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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMÁTICA
O CONTEÚDO DE FUNÇÕES NA PERSPECTIVA DA MODELAGEM MATEMÁTICA EM LIVROS DIDÁTICOS
DE MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
William Gonçalves Meireles
Santa Maria, RS, Brasil
2014
O CONTEÚDO DE FUNÇÕES NA PERSPECTIVA DA
MODELAGEM MATEMÁTICA EM LIVROS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO
William Gonçalves Meireles
Monografia apresentado ao Curso de Matemática, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para
obtenção do grau Licenciado em Matemática
Orientador: Prof. João Carlos Gilli Martins
Santa Maria, RS, Brasil
2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE MATEMÁTICA
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso
O CONTEÚDO DE FUNÇÕES NA PERSPECTIVA DA MODELAGEM MATEMÁTICA EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO
Elaborado por William Gonçalves Meireles
Como requisito parcial para obtenção do grau de Graduado em Matemática
COMISSÃO EXAMINADORA:
João Carlos Gilli Martins, Dr. (Presidente/Orientador)
Liane T. W. Roos, Dra. (UFSM)
Ricardo Fajardo, Dr. (UFSM)
Santa Maria, 02 de Dezembro de 2014
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por me iluminar nos momentos mais difíceis
e me guiar em minha trajetória acadêmica.
A minha família, em especial minha mãe Naja, pelo cuidado, dedicação,
imenso amor e carinho, e também a minha noiva Letícia pelo incentivo e dedicação.
Ao orientador professor Dr. João Carlos Gilli Martins pelo auxílio, paciência e
por acreditar nos meus objetivos e no meu potencial.
A todos os professores que fizeram parte de minha trajetória acadêmica
deixando boas lembranças.
A todos os colegas com quem pude compartilhar angústias, desejos,
realizações e momentos de descontração.
Agradeço a todos aqueles que torceram por mim e tornaram esse sonho
realidade.
RESUMO
Trabalho de Conclusão de Curso Curso de Matemática
Universidade Federal de Santa Maria
TÍTULO AUTOR: WILLIAM GONÇALVES MEIRELES
ORIENTADOR: Prof. JOÃO CARLOS GILLI MARTINS Data e Local da Defesa: Santa Maria, 02 de Dezembro de 2014.
O presente TCC pauta-se no conteúdo de funções na perspectiva da Modelagem Matemática em livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, observando o desenvolvimento histórico desse conceito. Modelagem Matemática, considerada como estratégia de ensino, concepção de “educar matematicamente” ou alternativa metodológica que tenta auxiliar na compreensão e na interpretação de situações da vida ou situações-problema, uma vez que parte da resolução de problemas oriundos da realidade. A problemática tem como finalidade analisar o modo como os livros didáticos de Matemática do Ensino Médio apresentam o estudo de funções visando contemplar a perspectiva da Modelagem. O itinerário metodológico parte da análise bibliográfica de livros referentes à História da Matemática que subsidiarão a estruturação teórica a respeito do desenvolvimento histórico do conceito de função. Segue, também, a análise bibliográfica relativa a concepções sobre a Modelagem Matemática e uma análise de situações-problema que envolvem funções em livros didáticos de Matemática do Ensino Médio. Em suma, pode-se dizer que as situações-problemas encontradas nos livros didáticos analisados, pouco se referenciam nas situações oriundas da realidade, contrariando um dos fatores primordiais da Modelagem Matemática na concepção dos autores pesquisados.
Palavras-chave: Ensino. Funções. Modelagem Matemática.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1− Gráfico velocidade-tempo de Nicole Oresme............................................10 Figura 2 – Esquema do processo de Modelagem......................................................16 Figura 3 − O contexto os meios o processo...............................................................17 Figura 4 – Situação-problema envolvendo função afim.............................................24 Figura 5 – Situação-problema envolvendo função quadrática...................................24 Figura 6 – Situação-problema envolvendo função de terceiro grau...........................25 Figura 7 – Situação-problema envolvendo função modular.......................................26 Figura 8 –Situação-problema envolvendo função exponencial..................................26 Figura 9 – Situação-problema envolvendo função logarítmica..................................27 Figura 10 – Situação-problema envolvendo função afim...........................................29 Figura 11 –Situação-problema envolvendo função afim............................................30 Figura 12 – Situação-problema envolvendo função afim...........................................30 Figura 13 – Situação-problema envolvendo função quadrática.................................31 Figura 14 – Situação-problema envolvendo função de terceiro grau.........................33 Figura 15 – Situação-problema envolvendo função exponencial...............................34 Figura 16 – Situação-problema envolvendo função logarítmica................................35 Figura 17 –Situação-problema envolvendo funções matemáticas.............................37 Figura 18 – Situação-problema envolvendo função modular.....................................39
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................................. 8
2 ESTUDO HISTÓRICO SOBRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO................. 9
2.1 Evolução histórica do conceito de função................................................ 9
3 A MODELAGEM MATEMÁTICA E SUAS CONCEPÇÕES........... 14
4 O CONTEÚDO DE FUNÇÕES APRESENTADO NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO A PARTIR DE SITUAÇÕES-PROBLEMAS....................................................................................................
21
4.1 Distinção das situações-problema.............................................................. 22 4.1.1 Situações-problema que se referenciam na própria matemática................. 23 4.1.1.1 Situações-problema encontradas no livro, Matemática − Ensino Médio / Katia Cristina Stocco.............................................................................................
24
4.1.1.2 Situação-problema encontrada no livro, Matemática no Ensino Médio / Márcia Cintra.........................................................................................................
25
4.1.1.3 Situações-problema encontradas no livro, Matemática – Dante / Volume Único........................................................................................................
26
4.1.2 Situações-problema que se referenciam na semi-realidade........................ 27 4.1.2.1 Situações-problema encontradas no livro, Conexões com a Matemática / Editora Moderna..................................................................................................
