FUNÇÕES - Unesp€¦ · a relação inversa da função exponencial = Os gráficos de =log𝑎 quando variamos os valores da base >1 são: Note que sempre que =1 log𝑎 =0, assim

MATEMÁTICA I

FUNÇÕES

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

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Conteúdo

• Função

• Variáveis

• Traçando Gráficos

• Domínio e Imagem

• Família de Funções

• Funções Polinomiais

• Funções Exponenciais

• Funções Logarítmicas

• Funções Trigonométricas

Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem

como uma quantidade depende de outra.

• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o

termo função para indicar a dependência de uma quantidade em

relação a uma outra, conforme a definição a seguir.

DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x

de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor

de y, então dizemos que y é uma função de x.

• Três maneiras usuais de representar funções são:

• Numericamente com tabelas

• Geometricamente com gráficos

• Algebricamente com fórmulas

FUNÇÕES

Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a

ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse

modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos

ou tabelas.

• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que

estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com

a matéria seca

Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio no solo)

• Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para a planta que

atua no processo do substrato

DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única

saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é

denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).

FUNÇÕES

• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada

valor de 𝑓 em x, ou imagem de x por 𝑓.

• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,

digamos y, e escrevemos

𝒚 = 𝒇(𝒙)

A variável x é denominada variável independente ou

argumento de 𝑓

A variável y é denominada variável dependente de 𝑓.

o Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre

para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o

valor correspondente de y está determinado.

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

Se 𝑓 for uma função de uma variável real a valores reais, então o

gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o gráfico da

equação y = ƒ(x).

• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da

equação y = x



Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre

uma função.

• Por exemplo, como o gráfico de uma função 𝑓 no plano 𝑥𝑦 é

o gráfico da equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), os pontos do gráfico são da

forma 𝑥, 𝑓 𝑥

• ou seja, a coordenada 𝑦 de um ponto do gráfico de 𝑓 é o

valor de 𝑓 na coordenada 𝑥 correspondente


Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as coordenadas

𝑥 dos pontos nos quais o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝒙.

• Esses valores são denominados

• zeros de 𝑓

• raízes de 𝑓(𝑥) = 0

• pontos de corte de 𝑦 = 𝑓(𝑥) com o eixo 𝒙.



FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS

O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo,

assim como na Álgebra e na Trigonometria.

• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são

definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo

𝑥 e o eixo 𝑦.

𝒙

𝒚


A um par (𝑎, 𝑏) de números associamos o ponto 𝑃 localizado na

interseção da reta perpendicular ao eixo 𝑥 em 𝑎 e a reta

perpendicular ao eixo 𝑦 em 𝑏.

• Os números 𝑎 e 𝑏 são as coordenadas 𝑥 e 𝑦 de 𝑃.

• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).


Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados

de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas.

• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (𝑥, 𝑦) tais

que 𝑥 < 0 e 𝑦 < 0.


FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

Se 𝑥 e 𝑦 estão relacionados pela equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), então:

• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de 𝑥)

é denominado domínio de 𝑓.

• o conjunto de todas as saídas (os valores de 𝑦) que

resultam quando 𝑥 varia sobre o domínio é denominado

imagem de 𝑓.

Exemplo 1. Se 𝑓 é a função definida pela tabela ao abaixo,

então:

• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}

• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.


Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem

restrições sobre as entradas permissíveis de uma função.

Exemplo 2. Se 𝑦 denota a área de um quadrado de lado

𝑥, então essas variáveis estão relacionadas pela equação

𝑦 = 𝑥2.

Embora essa equação produza um único valor de 𝑦

para cada número real 𝑥 , o fato de que os

comprimentos devem ser números não-negativos

impõe a exigência que 𝑥 ≥ 0.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0


Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função.

• Por exemplo, se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é a área de um quadrado de lado x,

então podemos escrever

𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑥 ≥ 0

para indicar que tomamos o domínio de 𝑓 como sendo o conjunto

dos números reais não-negativos


Quando uma função está definida por uma fórmula matemática,

a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas

permissíveis.

Exemplo 3.

se 𝑦 =1

𝑥, então 𝑥 = 0 não é uma entrada válida, pois

divisão por zero não está definida.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0

se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de 𝑥 não são entradas

válidas, pois produzem valores imaginários de 𝑦.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0


O domínio e a imagem de uma função f podem ser

identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os eixos

coordenados


FAMÍLIA DE FUNÇÕES

As funções são, frequentemente, agrupadas em

famílias de acordo com a forma das fórmulas que

as definem ou outras características comuns.

O gráfico de uma função constante

𝑓(𝑥) = 𝑐

é o gráfico da equação y = c, que é a

reta horizontal.

Se variarmos c, obteremos um

conjunto ou uma família de retas

horizontais.

FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS

Uma função linear é uma função do tipo

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais

O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como

𝑓 0 = 𝑏, o gráfico intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑏).

Usamos os símbolos Δ𝑥 e

Δ𝑦 para denotar a

variação (ou incremento)

em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥 ao longo

do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .

