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MAT0206/MAP0216 - Analise Real - IME - 2007Prof. Glaucio Terra

1a Lista de Exerccios - Resolu cao dos Exerccios 2, 11 e 16

2-) (a) Sejam X e Y conjuntos, e denote por F (X, Y ) o conjunto de todas as funcoes de X em Y . Proveque, se X for nito e Y enumer avel, ent ao F (X, Y ) e enumeravel.

(b) Dada f : N N , seja A f .= {n N | f (n) = 1 }. Seja X o conjunto formado por todas as fun coes

f : N N tais que A f e nito. Prove que X e enumeravel.

Demonstrac ao:(a) Os casos em que X e vazio ou Y e nito s ao triviais (nestes casos F (X, Y ) seria nito, sendo

um subconjunto do conjunto nito 2 X Y ). Suponha, pois, que X seja nito com n elementos e Y sejainnito enumeravel. Tomando bijecoes : I n X e : N Y , a aplica cao f F (X, Y ) 1 f e uma bijecao F (X, Y ) F (I n , N); por meio desta bijecao, a demonstracao ca reduzida a provar queF (I n , N) e enumeravel. Ora, F (I n , N) = N n (i.e. produto cartesiano de n fatores N) e enumeravel (istofoi provado em aula para n = 2; o caso geral segue por inducao sobre n. Ou diretamente, pelo seguinteargumento: tome p1 , . . . , p n N primos distintos, e F : Nn N dada por F : (x1 , . . . , x n ) ni=1 p

x ii ;

ent ao F e injetiva, pela unicidade da decomposi cao em fatores primos).(b) Para cada Y N nito, denotemos por AY o conjunto {f X | Af = Y }. Ent ao X e a

reuni ao da famlia {AY | Y N nito}. Veriquemos que esta famlia e enumer avel e que cada AY eenumer avel; ent ao seguir a que X e enumeravel, sendo a reuni ao de uma famlia enumer avel de conjuntosenumer aveis. Com efeito, dado Y N nito, a aplica cao F (Y, N) AY dada por f f , onde f e a extensao de f que e constante e igual a 1 em N \ Y , e uma bijecao; ora, j a foi demonstrado noitem anterior que F (Y, N) e enumeravel. Resta mostrar que {Y N | Y nito} e enumeravel. Talconjunto e a reuni ao da famlia enumer avel {Y N | Y tem n elementos }n 0 . Ora, para cada n N,An

.= {Y N | Y tem n elementos } e enumeravel, pois a aplica cao f F (I n , N) f (I n ) An e

sobrejetiva e j a demonstramos que F (I n , N) e enumeravel. Ent ao segue-se que {Y N | Y nito} eenumer avel, sendo a reuniao de uma famlia enumer avel de conjuntos enumer aveis.

11-) Seja p R , p > 1. Mostre que e enumeravel e denso em R o conjunto dos n umeros reais da formam/p n , com m Z e n N .Demonstrac ao:

(i) Seja X o conjunto dos n umeros reais da forma m/p n , com m Z e n N. Ent ao (m, n ) Z N m/p n X e sobrejetiva, portanto X e enumeravel, uma vez que Z N e enumeravel, porser o produto cartesiano de dois conjuntos enumer aveis. Resta mostrar que X e denso em R .

(ii) > 0, n N tal que pn > 1

1 pn < ; isto j a foi demonstrado em aula, usando adesigualdade de Bernoulli.

(iii) Seja (a, b) um intervalo aberto; queremos mostrar que existe um elemento de X neste intervalo.Tomando-se, no item anterior, = b a, conclui-se que existe n N tal que 1 pn < b a.

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(iv) Suponha b > 0. Como R e arquimediano, existe m N tal que m 1 pn > b, de modo que oconjunto A .= {m N | m 1 pn b} e n ao-vazio; pelo princpio da boa ordena cao, A possui umelemento mnimo m 0 . Armo que m 0 1 pn (a, b). Com efeito, tem-se

m 0 1 pn < b, pela minimalidade

de m 0 ; se fosse m 0 1 pn a, ter-se-ia m 0 pn

m 0 1 pn =

1 pn b a. Assim,

m 0 1 pn > a , o que conclui a

prova da armacao.(v) Se b 0, tem-se a > 0; assim, pelo item anterior existe um elemento m/p n de X no intervalo( b, a), donde m/p n (a, b).

16-) Um conjunto G de numeros reais chama-se um grupo aditivo quando 0 G e x, y G x y G.Ent ao x G x G e x, y G x + y G.

Seja G um grupo aditivo de numeros reais, e denote por G+ o conjunto dos elementos positivos deG. Suponha G = {0}, de modo que G+ seja n ao-vazio. Prove que:

(a) se inf G+ = 0, entao G e denso em R ;(b) se inf G+ = a > 0, entao a G+ e G = {0, a, 2a , . . . }.(c) Conclua que, se R e irracional, os numeros reais da forma m + n , m, n Z , formam um

subconjunto denso de R .Demonstrac ao:

(a) Seja ( a, b) R um intervalo aberto; como inf G+

= 0, existe g G+

tal que g < b a. Usandoo mesmo argumento da quest ao anterior, com g no lugar de 1/p n , conclui-se que existe m Z tal quemg (a, b). Como n Z ng G, e como (a, b) foi tomado arbitrariamente, segue-se que G e densoem R .

(b) Armo que a G+ . Com efeito, se a G+ , existiria h G+ tal que a < h < a + a2 , pois a + a2

nao e cota inferior de G+ . Pelo mesmo argumento, existe g G+ tal que a < g < h . Portanto, g, h G+

sao tais que a < g < h < a + a2

, donde h g < a/ 2; como h g G+ , isto contraria o fato de ser a onmo de G+ . Assim, a G+ .

Seja g G+ . Pelo fato de ser R arquimediano, existe m N tal que ma > g , o que mostra sernao-vazio o conjunto A .= {n N | na > g }. Assim, pelo princpio da boa ordena cao, A tem umelemento mnimo n; tome r .= g (n 1)a. Ent ao r 0, pela minimalidade de n; e, se fosse r a,

ter-se-ia g (n 1)a + a = na , contrariando n A. Assim, 0 r < a . Como r = g (n 1)a G,e a = inf G+ , nao e possvel 0 < r < a , donde r = 0. Isto prova que todo elemento de G+ e da formana para algum n N . Por conseguinte, todo elemento de G e da forma na para algum n N , dondeG = {na | n Z }.

(c) G .= {m + n | m, n Z } e um subgrupo aditivo de R . Suponha inf G+ = a > 0. Ent ao, peloitem anterior, tem-se G = {na | n Z}. Como 1 G+ , existe n N tal que na = 1, donde a = 1/n .Ent ao, sendo G, existe m Z tal que = ma = m/n , portanto Q , o que e uma contradi cao.Deste modo, n ao podemos ter inf G+ > 0, donde inf G+ = 0 e do item anterior segue-se que G e densoem R .

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