28
4.1.2.2 Situação-problema encontrada no livro, Matemática – Volume único / Manuel Paiva.........................................................................................................
31
4.1.2.3 Situações-problema encontradas no livro, Matemática – Paiva / Volume1................................................................................................................
32
4.1.3 Situações-problema que se referenciam na vida real.................................. 35 4.1.3.1 Situação-problema encontrada no livro, Matemática – Paiva................... 36 4.2 Situação-Problema........................................................................................ 40
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................... 42
REFERÊNCIAS............................................................................................... 43
1. INTRODUÇÃO
O conteúdo de funções, na perspectiva da Modelagem Matemática, vem
sendo abordado de forma ainda bastante tímida nos livros didáticos de Matemática
do Ensino Médio. Diante disto, apresenta-se uma pergunta: De que forma os livros
didáticos de Matemática apresentam o estudo de funções visando contemplar essa
perspectiva? Desta pergunta surgiu uma reflexão e da reflexão uma motivação para
conhecer melhor este conceito. Juntamente com essa motivação surgiu o interesse
de analisar o conteúdo de funções na perspectiva da Modelagem Matemática em
livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, observando o desenvolvimento
histórico desse conceito.
Desta forma, investigar-se-á o desenvolvimento histórico do conceito de
função assim como, buscar-se-á apresentar e compreender as diferentes
concepções existentes a respeito de Modelagem Matemática.
Assim, no presente TCC encontrar-se-á um histórico a respeito do
desenvolvimento do conceito de função, bem como uma compilação de concepções
sobre Modelagem Matemática, destacando as de : João Frederico da Costa
Azevedo Meyer , Ademir Donizeti Caldeira, Ubiratan D’ Ambrosio, Dionísio Burak, e
Rodney Carlos Bassanezi e Jonei Cerqueira Barbosa. Da mesma forma que,
encontrar-se-á um olhar para a forma como o conteúdo de funções é apresentado
nos livros didáticos de Matemática, a partir de situações-problema que estarão
dividas em relação a três tipos de referência.
.
2. ESTUDO HISTÓRICO SOBRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO
2.1 Desenvolvimento histórica do conceito de função
Dedicar-se-á aqui a fazer um efêmero estudo histórico, no intuito de buscar a
origem e o desenvolvimento do conceito de função. Para isto, utilizar-se-á de parte
da literatura disponível sobre este assunto, com concentração nas principais etapas
do desenvolvimento do conceito de função.
O presente estudo se dará de forma cronológica, respeitando a periodização
realizada por Howard Eves1 no seu livro : Introdução à História da Matemática , o
qual, divide os períodos de forma ordenados em:
Períodos de Transmissão (950 – 1500 d.C.) ;
Moderno (Primeira metade, 1450 a 1700 d.C.) e
Moderno (Segunda metade, 1700 d.C. até o presente).
Desta forma, utilizar-se-á esta classificação com a finalidade de direcionar ou
conduzir o estudo a respeito do desenvolvimento do conceito de função.
Havia uma discussão desde a época dos filósofos escolásticos, a respeito de
como quantificar as “formas” variáveis. No século XIV, Nicole Oresme (1323-1382)
desenvolveu a teoria das latitudes e longitudes , a qual diz que tudo que é
mensurável pode ser imaginável na forma de quantidade contínua. Assim, ele traçou
um gráfico velocidade-tempo para um objeto, o qual se deslocava com uma
aceleração constante (BOYER,1974).
O gráfico de Oresme foi elaborado determinando pontos numa reta horizontal
no qual esses representavam instantes de tempo ou longitudes. Nos determinados
instantes de tempo, foram traçado segmentos de retas perpendiculares à reta
1 Howard Eves - Foi um matemático estadunidense, especializado em história da matemática
10
horizontal, chamados de latitudes cujos comprimentos simbolizavam a velocidade
deste corpo.
Nicole Oresme foi além, percebeu que se o objeto movimenta-se de maneira
uniforme e acelerado, então os segmentos partem de um repouso e vão
aumentando até o ponto de formar um triângulo retângulo, deste modo, a área
(função distância) desse triângulo representava a distância percorrida (ver figura 1
abaixo).
Figura 1− Gráfico velocidade-tempo de Nicole Oresme Fonte: História da matemática (1974, p. 193)
Em relação aos termos latitudes e longitude, pode-se dizer que eles possuem
certa correspondência com as nossas atuais ordenadas e abcissas do plano
cartesiano. Entretanto, o uso de coordenadas não era novidade, como se pode
pensar, pois o novo estava na forma de quantificar as “formas” variáveis.
Com isto, seu diferencial está na sua representação de uma função, que se
pode considerar como a precursora da representação gráfica de uma função.
Portanto, as representações de Oresme foram de suma importância, à medida que
elas serviram de base para se chegar posteriormente ao conceito de função.
Galileu Galilei (1564-1642) foi importante para a evolução de tudo aquilo que
já era conhecido em relação ao conceito de função, pois com ele houve a introdução
do quantitativo nas representações gráficas, fato que o diferenciava de Nicole
Oresme, o qual não utilizava medidas nas suas representações.
Com o francês François Viète (1540-1603), a álgebra e, conseqüentemente
as funções, evoluem, devido ao uso de uma simbologia, pois este usava uma vogal
11
para representar uma quantidade desconhecida e uma consoante para representar
uma grandeza conhecida.
Já René Descartes (1596-1650) foi além em sua álgebra, pois pela primeira
vez sustentou a ideia que através de uma equação, com parâmetros e incógnitas,
seria possível encontrar valores de uma delas, graças à correspondência entre os
valores. Assim, Descartes introduziria as funções sob a forma de equações.
