Fundamentos da mecânica da fratura - Laboratório de ... · •Mínima energia de deformação específica - mín S () ... U* Energia de deformação complementar Balanço energético

PEF-5744

Prof. Túlio Nogueira BittencourtProf. Sérgio Persival Proença

Aula 5

Fundamentos da mecânica da fratura

PEFPEF--57445744

ProfProf. Túlio Nogueira Bittencourt. Túlio Nogueira BittencourtProfProf. Sérgio . Sérgio Persival ProençaPersival Proença

Aula 5

Fundamentos da mecânica da fratura

Escola Politécnica da Universidade de São PauloDepartamento de Engenharia de Estruturas e Fundações

SumárioSumário

■ Conceitos básicos da Mecânica da Fratura

■ Aplicação: propagação de uma fissura em um componente estrutural

■ Fatores de Intensidade de Tensão, Taxa de liberação de energia potencial total, Integral J, Curva R

■ Aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto estrutural

■ Simulação numérica do processo de fraturamento

Mecânica da Fratura: Conceitos BásicosMecânica da Fratura: Conceitos Básicos

■ Mecânica da Fratura é uma disciplina de Engenharia que quantifica as condições sob as quais um sólido sob ação de um carregamento pode ir ao colapso devido à propagação de uma fissura contida nesse sólido

MecânicaAplicada

Ciência dosMateriais

Mecânica da Fratura: Conceitos BásicosMecânica da Fratura: Conceitos Básicos

Modo de colapso propriedade do material quegoverna o processo

disciplina que tratado problema

instabilidade (ex.:flambagem) E InstabilidadeElástica

deformação elástica excessiva E Elasticidade

deformação plástica σy Plasticidade

fraturamento KIc

Tenacidade à Fratura

Mecânica daFratura

Modelagem dos Processos deModelagem dos Processos de FraturamentoFraturamento

• pontos de iniciação

• carregamento correspondente à iniciação

• instabilidade

• trajetória

Instabilidade: PilaresInstabilidade: Pilares

σc

σπλc

E=

2

2

λ= !r

σcA

!E1

E2E3

Instabilidade: FissurasInstabilidade: Fissuras

σc

σcIcK

c a=

adetetadoadmissível

σc

σc

KIc1

KIc2KIc3

2a

Breve HistóricoBreve Histórico

• Da Vinci, 1452-1519: resistência de fios dependentes do comprimento• Inglis, 1913: concentrações de tensões em placas com furos• Griffith, 1922: fibras de vidro

resistência <==> tamanho da fissura• Westergaard, 1937: embasamento matemático - solução utilizando

variáveis complexas• Irwin, 1948: aplicações à Engenharia: Ex. Navios de guerra• Rice, 1968: Integral J• J. W. Huchtinson: Mecânica da Fratura Não Linear e Dinâmica• IAFRAMCOS: International Association for Fracture Mechanics

in Concrete and Concrete Structures, 1992-95-98Z. Bazant, A, Hillerborg, R. De Borst, J. van Mier, J. Mazars,A. R. Ingraffea, W. Gerstle, R. Gettu, A. Carpinteri, F. Wittmann, S. Shah, Karihaloo, B., etc.: aplicações ao concreto estrutural

ConseqüênciasConseqüências

Acidentesvasos de pressão, fuselagem de aviões, pás de turbinas, fundações e pilares de pontes de concreto armado, etc.

CustosNational Bureau of Standards, 1982: US$ 120 bilhões por ano• economia de 35 bilhões se tecnologia existente

fosse aplicada• economia de 28 bilhões por ano se tecnologia em

desenvolvimento fosse aplicada

Mecânica da FraturaMecânica da Fratura versusversusResistência dos MateriaisResistência dos Materiais

P

l b

h

M P

Wbh

fator de segurança

=

=

!2

6γ:

σσ

γ γσmax = ≤ ⇒ ≤

P

bhP

bhyy

!

!2

2

66

P

l b

h

a K a pbh

aK

P bh Ka

IIc

Ic

= = ≤

⇒ ≤

112 1126

6 112

2

2

2

, ,

,

maxσ π π γ

γ π

!

!

Integridade EstruturalIntegridade Estrutural

fraturamento em regime elasto-plásticofraturamento em

regime elástico linear

resistência dos materiais

1/γγγγ

1/γγγγ

projetos deengenharia

σσσσσσσσmax

y

KK

I

Ic

1

1

Uma fissura pode se iniciar e propagar, ocasionandocolapso a níveis de tensões muito inferiores aos admitidos por outras considerações

Por quê?

