Geometria Preparado por Marcos Cherinda Nota Este documento é publicado sob condições da Crative Commons

Tabela de conteúdos I. Módulo 5: Geometria ........................................................ II. Curso pré-requisito ou conhecimento de base .................. III. Tempo ............................................................................... IV. Materiais ........................................................................... V. Racionalidade do Módulo ................................................ VI. Vista geral ........................................................................

6.1 Perfil ........................................................................... 6.2 Organizador gráfico ...................................................

VII. Actividades de ensino e aprendizagem ............................ VIII. Actividades de aprendizagem .......................................... IX. Conceitos-chave (Glossário) ........................................... X. Leituras obrigatórias ........................................................ XI. Recursos multimídia e links úteis .................................... XII. Síntese do Módulo ........................................................... XIII. Avaliação sumativa ......................................................... XIV. Referências ...................................................................... XV. Autor principal do Módulo ..............................................

I. Módulo 5: Geomtria II. Curso pré-requisito ou conhecimento base

Geometria da escola superior.

III. Tempo O tempo total deste módulo é de 120 horas de estudo.

IV. Material

Você é muito recomendado a usar o software interactivo no CD-ROM-Recursos incluído no seu pacote de material de estudo. O software Geo-Gebra ou WinGeom vai ajudá-lo a explorar o mundo da geometria de maneira interessante e dinâmica e com menos custos de papel e tempo!

Ao começar cada Unidade deverá visitar, pelo menos uma vez, o material disponível em on-line na Internet como está indicado nas Leituras Relevantes. Quase todos os links nas LeituraRelevantes têm conteúdos em off-line no CD-ROM-R

s ecursos. Isto inclui livros electrónicos

vres e abertos e os softwares mencionados acima.

V. acionalidade do Módulo

s e

rá

strumentos mecânicos básicos (compasso e régua) e rogramas de computadores.

s

otenciar para fazer pesquisa em geometria, bem como em outros módulos matemáticos.

irá

a introdução à geometria Não-

uclidiana, tratada apenas sinteticamente.

I. Visão geral

prendizagem (AA). O tempo total do Módulo é de 120 horas, distribuídas como na tebela abaixo:

li

R O Módulo sobre Geometria começa por olhar o desenvolvimento histórico do conhecimento que a Humanidade veio, pouco a pouco, adquirindo ao longo de séculoque mais tarde se tornaram, por volta de 300 A.C., a disciplina Matemática chamada “Geometria Euclidiana” pelo reconhecimento do grande trabalho de Euclides. O raciocínio inductivo-dectivo que caracteriza esta disciplina será desenvolvido através deinvestigação das suas conjecturas sobre objectos e propriedades geométricas. Você iexplorar a geometria usando inp A medida que você vai progredindo, você irá tratar a geometria Euclidiana usando um sistema referencial para localizar pontos. O sistema Cartesiano ortogonal de coordenadaque você já conhece desde a escola secundária é o sistema referencial mais comum que você vai usar em ambos casos de duas e de três dimensões. Você irá também aprender outros sistemas de coordenadas que irão lhe p

Analisando profundamente a construção axiomática da geometria Euclidiana você aprender novas estruturas geométricas, geralmente designadas por geometria Não-Euclidiana. Portanto, em suma, este Módulo fala sobre a geometria Euclidiana tratada deambas maneiras, sintética e analiticamente, e engloba umE

V

O Módulo está subdividido em quatro Unidades. Cada sub-Unidade constitui uma Actividade de A Módulo 5: Geometria Tempo Revendo a Geometria Euclidiana 24 Geometria Analítica do Plano 34 Geometria Analítica dos Sólidos 42 Geometria Não-Euclidiana 20 Tem 120 horas po total

6.1 Perfil: Cada sub-Unidade constitui uma Actividade de Aprendizagem (AA)

Unidade 1: Revendo a Geometria Euclidiana Tempo AA1.1 Sobre história da Geometria Euclidiana 1 AA1.2 Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana 3 AA1.3 Isometrias Euclidianas planas 6 AA1.4 Triângulos 5 AA1.5 Circunferências 3 AA1.6 Semelhança geométrica 4 Miscelânea de exercícios 2 Tem 24 horas po total

Unidade 2: Geometria Analítica Plana Tempo AA2.1 Espaço vectorial em duas dimensões 6 AA2.2 A linha recta 8 AA2.3 Transformação de coordenadas no plano 4 AA2.4 Secções cónicas 12 Miscelânea de exercícios 4 Tem 34 horas po total

Unidade 3: Geometria Analítica dos Sólidos Tempo AA3.1 Espaço vectorial em três dimensões 8 AA3.2 Planos e rectas 10 AA3.3 Transformação de coordenadas no espaço tridimensional 6 AA3.4 Superfícies quádricas 14Miscelânea de exercícios 4 Tem 42 horas po total

Unidade 4: Geometria Não-Euclidiana Tempo AA4.1 Introdução à Geometria Não-Euclidiana 6 AA4.2 Transformações afins 4 AA4.3 Transformações projectivas 8 Miscelânea de exercícios 2 Tem 42 horas po total

6.2 Organizador Gráfico

Módulo 5: GEOMETRIA

Geometria Euclidiana Geometria Analítica do Plano

Nota: A Geometria Euclidiana é o tópico central o Módulo 5. A primeira Unidade é dedicada à revisão da Geometria Euclidiana numa abordagem sintéctica. Depois, usando a Álgebra Linear (Módulo 4) com o sistema Cartesiano de coordenadas, a Geometria Euclidiana será tratada analiticamente cobrindo duas Unidades: Geometria Analítica do Plano e Geometria Analítica dos Sólidos. Depois destas Unidades, será introduzida uma construção de novas estruturas geométricas, geralmente designada por geometria Não-Euclidiana. VII. Actividades de ensino e aprendizagem Pré-Avaliação UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Pré-Avaliação (60 minutos) Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Euclidiana você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada correcta. Questão 1 A palavra “geometria”´ significa: A O mesmo que “geografia” B “Medição da Terra” onde geo significa “terra” e metria significa “medição”. C “Matriz terrestre” onde geo significa “terra” e metria significa “matriz”. D Estudo da paisagem

Questão 2 O raciocínio visual é peculiar no tratamento de questões da Geometria Euclidiana.

Que forma é a próxima na seguinte sequência:

A

B

C

D

Geometria Analítica dos Sólidos

Geometria Não/Euclidiana

Questão 3 Considere a figura do lado esquerdo. O cumprimento X é igual a:

Questão 4 Considere o quadrado inscrito na circulo de raio r. A razão da área do círculo para a área do quadrado é igual a:

Questão 5

Na figura à direita, o segmento PT é tangente à circunferência em T. Se 4AB e 3BP ,

então 2

PT é igual a:

Chave de respostas Questão 1 2 3 4 5 Resposta B A C B D

UNIDADE 2: Geometria Analítica Plana Pré-avaliação (60 minutos) Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Analítica do Plano você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada. Questão 1 Considerando os vectores a e b na figura ao lado, as coordenadas do vector a+b são:

A (2, 3)

B (-2, -1)

C (4, -1)

D (4, 3)

Questão 2 A distância d entre dois pontos conhecidos e pode ser dado por: ),( 111 yxP ),( 222 yxPA

212

212 )()( yyxx d )1

B

()( 122 yxyxd

C )()( 122

12 yyxx d D )1()( 212 yyxxd

Questão 3 Considerando o gráfico abaixo, a equação da linha recta é:

A 0623 xy

B 033

2 yx

C 0632 yx

x

y

D 023

2 xy

Questão 4 Considera a circunferência de raio r e centro O’. A sua equação pode ser dada por:

A ( 1)2()3 22 yx

B 1)()2( 232 yx 2

C 1)()( 2123 yx

x22

1)3()2 22 y

D (

Questão 5 Considerando o gráfico abaixo, a equação da parábola é:

A 22xy

B 2xy

C 221 xy

x

y

D 2xy

Chave de respostas

Questão 1 2 3 4 5 Resposta D A C B C

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos Pré-avaliação (60 minutos) Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Analítica dos Sólidos você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada.

Questão 1 Considerando os vectores a e b ao lado, a soma ba é igual a:

A (4, 5, -2)

B (3, -5, -2)

C (4, -1, 2)

D (3, 5, 2)

Questão 2 Considerando a figura da questão anterior, a magnitude do ângulo entre os vectores a e b será igual a: A 1200

B 900

C 2450

D 1000

Questão 3 A distância d entre dois pontos conhecidos e pode ser dado por: ),,( 1111 zyxP ),,( 2222 zyxP

A

212

212

212 )()()( ZZyyxx d

B 212

212

212 )()()( zzyyxx d

d

C

)()()( 212121 xzzyyx

D )()()( 121212 xzzyyx d

Questão 4: Considerando a figura abaixo, o volume do tetraedro [OABC] é igual a:

A 24 unidades cúbicas

B 18 unidades cúbicas

C 8 unidades cúbicas

D 10 unidades cúbicas

Questão 5 Os gráficos abaixo mostram as projecções da esfera sobre os planos xy e plane yz.

As coordenadas do centro da esfera são: A (1, 2, 1.5)

B (2, 1, 1.5)

C (1, 1.5, 2)

D (1.5, 2, 1)

Chave das respostas

Questão 1 2 3 4 5 Resposta D B B C A

UNIDADE 4: Geometria Não-Euclidiana Pré-avaliação (60 minutos) Antes de iniciar as Actividades de Aprendizagem sobre a Geometria Analítica dos Sólidos você vai precisar de refrescar os seus conhecimentos sobre alguns tópicos da geometria escolar. A Pré-avaliação consiste de cinco questões no formato de escolha-múltipla. Cada questão tem quatro respostas e você deve escolher apenas uma resposta, aquela que considera completamente correcta. O sinal X deve ser colocado na caixa da resposta considerada.

Questão 1 A seguinte afirmação: “Dada qualquer recta l e um ponto P não pertencente à l, existe uma única recta m no mesmo plano como P e l que passa através de P e não encontra l.”

A É a definição de rectas paralelas

B É um axioma sobre incidência ponto recta

C É o V postulado de Euclides

D É o teorema das rectas paralelas

Questão 2 Qual das seguintes afirmações é verdadeira: A A geometria Euclidiana foi inventada por Euclides.

B A obra Os Elementos foi escrita pelo pai de Euclides cerca de 300 AC.

C Euclides nasceu em Roma.

D A obra Os Elementos é composto por treze livros.

Questão 3 Considere o triângulo ABC e sua imagem A’B’C’ por dilatação de centro O. Se o centro O tender para o infinito, então:

A

Os dois triângulos tendem a ser congruentes entre si.

B O triângulo ABC tende a ser maior que o triângulo A’B’C’.

C

O triângulo ABC tende a ser maior que o triângulo A’B’C’. The triangle A’B’C’ tends to be bigger than the triangle ABC.

D A relação de tamanho dos triângulos permanece imutável.

Questão 4

Considere um triângulo qualquer ABC. Se T é centróide (o centróide de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas – as linhas que unem os vértices com o ponto médio do lado oposto), então verifica-se:

A ADAT 32

B FTET

C CTBT

D EBTDTFTE

Questão 5

A matriz inversa de

57

23A

A

A

A

A Is

75

321

B Is

37

251

C Is

32

751

D

Não existe!

Chave das perguntas

Questão 1 2 3 4 5 Resposta C D A A B

IX. Actividades de Aprendizagem UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA): AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica

Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 1.1: Sobre a história da Geometria Euclidiana 1.1.1 Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deve ser capaz de:

Explicar o desenvolvimento do conhecimento geométrico ao longo da história das diferentes civilizações.