O século XVII foi muito produtivo para o desenvolvimento da matemática ,
graças a notáveis matemáticos como, Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716) que inventaram o cálculo. Leibniz, por sua vez, ofereceu uma
excelente contribuição, uma vez que brindou a humanidade particularmente com a
utilização ,pela primeira vez, da palavra “função” num sentido muito similar ao que
se emprega atualmente. Assim, Gottfried Wilhelm Leibniz para Boyer (1974,p.297)
“não é responsável pela moderna notação para função, mas é a ele que se deve a
palavra “função”, praticamente no mesmo sentido que é usada hoje.”
Com Jean Bernoulli (1694-1698) aparece a primeira definição explicita de
notação para função, semelhante à moderna. Ele chegou a testar muitas notações
para uma função de x, dentre elas, destacamos ϕx. Bernoulli definiu, também, um
conceito para função, descrito como “uma quantidade composta de qualquer modo
de uma variável e constantes quaisquer” (Boyer, 1974, p. 311). Entretanto, na sua
definição, Bernoulli não oferecia una indicação sobre a maneira de construir uma
função a partir de uma variável independente.
No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) segue seu mestre Jean
Bernoulli e desenvolve um conceito de função, “ qualquer expressão analítica
formada daquela quantidade variável e de números ou quantidades constantes”
(Boyer, 1974, p. 327), que foi de suma importância para o desenvolvimento da
Matemática.
Para Howard Eves
Está última idéia corresponde ao conceito de função que a maioria dos alunos dos cursos elementares de matemática tem. O conceito de Euler se manteve inalterado até que Joseph Fourier (1768-1830) foi levado a considerar, em suas pesquisas sobre a propagação do calor, as chamadas séries trigonométricas. Essas séries envolvem uma forma de relação entre as variáveis que as que já haviam sido estudadas anteriormente.(EVES,1997,p.660)
12
Em 1834, Bernhard Bolzano (1781 – 1848) construiu uma função contínua
num intervalo, a qual não possuía derivada em ponto algum deste intervalo.
Entretanto, tal função fora esquecida pelos seus contemporâneos. Assim, o crédito
da construção da primeira função contínua não derivável em nenhum ponto foi
atribuído ao alemão Karl Weierstrass, anos mais tarde.
Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) brindou a Matemática com inúmeras
contribuições ao Cálculo, entretanto destacar-se-á, aqui, a definição de função
contínua elaborado por ele. Deste modo, Cauchy definiu-a como :
A função f(x) é contínua entre limites dados se entre esses limites um incremento infinitamente pequeno i da variável x produz sempre um incremento infinitamente pequeno f (x + i) – f (x) da própria função. (BOYER, 1974, p.380)
No século XIX inicia-se um processo de fundamentação rigorosa da Análise.
Com isto, estudiosos como Condorcet (1778), Lacroix (1797), Fourier (1821) e
Lobatchevsky (1837), baseados nos trabalhos realizados por Euler, aprofundam a
concepção de função, bem como, reviram antigas noções.
Por volta da metade do século XIX, Lejeune Dirichlet (1805 – 1859), tentando
definir uma função de forma ampla o suficiente para abranger a forma de relação
descoberta por Joseph Fourier, descreve-a da seguinte forma:
Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) de x . A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função.( EVES,1997, p. 661)
Embora esta definição se aproxime da função conhecida atualmente, ela
acaba se tornando para Eves (1997, p. 661) “uma definição muito ampla que as
demais, não implica a necessidade de acomodar em alguma forma de expressão
analítica a relação que há entre x e y, essa definição acentua a idéia de relação
entre dos conjuntos de números.”
Logo após surge à teoria dos conjuntos com novos conceitos, os quais foram
de grande valia, pois proporcionaram novas “ferramentas” para os matemáticos
13
desta época. Desta forma, foi possível ampliar o conceito de função , de modo que
abrangesse as relações entre dois conjuntos de elementos quaisquer, podendo ser
estes números ou quaisquer outras coisas.
Deste modo, Eves mostra como ficou definido o conceito de função na teoria
dos conjuntos :
Uma função f é, por definição, um conjunto qualquer de pares ordenados de elementos, pares esses sujeitos à condição seguinte: se (a1, b1) ∈ f, (a2, b2)
∈ f e a1 = a2 , então b1 = b2 . O conjunto A dos primeiros elementos dos pares ordenados chama-se domínio da função e o conjunto B de todos os segundos elementos dos pares ordenados se diz imagem da função. Assim, uma função é simplesmente um tipo particular de subconjunto do produto cartesiano A x B. ( EVES,1997, p. 661)
Nesse sentido, a definição e o conceito de função foram desenvolvendo até
se aproximar daqueles que se conhece e que são trabalhados nas escolas nos dias
de hoje. Como mostra disto, analisar-se-á a definição do conceito de função nos
livros Matemática e Conexões com a Matemática, sendo o primeiro classificado
como volume único : “Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A
em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, por meio de
f, a um único elemento de B.”, E o segundo destinado ao primeiro ano do Ensino
Médio :
Considerando dois conjuntos, A e B, não vazios, dizemos que f é uma função de A em B ( ou que y é uma função de x) se, e somente se, para cada elemento x de A existe em correspondência um único elemento y de
B. Representamos assim: f: A ⟶ B (Barroso, 2010, p.70)
3. A MODELAGEM MATEMÁTICA E SUAS CONCEPÇÕES
As aplicações da Modelagem no ensino de Matemática iniciaram no século
XX, no momento em que os matemáticos puros e aplicados buscavam entre eles um
método adequado para se ensinar Matemática. Assim, no decorrer dos anos a
Modelagem Matemática foi se disseminando até chegar, em particular no Brasil.
No Brasil, autores como : João Frederico da Costa Azevedo Meyer , Ademir
Donizeti Caldeira, Ubiratan D’ Ambrosio, Dionísio Burak, e Rodney Carlos
Bassanezi, deram relevantes contribuições, a partir do final da década de 1970 para
projetar ou disseminar a Modelagem Matemática, enquanto metodologia de ensino.
