ISSN: 23170336 ESTUDO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES … · 1 A Revista Eletrônica da Faculdade de Ciências Exatas e Agrárias Produção/construção e tecnologia, v. 6, n. 10,

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A Revista Eletrônica da Faculdade de Ciências Exatas e Agrárias Produção/construção e tecnologia, v. 6, n. 10, 2017

ISSN: 23170336

ESTUDO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E SUAS APLICAÇÕES NA ENGENHARIA

HENRIQUE, G.1, MICHELS F.S .2, PASSOS W.3

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Resumo: Um conjunto de equações com interesse mais que teórico, mas também econômico é desenvolvido por meio de taxas, ou seja, desenvolvidos e aplicados com o auxílio de cálculo e em casos simplificados, empregados de maneira a solucionar com parâmetros gerais simplificados, um escoamento incompressível e laminar. As Equações de Navier-Stokes se atem basicamente, na relação distribuição de velocidade e pressão partindo de pressupostos da interação elemento e fluido, utilizando-se de cálculo tensorial. Onde a dedução formalizada será exposta na presente revisão bibliográfica. A distinção essencial do tratamento diferencial é o interesse prático resolutivo, isto é, não se determina inicialmente a relação entre velocidade e pressão em suas magnitudes, mas em suas variações, possibilitando estudos aprofundados quanto a influência sobre estruturas e compreendendo a dinâmica dos fluidos em todos os pontos do deslocamento, tendo de início dados geralmente simples e condições de contorno previamente definidas. Neste instante, os principais tópicos centram-se nas definições básicas de Mecânica dos fluidos, na distribuição do campo de velocidade sob o ponto de vista das Equações de Navier-Stokes, demonstrando dessa maneira, a importância das formulações na conceitualização que sustenta as Leis Clássicas de Movimento dos Fluidos.

Palavras-chave: Equações de Navier-Stokes, Análise Diferencial dos Fluidos, Tensores-Tensão, Campo de Escoamento.

STUDY OF NAVIER-STOKES EQUATIONS AND ITS APPLICATIO NS IN ENGINEERING

Abstract: A set of equations with interest more than theoretical, but also economical is developed through rates, ie developed and implemented with the help of calculation and simplified cases, employees in order to solve with simplified general parameters, an incompressible flow and laminar. The Navier-Stokes equations sticks basically the relationship of velocity and pressure distribution assumptions starting interaction element and eluted, using tensor calculation. Where formalized deduction will be exposed in this literature review. The essential distinction of the differential treatment is

1 Acadêmico do Curso de Engenharia Civil (UNIGRAN), E-mail: [email protected]

2 Doutorando em Ciências e Tecnologia (UFGD)

3 Docente do Curso de Engenharia Civil/Mecânica, Arquitetura e Radiologia (UNIGRAN)

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practical interest resolvent, i.e., does not initially determine the relationship between velocity and pressure in their magnitudes, but its variations, enabling extensive studies about influence on structures comprising fluid dynamics in all the points of displacement, having to start data usually simple, pre-defined boundary conditions. Right now, the main topics are concentrated on the basic definitions of Fluid Mechanics, the distribution of the velocity field from the point of view of the Navier-Stokes equations, showing in this way, the importance of the formulations in the conceptualization that supports the Classic Laws of Fluid Motion. Keywords: Navier-Stokes equations, Differential Analysis of Fluid, Tensores-voltage,

flow field.

INTRODUÇÃO

As aplicações das Equações a serem discutidas são diversas em importantes

campos da ciência, como na observação do fenômeno do El Niño, fluxos da água,

movimento das estrelas, propagação da fumaça, ou mais aplicadas à Engenharia, como

o projeto de usinas, construções havendo interação suficientemente complexa com

fluidos, estudos na magnetodinâmica, além de várias outras aplicações, onde podem ser

tão fundamentais como as Equações de Maxwell.

