C) Movimente os seletores de comprimento, largura e altura e obtenha um CUBO. Quantos
CUBOS você consegue formar? Calcule seus respectivos volumes.
D) Utilize a ferramenta PLANIFICAÇÃO e calcule a área de um paralelepípedo de comprimento
5 cm, largura 3 cm e altura 4 cm. Calcule também a área de um cubo de lado 4 cm.
E) Movimente os seletores e crie outros formatos de paralelepípedos. Existem outras
nomenclaturas para estes sólidos?
F) O que acontece com o volume da piscina se você dobrar a profundidade? E se a piscina tivesse
metade de seu comprimento (5m), qual seria seu volume?Explique suas conclusões.
Atividade 3
Três crianças estavam brincando na biblioteca da escola e resolveram fazer pilhas de mesma
altura, com livros, conforme a figura. A mais organizada fez a pilha A, e as outras duas fizeram
as pilhas B e C. Considerando-se que todos os livros têm a mesma área de capa e que as pilhas
têm a mesma altura pode-se afirmar que:
A) o volume da pilha A é maior do que o volume da pilha C.
66
B) os volumes das pilhas B e C são iguais e maiores do que o volume da pilha A.
C) o volume da pilha A é menor do que o volume da pilha B que é menor do que o volume da
pilha C.
D) os volumes das três pilhas são iguais.
E) não existem dados suficientes no problema para decidir sobre os volumes e compará-los.
Atividade 4)
Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio
ambiente.
Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens de garrafas,
componentes celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10
cm de aresta da base e 6 cm de altura.
A) Qual é o volume, em 𝑐𝑚3, dessa embalagem?
B) Teste o volume para outros prismas com diferentes bases regulares.
C) Movimente o seletor n e escolha um novo polígono para área da base e depois movimente o
seletor h e escolha uma nova altura para o novo prisma. Com ajuda da ferramenta
PLANIFICAÇÃO calcule sua área total.
67
Atividade 5
Uma fábrica de tintas está estudando novas embalagens para o seu produto, comercializado em
latas cilíndricas cuja circunferência mede 10π cm. As latas serão distribuídas em caixas de
papelão ondulado, dispostas verticalmente sobre a base retangular numa única camada. Numa
caixa de base retangular medindo 25 cm x45 cm.
A) Quantas latas caberiam?
B) Se você precisasse colocar exatamente uma dúzia de latas, de mesma circunferência (10π cm)
dentro de uma caixa, quais seriam as dimensões desta nova caixa?
Atividade 6
Com base nas construções realizadas, referentes ao prisma triangular decomposto em três
pirâmides.
Reproduza e pinte as três pirâmides da construção no GeoGebra em cada um dos prismas abaixo
e verifique as possíveis congruências entre elas.Organize em um quadro explicativo.
Atividade 7
A) Um artista resolveu esculpir a metade de uma esfera de pedra-sabão, transformando-a num
cone, suponha que a esfera tem raio R e a altura do cone esculpido também é R, calcule o volume
do cone esculpido.
B) O volume do material retirado da metade da esfera para formar o cone
C) Se você fosse pensar em uma função relacionada ao volume do cone, quais as variáveis que
você identifica? Qual seria a relação de dependência entre elas?
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Atividade 8
Considere que um cilindro seja inscrito em um cone, de forma que a base do cilindro esteja no
mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r
correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, manipule o controle
deslizante na construção no GeoGebra e calcule diferentes volumes para o cilindro.
A) Se recortássemos uma fatia fina do cilindro inscrito no cone que figuras planas obteríamos?
B) Desenhe a figura formada no exercício anterior e utilize o método dos triângulos
proporcionais para escrever as relações entre raio e altura do cilindro, raio e altura do cone.
C) Observe e manipule a construção no GeoGebra e o gráfico da função formada. Qual o volume
máximo do cilindro inscrito no cone?
