7/24/2019 Geometria Analtica - Exerccios Lista 5

1/3

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALITICA

PROFa: MARIA ANDRADE (www.impa.br/mcosta)

Quinta lista de exerccios

1. Escreva uma equacao do plano que contem o ponto (1, 1, 1) e e perpendicular ao vetordado porv = (2,1, 8).

2. Determine uma equacao do plano cujas intersecoes com os eixos do sistema de coordenadassao os pontos (3, 0, 0), (0,2, 0) e (0, 0 3).

3. Escreva as equacoes vetorial, parametricas, simetricas, reduzidas e cartesianas da retadefinida pelos pontos: a) A= (2, 1, 3) e B = (1, 3, 7). b) A= (0, 0, 0) e B = (0, 5, 0).

4. Escreva as equacoes parametricas da reta que contem o ponto A= (2, 1, 0) e e perpendi-

cular ao plano 2x y+z= 0.5. Determine o centro e o raio da circunferencia, intersecao do plano 2x + y+ 2z= 5 com a

esfera (x 1)2 + (y 2)2 + (z+ 1)2 = 4.

6. Determinar os pontos da retar :x 3

2 =

y+ 1

1 = z

2que tem (a) abcissa 5; (b) ordenada4; (c) cota 1.

7. Mostrar que os pontosA= (1, 4,3), B = (2, 1, 3) e C= (4,1, 7) sao colineares.

8. Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

a)

x+ 13 = z 34

y = 1b) x= y =z.

9. A reta r passa pelo ponto A= (1,2, 1) e e paralela a reta s:

x = 2 +ty = 3tz = t

Se P = (3, m , n) r,determinar me n.

10. Estabelecer as equacoes parametricas da reta que passa pelo ponto de intersecao das retas

r: x 2 = y+ 12

=z

3 e s:

x = 1 yz = 2 + 2y

e e, ao mesmo tempo ortogonal a r e s.

11. SejamP1= (x1, y1, z1) eP2= (x2, y2, z2).Diz-se que umP = (x,y,z) divide um segmento

de reta P1P2 na razao r se :P1P =r

P2P .Mostre que

x=x1 rx2

1 r , y=y1 ry2

1 r e z=z1 rz2

1 r .

7/24/2019 Geometria Analtica - Exerccios Lista 5

2/3

De uma interpretacao geometrica do resultado acima. Sabendo que P = (9, 14, 7) divideo segmento P1P2 na razao 2/3 e P1 = (1, 4, 3),determine P2.

12. Determinar o valor de a para que A= (a,1, 5), B = (7, 2, 1), C= (1,3,1) e D=(1, 0, 3) sejam coplanares.

13. Determinar a equacao geral do plano nos seguintes casos:

a) O plano passa pelo ponto A= (6, 0,2) e e paralelo aos vetoresi e2j +k .b) O plano passa pelos pontos A = (3, 1,2) e B = (1, 2, 1) e e paralelo ao vetorv = 2i 3k .

c) O plano contem os pontosA = (1,2, 2) eB = (3, 1,2) e e perpendicular ao plano : 2x+y z+ 8 = 0.

d) O plano contem o pontoA= (4, 1, 0) e e perpendicular aos planos 1 : 2xy4z6 = 0e 2:x+y+ 2z

3 = 0.

14. Estude a posicao relativa das retas quando:

a) r: (1,1, 1) +(2, 1,1) e s:

x+y z 3 = 0x+y+z 6 = 0

b) r:

y+z 3 = 0x+y z = 0 e s:

2x 3y+z 5 = 0

x+y 2z = 0c) r: (8, 1, 9) +(2,1, 3) e s: (2, 1, 3) +(1,2, 4)

15. Estude a posicao relativa da reta r e do plano nos seguintes casos:

a) r: (1, 1, 0) +(0, 1, 1) e : x y z 2 = 0;b) r:

x y 1 = 0

x 2y = 0 e : x+y 2 = 0;

c) r:

x y+z = 0

2x+y z 1 = 0 e : (0, 1

2, 0) +(0, 1, 2) +(1,1, 0).

d) r: (0, 10, 0) +(1, 4, 1) e : (0,1, 1) +(0, 1, 2) +(1,1, 0).

16. Calcule a posicao relativa dos planos 1 e 2 nos casos:

a) 1:x

y= 0 e 2:z= 1;

b) 1:x+y =ze 2:x+y = z+ 10.

c) 1:x y+ 2z 2 = 0 e 2 : (0, 0, 1) +(1, 0, 3) +(1, 1, 1).

17. Calcule a distancia e o angulo entre as retas, retas e planos, e planos dos exerccios 14,15 e 16, respectivamente, quando tais conceitos forem aplicaveis.

7/24/2019 Geometria Analtica - Exerccios Lista 5

3/3

18. Calcule a distancia do ponto P= (1, 1, 2) a reta r:

x y 1 = 0x+y z = 0

19. Encontre os pontos da retar :

y+z 2 = 0x y z = 0 que distam

6 de :x2yz1 = 0.

20. Encontre a equacao do plano que contem a reta r : (1, 0, 1) +(1, 1,1) e dista 2 dopontoP = (1, 1,1).

21. Um quadrado ABCD tem a diagonal BD sobre a reta r :

x = 1y = z

. Sabendo que o

pontoA = (0, 0, 0),encontre os vertices B, C e D.