Equações de Navier-Stokes: o problema de um …...SOUSA, A. N. O.. Equações de Navier-Stokes: o problema de um milhão de dólares sob o ponto de vista da continuação de soluções

Alexandre do Nascimento Oliveira SousaDissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat)

Equações de Navier-Stokes: o problema de um milhão dedólares sob o ponto de vista da continuação de soluções

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________

Alexandre do Nascimento Oliveira Sousa

Equações de Navier-Stokes: o problema de um milhão dedólares sob o ponto de vista da continuação de soluções

Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências – Matemática. VERSÃOREVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

USP – São CarlosSetembro de 2017

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Sousa, Alexandre do Nascimento OliveiraS725e Equações de Navier-Stokes: o problema de um milhão de

dólares sob o ponto de vista da continuação de soluções/ Alexandre do Nascimento Oliveira Sousa; orientadorAlexandre Nolasco de Carvalho. -- São Carlos -- SP,2017.

133 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

1. Navier-Stokes. 2. boa colocação local e global.3. continuação. 4. crescimento crítico. I. Carvalho,Alexandre Nolasco de, orient. II. Título.

Alexandre do Nascimento Oliveira Sousa

Navier-Stokes equations: the one million dollar problemfrom the point of view of continuation of solutions

Master dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for thedegree of the Master Program in Mathematics. FINALVERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

USP – São CarlosSeptember 2017

Este trabalho é dedicado à mulher que mais admiro, sem ela nada disso seria possível,minha querida mãe Barbara.

AGRADECIMENTOS

Agradeço...

primeiramente à minha mãe, Bárbara, que desde que me entendo por gente me apoiou,me ensinou a ser um ser humano melhor e lutar pelos meus objetivos e aqui estou eu

concluindo um deles.

à minha família, espalhada por todo o país, sou bastante grato pelo apoio e pelo carinhomesmo a quilômetros de distância.

ao meu orientador e xará professor Alexandre Nolasco que me passou os problemasbelíssimos que se encontram nesse texto. Mesmo nos momentos mais sombrios o

professor Alexandre consegue com sua paixão pela Matemática e entusiasmo fazer ascoisas clarear. Sou muito grato por todo aprendizado que pude “sugar” dele durante

estes dois anos de trabalho.

à todos meu amigos desse Brasil afora, da Matemática ou não, os quais sempre pudecontar apesar da distância, falta de tempo e/ou outras peculiaridades da vida.

à Vitória, minha comparsa, por sua paciência, compreensão e principalmente por serexcelente companheira.

aos meus colegas de graduação e mestrado com os quais aprendi muito, não só em comoestudar, mas como me expressar, como pensar e também contar piadas ruins sobre

Matemática.

aos professores da UnB por terem tido papel fundamental na minha formação. Emespecial, a Simone Mazzini, Célius Magalhães e Luciana Àvila os quais tive oportunidade

de trabalhar com atividades acadêmicas diversas durante minha graduação.

aos professores e funcionários do ICMC por tornarem esse trabalho possível.

ao programa de pós graduação do ICMC-USP.

ao CNPQ pelo apoio financeiro.

à todos muito obrigado, graças a vocês consegui concluir este trabalho.

“A Matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade,mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura.”

(Bertrand Russell)

RESUMO

SOUSA, A. N. O.. Equações de Navier-Stokes: o problema de um milhão dedólares sob o ponto de vista da continuação de soluções. 2017. 133 f. Disser-tação (Mestrado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação (ICMC/USP), São Carlos – SP.

Neste trabalho consideramos o problema de Navier-Stokes em RN

ut = ∆u−∇π + f (t)− (u ·∇)u, x ∈ Ωdiv(u) = 0, x ∈ Ωu = 0, x ∈ ∂Ωu(0,x) = u0(x),

(1)

onde u0 ∈ LN(Ω)N e Ω é um subconjunto aberto, limitado e suave de RN . Provamos que oproblema acima é localmente bem colocado e fornecemos condições para obter que estassoluções existem para todo t ≥ 0. Utilizamos técnicas de equações parabólicas semilinea-res considerando não linearidades com crescimento crítico desenvolvidas em (ARRIETA;CARVALHO, 1999).

Palavras-chave: Navier-Stokes, boa colocação local e global, continuação, crescimentocrítico.

ABSTRACT

SOUSA, A. N. O. Navier-Stokes equations: the one million dollar problem from the pointof view of continuation of solutions. 2017. 133 p. Dissertação (Mestrado em Ciências –Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo,São Carlos – SP, 2017.

In this work we we consider the Navier-Stokes problem on RN

ut = ∆u−∇π + f (t)− (u ·∇)u, x ∈ Ω

div(u) = 0, x ∈ Ω

u = 0, x ∈ ∂Ω

u(0,x) = u0(x),

(2)

where u0 ∈ LN(Ω)N and Ω is an open, bounded and smooth subset of RN . We prove that theabove problem is locally well posed and give conditions to obtain that these solutions exist forall t ≥ 0. We used techniques of semilinear parabolic equations considering nonlinearities withcritical grouth developed in (ARRIETA; CARVALHO, 1999).

Keywords: Navier-Stokes, local and global well posedness, continuation, critical growth.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Equações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Problema de Cauchy semilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Por que problema “crítico”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Descrição do conteúdo da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Análise espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1 Operadores fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Operadores duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Operadores auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Semigrupos e seus geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Definições e resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 O Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3 Operadores dissipativos e a imagem numérica . . . . . . . . . . . . . 282.2.4 Operadores setoriais e semigrupos analíticos . . . . . . . . . . . . . . 30

3 INTERPOLAÇÃO COMPLEXA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Definição dos métodos de interpolação complexa . . . . . . . . . . . 343.3 Propriedades simples dos espaços E[θ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 O Teorema de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 O Teorema de dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 O Teorema de reiteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 ESCALAS DE ESPAÇOS DE BANACH . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1 Escalas de espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Escalas de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Espaços de extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Escalas duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5 Escalas de interpolação-extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6 Semigrupos em escalas de interpolação-extrapolação . . . . . . . . . 77

5 PROBLEMAS PARABÓLICOS SEMILINEARES COM CRESCIMENTOCRÍTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 Boa colocação local no caso crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Teorema de boa colocação para o caso crítico . . . . . . . . . . . . . 925.3 Continuação de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4 Regularização de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5 Caso autônomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.1 Projeção de Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2 Operador de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3 Formulação “muito fraca” para a equação de Navier-Stokes . . . . . 1236.4 Existência e Suavidade para as Equações de Navier-Stokes . . . . . 128

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

17

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

1.1 Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes descrevem o movimento de um fluído num subcon-junto Ω de RN , onde N pode ser considerado como 2 ou 3. Dados uma posição x ∈ Ω e umtempo t positivo queremos encontrar um campo velocidade do fluido u(x, t) ∈ RN e umafunção pressão π(x, t) ∈ R satisfazendo o sistema

ut = ∆u−∇π + f (t)− (u ·∇)u, x ∈ Ωdiv(u) = 0, x ∈ Ωu = 0, x ∈ ∂Ωu(0,x) = u0(x).

(1.1)

O problema acima é chamado de equações de Navier-Stokes e o objetivo deste trabalho éprovar um resultado de boa colocação local e dar condições para se obter que a soluçãoé globalmente definida, ou seja, é definida para todo t ≥ 0. Faremos isto utilizando téc-nicas de equações parabólicas semilineares no caso em que a não linearidade apresenta“crescimento crítico”, conceito que introduziremos na seções seguintes.

Além das equações de Navier-Stokes, problemas como as equações do calor, dasondas fortemente amortecidas, de Cahn-Hilliard, de FitzHugh-Nagumo, de Ginzburg-Landau, entre outros, podem ser escritos como um “problema de Cauchy Semilinear”,o qual iremos descrever na seção seguinte. Por isso, mesmo que o objetivo deste texto sejatrabalhar com o problema (1.1), vamos também estudar um método geral para resolverproblemas parabólicos abstratos e fica a cargo do leitor aplicar no seu problema.

18 Capítulo 1. Introdução

1.2 Problema de Cauchy semilinear

Vamos estudar equações diferenciais semilineares com termos não lineares queapresentam crescimento crítico. Para fixar ideias considere um problema de valor inicialdo tipo

x = Ax+ f (t,x), t > 0x(0) = x0 ∈ E,

(1.2)

onde A : D(A)⊂ E → E é o gerador de um semigrupo analítico em um espaço de BanachE.

As questões relacionadas a (1.2) que constituem esta dissertação são:

1. O problema (1.2) é localmente bem colocado? Os resultados que estudaremos sãoa existência local, a unicidade, a continuidade relativamente a dados iniciais e acontinuação de soluções. Para nós estes estudos estão relacionados ao caso em queo termo não linear f apresenta crescimento crítico.

Aqui a técnica que será utilizada é a identificação dos espaços de ordem fracionárias(em geral, obtidos via interpolação) e o estudo das propriedades de ε-regularidadede f (conceito introduzido em (ARRIETA; CARVALHO, 1999)).

2. É natural questionar sob que condições (ótimas) as soluções do problema (1.2) po-dem ser continuadas. Nesse caso, busca-se obter condições que assegurem que assoluções não explodem em tempo finito. Para não-linearidades críticas esta condiçãoé muito mais delicada e, em muitos casos, ainda esta em aberto.

Este trabalho cobre, para uma classe ampla, as questões mais fundamentais dasequações diferenciais. Pretendemos aplicar as técnicas desenvolvidas aqui às equações deNavier-Stokes.

1.3 Por que problema “crítico”?

Consideremos novamente o problema de valor inicial (1.2), onde o operador linearA : D(A) ⊂ E0 → E0 é gerador de um semigrupo analítico eAt ; t ≥ 0 em um espaço deBanach E0 e (Eα ,∥·∥α), 0 ≤ α , os espaços obtidos através das potências do operador A e ométodo de interpolação complexa, ver Capítulo 4. Assumimos, sem perda de generalidade,que

∥eAtx∥α ≤ M∥x∥α , α ≥ 0, t ≥ 0∥eAtx∥α ≤ Mt−α∥x∥0, α ≥ 0, t ≥ 0.

(1.3)

1.3. Por que problema “crítico”? 19

Por simplicidade assuma que em (1.2) f é independente do tempo.

Veremos que se f : E1 → Eα , α > 0, é Lipschitz contínua em subconjuntos limitadosde E1 então o problema (1.2) é localmente bem colocado em E1. A ideia da prova segueabaixo.

Neste caso, para cada x0 ∈ E1 procuramos por pontos fixos de T no espaço

K(τ,µ) = x(t) ∈C([0,τ],E1); x(0) = x0, ∥x(t)∥L∞([0,τ],E1) ≤ ∥x0∥1 +µ,

onde T é dado por(T x)(t) = eAtx0 +

∫ t

0eA(t−s) f (x(s))ds. (1.4)

Os cálculos,

∥(T x)(t)∥1 ≤ ∥eAtx0∥1 +M∫ t

0(t − s)−1+α∥ f (x(s))∥αds

≤ ∥eAtx0∥1+CM∫ t

0(t − s)−1+αds+CM

∫ t

0(t − s)−1+αds sup

0≤s≤t∥x(s)∥1

e

∥(T x)(t)− (Ty)(t)∥1 ≤ M∫ t

0(t − s)−1+α∥ f (x(s))− f (y(s))∥αds

≤CM∫ t

0(t − s)−1+α∥x(s)− y(s)∥1ds

≤ (CM∫ t

0(t − s)−1+αds) sup

0≤s≤t∥x(s)− y(s)∥1

juntamente com o fato que ∥eAtx0∥1t→0+−→ ∥x0∥1,

∫ t0(t − s)−1+αds = tα ∫ 1

0 (1− s)−1+αds → 0quando t → 0+, sugerem que para µ > 0 fixo podemos escolher τ > 0 suficientementepequeno tal que T : K(τ,µ)→ K(τ,µ) e que T é uma contração estrita em K(τ,µ). Umavez que isto é conseguido, o Teorema do Ponto Fixo de Banach se encarrega da existênciae unicidade de solução para a equação integral.

Com algum esforço extra podemos mostrar que a solução encontrada é uma soluçãoda equação diferencial (1.2), ver por exemplo (HENRY, 1985).

Na análise acima, a convergência da integral imprópria∫ 1

0 (1− s)−1+αds, que éequivalente ao fato que α > 0, é essencial e todo o argumento cai por terra quando α = 0.Também vale notar que como A : E1 → E0, o fato que f : E1 → Eα com α > 0 significa queas soluções do problema (1.2) podem ser obtidas como perturbações do problema linearx = Ax.

Estamos interessados na resolubilidade local do problema (1.2), quando α = 0, ouseja, no caso em que f : E1 → E0. Neste caso, se a única hipótese sobre f é que f : E1 → E0

seja localmente Lipschitz, será impossível mostrar que o problema (1.2) é localmente bemcolocado. Sendo A um gerador de semigrupo analítico, quando tomamos por exemplo


f = −2A, obtemos a equação x = Ax+ f (x) = −Ax o qual é não é bem colocado paraoperadores ilimitados, o que veremos no Lema 5.1.1 no Capítulo 5.

Sendo assim, quando falamos em “crescimento crítico” estamos pensando no casoα = 0, ou seja, em que a não linearidade f , apresenta mesmo tipo de crescimento que ooperador linear fechado A. Portanto, alguma condição extra deve ser imposta sobre f

para garantir a existência das soluções do problema acima.

Para lidar com o caso α = 0 adaptamos os conceitos de ε-regularidade que sãointroduzidos em (ARRIETA; CARVALHO, 1999) utilizando potências fracionárias, parao contexto de escalas de Banach, como vemos abaixo.

Definição 1.3.1. Para ε ≥ 0, diremos que a transformação g, é uma aplicação ε-regularrelativamente ao par (E1,E0), se existem ρ > 1, γ(ε) com ρε ≤ γ(ε)< 1 e uma constantec, tal que g : E1+ε → Eγ(ε) e

∥g(x)−g(y)∥γ(ε) ≤ c∥x− y∥1+ε(∥x∥ρ−11+ε +∥y∥ρ−1

1+ε +1) ∀x,y ∈ E1+ε . (1.5)

E veremos também num teorema do Capítulo 5, um dos principais Teoremas destetrabalho, o qual também está baseado em (ARRIETA; CARVALHO, 1999), que quandoa não linearidade é ε-regular obtemos uma única solução, que regulariza de forma instan-tânea no sentido da definição abaixo.

Definição 1.3.2. Dizemos que x : [0,τ] → E1 é uma solução fraca ε-regular para (1.2)relativo ao par (E1,E0) se x ∈C([0,τ],E1)∩C((0,τ],E1+ε), e x(t) satisfaz para todo t ∈ [0,τ ]

x(t) = eA(t)x0 +∫ t

t0eA(t−s) f (s,x(s))ds. (1.6)

Isto significa que quando lidamos com existência e unicidade para uma equaçãoparticular no caso de não linearidades críticas, devemos nos concentrar nos dois pontosseguintes:

(i). Entender as escalas dos espaços associada a parte linear A, especialmente assuas imersões em espaços conhecidos como os espaços Lp.

(ii). Estudar as propriedades de ε-regularidade da não-linearidade f nesta escalade espaços. Isto é conseguido, em geral, aplicando-se as imersões de Sobolev e as desigual-dades de Hölder.

Uma vez que (i) e (ii) foram entendidos, podemos aplicar os resultados de (ARRI-ETA; CARVALHO, 1999) para obter a existência local. Alguns resultados obtidos nestalinha de pesquisa podem ser encontrados em (ARRIETA; CARVALHO, 1999) (ARRI-ETA; CARVALHO; RODRIGUEZ-BERNAL, 1999) (ARRIETA; CARVALHO; HALE,1999)(CARVALHO; CHOLEWA, 2002a) (CARVALHO; CHOLEWA, 2002b)(CARVALHO;CHOLEWA, 2005)(CARVALHO; CHOLEWA, 2009).

1.4. Descrição do conteúdo da dissertação 21

1.4 Descrição do conteúdo da dissertação

No Capítulo 2 iremos apresentar alguns resultados básicos de Análise Espectral deoperadores lineares e Teoria de Semigrupos que são fundamentais para resolver problemasparabólicos abstratos.

No Capítulo 3 veremos de maneira sucinta o conceito dos espaços de interpo-lação e como construí-los através de dois espaços de Banach dados. Isto é, para dadosdois espaços de Banach “encaixados” X → Y a ideia é obter um espaço de Banach E

“intermediário”

X → E → Y

de modo que se “comporte bem” com transformações lineares limitadas entre os espaçosdados. Construiremos estes espaços utilizando o método de interpolação complexa, quefoi introduzido em (CALDERóN, 1964).

Introduziremos o conceito de escala de Banach no Capítulo 4, que é basicamenteuma família a um parâmetro de espaços de Banach oportunamente imersos. Daremos ummodo de construir uma escala partindo de um operador fechado definido num espaço deBanach utilizando um método de interpolação (neste trabalho utilizaremos o método com-plexo que será abordado no Capítulo 3). Utilizaremos os espaços obtidos neste capítulopara definir os conceitos de ε-regularidade. Na seção final, iremos tratar de semigruposem escalas de Banach, obtendo resultados semelhantes aos que já se conhecem para “po-tências fracionárias” e também fundamentam argumentos de “bootstraping” para obtersoluções clássicas.

No Capítulo 5 iremos cumprir a promessa de dar as condições necessárias deboa colocação do problema (1.2), incluindo condições para “continuar” e “regularizar” asolução obtida. Apresentaremos esses resultados de boa colocação no contexto das escalasde Banach.

Por fim, no Capítulo 6 aplicaremos nosso estudo do problema abstrato para asequações de Navier-Stokes

ut = ∆u−∇p+ f (t)− (u ·∇)u, x ∈ Ωdiv(u) = 0, x ∈ Ωu = 0, x ∈ ∂Ω.

(1.7)

Observe que o problema acima, a princípio, não possui o formato do problema inicial (1.2),por este motivo introduziremos uma ferramenta muito útil, introduzida no contexto dosespaços Lp em (FUJIWARA; MORIMOTO, 1977), para escrever (1.7) como um problemade Cauchy semilinear. Finalizaremos este trabalho, dando em termos de continuação de


soluções em problemas críticos, uma interpretação do problema de um milhão de dólaresdo Clay Mathematics Institute para a equação de Navier-Stokes.

Portanto, para estudar o problema (1.7), estudamos o problema de Cauchy abs-trato no caso de crescimento crítico, faremos isto nos espaços obtidos no Capítulo 4 eutilizaremos esta teoria para “transladar” o problema abstrato para outras escalas. Paraconstruir uma escala de Banach “contínua” será necessário a utilização de um métodode interpolação, aqui utilizaremos o método de interpolação complexa, mas isto pode serfeito via qualquer método de interpolação satisfazendo certas propriedades.

23

CAPÍTULO

2PRELIMINARES

Neste capítulo, temos como objetivo recordar alguns conceitos e resultados básicosde Análise Espectral de operadores lineares e também da Teoria de Semigrupos. Parao leitor que está habituado com esses assuntos sugerimos que comece a leitura dessadissertação a partir do Capítulo 3. Como esse capítulo possui apenas a função de recordaressas teorias, omitiremos a maioria das provas dos resultados apresentados, as quais podemser encontradas em (PAZY, 1983), (DAVIES, 1980) e (KATO, 1976).

2.1 Análise espectral

Nos problemas parabólicos em geral utilizamos operadores “fechados” e suas pro-priedades espectrais, algumas delas serão apresentadas nesta seção. Também recordare-mos os conceitos de operadores “duais” e “auto-adjuntos” como classes de exemplos deoperadores fechados e terão sua utilidade no decorrer do texto.

2.1.1 Operadores fechados

Os operadores fechados aparecem naturalmente no contexto de geração de semi-grupos, como veremos em na Seção 2.2.2. Nesta subseção relembramos sua definição ealgumas propriedades relacionadas a este conceito.

Antes de começarmos introduzimos um vocabulário bastante útil.

Definição 2.1.1. Sejam A e B dois operadores lineares de E em F. Diremos que A é umaextensão de B a D(A), e escrevemos A ⊃ B, ou que B é uma restrição de A a D(B), eescrevemos B ⊂ A, quando D(B)⊂ D(A) e Ax = Bx, para todo x ∈ D(B).

24 Capítulo 2. Preliminares

Agora relembramos alguns conceitos sobre operadores fechados.

Definição 2.1.2.

• Seja A : D(A)⊂ E → E um operador linear e E espaço de Banach. Diremos que A éoperador fechado quando seu gráfico G(A) é um subconjunto fechado em E ×E.Denotaremos o conjunto dos operadores fechados em E como U (E).

• Nas condições do item anterior, dizemos que A é fechável se existe um operadorB : D(B) ⊂ E → E linear tal que G(A) = G(B). Em particular, B é um operadorfechado chamado de fecho de A e escrevemos B = A.

A seguir o conceito de conjunto resolvente, bastante útil para o que se segue.

Definição 2.1.3. Seja E um espaço de Banach sobre C e A : D(A)⊂ E → E um operadorlinear. O conjunto resolvente de A é o subconjunto ρ(A) de todos os λ em C tais queλ −A é injetor, R(λ −A) = E e (λ −A)−1 : R(λ −A)⊂ E → E é limitado. Para λ ∈ ρ(A),o operador (λ −A)−1 é chamado operador resolvente. O espectro do operador A é definidopor σ(A) = C\ρ(A).

Lema 2.1.4. Se A0 : D(A0)⊂ E → E é um operador fechável e A : D(A)⊂ E → E é o seufecho, então ρ(A0) = ρ(A).

Note que se A : D(A)⊂ E → E é fechado e λ ∈ ρ(A), então R(λ −A) = E. Ainda, seλ −A : D(A)→ E é bijetor, segue do Teorema do Gráfico Fechado que (λ −A)−1 ∈ L (E).Com isto, a definição de conjunto resolvente pode ser reformulada da seguinte maneira.

Definição 2.1.5. Seja E um espaço de Banach sobre C e A : D(A)⊂ E → E um operadorlinear fechado. O conjunto resolvente de A é o subconjunto ρ(A) de todos os λ em C taisque λ −A é bijetor.

2.1.2 Operadores duais

A seguir recordamos a definição de operadores duais. Sejam E e Y espaços deBanach sobre um corpo C (ou R) com duais E∗ e Y ∗. Se x∗ ∈ E∗ (y∗ ∈ Y ∗) denotaremoso seu valor em um vetor x ∈ E (y ∈ Y ) por ⟨x,x∗⟩ (⟨y,y∗⟩). Seja A : D(A) ⊂ E → Y umoperador linear com domínio denso. O dual A∗ : D(A∗)⊂Y ∗ → E∗ de A é o operador lineardefinido por: D(A∗) é o conjunto dos y∗ ∈ Y ∗ para os quais existe z∗ ∈ E∗ satisfazendo

⟨Ax,y∗⟩= ⟨x,z∗⟩, ∀ x ∈ D(A). (2.1)

Se y∗ ∈ D(A∗) definimos A∗y∗ := z∗ onde z∗ é o (único) elemento de E∗ satisfazendo (2.1).

2.1. Análise espectral 25

Observação 1. Se E é um espaço de Banach e A : D(A) ⊂ E → Y é um operador lineardensamente definido, então A∗ : D(A∗)⊂ Y ∗ → E∗ é um operador linear fechado.

Teorema 2.1.6. Seja A : D(A)⊂ E → E um operador linear densamente definido. Então

ρ(A) = ρ(A∗) e ((λ −A)−1)∗ = (λ −A∗)−1,∀λ ∈ ρ(A)

Observação 2. O teorema anterior e o Lema 2.1.4 são muito importantes, pois mostramcerta “estabilidade” do conjunto resolvente sobre certas operações, como considerar o“dual” e “fechar”.

2.1.3 Operadores auto-adjuntos

Nesta subseção fixe H como sendo um espaço de Hilbert com produto interno⟨·, ·⟩H : H ×H → C e A : D(A)⊂ H → H é um operador linear densamente definido.

Definição 2.1.7. O adjunto A• de A é definido por

D(A•) = u ∈ H : v 7→ ⟨Av,u⟩H : D(A)→ C é limitado

e, se u ∈ D(A•), A•u é o único elemento de H tal que

⟨v,A•u⟩H = ⟨Av,u⟩H ,∀v ∈ D(A).

Observação 3. Se H é um espaço de Hilbert sobre C, E : H → H∗ definido por Eu(v) =

⟨v,u⟩, é uma isometria linear-conjugada entre H e H∗. A identificação entre H e H∗ consisteem identificar u com Eu. Se A∗ : D(A∗)⊂ H∗ → H∗ é o dual de A, então A• = E−1 A∗ E.Note ainda que, embora E e E−1 sejam operadores lineares-conjugados, E−1 A∗ E éum operador linear por dupla conjugação. Chamaremos ambos A• e A∗ de adjunto de A

e denotaremos ambos por A∗ mas é importante observar que, se A = αB então A• = αB∗

enquanto que A∗ = αB∗. Desta forma, (λ I − A)∗ = λ I − A• enquanto que (λ I − A)∗ =

λ I∗−A∗.

Daqui em diante usaremos a notação A∗ para denotar os operadores dual e adjunto,indistintamente. Nos referiremos a ambos como operador adjunto.

Definição 2.1.8. Seja H um espaço de Hilbert sobre C com produto interno ⟨·, ·⟩. Diremosque um operador A : D(A) ⊂ H → H é simétrico (também chamado Hermitiano quandoC) se D(A) = H e A ⊂ A∗; isto é, ⟨Ax,y⟩= ⟨x,Ay⟩ para todo x,y ∈ D(A). Diremos que A éauto-adjunto se A = A∗.

Será bastante útil ter condições para mostrar quando um operador é auto-adjunto,o teorema abaixo garante algumas delas.

Teorema 2.1.9. Seja H um espaço de Hilbert sobre C (ou R) com produto interno ⟨·, ·⟩.Se A : D(A)⊂ H → H é um operador simétrico e sobrejetor, então A é auto-adjunto.


2.2 Semigrupos e seus geradores

Neste seção apresentamos os fatos básicos da teoria de semigrupos de operadoreslineares e contínuos indispensáveis ao entendimento das técnicas de solução de problemasparabólicos semilineares. Começamos com uma revisão da teoria básica mas com o ob-jetivo principal de apresentar a teoria de semigrupos fortemente contínuos e semigruposanalíticos.

2.2.1 Definições e resultados básicos

A definição abaixo, aparece de maneira natural na tentativa de generalizar a expo-nencial de um operador linear limitado, a qual sabemos é representa o operador soluçãode um problema de Cauchy linear.

Definição 2.2.1. Um semigrupo de operadores lineares em E é uma família T (t) : t ≥0 ⊂ L (E) tal que

(i) T (0) = IE ,

(ii) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t,s ≥ 0.

Além disso, se tivermos ∥T (t)x− x∥Et→0+−→ 0, para cada x ∈ E, diremos que o semigrupo é

fortemente contínuo.

Também é interessante saber quem são os geradores de semigrupos fortementecontínuos.

Definição 2.2.2. Se T (t), t ≥ 0 ⊂ L (E) é um semigrupo fortemente contínuo de ope-radores lineares, seu gerador infinitesimal é o operador definido por A : D(A) ⊂ E → E,onde

D(A) =

x ∈ E : limt→0+

T (t)x− xt

existe,

Ax = limt→0+

T (t)x− xt

, ∀x ∈ D(A).

Todo semigrupo fortemente contínuo possui uma limitação exponencial que é dadano teorema a seguir.

Teorema 2.2.3. Suponha que T (t), t ≥ 0 ⊂L (E) é um semigrupo fortemente contínuo.Então, existe M ≥ 1 e β tais que

∥T (t)∥L (E) ≤ Meβ t , ∀t ≥ 0.

2.2. Semigrupos e seus geradores 27

Para qualquer ℓ>0 podemos escolher β ≥ 1ℓ log∥T (ℓ)∥L (E) e então escolher M.

As seguintes propriedades são fundamentais e bastante utilizadas nos próximostópicos deste trabalho.

Teorema 2.2.4. Suponha que T (t), t ≥ 0 ⊂ L (E) seja um semigrupo fortemente contí-nuo.

1. Para qualquer x ∈ E, t → T (t)x é contínuo para t ≥ 0.

2. t →∥T (t)∥L (E) é semicontínua inferiormente e portanto mensurável.

3. Seja A o gerador infinitesimal de T (t); então, A é densamente definido e fechado.Para x ∈ D(A), t 7→ T (t)x é continuamente diferenciável e

ddt

T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0.

4. ∩m≥1D(Am) é denso em E.

5. Para Reλ > β e β dado no Teorema 2.2.3, λ está no resolvente ρ(A) de A e

(λ −A)−1x =∫ ∞

0e−λ tT (t)xdt, ∀x ∈ E

2.2.2 O Teorema de Hille-Yosida

O teorema abaixo é de extrema importância pois ele caracteriza os geradores in-finitesimais de um semigrupo fortemente contínuo. Além disso, é ferramenta base paraprovar os resultados que utilizamos com mais frequência da Teoria de Semigrupos, comoveremos nas próximas subseções.

Teorema 2.2.5 (Hille-Yosida). Suponha que A : D(A) ⊂ E → E é um operador linear.Então os fatos seguintes são equivalentes

(i) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo T (t), t ≥ 0 ⊂L (E) tal que

∥T (t)∥L (E) ≤ eωt , ∀t ≥ 0;

(ii) A é um operador linear fechado, densamente definido cujo conjunto resolvente contém(ω,∞) e

∥(λ −A)−1∥L (E) ≤1

λ −ω, ∀λ > ω.


2.2.3 Operadores dissipativos e a imagem numérica

Neste subseção apresentaremos resultados extremamente importantes na prática,quando estamos lidando com um operador linear e gostaríamos de concluir propriedadesespectrais e a respeito de geração de semigrupos.

Definição 2.2.6. Seja E um espaço de Banach sobre C (ou R). A aplicação dualidadeJ : E → 2E∗ é uma função multívoca definida por

J(x) = x∗ ∈ E∗ : Re⟨x,x∗⟩= ∥x∥2,∥x∗∥= ∥x∥.

J(x) = /0, pelo Teorema de Hahn-Banach.

Um operador linear A : D(A)⊂ E → E é dissipativo se para cada x ∈ D(A) existex∗ ∈ J(x) tal que Re⟨Ax,x∗⟩ ≤ 0.

Teorema 2.2.7 (G. Lumer). Suponha que A é um operador linear em um espaço deBanach E. Se A é dissipativo e R(λ0 −A) = E para algum λ0 > 0, então A é fechado,ρ(A)⊃ (0,∞) e

∥λ (λ −A)−1∥L (E) ≤ 1,∀λ > 0.

Teorema 2.2.8 (Lumer-Phillips). Suponha que A : D(A) ⊂ E → E é um operador linearem um espaço de Banach E.

(i) Se A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo de contrações,então A é fechado, densamente definido, dissipativo (veja Definição 2.2.6) e R(λ −A) = E para todo λ > 0. De fato, Re⟨Ax,x∗⟩ ≤ 0 para todo x∗ ∈ J(x).

(ii) Se A é dissipativo, D(A) = E e R(λ0−A) = E para algum λ0 > 0, então A é o geradorde um semigrupo fortemente contínuo de contrações.

Corolário 2.2.9. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambosA e A∗ são dissipativos, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortementecontínuo de contrações em E.

Em muitos exemplos, a técnica utilizada para obter estimativas para o operadorresolvente de um operador dado, bem como localizar o seu espectro, é a determinação desua imagem numérica, ferramenta que será definida a seguir.

Se A é um operador linear em um espaço de Banach complexo E a sua imagemnumérica W (A) é o conjunto

W (A) := ⟨Ax,x∗⟩ :x ∈ D(A), x∗∈E∗, ∥x∥=∥x∗∥= ⟨x,x∗⟩= 1. (2.2)


No caso em que E é um espaço de Hilbert

W (A) = ⟨Ax,x⟩ : x ∈ D(A),∥x∥= 1.

Teorema 2.2.10. Seja A : D(A)⊂ E → E um operador fechado densamente definido. SejaW (A) a imagem numérica de A.

1. Se λ /∈W (A) então λ −A é injetora e tem imagem fechada e satisfaz

∥(λ −A)x∥ ≥ d(λ ,W (A))∥x∥. (2.3)

onde d(λ ,W (A)) é a distância de λ a W (A). Além disso, se λ ∈ ρ(A),

∥(λ −A)−1∥L (E) ≤1

d(λ ,W (A)). (2.4)

2. Se Σ é um subconjunto aberto e conexo em C\W (A) e ρ(A)∩Σ = /0, então ρ(A)⊃ Σe (2.4) está satisfeita para todo λ ∈ Σ.

Como consequência simples, porém muito importante obtemos.

Corolário 2.2.11. Seja H um espaço de Hilbert sobre C (ou R) e A : D(A) ⊂ H → H

um operador auto-adjunto. Segue que A é fechado e densamente definido. Se A é limitadosuperiormente; isto é, ⟨Au,u⟩ ≤ a⟨u,u⟩ para algum a ∈ R, então C\(−∞,a]⊂ ρ(A), e

∥(A−λ )−1∥L (E) ≤M

|λ −a|,

para alguma constante M ≥ 1 dependendo somente de φ e para todo λ ∈ Σa,φ = λ ∈ C :|arg(λ −a)|< φ, φ < π.

Nesta linha de raciocínio, temos.

Teorema 2.2.12. Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊂ H → H um operador auto-adjunto (consequentemente, A é fechado e densamente definido). Suponha que A sejalimitado superiormente. Então C\(−∞,a] ⊂ ρ(A), e existe uma constante M ≥ 1 depen-dendo somente de φ tal que

∥(λ −A)−1∥L (H) ≤M

|λ −a|,

para todo λ ∈ Σa = λ ∈ C : |arg(λ − a)| ≤ φ, φ < π. Segue que A é o gerador de umsemigrupo fortemente contínuo T (t) : t ≥ 0 satisfazendo

∥T (t)∥L (H) ≤ eat .

Na verdade T (t) : t ≥ 0 é um semigrupo analítico como mostraremos posteriormente.


Demonstração. Note que A−aI = A∗−aI são dissipativos e portanto, do Corolário 2.2.9,A−aI gera um semigrupo fortemente contínuo de contrações. Do corolário 2.2.11, segueque

∥(λ −A)−1∥L (E) ≤1

d(λ ,(−∞,a])≤ 1

sinφ1

|λ −a|,∀λ ∈ Σa,

e o resultado segue.

Este último teorema nós dá condições para mostrar quando um operador gera umsemigrupo “análitico”. De fato, utilizaremos deste teorema para provar que o “Operadorde Sokes”, Seção 6.2, gera esse tipo de semigrupo.

2.2.4 Operadores setoriais e semigrupos analíticos

Agora veremos uma classe de operadores muito importante para o contexto dasequações parabólicas. O negativo desses operadores geram semigrupos que possuem ótimaspropriedades, são provavelmente o mais próximo que se poderia definir uma exponencialde um operador ilimitado, inclusive por este motivo utiliza-se a notação eAt ao invés deT (t).

Definição 2.2.13. Seja A : D(A) ⊂ E → E um operador linear fechado, densamentedefinido. Dizemos que −A é um operador setorial se existem constantes a,C tais queϕ ∈ (π/2,π), Σa,ϕ = λ ∈ C : |arg(λ −a)| ≤ ϕ ⊂ ρ(A) e

∥(λ −A)−1∥L (E) ≤C

|λ −a|em Σa,ϕ .