Pois, eles por meio de cursos para professores, trabalhos sobre modelos
matemáticos e ações em sala de aula, contribuíram para criar uma nova alternativa
para o ensino de Matemática.
Em virtude disto, destacar-se-á aqui a visão dos cinco professores em relação
à Modelagem Matemática, assim como posicionar-se-á a favor de uma das cinco
concepções que serão apresentadas logo abaixo.
Profissionais do ensino como João Frederico da Costa Azevedo Meyer e
Ademir Donizeti Caldeira consideram a Modelagem como uma tendência em
Educação Matemática, que vem sendo muito disseminada, juntamente com outras
tendências, como, por exemplo, a Etnomatemática e as Tecnologias da Informação
e Comunicação. (MEYER, 2011).
Diante desse panorama, desperta-se uma curiosidade em conhecer melhor
ou de forma mais aprofundada essa tendência chamada Modelagem Matemática.
Assim, apresentam-se abaixo as concepções defendidas pelos profissionais citados
acima.
João Frederico da Costa Azevedo Meyer e Ademir Donizeti caracterizam a
Modelagem Matemática como uma concepção de “educar matematicamente”,
baseada estreitamente no entendimento que eles têm sobre Matemática, a qual está
inserida diretamente num contexto social, histórico e cultural. Além disso, discordam
de autores que consideram a Modelagem um simples método para se ensinar
Matemática , pois “vista assim, como método, apenas legitimam o currículo e a ideia
da Matemática dominante como imutável – e verdadeira.” (MEYER, 2011, p.34).
15
Nesta concepção, Meyer e Caldeira esperam e têm interesse que os alunos
aprendam Matemática, entretanto, se preocupam mais em abordar questões da
realidade, uma vez que, para o aluno o interessante seria trabalhar com situações
mais familiarizadas, pois acarretaria, possivelmente, num maior significado para ele
e, conseqüentemente, numa maior compreensão do conteúdo Matemático. Assim,
[...] há uma preocupação muito forte se os alunos aprendem Matemática e, mais do que isso, de que os alunos necessitam aprender um instrumental matemático relevante, mas entendemos que essa aprendizagem vai se dar melhor, e isso é apenas uma suposição, se os alunos encontrarem um significado para aquilo que eles estão aprendendo, ou seja, se aquilo que está sendo ensinado na sala de aula faz sentido para eles enquanto pessoas que produzem uma prática social. Um aprendizado matemático crítico – e comprometido! (MEYER, 2011, p.51).
Frederico da Costa Azevedo Meyer e Ademir Donizeti Caldeira sugerem que
a primeira coisa que se deve fazer quando se for trabalhar com a Modelagem
Matemática é identificar um problema do cotidiano. Logo após, deve-se simplificá-lo
para facilitar a resolução do mesmo. Em seguida, adequá-lo ao conceito matemático
apropriado, transformando-o, agora, num problema matemático, ou seja, com a
linguagem e simbologia típica da Matemática. Num quarto momento, deve-se validar
as soluções encontradas e, por fim, definir o que fazer diante dos resultados obtidos.
É importante destacar que esses processos talvez não sejam cabíveis para
todos os casos, pois não constituem uma receita de como se trabalhar Modelagem
Matemática, mais sim uma orientação para todos que quiserem um dia trabalhar
com este tema. Para elucidar melhor esses momentos, apresenta-se a seguir um
dos diversos esquemas que descrevem o processo de Modelagem Matemática na
perspectiva de Caldeira e de Meyer .
16
Figura 2 – Esquema do processo de Modelagem Fonte: Modelagem em Educação Matemática (2011, p.42)
Para Ubiratan D’Ambrosio, a aprendizagem se dá pela relação entre o refletir
e o agir de um indivíduo. Como “fruto” disso, tem-se uma freqüente modificação da
realidade, em especial a da escola. Esta modificação ocorre, por exemplo, quando
um estudante utiliza-se da Modelagem Matemática para compreender ou até mesmo
resolver um problema surgido, elaborando modelos os quais estarão sendo usados
como estratégias de ação. Desta forma, a Modelagem Matemática está sendo
empregada como uma estratégia pedagógica.
Isto posto, iremos apresentar logo abaixo um esquema e uma figura que irão
nos esclarecer sobre a estratégia defendida por D’ Ambrósio fundamentado no
processo de Modelagem.
Primeiramente é preciso fazer a passagem de uma situação real para uma
situação típica da Matemática, com linguagem e simbologia que lhe é característica.
Depois disso, deve-se aproximar os dados reais de dados mais aceitáveis
matematicamente, no intuito de facilitar a modelagem do problema, justificando
claramente os motivos pelos quais foi preciso fazer isto. Num terceiro momento, é
preciso analisar os dados obtidos e ponderar sobre o que se deve fazer. E, no
17
último momento, decidir sobre qual das hipóteses levantadas é mais coerente e
plausível para compreensão ou solução do problema.
Figura 3 − O contexto os meios o processo Fonte:Da realidade à ação : reflexões sobre educação e matemática (1986, p.66)
Já para Dionísio Burak a Modelagem Matemática pode ser caracterizada
como uma alternativa metodológica para o ensino de Matemática, a qual parte do
interesse de um grupo ou de grupos de aluno(s) e não somente do interesse do
professor , como se tem visto no modelo tradicional de ensino. Com isto, ele
acredita que haverá maior dedicação ou interesse por parte dos alunos, uma vez
que poderão escolher o tema que gostariam de estudar e que, conseqüentemente,
18
teria mais significado para eles. Desta forma, estariam participando de forma mais
ativa no processo de ensino-aprendizagem.
