Nota de aula 13 - Estudo da Energia de Deformação ... · Estudo da Energia de Deformação Nota de aula 13 - Estudo da Energia de Deformação - Resistência dos Materiais II

Estudo da Energia de Deformação

Nota de aula 13 - Estudoda Energia de

Deformação - Resistênciados Materiais II

Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)

MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF

2o. semestre de 2010Flávia Bastos RESMAT II 1/35


Informações sobre este documento: Estes slides servem paraauxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas deresistência dos materiais II ministradas pela professora FláviaBastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.

Flávia Bastos RESMAT II 2/35



• Objetivo: Estudar e determinar a quantidade de energiaarmazenada em corpos deformáveis como os queconstituem as estruturas.

• Finalidade: métodos energéticos que permitemdeterminar, por exemplo, a posição de equilíbrio dessasestruturas; critérios de resistência;



Trabalho de uma força

Como modelo inicial para nosso estudo consideramos umamola longitudinal que se deforma quando sujeita a uma cargaF que a deforma quando seu valor vai de zero até o valor finalF . Supomos:a) Não há troca de calor com o meio ambiente.b) O movimento de deformação da mola é lento de modo quedesprezamos as forças de inércia e a energia cinética domovimento.




Chamando:W → Trabalho desta força;UT → Energia interna acumulada sob a forma de energia dedefomação;K → Energia cinética, temos que:

W = UT +K (1)

A segunda hipótese anterior nos permite afirmar que K = 0,logo:

W = UT (2)




Sabemos que o trabalho de uma força pode ser obtido:

U = W =

∫ A2

A1

~F · d~r (3)

ou:

U =

∫ A2

A1

(Fxdx+ Fydy + Fzdz) (4)



Aplicação ao caso de uma mola

No caso da mola:

W = UT =

∫ xf

0F (x)dx (5)

onde: F → Força necessária para produzir o alongamento xfda mola. Logo:

W = UT =

∫ xf

0F (x)dx =

∫ xf

0kxdx (6)

já que F (x) = kx.




Temos então:

UT =1

2kx2f (7)

ou, se chamamos xf = x:

UT =1

2kx2 (8)

Podemos ainda dizer que:

UT =1

2Fx (9)




Estas expressões constituem o teorema de Clayperon queestabelece que:“Quando uma carga cresce progressivamente de zero até oseu valor final, o trabalho de deformação, em regime elásticolinear, é a metade do que seria realizado se a carga agissedesde o início com o seu valor final atual”.



Caso de barras com N constante

Podemos imediatamente aplicar esta expressão ao caso deuma barra sujeita e um esforço normal constante já que estatem comportamento similar ao de uma mola, tendo em vistaque:

∆l =Fl

ES→ F =

ES

l∆l (10)

onde observamos que k = ESl e x = ∆l.



Caso de barras com N constante

Assim, temos para este caso:

W = UT =1

2N∆l (11)

com esforço normal N = F e podemos afirmar que:

UT =1

2

N2l

ESou UT =

1

2N∆l (12)



Expressões da energia em termosdas tensões e deformações

Como UT = 12N2lES , multiplicando num. e den. por S:

UT =1

2

N2lS

ES2→ UT =

N2

S2

1

2EV (13)

onde V é o volume da barra. Assim, podemos determinar paraeste caso a energia específica de deformação ou energia porunidade de volume, obtendo-se para esta:

dUTdV

= u =σ2xx2E

. . . Energia específica de deformação (14)

Ou ainda (já que σxx = Eεxx):

u =1

2σxxεxx ou u =

1

2Eε2xx (15)



Barras (curtas) a cortante constanteExaminamos em seguida o caso singular de uma barra curtasujeita a um esforço constante (figura***). Neste caso oteorema de Clayperon nos assegura que:

UT =Qv

2(16)

Assumindo γ pequeno→ γ ∼= tgγ = vh , temos:

UT =Qγh

2(17)

que multiplicada por S no numerador e denominador fica:

UT =QγV

2S(18)



