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Funções e aplicaçõespara Química e biológicas
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UniversidadeFederalRuraldePernambucanoUnidadeAcadmicadeSerraTalhada
BenjamimHenriquedeLimaesilvaOrientador:Msc.DemcioCosta
Textocomplementarsobre:
Funes e aplicaespara Qumica e biolgicas
Trabalhodepesquisadabolsade monitoria: Clculo II ematemtica para bilogos, referenteasfriasde12/200903/2010
SerraTalhada,2010
Sumrio
Contextualizao.............................................................................................4
Domnio,contradomnioeimagem........................................................6Funesbijetivas,injetivasesobrejetivas.....................................................10FunoInversa..............................................................................................12FunoComposta..........................................................................................13Grficodefunes.........................................................................................16Tiposdefunes............................................................................................17Funesdoprimeirograu.............................................................................17Funodosegundograu...............................................................................32Funopolinomiaisdegraun...................................................................42FunesModulares.......................................................................................43FunesExponenciais..................................................................................46FunesLogartmicas...................................................................................52FunesTrigonomtricas.............................................................................62FunesTrigonomtricasinversas...............................................................74lgebrasdeFunes......................................................................................75Inequaes.....................................................................................................76Bibliografia...................................................................................................84Anexo.............................................................................................................86
2
Contextualizao:
Sob presso constante a variao do volume de um gs, devido a temperatura, dado pela LEI DE CHARLES e GAY-LUSSAC que diz que o volume ocupado pelo gs diretamente proporcional a sua temperatura. Matematicamente: V =kT , sendo T a temperatura e k uma constante peculiar a cada gs. Sabendo o valor de k, podemos obter o volume ocupado pelo gs a uma dada temperatura. Por exemplo, digamos que um certo gs tem a variao do volume dado pela a expresso: V =3 l / C .T , ento se pergunta: Qual o volume do gs a 100C?
Pararespondermosisso,substitumosessevalornaleisupracitada:
V =3 l / C .100 CV =300 l (osmbolosignificaimplicaque)
chegandoarespostaque100litros.
O nmero de bactrias de uma certa cultura, t horas aps o incio de certo experimento, dado pela expresso N(t) = 1200 . 20,4t. Nessas condies, quanto bactrias teremos aps 12,5 anos?
Soluo:Nessecasotambmsetratadefuno,paraobtermosarepostasubstitumosotempo dadonaexpressomatemticaacima:
N(12,5)=1200.2(0,4).(12,5) N(12,5)=1200.25 N(12,5)=38.400bactrias.
No dois casos acima percebemos certa dependncia de uma quantidade sobre a variao de outra. No primeiro caso temos que se T aumenta, V tambm aumenta e se T diminui, V tambm diminui. O valor de V depende do valor atribudo a T. Algo semelhante acontece no segundo exemplo, a diferena est na natureza dessa dependncia que antes era proporcional e agora exponencial, pois, quando t aumenta ou diminui N(t) tambm ir aumentar ou diminuir, respectivamente. Essa dependncia (intrnseca) de uma quantidade sobre o valor (e variao) de outra chamada em matemtica de funo. Informalmente falando, funo uma lei matemtica que recebe um valor arbitrrio (voc e/ou as convenincias escolhem) e processa (calcula) um novo valor dependente do valor inserido.
Definio:DadaosconjuntoAeBnovazios,definesefunof:AB(lsefunofdeAparaB)
comoumaregraquedizcomoassocarcadaetodoelementoadeAaumnicoelementob emB.
3
Diagrama de uma funo. Note que o conjunto B possui elementos sem correspondente em A porm isso no contradiz a definio. A B
Nesse caso no funo pois h elemento em A que no possui correspondente em B A B
funo pois, todo elemento em A est associado a somente um elemento em B. Perceba que o fato de B possuir elementos com mais de um correspondente em A no contradiz a definio. A B
No funo pois A possui elementos com mais de um correspondente em B, isso contradiz a definio. A B
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1
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A
B
C
D
Casa
Bola
dado
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0
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-1
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-2
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0
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0
1
4
Exemplos:
1DadososconjuntosA={2,1,3}eB={1,0,4},digaseasexpressesmatemticasabaixosorepresentaesdefunodeAemBefaaumdiagrama.5x6sex0Resoluo:a)nofunopoisnohemBelementosquecorrespondaa1e3emA.
f(2)=(2)=4f(1)=(1)=1f(3)=(3)=9
b)funopoistodoselementosemApossuisomenteumcorrespondenteemB.
f(2)=(2)+1=1f(1)=(1)+1=0f(3)=(3)+1=4
c)nofunopoisnohemB,elementoquecorrespondaaoselementos:2e3emA.
f(2)=(2)+3=7f(1)=(1)+3=4f(3)=(3)+3=12
d)funopoisquandopoistodososelementosdeApossuemsomenteumelementoemB.
f(2)=5(2)6=106=4f(1)=5(1)6=56=1f(3)=0,pois3>0
5
-2
-1
3
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0
4
A B
-2
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0
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A B
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A B
-2
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4
A B
Exerccios
1 DadososconjuntosA={1,2,3,4}eB={1,2,3,4}.DigaqualdasexpressoabaixorepresentamfunesdeAemB.1sex=1a)f(x)=3x2b)f(x)=x+5c)f(x)=xd)f(x)=1xsex1
2DadosA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}eB={1,4,3,16,5,36,7,64,9,100}esabendoqueacorrespondnciaentreAeBqueequivaleaumafunocompostaporduasexpresses:umaseosnmerossopareseoutrasesompares.Encontreessacorrespondncia.
3EmAnliseMatemtica,umareadegrandeimportnciadaMatemticaqueentreoutrascoisasseencarregadasdemostraeseprovasdeteoremas,conhecidaumafunode (naturaisparanaturais)chamadadesucessorden,definidapeloschamados1e2axiomasdePeanocomo:s(n)=n+1es(n)1, n (qualquerquesejanpertencenteaosnmerosnaturais)Determinequaisdosconjuntosabaixorepresentamfunesrestries*des(n)deA B.
a)A={2,3,10,11}eB={4,12,3,11}b)A={11,16,14,}eB={2,5,12,17,15}
c)A={1,2,3,4,5}eB={6,7,8,9,10}d)A={1,2,5,10}eB={2,4,6,11}
4DadososconjuntosAeBeasrespectivascorrespondncias,abaixo,digaemquaiscasoshfunodeAemB.
a)A={0,1,2,3},B={1,0,1,2,3)ef(x)= x 1 b)A={2,3,5},B={4,9,25}ef(x) = x
Domnio,contradomnioeimagem
O conjunto A da definio acima chamado de Domnio def e B de contradomnio. O domnio D consiste dos elementos admissveis pela funo, ou seja, todos valores dexque posso colocar na funo e obterei resultados, o conjunto de todos os resultados que posso obter no contradomnio chamado de ImagemImde f .Outra forma de representar a funo f(a)= b, sendo b imagem de a em f .A imagem est contida no contradomnio e equivale aos valores obtidos pela a funo quando inserimos na funo valores de x do domnio. Algumas vezes preciso excluir alguns valores do domnio para que f(x)seja definida e exista, abaixo esto alguns exemplos de domnio e imagem, se no explicitarmos o contradomnio, subtenda como sendo os nmeros reais .
.
*Dadaasfunes:A Be g:C D,dizsequegrestriode eextensodeg,quandoCA(CestcontidoemA). 6
Exemplo1:f(x)=x9;odomniodessafunooconjuntodosnmerosreaispois,elaadmitequalquervalorreal.fcilverqueaimagemtambmosnmerosreaisumavezque,poderseobtertodososvaloresreaisnessafuno.D=.
Exemplo2:f(x)= x x ;odomniodessafunosertodososnmerosreaispositivos()eosnmerosreaisparesnegativos.Emtermosmatemticos:D= *J(*significaoconjuntosdosnmeros reaiscomexceodo0),sendoJoconjuntodosnmerosmparesnegativos, note que f(0) no est definido pois, teramos f(0) = 0 que emmatemticadenotaindeterminao.Sedefinssemos0 como1(todonumeroelevadoa0dar1),seria dizerque 0a/0a iguala1mas, 0a sersempreiguala0,noimportaovalordeae,assim teramos 0/0 o que no faz sentido em matemtica dividir um numero por 0*. Ajustificativadodomniodessafunoqueocontedodaraizquadradanopodesernegativo,logotodososnmerospositivosinteirossopermitidos.Paraosnmerosinteirosnegativos,sex for par teremos um numero par negativo elevado ao nmero par tambm negativox x .Onumeronegativocomoexpoentesignificaquexestnodenominador 1 /x x e
como todo nmero (negativo ou positivo) elevado a expoente par dar sempre umnmeropositivo**ocontedodaraiznuncavaidarnegativoparanmerosparesnegativos.Nocasodosnmerosmparesnegativos,todonmeronegativoelevadoaexpoentempar negativoounodar semprenegativoeporessemotivo, nessecaso, osnmerosreais negativosmparesnofazempartedodomnio.Aimagemdessafunoosnmerosreaismaioresque0,Im=+(porque?)***(+significaosnmerosreaispositivos)
Exemplo 3: f(x) = x21/x1 ;jfoiditoqueemmatemtica nofazsentidodividirpor0,logox+10;x1,essedomniodef.D={1}.Aimagemserosnmerosreaiscomexceode2;Im= {2},quandofalarmosdelimitesexplicaremosporquedaexclusode2daimagem,quemjtiverconhecimentodelimitespodejtentardescobrirporque.
Exemplo 4: f(x) = x21/x21 ; nesse caso x no denominador est elevado aoquadradoenuncaser negativo (porque?) logoo domnio, comotambma imagem, osnmerosreais.
..
*Sedissssemosquea/0=b,teramosqueb.0=a,oquenofazsentido;**(x)2n=x.x.x.x...x.x,umnumeropardevezes,pelaregradesinaisnamultiplicaosinaisiguaisdar
positivo(x.x).(x.x).(x.x)...(x.x)=x2n;lembreque().()=(+).***Emfunoradiciaisnoconsideradoaraiznegativapoisseissoacontecesseteramosum x paradois f(x) x e x quecontrariaadefiniodefuno.xaumnicof(x) 7
A
B
C
152
43
f:A B
Domnio:A={A,B,C}
A B
Contradomnio:B={1,2,3,4,5}
Imagem:{1,2,3}
Exemplo5:f(x)= ln x1 ;essafunosestdefinidaparanmerosmaioresque0pois,noexistelogaritmonatural(lnlogaritmonabasee,nmerodeEuler)denmerosiguaisoumenoresque0*logo x10 x1 ,suaimagemnoentantosertodososreais.D=+{1};Im=.
Exemplo 6: f(x)= sen5 x ;Domnioosnmerosreais,D=,naimagem,noentantonoslembramosqueafunosenovariade1a1(verfunesperidicas),logoessaaimagemdafuno:Im=[1,1]
Exemplo 7: F(x) = 1/x1 x2 ; temos aqui duas imposies: primeiro nopodemosternmerosnegativosnaraiz,segundonopodemoster0nodenominadorlogoodomnioserdefinidoem: x1 x20 ;essaumainequaodosegundograupararesolvla avaliaremos as funes separadamente, chamando (x1) de f(x), (x+2) de g(x) ef(x).g(x)deh(x),edepois,emumatabela,faremosojogodesinal:f(x) = x1=0 x=1 comoessa funo uma funo afimcrescente (ver funes afins),temosqueparax>1,f(x)>0;x=1,f(x)=0;x0, x =2, g(x)=0; x< 2, g(x)
Exemplo 9: f(x) + x = 1: isso no funo pois desenvolvendo teramosf(x)= 1x pormpeladefiniodefunodevemosterumxrelacionadoaumnicof(x), nestecasonstemosum x paradois f(x) (araizpositivaeanegativa). Notequenosexemplos 2, 7 e 8 tambmaparecem razes mas nesses casos as razes esto definidasimplicitamentecomosomentepositiva,sevocusarotestezinho*dasintersecesdogrficocomumaretaparalelaaoeixodef(x)vocvaiverogrficonodefuno.
Exemplo10: f(x)=|x|2x;domniooconjuntodosnmerosreais:D=.Aimagem:temosumfatoremmdulo**logoqualquervaloratribudoa x sernessefatorpositivoporoutroladotemostambmofator2xqueparax0sernegativo(sejax=a,2(a)=2a)ecomo|2x|>|x|temosqueosinaldef(x)depender somentedosinalde2x. Como2xassumir qualquervalorreal logo f(x)tambmassumirqualquervalorrealeaimagemIm=.EmumlistadoprofessorMarcosMeloelepedeparaverificarque f(|a|)=|a|. Para issosubstitumosnafunoo|a|:f(|a|)=||a||2|a||a|2|a|=|a|.
Exerccios
5DadososdiagramasabaixodefunesdeAemBidentifiqueodomnio,ocontradomnioeaimagem.
6DadososconjuntosA={2,3,4}eB={8,27,64}esabendoqueoconjuntoAdomniodeumafunoeBasuaimagem.Encontreessafuno.
7 Dadaafuno f : A B, f(x) = 3x 2 esabendoqueocontradomnioeaimagemdessafunosoiguaisesendodadoB={4,13,19,28}.EncontreA,ouseja,encontreoselementosdodomniodef (x).
8Expliciteodomnio,ocontradomnioeaimagemdasseguintesfuno.
a) f x= 3 x3 x b) f x=1 x c) f x=4x21 /2. x1 d) f x=x4 1
.