Indicar locais, períodos, geômetras destacáveis e suas contribuições para o desenvolvimento da Geometria Euclidiana

Sumário Nesta Actividade de Aprendizagem você vai aprender como o pensamento geométrico foi desenvolvido ao longo dos séculos como producto da interacção da humanidade com a Natureza. Você vai saber sobre os locais, períodos de destacáveis geômetras e suas contribuições para o conhecimento que se tornou disciplina matemática chamada geometria Euclidiana. Você irá encontrar que à parte dos Gregos, Babilónios, Romanos, Indianos e Chineses, os antigos Egípcios – uma civilização Africana antiga – à cerca de 4000 anos atrás já possuíam conhecimentos matemáticos interessantes que incorporam a famoso obra de Euclides – Os Elementos. Racionalidade Frequentemente os alunos perguntam de onde vêm os teoremas, ou como os matemáticos os descobriram. É importante para você como futuro educador explicar aos seus estudantes a cerca de questões deste tipo. Sabendo como a Humanidade desenvolveu a geometria, eles ficarão intrinsecamente estimulados a investigar geometria. Se eles próprios puderem sentir-se investigadores, eles se tornarão mais confidentes em fazer matemática e você se sentirá satisfeito da sua profissão como professor. Conceitos chaves Os Elementos de Euclides: O clássico tratado de geometria escrito por Euclides (à cerca de 300 AC). A obra consiste em 465 proposições, dividido em 13 tomos (livros). (Ver AA1.1 LR ) Papiro Matemático Rhind: O Papiro Matemático Rhind (PMR) é um documento matemático antigo escrito no papyrus (papel). Foi denominado por Alexander Henry Rhind, um Escocês colecionador de antiguidades que comprou o papyrus em 1858 em Luxor, Egipto. (Ver AA1.1 LR ) Lista de Leituras Relevantes (LR)

Lista de Recursos Relevantes Particularmente para esta Actividade de Aprendizagem inicial da Unidade 1, para além do CD-ROM-Recursos que você obterá no seu pacote de material, você precisará visitar sítios da Internet, pelo menos uma vez, durante o estudo da Actividade de Aprendizagem. Desenvolvimento da Actividade de Aprendizagem Sobre a história da Geometria Euclidiana Você deve ter perguntado a si próprio as seguintes questões:

Quem criou (ou inventou) a geometria Euclidiana? Qual foi o mérito de Euclides como geômetra? Terão antigas civilizações em África desenvolvido conhecimentos geométricos?

Figura 1.1.1: Antigos centros de desenvolvimento do conhecimento geométrico

Nesta actividade você vai aprender sobre o desenvolvimento do conhecimento geométrico e ser capaz de responder a questões como aquelas apresentadas acima. De facto, a geometria Euclidiana – que você já a conhece da escola secundária – é uma disciplina matemática que tem sido desenvolvida por diferentes civilizações por todo o mundo desde os tempos antigos. Você vai aprender sobre geometria Euclidiana a saber porquê ela tem fascinado pessoas e influenciado a maneira de pensar na matemática e em outras disciplinas científicas desde a 300 AC, quando Euclides escreveu a famosa obra intitulada Os Elementos. Tarefa 1 Lê sobre o desenvolvimento da geometria Euclidiana (AA1.1 LR2 – LR5) ao longo da história das diferentes civilizações. Encontre como diferentes civilizações ao longo de séculos contribuíram para a construção do saber hoje conhecido como geometria Euclidiana e escreva um ensaio (500-700 palavras) sobre o assunto.

Figura 1.1.2: Pirâmides de Giza – um magnífico sinal do conhecimento geométrico do Egipto Antigo

Tarefa 2 Lê sobre matemática do Egipto Antigo (AA1.1, LR5) escreva sobre algumas contribuições Egípcias para a geometria Euclidiana. Tarefa 3 O que é o “Papyrus matemático Rhind”? Apresente alguns tópicos geométricos incluídos no Papyrus matemático Rhind

Figura 1.1.3: Uma porção do papyrus Rhind Tarefa 4 Quando escreveu Euclides a sua obra “Os Elementos”? Descreva brevemente o conteúdo dos 13 livros d’ Os Elementos. UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA): AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:

Explicar o desenvolvimento da geometria Euclidiana num exemplo concreto de aplicação de axiomas, teoremas e outros conceitos geométricos.

Apresentar suas próprias conjecturas a partir da exploração de meios sólidos manipulativos ou pacotes informáticos.

Desenhar figuras geométricas usando instrumentos básicos e/ ou computador. Demonstrar teoremas Euclidianos clássicos e simples

Sumário Nesta Actividade você vai aprender como o pensamento geométrico foi desenvolvendo ao longo dos séculos como produto da interacção do Humanidade com a Natureza. O objectivo essencial desta actividade é ter você desenvolvendo o raciocínio inductivo-deductivo e estimulá-lo para mais investigação na geometria e na matemática em geral. Daí que você terá de formular conjecturas explorando as questões que lhe serão colocadas no decorrer da actividade. Baseado nas suas próprias conjecturas você irá desenvolver demonstrações matemáticas formais. Também irá aprender alguns teoremas clássicos e comuns da geometria Euclidiana e pedido para aplicá-los em problemas concretos. Recomenda-se vivamente que você use instrumentos geométricos (pelo menos régua e compasso) sempre que necessário. Racionalidade É importante reflectir sobre como a geometria Euclidiana – tal como outras estruturas matemáticas – foi construída. Você irá encontrar o que caracteriza os fundamentos da geometria e que inovações apresenta David Hilbert (1862-1943) para a axiomática da geometria Euclidiana. Com base na tall reflexão, você irá perceber melhor o que distingue esta geometria de outro tipo de geometria que irás aprender mais adiante na Unidade 4 (a geometria Não-Euclidiana). Conceitos-chave Axioma: Uma proposição que é tomada por garantia como verdadeira. Teorema: Uma afirmação que já foi provada ser verdadeira ou proposta como verdade demonstrável. Conjectura: Uma conjectura é o mesmo que hipótese, a afirmação esboçada da mesma evidência mas ainda não provada. Raciocínio inductivo-deductivo: Uma maneira de pensar que começa pelos casos particulares à generalizações (indução) – e uma vez tendo afirmações gerais (provadas) então obtemos implicações para caso particular (dedução). Demonstração matemática: Uma minuciosa demonstração de uma proposição usando a lógica de estrutura axiomática dessa proposição. Lista de Leituras Relevantes (LR)

Lista de Recursos Relevantes (RR) WinGeom ou GeoGebra (softwares geométricos no CD-ROM-Recursos) Ambos WinGeom e GeoGebra são fontes livres e abertos de softwares similares ao Cabri-geometrè e são de alta qualidade. Também desenham gráficos de funções e criam uma relação dinâmica entre o gráfico e sua função. Você poderá baixar WinGeom e GeoGebra da Internet http://freestatistics.altavista.org/math.php

Figura 1.2.2: Imagens do GeoGebra e do WinGeom 1.2.7 Desenvolvimento da Actividade de Aprendizagem

Desenvolvimento axiomático da geometria Euclidiana

Figura 1.2.1: Um edifício em construção

Você deve já ter visto pessoas construindo um edifício. Procura reflectir nas seguintes questões:

Qual é o material básico que os construtores usam para levantar as paredes? Você conhece algumas regras – precauções – que os construtores aplicam por forma a

estarem seguros que as paredes não vão cair? Mesmo que você não saiba nenhuma precaução que os construtores usam para construírem uma casa, você está seguro que é necessário respeitar certas leis físicas. A construção da nossa disciplina – Geometria Euclidiana – pode ser comparada a construção de uma casa. As “pedras” ou “tijolos” da Geometria Euclidiana são proposições que são tomadas como verdadeiras e servem como um ponto de partida para deduzir outras verdades. Afirmações deste tipo chamam-se axiomas. Existe mais “materiais básicos” que se chamam teoremas. Um teorema é uma afirmação cuja veracidade já foi provada ou proposta como verdade demonstrável. Portanto, com este “material” juntamente com definições dos conceitos geométricos que você já conhece da escola secundária, deixa-nos iniciar a construção da nossa casa (a Geometria Euclidiana) usando pedras e tijolos (axiomas, teoremas, definições) e respeitando regras de construção de uma casa (lógica, pensamento indutivo-deductivo) pondo doto este material junto, de tal modo que as paredes possam ser erguidas firmemente. Continuando a construir atendendo estas regras teremos finalmente a casa toda, com quartos, cozinha, casa de banho, portas, janelas, etc. Tal como pedras ou tijolos de uma casa, todo o conjunto dos axiomas Euclidianos respeita as seguintes regras:

Integridade: Um sistema de axiomas é inteiro se de todas as suas proposições da disciplina (neste caso da Geometria Euclidiana) podem ser deduzidas;

Independência: Não é permitido considerar qualquer afirmação como axioma se ela é deduzida de outros axiomas;

Não-contradição: Não é permitido que através de uma conclusão deductiva de axiomas se declare a negação de um axioma ou proposição.

Estes são os princípios do sistema axiomático da Geometria Euclidiana. Assim, dado que estamos envolvidos numa construção de uma teoria geométrica na base de um tal conjunto de axiomas, a nossa actividade será o desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana. Agora você tem uma idéia sobre o que vai ser a sua actividade. De facto a Geometria Euclidiana tem vindo a fascinar pessoas e influenciado o modo de pensar de cientistas de outras disciplinas desde cerca de 300 anos AC, quando Euclides escreveu a sua famosa obra Os Elementos.

Tarefa 1 Lê sobre o Fundamento da Geometria (AA1.2 LR5, pgs 1-16). Dos cinco grupos de axiomas, escolha dois grupos e apresente seus axiomas. Tarefa 2 Lê sobre a Geometria Euclidiana (AA1.2 LR2). Explica a diferença entre um axioma e um teorema. Dê três exemplos de ambos. Tarefa 3 Lê sobre Os Elementos de Euclides (AA1.2 LR1), particularmente os seguintes itens: - Introdução (sobre Os Elementos de Euclides) - Livro I (Os fundamentais da geometria) - Livro IV (Construções sobre figuras inscritas e circunscritas) Escolha um dos softwares (GeoGebra ou WinGeom) e tenta ilustrar três proposições do Livro I, e cinco proposições do Livro IV. Tarefa 4 Lê sobre o sistema de axiomas da Geometria Euclidiana (AA1.2 LA5 AA1.2 LR6) e explica suas propriedades.

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA): AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 1.3: Isometrias Euclidianas planas Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:

Definir todos os quatro tipos de isometria Euclidiana plana Desenhar exemplos de isometria Euclidiana plana usando papel e lápis e usando o software

GeoGebra ou WinGeom. Sumário Nesta actividade você vai rever transformações geométricas que já conhece da geometria da escola secundária. Os quatro tipos de isometria Euclidiana plana são: translação, rotação, reflexão e translação-refectida. Basicamente você será estimulado a rever estas transformações por exploração de softwares do seu CD-ROM-Recursos. Racionalidade Eata Actividade de Aprendizagem ajuda você a elevar seus conhecimentos sobre transformações isométricas aprendidas na escola secundária. É importante reconhecer a classificar os diferentes tipos de isometria no seu ambiente geográfico e cultural. Conceitos Chave Isometrias Euclidianas plana: Isometrias Euclidianas plana é uma isometria no plano euclidiano, ou mais informalmente, a transformação do plano que preserva propriedades geométricas tais como o comprimento. (AA1.3 LR1) Translação: Em geometria, translação movimenta todo ponto a uma distância constante, numa determinada direcção. Formalmente, a translação é denotada por T , onde v é um vector em v

2R . Isto

tem o efeito de deslocar o plano na direcção de v. (AA1.3 LR1) Rotação: Uma rotação é o movimento de um objecto numa trajectória circular. No plano, um objecto roda à volta de um centro (ou ponto) de rotação. Uma rotação é denotado por , onde c é um ponto

no plano (o centro da rotação), e cR

é o ângulo de rotação. (AA1.3 LA1)

Translação-reflectida: Uma translação-reflectida é uma combinação de uma reflexão numa recta e uma translação nessa recta. A translação reflectida é denotada por , onde c é um ponto no plano,

v é um vector unitário em cvwG

2R , e w é um vector perpendicular à v. (AA1.3 LA1) Congruência geométrica: Duas figuras geométricas são ditas exibir congruência geométrica (or “ser geometricamente congruentes”) sse uma pode ser transformada na outra por uma isometria (AA1.3 LA3). Esta relação é escrita BA . Lista de Leituras Relevantes (LR)

Lista de Recursos Relevantes (RR) Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são: - Instrumentos de desenho geométrico básico (régua e compasso). Mais instrumentos manuais de desenho podem ser úteis. - GeoGebra ou WinGeom 1.3.7 Desenvolvimento da Actividade de Aprendizagem

Isometria Euclidiana plana Isometria Euclidiana plana Em qualquer sítio no nosso meio ambiente nós temos a oportunidade de apreciar a beleza de objectos naturais e artificiais. Há plantas, animais e objectos feitos pelo homem, cuja beleza é caracterizada por disposição de padrões repetidos, conservando formas e tamanhos inalterados. São essa característica a matéria da nossa actividade de aprendizagem agora.