Barras (curtas) a cortante constanteLogo a energia específica de deformação neste caso é dadapor:

dUTdV

= u =Qγ

2S(19)

Supomos neste caso que τ = QS (peças curtas). Lei de Hooke

para cisalhamento γ = τG . Obtemos então:

u =1

2Gτ2 (20)

u =τγ

2(21)

u =Gγ2

2(22)



Energia de Deformação para umestado triaxial de tensões

• Tensões normaisPara um prisma com tensão normal σxx temos (considerando oprisma de comprimento dx e área dydz):

dUσxxT = σxxdydz︸︷︷︸Força

dεxxdx︸︷︷︸alongamento

(23)

dUσxxT = σxxdεxxdxdydz (24)

dUσxxT = σxxdεxxdV (25)

UσxxT =

∫V

[∫ εxx

0σxxdεxx

]dV (26)




A energia específica de deformação neste caso pode ser dadaentão por:

uσxx =

∫ εxx

0σxxdεxx (27)

Para as outras tensões (σyy e σzz) obtemos:

uσyy =

∫ εyy

0σyydεyy (28)

uσzz =

∫ εzz

0σzzdεzz (29)




e temos que:

u =

∫ εxx

0σxxdεxx +

∫ εyy

0σyydεyy +

∫ εzz

0σzzdεzz (30)

onde εxx, εyy e εzz dependem de σxx, σyy e σzz.




• Tensões tangenciais

Analogamente teríamos para as tensões tangenciais:

uτxy =

∫ γxy

0τxydγxy (31)

uτxz =

∫ γxz

0τxzdγxz (32)

uτyz =

∫ γyz

0τyzdγyz (33)



Energia específica de deformaçãocom atuação concomitante de σxx,σyy, σzz, τxy, τxz e τyz

Obtemos então por unidade de volume:

u = σxxdεxx+σyydεyy+σzzdεzz+τxydγxy+τxzdγxz+τyzdγyz (34)

essas parcelas devem ser somadas (integradas) quando asdeformações variam de zero até o valor final. Obtemos então apartir da lei de Hooke generalizada:

u = σxxE [dσxx − ν(dσyy + dσzz)]

+σyyE [dσyy − ν(dσxx + dσzz)]

+ σzzE [dσzz − ν(dσxx + dσyy)]

+τxyG dτxy + τxz

G dτxz +τyzG dτyz

(35)




Integrando o termo da direita quando as tensões variam dezero até seu valor final obtemos:

u =1

2E(σ2

xx+σ2yy+σ2

zz)− νE

(σxxσyy+σyyσzz+σxxσzz)+1

2G(τ2xy+τ2xz+τ2yz)

(36)

Utilizando novamente a lei de Hooke generalizada podemos escrever:

u =Eν

2(1 + ν)(1− 2ν)(εxx+εyy+εzz)2+G(ε2xx+ε2yy+ε2zz)+

G

2(γ2xy+γ2xz+γ2yz)

(37)




Em termos das tensões principais:

u =1

2E(σ21 + σ22 + σ23)− ν

E(σ1σ2 + σ2σ3 + σ1σ3) (38)



Densidade de Energia de DistorçãoTendo em vista que qualquer tensor de tensão σ˜̃ pode serdecomposto como:

σ = σh˜̃ + σD˜̃ (39)

σh˜̃ → tensor de tensão hidrostático;

σD˜̃ → tensor de tensão desviador.

Logo:

u = uhidro + uD (40)

uhidro → Energia específica de deformação referente àvariação de volume;uD → Energia específica de distorção.



