Fundamentos de Mecânica dos Sólidos IIprofessor.ufabc.edu.br/~juan.avila/mecsol2_pos_2020/Tra...Universidade Federal do ABC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Material

Universidade Federal do ABC

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Material de leitura de disciplina de Pós-Graduação:

Fundamentos de Mecânica dos Sólidos II

Tópico: Trabalhos virtuais

Professor: Dr. Juan Avila

Outubro de 2020

Trabalhos virtuais, Juan Avila

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2

Trabalhos Virtuais em Mecânica dos Sólidos

1. Definição de trabalho virtual

A Fig. 1 representa um corpo deformável com qualquer lei de comportamento de material.

O corpo apoiado está em equilíbrio com um sistema de forças externas como se mostra. A

configuração inicial do corpo é representada pela linha solida e a configuração deformada

de equilíbrio pela linha tracejada. As forças são aplicadas de maneira gradual de forma que

os efeitos inerciais são desprezados. Cada um dos pontos materiais do corpo, exceto aqueles

sobre os suportes, sofreram um deslocamento. Onde há deslocamentos há forças que o

produzem, então um trabalho é realizado sobre o corpo. As forças externas (representadas

por setas na Fig. 1) realizam trabalho assim como também as forças internas induzidas pela

deformação do corpo. A força 1F é aplicada no ponto A o qual se desloca por uma distância

1u na direção da força aplicada para ocupar a posição dada pelo ponto B, como se mostra.

Figura 1. Corpo deformável em equilíbrio.

A Fig. 2 mostra a relação entre a força externa e o deslocamento para o ponto A, a qual, em

geral, é não linear. Seja F a intensidade desta força em um certo nível de deslocamento u e,

F+dF a intensidade da mesma para o deslocamento u+du. O trabalho incremental realizado


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3

pela força externa para mover o ponto material A da posição u até a posição u+du é dado

por,

1...

2dW Fdu dF du (1)

que ao desprezar os termos de ordem superior, obtém-se o incremento de trabalho de

“primeira ordem” como,

dW Fdu . (2)

Portanto, o trabalho total realizado pela força externa aplicada no ponto A é,

1

0

u

W Fdu (3)

Figura 2. Relação entre força de deslocamento para um ponto material.

O ponto B na Fig. 1 é a posição deslocada de equilíbrio do ponto A. Se ao ponto B se lhe

impõe imaginariamente um pequeno deslocamento na direção da força aplicada 1F para

ocupar a posição do ponto C , e supondo que o módulo e a direção da força permaneçam

constantes, então a força 1F realiza um trabalho o qual é chamado de trabalho virtual. O

deslocamento imposto arbitrariamente para mover o material do ponto B para o ponto C é

imaginário, não existe realmente, sendo infinitesimal é chamado de deslocamento virtual.

Na Fig. 2 e Fig. 1, u é o deslocamento virtual imposto e o trabalho virtual realizado pela

força real 1F é dado por,


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4

1W F u . (4)

2. O princípio dos trabalhos virtuais para corpos deformáveis

Este princípio é introduzido ao resolver um sistema deformável simples.

A Fig. 3 mostra um membro rígido articulado de comprimento L e suportado por duas molas,

uma translacional e outra rotacional, de rigidezes 1k e 2k , respetivamente. Assume-se que

as molas tem comportamento elástico linear. A estrutura suporta uma força P e um momento

M. A configuração deformada da estrutura é dada pelo ângulo e a configuração inicial

(sem carga) é definida por 0o . Na última configuração, ambas as molas estão relaxadas.

Por simplicidade, considera-se que o ângulo é muito pequeno.

Deseja-se determinar os trabalhos virtuais realizados pelas forças internas e externas quando

o membro é submetido a uma pequena rotação virtual como mostra a Fig. 3.

O que acontece ao somar ambos os trabalhos virtuais interno e externo?

Figura 3. Sistema linearmente elástico.