A Modelagem Matemática pode ser trabalhada na escola, tendo em vista a
concepção de Burak, obedecendo ou se orientando por cinco etapas, sendo elas:
escolha do tema;
pesquisa exploratória;
levantamento dos problemas;
resolução do(s) problema(s) e o desenvolvimento da Matemática relacionada
ao tema ; e
análise crítica da(s) solução(es)
A escolha do tema, neste entendimento, deve ser realizada pelo grupo ou
grupos, os quais deverão conter entre três ou quatro participantes. Esta escolha faz
com que “[...] o ensino de Matemática torna-se dinâmico, mais vivo e, em
conseqüência, mais significativo para o aluno e para o grupo.” (BURAK, 2004, p. 3)
Após se definir a escolha do tema, deve-se ir para a pesquisa exploratória,
que será a etapa na qual se fará a pesquisa de campo, no intuito de apurar ou
levantar os possíveis problemas relacionados ao tema escolhido , chegando se
então, na terceira etapa desse processo. Nesta etapa, denominada “levantamento
dos problemas” serão coletados os dados convenientes e as informações
necessárias para a solução dos questionamentos. Vale ressaltar que esta etapa
[...] se configura como importante para o desenvolvimento, no grupo ou nos grupos, da experiência de campo, ajudando a formar um comportamento mais atento, mais sensível e mais crítico, tornando os alunos capazes de realizar uma leitura mais atenta da realidade, atributos importantes na formação de um pesquisador." (BURAK, 2004, p. 5)
Na quarta etapa, resolução do(s) problema(s) e o desenvolvimento da
Matemática relacionada ao tema, é que realmente começar-se-á a construir os
modelos matemáticos, escolhendo o(s) conteúdo(s) mais relevante(s), depois de
haver levantado todos os dados ou informações possíveis. E, por fim, devem-se
analisar criticamente as soluções para ver se tais resultados são compatíveis com a
realidade, uma vez que, dependendo do tema trabalhado, pode-se chegar num
19
produto aceitável matematicamente; porém, no entanto, completamente
incompatível se estiver olhando exclusivamente para o nosso cotidiano.
Para Bassanezi (2012, p.10), a Modelagem Matemática pode ser considerada
uma estratégia de ensino, a qual deve ser empregada com a finalidade de se chegar
a algum entendimento de certa situação real. Esta estratégia será orientada por
cinco importantes passos, de modo sucessivo : medir ou contar, analisar os dados,
formular hipóteses, propor modelos e validá-los.
Quando se trabalha com Modelagem Matemática, considerando a concepção
de Rodney Carlos Bassanezi, precisa-se entender e seguir alguns procedimentos
considerados básicos, sendo eles:
escolha de temas;
coleta de dados;
análise de dados;
formulação de modelos; e
validação
O primeiro procedimento que se deve fazer é escolher o(s) tema(s), o qual
seria interessante se fosse eleito ou selecionado pelos alunos, bem como que a
escolha partisse de algo que eles gostariam de melhor compreender. Deste modo,
os mesmos se sentiriam provavelmente corresponsáveis pelo processo de
aprendizagem, uma vez que estariam “atuando” de forma efetiva no mesmo.
Após a escolha do tema, adentrar-se-á no segundo processo, a coleta de
dados. Neste, buscar-se-á informações relacionadas ao tema ,em grupos pequenos,
determinados pelo monitor. Tais dados poderão ser coletados, por exemplo, através
de pesquisas bibliográficas, de entrevistas e de até mesmo de situações vivenciadas
pelos discentes. Nesse contexto, o professor passa a agir como um monitor,
auxiliando os grupos e não determinando o que eles deverão fazer.
Num terceiro e quarto momento, necessita-se analisar os dados e,
conseqüentemente formular o(s) modelo(s) pertinente(s). No intuito de objetivar uma
melhor análise dos dados coletados, Bassanezi (2012, p.13) acredita que eles
deverão ser acomodados em tabelas, podendo ser inclusive usados para uma
20
construção de um gráfico de curvas de tendências. Logo após, dar-se-á início à
formulação dos modelos ou da Modelagem Matemática.
Na validação, último procedimento do processo, é que se aceitará ou se
rejeitará o que foi construído até agora, pois devem ser comparados os dados reais
com os do modelo e verificar se são admissíveis, aceitáveis e conexos.
Sendo assim, acredita-se que seria interessante trabalhar com a Modelagem
Matemática nas escolas, tendo em vista a concepção de Rodney Carlos Bassanezi,
o qual a considera como uma estratégia de ensino que deve ser empregada com a
finalidade de se chegar a certo entendimento a respeito de uma determinada
situação real. Isto, devido à necessidade de se cumprir , integralmente, o currículo
escolar da forma como ele está posto, com conteúdos, por exemplo, segmentados
por séries.
Desta forma, acredita-se que seria possível fazer uma mescla entre a
Modelagem Matemática e a forma de ensino tradicionalmente seguida nas escolas.
Assim, o professor poderia trabalhar com todos os conceitos exigidos pelo currículo ,
como também poderia trabalhar com problemas oriundos do cotidiano do aluno ou
da escola.
4. O CONTEÚDO DE FUNÇÕES APRESENTADO NOS LIVROS
DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO A PARTIR DE SITUAÇÕES-
PROBLEMA
PARA ANALISAR o conteúdo de funções apresentado nos livros didáticos de
Matemática do Ensino Médio, a partir de situações-problema, foi necessário,
primeiro:
Procurar no portal do MEC os Guias do Livro Didático para o período 2012
−2015;
Buscar nas escolas públicas os livros didáticos clássicos e os livros distribuídos
pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD);
Selecionar e analisar as situações-problema apresentadas nos livros didáticos de
Matemática do Ensino Médio que são relacionadas ao ensino de funções.
Ou seja, inicialmente, realizou-se uma pesquisa no portal do MEC, cujo
endereço eletrônico é o http://portal.mec.gov.br/, em busca dos Guias do Livro
Didático. Entretanto, não foi possível acessá-los, pois os mesmos não estavam mais
disponíveis no portal FNDE.
