gabarito_p1_calc4_2014_1

Instituto de Matemtica - IM/UFRJClculo Diferencial e Integral IV - MAC248

Gabarito primeira prova - Escola Politcnica / Escola de Qumica - 01/04/2014

Questo 1: (3 pontos)

(a) [1 ponto] Dizer se a srie+n=1

1n(n+1) converge ou diverge. No caso da srie convergir, calcular o

valor da soma.

(b) [1 ponto] Dizer se a srie+n=0

(3)n+1pin

converge ou diverge. No caso da srie convergir, calcular ovalor da soma.

(c) [1 ponto] Considere a sequncia {an}nN satisfazendo limn+ |an| = pi. Determinar o raio deconvergncia da srie de potncias

+n=0

anxn

n! .

Soluo:

(a) Observamos que 1n(n+1) 1n2 , n 1. Alm disso

+n=1

1n2 converge j que uma psrie

de Riemann com p = 2 > 1. Portanto, deduzimos do teste de comparao que+n=1

1n(n+1)

converge.Para calcular a soma, observamos que 1

n(n+1) =1n 1

n+1 . Logo,

SN =Nn=1

1n(n+ 1) =

Nn=1

1n

N+1n=2

1n= 1 1

N + 1 N+ 1 =+n=1

1n(n+ 1) .

(b) Observamos que+n=0

(3)n+1pin

= 3 +n=0

(3pi

)n, o que corresponde a uma srie geomtrica de

razo 3pi. Como

3pi

< 1, essa srie converge e a sua soma dada por+n=0

(3)n+1pin

= 3 11 + 3pi

= 3pi3 + pi .

(c) Usaremos o teste da razo. Se bn(x) = anxn

n! , temos, para todo x R,

limn+

|bn+1(x)||bn(x)| = limn+

|an+1||an|

|x|n+ 1 =

pi

pi|x| lim

n+1

n+ 1 = 0 .

Portanto a srie converge absolutamente para todo x R; logo seu raio de convergncia R = +.

Questo 2: (2.5 pontos)

(a) [2 pontos] Usar o mtodo de solues por sries de potncias para resolver o seguinte problemade valor inicial: y(x) + 2x y(x) + 2y = 0,y(0) = 1, y(0) = 0.Determinar o domnio de definio da soluo y(x).

(b) [0.5 ponto] Calcular limx+ y(x).

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Clculo Diferencial e Integral IV - MAC248Gabarito primeira prova - Escola Politcnica / Escola de Qumica - 01/04/2014(continuao)

Soluo:

(a) Primeiramente observamos que x = 0 um ponto ordinrio para a equao diferencialy + 2x y + 2y = 0. De fato, p = 2x e q = 2 so polinmios e portanto, so funesanalticas em x = 0, ambas com raio de convergncia infinito. Assim, procuraremos asoluo do problema usando a representao de y como uma srie de potncias em tornodo ponto x = 0, a qual tambm estar definida para todo x R.Lembramos que valem as igualdades:

y(x) =+n=0

anxn, y(x) =

+n=1

nanxn1 e y(x) =

+n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2xn . (1)

Usando as condies iniciais do problema e as relaes acima, obtemosy(0) = a0 = 1 e y(0) = a1 = 0. (2)

Substituindo as 3 relaes em (1) na equao diferencial obtida a seguinte igualdade:+n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2xn + 2+n=1

nanxn + 2

+n=0

anxn = 0. (3)

Agrupando convenientemente os termos da srie (3) tem-se

2a2 + 2a0 ++n=1

[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + 2(n+ 1)an

]xn = 0,

de onde decorre a seguinte relao de recorrncia:a2 + a0 = 0 a2 = a0, (4)(n+ 2)(n+ 1)an+2 + 2(n+ 1)an = 0 an+2 = 2an

n+ 2 , n 1. (5)Agora procedemos com o clculo dos termos de ordem par. Notamos o seguinte padroprocedente da recorrncia (4) - (5):

a2 = a0 = 1, a4 = 2a24 =12 , a6 =

2a46 =

12 3 , . . . , a2 = (1)

1 ! , N.

