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CLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA

CAPTULO 3

DEPENDNCIA LINEAR

1 Combinao Linear

Definio: Seja { }n21 v,...,v,v

um conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor u

combinao linear desses n vetores, se existirem escalares n21 a,...,a,a tais que

nn2211va...vavau

+++= , ou seja,

==

n

1i iivau

.

Exemplo (1): Considere os vetores )5,10,4(u =

, )2,1,1(v1 =

, )3,0,2(v2 =

e

)3,2,1(v3 =

.

a) Escrever, se possvel, o vetor u

como combinao linear dos vetores 1v

, 2v

e 3v

.

b) Escrever, se possvel, o vetor u

como combinao linear dos vetores 2v

e 3v

.

Soluo:

a) Para que u

seja combinao linear dos vetores { }321 v,v,v

, devem existir

escalares ,, tais que 321 vvvu

++= . Ento:

=++

=+

=+

++=

5332102

42)3,2,1()3,0,2()2,1,1()5,10,4( . Resolvendo o sistema

linear vamos obter: 4e1,2 === . Portanto: 321 v4vv2u

+= .

b) Para que u

seja combinao linear dos vetores 2v

e 3v

, devem existir escalares

nem tais que32

vnvmu

+= . Ento:

=+

=

=

+=

5n3m310n2

4nm2)3,2,1(n)3,0,2(m)5,10,4( . Da segunda equao obtemos 5n = .

Substituindo nas outras duas obtemos21m = e

310m = . O que uma contradio.

Logo o sistema linear impossvel e no admite soluo real. Portanto, no existem

escalares nem tais que 32 vnvmu

+= , ou seja, no possvel escrever o vetor

u

como combinao linear dos vetores 2v

e 3v

.

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2 Vetores LI e LD

Definio: Dizemos que os vetores n21 v,...,v,v

so linearmente independentes

(vetores LI) se a expresso 0va...vava nn2211

=+++ se verifica somente se os

escalares n21 a,...,a,a forem todos nulos, ou seja, 0a...aa n21 ==== .

Definio: Dizemos que os vetores n21 v,...,v,v

so linearmente dependentes

(vetores LD) se a expresso 0va...vava nn2211

=+++ se verifica somente se os

escalares n21 a,...,a,a forem no todos nulos, ou seja, pelo menos um dos

escalares deve ser diferente de zero.

Exemplo (2): Verificar a dependncia linear dos vetores abaixo:

a) )2,1,1(v1 =

, )3,2,1(ve)3,0,2(v 32 ==

b) )2,1,1(v1 =

, )5,2,8(ve)3,0,2(v 32 ==

Soluo:

a) Para verificar a dependncia linear entre esses vetores, devemos escrever a

expresso 0vcvbva 321

=++ e determinar os escalares. Ento:

=++

=+=+

=++

0c3b3a20c2a 0cb2a)0,0,0()3,2,1(c)3,0,2(b)2,1,1(a . Resolvendo o sistema

linear homogneo vamos obter: 0ce0b,0a === , ou seja, os escalares todos

nulos. Portanto os vetores so LI.

b) Analogamente ao item (a), escrevemos a expresso 0vcvbva 321

=++ . Ento:

=++

=+

=++

=++

0c5b3a20c2a

0c8b2a)0,0,0()5,2,8(c)3,0,2(b)2,1,1(a . Resolvendo o sistema linear

homogneo vamos obter a soluo geral: == c,c3bec2a . evidente que

para c=0 teremos a=0 e b=0, mas no a nica soluo, ou seja, existem infinitas

solues onde os escalares no so todos nulos. Portanto os vetores so LD.

Teorema (1): Os vetores n21 v,...,v,v

so Linearmente Dependentes (LD) se, e

somente se um deles combinao linear dos demais.

OBS: este um teorema de condio necessria e suficiente; o termo "se, e somentese"significa que o teorema tem duas implicaes:

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(1) "se um conjunto de vetores LD, ento um deles combinao linear dos demais

vetores", e (2) "se, em um conjunto de vetores, um deles combinao linear dos

demais, ento esses vetores so LD".