Ao impor a rotação virtual , o ponto A de aplicação da força P se deslocou para o ponto

B, como mostra a Fig. 3. Durante a imposição da rotação virtual, a força P manteve ambos

seu módulo e direção na vertical. Então, o trabalho virtual realizado por esta força é igual a

seu produto com o componente de deslocamento na direção vertical, dado pelo segmento


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5

AC. Como o deslocamento virtual na direção da força é ,L isto é porque é muito

pequeno, o trabalho virtual é PL .

O trabalho virtual realizado pelo momento externo M é M .

Ao somar os trabalhos virtuais realizados pela força P e o momento M, obtém-se o trabalho

virtual externo como,

EXTW PL M (5)

onde o sinal negativo vem da convenção de mecânica dos sólidos. Determinam-se a seguir

os trabalhos virtuais realizados pelas forças das molas.

Quando o sistema está em equilíbrio a mola translacional se alongou por uma distância igual

a L e sua força transmitida é 1k L . A mola é submetida ao deslocamento virtual ,L dado

pelo segmento AC na Fig. 3, e sua força realiza um trabalho virtual dado por 1( )k L L .

Além disso, como o torque desenvolvido pela mola rotacional em equilíbrio é 2k e a

rotação virtual imposta é , então o trabalho virtual realizado pelo torque da mola é

2( )k . Ao somar os trabalhos virtuais das molas translacional e rotacional obtém-se o

trabalho virtual interno como (por convenção de sinais estes trabalhos são positivos),

1 2( ) ( )INTW k L L k (6)

Se nós somamos os trabalhos virtuais interno, Eq. (6), e externo, Eq. (5), obtém-se o trabalho

virtual total do sistema como,

1 2

2

1 2

( ) ( )TOTALW k L L k PL M

k L k PL M

(7)

É possível reconhecer que o termo dentro dos parênteses da Eq. (7) é a soma dos momentos

em torno do ponto O do membro rígido visto como corpo livre, vide Fig. 3.


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6

Como o corpo está em equilíbrio, esta soma de momentos é zero e, consequentemente, o

trabalho virtual total também é zero. Este resultado é valido para qualquer rotação virtual

imposta diferente de zero com tal que seja uma quantidade infinitesimal.

Se os sinais negativos dos trabalhos virtuais das forças externas são removidos, na Eq. (5),

então, pode-se estabelecer que o trabalho virtual das forças internas é igual ao trabalho

virtual das forças externas,

INT EXTW W , (6)

ou

21 2k L k PL M (7)

A Eq. (6) é a declaração do princípio dos trabalhos virtuais para corpos deformáveis. A pesar

que este princípio tem sido verificado para um caso especial, sua validade pode ser

confirmada para qualquer tipo de estrutura. Segue a declaração formal deste princípio.

Se uma estrutura deformável está em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças

aplicadas, o trabalho virtual das forças internas é igual ao trabalho virtual das

forças externas para qualquer estado de deslocamento virtual admissível imposto à

estrutura.

Nesta declaração, os deslocamentos virtuais impostos devem ser admissíveis no sentido que

devem respeitar as condições de contorno da estrutura como será discutido mais para frente.

No sistema estudado acima, em vez de impor a rotação virtual se poderia ter imposto

um deslocamento virtual ao ponto A onde a força P é aplicada e o resultado seria o mesmo.

Por outro lado, se violaria a admissibilidade se um deslocamento virtual translacional tivesse

sido aplicado ao ponto O da articulação.

3. Trabalhos virtuais interno e externo em barras

A Fig. 4 mostra uma barra de seção transversal constante A e comprimento L, submetida a

uma carga distribuída q (em unidades de força por unidade de comprimento) e a uma carga

concentrada P. A deformação da barra é descrevida usando a coordenada axial x como se

mostra. A barra deformada possui um estado de tensão uniaxial (os efeitos das deformações


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7

transversais ao eixo da barra são desprezados). Pode-se considerar qualquer lei de

comportamento mecânico do material.