Na etapa seguinte, dirigiu-se ao Colégio Estadual Tancredo Neves e à Escola
Estadual Dr. Paulo Devanier Lauda, no intuito de conseguir os livros didáticos
enviados pelo MEC. Esta viagem foi produtiva , pois conseguiu-se através dela os
livros:
Matemática – Contexto e Aplicações / Luiz Roberto Dante;
Matemática − Ensino Médio / Kátia Cristina Stocco;
Matemática no ensino médio / Márcia Cintra;
Matemática – volume único / Manuel Paiva;
Conexões com a Matemática / Editora Moderna;
.
22
Matemática – Paiva; e
Matemática – Volume único / Luiz Roberto Dante.
No terceiro momento desse processo, iniciou-se a seleção e análise de
situações-problema nos livros didáticos doados pelas escolas, fundamentada nas
referências vistas no capítulo anterior e respeitando a distinção entre as situações-
problema apresentadas por Jonei Cerqueira Barbosa. Tais situações foram divididas
em relação a três referências. Sendo assim ,
A primeira, referência à própria matemática, faz a alusão a situações integralmente contidas na disciplina matemática (entendida em termos conceituais e rigorosos) e, portanto, formuladas em termos matemáticos. (BARBOSA, 2001, p.32)
A segunda, denominada referência na semi-realidade, faz relação às
situações elaboradas tendo como referência as questões de um mundo não tão real,
ou seja, de um “mundo utópico”. Entretanto, tais situações são construídas, por
exemplo, por um autor de livro didático objetivando trabalhar com algum conceito
matemático. E, a terceira, denominada referência na vida real, faz relação com as
situações oriundas do cotidiano ou de áreas de conhecimento diferentes da área de
Matemática (BARBOSA, 2001).
No intuito de organizar as situações-problema encontradas nos livros
didáticos doados pelas escolas, far-se-á, nas seções abaixo, uma distinção entre as
situações-problema, obedecendo à divisão apresentada por Jonei Cerqueira
Barbosa, como também listar-se-á em quais dos livros didáticos observados foi
possível ou não encontrar situações-problemas caracterizadas com as respectivas
classificações, bem como mostrar-se-á um entendimento sobre a importância de se
trabalhar com situações-problema com referência na vida real.
4.1 Distinção das situações-problema
As situações-problema se diferenciam segundo Barbosa (2001, p. 32) “em
termos de três referências”. Desta forma, as situações-problema envolvendo funções
23
encontradas nos livros didáticos de Matemática do ensino médio estão distribuídas,
logo abaixo, conforme essa distinção:
4.1.1 Situações-problema que se referenciam na própria matemática
Nesta seção, encontrar-se-á, segundo Barbosa (2001, p.32) “[...] situações
integralmente contidas na disciplina matemática (entendida em termos conceituais e
rigorosos) e, portanto, formuladas em termos matemáticos”. Tais situações diferem
das que os autores João Frederico da Costa Azevedo Meyer, Ademir Donizeti
Caldeira, Ubiratan D’ Ambrosio, Dionísio Burak e Rodney Carlos Bassanezi, adotam
nos seus processos de Modelagem Matemática. Pois, estes acreditam, por
diferentes razões, ser necessário trabalhar com problemas oriundos do mundo real
(visto no capítulo anterior). Neste sentido, João Frederico da Costa Azevedo Meyer
e Ademir Donizeti Caldeira acreditam que
[...] a Modelagem não trabalha com problemas inventados, “teóricos” – aqueles que, de modo um tanto injusto, chamamos pejorativamente de “problemas de livro texto”, mas com problemas reais. Essa é uma das características que diferencia essa postura, por exemplo, daquelas que se pode construir um problema para atender a um determinado conhecimento matemático.(MEYER, 2011, p.24-25)
Isto posto, apresentar-se-á, logo abaixo, uma lista dos livros que mais
contemplam este tipo de situação, bem como as situações-problema selecionadas e
analisadas com essa característica.
Nos livros listados logo abaixo, foi possível encontrar muitas situações
formuladas com a linguagem e simbologia típica da Matemática.
Matemática – Contexto e Aplicações / Luiz Roberto Dante;
Matemática − Ensino Médio / Kátia Cristina Stocco;
Matemática no ensino médio / Márcia Cintra;
Matemática – volume único / Manuel Paiva;
Conexões com a Matemática / Editora Moderna;
Matemática – Paiva; e
24
Matemática – Volume único / Luiz Roberto Dante.
4.1.1.1 Situações-problema encontradas no livro, Matemática − Ensino Médio / Katia
Cristina Stocco
As duas situações abaixo, sugerem a aplicação de forma direta dos
conhecimentos matemáticos relacionados às funções afins e quadráticas,
respectivamente. Situações , que na visão dos autores já mencionados, não
permitem, por exemplo, a escolha de um tema gerador por parte dos alunos, da
mesma forma que não permitem uma pesquisa de campo.
Situação 1:
Figura 4 – Situação-problema envolvendo função afim Fonte: Matemática − ensino médio – volume 1− 1ª série (2005, p.112)
Situação 2:
25
Figura 5 –Situação-problema envolvendo função quadrática Fonte: Matemática − ensino médio – volume 1− 1ª série (2005, p.143)
4.1.1.2 Situação-problema encontrada no livro, Matemática no Ensino Médio /
Márcia Cintra
A situação abaixo, sugere a aplicação de forma direta do conhecimento
matemático relacionado à função do terceiro grau. Situação , que no entendimento
dos autores já mencionados, não permite, por exemplo, a escolha de um tema
gerador por parte dos alunos, da mesma forma que não permitem uma pesquisa de
campo. Consequentemente, não permite a Modelagem Matemática na concepção
dos autores, vistos no capítulo anterior.