Agora, apresentamos um teorema fundamental para teoria de Equações de Evolu-ção, pois fornece excelentes propriedades do operador definido anteriormente.

Teorema 2.2.14. Suponha que A : D(A) ⊂ E → E seja um operador linear fechado edensamente definido tal que −A seja setorial. Então, A gera um semigrupo fortementecontínuo T (t), t ≥ 0 ⊂ L (E) com

T (t) =1

2πi

∫Γa

eλ t(λ −A)−1dλ , t > 0,

onde Γa é a fronteira de Σa,ϕ\λ ∈ C : |λ − a| ≤ r, r pequeno, orientada no sentido daparte imaginária crescente.

Além disso, t 7→ T (t) se estende a uma função analítica de t ∈C : |arg t|< ϕ −π/2em L (E) (ou a complexificação de E, se E é um espaço de Banach real) e para algumK > 0

∥T (t)∥L (E) ≤ Keat , ∥AT (t)∥L (E) ≤ Kt−1eat ,


para todo t > 0. Note queddt

T (t) = AT (t)

é um operador limitado para qualquer t > 0 e que (0,∞) ∋ t 7→ T (t) ∈ L (E) é contínua.

No contexto do teorema acima, vemos que o operador A gera um semigrupo “ana-lítico”, conceito introduzido a seguir.

Definição 2.2.15. Sejam Σ .= z∈C ; φ1argz<φ2, φ1 < 0,φ2 um setor no plano complexo

contendo a semirreta positiva, [0,∞) e E um espaço de Banach. Um semigrupo analíticoé uma família a um parâmetro

T (z) ; z ∈ Σ ⊂ L (E)

que satisfaz

1. A aplicação Σ ∋ z 7→ T (z) tomando valores em E é analítica;

2. T (z1 + z2) = T (z1)T (z2), para todo par z1,z2 ∈ Σ;

3. Para todo x ∈ E temos que

T (0)x = x e limΣ∋z→0

T (z)x = x.

Observação 4. Note que, o semigrupo gerado por A acima, possui muitas propriedadespróximas a exponencial de um operador. Por isso, a partir de agora quando −A for setorial,denotaremos o semigrupo analítico gerador por A como eAt ; t ≥ 0.

33

CAPÍTULO

3INTERPOLAÇÃO COMPLEXA

Neste capítulo vamos introduzir dois métodos de interpolação que possuem comomotivação o Teorema de Riesz-Thorin que por sua vez foi motivado pelo Lema das trêslinhas. Por meio da interpolação complexa, definiremos espaços intermediários, os quaisserão utilizados para construir uma “escala de Banach”(Capítulo 4) contínua e nesta escalaresolveremos o “problema parabólico no caso crítico”(Capítulo 5).

Mostraremos também algumas aplicações, as quais se mostrarão úteis para ospropósitos deste texto, como por exemplo teoremas de imersão para espaços obtidos pormeio da interpolação complexa entre espaços conhecidos, como espaços Lp e espaços deSobolev W m,p.

3.1 Conceitos preliminaresAntes de definir nosso objeto principal de estudo, precisaremos apresentar um voca-

bulário que será utilizado no decorrer deste capítulo. Nesta seção, tentamos não “aprofun-dar” no que diz respeito a Teoria de Interpolação, mas apenas introduzir uma linguagemsimples para lidarmos com Teoria de Interpolação. Um estudo mais detalhado pode serencontrado em (BERGH; LOFSTROM, 1976), (TRIEBEL, 1978) ou (CALDERóN, 1964).

Definição 3.1.1.

• Sejam F,G espaços de Banach com F ⊂ G. Dizemos que F está imerso em G eescrevemos F → G, quando a aplicação inclusão i : F → G for contínua, ou seja, separa todo x ∈ F, tem-se

∥x∥G ≤ ∥i∥L (F,G) ∥x∥F .

Se F →G e F for subconjunto denso de G, dizemos que F está densamente imersoem G e escrevemos F

d→ G.

34 Capítulo 3. Interpolação complexa

• Seja E =(E0,E1) um par de espaços de Banach, dizemos que E é um par de espaçoscompatíveis se E1 → E0 ou E0 → E1.

Neste capítulo, a menos que seja dito o contrário, sempre que escrevermos o par(E0,E1) sendo compatível, estaremos considerando E1 → E0.

• Seja E um par compatível de espaços de Banach, então dizemos que G é um espaçointermediário quando

E1 → G → E0.

• Sejam E e F pares de espaços de Banach compatíveis e T uma aplicação linearlimitada definida em E0 e tomando valores em F0 tal que sua restrição a E1, tomavalores em F1 também sendo limitada, mais precisamente, para todo j = 0,1 tem-se

∥T x j∥ ≤ M j ∥x j∥ ∀x j ∈ E j.

Se X e Y são espaços intermediários para E e F, respectivamente, dizemos que X

e Y são espaços de interpolação de expoente θ ∈ [0,1] se para cada operadorlinear T como dado acima está em L (X ,Y ), com norma M satisfazendo

M ≤CM1−θ0 Mθ

1 ,

onde C ≥ 1 é independente de T . Dizemos que os espaços X e Y são espaços deinterpolação exata no caso em que C = 1. No caso especial em que E = F e X = Y ,dizemos que X é espaço de interpolação com relação a E.

Observação 5. Na definição acima tomando E = F e T como o operador identidade,então C = 1 e vemos que não é possível obter C < 1.

3.2 Definição dos métodos de interpolação complexa

Nesta seção introduzimos dois métodos de interpolação [·, ·]θ e [·, ·]θ usando a teoriade funções analíticas a valores vetoriais.

Definição 3.2.1. Sejam U um subconjunto aberto de C e E um espaço de Banach com-plexo. Diremos que uma aplicação f : U ⊂ C→ E é holomorfa, ou análitica, se paratodo z0 ∈U , existir o limite

limz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0,

e denotaremos este limite por f ′(z).

Observação 6. Fixaremos S ⊂ C para denotar a faixa z ∈ C ; 0 ≤ Rez ≤ 1 e S0 paradenotar seu interior, ou seja, S0 = z ∈ C ; 0 < Rez < 1.

3.2. Definição dos métodos de interpolação complexa 35

O lema a seguir, ou também Lema das três linhas, nos fornece as ferramentasbásicas para definir os métodos de interpolação.

Lema 3.2.2 (O Lema das três linhas). Sejam E um espaço de Banach complexo e f : S→E

uma função holomorfa na faixa aberta 0 < Rez < 1 que é limitada e contínua na faixafechada 0 ≤ Rez ≤ 1. Se para todo t real temos

∥ f (it)∥E ≤ M0, ∥ f (1+ it)∥E ≤ M1,

então, para qualquer θ ∈ [0,1] vale a seguinte estimativa

∥ f (θ + it)∥E ≤ M1−θ0 Mθ

1 , ∀t ∈ R.

Demonstração. Provemos primeiramente o caso em que E = C. Com efeito, seja ε > 0 eponha

fε(z) =eεz(z−1) f (z)M0

1−zMz1

.

Deste modo, fazendo Imz = y e Rez = x, do cálculo

| fε(z)|=eε(x2−x−y2) | f (z)|

M01−xMx

1(3.1)

vemos que fε satisfaz as mesmas condições do lema que f , porém agora com constantesM0 = M1 = 1 , isto é, fε é holomorfa no interior da faixa, contínua e limitada em S e

| fε(it)| ≤ 1, | fε(1+ it)| ≤ 1.

Ainda pela equação (3.1) e usando o fato de que f é limitada em S temos que

fε(z)→ 0, quando Imz →±∞.

Sendo assim, existe K > 0 de modo que | fε(z)| ≤ 1 sempre que |Imz| ≥ K.

Logo, | fε(z)| ≤ 1 para todo z no bordo de um limitado e assim utilizando o Teoremado Módulo Máximo, ver por exemplo (CONWAY, 2012) capítulo VI, obtemos para todoz ∈ S que | fε(z)| ≤ 1, ou seja, | f (z)| ≤ |e−εz(z−1)M0

1−zM1z|. Fazendo ε → 0 concluímos que

| f (θ + it)| ≤ M01−θ M1

θ ,

para qualquer θ ∈ [0,1] e t ∈ R como queríamos demonstrar.

Suponha agora que f é uma aplicação que toma valores em um espaço de Banachcomplexo E e considere x∗ ∈E∗ um funcional linear de E. Neste caso, temos que ⟨x∗, f (·)⟩=x∗ f é uma função analítica que satisfaz as condições do lema para o caso anterior, emespecial para todo t ∈ R temos

|⟨x∗, f (it)⟩| ≤ K0, |⟨x∗, f (1+ it)⟩| ≤ K1,


onde K j = ∥x∗∥E∗M j. Agora, utilizando o Teorema de Hahn-Banach segue que

∥ f (θ + it)∥E = sup∥x∗∥E∗≤1

⟨x∗, f (θ + it)⟩ ≤ M1−θ0 Mθ

1 , ∀t ∈ R,

e o resultado está provado.

Definição 3.2.3. Dado um par E compatível com E1 → E0, fixamos o espaço F(E) comoo conjunto de todas as funções contínuas e limitadas de S com valores em E0, tais que

1. f |S0 é holomorfa;

2. Para cada t ∈ R temos que f (1+ it) ∈ E1;

3. Para cada j = 0,1 as funções R ∋ t 7→ f ( j+ it) são contínuas em E j e tendem parazero quando |t| → ∞, ∀ j = 0,1.

Quando o par estiver implícito, escrevemos apenas F, ao invés de F(E)

Observação 7. Pode-se definir esta família de funções sem a necessidade do par deespaços ser compatível, ver por exemplo (BERGH; LOFSTROM, 1976).

Observação 8. Observamos que F(E) é um espaço vetorial. Para toda função f ∈ F

definimos∥ f∥F

.= maxsup

t∈R∥ f (it)∥E0,sup

t∈R∥ f (1+ it)∥E1.

Observação 9. Seja f ∈ F(E). Então existe c > 0 de modo que para todo z ∈ S temos que

∥ f (z)∥E0 ≤ c∥ f∥F. (3.2)

Lema 3.2.4. Suponha que E é um espaço vetorial normado. Então E é completo se esó se ∑∞

n=1 ∥xn∥E < ∞ implica que existe um elemento x ∈ E tal que ∥x−∑Nn=1 xn∥E →

0 quando N → ∞.

Demonstração. Ver por exemplo em (FOLLAND, 1999) página 152.

Lema 3.2.5. O espaço F(E) é um espaço de Banach.

Demonstração. Primeiramente note que ∥ · ∥F define uma norma em F(E). Isto segue dofato de ∥ · ∥E j ser uma norma e da Observação 9.

Agora, provemos que F é um espaço de Banach. Com efeito, suponha que ∑n ∥ fn∥F<∞, vamos mostrar que ∑n fn converge em F e do Lema 3.2.4 seguirá que o espaço é com-pleto. graças a estimativa feita em (3.2) temos para todo z ∈ S

∥ fn(z)∥E0 ≤ c∥ fn∥F. (3.3)


Sabemos que E0 é um espaço de Banach, deste modo, segue que ∑n fn converge uniforme-mente em S para uma função f tomando valores em E0. Portanto f é limitada e contínuaem S e como consequência do Teorema de Morera1, (CONWAY, 2012) Capítulo VII,também concluímos que é analítica em S0. Note também que, para todo t ∈ R tem-se∥ fn(1+ it)∥E1 ≤ ∥ fn∥F, desta desigualdade juntamente com o fato de E1 ser um espaçode Banach que ∑n fn(1+ it) converge uniformemente em t para um limite em E1, o qualdeve coincidir com o limite em E0. Portanto, f (1+ it) ∈ E1 e ∑n fn(1+ it) converge unifor-memente para f (1+ it) em E1. Logo, para ver que f ∈ F, resta provar que para j = 0,1∥ f ( j+ it)∥ → 0, quando |t| → ∞. Com efeito, dado ε > 0, existe n0 ∈ N, independente det, suficientemente grande de modo que

∥ f ( j+ it)∥E j = ∥∑n

fn( j+ it)∥E j ≤n0

∑n=1

∥ fn( j+ it)∥E j + ε.

Agora, fazendo |t| → ∞ vemos que o lado direito fica limitado por ε , como ε é arbitráriosegue que f ∈ F e o lema está provado.

Definição 3.2.6. Para cada 0 ≤ θ ≤ 1 fixado, o espaço E[θ ] = [E0,E1]θ consiste de todosos x ∈ E0 tais que x = f (θ) para algum f ∈ F(E). Definimos para cada x ∈ E[θ ] o númeroreal

∥x∥[θ ] = inf∥ f∥F : f (θ) = x, f ∈ F.

Observação 10. O teorema a seguir prova que a aplicação ∥ · ∥[θ ] → R é de fato umanorma e que E[θ ] é espaço vetorial completo dotado desta norma.

Teorema 3.2.7. O espaço E[θ ] é um espaço de Banach e um espaço intermediário comrelação ao par E.

Demonstração. Para cada θ ∈ [0,1] fixado, defina a aplicação Tθ : F(E)→ E0, por Tθ ( f ) =

f (θ). Note que, a Observação 9 implica que a transformação linear Tθ é contínua, já que∥Tθ ( f )∥E0 = ∥ f (θ)∥E0 ≤ c∥ f∥F. Logo, o núcleo de Tθ , o qual será denotado por Nθ = f :f ∈ F(E), f (θ) = 0, é subconjunto fechado de F. Desta forma, E[θ ] = Tθ (F) é isomorfoao espaço quociente F/Nθ e ainda este isomorfismo é uma isometria. Para ver que é umaisometria tome [ f ] ∈ F/Nθ para alguma f ∈ F tal que f (θ) ∈ Eθ pela definição de normano espaço quociente temos

∥[ f ]∥F/Nθ = inf∥ f −h∥ ; h ∈ Nθ

= inf∥ f −h∥ ; h(θ) = 0

= inf∥g∥ ; g(θ) = f (θ)

= ∥ f (θ)∥[θ ].1 Com este teorema é possível provar que analiticidade fraca implica em analiticidade.


Agora, pelo Lema 3.2.5 temos que F é espaço de Banach e como Nθ é fechado,segue que E[θ ] é um espaço de Banach.

Por fim, mostremos que E[θ ] é espaço intermediário. Ora, se x ∈ E[θ ], então ∥x∥E0 =

∥ f (θ)∥E0 ≤ c∥ f∥F, para qualquer f ∈ F tal que f (θ) = x e assim obtemos que E[θ ]→E0.Agora para x ∈ E1 e ponha f (z) = eδ (z−θ)2

x, para δ > 0. Note que f ∈ F e que f (θ) = x,daí seguirá que E1→E[θ ]. Portanto, E[θ ] é um espaço intermediário relativamente ao parE.

Teorema 3.2.8. Os espaços E[θ ] e F[θ ] são espaços de interpolação exatos de expoente θcom relação aos pares E e F, respectivamente.

Demonstração. Seja T transformação linear tal que T ∈ L (E j,Fj) com norma M j, paraj = 0,1. Dado x ∈ E[θ ] e ε > 0, existe f ∈ F(E), tal que f (θ) = x e ∥ f∥F ≤ ∥x∥[θ ]+ ε ′,onde ε ′ = ε

M1−θ0 Mθ

1. Deste modo, defina para cada z ∈ S, g(z) = Mz−1

0 M−z1 T ( f (z)). Temos

que g toma valores em F0 e da linearidade de T tem-se que g é contínua e limitada em S

e analítica em S0. Além disso, estamos assumindo que g(1+ it) toma valores em F1 e paraj = 0,1

∥g( j+ it)∥Fj ≤ M j−10 M− j

1 ∥T ( f ( j+ it))∥Fj ≤ ∥ f ( j+ it)∥E j , (3.4)

onde na última desigualdade foi utilizado que a norma de T é M j. Deste modo, obtemosque a função g pertence a F(F). Adicionalmente, de (3.4) obtemos que ∥g∥F ≤ ∥ f∥F ≤∥x∥[θ ]+ ε ′ e como g(θ) = Mθ−1

0 M−θ1 T (x) concluímos que ∥T (x)∥F[θ ] ≤ M1−θ

0 Mθ1 ∥x∥E[θ ]

+ ε .Isto completa a prova.

Agora introduzimos um segundo método de interpolação complexo. Este é baseadono espaço G(E) de funções analíticas, definido da seguinte forma.

Definição 3.2.9. Seja E um par compatível com E1 → E0. As funções g ∈ G(E) sãoas funções definidas na faixa S tomando valores em E0 que satisfazem das seguintespropriedades:

(i) ∥g(z)∥E0 ≤ c(1+ |z|), para todo z ∈ S;

(ii) g é contínua em S e analítica em S0;

(iii) A diferença, g(1+ it1)−g(1+ it2), toma valores em E1 para todos t1, t2 ∈ R eo valor de

∥g∥G.= max

supt1,t2

∥∥∥∥g(it1)−g(it2)t1 − t2

∥∥∥∥E0

,supt1,t2

∥∥∥∥g(1+ it1)−g(1+ it2)t1 − t2

∥∥∥∥E1

é finito.

Da mesma forma que anteriormente, escrevemos por simplicidade apenas G, quandoo par de espaços estiver implícito.


Observação 11. Defina em G(E) a seguinte relação de equivalência

g ∼ h ⇐⇒ g−h = constante

e considere o espaço quociente G(E)/∼. A seguir provaremos que este será um espaço deBanach, dotado com a norma ∥g∥G/∼

.= ∥g∥G.

Lema 3.2.10. O espaço G(E) reduzido módulo funções constantes, denotado por G(E)/∼,com a norma ∥ · ∥G é um espaço de Banach.

Demonstração. Seja g ∈ G e h ∈ R não nulo e considere a função g(z+ih)−g(z)h . De modo

análogo à (3.2) obtemos ∥∥∥∥g(z+ ih)−g(z)ih

∥∥∥∥E0

≤ c∥g∥G.

Donde obtemos∥g′(z)∥E0 ≤ c∥g∥G (z ∈ S).

Portanto, vemos que se ∥g∥G = 0 então g é constante, desde que S é conexo. Isto implicase considerarmos G como o quociente de G pela relação ∼ com a norma , obtemos umespaço vetorial normado. Semelhantemente ao que foi feito acima temos que para z ∈ S0

vale∥g(z)−g(0)

z∥E0 ≤ c∥g∥G. (3.5)

Seguindo as mesma ideias do Lema 3.2.5, suponha que ∑n ∥gn∥G < ∞. Então por(3.5) segue que ∑n(gn(z)−gn(0)) converge uniformemente em todo subconjunto compactode S0. O limite g(·) satisfaz (i) e (ii) utilizando argumentos análogos aos do Lema 3.2.5.Além disso, como para todo t1, t2 ∈ R temos gn( j + it1)− gn( j + it2) ∈ E j e E j é espaçode Banach a série ∑n(gn( j + it1)− gn( j + it2)) converge em E j para g( j + it1)− g( j + it2)

para todo t1, t2 ∈R. Agora, como ∥(g( j+ it1)−g( j+ it2))∥E j ≤ 2c∑n ∥gn∥G < ∞, vemos que∑n gn −gn(0) converge para g ∈G, mas gn −gn(0) e gn definem o mesmo elemento em G,desde que este espaço é reduzido modulo funções constantes. Assim, concluímos que G écompleto.

Observação 12. Reforçamos aqui que após este teorema, sempre que escrevermosG, estaremos considerando o quociente G/∼, pois desta forma obtemos um espaçode Banach.

Definição 3.2.11. Para um dado 0 < θ < 1, o espaço E [θ ] = [E0,E1]θ , consiste de todos

os x ∈ E0 tal que x = g′(θ) para algum g ∈G(E). E definimos em E [θ ] a aplicação

∥x∥[θ ] = inf∥g∥G : g′(θ) = x, g ∈G.

Observação 13. Como no caso do primeiro método de interpolação, veremos que nestecaso também obtemos um espaço de Banach com a norma ∥ · ∥[θ ].


Teorema 3.2.12. O espaço E [θ ] é um espaço de Banach intermediário com respeito a E.

Demonstração. Esta prova segue as mesmas ideias e argumentos utilizadas na prova de3.2.7 e por isso alguns detalhes serão omitidos. Já vimos anteriormente que ∥g′(θ)∥E0 ≤c∥g∥G e dessa forma vemos que a transformação linear g 7→ g′(θ) de G em E0 é contínuae também que E [θ ] → E0. O núcleo N θ desta transformação é fechado e a imagem éE [θ ]. De maneira análoga a 3.2.7, observamos que a norma em E [θ ] é a norma do espaçoquociente G/N θ . Portanto, E [θ ] = G/N θ é um espaço de Banach. Por fim, se x ∈ E1

tomamos g(z) = zx, então g ∈G e vemos que E1 → E [θ ].

Teorema 3.2.13. Os espaços de Banach E [θ ] e F [θ ] são espaços de interpolação exatosde expoente θ com relação aos pares E e F.

Demonstração. Com efeito, assumimos que T : E j →Fj com norma M j para j = 0,1. Entãoescolhemos uma função g∈G(E) tal que g′(θ) = x, ∥g∥G ≤∥x∥[θ ]+ε . Note que, escrevendoM1−z

0 Mz1 = M−1

0 (M0/M1)z e assim

ddz

T (g(z))M1−z

0 Mz1=

T (g′(z))M0

(M0

M1

)z

+T (g(z))

M0logM0/M1

(M0

M1

)z

.

Agora, considere a função

h(z) = [Mη−10 M−η

1 T (g(η))]η=zη=0 −

∫ z

0(log(M0/M1))M

η−10 M−η

1 T (g(η))dη ,

onde a integral é tomada ao longo de qualquer curva em S que conecta 0 a z, já queo integrando é analítico. Desta forma, obtemos que h′(z) = T (g′(z))/(M1−z

0 Mz1), e agora

provemos que h ∈G. Se a curva tem todos os seus pontos em S exceto 0 e possivelmentez podemos integrar por partes. De fato, se η ∈ S0 temos que d(T (g(η))) = T (g′(η))dηe g′(η) é limitada e contínua em S0. Portanto d(T (g(η)))/dη é contínua em S0 e temnorma limitada em E0. Portanto podemos integrar por partes, e obtemos, para qualquercurva em S,

h(z) =∫ z

0Mη−1

0 M−η1 T (dg(η)),

onde em geral a integral é interpretada como uma integral de Stieltjes a valores vetoriais.Segue que

∥h(z)∥F0 ≤ c|z|.

A seguir note que t 7→ T (g( j+ it)) é Lipschitz contínua em Fj e que T (dg( j+ it))

tem seus valores em Fj e satisfazendo ∥T dg( j+ it)∥Fj ≤ M j ∥g∥G(E). De fato,

∥T (dg( j+ it))∥Fj ≤ ∥T (g( j+ it1)−T (g( j+ it2)))∥Fj ≤ M j ∥g∥E . (3.6)

Assim, se t1 < t2 temos que

∥h( j+ it1)−h( j+ it2)∥Fj ≤ M−1j

∫ t2

t1∥T (dg( j+ it))∥Fj .

3.3. Propriedades simples dos espaços E[θ ] 41

Mas o lado direito é limitado por∫ t2

t1∥dg( j+ it)∥E j ≤ (t2 − t1)∥g∥G(E).

Deste modo, obtemos∥h∥G(F) ≤ ∥a∥[θ ]+ ε.

Agora

h′(θ) = Mθ−10 M−θ

1

(d

dηT (g(η))

)η=θ

= Mθ−10 M−θ

1 T (a).

Isto prova que T (x) = Mθ−10 M−θ

1 h′(θ) ∈ E [θ ], e que

∥T (x)∥[θ ] ≤ Mθ−10 M−θ

1 ∥x∥[θ ]+ ε ′.

Terminando assim a demonstração.

Observação 14. Em geral, os dois espaços E[θ ] e E [θ ] não são iguais. A questão darelação entre estes dois espaços será discutida na Seção 3.4. Consideraremos os espaçosE [θ ] como uma ferramenta.

Note também que o método [·, ·]θ não está definido para θ = 0,1, enquanto E[0] eE[1] são espaços bem definidos.

3.3 Propriedades simples dos espaços E[θ ]

Provaremos dois resultados simples relacionados a inclusões e propriedades dedensidade dos espaços [E0,E1]θ .

Teorema 3.3.1.

(a) [E0,E1]θ = [E1,E0]1−θ (com normas iguais),

(b)E[θ1] → E[θ0] se θ0 < θ1 e E1 → E0.

(c) [E,E]θ = E se 0 ≤ θ ≤ 1.

Demonstração. Para provar (c) basta notar que para todo θ ∈ [0,1] tem-se que (E,E)[θ ]é um espaço intermediário do par (E,E).

Para provar (a), note que f (·) ∈ F (E0,E1) se, e somente se, h(·) = f (1 − ·) ∈F(E1,E0).


Afirmamos que se E0 → E1 implica que [E0,E1]θ → [E0,E1]θ quando θ < θ , entãoo item (b) é válido. De fato, sejam θ1 > θ0, logo 1−θ1 < 1−θ0. Pelo item (a) e da nossasuposição temos

[E0,E1]θ1 = [E1,E0]1−θ1 → [E1,E0]1−θ0 = [E0,E1]θ0,

de onde a afirmação segue. Sendo assim, provemos que a hipótese da afirmação anterior éverdadeira. Com efeito, sejam θ < θ e considere E0 →E1. Se a∈ [E0,E1]θ podemos escolherf ∈ F(E) tal que f (θ) = a, ∥ f∥F ≤∥a∥[θ ]+ε . Tome 0≤ λ ≤ 1 de modo que θ = λ θ e definaφ(z) = f (θz)eε(z2−λ 2). Denote B1

.= [E0,E1]θ , dessa forma, resta provar que [E0,E1]θ → B1.

Ora, sabemos que ∥ f (θ + it)∥B1 ≤ ∥ f∥F(E) e também que φ(it) = f (itθ) ∈ E0 com

∥φ(it)∥E0 ≤ ∥ f (itθ)∥E0 ≤ ∥ f∥F (E).

Ainda, como φ(1+ it) = f (θ(1+ it)) ∈ B1 e

∥φ(1+ it)∥B1 ≤ eε ∥ f (θ(1+ it))∥|[θ ].

Assim,∥φ∥F(E0,B1) ≤ eε∥ f∥F(E0,E1) ≤ eε (∥a∥[θ ]+ ε). (3.7)

Por outro lado, como φ(λ ) = f (θ) = a ∈ [E0,B1]λ , o qual por construção está imerso emB1. Logo,

∥a∥θ = ∥φ(λ )∥B1 ≤ c∥φ(λ )∥[E0,B1]λ≤ c∥φ∥F(E0,B1).

Assim, juntamente com (3.7) temos

∥a∥[θ ] ≤ ceε (ε +∥a∥), ∀ε > 0.

De onde segue que ∥a∥[θ ] ≤ c∥a∥[θ ] para qualquer a ∈ E[θ ], ou seja, E[θ ] → E[θ ] e o teoremaestá provado.

Observação 15. Lembre-se que para um par compatível (E0,E1) devemos ter E0 → E1

ou E1 → E0. Dessa forma, quando escrevermos E1 ∩E0 estamos nos referindo ao menorespaço dotado sua respectiva norma, como faremos nos próximos resultados abaixo.

Lema 3.3.2. Seja F0(E) o espaço que contém todas as combinações lineares de funçõesda forma

eδ z2N

∑n=1

xneλnz

onde xn ∈ E1 ∩E0, λn real e δ > 0. Então F0(E) é denso em F(E).

Demonstração. Como ∥eδ z2f (z)− f (z)∥F → 0 quando δ → 0 (δ > 0) para todo f ∈ F(E), é

suficiente mostrar que todas as funções g(z) = eδ z2f (z) com f ∈ F(E) pode ser aproximada

por funções em F0(E). Faça

gn(z) = ∑k∈Z

g(z+2πikn), (n ≥ 1).

3.3. Propriedades simples dos espaços E[θ ] 43

Claramente gn é analítica em S0, contínua em S com valores em Σ(E). Adicionalmente, gn

é periódica com período 2πin e gn( j+ it) ∈ E j para j = 0,1. Além disso,

∥gn( j+ it)−g( j+ it)∥E j → 0

quando n→∞ uniformemente para t em compactos e ∥gn( j+ it)∥E j é limitada como funçãode n e t. Segue que, para s> 0, temos que esz2

gn(z) está no espaço F(E). Portanto, podemosencontrar s e n tais que

∥esz2gn(z)−g(z)∥F < ε

Mas agora gn(z) pode ser representado por uma série de Fourier

gn(s+ it) = ∑k∈Z

bkn(s)eitk/n = ∑k∈Z

akn(s)ekz/n, (3.8)

ondeakn(s) = e−sk/nbkn(s).

Deste modo, podemos escrever

gn(z) = ∑k∈Z

aknekz/n, z = s+ it, (3.9)

comakn = (2πnm)−1

∫ πnm

−πnmgn(s+ it)e−k(s+it)/ndt. (3.10)

Note que a integral (3.10) é independente de m, desde que gn(s+ it) tem período 2πn

na variável t. A integral é também independente de s. De fato, o integrando é analítico elimitado em E0. Portanto os valores da integral para dois valores de s diferem muito poucose m é escolhido grande, devido a presença do fator 1/m. Mas a integral é independentede m. Portanto a integral tem o mesmo valor para dois valores dados de s. Segue que

akn = (2πn)−1∫ nπ

−nπgn( j+ it)e−( j+it)k/ndt, j = 0,1.

Logo, akn ∈ E1 ∩E0. Agora consideramos as (C,1)-médias da soma (3.9), ver (FOLLAND,1999) página 262, isto é consideramos

σmgn(z) = ∑|k|≤m

(1− |k|

m+1

)aknekz/n.

Então, da teoria de séries de Fourrier sabemos que ∥σmgn( j+ it)−gn( j+ it)∥E j → 0 quandom → ∞, uniformemente em n. Portanto ∥esz2

(σmgn −gn)∥F → 0 quando m → ∞ e assim

∥esz2σmgn −g∥F ≤ 2ε.

Dessa forma obtemos que esz2σmgn em F0(E) aproxima g em F(E). Isto prova o lema.

O teorema a seguir nós diz que a interpolação complexa entre espaços de Banachcompatíveis depende de maneira fundamental do “menor” espaço.


Teorema 3.3.3. Seja 0 ≤ θ ≤ 1. Então

(a) E1 ∩E0 é denso em E[θ ];

(b) Para j = 0,1, vale E j = E[ j], com normas coincidindo.

Demonstração. Para (a) e (b) suponha sem pera de generalidade que E1 → E0.

(a) Assumindo a afirmação acima iremos provar que E1 é denso nos espaços deinterpolação. Seja x ∈ E[θ ], então existe uma função f ∈ F(E), tal que f (θ) = x. PeloLema 3.3.2 temos que para dado ε > 0 existe gε ∈ F0(E), tal que ∥ f −gε∥F < ε . Portanto,∥x−gε(θ)∥[θ ] < ε e como g(θ) ∈ E1 o primeiro item segue.

(b) Ora, E[0] é espaço intermediário e assim, em particular E[0] → E0, ou seja,

∥x∥E0 ≤ ∥x∥[0], ∀x ∈ E[0].

Logo, para ver que a norma em E[0] coincide com a norma de E0 em E[0] façamos daseguinte maneira. Tome x ∈ E[0] e ε > 0 podemos encontrar xε ∈ E1, tal que

∥x− xε∥[0] < ε.

Defina agora para cada n∈N fn(z) = xεez2−nz, temos que fn toma valores em E1, fn(0) = xε

e∥ fn( j+ it)∥E j ≤ e j2−n j∥xε∥E j .

Desta forma obtemos fn ∈ F(E), com

∥ fn∥F ≤ ∥xε∥E0 + e1−n∥xε∥E1.

Ainda, por definição temos ∥xε∥[0] ≤ ∥ fn∥F para todo n. Assim, ∥xε∥[0] ≤ ∥xε∥E0 . MasE[0] → E0 e x− xε ∈ E[0] o que implica que

∥x− xε∥E0 ≤ ∥x− xε∥[0] < ε.

Daí segue que∥x∥[0] ≤ ε +∥xε∥[0] ≤ 2ε +∥x∥E0,

logo, ∥x∥[0] ≤ ∥x∥E0 , sempre que x ∈ E[0]. Deste modo, foi provado que para x ∈ E[0] temosque ∥x∥[0] = ∥x∥E0 . Agora, como as normas coincidem em E[0] o resultado segue do item(a) que E1 é denso em E0 e em E[0], desde que

E[0] = E1∥·∥[0] = E1

∥·∥E0 = E0.

Uma prova semelhante nos leva a E1 = E[1].

3.4. O Teorema de equivalência 45

3.4 O Teorema de equivalência

Estudaremos agora a relação entre os dois métodos de interpolação complexa [·, ·]θe [·, ·]θ . Provaremos que eles são equivalentes quando aplicados a certos pares.

Antes de provar o resultado principal desta seção precisaremos de alguns resultadostécnicos, os quais veremos a seguir.

Definição 3.4.1. Definimos o núcleo de Poisson na faixa S por

Pj(s+ it,τ) .=

e−π(τ−t) sin(πs)sin2(πs)+(cos(πs)− eπ ji−π(τ−t))2

, j = 0,1.

Observação 16. Em (TRIEBEL, 1978) página 64, pode-se encontrar sua construção apartir do núcleo de Poisson no disco unitário.

Lema 3.4.2. Seja f ∈ F, então para 0 < θ < 1 são válidas

1.

log∥ f (θ)∥[θ ] ≤1

∑j=0

∫ ∞

−∞log∥ f ( j+ iτ)∥E jPj(θ ,τ)dτ;

2.

∥ f (θ)∥[θ ] ≤1

∑j=0

∫ ∞

−∞∥ f ( j+ iτ)∥E jPj(θ ,τ)dτ;

3.

∥ f (θ)∥[θ ] ≤(

11−θ

∫ ∞

−∞∥ f (iτ)∥E0P0(θ ,τ)dτ

)1−θ( 1θ

∫ ∞

−∞∥ f (1+ iτ)∥E1P1(θ ,τ)dτ

)θ.

Demonstração. Note primeiramente que do item 1, utilizando a convexidade da funçãoexponencial e a desigualdade de Jensen, obtemos o item 2. Novamente do item 1, utilizandoa propriedade da exponencial de transformar soma em produto e desigualdades de Hölderpodemos concluir o item 3. Sendo assim, basta provar o item 1. Com efeito, sejam ϕ j ∈C ∞(R), limitadas tais que

ϕ j(t)≥ log∥ f ( j+ it)∥E j ,

para todo j ∈ 0,1. Seja Φ(·) uma função holomorfa em S0, contínua em S tal que suaparte real ReΦ é a solução do problema de Laplace

∆u = 0, em S0

u(it) = ϕ0(t), t ∈ R

u(1+ it) = ϕ1(t), t ∈ R.


Logo,ReΦ(z) =

∫R

ϕ0(τ)P0(z,τ)dτ +∫R

ϕ1(τ)P1(z,τ)dτ,

com ReΦ( j+ it) = ϕ j(it). Afirmamos que e−Φ(·) f (·) ∈ F(E). De fato, como Φ é contínua elimitada em S

∥e−Φ( j+it) f ( j+ it)∥E j ≤ e−ReΦ( j+it)∥ f ( j+ it)∥E j ≤ e−ϕ j(t)∥ f ( j+ it)∥E j ≤ 1.

