Generalizando um sistema de Segunda Ordem

• Frequência Natural do Sistema

• Relação de Amortecimento do Sistema

22

2

2 nn

n

sssG

n

Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento

Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

• Tempo de Subida: tempo para a resposta variar de 10% até 90% do seu valor final;

• Tempo de Estabilização: tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário;

Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

• Tempo de Pico: tempo necessário para que a resposta alcance seu valor máximo;

• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível Percentual): O quanto o valor da resposta (em Percentual) ultrapassa no tempo de pico o valor de estado estacionário da resposta.

Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida

máx

1,02

0,98

0,9 cfinal

0,10,1 cfinal

%100%21 XeUP

100/%ln

100/%ln22 UP

UP

21

n

pTn

sT 4

Ultrapassagem percentual em

função da relação de amortecimento

Relação de amortecimento,

Ultr

apas

sage

m p

erce

ntua

l,%U

P

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da relação de

amortecimento

0,11,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,2

0,40,5

0,80,6

Exemplo

• Encontre para uma entrada degrau para o sistema abaixo

sp TeUPT %,

10015

1002

ss

sG

plano s

2

22 1cos

nn

n

RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO PLANO “s”

AMORTECIDANATURALFREQUÊNCIAd

AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIAd

dn

pT

21

dnsT

44

AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIA

AMORTECIDAOSCILAÇÃODEFREQUÊNCIA

d

d

Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2

2

22 1cos

nn

n

dn

pT

21

plano s

%UP1

%UP2

dnsT

44

Respostas ao degrau de sistemas de segunda

ordem subamortecidos à medida que os pólos

se movem:a. com parte real

constante;b. com parte imaginária

constante;c. com relação de amortecimento

constante.

A mesma envoltória

A mesma freqüência

A mesma ultrapassagem

plano s

plano s

plano s

Movimentaçãodo pólo

Movimentaçãodo pólo

Movimentaçãodo pólo

Exemplo:Encontre

plano s

spn TUPT ,,%,,

%100%21 xeUP

100/%ln

100/%ln22 UP

UP

21

n

pTn

sT 4

Resposta de Sistemas com três pólos

rdn

dn

sD

sCsB

sAsC

22

tdd

t rn DetCsentBeAtc cos

Influência de Terceiro Pólo em um sistema de Segunda Ordem

• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo menor sua influência na resposta

• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o pólo menor será o resíduo associado a este pólo (ver exemplo a seguir)

Influência do Resíduo do Terceiro Pólo

000045,0,0067,0,135,0

0024,0....)10(22

2

024,0....)5(22

2

5,0....)2(22

2

1052

102

52

22

eee

etcssss

sC

etcssss

sC

etcssss

sC

t

t

t

Validade de aproximação de Segunda Ordem

• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.

EXEMPLO•

• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i

3542,244626,73

10542,24442,245542,244

542,24

23

22

21

sssssC

sssssC

ssssC

Respostas ao degrau dos

sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)

Tempo (s)

Res

post

a no

rmal

izad

a

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Resposta de sistema com Zeros

• Influenciam no valor das constantes na expansão em frações parciais;

• Se comporta como um fator de ganho;• Quanto mais a esquerda do eixo imaginário

menor sua influência na forma da resposta;

saCssCassC

Efeito de adicionar um

zero a um sistema com

dois pólos

Tempo (s)

c (t)

nor

mal

izad

a

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

zero emzero emzero emsem zeros

2,0 4,0 6,0

828,21: jemPólos

Resposta ao degrau de um

sistema de fase não-mínima

(Zero do lado direito do plano “s”)

Tempo (s)

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5

1,0

1,5

–0,5

Cancelamento de Pólos e Zeros

01,4

033,06

4,45

3,587,05,3

16

5,35

5,31

01,465425,26

5,365425,26

2

1

2

1

sssssC

sssssC

ssssssC

ssssssC

Exercícios

• Capítulo 4:– Exercícios de avaliação números: 4.1, 4.3, 4.4, 4.5,

4.6– Exemplos: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.8– Problemas: 2, 4, 8, 18, 19, 20, 23, 24, 28, 29 e 30