7/24/2019 Gabarito - Semana 09 - UnB

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Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica

Calculo III

Lista de Exerccios Gabaritos Semana 09 2.o/2007

1) Seja R a regiao limitada pelas retas x+y = 1, x+y = 4, x

y =

1 e x

y = 1. Seja ainda

g(u, v) = 12(u + v, u v) uma mudanca de coordenadas e R a regiao tal que R = g(R).a) Esboce as regioes R e R.

Resposta: ver figuras ao lado.

b) Calcule a integral

R(x+y)2 e(xy) dxdy

usando a mudanca de coordenadas g(u, v).

Resposta: (21/2)(e e1).1

0

1

1 2 3 4

R

0

1

2

1 2

R

2) O valor da integral

ex

2

dx e importante no estudo da distribuicao normal, e pode sercalculado usando coordenadas polares. Nesse sentido, sejam Da o disco de raio a e Qa o quadradoQa= [

a, a]

[

a, a].

a) Calcule a integral da funcao e(x2+y2) sobre Da usando coordenadas polares.

Resposta: (1 ea2).b) Calcule em seguida o limite lima

Da

e(x2+y2) dxdy.

Resposta: .

c) Usando quee(x2+y2) = ex

2

ey2

, verifique que

Qae(x

2+y2) dxdy =aae

x2 dx2

.

Resposta: basta fazer as integrais iteradas correspondentes.

d) Pode-se mostrar que o limite obtido no item b) e igual ao limite lima

Qae(x

2+y2) dxdy.

Calcule o valor da integral

ex

2

dxusando essa informacao e o item anterior.

Resposta:.3) Considere uma chapaCRlimitada pela circunferencia x

2 + y2 =R2, com densidade constante0,uma partcula de massam0situada no ponto (0, 0, b) e o problema de determinar a forca de atracaogravitacional entre esses corpos. Nesse sentido, denote porG a constante universal de gravitacao epor dF(x, y) a forca de atracao entre a partcula e o elemento de massadm(x, y) =0 dxdydo ponto(x, y). Observe que, por simetria da chapa, as componentes horizontais de dF(x, y) e dF(x, y)se cancelam mutuamente, restando apenas as componentes verticais dessas forcas.

a) Use a lei de Newton para calculardF(x, y). Em seguida, determinedF(x, y) usando que dF(x, y) =dF(x, y) U(x, y), em que U(x, y) eo vetor unitario na mesma direcao do vetor de ponto inicial(0, 0, b) e

ponto final (x,y, 0).

Resposta:dF(x, y)= Gm0dm(x, y)

(x2 + y2 + b2) eU(x, y) =

(x,y, b)(x2 + y2 + b2)

.

b) Do item anterior, conclua que acomponente verticaldFv(x, y) de dF(x, y) e dada por

dFv(x, y) = G m0 dm(x, y) b (x2 + y2 + b2)(3/2).c) Calcule a forca de atracao entre CR e a partcula usando o item anterior e um argumento

infinitesimal.

Resposta: 2Gm00[b(R2 + b2)1/2 1].

d) Passando o limite com R

, verifique que a forca de atracao entre a partcula e todo o

plano Oxy, com densidade constante 0, e independente da distanciab da partcula ao plano.Resposta:2Gm00.

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4) Considere um sistema de coordenadasOxyz sobre a superfcie da Terra em que x, y e zsao medidos em metros e o eixo Oz determina a altitude. Nesse sistema, considere a regiaoQ= [0, 1] [0, 1] [0, 1000] com densidade (x,y ,z) = 1, 225 1, 13 104 z kg/m3.

a) Calcule a massaM de Q.

Resposta: M= 2337/2.

b) Determine o centro de massa (x,y,z) de Q, e justifique o fato de que z