Suposições foram adotadas desde o início como, por exemplo, o fluido não

conter vazios, bolhas, ou partículas excedentes (além das fluídicas), suas propriedades

serem diferenciáveis e continuas. Esta última condição inclusive (em aplicações

tridimensionais), juntamente ao possível resultado infinito, foi em maio de 2000,

discussão de prêmio de valor 1.000.000 U$ pelo Instituto de matemática Clay. Além

destas, há outras condições que na realidade tratam-se de simplificações, este é o caso

da análise em diferenciais lineares, transformada a resolução de uma situação não real

proximamente certa e menos complexa. Influenciando neste quesito também, o caso de

um regime turbulento, identificado pelo número de Reynolds.

Fornecer materiais de apoio ao estudo e avanço da Mecânica dos Fluidos em

geral, é essencial no desenvolvimento acadêmico. Como foi dito, isto se demonstrou

promissor. Não obstante, compreender o fluido na grandiosidade apresentada nas

formulações, propicia o entendimento e a aplicação de uma vasta cadeia de análises

físicas da Engenharia, fatores irrevogáveis na determinação de um bom profissional.

Dito isto, conceitos básicos são apropriados de início, estas são ferramentas

essenciais de uma dedução formalizada, logo as formalizações integrais para o

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escoamento são empregadas na dedução da Lei da Conservação de massa e na análise

tensorial a partir da mesma definição em momento linear, além das leis da física

clássica em diferenciais parciais, nas quais ANDRADE, (2010, p. 5), presta informações

especificas. Disto, e de outros conceitos abordados ao longo do estudo, tem-se

mensurado a proporção das Equações de Stokes, como Equações fundamentais para

regimes turbulentos, reais, no entanto, deduções lineares podem ser obtidas aplicando-se

condições especificas de escoamento em fluidos newtonianos.

O estudo de derivadas materiais aplicadas à Equação de Cauchy, que por sua vez

é aplicada as tensões viscosas de pressão, origina as Equações de Stokes, nas quais

expressas em coordenadas cartesianas e cilíndricas. Deste ponto em diante, faz-se

necessário para as soluções simples, o estudo da situação a ser analisada e a

consequente reutilização e a reorganização dos termos pertinentes em relação às

condições de contorno.

METODOLOGIA

De modo a proporcionar materiais alternativos de revisão, diversas fontes

bibliográficas foram providenciadas, como artigos e livros, adaptando o conteúdo destes

de acordo as necessidades particulares, realizando uma seleção de materiais pertinentes

a dedução em todas suas etapas, em busca da produção de um instrumento completo no

que se refere ao estudo essencial do assunto abordado.

Recursos computacionais não foram utilizados significativamente. Não

focalizando nesses métodos, foram empregados processos de cálculo, sendo primordial

na atual condição, a realização das operações dedutivas e resolutivas compreendendo

todas os métodos e recursos físico-matemáticos envolvidos, definindo assim, o

entendimento das bases conceituais e os objetivos destas.

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RESULTADOS E DISCUSSÃO

Equação de Cauchy pela segunda lei de Newton

As equações relacionadas ao movimento do fluido começarão a ser

descritos. Para o movimento, a primeira ideia é justamente a descrição de força por

momento linear, análogo à análise de volume de controle finito fixo. Relembrando os

conceitos básicos da Física Clássica:

Onde a Quantidade de Movimento ou Momento Linear tem valor dada massa

infinitamente pequena . Veja abaixo, a resolução de com a aplicação da dedução

de aceleração de :

Figura 1. Tensões superficiais e tensões normais na direção referenciada pelo sistema

cartesiano à esquerda.

Fonte: Fox; McDonald, 2998, p. 141.

O movimento do sistema é válido na equação acima. Entretanto, para a

partícula, é necessária a decomposição em cada eixo. As forças atuantes serão as de

campo e as de superfície, esta inclui as tensões normais ( ) e as superficiais . A Série

de Taylor pode ser utilizada a fim de expandir cada uma dessas tensões e, a soma destas,

fornece a força superficial resultante em diferencialmente , em decorrência da

(1)

5


Série. Então, empregando dois termos da Série de Taylor em cada face do elemento na

direção :

Trata-se de uma Série de Taylor para diversas variáveis (tensões nas faces

em ) em relação ao centro do elemento de aresta em , de dimensão , por isso o

na diferença em relação ao centro em cada termo da Série.