Resposta: Concentração de TensõesResposta: Concentração de Tensões

2a

2b

σ

σ

+=

ba21σση

Tensões em torno da ponta Tensões em torno da ponta de uma fissurade uma fissura

2a

σ

σ

θr( )

( )

( )

−

+

=

=

2

3cos

2

3

2

2

3

21

2cos

2

3

21

2cos

22θθθ

θθθ

θθθ

πθ

θ

θ

π

πσ

τ

σ

σ

sinsin

sinsin

sinsin

r

K

F

F

F

r

aI

xy

y

x

xy

y

x

Westergaard, 1937

aKI πσ= : fator de intensidade de tensões

IcK : tenacidade ao fraturamento do material

estabilidade da fissura IcI KK ≤

Modos deModos de FraturamentoFraturamento

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

+

+

=

θθθ

πθθθ

πθθθ

πτσσ

IIIxy

IIIy

III

III

IIxy

IIy

II

II

Ixy

Iy

I

I

xy

y

x

FFF

rK

FFF

rK

FFF

rK xxx

222

Modo I Modo II Modo III

Direção de Propagação de uma FissuraDireção de Propagação de uma Fissura

θ

• Máxima tensão circunferencial - máx ( )σ θθ

• Máxima taxa de liberação de energia - máx ( )G θ θ

• Mínima energia de deformação específica - mín ( )Sθ θ

Zonas de ProcessosZonas de Processos InelásticosInelásticos

ε

σ

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

′rp

σ y

f u

Materiais com amolecimento

Exemplos:concreto, rochas

Zonas de ProcessosZonas de Processos InelásticosInelásticos

��

��

��

��

��

��

��

��

��

′rpx

fy

rpx

��

��

��

��

σy

fy

Material σy (MPa) KIc (MPa √m) rp (mm)

aço ASTM A36 250 220 81AISI 4340 1400 84 1,8

PMMA 70 1,7 0,5

Com plasticidade (perfeita)σ

ε

Validade da Mecânica da Fratura Validade da Mecânica da Fratura Elástica LinearElástica Linear

B2W

2a prf

K

BaW

a

y

Ic 255,2 2

2

≅≥

−

Balanço energéticoBalanço energético

GriffithGriffithυυ Extensão da fissuraExtensão da fissura Conservação de energia Conservação de energia

(1a. Lei da Termodinâmica)(1a. Lei da Termodinâmica)

0=+= dSddE π

υυ Dados:Dados:

ππ Energia potencial total de deformaEnergia potencial total de deformaçãçãoo

SS Energia de Energia de decoesdecoesãão o ou ou fraturamentofraturamento

EE EnergiaEnergia total total

Balanço energéticoBalanço energéticoGriffithGriffith

dadS γ2=

υυ Seja:Seja:

γγ Densidade de energia superficial porDensidade de energia superficial porunidade de unidade de áárearea

γ2=G

2 superf2 superfíícies da fissuracies da fissura

ForForçça a guiadoraguiadora““driving driving forceforce””

ResistResistêência ou ncia ou tenacidadetenacidade

Critério de propagaçãoCritério de propagação

Balanço energéticoBalanço energéticoGriffithGriffith

GGcc ou 2ou 2γγ

dadG π−=

GG Deriva do potencial Deriva do potencial ππ, como for, como forççasas conservativasconservativas

Depende do carregamento e geometriaDepende do carregamento e geometria

CaracterCaracterááisticaistica do material, tenacidade ou do material, tenacidade ou resistresistêência ncia àà extensextensãão da fissurao da fissura

G taxa de liberação de Energia Potencial TotalG taxa de liberação de Energia Potencial Total

*UPU −=−= ∆π

a b

P,∆UU Energia de deformaEnergia de deformaçãçãoo

U*U* Energia de deformaEnergia de deformaçãção complementaro complementar


2∆PU =

Teorema de Clapeyron

a c

d∆

Gda

a+da

P

∆

A B


P fixoP fixo

(P)*U , *2

UP −=−= ∆π

PP aP

dadU

dadG

∂∂=

=−= ∆π

21*

Dado (“compliance”)PC ∆=

dadC

CdadCPG 2

22

21

2∆== 11


∆∆ prescritoprescrito

2∆π PU ==

∆∆∆π

∂∂−=

=−=

aP

dadU

dadG

21

aC

CaC

aCG

∂∂=

∂∂−=

∂

∂−=−−

2

212

1

21

21

21 ∆∆∆∆

∆

a c-dP

Gdaa+da

P

∆

A

22

De De e e G independe das condições G independe das condições de carregamento de carregamento