Por outro lado, como a1 = 0, todo os termos de ordem mpar sempre se anulam de acordocom a recorrncia (4) - (5), ou seja, a2+1 = 0 para todo N.Pondo as relaes encontradas para a2 e a2+1 na primeira expresso de (1) obtemos quea soluo do problema dada pela srie de potncias

y(x) =+=0

(1) ! x

2, x R. (6)

(b) Lembramos que o desenvolvimento em srie de potncias da funo f(x) = ex dado por

ex =+=0

x

! , x R.

Assim,

ex2 =

+=0

(x2) ! =

+=0

(1)x2 ! , x R,

que coincide com o desenvolvimento da soluo encontrada em (6). Portanto,

limx+ y(x) = limx+ e

x2 = 0.

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Questo 3: (2 pontos)

(a) [1 ponto] Calcular a transformada de Laplace da funo f definida por

f(t) ={

0 se 0 t < pi2 ,et sen t se t pi2 .

(b) [1 ponto] Seja g uma funo definida sobre [0,+) cuja derivada seccionalmente contnua ede ordem exponencial. Se alm disso g(0) = 1 e L[g(t)](s) = arctan(s), calcular L

[e2tg(t)

](s).

Soluo:

(a) Escrevemos f na forma f(t) = upi2(t) etpi2+pi2 sen (t pi2 + pi2 ) = e

pi2 upi

2(t) etpi2 cos(t pi2 ).

Usando as frmulas (7), (8) e (5) da tabela anexada, obtemos que

L[f ](s) = epi2 epi2 sL[et cos(t)

](s) = epi2 (1s)L [cos(t)] (s 1) = e

pi2 (1s)(s 1)1 + (s 1)2 , s > 1 .

(b) Usando a frmula (9) da tabela anexada, calculamos L[g](s) = s arctan(s) 1. Logo, pelafrmula tem-se (8):

L[e2tg(t)

](s) = L[g](s 2) = (s 2) arctan(s 2) 1, s > 1 .

Questo 4: (2.5 pontos)Resolver o problema de valores iniciais:y(t) + 4y(t) = g(t) ,y(0) = y(0) = 0 ,onde

g(t) =

0 se 0 t < 3 ,2 se 3 t < 5 ,0 se t > 5 .

Soluo:Escrevemos g na forma g(t) = 2u3(t) 2u5(t). Assim, segue das frmulas (1) e (7) da tabela

L[g](s) =(e3s e5s

)2s.

Portanto, deduzimos aplicando a transformada de Laplace equao e usando a frmula (9) e ascondies iniciais

L[y + 4y](s) = s2L[y](s) sy(0) y(0) + 4L[y](s) = (s2 + 4)L[y](s) =(e3s e5s

)2s.

Da, obtemos

L[y](s) =(e3s e5s

) 2s(s2 + 4) =

(e3s e5s

)H(s), onde H(s) = 2

s(s2 + 4) . (7)

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Para achar a transformada inversa de H, h(t) = L1[H(s)

](t), expandimos H em fraes parciais

H(s) = 2s(s2 + 4) =

a

s+ bs+ cs2 + 4 =

s2(a+ b) + cs+ 4as(s2 + 4) .

Identificando os coeficientes, obtemos o sistema:a+ b = 0;c = 0;4a = 2.

a = 12 ;b = 12 ;c = 0.

As frmulas (1) e (5) da tabela implicam ento que

H(s) = 12L[1](s)12L[cos(2t)](s) = L[h](s) onde h(t) =

12

cos(2t)2 . (8)

Finalmente, conclumos de (7), (8) e da frmula (7) da tabela

y(t) = u3(t)h(t3)u5(t)h(t5) = 12(u3(t)u5(t)

)12

(u3(t) cos

(2(t3)

)u5(t) cos

(2(t5)

)).

Justifique todas as suas respostas! Apresente seus clculos.

Durao da prova: duas horas

TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE NO VERSO

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Tabela Bsica de Transformadas de Laplace

(1) L [1] (s) = 1s.

(2) L[eat](s) = 1

s a .

(3) L [tn] (s) = n!sn+1

.

(4) L [sen at] (s) = as2 + a2 .

(5) L [cos at)] (s) = ss2 + a2 .

(6) L [(t c)] (s) = ecs .

(7) L [uc(t) f(t c)] (s) = ecsL[f(t)](s) .

(8) L[ect f(t)

](s) = L[f ](s c) .

(9) L[f (n)(t)

](s) = sn L[f(t)](s) sn1f(0) f (n1)(0) .

Pgina 5 de 5 Boa prova!

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