Da expressão (2):

Ainda podemos generalizar a equação considerando as forças de campo.

Adicionar a força gravitacional em , por exemplo, tornando em relação a massa

especifica, o seguinte formato:

Para as direções e , simplesmente alteramos as componentes correspondentes:

E:

Cada componente da força na expressão (1) representando o diferencial de

força em função da velocidade e a massa (logicamente constante), pode ser decomposta

em , e . Relembremos esta afirmativa matematicamente, exposta por FOX;

MCDONALD, (1998, p. 125-130):

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

6


Onde:

Analogamente aos outros eixos, basicamente igualemos as expressões

comuns obtidas pela formulação básica da força, e a obtida pela análise das forças de

campo e as forças de superfície, resultando em uma equação capaz de relacionar as

tensões normais, cisalhantes e as forças de campo à velocidade do escoamento da

partícula fluida.

Logo são as equações diferenciais do movimento de partículas arbitrárias

(Equação de Cauchy):

Ou:

Para as outras componentes:

Neste instante, faltam conceitos de campos de velocidade e de pressão para

podermos calcular a velocidade e , dentro da hipótese continua, utilizando as

tensões. As Equações de Navier-Stokes propõem a adequação necessitante.

Equações de Navier-Stokes

A Equação de Cauchy não é suficiente para solucionar grande parte dos

problemas, isto porque a quantidade de incógnitas é superior a quantidade de equações

disponíveis até o momento. Tem-se como incógnitas as tensões viscosas e, a velocidade

em cada uma de suas componentes, além da massa específica. Então, segundo Elias,

(7)

(8)

(9)

7


(2003, p. 7-12) o primeiro passo adiante na dedução da Equação de Navier-Stokes é a

dedução das denominadas equações constitutivas, às responsáveis pela validade no que

se refere à resolução da equação de várias incógnitas, e por sua vez, irá propiciar o

tensor tensão em termos calculáveis.

Para o fluido em repouso as únicas forças atuantes é a pressão hidrostáticas

em cada face do elemento agindo do meio externo para o interno. Assim sendo, a

pressão hidrostática terá sendo negativo em cada eixo coordenado (Figura 2).

Figura 2. Num fluido em repouso a única tensão é a pressão hidrostática, perpendicular as superfícies e do sentido externo para o interno.

Fonte: Çengel; Cimbala, 2007, p. 370.

Matricialmente as tensões no elemento de fluido são formadas pelas tensões

de pressão e pelas tensões viscosas. Em um fluido estático, há somente tensões de

pressão negativa, mas no elemento fluido em movimento, existem também as tensões

cisalhantes e as tensões normais. E desse modo, determina-se a matriz:

Dependendo da massa especifica ser constante ou variável, por consequência

das Leis Termodinâmicas, classifica-se como pressão mecânica ou como pressão

termodinâmica. Para constante, tem-se a pressão mecânica como a média das tensões

de pressão, veja:

8


É de importância relatar, toda via, que a pressão mecânica não é igual a

pressão termodinâmica.

A dedução em sua totalidade será centrada, neste instante, em fluidos

newtonianos, nos quais a tensão de cisalhamento é proporcional a taxa de deformação

de cisalhamento, ao contrário dos fluidos não-newtonianos, como soluções de polímero,

sangue, pasta, etc. Há também, outros fluidos como os pseudoclássicos, os plásticos

(plástico de Bingham), em que as relações entre taxa de deformação e tensão de

cisalhamento variam (pasta de dente, cremes, areia movediça, são alguns exemplos).

São diversas as variáveis, inclusive a variável até então desconhecida , e

necessário identificá-las. Se considerar um fluido newtoniano, o mais prático na

aplicação em deduções, será preciso basicamente aplicar a Lei de Newton da

Viscosidade, tanto para as tensões cisalhantes como para as tensões normais e estas

formam o tensor tensão, dividido na parte estática (tratada pela Eq.2.3.1) e na parte

dinâmica.