FUNÇÃO LINEAR

FUNÇÃO LINEAR

Uma função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento

constantes. Assim, qualquer mudança na variável independente causa uma mudança

proporcional na variável dependente.

Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,

• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a

direita, ou seja, será uma função crescente;

• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a

esquerda, ou seja, será uma função

decrescente;

• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou

seja, será uma função constante;

𝑓 𝑥

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥

𝑓 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

FUNÇÃO LINEAR

Observações

• Se mantivermos 𝑏 fixo e tratarmos 𝑚

como um parâmetro, obteremos uma

família de retas cujos membros têm,

todos, o mesmo corte em 𝑏 com o eixo 𝑦.

• Se mantivermos 𝑚 fixo e tratarmos 𝑏

como um parâmetro, obteremos uma

família de retas paralelas cujos

membros têm, todos, a mesma

declividade 𝑚.

FUNÇÃO LINEAR

OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS

FUNÇÕES LINEARES

Não confunda 𝒎 com 𝜽:

Considere o gráfico abaixo:

𝜃

𝑃

O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑟 e

pelo ponto 𝑃.

• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da

reta tangente e é o valor do seu

coeficiente angular. Assim,

𝑚 = tg 𝜃

• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o

coeficiente angular da reta é:

𝑚 = tg 60° = 3

𝑄

𝑟

𝑥

𝑦

FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Uma função quadrática é uma função definida por um

polinômio quadrático

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.

O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola

A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante

𝑎 for positivo 𝑎 > 0 .

A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .

O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula

quadrática ou de Bhaskara.

O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais

𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0

−𝑏 ± Δ

2𝑎


Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode

ser fatorado como

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2

Exemplo 4. Escreva a função abaixo na forma fatorada.

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1

Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = tem 𝑎 = 2, 𝑏 = −3 e 𝑐 = 1, seu

discriminante é:

Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 32 − 4 ∙ 2 ∙ 1 = 9 − 8 = 1 > 0

pela fórmula quadrática, suas raízes são

raízes de 𝑓 𝑥 =−𝑏 ± Δ

2𝑎=

− −3 ± 1

2 2=

3 ± 1

4

assim, 𝑟1 =3+1

4=

4

4= 1 e 𝒓𝟐 =

3−1

4=

2

4=

𝟏

𝟐

Portanto 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 2 𝑥 − 1 𝑥 −𝟏

𝟐


FUNÇÕES POLINOMIAIS

Para todo número real 𝑛, a função

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛

é denominada função potência de expoente 𝑛.

Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de

expoentes naturais.

Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥

Gráfico da função

𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥


OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio, pois inclui uma

função potência 𝑥−1 de expoente negativo.

O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

e é denominado função polinomial de grau 𝑛.

Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados

coeficientes.

O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).

O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.

O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.


Note que:

A função

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏

é uma função polinomial de grau 1, sendo:

𝑎1= 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.

A função

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

é uma função polinomial de grau 2, sendo:

𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.


FUNÇÕES EXPONENCIAIS

A função

𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥

onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.

Alguns exemplos são

A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se

𝑏 < 1.

1 1



FUNÇÕES LOGARITMICAS

Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base

𝑎 é:

denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥

a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥

Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base

𝑎 > 1 são:

Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de

todas as funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:

Exemplo 5. Calcule log2 80 − log2 5


Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os

logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.

O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo

natural e tem uma notação especial:

𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙

Propriedades

1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥

2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ

3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0

4) ln 𝑒 = 1

5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑎


FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois

sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.

Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre

ângulos e rotação.

Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar

ângulos e rotação.


• Cada ângulo tem uma medida em

radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.

• Com essa escolha, o ângulo

𝜃 subentende um arco de comprimento

𝜃 ∙ 𝑟 num círculo de raio r.


• Para converter:

• Radianos em graus: multiplique por 180

𝜋

• Graus em radianos: multiplique por 𝜋

180

• Exemplo 6. Converta:

(a) 55𝑜 em radianos.

Solução: 55o ×𝜋

180≅ 0,9599 rad

(b) 0,5 rad em graus.

Solução: 0,5 rad ×180

𝜋≅ 28,648o

Radianos Graus

0 0o

𝜋

6 30o

𝜋

4 45o

𝜋

3 60o

𝜋

2 90o


As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em

termos de triângulos retângulos.

Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e

denotemos os lados

então


Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao

ângulo 𝜃

então

cos 𝜃 = coordenada x de P

sen 𝜃 = coordenada y de P

Note que:


Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e

sen 𝜃.

Tabulando esses dados, temos que:


Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃

O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é gerado quando o ponto percorre o

círculo unitário.

O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é a conhecida “onda senoidal”

ou, simplesmente, “senóide”


Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃

O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da

seno, mas é transladado 𝜋

2 unidades para a esquerda.

Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto

P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )

do círculo unitário muda de quadrante


Função Periódica

Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se

𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 (para cada 𝑥)

e 𝑇 é o menor número positivo com essa propriedade.

As funções seno e cosseno são periódicas com período

𝑇 = 2𝜋

Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de

2𝜋𝑘 correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário




Identidades Trigonométricas




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