Figura 4. Estrutura de barra com estado de tensão uniaxial.

Na Fig. 5 se esboça o campo de deslocamento real da barra, ( )u x , que é em geral não linear

devido à presencia da carga distribuída. Também se esboçam os campos de deformação

axial, x , e de tensão axial, x , que também variam com a coordenada x. Adicionalmente,

na vizinhança da curva do deslocamento real u se esboça a curva do deslocamento variado

u , e a função de deslocamento virtual u é definido como

u u u . (8)

Figura 5. Campos de deslocamento, deformação e tensão da barra.


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8

Deseja-se determinar as expressões dos trabalhos virtuais interno e externo. Primeiro é

desenvolvido a expressão do trabalho virtual interno da barra.

A Fig. 6 mostra um elemento diferencial de barra nas suas três configurações: inicial (linha

sólida), deformada (linha tracejada) e virtual (linha ponteada). O elemento na sua

configuração inicial tem comprimento dx e área de seção transversal A. Ao aplicar o

carregamento, as faces dos lados esquerdo e direito do elemento se movem para a direita por

distancias dadas por u e u du , onde o primeiro e o último são os deslocamentos da barra

nas posições x e x+dx, respetivamente. Assim define-se a configuração deformada de

equilíbrio. Para obter a configuração virtual, as faces da esquerda e direita do elemento

deformado são submetidas aos deslocamentos virtuais u e ( )u d u , respectivamente,

os quais são dirigidos também para a direita. Sobre o elemento deformado se esboçam, nas

suas faces esquerda e direita, as tensões normais x e x xd dadas nas posições x e

x+dx, respectivamente.

Figura 6. Configuração virtual de um elemento diferencial de barra.

De acordo com a Fig. 6, as tensões normais x e x xd que atuam sobre a superfície

do elemento de barra realizam um trabalho líquido devido aos deslocamentos virtuais

impostos. Este trabalho líquido é o diferencial de trabalho virtual das forças internas dado

por,

( ) [ ( )]INT x x xd W d A u d u A u (9)

onde o sinal negativo do segundo termo é devido a que na face esquerda do elemento a tensão

e o deslocamento virtual são de sentidos opostos.


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9

A Eq. (9) é expressa como,

( ) ( )INT x x x x xd W u d u d u d d u u A

e ao cancelar os termos de segunda ordem, resulta

( )INT xd W d u A (10)

O termo ( )d u na última equação, ou o diferencial de deslocamento virtual u , é tratado a

seguir. O campo de deslocamento virtual u é uma função que depende de x e, como

qualquer outra função, obedece as regras do cálculo. Se ( )d u dx é a taxa de variação do

deslocamento virtual com a coordenada x na posição x da barra, então o diferencial de

deslocamento virtual é dado por,

( )( )

d ud u dx

dx

(11)

Introduzindo a Eq. (11) na Eq. (10), o diferencial de trabalho virtual das forças internas toma

a forma,

( )INT x

d ud W Adx

dx

(12)

Ao somar todos os diferenciais de trabalhos virtuais das forças internas, obtém-se o trabalho

virtual interno da barra devido ao campo de deslocamento virtual u dado por

0

( )LINT x

d uW Adx

dx

(13)

Em cálculo variacional na determinação de derivadas, os operadores de diferenciação e

variação “ ” são intercambiáveis. Assim, o termo ( )d u dx da Eq. (13) é substituído por

( )du dx . Por outro lado, assumindo que a barra tem pequenas deformações, a deformação

axial na posição x, x , pode ser definida como x du dx (a taxa de variação do

deslocamento u com a coordenada x). Isto conduz a ( ) xdu dx , onde x é a

deformação virtual. Portanto, a Eq. (13) é expressa como,

0

L

INT x xW Adx (14)


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10

Finalmente, como assumiu-se pequenas deformações para a barra, a lei de Hooke é

introduzida, x xE , e a Eq. (14) toma a forma, dada como função dos deslocamentos

somente,

0

( )LINT

d u duW E Adx

dx dx

(15)

A Eq. (15) é o trabalho virtual interno da barra expresso como função dos deslocamentos

reais e virtuais.

