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IEPMM – Prof(a) Aline Barcelo –Matemática – 3° ano/ Ensino Médio (Retirado e modificado de diversos sites e livros que tratam do assunto)

GEOMETRIA ANALÍTICA FONTE PRINCIPAL: http://www.somatematica.com.br/

Introdução A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes. Plano cartesiano O plano cartesiano é composto por dois eixos ortogonais (perpendiculares), onde cada ponto P é indicado por um par ordenado de números

(XP; YP):

Quadrante é cada uma das quatro regiões angulares em que o sistema de eixos xOy divide o plano, e eles são numerados, a partir do primeiro, em sentido anti-horário, como se vê na figura e no quadro abaixo:

Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)

B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, todos os seus pontos têm a mesma ordenada; e, se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, todos os seus pontos têm a mesma abscissa.

Considerando as bissetrizes dos ângulos retos formados pelo sistema xOy, chama-se b13 à reta bissetriz dos quadrantes ímpares, e b24 à dos quadrantes pares:

Em b13, todos os pontos têm coordenadas iguais; em b24, coordenadas opostas:

A associação de pontos com números é a base da geometria analítica, também chamada geometria algébrica ou de coordenadas. Distância entre dois pontos

Sejam e dois pontos do plano. A distância entre esses dois pontos é exatamente o valor da hipotenusa do triângulo ABC mostrado abaixo.

Logo,se conseguirmos determinar o valor dos catetos, utilizando o Teorema de Pitágoras, será possível achar essa distância.

Então, como o cateto AB = e o cateto BC =

, aplicando o Teorema de Pitágoras vêm:

Exemplo 1: Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra é o ponto P(2,3). Ela caminha em linha reta e pára no ponto Q(-6,-3). Calcular a distância que a formiga andou.

Solução: Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, chegamos à distância que a formiga andou.

Nesse plano, definem-se: o sistema cartesiano de eixos ortogonais: xOy

a origem do sistema: o ponto O o eixo das abscissas Ox (horizontal)

o eixo das ordenadas Oy (vertical)

a abscissa do ponto P: o número real xP

a ordenada do ponto P: o número real yP

as coordenadas do ponto P: o par ordenado (xP; yP)

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Exemplo 2: Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma circunferência está no

ponto (3,5) e o centro da outra está no ponto

(0,1). Calcule a soma dos raios dessas circunferências.

Solução: Foi dito que essas circunferências são tangentes externamente, logo a soma dos raios é exatamente a

distância entre :

Exemplo 3: Determinar um ponto do eixo y equidistante dos pontos A (3,5) e B (-3,-1).

Solução: Um ponto do eixo y é um ponto do tipo P (0,y), de abscissa nula, resultando:

e

Como PB = PA , vem:

Elevando-se ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo, segue:

-12y = -24, então y = 2.

A resposta é P (0,2). Ponto médio de um segmento de reta Seja B o ponto médio de AC . As coordenadas de XB

e YB do ponto médio B são obtidas por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente. Assim:

Exemplo 4: Sendo dados os pontos A (4,-1) e B (-2,5), temos:

Solução:

Assim, o ponto médio do segmento AB é M (1,2).

Exemplo 5: Seja o triângulo ABC. A(0,0), B(4,2) e C(6,4). Determine o valor da base média relativa ao lado AB.

Obs: Base média é um segmento cujos extremos são pontos médios de dois lados de um triângulo.

Solução: N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A base média é o segmento MN.

Assim, M(5, 3).

Assim, N(3, 2).

O comprimento de MN é dado pela distância de M à N.

Coordenadas do baricentro de um triângulo

Baricentro de um triângulo ao ponto G é a intersecção das três medianas deste triângulo.

Mediana de um triângulo é um segmento de reta que sai de um vértice e divide o lado oposto a este em duas partes iguais. A abscissa e a ordenada do baricentro de um triângulo ABC é igual a média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, de seus vértices.

Exemplo 6: Seja um triângulo cujos vértices são A (2, 4), B (5, 7), C (8, 1); calcule as coordenadas do baricentro.

Solução:

Então, o baricentro é G (5, 4).

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Exemplo 7: Determine as coordenadas do vértice B do triângulo ABC sabendo que seu baricentro tem coordenadas G(5,8) e que os outros dois vértices são A(5,8) e C(7,6). Solução: Como conhecemos as coordenadas do baricentro do triângulo e as coordenadas de dois vértices, vamos utilizar a fórmula para a determinação do baricentro para determinar as coordenadas de B. Segue que:

Portanto, o vértice B tem coordenadas B(3, 10). Condição de alinhamento de três pontos Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:

Para que exista a área do triângulo, esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero, os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados. Portanto podemos concluir que três pontos distintos A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC), estarão alinhados se o determinante correspondente a eles for igual a zero. Ou seja,

Observação: A recíproca da afirmação anterior é válida, ou seja, se o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo, então os pontos A(XA,YA), B(XB,YB) e C(XC, YC) estão alinhados.

Exemplo 8: Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.

– 8 – 6 +14 = 0 –14 + 14 = 0 0 = 0

Os pontos estão alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo. Exemplo 9: Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verificar se eles estão alinhados. Caso não estejam, determine a área do triângulo formado por eles.

(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6) – 11 – (–1) – 11 + 1 = – 10

Pelo resultado do determinante da matriz verificamos que os pontos não estão alinhados.

Logo, a área do triângulo ABC é: A =

=

Exemplo 10: Determinar o valor de c para que os pontos D(5, c), E(3, 7) e F(4, 9) estejam alinhados. Solução: Para que os pontos D, E e F estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:

Para os três pontos estarem alinhados o determinante deve ser igual a zero. Logo, teremos: c – 11 = 0, então c = 11. Exemplo 11 Qual deve ser o valor de x para que os pontos A(x

2 – 3, 0), B(5, 1) e C(4, 2) estejam

alinhados?