Situação 1:
Figura 6 –Situação-problema envolvendo função de terceiro grau Fonte: Matemática no Ensino Médio – volume 1(1999, p.161)
4.1.1.3 Situações-problema encontradas no livro, Matemática – Dante / Volume
Único
26
As três situações dispostas logo abaixo, valorizam o uso de forma direta dos
conhecimentos sobre Matemática relacionados às funções modulares, exponenciais
e logarítmicas, respectivamente. Assim, tais situações divergem das situações-
problemas adotadas pelos autores, vistos anteriormente, nos seus processos de
Modelagem , pois as situações referentes a esta seção se preocupam mais com o
conteúdo matemático do que em abordar questões da realidade do aluno.
Situação 1:
Figura 7 –Situação-problema envolvendo função modular Fonte: Matemática – Dante / Volume único (1999, p.103)
Situação 2:
Figura 8 –Situação-problema envolvendo função exponencial Fonte: Matemática – Dante / Volume único (1999, p.111)
27
Situação 3:
Figura 9 –Situação-problema envolvendo função logarítmica Fonte: Matemática – Dante / Volume único (1999, p.128)
4.1.2 Situações-problema que se referenciam na semi-realidade
Na seguinte seção, encontrar-se-á situações-problemas elaboradas, por
exemplo, por um autor de livro didático tendo como referência as questões que se
assemelham com as do cotidiano. Tais situações diferem também das que os
autores, vistos no capítulo anterior, adotam, pelo fato destas já virem prontas não
possibilitando então, a escolha de uma tema para ser trabalhado, por exemplo, em
sala de aula.
Assim sendo, apresentar-se-á, logo abaixo, uma lista dos livros que mais
contemplam este tipo de situação, bem como as situações-problema selecionadas e
analisadas com essa característica.
Nos livros listados logo abaixo, foi possível encontrar muitas situações-
problema com referência na denominada semi-realidade.
Matemática – Paiva;
Conexões com a Matemática / Editora Moderna; e
Matemática – Contexto e Aplicações / Luiz Roberto Dante.
28
Já nos livros listados logo abaixo, não foi possível encontrar situações-
problema com essa característica.
Matemática − Ensino Médio / Katia Cristina Stocco;
Matemática no ensino médio / Márcia Cintra; e
Matemática – Volume Único / Manuel Paiva.
4.1.2.1 Situações-problema encontradas no livro, Conexões com a Matemática /
Editora Moderna
Nas três situações abaixo, nota-se uma disposição dos dados dos problemas
em tabelas. Posteriormente, observa-se o uso ou necessidade do conhecimento
relativo às funções afins para entender ou até mesmo para resolver a situação que
se apresenta.
Desta forma, as situações dispostas logo abaixo, poderiam ser resolvidas ou
entendidas, se fossem oriundas da realidade, pelos procedimentos considerados
básicos no processo de Modelagem Matemática de Rodney Carlos Bassanezi. Pelo
fato deste, considerar a Modelagem Matemática uma estratégia de ensino, a qual
deve ser empregada com o objetivo de se chegar a um entendimento sobre uma
situação real. Assim como, sugere que os dados coletados de um determinado
problema, possam ser acomodados em tabelas, pois considera que isto facilitaria a
análise dos mesmos.
Situação 1:
29
Figura 10 –Situação-problema envolvendo função afim Fonte: Conexões com a Matemática da Editora Moderna (2010, p.71)
Situação 2:
30
Figura 11 –Situação-problema envolvendo função afim Fonte: Conexões com a Matemática da Editora Moderna (2010, p.72)
Situação 3:
Figura 12 –Situação-problema envolvendo função afim Fonte: Conexões com a Matemática da Editora Moderna (2010, p.140)
31
4.1.2.2 Situação-problema encontrada no livro, Matemática – Volume único / Manuel
Paiva
A situação abaixo, sugere a análise e a interpretação correta dos dados da
situação-problema, bem como o conhecimento matemático referente à função
quadrática.
Deste modo, percebe-se então, uma situação com mais complexibilidade do
que as com referência na própria Matemática, vista na seção 4.2.1. Fato que a
aproxima em parte das situações-problemas adotadas pelos autores João Frederico
da Costa Azevedo Meyer, Ademir Donizeti Caldeira, Ubiratan D’ Ambrosio, Dionísio
Burak e Rodney Carlos Bassanezi , nos seus processos de Modelagem.
Situação 1:
Figura 13 –Situação-problema envolvendo função quadrática Fonte: Matemática – Volume único / Manuel Paiva (2003, p.96)
32
4.1.2.3 Situações-problema encontradas no livro, Matemática – Paiva / Volume1
As situações abaixo, sugerem também a análise e a interpretação correta das
informações referentes às situações-problema, da mesma forma que os
conhecimentos matemáticos relacionados às funções do terceiro grau, exponenciais
e logarítmicas, respectivamente.
Desta maneira, observa-se também maior complexibilidade nas situações-
problema, se comparadas com as da seção 4.2.1. Fato que as aproximam em parte
das situações-problemas adotadas pelos autores João Frederico da Costa Azevedo
Meyer, Ademir Donizeti Caldeira, Ubiratan D’ Ambrosio, Dionísio Burak e Rodney
Carlos Bassanezi , nos seus processos de Modelagem.
Situação 1:
33
Figura 14 –Situação-problema envolvendo função de terceiro grau Fonte: Matemática – Paiva / Volume1 (2013, p.104)
34
Situação 2:
Figura 15 –Situação-problema envolvendo função exponencial Fonte: Matemática – Paiva / Volume1 (2013, p.182)
Situação 3:
35
Figura 16 –Situação-problema envolvendo função logarítmica Fonte: Matemática – Paiva / Volume1 (2013, p.187)
4.1.3 Situações-problema que se referenciam na vida real
Na presente seção, ir-se-á apresentar algumas situações –problema com
referência na vida real, ou seja, situações oriundas do cotidiano ou de áreas
diferentes da área da Matemática. Assim, listar-se-á os livros didáticos que
apresentam situações-problema com essa característica.
