Geometria Analítica:

Estudo da Circunferência

Estudo da Circunferência

Circunferência é a figura plana formada por todos os pontos que estão a uma distância r de um ponto fixo dado. O ponto fixo é o centro e a distância r é o raio.

Equação Reduzida da Circunferência

,

2 2

2 2 2

C Pd r

x a y b r

x a y b r

Exemplo 1: Complete págs. 05 e 06.

2 2 2

2 2 2

2 2

)

2 1 1

2 1 1

b x a y b r

x y

x y

) (2,1)

1

a C

r

Exemplo 1: Complete págs. 05 e 06.

2 2

2 2

2 2

2

)

2 1 1

2 0

2

2 2 1 1

4 8 4 2 1 1

5 10 4 0

100 80 20

10 2 5 5 5

10 5

d

x y

x y

x y

y y

y y y y

y y

y y

)

0 20

0 1

2 0

2 0

c

x x

y y

y x

x y

5 5

5

5 5 10 2 52.

5 5

5 5

5

5 5 10 2 52.

5 5

y

x

y

x

1

2

10 2 5 5 5,

5 5

10 2 5 5 5,

5 5

I

I

Equação Geral da Circunferência

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 0

0

A B C

x a y b r

x ax a y by b r

x y a x b y a b r

x y Ax By C

Função Composta

Exemplo 2 Determine a equação geral da circunferência abaixo.

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

7 5 3

14 49 10 25 9

14 10 65 0

x a y b r

x y

x x y y

x y x y

Função Composta

Exemplo 3: Exercício 9 da pág. 08 No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C(5,3) e tangencia a reta

de equação 3x+4y-12=0. A equação da circunferência é:

0 0

,2 2

,2 2

. .

3.5 4.3 12

3 4

15

25

15

5

3

P r

C r

a x b y cd

a b

r d

r

r

r

2 2 2

2 2 2

2 2

5 3 3

5 3 9

x a y b r

x y

x y

Exemplo 4

2 2) 4

(0,0)

2

a x y

C

r

Determine as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferências abaixo:

2 2

2 2 2 2

2 2

) 2 15 0

2 1 15 1

1 16

(1,0)

4

b x y x

x x y

x y

C

r

2 2

2 2 2 2

22

) 6 7 0

6 3 7 3

3 16

(0, 3)

4

c x y y

x y y

x y

C

r

Exemplo 4 - continuação Determine as coordenadas do centro e a medida do raio das circunferências

abaixo:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

) 8 16 20 0

8 4 16 8 20 4 8

4 8 100

(4, 8)

10

d x y x y

x x y y

x y

C

r

Posições Relativas – Ponto e Circunferência

Exemplo 5 – Complete pág. 13

a) O ponto T.

b) O ponto S.

c) O ponto R.

Exemplo 5 – Complete pág. 13

d) ,

,

,

S C

T C

R C

d r

d r

d r

Posições Relativas – Ponto e Circunferência

Posições Relativas – Reta e Circunferência

A reta t é tangente à circunferência;

A reta u é secante à circunferência;

A reta v é exterior à circunferência.

Exemplo 6 – Complete pág. 14

a) A reta t tem 1 ponto em comum com a circunferência. A reta u tem 2 pontos em comum com a circunferência. A reta v não tem pontos comuns com a circunferência.

b)

,

,

,

u C

t C

v C

d r

d r

d r

Posições Relativas – Reta e Circunferência

Posições Relativas – 2 Circunferências

Posições Relativas – 2 Circunferências

Posições Relativas – 2 Circunferências

Exemplo 7 Determine a posição relativa entre o ponto P(4,2) e a circunferência de

equação

2 2

2 2

2 2

4 8 100

4 8 100

4 4 2 8 100 0 100 100 0

pertence à circunferência

P P

x y

x y

P

2 2

2 2

,

2 2

,

,

,

,

4 8 100 (4, 2)

(4, 8)

10

4 4 2 ( 8)

