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Gabarito da Prova de Cálculo aplicada aos candidatos para o PPGMNE 2012.
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Gabarito da Prova de Clculo - Exame de Seleo PPGMNEProf. Guilherme Augusto Pianezzer
Questo 1) Resolva os seguintes limites, justicando cada tcnica: x1 A) x1 limx10 O limite acima apresenta uma indeterminao do tipo 0 , portanto pode-se utilizar a regra de l'Hpital para resolv lo. Tambm possvel multiplicar o numerador e o denominador da frao dada pelo conjugado de x 1: x + 1, e aps isto dividir pelo monmio (x 1), tendo assim:
x1
lim
1 x1 x1 1 = = lim = lim x1 (x 1)( x + 1) x1 x1 2 x+1
Removendo a indeterminao. Outras resolues tambm so possveis.
B) x( lim
1 cos x)x . x 1 1 lim ( cos x)x = lim ( x cosx x). = 0, x x x
x
Pois, x , quando x , tende a 0 e cosx x, quando x indeterminado, mas limitado no intervalo [1, 1]. x Logo, o produto destas duas funes no uma indeterminao, zero.
1
C) x0 lim
tan x x sin x , ento podemos reescrever o limite dado como: cos xx0
Como tan x =
lim
sin x 1 sin x = lim lim = 1 1, xcosx x0 x x0 cosx
Pois, lim
sin x 1 = 1 um limite fundamental e lim no uma indeterminao. x0 x x0 cos x
Questo 2) Utilizando a denio de derivada, mostre que: A) Sendof (x) = sin x,
ento
f (x) = cos x
Diz-se que a derivada de uma funo f (x) f (x), onde:f (x) = lim f (x + x) f (x) x
x0
Para o caso em que f (x) = sin x:f (x) = lim sin(x + x) sinx x
x0
Como sin (x + x) = sin x cos x + sin x cos x, ento, evidenciando sin x temos:f (x) = lim sin x.(cos x 1) + sin x. cos x cos x 1 sin x = lim sin x lim + lim lim cos x = cos x x0 x0 x0 x x0 x x
x0
1
Pois lim
x0
(cos x 1) sin x e lim so limites fundamentais iguais a 0 e 1, respectivamente. x0 x x
B) Sendo
h(x) = f (x) g(x),
ento
h (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) h(x + x) h(x) x0 x
h (x) = lim
Para o caso em que h(x) = f (x)g(x):h (x) = lim f (x + x)g(x + x) f (x)g(x) x
x0
Somando e subtraindo convenientemente f (x + x)g(x) e agrupando os termos:h (x) = lim g(x)(f (x + x) f (x)) f (x + x)(g(x + x) g(x)) + lim x0 x0 x x
Por m, chega-se ao resultado identicando cada termo.
Questo 3) Teorema do Valor Mdio: Seja f uma funo contnua em existe um nmero c no intervalo (a, b) tal que:f (c) = f (b) f (a) ba
[a, b]
e derivvel em
(a, b).
Ento
A) Demonstre o Teorema do Valor Mdio.Dados 2 pontos de f, P (a, f (a)) e Q(b, f (b)), podemos construir a equao da reta, h(x), que passa por esses pontos, dada por:y = f (a) + f (b) f (a) (x a) = h(x) ba
Como h(x) nem sempre igual a f(x) existe uma diferena entre seus resultados que pode ser expressa como g(x), onde:g(x) = h(x) f (x)
Sobre g(x) constata-se que: (i) g(x) uma funo contnua em [a,b], pois f(x) contnua por denio em [a,b] e h(x) uma reta. (ii) g(x) uma funo derivvel em (a,b), pois g(x) derivvel por denio em (a,b) e h(x) uma reta. (iii) g(a) = g(b) = 0, pois para x = a ou para x = b, h(x) = f(x). Portanto g(x) satisfaz o Teorema de Rolle, que diz que existe, neste caso, algum ponto c no intervalo [a,b] tal que g (c) = 0. Mas, g(x) = h(x) - f(x), portanto:g(x) = f (a) + f (b) f (a) (x a) f (x) e ba
g (x) =
f (b) f (a) f (x), de onde existe c no intervalo [a,b], tal que ba f (b) f (a) f (c) = 0. Que por m nos leva a ba f (c) = f (b) f (a) ba
g (c) =
2
B) Um carro ao passar por um radar em uma estrada tem sua velocidade registrada em 75 km/h Depois de trafegar por 30 minutos, o mesmo carro passa por um segundo radar, 60 km a frente, que registra a velocidade de 80 km/h. Sabendo que velocidade mxima permitida nessa via de 80 km/h, argumente matematicamente por qual motivo voc poderia mult-lo.Percebe-se que o motorista trafegou a uma velocidade mdia de 120 km/h, pois, segundo o problema, deslocou-se em 30 minutos, 60 km. Isso signica que, de acordo com o TVM, existiu algum momento que o carro esteve a velocidade de 120 km/h, infringindo o limite da via.