Portanto, ∥e−ϕ f∥F ≤ 1 e concluímos que para todo 1 ≤ θ ≤ 1 que ∥e−ϕ(θ) f (θ)∥[θ ] ≤ 1, ouequivalentemente,

log∥ f (θ)∥[θ ] ≤ ReΦ(θ)≤1

∑j=0

∫ ∞

−∞∥ϕ j(τ)∥E jPj(θ ,τ)dτ, (3.11)

Agora, basta tomar o ínfimo sobre as funções ϕ j no lado direito da relação acima e obtemosa desigualdade desejada.

Lema 3.4.3. Se f ∈G(E) e1h[ f (it + ih)− f (it)], (3.12)

converge em E0, quando h → 0, para todo t ∈ U , onde U é algum subconjunto de R commedida positiva. Então, f ′(θ) ∈ E[θ ] para todo 0 < θ < 1.

Demonstração. Para cada n ∈ N e z ∈ S defina

fn(z) =ni[ f (z+ i/n)− f (z)].

A hipótese (3.12), implica que para cada t ∈ R a sequência fn(it) é de Cauchy em E0.Além disso, se gn(z) = eεz2

fn(z) para todo ε > 0, então gn ∈ F e pelo Lema 3.4.2 temos que

log∥gn(θ)−gm(θ)∥[θ ] ≤1

∑j=0

∫ ∞

−∞log∥gn( j+ iτ)−gm( j+ iτ)∥E jPj(θ ,τ)dτ.

Agora, como ∥ fn( j+ it)− fm( j+ it)∥E j ≤ 2∥ f∥G e ∥ fn(it)− fm(it)∥E0 → 0, para todo t ∈U ,vemos que o lado direito de (3.4) tende para −∞, quando m,n → ∞.

Deste modo, quando m,n → ∞ temos log∥gn(θ)−gm(θ)∥[θ ] →−∞, e portanto

∥eεθ 2[ fn(θ)− fm(θ) ]∥[θ ] = ∥gn(θ)−gm(θ)∥[θ ] → 0, quando m,n →+∞.

Portanto, ∥ fn(θ)− fm(θ)∥[θ ] → 0, ou seja, a sequência fn(θ) é de Cauchy em E[θ ] ecom este espaço é completo temos que esta sequência é convergente nele mesmo. Agora,como θ ∈ S0 e f é analítica em S0 limite de fn(θ) é f ′(θ) que está em E[θ ] e o resultadosegue.

O resultado a seguir tem papel fundamental juntamente com Teorema de dualidadepara as aplicações que temos em mente.

3.4. O Teorema de equivalência 47

Teorema 3.4.4 (O Teorema de Equivalência). Para qualquer par E = (E0,E1) e 0< θ < 1,temos

E[θ ] → E [θ ] e ∥x∥[θ ] ≤ ∥x∥[θ ] ∀x ∈ E[θ ].

Se pelo menos um dos espaços E0 e E1 for reflexivo, então

E[θ ] = E [θ ] e ∥x∥[θ ] = ∥x∥[θ ] ∀x ∈ E [θ ].

Demonstração. Seja x∈ E[θ ] e escolha f ∈F(A) tal que f (θ) = x e ∥ f∥F ≤∥x∥[θ ]+ε . Então,faça g(z) =

∫ z0 f (ξ )dξ . Afirmamos que g ∈G(E) e que ∥g∥G ≤∥ f∥F. De fato, para t1, t2 ∈R

e j ∈ 0,1 temos que f ( j+ it) ∈ E j e assim de

∥g( j+ it1)−g( j+ t2)∥E j

|t1 − t2|≤ ∥ f ( j+ it)∥E j

obtemos as propriedades necessárias para g estar em G. Adicionalmente, como g′(θ) =f (θ) = x, temos que ∥x∥[θ ] ≤ ∥g∥G ≤ ∥ f∥F ≤ ∥x∥[θ ] + ε , provando a primeira parte doteorema.

Para a segunda parte, graças ao Teorema 3.3.1 item (a) temos que

[E0,E1]θ = [E1,E0]1−θ ,

e assim podemos supor sem perda de generalidade que E0 é reflexivo. Seja f ∈G(E) temosque R ∋ t 7→ f (it)− f (0) é contínua e sua imagem está contido num subespaço separávelV de E0. Defina para cada n ∈ N

fn(z) =ni[ f (z+ i/n)− f (z)] (3.13)

e Km(t) o fecho fraco do conjunto fn(it) : n ≥ m, isto é, Km(t) = fn(it) : n ≥ mσ(E0,E∗0 )

e K(t) = ∩m∈NKm(t). Como f ∈G, Km(t) é um conjunto limitado em E0, para todo t ∈ Re m ∈ N∪0. Como E0 é reflexivo, Km(t) é fracamente compacto e ainda define umasequência decrescente de compactos na topologia fraca. Pela propriedade de intercessãofinita K(t) é não vazio e como a topologia fraca é de Hausdorff temos que K(t) é compacto.Desta forma, para cada t ∈R existe g(t) ∈ K(t) e assim K(t)⊂V e portanto a imagem deg é separável.

Agora mostremos que

f (it)− f (0) = i∫ t

0g(s)ds. (3.14)

Observe que a expressão acima implica que f (it) é derivável para quase todo t ∈ R. Paraprovar (3.14) tome L ∈ E∗

0 e defina ϕ(t) = −iL( f (it)− f (0)). logo, ϕ está bem definidaprovaremos que é Lipschitz contínua. De fato, sejam t,s ∈ R, temos

ϕ(t)−ϕ(s) =−iL( f (it)− f (0))+ iL( f (is)− f (0)) = ϕ(t) =−iL( f (it)− f (is)).


Agora, como f ∈G

|ϕ(t)−ϕ(s)| ≤ ∥L∥E∗0∥ f (it)− f (is)∥E0 ≤ ∥L∥E∗

0∥ f∥G |t − s|.

Daí segue a afirmação e portanto ϕ derivável quase sempre.

Note também que

L( fn(it)) =−in(L( f (i(t +1/n))− f (0))−L( f (it)− f (0))) = n(ϕ(t +1/n)−ϕ(t))

L( fn(it)) = n(ϕ(t +1/n)−ϕ(t)) e dessa forma sendo L contínua temos que

LKm(t)⊂ n(ϕ(t −1/n)−ϕ(t)); n ≥ mσ(E0,E∗0 ).

Logo, LK(t)⊂ LKm(t) e como ϕ é diferenciável quase sempre, existe U ⊂R conjunto men-surável tal que seu complementar tem medida nula e para cada t ∈U obtemos que LK(t)

deve conter um único elemento ϕ ′(t) e consequentemente L(g(t)) = ϕ ′(t) e é mensurável.Como a imagem de g é separável, temos que g é fortemente mensurável. Deste modo,sendo K(t) é um conjunto limitado, segue g(·) é também limitada e assim

L( f (it − f (0))) = iϕ(t) = iϕ(0)+ i∫ t

0ϕ ′(s)ds = i

∫ t

0L(g(s))ds,

e (3.14) segue pelo Teorema de Hahn-Banach. Logo, como L ∈ E∗0 é qualquer e f (it) é

derivável em quase todo t ∈ R e pelo Lema 3.4.3, obtemos f ′(θ) ∈ A[θ ].

Por fim, para x ∈ E [θ ], sabemos que existe f ∈G, com f ′(θ) = x ∥ f∥G ≤ ∥x∥[θ ]+ε .Pelo que foi mostrado acima, devemos ter x = f ′(θ) ∈ E[θ ]. Resta provar que a inclusãonatural de E [θ ] em E[θ ] é contínua, para isso, defina hn(z) = eεz2

fn(z), onde fn é dada em(3.13). Logo, hn ∈ F, para todo n ∈ N e ainda como

∥hn( j+ it)∥E j ≤ eε j n∥ f ( j+ i(t +1/n))− f ( j+ it)∥E j ≤ eε∥ f∥G,

e assim, ∥hn∥F ≤ eε∥ f∥G. Note também que ∥hn(θ)−eεθ 2x∥[θ ] → 0, desde que limn fn(θ)→

f ′(θ) = x. Deste modo,

∥x∥[θ ] ≤ e−εθ 2[∥hn(θ)− eεθ 2

x∥[θ ]+∥hn(θ)∥[θ ] ]≤ ∥hn(θ)− eεθ 2x∥[θ ]+ eε∥ f∥G ,

e agora tomando n →+∞, obtemos para todo ε > 0 que

∥x∥[θ ] ≤ eε(∥x∥[θ ]+ ε).

e o Teorema está provado, já que ε > 0 é arbitrário.

3.5 O Teorema de dualidade

Para a prova do teorema principal dessa seção precisaremos resultado sobre inter-polação bilinear como veremos a seguir.

3.5. O Teorema de dualidade 49

Teorema 3.5.1 (Teorema de interpolação bilinear). Sejam E e F pares de Banach com-patíveis e T : E0 ×F1 → B0 aplicação bilinear satisfazendo para j = 0,1

∥T (x,y)∥B j ≤ M j ∥x∥E j ∥y∥Fj ,

para todo x ∈ E j e y ∈ Fj. Nestas condições, para todo θ ∈ (0,1), T pode ser estendida demaneira única para uma aplicação bilinear, Tθ : E [θ ]× F[θ ] → B[θ ] com norma no máximoM1−θ

0 Mθ1 .

Demonstração. Primeiramente fixe 0 < θ < 1. Sejam x ∈ E [θ ], y ∈ F1 ⊂ F[θ ] e ε > 0. Dessaforma, existem g∈G(E) e f ∈F(F) de modo que g′(θ)= x e f (θ)= y com ∥ f∥F≤∥x∥[θ ]+εe ∥g∥G ≤ ∥y∥[θ ]+ ε . Agora, para f0 ∈ F0 e g ∈G defina

h(z) =∫ z

0Mη−1

0 M−η1 T (g′(η), f0(η))dη .

Seguindo mesmas ideias utilizadas na prova do Teorema 3.2.12 vemos que h está bemdefinida. Ainda por este teorema, vemos que a expressão acima fica

h(z) =∫ z

0Mη−1

0 M−η1 T (dg(η), f0(η)).

Provemos que h ∈G(B). Ora, se t1 < t2 e j = 0,1 temos

∥h( j+ it1)−h( j+ it2)∥B j ≤ M−1j

∫ t2

t1∥dg( j+ it))∥E j∥ f ( j+ it)∥Fjdt ≤ (t2 − t1)∥g∥G∥ f∥F.

Donde segue que, ∥h∥G(B) ≤ ∥g∥G∥ f∥F e assim obtemos

∥h′(θ)∥[θ ] ≤ ∥x∥[θ ] ∥y∥[θ ],

como queríamos demonstrar.

Agora caracterizaremos o dual E∗[θ ] do espaço de interpolação E[θ ].

Teorema 3.5.2 (O Teorema de dualidade). Assuma que E = (E0,E1) é um par de espaçosde Banach, com E1

d→ E0. Então

[E0,E1]∗θ = [E∗

0 ,E∗1 ]

θ , .

com normas iguais para todo 0 < θ < 1.

Demonstração. Com efeito, por hipótese E1 → E0, logo E∗0 → E∗

1 e assim vemos que o par(E∗

0 ,E∗1) é compatível. Agora, defina a aplicação T : E∗

1 ×E1 → R, por T (x∗,x) = ⟨x∗,x⟩.Logo, T é bilinear e da definição tem-se para quaisquer x∗ ∈ E∗

1 e x ∈ E1 que |T (x∗,x)| ≤∥x∗∥E∗

1∥x∥E1 . Agora, para x ∈ E1 ⊂ E0 e x∗ ∈ E∗

0 obtemos uma desigualdade semelhante a

anterior, como E1d→ E0 temos x∗ |E1∈ E∗

1 com ∥x∗∥E∗0= ∥x∗∥E∗

1. Desta maneira, estamos


aptos a utilizar o Teorema de interpolação bilinear 3.5.1, e assim estender T a [E∗0 ,E

∗1 ]

θ ×[E0,E1]θ satisfazendo para x∗ ∈ [E∗

0 ,E∗1 ]

θ e x ∈ [E0,E1]θ a relação

|T (x∗,x)| ≤ ∥x∗∥[E∗0 ,E

∗1 ]

θ ∥x∥E[θ ].

Daí, vemos que se x∗ ∈ [E∗0 ,E

∗1 ]

θ , então x∗ ∈ E∗[θ ] e podemos escrever ⟨x∗,x⟩E∗

[θ ], E[θ ]

.=

T (x∗,x). Além disso, da relação acima temos que ∥x∗∥E∗[θ ]≤∥x∗∥[E∗

0 ,E∗1 ]

θ , ou seja, [E∗0 ,E

∗1 ]

θ →[E0,E1]

∗θ .

Para a prova de [E0,E1]∗θ → [E∗

0 ,E∗1 ]

θ nós referimos a (BERGH; LOFSTROM, 1976)página 98.

Corolário 3.5.3. Assuma, adicionalmente, que pelo menos um dos espaços E0 e E1 éreflexivo. Então

[E0,E1]∗θ = [E∗

0 ,E∗1 ]θ (normas iguais; 0 < θ < 1).

Demonstração. O corolário segue dos teoremas de equivalência e dualidade.

Corolário 3.5.4. Se (E0,E1) é um par compatível e ambos os espaços são reflexivos, entãoE[θ ] também é reflexivo.

Demonstração. Provemos que para todo θ ∈ (0,1), a aplicação canônica Jθ : E[θ ] → E∗∗[θ ] é

sobrejetiva. Seja J j a aplicação canônica associada a E j, j = 0,1. Observe que, J1 = J0 |E1

e Jθ = J0 |E[θ ].

Como E0 e E1 são reflexivos temos que

IE0 : E0J0−→E∗∗

0J−1

0−→E0

IE1 : E1J1−→E∗∗

1J−1

1−→E1.

Interpolando cada aplicação acima obtemos

IE[θ ]: E[θ ]

Jθ−→[E∗∗0 ,E∗∗

1 ]θKθ−→E[θ ].

Ora, graças ao Teorema de dualidade 3.5.2 temos que

[E∗∗0 ,E∗∗

1 ]θ = [E∗0 ,E

∗1 ]

∗θ = [E0,E1]

∗∗θ .

Deste modo, vemos que Jθ possui inversa a direita Kθ o que implica em sua sobrejetividadecomo queríamos.

3.6. O Teorema de reiteração 51

3.6 O Teorema de reiteração

Aqui mostramos que o método de interpolação complexo é estável pelo uso repetidono sentido do teorema abaixo. Para sua prova, vamos utilizar o Teorema de dualidade.

Teorema 3.6.1 (O Teorema de reiteração). Seja E um par compatível de espaços deBanach e faça

X j = Eθ j (0 ≤ θ0 < θ1 ≤ 1; j = 0,1).

EntãoX[η ] = E[θ ] (0 ≤ η ≤ 1),

com normas iguais e θ = (1−η)θ0 +ηθ1.

Demonstração. Note que, do Teorema 3.3.3, o par (X0,X1) é compatível. Sendo assim,mostremos que ∥x∥X[η ]

≤ ∥x∥E[θ ]para todo x ∈ E[θ ]. Com efeito, tome x ∈ E[θ ] e ε > 0

arbitrário, então existe uma função f ∈ F(E) tal que f (θ) = x e ∥ f∥F ≤ ∥x∥E[θ ]+ε . Defina,

para todo z ∈ S, f1(z) = f1((1− z)θ0 + zθ1). Então f1(η) = x e

f1( j+ it) = f ((1− j)θ0 + it(θ1 −θ0))

= f (θ j + it(θ1 −θ0)) ∈ E[θ j] = X j.

Assim, como θ0 = θ1 para j = 0,1, temos f1( j+ it)→ 0, |t| → ∞ e também

supτ

∥ f1( j+ iτ)∥X j = supt∥ f (θ j + it)∥Eθ j

≤ ∥ f∥F(E), (3.15)

o que implica que∥ f1∥F(X) ≤ ∥ f∥F(E) ≤ ∥x∥E[θ ]

+ ε. (3.16)

Deste modo, obtemos ∥x∥X[η ]≤ ∥x∥E[θ ]

, ou seja, Eθ → X[η ].

Para provar a desigualdade recíproca, observamos primeiro que, se y ∈ E [θ ], e Yj =

E [θ j], temos ∥y∥Y[η ] ≤∥y∥E [θ ] , para j = 0,1. Para ver isto, escolha g∈G(E) tal que g′(θ) = y

e ∥g∥G ≤ ∥y∥E [θ ]+ε , onde ε > 0 é arbitrário. Fazendo g1(z) = (θ1−θ0)−1 f ((1−z)θ0+zθ1).

Daí já segue que g′1(η) = y e prosseguindo com o argumento análogo usado em (3.15)e (3.16) vemos que g1 ∈ G(Y ), e ∥g1∥G(Y ) ≤ ∥g∥G(E) ≤ ∥y∥E [θ ] + ε . Portanto segue que∥y∥Y [η ] ≤ ∥y∥E [θ ] , isto é, Eθ → Y [η ].

Em segundo lugar, afirmamos que X∗[η ] → E∗

[θ ], ou seja, se ℓ ∈ E∗[θ ], então ∥ℓ∥E∗

[θ ]≥

∥ℓ∥X∗[η ]

, De fato, pelo Teorema de dualidade 3.5.2 temos para 0 < η ,θ < 1

∥ℓ∥E∗[θ ]= ∥ℓ∥(E∗)[θ ]

e∥ℓ∥(X∗)[η ] = ∥ℓ∥X∗

[η ],


sempre que ℓ ∈ E∗[θ ]. Agora, graças a afirmação anterior obtemos que

∥ℓ∥(X∗)[η ] = ∥ℓ∥[(E∗)[θ0],(E∗)[θ1]]η ≤ ∥ℓ∥(E∗)θ .

Portanto,∥ℓ∥E∗

[θ ]≤ ∥ℓ∥X∗

[η ].

Deste modo, se x ∈ E[θ ], pelo Teorema de Hahn-Banach e da desigualdade acima obtemos

∥x∥E[θ ]= sup

∥l∥l∈E∗[θ ]

≤1⟨l,x⟩E∗

[θ ],E[θ ] ≤ sup∥l∥l∈X∗

[η ]≤1⟨l,x⟩X∗

[η ],X[η ] = ∥x∥X[η ]

. (3.17)

Logo, pela primeira parte da prova e por (3.17) segue que as normas em E[θ ] e X[η ] sãocoincidem em E[θ ].

Por fim, vamos mostrar que E[θ ] contém X[η ] e a prova do teorema estará concluída.

Com efeito, temos do Teorema 3.3.3 item (a) que X1d→ X[η ] e que E1

d→ Eθ1 = X1 segue

que da propriedade transitiva das imersões densas que E1 é denso em X[η ]. Agora, seguedo fato das normas ∥ · ∥[η ] e ∥ · ∥[θ ] coincidirem em E[θ ] e de E1 ser denso em E[θ ] quedevemos ter X[η ] = E[θ ] com normas iguais.

3.7 Aplicações

Provaremos aqui teoremas de interpolação para espaços conhecidos como os espa-ços Lp e Sobolev W m,p, incluindo uma prova simples do Teorema de Riesz-Thorin.

Também faremos um resultado a respeito de interpolação complexa para produtocartesiano finito de espaços de Banach.

Teorema 3.7.1. Sejam Ω ⊂ RN limitado e 1 < p0 < p1. Então,

[Lp0(Ω),Lp1(Ω)]θ = Lr(Ω),

onde,1r=

1−θp0

+θp1

.

Demonstração. Seja Λ o conjunto das funções simples que se anulam fora de medida finita.Vamos provar que

∥a∥[θ ] = ∥a∥r, ∀a ∈ Λ.

Com efeito, primeiramente fixe a ∈ Λ com ∥a∥r = 1 e defina 1/p(z) = (1− z)/p0 + z/p1,em particular para z = θ , temos 1/p(θ) = 1/r. Ponha, para cada z ∈ S

f (z) = eε(z2−θ 2)|a(·)|r

p(z)a(·)|a(·)|

.

3.7. Aplicações 53

Deste modo, f é função inteira e toma valores em Lp1(Ω), para j = 0,1 temos f ( j+ it) ∈Lp j(Ω) e ainda

∥ f ( j+ it)∥p j ≤ e(ε−t2)

(∫Ω|a(x)|r Re

p jp( j+it) dx

)1/p j

≤ eε∥a∥r/p jr = eε ,

onde foi usado o fato que Re(p j/p( j+ it)) = 1. Segue que f ∈ F e ∥ f∥F ≤ eε , desta forma∥a∥θ ≤ eε∥a∥θ para todo ε > 0 e assim

∥a∥θ ≤ ∥a∥r (3.18)

Agora, se a ∈ Λ não nulo, tome a = a/∥a∥r e utilizando (3.18) para a obtemos esta mesmadesigualdade para qualquer a ∈ Λ.

Para provar a desigualdade recíproca usaremos a seguinte relação, a qual decorredos Teoremas de Riesz, Hahn-Banach e Lema de Fatou,

∥a∥r = sup|⟨a,b⟩ ; ∥b∥r′ = 1, b ∈ Λ.

Defina agora, para b ∈ Λ fixado com ∥b∥r′ = 1 e z ∈ S

g(z) = eε(z2−θ 2)|b(·)|r′

p′(z)b(·)|b(·)|

.

onde 1/p′(z) = (1− z)/p′0 + z/p′1. Note que p′(z) é de fato o expoente conjugado de p(z).Agora, com a intenção de utilizar do Lema das Três Linhas fazemos

F(z) = ⟨ f (z),g(z)⟩.

Fixando a com ∥a∥[θ ] = 1 com cálculos semelhantes utilizados na primeira parte, obtemos|F(it)| ≤ eε e |F(1+ it)| ≤ e2ε . Assim, ⟨a,b⟩= |F(θ)| ≤ eε . Logo,

∥a∥r = |⟨a,b⟩| ≤ 1 = ∥a∥θ .

Para a ∈ Λ qualquer prossiga de forma análoga feita na primeira parte da prova e assimobtemos a igualdade desejada em Λ. Por fim, basta notar que Λ é denso em Lp0(Ω) e esteé denso em [Lp0(Ω),Lp1(Ω)]θ e também Λ é denso em Lr(Ω), com suas respectivas normasque o resultado seguirá.

Como corolário do teorema anterior obtemos o Teorema de Riesz-Thorin:

Teorema 3.7.2 (Riesz-Thorin). Assuma que p0 ≤ p1, q0 ≤ q1 e que Ω ⊂ RN limitado.Então, se

T : Lp0(Ω)→ Lq0(Ω)

é limitada com norma M0 eT : Lp1(Ω)→ Lq1(Ω)


é também limitada com norma M1. Então,

T : Lpθ (Ω)→ Lqθ (Ω)

com normaM ≤ M1−θ

0 Mθ1 , (3.19)

contanto que 0 < θ < 1 e

1pθ

=1−θ

p0+

θp1

,1

qθ=

1−θq0

+θq1

. (3.20)

Demonstração. Este resultado segue do teorema anterior 3.7.1, desde que Lpθ (Ω) e Lqθ (Ω)

são espaços de interpolação exatos com relação aos pares (Lp0(Ω),Lp1(Ω)) e (Lq0(Ω),Lq1(Ω)),respectivamente.

Lema 3.7.3. Se p ≥ q e Ω ⊂ RN é limitado, então Lp(Ω) → Lq(Ω).

Demonstração. Segue da desigualdade de Hölder.

Definição 3.7.4. Seja s ≥ 0 e Ω ⊂ RN, definimos o espaço de Bessel de potência s

como Hs,p(Ω).= [Lp(Ω),W m,p(Ω)]θ , onde m ∈ N o menor inteiro maior que s e θ = s/m.

Teorema 3.7.5. Sejam Ω limitado com fronteira suave e s > 0. Nestas condições, se m éo menor inteiro maior do que s com N−mp > 0 e r = N p

N−sp , então vale a seguinte imersão

Hs,p(Ω) → Lq(Ω), ∀ p ≤ q ≤ r. (3.21)

Demonstração. Primeiramente note que se q ∈ [p,r] e o resultado do teorema é validopara r, então o teorema é valido também para q neste intervalo, desde que Ω é limitadoe podemos utilizar o Lema 3.7.3. Por esse motivo provaremos (3.21) apenas para r defi-nido no enunciado. Com efeito, graças ao Teorema das Imersões de Sobolev temos queW m,p(Ω) → Lp∗(Ω), para p∗ = N p

N−mp , onde m ∈ N é o menor inteiro maior que s. Comop∗ ≥ p e Ω é limitado, temos que Lp∗(Ω) → Lp(Ω) e por definição do espaço de Sobolevtemos também que W m,p(Ω) → Lp(Ω). Pelos Teorema de interpolação entre espaços Lp

3.7.1 e da definição dos espaços de Bessel temos que Lr(Ω) e Hs,p(Ω) são espaços de inter-polação relativos aos pares (Lp(Ω),Lp∗(Ω)) e (Lp(Ω),W m,p(Ω)), respectivamente. Sendoassim, 1/r = (1−θ)/p+θ/p∗ donde concluímos que r = N p

N−sp e a aplicação identidade emLp(Ω) Ip sendo contínua e quando restrita a W m,p(Ω) fazendo o papel da inclusão desteespaço em Lp∗(Ω), temos que

IHs,p(Ω) : [Lp(Ω),W m,p(Ω)]s/m → [Lp(Ω),Lp∗(Ω)]s/m = Lr(Ω)

é aplicação limitada, isto é equivalente dizer que vale (3.21) para r = N pN−sp e daí segue o

resultado.

3.7. Aplicações 55

Observação 17. Sejam X1, · · · ,XN espaços de Banach, então o produto cartesiano finitoé definido por

N

∏i=1

Xi = (x1, · · · ,xN) ; xi ∈ Xi, ∀i,

e o dotamos com a norma do máximo, isto é, para x ∈ ∏Ni=1 Xi defina

∥x∥∏Ni=1 Xi

= max1≤i≤N

∥xi∥Xi .

Teorema 3.7.6. Sejam X1, · · · , XN pares compatíveis de espaços de Banach. Fixe

E0 =N

∏i=1

X i0 e E1 =

N

∏i=1

X i1.

Então, valem

F(E0,E1) =N

∏i=1

F(X i0,X

i1), ( com normas iguais). (3.22)

e[

N

∏i=1

X i0,

N

∏i=1

X i1 ]θ =

N

∏i=1

[X i0,X

i1]θ (3.23)

Demonstração. Sejam f : S → ∏Ni=1 X i

0 e fi : S → X i0 suas funções coordenadas para i =

1, · · · ,N.

Logo, f é contínua, limitada em S e analítica em S0 se, e somente se, fi são contínuase limitadas em S e analíticas em S0, para cada i. Além disso, para j = 0,1

∥ f ( j+ it)∥E j → 0 ⇐⇒ ∥ f ( j+ it)∥X ij→ 0, ∀i = 1, · · · ,N

quando |t| → ∞.

Por fim,

∥ f∥F = maxj=0,1

(supt∥ f ( j+ it)∥E j)

= maxj=0,1

(supt( max

1≤i≤N∥ fi( j+ it)∥X i

j))

= max1≤i≤N

(maxj=0,1

(supt∥ fi( j+ it)∥X i

j))

= max1≤i≤N

∥ fi∥Fi .

E assim obtemos a primeira identificação (3.22).

Provemos a segunda afirmativa. Com efeito, tome x ∈ Eθ , e f ∈ F(E) tal quex = f (θ) = f1(θ), · · · , fN(θ), pela primeira parte da prova vemos que x ∈ ∏N

i=1¯X i[θ ]. Além

disso,

∥x∥∏Ni=1 Xθ

= max1≤i≤N

∥ fi(θ)∥X i[θ ]

≤ max1≤i≤N

∥ fi∥F(X i)

= ∥ f∥F(E).


Agora, da definição da norma ∥ · ∥[θ ] temos que ∥x∥∏Ni=1 Xθ

≤ ∥x∥[θ ], de onde vem que,

[E0,E1]θ →N

∏i=1

[X i0,X

i1]θ .

Reciprocamente, seja x ∈ ∏Ni=1 X i

[θ ], logo existem fi ∈ F(X i) tais que xi = fi(θ) e∥ fi∥F(X i) ≤ ∥xi∥[θ ]+ ε . Assim, tomando f (·) = ( f1(·), · · · , fN(·)), obtemos que x = f (θ) eportanto da primeira parte da prova x ∈ E[θ ].

Sendo assim,

∥x∥[θ ] ≤ ∥ f∥F= max

1≤i≤N∥ fi∥Fi

≤ max1≤i≤N

(∥xi∥[θ ]+ ε)

≤ max1≤i≤N

(∥xi∥[θ ])+ ε.

e como vale para todo ε > 0, segue que E[θ ] → ∏Ni=1 X i

[θ ] e o teorema está provado.

Como vamos trabalhar com campos vetoriais em Lp precisaremos o seguinte Te-orema de imersão, o qual obtemos como corolário do Teorema de Imersão em dimensãoum, juntamente com o resultado do teorema anterior.

Corolário 3.7.7. Dado s > 0 e considere m o menor inteiro menor ou igual que s.

[Lp(Ω)N ,W m,p(Ω)N ]s/m = Hs,p(Ω)N .

Adicionalmente, para ≤ p ≤ q ≤ r = N p/(N − sp), tem-se

Hs,p(Ω)N → Lr(Ω)N . (3.24)

Demonstração. A primeira afirmativa segue o teorema anterior, provemos a segunda. Comefeito, seja u ∈ Hs,p(Ω)N , assim ui ∈ Hs,p(Ω) para cada i = 1, · · · ,N. Deste modo, peloTeorema de imersão 3.7.5, temos que ui ∈ Lr(Ω) com

∥ui∥r ≤ ∥ui∥s,p, ∀i = 1, · · · ,N.

Logo, u ∈ Lr(Ω)N e

∥u∥Lr(Ω)N = max0≤i≤1

∥ui∥r ≤ max0≤i≤1

∥ui∥s,p = ∥u∥Hs,p(Ω)N .

E o teorema está provado.

57

CAPÍTULO

4ESCALAS DE ESPAÇOS DE BANACH

4.1 Escalas de espaços de Banach

Nesta seção discutiremos em detalhes o conceito de escalas de espaços de Ba-nach que são simplesmente uma família a um parâmetro de espaços de Banach oportu-namente imersos, por uma estrutura adicional expressa em termos de operadores lineares.Em particular, será mostrado como escalas de espaços de Banach podem ser construídasa partir de um espaço de Banach E e um operador fechado densamente definido em E

com resolvente não vazio. É muito importante que sejamos capazes de construir espaços“ extrapolados” de E e possamos caracterizá-los em termos de teoremas simples de dua-lidade. Esses espaços terão papel fundamental para o Capítulo 6, no qual estudaremos aboa colocação local e global da equação de Navier-Stokes.

Antes de introduzir o conceito de escalas de espaços de Banach provamos umresultado técnico simples relacionado a restrições maximais de operadores lineares.

Definição 4.1.1. Sejam B : D(B) ⊂ G → G um operador linear e F ⊂ G. Definimos BF

como a F-parte de B (ou a parte de B em F), como a aplicação definida em

D(BF) = x ∈ D(B)∩F : Bx ∈ F pondo BFx = Bx, ∀x ∈ D(BF).

Quando não houver possibilidade de confusão escreveremos B ao invés de BF .

Lembre-se, quando escrevemos A ∈ U (G), estamos nos referindo a operadores fe-chados no espaço de Banach G, ver Subseção 2.1.1.

Observação 18. Se B ∈ U (G) e F → G, então BF ∈ U (F).

58 Capítulo 4. Escalas de espaços de Banach

Lema 4.1.2. Sejam F e G espaços de Banach com F → G e seja B ∈ U (G). Suponhaque para algum µ ∈ ρ(B) tem-se que (µ −B)−1(F)⊂ F . Então µ ∈ ρ(BF) e

(µ −BF)−1 = (µ −B)−1∣∣

F . (4.1)

Além disso, se D(B)⊂ F então ρ(B) = ρ(BF) e (4.1) vale para cada µ ∈ ρ(B).

Demonstração. Como B é operador fechado em G e F → G da Observação 18 segue queBF é fechado em F . Deste modo, para provar a primeira afirmativa, basta mostrar queµ −BF é uma bijeção de D(BF) em F com inversa (µ −B)−1

∣∣F . Com efeito, dado y ∈ F

como µ ∈ ρ(B) temos que µ−B : D(B)→G é uma bijeção e assim existe um único x∈D(B)

tal que (µ −B)x = y. Ora, x = (µ −B)−1(y) o qual está contido em F por hipótese, dondesegue que x ∈D(BF). Assim, provamos que µ −B é sobrejetor com inversa a esquerda iguala (µ−B)−1. Ainda graças a unicidade de x ∈D(BF) obtemos a injetividade deste operador.Logo, a inversa a direita coincide com a inversa a esquerda e segue que µ ∈ ρ(B). Agora,assuma que D(B) ⊂ F , daí segue que (λ −B)−1(G) ⊂ F para cada λ ∈ ρ(B) e podemosutilizar a primeira parte para concluir que ρ(B)⊂ ρ(BF) e

(λ −BF)−1 = (λ −B)−1∣∣

F , λ ∈ ρ(B).

Reciprocamente, dado λ ∈ ρ(BF) afirmamos que λ −B é uma bijeção e daí con-cluímos que λ ∈ ρ(B). De fato, se y ∈ G é qualquer, definindo

x = (µ −B)−1y+(µ −λ )(λ −BF)−1(µ −B)−1y,

vemos que x ∈ D(B) e (λ −B)x = y. Basta provar que o operador em questão é injetivo,para isto, tome x ∈ D(B) tal que (λ −B)x = 0, como D(B) ⊂ F obtemos x ∈ D(BF). Con-sequentemente, (λ −BF)x = 0 e como (λ −BF) é injetivo segue que x = 0.e também queλ ∈ ρ(B). Portanto, como B ∈ U (G) temos que λ ∈ ρ(B) e o resultado está provado.

Definição 4.1.3. Sejam E e G espaços de Banach. Seja

L is(E,G) = T : E → G; T ∈ L (E,G)e T é isomorfismo,

o conjunto dos isomorfismos lineares de E em G.

A seguinte observação é bastante útil para o restante desse capítulo.

Observação 19. Como aplicação do Teorema da Aplicação Aberta, obtemos que se T ∈L is(E,G), então T−1 ∈ L is(G,E).

Observação 20. Se Fd→ G e G

d→ H, então F

d→ H.

Denote por Λ um subconjunto dos naturais, dos inteiros, dos reais maiores ouiguais a zero ou dos reais.