A seguir é discutido o trabalho virtual realizado pelas forças externas.

O elemento diferencial de barra da Fig. 6 suporta uma carga distribuída q , em unidades de

força por unidade de comprimento, a qual é substituída por uma carga concentrada com

módulo igual a qdx . Se o deslocamento virtual médio do corpo do elemento é assumido a

ser igual ao deslocamento virtual na posição da face esquerda do elemento, isto é na posição

x, ou seja u , então o trabalho virtual realizado pela carga distribuída no elemento é u qdx

. A soma dos trabalhos virtuais elementares fornece o trabalho virtual da carga distribuída

dada por 0

L

u qdx .

Por outro lado, a carga concentrada P aplicada no extremo livre da barra, no ponto M na

Fig. 4, também realiza um trabalho virtual. Se o deslocamento virtual no ponto M é Mu ,

então o trabalho virtual da carga P é Mu P .

O trabalho virtual das forças externas da barra, EXTW , é obtido ao somar os trabalhos

virtuais das cargas distribuída e concentrada, e é dado por,

0

L

EXT MW u qdx u P (16)


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11

4. Soluções aproximadas e escolha do campo de deslocamento virtual

A Fig. 7 mostra uma barra prismática com área de seção transversal variável dada por

1( ) (1 2 )A x A x L . O extremo esquerdo é fixo e o extremo direito é livre onde se aplica

uma força concentrada P. Define-se a coordenada axial x para descrever a deformação da

barra. Assume-se um comportamento elástico-linear para o material da barra com módulo

de elasticidade E. Um estado de tensão uniaxial é desenvolvido.

Figura 7. Barra de seção transversal variável.

Seja u(x) o campo de deslocamento axial da barra cuja equação diferencial de equilíbrio é

dada por,

( )( ) 0

d du xA x

dx dx

. (17)

A solução analítica da última equação é função não linear da coordenada x e contem termos

de logaritmo natural (se deixa como tarefa ao leitor obter a solução analítica). Os campos de

deformação e tensão também são funções não lineares de x.


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12

Deseja-se construir três campos aproximados de deslocamento os quais variam linearmente

com a coordenada x, onde cada um deles é obtido usando diferentes campos de deslocamento

virtual. O campo de deslocamento real (diferente que o virtual) da barra é 2( )u x L u , onde

2u é o deslocamento no extremo livre, tal campo é admissível porque em 0x fornece

0u . Este campo linear de deslocamento é uma aproximação e não satisfaz o equilíbrio em

todos os pontos da barra, como se pode ver ao substituir o mesmo na equação diferencial de

equilíbrio da Eq. (17).

Para obter a primeira solução, o princípio dos trabalhos virtuais é declarado usando como

campo de deslocamento virtual 2( )u x L u . Então, de acordo com a Eq. (15) e Eq. (16),

obtém-se,

2 2 0 20

1 1

2

L x xu E u A dx P u

L L L

(18)

ou

020,75

EAu P

L (19)

Analogamente, obtém-se a segunda solução usando como campo de deslocamento virtual

2

2( )u x L u ,

020,667

EAu P

L (20)

A terceira solução é obtida com 2sen 2u x L u ,

020,682

EAu P

L (21)

A Eq. (19), Eq. (20) e Eq. (21) relacionam a força com o deslocamento em um ponto da

barra, no extremo livre, e representam diferentes equações de rigidez da barra. Estas três

equações fornecem três valores diferentes para o parâmetro 2u os quais permitem obter três

soluções diferentes. Para comparação, a solução exata é dada por 0 20,721( )EA L u P .