Primeiramente, é mais conveniente tratar o tensor tensão por , a título de

diferenciação das demais simbologias. E consequentemente:

Com , designando a hidrostática e a hidrodinâmica. Isto feito, a

função torna-se mais simplificada visualmente, idem a aplicação da matriz identidade

negativa de . Resultando em:

A taxa de deformação linear, volumétrica, de cisalhamento e as tensões

dinâmicas são descritas por na equação (GAD-EL-HAK, 1995):

(10)

(11)

(12)

9


Nesta, é a deformação volumétrica e é a taxa de deformação em função

da velocidade e suas variações no espaço. Combinando à Eq. 2.3.2 são dadas estas

variações:

Em e , conhecendo-se a velocidade em todas direções, tem-se em

diferenciais parciais:

Sob condições especificas de compressibilidade e temperatura, em um

escoamento incompressível e isotérmico, por exemplo, podem ser consideradas

constantes a viscosidade dinâmica . Não é necessário incorporar diferencial de energia,

e em um fluido estável, a deformação volumétrica é nula. Portanto, para somente as

tensões normais, o termo das expressões (13), (14) e (15) é algebricamente

desconsiderado. Desse modo:

(13)

(14)

(16)

(17)

(18)

(15)

10


Se concebermos (JOHN; TOBISKA, 1999):

Se apropriando de todas as componentes da equação acima e substituindo

em cada componente da Equação de Cauchy representada já prontamente no tópico de

dedução através da Segunda Lei de Newton e a escrevendo de modo simplificado, por

meio da aplicação do Operador Laplaciano, obtém-se finalmente as Equações de

Navier-Stokes.

Dessa maneira:

Adicionando-se o diferencial em relação a pressão estática, pois acima temos

apenas as tensões do elemento de fluido em movimento:

Realizando a reposição das equações de tensões na expressão (19)

(primeiramente em ):

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

11


Posicionando em evidência a diferenciação de velocidade para a equação da

continuidade, possível através da propriedade da classe de funções suaves, na qual diz a

função ser diferenciável em todas as ordens, a ordem de derivação não importa,

resultamos na equação:

Para a Equação da continuidade em seu termo variável de velocidade

identificada no terceiro termo do lado esquerdo da equação acima, o seu valor é nulo, de

acordo com o princípio básico de escoamento incompressíveis (previsto na dedução) e é

verificado também o termo do operador Laplaciano, sendo basicamente um operador

vetorial gradiente ao quadrado. Logo:

De :

Assim, para as componentes restantes:

Ou de forma geral:

Esta é a Equação de Navier-Stokes. Nome em homenagem ao engenheiro

francês Louis Marie Henri Navier (1785-1836) e ao matemático inglês Sir George

Gabriel Stokes (1819-1903), pois ambos a desenvolveram. A solução destas apresenta

relativa complexidade, o que fez muitos pesquisadores dedicarem as suas carreiras apara

resolvê-la.

(25)

(26)

(27)

(28)

12


Em coordenadas cartesianas e cilíndricas

As componentes e são velocidades nas coordenadas cartesianas. Para

expressar toda a Equação de Stokes desse modo, simplesmente substitui-se cada as

referidas componentes em para e .

Para as respectivas e a equação da continuidade incompressível:

Figura 3. Coordenadas Cilíndricas.

Fonte: Çengel; Cimbala, 2007, p. 375.

Com o intuito de obter a velocidade do ponto (Figura 3) em , admite-se

o deslocamento espacial em cada direção, de acordo o ângulo , obtendo e , sendo

a distância do ponto aos eixos. Em termos da equação da continuidade, há vários

modos de obtê-la, uma delas é transformando os elementos. E estas equações são:

(29)

(30)

(31)

13


Cambiando as equações acima em relação as deduções das equações cartesianas

da continuidade, são justapostos os termos de velocidade nos eixos, relativos as

coordenadas acopladas no plano cilíndrico. É suficiente realizar as operações de acordo

a Figura 3. Assim, estas são as equações da continuidade em coordenadas cilíndricas

(demonstradas inicialmente):

Analogamente, as Equações de Navier-Stokes nas componentes e são:

Estas expostas a título de informação, pois a dedução em coordenadas

cilíndricas exige neste caso, cálculos análogos ao realizados anteriormente, por não

apresentarem uma formulação que possibilite apenas a adequação da coordenadas.