Densidade de Energia de Distorção

Como:

σh˜̃ = σh

1 0 00 1 00 0 1

(41)

com σh = σ1+σ2+σ33 , obtemos para uhidro:

uhidro =1

2E(σ2h + σ2h + σ2h)− ν

E3σ2h (42)

obtendo:

uhidro =1− 2ν

6E(σ1 + σ2 + σ3)

2 (43)



Densidade de Energia de Distorção

Obtém-se uD pela diferença:

uD = u− uhidro (44)

e temos que:

uD =1 + ν

6E[(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2] (45)



Energia de deformação em funçãodos esforços em barras prismáticas

• Introdução:

Tendo em vista a utilização das expressões do trabalhorealizado pelos esforços em barras prismáticas e seu empregoem princípios tipo dos trabalhos virtuais, determinam-se aseguir os valores das energias de deformação em barrasquando os esforços atuantes nestas são variáveis.




• Barra a esforço normal variável

Para um trecho de barra sujeito a esforço axial (comprimentodx), generalizando as expressões anteriores, temos que:

UT =

∫ l

0

N(x)

2

N(x)dx

ES(46)

ou:

UT =

∫ l

0

1

2

N(x)2

ESdx (47)




• Barra a esforço cortante variável

UT =

∫ l

0

1

2

Q(x)2

GSdx (48)

Para o caso de barras não curtas onde não é possíveldesprezar a concomitância da ação de Q com M (momentofletor) utilizamos:

UT =

∫ l

0

1

2

kQ(x)2

GSdx (49)




• Barra a esforço de flexão

Para M (fletor) constante num trecho obtemos pelo teorema deClayperon para este caso:

UT =Mϕ

2(50)

ϕ→ rotação relativa entre as seções.Neste caso tratamos a barra como uma mola a flexão.Para um trecho de viga de comprimento dx, admitindo-seM = M(x) teríamos:

dϕ =M

EIds ∼=

M

EIdx (51)

ds→ elemento de comprimento de arco;Flávia Bastos RESMAT II 28/35



• Barra a esforço de flexão

Assim obtemos:

UT =

∫ l

0

1

2M(x)dϕ =

∫ l

0

1

2M(x)

M(x)

EIdx (52)

UT =

∫ l

0

M(x)2

2EIdx (53)




• Barra a torção

Para uma barra sujeita a um momento torsor constanteobtém-se:

UT =1

2Tθ (54)

T → momento torsor;θ → Rotação relativa entre seções medida no plano da seção.Para um trecho de comprimento dx teríamos:

dθ =T (x)

GItdx (55)

It → Momento de inércia polar da seção;Flávia Bastos RESMAT II 30/35



• Barra a torção

UT =

∫ l

0

1

2T (x)dθ (56)

UT =

∫ l

0

T (x)2

2GItdx (57)




• Trabalho ou energia de deformação total

Somando-se as contribuições anteriores temos:

UT =

∫ l

0

1

2

N(x)2

ESdx+

∫ l

0

1

2

kQ(x)2

GSdx+

∫ l

0

M(x)2

2EIdx+

∫ l

0

T (x)2

2GItdx

(58)



Cálculo do coeficiente k

Vimos que para peças curtas:

τ =Q

S⇒ U =

∫ l

0

Q2

2GSdx (59)

Queremos aplicar relação similar a esta para viga onde:

τ =QMs

tI(60)

isto é:

U =

∫ l

0

kQ2

2GSdx (61)



Cálculo do coeficiente kSabemos que em ambos os casos:

U =

∫V

τ2

2GdV =

∫ l

0

1

2G

{∫z

∫yτ2dydz

}dx (62)

U =

∫ l

0

1

2G

{∫z

∫y

Q2M2s

t2I2dydz

}dx (63)

U =

∫ l

0

Q2

2G

{1

I2

∫S

M2s

t2dS

}dx (64)

U =

∫ l

0kQ2

2GSdx (65)

com:

k =S

I2

∫S

M2s

t2dS (66)



Cálculo do coeficiente k

• Para seção retangular obtemos K = 1, 2;• Para seção circular cheia obtemos K = 1, 11;• Para seção circular de parede delgada obtemos K = 2;


Documents

Nota de aula 13 - Estudo da Energia de Deformação ... · Estudo da Energia de Deformação Nota de aula 13 - Estudo da Energia de Deformação - Resistência dos Materiais II