Ao assumir como campo de deslocamento real a uma função linear, e consequentemente um

campo de tensão constante, que não são os exatos, é esperado que ao aplicar o princípio dos

trabalhos virtuais com diferentes campos de deslocamento virtual se obtenham soluções


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13

diferentes. Se deixa como tarefa ao leitor mostrar que ao assumir como campo de

deslocamento real à solução exata, e para qualquer escolha de campo de deslocamento

virtual, o princípio dos trabalhos virtuais sempre fornecerá a solução exata.

As soluções aproximadas obtidas via o princípio dos trabalhos virtuais não satisfazem o

equilíbrio em todos os pontos da barra e sim satisfazem o equilíbrio no sentido da média

ponderada através da estrutura.

Na construção de soluções aproximadas por meio dos trabalhos virtuais, diferentes campos

de deslocamento virtual fornecem soluções diferentes como se viu acima. Pergunta: então,

qual campo de deslocamento virtual deve ser usado ? O procedimento padrão é para adoptar

o campo de deslocamento virtual a ser da mesma forma que o de deslocamento real

assumido. Isto é vantajoso de um ponto de vista do cálculo computacional, como será

discutido no tópico de “Método dos Elementos Finitos” desta disciplina.

5. Análise por trabalhos virtuais de treliças estaticamente indeterminadas

A Fig. 8 mostra uma barra genérica de uma treliça nas suas três configurações, inicial,

deformada e variada. Como uma análise linear é considerada, a deformação da barra é

analisada sobre a linha que define sua configuração inicial, usando a coordenada local x. A

barra tem comprimento inicial L e área de seção transversal A. Qualquer lei de

comportamento mecânico de material é considerada.

Figura 8. Configurações inicial, deformada e variada de uma barra em análise linear.

Sistema local de coordenadas.


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14

A barra na sua configuração de equilíbrio está estirada por um alongamento e suporta

uma força de tração T . A força T se transmite ao longo da barra a qual tem tensão normal

constante em todos seus pontos dada por x T A . O deslocamento varia linearmente ao

longo da barra, de forma que em 0x tem-se que 0u e em x L , u . Os campos

de deslocamento e deformação são dados, respetivamente, por u x L e x L .

Deseja-se determinar o trabalho virtual realizado pelas tensões internas distribuídas ao longo

da barra ao impor um deslocamento virtual em seu extremo direito como mostra a Fig.

8. Para isso, a expressão do trabalho virtual interno da Eq. (14) é usada, repetida aqui por

conveniência,

0

L

INT x xW Adx (22)

Considerando que x T A e que x L , a última equação resulta,

0

L

INT

TW Adx

L A

T

(23)

Então conclui-se que o trabalho virtual realizado pelas tensões internas de uma barra de

seção transversal constante quando tracionada por forças concentradas em seus extremos, é

igual ao produto da sua força de tração axial T com o deslocamento virtual imposto

representado na Fig. 8.

5.1 Exemplo de discussão

A Fig. 9 mostra uma treliça composta de três barras com comportamento elástico-linear que

suporta uma carga P. As barras tem o mesmo módulo de elasticidade E e a mesma área de

seção transversal A. Esta estrutura é estaticamente indeterminada de grau 1. Usando o

princípio dos trabalhos virtuais, deseja-se determinar o deslocamento do pino O onde a carga

é aplicada.


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15

Figura 9. Treliça estaticamente indeterminada de grau 1.

Três passos são seguidos para a solução do problema.

i) Identificação dos graus de liberdade e configuração deformada

A treliça tem dois graus de liberdade, os dois componentes de deslocamento do pino O (um

horizontal e outro vertical), os quais devem ser resolvidos para determinar sua configuração

deformada. A Fig. 10 mostra o sistema global de coordenadas XY, e as configurações inicial

e deformada da treliça, a última traçada a partir dos deslocamentos u e v do pino O.