*Nesse teste traamos uma reta vertical no grfico da funo, se a reta cortar o grfico em mais de um ponto ento no funo**Mdulo o valor absoluto do nmero independendo do sinal assim: |-5|=|5|=5, |-2|=|2|=2. em matemtica define-se mdulo de um nmero a como: |a |=a se a >0 e |a |= -a se a
Funes Sobrejetivas, injetivas e bijetivas (ousobrejetoras,injetorasebijetoras)
Funes sobrejetivas so aquelas em que todos y no contradomnio possui um xcorrespondente no domnio, ou seja, qualquer que seja o valor dey no contradomnio haverum valor paraxno domnio que quando substitudo na funo ela dar o valor de y. i.e. (isto) o contradomnio igual a imagem. Se a funo estiver definida no nmeros reais f: ela ser sobrejetiva se a imagem for os nmeros reais. Im = .
AB
Exemplos:f(x)=5x+2(sobrejetivapoisparaqualquervalorydef(x)haversempreumxquequandosubstitudonafunofarcomqueeladessevalor);
f(x)=3x(nosobrejetivapoisnohvaloremxquefaaf(x)=0ouf(x)
Funesbijetivas so funes sobrejetivas e injetivas ao mesmo tempo. Costuma-se dizer que essas funo possuem uma correspondncia biunvoca entre xe f(x). interessante notar que as funes polinomiais mpares, definidas de em , so bijetivas, enquanto que as funes polinomiais pares sero bijetivas se somente forem definidas de + em +.
AB
Exemplos:
f(x)=x+4(noinjetivanemsobrejetiva(porque?)logonobijetiva);
f: ,f(x)=5x(injetivamasnosobrejetivalogonobijetiva)*;
f: +,f(x)=x4+x(sobrejetivapoisaimagem+igualaocontradomnio+,pormnobijetivavistoquenoinjetivapois11enoentantof(1)=f(1).(verifique)
f:+ ,f(x)=ln|x|(injetivaesobrejetiva**(porque?)logotambmbijetiva);
f: + +, f(x)=x (bijetiva poisaimagemigualaocontradomnioenmerosreaispositivosdiferentespossuemquadradospositivosdiferentes)
f(x)=x+2x(bijetivasetratadeumafunompar)
Exerccios
9Analisandoasfunesqueassociama)oanimalsuaespcie,b)onomeeaidadedeestudantesuniversitrios,c)acapitalaseurespectivopas,e)aintelignciaeaparnciacada pessoa e f) o time de futebol cada torcedor. Diga se essas funes so injetivas,sobrejetivas,bijetivase/ounenhumdoscasos.
10Classifiquecomoinjetivas,sobrejetivasebijetivasasseguintesfunesdefinidasdeem.
a)f(x)=x3b) f x=3 x5 x 22 x7 c) f x=lnex1 d) f x=sen 3x1
.
*Asfunesexponenciaisnaqualax,sendoaconstanteereal,nobijetivaquandodefinidadepara,f:,umavezquenosobrejetiva.Pormbijetivaquandodefinidade para +,f: +,poisaquiaocontradomnioserigualaimagem;**Sempre haver umvalor em x que far comque a funo tenha qualquer valor numrico real logo ela sobrejetiva,comotambmvaloresdiferentesde x darvaloresdiferentesde f(x).Lembresequeainjetividadeesobrejetividadedependedasimposiesem f(x)enoemxcomoocasodolnemquexdevesermaiorque0.
1
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3
3
2
1
11
FunoInversa
Dada a funo bijetivaf:A B, define-se a funo inversa def,representada porf1,como a funog:B A. Tendo uma funo de yvariando em funo dex, sua inversa ser afuno na qual oxvaria em funo dey.Na prtica trocamos o xporf(x)e ento isolamos o novof(x).
f(x):f1(x)ABAB
Exemplos:
1 f x=x1 ,paraobterafunoinversatrocamosoxporf1eentooisolamos,obtendoainversa:
x= f 1 x 1 f 1 x=x1 f 1x = 3 x1 .
2 y=5x3 maisumaveztrocamosoxporyeisolamosessenovoy.
x=5y3 5y=x3 y=x3/5
3Determineodomnio,f(1/x)ef1dafunof: ,f(x)=
Resoluo:Odomniodessafunosotodosospontosnoquaisafunoexiste,sendoassimtodoo conjuntodosreaiscomexceodopontonaqual2x+7=0.Logo2x+70 x7/2.D={7/2}.
Notamosqueestafunonobijetiva,umavezquenosobrejetiva(porque?)logoelano possuiinversanessedomnio.
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x12x+7
f(1/x)=(1/x)12(1/x)+7
(1x)x(2+7x)
x
f(1/x)= 1x2+7x
Funo composta
Dada as funes:A B e g: B C, podemos obter uma nova funo F:A C, tal que F(x) =(g(x)). A funo composta (representada comumente porog(x)) a funo obtida pela insero da funo g no lugar da varivel de . Ou seja, onde tinha xem (x) eu coloco a funo g(x).
ABC
Exemplos:
1Seja f x=3 x21 e g x =2 x5 .Calculeasfunescompostasfogegof.
Resoluo:fog= f g x =32 x5 1 ;
gof= g f x =2 3 x215 .
2(FGVSP)Sefegsofunestaisquef(x)=3x1ef(g(x))=x,determineg(x).
Resoluo:Paraencontrarmosovalordeg(x)osubstitumosemf(x)eoisolamos:
f(g(x))=3(g(x))1 3(g(x))1=x 3(g(x))=x1,isolandog(x)temos:
13
x f(x) g(f(x))f
g(f(x))
g
g(x)= x13
3Sejaf=goh,calculehse:
(a)f(x)=x+1,g(x)=x+1(c)f(x)=|x3x+5|,g(x)=|x|
(b)f(x)=bx+a,g(x)=x+a(d)f(x)=sen(x),g(x)=x
Resoluo:(a)f(x)=g(h(x)),assim:x+ 1=(h(x))+ 1 h(x)=x+ 11 h(x)=x (vocpode comprovarissosubstituindoh(x)emg(x),encontrandof(x));
(b)f(x)=g(h(x)) bx+a=(h(x))+a h(x)=bx+aa h(x)=bx
(c)f(x)=g(h(x)) |x3x+5|=|h(x)| h(x)=(x3x+5)se x0 eh(x)=( x3x+5)sex0(porque?)logox>4.D={x |x>4}.f o g= 1/2 x 4 1/2 x40 1/2 x4 18 x x1 /8 ; Odomnio: D={x|x
7(FatecSP)Sejamf: eg: ,funesdefinidasporf(x)=x4teg(x)=xt.Sef(g(1))=16entotigual:
(a)5(b)3(c)0(d)3(e)5
Resoluo:
g(1)=1tg(1)=1t
f(g(1))=16(g(1))4t=16 (1t) 4t=161 5 t=165t=16+1t=15/5=3,logoaalternativacorretaa(d).
Exerccios
11Encontreasfunesinversasdasseguintesfunes(seexistirem):
a)f(x)=x+3b)f(x)=x2c)f(x)=x2x+4x8
d)f(x)=ln(x2)e)f(x)=2x4f)f(x)=senx
12DadoumparalelogramoemqueosladosmaioressoproporcionaisaosmenoresporumaconstanteK,dafunoqueexpressaopermetroemfunodosladoseafunoinversa,ouseja,osladoemfunodoslados.
13 Umapropriedadeimportantedoconceitodebijetividade(vistomaisacima) quesef:A Bbijetiva,entoAtemomesmonmerodeelementosdeB(chamadodenmero cardinal).Usandoessapropriedadeomatemtico,fsicoeastrnomoitalianoGalileuGalileiprovouqueexistetantosnmerosmparesquantonaturais().Encontreasfunesquedoosnmerosmparesesuainversa,bemcomoaquedosnmerospares.
14Calculefogoh,sendo:
a)f(x)=x1,g(x)=2xe,h(x)=x3b) f x= x23 , g x =3x2 e ,h x =sen xc)f(x)=cosx,g(x)=ln|x|eh(x)= e x e)f(x)=6x3,g(x)=senx,eh(x)=x1
15(MackSP)Dadasasfunesf,gehdeem,definidasporf(x)=3x,g(x)=x2x+1eh(x)=x+2,entoh(f(g(2))iguala:
a)1b)2c)3d)4e)5
16Paraquevaloresdeaebvale:a)(fog)=9x2e,b)(gof)=9x2,sendof(x)=axbe g(x)=ax+b.
15
17Sef=goh.Calculegse:
a)f(x)=6x2eh(x)=x3b)f(x)=senxeh(x)=tgxc)f(x)=x1eh(x)=x+1
18Escrevaf(x)comocompostadetrsoutrasfunes,sendo:
a)f(x)=x9b)f(x)=cotgxc)f(x)=lnxd)f(x)=x5e)f(x)=4x
Grfico de funes:
O grfico da funo permite uma anlise mais ampla da variao das variveis. Existe vrios tipos de grficos como o de colunas, o de somente pontos, o de linhas, o que tem a forma de pizza etc. Mas por convenincias, nesse texto trabalharemos somente com o grfico cartesiano de linhas. Abaixo definiremos alguns conceitos inerentes a esse grfico:
ParOrdenado uma dupla de elementos representado na forma (a, b), geometricamente representa um
ponto no sistema de coordenadas x e y; a a primeira coordenada e b a segunda. Nesse sentido o par ordenado tambm pode ser chamado de CoordenadasCartesianas.*
Sistemacartesiano composto por dois eixos ortogonais (90 entre si). O eixo horizontalOX(dos x's)
chamado de eixo da abscissas e o eixo vertical OY (dosy's) de eixo das ordenadas. Os pares ordenados podem ser representados no plano cartesiano, sendo o primeiro elemento do par correspondente a valores no eixo dexe o segundo elemento correspondente a valores no eixo de y.
Os eixos ortogonais dividem o plano em 4 regies chamadas de quadrantes, conforme a figura 1 abaixo. Na figura 2 est representado um ponto p(a, b) no plano:
Figura1:QuadrantesFigura2:pontop(a,b)reprenoplanocartesiano.sentadonoplanocartesiano.
.
*Homenagemao filsofo e matemtico francs Ren Descartes, cujonomeemlatim RenatusCartesius, quepropsemseutrabalhoLaGeomtrieautilizaodomtodocartesianoparasoluodeproblemasrelacionadoscomoclculodiferencial.EmboraDescartetenhaficadocomafamadocriadordaGeometriaAnaltica,issomritotambmdomatemticoamadoringlsPierreFermat.
1 quadrante 2 quadrante
3 quadrante 4 quadrante
y
x
p(a,b)
a
b
x
y .
16
Tipos de funes:
Geralmente(x) denotado como y . importante saber que existe vrios tipos de funes, sendo elas classificadas de acordo com a expresso matemtica em que se apresenta. Assim, funes em que a varivel independente (a que posso atribuir valores arbitrariamente,em funes(x) o x)se apresenta em polinmios, chamamos essas funes de polinomiais; quando a expresso que contm o xest em razes dizemos funes radiciais; se em mdulos, funes modulares; se no expoente funes exponenciais; se o argumento est no denominador chamamos de funo quociente etc. Trataremos essas funes separadamente:Funespolinomiais:So funes em que a varivel independente se apresenta elevada a uma potencia constante complexa*.
Exemplos:
1 f x=3 x1 ;
2 f x=x1 ;
3 f x= x53 x 44 x32 x2 .Dentre as funes polinomiais destacamos alguns conceitos importantes, como:
Graudafuno: do valor do maior expoente dex,assim em (1) do primeiro grau, em (2) do segundo grau, em (3) do quinto grau e em (4) do segundo grau, e;
Funesmparesefunespares:se o grau da funo mpar ento ela uma funo mpar se o grau par ento ela uma funo par. Funes pares so aquelas em que (a)=(a), funes mpares aquelas em que (a)=(a).As funes mpares so bijetivas de em , enquanto que funes pares so bijetivas apenas de em + (exemplo:(x)=x),ouem. (exemplo:(x)=x).
Funesdoprimeirograu 6
Tambm chamadas de funes afins, so funes que se apresentam na forma de (x)=ax+b,sendo a e b constantes reais. interessante notar que todas as funes afins so bijetivas e por isso admitem inversas que sero funes do mesmo tipo que as funes originais. Abaixo est os casos em que ela crescente e decrescente**
.
*conjuntodosnmeros quetmaformaa+bi,sendoaebreaisei,chamadodenmeroimaginrio,iguala1
**crescentesedadof(x1)=x1ef(x2)=x2quandox1>x2 f(x1)>f(x2)e;decrescentesequandox1>x2f(x1)
Sea>0afunosercrescenteeogrficoteraforma:
Sea
(b)Verifiqueseasseguintesfunessoconstantes:
Resoluo:1);funoconstante;
2),logotambmconstante.