Solução: Para que os pontos estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deverá ser igual a zero. Assim, temos que:

Como o determinante deve ser igual a zero, teremos: -x

2 + 9 = 0 -x

2 = -9 x

2 = 9 x = ±3

Exemplo 12: Determine a área de um triângulo de vértices A(3, 3), B(6, 3) e C(3, 5).

Solução: Vamos fazer o cálculo do determinante das coordenas dos vértices do triângulo.

A =

considerando

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Exemplo 13:

Determine o valor de k para que o triângulo de vértices

A(0, 0), B(k, 0) e C(0, k) tenha uma área de 32 unidades de área.

Reta Pode-se afirmar que para existir uma reta é necessário da existência de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direção. A reta não tem fim e divide o plano que a contém em duas partes. Equação Geral da Reta Chamaremos equação geral da reta à equação da reta dada na forma:

ax + by + c = 0 (a e b não simultaneamente nulos) Equação reduzida da reta e os coeficientes Toda reta não vertical tem uma equação que pode ser apresentada na forma y = mx + n.

Esta última expressão é chamada equação reduzida

da reta r, na qual :

► m representa a tangente do ângulo que formado entre a reta r e o eixo das abscissas, no sentido positivo; m é chamado coeficiente angular (ou declividade) da reta r; ► n representa a ordenada do ponto em que a reta r corta o eixo das ordenadas; n é chamado coeficiente linear de r; ► x e y são as coordenadas de um ponto genérico da reta r; ► se a reta r é horizontal, ela forma um ângulo nulo com o eixo das abscissas; assim, m = tg 0° = 0 e a equação reduzida da reta torna-se simplesmente y = n (caso 1).

► se a reta r é vertical, ela forma um ângulo reto com o eixo das abscissas; como não existe tg 90° é impossível escrever a forma reduzida da equação de qualquer reta. (caso 2)

Exemplo 14: Obtenha a equação da reta r indicada na figura.

Solução: A equação da reta r é y = mx + n , onde m = tg 45° = 1 e n = 3. Logo, a equação pedida é y = x + 3. Exemplo 15: Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 1 - 2 + 2 ≠0

Como a igualdade não é verdadeira, então Q r. Exemplo 16: Conhecendo-se o coeficiente angular e um ponto

em que uma reta passa é possível encontrar sua equação da seguinte maneira:

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P (3,5) e tem coeficiente angular igual a 2.

( y – 5) = 2 (x – 3) y – 5 = 2x – 6 y = 2x – 1 Equação segmentária Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q),

com e q :

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A equação geral de r é dada por:

Então,

Exemplo 17: Determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Posições relativas de duas retas

Interseção de duas ou mais retas Um ponto pode ser obtido a partir da intersecção de duas ou mais retas. Note que para duas retas, a determinação das coordenadas deste ponto fica condicionada à resolução de um sistema linear de duas equações a duas incógnitas. Para o caso de três ou mais retas, a determinação das coordenadas do ponto de intersecção entre elas, ficará condicionada à resolução de um sistema linear de três equações a três incógnitas. Logo, para n retas, deveremos resolver um sistema de n equações a n incógnitas.

Sistema Possível e Determinado: a solução é única - neste caso, existe apenas um ponto de intersecção entre as retas, e elas são ditas concorrentes; Sistema Possível e Indeterminado: há infinitas soluções - neste caso, há infinitos pontos comuns entre as retas, e elas são ditas coincidentes;

Sistema Impossível: nenhuma solução - o sistema não possui solução e as retas são ditas paralelas no plano.

Exemplo 18: Determinar o ponto de intersecção entre as duas retas dadas:

Solução: Da equação de cima temos que y = 3x + 5 . Substituindo na equação de baixo, tem-se: – x + 3 (3x + 5) – 7 = 0 – x + 9x + 15 – 7 = 0 8x = – 8 x = – 1 e y = 3 .( – 1) + 5 = 2

Portanto, o ponto é (–1,2) e as retas são concorrentes. Distância entre ponto e reta

Sejam ax + by + c = 0 (1) a equação de uma reta r,

e P um ponto não pertencente a essa reta. Deseja-se calcular a distância d do ponto P à reta r.

Desenvolvendo (1) e (2) chegamos a seguinte fórmula:

Exemplo 19: Calcular a distância da reta (r) 3x + 4y – 25 = 0 à origem é dada por:

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Exemplo 20: Calcular o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(- 3,0), B (0,0) e C(6,8).

Exemplo 21: Calcular a distância entre as retas:

Solução: Distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra. 1°) Tomemos Se x = -1, substituindo teremos y = 4 Portanto, P (-1,4)

2°) Calculemos

CIRCUNFERÊNCIA É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r. O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 1. Equação reduzida

Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se: d (Q, P) = r ou

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 = r2 é a equação reduzida

da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem, C(0,0), a equação da circunferência

será x2 + y2 = r2 . 2. Equação geral ou normal Desenvolvendo a equação reduzida:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 , vamos obter:

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0 Portanto, x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 é a

equação geral da circunferência. Exemplo 22: Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2. Solução: Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:

(x - 1)2 + (y - 5)2 = 22 (x - 1)2 + (y - 5)2 = 4 (equação reduzida)

x2 + y2 – 2.1.x – 2.5.y + 12 + 52 – 22 = 0 x2 + y2 – 2x – 10y + 22 = 0 (equação geral)

EXERCÍCIOS Do livro adotado. Dedique-se bem aos estudos! Vale a pena aprender, sempre!