4.1. Escalas de espaços de Banach 59

Definição 4.1.4. Seja, para cada α ∈ Λ, um espaço de Banach Eα.= (Eα ,∥ · ∥α) e um

operador Aα ∈ L is(Eα+1,Eα) tal que para cada par α,β ∈ Λ com α > β

Eα → Eβ

e o diagrama

Eα+1 Eβ+1

Eα Eβ

Aα

i1

i0

Aβ

é comutativo, onde i1 e i0 são as inclusões naturais entre os espaços. Então

(Eα ,Aα) : α ∈ Λ

é uma escala de espaços de Banach sobre o conjunto de índices Λ. A escala édita unilateral se Λ é o conjunto dos números naturais ou o conjunto dos númerosreais maiores ou iguais a zero e bilateral em caso contrário. É discreta se Λ estános naturais ou nos inteiros e contínua caso contrário. A escala de espaços de Banach[(Eα ,Aα) : α ∈ Λ] é densamente imersa se Eα

d→ Eβ , para α > β .

Definição 4.1.5. Duas escalas de Banach [(Eα ,Aα);α ∈ Λ] e [(Fα ,Bα);α ∈ Λ] sobre omesmo conjunto de índices Λ são isomorfas se existe Iα ∈ L is(Eα ,Fα), α ∈ Λ, tal que,dados α ,β ∈ Λ com α > β , o diagrama

Eα+1 Fα+1

Eβ+1 Fβ+1

Eα Fα

Eβ Fβ

é comutativo. Se cada Iα é também uma isométria, as duas escalas são isométricamenteisomorfas. Duas escalas de Banach são equivalentes se elas são isomorfas e se Eα =Fα

para α ∈ Λ, ou seja, se os espaços são os mesmos com normas equivalentes.


Definição 4.1.6. Seja A : D(A)⊂E →E um operador linear. Para todo x∈D(A) definimosa norma do gráfico de A, como

∥x∥G(A) = ∥x∥E +∥Ax∥E .

Proposição 4.1.7. Seja [(Eα ,Aα) : α ∈ Λ] uma escala de espaços de Banach sobre Λ.Então, são válidas as propriedades a seguir.

(a) Para todo α ∈ Λ, temos que Aα ∈ U (Eα). Adicionalmente, se adotamos emD(Aα) a norma do gráfico, temos D(Aα) = Eα+1, com normas equivalentes.

(b) Se α > β , então Aβ ⊃ Aα . Além disso, Aα considerado como um operadorlinear em Eα é fechável em Eβ e seu fecho é igual a restrição de Aβ a

Eα+1,β+1.= fecho de Eα+1 em Eβ+1,

considerado como um operador linear em Eβ .

(c) Se α > β , então Aα é a Eα -realização de Aβ .

(d) Se a escala é densamente imersa, os operadores Aα são completamente deter-minados por A0 (ou por Aα0 para qualquer α0 ∈ Λ).

(e) Para quaisquer α ,β ∈ Λ, tem-se ρ(Aα) = ρ(Aβ ).

(f) Se para α ∈ Λ e j inteiro positivo, (Aα)j ∈ L is(Eα+ j,Eα), onde Aα é conside-

rado como um operador linear em Eα com domínio Eα+1.

(g) Se a escala é discreta, ela é densamente imersa se e somente se Eα+1d→ Eα

para α ∈ Λ.

Demonstração. (a) De fato, seja x ∈ D(Aα). Seja i a inclusão natural de Eα+1 em Eα

temos para x ∈ D(Aα) que Aαx ∈ Eα e assim x = A−1α Aαx ∈ Eα+1 e ainda

∥x∥G(Aα ) = ∥x∥α +∥Aαx∥α ≤ (∥i∥L (Eα+1,Eα )+∥Aα∥L (Eα+1,Eα ))∥x∥α+1,

Logo, D(Aα)⊂ Eα+1 e ∥x∥G(Aα ) ≤ c1∥x∥α+1. Por outro lado, se x ∈ Eα+1, existe um únicoy ∈ Eα tal que x = A−1

α y. Daí segue que x ∈ D(Aα) e além disso

∥x∥α+1 = ∥A−1α y∥α ≤ ∥A−1

α ∥L (Eα ,Eα+1∥y∥α = ∥A−1α ∥L (Eα ,Eα+1∥Aαx∥α

e o último termo da desigualdade acima é dominado por ∥A−1α ∥L (Eα ,Eα+1∥x∥G(Aα ). Deste

modo, obtemos que Eα+1 ⊂ D(Aα) e que a norma do gráfico e a norma de Eα+1 sãoequivalentes.

(b) Provemos que Aα é fechável. Para isto, tome xn ⊂ D(Aα) de maneira quexn

β→ 0 e Aαxnβ→ y. Como D(Aα) = Eα+1 e Aα ⊂ Aβ temos que Aαxn = Aβ xn e como

4.1. Escalas de espaços de Banach 61

Aβ ∈C(Aβ ) devemos ter y = Aβ 0 = 0. Portanto, Aα é fechável em Eβ e denote por Aβα seu

fecho.

Vamos mostrar que D(Aβα) = Eα+1,β+1 e que Aβ

αx = Aβ x para todo x ∈ D(Aβα). Com

efeito, seja x ∈ Eα+1,β+1, deste modo, existe xn ⊂ Eα+1 tal que xnβ+1→ x. Pelo item (a) e

do fato de x ∈ Eβ+1 segue que

∥xn − x∥β +∥Aβ xn −Aβ x∥β → 0,

quando n → ∞. Agora, como Aβ ∈C(Eβ ) obtemos da equação acima que x ∈ Eβ+1 e como

Aβα é o fecho de Aα em Eβ e xn ∈ Eα+1 para todo n ∈N segue que Aβ

αxnβ→ Aβ

αx e assim daunicidade do limite Aβ

αx = Aβ x. Reciprocamente, seja x ∈ D(Aβα), logo existe xn ⊂ Eα+1

tal que

∥xn − x∥β +∥Aαxn − Aβαx∥β → 0. (4.2)

Ora, pelo item (a) tem-se Aαxn = Aβ xn e como Aβ ∈C(Eβ+1) a equação (4.2) garante quex ∈ Eβ+1 e Aβ x = Aβ

αx, como queríamos demonstrar.

(c) Denote por T βα a Eα -parte de Aβ . Por definição, temos que D(T β

α ) = x∈Eβ+1∩Eα ; Aβ x∈Eα e para x∈D(T β

α ), T βα x=Aβ x. Assim, para mostrar o resultado verifiquemos

que D(T βα ) = Eα+1 e que T β

α x = Aαx. Para isto, seja x ∈ Eα+1, como α +1 > maxβ +1,α ,já segue que x ∈ Eβ+1 ∩Eα e do item a Aβ x = Aαx ∈ Eα e daí vemos que x ∈ D(T β

α ).

Reciprocamente, tome x ∈ D(T βα ), deste modo Aβ x ∈ Eα e como Aα é sobrejetor,

existe z ∈ Eα+1 tal que Aαz = Aβ x e como Aα ⊂ Aβ e Aα é injetivo, segue que x = z e queestá em Eα+1, assim Aαx = Aβ x = T β

α x e D(T βα )⊂ Eα+1 como queríamos demonstrar.

(d) De fato, se α0 ∈ Λ é qualquer, dado α ∈ Λ distinto de α0 temos dois casos. Seα >α0, então do item c Aα é a Eα -parte de Aα0 . Note que, no item anterior não utilizamosque a escala é densamente imersa. Agora, se α < α0 como a escala é densamente imersa,temos Eα0+1,α+1 = Eα+1 e agora do item (b) vemos que Aα é determinado como o fechode Aα0 em Eα e o resultado segue.

(e) Para podermos utilizar o Lema 4.1.2 nesta prova, note que do item a e dadefinição que 0 ∈ ρ(Aα). Note primeiramente que, do item c Aα+1 é a Eα+1-parte de Aα .E ainda, como D(Aα) = Eα+1 segue do Lema 4.1.2 que ρ(Aα) = ρ(Aα+1). Pelo príncipiode indução, segue que ρ(Aα) = ρ(Aα+n).

Em segundo lugar, dados α,β ∈ Λ tais que β +1 ≥ α > β , assim Aα é a parte deAβ em Eα e D(Aβ ) = Eβ+1 ⊂ Eα e novamente do Lema 4.1.2 segue que ρ(Aα) = ρ(Aβ ).

Por fim, sejam α,β ∈ Λ arbitrários. Suponha sem perda de generalidade que α > βe tome n ∈N de maneira que β +n ≥ α > β +n−1. Agora, dos primeiros passos obtemosρ(Aα) = ρ(Aβ+n−1) = ρ(Aβ ) como queríamos.


(f) Basta provar para o caso j = 2 e o caso geral segue análogo por indução.Observe que, Aα

2 = Aα Aα+1 |Eα+2 e como é composição de bijeções limitadas, segue queé isomorfismo de Eα+2 sobre Eα limitado com

∥Aα2∥L (Eα+2,Eα ) ≤ ∥Aα∥L (Eα+1,Eα ) ∥Aα+1∥L (Eα+2,Eα+1).

(g) A condição necessária decorre diretamente da definição. Iremos provar a condi-ção suficiente. Com efeito, dados α,β ∈ Λ suponha sem perda de generalidade que α > β ,como a escala é discreta tome n ∈ N de maneira que β +n = α . Da suposição temos

Eαd→ Eβ+n−1

d→ ·· · d

→ Eβ

e o item segue da propriedade transitiva das imersões densas.

4.2 Escalas de potência

Nesta seção exibiremos uma técnica geral simples para construir uma escala deespaços de Banach a partir de um operador fechado num espaço de Banach. A partir deagora e nas próximas seções, fixaremos

E um espaço de Banach e A ∈ U (E) densamente definido com 0 ∈ ρ(A).

É conhecido que

A j ∈ U (E) e 0 ∈ ρ(A j), j = 0,1,2, · · · , (4.3)

onde A0 = IE .

Definição 4.2.1. Para cada j ∈N definimos o espaço de potência j relativo ao operadorA, pondo

E j.= (E j,∥ · ∥ j)

.= E j(A)

.= (D(A j),∥ · ∥G(A j)), j = 1,2, · · · ,

e E0 = E.

Lema 4.2.2. Para todo j ∈N temos que E j é um espaço de Banach e a norma do gráficoé equivalente à norma ∥A j · ∥. Adicionalmente, E j → Ek sempre que j > k.

Demonstração. Primeiramente, provaremos a segunda afirmativa. Com efeito, seja x ∈ E j.Temos por definição da norma do gráfico

∥A jx∥E ≤ ∥x∥G(A j).

4.2. Escalas de potência 63

Por outro lado, como 0 ∈ ρ(A j) temos para x ∈ E j

∥x∥G(A j) ≤ (∥A− j∥L (E,E j)+1)∥A jx∥E ,

como queríamos.

Agora, mostremos agora a primeira afirmativa, seja xn ⊂ E j uma sequência deCauchy. Logo, xn e A jxn são sequências de Cauchy em E e da completude deste espaçoexistem x,y ∈ E que são limite de xn e A jxn, respectivamente. Assim, resta provar queA j é um operador fechado e concluímos que x ∈ D(A j) = E j.

Por fim, sejam j > k inteiros positivos. Para x∈E j podemos escrever Akx=Ak− jA jx.Agora, como Ak− j é operador limitado temos

∥x∥k ≤ ∥Ak− j∥L (E)∥x∥ j,

de onde segue a imersão desejada.

Observação 21. A partir do teorema anterior sempre que mencionarmos de E j estamosconsiderando (D(A j),∥A j · ∥).

Teorema 4.2.3. Seja E um espaço de Banach e assuma que A : D(A)⊂ E → E é fechadocom 0 ∈ ρ(A) e defina A j

.= E j-parte de A para j = 1,2, · · · . Então

(E j,A j); j = 0,1,2, · · ·

é uma escala de Banach. Ela é densamente definida se, e somente se A é densamentedefinida.

Demonstração. Do Lema 4.2.2 já obtemos que E j é espaço de Banach para todo j = 0,1, . . .e também que se j > k, temos E j → Ek. Agora, note que o operador A j ∈ L is(E j+1,E j) eeste isomorfismo é isométrico. Ainda, se j > k, o diagrama abaixo comuta diretamente dadefinição de A j

E j+1 Ek+1

E j Ek

A j

i1

i0

Ak

daí decorre a primeira afirmativa.

Por fim, suponha que A é densamente definida, isto é, E1d→ E. Tendo em vista

o item (g) da Proposição 4.1.7 basta provar que para todo j = 0,1,2, · · · que E j+1d→ E j.


Com efeito, seja x ∈ E j, logo A jx ∈ E e por suposição existe zn ⊂ E1 de modo que∥zn −A jx∥0 → 0, ou equivalentemente,

∥A− jzn − x∥ j → 0. (4.4)

Ora, xn = A− jzn ∈ E j+1 para cada n ∈ N de modo que xn → x em E j e o resultado estáprovado.

Definição 4.2.4. A escala de Banach obtida no teorema acima é chamada de escala depotência gerada por (E,A).

A observação a seguir nós dá uma maneira mais simples de verificar quando umaescala unilateral discreta é gerada por um par de (espaço, operador) dado.

Observação 22.

• (i) Toda escala unilateral discreta Fj,B j ; j = 0,1, . . . é de fato uma escala depotências de algum operador fechado.

• (ii) Para verificar que uma escala de Banach Fj,B j ; j = 0,1, . . . é gerada por(E,A), basta provar que (F0,B0) = (E,A).

Demonstração.

(i) Graças a Proposição 4.1.7 temos: do item (a) que B0 ∈ U (F0) e do item (c) se j ∈ Nentão j > 0 e portanto B j é a Fj-parte de B0 novamente do item (a) D(B j−1) = Fj o qualpor sua vez é D(B j) o que implica que (F0,B0) determinam toda a escala e que esta escalaé de fato obtida pelas potências do B0.

(ii) Com efeito, Provemos que para todo j = 0,1,2, · · · , temos E j = Fj e B j = A j. De fato,E j = D(A j) = D(B j

0) = Fj e também Se x ∈ D(B j) = E j+1 = D(A j), temos

B jx = Bx = Ax = A jx

e segue a afirmação.

Proposição 4.2.5. Fixe m um inteiro positivo e faça (Fj,B j).= (E j+m,A j+m) para j =

0,1,2, · · · . Então(Fj,B j); j = 0,1,2, · · · (4.5)

é a escala de potência gerada por (Em,Am). Além disso, é isometricamente isomorfa aescala de potências gerada por (E,A).

Demonstração. De fato, como (E,A) gera uma escala de Banach já sabemos que para todoj = 0,1,2, · · · Fj é espaço de Banach e que

B j = E j+m ∈ L is(E j+m+1,E j+m) = L is(Fj+1,Fj).

4.3. Espaços de extrapolação 65

e também pelo item (c) da Proposição 4.1.7 vemos que B j é a Fj-parte de Am e portantose k > j então k+m > j+m o que implica que Fk → E j e por fim a comutatividade dodiagrama

Fj+1 Fk+1

Fj Fk

A j

i1

i0

Ak

segue da comutatividade do diagrama da Proposição 4.5. o que concluí que (4.5) é umaescala de Banach e está prova nós diz que é de fato uma escala que herda as propriedadesda escala gerada por (E,A).

Note que, novamente do Teorema 4.2.3 temos que, Em é Banach e Am ∈ U (Em)

é operador fechado com 0 ∈ ρ(Am). Sendo assim, como F0 = Em e B0 = Bm vemos daobservação 22 que a escala (Fj,B j); j = 0,1,2, · · · é gerada por (Em,Bm).

Por fim, defina Iα.= (Aα)

−m para α = 0,1,2, · · · a Proposição 4.1.7(f) implica queIα ∈ L is(E j,Fj) e que o diagrama (4.1.5) é comutativo. Além disso, se x ∈ E j temos

∥I jx∥Fj = ∥(A j)−mx∥m+ j = ∥(A j)

m(A j)−mx∥ j = ∥x∥ j

Logo, dos argumentos acima segue que I j é um isomorfismo isométrico para todo j =

0,1, · · · e o resultado segue.

4.3 Espaços de extrapolação

Nesta seção apresentaremos como obter uma escala com índices negativos ainda apartir do par (E,A).

Seja F um espaço vetorial normado. Recorde que o completamento (F , j) de F

consiste do espaço de Banach F e um isomorfismo isométrico j de F sobre um subespaçodenso de F .

Defina em E ∥ · ∥−1 = ∥A−1 · ∥E . Vemos que é uma norma em E de modo que

∥x∥−1 = ∥A−1x∥E ≤ ∥A−1∥L (E,E1)∥x∥E , (4.6)

ou seja, está norma é mais fraca que ∥ · ∥E . Desse modo, considere o completamento doespaço vetorial normado (E,∥ · ∥−1)

(E−1,∥ · ∥−1).= E−1(A)

.= (E,∥A−1 · ∥E)

∼.


Logo, (E−1,∥·∥−1) é um espaço de Banach bem definido e da definição de completamentotambém temos

Ed→ E−1, (4.7)

onde, na verdade, estamos identificando E com sua imagem densa por um isomorfismoisométrico.

Definição 4.3.1. O espaço (E−1,∥ · ∥−1) é dito um espaço de extrapolação de E

gerado por A.

Observação 23. Relembre que do Teorema de completamento (LIMA, 1977), este espaçoé único a menos de isometria.

Proposição 4.3.2. São válidas as seguintes afirmações.

(i) A é fechável em E−1 e denotaremos seu fecho por A−1.

(ii) A−1 ∈ L is(E,E−1)∩U (E−1) e este isomorfismo é isométrico.

(iii) ρ(A−1) = ρ(A).

Demonstração. (i) Com efeito, seja xn⊂ D(A) de modo que ∥xn∥−1 → 0 e ∥Axn−y∥−1 →0. Da segunda convergência temos que A−1Axn é de Cauchy em E0, como E0 é completoexiste z∈E0 tal que ∥xn−z∥0 → 0 e ainda como a norma ∥·∥−1 é mais fraca que a norma deE0 essa convergência ocorre em E−1 donde vemos que z = 0. Assim, ∥Axn∥−1 = ∥xn∥0 → 0e segue que y = 0 e portanto A é fechável em E e por definição, A−1 ∈ U (E−1)

(ii) Primeiramente mostraremos que (D(A−1),∥ ·∥) = (E0,∥ ·∥E) com normas equi-valentes. De fato, seja x ∈ D(A−1), logo (x,A−1x) ∈ G(A−1) e como A−1 é fecho de A emE−1, existe xn ⊂ E1 de modo que

∥xn − x∥−1 +∥A−1xn −A−1x∥−1 → 0.

Segue que xn é de Cauchy em E, logo existe z ∈ E de modo que xn → z em E. Assim,com E

d→ E−1, também temos xn → z em E−1 e desta maneira vemos que x = z ∈ E o que

implica que D(A−1) ⊂ E. Reciprocamente, tome x ∈ E, como E1d→ E, existe xn ⊂ E1

com xn → x em E. Adicionalmente, como

∥A−1xn −A−1xm∥−1 = ∥Axn −Axm∥−1 = ∥xn − xm∥E ,

obtemos que A−1xn é sequência de Cauchy em E−1, logo existe z ∈ E−1 tal que ∥z−A−1xn∥−1 → 0. Graças a E → E−1, também obtemos ∥xn − xm∥−1 → 0.

Portanto, (x,z) ∈ G(A−1), o que implica em x ∈ D(A−1) e z = A−1x. Logo, se x ∈ E

é qualquer obtemos

∥x∥E = lim∥xn∥E = lim∥Axn∥−1 = ∥A−1x∥−1.

4.3. Espaços de extrapolação 67

Portanto, E ⊂ D(A−1) e A−1 ∈ L (E0,E−1) é isomorfismo isométrico.

Logo, para concluir que A−1 ∈L is(E0,E−1) basta mostrar a sobrejetividade. Dadoy ∈ E−1 existe yn ⊂ E0 de maneira que ∥yn − y∥−1 → 0, desde que E

d→ E−1,. Ora, A ∈

L is(E1,E0) donde segue que para cada n ∈N existe xn ∈ E1 de modo que Axn = yn. Comoyn é de Cauchy em E−1 também conseguimos provar xn é de Cauchy em E0. Seja x∈E0

seu limite em E0, como E → E−1 é também seu limite em E−1. Agora, como A−1 ∈U (E−1

e A−1xn = Axn = yn → y vemos que A−1x = y, como queríamos demonstrar.

(iii) Basta notar que A é a E0-parte de A−1 utilizar o Lema 4.1.2 e o item (ii) paraconcluir o resultado.

Como A−1 ∈ U (E−1) e 0 ∈ ρ(A−1), podemos definir também

E−2.= E−1(A−1), o espaço de extrapolação de E−1 gerado por A−1, e A−2 como o

fecho de A−1 em a E−2.

Segue da Proposição 4.3.2

A−2 ∈ L is(E−1,E−2)∩U (E−2)

que este isomorfismo é isométrico, ou seja, se x ∈ E−1 ∥A−2x∥−2 = ∥x∥−1.

Contudo, estas relações devem ser interpretadas com cuidado. Para ser mais precisosejam (E−1, j−1) e (E−2, j−2) os completamentos de (E,∥A−1∥E) e (E−1,∥(A−1)

−1∥E−1),respectivamente. Temos

Ej−1−→ E−1

j−2−→ E−2,

onde j−1 e j−2 são isometrias lineares com imagem densa sobre subespaços de E−1 e E−2,respectivamente. Pela construção não conseguimos garantir diretamente que estes espaçosestão densamente encaixados, isto é, que vale

Ed→ E−1

d→ E−2, (4.8)

Sendo assim, devemos prosseguir da seguinte maneira. Como j−1(E) é denso em E−1,para obter inclusão densa identificamos E por j−1(E) (que é o que basicamente foi feitoquando dizemos que E

d→ E−1 em (4.7)) e assim podemos dizer E

d→ E−1. Agora, seguindo

raciocínio análogo, identificamos E−1 com sua imagem por j−2, isto é,

E−1 ≡ j−2(E−1)d→ E−2,

porém está identificação nos obriga a trocar o espaço já obtido E−1 por uma imagemisometricamente isomorfa j−2( j−1(E)) e deste modo obtemos as inclusões densas desejadasem (4.8).


Dessa forma para obter uma escala de Banach com índices negativos densamenteimersa, devemos fixar um m ∈ N e definir E−k e A−k para 1 ≤ k ≤ m indutivamente por

E−k.= (E−k,∥ · ∥−k)

.= (E−k−1,∥(A−k+1)

−1 · ∥E)∼.

onde E−k+1 é identificado como j−m(. . .( j−k(E−k+1))). Definimos por fim

A−k.= fecho de A−k+1 em E−k.

Proposição 4.3.3. Sejam m ∈ N fixado, então para todo 1 ≤ k ≤ m tem-se

• A−k ∈ L (E−k+1,E−k)∩U (E−k);

• ρ(A) = ρ(A−k).

Demonstração. Segue da Proposição 4.3.2 e das observações anteriores

Reunindo toda a análise feita anteriormente, temos o seguinte resultado:

Teorema 4.3.4. Suponha que A ∈ U (E) é densamente definido com 0 ∈ ρ(A) e fixem = 1,2, · · · . Sejam E−k e A−k para 1 ≤ k ≤ m como acima. Fazendo

(Fj,B j).= (E j−m,A j−m), j = 0,1,2, · · · . (4.9)

Então, (Fj,B j); j = 0,1,2, · · · é uma escala de Banach densamente imersa. De fato, é aescala de potência gerada por (E−m,A−m). Adicionalmente, esta escala é isometricamenteisomorfa à escala de potências gerada por (E,A).

Demonstração. As considerações acima implicam que os pares (E−k,A−k) são bem defini-dos para 1 ≤ k ≤ m. Agora, a prova de que (4.9) é de fato uma escala é consequência daProposição 4.3.3 e juntamente do fato dos operadores obtidos de índice negativo seremuma extensão do operador anterior o que implica que o diagrama abaixo é comutativo

E−k+1 E− j+1

E−k E− j

A j

i1

i0

Ak

quando j > k.

Note que F0 = E−m é espaço de Banach e B0 = A−m é fechado neste espaço e quea escala (4.9) é unilateral discreta, segundo a Observação 22 esta escala é a gerada por(E−m,A−m).

4.4. Escalas duais 69

Agora, basta encontrar I j ∈L is(Fj,E j+m). para todo j ≥m, defina I j = (A j−m)m ∈

L is(E j,E j−m) e prossiga de maneira análoga ao que foi feito na Proposição 4.5.

Por fim, como o operador A é densamente definido E jd→ E j−1 para todo j ∈N e da

construção dos espaços E−k para 1 ≤ k ≤ m também temos para estes k que E−k+1 → E−k,logo do item (g) da Proposição 4.1.7 segue que a escala de Banach (4.9) é densamenteimersa.

Definição 4.3.5. Suponha que A seja densamente definido e que m seja um inteiro positivo.Então (E j−m,A j−m); j = 0,1,2, · · · é dita uma escala extrapolada de potências deordem m, gerada por (E,A) e também denotamos por

(E j,A j); j =−m,−m+1,−m+2, · · ·.

4.4 Escalas duais

Por toda esta seção assumimos que E é um espaço de Banach reflexivo e A ∈U (E)

com domínio denso e 0 ∈ ρ(A). Desa forma, já vimos que fixando m = 1,2,3, · · · , podemosconsiderar a escala de potências extrapolada de ordem m gerada por (E,A)

(E j,A j); j =−m,−m+1,−m+2, · · ·.

Sendo assim, como A é densamente definido, podemos considerar seu operador dual A∗, oqual sabemos que é fechado. Como E é reflexivo também obtemos que A∗ é densamentedefinido e por fim que 0 ∈ ρ(A) = ρ(A∗). Para evitar abusos de notação, fixemos

E# .= E∗, A# .

= A∗,

Deste modo, obtemos A# ∈ U (E#) satisfazendo as condições necessárias para podermosdefinir:

Definição 4.4.1. A escala de Banach extrapolada de ordem m gerada por (E#,A#)

(E#j ,A

#j); j =−m,−m+1,−m+2, · · ·, (4.10)

será chamada de escala dual da escala de Banach gerada por (E,A).

A seguir, estabelecemos um teorema de dualidade para o qual precisamos de al-guma preparação. Daqui em diante denotamos por ⟨·, ·⟩E

.= ⟨·, ·⟩ o par de dualidade entre

E# e E.

Lema 4.4.2. Dado k inteiro com 1 ≤ k ≤ m fazemos

⟨x#,x⟩k.= ⟨(A#

−k)−kx#,Akx⟩, x ∈ Ek, x# ∈ E#

−k.


Então⟨·, ·⟩k = E#

−k ×Ek → R

define uma forma bilinear contínua de norma 1.

Demonstração. Já sabemos que Ak ∈ L is(Ek,E) bem como (A#−k)

−k ∈ L is(E#−k,E

#) doitem (f) da Proposição 4.1.7 e além disso estes isomorfismos são isométricos. Desta forma,

sup∥x∥Ek=1

|⟨x#,x⟩k| = sup∥x∥Ek=1

|⟨(A#−k)

−kx#,Akx⟩|

= sup∥Akx∥E=1

|⟨(A#−k)

−kx#,Akx⟩|

= ∥(A#−k)

−kx#∥E# = ∥x#∥E#−k,

como queríamos demostrar.

Agora, considere a escala gerada por (E,A) como foi feito na Seção 4.4. Para cadainteiro k ≥ −m, como D(Ak) = Ek+1 é denso em Ek, podemos definir segundo o par dedualidade ⟨·, ·⟩k o operador dual (Ak)

∗.

Aqui e em situações similares consideramos (Ak)∗ ∈ U ((Ek)

∗), isto é, como umoperador linear fechado em (Ek)

∗.

Observação 24. O objetivo principal desta seção é de estabelecer uma relação entreos pares (E#

k ,A#k) da escala gerada por por (E#,A#) e os pares ((Ek)

∗,(Ak)∗) para todo

k ∈ [−m,m]∪Z.

Lembre-se sempre que os espaços E#k a princípio não tem nenhuma relação com

(Ek)∗, desde que os primeiros são obtidos conforme a seção 4.2 através do par (E#,A#) e

os outros tomando os duais dos espaços Ek.

Lema 4.4.3. Sejam E e F espaços vetoriais e B e C operadores lineares com domíniosem E e imagem em F tal que B ⊃C. Se B é injetora e C é sobrejetora então B =C.

Demonstração. Seja x ∈ D(B), logo Bx ∈ E e como C é sobrejetivo, existe z ∈ D(C) tal queCz = Bx. Porém B ⊃C o que implica em Bz = Bx, e da injetividade de B segue que x = z eportanto x ∈ D(C). Portanto, D(B)⊂ D(C) provando a afirmativa.

Proposição 4.4.4. Seja m ∈N fixado e suponha que k é um inteiro com 1 ≤ k ≤ m. Então

(Ek)∗ = E#

−k e (Ak)∗ = A#

−k. (4.11)

relativamente ao par de dualidade ⟨·, ·⟩k.


Demonstração. Defina ψ : E#−k → E∗

k , pondo para cada x# ∈ E#−k, ψ(x#)·= ⟨x#, ·⟩. Note do

Lema 4.4.2 que∥ψ(x#)∥Ek∗ = sup

∥x∥Ek=1|⟨x#,x⟩|= ∥x#∥E#

−k,

e portanto ψ define uma isometria linear de E#−k em (Ek)

∗. Daí também já obtemos ainjetividade de ψ .

Deste modo, para demonstrar a primeira identificação de (4.11) basta mostrar asobrejetividade de ψ . Com efeito, dado f ∗ ∈ (Ek)

∗ como A−k ∈ L is(E,Ek) fazendo f # .=

f ∗ A−k, obtemos um elemento de E#

Ek K

E0

A−k

f ∗

f #

e como (A#−k)

k ∈ L is(E#,E#−k) podemos definir em E#

−k x# = (A#−k)

−k f #. Assim, para qual-quer x ∈ Ek temos

ψ(x#)x = ⟨x#,x⟩k = ⟨ f #,Akx⟩= ⟨ f ∗ A−k,Akx⟩= ⟨ f ∗,x⟩(Ek)∗⊗Ek,

o que prova que ψ(x#) = f ∗, donde segue a sobrejetividade, concluindo a prova da primeirarelação, ou seja, de que (Ek)

∗ = E#−k é valida.

Para a segunda parte, provemos primeiramente que A#−k ⊂ (Ak)

∗. Com efeito, sejax# ∈ D(A#

−k) = E#−k+1 e x ∈ Ek+1 = D(Ak), temos que Ak é uma restrição de A e A#

−k é umaextensão de A#, assim

⟨x#,Akx⟩k = ⟨(A#−k)

−kx#,AkAx⟩

= ⟨A#(A#−k)

−kx#,Akx⟩

= ⟨(A#−k)

−kA#−kx#,Akx⟩

= ⟨A#−kx#,x⟩k,

Assim, ⟨x#,Akx⟩k = ⟨A#−kx#,x⟩k e por definição de (Ak)

∗ temos que A#−kx# = (Ak)

∗x#, parax# qualquer em D(A#

−k) como queríamos mostrar. Agora, basta lembrar que 0 ∈ ρ(Ak) =

ρ((Ak)∗) e que do item (e) da Proposição 4.1.7 temos 0 ∈ ρ(A#

−k), desde que ρ(A#) =

ρ(A#−k) e assim seguem que ambas as aplicações são bijeções e o deste modo o Lema 4.4.3

implica que (Ak)∗ = A#

−k

Corolário 4.4.5. Seja m ∈ N, para cada 0 ≤ ℓ < k ≤ m inteiros fixados

⟨x#,x⟩k = ⟨x#,x⟩ℓ, x ∈ Ek, x# ∈ E#−ℓ. (4.12)


Em especial, se ℓ= 0 para x ∈ Ek, x# ∈ E# tem-se

⟨x#,x⟩k = ⟨x#,x⟩.

Demonstração. Provemos (4.12) para x# ∈ E# e o caso geral segue do fato, E# d→ E#

−ℓ. Defato, como A# ⊂ A#

−ℓ ⊂ A#−k e Aℓ ⊂ A obtemos

⟨x#,x⟩k = ⟨(A#)−kx#,AkA−ℓAℓx⟩

= ⟨(A#)ℓ(A#)−k(A#)−lx#,AkA−ℓAℓx⟩

= ⟨(A#)k(A#)−k(A#)−lx#,AℓA−ℓAℓx⟩

= ⟨(A#−ℓ)

−ℓx#,Aℓx⟩

= ⟨x#,x⟩ℓ,

e corolário está provado.

Observação 25. Para x# ∈ E# e x ∈ Ek, segue do corolário que ⟨x#,x⟩k = ⟨x#,x⟩ para todo0 < k ≤ m. Deste modo, como E# d

→ E#−k a aplicação de dualidade ⟨ , ⟩k é completamente

determinada por ⟨ , ⟩. Por este motivo, no que se segue iremos abusar da notação e escreverapenas ⟨ , ⟩, para denotar ⟨ , ⟩k para todo 0 < k ≤ m.

Observação 26.

(a) Observe que tudo o que foi dito acima permanece válido se E não é reflexivo masA∗ é densamente definido.

(b) Se E não é reflexivo e A∗ não é densamente definido ainda é verdade que A∗ ∈U (E∗) e 0 ∈ ρ(A∗). Portanto, fazendo E# .

= E∗ e A# .= A∗ a escala dual de potências

(E#j ,A

#j); j = 0,1,2, · · · está ainda bem definida.

Lema 4.4.6. Sejam E e F espaços vetoriais normados. Se existe T ∈ L is(E,F) e F

reflexivo, então E é reflexivo.

Demonstração. Sejam σ(E,E∗) e σ(F,F∗) as topologias fracas de E e F , respectivamente.Afirmamos primeiramente que

T : (E,σ(E,E∗))→ (F,σ(F,F∗)) (4.13)

é um homeomorfismo. De fato, como T é bijeção com inversa limitada basta verificarmosque se T é contínua na topologia forte então é (σ(E,E∗),σ(F,F∗))-contínua. Seja V =

f−1(U) um aberto sub-básico de σ(F,F∗). Ora, T−1( f−1(U)) = ( f T )−1(U) e f T ∈ E∗,logo T−1(V ) é um aberto sub-básico de σ(F,F∗) e a afirmação segue.

Agora, considere a bola unitária fechada em E, a qual denotaremos por BE =

x ∈ E : ∥x∥E ≤ 1. Como T é homeomorfismo linear forte T (BE) é fechada forte em F


e convexo. Deste modo, o conjunto T (BE) é fracamente fechado em F. Ainda, como T

é limitada, T (BE) é limitado e agora pela reflexividade de F concluímos que T (BE) éfracamente compacto e da primeira afirmação segue que BE é compacto fraco em E eportanto E é reflexivo.

Como uma consequência simples da Proposição 4.4.4 provamos agora o seguinteteorema fundamental cujo corolário contém a caracterização mais importante dos espaçosde extrapolação E−k para 1 ≤ k ≤ m.

Teorema 4.4.7. Com as mesmas hipóteses anteriores, ao fixarmos m ∈N, obtemos paratodo k inteiro k ≥ −m que Ek e E#

k são reflexivos. Adicionalmente, relativamente ao parde dualidade ⟨·, ·⟩, são válidas as identificações

(Ek)∗ = E#

−k, (Ak)∗ = A#

−k, −m ≤ k ≤ m. (4.14)

Demonstração. Recorde primeiramente que se E é reflexivo, então E# também é reflexivoe também, que (A#

−k)k ∈ L is(E#,E−k) e (Ak)

k ∈ L is(Ek,E). Agora, graças ao Lema 4.4.6obtemos que E−k e Ek são reflexivos.