Figura 10. Configurações inicial e deformada, e sistema de coordenadas.


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16

ii) Forças reais das barras como função dos deslocamentos u e v

Como uma análise linear é considerada com pequenos deslocamentos e deformações, o

alongamento de cada uma das barras é determinado ao projetar a linha que define a

configuração deformada sobre a linha que define o estado inicial da barra, como já explicado

no tópico de “Análise de Treliças” desta disciplina.

A Fig. 11 mostra a deformação da barra 1, a qual está estirada, com seu alongamento dado

por 1 1 1cos senu v . Usando a lei de Hooke, x xE , a força da barra 1F é expressa

pelo produto da sua rigidez, 1

AE

L, vezes o alongamento 1 , assim

1 1 11

cos senAE

F u vL

(24)

Analogamente, a barra 2 também está estirada e sua força é,

2 2 22

cos senAE

F u vL

(25)

Figura 11. Deformação da barra 1.


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17

A Fig. 12 mostra o alongamento da barra 3, 3 3 3cos senu v , o sinal negativo do

primeiro termo é por causa de que o deslocamento u produz o encurtamento da barra, e sua

força é dada por,

3 3 33

cos senAE

F u vL

(26)

Figura 12. Deformação da barra 3.

iii) Aplicação de deslocamento virtual na direção X

Como tem-se dois graus de liberdade, que são os componentes de deslocamento do pino O

nas direções X e Y, é necessário deslocar virtualmente o pino O tanto na direção X quanto

na direção Y e o princípio dos trabalhos virtuais deve ser declarado separadamente para cada

deslocamento virtual imposto.

A Fig. 13 mostra a configuração de equilíbrio da treliça (linha sólida) e também sua

configuração variada (linha tracejada) obtida ao aplicar o deslocamento virtual na direção

do eixo X, isto é u .


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18

Figura 13. Deformação virtual da treliça para o deslocamento virtual u .

A Fig. 14 mostra as configurações de equilíbrio e variada da barra 1. Como o deslocamento

virtual imposto u é infinitesimal, o alongamento virtual da barra é 1cosu , isto é o

comprimento da linha AB. Assume-se que a barra em equilíbrio está tracionada pela força

1F como se mostra. De acordo com a Eq. (23), o trabalho virtual das tensões internas atuantes

na barra 1 é 1 1cosF u .

Figura 14. Configuração variada da barra 1.


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19

Analogamente, os trabalhos virtuais das tensões internas das barras 2 e 3 ao impor o

deslocamento virtual u são, respectivamente, 2 2cosF u e 3 3( )( cos )F u . O sinal

negativo deste último é por causa que a barra 3 sofreu um encurtamento virtual,

diferentemente que as barras 1 e 2 que foram alongadas virtualmente. Para a barra 3, os

sentidos da força 3F e do deslocamento virtual imposto são opostos.

O componente da força externa P na direção do deslocamento virtual imposto, cosP ,

também realiza um trabalho dado por cosP u .

Então, de acordo com o princípio dos trabalhos virtuais, ao impor o deslocamento virtual

u , os trabalhos virtuais das forças externas e internas devem ser iguais,

1 1 2 2 3 3cos cos cos cosP u F u F u F u (27)

Como u é uma quantidade escolhida arbitrariamente, o mesmo é cancelado da última

equação que toma a forma,

1 1 2 2 3 3cos = cos cos cosP F F F (28)

a qual é reconhecida a ser a equação de equilíbrio de forças do pino O na direção X.

Introduzindo as expressões para 1F , 2F e 3F (dadas por Eq. (24), Eq. (25) e Eq. (26)) na Eq.

(28), obtém-se,

1 1 2 21 2

1 2

3 33

3

cos sen cos sencos cos cos

cos sen cos

u v u vP AE

L L

u v

L

(29)

iv) Aplicação de deslocamento virtual na direção Y

Ao aplicar o princípio dos trabalhos virtuais para v , obtém-se (deixa-se como tarefa ao

leitor sua demonstração),

1 1 2 2 3 3sen = sen sen senP v F v F v F v (30)

ou

1 1 2 2 3 3 sen = sen sen senP F F F (31)


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20

que é equação de equilíbrio do pino O na direção Y.