Assim, a demonstrao do teorema contm duas partes: uma para demonstrar a

condio necessria (1) e a outra para demonstrar a condio suficiente (2).

Demonstrao:

(1) Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD

Tese: um deles combinao linear dos demais vetores.

Se, por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LD, ento, existem escalares

n,...,, 21 , no todos nulos, tais que: 02211 =+++ nnv...vv .

Supondo, por exemplo, que 01 , pode-se escrever:

nn v...vvv

++

+

=

13

1

32

1

21

;

chamando:

1

22

= ;

1

33

= ; ... ;

1

nn = , vem:

nnvvvv +++= 33221 ,

e, portanto, o vetor 1v combinao linear dos demais vetores.

Observe-se que, assim como se sups que 01 e se mostrou que 1v combinao

linear dos demais vetores, pode-se supor que qualquer um dos escalares ( )nii 1

diferente de zero e concluir-se que iv combinao linear dos demais vetores.

(2) Hiptese: um dos vetores combinao linear dos demais vetores.

Tese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD

Por hiptese, um dos vetores combinao linear dos demais; pode-se supor, por

exemplo, que esse seja o vetor 1v . Isso significa que existem escalares n,...,, 32

tais que:

nnvvvv +++= 33221 ;

pode-se escrever, equivalentemente:

( ) 01 33221 =++++ nnvvvv .

Sendo o escalar que multiplica o vetor 1v no nulo, j que igual a -1, conclui-se

que os vetores nv,...,v,v 21 so LD.

claro que, fazendo-se a suposio de que qualquer vetor ( )nivi 1 seja

combinao linear dos outros vetores, concluir-se-, de maneira anloga, que os

vetores nv,...,v,v 21 so LD.

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Exemplo (3): Como vimos no exemplo (2) os vetores )2,1,1(v1 =

, )3,0,2(v2 =

e

)5,2,8(v3 =

so LD. Logo, pelo Teorema (1), um deles combinao linear dos

demais. De fato. Suponhamos que 213 vnvmv

+= . Ento:

)03,2(n)2,1,1(m)5,2,8( +=

+=

=+=

n3m25m2 n2m8 . Da segunda equao vem que 2m = .

Substituindo 2m = nas outra duas equaes vem que 3n = . Logo, existem os

escalares 2m = e 3n = tais que 213 v3v2v

+= . Portanto, 3v

combinao linear

dos vetores 1v

e 2v

.

Teorema (2): Considere n21 v,...,v,v

, vetores LD, ento k desses vetores sero LD,

para k n.Demonstrao:

Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD

Tese: os vetores kv,...,v,v 21 so LD, para todo nk

Por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LD; ento, existem escalares n,...,, 21 ,

no todos nulos, tais que:

02211 =+++ nnv...vv .

A esse conjunto de n vetores, acrescentem-se mais ( )nknk vetores, isto ,considere-se, agora, o conjunto:

{ }knnn v,,v,v,v,...,v,v 2121 ++ .

Escrevendo-se a equao:

022112211 =+++++++ ++++ kknnnnnn vvvv...vv ,

conclui-se, a partir dela, que os vetores knnn v,,v,v,v,...,v,v 2121 ++ so LD, pois,

mesmo que os escalares knn ,...,, 21 ++ sejam todos nulos, entre os escalares

n

,...,, 21

h pelo menos um deles que no nulo, j que os vetoresn

v,...,v,v21

so LD. Logo, o conjunto de vetores { }knnn v,,v,v,v,...,v,v 2121 ++ LD.

Observaes:

1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores LD, aumentando-se

o nmero de vetores deste conjunto, o novo conjunto ser LD.