11 22

Integral J Integral J -- Integral de contornoIntegral de contorno

υυ Materiais elásticos não lineares Materiais elásticos não lineares

∫ ∫−=A S

ii dSutWdAaσ

π )(

a

t~

S0

Su

x1

x2

Sσ

υυ G: válida para comportamento elástico linearG: válida para comportamento elástico linear


Definição:

∫εΓ→ε

Γ⋅

⋅

∂∂⋅σ−= contorno) (no dnxuWlimJ j

k

iijn0k k

k=1, 2 (campo bidimensional)

Relação com os fatores de intensidade de tensãoRelação com os fatores de intensidade de tensão

0J

)deformação de plano (Estado )1(E

KGJ

2

2I

1

=ν−⋅

==

( )221 , III KKJ ∝

III KKJ ⋅∝2

No caso de Modo I puroNo caso de Modo I puro


∫ ∫

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂−=

A k

iij

jjk

iij

kk qdA

xu

xxq

xu

xqWJ

A kxW-dA σσ

∫Γ

Γ

∂∂

−−=TOT

dnqxu

WJR

iijkjk j σδ

Domínio EquivalenteDomínio Equivalente

Integral JIntegral J

Módulo de RasgamentoMódulo de Rasgamentotearing modulustearing modulus

υυ Materiais “dúcteis” na fraturaMateriais “dúcteis” na fratura

Propagação estável ePropagação estável e quasiquasi--estática antes da fratura estática antes da fratura (instabilidade)(instabilidade)

Plastificação significativa em torno da fissuraPlastificação significativa em torno da fissura

J = J = JJIcIc necessário para iniciar o processo de propagação necessário para iniciar o processo de propagação mas não para mas não para mantêmantê--lolo até o limite da instabilidadeaté o limite da instabilidade

Módulo de RasgamentoMódulo de Rasgamentotearing modulustearing modulus

Critério para propagação estávelCritério para propagação estável RJJ ≥

Para instabilidadePara instabilidadeRJJ ≥

dadJ

dadJ R≥

Paris et Paris et alal..da

dJEdadJE R

yy22 σσ

≥

matTT ≥

T: módulo de rasgamento (“T: módulo de rasgamento (“tearing modulustearing modulus”)”)

Curva R Curva R -- Curva de resistênciaCurva de resistênciaCritCritéério de Extensrio de Extensãão da Fissura o da Fissura

RdadSG

dadG c ===−= π

ForForçça a guiadoraguiadora““driving driving forceforce””

ResistResistêência ncia àà

propagapropagaçãçãoo

υ R é constante para EPD R=GIc

υ G é a taxa de liberação de energia potencial total p/ o problema de Griffith

( )E

aG πσν2

21−=

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Curva R Curva R -- Curva de resistênciaCurva de resistênciaCritCritéério de Extensrio de Extensãão da Fissura o da Fissura

Estados crEstados crííticos para os nticos para os nííveis veis σσ11 e e σσ22

G,R

R=GIc (EPD)

∆a

AB

C

D

H

σ4

σ3

σ2 σ1

ac

ai

R (EPT)

∆a3

Curva R Curva R -- Curva de resistênciaCurva de resistência

σσσσσσσσ1 1 G <G < GGIcIc fissura não propaga no EPD ou EPTσσσσσσσσ22 G = G = GGicic EPD fissura na iminência de propagaçãoEPT fissura não propaga EPT fissura não propaga

σσσσσσσσ33 G > G > GGic ic EPD fissura na iminência de propagação instável G=R (G=R (pto pto C) EPT fissura propagaC) EPT fissura propaga ∆∆∆∆∆∆∆∆aa33

σσσσσσσσ44 fissura propaga de forma instávelfissura propaga de forma instávelpara EPT ou EPD para EPT ou EPD

RGeaR

aG =

∂∂=

∂∂

DD

Mecânica da Fratura Mecânica da Fratura -- Aplicação ao ConcretoAplicação ao Concreto