Introduzindo as expressões para 1F , 2F e 3F (dadas por Eq. (24), Eq. (25) e Eq. (26)) na Eq.

(31), obtém-se,

1 1 2 21 2

1 2

3 33

3

cos sen cos sen sen sen sen

cos sen sen

u v u vP AE

L L

u v

L

(32)

v) Determinação de deslocamentos

A Eq. (29) e Eq. (32) relacionam linearmente aos deslocamentos u e v os quais são obtidos

por solução simultânea destas equações. Com estes deslocamentos obtêm-se as forças das

barras 1F , 2F e 3F usando, respetivamente, a Eq. (24), Eq. (25) e Eq. (26), e as tensões

usando a lei de Hooke.

6. Análise de vigas por trabalhos virtuais

6.1 Trabalho realizado pelas tensões internas

Dada uma viga em equilíbrio sob a ação de um sistema de cargas transversais. Cargas axiais

não são consideradas. A viga é submetida a pequenas deformações e deslocamentos, e seu

material tem um comportamento elástico-linear. Adopta-se a teoria clássica de vigas de

Euler-Bernoulli.

A Fig. 15 mostra três configurações para a viga: inicial, deformada e variada, todas referidas

ao sistema global de coordenadas xy. A configuração inicial é uma linha reta que coincide

com o eixo x, e a configuração deformada é dada pelo campo de deslocamentos ( )v x . A

configuração variada ( )v x é,

( ) ( ) ( )v x v x v x (33)


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21

onde ( )v x é o campo de deslocamento virtual.

Deseja-se determinar o trabalho realizado pelas tensões internas distribuídas ao longo da

viga ao impor o campo de deslocamento virtual ( )v x o qual deverá se admissível.

Figura 15. Deformação virtual de um elemento diferencial de viga de Euler.

A Fig. 15 mostra também um elemento diferencial de viga nas suas três configurações,

novamente, inicial, deformada e variada. O deslocamento, rotação e momento fletor na

posição x da viga, ou na face esquerda do elemento, são: v , dv dx e M, respetivamente,

e as mesmas na posição x dx , na face direita do elemento: v dv , d e M dM . As

rotações virtuais das faces esquerda e direita do elemento diferencial são, e ( )d

.

As tensões internas que atuam na face esquerda do elemento diferencial são substituídas pelo

momento fletor M, este último realiza um trabalho virtual dado por M . O trabalho

virtual realizado pelo momento que atua na face direita do elemento é ( )M d .

Então, o trabalho virtual líquido realizado pelas tensões que atuam no elemento diferencial

de viga é ( )M d M , ou,


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22

2

2

( ) ( )

( )

M d M M d

dM dx

dx

d dvM dx

dx dx

d vM d dx

dx dx

d vM dx

dx

(34)

Ao somar todos os trabalhos virtuais elementares realizado pelas tensões da viga, obtém-se

o trabalho virtual interno como,

2

20

( )LINT

d vW M dx

dx

(35)

Introduzindo a equação de momento fletor de resistência dos materiais, 2 2EI d v dx M , a

última equação torna-se,

2 2

2 20

( )LINT

d v d vW EI dx

dx dx

(36)

que é o trabalho virtual interno de uma viga de Euler com pequenos deslocamentos e

deformações, expresso em função dos deslocamentos reais e virtuais.

Para que a continuidade de deslocamento seja garantida, ambos o deslocamento v e rotação

dv dx devem ser funções continuas. O mesmo também é valido para o deslocamento virtual

v e rotação virtual ( )d v dx , os quais devem ser também funções continuas. Para que o

campo de deslocamento v seja admissível, este deve satisfazer as condições de contorno

dadas a prescrever v e dv dx . Diferentemente, para que os campos de deslocamento virtual,

v e ( )d v dx , sejam admissíveis, estes devem valer zero onde há prescrição de

deslocamentos.