0 100

10 u.c.

pertence à circunferência

P C P C P C

P C

P C

P C

P C

x y P

C

r

d x x y y

d

d

d

d r

P

Exemplo 8 – 1ª maneira Determine a posição relativa entre a reta de equação 2x-3y+5=o e a

circunferência de equação 2 21 4 25x y

2 2

,2 2

,2 2

1 4 25 2 3 5 0

(1, 4)

5

2.1 3.( 4) 5

2 ( 3)

C C

C r

C r

x y x y

C

r

ax by cd

a b

d

,

,

,

19

13

5,27

ˆ e exterior a circunferencia`

C r

C r

C r

d

d

d r

r

Exemplo 8 – 2ª maneira Determine a posição relativa entre a reta de equação 2x-3y+5=o e a

circunferência de equação 2 21 4 25x y

2 2

2 2

22

1 4 25 2 3 5 0

2 3 5 0

2 3 5

3 5

2

1 4 25

3 51 4 25

2

x y x y

x y

x y

yx

x y

yy

2

2

22

2 2

2

3 74 25

2

9 42 498 16 25 0

4

9 42 49 4 32 36 0

13 10 13 0

100 676 576

nao tem raiz real

ˆ e a circunferencia nao tem pontos em comum

ˆr e exterior a circunferencia`

yy

y yy y

y y y y

y y

r

Exemplo 9 Determine a posição relativa entre as circunferências de equações

e e os pontos de intersecção entre elas.

2 2 4 10 16 0x y x y

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

4 10 16 0 2 6 10 0

4 10 16 0

2 6 10 0

_________________________

2 4 6 0

2 4 6

2 3

2 6 10 0

2 3 2. 2 3 6 10 0

4 12 9 4 6 6 10 0

x y x y x y x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y x y

y y y y

y y y y

2 2 2 6 10 0x y x y 24 10 5 0

100 80 20

10 2 5

8

5 5

4

5 5

4

2 3

5 52. 3

4

5 53

2

1 5

2

y y

y

y

y

x y

x

x

x

1

1

ˆAs circunferencias sao secantes

1 5 5 5,

2 4

1 5 5 5,

2 4

I

I

5 5

4

2 3

5 52. 3

4

5 53

2

1 5

2

y

x y

x

x

x

Exemplo 10 As circunferências de equações e são

secantes. Determine os pontos de intersecção entre elas.

2 2 25x y

2 22 2

2 2

2 2

2 2

2 2

25 2 1 34

25

4 4 2 1 34

4 2 29 0

25 0

___________________

4 2 4 0

2 4 4

2 2

x y x y

x y

x x y y

x y x y

x y

x y

y x

y x

2 22 1 34x y

2 2

22

2 2

2

25 0

2 2 25 0

4 8 4 25 0

5 8 21 0

64 420 484

8 22

10

7 7 242. 2

5 5 5

3 2.3 2 4

x y

x x

x x x

x x

x

x y y

x y y

1

2

7 24,

5 5

3, 4

I

I

Indicação de Vídeos sobre o Assunto

Vídeo sobre Equações da Reta

https://www.youtube.com/watch?v=_PWyACFGd1A&feature=youtu.be

Vídeo sobre Ângulo entre 2 retas, Retas Paralelas e Perpendiculares e Distância entre ponto e reta.

https://www.youtube.com/watch?v=Y0YWsb4ahQM&feature=youtu.be

Indicação de Vídeos sobre o Assunto Vídeo sobre Equação da Circunferência

https://www.youtube.com/watch?v=myrRWhLEpy8&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=9N_CldYNztI&feature=youtu.be

Vídeo sobre Posições Relativas envolvendo Circunferência

https://www.youtube.com/watch?v=_89PrzPx5o4&feature=youtu.be

Tarefa de Casa

Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 das páginas 06, 07 e 08 da Apostila 10.

Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 das páginas 11 e 12 da Apostila 10.

Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 das páginas 15 e 16 da Apostila 10.

FIM