Funo Identidade : Quandob=0ea=1,ficandodaforma(x)=x.Ogrficoumaretaque faz45comoseixosxey,respectivamente.Odomnioeaimagemser.Afunoidentidade nica,abaixoogrficodela.
x f(x)
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
Funo Linear: Funolinearadotipo(x)=ax,coma0eb=0.ogrficoserumaretaquepassapelaorigemdoseixos. Afunoidentidade umcasoparticulardefuno linear. Alguns autores definem a funo linear como a funo que vale as seguintes propriedades:f(a+b)=f(a)+f(b)ef(Ka)=Kf(a)
Exemplos:
1)f(x)=3x
x 3x f(x)
0 3.0 0
1 3.1 3
2 3.2 6
3 3.3 9
f(x)= 1 + x1x x1 f(x)=x|x|
|x|x
2 _
f(x)= 1+x1x f(x)=f(x)=1x
x
f(x)= f(x)= f(x)=x|x| x|x|xx 0 =0
x|x| x|x|
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
f(x) = x
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
f(x) = 3x
19
2) Dadaasfunesabaixo,determinequaisdelassolineares,verifiqueseaspropriedades: f(a+b)=f(a)+f(b)ef(Ka)=Kf(a),sendoa,beknmerosreais,valeparaelas.
1)f(x)= f x=4 x 212 x9 3 2)
3)f(2x)=(x3)(x+3)4)f(x)=x
Resoluo:1)Reorganizandoessafunousandoapropriedade:(ab) =a 2ab+b, notamosqueo contedodaraizpassveldessapropriedade.
4x 12x+ 9 (2x) 2 .(2x. 3) + 3, sedissemosquea= 2xe b= 3, teremosque: 4x12x+9=(2x3).Assim:
f x=2 x3 3 f x =2 x33 f x =2 x logoumafunolinear.
f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b).f(Ka)=2Ka=K(2a)=Kf(a)
2)Pararesolverencontramosprimeiroommcde3e2que6,assim:
f(x)=(1/6)xfunolinear.
f(a+b)=(1/6)(a+b)=(1/6)a+(1/6)b=f(a)+f(b).f(Ka)=(1/6)Ka=K(1/6)a=Kf(a).
3)Nessecasonossentimostentadoadizerqueessafunonolineardevidoaodoisfatores estaremelevadosa2.Noentanto(comodiriaoprofessorOrnaFilipe:errogravssimo!!),se desenvolvermososfatoresveremosquesetratadeumafunolinear.Usandoapropriedadedo exemplo1eque(a+b)=a+2ab+b,temos:
f(x)=(x6x+9)(x+6x+9) f(x)=x6x+9x6x9f(x)=12xfuno linear.(crescenteoudecrescente?)
f(a+b)=12(a+b)=(12a)+(12b)=f(a)+f(b)f(Ka)=12(Ka)=K(12a)=Kf(a).
___________________UmafunolineardegrandeimportnciaparaacinciamodernaaleideinterconversodemassaeenergiapropostapelograndefsicoalemoAlbertEinstein:E=cm.E energia;c velocidadedaluznovcuoem massa. Vemosporesseexemploquefunessimples,comofuneslineares,soteisemquestesgrandiosasdeoutrasreasdoconhecimentohumano.
f(x)= 5x 3x_3 2
f(x)=10x 9x6
20
4)Vemosnessecasoqueessafunonopodeserenolinear,umavezquexestelevado potncia3.
f(a+b)=(a+b)=a+3ab+3ab+bf(a)+f(b)(notequef(a)+f(b)=a+b)f(Ka)=(Ka)=KaKf(a)e(Kf(x)=Kx)
Funo Afim completa:Comoditoacima,tratasedeumafunodotipo(x)= ax+bnaqual a e b sonmerosreaisdiferentesde0(zero). Ogrficodessafunoumaretaque intersectaoeixodosynopontobeoeixodosxnoponto(b/a),quechamadoderaizde;achamadodecoeficienteangulardessaretaefornecesuainclinaoemrelaoaoeixoOXeataxadevariaode(x)emrelaoax.Paraconstrumosogrficodefunesdessetipo precisamosapenasdosdoispontosmencionadosacima,quesoasintersecescomoseixos,e sabermos se a funo crescente ou decrescente analisando o sinal de a, claro que se quisermosmaisinformaespodemosatribuirvaloresax.
Ogrficotemaforma:
yy
xx
21
O valor chamadoderaizouzerodef(x),nessepontof(x)=0.
b
Para a > 0 e b > 0
b
Para a > 0 e b < 0
b
Para a < 0 e b > 0
b
Para a < 0 e b < 0
b a
b a
_ b
b a
b a
a
Exemplos:
1Determinearaizdasfunesabaixoeesboceseusgrficos.
a)f(x)=2x3b)f(x)=34xc)f(x)=xe
Resoluo:
a)f(x)=0a>0funocrescente2x3=0x=0f(0)=2.03=3
2x=3x=1f(1)=2.13=1
x=3/2x=2 f(2)=2.23=1
b)f(x)=34x=0a0,funocrescente
xe=0x=0f(0)=(0)e=e
x=ex=1f(1)=(1)e=e
x=e/ x=2f(2)=(2)e=2e
22
-3
1,5 x
.
.
y
1
- 1
2
(1, -1)
(2, 1)
3/4
3
2
5 (2, 5)
x
y
(1, 1) 1
1
e/ x
e
1 e
2
2 e(2 ,2 e)
(1, e)
y
Determinaodafunoconhecendosedoispontosouogrfico
Uma funo(x)=ax+bpode ser inteiramente determinada se conhecermos pelo menos dois valores de xe suas respectivas imagem.
Exemplos:
1Determineafunoafimtalquef(2)=1ef(1)=2
Resoluo:Sejaf(x)=ax+b,assimf(2)=a(2)+b=1e;f(1)=a(1)+b=2.Notamosquetemosumsistemadeequaescomduasincgnitas,seresolvermosessesistemaacharemososvaloresdeaeb. Existetrsprocessospararesolverumsistemadeequaesdo1grau:adio,substituioe comparao. Resolveremos esse exemplo usando o mtodo da adio e os exemplos abaixo usandoos outros mtodos. Pelomtododaadio, adicionamosoumultiplicamos todosos membrosdeumaequaoporumnmeroesomamosoresultadoobtidocomaoutra,membro a membro. Afim de eliminar uma das incgnitas. No sistema abaixo, multiplicaremos a equaodebaixopor1eadicionaremosoresultadoprimeiraequao,eliminadoaincgnitab.2a+b=1a+b=2(1)ab=2somandocomaequaodecimatemos:2a+b=1substituindoovalordeaemab=2:+ab= 2 (1)b=2a=1b=21b=3logoafunoqueprocuramos:f(x)=x+3
2Numadadareaoqumicaaquantidadedeprodutonoinstantet=2siguala5gramas,sabendoseque aquantidadedeprodutoformadoaumentaproporcionalmentecomotempo,quantodereagentesteraindanosistemaemt=10s,sesuamassaconstanteeiguala20gramas?Aquantidadeinicialdeprodutoerade3gramas
Resoluo:1 Opo: Podemos resolver esse problema usando uma funo afim. Vamos chamar a quantidadedeprodutoformadodep(t),sendototempodecorridoemsegundos.Assimnossa funotemaformap(t)=at+b.Comoaquantidadedeprodutoaumentaquandotaumenta temosqueessasduasgrandezassodiretamenteproporcionais.Issoquerdizerque:P(t)/t=k, mastnhamosumaquantidadeinicialdeprodutoiguala3gramasassim,P(t)=p(t)3ea= k,logo,p(t)3=at p(t)=at+3.Comosupomosquep(t)temaformaat+b,comparando asduasconclumosqueb=3equeapodesercalculadousandoainformaop(2)=5:p(2)=52a+3=52a=532a=2a=1.
23Nossafunotemaformap(t)=t+3emt=10s,temos:p(10)=(10)+3=13gramas.Comoamassadosistemaconstante,asomadasmassasdosreagenteseprodutossersempreiguala 20gramas,logoemt=10ster2013=7gramasdereagentes.
2Opo:Esseproblematambmpodeserresolvidoapartirdeumsistemanaqualf(2)=5e f(0)=3(quantidadeinicial).Assim:
2a+b=5percebemosqueb=3,substituindoessevalorem2a+b=5temos:0a+b=32a=532a=2a=1
Omtodousadoacimachamasedemtododasubstituio:Isolamosovalorumavarivelem umaequaoesubstitumosseuvalor(emfunodaoutravarivel)naoutraequao.
3Ogrficoabaixomostraavelocidadedeaodeumadeterminadaenzimaaosersubmetidoavariaesdetemperatura.Porsetratardeumproblemareal,afunoquedescreveessegrficoseriamuitocomplexa,parasimplificardividimoseleemvriosintervalos,sendocadaumdelesdescritoporumafunodiferente.Proponhafunesafinseseusintervalosdeformaqueogrficopossaserdeterminadoalgebricamente.
Resoluo:Osintervalosnaqualnotamosqueogrficoseassemelhaaodefunesafins30T
Nosegundointervalo,temos:V(32)=500 32a+b=500;eV(34)=100034a+b=1000
32a+b=500isolandobnasduasequaeseigualando,temos:34a+b=1000b=50032ab=100034a50032a=100034a2a=1500a=750b=50032(750)=5004.000=3.500,afunoV(T)=750T3.500
Noterceirointervalotemos:V(34)=100034a+b=1000;eV(36)=200036a+b=2000
34a+b=1000repetindooprocedimentoacima:36a+b=2000b=100034ab=200036a100034a=200036a2a=1000a=500b=100034(500)=100017.000=16.000,afunoV(T)=500T16.000
Noltimointervalotemse:V(36)=200036a+b=2000;eV(40)=040a+b=0
36a+b=2000isolandobeigualando:40a+b=0b=200036ab=40a200036a=40a4a=2000a=500b=40(500)=20.000,afunoV(T)=500T+20.000
Ogrficopodeserdeterminadoalgebricamentepor:
V(T)=250T7.500se30T
Baseadonosdadosdogrfico,determine:
a)aleidafunoapresentadanogrfico;
b)amassa(emgramas)de30cmdelcool.Resoluo:a)Como ogrficopassapelaorigemtemosqueessafunolinear(porque?),logotema formaf(x)=ax,issoimplicaquea=f(x)/x.Quandox=40,f(x)=50.Assima=50/40=1,25.Afunoqueprocuramosf(x)=1,25x
b)30=1,25xx=24g
Variao do sinal
Vimos acima que-b/a a raiz ou o zero da funo afim(x)=ax+b,vamos analisaragora o que acontece com o sinal da funo (se (x) positivo ou negativo em uma regio do grfico) quandoxassume valores maiores e valores menores que b/a.
Funocrescente:
Olhandoogrficoaoladonotamosqueosvalorede(x)seropositivossex>b/aeseronegativossex0sex>b/a,
(x)=0sex=b/a
(x)0sex 0
_ b a x
y
a < 0
+
26
Exemplos:
1Analiseosinaldasseguintesfunes:
a)f(x)=2x1b)f(x)=34xc)f(x)=8x2d)f(x)=5x+10
Resoluo:a)Encontrandoaraiz:f(x)=02x1=02x=1x=Comoafunocrescente(a>0)temosque:sex>f(x)>0sex=f(x)=0sex 0 f(x) crescente
f(x) > 0
f(x) < 0
10
2x
ya < 0 f(x) decrescente
f(x) > 0
f(x) < 0
2 comum em qumica dispor as informaes de uma reao qumica em grficos.Considerandoqueogrficoabaixoforneceinformaosobreavelocidadedeumcertareaoemfunodotempoesupondoqueasretasobservadassodefunesafins. Encontreaspossveisfunesobservadasnogrficoeanalisesuasvariaesdesinal.
Resoluo:Paramelhorcompreenso,vamosdividirogrficoem5regiesondeeletemformadefunes distintas:
0t0set>0f(t)
7a+b=510a+b=1
Multiplicandotodososmembrosdaprimeiraequaopor(1):
7a+b=5.(1)7ab=5
esomandoaresultadocomasegundaequao:
7ab=5substituindo:a=2naequao:10a+b=1+ 10 a+b= 1 10(2)+b=120+b=13a=6 a= 2b=201=19
A funo que buscamos f(t) = 19 2t. Para analisar a variao do grfico precisamos encontrarsuaraiz:
192t=019=2tt=19/2t=9,5
Como20set9,5,assimf(10)0,b>0ec>0
b
c
g(x)f(x)
_b
_c x
y
a
a
a0ec>0
b
c
_b_c
f(x)
g(x)
y
xa a
a>0,b>0ec
Exerccios
19Atabelaabaixofornecealgunsvaloresatribudoseobtidosdeumafunoafim,completeessatabelaeencontrealeidafunorepresentadanosdadosdatabela.x 2 0 1 7 9
y 9 4 1 16 26 51 56
20Verifiqueseasfunesabaixosoconstantes.
a)b)c)f(x)=x(senx+cosx).3x
21Dadaasfunesabaixo,determinequaisdelassolineares,verifiqueseaspropriedades:f(a+b)=f(a)+f(b)ef(Ka)=Kf(a),sendoa,beknmerosreais,valeparaelas.
a)f(x)=(x2x+1)+1b)f(x)=ln(e3x1)
c)d)f(x)=(x2)(x2)(x+2)
22Encontreoszerosdasseguintesfunes.
a)f(x)=3x7b)f(x)=17x2c)f(x)=exd)f(x)= 3 (ln2)x
23Sabendosequef(3)=6,f(2)=f(3)+f(4)equeftemaformaf(x)=ax+b,encontreosvaloresdeaeb.
24Sef(x)=axbeg(x)=bxa,encontreaebdeformaquef(2)=g(3)ef(8)g(6)=2.