Figura 1.3.1: Exemplos de transformações isométricas na Natureza e na arte Tarefa 1 Leia sobre a Isometria Euclisiana plana (AA1.3 LR1). Encontra no seu meio ambiente dois exemplos de cada tipo de isometria Euclidiana plana e esboça-os à mão. Tarefa 2

Investigue a seguinte questão: Numa translação-reflectida G, se começar por translação seguida de reflexão, resulta o mesmo como começar por reflexão seguida de translação? Tarefa 3 Desenhe três exemplos de cada tipo de isometria Euclidiana plana usando GeoGebra.

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA): AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 1.4: Triângulos Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:

Definir alguns teoremas comuns sobre triângulos Construir um triângulo dados três dos seus elementos, usando somente régua e compasso or

usando GeoGebra ou WinGeom. Sumário Nesta actividade você vai demonstrar sinteticamente alguns dos mais populares teoremas sobre triângulos. Há proposições sobre pontos, rectas e circunferências associadas ao triângulo. Para construções de triângulos, à parte de usar instrumentos clássicos (compasso e régua), você será estimulado a resolver problemas de construção explorando GeoGebra ou WinGeom – os softwares no seu CD-ROM-Recursos. Racionalidade Um triângulo é o polígono fechado com menor número de lados. Qualquer polígono fechado pode ser repartido em triângulos. Consequentemente, conhecendo as propriedades dos triângulos você será capaz de resolver problemas relacionados a diferentes formas poligonais. Formas triangulares são muito usadas na engenharia porque elas são a maneira mais simples que se pode construir estruturas físicas fortes para várias aplicações técnicas. Conceitos chave Triângulo: Um triângulo é uma das formas básicas da geometria: um polígono com três vértices e três lados que são segmentos de recta. (AA1.4 LR1) Circunferência inscrita: A circunferência circunscrita de um triângulo é a maior circunferência contida no triângulo; ela toca (é tangente a) os três lados. O centro de uma circunferência inscrita é chamada incentro do triângulo. (AA1.4 LR1)

Centróide: A centróide de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas (os segmentos de recta que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto). (AA1.4 LA1) Ortocentro: As três alturas de um triângulo intersectam-se num ponto singular chamado ortocentro do triângulo. (AA1.4 LR1) Circunferência dos nove-pontos: A circunferência dos nove-pontos (também conhecida por circunferência de Feuerbach, circunferência de Euler, circunferência de Terquem) é uma circunferência que pode ser construída par qualquer triângulo dado. Ela é assim chamada porque passa por nove pontos significantes, dos quais seis no próprio triângulo (ao menos que o triângulo seja obtuso). Eles incluem: o ponto médio de cada lado do triângulo, o pé de cada altura, e o ponto médio do segmento de cada altura que vai do vértice ao ortocentro. Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA1.4 RR1: Triângulo http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle

LA1.4 RR2: Triângulo http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html

Lista de Recursos Relevantes (RR) Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são: - Instrumentos de desenho geométrico clássicos: compasso e régua. Diferentemente de outras Actividades de Aprendizagem, nesta AA nenhum outro instrumento de construção é permitido.

- GeoGebra or WinGeom.

Introduction to the Learning Activities

Triângulos

Figura 1.4.1: Um exemplo de aplicação de formas triangulares na tecnologia de construção

Você vai iniciar a actividade recordando pontos especiais, rectas e circunferências relacionados com um triângulo:

Altura de um triângulo é o segmento que vai do vértice, perpendicularmente, ao lado oposto. As três alturas de um triângulo intersectam-se num ponto singular chamado ortocentro do triângulo. Mediana de um triângulo é o segmento que vai do vértice ao ponto médio do lado oposta. O centróide ou baricentro de um triângulo é ponto de intersecção das suas medianas. Bissector-de-ângulo de um triângulo é o segmento de raio que bissecta um ângulo e estende-se até ao lado oposto. A intersecção dos bissectores-de-ângulo coincide com o centro da circunferência inscrita. Mediatriz do lado de um triângulo é a recta que bissecta e é perpendicular a esse lado. As três mediatrizes de um triângulo encontram-se num ponto singular, no circuncentro do triângulo; este ponto é o centro da circunferência circunscrita, a circunferência que passa por todos três vértices do triângulo. Depois desta revisão você vai elaborar estes elementos relacionados ao triângulo, começando por conjecturas de suas propriedades. Isto irá dirigi-lo a aprender teoremas que lhe irão permitir resolver problemas sobre construção triângulos, usando compasso e régua. Usando GeoGebra ou WinGeom você poderá também explorar proposições interessantes sobre triângulos. Tarefa 1 Lê sobre Triângulos (AA1.4 LR1 e AA1.4 LR2) Em geral, um triângulo é definido por três elementos. LAL (Lado, Ângulo, Lado), ALA (Ângulo, Lado, Ângulo), LLL (Lado, Lado, Lado) providenciam três exemplos bem conhecidos. Mas existe mais! Usando compasso e régua, constrói um triângulo para cada um dos casos LAL, ALA, e LLL. Tarefa 2 Teorema de Thales (designado mediante Thales de Miletos) declara que se A, B e C são pontos sobre a circunferência onde o segmento AC é diâmetro, então o ângulo ABC é ângulo recto. Prova o inverso deste teorema de Thales.

Tarefa 3 Recta de Euler, denominado mediante Leonardo Euler, é a recta determinada de qualquer triângulo que não é equilátero; ela passa pelo ortocentro, cincuncentro, centróide e o centro da circunferência dos nove-pontos de um triângulo. Desenha a recta de Euler do triângulo ABC. Tarefa 4 Investiga o teorema de Ceva. Este é um teorema bem conhecido da geometria elementar. Dado o triângulo ABC, e pontos D, E, e F que estão nos segmentos BC, CA, e AB respectivamente, o teorema declara que os segmentos AD, BE e CF são concorrentes se e só se

1EA

CE

DC

BD

FB

AF

Prova este teorema de Ceva.

Tarefa 5 Dado o triângulo ABC, desenha a sua circunferência de Feuerbach usando régua e compasso.

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA): AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 1.5: Circunferências Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem o estudante deverá ser capaz de:

Demonstrar alguns teoremas comuns sobre circunferência Explorar propriedades da circunferência usando GeoGebra or WinGeom

Sumário Nesta actividade, você vai demonstrar sinteticamente alguns dos mais teoremas populares sobre triângulos. Alguns destes teoremas estão relacionados com a AA anterior (sobre triângulos). Problemas de construção de circunferências serão resolvidos usando régua e compasso bem como usando GeoGebra or WinGeom. Racionalidade Nesta AA, você vai aprender propriedades da circunferência relacionado com segmentos e ângulos. Daí que é importante rever alguns teoremas sobre triângulos circunscritos e triângulos inscritos. Conceitos chave Circunferência: Uma circunferência é o conjunto de todos pontos num plano que estão à uma distância fixa de um ponto fixo chamado centro. Raio: Um raio de uma circunferência é um segmento que une o centro à um ponto da circunferência. Nota: Uma vez que todos os raios de uma dada circunferência têm o mesmo comprimento, poderemos usar em tempos a palavra raio para significar o número que é “o cumprimento do raio”. Corda: Uma corda de uma circunferência é um segmento de recta que une dois pontos na circunferência. Diametro: Um diâmetro é uma corda que para do centro da circunferência. Arco: Um arco é uma parte contínua de uma circunferência.

Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA1.5 RR1: Circunferência http://en.wikipedia.org/wiki/Circle

LA1.5 RR2: Circunferência http://mathworld.wolfram.com/topics/Circles.html LA1.5 RR3: Teoremas sobre circunferência http://www.mathsrevision.net/gcse/pages.php?page=13

Lista de Recursos Relevantes Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são: - Instrumentos de desenho geométrico clássicos: régua e compasso.

- GeoGebra or WinGeom. Introdução da Actividade de Aprendizagem

Circunferência Que forma é o conjunto de todos os pontos situados à mesma distância de um ponto fixo? . Circunferência é uma forma muito comum que encontramos na Natureza e no ambiente artificial.

Figura 1.5: Exemplos de aplicação da forma circular..

Tarefa 1 Leia sobre a Circunferência (AA1.5 LR1, AA1.5 LR2 e AA1.5 LR3) e prove três dos seguintes teoremas:

(1) Ângulos subentendidos por um arco numa circunferência e sobre o mesmo segmento são iguais.

(2) O ângulo que um arco subentende no centro de uma circunferência é duas vezes o ângulo que o arco subentende nos pontos sobre o resto da circunferência.

(3) Um ângulo subentendido por uma semi-circunferência é um ângulo recto. (4) If two tangents are drawn from an external point P to a circle then: (a) the tangents have equal

length; (b) the tangents subtend equal angles at the centre of the circle; (c) the line from the point to the centre bisects the angle between the tangents.

(5) If a tangent PA and a secant PBC are drawn from an external point P, then PA2=PB.PC. (6) If two chords AB and CD intersect at a point Y, then AY.BY=CY.DY.

Tarefa 2 Considerando as figuras abaixo, encontre x e y.

a) b)

c)

Tarefa 3 Resolva um dos seguintes problemas de construção:

(1) Construa uma circunferência com um dado raio e tangente a duas rectas concorrentes. (2) Construa uma circunferência com um dado raio, tangente a uma dada recta e tangente a

uma da circunferência.

UNIDADE 1: Revendo a Geometria Euclidiana Esta Unidade tem 6 Actividades de Aprendizagem (AA): AA1.1: Sobre história da Geometria Euclidiana AA1.2: Desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana AA1.3: Isometrias Euclidianas planas AA1.4: Triângulos AA1.5: Circunferências AA1.6: Semelhança geométrica Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 1.6: Semelhança geométrica Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, o estudante deverá ser capaz de:

Definir e construir exemplos de semenhança geométrica Explorar semelhança geométrica usando GeoGebra ou WinGeom.

Sumário Nesta actividade você vai aprender semelhança geométrica e relacionar esta transformação com a transformação isométrica que aprendeu em AA1.3. Particularmente, você vai aprender sobre triângulos semelhantes. À parte do uso de instrumentos de desenho clássicos para construção geomérica você vai usar também construction you will use also GeoGebra or WinGeom. Racionalidade A semelhança geométrica inclui transformações isométricas como casos particulares. Assim, é importante que você chame a memória as propriedades das transformações aprendidas em AA1.3. Também é importante rever princípios básicos de proporção, particularmente aqueles relacionados com semelhança de triângulos. Conceitos-chave Semelhança geométrica: Uma transformação que preserva ângulos e muda todas as distâncias na mesma razão, chamada razão de ampliação. Uma semelhança pode também ser definida como uma transformação que preserva razões de distâncias. (AA1.6 LR2) Razão de ampliação: Uma razão de ampliação é um razão constante na qual todas as distâncias são incrementadas (ou reduzidas) numa semelhança. Uma semelhança com razão de ampliação igual a 1 é chamada isometria. (AA1.6 LR2) Dilatação central: Uma transformação de semelhança que transforma cada segmento de recta em um segmento de recta paralelo cujo comprimento é um múltiplo fixo do comprimento do segmento de recta original. A dilatação simplíssima é portanto a translação e qualquer dilatação que não seja meramente uma translação é chamada dilatação central.