Para a segunda parte, não há o que fazer para o caso k = 0, pois este segue segueda definição. Adicionalmente, para 1 ≤ k ≤ m o resultado já está provado na Proposição4.4.4, restando provar apenas no caso −m ≤ k ≤ −1, o qual prosseguiremos da seguinteforma. Escreva para todo −m ≤ ℓ≤ m,

(Fℓ,Bℓ) = (E#ℓ ,A

#ℓ).

Desta maneira, podemos aplicar a Proposição 4.4.4 para 1 ≤ ℓ≤ m e obtendo assim

(E#ℓ )

∗ = (Fℓ)∗ = F#−ℓ = (E#

−ℓ)#.

Agora, como E−ℓ é reflexivo, obtemos da equação acima

(E#ℓ )

∗ = E−ℓ,

Como queríamos demonstrar.

Corolário 4.4.8. Se 1 ≤ k ≤ m então E−k = (E#k )

∗ e A−k = (A#k)

∗ relativamente ao par dedualidade ⟨·, ·⟩.

Demonstração. Segue da segunda parte da prova do teorema anterior.

Observação 27. Em outras palavras, este corolário nós da uma outra maneira de obter osespaços E−k para 1≤ k≤m. Basta considerar a escala dual (E#

j ,A#j) ; j = 0,1, · · · ,m gerado

por (E#,A#) e definir para 1 ≤ k ≤ m, o espaço E−k como sendo o dual topológico de E#k .

Adicionalmente, como D(A#k) = E#

k+1d→ E#

k podemos definir também A−k como o operadordual de A#

k. Desta forma obtemos a escala finita de índices negativos (E−k,A−k) ; k =

0,1, · · · ,m.


Para ilustrar melhor o que o Teorema 4.4.7, considere o caso m = 2.

Sabemos das construções anteriores que

E2 → E1 → E → E−1 → E−2.

Logo, tomando os duais obtemos

(E−2)∗ → (E−1)

∗ → E∗ → (E1)∗ → (E2)

∗.

O Teorema nos diz que está relação acima é equivalente a

E#2 → E#

1 → E# → E#−1 → E#

−2.

4.5 Escalas de interpolação-extrapolação

Seja E um espaço de Banach e suponha que A ∈U (E) é densamente definido com0 ∈ ρ(A). Então, fixado m = 0,1,2, · · · , consideramos a escala de potências extrapolada

(E j,A j); j =−m,−m+1,−m+2, · · ·

de ordem m gerada por (E,A) é uma escala de Banach Deste modo, utilizando o métodode interpolação introduzido no Capítulo 2, [·, ·]θ para cada θ ∈ [0,1], definimos para cadaα ∈ ( j, j+1) o espaço de Banach

Eα.= [E j,E j+1]α− j, Aα

.= Eα -realização de A j

para todo j =−m,−m+1,−m+2, · · · .

Observação 28. Note que, como estamos trabalhando com a interpolação complexa, temosa seguinte propriedade

E j = [E j,E j+1]0 e E j+1 = [E j,E j+1]1.

Teorema 4.5.1. Nas condições anteriores (Eα ,Aα);α ≥ −m é uma escala de Banachdensamente imersa.

Demonstração. Se α ≥−m é inteiro, já sabemos que Eα é Banach e segue do método deinterpolação [·, ·][θ ] que Eα é espaço de Banach para todo α ≥−m não inteiro.

Afirmação 1: Sejam α ,β ∈ [−m,∞] com α > β . Então

Eαd→ Eβ ,

De fato, caso α,β ∈ ( j, j+1), segue do item (b) do Teorema 3.3.1 que Eα → Eβ .Agora, como E j

d→ Eβ e E j ⊂ Eα segue a validade da afirmativa neste caso.

4.5. Escalas de interpolação-extrapolação 75

Sejam ℓ o menor inteiro maior do que β e k o maior inteiro menor do que ℓ,logo α > k ≥ l > β . Semelhante ao caso anterior, como Eℓ+1

d→ Eℓ e Eℓ+1 ⊂ Eβ , segue

que Eβd→ Eℓ e já sabemos também que Eℓ

d→ Ek e por último graças ao item (a) do

Teorema 3.3.3 que Ekd→ Eα . Sendo assim, a afirmação 1 segue da propriedade transitiva

das imersões densas.

Afirmação 2: Se α ≥−m, então

Aα ∈ L is(Eα+1,Eα).

Com efeito, dado j ∈ [−m,∞)∩Z fixado basta verificar a afirmação para α ∈ ( j, j+1). Noteque, Eα+1 e Eα são espaços de interpolação relativos ao pares (E j+2,E j+1) e (E j+1,E j),respectivamente. Por outro lado como

A j+k ∈ L is(E j+1+k,E j+k), ∀k = 0,1.

e A j+1 é uma restrição de A j, a afirmação segue do Teorema 3.2.7. A comutatividade dodiagrama

Eα+1 Eβ+1

Eα Eβ

A j

i1

i0

Ak

é análoga ao do Teorema 4.2.3, desde que a escala é densamente imersa e Aα é comple-tamente determinado por A, isto é, todos os operadores que aparecem são extensões ourestrições de A.

A partir deste teorema podemos definir a seguinte escala.

Definição 4.5.2. A escala de Banach

(Eα ,Aα);α ≥−m

será chamada de escala de interpolação-extrapolação de ordem m gerada por(E,A).

Observação 29. Pode-se construir outras escalas de interpolação-extrapolação utilizandooutros métodos de interpolação, como pode ser encontrado em (AMANN, 1995).

Aqui utilizamos apenas a interpolação complexa, pois será conveniente para lidar-mos com a equação de Navier-Stokes (6.2) nesta escala de interpolação-extrapolação.


O próximo teorema estende de maneira análoga ao que foi feito para escalas depotência, o Teorema 4.4.7.

Teorema 4.5.3. Seja E espaço de Banach reflexivo, e suponha que A ∈ U (E) é den-samente definido com 0 ∈ ρ(A). Então (Eα)

∗ = E#−α e (Aα)

∗ = A#−α para α ∈ [−m,m]

relativamente ao par de dualidade induzido por ⟨·, ·⟩. Adicionalmente, Eα é reflexivo paraα ∈ [−m,m].

Demonstração. Note primeiramente que, graças ao Teorema 4.4.7 sabemos que E j é re-flexivo para cada j ∈ [−m,m]∪Z. Portanto, do Corolário 3.5.4 segue que Eα é reflexivo.Novamente do Teorema 4.4.7, vemos que basta provar o resultado para o caso α ∈ ( j, j+1).Com efeito, temos que

(Eα)∗ = [E j,E j+1]

∗α− j

= [E∗j ,E

∗j+1]α− j

= [E#− j,E

#− j−1]α− j

= [E#− j−1,E

#− j]1−α+ j

= [E#− j,E

#− j−1]−α−( j+1)

= E#−α ,

Assim segue a primeira parte.

Agora, provemos primeiramente que (Aα)∗ ⊃ A#

−α . Sabemos do Teorema 4.4.7 quese x# ∈ E#

− j+1, então A#− jx

# = (A j)∗x#. Deste modo, para x ∈ Eα+1 e x# ∈ E#

− j+1, temosA j ⊃ Aα e A#

−α ⊃ A#− j e ainda

⟨x#,Aαx⟩ = ⟨x#,A jx⟩

= ⟨A∗jx

#,x⟩

= ⟨A#− jx

#,Akx⟩

= ⟨A#−αx#,x⟩,

Portanto, A#−αx# = (Aα)

∗x#, para todo x# ∈ E#− j+1 e agora como E#

− j+1 → E#−α+1, vemos

que, (Aα)∗ ⊃ A#

−α . Por fim, como 0 ∈ ρ(A∗α) = ρ(Aα) e A#

−α ∈ L is(E−α+1,E#−α) e segue

do Lema 4.4.3 que (Aα)∗ = A#

−α .

Observação 30. É possível construir a escala acima com parâmetros variando em emtoda a reta real, ver (AMANN, 1995).

-

4.6. Semigrupos em escalas de interpolação-extrapolação 77

4.6 Semigrupos em escalas de interpolação-extrapolação

Uma vez que estabelecemos a teoria de interpolação-extrapolação, nos voltamos aoestudo do comportamento de semigrupos de operadores lineares nestas escalas. Mostrare-mos que, falando informalmente, podemos transladar uma equação de evolução ao longoda escala para obter um contínuo de problemas relacionados. De particular importância éo fato que podemos desenvolver uma boa teoria de dualidade. Isto conduz a interpretaçõesdas soluções para problemas de Cauchy extrapolados como definidos naturalmente comosoluções fracas.

Nesta seção estudamos em particular o comportamento de semigrupos em escalasinterpolação-extrapolação. Estas investigações são a base abstrata para a teoria fraca desistemas parabólicos lineares e semilineares.

No Capítulo 6 mostraremos como o que foi dito acima se aplica a equação deNavier-Stokes para se obter soluções “muito fracas”.

Observação 31. Denotaremos nesta seção o conjunto G (E) como sendo o conjunto dosgeradores infinitesimais de um C0-semigrupo. Sabemos também se A∈G (E), então existemM ≥ 1 e σ ≥ 0 tais que

∥eAt∥L (E) ≤ Meσt ,

neste caso, escrevemos A ∈ G (E,M,σ).

Definição 4.6.1. Seja A ∈ G (E), definimos o tipo do operador A como o número real

tipo(A) = infσ ∈ R ; ∃M ≥ 1|A ∈ G (E,M,σ).

A seguir será importante sabermos se os operadores com os quais estamos traba-lhando comutam entre si.

Seja E um espaço de Banach. Dados operadores lineares A,B : E → E o seu comu-tador é definido por

[A,B] .= AB−BA.

Portanto A e B comutam se e somente se [A,B] = 0. Se A : D(A)⊂ E → E e B : E → E sãolineares então A e B comutam se AB ⊃ BA. Note que isto significa que B(D(A))⊂ D(A) eABx = BAx para x ∈ D(A).

Lema 4.6.2. Suponha que A ∈ U (E). Então

• A(λ −A)−1 ⊃ (λ −A)−1A, λ ∈ ρ(A).

• Se B ∈ L (E) então


AB ⊃ BA ⇐⇒ [(λ −A)−1,B] = 0 para algum λ ∈ ρ(A)

⇐⇒ [(λ −A)−1,B] = 0 para todo λ ∈ ρ(A)

• Se A,B ∈ G (E) então

AeBt ⊃ eBtA, t ≥ 0,

⇐⇒ A(µ −B)−1 ⊃ (µ −B)−1A, µ > tipo(B),

⇐⇒ [(λ −A)−1,(µ −B)−1] = 0, λ > tipo(A), µ > tipo(B)

⇐⇒ [(λ −A)−1,eBt ] = 0, λ > tipo(A), t ≥ 0,

⇐⇒ [esA,etB] = 0, s, t ≥ 0.

Adicionalmente, as afirmativas envolvendo λ > tipo(A) ou µ > tipo(B) já são verdade seelas valem para algum λ > tipo(A) ou pelo menos um µ > tipo(B), respectivamente.

Demonstração. (i) Note que, para λ ∈ ρ(A)

A(λ −A)−1 = (λ − (λ −A))(λ −A)−1 = λ (λ −A)−1 − I

Por outro lado, se x ∈ D(A), temos

(λ −A)−1Ax = −(λ −A)−1(λ −A−λ )x

= −[I −λ (λ −A)−1]x

= A(λ −A)−1x.

E o item (i) está provado.

(ii) Se AB ⊃ BA então (λ −A)B ⊃ B(λ −A). Portanto, se λ ∈ ρ(A) segue que

B ⊃ (λ −A)−1B(λ −A)

logo B(λ −A)−1 ⊃ (λ −A)−1B e daí seguirá a afirmativa.

(iii) Segue do item (ii) das fórmulas de representação

(λ −A)−1 =∫ ∞

0e−λ teAtedt, x ∈ E, Reλ > β ,

onde β é dado no Teorema 2.2.3 e

eAtx = limk→∞

(1− t

kA)−k

x, t ≥ 0, x ∈ E.


Lema 4.6.3. Seja E e F dois espaços de Banach e suponha que existe um espaço deBanach G tal que E → G e F → G. Se E é um subespaço vetorial de F então E → F.

Demonstração. Provemos que a inclusão natural i : E → F é contínua, para isto provemosque o gráfico de i é fechado. Com efeito, seja x j uma sequência em E tal que x j → x emE e i(x j)→ y em F . Desde que E → G e F → G vemos que x j → x em G e x j = i(x j)→ y

em G. Portanto x = y, isto é, i(x) = y, ou seja, o gráfico de i é fechado em E ×F . Agora aafirmativa segue do teorema do gráfico fechado.

Definição 4.6.4. Seja B : D(B) ⊂ E → E operador fechado e D um subespaço de D(B).Dizemos que D é um core para o operador B se é subespaço denso de (D(B),∥ · ∥G(B)),onde ∥ · ∥G(B) é a norma do gráfico.

Observação 32. Seja B : D(B) ⊂ E → E operador fechado. Para D ⊂ D(B) ser um corede B é necessário e suficiente que B seja completamente determinado pelo fecho de suarestrição a D , isto é, B = B |D .

Demonstração. Provemos a condição necessária. Com efeito, como B é operador fechadoem E, obtemos que B |E é fechável em E e ainda que B ⊃ B |D . Seja agora x ∈ D(B), porhipótese D é core para B logo existe xn ⊂ D tal que ∥xn − x∥G(B) → 0 e daí segue que(x,Bx) ∈ G(B |D), donde segue que Bx = B |Dx e a primeira parte está provada. Reciproca-mente, assuma que B |D = B, e mostremos que D é um core. De fato, se x ∈ D(B), então(x,Bx) ∈ G(B |D) e portanto, existe xn ⊂ D tal que

∥xn − x∥E +∥Bxn −Bx∥E → 0,

o que é equivalente a dizer que D é subespaço denso em D(B) dotado com a norma dográfico como queríamos demonstrar.

Lema 4.6.5. Seja B ∈ G (E). Se D ⊂ D(B) for subespaço vetorial denso em E e invariantesob o semigrupo eBt ; t ≥ 0, então D é um core para B.

Demonstração. Denote por D o fecho de D em (D(B),∥ · ∥G(B)). Como D(B) é Banachcom a norma do gráfico e D é subconjunto deste, já obtemos a inclusão D ⊂ D(B).

Mostremos que D(B)⊂D . Com efeito, dado x ∈ D(B) graças a densidade de D emE, obtemos xn ⊂ D tal que ∥xn − x∥E → 0, quando n → ∞. Afirmamos que para todok,n ∈ N tem-se

k∫ 1/k

0esBxnds , k

∫ 1/k

0esBxds ∈ D .

De fato, para cada n ∈ N

∥k∫ 1/k

0esBxnds− xn∥G(B) = ∥k

∫ 1/k

0esBxnds− xn∥E +∥k(eB 1

k xn − xn)−Bxn∥E (4.15)


o que tende a zero quando k → ∞, desde que B é gerador do semigrupo, o que implica emk∫ 1/k

0 esBxnds ∈ D . Sendo assim, para k ∈ N fixado

∥∫ 1/k

0esBxnds−

∫ 1/k

0esBxds∥G(B) = ∥

∫ 1/k

0esB(xn − x)∥E +∥B

∫ 1/k

0esB(xn − x)∥E

≤ 1k

sup0≤s≤1/k

∥esB∥L (E)∥xn − x∥+∥etB(xn − x)− (xn − x)∥E

≤ ∥xn − x∥E (1k

sup0≤s≤1/k

∥esB∥L (E)+∥etB∥L (E)+1),

o qual tende a zero, quando n → ∞ e portanto k∫ 1/k

0 esBxds ∈ D = D e a afirmação segue.

Agora, de maneira análoga a (4.15) vemos que k∫ 1/k

0 esBxds aproxima x com anorma do gráfico quando k → ∞, donde segue que x ∈D como queríamos demonstrar.

Lema 4.6.6. Seja A : E1 ⊂ E0 → E0 operador tal que −A é setorial com ρ(A) ⊃ [0,∞).Então para todo α ≥ 0 temos R(eAt)⊂ Eα .

Demonstração. Graças ao Teorema 2.2.14 temos R(etA)⊂ E1, logo se m ∈ N é qualquer ex ∈ E0 escrevendo eAt = (eAt/m)m = eAt/m · · · eAt/m, vemos que eAtx ∈ Em. Por fim, se αnão é inteiro, o resultado vem do fato de Eα ser espaço intermediário.

Observação 33. O lema anterior nos diz uma das ótimas propriedades de um operadorsetorial, dizendo que o semigrupo gerado pelo seu negativo “ regulariza ”, isto é, que nãoimporta quão ruim é seu dado inicial, o semigrupo analítico o coloca num espaço melhor.A propriedade ficará mais clara no capítulo seguinte.

O próximo lema possui papel fundamental na demonstração do principal teoremadessa seção.

Lema 4.6.7. Sejam F e G espaços de Banach com F → G. Suponha que B ∈ G (G) comD(B)

d⊂F que o semigrupo eBt ; t ≥ 0 deixa F invariante e que ∥eBt∥L (F)≤ c para 0≤ t ≤ 1.

Então BF ∈ G (F) e eBF t = eBt∣∣F para t ≥ 0.

Demonstração. Defina G1.= D(B) dotado com a norma ∥(ω +B) ·∥F para algum ω ∈ ρ(B).

Graças ao Lema 4.6.2 temos que (ω −B)eBt ⊃ eBt(ω −B). Isto implica que se x ∈ G1,

eBtx = (ω −B)−1eBt(ω −B)x.

Assim, definindo U1(t) = eBt |G1 , temos que o diagrama abaixo é comutativo

G1 G1

G G

ω +B

eBt

U1(t)

ω +B


Afirmamos que U1(·) é C0-semigrupo em G1. De fato, já satisfaz a propriedade de semi-grupo pois é restrição de um, ainda U1(0) = e0B |G1= IG1 e por fim

∥U1(t)x− x∥G1 = ∥eBt(ω −B)x− (ω −B)x∥G → 0,

quando t → 0, desde que eBt ; t ≥ 0 é fortemente contínuo. Disto vemos que U1(t); t ≥ 0é um semigrupo fortemente contínuo sobre G1.

Seja UF(t) = eBt |F , para todo t ≥ 0, como F é invariante UF(t); t ≥ 0 define umsemigrupo sobre F . Adicionalmente, para t ≥ 0, temos U1(t)⊂UF(t), desde que G1 ⊂ F edeste modo dado x ∈ G1, vemos que UF(t)x =U1(t)x → x ∈ G1 em G1 quando t → 0. Agora,como ω ∈ ρ(B) temos G1 → G, por hipótese F → G e G1 é subespaço de F Pelo Lema4.6.3 concluímos que G1 → F . Desta maneira, para todo x ∈ G1 obtemos

∥UF(t)x− x∥F ≤ ∥U1(t)x− x∥G1 → 0. (4.16)

Ora, G1 é denso em F , sendo assim dado x ∈ F existe xn ⊂ G1 tal que xn → x em F .Logo, para n suficientemente grande fixado de modo que ∥xn − x∥F < ε/2(c+1) obtemos

∥UF(t)x− x∥F ≤ ∥UF(t)x−UF(t)xn∥F +∥UF(t)xn − xn∥F

+ ∥xn − x∥F .

Por hipótese, ∥UF(t)∥L (F) ≤ c, uniformemente para 0 < t < 1 e portanto

∥UF(t)x− x∥F ≤ (c+1)∥xn − xn∥F +∥UFxn − xn∥F .

< ε/2+∥UFxn − xn∥F .

Agora, como n está fixado de (4.16), podemos tomar t ≥ 0 suficientemente pequeno deforma que ∥UF(t)xn − xn∥F < ε/2, donde segue que ∥UF(t)x− x∥F < ε e portanto UF(·) éum semigrupo uniformemente contínuo.

Seja A o gerador infinitesimal deste semigrupo, dado λ > maxtipo(A),tipo(B) ex ∈ F da representação resolvente temos que

(λ −A)−1x =∫ ∞

0e−λ tUF(t)xdt =

∫ ∞

0e−λ teBtxdt = (λ −B)−1x,

donde segue que (λ −A)−1 = (λ −B)−1 |F e graças ao Lema (4.1.2), (λ −A)−1 = (λ −BF)−1

o que implica A = BF e o resultado segue.

A seguir o teorema mais importante deste capítulo.

Teorema 4.6.8. Suponha que A ∈ G (E,M,ω) e µ ∈ ρ(A) e defina B .= B(µ) .

= µ −A.

Sendo assim, considere

(Eα ,Bα);α ≥−m


a escala de interpolação-extrapolação gerada por (E,B) e o método de interpolação [·, ·]θ .Nestas condições, Aα ∈ G (Eα ,M,ω) e ρ(Aα) = ρ(A) para todo α ≥−m, com

∥Aα∥L (Eα+1,Eα ) ≤ ∥A∥L (E1,E). (4.17)

Adicionalmente, os diagramas

Eα Eα

Eβ Eβ

i

eAα t

eAβ t

i

são comutativos para −m ≤ β ≤ α ≤ m e t ≥ 0.

Além disso, se m ≥ 1,

λ +Aα ∈ L is(Eα+1,Eα), λ ∈ ρ(A), −m ≤ α ≤ m−1.

e∥(λ −Aα)

−1∥L (Eα ,Eα+ j) ≤ ∥(λ −A)−1∥L (E,E j) (4.18)

para λ ∈ ρ(A), j = 0,1, e −m ≤ α ≤ m−1.

Adicionalmente, se −A : E1 ⊂→ E0 é setorial, então −A−α : Eα+1 ⊂ Eα → Eα étambém setorial para todo −m ≤ α ≤ m−1. Além disso,

∥eAβ t∥L (Eβ ,Eα ) ≤ ctβ−αeσt , t > 0, (4.19)

para −m ≤ β ≤ α ≤ m, onde c depende de α e β .

Demonstração. Para melhor organização, vamos dividir a prova deste teorema em quatropassos.

Passo 1: O caso α = 0 é imediato, faremos então o caso α = k ∈ N∩ (0,m]. OLema 4.6.2 implica que para todo k inteiro não negativo vale

BkeAt ⊃ eAtBk, t ≥ 0, (4.20)

logo, Ek = D(Bk) é invariante sob eAt , t ≥ 0. Ainda, se x ∈ Ek, temos que

∥eAtx∥Ek = ∥eAtBkx∥E ≤ ∥eAt∥L (E)∥x∥Ek , t > 0,

de onde vemos que para 0 ≤ t ≤ 1

∥eAt∥L (Ek) ≤ ∥eAt∥L (E) ≤ M. (4.21)


Sendo assim, como D(A) = E1 → E podemos utilizar o Lema 4.6.7 e obtemos queA1 = (A)E1 , a E1-parte de A, é gerador de eAt |E1, t ≥ 0, ou seja, A1 ∈ G (E1,M,ω) comeA1t = eAt |E1 . Além disso, como D(A) = E1 do Lema 4.1.2 obtemos que ρ(A1) = ρ(A).

Da mesma forma, de (4.20) vemos que D(A1) = E2 é invariante para o semigrupoeA1t ; t ≥ 0 e adicionalmente de (4.21) para este semigrupo, vemos que estamos nova-mente nas hipóteses do Lemas 4.6.7 e 4.1.2 donde concluímos que A2 = (A1)E2 = (A)E2 ∈G (E2,M,ω), eA2t = eAt |E2 e ρ(A2) = ρ(A1).

Seguindo esse processo indutivamente até m−1, concluímos para todo k= 1,2, . . . ,nque Ak = (A)Ek , é gerador de eAt |Ek , t ≥ 0, com ρ(Ak) = ρ(A).

Seja k ∈ (0,m] inteiro fixado, para ver (4.17) tome x ∈ Ek+1 = D(Ak) e assim doLema 4.20 e do fato de Ak ser restrição de A, temos

∥Akx∥k = ∥BkAkx∥E = ∥BkAx∥E = ∥ABkx∥E ≤ ∥A∥L (E1,E0)∥Bkx∥1 = ∥A∥L (E1,E0)∥x∥k+1.

Por fim, para j = 0,1 fixado, pelo Lema 4.6.2 também vemos que

∥(λ −Ak)−1x∥k+ j = ∥(λ −A)−1Bkx∥ j ≤ ∥(λ −A)−1∥L (E,E j)∥x∥Ek

para λ ∈ ρ(A), j = 0,1 e x ∈ Ek.Assim,

∥(λ −Ak)−1∥L (Ek,Ek+ j) ≤ ∥(λ −A)−1∥L (E,E j)

o que prova (4.18) para α = k ∈ (0,m]∩N e cluímos a prova da primeira parte do teoremapara α inteiro neste intervalo.

Passo 2: j = −m,−m + 1, . . . ,−1. Afirmamos primeiramente que o semigrupoeAt ; t ≥ 0 em E se estende a um C0-semigrupo U−1(·) = U−1(t) ; t ≥ 0 em E−1 com

∥U−1(t)∥L (E−1) ≤ ∥eAt∥L (E), ∀t ≥ 0. (4.22)

Com efeito, seja x ∈ E1, então para todo t ≥ 0

∥eAtx∥−1 = ∥B−1eAtx∥E = ∥B−1eAtx∥E ≤ ∥eAt∥L (E)∥x∥−1. (4.23)

Se x ∈ E−1, agora como Ed→ E−1, existe xn ⊂ E tal que xn → x em E−1. Graças ‘a (4.23),

vemos que eAtxn ⊂ E−1 é de Cauchy e podemos definir para para x ∈ E−1, U−1(t)x =

limeAtxn. Dessa forma,

∥U−1(t)x∥= lim∥eAtxn∥ ≤ ∥eAt∥L (E)∥ limxn∥−1 = ∥eAt∥L (E)∥x∥−1,

donde segue que os operadores em E−1, U−1(t) são contínuos e vale (4.22).

Provemos que é um C0-semigrupo. De fato, como B−1 ∈ L is(E,E−1) temos que

U−1(t) = B−1eAt(B−1)−1, ∀t ≥ 0, (4.24)


desde que vale em E1 a concluímos por densidade. Dessa maneira, vemos que U−1(0) =B−1IEB−1

−1 = IE−1 e da igualdade

U1(t + s) = B−1eAt(B−1)−1B−1e−sA(B−1)

−1,

segue que U−1(·) satisfaz a propriedade de semigrupo. Por fim, mostremos que U−1(·) éfortemente contínuo. Ora, para dado x ∈ E−1, existe xn ⊂ E com ∥xn−x∥−1 → 0, quandon → ∞. Logo, fazendo

∥U−1(t)x− x∥−1 ≤ ∥U−1(t)x−U−1(t)xn∥−1 +∥U−1(t)xn − xn∥−1

+ ∥xn − x∥−1,

obtemos a afirmação de maneira análoga ao que foi feito no Lema 4.6.7.

Seja agora C o gerador infinitesimal de U−1(·). Mostraremos que E ⊂ D(C) e queC ⊃ B−1AB−1. Com efeito, para x ∈ E temos B−1x = (B−1)

−1x e

∥[U−1(t)x− x]/t −B−1AB−1x∥−1 = ∥B−1[(eAt(B−1)−1x− (B−1)

−1x)/t −AB−1x]∥−1

= ∥[eAtB−1xB−1x]/t −AB−1x∥E ,

e o último termo tende a zero quando t → 0+, desde que A é o gerador de eAt ; t ≥ 0como queríamos demonstrar. Com isto e do Lema 4.6.2, obtemos

C ⊃ B−1AB−1 ⊃ B−1B−1A = A.

Ainda, como C é gerador de semigrupo, temos que C é operador fechado em E−1 e comoC é extensão de A devemos ter C ⊃ A−1. Note também que,

eA1t ⊂ eAt ⊂U−1(t),

de onde vem que E1 é invariante sob U−1(t); t ≥ 0. Portanto, graças a densidade deE1 em E−1 e o Lema 4.6.5 asseguramos que E1 é um core para o operador C e pelaObervação 32, sabemos que C é o fecho de sua restrição a E1. Acima vimos que C ⊃ A

e portanto C∣∣E1

= A∣∣E1

= A e C Consequentemente, C = A−1, o qual é o fecho de A emE−1 por definição. Assim, provamos que A−1 está bem definido, com A−1 ∈ G (E−1,M,ω)

e eAt ⊂ eA−1t , para todo t ≥ 0. Por fim, como A é a E-parte de A−1, com D(A−1) = E, oLema 4.1.2 implica ρ(A−1) = ρ(A).

Agora de forma análoga, definimos U−2(·) um C0-semigrupo em E2 que vem comoextensão do semigrupo U−1(·) e satisfaz

∥U−2(t)∥L (E−2) ≤ ∥U−1(t)∥L (E−1), ∀t ≥ 0. (4.25)

Também da mesma forma obtemos A−2 como o gerador de de U−2(·) e que ρ(A−2) =

ρ(A−1).


Prosseguindo indutivamente, prova-se para todo inteiro 1 ≤ k ≤ m que A−k ∈G (E−k,M,ω), com ρ(A−k) = ρ(A).

Para provar (4.17), note primeiramente que do Lema 4.6.2, também concluímosque para j = 1,2, · · · , vale

AB− j ⊃ B− jA

Logo, se −k é inteiro em [−m,−1], então como A é restrição de A−k, para x ∈ E1 temos

∥A−kx∥−k = ∥B−kAx∥E = ∥BkAx∥E = ∥AB−kx∥E ≤∥A∥L (E1,E0)∥B−kx∥1 = ∥A∥L (E1,E0)∥x∥−k+1.

Agora, como E1d→ E1−k, para todo 1 ≤ k ≤ m, segue que

∥A−k∥L (E1−k,E−k) ≤ ∥A∥L (E1,E0),

como queríamos. Por fim, para obter (4.18) tome x ∈ E−k e j = 0,1, então se λ ∈ ρ(−A),temos que do Lema 4.1.2, então

∥(λ −A−k)−1x∥−k+ j = ∥(λ −A)−1B−kx∥ j ≤ ∥(λ −A)−1∥L (E,E j)∥x∥E−k ,

assim,∥(λ −A−k)

−1∥L (E−k,E−k+ j) ≤ ∥(λ −A)−1∥L (E,E j),

donde decorre a estimativa desejada e o Passo 2.

Passo 3: Caso em que α ∈ ( j, j+1), para algum j inteiro em [−m,m−1].Com efeito, graças aos passos anteriores temos para todo t ≥ 0 que os operadores

eA jt : E j → E j,

eA j+1t : E j+1 → E j+1

são limitados. Sendo assim, basta utilizar que Eα é espaço de interpolação, para obter queEα é invariante por eA jt ; t ≥ 0 e que eA jt |Eα : Eα → Eα é limitado com

∥eA jt |Eα ∥L (Eα ) ≤ ∥eA jt∥1−(α− j)L (E j)

∥eA j+1t |Eα ∥α− jL (E j+1)

≤ ∥eAt∥L (E).

Daí vemos também que para t ∈ [0,1], ∥eA jt |Eα ∥L (Eα ) ≤ M. Além disso, do item (a)do Teorema 3.3.3, temos que D(A j) = E j+1

d→ Eα e graças ao Lema 4.6.7, obtemos que

Cα = (A j)Eα ∈ G (Eα ,M,ω) satisfaz etCα = eA jt |Eα , para todo t ≥ 0.

Dessa forma, basta provar que Aα =Cα e ρ(Aα) = ρ(A) para todo α . De fato, sej = 0,1, . . . , então Aα = Cα por definição e como D(A j) ⊂ Eα do Lema 4.1.2 temos queρ(Aα) = ρ(A j). Por outro lado, para j =−m,−m+1, . . . ,−1, note primeiramente que

eA1t ⊂ eA jt |Eα .


Daí vemos que E1 é invariante sob etCα ; t ≥ 0 e como E1d→ Eα , podemos utilizar nova-

mente o Lema 4.6.5 para garantir que E1 é um core para o operador Cα e da Observação32 obtemos Cα = Cα |E1 , porém Cα = (A j)Eα de onde concluímos que

Cα∣∣E1

= A j∣∣E1

= A.

Deste modo, tomando o fecho de A em Eα obtemos Aα e assim novamente pelo Lema 4.1.2segue que ρ(Aα) = ρ(A j).

Por fim, para ver (4.17) e (4.18), basta utilizar ambas desigualdades para o casodiscreto e o fato de Eα ,Eα+1 serem espaços de interpolação relativos aos pares (Ek,Ek+1)

e (Ek+1,Ek+2) e com relação os operadores Ak ∈ L (Ek+1,Ek) e (λ −Ak)−1 ∈ L (Ek,Ek+ j),

para todo k ∈ Z∩ [−m,m−1], j = 0,1 e λ ∈ ρ(A).

Passo 4: Se A é setorial em E, graças a (4.18) e ρ(Aα) = ρ(A), segue que Aα ésetorial em Eα , para todo α ∈ [−m,m].

Agora provemos (4.19). Com efeito, se j,k são inteiros em [−m,m] com k > j, existeℓ∈N tal que k = j+ℓ e neste caso basta provar que ∥eA jt∥L (E j,E j+ℓ) ≤ ct−ℓeσt . Com efeito,seja x ∈ E j, temos do lema 4.6.6 temos que eA jtx ∈ E j+ℓ e ainda

∥eA jtx∥ j+ℓ = ∥(e−A jt/ℓ)ℓx∥ j+ℓ.

Agora, como A j+ℓ−1 é setorial em E j+ℓ−1 temos

∥eA jtx∥ j+ℓ ≤ M (tℓ)−1 eσt/ℓ∥(e−A jt/ℓ)ℓ−1x∥ j+ℓ−1.

Prosseguindo indutivamente, obtemos

∥eA jtx∥ j+ℓ = (M (tℓ)−1 eσt/ℓ)ℓ∥x∥ j.

e o resultado segue neste caso.

Seja α ∈ ( j, j + 1), logo Eα é espaço de interpolação em relação a (E j,E j+1) eportanto para x ∈ E j temos

∥eA jtx∥α ≤ (∥eA jtx∥ j)1−(α− j)(∥eA jtx∥ j+1)

α− j ≤ (∥eA jt∥L (E j)∥x∥ j)1−(α− j)(∥eA jt∥L (E j,E j+1)∥x∥ j)

1−(α− j).

Como A j é setorial em E j, temos que

∥eA jtx∥α ≤ (ceσt∥x∥ j)1−(α− j)(ct−1 eσt∥x∥ j)

1−(α− j) = ctα− jeσt∥x∥ j.

Donde segue (4.19) para este caso. De maneira análoga, obtemos

∥eA jt∥L (Eα ,E j+1) ≤ ctα− j−1eσt .

Considerando agora o caso em que j < β < α < j+ 1. Queremos encontrar η demodo que o espaço intermediário [E j,Eβ ]η seja igual a Eα . Do Teorema de reiteração 3.6.1


vemos que valor desejado satisfaz α − j = (1−η)1+η(β − j). Sendo assim, obtemos Eα

como espaço intermediário a E j e Eβ , temos semelhantemente ao feito acima que parax ∈ Eβ

∥eAβ tx∥η ≤ (∥eAtβ x∥ j+1)1−η(∥eAβ tx∥β )

η ≤ (∥eAβ t∥L (Eβ ,E j+1)∥x∥β )1−η(∥eAβ t∥L (Eβ )

∥x∥β )η ,

ainda, o último termo é majorado por c(tβ− j−1)1−η eσt∥x∥β , mas

1−η =β − j−1−α + j+1

β − j−1=

β −αβ − j−1

.