25Analiseosinaldasfunes:
a)f(x)=5x3b)f(x)=311xc)f(x)=13x12d)f(x)=14x+5
26Umcasaldenamoradosmarcaumencontronumaciclovia;elevemdonorteeeladosul;orapazpedalaaumavelocidadede32Km/heamoapedalaa24Km/h.Noinstantequeadistnciaentreelesde28Km,umaabelha,quevoaa20Km/h,partedeumpontoentreosdoisatencontrarumdeles;entoelavoltaemdireoaooutroecontinuanessevaivmatmorrerprensadapelasrodasdasbicicletasnomomentoemqueocasalseencontra.Quantosquilmetrosvoouaabelha?
27 Umdosgrandespoluentesproduzidospelaqueimadecombustveisfsseisodixidosulfdrico(SO2).UmapesquisaemOslo,Noruega,demostrouqueonmero(N)aproximadodepeixemortosporsemana,emumcertorio,dadoporumafunoafimdaconcentrao(C)deSO2.Foramfeitasasseguintesmedidas: 30
f(x)= |x+1|xx+1|x|
_f(x)= 1
2x_ x3
2x
f(x)=x1x1
QualaconcentraomximadeSO2quepodeserdespejadanorioparaqueonmerodemortesnoultrapasse115,fatoquepoderiaprejudicarareproduodaespcie?
28 Atemperatura medidausandoescalasfundamentadasemtemperaturasdealgunsprocessos fsicos. Por exemplo, a escala Celsius composta por umaescala composta porintervaloschamadosdegrausemqueseestabeleceu0grauscomoatemperaturadeprocessodefusodaguae100grausasuatemperaturadeebulio.Outraescalaimportante,devidoserusadapelosEUA,aescalaFahrenheitconcebeatemperaturadefusodaguacomo32graus e a temperaturade ebuliode212graus. Manipulandoasduas escala chegaseaexpressodeinterconversodetemperaturasemfahrenheitparaCelsius:F=1,8C+32.Usandoessaexpresso,encontre:a)atemperaturaemCelsiusqueametadedovalorcorrespondenteememgrausfahrenheit.
b)atemperaturaFahrenheitque5vezesovalordedatemperaturaemgrausCelsius.
29 Afrmulaqued onmero(N)dosapatoemfunodocomprimento(c)dop, emcentmetro,N=1,25c+7.Calculeocomprimentodeumpcujonmerodosapato36.
30 Bilogosdescobriramqueonmerodesonsemitidosporminutoporcertaespciedegrilosestrelacionadocomatemperatura.Arelaoquaselinear.A68F,osgrilosemitem124sonsporminutos.A80F,emitem172sonsporminutos.EncontreafunoquerelacionaatemperaturaemFahrenheitFeonmerodesonsn.
31UmacompanhiadegsirpagaraumproprietriodeterraR$15.000,00pelodireitodeperfuraraterraparaencontrargsnaturaleR$0,3paracadapscbicodegsextrado.Expresseototal, emfunodaquantidadedepscbicoextrados, queo proprietrio irreceberdacompanhia.
32AcetesbdetectoucertacompanhiajogandocidosulfriconorioTiete;multouaemR$125.000,00 e mais R$ 1.000,00 por dia at que a companhia se ajustasse as normas queregulamentamosndicesdepoluio.Expresseototaldamultaemfunodosdiasqueacompanhiacontinuoupoluindoorio.
31
Concentrao(emg/m)
Mortes
401 106 500 109
Funodosegundograu .
Tambm conhecida como funo quadrtica, a funo na qual o maior grau da varivel independente ( o x) 2. Define-se como toda funo que pode ser escrito na forma:
(x)=ax+bx+c,coma0.
Exemplos:
1f(x)=x3x+6;
2f(x)=x4;
3f(x)=2x+5x;
4f(x)=x.
Note que b e c podem ser iguais a zero.Relembrando que chama-se dezeroouraizda funo o valor dexque a anula, i.e. a
raiz de f(x) se f(a)=0. Nesse ponto o grfico corta o eixo OX. importante ressaltar que para encontrar o zero de uma funo quadrtica, usamos comumente a frmula conhecida como frmuladeBhskara:
Se>0, f(x) ter duas razes distintas e portanto, seu grfico intersectar o eixoOXem dois pontos distinto; se =0,f(x) ter duas razes iguais e o grfico intersectar o eixo OX em apenas um ponto; mas se
Exemplos:
1Encontreasrazesdasseguintesfunesquadrticaseasexpressemnaformafaturada
a)f(x)=2x10x+12b)f(x)=x+x20c)f(x)=x16d)f(x)=x+4x
Resoluo:a)2x10x+12=0;usandoBhskara:
Suaformafatoradaf(x)=(x3)(x2).
b)x+x20=0;
Formafaturada:f(x)=(x4)(x+5).
c)x16=0,poderamosusarafrmuladeBhskaraparaencontrarasrazesdessafuno, masmaispodemossimplesmenteisolaro16doladodireitoeextrairaraizquadradadele:
x16=0x=16 x=16 x'=+4ex''=4.
Aformafaturada:f(x)=(x+4)(x4).
d)x+4x=0,comoaanterioressafunopodeserresolvidausandoBhskarapormmais prticoresolvereladiretousandofatorao:
x+4x=0isolandoumxnoprimeiromembro:x(x+4)=0,logooux=0ou(x+4)=0*(x4)=0x=4;Assimx'=0ex''=4.
Aformafatoradaaqueapareceacima:f(x)=x(x+4).
.
*Sea.b=0,entooua=0oub=0,poisumprodutoszeraseumouambosfatoresforemzeros.
x= (10)10 4 . 2 .122.2
1010096x4
x= 10 44
x'=10+24
1024
=3 e x''= =2
=
x= (1)1 4 .1. 202.1
x 11802
x= 1812
x'= 2 =4 ex1+9 19
2=5=
=
33
2- NaaulamagnadaUFRPE/UASThaviacertonmerodepessoaspresentes.Nofinaldaaula cada um dos presentes cumprimentou, com um aperto de mo, todos os demaispresentes,umanicavez.Fabola,quenotinhamuitooquefazernomomento,resolveucontaraquantidadedessesapertos,chegandoa780apertosdemos,perguntase:quantaspessoashavianaaula?
Resoluo:Sejaxonmerodepessoasnaaula.Cadapessoaapertouamodetodasasoutras
pessoas,menosadelamesma,umanicavez,ouseja,teramosx(x1)apertosdemos.Masnotamosquecadaapertopertencesduaspessoasquedeleparticipam,isto,seJoanaaperta amodeJos,oapertodemossercontadonaexpressoacimaparacadaumdeles,mas Fabolascontouapenasumapertodemo,poissomenteumaapertodemoocorreu.Para corrigiressadiscrepnciadividimosaexpressoacimapordoiseobtemosaequao:
xx1560=0,resolvendox=40
Logohavia40pessoasnaaula.
3OimpactodecolisoI(energiacintica)deumautomvelcommassamevelocidadevdadopelafrmulaI=Kmv.a)Seavelocidadetriplica,oqueacontececomoimpactodeumcarro de 1000 Kg? b) Dois carros de massas aproximadas colidem com velocidadesaproximadas.Noprimeirocarrohumapessoaquepesa70Kgenosegundocarroumcasal,elecom65Kgeelacom50Kg.Considerandoafunoacima,quemsermaisagravado,oprimeiroouosegundocarro?Resoluo:a) Setriplicarmosavelocidadeteremosqueoimpactosermultiplicadopor3=9,ouseja, oimpactoser9vezesmaisintensa.
b) AenergiacinticadoprimeirocarroI=K(70+mc)vI=70Kv+Kmcv,sendomcamassadocarro.Oprimeirofatordaexpressoacimaaenergiacinticadomotoristaeo segundomembroaenergiacinticadocarro.
Paraosegundocarro:I=K((65+50)+mc)vI=115Kmcv+Kmcv,oprimeirofatoraenergiacinticadocasaleosegundaaenergiadocarro,comparandovemosqueo primeirocarrosentirmaisfortementeacoliso.
Exerccios
33Encontreoszerosdasfunes:
a)f(x)=x+4x4b)f(x)=x14x+49c)f(x)=2x22x+242d)f(x)=x256
34ParaquevaloresreaisdeKafunof(x)=Kx6x+1admitezerosreaisediferentes?
35 Determineovalorpositivonparaqueaequaonx(n+1)x+1= 0tenhaumaraizigualquartapartedaoutra.
34
x(x1)2
=780 xx=1560
36 Gerador umaparelho que transformaqualquer energia emenergia eltrica. Se apotncia (emwatts)queumcertogeradorlananumcircuitoeltricodadopelaexpresso:(i) = 20i 5i, emque i a intensidade dacorrente eltrica queatravessao gerador,
determineonmerodewattsqueexpressaapotncia quandoi=3ampres(unidadedecorrenteeltrica).
37Umcampeonatodefuteboldisputadoemdoisturnos,ouseja,cadatimejogaduasvezescomcadaumdosoutros.Ototaldepartidas380.Quantostimesdisputamocampeonato?
Grfico
O grfico da funo quadrtica uma parbola; intersecta o eixo dosy no ponto c, nesse pontox= 0, e intersecta os eixos dos xnas razes da funo, ondef(x)=0.Se a> 0, teremos uma parbola com concavidade para cima e se a< 0 a concavidade ser para baixo.
O vrtice observado na figura nos d os pontos de mximo ou mnimo da funo. Se a> 0, ento a ordenada (oy) do vrtice nos dar o ponto de mnimo e se a< 0, a ordenada do vrtice nos dar o ponto de mximo.
35
c x
y
x' x''
a>0ec
Imagem da Funo Quadrtica
A determinao do vrtice nos permite conhecer a imagem da funo. Sea > 0 a parbola tem concavidade para cima e logo seu vrtice ser um ponto de mnimo, sendo assimno haver valores de f(x) menores que o valor da ordenada (o y)do vrtice da funo. Se a < 0, a parbola tem concavidade para baixo e seu vrtice ser um ponto de mximo o que implicaque no haver valores de f(x) maiores que a ordenada do vrtice. Em resumo, se as coordenadas do vrtice (xv,yv)ea>0,a imagem da funo serIm={y|yyv},mas se a < 0 a imagem da funo serIm={y|yyv}.
OParmetroa
O parmetro aalm de nos d a concavidade (se voltada para cima ou para baixo) nos d tambm a magnitude da abertura da parbola. Sea for grande a funo crescer rpido para x's pequenos, logo a abertura da parbola ser pequena, mas se a for pequeno a funo ir demorar a crescer e a abertura da parbola ser grande. Paraa>0:
Para a
OParmetrob
O parmetrobnos informa se a funo corta o eixo das ordenadas no ramo crescente ou decrescente.
b>0,a parbola corta o eixo OY no ramo crescente:
b
Exemplos:
1Determineospontosdemximooumnimoeaimagemdasfunes:
a)f(x)=x2x+1b)f(x)=x+7x18c)f(t)=9tt=10
Resoluo:a)f(x)=x2x+1,a>0,logoessafunopossuipontodemnimo:
xv=
Outraformadeencontraromnimooumximodafunosubstituirovalordexv nafuno.Autilidadedafrmulaquepodemosencontraroyv semnecessariamentesabero valordexv.Nessecasocomooconhecemospoderamos,simplesmente:
yv=f(xv)=f(1)=(1)2(1)+1yv=22=0.
AimagemIm={y|y0}.
b)f(x)=x+7x18;a>0,essapossuipontodemnimo:
xv=
yv=f(xv)=f(3,5)=(3,5)+7.(3,5)18yv=12,2524,518yv=30,25
AimagemIm={y |y18,75}.
c)f(t)=9tt=10;a
Resoluo:Paraqueissoaconteaoxdovrticedeveseriguala2,ouseja,=2,masvemosnafuno acimaqueseubiguala(m+1),logo:
=2=21+m=16m=15
4 Prove que, se dois nmeros positivos tmsomaconstante, seuproduto ser mximoquandoelessoiguais.
Resoluo:Sejaaebdoisnmerostaisque,a+b=S(I)ea.b=P(II),de(I)temosque,a=Sb,
substituindoesseresultadoem(II):(Sb).b=PSbb=P,sea=b,S=2beP=2bb=b,masseabea
a+b+c=1(1)multiplicando(1)por(1)esomandoa(2),temos:3a+b=14a+2b+c=2(2)multiplicando(3)por(1)esomandoa(2),temos:5ab=39a+3b+c=1(3)somandoessaduasequaesqueachamos,temos:2a=4:a=2
substituindoem3a+b=13.2+b=1b=7 esubstituindoessesvaloresem(1):c=12+7=4
Afunoqueprocuramosf(x)=2x7x+4.
Exerccios
38Determinemdemodoqueovalormnimodafunof(x)=(m1)x+6x2seja5.
39OsalunosdeagronomiadaUastreceberam200metrosdetelaparacercarumcanteirodealgumaplantaquecomcertezanoconhecemos,masantesforamincumbidosdedisporateladeformaqueareacercadasejaamaiorpossvel,comoeradeseesperarelesresolveramesseproblematranqilamente. Faaessas contas tambmedigaquais asdimensesdocanteiroquedamaiorrea.
44NaterceiraVAdoprofessorMarcosMelo,umalunomuitosatisfeitocomafacilidadedaprova,resolveujogarseutnisnoprofessor,certamenteemumgestodesatisfaoealegria,masanteseleresolveufazerasmedidaseascontasparagarantirqueseualvosejaatingido.Sabendosequeavelocidadehorizontalqueeleimprimiunotnissuficienteparaalcanaroalvo;queaalturadoprofessor1,70me,queoalunoquerqueotnischegueaoseudestinoem 3s,ajudeessealuno;digaqualavelocidadeverticalmnimanecessriaparaoalunoconseguirexpressarasuaestimapeloprofessor.(Nsvamosd umaforcinha,afrmulah(t)=vt4,9t,haaltura;vavelocidadeverticaletotempo).