6.2 Exercício de aplicação


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23

A Fig. 16 mostra uma viga bi-engastada que suporta uma carga distribuída de intensidade

( )q x , em unidades de força por unidade de comprimento, e a força concentrada 1F . Construa

uma solução aproximada usando o princípio dos trabalhos virtuais.

Figura 16. Viga bi-engastada.

A seguinte solução para a deflexão da viga é assumida,

2cos 1

xv A

L

(37)

onde A é uma constante a ser determinada. A rotação da viga dv dx é obtida ao derivar a

última equação,

2 2sen

dv xA

dx L L

(38)

Os campos de deslocamentos dados pela Eq. (37) e Eq. (38) satisfazem as condições de

contorno da viga, isto é 0v e 0dv dx em ambos 0x e x L , portanto, a solução v

é admissível.

A Fig. 17 é o gráfico da Eq. (37) na forma adimensional, isto é v A como função de x L

. A curva de deflexão da viga é aproximada por uma função cossenoidal simétrica em torno

de 2x L .


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Figura 17. Perfil da solução assumida.

Os campos de deflexão virtual v e rotação virtual ( )d v dx , são obtidos, respetivamente,

ao aplicar o operador variacional à Eq. (37) e Eq. (38), dados por,

2cos 1

xv A

L

(39)

( ) 2 2sen

dv d v xA

dx dx L L

(40)

onde A indica uma variação infinitesimal do parâmetro A. Observa-se que v e ( )d v dx

em 0x , e também em x L , são zero, tal como requerido pelo princípio dos trabalhos

virtuais (os deslocamentos virtuais devem ser zero onde há prescrição de deslocamento).

A Eq. (37) é uma aproximação da curva de deflexão da viga a qual é definida por um único

parâmetro, o parâmetro A. Por isso se diz que esta aproximação tem um grau de liberdade.

Por outro lado, para definir a curva de deflexão exata da viga é necessário conhecer os

deslocamentos verticais de todos seus pontos, e como a viga tem infinitos pontos materiais

a mesma tem infinitos graus de liberdade. O que se está fazendo aqui é substituir um sistema


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com infinitos graus de liberdade por outro com um único grau de liberdade. Como o

parâmetro A define a configuração da viga, este representa um grau de liberdade e é

chamado de coordenada geralizada. Uma variação infinitesimal do parâmetro A, isto é A

, é o deslocamento geralizado.

Ao aplicar o princípio dos trabalhos virtuais obtém-se,

1

2 2

12 20 0

( )

INT EXT

L L

x x

W W

d v d vEI dx F v v qdx

dx dx

(41)

onde o lado esquerdo é dado pela Eq. (36). O lado direito desta equação contém dois termos,

um deles é o trabalho realizado pela força concentrada 1F ao impor em seu ponto de

aplicação o deslocamento virtual 1x x

v

, e o outro é o trabalho virtual da carga distribuída.

A Eq. (41) é escrita como, ao introduzir as expressões para 2

2

d v

dx e

2

2

( )d v

dx

as quais são

obtidas ao derivar a Eq. (38) e Eq. (40), e ao avaliar a Eq. (39) em 1x x para obter 1x x

v

,

2 2

11

0

0

22 2 2 2cos cos cos 1

2 cos 1

L

L

xx xA EI A dx F A

L L L L L

xA qdx

L

(42)

A última equação toma a seguinte forma, ao eliminar A sendo uma quantidade arbitrária

diferente de zero,

4 2

11

0 0

22 2 2cos cos 1 cos 1

L Lxx xA EI dx F qdx

L L L L

(43)

de onde, finalmente, o parâmetro A é obtido e assim também a solução aproximada.

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