(7 pontos) Se
y = f (x)
denida implicitamente por
x2 y 2 + x sin y = 0,
determinar y .
Derivando a expresso em relao a x, temos:d d 2 2 (x y + x sin y) = (0) dx dx
Utilizando a regra da cadeia e a regra do produto:2xy 2 + x2 2yy + sin y + xy cos y = 0
Colocando y' em evidncia e arranjando os termos:y (2x2 y + x cos y) = (2xy 2 + sin y) e portanto y = (2xy 2 + sin y) . 2xy 2 + x cos y
Questo 5 Seja
f (x) = ln (1 + x), x > 1.
Determine a derivada n-sima da funo dada.(x) = (1)3.2. 1 (1 + x)4
Sendo f (x) = ln (1 + x), f (x) =
1 1 1 , f (x) = (1). , f (x) = 2 ,f 2 (1 + x) (1 + x) (1 + x)3 f n (x) = (1)n1 . (n 1)! ,para n > 1. (1 + x)n
Questo 6 Uma agncia de turismo est organizando um servio de barcas, de uma ilha situada a A km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista B km. Se a barca tem uma velocidade de vbarca km/h e os carros tm uma velocidade mdia de vcarro km/h (vcarro > vbarca ), onde dever estar situada a estao das barcas a m de tornar a viagem a mais rpida possvel? Escreva sua resposta em termos de A, B , vbarca e vcarro .O objetivo tornar a viagem a mais rpida possvel, o que signica minimizar o tempo total da viagem, onde:ttotal = tgua + tT erra
Sendo I o ponto que dene a posio da ilha, C a cidade, E a estao das barcas e P o ponto de interseco entre a reta que contm a distncia B e a reta que contm a distncia A. Chama-se a distncia EP de x. Do tringulo retngulo IP E chega-se, atravs do teorema de pitgoras e pela denio de Velocidade Mdia em: ttotal = A2 + x 2 Bx + vAgua vT erra
Para minimizar o tempo total de viagem devemos ter
d ttotal = 0, o que nos leva a: dx
3
1 2x = 0, 2 + x2 vT erra 2vAgua A x (A2 + x2 ) = vAgua , vT erra
2 2 2 x2 vT erra = vAgua A2 + VAgua x2 , 2 VAgua A2 2 2 VT erra VAgua
x2 =
,
x=
vAgua A2 VT erra 2 VAgua
,
E portanto E deve estar localizada a (B x) = B
vAgua A2 2 VT erra VAgua
u.d. da cidade.
Questo 7 Pede-se: A) Sendo f (x) e g(x) duas funes derivveis no intervalo I. Deduza o mtodo de integrao por partes.Temos que:(f (x).g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x),
equivalente a:f (x)g(x) = (f (x)g(x)) f (x)g (x).
Integrando ambos os lados obtm-se:f (x)g(x)dx = f (x)g(x) f (x)g (x)dx.
B) Calcular
sin3 xdx.
(As constantes sero omitidas das integraes intermedirias para reaparecer no nal.)sin3 xdx. = sin2 x sin xdx.
Escolhendo f (x) = sin xdx, ento f (x) = cos x. Escolhendo g(x) = sin2 x, ento g (x) = 2 sin x cos xdx e pelo mtodo de integrao por partes:sin3 xdx. = sin2 x cos x + 2 cos2 x sin xdx
E por mudana de variveis:sin3 xdx. = sin2 x cos x 2 cos2 x +K 3
4
Questo 8 Calcular a seguinte integral:3
I=2
2x3
2x2 4x 2 dx + x2 2x 1
O polinmio do denominador possui razes 1, -1 e -1/2 . E pela decomposio de funes racionais por fraes parciais podemos fazer:A B C x2 2x 1 = + + 1 . 3 + x2 x 1/2 (x 1) (x + 1) (x + 2 ) x 2
Onde A, B, C so constantes que devem ser encontradas. Chega-se a:1 1 A(x + 1)(x + ) + B(x 1)(x + ) + C(x 1)(x + 1) = x2 2x 1 2 2
De onde, escolhendo x = -1 encontra-se o valor de B, x = 1 o valor de A e x = - 1/2 o valor de C. Logo,3
I=2
[
2 1 2 + ]dx 3(x 1) (x + 1) 3(x + 1/2)
I = [
2 ln (x 1) ln(x + 1/2) 3 + 2 ln (x + 1) ]|2 3 3
Substituindo os limites de integrao chega-se ao seguinte resultado:I= 2 ln 2 ln 7/2 ln 5/2 2ln3 + 2ln4 + 3 3 3
5