Directamente similar: Duas figures são directamente similares (ou directamente semelhantes) quando todos os ângulos correspondentes são iguais e descritos no mesmo sentido rotacional. (AA1.6 LR2) Inversamente similar: Duas figuras são inversamente similares (ou inversamente semelhantes) quando todos os ângulos corespondentes são iguais e descritos no sentido rotacional oposto. (AA1.6 LR2) Lista de Leituras Relavantes (LR)

LA1.6 RR1: Semelhança (geométrica) http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_(geometry) LA1.6 RR2: Semelhança geométrica

http://mathworld.wolfram.com/SimilarityTransformation.html

Lista de Recursos Relevantes (RR) Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são: - Instrumentos de desenho geométrico clássicos: régua e compasso.

- GeoGebra ou WinGeom. Introdução às Actividades de Aprendizagem

Semelhança geométrica

Figura 1.5: Exemplo de formas com semelhança geométrica

Tarefa 1 Lê sobre semelhança geométrica (AA1.6 LR1, AA1.6 LR2 e AA1.6 LR3). Soponha que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF de tal modo que o ângulo de vértice A é congruente ao ângulo de vértice D, o ângulo de vértice B é congruente ao ângulo em E, e o ângulo em C é congruente ao ângulo em F. Então, uma vez isso conhecido, prova uma das seguintes proporcionalidades entre lados correspondentes dos dois triângulos.

EF

DE

BC

AB ,

DF

DE

AC

AB ,

EF

DF

BC

AC ,

DF

AC

EF

BC

DE

AB

Tarefa 2 Considera o triângulo ABC cuja a área é igual a 3 unidades quadradas. Se ABC é transformado em A’B’C’ por dilatação central de razão de ampliação igual a

23 qual será a

área do triângulo A’B’C’ ?

Tarefa 3

Encontra os comprimentos dos catetos de um triângulo rectangular cuja hipotenusa tem comprimento c se estes catetos têm a razão de

(a) 3:4 and c=15; (b) 5:12 and c=26 (c) 1:2 and c=10.

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) Objectivos de aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Definir o conceito de vector Operar com vectores (adição, multiplicação escalar, e produto escalar).

Sumário Nesta Actividade de Aprendizagem, você vai aprender o conceito de vector. Deverá ser observado que um vector é definido pelos seguintes aspectos: magnitude e direcção orientada (sentido). As operações fundamentais de vectores com os quais você vai começar nesta Unidade 2 são a adição, a multiplicação por um escalar e o produto escalar. Mais tarde na Unidade 3 você vai aprender mais tipos diferentes de produtos de dois vectores. Racionalidade As leis de operação no espaço vectorial são similares às leis de operação na álgebra escalar. Portanto, é importante rever princípios de operações básicas aprendidas no Módulo sobre Álgebra Linear. Conceitos chave

Espaço vectorial: Um espaço vectorial é um domínio matemático de quantidades possuindo magnitude, direcção e sentido – vectores – junto com um conjunto definido de leis de operação. (ver definição formal em AA2.1 LR3)

Vector: Um vector é uma quantidade caracterizada por magnitude (em matemática um número, em física um número vezes uma unidade) e um sentido, frequentemente representado graficamente por uma seta. (AA2.1 LR2) Multiplicação por um escalar: Uma multiplicação por um escalar é a multiplicação de um vector por um escalar.

Norma de um vector: O comprimento ou magnitude de um vector v é frequentemente chamado norma de v e é denotado por v . Segue-se do teorema de Pitágoras que a norma de um vector

no espaço de duas dimensões é ),( 21 vvv 22

21 vv v .

Producto escalar: Um producto escalar (apropriado pelo facto de que o seu valor é escalar) de dois vectores A e B é a quantidade escalar (denotado ba ) obtido por multiplicação do producto das

normas dos vectores pelo coseno do ângulo formado por esses vectores. Isto é )b(a,baba cos .

O producto escalar é também chamado producto interno. List a de Leituras Relavantes (LR)

LA2.1 RR1: Vector analysis, a text-book for the use of students of mathematics and Physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs, c1929

(a PDF file in http://www.archive.org/details/117714283 ) LA2.1 RR2: Vector (spatial)

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_(spatial) LA2.1 RR3: Vector space

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space LA2.1 RR4: Vector http://mathworld.wolfram.com/Vector.html

Lista de Recursos Relevantes (RR) Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são:

- Régua e trnasferidor - GeoGebra ou WinGeom.

Introdução a Actividade de Aprendizagem

Espaço vectorial (em duas dimensões) No mundo matemático e físico podemos considerar dois tipos de quantidades. Algumas quantidades são simplesmente descritas pelas suas magnitudes. Por outro lado, há quantidades que para além da magnitude, a direcção e sentido devem ser dadas. Por exemplo, a força é dada pela magnitude junto com a direcção e sentido em ela é orientada. O vento também é apresentado pela magnitude junto com a direcçào e sentido norte, sul, este, oeste ou uma direcção intermédia. Tais quantidades – possuindo uma magnitude, uma direction e sentido – são chamadas vectores.

Figura 2.1.7: Uma camada grelha de vectores

Matematicamente. Um espaço onde quantidades deste tipo são estudados é chamado espaço vectorial e é formalmente definido como se segue:

Seja F um campo (tal como os números reais ou números complexos), cujos elementos serão chamados escalares. Um espaço vectorial sobre o campo F é o conjunto V junto com duas operações binárias,

- Adicção de vectores: V × V → V denotado v + w, onde v, w ∈ V, e - Multiplicação por escalar: F × V → V denotado av, onde a ∈ F e v ∈ V,

satisfazendo os axiomas abaixo. Quatro destes requerem a adicção de vectores para serem um grupo Abeliano, e dois são leis distributivas

1. A adicção de vectores é associativa: Para todo vector u, v, w ∈ V, temos u + (v + w) = (u + v) + w.

2. A adicção de vectores é comutativa:

Para todo vector v, w ∈ V, temos v + w = w + v.

3. A adicção de vectores tem um elemento neutro: Existe um elemento 0 ∈ V, chamado vector nulo, tal que v + 0 = v para todo v ∈ V.

4. A adicção de vectores tem um elemento inverso: inverse element:

Para todo vector v ∈ V, existe um elemento w ∈ V, chamado inverso aditivo de v, tal que v + w = 0.

5. A distributividade verifica-se para a multiplicação por escalar sobre a adicção de vectores:

Para todo vector a ∈ F e v, w ∈ V, temos a (v + w) = a v + a w. 6. A distributividade verifica-se para a multiplicação por escalar sobre adicção de campo:

Para todo vector a, b ∈ F e v ∈ V, temos (a + b) v = a v + b v. 7. A multiplicação por escalar é compatível com a multiplicação no campo de vectores:

Para todo vector a, b ∈ F e v ∈ V, temos a (b v) = (ab) v. 8. A multiplicação por escalar tem um elemento identidade: identity element:

Para todo vector v ∈ V, temos 1 v = v, onde 1 denota a identidade multiplicativa em F.

Formalmente, estes são para um módulo, portanto um espaço vectorial pode se descrito de forma concisa como módulo sobre um campo. Nota que o sétimo axioma acima, declarando que a (b v) = (ab) v, não confirma assoiatividade of de uma operação, uma vez que há duas operações em questão, multiplicação por escalar: b v; e multiplicação de campo: ab Algumas fontes optam também por incluir dois axiomas do fecho. Some sources choose to also include two axioms of closure:

1. V é fechado sob adicção de vectores: Se u, v ∈ V, então u + v ∈ V.

2. V é fechado sob multiplicação por escalar: Se a ∈ F, v ∈ V, então a v ∈ V.

(Fonte: LA2.1 RR3) Tarefa 1

Leia sobre o conceito de vector, suas propriedades e operações nas leituras LA2.1 RR1, Chapter I, pages 1-17, 51-52; Chapter II, pages 55-60.

Tarefa 2 Esboçe os seguintes vectores v com ponto inicial localizado na origem de coordenadas: (a) v (b) )5,3(1 )7,2(2 v (c) )4,5(3 v

Tarefa 3 Encontre os componentes do vector tendo ponto inicial P1 e ponto terminal P2. (a) P , P)3,2(1 2(3, -5) (b) P1(7, -2) P2(0, 0)

Tarefa 4

Resolva os exercícios 1, 3, 5, 11-16, em LA2.1 RR1, Capítulo II, páginas 113-114.

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 2.2: A linha recta Objectivos de aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Apresentar uma definição prática de uma linha recta através de diferentes formas de equações;

Transformar uma equação de uma recta dada numa forma para outra forma de equação; Resolver problemas envolvendo rectas e pontos, ângulos, ou distâncias relacionadas.

Sumário Uma linha recta pode ser representada por diferentes formas de equação, algumas delas você já as conheces desde a escola secundária. Nesta Acitividade de Aprendizagem você vai aprender mais formas de equações, usando o sistema Cartesiano e polar de coordenadas. Racionalidade Podemos considerar uma linha recta como a simplíssima “curva” uma vez que ela é representada por uma equação do primeiro grau. Mais adiante nesta Unidade você vai aprender à cerca de curvas propriamente ditas cujas equações são do segundo grau. É importante ter mestria na dedução das diferentes equações da linha recta antes de você ir às linhas curvas. Conceitos chave

Declive de uma recta: Um declive (de uma linha recta) é modo de descrever o ângulo entre uma dada recta e a recta horizontal. Veja definição formal de declive de uma recta num plano contendo os eixos x e y no LA2.2 RR1.

Forma declive-intersecção: A forma linear y = ax + b é chamada forma declive-intersecção de uma equação de uma recta, onde a é declive da recta, e b é y-intersecção.

Forma geral: A forma linear Ax + By + C = 0 onde A, B, C são inteiros, é chamada forma geral da equação da recta.

Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA2.2 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904)

(a PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich)

LA2.2 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E. W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell & Sanborn, (c1892)

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) LA2.2 RR3: Line

http://en.wikipedia.org/wiki/Line_(mathematics) LA2.2 RR4: Line http://mathworld.wolfram.com/Line.html

Lista de Recursos Relevantes Os recursos relevantes para esta acividade de aprendizagem são:

- Régua e transferidor - GeoGebra ou WinGeom.

Introdução à Actividade de Aprendizagem

A linha recta

Figura 2.2.7: Linhas rectas

Tarefa 1

Lê sobre representação de uma recta por equações de diferentes formas em LA2.2 RR1, Chapter II, § 31, pages 38-39; and LA2.2 RR2, Chapter III, pages 27-49;

Tarefa 2

Resolva os seguintes exercícios: LA2.2 RR1, page 51, Exercises 1-15 (solve 8 exercises only); page 52, Exercises 1-13 (solve 7 exercises only); page 54, Exercises 1-11 (solve 6 exercises only); page 57, Exercises 1-18 (solve 9 exercises only); pages 63-66, Exercises 1-39 (solve 20 exercises only);

Tarefa 3

Resolva os seguintes exercícios: LA2.2 RR2, pages 27-29, Exercises 1-15 (solve 8 exercises only); pages 30-31, Exercises 1-12 (solve 7 exercises only); page 34, Exercises 1-7 (solve 4 exercises only);

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 2.3: Transformação de coordenadas no plano Objectivos de aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Definir dois movimentos (translação, rotação) de transformação de coordenadas no plano; Encontrar para um dado objecto geométrico as novas coordenadas de uma translação e/ou

/or rotação dos eixos originais. Sumário Uma equação de um objecto geométrico pode ser complicada e não fácil de analizar como estiver dada. Por transformação de coordenadas essa equação pode se tornar mais simples. A simplificação poderá ser realizada por uma ou duas operações distintas: a translação ou/e a rotação dos eixos. Nesta Actividade de Aprndizagem você vai aprender como deduzir as novas coordenadas a partir das originais. Rationalidade A transformação de coordenadas constitue um despositivo que nos permite simplificar uma equação de um objecto geométrico para a forma mais reconhecida – a forma canônica. Portanto, quando você está capaz de transformar coordenadas, você pode então analizar as propriedades do objecto geométrico mais facilmente. Conceitos chave

Transformação de coordenadas: Uma transformação de coordenadas é uma conversão de um sistema de coordenadas para outro, para descrever o mesmo espaço.