2) Observe-se que o teorema apenas de condio necessria, ou seja, a recproca

no verdadeira. Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,...,v,v 21 LD,

isso no implica que o conjunto de vetores mv,...,v,v 21 LD, para nm . Assim,quando se sabe que um conjunto de vetores LD, se forem retirados desse conjunto

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um ou mais vetores, no se pode afirmar que o novo conjunto LD.

Teorema (3): Considere n21 v,...,v,v

vetores LI, ento k desses vetores sero LI,

para k n.

Demonstrao:

Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LI

Tese: os vetores kv,...,v,v 21 so LI, para todo nk

Por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LI; ento, a equao

02211 =+++ nnv...vv

verdadeira somente se 021 ==== n... .

Tomando-se um ndice nk , considere-se o conjunto

{ } { }nk v,...,v,vv,...,v,v 2121 .

Da equao:

02211 =+++ kkv...vv ,

segue-se que 021 ==== k... , pois os vetores nv,...,v,v 21 so LI e os vetores

kv,...,v,v 21 esto entre eles. Portanto, conclui-se que os vetores kv,...,v,v 21 so

LI, o que demonstra o teorema.

OBS:

1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores LI, diminuindo-se o

nmero de vetores deste conjunto, o novo conjunto tambm ser LI.

2) O teorema apenas de condio necessria, isto , a recproca no verdadeira.

Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,...,v,v 21 LI, isso no implica

que o conjunto de vetores mv,...,v,v 21 LI, para nm . Assim, quando se sabe

que um conjunto de vetores LI, se forem acrescentados a esse conjunto um ou mais

vetores, no se pode afirmar que o novo conjunto LI.

Conseqncias:

(a) As afirmaes abaixo so vlidas para vetores no 2.

1) O vetor nulo { }0

LD.

2) O { }v

, com 0v

, LI.

3) Dois vetores { }21 v,v

, com 0ve0v 21

, so LD se os vetores forem paralelos

(so mltiplos escalares). Caso contrrio so LI (no paralelos, no so mltiplos).

4) Trs vetores ou mais vetores { },...v,v,v 321

so sempre LD.

(b) As afirmaes abaixo so vlidas para vetores no 3.

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1) O vetor nulo 0

LD.

2) O { }v

, com 0v

, LI.

3) Dois vetores { }21 v,v

, com 0ve0v 21

, so LD se os vetores forem paralelos

(so mltipos escalares). Caso contrrio so LI (no paralelos, no so mltiplos).4) Trs vetores { }321 v,v,v

so sempre LD se forem coplanares. Caso contrrio so

LI (no coplanares).

5) Quatro ou mais vetores { },...v,v,v,v 4321

so sempre LD.

3 Base

Definio: Seja { }n21 v,...,v,vB

= um conjunto de vetores de um espao qualquer (2

ou 3). Dizemos que B uma base desse espao se:

a) B um conjunto LI.

b) B gera o espao.

OBS: Dizer que um conjunto { }n21 v,...,v,vB

= gera o espao significa que qualquer

vetor u

, desse espao, se escreve como combinao linear dos vetores de B, ou seja,

existem escalares n21 a,...,a,a tais que nn2211 va...vavau

+++= .

Exemplo (4): Mostre que os conjuntos abaixo so bases dos respectivos espaos.

a) B = {(1,2), (-3,4)} base do 2.

b) B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} base do 3.

Soluo:

a) Sejam )4,3(ve)2,1(v 21 ==

. Vamos mostrar que B um conjunto LI. Como no

existe uma proporcionalidade entre as coordenadas dos vetores eles no so

mltiplos, logo no so paralelos. Portanto so LI. Seja )y,x(u =

um vetor qualquer

do 2. Vamos mostrar que u

se escreve como combinao linear dos vetores de B.

Ento

+=

=+==

b4a2yb3ax

)4,3(b)2,1(a)y,x(u

. Resolvendo o sistema temos:

+=

+=

yex,

10yx2

b

10y3x4

a. Isso mostra que o sistema possvel e determinado. Logo

existem os escalares bea tais que )4,3(b)2,1(a)y,x(u +==

, ou seja, o vetor

)y,x(u =

se escreve como combinao linear dos vetores 21 vev

, mostrando que Bgera o 2. Portanto, B base do 2.