No livro listado abaixo, foi possível encontrar situações oriundas do dia a dia.
36
Matemática – Paiva
. Já nos livros listados abaixo, não foi possível encontrar situações-problema
com essa característica.
Matemática – Contexto e Aplicações / Luiz Roberto Dante;
Matemática − Ensino Médio / Katia Cristina Stocco;
Matemática no ensino médio / Márcia Cintra;
Matemática – volume único / Manuel Paiva;
Conexões com a Matemática / Editora Moderna ; e
Matemática – volume único / Luiz Roberto Dante.
4.1.3.1 Situação-problema encontrada no livro, Matemática – Paiva
É importante destacar que situações-problema com essa característica
proporcionam ou dão condições para os alunos desenvolverem a Modelagem
Matemática, tendo em vista as concepções de João Frederico da Costa Azevedo
Meyer , Ademir Donizeti Caldeira, Ubiratan D’ Ambrosio, Dionísio Burak, e Rodney
Carlos Bassanezi, uma vez que partiriam de situações-problema procedentes do
mundo real. Desta forma, estariam dando o primeiro passo em direção a Modelagem
Matemática na perspectiva dos professores mencionados acima. Se os alunos
adotassem os procedimentos indicados, por exemplo, por João Frederico da Costa
Azevedo Meyer e Ademir Donizeti Caldeira, bastariam, agora, tornar de deixar o
problema menos complexo, se necessário fazer algumas aproximações ou
arredondamentos nos dados quantitativos, no intuito de facilitar a resolução do
mesmo. Em seguida, seria necessário adequar o problema ao conceito matemático
apropriado para que posteriormente se pudesse validar as soluções encontradas e,
por fim, definiriam o que fazer diante dos resultados obtidos.
37
Situação 1:
38
39
Figura 17 –Situação-problema envolvendo funções matemáticas Fonte: Matemática – Paiva / Volume1 (2013, p.114 - 115)
Situação 2:
40
Figura 18 –Situação-problema envolvendo função modular Fonte: Matemática – Paiva / Volume1 (2013, p.167)
4.2 Situação-Problema
A Matemática, juntamente com outras áreas de conhecimento, deve atingir
algumas metas no decorrer de toda a educação básica. Entre estas metas, deve
estimular a investigação e a compreensão, “competência marcada pela capacidade
de enfrentamento e resolução de situações-problema, utilização dos conceitos e
procedimentos peculiares do fazer e pensar das ciências” (BRASIL, 2002, p.113).
Desta forma, torna-se imprescindível tratar de situações ou problemas que
ofereçam ao jovem a oportunidade de pensar, de raciocinar, de relacionar diversos
conhecimentos adquiridos, bem como de elaborar estratégias de resolução. Assim,
41
A resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propormos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticas, pois neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas. (BRASIL, 2002, p.112)
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo desta pesquisa, percebeu-se que a prática aplicada referente ao
ensino de matemática, pelo menos nas últimas décadas, tem valorizado quase que
exclusivamente a memorização como prática de ensino, assim como o formalismo,
gerando um ensino muito desvinculado da realidade vivida pelos alunos, ou seja,
descontextualizado.
No intuito de oferecer maior qualidade ou significado ao que se é ensinado ou
aprendido e reconhecendo o grande papel da Matemática como uma ciência que
auxilia no desenvolvimento de um sujeito mais crítico e participante da vida em
sociedade, sugere-se a Modelagem Matemática como uma excelente alternativa
para o ensino de Matemática na educação básica.
Especificamente, sugere-se este método aliado ao estudo de funções, pois
possivelmente possibilitará aos alunos abordarem diferentes situações do cotidiano.
E possibilitando, quem sabe, numa maior compreensão dessas situações, uma vez
que a Modelagem Matemática parte da resolução de problemas oriundos da
realidade.
Já em relação ao aprofundamento histórico sobre o desenvolvimento do
conceito de função, acredita-se que este proporcionará um melhor entendimento
deste conceito, uma vez que se conseguirá observar, desde o princípio até os dias
atuais, a forma como fora utilizada e definida está poderosa ferramenta matemática.
Em suma, pode-se dizer que as situações-problemas encontradas nos livros
didáticos analisados, pouco se referenciam nas situações oriundas da realidade,
contrariando um dos fatores primordiais da Modelagem Matemática na concepção
dos autores pesquisados.
43
6. REFERÊNCIAS
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BASSANEZI, R. C. Temas e Modelos. São Bernardo do Campo (SP): Ed.UFABC, 2012.
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44
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo (SP) : Editora Ática, 2013. DANTE, L. R. Matemática: volume único. São Paulo (SP) : Editora Ática, 2005. EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas (SP): Editora da UNICAMP, 1997. GILLI MARTINS, J. C. Sobre Revoluções Científicas na Matemática. Tese de Doutorado. Universidade Estadual Paulista, Rio Claro (SP), 2005. GOULART, M. C. Matemática no ensino médio. São Paulo (SP) : Scipione, 1999. MEYER, J. Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte (MG): AUTÊNTICA, 2011. PAIVA, M. Matemática:volume único. São Paulo (SP) : Editora Moderna, 2003. PAIVA, M. Matemática. São Paulo (SP) : Editora. Moderna, 2009. ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiros: Zahar, 2012. SMOLE, K . S. Matemática : ensino médio. São Paulo (SP) : Saraiva, 2005.
![Aula #002 Respeitando as Diferenças[2011]](https://img.document.onl/doc/110x75/5595c55e1a28ab330a8b4865/aula-002-respeitando-as-diferencas2011.jpg)