Translação de eixos coordenados:Uma translação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados no plano para uma posição diferente de modo que os novos eixos sejam paralelos aos antigos eixos, respectivamente, e similarmente direcionados.

Rotação de eixos coordenados: Uma rotação de eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados por um torno à volta da sua origem como um ponto fixo. Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA2.3 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904)

(PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich)

LA2.3 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E.

W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c892)

(PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) Lista de recursos relevantes Os reursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são:

- Régua e transferidor - GeoGebra ou WinGeom.

Introdução à Actividade de Aprendizagem

Transformação de coordenadas no plano

Figura 2.3.7: Exemplos de transformação de coodenadas no plano (uma translação seguida de una rotação) Tarefa 1

Lê sobre transformação de coordenadas no plano em LA2.3 RR1, Chapter IV, pages 67-69; and LA2.3 RR2, Chapter IV, pages 50-58.

Tarefa 2

Resolve os seguintes execícios: LA2.3 RR1, page 69, Exercises 1-24 (solve 15 exercises only).

Tarefa 3

Resolve os seguintes exercícios: LA2.3 RR2, page 54, Exercises 1-13 (solve 8 exercises only); pages 57-58, Exercises 1-24 (solve 15 exercises only).

UNIDADE 2: Geometria Analítica do Plano Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA2.1: Espaço vectorial (em duas dimensões) AA2.2: A linha recta AA2.3: Transformação de coordenadas no plano AA2.4: Secções cónicas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 2.4: Secções cónicas Objectivos de aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Definir secções cónicas em termos de locus de pontos e apresentando suas equações; Resolver problemas relacionados com secções cônicas; Desenhar secções cónicas à mão livre e usando GeoGebra ou WinGeom.

Sumário Nesta Actividade de Aprendizagem você vai definir secções cônicas autênticas (elipse, parábola, e hipérbole) e aplicar suas propriedades em problemas relacionados. Você vai começar por tratar a equação geral do segundo grau e as formas padrão para as quais ela pode ser transformada, enquanto, por outro lado, será apresentado que o lócus de tal equação é sempre uma curva que pode ser obtida fazendo uma secção plana de um cone circular recto. Racionalidade Secções cónicas têm propriedades com várias aplicações técnicas. É importante para você saber à cerca essas propriedades, particularmente, como você vai precisar de usá-las na próxima Actividade de Aprendizagem quando tratar superfícies geradas por secções cônicas. Conceitos- chave

Secção cónica: Uma secção cónica (ou simplesmente cónica) é uma curva que pode ser obtida por fazer uma secção plana de um cone circular recto.

Elipse: Uma elipse é uma secção cónica gerada por intersecção de um cone circular recto e um plano que não intersecta a base do cone. Uma elipse pode também ser definida como o locus dos pontos sobre o plano onde a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva à dois pontos fixos é constante.

Parábola: Uma parábola é uma secção cónica gerada por intersecção de um cone circular recto e um plano paralelo à recta geradora desse cone. Uma parábola também pode ser definida como locus de pontos num plano que são equidistantes de um dado ponto (o foco) e uma dada recta (a directriz).

Hipérbole: Uma hipérbole é o tipo de secção cónica definido como intersecção entre um cone circular recto e um plano que intersecta ambas metades do cone. Ela também pode ser definida como o locus dos pontos onde a diferença entre as distâncias para dois pontos fixos é constante. Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA2.4 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 113-192.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich) LA2.4 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E.

W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 59-169.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich ) LA2.4 RR3: Conic section

http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section

LA2.4 RR4: Conic section http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html 7 Introdução à Actividade de Aprendizagem

Secções cónicas

Figura 2.4.7: Secções cónicas

Tarefa 1

Lê sobre secções cónicas em LA2.4 RR1, Chapter VII-Chapter XI, pages 113-192; and LA2.4 RR2, Chapter V-Chapter IX, pages 59-187.

Tarefa 2

Resolva os seguintes exercícios: LA2.4 RR1, para cada grupo de execícios, resolva apenas cinco. Pages: 137-, 146-, 161-, 175-, 187-.

Tarefa 3 Resolva os seguintes exercícios:

LA2.4 RR2, para cada grupo de exercícios, resolva apenas em cinco. Pages: 63-82, 102-105, 136-140, 166-169.

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA3.1: Vectores em três dimensões AA3.2: Planos e rectas AA3.3: Transformação de coordenadas no espaço tridimensional AA3.4: Superfícies quádricas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 3.1: Vectores em três dimensões Objectivos de Aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Operar com vectores (adicção, multiplicação por um escalar, e produto escalar em três dimensões);

Aplicar os productos de vectores (producto escalar, producto vectorial, producto misto)

Sumário Nesta Actividade, você vai começar por rever o conceito de vector e extendê-lo para o espaço tridimensional. De facto, em termos de espaço, esta Unidade é uma extensão da Unidade anterior. Todas as operações de vectores que você aprendeu na Unidade 2, serão aplicadas agora em três dimensões. Um tipo diferente de producto de vectores será introduzido – o producto vectorial (ou producto externo). Mais ainda, combinações do producto escalar e producto vectorial envolvendo três vectores – o producto misto escalar e o producto misto vectorial – serão aprendidos Furthermore, combinations of dot product and cross product involving three vectors – the scalar triple product and the vector triple product – will be learned. Racionalidade As leis das operações no espaço vectorial em três dimensões são as mesmas que você já conhece da Unidade anterior. Portanto, o único aspecto que você deverá estar consciente dele é que você está agora trabalhando em três dimensões. Por esta razão, você é recomendado a rever as propriedades do espaço vectorial que aprendeu na Unidade 2, antes de começares a presente Unidade. Conceitos-chave

Producto vectorial: O producto vectorial (também conhecido por producto externo) é uma operação binária sobre vectores no espaço Euclidiano tridimensional que resulta em um vector. O producto vectorial difere do producto escalar, que resulta num escalar. O seu principal uso reside no facto de que o producto vectorial de dois vetores é ortogonal a ambos vectores dados. (LA3.1 RR4) Producto misto escalar: O producto misto escalar é definido como o producto escalar de um dos vectores com o producto vectorial dos outros dois vectores. É um escalar (mais precisamente, tanto pderá ser um escalar como um pseudo-escalar). Geometricamente, este producto é o volume do paralelopípedo formado pelos três vectores dados. Pode ser avaliado numericamente usando qualquer das seguintes caraterizações equivalentes: )()()( bacacbcba . (LA3.1 RR4)

Producto misto vectorial: O producto misto vectorial é definido como o producto vectorial de um vector com o producto vectorial dos outros dois vectores. The following relationships hold:

; )()()( baccabcb a )( ()()() cabcbabaccba . (LA3.1 RR4) Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA3.1 RR1: Vector analysis, a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs, c1929; pages 55-74.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/117714283 ) LA3.1 RR4: Cross product, scalar triple product http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_triple_product LA3.1 RR5: Cross product, scalar triple product, vector triple product http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html http://mathworld.wolfram.com/ScalarTripleProduct.html http://mathworld.wolfram.com/VectorTripleProduct.html

Lista de Recursos Relevantes Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são:

- GeoGebra ou WinGeom. Introdução à Actividade de Aprendizagem

Vectors in three dimensions

Uma vez que você já aprendeu na Unidade anterior a operar com vectores de duas dimensões, nesta AA você irá estender um pouco mais o seu conhecimento nesta área. Tarefa 1

Sejam os vectores u=(2, -1, 3), v=(0, 1, 7), w=(1, 4, 5). Determina:

a) u x w b) u x (v x w) c) (u x v) -2w

Tarefa 2 Em cada caso, encontre um vector orthogonal à ambos vectores u e v: a) u = (-7, 3, 1), v = (2, 0, 4) b) u = (-1, -1, -1), v = (2, 0, 2) Tarefa 3

Dados os vértices do triângulo A(1, -1, 2), B(5, -6, 2), C(1, 3, -1), encontra a altura a partir do vértice B. Task 4

Em cada um dos casos, encontre a área do triângulo tendo vértices P, Q, e R.

a) P(1, 5, -2), Q(0, 0, 0), R(3, 5, 1) b) P(2, 0, -3), Q(1, 4, 5), R(7, 2, 9) Tarefa 5 O volume do tetraedro ABCD é igual a 5.

Se A(2, 1, -1), B(3, 0, 1), C(2, -1, 3), e o vérice D pertence ao eixo Y, encontre as coordenadas de D.

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA3.1: Vectores em três dimensões AA3.2: Planos e rectas AA3.3: Transformação de coordenadas no espaço tridimensional AA3.4: Superfícies quádricas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 3.2: Planos e rectas Objectivos de Aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Deduzir formas diferentes de equações do plano e da recta; Resolver problemas relacionados com plano e rectas.

Sumário Nesta Actividade de Aprendizagem, você começa por deduzir formas de equações de um plano e mais adiante de uma recta. Tendo deduzido equações de um plano e de uma recta você irá resolver problemas relacionando dois objectos geométricos. Usando Geogebra ou WinGeom você será capaz de visualizar posições diferentes de um esboço ilustrando um dado problema de modo que você possa resolvê-lo mais facilmente e de forma mais compreensiva. Racionalidade Você já aprendeu sobre a recta na Unidade 2 (Geometria Analitica do Plano). Agora você vai elevar seu conhecimento sobre este tópico tratando-o no espaço de três dimensões. Mais ainda, você irá aprender derivar equações do plano e resolver problemas relacionados com planos e recta em três dimensões. Portanto, é importante rever a Unidade 2 antes de você engajar-se na Geometria Analítica dos Sólidos. Conceitos chave Planos e rectas são dados em equações em diferentes formas. Aqui são explicadas brevemente algumas dessas formas. Um plano contendo o ponto ( e tendo um vector normal (um vector ortogonalao plano) )000 zyx

cba ,,n pode se representado na forma padrão pela equação:

0)()()( 000 zzcyybxxa .

Reagrupando os termos, você obtém a forma geral da equação do plano:

0 DCzByAx .

Uma recta paralela ao vector cba ,,v )0 e passando pelo ponto é representada por

equações paramétricas:

,( ,00 zyxP

taxx 0

tbyy 0

tczz 0 .

Se os números directores a, b, e c são todos não nulos, você pode eliminar o parâmetro t para obter as equações simétricas (ou forma padrão) de uma recta:

c

zz

b

yy

a

xx 000

.

Lista de Leituras Relevantes

LA3.2 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 209-216.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich) LA3.2 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E.

W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.] : Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 226-258.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich )

Lista de Recursos Relevantes Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são:

- GeoGebra ou WinGeom. Introdução à Actividade de Aprendizagem

Planos e rectas

Nesta Unidade, você irá usar vectores para derivar equações do plano e recta no espaço de três dimensões, e você usará estas equações para resolver problemas geométricos básicos. Na geometria analítica do plano uma recta pode ser especificada dando seu declive e um dos seus pontos. Similarmente, um plano em espaço tridimensional pode ser determinado dando sua inclinação e especificando um dos seus pontos. Planos e rectas são dados por equações em diferentes formas. Nas Leituras Relevantes para esta Unidade, você encontra explicações de como derivar todas as diferentes formas. Antes de resolver um problema algebricamente, tenta fazer um esboço relacionado; isto irá ajudá-lo a interpretar mais facilmente a questão do problema. Tarefa 1

Leia sobre planos e rectas em LA3.2 RR1, chapter XIV, pages 209-216; and LA3.2 RR2, chapter II-III, pages 226-252.

Tarefa 2

Resolva os seguintes exercícios: LA3.2 RR1, page 216, from exercises 1-12, it is to solve nine exercises only.

Tarefa 3

Resolva os seguintes exercícios: LA3.2 RR2, from each group of pages 234-235, and 240-242, it is to solve fifteen exercises only.

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA3.1: Vectores em três dimensões AA3.2: Planos e rectas AA3.3: Transformação de coordenadas no espaço tridimensional AA3.4: Superfícies quádricas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 3.3: Transformação de coordenadas no espaço tridimensional Objectivos de Aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Reduzir forma geral de equações em três dimensões para formas padrão por uma translação e/ou por rotação dos eixos coordenados.