45Asomadedoisnmerospositivos20.Determineosnmerosdemodoqueoprodutosejaomaiorpossvel.
46 (UFPE) Num vo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia area cobraR$200,00porpessoaquandotodososlugaressoocupados.Seexistiremlugaresnoocupadosser acrescido ao preo de cada passagema quantia de R$ 4,00 por lugar no ocupado.Quantosdevemseroslugaresnoocupadosparaqueacompanhiaobtenhaofaturamentomximo?
Estudo do sinal
Estudar o sinal de uma funo determinar os valores reais dex para os quais(x) se anula((x)=0), positiva ((x)>0)e (x) negativa((x)
1>0
f(x)positivaparax0f(x)>0+ ++
y
xf(x)0
+ ++
y
x
f(x)
yx
y
x
FunoPolinomialdegraun
a funo definida por:
(x) =anxn+an1xn1+an2xn2+...+a0x0;
Onde an ,an1,an2 ,...,a0 e an0. O domnio , mas a Im depende de an e do grau de n. Para as funo mpares a imagem mas, para funes pares a imagem depender do do sinal de an. O grfico tpico de uma funo mpar de grau n tem a forma vista na figura abaixo. O grfico de funes polinomiais pares de grau n tem a forma de parbola.
Formatpicadegrficodeumafunopolinomialmpar
Formatpicadegrficodeumafunopolinomialpar.
Exemplos
1OpesoespecficodaguaaumatemperaturadetCdadoporP(t)=1+at+bt+ct,0t100,sendoa=5,3x 105,b=6,35x 106ec=1,4x 108.Qualopesoespecficodaguaatemperaturade25C,consideradatemperaturaambiente?
Resoluo:P(25)=1+5,3x 105.25+6,35x 106.(25)+1,4x 108.(25)P(25)=1+0,001325+0,00396875+0,00021875P(25)=1,00551251g/L.
42
FunesdoModulares
So as funes, de em , nas quais a varivel independente se apresenta em mdulo.
Mdulos e suas propriedades
Define-se mdulo de um nmero real a como sendo seu valor absoluto, que representamos por |a| e o consideramos igual a asea0e igual a ase a 0, logo | 1| = ( 1) = 1, mas o mdulo de 3 = 3 pois 3 > 0, assim | 3| = 3. Em resumo:
|a|=asea0 e
|a|=asea
3)Paratodoxey,|x.y|=|x|.|y|;
4)Paratodoxey,|x+y||x+y|e;
5)Paratodoxey,|xy||x||y|.
Observaes:1. |x|=0x=02. Noexistex,talque|x|=a,coma
Grfico
Veja abaixo os grficos de algumas funes modulares.1 - f(x)=|x5|
x |x 5| f(x)1 | 1 5| 4
2 |2 5| 3
3 |3 5| 2
4 |4 5| 1
5 |5 5| 0
6 |6 5| 1
7 |7 5| 2
8 |8 5| 3
2f(x)=|x3|+1
x |x3|+1 f(x)
0 |03|+1 4
1 |13|+1 3
2 |23|+1 2
3 |33|+1 1
4 |43|+1 2
5 |53|+1 3
6 |63|+1 4
3 - f(x)=|x+2|3
x |x + 2| 3 f(x) 3 | 3 + 2| 3 2
2 | 2 + 2| 3 3 1 | 1 + 2| 3 20 |0 + 2| 3 1
1 |1 + 2| 3 0
2 |2 + 2| 3 1
3 |3 + 2| 3 2
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
f(x) = |x + 2| - 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
1
2
3
4
5
6
f(x) = | x - 5|
0 1 2 3 4 5 60
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
f(x) = |x - 3| + 1
45
Exerccios
47Demostrequeparaqualquernmerorealrtemosque|r|=|r|.
48OprofessorVianaFilhopartedocentrodacidadeemdireoasededaUast,nafazendaSaco,queficaa5km.Nessepercursoseuautomveldesenvolveumavelocidademdiade90Km/h.NomesmoinstantequeelepartedocentrooprofessorDemcioCostapartedaUastemdireoaocentro,desenvolvendonamoto100km/h.Determinea)oinstanteeaposio,emrelaoaUast, emqueessesdois professoresseencontrarameb) os instantesemqueadistnciaqueosseparavamera1Km.
49Encontreoszeros,odomnioeaimagemdasfunesabaixo.
a)f(x)=|sen(x1)|b)f(x)=|x+5||x5|c)f(x)=|xx|
FunesExponenciais
Chamamos de funes exponenciais a qualquer funo de em , na qual a varivel independente se apresenta no expoente de algum nmero real. Sua forma (x)=ax, em que a+ (a>0) e a1. Se a > 0 a funo crescente, mas se 1 < a < 0 a funo decrescente.
interessante notar que o grfico sempre intersecta o eixo das ordenadas em y = 1, isso acontece porque nesse ponto x= 0, e por definio todo nmero elevado a 0 d 1. (x0=1)
1 1
y y
x x
a>1 0
Para resolvermos problemas com esse tipo de funes necessrio ter algum conhecimento de equaes exponenciais, que abaixo resumimos.
Equaes Exponenciais: De modo anlogo a funes exponenciais, uma equao denominada equao exponencial se a incgnita aparecer no expoente. Na maioria dos casos a resoluo pode ser conseguida usando as propriedades abaixo.
1)a0=1;
2)an.am=a(n+m)
3)an=
4)ax=ayx=y(0
Resoluo:C(5)=3(e2 . 5 e 3 . 5)
C(5)=3(e10 e 15)(faanacalculadoraevejaquee10 4,54x105ee15 3,06x107)C(5)=3(4,54x1053,06x107 )C(5)=3(4,54x105)(4,54x105 3,06x107 significamuitomaiorque)C(5)0,0001362g/L,ouC(5)13,62x105g/L.
42Esboceosgrficosdasfunesabaixoedetermineseusdomnioseimagens.
Resoluo:a)x y
1 0,25
0 0,5
1 1
2 2
3 4
b)x y
1 1
2 7
3 25
c)x y
1 4
0 1
1 0,25
2 0,0625.
d)x y
2 3
1 0,3
0 0,04
a)y=2b)y=32c)y=d)y=x1 x 114) ( )( 3x 2x+3
y
x1 2 3
12
4
1
D=Im=+
y
x
D=Im=+
11
||__
2 3
_
7
25
1 1 2
y
___
4
1
2
3
x
12
0,3
3
0
y
x
D=
Im= +
___
D=Im=
+
48
5Ataxadedecaimentodordioproporcionalquantidadepresenteemqualquerinstante.Usandoequaesdiferenciaisobtmseaexpressoy=yo ekt,quedaquantidadedeistopopresenteemfunodotempo,yaquantidadepresentenomomento,yoaquantidadeinicial,kumaconstantequedependedomaterialetotempo. Sehouver60mgderdioagoraesuameiavida for 1690anos, qual a quantidadede rdiodaqui a100anos?Paraordiok 0,04
Resoluo:Oquetemosquefazersomenteaplicarosvaloresdadosnaexpresso
y=yo ekt
y=60.e(0,04).(100),y=60.e4y=60.(0,0183)y1,09mg.Aresposta601,09=58,9mg
6Sef(x)=2x,verifiqueque:f(x+3)f(x1)=15f(x1)
Resoluo:f(x+3)=2(x+3)=2x.23=8.2x
f(x1)=2(x1)=2x.21=0,5.2x(21==0,5)f(x+3)f(x1)=8.2x0,5.2x=7,5.2x(digaque2x=y,8y0,5y=7,5y) 15f(x1)=15.0,5.2x=7,5.2x
7 Numacerta cultura, h 1000bactrias numdeterminado instante. Aps 10minutosexistem4000bactrias.Quantasbactriasexistiroem1hora?AfrmulaquedescreveesseprocessotemaformaN=N02kt,sendoNonmerodebactriasnoinstantedacontagem,N0aquantidadeinicialkataxadecrescimentoetotempoemminutos.
Resoluo:4000=10002k.10 4=2 10k 2=2 10k 2=10 k k==0,2
N=100020,2.60=1000212=1000.4096=4096000bactrias.
8(Vunesp)OacidentedoreatornucleardeChernobyl,em1986,lanounaatmosferagrandequantidade de radioativo, cuja meiavida de 28 anos. Supondo ser este istopoanicacontaminaoradioativa esabendoquequeolocalpoder serconsideradoseguroquandoaquantidadede sereduzir,pordesintegrao,a daquantidadeinicialmentepresente,olocalpoderserhabitadonovamenteapartidoanode:
a)2014b)2098c)2266d)2986e)3000
Resoluo:
Pararespondermosesteproblemausaremosafrmula N =N 0 2 t
T ,queserobtidaaparti da frmulaN= N0 ekt quando tratarmos de logaritmos. A porcentagemqueprocuramosarazo,nafrmulaacimatotempodecorridoeTotempodemeiavida,
15
Sr9038
Sr9038
NN0
116
49
logo:
2 t
T 2
t28
2 t
28
Aresposta112+1986=2098,alternativab.
9Sonecessrio5anosparaqueocobalto60percametadedesuaradioatividade.Qualaporcentagemdesuaatividadeoriginalquepermanecernofimde20anos?
Resoluo:Usandoafrmula,sendototempodecorridoeTameiavidaquenestecaso
de5anos:
==2 4=0,0625=6,25%
10Quandoseadministraumremdio,suaconcentraonoorganismodeveoscilarentredoisnveis,poisnopodesertobaixaapontodenofazerefeitonemtoaltaafimdenocausarefeito indesejveis. Aps certo tempo no organismo o remdio comea a diminuir emconcentraochegandoaopontomnimoquandosedeverministrarmaisremdio.Digamosqueumbilogoprecise,paraefeitosdeestudo,fazerumacirurgiaemumcachorroquepesa21Kg,sabeseque20mgdesdiopentobarbitalporKgsonecessrioparamanteroanimalanestesiado.Seacirurgiairdemor1hora,qualdeverseradoseinicialdoanestsicoparamanteroanimaldormindoenquantoserealizaacirurgia?Emcachorrosameiavidadessadroga5horas.
Resoluo:Usaremosafuno,paraocachorrocommassade20Kg,aconcentraodeve
sersempremaiorque:
20mg1Kg
x21Kg
x=420mgdoanestsico
420= 420= 420 52 1,149mg
11(UFMG)Umacriaodecoelhofoiiniciadaexatamenteaumanoe,duranteesseperodo,o nmero de coelho duplicou a cada quatros meses. Hoje, parte dessa criao dever servendidaparaseficarcomaquantidadeinicialdecoelhos.Paraqueissoocorra,aporcentagemdapopulaoatualdessacriaodecoelhosaservendida:
a)75%b)80%c)83,33%d)87,5%
Resoluo:Sehaviainicialmentey0,apopulaocresceudaseguinteforma:Aps4meses:y=2y0Aps8meses:y=2.(2y0)=2y0=4y0 Afunogeraltemaforma:
NN0
116
== 42 = 4=t28 =t 112
y=y20
_tT
y=y20
_tT yy0
2_520
y=y20
_tT
y20
_15 y=
02
15
50
Aps12meses:y=2.(2.(2y0))=2y0=8y0. f x =2t4 . y0
Apsumaanoteroitovezesaquantidadeinicialdecoelhos,sequisermosmanteressenmero
y=8y0 y0==0,125y=12,5%y,logo,comoqueremosmanteraquantidade
inicial,devemosvender100%y12,5%y=87,5%y,alternativad.
Exerccios
50Resolvaasequaesexponenciais.
a)5x+1=25b)(0,01)2x1=1c)4x2.2x=5d)3x+1+3x+2=12
51SuponhaqueolaboratriodeQumicadaUasttenhasidovisitadopor600alunosnoanode2009.Comoaumentodocontingentedealunos,advindodaexpansodessaUniversidade,Joanafezaestimativaqueonmerodealunosateracessoaolaboratriosupracitadocresaanualmenteporumataxade30%(elanomuitoboadeestatstica).Seelaestivercorreta,faaosclculoseresponda:Emqueanohaver5.000alunosafreqentarolaboratrioporano?52Sejamf(x)=0,5[ax+ax]e=0,5[axax],a>0,a1.Verifiqueque:*
a)f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)b)g(x+y)=f(x)g(x)+f(y)g(x)c)Analiseocasoa=e**
53Onmeroderatosdeumapopulaoroedora,numraiorKmapartirdocentro,dadoporP(t)=k.22x,emquekconstanteer>0.Seh98.304ratosnumraiode5Kmdocentro,quantosratoshnumraiode3Kmdocentro?
54Em1988,ovaticanoautorizouadataoderelquiaconhecidacomoosudriodeTurim,possveltnicadeJesusnazareno.Essepanoqueapareceu1356,contmonegativodaimagemdeumhomemque acreditase no mundo inteiro ser o de Jesus. Noprocesso dedatao,usaseafunodedecaimento,nessecaso,decarbono14(istopopresentenosseresvivosquesedesintegracomotempo) y=yo ekt,yaquantidadedecompostopresentenomomento,yo aquantidadeinicial, k umaconstanteetotempo, sehaviaentre92%e93%dessecarbonoesabendoqueaconstantek=0,00012,faaascontasediga,baseadonosclculos,seesseSudriopodeterpertencidoaJesus,oCristo.