Também do Teorema de reiteração 3.6.1 temos que [E j,Eβ ]η = Eα , com normas iguais.Logo,

∥eAβ tx∥α = ∥eAβ tx∥η ≤ ctβ−α eσt ,

como queríamos.

Por fim, mostremos para −m ≤ ℓ− 1 < β < ℓ ≤ k < α < k+ 1. Aqui, basta notarque do lema 4.6.6 e fazendo s = t/3 da propriedade de semigrupo que

∥eAβ t∥L (Eβ ,Eα ) ≤ ∥e−sAk∥L (Ek,Eα )∥e−sAℓ∥L (Eℓ,Ek)∥e−sAβ ∥L (Eβ ,Eℓ)

concluímos daí que (4.19) é valida, para quaisquer α > β .

89

CAPÍTULO

5PROBLEMAS PARABÓLICOS

SEMILINEARES COM CRESCIMENTOCRÍTICO

5.1 Boa colocação local no caso crítico

Considere o problema de valor inicial do tipo

x = Ax+ f (t,x), t > 0x(t0) = x0,

(5.1)

onde o operador linear −A : D(A) ⊂ E0 → E0 é um operador setorial em um espaço deBanach E0. Seja (Eα ,Aα) ; α ≥ −m, a escala de interpolação-extrapolação gerada pelooperador A e o método de interpolação complexa introduzido no Capítulo 3. Denotaremospor eAt ; t ≥ 0 o semigrupo analítico gerado por A, ver 2.2.14.

Para facilitar ideias assuma que f é independente do tempo.

É bem conhecido que se f : E1 → Eα , α > 0, é Lipschitz contínua em subconjuntoslimitados de E1 então o problema (5.1) é localmente bem colocado em E1, como veremosabaixo.

Nesta caso, para cada x0 ∈ E1 procuramos por pontos fixos de T no espaço

K(τ,µ) = x(t) ∈C([0,τ],E1); x(0) = x0, ∥x(t)∥L∞([0,τ],E1) ≤ ∥x0∥1 +µ,

onde T é dado por

(T x)(t) = eAtx0 +∫ t

0eA(t−s) f (x(s))ds. (5.2)

90 Capítulo 5. Problemas parabólicos semilineares com crescimento crítico

Os cálculos,

∥(T x)(t)∥1 ≤ ∥eAtx0∥1 +M∫ t

0(t − s)−1+α∥ f (x(s))∥αds

≤ ∥eAtx0∥1+CM∫ t

0(t − s)−1+αds+CM

∫ t

0(t − s)−1+αds sup

0≤s≤t∥x(s)∥1

e

∥(T x)(t)− (Ty)(t)∥1 ≤ M∫ t

0(t − s)−1+α∥ f (x(s))− f (y(s))∥αds

≤CM∫ t

0(t − s)−1+α∥x(s)− y(s)∥1ds

≤ (CM∫ t

0(t − s)−1+αds) sup

0≤s≤t∥x(s)− y(s)∥1,

juntamente com o fato que ∥eAtx0∥1t→0+−→ ∥x0∥1,

∫ t0(t − s)−1+αds = tα ∫ 1

0 (1− s)−1+αds → 0quando t → 0+, sugerem que para µ > 0 fixo podemos escolher τ > 0 suficientementepequeno tal que T : K(τ,µ)→ K(τ,µ) e que T é uma contração estrita em K(τ,µ). Umavez que isto é conseguido, o Teorema do ponto fixo de Banach se encarrega da existênciae unicidade de solução para a equação integral.

Com algum esforço extra podemos mostrar que a solução encontrada é uma soluçãoda equação diferencial (5.1), ver por exemplo (HENRY, 1985).

Na análise acima, a convergência da integral imprópria∫ 1

0 (1− s)−1+αds, que éequivalente ao fato que α > 0, é essencial e todo o argumento cai por terra quando α = 0.Também vale notar que , como A : E1 → E0, o fato que f : E1 → Eα com α > 0 significa queas soluções do problema (5.1) podem ser obtidas como perturbações do problema linearx = Ax, basta olhar para fórmula da variação das constantes (5.2).

Estamos interessados na resolubilidade local do problema (5.1), quando α = 0.Nesta direção considere primeiramente o lema abaixo.

Lema 5.1.1. Seja A : D(A)⊂ E0 → E0 tal que −A gera um semigrupo fortemente contínuoe que −A é setorial, portanto A gera semigrupo analítico. Então, D(A) = E0 e A é operadorlimitado.

Demonstração. Seja x0 ∈ E0 qualquer e considere o problemas de valor inicial

x =−Ax, t > 0x(0) = x0.

É conhecido que x(t) = e−Atx0 é solução de (5.1) definida para todo t > 0. Agora, conside-remos outro problema de valor inicial

y = Ay, t > 0y(0) = x(1),

5.1. Boa colocação local no caso crítico 91

como −A é setorial, A é gerador de semigrupo analitíco e y(t) = eAtx(1) é solução de (5.1).Note que, F(t) = eAte−Atx0 é diferenciável, com derivada nula e como está definida em umconexo, F(t) = x0 para todo t ≥ 0. Deste modo, como o semigrupo analítico regulariza,obtemos x0 = y(1)= eA1x(1)∈D(A) e o resultado segue do teorema do Gráfico fechado.

A partir do resultado acima fica claro que se a única hipótese sobre f é quef : E1 → E0 seja localmente Lipschitz, será impossível mostrar que o problema (5.1) élocalmente bem colocado. De fato, tomando f (x) = −2Ax, que satisfaz f : E1 → E0 e églobalmente Lipschitz, teremos x = Ax+ f (x) =−Ax, o qual pelo Lema acima, vemos quenão é localmente bem colocado para operadores ilimitados. Portanto, alguma condiçãoextra deve ser imposta sobre f para garantir a existência das soluções do problema acima.

Para lidar com o caso α = 0 foi introduzido em (ARRIETA; CARVALHO, 1999)o conceito de ε-regularidade que descrevemos a seguir no contexto de escalas de Banach

Definição 5.1.2. Dizemos que x : [0,τ]→ E1 é uma solução fraca ε-regular, ou sim-plesmente ε-solução para (5.1) relativo ao par (E1,E0) se x ∈C([0,τ],E1)∩C((0,τ],E1+ε),e x(t) satisfaz para todo t ∈ [0,τ]

x(t) = eAtx0 +∫ t

0eA(t−s) f (s,x(s))ds. (5.3)

Definição 5.1.3. Para ε ≥ 0, diremos que a transformação g, é uma aplicação ε-regular relativamente ao par (E1,E0), se existem ρ > 1, γ(ε) com ρε ≤ γ(ε) < 1 e umaconstante c, tal que g : E1+ε → Eγ(ε) e

∥g(x)−g(y)∥γ(ε) ≤ c∥x− y∥1+ε(∥x∥ρ−11+ε +∥y∥ρ−1

1+ε +1) ∀x,y ∈ E1+ε . (5.4)

Mais geralmente, se m ∈ N está fixado, para α ≥−m, temos

Definição 5.1.4.

• x : [0,τ]→ E1 é uma solução fraca ε-regular para (5.1) relativo ao par (Eα+1,Eα) sex ∈C([0,τ],E1+α)∩C((0,τ],E1+α+ε) e satisfaz (5.3).

• g, é uma aplicação ε-regular relativamente ao par (Eα+1,Eα), quando existem ρ > 1,γ(ε) com ρε ≤ γ(ε)< 1 e uma constante c, tal que g : E1+α+ε → Eγ(ε)+α e

∥g(x)−g(y)∥γ(ε)+α ≤ c∥x− y∥1+ε+α(∥x∥ρ−11+ε+α +∥y∥ρ−1

1+ε+α +1) ∀x,y ∈ E1+ε+α .

(5.5)

Observação 34. Para o caso especial em que ε > 0, note que a definição de ε-regularnos diz que a não linearidade tira um pouco menos que ”uma derivada”, isto é, f levaelementos de E1+ε em Eγ(ε) com γ(ε)≥ ρε > ε, enquanto o operador A leva E1+ε em Eε .Em outras palavras, f é um “pouco mais regular” que o operador linear.


5.2 Teorema de boa colocação para o caso crítico

Em relação ao operador linear −A : D(A)⊂ E0 → E0 vamos assumir que ele é umoperador setorial no espaço de Banach E0. Iremos denotar por Eα , α ≥ −m os espaçosde interpolação - extrapolação de ordem m gerados pelo par (E0,A) e por eAt ; t ≥ 0o semigrupo analítico gerado por A, veja o Teorema 2.2.14. Sem perda de generalidadeassumiremos que o semigrupo é uniformemente limitado em t, caso contrário, transladepor um múltiplo escalar da identidade. Note que, fazendo isso o problema (5.1) ficaria

x = (A−µ)x+µx+ f (t,x) = (A−µ)x+g(t,x),

onde esta nova aplicação g não altera suas propriedades de ε-regularidade e nem as con-dições que vamos impor a seguir. Sendo assim, seja M de modo que,

t1+α−β∥eAtx∥1+α ≤ M∥x∥β , 0 ≤ β ≤ 1+α ≤ 2, (5.6)

(veja 4.19).

Agora com relação as não linearidades, vamos considerar a seguinte classe de fun-ções: com ε , ρ , γ(ε), c, constantes positivas e ν(t) com 0 ≤ ν(t) ≤ δ , limt→0+ ν(t) = 0,defina F

.= F (ε,ρ ,γ(ε),c,ν(·)) como a família de funções f tal que se t > 0 f (t, ·) é uma

aplicação ε-regular relativa ao par (E0,E1), satisfazendo:

∥ f (t,x)− f (t,y)∥γ(ε) ≤ c∥x− y∥1+ε(∥x∥ρ−11+ε +∥y∥ρ−1

1+ε +ν(t)t−γ(ε)+ε) (5.7)

∥ f (t,x)∥γ(ε) ≤ c(∥x∥ρ1+ε +ν(t)t−γ(ε)). (5.8)

para todo x,y ∈ E1+ε .

Vamos assumir que a função ν(·) é não decrescente.

Na maioria dos casos vamos fixar os parâmetros ε , ρ , γ(ε) e c, e denotar a classeF definida acima por F (ν(·)).

Antes de apresentar o teorema principal desta seção, iremos provar alguns lemasauxiliares.

Lema 5.2.1. Para todo t > 0 fixado, o operador tαeAt : E1 → E1+α , é limitado satisfazendo∥tαeAt∥L(E1,E1+α ) ≤ M, com M independente de t. Além disso, dado um compacto J de E1

temos quelim

t→0+supx∈J

∥tαeAtx∥1+α = 0.

Demonstração. A primeira afirmativa segue de do Teorema 4.6.8, mais precisamente esti-mativa (4.19).

5.2. Teorema de boa colocação para o caso crítico 93

Para a segunda afirmação, tome J ⊂ E1 compacto. Ora, se z ∈ E1+α , temos de(4.19) que vale

∥tαeAtz∥1+α ≤ Mtα∥z∥1+α , (5.9)

e o termo a direita tende a zero quando t → 0.

Afirmamos que dado ε > 0 existe δ = δ (ε) > 0 de modo que para todo x ∈ E1 etodo t ∈ (0,δ ) tem-se

∥tαeAtx∥1+α < ε.

De fato, dado ε > 0, considere a família BE1(x,ε/2M)x∈E1+α . Graças à densidade deEα+1 em E1 vemos que essa família constitui uma cobertura aberta para J em E1. Pelacompacidade de J existe um número finito dessas bolas abertas que cobrem J, isto é,

J ⊂p∪

i=1

B(xi,ε/2M),

onde xi ∈ E1+α , para todo i ∈ 1, · · · , p.

Agora, por (5.9) conseguimos para cada i = 1, · · · , p um δi > 0 de maneira que set ∈ (0,δi) então

∥tαeAtxi∥1+α < ε/2.

Deste modo, tomando δ = min1≤i≤p δi (lembre-se que xi depende apenas de ε), obtemosque relação anterior é satisfeita para todo t ∈ (0,δ ).

Agora, se x ∈ E1 é qualquer temos que existe i0 ∈ 1, · · · , p tal que xi0 ∈ E1+α comx ∈ BE1(xi0,ε/2M). Sendo assim, para t ∈ (0,δ ) obtemos

∥tαeAtx∥1+α ≤ ∥tαeAt(x− xi0)∥1+α +∥tαeAtxi0∥1+α

< M∥x− xi0∥1 + ε/2 < ε,

onde utilizamos o que foi feito previamente juntamente com (4.19).

Portanto, a afirmação está provada e concluímos da definição de supremo que

supx∈J

∥tαeAtx∥1+α < ε, ∀t ∈ (0,δ ),

e assim obtemos o resultado desejado.

Consideramos agora a função Beta B(·, ·) : (0,∞)× (0,∞) → (0,∞), que é dadapor

B(a,b) =∫ 1

0(1− x)a−1xb−1 dx.

Para cada ε ≥ 0 fixado defina para todo θ ∈ [0,γ(ε))

Bθε.= max

0≤ξ≤θB(γ(ε)−ξ ,1− γ(ε)),B(γ(ε)−ξ ,1−ρε).


Observação 35. Sejam f ∈ F (ν(·)), x ∈C((0,τ],E1+ε) e θ ∈ [0,γ(ε)). Então, para todot ∈ (0,τ ] ∫ t

0eA(t−s) f (s,x(s))ds ∈ E1+θ .

Demonstração. De fato, para todo s ∈ [0,τ], temos que eA(t−s) f (s,x(s))∈ E1+θ e por (4.19)obtemos

∥eA(t−s) f (s,x(s))∥1+θ ≤ (t − s)γ(ε)−1−θ∥ f (s,x(s))∥γ(ε).

Como γ(ε)− θ − 1 > −1 segue que o lado direito é integrável 1, ver (FOLLAND, 1999)página 79, e o resultado segue.

Lema 5.2.2. Seja f ∈F (ν(·)). Se x ∈C((0,τ],E1+ε), então para todo 0≤ θ < γ(ε), temosque

tθ∥∫ t

0eA(t−s) f (s,x(s))ds∥1+θ ≤ cMBθ

ε (ν(t)+ tγ(ε)−ρε [λ (t)]ρ) 0 < t ≤ τ,

onde λ (t) .= sups∈(0,t]sε∥x(s)∥1+ε.

Demonstração. A estimativa (4.19), juntamente com o fato de que f ∈ F (ν(·)) nós dá

tθ∥∫ t

0 eA(t−s) f (s,x(s))ds∥1+θ ≤ Mtθ ∫ t0(t − s)−1+γ(ε)−θ∥ f (s,x(s))∥γ(ε)ds

≤ cMtθ ∫ t0(t − s)−1+γ(ε)−θ (ν(s)s−γ(ε)+∥x(s)∥ρ

1+ε)ds

≤ cMtθ ν(t)∫ t

0(t − s)−1+γ(ε)−θ s−γ(ε)ds+ cMtθ ∫ t0(t − s)−1+γ(ε)−θ s−ρε [sε∥x(s)∥1+ε ]

ρds

≤ cMν(t)∫ 1

0 (1− s)−1+γ(ε)−θ s−γ(ε)ds+ cMtγ(ε)−ρε [λ (t)]ρ∫ 1

0 (1− s)−1+γ(ε)−θ s−ρεds

= cMν(t)B(γ(ε)−θ ,1− γ(ε))+ cMtγ(ε)−ρε [λ (t)]ρB(γ(ε)−θ ,1−ρε))

≤ cMBθε [ν(t)+ tγ(ε)−ρε [λ (t)]ρ ],

e assim o lema está provado.

Lema 5.2.3. Sejam f ∈ F (ν(·)) e x,y ∈C((0,τ],E1+ε) de maneira que tε∥x(t)∥1+ε ≤ µ,tε∥y(t)∥1+ε ≤ µ, para algum µ > 0. Então, para todo 0 ≤ θ < γ(ε), vale

tθ∥∫ t

0eA(t−s)[ f (s,x(s))− f (s,y(s))]ds∥1+θ ≤ Γθ (t) sup

s∈(0,τ]sε∥x(s)− y(s)∥1+ε ,

ondeΓθ (t)

.= cMBθ

ε

[ν(t)+ tγ(ε)−ρε2µρ−1

].

1 note também que caso θ = γ(ε) não garantimos mais a integrabilidade


Demonstração. Fazendo uso da propriedade de ε-regularidade de f e novamente de (4.19),temos

tθ∥∫ t

0 eA(t−s)[ f (s,x(s))− f (s,y(s))]ds∥1+θ

≤ tθ ∫ t0 cM(t − s)−1+γ(ε)−θ∥x(s)− y(s)∥1+ε(ν(t)s−γ(ε)+ε +∥x(s)∥ρ−1

1+ε +∥y(s)∥ρ−11+ε )ds

≤ cMtθ ν(t)∫ t

0(t − s)−1+γ(ε)−θ s−γ(ε)sε∥x(s)− y(s)∥1+εds+

cMtθ ∫ t0(t − s)−1+γ(ε)−θ s−ρε [(sε∥x(s)∥1+ε)

ρ−1 +(sε∥y(s)∥1+ε)ρ−1]sε∥x(s)− y(s)∥1+εds

≤ Γθ (t)supt∈(0,τ]sε∥x(s)− y(s)∥1+ε.

Agora vamos enunciar o teorema mais importante do Capítulo, que dá quais ascondições necessárias para se obter uma ε-solução para o problema proposto em relação aopar (E1,E0). Além disso, o teorema abaixo possui informações a respeito de continuidadecom relação aos dados iniciais (5.12) e também compara, de certa forma, as propriedadesda solução aqui obtida com o as do caso linear, ver por exemplo (5.11) e (4.19).

Teorema 5.2.4. Seja f ∈ F (ε,ρ,γ(ε),c,ν(·)). Dado y0 ∈ E1 existem r > 0, e τ0 > 0 demodo que para qualquer x0 ∈ BE1(y0,r) existe uma função contínua x(·,x0) : [0,τ0] → E1,com x(0) = x0, que é a única solução ε-regular começando em x0 do problema

x = Ax+ f (t,x), t > 0x(0) = x0.

(5.10)

Esta solução satisfaz

x ∈C((0,τ0],E1+θ ), 0 ≤ θ < γ(ε)

etθ∥x(t,x0)∥1+θ

t→0+−→ 0, 0 < θ < γ(ε). (5.11)

Adicionalmente, Se x0,z0 ∈ BE1(y0,r), então vale a seguinte desigualdade que diz respeitoà continuidade com relação aos dados iniciais

tθ∥x(t,x0)− x(t,z0)∥1+θ ≤C∥x0 − z0∥1, ∀t ∈ [0,τ0], 0 ≤ θ ≤ θ0, (5.12)

para todo θ0 < γ(ε).

As constantes acima dependem do seguinte: τ0 = τ0(y0,A,ν(·),ε,ρ ,γ(ε),c,M), r =

r(y0,ε,ρ ,γ(ε),c,M), C =C(θ0,ε,ρ,γ(ε),M).


Demonstração.

Vamos organizar a prova deste teorema em duas partes, Existência e Unicidade.

Existência. Tendo em vista os resultados anteriormente provados nos Lemas 5.2.2 e 5.2.3,defina µ por

cMBεε µρ−1 =

18

e escolha r = r(µ,M)> 0 de modo que

r =µ

4M=

1

4M(8cMBεε)

1ρ−1

. (5.13)

Agora, para y0 fixado, como ν(t)→ 0 e ∥tεeAty0∥1+ε → 0, quando t → 0+, escolhaτ0 = τ0(y0,A,µ,ν(·),ε,ρ,γ(ε),c,M) ∈ (0,1] de modo que ν(t)< δ para t ∈ (0,τ0] e

∥tεeAty0∥1+ε ≤ µ2 , 0 ≤ t ≤ τ0,

cMδBεε = minµ

8 ,14,

(5.14)

onde δ é definido pela relação acima.

Note que, estas escolhas implicam que para todo t ∈ (0,1), temos

Γε(t) = cMBθε

[ν(t)+ tγ(ε)−ρε2µρ−1

]≤ cMBε

ε[δ +2µρ−1]≤ 1

2.

Estamos querendo encontrar soluções que regularizam de forma instantânea, logoprecisamos procurar soluções no espaço

K(τ0) = x ∈C((0,τ0],E1+ε) : supt∈(0,τ0]

tε∥x(t)∥1+ε ≤ µ,

com a norma∥x∥K(τ0) = sup

t∈(0,τ0]

tε∥x(t)∥1+ε .

Observamos que (K(τ0),d) é um espaço métrico completo onde d : K(τ0)×K(τ0)→R é induzida pela norma definida acima, isto é, d(x,y) = ∥x− y∥K(τ0).

Assuma que x0 ∈ BE1(y0,r) e defina a seguinte aplicação em K(τ0)

(T x)(t) = eAtx0 +∫ t

0eA(t−s) f (s,x(s))ds.

A fim de usar o Teorema do ponto fixo de Banach vamos provar que para todo x0 ∈BE1(y0,r), T K(τ0)⊂ K(τ0) e que T é uma contração em K(τ0).


Provemos primeiramente que T é uma aplicação bem definida e que T (K(τ0)) ⊂K(τ0). Vamos iniciar mostrando que

Se x ∈ K(τ0) então T x ∈C((0,τ0],E1+θ ), ∀θ ∈ [0,γ(ε)). (5.15)

De fato, fixado t2 ∈ (0,τ0] e considere τ0 ≥ t1 ≥ t2 e , dessa forma para 0 ≤ θ < γ(ε), temosque

∥(T x)(t1)− (T x)(t2)∥1+θ ≤ ∥(eA(t1−t2)− I)eAt2x0∥1+θ +∥∫ t1

t2 eA(t1−s) f (s,x(s))ds∥1+θ

+∥[eA(t1−t2)− I]∫ t2

0 eA(t2−s) f (s,x(s))ds∥1+θ .

Na estimativa acima, pela continuidade forte do semigrupo em E1+θ o primeiro e terceirotermo tendem a zero quando t1 → t2. Sendo assim, basta analisar o segundo termo.

∥∫ t1

t2 eA(t1−s) f (s,x(s))ds∥1+θ ≤ c∫ t1

t2 M(t1 − s)−1+γ(ε)−θ (δ s−γ(ε)+∥x(s)∥ρ1+ε)ds

≤ cMδ∫ t1

t2 (t1 − s)−1+γ(ε)−θ s−γ(ε)ds+ cM∫ t1

t2 (t1 − s)−1+γ(ε)−θ s−ρε(sε∥x(s)∥1+ε)ρds

≤ cMδ t−θ1

∫ 1t2t1

(1− s)−1+γ(ε)−θ s−γ(ε)ds+ cMµρtγ(ε)−θ−ρε1

∫ 1t2t1

(1− s)−1+γ(ε)−θ s−ρεds.

Fazendo t1 → t+2 , vemos que o segundo termo tende a zero como queríamos. O caso t1 < t2é tratado de maneira análoga e assim segue (5.15).

Vamos provar agora que tε∥T x(t)∥1+ε ≤ µ , para todo t ∈ (0,τ0]. Com efeito, temosdo Lema 5.2.3 para ε = θ e das escolhas feitas em (5.13) e (5.14) que

tε∥(T x)(t)∥1+ε ≤ ∥tεeAtx0∥1+ε + tε∥∫ t

0 eA(t−s) f (s,x(s))ds∥1+ε

≤ ∥tεeAt(x0 − y0)∥1+ε +∥tεeAty0∥1+ε + cMδBεε + cMBε

ε µρ

≤ Mr+∥tεeAty0∥1+ε + cMBεεδ + cMBε

ε µρ ≤ µ,

como queríamos demonstrar.

Por fim, mostremos que T é uma contração em K(τ0). De fato, tomando x,y∈K(τ0)

vemos que satisfazem as condições do Lema 5.2.3 e assim para θ = ε e novamente dasescolhas anteriores obtemos para t ∈ (0,1)

∥T (x)−T (y)∥K(τ0) ≤ Γε(t)∥x− y∥K(τ0) ≤12∥x− y∥K(τ0),

ou seja, d(T x,Ty)≤ 12d(x,y) para todo x,y ∈ K(τ0) e segue o desejado.

Agora do Teorema do ponto fixo de Banach, sabemos que T possui um únicoponto fixo em K(τ0). Iremos denotar seu ponto fixo por X(t,x0) o qual é definido para


x0 ∈ BE1(y0,r) e 0 ≤ t ≤ τ0. Note que, por (5.15), temos X(·,x0) ∈ C((0,τ0],E1+θ ), paratodo 0 ≤ θ < γ(ε), o que em particular vale para θ = ε . Além disso, X(t,x0) satisfaz afórmula da variação das constantes para todo t ∈ [0,τ0]. Sendo assim, para mostrar queX(·,x0) é ε-solução basta provar que X(·,x0) ∈C([0,τ],E1). Ora, como E1+ε

d→ E1, vemos

que é suficiente provar que limt→0+ ∥X(t,x0)− x0∥1 = 0.

Para isto, provemos primeiramente que tθ∥X(t,x0)∥1+θ → 0 quando t → 0 paratodo 0 < θ < γ(ε).

De fato, pelo Lema 5.2.2 temos para todo t ∈ (0,τ0]

tθ∥X(t,x0)∥1+θ ≤ tθ∥eAtx0∥1+θ + tθ ∫ t0 ∥eA(t−s) f (s,X(s,x0))∥1+θ ds

≤ tθ∥eAtx0∥1+θ + cMBθε ν(t)+ cMBθ

ε µρ−1 sup0<s≤ttε∥X(t,x0)∥1+ε

Portanto, se θ = ε vale

tε∥X(t,x0)∥1+ε ≤ tε∥eAtx0∥1+ε + cMBεεν(t)+

18

sup0<s≤t

tε∥X(t,x0)∥1+ε.

Agora, como ν é não decrescente e como a desigualdade acima vale para todot ∈ (0,τ0], podemos tomar o supremo para todo s ∈ (0, t] e obtemos

sup0<s≤t

sε∥X(s,x0)∥1+ε ≤87( sup

0<s≤tsε∥eAsx0∥1+ε + cMBε

εν(t))→ 0 quando t → 0,

onde foi usado o Lema 5.2.1 para a convergência do segundo termo da desigualdade acima.

Se 0 < θ < γ(ε), pelas expressões acima também obtemos tθ∥X(t,x0)∥1+θ → 0quando t → 0. Provemos agora que

limt→0+

∥X(t,x0)− x0∥1 = 0.

Graças à continuidade forte do semigrupo e pelo Lema 5.2.2 para θ = 0, obtemos que

∥X(t,x0)− x0∥1 ≤ ∥eAtx0 − x0∥1 +∫ t

0 ∥eA(t−s) f (s,X(s,x0))∥1ds

≤ ∥eAtx0 − x0∥1 + cMB0ε(ν(t)+ [sup0<s≤ttε∥X(t,x0)∥1+ε]ρ)

t→0+−→ 0.

Deste modo, vemos que X(·,x0) é uma ε-solução começando em x0 que é única definidano espaço métrico K(τ0), chamaremos esta solução obtida de K-solução.


Além disso, se x0,z0 ∈ BE1(y0,r), levando em conta as estimativas do Lema 5.2.3 enossa escolha de τ0, temos o seguinte

tθ∥X(t,x0)−X(t,z0)∥1+θ

≤ tθ∥eAt(x0 − z0)∥1+θ + tθ ∫ t0 ∥eA(t−s)[ f (s,X(s,x0))− f (s,X(s,z0))]∥1+θ ds

≤ M∥x0 − z0∥1 +Γθ (t)sups∈[0,t] sε∥X(s,x0)−X(s,z0)∥1+ε .

(5.16)

Logo, para θ = ε e para todo τ < t temos

τε∥X(τ,x0)−X(τ,z0)∥1+ε

≤ M∥x0 − z0∥1 +12 sups∈(0,τ] s

ε∥X(s,x0)−X(s,z0)∥1+ε

≤ M∥x0 − z0∥1 +12 sups∈(0,t] s

ε∥X(s,x0)−X(s,z0)∥1+ε .

Desta forma, obtemos que

sups∈(0,t]

sε∥X(s,x0)−X(s,z0)∥1+ε ≤ 2M∥x0 − z0∥1,

e assim para 0 ≤ θ ≤ θ0 < γ(ε) temos por (5.16) que

tθ∥X(t,x0)−X(t,z0)∥1+θ ≤ M∥x0 − z0∥1 +Γθ (t)2M∥x0 − z0∥1 ≤C(θ0)∥x0 − z0∥1.

onde C(θ0) = M(1+ 2supΓθ (t); t ∈ [0,τ0], 0 ≤ θ ≤ θ0). Assim, concluímos a parte deExistência do teorema.

Unicidade. Note da parte de existência temos que para qualquer x0 ∈ BE1(y0,r) e paraqualquer f ∈ F (ν(·)) existe uma única K-solução definida em [0,τ0], do problema

x = Ax+ f (t,x)

x(0) = x0(5.17)

Para expressar a dependência da K-solução em f iremos denotá-la por X f (·,x0).

Na parte de existência provamos que toda K-solução é ε-solução a fim de provar aunicidade de ε-soluções provemos que toda ε-solução é K-solução.

Para isto considere os seguintes resultados.

Lema 5.2.5. Se f ∈F (ν(·)), então fa ∈F (νa(·)) para todo a≥ 0, onde fa(t,x)≡ f (t+a,x)

e νa(t) = ν(t+a)(t/t+a)γ(ε)−ε ≤ ν(t+a). Adicionalmente, existe a1 > 0, pequeno, de modoque para todo a ∈ [0,a1] o tempo de existência τ0(a) dado por (5.14) pode ser escolhidoindependente de a.


Demonstração. Primeiramente provemos que fa ∈ F (νa(·)). Com efeito, como f (·,x) é ε-regular e que fa é apenas uma translação na variável temporal segue que fa(·,x) é ε-regular.Além disso, com os cálculos

ν(a+ t)(a+ t)ε−γ(ε) = νa(t)tε−γ(ε)

e (t/t +a)γ(ε) ≤ (t/t +a)γ(ε)−ε , observamos que

ν(a+ t)(a+ t)−γ(ε) ≤ νa(t)t−γ(ε).

Daí segue a primeira parte do Lema.

Para a segunda parte basta observar que se ν(t) < δ para t ∈ [0, τ0], então paraa1 =

12 τ0 e τ0 =

12 τ0 teremos que ν(t+a)< δ para todo t ∈ [0,τ0] e para todo a∈ (0,a1].

Lema 5.2.6. Se ϕ(t) é uma solução ε-regular em [0, t0] de (5.17) e tε∥ϕ(t)∥1+ε → 0quando t → 0, então ϕ(t) = X f (t,x0) para todo 0 ≤ t ≤ minτ0, t0.

Demonstração. Por hipótese, tε∥ϕ(t)∥1+ε → 0, logo ϕ ∈ K(τ) para algum τ ≤ τ0. Notetambém que X f (·,x0) ∈ K(τ). Agora, como ϕ é ε-solução, vemos que ϕ e X f (·,x0) são solu-ções da quação integral e assim da unicidade do teorema do ponto fixo em K(τ) obtemosX f (t,x0) = ϕ(t) para todo 0 ≤ t ≤ τ . Agora, com um argumento usual de continuação desoluções vemos que X f (t,x0) = ϕ(t) para todo 0 ≤ t ≤ mint0,τ0. Isto conclui a prova doLema.

Seja ϕ(t) uma solução ε-regular começando em x0 ∈BE1(y0,r), definida em 0≤ t ≤ t0.Vamos provar que ϕ é uma K-solução, mais precisamente, caso τ0 ≤ t0 que ϕ ∈ K(τ0), oucaso t0 > τ0 que ϕ ∈ K(τ0), onde ϕ é extensão de ϕ que ainda é ε-solução com tempo deexistência τ0 e deste modo a unicidade seguirá da unicidade de K-soluções. Com efeito,como ϕ ∈C([0, t0],E1) existe a0 ∈ (0, t0) de modo que ϕ(a)∈BE1(y0,r), para todo a∈ (0,a2].A partir de agora considere a0 =mina1,a2, onde a1 aparece no Lema 5.2.5. Novamente dacontinuidade de ϕ , obtemos ϕa(·)≡ ϕ(a+ ·)∈C([0, t0−a],E1+ε), e portanto tε∥ϕa(t)∥1+ε →0 quando t → 0. Além disso, afirmamos que ϕa é uma ε-solução de

x = Ax+ fa(t,x)

x(0) = ϕ(a)(5.18)

De fato, já vimos acima que ϕa satisfaz a condição de regularidade mais precisamente,ϕa(·) ∈ C([0, t0 − a],E1+ε), portanto basta verificar que satisfaz a a fórmula da variaçãodas constantes para (5.18). Para isto, note que

ϕ(a) = eAax0 +∫ a

0eA(a−s) f (s,ϕ(s))ds, (5.19)


desde que, ϕ é ε-solução e a ∈ (0, t0). Da equação acima e da propriedade de semigrupo,obtemos que

eAtϕ(a) = eA(t+a)x0 +∫ a

0eA(t+a−s) f (s,ϕ(s))ds. (5.20)

FazendoI =

∫ t

0eA(t−s) fa(s,ϕa(s))ds =

∫ t+a

aeA(t+a−s) f (s,ϕ(s))ds, (5.21)

vemos queI + eAtϕ(a) = ϕ(t +a) = ϕa(t).

Donde segue a afirmação.

Agora, como fa ∈ F (νa(·)) e ϕ(a) ∈ BE1(y0,r), pelo Lema 5.2.5 e da parte deexistência do teorema sabemos que existe uma única K-solução X fa(·,ϕ(a)) definida em[0,τ0]. Além disso, como tε∥ϕa(t)∥1+ε → 0 quando t → 0 vemos pelo Lema 5.2.6 segue queX fa(t,ϕ(a)) = ϕa(t) para todo 0 ≤ t ≤ minτ0, t0 − a e para qualquer 0 < a ≤ a0. Destemodo, podemos assumir que t0 ≥ τ0. Caso contrário, defina ϕ(t) = ϕ(t) for 0 ≤ t ≤ t0 andϕ(t) = X fa0

(t − a0,ϕ(a0)) para t0 ≤ t ≤ τ0, semelhantemente ao que foi feito acima ϕ étambém ε-solução começando em x0.

Pela definição de K-solução, para concluirmos o desejado basta mostrar que

tε∥ϕ(t)∥1+ε ≤ µ,

para todo 0 < t ≤ τ0. Ora, para 0 < a < a0,

tε∥ϕ(t)∥1+ε ≤ tε∥ϕ(t)−ϕ(t +a)∥1+ε + tε∥ϕa(t)∥1+ε . (5.22)

Fixando 0 < t ≤ τ0, como queremos tomar o limite a → 0, podemos tomar a tal quet0 −a ≥ τ0 e assim ϕa(t) = X fa(t,ϕ(a)). Deste modo, a relação (5.22) implica que

tε∥ϕ(t)∥1+ε ≤ tε∥ϕ(t)−ϕ(t +a)∥1+ε +µ.

Agora, fazendo a→ 0, obtemos tε∥ϕ(t)−ϕ(t+a)∥1+ε → 0, que implica que tε∥ϕ(t)∥1+ε ≤ µpara qualquer t ∈ (0,τ0]. Isto concluí a prova da Unicidade do teorema.