Casos aplicáveis

Distribuições de pressão e velocidade entre duas placas paralelas

Uma implicação prática em um campo de escoamento é a determinação das

distribuições de pressão e velocidade em um escoamento permanente e incompressível,

de um fluido newtoniano com viscosidade constante, entre duas placas paralelas, de

grandes dimensões e separadas por uma distância pequena. Com a placa superior em

movimento e velocidade constante, enquanto a inferior permanece em repouso,

conforme é mostrado no esquema da Figura 4 (LIVI, 2004).

(32)

(33)

(34)

(35)

14


Figura. 4. Separação entre duas placas paralelas, com a inferior em repouso, e a superior com

velocidade .

Fonte: Livi, 2004, p. 122.

A hipótese central a ser fundamentada é descrever a função de um perfil de

velocidade como linear em um regime permanente já estável, além do campo de pressão

em eixos sem inclinação em uma condição de não deslizamento.

Para provar isto, será modelada uma solução básica da equação diferencial,

partindo de pressupostos relativos as condições de escoamento e aplicando as condições

de contorno, a fim de determinar a função do perfil de velocidade e da distribuição de

pressão.

Duas das Equações diferencias básicas serão fundamentais no encontro de

resultados, e estas serão a Equação da Continuidade e as Equações de Navier-Stokes em

e , vista a situação bidimensional.

De início, a Equação da Continuidade ou a Lei da Conservação de Massa, é

reduzida com ponderações do próprio escoamento entre as placas. Em um permanente e

incompressível, tem-se:

Logo:

15


E:

Também desaparece , quando o operador vetorial gradiente é expresso em suas

diferenciais, assim:

Somente a placa superior está em movimento e na direção , restando:

De :

A velocidade depende somente de, e esta unicamente da altura entre as placas,

isto é, de . Portanto:

Neste momento, volta-se as Equações de Stokes em e , e deduzidas as

formulações, é conveniente aplica-las em parte nas já desenvolvidas. Identificadas as

Eq. 2.4.1 e Eq. 2.4.2:

A velocidade é unidirecional, apenas em , logo a segunda equação:

Se :

16


Integrando de a :

Há velocidade em , mas a primeira equação submete-se a equação da

continuidade e o seu primeiro membro também é anulado, , e apenas é possível

variar o gradiente de pressão e em . Tornando-se:

Sendo uma equação linear, a solução geral do diferencial acima de segunda

ordem pela integração sucessiva (aceleração, velocidade e distância), em , é

acrescentado de um coeficiente e uma constante. Ainda mais, com as condições de

contorno , e , encontra-se mediante

substituições:

Se :

E se , além de :

Substituindo e :

Ou:

Trata-se de uma formulação generalizadas para as mais diversas situações que

envolvam deslocamentos de placas paralelas, como testes que abrangem o cisalhamento

de materiais. No tópico abordado, refere-se especificamente a condição de não-

deslizamento do fluido entre duas superfícies sólidas.

(36)

(37)

17


Figura 5. A função de distribuição de velocidade entre duas placas paralelas, com a superior em movimento, e a inferior estática. É uma função linear (de e constantes), um reta crescente do

centro (y=0), aumentando de velocidade, com o aumento de , decorrente do movimento superior.

Fonte: Elaborado pelos autores.

Para a distribuição de velocidade, portanto, há um gráfico de reta crescente com

velocidade mínima nula e máxima de mesma magnitude do movimento da placa

superior, a chamada tendência de não-deslizamento.

Distribuição de velocidade de um fluido sobre um plano inclinado

A distribuição de velocidade é por vezes especialmente característica, como para

um escoamento laminar, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano, de massa

especifica e viscosidade , constantes, sobre um plano inclinado com largura e

comprimento infinitos. O escoamento é permanente e a espessura da camada de fluido

sobre o plano é , conforme é mostrado no esquema da Figura 6 (LIVI, 2010).