55Considereumacolniadebactriassereproduzindonormalmente.Senumcertoinstantehavia200bactriasnacolnia, passadas12horashavia600bactrias. Quantasbactriashaver na colnia aps 36 horas da ltima contagem? A funo que deve ser usada N(t)=No ert, ondeNoapopulaopresentenoinstanteinicialt=0erumaconstantequevariacomaespciedepopulao.(r=0,09)
56 Emumaculturadebactrias,apopulaodobraacadahora.Seh1000bactriasno
y8
51
incio daexperincia, a) encontre a lei matemtica qued essa funo e calcule quantasbactriasterdepoisdeb)10horasec)15horas.
57 Umapopulao de certa cidade cresce 3%a cada 8 meses, qual ser o nmero dehabitantesemumperodode24anos?
58Ostomosdeumelementoqumicoradioativopossuemumatendnciaasedesintegrar,assimcomoopassardotempo,aquantidadediminui.Chamasemeiavidaotempoparaqueoelemento levaparadesintegrarmetadedesuamassaradioativa. Se, s17:00horas, umapessoatoma50mgdoantibiticoaxetilcujameiavida3horas,a)qualseraquantidadedeantibiticoaindapresentenoorganismoapsumtempo t?b)aquehoraseladevertomaroutradose,sabendoqueaconcentraonodever ser,duranteestetratamento,inferior20mgporKg.Apessoapesa60Kg.
59SeonmerodetorcedoresdotimepernambucanoSportdiminuir6%aomsenquantotalclubeestivernasegundonaesabendoqueumclubeserdeclaradoacabadoquandoaporcentagemdeseustorcedoresformenorque30%.QuantotempomximoteroSportparasubirparasrieAsemserdeclaradoacabado?(issopossvel?!)
60Seumseringaretira,decadavez,2%doremdiodeumfrasco.Depoisde5vezesquantorestardoremdioexistenteinicialmentenofrasco?
61 Chamase Progresso Geomtrica (PG) a sequncia em que o sucessor obtidomultiplicando o nmero imediatamente anterior por uma constante q, por exemplo,{2,6,18,54,162,}aquiaconstante(chamadaderazo)3.AfrmulageraldeumaPG:
,sea2=6ea5=48,quantovalearazoq.
FunesLogartmicas
Chamamos de funo logartmica a funo de + em , definida como a funo inversa da funo exponencial. Ou seja, dada a funo exponencial : +, (x)=ax temos que sua inversa g: + notacionada por g(x)=loga x o que chamamos de funo logartmica na base a.
Funo Exponencial Funo logartmica : +, g:+ (x) a x g(x)=logax
an=a1.qn1
52
Para tratarmos dessas funes precisamos ter conhecimento de logaritmos cuja principais propriedades apresentamos abaixo.
Logaritmos uma outra forma de representar potncias, na verdade logaritmo o exponente de uma exponencial do tipo y=ax, ou seja, nesse caso o logaritmo o x, chamamos a de base e o de yde logaritmando. Existe outra definio mais requintada para logaritmos, mas essa exigiria noes de Integrais, assim o definiremos como o expoente a que devemos elevar a base a para obter o valor de b.
bologaritmandox=logabax=bondeaabase
xologaritmo
Da definio, temos as condies de existncia b> 0 e 1 a > 0. 2=4 log 24=3;4=16 log 416=2n =m lognm=,para1n>0em>0.
Conseqnciasdadefinio
a)loga1=0,poisa0=1,a b)logaa=1,issobviopoisa1=a
c)logaan=n,poisan=an,generalizaodaconseqnciaacima.
d)alogab=b;logab=xax=b,oquetemos,bastasomentetrocarologabporx.e)logab=logacb=c.
PropriedadesOperatrias
1) logab.c=logab+logac
OPorqu:Sejalogab=xelogac=y,issoresultaemax=beay=c,assim:c.b=ax.ay=ax+yoquepeladefiniodelogaritmosissopodeserescritonaforma:logab.c=x+y,masvimosinicialmente quex= loga bey= loga c,substituindoessesvaloresnaigualdadeacimachegamosaoquequeramosmostrar:logab.c=logab+logac.
2) =logablogac
OPorqu:Sendo,novamente, loga b=xe loga c=y, que,novamenteresultaemax=be ay=c,assim:
,escrevendonaformadelogaritmo,temosqueloga=xy,mascomo
bcloga
bc =
aa
x
y = axy bc
53
x=logabey=logacchegamosaloga=logablogac.
3) logabn=n.logab
OPorqu:Selogab=x,temosqueax=b,agoravamoselevarosdoismembrosdaltimaigualdadean.(ax)n=bn anx =bn expressandonaformadelogaritmos: loga bn =nx,masx= loga b, substituindo,logabn=nlogab.
LogaritmosDecimaisChamamos de logaritmos decimais aqueles que a base 10, eles so geralmente escrito
como logb=c sem necessariamente escrever o 10. Alguns autores usam essa notao para o logaritmo natural, mas optamos usar ela nos logaritmos decimais uma vez que os logaritmos naturais j possuem uma notao mais difundida, o ln !
LogaritmosNaturais conjunto de logaritmos na base e, um nmero irracional chamado de nmero de Euler *
(Oiler) que vale (em 51 casas) 2,71828182845904523536028747135266249775724709369996. O significado geomtrico desse nmero que se v um nmero maior que 1, tal que a rea sob o grfico da funo f(x)= , medida no intervalo de 1 a v, no eixo OX, unitria ento, esse nmero a constante de Euler, e. Como visto acima esses logaritmos so notacionados por ln.
MudanadeBases
Antigamente os logaritmos eram escritos em tbuas as quais os matemticos recorriam para quando precisavam simplificar alguma aritmtica complexa como quando precisavam transformar multiplicao de nmeros grandes em somas ou transformar potncias em multiplicao. Com o advento da tecnologia essas tbuas foram substitudas por computadores e
.
* Homenagem ao grande matemtico suo Leonhard Euler que foi um dos primeiros a estudar suas propriedades
bc
1x
54
calculadoras cientficas que encontram logaritmos rapidamente, no entanto as calculadoras cientficas convencionais processam apenas logaritmos decimais e logaritmos naturais . Se quisermos encontrar logaritmos em outras bases precisamos mudar suas base para a base e ou 10. Para isso usamos a seguinte frmula:
.
Grfico,DomnioeImagemdafunologartmicaVimos que a funo logartmica a funo inversa da funo exponencial, assim a imagem
da ltima o domnio da primeiro e o domnio da desta a imagem daquela, como visto acima. Agora veja o grfico dessas duas funes e veja que o que muda visualmente que o x em uma passou a ser o y na outra. ( o que acontece com as funes e suas inversas). interessante notar que da mesma forma que o grfico da funo exponencial no corta o eixo das abcissas, o grfico da funo logartmica no corta o eixo das ordenadas (por que?)
Exemplos:
1Calculeosseguinteslogaritmos.
a)log327b)log2 32 c)5log5125d)log24x1=log22x+3
Resoluo:a) log327=log33=3(conseqnciac)
b) log2 32 =log2 2 =log225/2=5/2(Idem)c) 5log 5 125=125(conseqnciad)
logb=alogbclogac
Emquecseranovabase
Condiesb>00
d) log24x1=log22x+3 4 x1=2x+3 4 x2x=3+1 2 x=4 x=2(conseqnciae)
2Selogy2=xelogy3=y,calcularlogy12.
Resoluo:logy12=logy(2.3)=logy2+logy3=2.logy2+logy3=2x+y
3sendologa=3,logb=2elogc=1,calcular log4 acb
Resoluo:
log4 acb
=log 4ac logb
=log ac 1 /4 logb
= 14log ac log b = 1
4log a log c log b
= 14312=12=1
4Determineodomniodef(x)=logx+1x5x+6
Resoluo:x+1>0ex+11Condiodeexistncia
x5x+6>0 x5x+6>0 x+1>0 x+11razes x>1 x0x'=3ex''=2
D={x*|1
6Determineovalordey=log35.log2581.
Resoluo:y=log35.log2581=log35.log534(vamosmudarabasedelog581parabase3)
y= log35 .log3 3
4
log3 52 y=log3 5 .
4 . log3 32. log3 5
= 4 .12
= 2
7Resolvaasseguintesequaes:
a) log2 x=log x 2 b) log3 x log3 x
log5 25= 3
Resoluo:a) Vamosmudarabasedologaritmosdadireitaparaabase2:
log2 x =log2 2
log 2 x log2 x
2 = 1 log2 x =1 x =21=2 e x =21= 1
2
b) log3 x12 log3 x
log552 = 3
12
. log3 x log3 x
2= 3 log3 x = 3 ; x = 3
3 = 27
8Umindivduofoiencontradomortoemumasalacomtemperaturaambienteconstante.Olegistatomouatemperaturadocorpos21:00heconstatouqueamesmaerade32grausCelsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo econstatouqueamesmaestavaa30grausCelsius.Aproximadamenteaquehorasmorreuoindivduo,sabendosequeatemperaturamdiadeumcorpohumanonormalde37grausCelsius?
Resoluo:Acurvaquedescreveestefenmenoumafunoexponencialdaforma:(t)=CeAt,Ca temperaturainicial,paraencontrarovalordeAdiremosqueC=32C. Assimquandot=1, (1)=30 32 eA.1 =30 eA=30/32,vamosagoraaplicarolndeambososladosparafazercomqueoAcaia:
lneA=ln30/32 A.ln e=ln30ln32 A=ln30ln32 0,06454
EncontramosovalordeAmaspararesponderaquestodiremosagoraqueoC=37(quea temperaturadocorponomomentoemqueoindivduofoiassassinado)equeatemperaturano tempotde32C:
Nossafunotem,ento,aforma:(t)=37e0,06454t,assim:
32=37e0,06454t 32/37= e0,06454taplicandoolnemambososlados:ln32/37=lne0,06454t 0,06454 tlne=ln32ln37
t== 2,25
Ouseja,elemorreu,aproximadamentes212,25=18,75=18horase45minutos
57
0,145180,06454
ln32ln370,06454
9 OPH(potencialhidrogeninico)umafunodaconcentraodeonsH+ emsoluesaquosasdadaporPH=log[H+],emque[H+]aconcentraodesseon,quedeterminaseasubstncia cida (PH=0), alcalina (PH=14) ou neutra (PH=7), variando de 0 (maiorconcentraodeH+ esubstnciacidaaomximo)at14(menorconcentrao,substnciaalcalinaaomximo), determineaconcentraodeH+ paraa)umasoluocujoPH 11(substnciaalcalina)eb)Quantoslitrosdeguasernecessrioacrescentarem500mLdecocacolacujoPH=3paraneutralizarsuaacidez?
Resoluo:a) 11=log[H+] [H +]=1011mols
b) OPHdeveseriguala7(soluoneutra),assimdevemosterumaconcentraode[H+]:
7=log[H+] [H +]=107mols/litrosNacocacolatemosumPH=4,ouseja,aconcentraode[H+]:
4=log[H+] [H +]=104mols/litros
Aconcentraodadapelafrmula m= nV
, emquenonmerodemolseVovolumeda
soluo. Sabemosquenossaconcentraodeveser 107mols/litros(soluoneutra) ; vamossaberquantosmolsdeons[H+]hem500mLdecocacola,paraissorecorremosaregrade trssimples:noteque500mL=0,5litro.
0,5litro104mols/litros
1litrox
x=(104/0,5)=204mols/litros.Devemoster,ento:
Aindabemqueanossamucinagstricasuportaat PH=3, poisseno,todasasvezesque tomssemosumcopodecocacola,deaproximadamente100mL,teramosquetomar12,5litrosdeguaparaneutralizaroPH.
10AintensidadedeumterremotomedidonaescalaRichterumnmero MquevariadeM=0(nenhumtremor)at M=8,9(maiorterremotoconhecido).OvalodeMdadopelaafrmulaemprica:
M = 23
log10 EE0
OndeEaenergialiberadanoterremoto(emKWh)eE0umaconstantequevale7x 103
KWh.Calculeaenergia,aproximada,quefoiliberadanorecenteterremotoquedevastouaCidadePortoPrncipe,capitaldoHaiti,sabendoquefoiumterremotodemagnitudeM=8naescalaRichter.
Resoluo:
8 = 23
log10 E
7.103 8.3
2 = logE log7.
12=logElog7+log 103 logE=12+log7(3.log10)
103
logE=12+0,8451+3 logE=15,8451
E = 1015,8451 E 7 .1015 KWh
10= 204
7V
V = 20710
4 V =62,5litros
58
Vejaqueaquantidadedeenergialiberadaacorrespondenteaumaexplosoprovocadapor18milhesdetoneladasdeTNTouaproximadamente118bombasatmicasdamagnitudedaque foidetonadaemHiroshimaeemtornode65dascomamagnitudedaquefoilanadaemNagasqui!
11Se f x=ln 1x1x
, verifiqueque f a f b = f ab1ab
.
Resoluo: f a=ln1a1a
e f b=ln1b1b
, logo:
f a f b=ln 1a1a
ln 1b1b
= ln 1a1a
. 1b1b
= ln 1baab1baab
,
Agoravejamos
12Considereoexerccio55acimanocasoemquenoconhecemosor,comofaremosparaodeterminlo?Exerccio55:Considereumacolniadebactriassereproduzindonormalmente.Senumcerto instante havia 200 bactrias nacolnia, passadas 12 horas havia 600 bactrias. Quantasbactriashavernacolniaaps36horasdaltimacontagem?Afunoquedeveserusada N(t)=No ert, ondeNoapopulaopresentenoinstanteinicialt=0erumaconstanteque variacomaespciedepopulao.(r=0,09)
Resoluo:No=200,aps12horashavia600bactriasnacolnia,issoimplicaN(12)=600.