Observação 36. Seja m ∈ N fixado e δ ∈ [−m,m], o Teorema 5.2.4 continua válido paraqualquer par do tipo (E1+δ ,Eδ ), mais precisamente...

Corolário 5.2.7. Seja f ∈F (ε,ρ ,γ(ε),c,ν(·)) relativa ao par (E1+δ ,Eδ ). Dado y0 ∈E1+δ

existem r > 0, e τ0 > 0 de modo que para qualquer x0 ∈ BE1+δ (y0,r) existe uma funçãocontínua x(·,x0) : [0,τ0]→ E1+δ , com x(0) = x0, que é a única solução ε-regular relativa aopar (E1+δ ,Eδ ) começando em x0 do problema

x = Ax+ f (t,x), t > 0x(0) = x0.

(5.23)



x ∈C((0,τ0],E1+δ+θ ), 0 ≤ θ < γ(ε)

etθ∥x(t,x0)∥1+δ+θ

t→0+−→ 0, 0 < θ < γ(ε). (5.24)

Adicionalmente, Se x0,z0 ∈ BE1+δ (y0,r), então vale a seguinte desigualdade que diz respeitoa continuidade com relação a dados iniciais

tθ∥x(t,x0)− x(t,z0)∥1+θ+δ ≤C∥x0 − z0∥1+δ , ∀t ∈ [0,τ0], 0 ≤ θ ≤ θ0 < γ(ε) (5.25)

Demonstração. Segue do Teorema 4.6.8, desde que −Aδ é setorial e as estimativas deε-regularidade nestes espaços se comportam de maneira análoga às feitas na prova doteorema anterior, por conta de (4.19), contanto que a diferença entre os índices do par(E1+δ ,Eδ ) seja unitária.

Observação 37.

• Do mesmo modo que o Teorema 5.2.4 continua válido para qualquer par da forma(E1+δ ,Eδ ), para todo δ ∈ [−m,m], de modo geral os resultados das seções subsequen-tes podem ser passados para este contexto sem maiores problemas, basta utilizar oTeorema 4.6.8 para transladar as escalas.

• O corolário anterior terá importância fundamental no caso em que m = 2 e δ =−1,como veremos no Capítulo 6.

5.3 Continuação de soluções

Para poder “continuar” soluções usaremos resultados que garantem tempo de exis-tência uniforme. No caso de conjuntos compactos em E1 o resultado seguirá como coroláriodo teorema de boa colocação. Veremos também critérios para se obter resultados destetipo, para conjuntos limitados.

Observação 38. Note que, o Teorema 5.2.4 nós dá tempo de existência localmente uni-forme, isto irá permitir obter propriedades a respeito do tempo de existência uniforme emconjuntos relativamente compactos de E1.

Corolário 5.3.1. Seja f como no Teorema 5.2.4 e K um conjunto tal que seu fechoé compacto em E1, então existe τ0 = τ(K) tal que a ε-solução começando em x0 existepara tempo τ0 qualquer x0 ∈ K. Em outras palavras, o tempo de existência é uniforme empré-compactos.

5.3. Continuação de soluções 103

Demonstração. Pelo Teorema 5.2.4, dado qualquer y0 ∈ K existem r0 = r(y0) > 0 e τ0 =

τ(y0)> 0 tais que para qualquer x0 ∈ BE1(y0,r0) a única ε-solução existe in [0,τ0]. Sendo K

um conjunto compacto de E1 podemos escolher y1, · · · ,yp ∈ K de modo que K ⊂∪BE1(yi,r(yi)).Afirmamos que o valor τ0 = minτ(yi) : 1 ≤ i ≤ n é o tempo de existência desejado. Defato, dado x ∈ K, x ∈ BE1(y j,r(y j)) para algum j = 1, . . . , p e assim obtemos x(t,x0) aε-solução definida em [0,τ j] e da escolha acima o resultado segue.

Para a próxima proposição precisaremos da seguinte análise.

Lema 5.3.2. Seja −A é operador setorial em X . Então, para a > 0 temos que −A =−aA

é também setorial.

Adicionalmente, se (Eα , Aα) ; α ≥−m é a escala de Banach de ordem m geradapor (E, A), então ∥x∥Eα

.= ∥x∥α = aα∥x∥α .

Demonstração. Seja Σc,φ , o setor de vértice c e ângulo φ , que contém ρ(A). Note que, −aA

é setorial com setor, Σac,φ e a estimativa resolvente contínua válida para todo λ ∈ Σac,φ .

Para a segunda afirmativa, note que para j ≥−m inteiro e x ∈ E j temos

∥x∥ j = ∥(aA) jx∥E = a j∥x∥ j.

Seja α ∈ ( j, j+1), como Eα e Eα são espaços de interpolação exatos com relação aos pares(E j,E j+1) e (E j, E j+1), respectivamente, e a identidade I j : E j → E j tem norma a j, temosque

∥x∥α ≤ (a j)1−(α− j) (a j+1)α− j∥x∥α .

Assim, ∥x∥α ≤ aα∥x∥α . Agora, como a inversa de I j também é limitada com norma a− j,obtemos a desigualdade recíproca de maneira completamente análoga.

Proposição 5.3.3. Nas condições do Teorema 5.2.4, se tivermos que γ(ε)> ρε, então r

pode ser escolhido arbitrariamente grande. Isto é, o tempo de existência é uniforme emconjuntos limitados de E1.

Demonstração. Primeiramente defina y(t) = x(at), para algum a < 1. A equação para y éy= Ay+ f (t,y) onde f (t,x) = a f (at,x) e A= aA. Além disso, note que x(t) é uma solução daequação original (0,τ0] se, e somente se, y(t), t ∈ [0,τ0/a] é uma solução da nova equação.Sendo −A setorial, temos que −aA é também setorial. logo para estarmos nas hipóteses


do Teorema 5.2.4, basta provarmos que f ∈ F (ν ·) para alguma ν . De fato, do cálculo

∥ f (t,y)∥Eγ(ε)= aγ(ε)+1∥ f (at,y)∥Eγ(ε)

≤ aγ(ε)+1−ρ(1+ε)c(

ν(at)aρ(1+ε)(at)−γ(ε)+∥y∥ρE1+ε

)≤ aγ(ε)+1−ρ(1+ε)c

(ν(t)t−γ(ε)+∥y∥ρ

E1+ε

) (5.26)

e de maneira análoga podemos fazer as estimativas da propriedades Lipschitz e podemosescolher ν(t) = ν(at)aρ(1+ε)−γ(ε). Logo, A é setorial e f ∈ F (ν(·)) e podemos aplicar aparte de existência do Teorema 5.2.4. Ou seja, podemos obter um número positivo r demaneira que as conclusões do teorema ainda são válidas. Mais precisamente, de (5.13),obtemos que

r =1

4M(8cMBεε)

1ρ−1

onde r, c e M são as constantes relacionadas as novas equações. Vamos relacionar r, c,M

com r,c e M da equação original. Denote por Eα os espaços obtidos na escala gerada por(E, A). Do lema anterior, temos que ∥ · ∥Eα

= aα∥ · ∥Eα e assim

tα−β∥eaAtx∥Eα= aβ (at)α−β∥eAatx∥Eα ≤ Maβ∥x∥Eβ = M∥x∥Eβ

,

que implica que M = M. Agora, de (5.26) segue que c = aγ(ε)−ρε+1−ρc. Juntando os fatos,obtemos que

r =1

4M(8cMBεε)

1ρ−1

=a(−γ(ε)−1+ρ+ρε)/(ρ−1)

4M(8cMBεε)

1ρ−1

= raρε−γ(ε)

ρ−1 +1.

Isto implica que ∥y0 − x0∥E1< r existe τ0 tal que a solução de ˙x = Ax+ f (t, x) começando

em x0 está definida em [0, τ0]. Porém,

∥y0 − x0∥E1= a∥y0 − x0∥1,

logo, se ∥y0−x0∥1 < raρε−γ(ε)

ρ−1 então x = Ax+ f (t,x) tem a solução x(t,x0) = x( ta ,x0) definida

em [0,aτ0]. Deste modo, como a > 0 pode ser escolhido arbitrariamente pequeno e comoγ(ε)> ρε vemos que podemos escolher r arbitrariamente grande. Logo, dado B ⊂ E1 umlimitado e x0, podemos tomar a > 0 tal que B ⊂ BE1(x0, r) e assim temos que as soluçãotem o mesmo intervalo de existência, [0,aτ0] em B. Portanto, as soluções coincidem emconjuntos limitados de E1 para um mesmo intervalo de existência e a proposição estáprovada.

Definição 5.3.4. Seja x uma ε-solução da equação (5.1) definida em [0,τ0).

5.3. Continuação de soluções 105

• Dizemos que x é uma continuação de x se está definida em [0,τ1) com τ1 > τ0, x

coincide com x em [0,τ0) e x(t) satisfaz (5.3) para todo t ∈ [0,τ1).

• Uma solução x é dita um solução maximal, se ela não admite continuação, ouseja, se está definida num intervalo maximal de existência.

Vemos abaixo que sempre podemos obter uma solução maximal.

Proposição 5.3.5. Assuma que A e f são como no Teorema 5.2.4. Dado x0 ∈ E1 existeuma única solução maximal x : [t0,τmax )→ E1 de (5.1).

Demonstração. Considere

I = tφ : existe uma solução φ de 5.1 definida em [0, tφ).

Agora, escrevaIm

.=

∪t∈I

[0, t)

e defina para para t ∈ Im, x(t) = φ(t), para φ tal que t ∈ [0, tφ), Provemos que x estábem definida em Im. Com efeito, se t ∈ [0, tφ1)∩ [0, tφ2) podemos assumir sem perda degeneralidade que tφ2 > tφ1 e pela unicidade de ε-solução φ2(t) = φ1(t) donde segue a boadefinição de x.

Vemos também que x é uma ε-solução maximal, desde que qualquer outra soluçãoterá seu intervalo de definição contido em Im.

Definição 5.3.6. Com o resultado acima podemos definir o tempo de existência ma-ximal como

τm.= suptφ : existe uma solução φ de 5.1 definida em [0, tφ).

Observação 39. O tempo de existência sempre existe pois o conjunto acima é não vazio.Note também que τm pode ser infinito. Assim, se o conjunto I for limitado teremosIm = [0,τm) e caso contrário Im = [0,∞).

A seguinte proposição a respeito de continuação de soluções dá condições para seobter τm = ∞.

Proposição 5.3.7. Sejam f ∈ F (ν(·)) e x(·,x0) a ε-solução começando em x0 com otempo maximal de existência τm < ∞. Então

limt→τ−m

∥x(t,x0)∥1+δ = ∞, ∀δ ∈ (0,ε).

Adicionalmente, caso γ(ε)> ρε, então a equação acima vale também para δ = 0.


Demonstração. Primeiramente note que se f é ε-regular relativa ao par (E1,E0) comγ(ε)≥ ρε , tomando ε∗ = δ −ε > 0, afirmamos que f é aplicação ε-regular relativa ao par(E1+δ ,Eδ ). De fato, para γ(ε∗) = γ(ε)−δ temos que

γ(ε∗)≥ ρε −δ > ρε −ρδ = ρε∗,

onde na última desigualidade usamos o fato ρ > 1.

Assim, E1+ε = E1+δ+ε∗ e Eγ(ε) = Eγ(ε∗)+δ de onde segue a afirmação.

Logo, graças a afirmação anterior f é ε∗-regular relativa ao par (E1+δ ,Eδ ) comγ(ε∗)> ρε∗ e podemos provar a proposição também para o caso em que δ = 0.

Suponha que ∥x(tn,x0)∥1+δ ≤ K, para algum K > 0 e certa sequência tn de nú-meros reais convergindo para τm a direita. Deste modo, pela Proposição 5.3.3 para o par(E1+δ ,Eδ ), com 0 ≤ δ < ε , considerando o limitado B .

= BE1+δ (0,K) sabemos que existe τB

tempo de existência para qualquer condição inicial dada em B.

Como τm é maximal não existe a possibilidade τB > τm e x0 ∈ B 2. Portanto, lidemoscom o caso τB ≤ τm. Existe n0 ∈ N suficientemente grande tal que τm − tn0 < τB. Assim,0 ≤ τm − τB < tn0 e τm < τB + tn0 . Considere agora o problema

u = Au+ f (t + tn0,u)

u(0) = x(tn0,x0).(5.27)

Pelo Teorema de existência e unicidade, obtemos uma ε-solução u definida em (0,τB].

Deste modo, conseguimos definir u(t) = x(t,x0) para todo t ∈ [0, tn0] e u(t) = u(t −tn0 ,x(tn0)) para t ∈ [tn0 ,τB+ tn0], que é uma continuação para x uma contradição já que x émaximal e assim o resultado segue.

Observação 40. Note que, podemos utilizar a proposição acima da seguinte maneira. Sejaf ∈ F (ν(·)) e x(·,x0) a ε-solução começando em x0 com o tempo maximal de existênciaτm e

limt→τ−m

∥x(t,x0)∥1+δ < K para algum δ ∈ (0,ε),

então τm = ∞.

No caso em que γ(ε)> ρε basta que limt→τ−m ∥x(t,x0)∥1 < K, para obtermos τm = ∞.

5.4 Regularização de soluções

Nesta seção procuramos condições de maneira que a solução que encontramospossa de fato satisfazer a equação (5.10). Porém, mesmo satisfazendo a equação abstrata,2 caso x0 não estiver , basta tomar a união, ainda será um limitado e depois disso tome τB

5.4. Regularização de soluções 107

nas aplicações gostaríamos de obter soluções clássicas para os problemas tratados. Paraisto precisaremos do Teorema 5.4.2 que fundamenta argumentos de “bootstraping” queveremos no Capítulo 6.

Lema 5.4.1. Assuma as condições do teorema anterior. Sejam 0 < α < 1 e 0 < θ < 1−α,então para todo 0 ≤ t ≤ 1 vale

∥(eAh − I)eAt∥L (Eα ) ≤Kθ

hθ t−θ

Demonstração. Para todo x ∈ Eα podemos escrever

(eAh − I)eAtx =∫ h

0AeAseAtxds

e assim

∥(eAh − I)eAtx∥α ≤∫ h

0∥eAseAtx∥α+1ds ≤

∫ h

0Msθ−1∥eAtx∥α+θ ≤ K

θhθ t−θ∥x∥α .

Teorema 5.4.2. Seja f ∈ F (ν(·)), com t → f (t,x) sendo uma aplicação de (0,∞) paraEγ(ε), localmente Hölder contínua, uniformemente para x em conjuntos limitados de E1+ε ,isto é, se U é um conjunto limitado qualquer de qualquer ponto de E1+ε existe vizinhançaV ⊂U e constantes K,η > 0, tais que quando (τ1,x1) e (τ2,x1) estão em V

∥ f (τ1,x1)− f (τ2,x2)∥γ(ε) ≤ K(|τ1 − τ2|η +∥x1 − x2∥η1+ε).

Nestas condições, se x0 ∈ E1+ε e x : [0,τ0] → E1+ε é contínua e satisfaz a fórmula davariação das constantes, ou seja,

x(t) = eAtx0 +∫ t

0eA(t−s) f (s,x(s))ds, (5.28)

então x ∈C1([0,τ0],Eγ(ε))∩C([0,τ0],E1+γ(ε)) e x(·,x0) é uma solução estrita de (5.10), ouseja, satisfaz de fato o PVI (5.10).

Demonstração. Note que, como x(·) satisfaz (5.28), temos para 0 ≤ t < t +h < τ0 que

x(t +h)− x(t)h

=1h

∫ t+h

teA(t+h−s) f (s,x(s))ds+

1h(eAh − I)x(t).

O termo do meio converge em Eγ(ε) para f (t+,x(t+)) = f (t,x(t)) quando h → 0+, logo se oúltimo termo converge em Eγ(ε) vamos obter que existe derivada a direita e da continuidadedo lado direito da equação concluiremos que x(t) é derivável e que x(t) = f (t,x(t))+Ax(t)

e dessa forma teríamos x(t) ∈ Eγ(ε)+1.

Como (t,x(t)) : 0 ≤ t ≤ τ0 é um subconjunto compacto de (0,∞)×E1+ε , existe B

tal que sup0≤t≤τ0∥ f (t,x(t)∥γ(ε) ≤ B.


Primeiramente mostraremos que x : (0,τ0]→ E1+ε é Hölder contínua.

Com efeito, para 0 < t ≤ t +h ≤ τ0,

x(t +h)− x(t) = (eAh − I)[eA(t)x(0)+∫ t

t0eA(t−s) f (s,x(s))ds]

+∫ t+h

teA(t+h−s) f (s,x(s))ds

Agora, fixe α = 1+ ε − γ(ε) e tome 0 < θ < 1−α , temos do Lema 5.4.1

∥x(t +h)− x(t)∥α ≤ Mhθ t−θ∥x(0)∥1+ε +∫ t

0Mhθ (t − s)−α−θ Bds

+∫ t+h

tM(t +h− s)−αBds

≤ Khθ t−θ .

Assim, escolha δ = ηθ ∈ (0,1) vemos que que t 7→ f (t,x(t)) .= g(t) é contínua em [0,τ0) e

satisfaz uma condição de Hölder

∥g(t +h)−g(t)∥γ(ε) ≤ Kt−δ hδ , 0 < t ≤ t +h ≤ τ0,

para alguma escolha de K.

Agora, vamos provar que o termo 1h(e

Ah − I)x(t) converge em Eγ(ε). Com efeito,como para todo t ∈ (0,τ0] temos eAtx0 ∈ E1+γ(ε) é suficiente provar que

G(t) =∫ t

0eA(t−s)g(s)ds

toma valores em Eγ(ε)+1 com t → AG(t) contínua em [0,τ0], isto é, mostraremos queh−1(eAh − I)G(t) converge em Eγ(ε) quando h → 0+, uniformemente para t0 ≤ t ≤ τ0, qual-quer que seja t0 > 0. De fato, como∫ t

heA(t+h−s)g(t)ds =

∫ t−h

0eA(t−s)g(t)ds,

podemos escrever

h−1(eAh − I)G(t) =∫ t

0h−1(eAh − I)eA(t−s)(g(s)−g(t))ds

+h−1∫ h

0eA(t+h−s)g(t)ds−h−1

∫ t

t−heA(t−s)g(t)ds

e os dois últimos termos são convergentes quando h → 0+ uniformemente em t, paraeAtg(t) e g(t), respectivamente. Deste modo, se t ∈ [t0,τ0] basta provar que

∫ t

0h−1(eAh −

I)eA(t−s)(g(s)−g(t))ds converge para∫ t

0AeA(t−s)(g(s)−g(t))ds, quando h → 0+ e que este

último está em Eγ(ε). Com efeito, graças a condição de Hölder para g temos que a integral∫ t

0∥AeA(t−s)∥L (Eγ(ε))

∥g(t)−g(s)∥γ(ε)ds ≤ K∫ t

0(t − s)−1+δ ds,

5.5. Caso autônomo 109

é finita graças a escolha de δ , donde vemos que∫ t

0AeA(t−s)(g(s)− g(t))ds está em Eγ(ε).

Além disso, como

h−1∫ t

0(eAh − I)eA(t−s)(g(s)−g(t))ds−

∫ t

0AeA(t−s)(g(s)−g(t))ds

= h−1∫ t

0(eAh − I −hA)eA(t−s)(g(s)−g(t))ds

=∫ t

0h−1

∫ h

0A(eAσ − I)dσeA(t−s)(g(s)−g(t))ds.

Assim, para 0 < β < δ

∥h−1(eAh − I)G(t)−∫ t

0AeA(t−s)(g(s)−g(t))ds∥γ(ε)

≤∫ t

0h−1

∫ h

0∥A(eAσ − I)dσeA(t−s)(g(s)−g(t))∥γ(ε)ds

≤∫ t

0

∫ h

0h−1∥A(eAσ − I)eA(t−s)(g(s)−g(t))∥γ(ε)dσds

≤∫ t

0h−1hβ+1∥eA(t−s)(g(s)−g(t))∥γ(ε)+β+1ds

≤∫ t

0Mhβ (t − s)−β−1∥g(s)−g(t)∥γ(ε)ds

≤∫ t

0K hβ (t − s)−β−1s−δ (t − s)δ ds

= hβ∫ t

0K (t − s)−β−1+δ s−δ ds h→0+−→ 0,

uniformemente para t0 ≤ t ≤ τ0, já que a última integral é convergente da escolha de β .

Portanto,

h−1(eAh − I)G(t)→∫ t

0AeA(t−s)(g(s)−g(t))ds+ eAtg(t)−g(t)

quando h → 0+ uniformemente para t ∈ [t0,τ0] tomando valores em Eγ(ε) e a prova estácompleta.

Corolário 5.4.3. Se f ∈ F (ν(·)) e t → f (t,x) é uma aplicação de (0,∞) para Eγ(ε), élocalmente Hölder contínua, uniformemente para x em conjuntos limitados de E1+ε e x éa ε-solução, então

x ∈C1((0,τ0],Eγ(ε))∩C((0,τ0],E1+γ(ε)).

Além disso, x(t) satisfaz o PVI (5.10), para todo t > 0.

Demonstração. Como x é ε-solução, para todo t0 > 0, x : [t0,τ0]→E1+ε satisfaz as hipótesesdo teorema anterior e podemos concluir o resultado desejado.

5.5 Caso autônomo


Resumindo todos os resultados anteriores para o caso autônomo, ou seja, quandof independe do tempo, enunciamos uma versão completa do Teorema 5.2.4, com todotipo de informação que conseguimos obter nas seções anteriores deste capítulo.

Teorema 5.5.1. Suponha que f é independente do tempo e que é uma aplicação ε-regular,para algum ε > 0, relativa ao par (E1,E0). Então, dado y0 ∈ E1, existem r = r(y0) > 0 eτ0 = τ0(y0) > 0 de modo que para qualquer x0 ∈ BE1(y0,r) existe uma função contínuax : [0,τ0]→ E1, com x(0) = x0, que é a única ε-solução de

x = Ax+ f (x), t > 0x(0) = x0.

(5.29)


x ∈C((0,τ0],E1+γ(ε)) e tθ∥x(t,x0)∥E1+θt→0+−→ 0, 0 < θ < γ(ε).

Adicionalmente,

• Se x0,z0 ∈ BE1(y0,r), então

tθ∥x(t,x0)− x(t,z0)∥E1+θ ≤C(θ0)∥x0 − z0∥1, ∀t ∈ [0,τ0], 0 ≤ θ ≤ θ0 < γ(ε).

• x(·,x0) é uma solução forte de (5.29) e x ∈C1((0,τ0],Eγ(ε))∩C((0,τ0],E1+γ(ε)).

• Se γ(ε) > ρε, então o tempo de existência é uniforme em conjuntos limitados deE1.

As constantes acima dependem do seguinte: τ0 = τ0(y0,A,ε,ρ ,γ(ε),c,M),r = r(y0,ε,ρ,γ(ε),c,M), C =C(θ0,ε,ρ,γ(ε),M).

Demonstração. Basta notar que neste caso que para ν(t) = tγ(ε)−ε temos que f ∈F (ν(·)).Pela condição de ε-regularidade, obtemos

∥ f (x)− f (y)∥Eγ(ε) ≤ c∥x− y∥E1+ε (∥x∥ρ−1E1+ε

+∥y∥ρ−1E1+ε

+ν(t)t−γ(ε)+ε).

Agora, tomando acima y = 0 em Eε+1, temos

∥ f (x)− f (0)∥Eγ(ε) ≤ c(∥x∥ρE1+ε

+∥x∥E1+ε +1),

observando que(∥x∥ρ

E1+ε+∥x∥E1+ε )≤ (∥x∥ρ

E1+ε+1),

assim conseguímos obter para t < 1

∥ f (x)∥Eγ(ε) ≤ c(∥x∥ρE1+ε

+ tγ(ε)t−γ(ε))≤ c(∥x∥ρE1+ε

+ν(t)t−γ(ε)),

onde c = max(c,∥ f (0)∥Eγ(ε)).

Por fim, para obter a regularidade de basta notar que por f ser independente det, satisfaz uma condição Hölder com θ = 1. E o resultado está provado.

5.5. Caso autônomo 111

Definição 5.5.2. Seja f uma aplicação independente do tempo que é ε-regular para todoε em um intervalo I relativa ao par (E1,E0), classificamos a não linearidade da seguintemaneira:

• Se I = [0,ε1] para algum ε1 > 0 e γ(0)> 0. Dizemos que f uma aplicação subcríticarelativa a (E1,E0).

• Se I = [0,ε1] para algum ε1 > 0 com γ(ε) = ρε, ε ∈ I e se f não é subcrítica, entãodizemos que f é uma aplicação crítica relativa a (E1,E0).

• Se I = (0,ε1] para algum ε1 > 0 com γ(ε) = ρε, ε ∈ I e f não é subcrítica nem critica,então dizemos que f é uma aplicação duplamente crítica relativa a (E1,E0).

• Se I = [ε0,ε1] para algum ε1 > ε0 > 0 com γ(ε0) > ρε0 e f não sendo subcrítica,crítica ou duplamente crítica, então dizemos que f é uma aplicação ultra subcríticarelativa ao par (E1,E0).

• Se I = [ε0,ε1] para algum ε1 > ε0 > 0 com γ(ε) = ρε, ε ∈ I, e se f são é subcrítica,crítica, duplamente crítica ou ultra subcrítica, então dizemos que f é um mapa ultracrítico relativo ao par (E1,E0).

De maneira análoga podemos estender esses conceitos para quaisquer pares do tipo(E j+1,E j). Para nós será interessante o caso j =−1.

Observação 41. No caso em que f é subcrítica, note que f : E1 → Eγ(0), com γ(0)> 0.

Se f é crítica, para ε = 0, então f : E1 → E0 e não existe α > 0 tal que f : E1 → Eα .

Nos últimos dois casos f não é uma aplicação bem definida em E1+ε para ε arbi-trariamente pequeno, é apenas ε-regular para ε ≥ ε0 > 0.

Caso f é subcrítica ou ultra subcrítica, podemos escolher tempo de existência uni-forme em limitados. Porém nos casos remanescentes, ou casos críticos, a principio nãose sabe se o tempo de existência é uniforme em limitados em muitos casos é um problemaem aberto. (Note que, no argumento utilizado na Proposição 5.3.3 o fato γ(ε) > ρε éextremamente importante na prova, o que não se tem nesses casos críticos).

113

CAPÍTULO

6EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES

As equações de Navier-Stokes descrevem o movimento de um fluido em Ω umsubconjunto de RN , com N = 2 ou 3. Dados uma posição x ∈Ω e um tempo t ≥ 0 queremosencontrar um campo velocidade u(x, t) = (u1(x, t), · · · ,un(x, t)) ∈ RN e a pressão π(x, t) ∈R. Fixemos então Ω ⊂ RN um domínio limitado com fronteira suave. As equações deNavier-Stokes são dadas por

uit +∑N

k=1 uk∂kui = ∆ui −∂iπ + fi(t), x ∈ Ωdiv(u) = ∑N

j=1 ∂iui = 0, x ∈ Ωu = 0, x ∈ ∂Ωu(0,x) = u0(x),

(6.1)

onde ∂i = ∂/(∂xi), ∆ = ∑Nj=1 ∂ j jui o Operador de Laplace, para cada i = 1, · · · ,N e com

condição inicial u(x,0) = u0(x).

Faça, ∆u .= (∆u1, · · · ,∆uN) e

(u ·∇)u .= (

N

∑k=1

uk∂ku1, · · · ,N

∑k=1

uk∂kuN),

deste modo, podemos escrever as equações de Navier-Stokes como um sistema de equaçõesem RN ,

ut = ∆u−∇π + f (t)− (u ·∇)u, x ∈ Ωdiv(u) = 0, x ∈ Ωu = 0, x ∈ ∂Ωu(0,x) = u0(x),

(6.2)

onde u : [0,∞)×Ω →RN é o campo velocidade, π : [0,∞)×Ω →R é a pressão e f : [0,∞)→RN a força externa.

Vamos trabalhar agora com o modelo (6.2) com o objetivo de tratá-lo com a teoriaabstrata desenvolvida no restante do trabalho.

114 Capítulo 6. Equações de Navier-Stokes

Neste capítulo, considere p ∈ (1,∞) e p∗ seu expoente conjugado, isto é, 1/p+

1/p∗ = 1.

6.1 Projeção de Leray

Note que, em (6.2), existe uma condição de div u = 0, que muitas vezes é ditacondição de incompressibilidade do fluido. Para lidar com essa condição no nossocontexto, vamos resolver a equação num espaço de divergência nula, o qual definiremosa seguir.

Nesta seção iremos exibir uma decomposição para o espaço Lp(Ω)N que diz basi-camente que todo campo vetorial neste espaço se escreve de maneira única como soma dedois vetores, um deles com divergência zero e o outro sendo um campo gradiente.

Faremos a construção da projeção de Leray como em (FUJIWARA; MORIMOTO,1977). Alguns resultados técnicos serão omitidos e podem ser encontrados em (FUJIWARA;MORIMOTO, 1977).

Lema 6.1.1. Seja v ∈ Lp(Ω)N tal que divv ∈ Lp(Ω) e denote Γ = ∂Ω a fronteira dodomínio Ω. Então, a componente normal à fronteira de v, digamos (vn)Γ existe e pertencea W−1/p,p(Γ). Além disso, existe C tal que

∥(vn)Γ∥W−1/p,p(Γ) ≤C(∥v∥Lp(Ω)N +∥divv∥Lp(Ω)).

Demonstração. Ver (FUJIWARA; MORIMOTO, 1977) páginas 686-692.

Agora construiremos um operador linear Pp em Lp(Ω)N e provaremos algumas desuas propriedades. Seja u um elemento qualquer de Lp(Ω)N .

Considere o problema

∆φ1 = div u, em Ω,

φ1 = 0, em ∂Ω.(6.3)

Utilizando que divu ∈ W−1,p(Ω) e os resultados de (LIONS; MAGENES, 1961) páginas39-101, sabemos que o problema (6.3) possui única solução φ1 ∈ W 1,p

0 (Ω) e que existeC > 0 de modo que

∥φ1∥W 1,p(Ω) ≤C∥div u∥W−1,p(Ω).

Assim,∥φ1∥W 1,p(Ω) ≤C′∥u∥Lp(Ω)N , (6.4)

u−∇φ1 ∈ Lp(Ω)N ,

6.1. Projeção de Leray 115

por (6.3), temosdiv(u−∇φ1) = 0.

Graças ao Lema 6.1.1, sabemos que a componente normal à fronteira de u−∇φ1 está emW−1/p,p(Γ). Denotaremos por ∂φ1

∂ν a componente normal de ∇φ1 em Γ.

Considere agora o problema

∆φ2 = 0, em Ω,

∂φ2

∂ν= (un)Γ −

∂φ1

∂νem Γ.

(6.5)

É conhecido que o problema (6.5) possui única solução φ2 ∈W 1,p(Ω), a menos de constante,satisfazendo

∥φ2∥W 1,p(Ω) ≤C′∥(un)Γ −∂φ1

∂ν∥W−1/p,p(Γ),

veja (LIONS; MAGENES, 1962) páginas 1-44. Novamente pelo Lema (6.1.1) e por (6.4),obtemos

∥φ2∥W 1,p(Ω) ≤C′∥u−∇φ1∥Lp(Ω)N ≤C′′∥u∥Lp(Ω)N . (6.6)

Agora, estamos prontos para definir a projeção Pp. Para cada u ∈ Lp(Ω)N , tome φ1 asolução do problema (6.3) e φ2 a solução, a menos de constante, do problema (6.5) eescreva φ = φ1+φ2 ∈W 1,p(Ω). Defina Ppu = u−∇φ 1 Logo, div(Ppu) = 0 e a componentenormal (Ppu)n = 0 em Γ. Reciprocamente, se u é tal que div u = 0 e (un)Γ = 0, entãoPpu = u. Portanto, Ppu = u, para todo u ∈ Pp(Lp(Ω)N).

Note também que Pp é um operador limitado em Lp(Ω)N . De fato,

∥Ppu∥Lp(Ω)N ≤ ∥u−∇(φ1 +φ2)∥Lp(Ω)N

≤ ∥u∥Lp(Ω)N +∥∇φ1∥Lp(Ω)N +∥∇φ2∥Lp(Ω)N

≤ ∥u∥Lp(Ω)N +∥φ1∥W 1,p(Ω)+∥φ2∥W 1,p(Ω)

≤ K∥u∥Lp(Ω)N ,

onde a última desigualdade foi utilizado (6.4) e (6.6). Assim, obtemos o seguinte lema:

Lema 6.1.2. O operador Pp é um operador limitado em Lp(Ω)N. Além disso, Pp(Lp(Ω)N)

é um subespaço fechado em Lp(Ω)N, em particular é um espaço de Banach com a normainduzida.

Demonstração. A primeira afirmativa segue do que foi feito acima, portanto basta provarque Pp(Lp(Ω)N) é um subespaço fechado. Com efeito, seja u ∈ Pp(Lp(Ω)N), logo existeuk ⊂ Lp(Ω)N tal que u = limk Pp(uk). Assim, a componente normal de u em Γ, un é nulae u possui divergente nulo, isto prova que u = Ppu e o resultado segue.1 Note que, φ é única a menos de constante, mas ∇φ é unicamente determinado.


A seguir um importante resultado a respeito da projeção que construímos.

Teorema 6.1.3. Para todo 1 < p < ∞, o operador Pp ∈ L (Lp(Ω)N) e seu operador dual(Pp)

∗ é Pp∗,

Demonstração. Provamos no lema anterior que Pp ∈ L (Lp(Ω)N). Sendo (Lp(Ω)N)∗ =

Lp∗(Ω)N , temos que (Pp)∗ ∈ L (Lp∗(Ω)N) e portanto resta provar que os operadores (Pp)

∗

e Pp∗ coincidem num subespaço denso de Lp∗(Ω)N . Com efeito, sejam u,v ∈C∞0 (Ω)N . Neste

caso, temos que Pp∗v = v−∇φ , para alguma φ ∈W 1,p(Ω)N e assim∫Ω

Ppu · (v−Pp∗v)dx =∫

ΩPpu ·∇φdx

=∫

Γ(Ppu)nφdσ −

∫Ω

div Ppu ·φdx

= 0−0 = 0.

Logo, ∫Ω

Ppu · vdx =∫

ΩPpu ·Pp∗vdx

e analogamente, obtemos que ∫Ω

u ·Pp∗vdx =∫

ΩPpu ·Pp∗vdx

de onde concluímos que ∫Ω

u ·Pp∗vdx =∫

ΩPpu · vdx. (6.7)

Agora como Pp ∈L (Lp(Ω)N) e C∞0 (Ω)N é denso em Lp(Ω)N e portando obtemos que (6.7)

é valida para todo u∈ Lp(Ω)N e portanto obtemos que v∈D((Pp)∗) e (Pp)

∗v=Pp∗v, ou seja,estes operadores contínuos coincidem num denso e portanto são iguais, como queríamos.

Como simples consequência do teorema anterior e da definição de operador dualnotamos a seguinte relação.

Corolário 6.1.4. Sejam 1 < p < ∞, p∗ seu conjugado, u ∈ Lp(Ω)N e v ∈ Lp∗(Ω)N, então∫Ω

u ·Pp∗vdx =∫

ΩPpu · vdx.

