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GEOMETRIA ESPACIAL2017
3) Pirâmides• Uma pirâmide é um sólido geométrico pela reunião dos
segmentos de reta com uma extremidade em um ponto
fixo e outra num polígono dado sobre um plano fixo que
não contém esse ponto.
As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares.
3) Pirâmide - TiposPirâmide reta: a projeção ortogonal do vértice sobre o
plano da base é o centro da base (o centro geométrico do
polígono).
Pirâmide oblíqua: a projeção do vértice não coincide com
o centro da base.
Pirâmide regular: é uma pirâmide reta e sua base é um
polígono regular.
3) Pirâmide - ClassificaçãoOcorre de acordo com o número de faces do polígono da
base. Exemplos:• Pirâmide triangular: base é um triângulo.
• Pirâmide quadrangular: base é um quadrado.
• Pirâmide pentagonal: base é um pentágono.
• Pirâmide hexagonal: base é um hexágono.
Entre outras ...
3) Pirâmide – elementos I
Altura: distância entre o vértice e o plano da base.
3) Pirâmide – elementos IINuma pirâmide regular podemos ainda destacar:
• O polígono da base será inscritível numa circunferência de raio “d” que se
chamará RAIO DA BASE;
• As arestas laterais são congruentes;
• As faces laterais serão triângulos isósceles congruentes;
• Teremos o apótema da base e o apótema da pirâmide.
3) Pirâmide – relações importantesConsidere a pirâmide regular abaixo:
• No triângulo VOM temos:
• No triângulo VMB ou VMA temos:
• No triângulo VOA temos: 𝑎2 = 𝑟2 + ℎ2
3) Pirâmide – área totalConsidere a pirâmide quadrangular regular abaixo e sua respectiva
planificação:
𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏
𝐴𝑡 = á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐴𝑙 = á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝐴𝑏 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
3) Pirâmide – volumeConsidere a prisma reto de base triangular abaixo:
𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏
O volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma. Logo:
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3𝐴𝑏 ∙ ℎ
3) Pirâmide – Tetraedro RegularTetraedro regular á a pirâmide que possui quatro faces, sendo todas elas
triângulos equiláteros.
3) Pirâmide – Exercícios I(01). Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede 12 cm e
a aresta lateral, 10 cm. Calcular:
a) O apótema da pirâmide
b) O apótema da base
c) A altura h da pirâmide
d) A área total da pirâmide
(02). Num tetraedro regular, a altura mede 𝟐 𝟔 cm. Calcule área total
desse tetraedro. 𝐴𝑡 = 36 3 𝑐𝑚2
(03). A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 3 cm. Sabendo-
se que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcular o volume dessa
pirâmide. V = 30 𝑐𝑚3
CUIDADO!!!
ℎ𝑓 ≠ ℎ𝑏
3) Pirâmide – Exercícios II
Questão ESA
Em uma pirâmide reta de base quadrada de 4m de altura, uma aresta da base
mede 6m. A área total dessa pirâmide, em 𝒎𝟐 é:
(A) 144 (B) 84 (C) 48 (D) 72 (E) 96
Questão ESPCEX