Assim: 600=200er.(12) 3= e12r,aplicandoemambososladosoln:ln3=lne12r ln3=12 rlne r= 0,09
13 Paraacolniadebactriasacima,emquantashorasapsasegundacontagemhaver50.000bactrias?
Resoluo:N(t)=Noert,jconhecemosovalorder,usandoasinformaesdadaschegamos
aigualdade:50.000=200e0,09t 250= e0,09t,aplicandooln:ln250=lne0,09t
ln250=0,09t t= 61,35horas.
Voctambmpodetomar 600 comoaquantidadeinicial,noentantovocdevenotarqueno finalirter 50.000200=498000 bactriase,queonmerodehorasencontradodeverser somadoa12quefoiotemponaqualonmerodebactriasfoide200a600.
14Umaflorestapossui,aproximadamente,24000m3deplantasreflorestada,aqual,devidos
f ab1ab
= ab1ab
1
1 + ab1ab
=
1 + ab (a+b)
1 + ab + (a+b)1 + ab
1 + ab
=1 + ab a b1 + ab + a + b
ln lnln
ln312
ln2500,09
59
esforosdealunosdebiolgicas,aumentanarazode3.5%aoano.Outraflorestapossui,aproximadamente,48000m3 deplantasreflorestadacomamesmarazodecrescimentodaprimeira.(a)Quantosanosdevemtranscorrerparaqueaprimeiraflorestatenhaamesmaquantidadedeplantasdasegunda?(b)Quantosanossonecessriosparaqueambasasflorestastripliquemaquantidadedeplantas?
Resoluo:Denotemosporf(t)=240001.035teg(t)=480001.035tasfunesexponenciaisquemodelamcadafloresta.Ento:(a)Devemosterf(t)=48000;logo,240001.035t=48000,ento1.035t=2.Aplicandologaritmonaturalaambososlados:
t=20.14anos.
(b)Devemosterf(t0)=72000eg(t1)=144000,ento1.035t0=3e1.035t1=3.Aplicandologaritmonaturalaambososlados:
t=t0=t1=31.93anos.
15 Algunstomossonaturalmenteinstveis, detalmodoqueapsalgumtempo,semqualquerinflunciaexternasofremtransiesparaumtomodeumnovoelementoqumicoeduranteestatransioelesemitemradiaes.UsandoomodelodedecaimentopropostoporRutherfordemanipulandooscomequaesdiferenciaischegamosafrmuladedecaimento:y(t)=yo ek.taconstantededecaimentok,temvaloresdiferentesparasubstnciasdiferentes,soobtidasexperimentalmenteeyoaquantidadeinicialdeistopo.UmcasointeressanteodoCarbono14,esseistoposeacumulanosseresvivosdurantetodasuasvidasecomeaadecaircomosuasmorteseissopermitedatarfsseispelaexpressoacima.Atrecentemente,o fssil mais antigo dos antepassados do homem moderno era um homdeo do grupoAutralopithecus afarensis batizado pelo nome de Lucie, pois se trata de uma fmea. Noentanto,novasdescobertasdefsseismostramqueosprimeiroshomdeossurgiramnafricamuitoantesdisso,Ardipithecusramidus,porexemploumfssilcomcercade4,4milhesdeanos.Pergunta:sabendoqueameiavidadocarbono14(temponecessrioparareduzirseametade)5730anos,estimequantosporcentosdoistopoexistiaquandofoifeitaadatao.
Resoluo:Precisamosprimeiroencontrarovalordok,paraissousamosotempodemeiavidado
istopo;sequandoosereravivoexistiaumaquantidadeNdepoisde5730teremosapenasN/2
=Nek.(5730) = ek.(5730),aplicandoolnemambososlados:
ln=k.(5730) ln2= k.(5730) k= k 0,000121
Achadoovalordek,vamosencontraraquantidadedecarbono14queaindarestanofssil.
N=N0 e0,000121.4400000 = e532,46,05x10232%.
Restabempoucodocidado! 60
ln2ln1.035
ln3ln1.035
N2
12
12
ln25730
NN0
Podemossimplificarexpressescomoessaacima:N0=N ekt.ApsotempoT(tempodemeiavida)teremosapenasummeiodaquantidadeinicialdematerial:
=ekT 2 1=ekT,aplicandoolnaambososlados:
ln21=lnekT ln2= kT;isolandok:k==ln2
substituindoemN0=N ekt:
Essaexpressobemmaissimplesqueaanteriorpois,noaparecenenhumaconstanteetodos osvalorespodemseraplicadosdiretamente.
Exerccios
62Avalieasexpresses:
a)log5(1)+4log4(5)+log3(log5(125))b)49log7(2)25log5(3)
63Determineascondiesdeexistnciadoslogaritmos:
a)log2(x3)b)logx(x5x+6)c)logx1x64
64Resolvaasseguintesequaes:
a)log25(log3x)=0,5b)log7(x+2)+log7(x+3)=log76
c)log2[2+log2(x1)]=1d)log2x7log2x+6=0
65Sendologa=2,logb=3elogc=6,calcule: log 5 a2b2c366Simplifiqueasexpresses:
a)log28.log43.log252.log35b)logab.logbc.logca
67 Umremdiotemmeiavidade6horaseasconcentraesmnimaseficazeamximatoleradanocorpohumanosorespectivamente210e680microgramaspormililitro.Qualadosagemindicadaparaesseremdioeemqueintervaloaadetemposedeverrepetirseadosagem?
68Calculeameiavidadeumasubstnciaradioativaquesedesintegra4%aoano.
12
ln2T
1T
N=N e (ln2).t1T
N=N e0 0Tln2
t
N=N 20_tT N=N
12( )
tT
0
61
69Umapessoadepositaumaquantianacadernetadepoupana`ataxade2%aoms.Emquantosmesesaquantiadepositadatriplicar?
70 NotasenaUastqueonmerodemascotes(cesegatos)aumentaacadaperodoconsideravelmente.Seonmerodessasmascoteduplicasseacadaperodo,emquantosmesesteriatriplicadoaquantidadeinicialdesseshspede?
71 Umapipeta retira de umbquer 3% de seu contedo emcada suco. Se, aps oexperimento,restapenas54,37%,quantasforamassuces?
72(Vunesp)Ocorpodeumavtimadeassassinadofoiencontrados22h30minomdicodapolciachegoueimediatamentetomouatemperaturadocadver,queera32,5C.Umahoramaistardetomounovamenteatemperaturaeencontrou31,5;atemperaturadoambientefoimantidaconstanteeiguala16,5C.Admitaqueatemperaturanormaldeumapessoavivade36,5CesuponhaquealeimatemticaoresfriamentodocorpoD(t)=D02(2 t)emqueD0diferenaentreatemperaturadocadvercomomeionotempot=0, umaconstantepositiva,totempoemhoraseD(t)adiferenadetemperaturadocadvercoomeionuminstantetqualquer.Osdadosobtidospelomdicoformacolocadosnetabelaseguinte:
Hora Temperaturadocorpo(C)
Temperaturadoquarto(C)
Diferenadetemperatura(C)
t=? morte 36,5 16,5 D(t)=20
t=0 22h30min 32,5 16,5 D(0)=D0=16
t=1 23h30min 31,5 16,5 D(1)=15Considereosvaloresaproximadolog5=2,3elog3=1,6,determine:
a)aconstante;b)ahoraemqueapessoamorreu.
73 (PUCSP) Uma calculadora eletrnica possui as teclas das quatros operaesfundamentaiseasteclas10x,log10eloge(ln).Comoseobterovalorde eusandoasfunesdacalculadora?(oKaraqueidealizouesseexerccioignoraqueacalculadoratenhaatecla ex,ignoretambm,erespondacomosetalinstrumentospossusseasteclasapresentadasaqui.)
FunesTrigonomtricas
O primeiro pensamento que vem cabea quando ouvimos funes trigonomtricas que so funes na qual aparecer uma, ou mais, das relaes trigonomtricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e/ou cotangente. Esse pensamento no equivocado mas
62
para efeitos de preciso, torna-se necessrio uma definio mais formal que envolva alguns conhecimento de trigonometria. De antemo, informaremos que elas so funes peridicas, ou seja, funes nas quais os valores de (x) repetem-se a parti de um h .
Definio:Umafunoserperidicaseexisteumh,talque (x) = (x+h) paratodoxreal; h chamadodeperodode (x) edeveseromenorpossvelemqueaigualdadeacimaaindaocorra.
Saiba que alm das trigonomtricas existem vrias outras funes peridicas, so alguns exemplos a data, em meses e dias, que se repetem a cada ano por trs anos e de quatro em quatro anos - no bissexto, os dias da semana, as estaes do ano e, mais prximos de ns (futuros qumicos e bilogos) o batimento cardaco, as ondas de rdio, a vibrao de tomos em cristais etc.
OTringuloRetngulo o tringulo cujos catetos (os dois lados menores) formam entre si uma ngulo de 90
(ngulo reto, ou seja so perpendiculares). So trs as principais relaes trigonomtricas em tal figura geomtrica: seno, cosseno e tangente:
Propriedadesimportantesseno=cosseno;issofacilmenteobservado,acima.
Tangente=;acima:===tangente(Idem)
AB+BC=ACTeoremadePitgoras(demonstraoemqualquerlivrode8srie)
cateto
cateto
hipotenusa
A
B C
(
(| .
Seno=catetoopostohipotenusa
Seno= ABAC
Seno= BCAC
Cosseno=catetoadjacentehipotenusa
Cosseno= BCAC
Cosseno= ACAB
Tangente= catetoopostocatetoadjacente
Tangente= ABBC
Tangente= BCAB
SenoCosseno
seno cosseno
ABACBC
AC
ABBC
63
sen+cos=1;acima:sen+cos=+===1
Relaesemtringulosretngulos
A demonstrao dessas leis podem ser encontradas no livro do ensino mdio ColeoMatemtica, 2 srie, Dante, 2008,pg.910e1416, para maior aprofundamento no assunto, aconselhamos TRIGONOMETRIA , Coleo: SCHAUM ; ROBERT E. MOYER E FRANK AYRES JR. Editora Bookman companhia ed.; que acreditamos ter na biblioteca da UAST.
Exemplos:
1(UnisinosRS)Umaviolevantavosobumnguloconstantede20.Apspercorrer2000memlinhareta,aalturaatingidapeloavioserdeaproximadamente:(Dados:sen20=0,342;cos20=0,94etg20=0,364.)
a)728mb)1880mc)1000md)1720me)684m
Resoluo:Foidadoquesen20=0,364,sendoosenoarazoentreaalturaeadistnciadoavio
aopontodepartida.
sen20==0,342= h=684m;alternativae)
)
()
A
B C
Leidossenos:
ABsen
= BCsen
= ACsen
= 2
Leidossenos:Arazoentreumladoeseungulooposto,emtringuloQualquerconstanteeiguala2
Leidoscossenos:AB=BC+AC2.BC.ACcos2 2 2
AC=AB+BC2.AB.BCcos2 2 2
BC=AB+AC2.AB.ACcos2 2 2
Leidoscossenos:Oquadradodeumlado,numtringuloqualquer,igualasomadosquadradosdosoutrosladosmenososeupeloonguloentreeles
h2000m
) 20
h2000
h2000
ABAC
BCAC
AB+BCAC
ACAC
(Idem)
64
2(OBMEPOlimpadabrasileiradematemticadasescolaspblicas2005)Otopodeumaescadade25mdecomprimentoestencostadonaparedeverticaldeumedifcio.Opdaescadaest a 7 mde distnciadabase doedifcio, comona figura. Seo topodaescadaescorregar4mparabaixoaolongodaparde,qualserodeslocamentodopdaescada?
(A)4m(B)8m(C)9m(D)13m(E) 15m
Resoluo:Sejahalturanoedifcioondeestencostadaaescada,porPitgoras:
25=7+h h=62549=576 h=24m
Temosumtringulodedimenses25m,7me24m,seaescadaescorregar4m,teremosoutrotringulocomdimenses25m,x,244=20m,Amedidaqueprocuramosadex,que podesernovamenteencontradausandoPitgoras
25=x+20 x=625400=225 x=15m,alternativa(E)
3 Umaempresadetelecomunicao,aoinstalarumrededetelefonenumstio,precisoucolocardoispostesemladosopostosdeumlagosparapermitirpassarafiao,acontece,noentanto,quenofoipossvelmedirdiretamenteadistnciaentreosdoisposte.Oengenheirousandoaparelhoadequadoobservouquealinhadevisodeleeosposteerade120,edepois,apstermarcadosuaposio,observouqueonguloentrealinhadopostemaisdistantedaposioqueantesocupavaealinhaentreospostesera15equeamedidadadistnciadoposte mais prximoerade 36,6 m. Comesses dados o engenheiro conseguiuencontrar adistnciaqueprocurava.Qualadistnciaqueoengenheiroencontrou?
Resoluo
Sabemosqueasomadosngulosinternosdeumtringulonoplano180temosentoqueonguloentreasdistnciayed180120+45=15
Pelaleidossenos:= d=.122,47m
4Considereoproblemaacima;agoraemvezdeconhecermosonguloentreadistnciadosposte e a distncia do poste, mais distante, posio emque o engenheiro estava (15),sabemosqueessadistnciade100m.Calculeadistnciaentreospostes.