Definição 6.1.5.

• Definimos o espaço de divergência nula em Lp(Ω)N como

Lpσ (Ω)N .

= Pp(Lp(Ω)N).

• O conjunto dos campos suaves de divergência nula é definido como

C ∞0,σ = u ∈C∞

0 (Ω)N ; div u = 0.

6.1. Projeção de Leray 117

Pelas informações acima, obtemos a seguinte observação:

Observação 42.

• Se u ∈ Lpσ (Ω)N, então Ppu = u.

• Se φ ∈W 1,p(Ω), então Pp∇φ = 0.

De acordo com (FUJIWARA; MORIMOTO, 1977), é válida a seguinte decompo-sição para os espaços Lp(Ω)N :

Teorema 6.1.6. O espaço de divergência nula é caracterizado por Lpσ (Ω)N =C ∞

0,σ∥·∥Lp(Ω)N .

Além disso, é valida a seguinte decomposição

Lp(Ω)N = Lpσ (Ω)N ⊕∇φ : φ ∈W 1,p(Ω),

as vezes chamada de Decomposição de Helmholtz.

Demonstração. Para a prova nos referimos a (FUJIWARA; MORIMOTO, 1977) página697-698.

Observação 43. Dado u ∈ Lp(Ω), existe uma única maneira de escrever u = u1+u2 comu1 ∈ Lp

σ (Ω)N e u2 ∈ ∇φ : φ ∈W 1,p(Ω,R), em outras palavras, se u ∈ Lp(Ω)N existe únicaφ ∈W 1,p(Ω), a menos de constante, tal que u1 = u−∇φ é um campo em Lp

σ (Ω)N.

A partir da construção acima iremos fixar a projeção Pp construída acima daseguinte maneira.

Definição 6.1.7. A Projeção de Leray em Lp(Ω)N é a projeção natural definida apartir da decomposição acima, isto é,

Pp : Lp(Ω)N → Lpσ (Ω)N

pondo para cada u ∈ Lp(Ω)N, Ppu .= u−∇φ, para φ é dado acima.

Note que, ao aplicarmos a projeção de Leray em (6.2) de maneira heurística, noslivramos da condição de incompressibilidade e obtemos uma equação em Lp

σ (Ω)N

ut = Apu+N(u)+ fσ , t > 0

u(0) = u0,(6.8)

onde Ap = Pp∆ com condição de fronteira de Dirichlet homogênea, N(u) = −Pp(u ·∇)u efσ = Pp f .

Nas próximas seções vamos lidar com todos estes termos para poder provar umresultado de boa colocação local para (6.8), na verdade para uma “formulação fraca” destaequação.

Observação 44. Observe que, a construção da Projeção de Leray nos garante que osproblemas (6.8) e (6.2) são equivalentes.


6.2 Operador de Stokes

Nesta seção definiremos o Operador de Stokes no contexto dos espaços Lp(Ω)N evamos provar as propriedades necessárias a respeito de geração de semigrupo.

Definição 6.2.1. Definimos o Operador de Stokes como sendo a composição de Pp

com o operador de Laplace ∆ com domínio D(Ap),

Ap.= Pp∆ : D(Ap)⊂ Lp

σ → Lpσ ,

onde D(Ap).= D(∆)∩Lp

σ e D(∆) =W 2,p(Ω)N ∩W 1,p0 (Ω)N.

Observação 45. No que se segue, sempre vamos considerar o espaço Lpσ (Ω)N como um

espaço de Banach, desde que é subespaço fechado, com a norma induzida de Lp(Ω)N.

Lema 6.2.2. O operador de Stokes é densamente definido, ou seja, D(Ap) é denso emLp

σ (Ω)N.

Demonstração. Com efeito, dada f ∈ Lpσ (Ω)N , pelo Teorema 6.1.6 existe un ⊂ C ∞

0,σ demodo que ∥ f −un∥p → 0. Sendo assim, basta identificar C ∞

0,σ como subconjunto de D(Ap)

e o resultado segue.

Provaremos a seguir ótimas propriedades do operador de Stokes no caso em quep = 2 e a utilizaremos para garantir que Ap é o gerador de semigrupo analítico, para p ≥ 2.

Teorema 6.2.3. O operador de Stokes A2 é auto-adjunto em L2σ (Ω)N.

Demonstração. Provemos primeiramente que é simétrico. De fato, note primeiramenteque se u,v ∈ D(A2) vale (u,∆v) =

N∑

i=1ui∆vi =

N∑

i=1vi∆ui = (∆u,v) e ∆ neste caso é o operador

Laplaciano usual, o qual é sabido que é simétrico. Ainda para u,v ∈ D(A2) temos queP2u = u, P2v = v e como P .

= P2 e ∆ são simétricos, temos

⟨Au,v⟩=∫

ΩP∆u · v =

∫Ω

∆u · v =∫

Ωu ·∆v =

∫Ω

u ·P∆v = ⟨u,Av⟩,

e para algum ξ > 0,⟨A2u,u⟩=−

∫Ω|∇u|2 ≤−ξ

∫Ω|u|2,

ou seja, ⟨A2u,u⟩ ≤ −ξ∥u∥2. Portanto, A2 é simétrico e limitado superiormente.

Sendo assim, para concluir que A2 é auto-adjunto, basta provar que A2 é sobrejetor.Para isto, vamos mostrar primeiramente que P2(C∞

0 (Ω)N)⊂ R(A2), onde R(A2) é a imagem

6.2. Operador de Stokes 119

do operador A2. Com efeito, seja f ∈ C∞0 (Ω)N , por (LADYZHENSKAYA, 1969) [3.5],

sabemos que existem única u ∈W 2,2(Ω)N e π ∈W 1,2(Ω) tais que

∆u−∇π = f em Ω,

divu = 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω.

(6.9)

Aplicando P2 na primeira equação, obtemos P2 f = A2u e concluímos que A2 injetor 2 e queP2(C∞

0 (Ω)N)⊂ R(A2) como queríamos.

Agora, como C∞0 (Ω)N é denso em L2(Ω)N e P2 é contínua temos que

L2σ = P2(C∞

0 (Ω)N)⊂ P2(C∞0 (Ω)N)⊂ R(A2).

Logo, R(A2) é densa e como é subconjunto fechado, concluímos a sobrejetividade. Portanto,graças ao Teorema 2.1.9 obtemos que A2 é auto-adjunto.

Teorema 6.2.4. O negativo do operador de Stokes −A2 é setorial em L2σ e portanto A2

gera semigrupo analítico.

Demonstração. Com efeito, temos que A2 é auto-adjunto e da prova do Teorema anteriorvimos que

⟨A2u,u⟩ ≤ −ξ∥u∥2.

Dessa forma, o resultado segue do Teorema 2.2.12.

Observação 46. Lembre-se que no 2.2.12, localizamos a imagem numérica do operadorem uma semi-reta (−∞,−ξ ] e isso nos permite obter uma estimativa resolvente num setorΣ−ξ , o qual daqui em diante denotaremos apenas por Σ.

Provaremos que se p> 2 a estimativa resolvente obtida para o caso p= 2 continuaráválida e também concluiremos que C\(−∞,−ξ ] está contido no resolvente do operador Ap,isso será o objetivo principal para concluir que −Ap é também operador setorial.

Não fizemos o cálculo da imagem numérica para Ap com p > 2 para a prova dasetorialidade como é esperado, pois o operador de Stokes por conta da presença da Pro-jeção Pp apresenta certas dificuldades. Porém através de outras condições de fronteira,“Navier-type boundary conditions” é possível fazer esse cálculo, veja (BABA; AMROU-CHE; ESCOBEDO, 2016).

Precisaremos do seguinte resultado para o problema de Navier-Stokes linear, oqual enunciaremos de maneira menos geral do que é encontrado em (WAHL, 1981).

A prova do teorema abaixo pode ser encontrada em (SOLONNIKOV, 1975).2 Segue da unicidade do problema 6.9.


Teorema 6.2.5. Seja p > 2, T > 0, f ∈ Lp((0,T ),Lp(Ω)N), u0 ∈ W 2,p(Ω)N ∩ Lpσ (Ω)N.

Então existe única u ∈ D(Ap) com u ∈ Lp((0,T ),Lp(Ω)N) e uma π ∈ Lp((0,T ),Lp(Ω)N), aqual é única a menos de constante, com ∇π ∈ Lp((0,T ),Lp(Ω)N) satisfazendo

u−∆u+∇π = f , em Ω e t > 0divu = 0, em Ωu = 0, em ∂Ωu(0) = u0, em Ω.

(6.10)

Adicionalmente, vale a estimativa∫ T

0∥u′(t)∥p

Lp(Ω)N dt +∫ T

0∥u(t)∥p

W 2,p(Ω)N dt +∫ T

0∥∇π(t)∥p

Lp(Ω)N dt ≤

c(∫ T

0∥u(t)∥p

Lp(Ω)N dt +∫ T

0∥ f (t)∥p

Lp(Ω)N dt +∥u0∥pW 2,p(Ω)N

).

No resultado a seguir veremos que Ap gera um semigrupo analítico em Lpσ (Ω)N .

Faremos como foi feito em (WAHL, 1981), Capítulo 3.

Teorema 6.2.6. O operador de Stokes −Ap é setorial em Lp(Ω,CN), para todo 2 ≤ p < ∞.

Demonstração. O caso p = 2 foi resolvido no Teorema 6.2.4. Suponha p > 2, dado f ∈Lp

σ (Ω)N queremos encontrar u ∈ D(Ap) de modo que

(λ −Ap)u = f .

Como f ∈ Lp(Ω)N e p > 2, temos Lp(Ω) → L2(Ω), ora, do teorema anterior temos que−A2 é setorial, em especial, para λ ∈ Σ, onde Σ é um setor que está contido em ρ(A2)

temos que existe único u ∈ D(A2) tal que

(λ −A2)u = f .

Porém, como 2−N/p ≥ 0 (N = 3,4), pelo Teorema das Imersões de Sobolev, W 2,2(Ω) →Lp(Ω)N e assim obtemos que u ∈ Lp

σ (Ω)N e ainda que

−A2u =−λu+ f ∈ Lpσ (Ω)N .

Agora, por (LADYZHENSKAYA, 1969) [3.5], o problema

−∆v+∇π =−λu+ f em Ω,

divv = 0 em Ω,

v = 0 em ∂Ω,

v = 0 em ∂Ω,

(6.11)

6.2. Operador de Stokes 121

possui única solução v ∈W 2,p(Ω)N ∩W 1,p0 (Ω)N e π ∈W 1,p, onde π é determinada a menos

de constante. Ora, a equação (6.11) está em Lp(Ω)N e portanto em L2(Ω)N e portantopodemos aplicar a projeção P2 obtendo assim

P2∆v =−λu+ f = A2u.

Logo, como 0 ∈ ρ(A2), concluímos que u = v e portanto que u ∈ D(Ap)

Apv =−λu+ f e v ∈W 2,p(Ω)N ∩Lpσ (Ω)N .

Assim, u ∈ D(Ap) e é o único que satisfaz (λ −Ap)u = f , o que prova que o operador(λ −Ap) é bijeção para todo λ ∈ Σ.

Agora, provaremos uma estimativa resolvente. Sejam u0 ∈ D(Ap), f0 ∈ Lpσ (Ω)N e

π0 ∈W 1,p(Ω) tais queλu0 −∆u0 +∇π0 = f0. (6.12)

Multiplicando a equação acima por eλ t e escrevendo u(t,x) = eλ tu0(x), π(t,x) = eλ tπ0(x) ef (t,x) = eλ t f0(x), obtemos o seguinte problema

u′−∆u+∇π = f ,

divu = 0

u(0) = u0.

Graças ao Teorema de Solonnikov 6.2.5, o problema de Stokes linear acima possui únicassoluções u ∈ D(Ap) e π ∈W 1,p(Ω), a menos de constante, satisfazendo∫ T

0∥u′(t)∥p

pdt +∫ T

0∥u(t)∥p

2,pdt ≤ c(∫ T

0∥u(t)∥p

pdt +∫ T

0∥ f (t)∥p

pdt +∥u0∥p2,p

).

Assim,|λ |p

∫ T

0epReλ t∥u0∥p

pdt +∫ T

0epReλ t∥u0∥p

2,pdt ≤

c(∫ T

0epReλ t∥u0∥p

pdt +∫ T

0epReλ t∥ f0∥p

pdt +∥u0∥p2,p

).

Simplificando,

(epReλT −1)pRe λ

(|λ |p − c)∥u0∥pp +(

epReλT −1pReλ

− c)∥u0∥p2,p ≤ c

(epReλT −1)pReλ

∥ f0∥pp.

Agora, vamos tomar λ ∈ C de modo que Reλ ≥ 0 e |λ |p ≥ c+ 1. Se T ≥ c+ 1 temos(epReλT −1)/pReλ ≥ T ≥ c+1 e deste modo

(|λ |p − c)∥u0∥pp +(1− cpReλ

epReλ pT −1)∥u0∥p

2,p ≤ c∥ f0∥pp.

Ora, da escolha pReλ/(epReλ pT −1)≥ c+1 obtemos

1c+1

= 1− cc+1

≤ 1− cpReλepReλ pT −1

.


De onde segue que(|λ |p − c)∥u0∥p

p +1

c+1∥u0∥p

2,p ≤ c∥ f0∥pp.

Dessa forma,∥u0∥p ≤ (c/(|λ |p − c))1/p∥ f0∥p ≤

c|λ |+ω

∥ f0∥p, (6.13)

onde ω > 0 é arbitrário e c> 0 é uma constante que depende de c. Para provar a estimativaresolvente desejada teremos que escolher ω > 0 adiante.

Aplicando agora Pp na equação (6.12), obtemos

λu0 −Apu0 = f0. (6.14)

Ora, u0 = (λ −Ap)−1 f0, desde que λ ∈ Σ e de (6.13), vemos que (λ −Ap)

−1 é limitadoe portanto λ −Ap é um operador fechado, o que implica que Ap é um operador fechado.Agora, o fato de Ap ser fechado juntamente com o que foi feito na primeira parte da provagarante que Σ ⊂ ρ(Ap).

Basta provarmos a estimativa resolvente para algum setor contido em Σ e a provaestará concluída. De fato, se λ ∈C é tal que Reλ > 0 e |λ |p ≥ c+1, por (6.13) temos que

∥(λ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N) ≤c

|λ |+ω. (6.15)

Para |λ | ≤ (c+1)1/p, basta utilizar que a aplicação ρ(Ap) ∋ λ 7→ (λ −Ap)−1 é analítica e

portanto limitada numa bola, ou seja

sup|λ |≤(c+1)1/p

∥(λ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N) ≤C.

ComoC ≤ C(|λ |+ω)

|λ |+ω≤ C1

|λ |+ω,

podemos escolher K = maxC1, c> 0 obtendo

∥(λ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N) ≤K

|λ |+ω, ∀Reλ ≥ 0. (6.16)

Tome λ com Reλ = 0 e escolha ω de modo que cada bola Bλ.=B(λ ,(|λ |+ω)/2K) variando

no eixo imaginário esteja contida em Σ 3. Logo se µ ∈ Bλ , podemos utilizar a identidadedo resolvente e obter

∥(µ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N) ≤ ∥(λ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N)

+|λ −µ|∥(µ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N)∥(λ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N)

≤ K|λ |+ω + 1

2∥(µ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N).

Portanto,∥(µ −Ap)

−1∥L (Lpσ (Ω)N) ≤

2K|λ |+ω

|µ|+ω|µ|+ω

≤ 2K +1|µ|+ω

.

3 ω/(2K)< ξ , onde ξ é o mesma constante do Teorema 6.2.4.

6.3. Formulação “muito fraca” para a equação de Navier-Stokes 123

Por fim, basta tomar M = 2K +1 e obtemos a estimativa resolvente

∥(λ −Ap)−1∥L (Lp

σ (Ω)N) ≤M

|µ|+ω

para todo

λ ∈ µ ∈ C ; Reµ ≥ 0∪µ ∈ C ; Reµ < 0 e |Imµ| ≥ K(−Reµ),

onde K = K(ω,K) e por definição o −Ap é setorial.

Observação 47.

• A partir deste resultado sabemos que Ap gera semigrupo analítico, para todo 2 ≤ p <

∞.

• Em (WAHL, 1981), ele mostra que o item acima é válido para todo 1 < p < ∞ amenos de p = 3/2.

6.3 Formulação “muito fraca” para a equação de Navier-Stokes

Nesta seção reformularemos a equação (6.8) num contexto “fraco”. Na linguagemdas escalas de Banach é basicamente “transladar” o problema para uma escala negativa.Para isso, precisamos analisar a equação num contexto analítico funcional na tentativade escrever cada termo da equação como um funcional linear. Começaremos com o termonão linear Pp(u ·∇)u, o qual será a “chave” na obtenção de um resultado de boa colocaçãolocal.

Será de grande utilidade recordamos do produto tensorial em RN .

Definição 6.3.1. Sejam u,v ∈ RN definimos o produto tensorial entre u e v por uv .=

u⊗ v .= (uiv j)

Ni, j=1.

Defina,

div(uu) .=

∂∂x1

(u1u)+ · · ·+ ∂∂xn

(unu) = (div(u1u), · · · ,div(unu)).

Observação 48. Note que, caso divu = 0, temos que

(u ·∇)u =∂

∂x1(u1u)+ · · ·+ ∂

∂xn(unu)−

(∂

∂x1u1 + · · ·+ ∂

∂xnun

)u = div(uu).


Lema 6.3.2. Sejam u,ϕ : Ω →RN suaves com suporte compacto em Ω e divϕ = divu = 0.Então, ∫

Ω(u ·∇)u ·ϕ =−

∫Ω

u⊗u ·∇ϕ ,

onde no último termo utilizamos a notação de produto de matrizes em RN, isto é, se A,B

são matrizes N ×N, então A ·B = ∑ni, j=1 ai jbi j.

Demonstração. Fixe Γ = ∂Ω, pela observação anterior e pelo Teorema da divergênciatemos que∫

Ω(u ·∇)u ·ϕdx =

∫Ω

div(uu) ·ϕdx =∫

Ω(div(u1u), · · · ,div(uNu)) · (ϕ1, · · · ,ϕN)dx

=−∫

Ωu1u ·∇ϕ1 + · · ·+(uNu) ·∇ϕN dx+

∫Γ

ϕ1(u1u)Γ + · · ·+ϕN(uNu)Γ dσ

=−∫

Ω[u1u · · · uNu] · [∇ϕ1 · · ·∇ϕN ]dx+

∫Γ

0dσ

=−∫

Ω

u1u1 · · · u1uN

... . . . ...uNu1 · · · uNuN

·

∂ϕ1∂ x1

· · · ∂ϕN∂x1... . . . ...

∂ϕ1∂xN

· · · ∂ϕN∂ xN

dx

=−∫

Ωu⊗u ·∇ϕdx,

onde, para cada i = 1, · · · , o termo(uiu)Γ é a componente normal do campo uiu em Γ.

Seja m ∈N e fixe para todo 1 < p < ∞ o espaço E p0 = Lp

σ (Ω)N , e portanto a normaem E p

0 é a norma ∥ · ∥Lp(Ω)N . Como vimos anteriormente, Ap é fechado e densamentedefinido e então podemos considerar a escala de interpolação-extrapolação de ordem m

gerada por (E p0 ,Ap)

(E pα , Ap,α) ; α ≥−m.

Como D(Ap) é denso em E p0 , podemos considerar (Ap)

# o operador dual de Ap. Notrabalho de (FUJIWARA; MORIMOTO, 1977) (página 698) temos a seguinte caracteri-zação para o operador dual (Ap)

# = Ap∗ e D(A#p) = E p∗

1 . Já sabemos que operador dualé sempre fechado em E p∗

0 e como ρ(Ap) = ρ((Ap)∗) podemos considerar a escala dual de

interpolação-extrapolação gerada por ((E p0 )

#,(Ap)#), a qual pode ser escrita como

(E p∗α ,Ap∗,α ; α ≥−m).

Como 1 < p < ∞, Lpσ (Ω)N é reflexivo4 e graças ao Teorema 4.4.7 vale que

E p−α = (E p∗

α )#.

Utilizaremos desta última relação para inserir o contexto analítico funcional, para o pro-blema (6.8).4 Na verdade é uniformemente convexo, propriedade que depende apenas da norma


Recordemos que quando aplicamos formalmente a projeção Pp a (6.2) obtemos

ut = Apu+N(u)+ fσ , t > 0, x ∈ Ω,

u(0) = u0,(6.17)

onde Ap = Pp∆ com condição de fronteira de Dirichlet, N(u) =−Pp(u ·∇)u e fσ = Pp f .

Vamos estabelecer o contexto analítico funcional para (6.17). Nossa intenção é deescrever (6.17) na escala (E p

0 ,Ep−1), e utilizar o Teorema abstrato 5.2.4 nesta escala.

Sendo assim, tomando o produto interno da equação acima por ϕ ∈ C∞0,σ (Ω) e

integrando em Ω, obtemos

ddt

∫Ω

u ·ϕ =∫

ΩApu ·ϕ +

∫Ω

N(u)ϕ +∫

Ωfσ ·ϕ , t > 0. (6.18)

Agora, como ϕ ∈ Lp∗σ (Ω)N temos Pp∗ϕ = ϕ . Além disso, temos∫

ΩPp∆u ·ϕ =

∫Ω

∆u ·ϕ =∫

Ωu ·∆ϕ .

Ainda, pelo Lema 6.3.2 temos que∫Ω

N(u) ·ϕ =−∫

Ω(u ·∇)u ·ϕ =

∫Ω

u⊗u ·∇ϕ .

Assim, ∫Ω

N(u) ·ϕ =∫

Ωu⊗u ·∇ϕ .

Deste modo, obtemos a formulação muita fraca da equação de Navier-Stokes

ddt

∫Ω

u ·ϕ =∫

Ωu ·∆ϕ +

∫Ω

u⊗u ·∇ϕ +∫

Ωfσ ·ϕ , t > 0. (6.19)

Portanto, para utilizar o contexto das escalas de Banach, seguiremos da seguintemaneira. Para cada u ∈ Lp

σ (Ω)N podemos definir os funcionais Ap,−1u, N−1(u), fσ ,−1 ∈ E p−1

como os elementos em E p−1 = (E p∗

−1)∗ que satisfazem

E p∗1 ∋ ϕ 7→ Ap,−1u(ϕ) =

∫Ω

u∆ϕ ,

E p∗1 ∋ ϕ 7→ N−1(u)(ϕ) =

∫Ω

u⊗u ∇ϕ ,

eE p∗

1 ∋ ϕ 7→ fσ ,−1(ϕ) =∫

Ωfσ ·ϕ ,

ou seja, estamos considerando cada termo em (6.17) como um funcional linear de E p∗1 em

R.

Com isto, (6.2) pode ser escrita em E p−1 como

ut = Ap,−1u+N−1(u)+ fσ ,−1, t > 0

u(0) = u0.(6.20)


Assim, encontramos Ap,−1, com D(Ap,−1) = Lpσ (Ω)N

Ap,−1 : Lpσ (Ω)N ⊂ E p

−1 → E p−1

o qual é setorial graças aos Teoremas 4.6.8 e 6.2.6.

Uma vez que chegamos a este ponto, a boa colocação local de (6.2) em Lpσ (Ω)N se

reduz a mostrar que N−1(·) é uma aplicação ε-regular relativa ao par (E p0 ,E

p−1), desde que

fσ ,−1 depende apenas do tempo e portanto basta colocar a condição de fσ ,−1 ser Höldercontínua nessa variável, ver Teorema 5.4.2. Por esse motivo daqui em diante considerare-mos fσ ,−1 = 0.

Utilizando teoria de interpolação conseguimos o seguinte teorema de imersão semprecisar conhecer precisamente os espaços E p

α .

Teorema 6.3.3. Se 1 > α > 0 e q = N pN−2α p , então é válida a imersão E p

α → Lq(Ω)N.

Demonstração. Por construção E p0 ⊂ Lp

σ (Ω)N e E p1 ⊂ W 2,p(Ω)N e como Ap é setorial a

segunda inclusão é com normas equivalentes. Interpolando estes espaços obtemos E pα ⊂

H2α,p e agora basta utilizar o Teoremas de Imersão 3.7.7.

Lema 6.3.4. Sejam u,v vetores em RN. São validas as seguintes propriedades:

1. (u+ v)⊗w = u⊗w+ v⊗w;

2. |u⊗ v|MN(R) ≤ |u| |v|;

3. u⊗ v = (v⊗u)t , onde At denota a matriz transposta de A ∈ MN(R).

Teorema 6.3.5. N−1(·) é uma aplicação ε-regular relativa ao par (E p0 ,E

p−1) para todo

p ≥ N, com γ(ε) = p−N2p +2ε e sendo:

• Duplamente crítico se p = 2, i.e., ε-regular para todo ε ∈ (0, 14);

• Crítico se p ∈ N com p ≥ 3, i.e., ε-regular para todo ε ∈ [0, 14);

• Subcrítico se p > N, i.e., ε-regular para todo ε ∈ [0, N4p).

Demonstração. Dado u ∈ E pε , vamos encontrar r > 1 de modo que u ∈ L2r(Ω)N . Com

efeito, graças ao Teorema de Imersão 3.7.7 temos que r = N p2N−4ε p este é o valor desejado.

Da condição de r ser positivo, devemos ter também que ε < N2p . Como queremos que r > 1,

obtemos que ε > N(2−p)4p . Seja r∗ o expoente conjugado de r, isto é, 1/r+ 1/r∗ = 1, logo

r∗ = N pN p−2N+4ε p .

Agora, para provar que N−1 é ε-regular, mostremos primeiramente que N−1 : E pε →

E pη−1, onde η é o candidato para γ(ε). De fato, como E p

η−1 = (E p∗1−η)

∗ precisamos de η


satisfazendo η = p−N2p +2ε para que |∇ϕ | ∈ Lr∗(Ω). De fato, como ϕ ∈E p∗

1−η ⊂H2−2η ,p∗(Ω)N

logo, |∇ϕ | ∈ H1−2η ,p∗(Ω) e do Teorema de imersão 3.7.5 devemos ter η satisfazendo

r∗ =N p

N − (1−2η)p∗,

e como r∗ = N pN p−2N+4ε p , basta simplificar as expressões para encontrar η = p−N

2p +2ε , comoqueríamos

Então, para u,v ∈ E pε∣∣∣∣∫Ω

u⊗ v∇ϕ∣∣∣∣≤ ∫

Ω|u||v||∇ϕ |

≤(∫

Ω(|u||v|)r

) 1r(∫

Ω|∇ϕ |r

∗) 1

r∗

≤ ∥u∥L2r∥v∥L2r∥|ϕ |∥1,r∗

≤ c∥u∥E pε∥v∥E p

ε∥|ϕ |∥

E p∗1−η

.

Assim, para u = v, obtemos ∥N−1(u)∥E pη−1

≤ c∥u∥2E p

ε. Ainda pela estimativa acima, como∣∣∣∣∫Ω

u⊗u∇ϕ −∫

Ωv⊗ v∇ϕ

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫Ω

u⊗ (u− v)∇ϕ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫Ω

(u− v)⊗ v∇ϕ∣∣∣∣ ,

obtemos que∥N−1(u)−N−1(v)∥E p

η−1≤ c(∥u∥E p

ε+∥v∥Eε

p)∥u− v∥E p

ε.

Assim, segue o resultado desejado.

Como consequência do Teorema 5.2.4 obtemos o seguinte resultado

Corolário 6.3.6. Dado p ≥ N e u0 ∈ Lpσ (Ω)N, existe uma única ε-solução de (6.20)

começando em u0 e que está definida num intervalo maximal de existência [0,τu0), comu ∈C([0,τu0),E

p0 )∩C((0,τu0),E

pγ(ε))∩C1((0,τu0),E

pγ(ε)−1). Além disso,

1. Se p > N e limsupt→τu0

∥u(t,u0)∥p < ∞ para algum, então τu0 = ∞, onde a norma ∥ ·∥p =

∥ · ∥Lp(Ω)N .

2. Sejam u0 ∈ EN0 com N = 3 e N+ = N/(1−4ε) para ε ∈ (0,1/4). Nessas condições, se

limsupt→τu0∥u(t)∥N+ < ∞, então τu0 = ∞.

Demonstração. Graças ao Lema 6.3.5, basta aplicarmos o resultado autônomo abstrato5.5.1 para o par (E p

0 ,Ep−1).


Temos que γ(ε)> ε quando p > N e portanto, graças à Proposição 5.3.7 obtemoso item 1.

Para o caso p=N, lidemos da seguinte maneira. Para todo t0 > 0, temos que u(t0)∈EN

2ε . Pelo Teorema de imersão 3.7.7, temos que EN2ε → Lq(Ω)N quando q = NN/(N−4εN).

Logo, se q = N+ temos que u(t0) ∈ Eq0 .

Agora, considerando o problema

v = Aqv+N−1v, t > 0v(0) = u(t0).

(6.21)

Sabemos que o problema acima possui solução v∈C((0,τv0,EN+

2ε )). Como tínhamos tomadou anteriormente como solução maximal, u é uma continuação para v. Além disso, comoN+ > N estamos no caso do item anterior e portanto se assumirmos a estimativa dadana norma ∥ · ∥N+ , obtemos de maneira análoga que o tempo de existência é infinito e aafirmativa segue.

Observação 49. No trabalho (ESCAURIAZA; SEREGIN; ŠVERáK, 2003) temos o se-guinte resultado mais ou menos na direção do corolário anterior. Se u0 ∈ E3

0 e tivermosuma estimativa em L3, então τu0 = ∞.

6.4 Existência e Suavidade para as Equações de Navier-Stokes

Existem quatro perguntas milionárias a respeito das equações de Navier-Stokes, oClay Mathematics Institute (CMI) gostaria de saber a resposta de pelo menos uma delas.Discutiremos uma delas do ponto de vista da continuação de soluções e enunciaremostambém uma segunda questão dentro do assunto da primeira. Deste modo, ainda existemduas perguntas que podem ser interessantes que não serão tratadas aqui. Para encontraras perguntas com precisão basta entrar no site do Clay Mathematics Institute (CMI) eprocurar sobre “Millenium Prizes” e “Navier-Stokes Equations”.

A questão fundamental que o instituto quer saber a resposta sobre as equações deNavier-Stokes é se existem soluções globalmente definidas e que são suaves em dimensão3, (em dimensão 2 já está resolvido). Mais precisamente, duas das questões em abertosão:

Problema A: Existência e Suavidade em R3: Suponha que força externa f (t) ≡ 0.Dada u0 ∈ C ∞(Ω)N com div u0 = 0, então existem π e u soluções em C ∞(Ω× [0,+∞)) e

6.4. Existência e Suavidade para as Equações de Navier-Stokes 129

com u satisfazendo ∫Ω|u(x, t)|2dx <C para todo t ≥ 0. (6.22)

Problema C: O Colapso da Existência e Suavidade em R3: Existe uma condiçãoinicial u0 como no problema A e uma função f suave satisfazendo certas condições, demodo que não existe solução para a equação satisfazendo certas condições.

Em outras palavras, o Problema C é “simplesmente” encontrar um contra exemplopara o Problema A.

Os problemas B e D podem ser encontrados no site do CMI e possuem formulaçãoum pouco diferente da tratada nesta dissertação.

Observação 50. No que se segue daremos uma interpretação, em termos de continuaçãode soluções, para o Problema A.

Considerando o problema (6.20) com dado inicial u0 em L3, provamos na seçãoanterior que se p = N = 3, para obtermos solução com tempo maximal de existência sendoinfinito, basta provarmos uma estimativa da solução obtida em L3+ .

Notamos aqui que se tivermos tempo de existência infinito, utilizando argumentosconhecidos de “bootstraping” podemos regularizar a solução obtida até obter soluçãoclássica. De fato, seja u0 ∈ L3(Ω)3 e suponha que o tempo de existência maximal dasolução τu0 seja infinito, isto é, τu0 = ∞.

Pelo Corolário 6.3.6 temos que u ∈ C((0,∞),E32ε), para ε ∈ (0,1/4). Fixe ε ∈

(1/8,1/4). Pelo Teorema de imersão 6.3.3 temos que

E32ε → Lp(Ω)3,

onde p = 3/(1−4ε).

Agora para t0 > 0 qualquer, temos u(t0) ∈ Lp(Ω)3 e como p > 3, considerando oproblema

vt = Ap,−1v+N−1(v), t > 0

v(0) = u(t0),

obtemos que a solução v ∈C((0,∞),E pγ(ε)), onde γ(ε) = (p−3)/2p+2ε . Como γ(ε) = 4ε e

u é solução maximal de (6.20) e v é uma continuação, obtemos que u(t) ∈ E p4ε parta todo

t ≥ t0 e da arbitrariedade de t0, obtemos essa propriedade para todo t > 0. Agora, como8ε − 3/p = ν > 0 por teoremas de imersão conhecidos, ver (WAHL, 1981), (BERGH;LOFSTROM, 1976) ou (ADAMS; FOURNIER, 1975), obtemos que E p

γ(ε) → C ν(Ω)N .Continuando este procedimento de “bootstraping” conseguimos obter a solução u tendoum número arbitrário de derivadas no sentido forte, ou seja, u ∈C((0,∞),C ∞(Ω)).


Lembre-se que pela construção da Projeção de Leray, podemos obter a pressãoe sendo u suave usando teoremas de regularização problemas elípticos, pode-se obter apressão também suave.

A estimativa (6.22) é um tipo de estimativa de energia usual.

Deste modo, obtemos o resultado

Proposição 6.4.1. Considerando o problema (6.20) com dado inicial em L3, para resolvero Problema A é suficiente mostrar que a solução está globalmente definida, isto é, que otempo de existência é infinito.

Tendo em vista o que foi feito no Corolário 6.3.6, temos critérios para conseguir pro-var o Problema A, em outras palavras provando uma estimativa em L3+ , conseguiríamosresolver o Problema A.

Portanto para conseguir ganhar um milhão de dólares, “basta ” provar uma esti-mativa em L3+ .

Em qualquer um dos casos lhe desejamos bons estudos e boa sorte.

131

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133

ÍNDICE

aplicação ε-regular, 89

condição de incompressibilidade, 112continuação de soluções, 102core, 77crítica, 109

densamente imersos, 31dissipativo, 27duplamente crítica, 109

escala de interpolação-extrapolação, 74escala de Banach, 57escala de potência, 62escala densamente imersa, 57escala dual, 68escala extrapolada de potências, 67escalas de Banach isomorfas, 57espaço de extrapolação, 64espaço dos isomorfirmos lineares, 56

fecho de um operador, 24

gerador infinitesimal, 26

holomorfa, 32

imersos, 31

livre de divergência, 114

norma do gráfico, 58Núcleo de Poisson, 43

operador adjunto, 25Operador de Stokes, 116operador dual, 24operador fechado, 23

operador fechável, 23operador simétrico, 25

parte de um operador linear, 55produto tensorial, 121Projeção de Leray, 115

resolvente, 24

semigrupo, 26setorial, 30solução ε-regular, 89solução maximal, 102subcrítica, 109

tempo de existência maximal, 103tipo de um operador linear, 75

Documents

Equações de Navier-Stokes: o problema de um …...SOUSA, A. N. O.. Equações de Navier-Stokes: o problema de um milhão de dólares sob o ponto de vista da continuação de soluções