» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X

um ponto em seu interior. Então todo raio 𝐴𝑋 corta o lado BC.

Iniciamos, nesta seção, o estudo sistemático da geometria dos quadriláteros. Dentre os vários tipos particulares de quadriláteros que vamos considerar aqui, os principais são os paralelogramos, qualificados na definição a seguir.

No que segue, vamos enunciar várias maneiras equivalentes de definir paralelogramos. Tais resultados são propriedades notáveis dessa classe de quadriláteros, a serem usadas oportunamente.

Para o que segue, definimos uma base média de um triângulo como um segmento que une os pontos médios de dois de seus lados. Assim, todo triângulo possui exatamente três bases médias. Nas notações da Figura 5.6, as bases médias do triângulo ABC são os segmentos MN, NP e MP. Dizemos, ainda, que MN é a base média relativa ao vértice A (ou ao lado BC); analogamente, NP e MP são, respectivamente, as bases médias de ABC relativas aos vértices B e C (ou aos lados AB e AC, também respectivamente). Por fim, o triângulo MNP (i.e., o triângulo que tem por lados as bases médias do triângulo ABC) é o triângulo medial de ABC.

As propriedades de paralelogramos obtidas anteriormente nos permitem provar, na proposição a seguir, um importante resultado sobre as bases médias de um triângulo, conhecido como o teorema da base média.

Para o que segue, recorde que uma mediana de um triângulo é um segmento que une um vértice do mesmo ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Evidentemente, todo triângulo possui, exatamente, três medianas. Por outro lado, como aplicação do teorema da base média e das propriedades de paralelogramos, mostraremos, na proposição a seguir, que as medianas de um triângulo intersectam-se em um único ponto, denominado o baricentro do triângulo.

Conforme observamos anteriormente, um quadrilátero com dois lados opostos paralelos e iguais é um paralelogramo. Pode ocorrer, entretanto, que saibamos somente que dois lados opostos de um quadrilátero são paralelos, podendo ou não ser iguais. Neste caso, dizemos que tal quadrilátero é um trapézio (Figura 5.9). Assim, todo paralelogramo é, em particular, um trapézio, mas é fácil nos convencermos de que a recíproca não é verdadeira.

Em todo trapézio, os dois lados sabidamente paralelos são suas bases, sendo o maior (resp. menor) deles a base maior (resp. base menor); os outros dois lados (sobre os quais em princípio nada sabemos, mas que podem também ser paralelos, caso o trapézio seja, em particular, um paralelogramo) são os lados não paralelos do trapézio. Nas notações da Figura 5.9, AB e CD são as bases e BC e AD os lados não paralelos do trapézio ABCD. Ao lidarmos com problemas envolvendo construções geométricas em um trapézio ABCD, como o da Figura 5.9, é frequentemente útil observarmos (cf. Figura 5.10) que, se E e F são os pontos sobre a reta AB tais que ADCE e BDCF são paralelogramos, então:

i. O triângulo BCE é tal que 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 -𝐶𝐷, 𝐶𝐸 = 𝐴𝐷 e B𝐶 E = ângulo entre as retas suportes dos lados não paralelos AD e BC.

ii. O triângulo ACF é tal que 𝐴𝐹= 𝐴𝐵+𝐶𝐷, 𝐶𝐹= 𝐵𝐷 e A𝐶 F = ângulo entre as diagonais AC e BD.

Antes de prosseguir, precisamos de mais algumas convenções acerca de trapézios, quais sejam: o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é a base média do mesmo, ao passo que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é sua mediana de Euler. A proposição a seguir nos ensina como calcular os comprimentos de tais segmentos em termos dos comprimentos das bases do trapézio.

Como os lados opostos de um retângulo são sempre paralelos (uma vez que são ambos perpendiculares a um qualquer dos outros dois lados), todo retângulo é um paralelogramo. Por outro lado, a Proposição 3 garante que todo losango também é um paralelogramo.

A discussão acima permite definir a distância entre duas retas paralelas. Para tanto, observe, inicialmente, que se r e s são retas paralelas, então (cf. Corolário 3.4 da Unidade 3) uma reta t é perpendicular a r se, e só se, for perpendicular a s.

Definição:

Vamos fazer agora a prometida caracterização dos losangos.

Há um último tipo de quadrilátero que desejamos estudar, o quadrado. Um quadrilátero é um quadrado quando for simultaneamente um retângulo e um losango (Figura 5.17). Assim, quadrados são quadriláteros de ângulos e lados iguais; ademais, suas diagonais são também iguais e perpendiculares, se intersectam ao meio e formam ângulos de 45 graus com os lados do quadrilátero.

O conceito de lugar geométrico, desenvolvido nesta unidade, resulta essencial para uma compreensão mais profunda da abordagem aqui desenvolvida da Geometria Euclidiana, usualmente conhecida como o método sintético. De posse de tal noção, estaremos aptos a discutir várias propriedades notáveis de triângulos e quadriláteros, ressaltando-se, dentre elas, o problema de inscritibilidade dos mesmos em círculos. Começamos apresentando o conceito de lugar geométrico, na definição a seguir.

Para o próximo exemplo, dados os pontos A e B no plano, definimos a mediatriz do segmento AB como sendo a reta perpendicular a AB e que passa por seu ponto médio.

A proposição a seguir nos dá uma caracterização da mediatriz de um segmento como LG.

O papel da bissetriz de um ângulo como LG está essencialmente contido na proposição a seguir.

Após termos estudado os LG's mais básicos, vale a pena discorrermos um pouco sobre o problema geral da construção com régua e compasso de uma figura geométrica satisfazendo certas condições. De outro modo, o tratamento padrão para um tal problema consiste, basicamente, na execução dos dois passos seguintes: 1. Supor o problema resolvido: construímos um esboço da �figura

possuidora das propriedades desejadas, identificando na mesma os dados do problema e os elementos que possam nos levar à solução.

2. Construir os pontos-chave para a solução: um ponto-chave é todo ponto que, uma vez construído, torna imediatas as construções subsequentes necessárias e, em última análise, a solução do problema em questão. Para construir o(s) ponto(s)-chave de um determinado problema, cumpre examinarmos as propriedades geométricas da situação em estudo com bastante cuidado, tentando identificar, em cada caso, dois LGs aos quais o ponto pertença. Devendo pertencer simultaneamente a dois LGs, o ponto fica determinado pelas interseções dos mesmos.

Vejamos, em um exemplo simples, como funciona a execução deste programa.

Nesta seção, aplicamos o conceito de lugar geométrico para estudar mais alguns pontos notáveis de um triângulo, quais sejam, o circuncentro, o ortocentro e o incentro. Lembre-se, ainda, de que já definimos e estudamos as propriedades do baricentro.

Como corolário da discussão acima, podemos estudar o problema da concorrência das alturas de um triângulo. Note primeiro que, caso o triângulo seja obtusângulo (Figura 6.7), as alturas que não partem do vértice do ângulo obtuso são exteriores ao mesmo.

O corolário a seguir nos dá uma consequência interessante da demonstração acima. Para o enunciado do mesmo, recorde que o triângulo medial de um triângulo ABC é aquele que tem por vértices os pontos médios dos lados de ABC.

Nas notações do item (b) na prova acima, ABC é o triângulo medial do triângulo MNP e as mediatrizes dos lados de MNP são as alturas de ABC; portanto, o circuncentro de MNP coincide com o ortocentro de ABC. Os demais casos são totalmente análogos.

Examinemos, por fim, o ponto de encontro das bissetrizes internas.