Sumário Similarmente à trnasformação de coordenadas no plano que você aprendeu na Unidade anterior , nesta Actividade de Aprendizagem você vai aprender agora aprender a reduzir equações de forma geral para formas padrão por translação e/ou por rotação de eixos coordenados em três dimensões. Usando esboço à mão ou pelo software Geogebra ou WinGeom, você pderá vizualizar um dado problema antes de resolvê-lo algebricamente. Racionalidade Você já sabe algo à cerca da transformação de de coordenadas no plano. Agora é importante aprender à cerca de algumas transformações (translação, rotação), mais desta vez, no espaço tridimensional. Estas operações são requeridas para resolver problemas na próxima Actividade de Aprendizagem sobre superfícies quadricas. Conceitos-chave Os conceitos-chave são os mesmos apresentados na Actividade de Aprendizagem sobre transformação de coordenadas no plano (Unidade 2, AA3), mas agora definido no espaço tridimensional.

Transformação de coordenadas: Uma transformação de coordenadas é uma conversão de um sistema para outro, para descrever o mesmo espaço.

Translação dos eixos coordenados: A translação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados no plano para uma differente posição tal que os novos eixos sejam paralelos aos antigos eixos, respectivamente, e similarmente orientados.

Rotação dos eixos coordenados: A rotação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados por torno em redor da sua origem como ponto fixo.

Lista de Leituras Relevantes

LA3.3 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 217-218.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich) LA3.3 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E.

W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 247-249.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich )

Lista de Recursos Relevantes Os recursos relevantes para esta actividade de aprendizagem são:

- GeoGebra ou WinGeom. Introdução à Actividade de Aprendizagem

Transfromação de coordenadas no espaço tridimensional

Tarefa 1

Lê sobre transformação de coordenadas no espaço tridimensional em LA3.3 RR1, pages 217-218; and LA3.3 RR2, pages 247-249.

Tarefa 2

Resolva os exercícios 1-17, in LA3.3 RR1, page 217.

UNIDADE 3: Geometria Analítica dos Sólidos Esta Unidade tem 4 Actividades de Aprendizagem (AA): AA3.1: Vectores em três dimensões AA3.2: Planos e rectas AA3.3: Transformação de coordenadas no espaço tridimensional AA3.4: Superfícies quádricas Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 3.4: Superfícies quádricas Objectivos de Aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Definir superfícies quádricas em termos de locus de pontos e apresentando suas equações; Resolver problemas relacionados com superfícies quádricas; Desenhar superfícies quádricas à mão livre e usando GeoGebra ou WinGeom.

Sumário Nesta Actividade de Aprendizagem você vai aprender sobre superfícies estritamente relacionados com as secções cônicas que aprendeu na Unidade 2. As superfícies quádricas são representadas por equações quadráticas em três dimensões. Similarmente ao estudo das secções cónicas, você irá aprender a reduzir a forma geral das equações das superfícies quáqdricas para as formas-padrão. Também, usando esboços à mão ou Geogebra ou WinGeom você poderá visualizar um dado problema antes de resolvê-lo algebricamente. Racionalidade As técnicas de transformação de equações quadráticas usadas nesta Actividade de Aprendizagem sobre secções cónicas estão estendidas para três dimensões. Portanto, é importante rever a Actividade de Aprendizagem sobre secções cónicas (Unidade 2) e a Actividade de Aprendizagem sobre transformação de coordenadas no espaço tridimensional, na Unidade 3. Conceitos chave Superfícies quádricas: Superfícies quádricas (ou simplesmente quádricas) são superficies representadas por qualquer equação que pode ser posta na forma geral

0Ax 222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzBy onde A,…J são constantes. Não é possível alistarmos todas elas, mas existem algumas equações padrão. Aqui está uma lista de algumas das superficies quádricas mais comuns.

Superfície quádrica Esboço Equação

Elipsóide

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Cone

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Hiperbolóide de uma folha

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Hiperbolóide de duas folhas

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Parabolóide

02

2

2

2

zb

y

a

x

Parabolóide hiperbólica

02

2

2

2

zb

y

a

x

Cilindro elíptico

12

2

2

2

b

y

a

x

Cilindro parabólico

022 pxy

Cilindro hiperbólico

12

2

2

2

b

y

a

x

Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA3.4 RR1: The elements of plane and solid analytic geometry, Candy, Albert L.; Boston, D.C. Heath & co, (1904), pages 217-218.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/elemplanesolidan00candrich) LA3.4 RR2: Analytic geometry for colleges, universities, and technical schools, Nichols, E.

W. (Edward West), 1858-1927; Hill, Theodore Preston. Early American mathematics books. CU-BANC; Boston [Mass.]: Leach, Shewell & Sanborn, (c1892), pages 247-249.

(a PDF file in http://www.archive.org/details/analygeomcoll00nichrich )

Lista de Recursos Relevantes Os recursos relevantes desta actividade de aprendizagem são:

- GeoGebra ou WinGeom. Introdução às Actividades de Aprendizagem

Superfícies quádricas

Tarefa 1

Leia sobre “Conicóides” LA3.4 RR1, pages 220-246 and about “A discussion of surfaces of the second order” in LA3.4 RR2, pages 259-275.

Tarefa 2

Resolva os exercícios 1-10, in LA3.4 RR1, page 246 and the exercises 1-5, in LA3.4 RR2, page 275.

UNIDADE 4: Geometria Não-Euclidiana Esta Unidade tem 3 Actividades de Aprendizagem (AA): AA4.1: Introdução à Geometria Não-Euclidiana AA4.2: Transformações afins AA4.3: Transformações projectivas

Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 4.1: Introdução à Geometria Não-Euclidiana Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem, você deverá ser capaz de:

Descrever os fundamentos da Geometria Não-Euclidiana, relacionando-a à Geometria Euclidiana;

Trabalhar sobre conceitos básicos e teoremas da geometria hiperbólica usando o modelo do disco e o modelo do semi-plano superior de Poincaré.

Sumário

O estudo da Unidade sobre Geometria Não-Euclidiana vai ajudá-lo a desenvolver uma compreensão de um sistema axiomático investigando e comparando as geometrias Euclidiana e Não-Euclidiana. Você vai trabalhar sobre algumas definições e teoremas da geometria hiperbólica, baseada sobre o modelo do disco e o modelo do semi-plano superior de Poincaré usando construções de régua e compasso e explorando NonEuclid – um pacote interactivo em Java, incorporando explicações e exercícios.

Racionalidade

A Geometria Não-Euclidiana tem se tornado crescentemente importante no seu papel na ciência moderna e tecnologia. Um estudos da Geometria Não-Euclidiana torna claro que a geometria não é uma disciplina estática mas é um um campo corrente e activo de pesquisa.

Conceitos chave

Geometria Não-Euclidiana: Geometria Não-Euclidiana é qualquer geometria diferente da Geometria Euclidiana. Cada geometria não-Euclidiana é um sistema consistente de definições, proposições, e provas que descrevem tais objectos como pontos, rectas e planos. As duas geometrias não-Euclidianas mais comuns são a geometria esférica e a geometria hiperbólica. (Veja LA4.1 RR3)

Modelo de disco de Poincaré: o modelo do disco de Poincaré, também chamado de modelo de disco conformal, é um modelo de geometria hiperbólica n-dimensional no qual os pontos da geometria estão num disco n-dimensional, ou bola unitária, e as rectas da geometria são segmentos de circunferências contidas no disco ortogonais ao limite do disco, ou então diâmetros do disco. (Veja LA4.1 RR2)

Lista de Leituras Relavantes (LR)

LA4.1 RR1: Non-Euclidean geometry http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry LA4.1 RR2: Poincaré disc model http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model LA4.1 RR3: What is Non-Euclidean Geometry http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html

Lista de Recursos Relevantes NonEuclid: NonEuclid é um software interactivo em Java para criar construções de régua e compasso em ambos modelos de disco de Poincaré e o modelo de semi-plano superior da geometria hiperbólica. O software inclui explicações, Actividades, e estratégias para incorporar a geometria não-Euclidiana no currículo da escola superior. NonEuclid pode ser baixado do site: http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html

Figura 4.1.1: Um screen capture do NonEuclid

Introdução às Actividades de Aprenidzagem

Geometria Não-Euclidiana Você vai agora aprender um novo tipo de geometria. Imagine um triângulo sobre uma esfera: Será a soma dos ângulos internos de um trângulo igual a 180o? Reflicta sobre esta questão antes de prosseguir. Sobre uma esfera, a soma dos ângulos internos de um triângulo numa esfera não é igual a 180°. Uma esfera não é um espaço Euclidiano, mas localmente, as leis da Geometria Euclidiana são uma boa aproximação. Num pequeno triângulo sobre a face da Terra, a soma dos seus ângulos é muito próximo a 180°.

Figura 4.1.2: Sobre uma esfera, a soma dos ângulos internos de um triângulo não é igual a 180°.

A Geometria Não-Euclidiana é uma geometria diferente da geometria Euclidiana. Cada geometria não-Euclidiana é um sistema consistente de definições, proposições, e

demonstrações que descrevem tais objectos tais como pontos, rectas e planos. As geometrias não-Euclidianas mais comuns são a geometria esférica e a geometria hiperbólica. A diferença essencial entre a geometria Euclidiana e estas duas geometrias não-Euclidianas é a natureza das linhas paralelas: Na geometria Euclidiana, dado um ponto e uma recta, existe exactamente uma recta que passa pelo ponto que se encontra no mesmo plano da recta dada e nunca a intersecta. Na geometria esférica não existem tais rectas. Na geometria hipobólica existe pelo menos duas rectas distintas que passam pelo ponto e são paralelos a (no mesmo plano e não intersecta) dada recta. (Veja LA4.1 RR3) Tarefa 1

Lê sobre o conceito e sobre a história dos fundamentos da Geometria Não-Euclidiana, em LA4.1 RR1.

Tarefa 2

Usando NonEuclid, tenta explorer propriedades da geometria hiperbólica. (Para obter Actividades carrega o NonEuclid, clica Help e depois What-to-do: Activities.)

UNIDADE 4: Geometria Não-Euclidiana Esta Unidade tem 3 Actividades de Aprendizagem (AA): AA4.1: Introdução à Geometria Não-Euclidiana AA4.2: Transformações afins AA4.3: Transformações projectivas

Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 4.2: Transformações afins Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem .você deverá ser capaz de:

Descrever as propriedades das transformações afins Resolver problemas de construção sobre figures afins (triângulos, quadreláteros, e seções

cônicas) Sumário

Depois da introdução da geometria Não-Euclidiana, o conteúdo da presente Actividade de Aprendizagem ocupa um lugar intermediário entre a geometria Euclidiana e a geometria projectiva – o conteúdo da próxima Actividade de Aprendizagem. As transformações afins têm algumas características em comum com as transformações Euclidianas, mas também algumas características muito diferentes. Por exemplo, uma diferença marcante é que numa transformação afim qualquer triângulo pode ser mapeado a qualquer outro triângulo; isto significa que todos os triângulos congruentes! Este resultado constitui a essência do Teorema Fundamental da Geometria Afim. Transformações afins podem ser definidas em Rn, para qualquer número natural n ; aqui restringimos nossa atenção ao caso n=2. 2

Racionalidade Nesta Unidade, você vai trabalhar propriedades de figuras geométricas de maneira que lhe deixarem claro da diferença entre transformações Euclidianas e transformações afins. A álgebra requerida para compor as transformações afins é similar a álgebra que usamos para compor transformações euclidianas. Portanto, é importante que você reveja as operações com matrizes em R2. Conceitos-chave Transformaçoes afins: Uma transformação afim ou mapa afim (do Latin, affinis, “ligado à”) entre dois espaços vectoriais (estritamente falando, dois espaços afins) consiste de uma transformação linear seguida por uma translação: bAxx . No espaço tridimensional finito cada caso de transformação afim é dado por uma matriz A e um vector b, que pode ser escrito como a matriz A com uma coluna extra b. (Veja LA4.3 RR1)

Teorema fundamental da geometria afim: Sejam P, Q, R e P’, Q’, R’ dois conjuntos de três pontos não colineares em R2. Então: (a) existe uma transformação afim t que mapeia P, Q, e R to P’, Q’, e R’, respectivamente; (b) a transformação afim t é única.

Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA4.2 RR1: Transformação afim http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation LA4.2 RR2: Transformação afim

http://mathworld.wolfram.com/AffineTransformation.html

Lista de Recursos Relevantes

- Intrumentos de construção geométrica básicos (régua e compasso). - GeoGebra ou WinGeom

Introdução às Actividades de Aprendizagem

Transformações afins

Nesta Actividade de Aprendizagem você irá encontrar a primeira das novas geometrias (geometrias não-Euclidianas) sobre o plano: a geometria afim em R2. Esta geometria consiste do conjunto R2

com um grupo de transformações, as transformações afins, actuando sobre R2 . As transformações podem ser definidas em Rn para qualquer número natural ; aqui restringiremos a nossa atenção para o caso n=2.

2n

Figuras na transformação afim têm as seguintes propriedades básicas: Transformações afim:

1. mapeia rectas em rectas; 2. mapeia rectas paralelas em rectas paralelas; 3. preserva a razão dos comprimentos ao longo de uma dada recta.

Recordando o que você estudou na AA anterior você verá que transformações afins indicam uma classe especial de transformação projectiva. Tarefa 1

Leia sobre transformações afins em LA4.2 RR1, e LA4.2 RR2. Tarefa 2 Demonstre os teoremas de Ceva e Menelaus apresentado em LA4.2 RR1. Tarefa 3 Determine se cada uma das seguintes transformações de R2 é uma transformação afim.

a)

2

4

21

31) xx(1t

(3t x

b)

1

2

23

56)(2 xxt

c)

3

1

48

12) xx d) xt

22

35)(4

Tarefa 4

A transformação afim t: R2 R 2 é dada por

4

2

32

11)( xxt

Determine a imagem sob t de cada uma das seguintes rectas: a) x2y

2y b) 13 x

Tarefa 5 O triângulo tem vértices A(-1, 2), B(-3, -1), e C(3, 1) e os pontos ABC ),1 3

1(P , ),1( 23Q e )1,( 3

5R incidem sobre BC, CA, e AB.

a) Determine as razões nos quais P, Q e R dividem os lados dos triângulos. b) Determine se sim ou não as rectas AP, BQ, e CR concorrentes.

UNIDADE 4: Geometria Não-Euclidiana Esta Unidade tem 3 Actividades de Aprendizagem (AA): AA4.1: Introdução à Geometria Não-Euclidiana AA4.2: Transformações afins AA4.3: Transformações projectivas

Agora você vai trabalhar sobre Actividade de Aprendizagem 4.2: Transformações projectivas Objectivos da aprendizagem No fim desta Actividade de Aprendizagem você deverá ser capaz de:

Apresentar definição e propriedades de figuras projectivas básicas (quádruplo completo, configuração de Desargues, configuração de figuras de Pappus, secções cónicas)

Resolver problemas sobre transformações projectivas no plano. Sumário

Nesta Actividade de Aprendizagem, você vai estudar transformações pertencentes a geometria projectiva – a geometria que inclui todas as outras geometrias que você estudou antes. Nas palavras de Arthur Cayley (1821-1895): “Geometria projectiva é toda geometria”. Como um estudo introdutório, esta Actividade de Aprendizagem será restrita ao tratamento das transformações projectivas no plano.

Racionalidade

Sendo a geometria projectiva “toda geometria” é importante para si neste estágio sumarizar a “genealogia” de disciplinas geométricas conhecidas nos nossos dias. De facto, isto também tornará você consciente da existência de “mundos” da geometria e de novas estruturas geométricas que poderão ser criadas, s estabelecermos as invariantes das transformações que envolvem tal “mundo”.

Conceitos-chave

Transformações projectivas: Uma transformação projectiva é uma transformação usada na geometria projectiva: é uma composição de um par de projecções perspectivas. Ela descreve o que acontece nas posições percebidas dos objectos observados quando o ponto de vista do observador muda. As transformações projectivas não preservam tamanhos ou ângulos mas sim preserva incidência e razão de proporcionalidade: duas propriedades que são importantes na geometria projectiva. Uma transformação projectiva também pode ser chamada projectividade. Uma transformação projectiva pode ser na (real) recta projectiva uni-dimensional RP1, no plano projectivo bi-dimensional RP2, e no espaço projectivo tri-dimensional 3RP . (Veja LA4.3 RR2)

Teorema fundamental de Geometria Projectiva:

Sejam ABCD e A’B’C’D’ dois quadriláteros em RP2. Então: (a) Existe uma transformação projectiva t que mapeia A a A’, B a B’, e C a C’, e D a D”; (b) A transforma,cão projectiva t é única.

Quadrevértice completo: Em matemática, especificamente na geomatria projectiva, um quadrevértice completo é uma configuração projectiva (4362) consistindo em quadro pontos, não sendo três deles colineares, e de seis rectas definidas por aqueles quadro ponto. Esta configuração foi chamada uma tetraestígma por Lachlan (1893), e esse termo continua a ser usado ocasionalmente. Quadrelátero completo: A configuração projectiva dual (6243) de um quadrivértice completo é um quadrilátero completo

Figura 4.3.1: Um quadrivértice completo (a esquerda) e um quadrelátero completo (a direita).

(chamado um tetragrama por Lachlan), uma configuração consistindo de 4 rectas, 3 das quais não passando por ponto comum, e de 6 pontos de intersecção dessas quatro rectas.

Teorema de Desargues: Na geometria projectiva, o teorema de Desargues, designado em honra a Gérard Desargues, afirma: No espaço projectivo, dois triângulos são perspectivos axilamente se e somente se eles são perspectivos centralmente.

As 10 rectas e 10 intersecçes de 3 rectas formam uma configuração 103 algumas vezes chamada configuração de Desargues.

Figura 4.3.1: Configuração de Desargues

Configuração de Papus: A configuração de Papus consiste de um par ((A,B,C), (D,E,F)) de tripla de pontos, par que está localizado ou num par de rectas ou em dois lados de uma secção cônica, com um hexágono AECDBF definido sobre os pontos, e uma tripla colinear de intersecções dos lados opostos (p.e. AE e DB) do hexágono. Quando cada tripla de pontos é colinear, forma uma configuração projectiva de nove pontos incidentes às nove rectas, com notação (9393).

Figura 4.3.3: Configuração de Papus

Lista de Leituras Relevantes (LR)

LA4.3 RR1: Projective geometry, Veblen, Oswald, Boston and Young, John W.; Ginn & Co. (1938), pages 1-108; (PDF file in http://www.archive.org/details/117714799_001)

LA4.3 RR2: Projective geometry

http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry

LA4.3 RR3: Projective geometry http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveGeometry.html

Lista de Recursos Relevantes - Régua (sem mais nenhum instrumento adicional de desenhar à mão) - GeoGebra ou WinGeom

Introdução de Actividades de Aprendizagem

Transformações projectivas

Figura 4.3.4: Uma máquina de perspectiva

“Geometri projectiva é toda geometria” (Cayley, 1821-1895). Esta afirmação do matemático Inglês Arthur Cayley é apresentada pelo facto de que na geometria projectiva os pontos no infinito não se distinguem dos pontos ordinários e por isso, a geometria projectiva exibe muito mais simetria do que a geometria afim. . Propriedades projectivas foram descobertas por artistas quando tentavam durante muitos séculos pintar quadros com visual realístico de cenas compostas de objectos situados a diferentes distâncias do olho. A questão levantada soa algo como: Como podem cenas tri-dimensionais ser apresentadas sobre uma prancha de duas dimensões?

A geometria projectiva explica através das suas transformações como o olho percebe “o mundo real” e assim explica como podem artistas adquirir realismo nas suas pinturas. Entre matemáticos que desenvolveram esta geometria podemos mensionar o arquitecto Francês Girard Desargues (1591-1661) que inventou pontos no infinito, que orientam para uma abordagem unificada e profunda inclinação para estruturas geométricas. Nesta Actividade de Aprendizagem você irá estudar transformações projectivas sobre o plano e usá-las para resolver problemas de geometria projectiva básicos. Tarefa 1

Leia sobre geometria projectiva em LA4.3 RR1, sobre os seguintes tópicos: a) Ideal elements in geometry, in introductory chapter, pages 12-14; b) Principle of duality, chapter 1, pages 26-28; c) Elementary configurations, chapter 2, pages 34-54; d) Projectivity of the primitive geometric forms, chapter 3, pages 55-74 e) Harmonic constructions and the Fundamental Theorem of projective geometry, chapter 1, pages 79-102.

Tarefa 2

Quais das seguintes coordenadas homogéneas representam o mesmo ponto do espaço RP2 como [4, -8, 2]?

a) [ ]2,4 ,1 b) 81

21

41 ,, c) 1,2,2

1

d) 1,4,2 e) 41

21

81 ,,

Tarefa 3

Determine qual das transformações t do RP2 são transformações projectivas? For those that are projective transformations, write down a matrix associated with t. a) 1,3,2,, zyxzyx :t

b) yxzyxxzyxt ,3,,,:

c) xzyyzyx ,4,2,, t :

d) zyxzyzyxzyx 22,3,,,t :

Tarefa 4

Para cada um dos conjuntos de pontos A, B, C, D, calcula a razão da proporção de (ABCD). a) A[2, 1, 3], B[1, 2, 3], C[8, 1, 9], D[4, -1, 3] b) A[2, 1, 1], B[-1, 1, -1], C[1, 2, 0], D[-1, 4, -2] c) A[-1, 1, 1], B[0, 0, 2], C[5, -5, 3], D[-3, 3, 7]

Tarefa 5

Calcule a razão de proporcionalidade de (ABCD) para pontos os pontos colineares A, B, C, e D ilustrado abaixo, onde D é um ponto ideal.

Glossário Arco: Um arco é uma parte contínua de uma circunferência. Axioma: Uma proposição que é tomada por garantia como verdadeira. Centróide: A centróide de um triângulo é o ponto de intersecção das suas medianas (os segmentos de recta que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto). Circunferência dos nove-pontos: A circunferência dos nove-pontos (também conhecida por circunferência de Feuerbach, circunferência de Euler, circunferência de Terquem) é uma circunferência que pode ser construída par qualquer triângulo dado. Ela é assim chamada porque passa por nove pontos significantes, dos quais seis no próprio triângulo (ao menos que o triângulo seja obtuso). Eles incluem: o ponto médio de cada lado do triângulo, o pé de cada altura, e o ponto médio do segmento de cada altura que vai do vértice ao ortocentro. Circunferência inscrita: A circunferência circunscrita de um triângulo é a maior circunferência contida no triângulo; ela toca (é tangente a) os três lados. O centro de uma circunferência inscrita é chamada incentro do triângulo. Circunferência: Uma circunferência é o conjunto de todos pontos num plano que estão à uma distância fixa de um ponto fixo chamado centro. Configuração de Papus: A configuração de Papus consiste de um par ((A,B,C), (D,E,F)) de tripla de pontos, par que está localizado ou num par de rectas ou em dois lados de uma secção cônica, com um hexágono AECDBF definido sobre os pontos, e uma tripla colinear de intersecções dos lados opostos (p.e. AE e DB) do hexágono. Quando cada tripla de pontos é colinear, forma uma configuração projectiva de nove pontos incidentes às nove rectas, com notação (9393). Congruência geométrica: Duas figuras geométricas são ditas exibir congruência geométrica (or “ser geometricamente congruentes”) sse uma pode ser transformada na outra por uma isometria. Esta relação é escrita BA . Conjectura: Uma conjectura é o mesmo que hipótese, a afirmação esboçada da mesma evidência mas ainda não provada. Corda: Uma corda de uma circunferência é um segmento de recta que une dois pontos na circunferência. Declive de uma recta: Um declive (de uma linha recta) é modo de descrever o ângulo entre uma dada recta e a recta horizontal. (Veja definição formal de declive de uma recta num plano contendo os eixos x e y no LA2.2 RR1). Demonstração matemática: Uma minuciosa demonstração de uma proposição usando a lógica de estrutura axiomática dessa proposição. Diametro: Um diâmetro é uma corda que para do centro da circunferência. Dilatação central: Uma transformação de semelhança que transforma cada segmento de recta em um segmento de recta paralelo cujo comprimento é um múltiplo fixo do comprimento do segmento de

recta original. A dilatação simplíssima é portanto a translação e qualquer dilatação que não seja meramente uma translação é chamada dilatação central. Directamente similar: Duas figures são directamente similares (ou directamente semelhantes) quando todos os ângulos correspondentes são iguais e descritos no mesmo sentido rotacional.