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b) Utilizando a condio de coplanaridade entre trs vetores temos: 01001011111

= ,

ou seja, os vetores no so coplanares. Portanto, so LI. Mostrando que B gera o 3.

Seja )z,y,x(v =

um vetor qualquer do 3. Ento:

=

+=

++=

++=

azbay

cbax)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( . Resolvendo temos a soluo

=

=

=

zey,x,yxczyb

za. Logo, existem escalares ceb,a tais que

)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ++= , ou seja, o vetor )z,y,x(v =

se escreve como

combinao linear dos vetores de B, mostrando que B gera o 3. Portanto, B basedo 3.

Conseqncias

1) O 2 e o 3 possuem infinitas bases.

2) Qualquer base do 2 tem a mesma quantidade de vetores.

3) Qualquer base do 3 tem a mesma quantidade de vetores.

4) Das infinitas bases do 2, uma considerada a mais simples, chamada de Base

Cannica do 2. Ela constituda pelos vetores { }j,i

, onde )0,1(i =

e )0,1(j =

.

5) Das infinitas bases do 3, uma tambm considerada a mais simples, chamada de

Base Cannica do 3. Ela constituda pelos vetores k,j,i

, onde

)1,0,0(ke)0,1,0(j),0,0,1(i ===

.

2) No 2, qualquer conjunto com dois vetores LI constitui uma base.

3) No 3, qualquer conjunto com trs vetores LI constitui uma base.

Exerccios Propostos1) Verificar a dependncia linear dos vetores:

a)

=

=

23

,43

,81

ve6,3,21

u

b) )2,1,3(ce)0,6,4(b),2,2,1(a ===

c) )2,1,0(ce)1,3,2(b),1,2,1(a ===

Resp: a) LD b) LD c)LI

2) Escrever o vetor )3,5,3(w =

como combinao linear dos vetores

)1,3,2(b),1,2,1(a==

e)2,1,0(c

=

Resp:c3b2aw

++= 3) Verificar quais dos conjuntos abaixo uma base do 3.

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a) )2,2,3(ce)1,3,2(b),2,0,1(a ===

b) )2,6,1(we)1,3,2(v),0,0,1(u ===

Resp: a) base b) no base

4) Determine m para que os vetores )4,3,1(we)0,m,3(v),2,m,2(u ===

formem

uma base do 3

. Resp: m -35) Determine os valores de m para que os vetores )8,m,2(u =

, )3,1,4m(v +=

e

)31,m4,7(w =

sejam LD. Resp: m=-3 ou m=2

6) Prove: " }vu,vu{

+ so LI }v,u{

so LI".

7) Dados dois vetores }v,u{

LI, mostre que: "se w

combinao linear de }v,u{

,

ento essa combinao linear nica".

COMENTRIOS IMPORTANTES

1) Cuidado com as definies de combinao linear e de vetores LI e LD. Elas so

muito parecidas e pode causar confuso.

2) Na prtica, discutir se um conjunto de vetores LI ou LD, quando usamos a

definio, sempre vamos resolver um sistema linear homogneo. Como os sistemas

homogneos so sempre possveis, esta discusso se resume em: se o sistema for

SPD (admite somente a soluo trivial, todos os escalares so nulos), ento os

vetores so LI; se o sistema for SPI (alm da soluo trivial admite outras infinitas),

ento os vetores so LD.

2) Como o prprio nome diz: vetores linearmente dependentes (LD) significa que

existe uma dependncia entre eles, ou seja, eles se relacionam de alguma forma.

Esta dependncia uma combinao linear que, geometricamente, significa que ou

dois vetores so paralelos ou trs vetores so coplanares. Caso os vetores sejam

linearmente independentes (LI), isso quer dizer que no existe relao nenhuma

entre eles, ou seja, no so paralelos, no so coplanares.