Resoluo:Pelaleidoscossenos:d=(36,6)+(100)2.36,6.100.cos120d=1339,56+100007320.(0,5)
d=11339,56+3660d= 14999,56 122,47m
...............7
escada
d
36,6
)120
(15
dsen120
36,6sen15
36,6.sen120sen15
65
OCicloTrigonomtricoTrata-se de uma circunferncia de raio 1, centrada na origem de um sistema de
coordenadas cartesianas. Em radianos Em graus
Na figura, o eixo do x definido como o eixo do cosseno e o eixo do y como o eixo do seno, assim o ponto xp o cosseno do nmero real P e yp seu seno. O sentido positivo dessa circunferncia o anti-horrio.
Definio:Funoseno:aordenadadopontopacima;D=eIm=[1,1],perodo(P)=360.
f (x) = sen (x) 1
1
Funocosseno:aabscissadopontopacima.D=eIm=[1,1].P=360.
(x)=cos (x)
1
1
0
1quadrante2quadrante
3quadrante 4quadrante
2 = 0
2
3 2
P
x
y
xp
yp
0
1quadrante2quadrante
3quadrante 4quadrante
0=360
90
180
270
P
x
y
66
Funotangente:Comovistoacimaarazoentreosenoecossenodeumngulo.
(x) = tg (x) =sen x cos x
, cos x 0
Essafunoexisteapenas paracosx0,i.e.,x90. Mas,vejaqueandando 180,chegaramosa270, xquecosx=0,dandooutra meiavolta,chegamosa 450,cujocosseno0,se prosseguimoscosx=0para todox=90+n180,n, D={x|x90+n180} Im=,P=360.
Funosecante:Definidacomoorecprocodafunocosseno:
f x = secx = 1cos x
D={x|x90+n180,n}4Im={y|y1ouy1},P=360.3(domnioigualaodatangente)2
4334
Funocossecante:Definidacomoorecprocodafunoseno:
f x = cossec x = 1senx
Odomniosertodosospontosondeosenx0,i.e.x0,dandoumavoltade
180,chegamosa180,ondeoseno=0 logoD={x|xn180,n},
Im={y|y1ouy1},P=360642246
1234
67
64 3 3 4 6
4
3
3
4
Funocotangente:Definidacomoafunorecprocadatangente:
f x = cotg x = 1tg x
= cos x sen x
D={x|xn180,n},Im=.P=180.(domnioigualaodocossecante)
Perodo o intervalo que em que a funo comea a repetir os valores. O domnio e a imagem so dados, geralmente em radianos, nos livros de matemtica, mas usamos mais o grau neste texto, por entend-lo mais simples e fcil de trabalhar, em todo caso, para transformar um no outro faz-se uma regra de trs simples com a informao de que um crculo completo tem 360 e 2 radianos, vamos transformar 30 em radianos:
360 2 30 x x = =
AlgumasPropriedades:
1senx+cosx=1;usandoPitgorasnocrculotrigonomtrico:senx+cosx=1=1.
2secx=tgx+1;==+=tgx+1.
3cossecx=cotgx+1;demostraoanlogaanterior.
Veja que por se tratar de um crculo, os valores do seno e cosseno se repetem, em mdulo, em cada quadrante. Por exemplo: no primeiro e segundo quadrante o valor do seno ser o mesmo para dois pontos eqidistante (mesma distncia), veja o seno de 120 e 60, tm o mesmo valor que, por sua vez, igual ao negativo dos senos de 240 e 300. Analogamente acontece com o cosseno e as outras funes trigonomtricas.
Frmuladeadio:
sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosasen(ab)=sena.cosbsenb.cosacos(a+b)=cosa.cosbsena.senbcos(ab)=cosa.cosb+sena.senb
tg(a+b)=
tg(ab)=
1cosx
senx+cosxcosx
senxcosx
cosxcosx
30. 2360
6
tga+tgb1tga.tgbtgatgb1+tga.tgb
68
As frmulas de adio ajudam a simplificar problemas trigonomtricos e so tambm usadas para demonstraes de identidades, funes, derivadas, limites e integrais trigonomtricas.
Frmulasdearcoduplo: Porque:
sen2a=2sena.cosa sena+a=sena.cosa+senb.sena sen2a=2sena.cosa
cos2a=cosasenaou2cosa1ou12sena cosa+a=cosa.cosasena.sena cos2a=cosasena.
sendocosa=1sena:cos2a=1senasena
tg2a= cos2a=12sena.
Frmuladoarcometade: Porque:
sena2=1cosa2
cos a2=1cos a2
tg=a2=1cos a1cos a
Exemplos:
1AssinaleVparaasexpressesverdadeiraseFparaasexpressesfalsas.
a)sen(30+60)=sen30+sen60e)sen(2.90)=2.sen(90)
b)sen5=sen0 f)sen50=2sen(180155).cos25
c)cos60=sen30 g)cos40=sen.
d)tg45=sen(0,5.) h)tg90=cotg0
Resoluo:Alternativaa)falsa(F)pois,sen(30+60)=sen30.cos60+sen60.cos30.Alternativab)verdadeira(V)pois,senn=0,n,esen0=0.Aalternativac)tambmverdadeira(V)pois,vimosquesen90a=cosa.
d)verdadeira(V)jque0,5 radianosigual90cujoseno1,assimcomotg45=1.Aalternativae)falsa(F)pois,sen2.a=2sena.cosa.Jvimosquesena=cos90a,logoaalternativag)verdadeira(V)pois,=50Altimaalternativacabulosa.Nossentimostentadosadizerqueelaverdadeira,
no entanto, devemos ponderar que somente porque duas coisas no esto definidas no significaqueessasduascoisassoiguais.tga=cotgbc|tga=cecotgb=c,massabemos queno existe nenhumc real paraqual tg 90 oucotg0 seja igual a c, logoa alternativafalsa(F).Osmbolosignificaexiste.
2tga1+tga
cos2b=12senbedefinindo2b=a:De:
cosa=12sen a2 2sen=1cosaa2
sena2= 1cos a2
De:cos2b=2cosb1,definido2b=a:cosa=2cos1a
2 2cos=cosa+12a
cosa2=1cos a2
518
518
69
Exerccios
74Encontreaimagemdasseguintesfunes:
a)f(x)=sen4x1b)f(x)=cos2x+3c)f(x)=sec6x+15d)f(x)=cosx4
75Determineosdomniosde:
a)f(x)=sen15x3b)f(x)=tg4x3c)f(x)=cotg5x+3d)sec3x+5
76Determinesenx,sabendoquecos2x=0,5.
77Encontretgxsabendoquecotgx=0,625
78Encontresecx,secotgx=1,7321
Funesdotipotrigonomtricas
So as funes que tm a formaf(x)=a+b.sen(cx+d)ef(x)=a+b.cos(cx+d),as primeiras so chamadas de funes senides e as segundas de cossenides. Os parmetrosae b do a imagem da funo. Lembrando que o mximo do seno e do cosseno 1 e que seus mnimos 1. Assim, os mximos das senides (a funo cossenide , na verdade, uma funo senide transladada) dependem dos valores de aeb,vamos analisar esses mximos e mnimos atravs dos exemplos abaixo.
f(x)=3+5sen(4x3),mx.3+5=8;mn.35=2;Im=[2,8]eD=;
f(x)=46cos(5x+2),mn.4+(6)=2;mx.4(6)=10;Im=[2,10],D=;
f(x)=74sen(6x+3),mn.7+(4)=11;mx.7(4)=3;Im=[11,3],D=;
f(x)=2+4sen(11x),mn.24=6;mx.2+4=2;Im=[6,2],D=;
f(x)=5cos(4x2),mn.02=2;mx.0+2=2;Im=[2,2],D=;
f(x)=3cos(15x+3),3+(1)=2;mx.3(1)=4;Im=[2,4],D=.
Logicamente, o mximo ser o de valor maior e o mnimo o de valor menor. O parmetro c determina o perodo da funo: P =,ouP = .
f(x)=32sen(4x3),P==;
f(x)=6+cos(3x+5),P==;
360|c|
2|4|
2
2|3|
23
2|c|
71
f(x)=1722cos(84x),P==.
O parmetro d d a transladao do grfico da funo, ou seja, a quantas unidades o grfico se comportar de sua posio convencional. Se d>0, o grfico ficar a d unidades esquerda de sua posio quando d=0, mas se d 0, qualquer que sejad .
Exemplos:
1Encontreaimagem,operodo,eaposiodogrficodasseguintessenides:
a)f(x)=2+4sen(5x3)b)f(x)=65cos(12x+4)c)f(x)=1sen(4x)
Resoluo:a) mx.2+4=6;mn.24=2;Im=[2,6].P==.Ogrficoesttransladado
3unidadesparaadireita(direopositivo)dogrficodef(x)=2+4sen5x.
b)mx.6(5)=11;mn.6+(5)=1;Im=[1,11].P==.Seugrficoesttransladado4unidadesesquerda(direonegativa)dogrficodef(x)=65cos12x.
c)mx.1(1)=2;mn.1+(1)=0;Im=[0,2].P==.Seugrficonotransladado vistoqueseudnulo.
2Ofluxodearatravsdatraquiaumafunoperidicadotempoxesedemambosossentidosdospulmes(inspiraoeexpirao).Ofluxopodeserrepresentadopelafuno:f(x)=Asen(wx),ondeAofluxomximoduranteaexpiraoeinspirao; woperodorespiratrio;w=,xotempoeTotempoqueoindivduolevaparafazerumciclocompleto.Afuno f(x), certamente,umaaproximao,poisTvariadeindivduoaindivduo.Mas,estudosexperimentaismostramqueuma"boa"aproximaodarealidade.SuponhaqueparaGenaelson, w =2,5rad/seA=6,a)em5segundosqualserofluxoquepassarporsuatraquia?b)seelefizerocicloem3segundos,qualserofluxo?
Resoluo:a) f(5)=6sen(2,5.5)f(5)=6.0,21643961,3
b) w=2,09 f(5)=6.sen(2,09.5)=6.0,1813774041,1
3)
2|4|
2
2|5|
25
2|12|
6
2|4|
2
2T
23
72
4)
Resoluo:
Exerccios
79Esboceosgrficosdasfunes:
a)f(x)=189cos(3x+6)b)f(x)=sen(17x+2)c)f(x)=19+tg(15x5)
80Omovimentoharmnicosimples(MHS)ummovimentoperidicoretilneoemtornodeumpontodeequilbrio,comoumpnduloqueoscilacontinuamentenaverticalsemnenhumtipoderestrio,comoporexemplo,africo.Estasposiessomuitobemdescritaspelasfunes:
f(t)=ksen(wt+b) ou g(t)=kcos(wt+b),
ondek,bew>0.Operodootemponecessrioparaumaoscilaocompletaeafrequnciaonmerodeoscilaesporunidadedetempo.SuponhaqueumcorpopresoaumamolarealizaumMHScujafunof(t)=6cos(2t+ /2).Determinea)apulsaodopontomaterialemt=4seb)operodoefrequncia.
81AturmadeagronomiadaUASTmediuatemperatura(emC)docanteirodestaunidadedurante3dias,emintervalosde1hora.Amediocomeous3horasdamanhdoprimeiro
360ww
360
73
diae terminou72horasdepois. Pelosdados obtidos, os estudante puderamaproximarosvalorespelafuno:f(t)=15+5.sen(1/12t3/2),sendototempoemhoras.Determineatemperaturamximaatingidaeohorrioqueessatemperaturaocorreunoprimeirodia.
Funestrigonomtricasinversas
Sabemos que as funes trigonomtricas no so bijetivas o seno e cosseno no so injetivas nem sobrejetivas em consequncia nem a secante ou cossecante. A funo tangente embora seja sobrejetiva no injetiva (nenhuma funo peridica poder ser injetiva) e em consequncia, a funo cotangente tambm no ser bijetiva. Logo no faz sentido falar em funes trigonomtricas inversas. Acontece, no entanto, que podemos delimitar o domnio dessas funes ao maior intervalo para o qual a funo no repete seus resultados, ou seja, o domnio ter dimenses do perodo da funo, assim a funo ser nesse intervalo injetiva. Para torn-la sobrejetiva delimitamos seu contradomnio ao intervalo entre seu mximo e seu mnimo, procedendo assim teremos, nesses novos domnio e contradomnio, uma funo bijetiva que por sua vez possuir uma inversa. Geralmente as funes trigonomtricas inversas so representadas por o prefixo arc mais o nome da funo. Exemplo: 1 (x) =arcsen x, 1 (x) = arccos xetc. Existe outra notao, inclusive a que est nas calculadoras, adiciona-se ao nome da funo o expoente 1 . Exemplo: sen 1 x, cos 1 x etc.
y=arcsenxseny=x; y=arccosxcosy=xy=arctgxtgy=x
Grficodesen 1 x grficodecos 1 x
grficodetg1x grficodecotg1x
74
Exemplo:1cos60=0,5,logo60=arccos0,5(lembre:60=/3rad)
2 - Qualodomnioeoconjuntoimagemdafunoy=arcsen4x?
Resoluo:Podemosescrever:4x=seny.Da,vem:Parax:14x1,logo:1/4x1/4.Portanto,Domnio=D=[1/4,1/4].Paray:aimagemserIm=[90y90]