Elipse: Uma elipse é uma secção cónica gerada por intersecção de um cone circular recto e um plano que não intersecta a base do cone. Uma elipse pode também ser definida como o locus dos pontos sobre o plano onde a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva à dois pontos fixos é constante.

Espaço vectorial: Um espaço vectorial é um domínio matemático de quantidades possuindo magnitude, direcção e sentido – vectores – junto com um conjunto definido de leis de operação. (ver definição formal em AA2.1 LR3)

Forma declive-intersecção: A forma linear y = ax + b é chamada forma declive-intersecção de uma equação de uma recta, onde a é declive da recta, e b é y-intersecção.

Forma geral: A forma linear Ax + By + C = 0 onde A, B, C são inteiros, é chamada forma geral da equação da recta.

Geometria Não-Euclidiana: Geometria Não-Euclidiana é qualquer geometria diferente da Geometria Euclidiana. Cada geometria não-Euclidiana é um sistema consistente de definições, proposições, e provas que descrevem tais objectos como pontos, rectas e planos. As duas geometrias não-Euclidianas mais comuns são a geometria esférica e a geometria hiperbólica. Hipérbole: Uma hipérbole é o tipo de secção cónica definido como intersecção entre um cone circular recto e um plano que intersecta ambas metades do cone. Ela também pode ser definida como o locus dos pontos onde a diferença entre as distâncias para dois pontos fixos é constante. Inversamente similar: Duas figuras são inversamente similares (ou inversamente semelhantes) quando todos os ângulos corespondentes são iguais e descritos no sentido rotacional oposto. Isometrias Euclidianas plana: Isometrias Euclidianas plana é uma isometria no plano euclidiano, ou mais informalmente, a transformação do plano que preserva propriedades geométricas tais como o comprimento.

Modelo de disco de Poincaré: o modelo do disco de Poincaré, também chamado de modelo de disco conformal, é um modelo de geometria hiperbólica n-dimensional no qual os pontos da geometria estão num disco n-dimensional, ou bola unitária, e as rectas da geometria são segmentos de circunferências contidas no disco ortogonais ao limite do disco, ou então diâmetros do disco.

Multiplicação por um escalar: Uma multiplicação por um escalar é a multiplicação de um vector por um escalar.

Norma de um vector: O comprimento ou magnitude de um vector v é frequentemente chamado norma de v e é denotado por v . Segue-se do teorema de Pitágoras que a norma de um vector

no espaço de duas dimensões é ),( 21 vvv 22

21 vv v .

Nota: Uma vez que todos os raios de uma dada circunferência têm o mesmo comprimento, poderemos usar em tempos a palavra raio para significar o número que é “o cumprimento do raio”. Ortocentro: As três alturas de um triângulo intersectam-se num ponto singular chamado ortocentro do triângulo. Os Elementos de Euclides: O clássico tratado de geometria escrito por Euclides (à cerca de 300 AC). A obra consiste em 465 proposições, dividido em 13 tomos (livros). Papiro Matemático Rhind: O Papiro Matemático Rhind (PMR) é um documento matemático antigo escrito no papyrus (papel). Foi denominado por Alexander Henry Rhind, um Escocês colecionador de antiguidades que comprou o papyrus em 1858 em Luxor, Egipto.

Parábola: Uma parábola é uma secção cónica gerada por intersecção de um cone circular recto e um plano paralelo à recta geradora desse cone. Uma parábola também pode ser definida como locus de pontos num plano que são equidistantes de um dado ponto (o foco) e uma dada recta (a directriz).

Producto escalar: Um produto escalar (apropriado pelo facto de que o seu valor é escalar) de dois vectores A e B é a quantidade escalar (denotado ba ) obtido por multiplicação do producto das normas dos vectores pelo coseno do ângulo formado por esses vectores. Isto é )b

)

(a,baba cos .

O producto escalar é também chamado producto interno. Producto misto escalar: O produto misto escalar é definido como o producto escalar de um dos vectores com o producto vectorial dos outros dois vectores. É um escalar (mais precisamente, tanto pderá ser um escalar como um pseudo-escalar). Geometricamente, este producto é o volume do paralelopípedo formado pelos três vectores dados. Pode ser avaliado numericamente usando qualquer das seguintes caraterizações equivalentes: ()()( bacacbcba . Producto misto vectorial: O produto misto vectorial é definido como o producto vectorial de um vector com o producto vectorial dos outros dois vectores. The following relationships hold:

; )()()( baccabcb a )( ()()() cabcbabaccba . Producto vectorial: O produto vectorial (também conhecido por producto externo) é uma operação binária sobre vectores no espaço Euclidiano tridimensional que resulta em um vector. O producto vectorial difere do producto escalar, que resulta num escalar. O seu principal uso reside no facto de que o producto vectorial de dois vetores é ortogonal a ambos vectores dados. Quadrelátero completo: A configuração projectiva dual (6243) de um quadrivértice completo é um quadrilátero completo (chamado um tetragrama por Lachlan), uma configuração consistindo de 4 rectas, 3 das quais não passando por ponto comum, e de 6 pontos de intersecção dessas quatro rectas. Quadrevértice completo: Em matemática, especificamente na geomatria projectiva, um quadrevértice completo é uma configuração projectiva (4362) consistindo em quadro pontos, não sendo três deles colineares, e de seis rectas definidas por aqueles quadro ponto. Esta configuração foi chamada uma tetraestígma por Lachlan (1893), e esse termo continua a ser usado ocasionalmente.

Raciocínio inductivo-deductivo: Uma maneira de pensar que começa pelos casos particulares à generalizações (indução) – e uma vez tendo afirmações gerais (provadas) então obtemos implicações para caso particular (dedução). Raio: Um raio de uma circunferência é um segmento que une o centro à um ponto da circunferência. Razão de ampliação: Uma razão de ampliação é um razão constante na qual todas as distâncias são incrementadas (ou reduzidas) numa semelhança. Uma semelhança com razão de ampliação igual a 1 é chamada isometria.

Rotação de eixos coordenados: Uma rotação de eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados por um torno à volta da sua origem como um ponto fixo.

Rotação dos eixos coordenados: A rotação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados por torno em redor da sua origem como ponto fixo.

Rotação: Uma rotação é o movimento de um objecto numa trajectória circular. No plano, um objecto roda à volta de um centro (ou ponto) de rotação. Uma rotação é denotado por , onde c é um ponto

no plano (o centro da rotação), e cR

é o ângulo de rotação.

Secção cónica: Uma secção cónica (ou simplesmente cónica) é uma curva que pode ser obtida por fazer uma secção plana de um cone circular recto.

Sejam ABCD e A’B’C’D’ dois quadriláteros em RP2. Então: (a) Existe uma transformação projectiva t que mapeia A a A’, B a B’, e C a C’, e D a D”; (b) A transforma,cão projectiva t é única. Semelhança geométrica: Uma transformação que preserva ângulos e muda todas as distâncias na mesma razão, chamada razão de ampliação. Uma semelhança pode também ser definida como uma transformação que preserva razões de distâncias. Superfícies quádricas: Superfícies quádricas (ou simplesmente quádricas) são superficies representadas por qualquer equação que pode ser posta na forma geral

, onde A,…J são constantes. 022 JIzHyGxFxzEyzDxyCzBy2Ax Teorema: Uma afirmação que já foi provada ser verdadeira ou proposta como verdade demonstrável.

Teorema de Desargues: Na geometria projectiva, o teorema de Desargues, designado em honra a Gérard Desargues, afirma: No espaço projectivo, dois triângulos são perspectivos axilamente se e somente se eles são perspectivos centralmente.

Teorema fundamental da geometria afim: Sejam P, Q, R e P’, Q’, R’ dois conjuntos de três pontos não colineares em R2. Então: (a) existe uma transformação afim t que mapeia P, Q, e R to P’, Q’, e R’, respectivamente; (b) a transformação afim t é única.

Teorema fundamental de Geometria Projectiva:

Transformação de coordenadas: Uma transformação de coordenadas é uma conversão de um sistema de coordenadas para outro, para descrever o mesmo espaço.

Transformação de coordenadas: Uma transformação de coordenadas é uma conversão de um sistema para outro, para descrever o mesmo espaço.

Transformaçoes afins: Uma transformação afim ou mapa afim (do Latin, affinis, “ligado à”) entre dois espaços vectoriais (estritamente falando, dois espaços afins) consiste de uma transformação linear seguida por uma translação: bAxx . No espaço tridimensional finito cada caso de transformação afim é dado por uma matriz A e um vector b, que pode ser escrito como a matriz A com uma coluna extra b. Transformações projectivas: Uma transformação projectiva é uma transformação usada na geometria projectiva: é uma composição de um par de projecções perspectivas. Ela descreve o que acontece nas posições percebidas dos objectos observados quando o ponto de vista do observador muda. As transformações projectivas não preservam tamanhos ou ângulos mas sim preserva incidência e razão de proporcionalidade: duas propriedades que são importantes na geometria projectiva. Uma transformação projectiva também pode ser chamada projectividade.

Translação de eixos coordenados:Uma translação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados no plano para uma posição diferente de modo que os novos eixos sejam paralelos aos antigos eixos, respectivamente, e similarmente direcionados.

Translação dos eixos coordenados: A translação dos eixos coordenados é a operação de mover os eixos coordenados no plano para uma differente posição tal que os novos eixos sejam paralelos aos antigos eixos, respectivamente, e similarmente orientados.

Translação: Em geometria, translação movimenta todo ponto a uma distância constante, numa determinada direcção. Formalmente, a translação é denotada por T , onde v é um vector em v

2R . Isto

tem o efeito de deslocar o plano na direcção de v. Translação-reflectida: Uma translação-reflectida é uma combinação de uma reflexão numa recta e uma translação nessa recta. A translação reflectida é denotada por , onde c é um ponto no plano,

v é um vector unitário em cvwG

2R , e w é um vector perpendicular à v. Triângulo: Um triângulo é uma das formas básicas da geometria: um polígono com três vértices e três lados que são segmentos de recta. Vector: Um vector é uma quantidade caracterizada por magnitude (em matemática um número, em física um número vezes uma unidade) e um sentido, frequentemente representado graficamente por uma seta. Fontes de ilustração

Leituras obrigatórias Resursos multimedia e links úteis Síntese do módulo Depois do cumprimento deste módulo você terá aprendido o básico sobre a Geometria Euclidiana, em ambas abordagens, sintética e analítica. A primeira Unidade do Módulo começa por rever o desenvolvimento histórico do conhecimento que a Humanidade veio ganhando, pouco a pouco, ao longo de séculos e tornou-se, mais tarde, cerca de 300 AC, a disciplina matemática chamada “Geometria Euclidiana”. Através da investigação das suas próprias conjecturas sobre objectos e propriedades geométricas, você irá desenvolver o raciocínio inductivo-deductivo que caracteriza a forma de trabalhar na Geometria Euclidiana. À medida que você vai progredindo nas Unidades dois e três, você irá tratar a Geometria Euclidiana, analiticamente, em duas e três dimensões. A última unidade do módulo faz uma introdução à geometrias não-Euclidianas, onde você vai aprender a hierarquia de grupos de transformações em geometria. Também esperamos que você seja capaz de explorar o mundo geométrico de forma dinâmica e interessante e com menos despesas de papel e tempo, usando computadores. As leituras indicadas do módulo sobre Geometria incluiem exercícios e soluções para muitos deles e ajuda como recursos para auto estudo.