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Figura 6. Fluido Newtoniano de espessura escoando sobre superfície inclinada ,

com influência da pressão atmosférica sobre a superfície livre (LIVI, 2010).

Fonte: Livi, 2004, p. 126.

Em parte, a distribuição de velocidade possui a mesmo método para obtenção

que nos casos anteriores. Com a equação da continuidade e as equações de Navier-

Stokes dos respectivos eixo são aplicadas as condições de escoamento. Neste momento,

a situação é análoga, distinguido apenas no fato do escoamento em uma superfície

inclinada.

O escoamento laminar ocorre sobre um plano inclinado e os eixos

coordenados , acompanham a inclinação. Desse modo, para a equação da

continuidade: em escoamentos permanentes e incompressíveis, na direção de , em

termos de :

Em escoamentos permanentes e incompressíveis, na direção de , em termos de

, Fica claro que a velocidade não depende , logo, de :

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Dispostas as equações de Navier-Stokes em , :

Onde , e .

Por o escoamento ser permanente (diferencial parcial em relação ao tempo é

nula), a diferencial de velocidade de , , no tempo também ser nula (equação da

continuidade), igualmente a velocidade absoluta em y (escoamento unidirecional),

diferencial de velocidade em nula (depende somente de ), e o escoamento ocorrer

devido a ação da gravidade (gradiente de pressão nulo), as equação podem simplificadas

em termos de , admitindo e , pela razão de ser decomposta em ambos os eixo:

Para e :

Por meio da integração da primeira equação e submissão das condições de

contorno para em zero e em um ponto arbitrário do eixo, resulta as equações:

20


Através da combinação destas:

Onde .

A Equação diferencial para tem solução geram apresentada mediante

integração. Assim:

A tensão de cisalhamento é nula com o ar em repouso (em ), e a velocidade do

fluido em distância muito próximas as superfícies são nulas. Por conseguinte, as

condições de contorno são:

As aplicando são encontradas e , resultando finalmente em:

(38)

21


Figura 7. Parábola com concavidade para a esquerda, demonstrando a variação da velocidade no escorregamento (em ) conforme varia a distância no plano inclinado.

Fonte: Elaborado pelos autores.

A distribuição de velocidade em apresenta graficamente a curva na Figura 7,

desde que e sejam constantes, onde o vértice da parábola, ou a

velocidade máxima encontra-se aproximadamente ao centro da variação em .

Tratam-se estas de soluções lineares (GHOUSSOUB, 2007).

REFERÊNCIAS

ANDRADE, Juanice Helena de. Análise das Equações de Navier-Stokes no escoamento bidimensional em dutos com formulação em variáveis primitivas via GITT . 2010. 81 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal da Paraíba, Paraíba. 2010.

ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações. Porto Alegre: MCGRAW-HILL BRASIL, 2007. p. 345-374.

ELIAS, Renato Nascimento. Métodos tipo-Newton inexatos para a solução de problemas não lineares resultantes da formulação SUPG/PSPG das Equações de Navier-Stokes incompressíveis em regime permanente. 2003. 122f. Dissertação (Mestrado em Ciências em Engenharia Civil) Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. 2003.

(39)

22


FOX, Robert.W; MCDONALD, Alan.T. Introdução à mecânica dos fluidos. Indiana: LTC, 1998.p 125-130.

GAD-EL-HAK, Mohamed. Stokes’ hypothesis for a newtonian, isotropic fluid. Journal of fluids engineering 177. Indiana, no 1, p. 3-5, 1995.

GHOUSSOUB, Nassif. Antisymmetric Hamiltonian: Variational Resolutions for Navier-Stokes and Other Nonlinear Evolutions. Communications on Pure and Applied Mathematics. British Columbia, v. 60, p. 632-635, 2007.

JOHN, Volker; TOBISKA, Lutz. Numerical performance of smoothers in coupled multigrid methods for the parallel solution of the incompressible Navier-Stokes equations. International Journal for Numerical Methods in Flui ds. Magdeburg, v. 33, p. 454-457, mar. 1999.

LIVI, Celso P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2004. p. 122-128.

Documents

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