■ Desenvolvimento a partir da década de 80

■ Ainda não é utilizada em normas de projeto

■ Vários critérios das normas atuais não

apresentam um embasamento físico consistente

■ A Mecânica da Fratura pode prover critérios

racionais de projeto nos casos em que a aplicação

da teoria de resistência é insuficiente


■ Potenciais aplicações à análise e ao projeto:◆ Cálculo de flechas de vigas e lajes levando em conta a redução

da resistência à flexão com o aumento da altura da peça (efeito

de escala, especialmente no concreto de alto desempenho)

◆ Cálculo da taxa de armadura de flexão mínima

◆ Explicação do efeito de escala na resistência ao cisalhamento

de vigas armadas longitudinalmente


■ Exemplos de estruturas com potencial aplicação

Diagramas CargaDiagramas Carga--DeslocamentoDeslocamento

concreto com fibrasconcreto com fibras

concreto de alto desempenhoconcreto de alto desempenho

concreto convencionalconcreto convencional

Modelo para o Concreto: Fissura CoesivaModelo para o Concreto: Fissura Coesiva

Interface Coesiva::capacidade de transmissão de tensões entre as faces da fissura• intertravamento dos agregados• efeito de ponte

Modelo da Fissura CoesivaModelo da Fissura Coesiva

∫= cw

F dwwG0

)(σ

Energia de fraturamento::

Modelo da Banda de FissuraçãoModelo da Banda de Fissuração((Smeared Crack ModelSmeared Crack Model))

∫= c dhG yF

εεεσ

0)(Energia de fraturamento::

FraturamentoFraturamento do Concretodo Concreto

■ Parâmetros de fraturamento relevantes para o concreto estrutural:

◆ Tenacidade ao fraturamento (capacidade de absorver energia)

◆ Energia de fraturamento (energia dissipada durante a evolução

da fissura)

◆ Abertura crítica da fissura

◆ Extensão da zona de processos de fraturamento

QUEBRA2D : Interface gráfica modernaGerenciamento de entrada e saída de dadosGeração de malhas adaptativasGerenciamento dos processos de fraturamento FadigaEditor de figuras e animaçãoLinguagem C, IUP, CD, luaPlataforma portável

FEMOOP (Finite Element Method - Object Oriented Program):Formulação de elementos finitosSolução do sistema de equações de elementos finitosProgramação orientada a objetosLinguagem C++

Quebra2d

FEMOOP

Quebra2d

Quebra2DQuebra2D

Um Problema RealUm Problema Real

FRANC2DFRANC2D ■ Interface gráfica■ Coloção de condições de

contorno: ◆ cargas

◆ apoios

■ Mecânica da Fratura Elástica Linear

◆ KI , KII

◆ J-Integral◆ G

■ Propriedades do material■ Introdução da fissura■ Regeneração da malha■ Solução através de elementos

finitos■ Propagação da fissura■ Geometria deformada, contorno

de tensões, direções principais,etc.

Malha inicial sem fissura

FRANC2DFRANC2D

Malha Deformada com Fissura Inicial

Malha Deformada após 2 passos de propagação da fissura

FRANC2DFRANC2DFissura Inicial : Tensão σσσσI

FRANC2DFRANC2DFissura Inicial : Tensão σσσσI

FRANC3DFRANC3D

■ Forma eficiente de representação do modelo sólido

◆ Hierarquia de modelos

■ Utilização de teorias bidimensionais

■ Simulação de problemas não triviais de propagação de fissuras tridimensionais

FRANC3DFRANC3D■ Determinação de Fatores de

Intensidade de Tensões:◆ Técnica da Correlação de

Deslocamentos (Displacement Correlation)

✦ entre as duas faces da fissura✦ pontos na vizinhança do fronte

■ Direção de Propagação◆ Pontos discretos ao longo do fronte◆ Planos normais à tangente aos

pontos◆ Teorias:

✦ Máxima Tensão (σ(θ)max)✦ Máxima Taxa de Liberação de

Energia Potencial (G(θ)max)✦ Mínima Densidade de Energia de

Deformação (S(θ)min)■ Extensão de Propagação

◆ Extensão em cada ponto é função dos fatores de intensidade de tensões

◆ Usuário estabelece a extensão máxima em cada passo

FRANC3DFRANC3D

■ Análise de tensões

■ Fissura inicial

FRANC3DFRANC3D

■ Malha da fissura inicial

■ Fissura após 3 passos de propagação

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